1. No category

Kalkulus 1 - Opgaver
Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis
20. januar 2015
Mængder
Opgave 1
Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation.
a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1 til og med 100.
b) En mængde B indeholder alle rationelle tal større end
1
3
og mindre end 7.
c) En mængde C indeholder alle tal i 4-tabellen.
d) En mængde D indeholder alle positive ulige tal.
e) En mængde E indeholder alle de reelle talsæt (x, y), hvor y er 3 gange x.
Opgave 2
Opskriv følgende mængder på listeform
a) {x ∈ R | 4x2 − 4x − 3 = 0}
b) {x ∈ Z | 4x2 − 4x − 3 = 0}
c) {x ∈ N | x går op i 12}
Opgave 3
Reducer følgende intervaller hvis muligt.
a) Bestem (4, 7) ∪ [5, 9] og (4, 7) ∩ [5, 9].
b) Bestem (−2, 9) ∪ (8, 10] og (−2, 9) ∩ [8, 10].
c) Bestem [−2, 5] ∪ (−3, 9] og [−2, 5] ∩ (−3, 9].
d) Bestem [0, 4] ∪ (−5, 11] og [0, 4] ∩ (−5, 11].
e) Bestem (−2, 1] ∪ (2, 5] og (−2, 1] ∩ (2, 5].
1
Opgave 4
Betragt mængderne
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 5, 7, 9}
C = {2, 4, 6, 8}
a) Tegn et Venn-diagram af de tre mængder.
b) Bestem A ∪ B
c) Bestem A ∩ C
d) Bestem A ∪ B ∪ C
e) Bestem A ∩ B ∩ C
Opgave 5
Lad A, B, C være mængder. Tegn Venn-diagrammer der illustrerer følgende situationer:
a) A ⊆ B ⊆ C
b) A ⊆ C, B ⊆ C og A ∩ B = ∅
c) A ∩ B ⊆ C, men hverken A eller B er delmængder af C.
Opgave 6
Tegn følgende mængder i et koordinatsystem
a) A = {1, 2, 3} × {1, 2, 3}
b) B = {(x, y) ∈ R2 | |x| + |y| ≤ 1}.
c) C = [2, 4) × (−1, 3].
d) D = {(x, y) ∈ R2 | y = 2x + 1}.
e) E = {(x, y) ∈ R2 | |x + y| ≤ 1}.
Opgave 7 (svær)
a) En mængde C indeholder alle de punkter i R2 , der ligger inden i (og altså ikke på) en
cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0). Opskriv mængden med korrekt mængdenotation.
b) En mængde K indeholder alle de punkter i R3 , der ligger inden i eller på en kugle
med radius 2 og centrum i punktet (0, 0, 0). Opskriv mængden med korrekt mængdenotation.
2
Opgave 8
Betragt mængderne
C1 = {(x, y) ∈ R2 | (x − 1)2 + y 2 = 1}
C2 = {(x, y) ∈ R2 | (x + 1)2 + y 2 = 1}
Bestem C1 ∩ C2 .
Opgave 9 (svær)
I denne opgave betragter vi planen R2 .
a) Opskriv mængden af alle de punkter, som har afstanden 1 eller mindre til punktet
(2, 2).
b) Opskriv mængden af alle de punkter, som har afstanden r eller mindre til punktet
(a, b), hvor a, b, r ∈ R.
Opgave 10 (Georg Mohr konkurrencen, 2. runde 1991)
Betragt den reelle talplan R2 .
a) Bestem mængden af alle de punkter, der ligger dobbelt så langt fra punktet P = (3, 0)
som fra punktet O = (0, 0).
b) Tegn mængden.
Opgave 11
a) Vis at
{x ∈ R |
1
1
< 16} ⊆ {x ∈ R | x > }
2
x
5
b) Vis at
{(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1} ⊆ {(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}
Opgave 12 (svær)
Bestem
∞
\
[−1, 1 −
1
]
n
[−1, 1 −
1
]
n
n=1
og vis at din påstand er korrekt.
Opgave 13 (svær)
Bestem
∞
[
n=1
og vis at din påstand er korrekt.
3
Opgave 14
I denne opgave skal vi vise, at et ”rektangel”, hvor den ene side har længden 2 og den anden
side er uendelig lang kan dækkes af uendeligt mange enhedscirkler uden at cirklerne på noget
sted stikker ud over rektanglets kanter. Lad os først få et overblik over vores rektangel.
a) Tegn mængden
R = {(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ y ≤ 1}
i et koordinatsystem.
Mængden af punkter, der ligger i en cirkelskive med radius r og centrum i (a, b), hvor a, b ∈ R
betegnes
C((a, b), r) = {(x, y) | (x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2 }
Lad os nu betragte mængderne
Ct ((t, 0), 1) = {(x, y) | (x − t)2 + y 2 ≤ 1}
for alle t ∈ R. Disse mængder udgør en familie med R som indeksmængde.
b) Tegn foreningen af familiens mængder
[
Ct
t∈R
i et koordinatsystem
c) Vis at
[
Ct = R
t∈R
Mængden af punkter, der ligger på en periferien af en cirkel med radius r og centrum i (a, b),
hvor a, b ∈ R betegnes
P ((a, b), r) = {(x, y) | (x − a)2 + (y − b)2 = r2 }
Betragt nu mængderne
Pt ((t, 0), 1) = {(x, y) | (x − t)2 + y 2 = 1}
for alle t ∈ R. Disse mængder udgør en familie med R som indeksmængde.
d) Vis at
[
Pt =
t∈R
[
t∈R
4
Ct
Funktionsbegrebet
Opgave 15
Vi betragter funktionen f : R → R givet ved forskriften
f (x) = 3x − 2
Bestem f (0), f (2) og f (−2).
Opgave 16
Vi betragter funktionen g : R → R givet ved forskriften
g(x) = 2x + 3
Løs ligningen g(x) = 18.
Opgave 17
Vi betragter funktionerne f og g, som de er defineret i opgave 15 og 16. Lad Gf betegne
grafen for f og lad Gg betegne grafen for g.
a) Tegn graferne for de to funktioner i et koordinatsystem.
b) Opskriv graferne med korrekt mængdenotation.
c) Bestem Gf ∩ Gg . (HINT: Løs ligning f (x) = g(x))
Opgave 18
Vi får at vide, at om en funktion f : R → R gælder, at den kan beskrives med en regel på
formen
f (x) = ax + b
hvor a, b ∈ R. Desuden får vi at vide, at f (0) = 0 og f (2) = 4. Bestem a og b.
Opgave 19
Vi betragter funktionen p : R → R givet ved forskriften
p(x) = 4x2 + 4kx + k 2
Bestem k så p(−2) = 0.
Opgave 20
Vi betragter funktionen f : R → R givet ved forskriften
f (x) = ax + a
Bestem a så f (a) = 0.
Opgave 21
Det oplyses at en funktion f : R → R opfylder at
f (xy) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ R
Vis at f (1) = 0. Vis herefter at f ( x1 ) = −f (x) for alle x ∈ R.
5
Opgave 22
Vi betragter en funktion f , som opfylder
f (x + 1) = xf (x) + 2
for alle reelle tal x. Bestem f (2).
Opgave 23 (GM 1999)
En funktion f opfylder
f (x) + xf (1 − x) = x
for alle reelle tal x. Bestem tallet f (2). Bestem en forskrift for f .
6
Modeller med funktioner
Opgave 24
En bil kører ud af en vej med en konstant hastighed på 75 km/t. Definer en funktion, f , der
beskriver, hvor langt bilen er nået som funktion af tiden, t. Det betyder, at du skal vælge et
domæne, et kodomæne og opstille en forskrift for funktionen.
Opgave 25
To taxaselskaber har forskellige priser. Selskab 1 har et startgebyr på 30 kr.,og prisen pr. km
er 21 kr. Selskab 2 har et startgebyr på 10 kr. og prisen pr. km er 26 kr.
a) Opstil prisen for en taxatur hos hhv. selskab 1 og selskab 2 som funktion af antal km.
b) Hvilket selskab er billigst at køre med, hvis turen er 5 km lang?
c) Findes der nogen ture, hvor de to selskaber er lige dyre? Hvilke(n)?
Opgave 26
Anne og Peter løber om kap på en bane. De tager begge skridt af 1,6 meter, men Peter tager
sine skridt 1,5 gange så hurtigt som Anne. Anne starter 8 meter inde på banen, mens Peter
starter fra starten.
a) Definer en funktion, A(x), der angiver hvor langt Anne er kommet på banen som
funktion af antal skridt, x, hun har taget.
b) Definer en funktion, P(x), der angiver hvor langt Peter er kommet, som funktion af
antal skridt Anne har taget, x.
c) Hvor mange skridt når Anne at tage inden Peter har indhentet hende?
7
Polynomier
Opgave 27
Bestem rødderne i følgende polynomier. Bestem desuden f (0) for hvert polynomium.
a) f (x) = x2 − 1
b) f (x) = x2 + 5x + 6
c) f (x) = −x2 − 5x − 6
d) f (x) = 2x2 + 6x + 4
e) f (x) = −x2 + 5x − 6
f ) f (x) = x3 − x2 − 6x
g) f (x) = 4x2 − x + 2
Opgave 28
Bestem toppunktet for følgende polynomier og skitser dem.
a) f (x) = x2 − 1
b) f (x) = x2 + 5x + 6
c) f (x) = −x2 − 5x − 6
d) f (x) = 2x2 + 6x + 4
e) f (x) = −x2 + 5x − 6
f ) f (x) = 4x2 − x + 2
Opgave 29
En funktion f : R → R, som opfylder at f (−x) = f (x) kaldes en lige funktion, mens en
funktion som opfylder f (−x) = −f (x) kaldes en ulige funktion. Vis at funktionen givet ved
forskriften
g(x) = x4 + x2
er en lige funktion. Hvilken linje er alle lige funktioner symmetrisk omkring?
Vis herefter at funktionen givet ved forskriften
f (x) = x3 + x
er en ulige funktion. Hvilke linjer er alle ulige funktioner spejlinger omkring?
8
Sammensatte funktioner
Opgave 30
Definer funktionerne f : R → R, g : R → R og h : R → R ved følgende forskrifter
1
g(x) = 3x2 ,
h(x) = 3x − 6
f (x) = x + 2,
3
Bestem forskriften for følgende sammensatte funktioner
a) f ◦ g(x)
b) g ◦ f (x)
c) h ◦ g(x)
d) f ◦ h(x)
e) h ◦ f (x)
Hvad gælder om funktionerne f og h?
9
Inverse funktioner
Opgave 31
Tegn følgende funktioner og afgør ud fra grafen, om de er injektive, surjektive eller bijektive.
Find den inverse, hvis den eksisterer.
a) f : R → R, hvor f (x) = 2x
b) f : R → R, hvor f (x) = 4x
c) f : R → R, hvor f (x) = ax
d) f : R → R, hvor f (x) = 2x + 1
e) f : R → R, hvor f (x) = 3x + 3
f ) f : R → R, hvor f (x) = ax + b
Opgave 32
Tegn følgende funktioner (evt. på computer) og afgør ud fra grafen, om de er injektive,
surjektive eller bijektive. Vælg X og Y (så store som muligt), så funktionen bliver bijektiv,
og find herefter den inverse funktion.
a) f : X → Y , hvor f (x) = x2
b) f : X → Y , hvor f (x) = x3
√
c) f : X → Y , hvor f (x) = x
d) f : X → Y , hvor f (x) =
1
x
e) f : X → Y , hvor f (x) = x2 + 2x (svær)
Opgave 33
Betragt funktionen f : R → R givet ved forskriften
f (x) = x3 + 2x2
Du får at vide, at f har lokalt maksimum i x = − 34 . Indel R i intervaller, så f er injektiv på
hvert interval.
10
Generelle egenskaber ved funktioner
Lad f : X → Y være en funktion og lad A ⊆ X være en delmængde af X. Mængden
f (A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A : f (x) = y}
kaldes billedet af A under f . Intuitivt indeholder mængden alle funktionsværdierne hørende
til elementerne i A.
Opgave 34
Betragt funktionen f : R → R givet ved forskriften
f (x) = x2
a) Bestem f ([−1, 1])
b) Bestem f (∅)
c) Bestem f (R)
Opgave 35
Betragt nu funktionen f : R → R givet ved forskriften
f (x) = x3 − 4x
a) Løs ligningen f (x) = 0.
b) Tegn en skitse af grafen for f .
c) Bestem f ({r1 , r2 , r3 }), hvor r1 , r2 og r3 betegner rødderne, som du fandt i spørgsmål
a).
Lad f : X → Y være en funktion og lad B ⊆ Y være en delmængde af Y . Mængden
f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}
kaldes urbilledet af B under f . Intuitivt indeholder mængden alle x ∈ X, hvor funktionsværdien af x ligger i B.
11
Opgave 36
Betragt funktionen f : R → R givet ved forskriften
f (x) = 2x2 + 2x − 4
a) Bestem f −1 ({0})
b) Bestem f −1 ([−5, 0])
c) Bestem f −1 ({8})
d) Bestem f −1 ({−10})
Opgave 37
Vi betragter funktionen f : X → Y og delmængderne A, B ⊆ X og C, D ⊆ Y .
Afgør om følgende udsagn er sande. Hvis du mener et udsagn er sandt, skal du bevise det,
og hvis du mener det er falsk, skal du give et modeksempel.
a) f (A) ∪ f (B) = f (A ∪ B)
b) f (A) ∩ f (B) = f (A ∩ B)
c) f −1 (C) ∪ f −1 (D) = f −1 (C ∪ D)
d) f −1 (C) ∩ f −1 (D) = f −1 (C ∩ D)
12
Eksponentielle udviklinger
Opgave 38
Du har 1000 kr., som du gerne vil sætte i banken. Banken giver dig 5% i rente pr. år.
a) Opstil en funktion f : N → Q, der beskriver hvor mange penge, du har stående på
din konto efter x år.
b) Hvorfor er funktionens domæne N?
c) Hvor mange penge har du på din konto efter 10 år?
Opgave 39
Forstil dig, at du har et stykke papir med arealet 100cm2 . Du folder nu papiret på midten.
Herefter folder du igen papiret på midten, osv.
a) Hvor stort er arealet, når du har foldet papiret 3 gange? 4 gange?
b) Opstil en funktion f : N → Q, der beskriver hvor stort arealet er, når du har foldet
papiret x gange.
c) Hvorfor er funktionens kodomæne Q?
d) Omskriv forskriften for f , så den har formen f (x) = ba−x .
13
Opgave 40
Du har besluttet dig for, at du har brug for en tur i en varm sauna. Men saunaen er kun stuetemperatur, dvs. 20◦ C. Efter du har tændt for saunaen kan du se på saunaens termometer,
at temperaturen i saunaen stiger med 4◦ C pr. minut indtil temperaturen i saunaen er 80◦ C.
Herefter er temperaturen konstant.
a) Opstil en funktion f : [0, ∞) → R, der beskriver temperaturudviklingen i saunaen.
b) Hvorfor er funktionens domæne [0, ∞)?
c) Hvorfor er funktionens kodomæne R?
Efter halv time i saunaen har du fået nok. Derfor slukker du for saunaen og åbner vinduet
for at køle saunaen ned igen. Antag at det er vinter og temperaturen udenfor er 0◦ C. Når
vinduet åbnes falder temperaturen hurtigt i starten, men efterhånden som temperaturen
i saunaen nærmer sig 0◦ C falder temperaturen langsommere, fordi forskellen i temperatur
udenfor og inden i saunaen bliver mindre. For at kunne beskrive temperaturudviklingen har
du besluttet at indsamle data om temperaturudviklingen. Da saunaen når op på 80◦ C åbner
du vinduet og kigger på saunaens termometer. Hvert minut noterer du temperaturen, hvilket
fører til følgende skema.
Tid i minutter
Temperatur i ◦ C
0 1
2
3
80 72 64,8 58,32
d) Hvor mange procent falder temperaturen hvert minut?
e) Antag at temperaturen bliver ved med at falde på denne måde. Opstil en funktion
f : [0, ∞) → R, der beskriver temperaturen i saunaen efter vinduet er åbnet som
funktion af tiden.
f ) Opstil en funktion der beskriver temperaturen i saunaen fra du tænder den, til den
er fuldstændigt afkølet.
g) Skitser funktionen i et koordinatsystem.
14
Eksponential- og logaritmefunktioner
Opgave 41
Udregn følgende.
a) log8 (64) =
b) log3 (27) =
c) log3 (1) =
d) log4 (64) =
e) log4 (1) =
f ) log√2 (2) =
Opgave 42
Vi betragter funktionen f : R → R+ givet ved forskriften f (x) = ax , hvor a > 1.
a) Bestem f (0) for ethvert a.
b) Hvad sker der med f (x) når x bliver meget negativ (nærmer sig −∞)?
c) Antager funktionen nogensinde værdien 0? Hvorfor? Hvorfor ikke?
d) Hvad sker der med f (x), når x bliver meget stor?
e) Skitser grafen for f .
Opgave 43
Vi betragter funktionen g : R+ → R givet ved forskriften g(x) = loga (x), hvor a ∈ R+ .
a) Bestem g(1) for ethvert a.
b) Hvad sker der med g(x) når x nærmer sig 0?
c) Bestem g(0). Har udtrykket mening? Hvorfor? Hvorfor ikke?
d) Har loga (x) mening for x < 0? Hvorfor? Hvorfor ikke?
e) Hvad sker der med g(x), når x bliver meget stor?
f ) Skitser grafen for g.
g) Sammenlign din skitse af g med din skitse af f fra opgave 42. Hvad ser du?
15
Opgave 44 (svær)
Lad a, b ∈ R+ .
a) Vis at ln(a) + ln(b) = ln(ab)
b) Vis at ln(a) − ln(b) = ln( ab )
c) Vis at ln(an ) = n · ln(a)
d) Vis at ln(x) = ln(a) · loga (x)
Opgave 45
Benyt logaritmeregnereglerne til at reducere følgende udtryk mest muligt.
a) ln(8) + ln(2) − ln(4) =
b) ln(8) + ln(4) − ln(2) =
c) ln(4) − 2 ln(2) =
d) ln(4) − ln(2) + ln(5) =
e) ln(81) − ln(9) − ln(3) =
f ) ln(e) − ln(1) + ln(e2 ) + ln(6) − ln(2) + ln(3) =
Opgave 46
Løs følgende ligninger.
a) ln(5x) = 0
b) 10x = 7
c) ln(x) = 1, 3
d) ln(4x) = 1
e) ln(12x + 40) = −2
f ) eln(x−1)+1 = e
Opgave 47 (opgave 38 fortsat)
Hvor mange år går der, før der står (mere end) 1 mio. kr på kontoen?
Opgave 48 (opgave 39 fortsat)
Hvor mange gange skal papiret foldes, hvis arealet skal være mindre end 1cm2 ?
16
Trigonometriske funktioner
Opgave 49
Brug enhedscirklen til at bestemme følgende værdier for sinus og cosinus.
a) cos(0) =
b) sin(0) =
c) cos( π2 ) =
d) sin( π2 ) =
e) cos(π) =
f ) sin(π) =
g) cos( 32 π) =
h) sin( 32 π) =
i) cos(2π) =
j) sin(2π) =
Opgave 50
a) Argumenter ud fra enhedscirklen for at cos( π4 ) = sin( π4 ).
b) Bestem cos( π4 ). (HINT: Brug Pythagoras’ sætning)
c) Bestem sin( 34 π)
Opgave 51
På næste side finder du en skitse af enhedscirklen. Angiv koordinater til alle punkter, der er
markeret på skitsen. Udnyt dine resultater fra opgave 49 og opgave 50.
Opgave 52
Vi har set at grader og radianer er to sider af samme sag, nemlig at måle vinklers størrelse.
Benyt nu enhedscirklen til at omregne fra grader til radianer.
a) En vinkel V er 90 grader. Hvor mange radianer er vinklen?
b) En cirkel er 360 grader. Hvor mange radianer er en cirkel?
c) En vinkel U er 60 grader. Hvor mange radianer er vinklen?
d) Kan du opstille en generel formel for hvordan man omregner fra grader til radianer?
17
y
π
2
π
4
3π
4
π
2π
5π
4
7π
4
3π
2
x
Opgave 53
Vis at sin2 (x) + cos2 (x) = 1. (HINT: Brug samme ide som i opgave 50 spørgsmål b))
Opgave 54
Vi betragter to ligedannede trekanter 4ABC og 4A1 B1 C1 . At trekanterne er ligedannede
betyder, at den ene er en forstørrelse af den anden, altså
a · k = a1 ,
b · k = b1 ,
c · k = c1 ,
k∈R
Specielt har de to trekanter ens vinkler.
a) Vis at
a1
b1
c1
=
=
a
b
c
b) Vis nu at
b1
b
=
c
c1
Det oplyses nu at trekanterne er retvinklede og c = 1. Herunder ses en skitse af de to
trekanter.
b1
c1
a1
d) Vis at sin(A) =
c1
c) Vis at cos(A) =
Betragt en vilkårlig retvinklet trekant. De to korte sider kaldes kateter, mens den længste
side kaldes hypotenusen. Lad V betegne en af de to spidse vinkler.
e) Forklar hvorfor følgende formler altid gælder
cos(V ) =
hosliggende katete
hypotenusen
19
sin(V ) =
modstående katete
hypotenusen
Opgave 55 (svær)
I denne opgave skal du bevise additionsformlen for sinus
sin(x + y) = sin(y) cos(x) + sin(x) cos(y)
Delopgaverne vil give dig alle de byggesten du har brug for til at vise sætningen. Derfor er
det vigtigt, at du løser delopgaverne i alfabetisk rækkefølge. Nendenfor ser du en skitse af
enhedscirklen. Alle referencer til punkter og linjer i opgaven er til skitsen. Punkterne G og
F er afsat ved at bevæge sig henholdsvis afstanden y og x + y langs enhedscirklen.
a) Argumenter for at sin(x + y) = |BE| + |DF |.
b) Argumenter for at |BE| = sin(y) · |OE|.
c) Argumenter for at 4OAC og 4CEF er ensvinklede.
d) Argumenter for at då må 4OAC og 4DEF også være ensvinklede.
e) Argumenter for at |DF | = cos(y) · |EF |.
Ovenstående kan kombineres til
sin(x + y) = sin(y) · |OE| + cos(y) · |EF |
Vi mangler altså blot at argumentere for, at |OE| = cos(x) og |EF | = sin(x).
f ) Argumenter for at |OE| = cos(x). (HINT: Drej figuren med uret)
g) Argumenter for at |EF | = sin(x)
h) Sætningen er nu vist. Men har vi vist sætningen for alle x, y ∈ R? Er det et problem?
20
Opgave 56 (svær)
I denne opgave skal vi bruge additionsformlen for sinus til at vise additionsformlen for cosinus
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
Vi viser først to delresultater, som der bliver brug for i det endelige bevis.
π
a) Vis at sin x +
= cos(x).
2
π
π π
b) Vis at − sin(x) = cos x +
. (HINT: Undersøg sin x + −
)
2
2
2
π
c) Vis additionsformlen for cosinus. (HINT: Udnyt at sin x + y +
= cos(x + y))
2
Opgave 57 (svær)
En funktion sige at være lige hvis f (−x) = f (x) og ulige hvis f (−x) = −f (x). Vi skal nu
vise, at sinus er en ulige funktion, og cosinus er en lige funktion.
a) Vis at cos(x) sin(−x) + cos(−x) sin(x) = 0
b) Vis at cos(x) cos(−x) − sin(x) sin(−x) = 1
Vi er nu klar til at vise sinus og cosinus er henholdsvis ulige og lige. Det gøres ved at
opfatte ligningerne fra a) og b) som et kvadratisk ligningssysem, hvor cos(−x) og sin(−x)
er variable.
c) Løs ligningssystemet.
cos(x) sin(−x) + cos(−x) sin(x) = 0
cos(x) cos(−x) − sin(x) sin(−x) = 1
Hermed er det ønskede vist.
21
Grænseovergange
Opgave 58
Bestem følgende grænseværdier. Tegn eventuelt graferne for funktionerne.
a) Betragt f (x) = x og afgør f (x) → ? når x → 0
b) Betragt f (x) = x og afgør f (x) → ? når x → ∞
1
og afgør f (x) → ? når x → 0
x
1
d) Betragt f (x) = og afgør f (x) → ? når x → ∞
x
c) Betragt f (x) =
e) Betragt f (x) = x2 og afgør f (x) → ? når x → 0
f ) Betragt f (x) = x2 og afgør f (x) → ? når x → ∞
x
og afgør f (x) → ? når x → 0
x2
x
h) Betragt f (x) = 2 og afgør f (x) → ? når x → ∞
x
g) Betragt f (x) =
Opgave 59
Bestem følgende grænseværdier. Tegn eventuelt graferne for funktionerne.
a) Betragt f (x) = ex og afgør f (x) → ? når x → 0
b) Betragt f (x) = ex og afgør f (x) → ? når x → ∞
c) Betragt f (x) = ex og afgør f (x) → ? når x → −∞
ex
og afgør f (x) → ? når x → ∞
x
x
e) Betragt f (x) = x og afgør f (x) → ? når x → ∞
e
x
f ) Betragt f (x) = x og afgør f (x) → ? når x → −∞
e
d) Betragt f (x) =
Opgave 60
Bestem følgende grænseværdier. Tegn eventuelt graferne for funktionerne.
√
a) Betragt f (x) = x og afgør f (x) → ? når x → 0
√
b) Betragt f (x) = x og afgør f (x) → ? når x → ∞
√
x
c) Betragt f (x) =
og afgør f (x) → ? når x → ∞
x
√
x
d) Betragt f (x) =
og afgør f (x) → ? når x → 0
x
22