1. No category

Geometrian kertausta
MAB2
Juhani Kaukoranta
Raahen lukio
Ristikulmat


Ristikulmat ovat yhtä suuret
keskenään
Vieruskulmien summa 180°
Muodostavat yhdessä oikokulman
180°- 50°=130°
50°
Samankohtaiset kulmat
Kun suora leikkaa kahta
yhdensuuntaista suoraa, ovat
samankohtaiset kulmat yhtä
suuret
Vieruskulmien summa = 180°
180 - α
α
α
Kolmion kulmien summa=180°

      180


Nelikulmion kulmien summa = 360°




        360
Tasakylkinen kolmio
a
a
•Kyljet yhtä pitkiä
•Kantakulmat yhtä suuria

•Korkeusjana puolittaa kannan
•Korkeusjana puolittaa huippukulman
Tasasivuinen kolmio
•Kaikki sivut yhtä pitkiä
•Kaikki kulmat 60°
60°
•Katso taulukkokirjasta
tasakylkisen kolmion kaavoja

60°
60°
Yhdenmuotoisuus
• Yhdenmuotoisten kuvioiden mittasuhteet
ovat samat ja vastinkulmat yhtä suuret
• Vastinjanojen suhde on vakio ja sitä sanotaan
mittakaavaksi
• Vastinjanoista saadaan verranto iso / pieni
x 6
3

3 4
4
x
4x  3 6
18
x
4
6
x  4,5
Aurinko paistaa puuhun
ja keppiin samassa kulmassa.
Kolmiot yhdenmuotoiset.
x
1,5 m
2,6m
31 m
x
31

1,5 2,6
2,6 x  31  1,5
31  1,5
x
2,6
x  18
Vastaus: Puun pituus on 18 m
d


e


c
f
Janat a ja d ovat yhdensuuntaisia
Miksi kolmiot yhdenmuotoisia?
b
Jos a ja d yhdensuuntaisia,
niin syntyy samankohtaisia kulmia


Vastikulmat yhtä suuria
a
Vastisivuille verrannot:
a c b
 
d
f e
sivu 18
x 37

40 12
12 x  40  37
x
40  37
x
12
x  123
Vast. 120m
sivu 18
151
x
302

151  x 151
x
2

151  x 1
151-x x  2(151  x )
x  302  2 x
x
x  2 x  302
3 x  302
302
302
x
 101
3
Vast. 101 cm siitä reunasta, jolta puolelta laukaistaan
Auto on 5882 m päässä katsojasta. Sen etuvalot ovat
2 m päässä toisistaan.
Kuinka kaukana valojen kuvat ovat
verkkokalvolla, jos silmamunan koko on 23 mm?
0,023 m
R=5882 m
x
d=2 m
Vastinsivu jen suhde on sama :
x 0,023m

d 5882m
2m  0,023m
x
 7,8 10 6 m  7,8 m
5882m
ALOJEN SUHDE ON
• Sivujen suhteen neliö
• Mittakaavan neliö
1
Sivujen suhde = 1 : 3
Alojen suhde = 1 : 9
3
Kuinka paljon pituudeltaan
170 cm tarvitsee kangasta
enemmän kuin pituudeltaan
152 cm?
170 cm
152 cm
Kangasta tarvitaan alojen suhteessa
Alojen suhde = mittakaavan neliö
2
isoala
 170cm 

  1, 25
pikkuala  152cm 
V: pitempi tarvitsee 1,25
kertaa enemmän kangasta
Mittakaava
Kuva
1
:
Luonto
20 000
(kartta)
kerto
jako
1 cm
20000cm
4,5 cm
20000·4,5 cm = 90 000 cm = 900 m
Kuinka monta % pikkuympyröiden
alojen summa on ison ympyrän alasta?
pikkuympyrän säde = R
ison ympyrän säde = 3R
säteiden suhde = 1:3
Pituuksien suhde 1:3
Alojen suhde 1:9
 Jos pikkuympyrä on A, niin ison ala on 9A
Pikkuympyät 7 A

 0, 7777...  77,8 %
Isoympyrä
9A
Yhdenmuotoisuus:Tiivistelmä
• Jos kuvioa tai kappaletta suurennetaan tai
pienennetään, saadaan yhdenmuotoinen kuvio,
• Tasokuviot yhdenmuotoisia 
vastinkulmat yhtä suuria
• Mittakaava = vastisivujen suhde =
suurennus/pienennys-suhde
• Pinta-alojen suhde = mittakaavan neliö
vastisivujen suhteen neliö
• Tilavuuksien suhde = mittakaavan kuutio
vastinsivujen suhteen kuutio
Tilavuuksien suhde = vastinsivujen suhteen kuutio
(mittakaavan kuutio eli kolmas potenssi)
7m
15 m
Jos pieni patsas
painaisi 21 tonnia,
kuinka paljon painaisi
iso patsas?
Ratk.: Painojen suhden on sama
kuin tilavuuksien suhde, koska
patsaat ovat samaa ainetta (kiveä)
3
 15 
Ison patsaan massa =    21 tn = 207 tn
7
Pythagoraan Lause
Suorakulmaisessa kolmiossa on
kateettien neliöiden summa yhtä suuri
kuin hypotenuusan neliö
a b c
2
2
2
Huom! Jos kolmio ei ole suorakulmainen
piirrä korkeusjana
Huom! Etsi ensimmäisenä hypotenuusa (pisin)
Esimerkki
Hyp
2,3  4,2  x
2
x
2,3 cm
4,2 cm
2
x  2,3  4,2
2
2
2
x  (2,3  4, 2 )
2
 4,7885...
Vastaus: 4,8 cm
2
2
Esim. Laske oheisen suorakulmaisen
kolmion sivun x pituus
Pythagoras 
Hyp
23,0 cm
x  19  23
2
2
2
x  23  19
19,0 cm
2
2
2
x
x
x  (23  19 )  12,961...
2
2
Vastaus: 13,0 cm
Piste A on (-2,1) ja piste B on (5,-4). Laske pisteiden
välisen etäisyyden tarkka arvo ja likiarvo
A
d  72  52  74
7
d=?
d  8, 6
Vastaus: Tarkka arvo on 74,
5
B
likiarvo on 8,6
Trigonometria
Suorakulmaisessa kolmiossa
(jos kolmio ei ole suorakulmainen,
piirrä korkeusjana)
Trigonometriset funktiot
Katso ensin hypotenuusa = pisin sivu
vastainen
sin  
hypotenuusa
hypotenuusa
vier
cos  
hyp
vast
tan  
vier
vast
vier
α
Harjoittelua


A
sin  
C
4
5
sin  
3
B
cos  
3
5
4
5
cos  
tan  
tan  
3
4
4
5
3
5
4
3
Esimerkki sivun laskemisesta
x
tan 62 
5
x  5  tan 62  9, 4
x
62
5m
Vast. 9,4 m
Esimerkki sivun laskemisesta
32,6 cm
44
x
32,6
sin 44 
x
32,6
x
 46,9
sin 44
Vast. 46,9 cm
Kulman laskeminen
 käänteisfunktion avulla
10
tan  
12

12 m
ELEGANTISTI
10 m
Epäelegantisti
10
  tan ( )
12
  39,8
-1
10


 tan   12



 tan   0,83333...

   tan -1 ( 0,83333..) 


   39,8



Laske kolmion pinta-ala korkeuden avulla
h=?
7,0 m
130°
α=50°
h
sin 50 
7, 0
h  7, 0  sin 50
h  5,3623...
6,3 m
α = 180°-130° = 50°
kanta  korkeus 6,3m  5,3623m
Ala 

 17 m 2
2
2
Laske kolmion pinta-ala suoraan kaavalla
7,0 m
130°
6,3 m
Taulukkokirjassa on sivulla 29 valmis kaava kolmion
pinta-alan laskemiseksi, jossa on kolmion kaksi sivua
ja niiden välinen kulma.
6,3m  7,0m  sin 130
Ala =
 17 m 2
2
GPS,Asteet, minuutit ja sekunnit
1° = 60 kulmaminuuttia = 60’
( 1 kulmaminuutti = 1’ = 60 kulmasekuntia = 60”
mutta GPS:ssä ei yleensä käytetä kulmasekunteja)
Esim. Muuta desimaalimuotoon (asteiksi) 27° 15’
15 ’ = 15 / 60 astetta = 0,25°
27° 15’ = 27,25°
Laskimella ei käytetä minuutteja:
sin 27° 15 ‘ = sin 27,25° ≈ 0,45787
GPS  lukema 27 35.125' desimaalimuotoon:
35.125’ = 35,125/60 astetta = 0,5854166°
27 35.125' = 27,585417
Kompassin suuntalukemat
N = 0° (=360°)
W=270°
E=90°
S=180°
Ympyrän osat
Piiri p = 2 R
(kehä, ympärysmitta)
Kaaren pituus =

Kaari

360
Ala =  R
Sektorin ala =

360
 2 R
2
  R2
Ympyrän säde on 8,50 cm.
Mikä on 72° keskuskulmaa vastaavan jänteen pituus?
Kulma  trigonometria
x
72 36
8,50 cm
x
sin 36 
8,50
x  8,50  sin 36
x  4,99617...
2 x  9,9923...
V: Jänne on 9,99 cm
Ympyrän säde on 8,50 cm. Mikä on 72°
keskuskulmaa vastaavan segmentin pinta-ala?
Kulma  trigonometria  Jänne = 9,99 cm
Segmentti = sektori - kolmio
Sektorin ala =
72
   8,502  45,396...
360
h
8,50
h  8,50  cos36  6,8766
cos36 
9,99  6,8766
2
 34,348
Kolmion ala =
Segmentin ala = 45,396 cm2 - 34,348 cm2 =11 cm2
Faroksen majakka oli 140 m korkea
Kuinka kauas majakan valo näkyi?
b
6370 km

0,140 km
6370 km
Majakan huippu keskipisteestä
6370 +0,140 km = 6370,14 km
6370 km
6370,14km
6370
-1
  cos (
)  0,3798638...
6370,14
cos  
0,3798638...
kaari b 
 2  6370km
360
 42 km
Vastaus: 42 km päähän
Tangenttikulma ja keskuskulma
Tangentti on kohtisuorassa sädettä vastaan
    90




Tangenttikulma 2β
Keskuskulma 2α
Tehtävä
x
72
 36
2
Maapallo näkyy miehitetystä
avaruusaluksesta 72º kulmassa.
Mikä on aluksen korkeus
maanpinnasta.?
6370
sin 36 
x
6370
x
 10837
sin 36
Etäisyys maasta on 10837-6370 = 4467
Vastaus 4500 km
”TÖRPÖT” (LIERIÖ)
Kansi ja pohja ovat samanlaisia
TILAVUUS = POHJAN ALA • KORKEUS
VAIPAN ALA = POHJAN PIIRI • KORKEUS
”SUIPOT” (kartiot, pyramidit)
Pohjan ala  korkeus
Tilavuus =
3
Kartio
Sivujana s = R  h
2
s
h
R
2
Pohjan ala  korkeus
Tilavuus =
3
 R2  h
3
Vaipan ala =   R  s
Kartion sivujana on 3,2 cm ja pohjan säde 1,8 cm.
Kuinka suuri on kartion vaipan ala ja kartion tilavuus?
Vaipan Ala =  rs
r h
2
Tilavuus =
S=3,2 cm
3
Vaippa = π·1,8cm·3,2cm=18 cm2
h
1,82 +ℎ2 = 3,22
h = (3,2cm) 2  (1,8cm) 2  2,6457cm
r = 1,8 cm
Tilavuus =
 r2h
3

  1,82  2, 6457
3
cm3  9, 0 cm3
Pallo
Pinta-ala = 4 R
R
4 R
Tilavuus =
3
2
3
Asteet, minuutit ja sekunnit
1° = 60 kulmaminuuttia = 60’
( 1 kulmaminuutti = 1’ = 60 kulmasekuntia = 60” )
Esim. Muuta desimaalimuotoon (asteiksi) 27° 15’
15 ’ = 15 / 60 astetta = 0,25°
27° 15’ = 27,25°
sin 27° 15 ‘ = sin 27,25° ≈ 0,4579
Mikä on matka A ja B välillä, jos ne ovat samalla
pituuspiirillä (meridiaanilla). A on 70° pohjoista
leveyttä ja B 80° eteläistä leveyttä? Maan säde 6370 km
N
A 70° pohjoista leveyttä
Kulma AOB = 150°
O
0°
Kaari AB=
150
 2  6370 km
360
AB ≈ 16 700 km
B 80° eteläistä leveyttä
S
V: 16 700 km
Laske Helsingin ja Tokion etäisyys. Maapallon ympärysmitta on
40 000 km. Helsinki ja Tokion välinen kaari on 72 astetta.
Helsinki
x=?
72
Tokio
p = 40 000 km
72
x
 40 000 km=8 000 km
360
Vastaus: Etäisyys on 8 000 km
Tai säteen
avulla:
72
 2  6370 km  8004,77... km  8000 km
360