1. No category

Johannes Grønager
FYSIKKEN I MUSIKKEN OG
“DEN GODE STEMNING”
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
Fysikken i musikken og “den gode stemning”
© 2005 Johannes Grønager og Systime A/S
Kopiering fra denne bog må kun finde sted i
overensstemmelse med aftale mellem Copy-Dan
og Undervisningsministeriet.
Grafisk tilrettelæggelse og produktion:
Johannes Grønager
1. e-bogsudgave 2005
ISBN: 87-616-1346-0
Skt. Pauls Gade 25
DK-8000 Århus C
Tlf.: 70 12 11 00
www.systime.dk
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
INDHOLD
Fysikken i musikken og “den gode stemning”................. 4
Konsonans og dissonans ................................................... 8
Ren stemning og tempereret stemning ........................... 12
Interferens mellem toner................................................... 15
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
4
Fysikken i musikken og
”den gode stemning”
af Johannes Grønager
Vi skal i det følgende se på, hvilke fysiske realiteter og matematiske systemer, der
ligger bag musikkens skalaer og intervaller, og vi skal se, at den tempererede stemning
ikke er naturgiven, men at den er et acceptabelt kompromis, vi har valgt at bruge i vores
kulturkreds.
I fysikken beskriver man en tone ved dens frekvens. Frekvens betyder svingninger pr.
sekund, og måles i enheden Hertz, som forkortes Hz. Hvis en højttaler afgiver en tone,
der har en frekvens på 200 Hz, betyder det altså, at højttalerens membran svinger frem
og tilbage 200 gange i sekundet. En tone, der kun indeholder én frekvens, kaldes en
sinustone, idet dens svingninger har form som en sinuskurve. Med en tonegenerator kan
man lave rene sinustoner.
Vi skal i det følgende se på toner fra strengeinstrumenter, da de er lettest at illustrere,
men det foregår i princippet på helt samme måde i de fleste andre instrumenter. På
strengeinstrumenter skabes tonerne ved at strenge sættes i svingninger. Hvis vi f.eks.
knipser eller stryger med en bue på a-strengen på en violin, hører vi tonen a, der har en
frekvens på 440 Hz. Når en streng svinger, udsender den imidlertid ikke bare én tone,
men en hel række toner i et bestemt mønster. Dette skyldes, at en svingende streng, der
svinger med hele sin længde, samtidig også svinger med halvdelen af sin længde, med
⅓ af sin længde, ¼ af sin længde osv. som vist herunder.
Vi kalder disse forskellige toner, for strengens partialtoner. Den 1. partialtone, som
svinger med den laveste frekvens, er strengens grundtone, mens de øvrige partialtoner
er strengens overtoner. Det er som regel grundtonen, vi hører tydeligst, men det er
overtonerne, som giver tonen dens særlige klang. Når vi tydeligt kan høre forskel på et
a, der spilles på en violin, og et a, der spilles på et klaver, skyldes det i høj grad, at de to
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
5
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
toner har forskellige mønstre af overtoner. Mønstret af overtoner kan måles og
illustreres i et såkaldt klangspektrum, der viser partialtonernes frekvenser, og hvor
kraftige de er i forhold til hinanden. Det kan f.eks. se således ud:
y/
100
80
60
40
20
f/ Hz
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
Partialtonernes frekvenser er altid et helt tal gange grundtonens frekvens. Hvis vi kalder
grundtonens frekvens f1 og frekvensen af den n’te partialtone fn, hvor n er et helt tal, kan
vi skrive det således:
fn = n · f1
En sådan række af frekvenser kaldes en harmonisk serie.
Eksempel: Hvis grundtonens frekvens er 100 Hz, vil partialtonernes frekvenser da være
følgende: f1 = 100 Hz, f2 = 200 Hz, f3 = 300 Hz, f4 = 400 Hz, f5 = 500 Hz, f6 = 600 Hz osv.
På en guitar kan man relativt let høre de forskellige partialtoner, ved at spille de såkaldte
flageolettoner. Hvis man med en finger berører strengen præcis på midten, dæmper man
derved grundtonen, og man hører tydeligt den 2. partialtone. Tilsvarende kan man høre
den 3. partialtone ved at berøre strengen ved ⅓ af dens længe, hvorved de to laveste
partialtoner dæmpes. Ved at berøre strengen ved ¼ af dens længde høres den 4.
partialtone osv.
Hvis vi lytter til partialtonerne for en svingende streng, f.eks. ved at spille flageolettoner
på en guitar, kan vi høre, at der er bestemte intervaller mellem partialtonerne.
I musiklæren kalder man afstanden mellem to toner for et interval. Vi skal i det
følgende se, at der er ganske bestemte forhold mellem frekvenserne af tonerne i de
forskellige intervaller.
Lad os i det følgende for nemheds skyld se og høre på en svingende streng med en
grundtone på 100 Hz.
Hvis vi lytter til 1. og 2. partialtone efter hinanden, kan vi høre at intervallet mellem
disse to toner er en oktav. Da frekvensen af den 2. partialtone er det dobbelte af den 1.
200 Hz 2
partialtones frekvens, er forholdet mellem de to toners frekvenser
= .
100 Hz 1
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
6
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
Det gælder altså, at for en oktav er forholdet mellem tonernes frekvenser 2/1.
Hvis vi lytter til 2. og 3. partialtone efter hinanden, kan vi høre at intervallet mellem
disse to toner er en kvint. Forholdet mellem disse to toners frekvenser er 3/2.
Hvis vi lytter til 3. og 4. partialtone efter hinanden, kan vi høre at intervallet mellem
disse to toner er en kvart. Forholdet mellem disse to toners frekvenser er 4/3.
Fra musikteori ved vi at en kvint og en kvart tilsammen giver en oktav. Kvinten og
kvarten er omvendingsintervaller. Hvis vi ser på forholdet mellem frekvenserne for 2.
og 4. partialtone er dette 4/2, hvilket netop giver forholdet 2/1 – altså en oktav. Det
passer i øvrigt også med, at 3/2 · 4/3 = 2/1
Lytter vi videre finder vi ud af, at der er en stor terts mellem 4. og 5. partialtone, en lille
terts mellem 5. og 6. partialtone og en stor sekund mellem nr. 8 og 9. Intervallerne
bliver altså mindre og mindre jo højere man kommer op i rækken. Mellem nr. 15 og 16
kommer den lille sekund.
Rækken af de første 16 partialtoner for et dybt c kan skrives på noder som vist herunder.
Partialtonernes nummer står mellem systemerne og tonernes frekvenser er skrevet under
noderne (NB: Frekvenserne svarer ikke til tonernes frekvenser i tempereret stemning):
ú
b
ú
ú
ú
ú
ú
#
ú
ú
ú
&
ú ú bú
ú
?ú ú ú
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
66
132
198
264
330
396
462
528
594
660
726
792
858
924
990
1056
Vi kan her se, at en del af intervallerne ligger imellem to på hinanden følgende toner i
overtonerækken, og vi kan ud fra dette definere deres frekvensforhold. Herunder ses et
skema over disse:
Oktav
Kvint
Kvart
Stor terts
Lille terts
Stor sekund
Lille sekund
2/1
3/2
4/3
5/4
6/5
9/8
16/15
De intervaller, der mangler i ovenstående skema, kan vi også finde i overtonerækken.
Den lille sekst finder vi således mellem den 5. og den 8. partialtone og dens
frekvensforhold bliver da 8/5. Den lille sekst er omvendingsinterval til den store terts,
hvilket betyder at en stor terts og en lille sekst tilsammen giver en oktav. Vi kan se, at
dette passer med at 5/4 · 8/5 = 2/1.
Den store sekst findes mellem den 3. og den 5. partialtone, og dens frekvensforhold
bliver da 5/3. Den store sekst er omvendingsinterval til den lille terts, og vi kan se, at
dette passer med at 6/5 · 5/3 = 2/1.
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
7
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
Den store septim findes mellem partialtonerne nummer 8 og 15, og frekvensforholdet
bliver her 15/8. Den store septim er omvendingsinterval til den lille sekund, og dette
passer med, at 15/8 · 16/15 = 2/1.
Den lille septim kan vi finde flere steder i overtonerækken. De laveste partialtoner, der
har en afstand på en lille septim er den 4. og den 7. med frekvensforholdet 7/4. Der er
ligeledes en lille septim mellem den 9. og den 16. partialtone med frekvensforholdet
16/9. De to små septimer er ikke lige store. Den første, som man kalder ”naturseptimen”
er den mindste, men det er den anden, der passer med at være omvendingsinterval til
den store sekund, idet 16/9 · 9/8 = 2/1.
Tritonusintervallet ligger også flere steder. Vi vælger her muligheden med de laveste
partialtonenumre. Mellem den 5. og den 7. partialtone findes en tritonus med
frekvensforholdet 7/5.
I skemaet herunder ses alle intervallerne inden for en oktav med angivelse af deres
frekvensforhold både som brøk og som decimaltal.
Lille
Stor
sekund sekund
16/15
9/8
1,067
1,125
Lille
terts
Stor
terts
6/5
5/4
Ren Tri- Ren
kvart tonus kvint
4/3
7/5
3/2
Lille
sekst
Stor
sekst
8/5
5/3
1,200 1,250 1,333 1,400 1,500 1,600 1,667
Lille
Stor
septim septim
Oktav
7/4
15/8
2/1
1,750
1,875
2,000
Eksempel: Når man skal beregne frekvensen af en tone som ligger et bestemt interval over en
anden tone, skal man gange dennes frekvens med intervallets frekvensforhold. En stor sekund
op fra tonen a med frekvensen 440 Hz er tonen h med frekvensen 9/8 440 Hz = 495 Hz.
Overtonerækken indeholder altså alle intervallerne, men vi kan også se, at
overtonerækken ud fra det dybe c indeholder næsten alle tonerne i en C-dur skala. Der
mangler kun tonen f, men denne tone ligger jo en kvart over c, og kvarten kender vi. En
kvart har frekvensforholdet 4/3, så ud fra dette kan vi fastlægge tonen f.
Intervallerne og durskalaen er altså ikke noget, nogen tilfældigvis har fundet på – de er
faktisk givet fra naturens side, idet de ligger i overtonerækken. Når man spiller én tone
på et strengeinstrument, spiller man faktisk samtidig alle intervallerne og det meste af
durskalaen!
Som vi kan se, kommer den lille septim (tonen b) tidligere i overtonerækken end den
store septim (tonen h). Man kan derfor hævde, at den mixolydiske skala, der indeholder
tonen b i stedet for h, er den mest ”naturlige”, idet dens toner ligger længst nede i
overtonerækken.
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
8
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
Konsonans og dissonans
Når vi spiller de forskellige intervaller f.eks. på et klaver, kan vi høre at nogle
intervaller klinger renere og mere harmonisk end andre. I musikteorien skelner man
mellem konsonanser og dissonanser. Konsonans betyder med-lyd, dissonans betyder
mod-lyd. En konsonans er et interval, vi opfatter som velklingende, mens en dissonans
er et interval, der lyder mere skurende. Sekunder og septimer er dissonanser mens de
øvrige intervaller er konsonanser. Blandt konsonanserne klinger oktav, kvint og kvart
særligt rent, og man kalder dem for fuldkomne konsonanser. Vi skal i det følgende se, at
der er en meget konkret fysisk forklaring på kvaliteten af de forskellige intervaller.
Vi ser for nemheds skyld på en tone med grundfrekvensen 100 Hz. Partialtonerne vil da
have frekvenser, der er n · 100 Hz, hvor n et helt tal. En tone, som er en oktav højere, vil
have en grundfrekvens, som er dobbelt så stor, altså 200 Hz. Denne tones partialtoner
har da frekvenser, der er n · 200 Hz. Herunder er vist klangspektrene for de to toner,
hvor vi kan se partialtonernes frekvenser for de to toner:
y/
100
80
60
40
20
f/ Hz
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
y/
100
80
60
40
20
f/ Hz
200
100
200
400
300
400
600
500
600
800
700
800
1000
900
1000
1200
1100
1200
Som det ses er alle partialtonerne i klangspekret for den øverste tone i oktaven allerede
til stede i klangspektret for den dybeste tone i oktaven. Når man spiller en oktav tilføjes
altså ikke noget nyt i forholdt til blot at spille den dybe tone. Klangen ændres lidt, fordi
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
9
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
nogle af partialtonerne forstærkes, men der er ingen nye frekvenser. Dette er
forklaringen på, at oktaven er så unik i musikalsk sammenhæng. Da overtonespektret er
sammenfaldende for de to toner i oktaven, opfatter vi de to toner som meget ens, og det
er forklaringen på, at to toner med oktavafstand har det samme navn.
Ser vi på en ren kvint, hvor den dybeste tone har frekvensen 100 Hz, vil den øverste
tone have frekvensen 3/2 · 100 Hz = 150 Hz. Denne tones partialtoner har da frekvenser
på n · 150 Hz. Klangspektrene for disse to toner ser således ud:
y/
100
80
60
40
20
f/ Hz
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
y/
100
80
60
40
20
f/ Hz
150
100
200
300
300
450
400
500
600
600
750
700
800
900
900
1050
1000
1100
1200
1200
Vi kan se, at her er hver anden partialtone i den øverste tone allerede tilstede i
klangspektret for den nederste tone, men samtidig kan vi også se, at der tilføjes nye
frekvenser i klangen, når de to toner spilles samtidigt i forhold til kun at spille den dybe.
Vi kan på tilsvarende måde undersøge hvilke sammenfald der er mellem partialtonerne i
de forskellige intervaller. Lad os her blot se på yderligere to nemlig stor terts, der er en
ufuldkommen konsonans, og stor sekund, der er en dissonans.
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
10
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
For en ren stor terts er grundfrekvensen for den øverste tone: 5/4 · 100 Hz = 125 Hz.
Partialtonernes frekvenser for denne tone er n · 125 Hz og frekvensspektrene for de to
toner ser således ud:
y/
100
80
60
40
20
f/ Hz
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
y/
100
80
60
40
20
f/ Hz
125
100
250
200
300
375
400
500
500
625
600
750
700
800
875
900
1000
1000
1125
1100
1200
Vi kan se, at for den store terts er der nogle sammenfald imellem partialtonerne, hvilket
gør, at vi opfatter den som en konsonans. Men der tilføjes også en del nye frekvenser –
flere end der gør ved kvinten. Dette er forklaringen på, at tertsen i musikalsk
sammenhæng opfattes som en mere fyldig samklang end kvinten. Man taler ligefrem til
tider om en tom kvint, for at understrege dette forhold.
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
11
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
For en stor sekund er grundfrekvensen for den øverste tone: 9/8 · 100 Hz = 112,5 Hz.
Partialtonernes frekvenser for denne tone er n · 112,5 Hz og frekvensspektrene for de to
toner ser således ud:
y/
100
80
60
40
20
f/ Hz
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
225
337,5
y/
100
80
60
40
20
f/ Hz
112,5
100
200
300
450
400
562,5
500
600
675
700
787,5
900
1012,5
800
900
1000
1125
1100
1200
Her kan vi se, at vi skal et godt stykke oppe i overtonerækken, før der kommer
sammenfaldende frekvenser, og at der dermed tilføjes temmelig mange nye frekvenser,
når de to toner klinger sammen. Så mange at det ikke længere lyder helt så harmonisk,
og vi opfatter derfor sekunden som en dissonans.
Betragter vi klangspektrene for de forskellige intervaller, kan vi se, at der er en tydelig
sammenhæng mellem antallet af sammenfaldende partialtoner og oplevelsen af klangen.
For dissonanserne er der langt imellem de sammenfaldende partialtoner. For de
ufuldkomne konsonanser er der en del sammenfald, men også en del nye frekvenser, der
giver samklangen fylde. For de fuldkomne konsonanser er der flest sammenfald af
partialtoner.
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
12
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
Ren stemning og tempereret stemning
Når instrumenter skal spille sammen, må de nødvendigvis være stemt ens, for at det
klinger godt. Som udgangspunkt for at stemme sit instrument bruger man derfor en
bestemt tone, som man kalder kammertonen. Dette er tonen a, som er fastlagt til at være
440 Hz. Spørgsmålet er nu, hvordan man stemmer de øvrige toner på instrumentet. Man
kan f.eks. tage udgangspunkt i intervallerne, der ligger i overtonerækken.
De intervaller, vi får ud af overtonerækken, kaldes rene intervaller, fordi de klinger
pænt og rent, og der er sammenfald mellem partialtonerne. Tilsvarende kaldes den
durskala, der kommer ud af at anvende overtonerækkens rene intervaller, for ren
stemning. De rene intervaller bruges i nogle musikkulturer – f.eks. i den indiske
klassiske musikkultur – men i vores vestlige musikkulter er der visse problemer med de
rene intervaller og den rene stemning, som vi skal se på i det følgende.
Den klassiske indiske musik bygger ligesom vores musik på en skala. Men i
modsætning til vores musik klinger skalaens grundtone (og i øvrigt også kvinten) som
en drone gennem hele musikstykket. Der er ikke nogle harmonier i form af akkorder
ligesom i vores musik. Den musikalske spænding opbygges først og fremmest melodisk
i forholdet mellem meloditonerne og den vedholdende klang af grundtonen. Det er altså
altid samklangen mellem meloditone og grundtone, der er afgørende. Musik som er
bygget op på den måde kaldes modal, og man vil i den type musik naturligt vælge at
spille rene klange – altså rene intervaller og dermed ren stemning.
I middelalderen lavede man også i Europa musik, der var modal, men efterhånden
begyndte europæerne at lave flerstemmig musik, og der opstod derved samklange i form
af akkorder. Nogle af disse akkorder lyder ikke godt i ren stemning. Ligeledes ville man
gerne kunne spille i forskellige tonearter på det samme instrument. Det kan heller ikke
lade sig gøre med ren stemning – med mindre man stemmer hele instrumentet om, hver
gang man skifter toneart.
Lad os se lidt nærmere på den rene stemning, og de problemer der er i den. Herunder
ses en C-dur skala skrevet på noder. Under noderne er skrevet hver tones frekvens i ren
stemning, og under hver tone står tillige frekvensforholdet mellem denne tone og tonen
c, som er skalaens grundtone.
& w w w w w w w w
264
297
330
352
396
440
495
528
1/1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
2/1
Hvis man på et instrument, der er stemt i ren stemning ud fra tonen c, spiller en C-dur
treklang (tonerne c, e og g), vil den klinge rent og pænt. Både tertsen mellem c og e og
kvinten mellem c og g er jo rene. Tilsvarende er treklangene F-dur, G-dur, E-mol og Amol også rene. Spiller man derimod en Dm-treklang (tonerne d, f og a), klinger den helt
forfærdeligt. Ser vi på forholdet mellem tonernes frekvenser, kan vi godt forstå hvorfor.
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
13
Kvinten mellem d og a er ikke ren – den er alt for lille. Når vi har stemt a som en ren
stor sekst over c bliver frekvensen 5/3 · 264 Hz = 440 Hz. Hvis a skulle være en ren
kvint over d, skulle frekvensen være 3/2 · 297 Hz = 445,5 Hz. Dette er en tydeligt
hørbar forskel. Den lille terts mellem d og f er heller ikke ren. En ren lille terts over d
skulle have frekvensen 6/5 · 297 Hz = 356,4 Hz.
Der er flere problemer ved den rene stemning. Mellem c og d er en stor sekund med
frekvensforholdet 9/8. Mellem d og e er der også en stor sekund, men her er
frekvensforholdet 10/9. De to store sekunder er altså ikke ens.
Gennem tiden har der været givet mange forslag til, hvordan man skal stemme
instrumenterne. De fleste metoder – som vi i øvrigt ikke skal komme nærmere ind på
her – tager udgangspunkt i at kvinterne skal være rene. I princippet kan man jo stemme
alle tonerne på et klaver ved at stemme rene kvinter rundt i kvintcirklen og med
passende mellem rum gå en ren oktav ned. Hvis man går 12 kvinter op og 7 oktaver ned
ender man på den samme tone, som man startede på. Det er bare det problem at 12 rene
kvinter og 7 oktaver ikke er lige store. Når man går 7 oktaver op, skal man gange
frekvensen med 2 syv gange. For 7 oktaver er frekvensforholdet altså 27 =128. Når man
går 12 rene kvinter op skal man gange frekvensen med 3/2 tolv gange. For tolv rene
kvinter er frekvensforholdet altså (3/2)12 = 129,7.
Vi kan se, at 12 kvinter altså er noget større end 7 oktaver.
Den løsning, vi bruger i dag, blev udviklet i 1700-tallet og kaldes ligesvævende
tempereret stemning. Princippet i den tempererede stemning er, at oktaven skal være
ren, og de 12 halvtonetrin, der ligger indenfor en oktav, skal være lige store. Vi skal
altså finde ud af, hvad frekvensforholdet skal være for den lille sekund, for at det
kommer til at passe.
Eksempel: Kan den lille sekund, som ligger i overtonerækken, med frekvensforholdet 16/15
mon bruges? Vi kan prøve at beregne størrelsen af tolv små sekunder, og se om det passer
med en oktav:
(16/15)
12
= 2,169
Dette er en del større end en oktav, og denne lille sekund er altså for stor.
Hvis vi kalder frekvensforholdet for den lille sekund x, skal det altså gælde, at x12 = 2.
Dette giver x = 12 2 = 1,05946.
Vi kan nu beregne frekvensforholdene for de øvrige intervaller ved at tælle, hvor mange
halvtonetrin de indeholder.
Eksempel:
2
En stor sekund indeholder to halvtonetrin, altså er frekvensforholdet 1,05946 = 1,122.
7
En kvint indeholder 7 halvtonetrin, altså er frekvensforholdet 1,05946 = 1,498.
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
14
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
Hvis vi sammenligner den tempererede kvint, der har frekvensforholdet 1,498, med den
rene kvint, der har frekvensforholdet 3/2 = 1,500, kan vi se, at den tempererede kvint er
en lille smule mindre end den rene kvint.
I skemaet herunder er vist frekvensforholdene for de rene intervaller øverst (som brøker
og decimaltal) og nederst for de tempererede intervaller (som decimaltal):
Lille
Stor
sekund sekund
Lille
terts
Stor
terts
Kvart
Tritonus
Kvint
Lille
sekst
Stor
Lille
Stor Oktav
sekst septim septim
16/15
1,067
9/8
1,125
6/5
5/4
4/3
7/5
3/2
8/5
5/3
1,200 1,250 1,333 1,400 1,500 1,600 1,667
7/4
1,750
15/8
1,875
2/1
2,000
1,059
1,122
1,189 1,260 1,335 1,414 1,498 1,587 1,682
1,782
1,888
2,000
Vi kan se på tallene for frekvensforholdene, at det især er tertserne og seksterne, hvor de
tempererede intervaller afviger en del fra de rene intervaller.
Herunder ses en C-dur skala hvor tonernes frekvenser er angivet i hhv. ren stemning og
tempereret stemning. Kammertonen er i begge stemninger valgt som udgangspunkt.
& w w w w w w w w
264
297
330
352
396
440
495
528
261,6
293,7
329,6
349,2
392,0
440,0
493,9
523,3
Som vi kan se, er alle andre intervaller end oktaven en lille smule urene – nogle mere
end andre. Når intervallerne er rene, har de to toner som nævnt en række fælles
partialtoner. Når intervallerne ikke er rene, vil disse partialtoner ikke være helt ens, men
en smule forskellige. I det følgende afsnit skal vi se på, hvad det betyder for
samklangen.
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
15
Interferens mellem toner
Hvis to tonegeneratorer med hver sin højttaler afspiller to sinustoner med næsten
samme frekvens – f.eks. 440 Hz og 441 Hz – vil de to toner interferere på en sådan
måde, at der skiftevis er konstruktiv og destruktiv interferens. På illustrationen herunder
er vist, hvordan to bølger med næsten samme frekvens interfererer. Der er konstruktiv
interferens ved K, hvor to bølgetoppe mødes, og destruktiv interferens ved D, hvor en
bølgetop og en bølgedal mødes. Øverst ses de to bølger hver for sig, og nederst er vist
den samlede bølge:
Vi kan se, at den nederste bølge, som altså er summen af de to øverste, er en bølge med
skiftende amplitude. Man hører dette som en tone, der varierer regelmæssigt i styrke.
Man kalder dette for svævninger eller stødtoner, da de kraftige styrkevariationer opleves
som stød. Frekvensen af stødene er lig med forskellen på de to oprindelige toners
frekvenser. Hvis de to toner har frekvenserne 440 Hz og 441 Hz, vil stødfrekvensen
altså være 1 Hz. Dette betyder, at man vil høre ét stød pr. sekund. Hvis frekvensforskellen er 2 Hz, vil man høre 2 stød pr. sekund osv.
Når man skal stemme et instrument kan man udnytte stødtonefænomenet. Mens man
spiller to toner, der skal have samme frekvens, kan man variere frekvensen af den ene,
mens man lytter efter stødtonerne. Når stødtonerne forsvinder, er frekvenserne af de to
toner ens. Hvis man vil stemme to strenge, så der er et interval på en kvint eller en kvart
imellem dem – som det er tilfældet på hhv. en violin og en guitar – kan man med lidt
øvelse lytte efter de stødtoner, der opstår mellem overtonerne. Når stødtonerne
forsvinder stemmer strengene i en ren kvint eller ren kvart.
På nogle instrumenter – f.eks. en harmonika – udnytter man stødtonefænomenet til at
skabe en fyldigere klang på instrumentet. Hvis vi lytter igen til tonerne fra de to
tonegeneratorer, kan vi høre, at den musikalsk set kedelige sinustone, vi hører, når de to
frekvenser er nøjagtig ens, straks får mere fylde og musikalsk liv, når vi ændrer den ene
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
15
frekvens en lille smule, så der opstår svævninger. På en harmonika udnytter man dette
fænomen på den måde, at der til hver tangent er to toner, som er stemt en lille smule
forskelligt, og når de lyder samtidigt får man da den vibrerende klang, som
svævningerne giver. Når der således er to toner til hver tangent, siger man, at der er to
registre. På harmonikaen kan man slå de forskellige registre til og fra, således at man
derved kan variere klangen. Når kun det ene register er slået til er klangen ren og uden
svævninger, mens klangen er fyldig og vibrerende, når begge registre er slået til, og der
opstår svævninger.
Som nævnt er frekvensen af stødene lig med forskellen i frekvenserne mellem de to
toner, der interfererer. Hvis vi med de to tonegeneratorer langsomt øger frekvensen af
den ene tone, kan vi høre at stødene gradvist kommer hurtigere og hurtigere –
stødfrekvensen øges langsomt. Når stødfrekvensen bliver større end ca. 20 Hz, vil
stødfrekvensen i sig selv danne en tone, som vi kan høre som en meget dyb tone. Dette
fænomen at to toner interfererer og derved danner en tredje tone kaldes differenstoner,
idet frekvensen af den tredje tone netop er differensen mellem frekvenserne af de to
toner, der interfererer. Nogle musikere og komponister – f.eks. Per Nørgård – udnytter
bevidst dette fænomen i deres musik til at danne dybe toner, som ingen altså spiller,
men alene opstår som et interferensfænomen mellem toner, der spilles.
Det er en velkendt oplevelse, at en opadgående kvint peger ”ud” mens en opadgående
kvart peger ”hjem”. Sagt på en anden måde vil man i en kvint opleve den nederste tone
som grundtone (”hjemme”), mens man i en kvart vil opleve den øverste tone som
grundtone, når intervallerne spilles isoleret. At det forholder sig således kan fænomenet
differenstoner give os en forklaring på.
Hvis vi ser på en ren kvint mellem kammertonen a på 440 Hz og tonen e på 660 Hz, er
differensen mellem frekvenserne 660 Hz – 440 Hz = 220 Hz. Når de to toner spilles
samtidigt, dannes altså en tredje tone med frekvensen 220 Hz. Dette er netop et a en
oktav under kammertonen idet 220 Hz = ½ · 440 Hz. Differenstonen er altså et dybt a,
som giver en oplevelse af a som grundtone.
Hvis vi nu går en ren kvart op fra tonen e på 660 Hz kommer vi til en tone med
frekvensen 4/3 · 660 Hz = 880 Hz, hvilket er et a en oktav over kammertonen.
Differensen mellem disse to toner er 880 Hz – 660 Hz = 220 Hz. Også i dette tilfælde er
differenstonen et dybt a, som giver en oplevelse af a som grundtone. Der er altså her en
nøje sammenhæng mellem den musikalske oplevelse og de fysiske realiteter, der ligger
bag.
I en stor terts har man også en klar fornemmelse af den nederste tone som grundtone.
Lad os se på, hvordan det forholder sig med differenstonen. En ren stor terts op fra
kammertonen a er et cis med frekvensen 5/4 · 440 Hz = 550 Hz. Differenstonen har
frekvensen 550 Hz – 440 Hz = 110 Hz. Dette er et a to oktaver under kammertonen, idet
2 · 2 · 110 Hz = 440 Hz.
Lad os se på hvordan det forholder sig med den lille terts. En ren lille terts op fra tonen
cis er et e med frekvensen 6/5 · 550 Hz = 660 Hz. Differenstonen har frekvensen
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.
16
Fysikken i musikken og ”den gode stemning”
660 Hz – 550 Hz = 110 Hz, hvilket ligesom ovenfor er et a to oktaver under
kammertonen. Det betyder, at når man spiller en lille terts, klinger faktisk en hel
treklang, hvor differenstonen er grundtonen – i dette tilfælde en A-dur treklang!
Herunder ses på noder de fire intervaller kvint, kvart, stor terts og lille terts i det øverste
system og deres differenstoner i det nederste system:
w #w #w
w w w
& w
? w
Lad os vende tilbage til at se på den veltempererede stemning. Vi kan se, at når
intervallerne ikke er helt rene betyder det altså, at der vil opstå svævninger mellem de
partialtoner, som skulle være sammenfaldende. Lad os f.eks. se på en kvint mellem
tonerne a og e. Hvis a har grundtonefrekvensen 440 Hz, vil et e en ren kvint over have
grundtonefrekvensen 3/2 · 440 Hz = 660 Hz. Et e, som ligger en veltempereret kvint
over a, vil have grundtonefrekvensen 1,4983 · 440 Hz = 659,2 Hz.
Herunder ses partialtonernes frekvenser for et a med grundtonefrekvens 440 Hz, og et e
en ren kvint over samt et e en veltempereret kvint over.
a
Rent e
Temp. e
440
880
1320
1760
2200
2640
3080
3520
3960
660
1320
1980
2640
3300
3960
659,2
1318,5
1977,8
2637,0
3296,3
3955,5
Vi kan se, at for den rene kvint er der en del af partialtonerne, der har nøjagtig samme
frekvens. For den veltempererede kvint er de kun næsten sammenfaldende. Det betyder,
at den veltempererede kvint egentlig er en lille smule falsk, og der vil opstå svævninger
mellem de partialtoner, der er næsten ens. Svævningsfrekvensen er som nævnt lig
forskellen mellem de to partialtoners frekvenser, og vi kan se, at den her ligger mellem
1 Hz og 5 Hz. Dette vil man ikke nødvendigvis opleve som en falsk og grim klang, men
stadig som en konsonant klang, der blot er lidt fyldigere som følge af svævningerne
mellem partialtonerne – ligesom når harmonikaen spiller med to registre.
For de øvrige intervaller gælder det på samme måde, at der i den veltempererede
stemning vil opstå svævninger mellem partialtonerne, men ikke mere end det stadig kan
opleves som behageligt fyldigt og ikke ubehageligt falsk – selvom grænsen mellem
disse to oplevelser er flydende, og i høj grad afhænger af, hvad man er vant til i sin
kulturkreds.
Ideer til opgaver:
Undersøg renheden af akkorderne i den rene stemning.
Undersøg differenstonerne for kvint, kvart og terts i tempereret stemning.
Undersøg sammenfaldet af overtoner i kvart, lille terts, lille sekund, sekster og septimer.
© 2005 Johannes Grønager og Systime
Dette materiale tilhører Chuck Norris, paedritr@guerrillamail.org. © Forfatterne og Systime A/S 2008. Misbrug vil blive retsforfulgt.