1. No category

Kortprojektioner L4 2015
2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort
Første fundamentalform og forvanskninger.
Lisbeth Fajstrup
Institut for Matematiske Fag
Aalborg Universitet
L4 April 2015
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
1 / 38
Sidste gang:
Sætning:
Der findes ikke noget kort, der har konstant målestok.
Sætning:
Der findes ikke noget kort, der bevarer både vinkler og areal.
Den gode nyhed
Der findes kort, der bevarer vinkler
Der findes kort, der bevarer areal.
Der findes kort, der sender storcirkler i storcirkler (men så bevarer det
ikke vinkler)
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
2 / 38
Hvad er målforhold??
s
S.
m(γ) =
P = γ(0), m(P, γ) =
af punktet P og retningen, γ 0 (t)
Lisbeth Fajstrup (AAU)
s(t)
limt→0 S(t)
Kortprojektioner L4 2015
Målforhold
Idag: Målforhold afhænger
April 2015
3 / 38
Sidst
Muligt at regne på projektioner:
Planprojektioner (λ, ϕ) → r (ϕ)(cos λ, sin λ)
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
4 / 38
Stereografisk projektion
r (ϕ) =
2 cos ϕ
1+sin ϕ
Opgaver sidst: Længden af en breddecirkel før projektion 2π cos ϕ.
2 cos ϕ
Efter stereografisk projektion: 2π 1+sin
ϕ
m(Bϕ ) =
Lisbeth Fajstrup (AAU)
2
1 + sin ϕ
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
5 / 38
Ortografisk planprojektion
r (ϕ) = cos ϕ
m(Bϕ ) = 1
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
6 / 38
Gnomisk planprojektion
r (ϕ) =
cos ϕ
sin ϕ
m(Bϕ ) =
Lisbeth Fajstrup (AAU)
1
sin ϕ
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
7 / 38
Sidste gang i opgaver
Radius i en breddecirkel på kuglen med radius R er R cos ϕ
Målestok langs en breddecirkel for stereografisk projektion
m(Bϕ ) =
2
1 + sin ϕ
m(Bπ/2 ) = 1. Ellers m(Bϕ ) > 1
Generelt for planprojektioner (λ, ϕ) → r (ϕ)(cos λ, sin λ)
m(Bϕ ) =
Lisbeth Fajstrup (AAU)
r (ϕ)
cos ϕ
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
8 / 38
Spørgsmål
Hvordan beregnes målforholdet i et punkt og i en given retning?
Hvordan afgør man, om en given projektion er vinkeltro(konform),
arealtro,...?
Hvordan konstruerer man afbildninger, der er vinkeltro, arealtro,...?
Hvordan sørger man for, at målforholdet ikke afviger for meget fra
1 på et givet område? Nøjagtighedskrav
Redskaber:
Kurvelængde.
vinkler mellem kurver (næste gang)
arealberegning (næste gang)
Differentiation og kædereglen.
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
9 / 38
Kurver - analytisk beskrivelse
Grafer (x, f (x)).
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
10 / 38
Kurver - analytisk beskrivelse
Hvad med cirklen? - Ikke en graf...
Hvad med kurver i 3D?
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
11 / 38
Parameterfremstillinger for kurver
γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t), γ3 (t))
Eks.
α(t) = (R cos(t), R sin(t)) cirkel
~ + t ~v linje
β(t) = OP
γ(t) = (a cos(t), b sin(t)) ellipse
2
2
(ligning xa2 + yb2 )
µ(t) = (r cos(t), r sin(t), at) skruelinje
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
12 / 38
γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t), γ3 (t))
har hastighedsvektor (tangentvektor)
γ 0 (t) = (γ10 (t), γ20 (t), γ30 (t))
Fart:
0
|γ (t)| =
Lisbeth Fajstrup (AAU)
q
γ10 (t)2 + γ20 (t)2 + γ30 (t)2
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
13 / 38
En parametrisering er et valg af gennemløbsfart:
α(t) = (cos(2t), sin(2t))
|α0 (t)| = 2
β(s) = (cos(s3 ), sin(s3 ))
samme billedkurve - med passende valg af interval for t og s
|β 0 (s)| =
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
14 / 38
Kurver på kuglefladen

 

X
R cos(ϕ) cos(λ)
 Y  =  R cos(ϕ) sin λ) 
Z
R sin(ϕ)


2
R cos(2t) cos(t )
Eksempel: γ(t) =  R cos(2t) sin(t 2 )) 
R sin(2t)
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
15 / 38
Kurver på kuglefladen

 

X
R cos(ϕ) cos(λ)
 Y  =  R cos(ϕ) sin λ) 
Z
R sin(ϕ)


R cos(ϕ(t)) cos(λ(t))
γ(t) =  R cos(ϕ(t)) sin(λ(t)) 
R sin(ϕ(t))
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
16 / 38
Længden af et kurvestykke. Fra γ(t0 ) til γ(t1 )
Z
t1
s=
|γ 0 (t)|dt
t0
Ofte vanskeligt at regne ud - ikke pæne stamfunktioner. Eks.
buestykker i ellipser.
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
17 / 38
Målforhold
Archimedes’ arealtro cylinderprojektion
Målforhold langs længdegrader afhænger af φ.
Der “strækkes” langs breddecirkler og ”krympes“ langs meridianerne.
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
18 / 38
Målforhold
m(γ) =
Rb
a
|(f ◦γ)0 (s)|ds
Rb
a
|γ 0 (s)|ds
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Rt
m(P, γ) = limt→t0
t0
s
S
=
|(f ◦γ)0 (s)|ds
Rt
t0
|γ 0 (s)|ds
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
19 / 38
Målforhold
Rt
m(P, γ) = limt→t0
|(f ◦γ)0 (s)|ds
Rt
0
t |γ (s)|ds
t0
0
L’Hospitals regel (tænk på Taylorudvikling af tæller og nævner)
= lim
t→t0
d
dt
Rt
0
t0 |(f ◦ γ) (s)|ds
Rt
d
0
dt t0 |γ (s)|ds
=
|(f ◦ γ)0 (t0 )|
|Df (γ(t0 ))γ 0 (t0 )|
=
|γ 0 (t0 )|
|γ 0 (t0 )|
Altså m(P, γ 0 (t0 )) - punkt og retning.
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
20 / 38
Beregning af forvanskninger PRINCIP
Forvanskning ved X̃
Forvanskning ved X
X (λ, ϕ) koordinater på kuglen/ellipsoiden. X̃ (λ, ϕ) er kortet.
Ønskes: Systematisk beregning - samme slags udregninger for X som
for X̃ .
BEREGNING af forvanskninger ved afbildning fra (λ, ϕ)-planen til
kuglen/ellipsoiden/et kort/...
Forvanskninger ved f er
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
21 / 38
Eksempel

 

X
R cos(ϕ) cos(λ)
X (λ, ϕ) =  Y  =  R cos(ϕ) sin λ) 
Z
R sin(ϕ)
X̃ (λ, ϕ) =
Lisbeth Fajstrup (AAU)
2 cos ϕ
(cos λ, sin λ)
1 + sin ϕ
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
22 / 38
Principskitse
Kurver i (λ, ϕ)-planen ↔ kurver på kuglen/ellipsoiden/i kortet. Via X og
X̃ . Kurver har formen X (λ(t), ϕ(t)) (eller X̃ (λ(t), ϕ(t)))
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
23 / 38
Eksempler


R cos(ϕ) cos(λ)
X (λ, ϕ) =  R cos(ϕ) sin λ) 
R sin(ϕ)
(λ(t), ϕ(t)) = (λ0 , t)
X (λ0 , t) er en parameterkurve
(λ(s), ϕ(s)) = (s, ϕ0 )
X (s, ϕ0 ) er en parameterkurve
X̃ (λ, ϕ) = (λ, ln(tan(π/4 + ϕ/2))) (Mercator projektionen)
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
24 / 38
Krumme koordinater
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
25 / 38
Systematisering af beregningerne
γ(t) = X(λ(t), ϕ(t))
Ønskes: Beregning af γ 0 (t) og |γ 0 (t)| - til brug i vinkel- og længde og
målforholdberegninger.
Værktøj: Kædereglen...
γ 0 (t) =
dγ
(t) = Xλ (λ(t), ϕ(t))λ0 (t) + Xϕ (λ(t), ϕ(t))ϕ0 (t))
dt
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
26 / 38
|γ 0 (t)|2 = γ 0 (t) · γ 0 (t) =
(Xλ (λ(t), ϕ(t))λ0 (t) + Xϕ (λ(t), ϕ(t))ϕ0 (t))·
(Xλ (λ(t), ϕ(t))λ0 (t) + Xϕ (λ(t), ϕ(t))ϕ0 (t)) =
Xλ (λ(t), ϕ(t)) · Xλ (λ(t), ϕ(t))(λ0 (t))2 +
2Xλ (λ(t), ϕ(t)) · Xϕ (λ(t), ϕ(t))λ0 (t)ϕ0 (t)
+Xϕ (λ(t), ϕ(t)) · Xϕ (λ(t), ϕ(t))(ϕ0 (t))2
Kortere - med indmaden i funktionerne underforstået
|γ 0 (t)|2 = (Xλ · Xλ )(λ0 (t))2 + 2(Xλ · Xϕ )λ0 (t)ϕ0 (t) + (Xϕ · Xϕ )(ϕ0 (t))2
Notation: E(λ, ϕ) = Xλ · Xλ , F (λ, ϕ) = Xλ · Xϕ , G(λ, ϕ) = Xϕ · Xϕ
|γ 0 (t)|2 =
E(λ(t), ϕ(t))(λ0 (t))2 + 2F (λ(t), ϕ(t))λ0 (t)ϕ0 (t) + G(λ(t), ϕ(t))(ϕ0 (t))2
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
27 / 38
Første fundamentalform
(ds)2 = E(dλ)2 + 2Fdλdϕ + G(dϕ)2
Den deformerede Pythagoras.
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
28 / 38
Første fundamentalform for kuglefladen


R cos ϕ cos λ
X(λ, ϕ) =  R cos ϕ sin λ 
R sin ϕ
Xλ (λ, ϕ) =
Xϕ (λ, ϕ) =
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
29 / 38
Første fundamentalform for kuglefladen


R cos ϕ cos λ
X(λ, ϕ) =  R cos ϕ sin λ 
R sin ϕ


−R cos ϕ sin λ
Xλ (λ, ϕ) =  R cos ϕ cos λ 
0


−R sin ϕ cos λ
Xϕ (λ, ϕ) =  −R sin ϕ sin λ 
R cos ϕ
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
30 / 38
Første fundamentalform for kuglefladen

 

−R cos ϕ sin λ
−R cos ϕ sin λ
E(λ, ϕ) = Xλ · Xλ =  R cos ϕ cos λ  ·  R cos ϕ cos λ  =
0
0
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
31 / 38
Første fundamentalform for kuglefladen

 

−R cos ϕ sin λ
−R sin ϕ cos λ
F (λ, ϕ) = Xλ · Xϕ =  R cos ϕ cos λ  ·  −R sin ϕ sin λ  =
0
R cos ϕ
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
32 / 38
Første fundamentalform for kuglefladen

 

−R sin ϕ cos λ
−R sin ϕ cos λ
G(λ, ϕ) = Xϕ · Xϕ =  −R sin ϕ sin λ  ·  −R sin ϕ sin λ =
R cos ϕ
R cos ϕ
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
33 / 38
Første fundamentalform for kuglefladen
E(λ, ϕ) = R 2 cos2 (ϕ), F (λ, ϕ) = 0, G(λ, ϕ) = R 2
Lisbeth Fajstrup (AAU)
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
34 / 38
Første fundamentalform for ellipsoiden


N · cos ϕ cos λ
X (λ, ϕ) =  N · cos ϕ sin λ 
N · (1 − e2 ) · sin ϕ
E = N 2 cos2 ϕ
F =0
G = M2
Hvor
a2
N=q
a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ
M=
Lisbeth Fajstrup (AAU)
a2 b 2
(a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ)3/2
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
35 / 38
Målforhold og første fundamentalform
m(P, γ 0 (t0 )) =
|(f ◦ γ)0 (t0 )|
=
|γ 0 (t0 )|
d e
| dt
(X(λ(t), ϕ(t)))(t0 )|
d
| dt
(X(λ(t), ϕ(t)))(t0 )|
m((λ, ϕ), γ 0 )2 =
Lisbeth Fajstrup (AAU)
e 0 )2
e 0 )2 + 2F
e λ0 ϕ0 + G(ϕ
E(λ
E(λ0 )2 + 2F λ0 ϕ0 + G(ϕ0 )2
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
36 / 38
Udregning af målforhold
Udregn koefficienterne til første fundamentalform for
kuglen/ellipsoiden , E, F og G
eF
e
Udregn koefficienterne til første fundamentalform for kortet, E,
e
og G
Målforholdet i retning efter kurven givet ved (λ(t), ϕ(t) fås af
m((λ, ϕ), γ 0 )2 =
Lisbeth Fajstrup (AAU)
e 0 )2
e 0 )2 + 2F
e λ0 ϕ0 + G(ϕ
E(λ
0
2
0
0
E(λ ) + 2F λ ϕ + G(ϕ0 )2
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
37 / 38
Målforhold og retning
Sætning
Målforholdet afhænger kun af punktet (λ, ϕ) og tangentretningen
γ 0 (t)
|(γ 0 (t))|
En retning er givet ved en vinkel: (λ0 , ϕ0 ) = (cos α, sin α) - f.eks. givet
ved en linje i (λ, ϕ)-planen (λ(t), ϕ(t)) = (λ0 + t cos α, ϕ0 + t sin α)
m(P, α)2 =
Lisbeth Fajstrup (AAU)
e sin2 α
e cos2 α + 2F
e cos α sin α + G
E
E cos2 α + 2F cos α sin α + G sin2 α
Kortprojektioner L4 2015
April 2015
38 / 38