1. No category

Matematik – repetition
Matematik – repetition
Fastighetsakademin, 2013
Fjärde upplagen, rev. 1a
Tryckt på Fastighetsakademin
Fastighetsakademin
J A Wettergrens gata 14, 421 30 Västra Frölunda
www.fastighetsakademin.se
Tel: 031-734 11 60, fax: 031-734 11 69
info@fastighetsakademin.se
Förord
Varför behöver man repetera matte inför skolstarten? Nio av tio sökande säger
att de har glömt den matematik de lärt i skolan och tycker att det är svårt. Men
matematik är ett ämne som är grundstenen för många andra ämnen, därför är
det viktigt att man repeterar och återupplivar sina kunskaper inför de fortsatta
studierna.
Kompendiet innehåller många lösta exempel och det finns förutom svar med
kommentarer även ledningar och fullständiga lösningar till ett urval av uppgifterna. Kompendiet täcker in allt väsentligt från gymnasiets kurser A- till Bnivå, men vi har lagt tonvikten vid de mer grundläggande färdigheterna samt
anpassat innehållet för de matematiska förkunskaper som krävs för vidare
studier i andra ämnen vid Fastighetsakademin, t.ex. byggfysik, elteknik och vvsteknik.
Du bör försöka att räkna samtliga tal i kompendiet. Ju mer du kan desto lättare
kommer det att bli.
Lycka till med dina studier!
juni 2013
Fastighetsakademin
– Innehållsförteckning –
Innehållsförteckning
1 Studietips ................................................................................................................... 11
Allmänna studietips.......................................................................................................................11
Matematiska studietips ..................................................................................................................12
Strategitips inför problemlösning...................................................................................................12
Antal decimaler .............................................................................................................................13
Avrundning ...................................................................................................................................13
Överslag ........................................................................................................................................13
2 De fyra räknesätten..................................................................................................... 14
Inledning.......................................................................................................................................14
Addition........................................................................................................................................15
Subtraktion ...................................................................................................................................16
Multiplikation...............................................................................................................................16
Division ........................................................................................................................................18
Potenser ........................................................................................................................................19
Tiopotenser ...................................................................................................................................19
Stora och små tal ...........................................................................................................................20
Prefix.............................................................................................................................................23
Prioriteringsregler..........................................................................................................................23
Räkneordning i uttryck .................................................................................................................23
Decimaltal.....................................................................................................................................26
Miniräknaren eller inte?.................................................................................................................26
Avrundning ...................................................................................................................................27
Avrundningsregler .........................................................................................................................27
Överslagsräkning ...........................................................................................................................29
Sammanfattning............................................................................................................................30
Antal gällande siffror .....................................................................................................................30
Tillämpade beräkningar.................................................................................................................32
Proportionellt................................................................................................................................32
Översikt ........................................................................................................................................34
3 Negativa tal ................................................................................................................ 35
Tallinjen och termometern............................................................................................................35
Addition av negativa tal .................................................................................................................38
Subtraktion av negativa tal ............................................................................................................39
Multiplikation med negativa tal.....................................................................................................40
Multiplikation 1............................................................................................................................40
Multiplikation 2............................................................................................................................41
Division med negativa tal ..............................................................................................................41
Översikt ........................................................................................................................................43
4 Bråkräkning................................................................................................................ 44
Hela och delar ...............................................................................................................................44
Addition och subtraktion av bråk ..................................................................................................44
Gemensam nämnare......................................................................................................................45
Multiplikation av bråk...................................................................................................................45
Division med bråk.........................................................................................................................46
Förkorta och förlänga ....................................................................................................................47
Översikt ........................................................................................................................................53
5a Formler och ekvationer ............................................................................................. 54
Exempel på problemlösning ..........................................................................................................55
Förenkling av uttryck ....................................................................................................................56
Formler .........................................................................................................................................56
Fastighetsakademin
7
– Innehållsförteckning –
Ekvationer .................................................................................................................................... 56
Ekvationer av första graden med flera obekanta (linjära ekvationssystem)...................................... 58
Översikt........................................................................................................................................ 62
5b Massa, densitet och tryck ..........................................................................................63
Påkänning .................................................................................................................................... 63
6 Procent .......................................................................................................................65
En procent och hundra procent .................................................................................................... 65
Vanliga problemtyper: .................................................................................................................. 69
Procent, promille och ppm ........................................................................................................... 70
Beräkning av procenttal och promille – division ........................................................................... 70
Förändringsfaktorn ....................................................................................................................... 71
Procent och procentenheter. ......................................................................................................... 73
Beräkning av procentsatsen och nya värdet ................................................................................... 75
Vilken procentsats? ....................................................................................................................... 76
Tre basproblem ............................................................................................................................ 76
Tillämpningar............................................................................................................................... 79
Översikt........................................................................................................................................ 83
7 Index...........................................................................................................................84
Konsumentindex .......................................................................................................................... 85
8 Statistik och diagram ..................................................................................................86
Lägesmått ..................................................................................................................................... 86
Tabeller ........................................................................................................................................ 87
Diagram ....................................................................................................................................... 88
Olika typer av diagram ................................................................................................................. 88
Stolpdiagram ................................................................................................................................ 88
Histogram .................................................................................................................................... 88
Stapeldiagram ............................................................................................................................... 89
Cirkeldiagram............................................................................................................................... 90
Linjediagram ................................................................................................................................ 91
Missbruk av statistik ..................................................................................................................... 91
9 Geometri ....................................................................................................................96
Mäta med linjal ............................................................................................................................ 96
Omkrets ....................................................................................................................................... 96
Längdenheter................................................................................................................................ 97
Area.............................................................................................................................................. 97
Cirklar.......................................................................................................................................... 98
Cylindrar, koner ........................................................................................................................... 98
Mantelarea.................................................................................................................................... 98
Areaenheter .................................................................................................................................. 99
Volym .......................................................................................................................................... 99
Volymenheter............................................................................................................................. 100
Trianglar och vinklar .................................................................................................................. 102
Pythagoras sats............................................................................................................................ 106
Kvadratrötter .............................................................................................................................. 107
Översikt...................................................................................................................................... 113
10 Trigonometri ..........................................................................................................114
11 Likformighet och skala............................................................................................125
Likformiga trianglar.................................................................................................................... 126
Andra likformiga figurer ............................................................................................................. 127
8
Fastighetsakademin
– Innehållsförteckning –
12 Lutning................................................................................................................... 133
13 Algebraiska uttryck och ekvationer ......................................................................... 135
Algebraiska uttryck ......................................................................................................................135
Förstagradsekvationer ..................................................................................................................138
Problemlösning med förstagradsekvationer ..................................................................................141
Lösa ut variabler i formler............................................................................................................143
Kvadratrötter...............................................................................................................................145
Andragradsekvationer ..................................................................................................................146
Allmänna andragradsekvationer...................................................................................................146
Repetion inför linjära funktioner .................................................................................................150
Att räkna med negativa tal...........................................................................................................150
Att multiplicera in ett tal i en parentes och att lösa ut en variabel i en formel...............................151
Funktionsbegreppet.....................................................................................................................152
Graf ............................................................................................................................................152
Tabell..........................................................................................................................................152
Formel ........................................................................................................................................152
När är y en funktion av x? ...........................................................................................................152
Funktion .....................................................................................................................................153
14 Blandad problemlösning......................................................................................... 157
Facit ............................................................................................................................ 160
Fastighetsakademin
9
10
Fastighetsakademin
– Kapitel 1: Studietips –
1 Studietips
Allmänna studietips
Att studera är ganska krävande och tar tid. Du har nu valt att studera och vi utgår från att du naturligtvis vill lyckas så bra som möjligt! Det är en konst att kunna prioritera rätt och använda sin tid för
studier så effektivt som möjligt. För att underlätta detta arbete för dig kommer här ett antal tips
som kan vara värdefulla, speciellt om du inte studerat på längre, för att du ska nå ditt mål.
1.
Börja med att fundera över din personliga situation och hur dina studier skall genomföras.
• Arbetar du hel- eller deltid?
• Har du barn och familj?
• Har du någon bra plats för dina studier?
Din tid är viktig! För att dina studier ska flyta på så bra som möjligt är det viktigt att vara ”ekonomisk” med tiden och utnyttja den på bästa sätt. Bästa utnyttjande av tiden förutsätter en bra plats
för studierna.
2.
När du väljer plats för ditt läsande är det bra om
• du kan stänga dörren om dig så att du kan vara ifred och koncentrera dig,
• du har plats för och ordning på dina böcker, pärmar m.m., så att du inte behöver ödsla tid
på att leta efter dina saker,
• du har bra belysning så att du inte blir så trött i ögonen,
• du möblerar så att det känns trivsamt.
Är det någon i klassen som bor i närheten av dig? Arbeta gärna tillsammans om ni kan! Det finns
möjlighet att stanna kvar varje dag efter lektionerna och sitta i våra lokaler. Att ha någon i närheten
att bolla sina idéer med, få inspiration av, knäcka problem tillsammans med är ovärderlig hjälp.
3.
Utveckla goda arbetsvanor.
• Se gärna dina studiepass som ett heltidsjobb. Sätt upp delmål som skall nås inom uppsatt
tid, avsätt regelbunden tid för varje pass, alla pass är viktiga, räcker inte studietiden får man
utöka den. På det här sättet kan alla bli bättre.
• Skaffa dig en översikt över vad kursen innehåller så att du kan sätta upp dina delmål. Har
boken sammanfattningar i slutet av varje kapitel blir det enkelt.
• Använd skolschema och kursbeskrivning för att planera dina studier så att du är förberedd
inför varje lektion och kan ställa frågor kring det du inte förstått.
• Gör din personliga tidsplanering utifrån dina förkunskaper.
4.
Fler tips!
• Läs igenom och begrunda eventuella lektionsanteckningar så fort som möjligt, och komplettera dem om det är nödvändigt medan du har allt färskt i ditt minne.
• Räkna och fundera, räkna och begrunda, räkna och reflektera! Att lära sig matematik är
som att lära sig ett nytt språk, matematikspråket.
• Läs boken med pennan i hand; stryk under, kommentera. Är något avsnitt svårt, märk ut
var det är (t.ex. skriv sidnumren i bokens pärm) och be om hjälp med det.
• Traggla inte i timtal om du kör fast på någon uppgift. Lägg bort den ett tag och räkna en
annan uppgift i stället. Återkom till den besvärliga uppgiften senare.
• Gör små pauser eftersom för långa pass gör dig trött. Ät och drick gärna lite mellan varven;
hjärnan arbetar ju när du tänker. En promenad, en tur i motionsspåret eller annan fysisk
aktivitet är också bra avbrott. Kroppen behöver röra på sig och det du läst och räknat faller
på plats under tiden.
Fastighetsakademin
11
– Kapitel 1: Studietips –
Matematiska studietips
• Läs igenom avsnittet om problemlösning nedan och tillämpa de metoder som beskrivs där.
• Tag för vana att rita och skriva upp det du känner (vet) i frågeställningen på ett papper så
klarnar ofta bilden av vad du skall räkna ut. Stryk under dina delresultat och ditt slutresultat. Redovisa till sist svaret separat. Studera noga alla exempel på lösningar.
• Bli ”vän” med din miniräknare. Olika märken har ibland olika beteckningar för samma
funktion.
Strategitips inför problemlösning
Hur gör man då när man löser ett problem?
1.
Du ska förstå problemet.
Vad söker man? Vad är givet? Verkar problemet rimligt? Rita en figur om det går. Inför
lämpliga beteckningar.
2.
Gör upp en plan.
Har du sett detta tidigare? Har du sett eller löst något liknande förut? Kan du dela in i
delproblem? Kan du lösa eventuella delproblem? Vilka fakta saknas?
Du måste tänka efter hur du ska lösa problemet och ställa upp de beräkningar du ska göra.
3.
Genomför planen.
Du måste genomföra beräkningarna för att få ett resultat. Kontrollera varje steg. Fungerar
det inte gör du upp en ny plan.
4.
Se tillbaka.
Är resultatet rimligt? Kan man lösa problemet på ett annat sätt? Är resultatet eller metoden
användbar i andra sammanhang?
Steg 3 är viktigt att kunna genomföra. Klarar man inte det får man inget resultat till problemet.
Beräkningarna kan utföras med
 huvudräkning
 handräkning
 räknare.
Före räknarens tid måste de flesta beräkningar utföras med handräkning. Nackdelar med detta är att
 de tar lång tid
 man kan lätt räkna fel
 verklighetsnära uppgifter kan sällan lösas då de ofta leder till för svåra beräkningar.
Vi tar därför hjälp av räknaren för svårare beräkningar. Enkla beräkningar kan du göra i huvudet.
Exempel 1: 7,01 × 8,3 utför du med räknare
7 × 8 räknar du i huvudet
Exempel 2: 16,1 / 4,3 utför du med räknare
16 / 4 räknar du i huvudet.
12
Fastighetsakademin
– Kapitel 1: Studietips –
Antal decimaler
När vi använder räknare är det naturligt att skriva upp talen med decimaler. Som följande exempel
visar måste vi dock se upp med antalet decimaler.
Exempel 3: Jenny köpte 19 äpplen för 37 kr.
Vad kostade ett äpple?
37
Räknaren ger
kr = 1,9473684… kr
19
Avrundning
Vi kan inte svara med 7 decimaler, då mynt för ören är avskaffade. Vid kontantbetalning måste
därför talet avrundas till heltal.
37
 2 kr
19
Tecknet  betyder
”ungefär lika med”.
Överslag
Ofta är det bra att göra ett överslag innan man använder räknare.
37 40

2
19 20
Fastighetsakademin
13
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
2 De fyra räknesätten
Inledning
Varför läser du ämnet matematik?
Det är för att du ska kunna lösa matematikproblem av olika slag som du möter i samhället, i arbetslivet och i flera andra ämnen under utbildningen. I vårt vardagsliv påverkas vi alla av matematik och
behöver enkla basfärdigheter för att klara oss i samhället.
Matematik är en urgammal vetenskap. Från början hade man bara behov av de hela positiva talen,
de som vi i dag kallar de naturliga. Naturliga tal är 0, 1, 2, 3 o.s.v.
Vårt talsystem är det s.k. tiosystemet, som är ett positionssystem. I ett positionssystem är det av
avgörande betydelse var siffran står i talet, d.v.s. vilken position den har.
127 betyder 1×100 + 2×10 + 7×1
0,123 betyder 1 × 0,1 + 2 × 0,01 + 3 × 0,001
Ordet aritmetik kommer av grekiskans ord för ’räknekonst’. Denna den del av matematiken arbetar
vanligen med de hela talen och de fyra enkla räknesätten. Ordet aritmetik används även som ”sifferräkning” (1 + 3), i motsats till algebra som är ”bokstavsräkning” (2a + b).
De fyra vanliga räknesätten är:
Addition
(plus)
Subtraktion
(minus)
Multiplikation
(gånger)
Division
(delat)
4 + 9 = 13
term + term = summa
15 – 7 = 8
term – term = differens/skillnad
4 × 8 = 32
faktor × faktor = produkt
51 / 17 = 3
täljare / nämnare = kvot
I tiosystemet, även kallat decimaltalsystemet, är basen 10 och siffrorna 0 till 9, med s.k. arabiska
siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9.
De arabiska siffrorna infördes i Europa på 1300-talet och är de mest använda i världen.
14
Fastighetsakademin
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Tiosystemet är överlägset andra talsystem när det gäller praktiska beräkningar. Datorer däremot
arbetar med 2-systemet, det binära systemet.
Ett binärt talsystem har två som bas och behöver bara två tecken, 1 och 0. Positionsvärdet multipliceras här med två för varje steg åt vänster. Så t.ex. är det binära talet 1011 uttryckt i det decimala
systemet detsamma som 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1 = 11.
Det binära systemet har kommit till användning särskilt inom datatekniken, där alternativen 1 och
0 kan motsvaras av två olika tillstånd hos en elektronisk krets eller ett magnetiskt medium.
Addition
Att addera är att lägga samman två eller flera tal till ett enda.
Räkneoperation 5 + 7 = 12 kallas en addition.
Två eller flera tal, termer, adderas till en summa.
Mellan termerna skrivs plustecken: a + b = s.
Term + term = summa.
Additionen är vad matematikerna kallar för kommutativ, d.v.s. summan är oberoende av termernas
ordningsföljd:
a + b = b + a, t.ex. 3 + 2 = 2 + 3
Med vardagligt språk är det enklast att säga:
”Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger ihop talen för svaret blir det samma i alla fall.”
Additionen är dessutom associativ, d.v.s. summan av termer kan bildas på olika sätt:
(a + b) + c = a + (b + c)
Endast storheter av samma slag får adderas.
Exempel 1: 2 cm + 5 cm = 7 cm
Exempel 2: 4 äpple + 2 päron + 5 äpple + 6 päron =
9 äpplen + 8 päron,
eller som en ekvation 4a + 2b + 5a + 6b = 9a + 8b
Beräkningar
1.
Ett jämnt naturligt tal slutar på någon av siffrorna _________
2.
Ett udda naturligt tal slutar på någon av siffrorna _________
3.
Vilket av talen är störst?
2 457
2 098
20 501
4.
Vilket av talen är minst?
9 689
2 121
20 105
5.
345 + 218 =
6.
756 + 89 =
7.
4 587 + 90 =
8.
2 010 + 756 =
9.
203 + 987 =
10. 345 + 67 =
Fastighetsakademin
15
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Subtraktion
Genom subtraktion beräknas skillnaden/differensen mellan två tal, eller ett tals överskott över ett
annat.
Räkneoperationen 14 – 9 = 5 kallas subtraktion. 14 och 9 kallas termer, och resultatet kallas en
differens.
Term – term = differens
Subtraktion och addition är motsatta räknesätt.
Subtraktion kan kontrolleras genom en addition:
14 – 9 = 5  5 + 9 = 14
Provet kallas subtraktionsprovet. Subtraktionen a – b = c är riktig, om c + b = a.
Endast storheter av samma slag får subtraheras.
Exempel 1: 7 cm – 5 cm = 2 cm
Exempel 2: 9a + 6b – 5a – 2b = 4a + 4b
Beräkningar
1.
34 – 6 =
2.
4 320 – 876 =
3.
7a – 3a =
4.
53 – 52 =
5.
132 – 65 =
6.
5 789 – 987 =
7.
543 – 345 =
8.
632 – 54 =
9.
9–3=
10. 540 – 340 =
Multiplikation
När man multiplicerar ett tal, är det i verkligheten detsamma som att addera det ett visst antal
gånger.
4 + 4 + 4 uppfattas som 3 gånger 4 och skrivs kort 3 × 4, 3  4, 3 · 4 eller 3 x 4.
Vid ekvationsberäkningarna och användning av formler utelämnas ofta multiplikationstecknet. Det
innebär att 2a = 2 × a = a + a.
Multiplikation är kommunikativ, d.v.s. ordningen spelar ingen roll: 4 × 3 = 3 × 4
Multiplikation är associativ. Parenteser kan tas bort och sättas dit godtyckligt i en produkt:
4 × 3 × 2 = (4 × 3) × 2 = 4 × (3 × 2)
16
Fastighetsakademin
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Multiplikation är distrubutiv över additionen: a(b + c)=ab + ac.
Multiplicerar man ett tal med 0 innebär det att man ska ta det 0 gånger vilket ger resultatet 0. Det
vill säga: En produkt är 0, då någon av faktorerna är 0: 3 × 0 = 0.
De sista siffrorna i talen ska stå under varandra i en multiplikation. Det betyder att man inte behöver tänka på heltal, decimaler o.s.v. För att få decimaltalet på rätt ställe i svaren kan man räkna
samman antalet decimaler i uppställningen, d.v.s. antal siffror efter decimaltecknet.
Beräkningar
1.
5 × 38 =
2.
3 × 13 =
3.
4,5 × 4,5 =
4.
4,5 × 100 =
5.
126 × 23 =
6.
123,4 × 0,6 =
7.
34 × 3 =
8.
908 × 607 =
9.
0,002 × 0,4 =
10. Hur flyttas siffrorna i positionssystemet när du multiplicerar ett tal med 10?
11. Inför en studieresa betalade 30 studenter 185 kr vardera. Hur mycket kostade resan?
a) Teckna den uträkning du ska göra.
b) Gör en överslagsberäkning.
12. När man ska sätta kakel över diskbänken, spisen och bänkskåpet går det åt 26 kakelplattor i
varje rad. Hur många plattor går det åt om man sätter fyra rader?
13. Du ska armera 4 st pelare på bottenvåningen av ett hus. Varje pelare
har 4 st stående 12, L=2 450, samt 14 st byglar 8.
a) Hur många 12 blir det sammanlagt till alla pelarna?
b) Hur många byglar blir det sammanlagt till alla pelarna?
c) Hur mycket väger 1 st 12, L=2 450 mm om 1,0 m väger 0,915 kg?
Fastighetsakademin
17
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Division
Det finns två typer av division:
Delningsdivision: Divisionen är att dela ett givet tal i ett visst antal lika stora delar.
Räkneoperationen 28/7 = 4 kallas en division. 28 kallas täljare, 7 kallas nämnare, resultatet av
divisionen (4) kallas kvoten.
Täljare/nämnare = kvot
Innehållsdivision:
Divisionen är även att finna hur många gånger ett tal innehålls i ett annat och detta angivs av kvoten.
Divisionen kan tecknas som ett bråk med ett kolon (a : b) eller med ett snedstreck (a / b). Även
tecknet ÷ förekommer.
Division och multiplikation är motsatta räknesätt.
Man kan inte dividera med 0.
Beräkningar
1.
63 / 7 =
2.
64 / 8 =
3.
90 / 10 =
4.
320 / 16 =
5.
555 / 5 =
6.
1 550 / 25 =
7.
Du ska kapa brädor till ett staket som är 8,55 m långt. Bräderna ska sitta med ett avstånd på
150 mm. Hur många brädor ska du kapa till?
8.
Två tårtor ska delas på 14 personer. Antag att alla vill ha lika stor del av tårtan. Hur många
bitar blir det på varje tårta?
9.
Hur flyttas siffrorna i ett positionssystem när du dividerar ett tal med 100?
10. Ett rött månadskort hos Västtrafik kostar 445 kr per månad. Om du istället köper s.k. 100kort för 100 kr kostar varje resa 12 kr. Hur många enkelresor måste du åka i månaden för att
det ska bli billigare att köpa ett månadskort?
18
Fastighetsakademin
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Potenser
En summa där alla termerna är lika kan skrivas som en produkt:
7+7+7=7×3
”7 gånger 3”
En produkt där alla faktorerna är lika kan skrivas som en potens:
3
7×7×7=7
”7 upphöjt till 3”
3
3
Observera att 7 × 3 och 7 är två olika tal: 7 × 3 = 21 och 7 = 343.
En potens består av bas och exponent.
3×3=3
2
exponent
bas
2
Exempel 1: 3 = 3 × 3 = 9
3
Exempel 2: 3 = 3 × 3 × 3 = 27
5
Exempel 3: 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
2
Exempel 4: 10 = 10 × 10 = 100
Tiopotenser
Potenser med talet tio som bas kallas tiopotenser:
1
10 = 10
2
10 = 10 × 10 = 100
3
10 = 10 × 10 × 10 = 1 000
4
10 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
5
10 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000
6
10
= 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1 000 000 (1 miljon)
..
. 9
..10 = ... = 1 000 000 000 (1 miljard)
. 12
10 = ... = 1 000 000 000 000 (1 biljon)
Observera att exponenten är lika med antalet nollor i det utskrivna talet.
Multiplikation och division
Vid multipikation av tiopotenser skall exponenterna adderas.
10 a  10 b  10 a  b
Vid division av tiopotenser skall exponenterna subtraheras.
10 a
 10 a b
10 b
Fastighetsakademin
19
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Stora och små tal
Genom att använda tiopotenser kan man skriva stora tal på ett bekvämt sätt.
6
6
miljoner = 6
× 10
6
6,5 miljoner = 6,5 × 10
6
6,25 miljoner = 6,25 × 10
6
(1 miljon = 10 )
De tre talen är av samma storleksordning vilket visar sig genom att exponenterna är lika.
Grundpotensform innebär att talet skrivs som en produkt av en tiopotens och ett tal som är större än
eller lika med 1 men mindre än 10.
6 250 000 = 6,25 × 10
tal mellan 1 och 10
6
tiopotens
Även för att skriva små tal behövs många siffror. Men här visar vi att man även kan skriva små tal i
grundpotensform.
1
1
Tiopotenser med negativ exponent: 0,001 = 1 tusendel 
 3
1 000 10
1
–3
Men istället för att skriva 3 skriver man 10 .
10
1 000 000
100 000
10 000
1 000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
0,000 1
0,000 01
0,000 001
6
= 10
5
= 10
4
= 10
3
= 10
2
= 10
1
= 10
0
= 10
–1
= 10
–2
= 10
–3
= 10
–4
= 10
–5
= 10
–6
= 10
Beräkningar
1.
2.
3.
4.
20
Skriv i potensform
a) 3 × 3
b) 4 × 4
Beräkna
2
a) 6
b) 2
Skriv i potensform
a) 9 × 9
b) 8 × 8 × 8
Skriv en potens med
a) basen 9 och exponenten 5
c) 2 × 2 × 2
4
c) 8
2
c) 3 × 3 × 3 × 3
b) exponenten 2 och basen 4
Fastighetsakademin
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
5.
Skriv i potensform och beräkna
a) 10 × 10 × 10
b) 10 × 10 × 10 × 10
c) 10 × 10
d) 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
6.
a) 5 – 3
7.
a) 10 + 1
8.
a) 0,2 + 0,1
9.
Skriv med vanliga ord
3
a) 4 × 10
2
2
b) 1
2
2
3
2
b) 3 × 10
2
2
2
4
2
2
2
c) 1 + 7
6
2
b) 8 – 2
b) 9 × 10
c) 2 + 2
4
c) 11 – 3
2
c) 7 × 10
6
Skriv både som vanligt tal och i tiopotensform
10. a) Fyra tusen
b) Åtta miljoner
c) Två miljarder
11. a) Nio hundra
b) Fem tusen
c) Sju miljoner
12. a) Två tusen
b) Tre miljarder
c) Sex tusen
Skriv i grundpotensform
13. a) 4 500
b) 8 300
c) 900 000
14. a) 7 500
b) 20 000
c) 30 500
15. a) 300 000
b) 780 000
c) 2 900
16. a) 6 000
b) 52 000
c) 185 000
17. a) 560
b) 5 600
c) 560 000
18. a) 2 000
b) 2 100
c) 20 100
Skriv som vanligt tal
3
19. a) 5 × 10
b) 5,4 × 10
3
c) 5,4 × 10
b) 2,7 × 10
4
c) 3,2 × 10
3
c) 8,5 × 10
20. a) 2 × 10
5
21. a) 8,1 × 10
2
b) 8,1 × 10
22. a) 2,1 × 10
3
b) 9 × 10
23. a) 3,5 × 10
2
b) 4,5 × 10
24. a) 5 × 10
6
b) 10
3
2
1
3
4
c) 2,6 × 10
3
3
c) 8,07 × 10
5
c) 1,08 × 10
2
25. Sveriges befolkning är ungefär 8 600 000. Skriv detta tal i grundpotensform.
8
26. Ljuset går med hastigheten 3 × 10 m/s. Skriv ljusets hastighet utan tiopotens.
27. Runt ekvatorn är det cirka 40 000 km. Skriv detta i grundpotensform.
9
28. Jordens ålder beräknas till 4,7 × 10 år. Skriv detta utan tiopotens.
Fastighetsakademin
21
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Skriv som en potens
3
4
29. a) 10 × 10
8
30. a) 10 × 10
2
7
3
2
6
c) 10 × 10
5
0
9
c)
10 3
10
c)
10 8
10 4
c)
b) 10 × 10 × 10
31. a)
10 5
10 2
b) 10 × 10 × 10
32. a)
10 6
10 3
b)
3
4
33. a) 10 × 10 × 10
34. a)
5
10 3 × 10 6
10 2 × 10 5
10 6
10 4
b) 10 × 10
10 3
10 3
7
4
b) 10 × 10 × 10
b)
10 × 10 9
10 3 × 10 3
Skriv i grundpotensform
35. a) 0,08
b) 0,006
c) 0,0045
36. a) 0,07
b) 0,0075
c) 0,000 23
37. a) 0,000 019
b) 0,000 005
c) 0,000 04
38. a) 0,000 63
b) 0,000 000 33
c) 0,009
39. a) 0,000 8
b) 0,07
c) 0,000 002
40. a) 0,001 05
b) 0,000 045
c) 0,000 408
Skriv utan tiopotens
–3
41. a) 7 × 10
b) 9 × 10
42. a) 5,2 × 10
43. a) 10
–3
44. a) 7 × 10
45. a) 10
–2
–2
b) 4,9 × 10
c) 10
–5
–3
–4
–2
–6
–3
c) 1,7 × 10
–4
b) 4,05 × 10
c) 3,8 × 10
–1
c) 1,6 × 10
b) 10
–3
–2
–6
b) 8,07 × 10
c) 9,50 × 10
Skriv i grundpotensform
46. a) 0,001
b) 0,095
c) 0,000 295
47. a) 0,07
b) 0,002
c) 0,000 016
48. a) 0,019
b) 0,000 85
c) 0,000 1
49. a) 0,005
b) 0,006 08
c) 0,037
22
Fastighetsakademin
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Prefix
Då stora och små tal skall skrivas tillsammans med enheter används ofta prefix. De vanligaste
prefixen i SI (det internationella måttenhetssystemet) är:
T
G
M
k
m

n
p
12
(tera) = 10
9
(giga) = 10
6
(mega) = 10
3
(kilo) = 10
–3
(milli) = 10
–6
(mikro) = 10
–9
(nano) = 10
–12
(piko) = 10
= biljon
= miljard
= miljon
= tusen
= tusendel
= miljondel
= miljarddel
= biljondel
 (”my”) är en grekisk bokstav
Prioriteringsregler
Räkneordning i uttryck
Exempel 1: Martin och Lisa ska beräkna värdet av uttrycket 6 + 3 × 5
Martin: Det blir 9 × 5 = 45
Lisa: Nej, det blir 6 + 15 = 21
Olika resultat trots att ingen ”räknat fel”. Martin har tagit additionen först och Lisa har börjat med
multiplikationen. En beräkning med flera räknesätt måste naturligtvis ge samma resultat oavsett
vem som utför den.
Räkneordning: Därför har man inom matematiken kommit överens om en räkneordning som
innebär att multiplikation går före addition. Lisa hade alltså ”rätt”.
Överenskommelse:
I uttryck med flera räknesätt beräknar man
1. först parenteserna
2. sedan multiplikationer och divisioner
3. sist additioner och subtraktioner
Prioriteringsregler: Vi kallar dessa räkneregler för prioriteringsregler.
Exempel 2: Beräkna
a) (7 + 3) × 5
Parentesen
beräknas
först
b) 7 + 3 × 5
c) 4 + 12 / 4 – 2 × 3
a) (7 + 3) × 5 = 10 × 5 = 50
b) 7 + 3 × 5 = 7 + 15 = 22
Multiplikationen beräknas först
c) 4 + 12 / 4 – 2 × 3 = 4 + 3 – 6 = 1
Division och multiplikation beräknas först
Fastighetsakademin
23
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Så länge det bara är två tal som skall räknas ihop på något sätt är det sällan problem att lösa
uppgifterna. Skall du däremot räkna en uppgift där flera räknesätt är med måste du veta i vilken
ordning du skall räkna dem, med andra ord hur du skall prioritera dina beräkningar.
Man kan testa en räknare med följande exempel:
Slå in 3 + 5 × 3 =
Om resultatet blir 24 kan inte din miniräknare ta hänsyn till prioriteringsreglerna.
Om resultatet blir 18 kan du lita på att din miniräknare tar hänsyn till prioriteringsreglerna.
Exempel 3: Beräkna 3 (2 + 5)
3 × (2 + 5) = 3 × 7 = 21
Exempel 4: Beräkna
175  25
15  10
Beroende på vilken typ av miniräknare du har måste du använda dig av parenteser.
175  25 150

6
15  10
25
Exempel 5: Beräkna
40
6
3  3  (12  3)
40  6
40  6 240
40
6 


8
3  3  (12  3)
3  3  9 3  27 30
Beräkningar
1.
a) 13 – 3 × 2
b) 250 + 50 × 2
c) 3 × 20 + 10
d) 50 – 40 / 2
2.
a) 5 × 2 + 3 × 10
b) 3 × (20 + 10)
c) 3 × 6 + 12 / 2
d) 7 × 5 + 10 / 5
3.
a) 4 + 3 × 2
b) 9 – 2 × 4
c) 7 × 8 + 4
d) 5 × 9 – 5
4.
a) 6 +
c) 15 / 5 + 4
d) 12 / 3 – 3
5.
a) 3 + 2 × 5
b) 4 × 5 + 3 × 3
c) 15 – 5 × 2
d) (15 – 5) × 2
6.
a) 15 + 10 / 5
b) (15 + 10) / 5
c) 15 / 5 – 2
d) 15 / (5 – 2)
7.
a) 24 – 8 × 2
b) 24 – 8/2
c) (24 – 8) / 2
d) 24 / (8 – 2)
8.
a) 1 + 3 × 8 – 10
b) 135 + 15 / 5 + 10
c) 14 + 14 / 7 – 6
d) 27 – 4 × 5 – 3
9.
a) 5 × 2 + 6 × 3
b) 12 / 4 + 15 / 5
c) 9 / 3 + 7 × 2
d) 8 × 6 – 28 / 4
9
3
b) 10 –
6
2
10. a) 17 – 3 × 2 + 5 – 18 / 3
b) 24 / 3 × 16 / 4 – 18 / 3 × 5
11. a) 3 × (4 – 2) + 3 × 4 – 2
b) 33 – 3 × (2 + 8)
24
Fastighetsakademin
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
12. Inträdesbiljetter till en djurpark kostar 35 kr för barn
och 100 kr för vuxna. Hur mycket ska en grupp på
10 barn och 4 vuxna betala? Resultatet kan tecknas
(10 × 35 + 4 × 100) kr. Beräkna detta resultat.
13. I personalmatsalen vid en arbetsplats kostar en lunch med Dagens rätt 51 kr. Om man köper
ett rabatthäfte får man 10 lunchkuponger för 380 kr. Hur mycket tjänar man per måltid på att
köpa rabatthäfte?
a) Teckna resultatet.
b) Beräkna resultatet.
14. Vilket tal ska stå i den tomma rutan?
a) 5 + 5 × = 20
b) × 8 + 2 = 50
c) 4 × 8 – 2 × = 20
c) 30 + 5 × = 70
15. Vilket av alternativen a–c är rätt om du skall räkna ut 3 × 5 + 8 × 9?
a) I den ordning räknesätten står.
b) Först multiplikationerna sedan additionen.
c) Först additionen sedan multiplikationerna.
16. Du skall köpa tre förpackningar spaghetti för 11 kr per styck och 5 burkar krossade tomater för
fyra kronor per styck. Hur mycket det kostar totalt kan man skriva på en rad så här utan enhet:
3 × ___ + 5 × ___ = ___
Sedan skriver man svaret med enhet på en rad under det:
Svar: Det kostar ___
17. På bilskolan R&R betalar man 2 300 kr för teorilektionerna och de obligatoriska
körlektionerna. Behöver man fler körlektioner kostar det 220 kr per lektion.
a) Lena behöver 4 extralektioner. Vad blir hennes totala kostnad?
Totalpriset för henne blir (utan enheter)
_____(fast pris) + _____(antal lektioner) × _____(pris per lektion) = _____
Svar: Lenas totala kostnad blir ______(glöm ej enhet)
b) Bertil betalar totalt 4 940 kronor till bilskolan. Hur många extralektioner tog han?
Problemet kan lösas i flera steg eller i ett enda svep. Prova båda varianterna!
I Med flera steg (utan enheter):
Steg 1) Kostnad för extralektioner:
______(totalpris) – ______(fast pris) = ______
Steg 2) Antal lektioner:
_____(kostnad för alla lektioner) / _____(pris per lektion) = ______
II I ett enda svep:
Antal lektioner: (_____ – _____) / ______ = ______
Svar: Bertil tog _____ extra körlektioner.
Fastighetsakademin
25
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
18. I en fembarnsfamilj har man en pojke och fyra flickor. Barnens medelålder är 14 år och pojken
är 18 år. Vad är flickornas medelålder?
Medelåldern är (utan enheter):
(_____(antal barn) × ______ – ______) / ______ = ______
Svar: Flickornas medelålder är ______(glöm ej enhet)
Decimaltal
Det är inte alltid som verkligheten erbjuder heltal. Ofta stöter vi på decimaltal som t.ex. priset för
ett anteckningsblock 7,50 kr och målarprover för 19,50 kr. Vid uträkning av heltal och decimaltal
ska entalssiffror räknas för sig, tiondelar för sig o.s.v.
När man beräknar bråk med miniräknare och utför division får man bråken på decimalform.
3
 0,75 går jämnt ut.
4
1
 0,14285... tar aldrig slut.
7
Beräkningar
1.
Skriv i decimalform
a) 6 tiondelar
b) 2 hundradelar
c) 5 tusendelar
2.
a) 2 + 6,45
d) 5 – 4,85
b) 2,5 + 6,4
e) 3 × 0,8
c) 5 – 4,8
3.
a) 12,5 / 10
d) 100 × 82,5
b) 10 × 2,5
e) 0,45 / 10
c) 82,5 / 100
f) 0,45 × 10
Miniräknaren eller inte?
Miniräknaren är ett mycket kraftfullt hjälpmedel för att klara beräkningar, om man vet hur den ska
användas. Det finns en mängd olika miniräknare så det är viktigt att veta hur just din miniräknare
fungerar. De flesta av dagens räknare klarar prioriteringen, d.v.s. den räknar multiplikation och
division före addition och subtraktion. Testa din miniräknare för att se hur den fungerar!
18 × 3 – 57 + 125 / 5 – 13 = 9.
Får du detta svar på din miniräknare? Varför? Varför inte?
26
Fastighetsakademin
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Avrundning
Avrundningsregler
Avrundningssiffra
Om siffran efter avrundningssiffran är
 0, 1, 2, 3 eller 4 behåller vi avrundningssiffran
 5, 6, 7, 8 eller 9 höjer vi avrundningssiffran
7,43  7,4
7,48  7,5
7,45  7,5
Lägg märket till att enligt våra avrundningsregler avrundas
7,45 till 7,5.
Exempel 1: 63,849  63,85  Avrundning till två decimaler. Efter avrundningssiffran 4 följer
en 9. Vi höjer avrundningssiffran ett steg.
374,8  370  Avrundning till tiotal. Efter avrundningssiffran 7 följer en 4. Vi
behåller avrundningssiffran.
Avrundning är helt enkelt en metod att ersätta ett tal med närmaste decimaltal av önskad noggrannhet genom att stryka alla siffror efter en viss siffra (för heltal: ersätta dem med nollor). Om den första
strukna siffran är en fyra eller mindre, ändras inte de siffror som behålls. Om den första strukna
siffran är en femma eller mer, ökas den sista kvarvarande siffran med en enhet.
T.ex.:
Avrundning av 3,8173 till tre decimaler ger 3,817, till två decimaler 3,82;
avrundning av 8 327 till hundratal ger 8 300;
avrundning av 5,28500 till två decimaler ger 5,29.
Man bör avrunda endast en gång. Avrunda aldrig delberäkningar. Räkna med tillräckligt antal siffror så
slutsvaret skall bli tillräckligt noggrant.
Exempel 1: Avrunda till 3 decimaler.
a) 3,24516
b) 0,16554
De avrundade värdena blir då
a) 3,245
b) 0,166
c) 2,63331
c) 2,633
När du gör beräkningar med din räknare bör du ha full noggrannhet så långt som möjligt för att
sedan avrunda på slutet.
Exempel 2: 17 kg äpplen kostar 262 kr. Vad kostar 1000 kg?
262
 15,41  15 kr.
17
1 000 kg kostar: 1 000 × 15 = 15 000 kr.
Dålig lösning: 1 kg kostar
262
kr.
17
1 000  262
1 000 kg kostar:
 15 412  15 400 kr.
17
Bra lösning: 1 kg kostar
Svar: 15 400 kr
Fastighetsakademin
27
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Exempel 3: Kursen på Belgiska Franc är 21,15 SEK = 100 BF.
Hur många BF får man för 780 kr?
1 SEK = 100 / 21,15 BF
780 kr =
780  100
 3 687,9  3 690 BF
21,15
Svar: 3 690 BF
Exempel 4: 1 dollar kostar 6,84 SEK. 1 D-Mark kostar 4,41 SEK.
Hur många D-Mark får man för 160 dollar?
160 dollar = 160 × 6,84 SEK = 1 094,4 SEK
1 094,4 SEK =
1 094,4
 248 D-Mark
4,41
Svar: 248 D-Mark
28
Fastighetsakademin
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Överslagsräkning
En enkel överslagsräkning är ofta tillräcklig för att du ska se om ett resultat är rimligt. Vid en
överslagsräkning ersätter man de givna talen med enklare tal så att
 resultatet blir ungefär det samma,
 räkningarna går lätt att genomföra i huvudet.
Exempel 1: 1 hg lösgodis kostar 5,60 kr.
Hur mycket kostar 8,4 hg?
Med räknare
47,04 kr.
8,4 hg lösgodis kostar 8,4 × 5,60 kr.
Vi diskuterar några olika sätt att göra en överslagsräkning.
Olika sätt att avrunda
A: 8 × 5 = 40 Båda faktorerna nedåt. 40 är för litet.
B: 9 × 6 = 54 Båda faktorerna uppåt. 54 är för stort.
C: 8 × 6 = 48 En faktor nedåt, en faktor uppåt. Bäst.
Exempel 2: Hur många US dollar får man för 1 500 kr om 1 dollar kostar 7,63?
Antal dollar =
1 500 1 600

 200
7,63
8
Divisionen går
lätt att utföra.
Vi har ökat både nämnare och täljare.
Med hjälp av en räknare får du 1 500 / 7,63  196,6
Vårt överslag ligger nära det riktiga resultatet.
Vid division får man bästa resultatet om både täljare och nämnare ökas eller minskas.
Exempel 3: Gör en överslagsräkning
a) 875 + 545
b) 736 – 319
c) 5,78 × 9,17
d) 412 / 0,69
a) 875 + 545  900 + 500 = 1 400
b) 736 – 319  700 – 300 = 400
c) 5,78 × 9,17  6 × 9 = 54
d)
4 120
4 200
412
412
= 600

=

0,69
0,7
7
7
Fastighetsakademin
29
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Sammanfattning
 Vid multiplikation:
 Vid addition:
 Vid division:
 Vid subtraktion:
Den ena faktorn ökas och den andra minskas.
2,71 × 85  3 × 80 = 240
Den ena termen ökas och den andra minskas.
751 + 453  700 + 500 = 1200
Både täljare och nämnare ökas eller minskas.
548
600

= 300
2
1,53
Se till att du får så enkla tal att divisionen går lätt att
utföra i huvudet.
Båda termerna ökas eller minskas
6 320 – 834  6 300 – 800 = 5 500
Antal gällande siffror
När man gör beräkningar med miniräknaren ger den ofta ett stort antal decimaler eller många
siffror över huvudtaget. Det finns regler för hur man svarar. Man talar om Antalet gällande siffror.
Tal
76
76,1
76,10
76 000
0,0021
0,0021000
Antal gällande siffror
2
3
4
2 eller 3 eller 4 eller 5. Det är svårt att veta.
2
5
Regeln är följande:
1. Nollor i slutet av heltal räknas inte
2. Nollor i slutet av decimaltal räknas
3. Nollor i början av decimaltal räknas inte.
4. Svara inte med fler gällande siffror än du har i texten.
Exempel 1: Inför julen 1996 köpte 135 personer julklappar för sammanlagt 330 000 kr.
För hur mycket handlade var och en?
330 000
 2 444,44
135
Ett lämpligt svar blir 2 400 kr,
eftersom 330 000 har 2 gällande siffror.
Svar: 2 400 kr
30
Fastighetsakademin
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Beräkningar
1.
2.
Avrunda 132,048 till
a) heltal
b) en decimal
c) hundradelar
d) tiotal
Gör en överslagsräkning
a) 459 + 853
b) 26 331 – 4 579
c) 11,92 × 3,18
c) 23,1 / 0,39
3.
Jonas sprang 200 m på 37 sekunder. Bestäm hans medelhastighet.
a) Gör en överslagsräkning.
b) Vad visar räknaren?
c) Hur ska du svara?
4.
Vilket av talen är störst 23 / 29 eller 15 / 19?
5.
0,160 kg medwurst kostar 11,60 kr. Hur mycket kostar 0,181 kg medwurst?
Ibland är miniräknaren ett mycket bra verktyg för långa eller krångliga beräkningar. Det gäller dock
att inte ta för givet att räknaren är det enda sättet! För att du ska bli påmind om att hjärnan kan
vara din egen privata miniräknare som du bär omkring på hela dagarna föreslås att du arbetar med
uppgifterna nedan utan räknare.
6.
Vilket tal är närmast 29?
21 22 25 27 30
7.
Vilket eller vilka tal ligger mellan 2 och 2,1?
8.
Vilka av bråken ligger mellan ½ och 1?
9.
Avrunda 48,152 till
a) tiotal
b) heltal
10. Vilka beräkningar är orimliga?
a) 0,7 × 7,5 = 52,5
c) 1 600 × 0,48 = 768
2,51 2,15 2,05 2,5 2,01
2
3
9
52
19
eller eller
eller
eller
5
4
4
100
40
c) en decimal
d) hundradelar
b) 740 × 1,2 = 888
d) 58 000 × 0,12 = 696
11. Vilket är det bästa närmevärdet? Gör ett överslag.
a) 23 × 79  ?
17
1 700
17 000
83,3
b)
?
0,2
2
20
200
4,3
12. a) 0,15 + 0,5
b) 0,42 – 0,2
13. a) 0,1 × 4,3
b)
14. a) 5 + 3 × 7
4,3
0,1
b) 3,5 + 0,5 × 2
15. Vilka tal är utelämnade om vi räknar
a) 2,7 2,8 2,9 ___ ___
16. a) 9 – 15
b) –3,3 –3,2
–3,1 ___ ___?
b) –5 – (–16)
Fastighetsakademin
31
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Tillämpade beräkningar
Exempel 4: En bilist tankar blyfri bensin för 400 kr i en sedelautomat. Bensinen kostar 8,21 kr per
liter. Hur många liter får hon?
a) Gör en överslagsräkning.
b) Vad visar räknaren?
c) Hur ska vi svara?
400 400

 50
8,21
8
400
b) Bensin i liter =
 48,72107186 
8,21
c) Här är det rimligt att svara med hela liter.
Vi avrundar 48,72107186  49
a) Bensin i liter =
Svar: Han får 49 liter bensin.
Exempel 5: Johan köper 2,6 kg äpplen för 32,50 kr.
a) Vad får Pia betala för 1,2 kg äpplen på samma ställe och till samma kilopris?
b)Hur mycket äpplen får Petra för 20 kr?
a) 2,6 kg äpplen kostar 32,50 kr
32,50
= 12,50 kr
1 kg äpplen kostar
2,6
1,2 kg äpplen kostar 1,2 × 12,50 kr = 15 kr
b) 1 kg äpplen kostar 12,50 kr.
20
kg = 1,6 kg.
För 20 kr får då Petra
12,50
Svar: a) 15 kr.
b) 1,6 kg.
2 kg äpplen kostar 2 × 12,50 kr, 3 kg kostar 3 × 12,50 kr o.s.v. Priset ökar i
förhållande till (i proportion till) antalet kg.
Proportionellt
Vi säger att priset är proportionellt mot antalet kg.
32
Fastighetsakademin
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Beräkningar
1.
Hur många liter bensin får man för 200 kr om priset är 8,11 kr/l?
a) Gör en överslagsräkning.
b) Vad visar räknaren?
c) Hur ska du svara?
2.
Johanssons bil gick 49,4 mil på 41,7 liter bensin. Hur stor var bensinförbrukningen i liter/mil?
3.
Berit köper 1,9 kg äpplen som kostar 9,20 kr/kg. Hur mycket ska hon betala?
a) Gör en överslagsräkning.
b) Beräkna priset med räknare.
4.
Antalet betalande åhörare vid en konsert var 3 118. Hur stora blev intäkterna då biljettpriset
var 95 kr?
a) Gör en överslagsräkning.
b) Beräkna med räknare.
5.
Vilket tal är störst?
21
13
a)
eller
29
17
6.
227
749
eller
103
339
Ordna följande tal i storleksordning med det minsta först.
1,09
7.
b)
19
17
39
35
29
26
Vad kostar en bit ost som väger 0,384 kg, om kilopriset är 82,75 kr?
1 ton
1 kg
1 kg
1 hg
1g
= 1 000 kg
= 10 hg
= 1 000 g
= 100 g
= 1 000 mg
8.
På Pelles lastbil får man lasta högst 1,2 ton. Hur många järnrör kan
Pelle lasta om ett rör väger 13,7 kg?
9.
En pillerburk väger 132 g. Vad väger den fylld med 50 tabletter om varje tablett väger 827 mg?
10. Vad kostar ett års rökning för en person som röker ett halvt paket cigarretter om dagen om ett
paket cigarretter kostar 35,50 kr?
Fastighetsakademin
33
– Kapitel 2: De fyra räknesätten –
Översikt
Addition
6+3=9
Term + term = summa
Subtraktion
9–4=5
Term – term = differens
Multiplikation
5 × 4 = 20
Faktor × faktor = produkt
Division
36 / 6 = 6
Täljare/nämnare = produkt
Multiplikation med 10 × 45 = 450
100 × 45 = 4 500
10, 100 och 1000
1 000 × 45 = 45 000
Vid multiplikation med ett tal och 10,
100 eller 1 000 flyttas decimaltecknet
1, 2, eller 3 steg åt vänster
Division med 10,
100 eller 1000
45 / 10 = 4,5
45 / 100 = 0,45
5 600 / 1 000 = 5,6
Vid division med 10, 100 eller 1 000
flyttas täljarens decimaltecken 1,2, eller
3 steg åt vänster
Vikt
1 ton = 1 000 kg
1 kg = 10 hg = 1000 g
1 hg = 100 g
Flera räknesätt
5 + 2 × 7 = 19
3 – 2 × (5 + 6) = 11
När det förekommer flera räknesätt i
samma uppgift gör man beräkningarna
enligt följande ordning:
1. först parenteser
2. sedan multiplikation
och division
3. sist addition och subtraktion
Tallinjen
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Olikhetstecken
5<7
8>4
5 är mindre än 7
8 är större än 4
Avrundning
5,67  6
6,34  6
Om siffran efter avrundningssiffran är
0, 1, 2, 3, eller 4 så avrundar man
neråt.
Om siffran efter avrundningssiffran är
5, 6, 7, 8 eller 9 avrundar man uppåt.
Tecknet  betyder ”ungefär lika med”
34
Fastighetsakademin
– Kapitel 3: Negativa tal –
3 Negativa tal
Tallinjen och termometern
Talen 1, 2, 3,…. Kallas positiva heltal. Sätter vi minustecken framför får vi de negativa talen –1, –2,
–3….. De positiva och negativa heltalen bildar tillsammans med talet 0 de hela talen.
Vill man speciellt markera att ett tal är positivt kan man skriva t.ex. +7.
Du har säkert sett de hela talen utsatta på en termometerskala.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Tallinje
Detta är ett exempel på en tallinje, där negativa tal, talet noll och positiva tal är utsatta.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Positiva tal
Negativa tal
Nollpunkten kallas origo
Du ser att ju längre vi går åt höger på tallinjen, desto större blir talen.
Ju längre åt vänster man går desto mindre blir talen.
3 är större än 2 men –3 är mindre än –2.
Större än och mindre än skrivs med tecknen > och <
Här är 3 > 2 och –3 < –2.
Vi jämför talens storlek på följande sätt:
På tallinjen
Med symboler
I ord
1 ligger till höger om –2
–5 ligger till vänster om –2
1 > –2
–5 < –2
1 är större än –2
–5 är mindre än –2
Olikhetstecken
Lägg märke till att båda olikhetstecknen > (större än) och < (mindre än) pekar med spetsen mot det
mindre talet.
För våra förfäder existerade nästan inte negativa tal. Så småningom infördes de negativa talen och
har i dag praktisk betydelse. Vi har minusgrader och underskott på konto som vanliga exempel.
Fysiker pratar om lägesenergi som kan vara negativ och om potential (spänning i förhållande till
jord) som också kan vara negativ.
Räknereglerna är enkla. Lika tecken ger plus och olika tecken ger minus. Mer om detta senare i
kapitlet.
Fastighetsakademin
35
– Kapitel 3: Negativa tal –
Exempel 1: –5 + 7 = ?
Temp. är –5°
-5
-4
-3
-2
-5+7 = 2
+7°
-1
0
1
2
3
4
5
Temperaturen är –5° och stiger 7°. Den blir då 2.
Svar: –5 + 7 = 2
Exempel 2: 4 – 7 = ?
3.Resultat -3°
2. Sjunker 7°
1. Temp. är 4°
7 steg bak
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Svar: 4 – 7 = –3
Exempel 3: Sätt ut rätt olikhetstecken, > eller <, mellan talen
a) 9 5
b) –9 5
c) –3 –9
Svar:
a) 9 > 5
b) –9 < 5
c) –3 > –9
Exempel 4: Beräkna (jämför gärna med temperaturskalan)
a) 14 – 5
b) 3 – 10
c) –6 + 9
Svar:
a) 14 – 5 = 9
b) 3 – 10 = –7
c) –6 + 9 = 3
Exempel 5: 3 × (–2) = –6
(–3) × (–2) = 6
–3 + (–3) = –3 – 3 = –6
20
 5
4
(–1) × (–1) × (–1) × (–1) = 1
36
Fastighetsakademin
d) –6 –3
d) –6 < –3
d) –12 – 8
d) –12 – 8 = –20
6
– Kapitel 3: Negativa tal –
Exempel 6: Kalle hade 2 600 kr på sitt checkkonto. Kalles fru gick genom sta’n med en hastighet
av 800 kr/h. Hur stort var saldot på Kalles konto 4 timmar senare?
2 600 – 4 × 800 = –600
Svar: –600 kr.
Exempel 7: Temperaturen var under en vecka i december
–8, –12, –7, +3, –5, –13 och –9
Beräkna medeltemperaturen under veckan
( 8)  ( 12 )  ( 7 )  3  ( 5)  ( 13)  ( 9)
  7,3
7
Svar: –7,3 grader
Beräkningar
1.
Vilka tal är markerade på tallinjerna?
a)
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
b)
c)
2.
3.
4.
Sätt ut rätt olikhetstecken mellan talen
a) 6 9
b) 6 –3
d) –3 –9
e) –5 0
c) –3 –1
f) 1 0
Beräkna
a) 12 – 7
c) –8 + 13
A
b) 7 – 12
B
C
-6
-5 -4
-3
-2 -1
Vilka tal är markerade vid A, B och C?
5.
d) –5 – 9
0
1
2
3
4
5
6
Sätt ut rätt olikhetstecken, > eller <, mellan talen
a) 7 3
b) 5 –2
c) –2 5
d) –2 –1
e) 0 5
f) 0 –7
Fastighetsakademin
37
– Kapitel 3: Negativa tal –
6.
Temperaturen är 7°. Vad blir den om den
a) ökar med 4°
b) minskar med 7°
c) minskar med 10°
d) minskar med 18° ?
7.
Temperaturen är –12°. Vad blir den om den
a) ökar med 3°
b) minskar med 4°
c) ökar med 17°
d) minskar med 12° ?
8.
Beräkna
a) 3 – 5
b) –3 – 5
c) –3 + 5
d) –5 + 3
Beräkna
a) 23 – 12
b) 4 – 17
c) –2 + 8
d) –7 – 11
9.
10. Par på en golfbana är 70 slag. Resultatet 72 slag anges som +2. Ange följande resultat på detta
sätt.
a) Annika 67 slag
b) Jesper 73 slag
c) Lotta 69 slag
d) Tiger 64 slag
11. Skriv talen i storleksordning med det minsta först.
a) 21, 17, 13, 19
b) 6, 10, –2, 4
c) –5, 0 –1, 3
d) –2, –9, 0, –6
12. Ange temperaturändringen med ett positivt eller negativt tal.
Starttemperatur
a)
+21 °C
b)
+21 °C
c)
–7 °C
d)
–3 °C
Sluttemperatur
+32 °C
+13 °C
+7 °C
–29 °C
Addition av negativa tal
Exempel 1: Vad blir 5 + (–10)?
Vi vill att man ska kunna addera alla tal i vilken ordning som helst, d.v.s. att;
5 + (–10) = (–10) + 5
Om temperaturen är –10° och stiger med 5° blir den nya temperaturen;
(–10°) + 5° = –5°
Vi vet redan att 5 – 10 = –5 d.v.s.
5 + (–10) = 5 – 10 = –5
Addition
Att addera talet –10 är det samma som att subtrahera talet 10.
5 + (–10) = 5 – 10
38
Fastighetsakademin
– Kapitel 3: Negativa tal –
Subtraktion av negativa tal
Exempel 1: Vad blir 5 – (–10)?
Tänk er följande: Ett flygplan flyger 3 000 m över havet, en bergstopp under
flygplanet är 818 m hög, och djupet i havet bredvid berget är 394 m. Havets yta är
nollpunkten.
Hur högt över berget flyger planet?
3 000 m – 818 m = 2182 m
Hur högt över havets botten flyger planet?
3 000 m – (–394) m = ?
Med logik kan vi räkna ut att ovanstående fråga kan räknas ut med addition.
3 000 m + 394 m = 3 394 m
Alltså är 300 – (–394) = 3 000 + 394 = 3 394
På samma sätt är 5 – (–10) = 5 + 10 = 15
Subtraktion
Att subtrahera talet –10 är det samma som att addera talet 10.
5 – (–10) = 5 + 10
Exempel 2: Beräkna
a) 25 + (–12)
c) 25 – (–12)
b) –25 + (–12)
d) –25 – (–12)
a) 25 + (–12) = 25 – 12 = 13
b) –25 + (–12) = –25 – 12 = –37
Tecknen +(–) ersätts med –
c) 25 – (–12) = 25 + 12 = 37
d) –25 – (–12) = –25 + 12 = –13
Tecknen –(–) ersätts med +
Beräkningar
1.
a) 5 + (–2)
b) 9 + (–5)
c) 8 + (–1)
d) 5 + (–3)
2.
a) –4 + (–6)
b) –5 + (–7)
c) –6 + (–2)
d) –8 + (–4)
3.
a) 8 – (–2)
b) 6 – (–4)
c) 9 – (–3)
d) 1 – (–1)
4.
a) –5 – (–6)
b) –7 – (–9)
c) –4 – (–2)
d) –9 – (–5)
Fastighetsakademin
39
– Kapitel 3: Negativa tal –
5.
a) 23 + (–15)
b) –35 + (–15)
c) 25 – (–15)
d) –25 – (–15)
6.
a) 8 – (–11)
b) –8 – (–11)
c) –12 – (–18)
d) 12 – (–18)
7.
Beräkna temperaturändringen, d.v.s. beräkna differensen av sluttemperatur och starttemperatur.
Starttemperatur
a)
b)
c)
d)
Sluttemperatur
+17°C
+9°C
–11°C
–4°C
+23°C
–3°C
4°C
–13°C
Multiplikation med negativa tal
Exempel 1: På vintern är det lätt att förfrysa sig om det är minusgrader och blåser kraftigt. Om en
termometer i lä visar –4 °C och vindstyrkan är 25 m/s kan de kännas som om temperaturen i °C är
3  ( 4 )
 15
2
För att få veta hur kallt det kan bli måste vi kunna beräkna 3 × (–4).
Vad blir 3 × (–4)?
Vi jämför med 3 × 4
d.v.s.
3×4=4+4+4
På samma sätt får vi 3 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) = –12
Multiplikation 1
3 × (–4) = –12
Produkten av ett positivt och ett negativt tal är negativ.
Du vet att 3 × 4 = 4 × 3 d.v.s. att ordningen mellan faktorerna inte spelar någon roll. Därför är
också (–4) × 3 = –12
Detta kunde vi också ha upptäckt med ett mönster.
Läs uppifrån
och ner. Talen
minskar med
1 för varje rad.
40
3
2
1
0
(–1)
(–2)
(–3)
(–4)
×3=
×3=
×3=
×3=
×3=
×3=
×3=
×3=
9
6
3
0
–3
–6
–9
...
Läs uppifrån och ner.
Talen minskar med 3 för varje rad.
Här bör det stå
(–9) – 3 = –12
Fastighetsakademin
– Kapitel 3: Negativa tal –
Exempel 2: Vad blir (–3) × (–4)?
Vi använder nu ett liknande mönster för att upptäcka resultatet av produkten
(–3) × (–4).
Läs uppifrån
och ner. Talen
minskar med
1 för varje rad
Läs talen uppifrån och ner.
Talen ökar med 4 för varje rad.
3 × (–4) = –12
2 × (–4) = –8
1 × (–4) = –4
0 × (–4) = 0
(–1) × (–4) =
?
(–2) × (–4) =
?
(–3) × (–4) =
?
Om mönstret ska fortsätta,
bör efter 0 följa 4, 8, 12.
Nu kan vi svara på frågan
”Vad blir (–3) × (–4)?”
Enligt uppställningen ovan gäller
Multiplikation 2
(–3) × (–4) = 12
Produkten av två negativa tal är positiv.
Division med negativa tal
Vad blir 27 / (–9)? Vi tar hjälp av följande resonemang:
27 / (–9) = –3
Kvoten av ett positivt och ett negativt tal är negativ.
(–27) / 9 = –3
Kvoten av ett negativt och ett positivt tal är negativ.
(–27) / (–9) = 3
Kvoten av två negativa tal är positiv.
306
= 34 korrekt?
9
Vi kan kontrollera genom att bilda produkten 34 × 9. Då 34 × 9 = 306 är divisionen korrekt.
Är divisionen
Vi kan nu beräkna temperaturen i det inledande exemplet, exempel 1, multiplikation.
3  ( 4 )
 12
 15 
 15   6  15   21
2
2
Temperaturen om man utsätts för full vindstyrka blir –21 °C.
Exempel 3. Beräkna
a) 8 × (–6)
Svar:
a) 8 × (–6) = –48
c) (–72) / 8 = –9
b) (–5) × (–12)
c) (–72) / 8
d) (–56) / (–8)
b) (–5) × (–12) = 60
d) (–56) / (–8) = 7
Fastighetsakademin
41
– Kapitel 3: Negativa tal –
Beräkningar
1.
a) 7 × (–9)
b) (–4) × 8
c) (–6) × (–2)
d) (–12) × 0
2.
a) (–14) / 2
b) 36 / (–4)
c) (–81) / (–9)
d) 0 / (–14)
3.
a) 7 × (–11)
b) (–120) / 30
c) 625 / (–25)
d) (–8) × (–15)
4.
Vilket tal skall stå i den tomma rutan?
 = 21
c) (–4) ×  = –24
 × (–5) = –40
d) 3 × (–3) ×  = 63
b)
a) (–7) ×
Blandade beräkningar med negativa tal
5.
a) 7 – 2
b) 7 – 7
c) 7 – 10
6.
Temperaturen är –5°C. Vad blir den om den
a) ökar med 2°
b) minskar med 3°
c) ökar med 9°
d) 7 – 8
d) ökar med 5°
7.
Ange med ett positivt eller negativt tal en ubåts ändring i höjdled, om dess höjd ändras
a) från –30 m till –10 m
b) från –40 m till –75 m.
8.
a) 9 + (–7)
b) 12 – (–8)
c) –12 – (–10)
d) –9 + (–5)
9.
a) 5 × (–7)
b) (–4) × (–6)
c) 24 / (–8)
d) (–15) / (–5)
42
Fastighetsakademin
– Kapitel 3: Negativa tal –
Översikt
Tallinjen
–2
–1
0
1
2
a) 3 – 7 = –4
b) –6 – 4 = –10
c) –5 + 2 = –3
Addition
a) 5 + (–3) = 5 – 3 = 2
b) 6 + (–9) = 6 – 9 = –3
c) –3 + (–4) = –3 – 4 = –7
Regeln är att framför varje term ska det bara
finnas ett tecken. Två olika tecken intill
varandra ersätts med ett minustecken.
Subtraktion
a) 3 – (–4) = 3 + 4 = 7
b) –3 – (–4) = –3 + 4 = 1
c) –2 – (–1) = –2 + 1 = –1
Regeln är att ersätta alla ”dubbla tecken” med
ett tecken. Två lika tecken intill varandra
ersätts med ett plustecken.
Multiplikation och division
a) 5 × (–3) = –15
b) (–2) × 4 = –8
c) (–20) / 2 = –10
d) 10 / (–2) = –5
Regeln är att vid multiplikation eller division
med två tal som har olika tecken blir svaret
negativt.
a) (–3) × (–2) = 6
b) (–14) / (–7) = 2
Regeln är att vid multiplikation och division av
två tal som har lika tecken blir svaret positivt.
Fastighetsakademin
43
– Kapitel 4: Bråkräkning –
4 Bråkräkning
Ett bråk anger hur stor del av det hela som något är. Med bråk menar man tal av typen 2/7, 3/8,
t
1/9 o.s.v. De kallas även för rationella tal och skrivs som en kvot , där t kallas täljare och
n
n nämnare. Orden är de samma som vid division eftersom det är just division som det handlar om!
Bråk kan lätt illustreras geometriskt:
1
Varje del är
6
2
1
men kan också ses som
6
3
4
2
A + B + C + D blir men kan också ses som
3
6
6
6
Hela biten blir eller en hel,  1 .
6
6
A + B blir
Man ser att bråken kan skrivas på många olika, till och med oändligt många olika sätt.
1 2 3 4
  
o.s.v.
3 6 9 12
Hela och delar
Om heltal och blandade tal också ingår i räkningarna, gör om dem till bråk så här:
5
5
1
och
3
2
2 3 2  3  7 2 21 2 21  2 23 


3  
 
 

7
7 1 7  1  7 7 7 7
7
7 
Addition och subtraktion av bråk
Vid addition och subtraktion måste de ingående talen – termerna – alla vara tredje-delar eller femtedelar eller elfte-delar eller så, d.v.s. ha samma nämnare. Om det inte är så från början, måste man se
till att det blir så. (Detta kan jämföras med att de olika talen vid addition och subtraktion inte heller
kan anges i olika enheter. Om man t.ex. ska addera 7 mil och 56 km, så måste man först ange de
båda talen med samma enhet, 70 km och 56 km eller 7 mil och 5,6 mil.)
Exempel 1: Med alla nämnare lika
5 6 4 564 7
  
 1
7 7 7
7
7
Med olika nämnare från början
7 11 4


6 10 5
där en gemensam nämnare måste skapas, se nedan.
44
Fastighetsakademin
– Kapitel 4: Bråkräkning –
Gemensam nämnare
Ett bråk förändras inte om täljare och nämnare multipliceras eller divideras med samma tal. Det
kan vi använda oss av för att få en gemensam nämnare.
Den gemensamma nämnare som ska användas måste vara delbar med de ursprungliga nämnarna (6,
10 och 5 i exemplet ovan). Pröva först med den största nämnaren (10). Pröva sedan med den
dubbla och sedan den tredubbla o.s.v. I detta fall går det inte med 10 eftersom 10 inte är delbart
med 6. Det går inte heller med 20 av samma skäl, men 30 är delbart med både 6 och 5 (och förstås
10). Vi förlänger då bråken så att alla får nämnaren 30:
7  5 11  3 4  6 35 33 24 35  33  24 26 26 / 2 13









6  5 10  3 5  6 30 30 30
30
30 30 / 2 15
Vid dessa beräkningar är kunskaper i multiplikationstabellen värdefulla!
Exempel 2:
Beräkna
2 3 4
 
5 5 5
2 3 4 9
4
   1
5 5 5 5
5

4
9
kallas bråkform, 1 kallas blandform
5
5
Exempel 3:
1 2
Beräkna 1 
7 7

1
1 2 8 2 6
   
7 7 7 7 7
Multiplikation av bråk
Vid multiplikation behöver man inte bekymra sig om någon gemensam nämnare. (Liksom man
inte heller behöver ha samma enhet.) Det är bara att multiplicera täljarna med varandra och
nämnarna med varandra. Så här:
53
15 / 5
3/3
5 3
15
3
1







9 20 9  20 180 180 / 5 36 36 / 3 12
Eller samma sak på ett litet smartare sätt:
53
3 5
3/ 35/5
11 1
5 3






9 20 9  20 9  20 9 / 3  20 / 5 3  4 12
Exempel 1: Beräkna
a) 3 x 2/7
b) 7  1
1
3
c)
2 7

5 9
2 32 6


7
7
7
1
4 7  4 28
1
b) 7  1  7  

9
3
3
3
3
3
a) 3 
c)
2 7 2  7 14
 

5 9 5  9 15
täljare × täljare och nämnare × nämnare
Fastighetsakademin
45
– Kapitel 4: Bråkräkning –
Division med bråk
Inte heller vid division behöver man bekymra sig om någon gemensam nämnare. Man tar helt
enkelt det första bråket gånger det andra bråkets inverterade värde (det andra bråket vänt upp och
ner). Så här:
4 2 4 9 49 49 4/29/3 23 6
/   

 6


3 9 3 2 3  2 2  3 2 / 2  3 / 3 11 1
Exempel 1: Beräkna
2
b) 3
3
7
a)
2
/2
3
a)
2
2
1
2
1
/2

Rimligt då hälften av
är
3
32 3
3
3
2
c) 7
1
2
4
1
b) Du har kanske lärt dig att man går över till multiplikation samtidigt som man
inverterar (vänder upp och ner) på det andra bråket.
2
3  2  7  14  1 5
3 33 9
9
7
Du kanske aldrig har fått lära dig varför man gör så. Nu skall du få veta!
3 7 21
Observera att  
1
7 3 21
2 7 2 7


7
3 3  3 3  2  7  14
Man förlänger bråket med :
3 7
3
1
3 3 9

7 3
Efter ett tag hoppar man direkt till led 3.
2
9
94 4
7
7
c)

 
1 9 79 7
2
4 4
1
4
1
pojkar. Av flickorna slutar .
7
4
Hur stor andel av klassen är flickor?
1
3
 12  3 slutar.
Flickorna är
 28  12 st.
4
7
9
.
Kvar är 9 flickor och 25 elever. Andelen är
25
Svar: 9 / 25
Exempel 2: I en klass på 28 elever är
46
Fastighetsakademin
– Kapitel 4: Bråkräkning –
Förkorta och förlänga
Det är nödvändigt att kunna skriva om bråk vid addition och subtraktion av bråktal. Man säger att
man förlänger eller förkortar.
Förlängning innebär att man multiplicerar täljare och nämnare med samma tal. Förkortning
innebär att man dividerar täljare och nämnare med samma tal.
Exempel 1: Förkorta
36
så långt som möjligt.
108
36 18
9 1



108 54 27 3
En modern räknare förkortar automatiskt om man slår in med bråksymboler.
Det finns några enkla delningsregler:
• Alla jämna tal kan delas med 2.
• Alla tal vars siffersumma är delbar med 3 är delbara med 3. 3 267 har siffersumman
3+2+6+7=18 som är delbart med 3.
3 267
 1 089
3
• Alla tal som slutar på 0 och 5 är delbara med 5.
• Om talets siffersumma är delbart med 9 är även talet delbart med 9. 3 267  3+2+6+7=18 som
är delbart med 9.
3 267
 363
9
Exempel 2: Förläng
3
med 3.
7
3 33 9


7 7  3 21
Exempel 3: Beräkna
3 4

7 9
Bråken har inte lika nämnare så man måste först se till att de blir liknämniga.
Vanligtvis söker man efter den s.k. minsta gemensamma nämnaren, mgn. Här är
mgn = 7 × 9 = 63.
3 4 3  9 4  7 27 28 55




 
7 9 7  9 9  7 63 63 63
Fastighetsakademin
47
– Kapitel 4: Bråkräkning –
Exempel 4: Vilket bråk ligger mitt emellan
14
16
och
.
18
18
Förläng först med 2. Då får vi
Mittemellan finns
8
7
och ?
9
9
15 5

18 6
Exempel 5: Vilket bråk ligger mittemellan
7
13
och
?
12
24
7 14

12 24
13
14
med
.
24
24
26
28
och
Förläng med 2 
48
48
Vi jämför nu
Mitt emellan finns
27 9

48 16
Beräkningar av bråk
1. Hur stor andel av respektive figur är skuggad?
a)
b)
2.
Vilket tal är störst? 5/9 eller 5/8? Förklara hur du tänker.
3.
a) Förläng
4.
Förkorta
5.
Skriv
a)
9
i blandad form
4
6.
Beräkna
a)
9 7

11 11
7.
Ett motionsspår är 2 800 m. På 10 minuter har Petra sprungit 3/4 av spåret. Hur långt har
hon sprungit?
48
8
med 4.
12
b) Förkorta
36
så långt som möjligt.
40
15
så lång som möjligt.
27
b) 3
b)
1
i bråkform
3
1 1

3 9
Fastighetsakademin
c)
1 2

2 5
– Kapitel 4: Bråkräkning –
8.
Beräkna
2 4
a) 
3 5
9.
2
b) 3
4
5
4
c) 8 
7
4
3
d)
5
Vår fasad ska muras med 60 skift, till nivån +14 500. Den första dagen murar laget 1/4 av
väggen. Nästa dag murar de 1/3 och den tredje dagen blir det 2/5 av hela väggen. Räkna ut
hur många skift de murade varje dag samt hur många skift som återstod till nivån + 14 500
efter den tredje dagen.
10. Hur många minuter är följande?
a) 1/3 h
b) 1/4 h
c) 3/4 h
11. Skriv bråken i decimalform
a) 1/2
b) 1/4
d) 1/5
e) 2/5
g) 4/5
h) 1/10
d) 2/3 h
e) 1/10 h
f) 1/5 h
c) 3/4
f) 3/5
i) 9/10
12. Förklara på ditt eget sätt varför 1/3 är större än 1/4.
13. Skriv i bråkform på enklaste sättet hur stor del
a) 45 st är av 60 st
b) 90 st är av 150 st
c) 30 st är av 75 st
d) 75 st är av 125 st
14. Vilket bråk ska adderas till 3/7 för att summan skall bli 1?
15. Rita en bild som visar att 8/12 och 2/3 är olika namn för samma sak.
16. Vilket skulle du helst vilja ha: 1/3 av 2 400 kr eller 3/8 av 2 400 kr? Förklara varför!
17. a) Hur stor andel av
kulorna är färgade?
b) Hur stor andel av
figuren är skuggad?
c) Hur stor andel av
träden är granar?
18. Vilket bråk är störst, 1/4 eller 1/5 ?
19. Skriv ett bråk som anger hur stor andel av figuren som är färgad.
a)
b)
c)
Fastighetsakademin
d)
49
– Kapitel 4: Bråkräkning –
20. Förläng
a)
2
med 4
7
b)
5
med 5
9
21. Förkorta
a)
15
med 3
24
b)
18
med 6
42
22. Bestäm i enklaste form förhållandet mellan
a) 15 och 25
b) 21 och 30
23. Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i enklaste bråkform.
a)
b)
24. Förläng bråken så att nämnaren blir 18.
a)
4
9
b)
5
6
25. a) Hur stor andel av figuren är skuggad?
Svara i bråkform.
b) Vilket tal kan du förkorta med?
c) Förkorta med detta tal.
26. Förkorta
27. Förläng
a)
12
med 3
15
b)
21
med 7
35
3
med 2. (Multiplicera både täljare och nämnare med 2.)
11
28. Förklara hur du gör när du
a) förkortar 10/15 med 5
b) förlänger 10/15 med 5
29. Lisa färgar 2/3 av en cirkel. Per färgar 4/6 av en lika stor cirkel. Vem har färgat mest? Förklara.
30. Förläng följande bråk så att nämnaren blir 12.
1
3
2
a)
b)
c)
6
4
3
d)
31. Skriv i enklaste form förhållandet mellan
a) 6 och 15
1
2
b) 12 och 8
32. Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i enklaste bråkform.
a)
b)
33. Hur stor andel av en timme är
a) 10 minuter
b) 45 minuter
c) 3 minuter
d) 5 minuter ?
34. Genom utsläpp och förbränning sprids i Sverige varje år 1 800 ton bly, varav 1 500 ton från
bilavgaser. Hur stor andel kommer från bilavgaserna?
50
Fastighetsakademin
– Kapitel 4: Bråkräkning –
35. Beräkna och svara i enklaste form.
36. a) Skriv
9
i blandad form.
4
a)
1 1
+
2 6
b) Skriv 3
37. Rita en figur som visar
b)
2 1
–
3 4
1
i bråkform.
2
a)
4 1
–
5 5
b)
1 1
+
3 3
Beräkna och svara i enklaste form:
38. a)
39.
b)
1 3
+
6 6
b)
2 1
–
3 9
b)
2 1
+
3 5
c)
1 1
–
4 7
d)
2 1
+
5 9
b)
5
2
c)
4
3
d)
10
3
1 1
+
3 6
40. a)
41.
7 5
–
8 8
1 1
+
2 4
1 1
+
2 5
42. a)
1 1
–
2 3
43. Skriv i blandad form
3
a)
2
44. Beräkna och svara i blandad form
4 3
1 3
b) +
a) +
5 5
2 4
45. Skriv talen i bråkform och beräkna
1
1
1
2
b) 2 – 1
a) 1 + 1
2
4
3
9
46. Anna, Bo och Per delade på en lotterivinst. Anna fick
5
1
och Bo
av vinsten.
8
4
Hur stor andel fick Per?
47. Ge exempel på två olika bråk som har summan
a)
5
6
b)
2
3
48. Jenny och Sara köper två Trisslotter. Jenny har satsat 20 kr och Sara 30 kr. De vinner 75 kr på
den ena lotten. Hur ska de fördela vinsten?
Fastighetsakademin
51
– Kapitel 4: Bråkräkning –
49. Hur mycket är
4
av 4 500 ?
9
50. Beräkna
2
av 75 kr
a)
3
b)
3
av 24 kg
4
c)
5
av 560 cm
7
51. Johan och Martin har köpt en lott tillsammans. Johan har betalat
d)
7
av 810 elever
9
3
av lottpriset. Lotten ger
5
en vinst på 8 000 kr. Hur bör vinsten delas?
52. 24 kg potatis ska delas upp i sex påsar med lika mycket i varje. Hur mycket är
a) en sjättedel av 24 kg?
b) två sjättedelar av 24 kg?
c) fem sjättedelar av 24 kg?
53. Beräkna
1
a)
av 70 kg
10
b)
3
av 70 kg
10
c)
1
av 800 kr
100
d)
7
av 800 kr
100
3
av 20 kr. Hur mycket är
4
a) 1/4 av 20 kr
b) 3/4 av 20 kr ?
54. Du ska beräkna
5
av 400 m. Hur mycket är
8
a) 1/8 av 400 m
b) 5/8 av 400 m ?
55. Du ska beräkna
56. På en skola går 540 elever.
hur du beräknar
5
av eleverna orienterade på en idrottsdag. Förklara med egna ord
9
5
av 540 elever.
9
57. Till en barnföreställning på bio kom 72 personer. 5/8 av dem var barn.
a) Hur många barn såg filmen?
b) Hur många vuxna såg filmen?
58. Erik skulle cykla 42 km. När han cyklat 5/6 av vägen fick han punktering. Hur långt hade han
då kvar?
59. Vilket är mest,
2
3
av 42 kr eller
av 45 kr ?
3
5
60. Jesper och Jakob tippade tillsammans. En vecka betalade Jesper 15 kr och Jakob 20 kr. Hur ska
de fördela tipsvinsten som denna vecka blev 420 kr?
61. Viktor, Lovisa och Jessika är syskon. Viktor är 15 år. Lovisas ålder är 4/5 av Viktors.
a) Hur gammal är Lovisa?
b) Jessikas ålder är 3/4 av Lovisas. Hur gammal är Jessika?
62. Lisa, Anna och Niklas målade tillsammans ett staket. Lisa gjorde 3/7 av arbetet, Anna 2/5 av
arbetet och Niklas resten. De fick 1 400 kr för hela arbetet. Hur ska de fördela pengarna?
52
Fastighetsakademin
– Kapitel 4: Bråkräkning –
Översikt
Täljare och nämnare
2/5 = täljare/nämnare
Förlängning
Bråkets täljare och nämnare multipliceras med
samma tal
4/7 = 4 × 2/7 × 2 = 8/14
Förkortning
Bråkets täljare och nämnare divideras med samma
tal.
8/14 = (8/2) / (14/2) = 4/7
Addition och subtraktion
Addition av bråk som har samma nämnare:
4/5 + 3/5 = 7/5 = 1 2/5
Subtraktion av bråk med samma nämnare:
4 1/4 – 3 3/4 = 3 5/4 – 3 3/4 = 2/4 = 1/2
Minsta gemensamma nämnare
Bråken 1/3 och 2/7 kan förlängas så att de får
samma nämnare. Bråken blir då liknämniga. Den
minsta gemensamma nämnare blir 21. Om bråken
1/3 och 2/7 ska adderas fås 7/21 + 6/21 = 13/21
Jämförelsepris
Om 3 kg potatis kostar 18 kr så är jämförelsepriset
18/3 = 6 kr/kg
Fastighetsakademin
53
– Kapitel 5a: Formler och ekvationer –
5a Formler och ekvationer
Fördelen med att använda formler är att de på ett enkelt sätt beskriver hur man alltid kan göra för
att lösa ett problem av en viss typ. För att beräkna volymen av ett rätblock använder man formeln:
V=b×l×h
där
V = volymen
b = bredd
l = längd
h = höjd
Exempel 1: Ett bärlag i ett hus har mått enligt figuren. Det ska vara 0,1 m högt. Beräkna hur
3
många m betong det går åt till plattan.
15,3
5,6
Ekvationer används dels för att beskriva samband, dels för att bestämma något vi inte känner.
Formler är en typ av ekvation. För att lösa ekvationer krävs att man är noggrann och inte räknar för
mycket i huvudet. Det är bättre att skriva ett led ”i onödan” än att räkna fel.
54
Fastighetsakademin
– Kapitel 5a: Formler och ekvationer –
Exempel på problemlösning
Problemet:
En stor kokosboll kostar 2 kr mer än en Mums-mums.
Vad kostar en Mums-mums då 5 stora kokosbollar
kostar lika mycket som 7 stycken Mums-mums?
Förstå problemet.
•
•
•
•
•
Vad söks?
Vad är givet?
Verkar problemet rimligt?
Rita en figur om det går.
Inför lämpliga
beteckningar.
Gör upp en plan.
• Har du sett detta tidigare?
• Har du sett eller löst något
liknande förut?
• Kan du dela in i
delproblem?
• Kan du lösa eventuella
delproblem?
• Vilka fakta saknas?
Genomför planen.
• Kontrollera varje steg.
• Stryk under resultat.
• Fungerar det ej gör du upp
en ny plan.
Se tillbaka.
Glöm inte detta steg!
• Är resultatet rimligt?
• Kan man lösa problemet på
ett annat sätt?
• Är resultatet eller metoden
användbar i andra
sammanhang?
1 – Förstå problemet
2 – Gör upp en plan
3 – Genomför planen
4 – Se tillbaka
Du skall ta reda på vad en Mums-mums kostar.
Det är givet att en stor kokosboll kostar 2 kr
mer än en Mums-mums och att 7 stycken
Mums-mums kostar lika mycket som 5 stora
kokosbollar.
Problemet verkar rimligt.
Pris för Mums-mums: x kr
Pris för stor kokosboll: y kr
Skriv ut vad som söks:
Sökt: x
Skriv ner de matematiska sambanden mellan x
och y som du känner:
y = x + 2 (1)
7x = 5y (2)
Eftersom vi har två obekanta och två ekvationer
bör detta gå att lösa.
Sätt in uttrycket för y som finns i ekvation (1)
i ekvation (2).
7x = 5y
7x = 5(x + 2)
7x = 5x + 10
2x = 10
x=5
Planen verkade fungera, vi har räknat ut att en
Mums-mums kostar 5 kr.
Det verkar rimligt att en Mums-mums kostar
5 kr. För att vara riktigt säker fortsätter man
sina beräkningar.
Sätt in resultatet x = 5 i ekvation (1)
Då får man att y = 7
Sätt in x = 5 i VL (vänster led) i ekvation (2)
Då får man 7x = 35
Sätt in y = 7 i HL (höger led) i ekvation (1)
Då får man 5y = 35
Eftersom VL = HL har vi räknat rätt.
Svar: En Mums-mums kostar 5 kr.
Metoden är alltid användbar då man löser
linjära ekvationssystem. Denna metod kallas
substitutionsmetoden. Det finns fler sätt att
lösa detta problem.
Fastighetsakademin
55
– Kapitel 5a: Formler och ekvationer –
Förenkling av uttryck
Formler
En formel är en ”kompakt skriven räkneregel” där man använder bokstavsbeteckningar istället för ord
för att beskriva vilka samband som finns mellan olika storheter (med storhet menas ”egenskaper”
som t.ex. tid, längd, volym, temperatur, strömstyrka).
När man gör beräkningar av olika slag lönar det sig ofta att ställa upp en formel. Det kan gälla
pengar, volymer, areor, volymer m.m. Du känner säkert till formler som U = R × I (Ohms lag),
p × V = n × R × T (Allmänna gaslagen), s = v × t (hastighetsberäkningar),
W = m × g × h (lägesenergi).
Dessa exempel är hämtade från fysiken men det är inte bara naturvetare och tekniker som använder
formler. Även inom ekonomi, samhällsvetenskap, medicin och andra områden använder man sig av
formler.
Som du ser påminner formler mycket om ekvationer. Det är också så att de regler som gäller då
man arbetar med ekvationer gäller även vid arbete med formler.
Ekvationer
Ekvation betyder likhet. En ekvation består av två led åtskilda av ett likhetstecken. Detta likhetstecken är en ”helig ko” som alltid skall gälla.
En ekvation har minst ett tal som är okänt. Vanligtvis kallar man ett okänt tal för x men även andra
bokstäver kan användas för det okända talet. Finns flera okända tal får varje okänt tal sin egen beteckning.
Två huvudspår finns när det gäller att lösa ekvationer, antingen gissar man lösningen eller så räknar
man ut den. Sedan kontrollerar man om det är rätt lösning, är det inte det måste man börja om på
nytt. Väljer du att räkna ut ekvationens lösning gäller följande regel:
Du måste alltid göra samma sak med hela höger led och hela vänster led!
Ordet ekvation betyder likhet. En ekvation är en likhet mellan två matematiska uttryck. De två
uttrycken skrivs alltså med ett likhetstecken emellan. Uttrycket som står till vänster om
likhetstecknet kallas vänstra ledet (VL) och uttrycket som står till höger om likhetstecknet kallas
högra ledet (HL).
Exempel 1:
2x – 3 = x + 5
 
VL  HL

likhetstecken
Ekvationen ovan betyder att två gånger ett obekant tal minskat med tre är lika mycket som samma
obekanta tal (en gång) ökat med fem. I detta fall (och i de flesta fall) används bokstaven x för att
beteckna det obekanta talet. Att lösa ekvationen innebär att finna ett värde (eller flera värden) som
det obekanta talet kan ha, så att vänstra ledet verkligen blir lika med det högra ledet. Ett sådant
värde som löser ekvationen kallas en rot till ekvationen. (Lösningen till ekvationen i exemplet ovan
är roten x = 8.)
56
Fastighetsakademin
– Kapitel 5a: Formler och ekvationer –
Ibland kan man direkt se lösningen, men om det inte går, så är metoden för att finna ekvationens
lösning, att skriva om ekvationen efter hand tills x står ensamt i ena ledet (VL eller HL) och det
andra ledet endast består av ett tal. (Om man använt någon annan bokstav än x för att beteckna det
obekanta talet, så är det förstås den bokstaven som ska stå ensam i ena ledet.) Metoden innebär att
efter det att de båda leden eventuellt förenklats så långt möjligt vart för sig, så behandlas båda lika
tills målet är nått. Hela tiden måste likheten mellan leden bevaras.
Att båda leden behandlas lika betyder exempelvis att
•
båda leden adderas med lika stora tal eller uttryck,
•
båda leden subtraheras med lika stora tal eller uttryck,
•
båda leden multipliceras med lika stora tal eller uttryck,
•
båda leden divideras med lika stora tal eller uttryck.
Exempel 2: Addition
x–5 =7
x–5+5 =7+5
x = 12
+5
Exempel 3: Subtraktion
x + 12 = 32
x + 12 – 12 = 32 – 12
x = 20
 – 12
Exempel 4: Multiplikation
x
5
x 5
5
x  5
5
x
=7
=7×5
×5
=7×5
= 35
Exempel 5: Division
5x
5×x
5 x
5
5  x
5
x
= 12
= 12
12
=
5
2
=2
5
= 2,4
/5
Observera att för att lösningar ska bli så lätta att följa som möjligt, så skriver man de efter hand
omskrivna ekvationerna under varandra och med likhetstecknen rakt under varandra.
Fastighetsakademin
57
– Kapitel 5a: Formler och ekvationer –
Ekvationer av första graden med flera obekanta (linjära ekvationssystem)
En ekvation är linjär om den eller de obekanta endast förekommer i första potensen.
Vid lösning av ekvationer med flera obekanta kan man använda sig av substitutionsmetoden:
1. Lös ut en obekant i en av ekvationerna (x eller y).
2. Sätt in detta uttryck i den andra ekvationen.
Exempel 1:
3x  y  5

y  2 x
————————
3x  (2 x )  5

5x  5

y
6x  7
2

x
Exempel 2:
14 x  3 y  1

6 x  2 y  7

———————————
6x  7

14 x  3
1

2
y   2
1
2
Substitution är synonym för insättning.
En annan metod är additionsmetoden.
1. Multiplicera vardera ekvationen med lämpliga tal, så att koefficienterna för x (eller y) blir
motsatta tal.
2. Addera ekvationerna ledvis så att x-termerna (eller y-termerna) försvinner.
Exempel 3:
14 x  3y  1

6 x  2 y  7

28x  6 y  2

18x  6 y  21
—————————

46 x  23

y   2
58

x
1
2
Fastighetsakademin
– Kapitel 5a: Formler och ekvationer –
Beräkningar med hjälp av formler och ekvationer
1.
x – 5 = 12
2.
3x = 36
3.
x/5=4
4.
3x + 4 = x + 14
5.
2x – 7 = 5x – 37
6.
2x / 3 + x / 6 = 10
7.
(x + 2) / 3 = 1
8.
2 ×  × x = 100
9.
3(2x – 5) = 45
10. En tv såldes med 10 % rabatt för 4 500 kr. Vilket var priset från början?
11. Antag att ett tal är 20 mer än ett annat tal. Deras summa är 730. Vilka är talen?
12. Folkmängden i en stad stiger med 4,2 % till 93 780 personer. Hur stor var folkmängden
innan?
13. Lars Evert satsade 20 kr och Conny satsade 12 kr på stryktips. De vann 640 kr. Hur skall de
fördela vinsten?
14. En gammal klassisk räknefråga… En far är 25 år äldre än sin son nu. Om 15 år är han dubbelt
så gammal som sonen. Hur gamla är de i dag?
15. Lös ekvationerna
a) 3x + 4 = 25
b) 4x – 3 = 2x + 8
16. Lös ekvationerna
x
a)  7
3
17. Lös ekvationen
b)
c) 2(x + 3) = 3(4 – x)
x3
7
3
x  1 2x  1

1
3
4
18. Lös ut ur varje formel den bokstav som står inom parantes efter formeln.
a) s = v × t (t)
b) v = v0 + a × t (t)
c) R = R0 × (1 + a × t)
d) T = 2 ×  × L × C
(C)
e)
P1 × T1 P2 × T2
=
V1
V2
(t)
(V2)
19. Lös ut p ut likheten b + ap = 5p. Det förutsätts att a inte är lika med 5.
20. Vid en löneförhandling diskuterades två olika alternativ.
I Månadslönen höjs med 5,0 % + 210 kr
II Månadslönen höjs med 7,4 %.
Vid vilken månadslön är de två alternativen likvärdiga?
21. I en by fanns 63 barn vilket var 21 % av alla invånare i byn. Hur många invånare fanns det i
byn?
22. Hastighetsmätare visar i regel för mycket, vilket borde innebära att ingen kör för fort. En
hastighetsmätare visade sig visa 6,0 % för mycket. Hur stor var den verkliga hastigheten när
mätaren visade 120 km/h?
Fastighetsakademin
59
– Kapitel 5a: Formler och ekvationer –
23. Du har en saltlösning som är 30 %-ig. Lösningen väger 150 g. Hur mycket salt skall du blanda
i lösningen för att den skall bli 40 %-ig?
24. Linus hoppade ut genom fönstret. Hans kompis Enok, som hade varit med på fysiklektionerna
visste att hastigheten vid fallet, åtminstone till en början, ges av formeln
v  2  g  s m/s där g = 9,82 m/s7 och s sträckan i meter
a) Vilken sluthastighet ger sträckan 6,0 m?
b) Vilken fallsträcka ger hastigheten 17,2 m/s?
25. Ta reda på mgn till 12, 9 och 21.
26. Effekten i en resistans kan beräknas med formeln
U2
P
där
R
P = effekten i watt (W)
U = spänningen i volt (V)
R = resistansen i ohm ()
Beräkna resistansen om spänningen är 230 V och effekten 160 W.
Lös följande ekvationer:
27. a) x + 4 = 10
b) x – 5 = 15
c) x + 20 = 30
28. a) x – 8 = 19
b) x + 4 = 15
c) x – 9 = 20
29. a) x – 3 = 18
b) x – 25 = 40
c) 60 = x + 20
30. a) 3x = 12
b) 20 = 4x
c) 6x = 15
b)
x
= 20
4
c) 5 =
32. a) x – 27 = 50
b)
x
= 20
5
c) 5x = 20
33. a) 8x = 12
b) 125 + x = 245
c) x – 19 = 100
b) 2x = 27
c) 50 = 27 + x
b) x + 25 = 100
c) x + 25 = 25
31. a)
34. a)
x
=9
2
x
= 33
3
35. a) 25x = 100
36. a) 40 =
x
4
b) 1,5 =
x
5
37. a) 2x + 3 = 17
b) 4x – 6 = 14
38. a) 3x – 12 = 18
b)
39. a) 4x – 14 = 16
b) 2x + 7 = 9
60
x
+5=8
2
Fastighetsakademin
x
3
c) 8x = 20
c) 5x + 20 = 40
c)
x
– 10 = 30
5
c) 25 = 5x + 13
– Kapitel 5a: Formler och ekvationer –
40. a) 3x – 7 = x + 23
b) 7x + 6x = 72 + x
41. a) 3x + 5 = 20 – 2x
b) 9x – 4x = 60
42. a) 4x = 2x + 80
b) 12 – 10 + 5x = 14 + 2x
43. Bestäm värdet av uttrycket 3x – 4y då
a) x = 5 och y = 2
b) x = 6 och y = 1
44. Anders köpte två chokladaskar för sammanlagt 168 kr. Den ena chokladasken kostade
3 gånger så mycket som den andra. Vad kostade den dyraste chokladasken?
Lös följande ekvationer:
45. a) x + 9 = 5
b) 4x – 2 = 0
46. a) 2x + 8 = 6
b) 15x – 10 = 20x
47. a) 4x + 7 = 2x
b) 13x – 8 = 12x – 8
48. a) 1 = x + x – 4
b) 80x – 10 = 10 – 20x
49. Titta på balansvågen. I den ena vågskålen ligger fem lika tunga
kulor. I den andra skålen ligger 3 likadana kulor och en säck som
väger 15 kg. Hur mycket väger en kula?
50. Kostnaden att hyra ett gästrum beror av antalet dagar enligt
K = 200 + 45x, där K = kostnad i kr och x = antal dagar.
Hur mycket kostar det att hyra gästrummet
a) 3 dagar
b) en vecka ?
Hur många dagar har Vanja hyrt gästrummet om det kostar
c) 425 kr
d) 605 kr ?
Lös följande ekvationer:
51. a) 3x + 5x + 8 = 32
b) 6x + 7 – 4x + 5 = 16
52. a) 33 = 4x – 8 + x + 11
b) 2x + 4x – 2 – 4 = 6
53. a) 10x + 20 = 6x – 60
b) x + 9 + 4x = 12 + 8x –15
54. Lin och Per är tillsammans 44 år. Lin är 26 år yngre än Per. Hur gammal är Lin?
55. a) x – 11 = 7 – 3x
b) 5,5 = 10 – 3x
56. a) 9 – 2x + 6 = 5x + 1
b) 1 – 3x + 3 = 9x – 8 + 12x
57. a) 4x + 4 + 2x = 8 – 2x – 4 – 7x
b) 12x – 3 – 20x + 4 = 10x – 17
58. Bestäm värdet av uttrycket 2x – 5y då
a) x = 5 och y = 7
b) x= 3 och y = –1
Fastighetsakademin
61
– Kapitel 5a: Formler och ekvationer –
59. Vilka av följande uttryck är lika med 1 – x ?
A: x + 1 – 2x
B: –x + 1
C: 2 – 1 + x
D: 3 – 2x – 2 + x
60. På en säsong har Dennis och Mats sammanlagt gjort 123 mål i fotboll. Hur många mål gjorde
Mats om Dennis gjorde
a) 13 mål fler än Mats
b) dubbelt så många mål som Mats?
Översikt
Förenkling av ett uttryck
Uttrycket 3x – 5 + x – 6 består av fyra termer.
När man förenklar uttrycket slås likformiga
termer ihop. Det förenklade uttrycket blir
4x – 11. Ett förenklat uttryck har så få termer
som möjligt.
Värdet av ett uttryck
Då x har ett bestämt värde t.ex. x = 5
så har uttrycket 4x – 11
värdet 4 × 5 – 11 = 20 – 11 = 9
Ekvation
En ekvation är en likhet som innehåller en
obekant vilken oftast betecknas med x.
5x = 3x + 6
5x – 3x = 6
2x = 6
x=6/2
x=3
Prövning av en ekvation
Man kan pröva om x = 3 är en lösning till
ekvationen 5x = 3x + 6.
Man ersätter då x med 3 i ekvationens båda led.
5 × 3 = 3 × 3 + 6 = 15 vilket stämmer, alltså är
x = 3 en lösning.
62
Fastighetsakademin
– Kapitel 5b: Massa, densitet och tryck –
5b Massa, densitet och tryck
Massan är en kropps materialinnehåll. Den mäts vanligtvis i gram (g), kilogram (kg) eller ton.
Enklaste sättet att ta reda på en kropps massa är att väga den.
3
Densiteten anger massan av en viss volym, vanlig enhet är kg/m .
3
Trä (furu, gran)
Betong
Tegel
Stål
Gips
Lättbetong
500 kg/m
3
2 400 kg/m
3
1 500 kg/m (även 1 300 och 1 700)
3
7 700 kg/m
3
710 kg/m
3
600 kg/m
Beroende på om vi befinner oss på jorden eller månen kommer vi påverkas av olika storlekar på
dragningskraften. En stor planet drar mer i oss än vad en liten himlakropp gör. Ju tyngre massa
desto mer trycker föremålet på underlaget. Enheten för kraft är N (newton) eller kN och anger hur
mycket kraft ett föremål trycker på underlaget.
På jorden påverkas en massa på ett kilo av en kraft som är ungefär 10 N (9,81 N).
För att beräkna massan används följande formel:
m=V×
där
m = massa
V = volym
 = densiteten
Exempel 1: Beräkna massan av en betongbalkfigur med längden 5 m, höjden 600 mm och
bredden 250 mm.
Beräkna först balkens volym.
3
V = b × l × h = 0,25 × 5 × 0,6 = 0,75 m
Beräkna sedan massan.
m = V ×  = 0,75 × 2 400 = 1 800 kg
Påkänning
Kraften är i praktiken utspridd över en yta och detta beräknas genom att fördela kraften över
anläggningsytan.
Påkänning = tryck = kraft/area.
2
Enheten blir N/m vilket även kallas Pascal (Pa). Pascal är en liten enhet där 1 Pa motsvaras av
ungefär trycket av ett vanligt papper på ett bord.
Fastighetsakademin
63
– Kapitel 5b: Massa, densitet och tryck –
Exempel 2: Med vilken kraft trycker en tvåplansvilla på bottenplattan? Villans massa är 60 ton och
2
bottenplattans area är 110 m .
Kraften = 9,81 × 60 000 = 588 600 N
2
2
Påkänningen = trycket = 588 600 N / 110 m = 5 351 N / m = 5 351 Pa
Beräkningar
1.
Beräkna massan av en betongbalkfigur med längden 30 m, höjden 50 cm och bredden
250 mm.
2.
Beräkna massan av en tegelvägg med längden 10 m, höjden 2,50 m och 22 cm.
3.
Vad väger en gammal stor gran på ett ungefär? Du måste göra en hel del antaganden för att
kunna lösa denna uppgift, t.ex. hur hög granen är och vilken diameter den har.
4.
Med vilken kraft trycker en container på marken om den väger 980 kg och bottenarean är
2
4m?
5.
a) Hur mycket tyngd måste parkeringsplatsen totalt tåla om det ska stå 50 bilar á 1 100 kg
2
inom en area av 350 m ?
2
b) Vad blir trycket per m ?
64
Fastighetsakademin
– Kapitel 6: Procent –
6 Procent
Ordet procent kommer från latinet och betyder hundradelar. En procentare var förr i världen en
person som lånade ut pengar mot oskälig ränta. Procenträkning är mycket viktigt och förekommer
överallt i samhället. Som exempel kan man ge valresultat, löneökningar, rabatter, moms m.m.
Vi kan börja med en liten sann historia: Det var en gång en mattelärare som träffade en gammal elev.
Läraren erinrade sig att eleven nog var den sämsta han haft genom tiderna. Eleven såg välmående ut,
ja nästan rik ut i sin fina Mercedes. ”Vad sysslar du med?” frågade läraren. ”Jag gör affärer”, blev
svaret. ”Hur går det?” frågade läraren, ”du var inte världsmästare i matte precis.” ”Jag köper kataloger
för 1 kr styck och säljer dem för 3 kr styck och på de 2 procenten klarar jag mig bra”, blev svaret.
När du har gått igenom procentavsnittet kan du säkert kommentera den här historien kritiskt.
En procent och hundra procent
En jämförelse
I en skolmatch i basket mellan Brobyskolan och Dalbyskolan gjorde Brobyskolan 34 poäng på
straffkast medan Dalbyskolan gjorde 27 poäng på straffkast.
Vilken skola lyckades bäst med straffkasten? Jämför vi antalet poäng blir svaret Brobyskolan. Men är
detta en bra jämförelse? Nej, man bör jämföra lagens poäng i förhållande till hur många straffkast
lagen hade.
Brobyskolan hade 40 straffkast och Dalbyskolan hade 30 straffkast.
Vi kan då jämföra:
34
27
med
40
30
Här är svårt att direkt se vilken andel som är störst. Vi uttrycker därför andelarna i decimalform.
Brobyskolan:
34
 0,85  85 hundradelar
40
Dalbyskolan:
27
 0,90  90 hundradelar
30
Dalbyskolan lyckas bäst med straffkasten. Som du säkert känner till kallar man en hundradel för en
procent. För procent använder vi tecknet %.
Brobyskolan gjorde alltså poäng i 85 % av straffkasten och Dalbyskolan i 90 % av straffkasten.
Varför procent
Procent anger hundradelar och är bra att använda när man vill jämföra andelar.
1%=
Procentform
1
= 0,01
100
Bråkform
100 % =
Decimalform
100
=1
100
Det hela är 100 %
Fastighetsakademin
65
– Kapitel 6: Procent –
Exempel 1: 75 % av figuren är färgad.
Hur många procent är ofärgad?
Svar: Det hela är 100 %. Hela figuren = 100 %.
Den ofärgade delen = 100 % – 75 % = 25 %.
Exempel 2: Figuren är delad i fem lika stora
Hur stor andel av figuren är färgad?
Svara i
a) bråkform
b) decimalform
Svar: 2 delar av 5 är färgade
2
2
a)
b)  0,4
5
5
delar.
c) procentform
c) 0,4 = 0,40 = 40 %
Exempel 3: Hur stor andel av tårtan är inte uppäten?
Svara i bråkform, decimalform och procentform.
Svar:
5
= 0,625 = 62,5 %
8
Exempel 4: Skriv i procentform med en decimal.
Använd miniräknare.
a) 1/32
b) 2/3
Svar: a)
b)
1
 0,03125  3,125 %  3,1 %
32
2
 0,6666...  66,666... %  66,7 %
3
Vid en omröstning på 2 skolor, A och B, i en stad noterades följande resultat. På skola A röstade
588 av 1 400 elever för att bibehålla kärnkraft, medan motsvarande siffror på skola B var 774 av
1 800. På vilken skola var andelen kärnkraftsanhängare störst? Vi undersöker bråken 588/1 400 och
774/1 800
A: 588/1 400 = 0,42 = 42/100
B: 774/1 800 = 0,43 = 43/100
På skola B röstade 43 av 100 för kärnkraft och på skola A 42 av 100. Andelen kärnkraftsanhängare
är större på skola B. Procent betyder hundradelar och tecknas %. Resultatet blir att skola B har
43 % och skola A har 42 % kärnkraftsanhängare.
1 % = 0,01, 2 % = 0,02, 17 % = 0,17 o.s.v.
66
Fastighetsakademin
– Kapitel 6: Procent –
En del enkla procenttal kan man se som bråk.
25 % = 0,25 = 1/4, 50 % = 0,50 = 1/2, 75 % = 0,75 = 3/4, 100 % = 1,00 = 1,
12,5 % = 0,125 = 1/8
33
1
1
%
3
3
66
2
2
%
3
3
1 % är alltså en hundradel. Det innebär att procentsatsen kan skrivas som procentform eller
decimalform.
Procenttal
1%
35 %
112 %
Decimaltal
0,01
0,35
1,12
Bråktal
1/100
35/100
112/100
Beräkningar
1.
4 % av en cirkel är färgad, hur många procent är ofärgad?
2.
Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i
a) bråkform
b) decimalform
c) procentform
3.
Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i
a) bråkform
b) decimalform
c) procentform
4.
Skriv i procentform med en decimal.
5
75
9
a)
b)
c)
8
32
128
5.
Hela figuren är 100%
Hur stor andel är skuggad?
a)
b)
d)
15
18
100%
50%
80%
6.
60 % av eleverna i en klass är flickor. Hur många procent är pojkar?
7.
Skriv i procentform.
a) 0,42
b) 0,03
c) 0,30
d) 0,305
Fastighetsakademin
67
– Kapitel 6: Procent –
8.
9.
Skriv i decimalform.
a) 65 %
b) 7 %
c) 70 %
d) 70,3 %
Hur stor del av figuren är färgad? Svara i
a) bråkform
b) decimalform
c) procentform
10. Hur stor del av figurerna är färgade? Svara i
a) bråkform
b) decimalform
c) procentform
I
II
11. Rita en rektangel. Skugga sedan 40 % av den.
12. Skriv i procentform med en decimal.
7
5
3
a)
b)
c)
8
12
22
d)
17
36
13. Var är arbetslösheten bland byggnadsarbetare störst, i Persboda eller Västerstad?
Antal byggnadsarbetare Persboda
Totalt
75
Arbetslösa
9
Västerstad
1 500
165
Undersök och diskutera.
68
Fastighetsakademin
– Kapitel 6: Procent –
Vanliga problemtyper:
De problem man ofta stöter på är av tre grundtyper. Det gäller alltså att fundera ut vilken typ av
problem är det jag skall lösa?
Exempel 1: Man frågar efter hur många procent ”en del” är av ”det hela”.
Hur många procent är 50 kr av 370 kr?
Uträkning: 50/370 = 0,135 = 13,5 %
Svar: 50 kr är 13,5 % av 370 kr
Exempel 2: Man frågar efter hur mycket delen är när man vet procentsatsen och ”det hela”.
Hur mycket är 15 % av 630 kr?
Uträkning: 0,15 × 630 = 94,5
Svar: 15 % av 630 kr är 94,5 kr
Exempel 3: Man frågar efter vad det hela är när man känner till procentsatsen och hur mycket
procentsatsen motsvarar.
70 % av en summa är 420 kr. Hur stor är summan?
Uträkning: 420/0,7 = 600
Svar: Summan är 600 kr
Alternativ av exempel 3 kan se ut så här:
En vara säljs med 20 % rabatt för 1 200 kr. Vad var priset före rabatt?
Ett mycket vanligt men felaktigt sätt att beräkna det är följande:
20 % av 1 200 är 0,20 × 1 200 = 240 kr. Priset innan var då 1 200 + 240 = 1 440 kr.
En kontroll visar då att 20 % av 1 440 kr är 0,20 × 1 440 = 288 kr.
1 440 kr – 288 kr = 1 152 kr d.v.s. det blir INTE 1 200 kr. Så här kan man göra:
20 % rabatt innebär att man betalar 80 %,
80 % motsvarar 1 200 kr,
1 % motsvarar 1 200/80 = 15 kr,
100 % motsvarar 100 × 15 = 1 500 kr.
Fullt pris är alltså 1 500 kr.
Ett annat sätt är att lösa problemet med en ekvation. Man antar att fullt pris är x kr.
Eftersom 80 % av priset är 1 200 kr blir ekvationen:
0,80 × x = 1 200
x = 1 200/0,80
x = 1 500
Fullt pris är 1 500 kr.
Fastighetsakademin
69
– Kapitel 6: Procent –
Procent, promille och ppm
Promille betyder tusendelar och betecknas ‰. ppm betyder miljondelar och betecknas ppm
(ppm = part per million). Promille används ofta när man talar om koncentrationen ren alkohol i
blodet medan ppm används när man talar om t.ex. föroreningar. Förkortningar av typen ppm, ppb
och pphm skall undvikas enligt en svensk standard (SS 01 61 18). (ppm, ppb och pphm betyder
part per million, part per billion (miljard) resp. part per hundred million.) Att vi fortfarande använder ppm beror på dess vida spridning i arbetslivet.
Problemtyper:
Hur mycket är 7 % av 800?
Hur mycket är 7 ‰ av 800?
Hur mycket är 21 ppm av 18 kg?
3
I 1 000 m vatten finns 22 liter av en förorening. Hur många ppm blir det?
Procent kan översättas med hundradel(ar). På samma sätt kan promille översättas med tusendel(ar)
och ppm med miljondel(ar). Procent, promille och ppm är alltså inte enheter på samma sätt som kg
och mil utan står egentligen i stället för en division med hundra, tusen respektive en miljon.
När vi har förändringar brukar man tala om ökning eller minskning med ett visst antal procent,
men om man beskriver förändringen med en indexserie, så anger indextalet till hur många procent
något ökat eller minskat jämfört med basåret (då index är 100).
Beräkning av procenttal och promille – division
Hur många procent (promille, ppm) är 5 g av 1,000 kg?
Lösning: Man dividerar med det man jämför med d.v.s. med det som tänks vara 100 % (i detta fall
1,000 kg = 1000 g). Så här
5g
= 0,005 = 0,5 % = 5 ‰ = 5 000 ppm
1 000 g
På samma sätt, om något ökar från 1 000 g till 1 005 g får man
1 005 g
= 1,005 = 100,5 %
1 000 g
Beräkningar
1.
2.
Skriv i decimalform
a) 3 ‰
b) 15,2 ‰
c) 2 ppm
Beräkna
a) 1,5 ‰ av 42 000
d) 25 ppm
b) 35 ppm av 60 000
3.
I ett land med 8 300 000 invånare föddes ett år 98 000 barn. Hur många promille var det av
hela befolkningen?
4.
Hur många ppm är 13 g av 6 500 kg ?
5.
Skriv i promilleform
a) 0,007
b) 0,001 6
c) 0,012
d) 0,000 2
Hur många promille är
a) 0,15 ml av 25 ml ?
b) 75 kr av 50 000 kr ?
6.
70
Fastighetsakademin
– Kapitel 6: Procent –
7.
a) Skriv 8 ‰ i decimalform.
b) Beräkna 8 ‰ av 45 000 kr.
8.
a) Skriv 3,5 ‰ i decimalform.
b) Beräkna 3,5 ‰ av 48 000 kr.
9.
Skriv i ppm-form
a) 0,000 19
b) 0,000 031
a) 2 g av 400 kg
b) 0,5 m av 25 km ?
10. Hur många ppm är
11. a) Uttryck 25 ppm i decimalform.
b) Beräkna 25 ppm av 80 000 kg.
12. 3 promille av folkmängden i Sverige är norrmän. Beräkna antalet, då folkmängden är
8 600 000.
13. Vid en kontroll av en bensinpump visade mätaren 50,0 l då man fyllt på 50,2 l. Hur många
promille fel visade mätaren?
14. Ett ägg som väger 60 g innehåller 0,72 mg järn. Bestäm järnhalten i ägget uttryckt i ppm.
15. I en förorenad sjö uppmättes DDT-halter på 400 ppm hos fiskarna. Hur mycket DDT innehåller en gädda på 2,3 kg ?
16. Högsta tillåtna nitrithalt i köttvaror sänktes år 1981 från 200 ppm till 150 ppm. Hur många
gram nitrit får 2,4 kg kött högst innehålla?
17. Födelsetalet i ett land ökade från 12,5 promille till 13,5 promille. Ange ökningen i
a) promilleenheter
b) promille
Förändringsfaktorn
Förändringsfaktorn 1,005 betyder en ökning (till 100,5 % och) med 0,5 %.
Om vi i stället har en minskning från 1 000 g till 995 g får man:
995 g
= 0,995 = 99,5 %
1 000 g
Förändringsfaktorn 0,995 betyder en minskning (till 99,5% och) med 0,5 %.
Exempel 1: Kalles lön är 12 400 kr per månad. Den stiger med 8 %. Beräkna den nya lönen.
Metod 1.
Startlön: 12 400 kr
Höjning: 0,08 × 12 400 = 992 kr
Ny lön: 12 400 + 992 = 13 392 kr
Metod 2.
Gammal lön = 100 %
Ökningen 8 % innebär att den nya lönen är 108 % av den gamla lönen.
Ny lön = 1,08 × 12 400 = 13 392 kr
1,08 kallas tillväxtfaktor eller förändringsfaktor.
Exempel 2: En TV kostar 4 900 kr. Den säljs med 8 % rabatt. Beräkna det nya priset.
Fastighetsakademin
71
– Kapitel 6: Procent –
Metod 1.
Pris = 4 500 kr
Rabatt = 0,08 × 4 900 = 392 kr
Nytt pris = 4 900 – 392 = 4 508 kr
Metod 2.
Man betalar 100 % – 8 % = 92 % av priset.
0,92 × 4 900 = 4 508 kr d.v.s. samma som i metod 1 men enklare.
Här är tillväxtfaktorn 0,92.
Exempel 3: Lisas lön var 12 000 kr. Den höjdes i tre steg, varje gång med 5 %. Beräkna slutlönen.
Metod 1.
Startlön = 12 000 kr
Höjning 1 = 0,05 × 12 000 = 600 kr
Ny lön = 12 000 + 600 = 12 600 kr
Höjning 2 = 0,05 × 12 600 = 630 kr
Ny lön = 12 600 + 630 = 13 230 kr
Höjning 3 = 0,05 × 13 230 = 661,50 kr
Slutlön = 13 230 + 661,50 = 13 891,50 kr
Metod 2.
3
12 000 × 1,05 × 1,05 × 1,05 = 12 000 × 1,05 = 13 891,50 kr
Man kan multiplicera ihop flera tillväxtfaktorer i rad.
Exempel 4: Ett pris ökar från 50 kr till 65 kr. Hur många procent är höjningen?
Metod 1.
Ökning = 65 – 50 = 15 kr.
ökning
15
=
= 0,30 = 30 %
ursprungspris 50
Metod 2.
det nya priset
65

 1,30 d.v.s. ökning med 30 %
det gamla priset 50
Exempel 5: Ett pris sjunker från 75 kr till 60 kr. Hur många procent är det?
Metod 1.
Sänkning = 75 – 60 = 15 kr
Andel = 15/75 = 0,20 = 20 %
Metod 2.
60/75 = 0,80 = 80 % d.v.s. sjunker med 20%
Som du ser kan man förenkla en del problemlösning med hjälp av tillväxtfaktorn, men problemen
kan också lösas på andra men ofta mer tidskrävande sätt.
72
Fastighetsakademin
– Kapitel 6: Procent –
Exempel 6: Till vilket belopp växer
a) 1 000 kr på 15 år om räntan är 8 %
15
Lösning: 1 000 × 1,08 = 3 172 kr
b) 1 kr insatt vid Jesu födelse år 0 mot 1 % ränta på 1 996 år.
1996
Lösning: 1 × 1,01 = 422 145 409 kr d.v.s. ungefär 422 miljoner.
c) Samma krona som i b) men mot 5 % ränta.
1996
42
Lösning: 1 × 1,05 = 1,97 × 10 kr eller utskrivet
1 970 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kr.
Här ligger den svenska statsskulden i lä!
Procent och procentenheter.
Man skiljer mellan procent och procentenheter. När t.ex. riksbanken sänker diskontot från 5,0 %
till 4,5 % säger man att sänkningen är 0,5 procentenheter medan sänkningen i procent är
0,5/5 = 0,10 = 10 %.
Vid en enkät på en skola svarade 40 % av eleverna att de hade en dator hemma. Året därpå svarade
60 % att de hade en dator. Två ortstidningar redovisade andra årets undersökning på olika sätt.
Vilken tidning har redovisat förändringen korrekt?
A-Kuriren
B-Posten
Antalet datorer i hemmen ökar
med 20 %
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
Antalet datorer i hemmen ökar med
50 %
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
Om ett pris på 40 kr ökar till 60 kr kan vi säga att
– ökningen är 20 kr eller
– ökningen är 20/40 = 0,5 = 50 %
En prisändring kan vi uttrycka i kronor eller procent. På ett liknande sätt kan vi uttrycka förändringar av en procentsats. Om en procentsats ökar från 40 % till 60 % säger vi att
– ökningen är 20 procentenheter eller
– ökningen är 20/40 = 0,5 = 50 %
Du ser att B-Posten ger korrekt information. A-Kuriren skulle ha skrivit ”Antalet datorer i hemmen
ökar med 20 procentenheter”.
Exempel 1: Banken sänkte räntesatsen från 5 % till 4,4 %. Hur stor var räntesänkningen i
a) procentenheter
b) procent?
Uträkning:
a) Sänkning från 5 % till 4,4 %. Sänkningen var 0,6 på 5.
Sänkningen var 0,6 procentenheter.
b)
sänkningen
0,6

 0,12  12 %
gamla vär det
5
Svar: a) 0,6 procentenheter
b) 12 %
Fastighetsakademin
73
– Kapitel 6: Procent –
Beräkningar
1.
Räntesatsen på ett bankkonto är 4 %. Vad blir den nya räntesatsen om den
a) höjs med 1 procentenhet?
b) sänks med 0,5 procentenheter?
2.
Med hur många procentenheter har räntesatsen ändrats om den ändras
a) från 7 % till 10 %?
b) från 4,5 % till 3 %?
3.
Arbetslösheten ökade under ett år från 8 % till 10 %. Hur stor var ökningen i
a) procentenheter?
b) procent?
4.
Räntesatsen på ett lån är 11 %. Vilken blir den nya räntesatsen om den
a) höjs med 2 procentenheter?
b) sänks med 1 procentenhet?
5.
Skatten höjdes för vissa inkomster från 50 % till 55 %. Hur många procentenheter höjdes
skatten?
6.
En försäljares provision ändras vid en löneförhandling från 25 % till 30 %.
a) Hur många procentenheter ökar provisionen?
ökningen
b) Beräkna
ursprunglig provision
c) Hur många procent ökar provisionen?
7.
Marknadsandelen för ett bilmärke ökade från 10 % till 13 %. Hur stor var ökningen i
a) procentenheter?
b) procent?
8.
En butik lämnade ett år 5 % i återbäring. Året därpå sänktes återbäringen till 4 %. Hur stor
var sänkningen i
a) procentenheter?
b) procent?
9.
Födelsetalet i ett land ökade med 0,1 procentenheter till 1,1 %.
a) Vilket var födelseantalet före ökningen?
b) Hur stor var ökningen i procent?
10. Enligt en väljarundersökning minskade moderaternas andel av väljarkåren från 30 % till 27 %.
Två tv-kanaler sa så här
TV-12: Moderaterna minskar med 10 %
Q-TV: Moderaterna minskar med 3 %
Vilken TV-kanal presenterar nyheten korrekt? Förklara.
74
Fastighetsakademin
– Kapitel 6: Procent –
Beräkning av procentsatsen och nya värdet
Problem:
Beräkning av procentsatsen
Vi vet gamla värdet och nya värdet. Vi vill veta förändringen i procent.
Exempel 1: Pia fick vid en utförsäljning köpa en moped som kostar 5 600 kr för 4 200 kr.
Hur många procents rabatt fick Pia?
1. Rabatten i kr = 5 600 kr – 4 200 kr = 1 400 kr
2. Rabatten i procent =
1 400
rabatten

 0,25  25 %
gamla priset 5 600
Svar: Pia fick 25 % rabatt.
När du ska beräkna hur stor en förändring är i procent ska du ställa upp:
ökningen
gamla vär det
eller
min skningen
gamla vär det
Problem
Beräkning av nya värdet
Vi vet gamla värdet och förändringen i procent. Vi vill veta nya värdet.
Exempel 2: En CD-spelare kostar 700 kr. Vad kostar den om priset höjs med 15 %?
1. Gamla priset = 700 kr
2. Ökning i kr = 15 % av 700 kr = 0,15 × 700 kr = 105 kr
3. Nya priset = 700 kr + 105 kr = 805 kr
Svar: CD-spelaren kostar 805 kr efter prisökningen.
När du ska beräkna det nya värdet vid en förändring ska du ställa upp:
nya värdet = gamla värdet + ökningen
nya värdet = gamla värdet – minskningen
eller
Beräkningar
1.
En CD-skiva som kostar 150 kr säljs för 135 kr.
a) Hur stor är rabatten i kronor?
b) Hur stor är rabatten i procent?
2.
Ett månadskort för buss kostade 350 kr. Man beslutade att höja priset med 12 %.
a) Hur stor blev höjningen i kronor?
b) Vad kostade månadskortet efter höjningen?
Fastighetsakademin
75
– Kapitel 6: Procent –
3.
En bilist ökar hastigheten från 50 km/h till 70 km/h. Med hur många procent ökar den?
4.
En person som väger 80 kg bantar bort 10 % av vikten. Vad väger han sedan?
5.
Vid en längdhoppstävling ökade Mattias sitt personliga rekord från 600 cm
till 630 cm. Bestäm
a) ökningen i cm,
b) ökningen i procent.
6.
En jacka för 400 kr säljs med 30 % rabatt.
a) Bestäm rabatten i kronor.
b) Bestäm det nya priset.
7.
Ett flygplans hastighet sänks från 750 km/h till 600 km/h. Med hur många procent sjunker
farten?
8.
Folkmängden i en kommun är 50 000. Hur stor blir den om den
a) ökar med 3 %?
b) minskar med 2 %?
9.
Beräkna den procentuella ändringen när ett pris ändras
a) från 200 kr till 250 kr,
b) från 250 kr till 200 kr.
10. För en begagnad bil betalar Martin 42 000 kr. Värdeminskningen per år uppskattas till 10 %.
Vad bör då bilen vara värd ett år senare?
11. Matilda sätter in 3 000 kr på ett konto i en bank. Banken ger 3,5 % i årsränta. Hur mycket har
Matilda på kontot efter 1 år?
12. Skriv text till en procentuppgift som ger beräkningen
a) 620 + 0,15 × 620
b) 800 – 0,05 × 800
Vilken procentsats?
Tre basproblem
procentsatsen
30%
delen
av
det hela
200 kr
=
60 kr
Vi söker procentsatsen
Exempel 1: Hur många procent är 60 kr av 200 kr?
delen
60

 0,30  30 %
det hela 200
Svar: 30 %
76
Fastighetsakademin
– Kapitel 6: Procent –
Vi söker delen
Exempel 2: Hur mycket är 30 % av 200 kr?
1 % av 200 kr är 1/100 av 200 kr = 2 kr
Men 0,01 × 200 kr = 2 kr, d.v.s.
1 % av 200 kr = 0,01 × 200 kr = 2 kr, och
30 % av 200 kr = 30 × 0,01 × 200 kr = 0,30 × 200 kr = 60 kr
Vi kan direkt skriva
30 % av 200 kr = 0,30 × 200 kr = 60 kr
Svar: 60 kr
30 × 0,01 = 0,30
Överför till
decimalform
Vi söker det hela
Exempel 3: 30 % av en summa är 60 kr. Hur stor är summan?
30 % av en summa är 60 kr.
1 % av summan är 60/30 kr = 2 kr
100 % av summan är 100 × 2 kr = 200 kr
Svar: 200 kr
Beräkningar
1.
Hur många procent är
a) 9 g av 45 g
b) 213 ton av 355 ton?
2.
Beräkna
a) 5 % av 140 kr
b) 16 % av 3850 kr
3.
a) 2 % av ett tal är 10. Vilket är talet?
b) 15 % av en sträcka är 6 750 m. Hur lång är sträckan?
4.
a) Hur många procent är 360 kr av 3 000 kr?
b) Hur mycket är 25 % av 7 000 kr?
c) 6 % av ett tal är 18. Vilket är talet?
5.
a) Hur mycket är 8,5 % av 4 000 km?
b) 9 % av ett tal är 36. Vilket är talet?
c) Hur många procent är 405 m av 9 000 m?
6.
Hur många procent är 72 kr av 288 kr?
a) Hur många kronor är delen?
b) Hur många kronor är det hela?
delen
c) Beräkna
och besvara frågan.
det hela
7.
Hur många procent är
a) 3 av 5
b) 3 av 12
8.
c) 5 av 25
d) 72 av 600 ?
Hur mycket är 12 % av 750 kr?
a) Skriv 12 % i decimalform.
b) Ställ upp hur man beräknar 12 % av 750 kr.
c) Gör beräkningen och besvara frågan
Fastighetsakademin
77
– Kapitel 6: Procent –
9.
Beräkna
a) 10 % av 240
b) 15 % av 400
10. 5 % av ett tal är 750
a) Vad är 1 % av talet?
c) 6 % av 8 500
b) Vad är 100 % av talet?
d) 3 % av 600
c) Vilket är alltså talet?
11. a) 3 % av ett tal är 60. Vilket är talet?
b) 12 % av ett tal är 60. Vilket är talet?
c) 40 % av ett tal är 60. Vilket är talet?
12. Hur många procent är
a) 702 kr av 3 510 kr?
b) 70 g av 875 g?
13. Beräkna
a) 6 % av 75 miljoner
b) 75 % av 24 m
14. a) Hur många procent är 12 av 60?
b) 8 % av ett tal är 24. Vilket är talet?
c) Hur mycket är 30 % av 250?
15. a) Hur mycket är 90 % av 740?
b) Hur många procent är 14 av 56?
c) 9 % av ett tal är 63. Vilket är talet?
16. Beräkna
a) 14 % av 250 kr
b) 14,4 % av 500 mm
c) 6,2 % av 400 m
d) 82,5 % av 200 l
17. Hur många procent är
a) 408 kg av 2 000 kg?
b) 5 239 personer av 6 500 personer?
18. a) 2 % av en sträcka är 240 m. Hur lång är sträckan?
b) 2,5 % av ett kapital är 9 600 kr. Hur stort är kapitalet?
19. a) Hur många procent är 484 g av 800 g?
b) Beräkna 4,2 % av 12 000 km.
c) 8,5 % av ett kapital är 425 kr. Hur stort är kapitalet?
20. Pelle räknar ut 0,15 av 90 såhär:
– Vad gör han för fel?
0,1 × 90 = 9
21. Hur vet du vilket av bråken
11
3
75
29
26
42
31
76
41
51
som är ungefär lika med
a) 100 %
b) 50 %
78
c) 25 %
Fastighetsakademin
d) 10 %?
– Kapitel 6: Procent –
Tillämpningar
Vi söker procentsatsen
Exempel 1: Vid en trafikkontroll körde 112 av 153 bilar för fort.
Hur många procent var det? Svara med hela procent.
Miniräknare
Avrunda till 2 decimaler
delen 112

 0,732026...  0,73  73 %
hela 153
Kontroll: 73 % av de 153 bilarna körde för fort = 0,73 × 153 = 111,69 ≈ 112
Svar: 73 % av bilarna körde för fort.
Vi söker delen
Exempel 2: Paola har 12 000 kr på ett bankkonto där räntesatsen är 4 %. Vad får hon i årsränta?
Årsräntan = 4 % av 12 000 kr = 0,04 × 12 000 kr = 480 kr.
Kontroll:
årsrän tan
480

 0,04  4 %
kapitalet 12 000
Svar: Årsräntan är 480 kr.
Vi söker det hela
Exempel 3: Vid en bokrea sänktes alla priser med 40 %. På en bok sänktes priset med 80 kr. Vad
hade boken kostat?
40 % av det gamla priset = 80 kr
1 % av det gamla priset =
80
kr  2 kr
40
100 % av det gamla priset = 100 × 2 kr = 200 kr
Kontroll: 40 % av 200 kr = 0,40 × 200 kr = 80 kr
Svar: Boken hade kostat 200 kr.
Fastighetsakademin
79
– Kapitel 6: Procent –
Beräkningar
1.
I en skola var 468 av 1 040 elever flickor. Hur många procent av eleverna var flickor?
2.
Emma har 7 400 kr på ett bankkonto där räntesatsen är 3 %. Vad får hon i årsränta?
3.
Mattias fick 84 kr för årets bensinkvitton. Hur mycket har han köpt för om återbäringen är 2 %?
4.
Årsräntan för ett lån på 70 000 kr är 5 250 kr. Beräkna räntesatsen.
5.
Vid en kvalitetskontroll av olika typer av skruvar var 0,67 % defekta. Hur många var defekta
om man testade 1 200 st?
6.
Pernilla fick 150 kr i årsränta på ett bankkonto med 5 000 kr. Vilken var räntesatsen?
a) Vilken årsränta fick Pernilla?
b) Vilket kapital hade hon?
årsrän tan
c) Beräkna
kapitalet
d) Besvara frågan.
7.
Vid en realisation kan Erik köpa en freestyle med 20 % rabatt. Ordinarie pris var 550 kr. Hur
stor var rabatten i kronor?
a) Skriv 20 % i decimalform.
b) Ställ upp hur du kan beräkna 20 % av 550 kr
c) Utför beräkningen och svara på frågan.
8.
Petras månadslön höjs med 4 %. Den ökar då med 540 kr. Hur stor var månadslönen före
löneökningen?
a) Hur mycket är 4 % av månadslönen?
b) Hur mycket är 1 % av månadslönen?
c) Hur mycket är 100 % av månadslönen?
d) Vilken var alltså månadslönen före löneökningen?
9.
116 personer sökte en kurs. Man tog in 29 st. Hur många procent kom in på kursen?
10. Under en realisation sänks priserna med 35 %. Bestäm rabatten i kronor
om ordinarie priset är 1 840 kr.
11. Jens hoppade 155 cm i höjd i sitt första hopp. I andra hoppet ökade han
höjden med 8 cm. Hur stor var ökningen i procent? Svara med en decimal.
12. Annika har ett lån där räntesatsen är 12 %. Hur stort är lånet då räntesatsen är 5 520 kr?
13. Skriv text till en procentuppgift som ger beräkningen
a) 0,45 × 600 = 270
b) 0,04 × 8 000 = 320
14. Skriv i procentform
a) 1,08
b) 2,35
c) 18/5
15. Skriv i decimalform
a) 135 %
b) 270 %
c) 406 %
16. År 1977 kostade en biobiljett 15 kr. I början av år 1998 betalade Lena 75 kr för en biobiljett
på Filmstaden. Hur många procent är 75 kr av 15 kr?
80
Fastighetsakademin
– Kapitel 6: Procent –
17. Beräkna 108 % av 2 400 kr.
18. Skriv i procentform
a) 1,09
b) 2,85
c) 15/4
19. Skriv i decimalform
a) 103 %
b) 240 %
c) 545 %
20. Hur många procent är 175 kr av 140 kr?
21. Beräkna 140 % av 210 kr.
22. Skriv i procentform
a) 0,35
b) 1,35
c) 1,5
d) 2,85
23. Skriv i decimalform
a) 76 %
b) 176 %
c) 140 %
d) 348 %
24. Skriv i procentform
a) 4/5
b) 5/4
c) 9/4
d) 36/15
25. En filmrulle kostade 8 kr år 1974 och 36 kr år 1994. Hur många procent är 36 kr av 8 kr?
Pr iset 1994
a) Teckna
b) Beräkna kvoten och besvara frågan.
Pr iset 1974
26. Beräkna 135 % av 8 400 kr.
a) Skriv 135 % i decimalform
b) Teckna den beräkning du ska göra.
c) Gör beräkningen och besvara frågan.
27. Beräkna 208 % av 12 000 m.
a) Skriv 208 % i decimalform
b) Teckna den beräkning du ska göra.
c) Gör beräkningen och besvara frågan.
28. Hur många procent är
a) 20 kr av 25 kr
b) 25 kr av 20 kr ?
29. Beräkna
a) 108 % av 12 000 kr
b) 320 % av 80 kr
30. Längden av ett par slalomskidor bör vara 115 % av skidåkarens längd. Hur långa skidor bör
a) Filip ha som är 180 cm lång
b) Emma ha som är 160 cm lång?
31.
Vikt: 308 gram
Fett: 53 gram. Nio gram mer än vad de flesta behöver totalt på en dag.
Hur många procent av dagsbehovet fett får man då man äter detta?
32. 150 % av 2 000 kr är A: 1 000 kr, B: 1 500 kr, C: 3 000 kr?
Kan du utan att räkna säga vilket svar som är rätt? Förklara!
33. Ordna följande tal i storleksordning med det minsta först.
1,05
150 %
11/10
7/5
Fastighetsakademin
81
– Kapitel 6: Procent –
34. Bestäm förändringsfaktorn.
a)
b)
c)
d)
Gamla värdet
60
20
180
175
Nya värdet
50
24
171
280
35. Hur stor är förändringen i procent?
a)
b)
Gamla värdet
28
35
Nya värdet
35
28
Beräkna procentsatsen med en decimal om inget annat sägs.
36. Hur stor är förändringen i procent då förändringsfaktorn är
a) 1,03
b) 1,30
c) 1,08
d) 1,80 ?
37. Hur stor är förändringen i procent då förändringsfaktorn är
a) 0,95
b) 0,90
c) 0,85
d) 0,60 ?
38. Hur stor är förändringen i procent då förändringsfaktorn är
a) 0,96
b) 1,13
c) 1,65
d) 0,49 ?
39. Ett pris ökar från 48 kr till 60 kr.
a) Bestäm förändringsfaktorn.
b) Hur stor är ökningen i procent?
40. Ett pris minskar från 60 kr till 51 kr.
a) Bestäm förändringsfaktorn.
b) Hur stor är minskningen i procent?
41. Vid en realisation sänktes priset på ett par jeans från 480 kr till 384 kr.
a) Bestäm förändringsfaktorn.
b) Bestäm prissänkningen i procent.
42. En firmas omsättning sjönk från 250 000 kr till 175 000 kr.
a) Bestäm förändringsfaktorn.
b) Bestäm minskningen i procent.
43. Tolka följande förändringsfaktorer som en procentuell ökning eller minskning.
a) 1,125
b) 0,875
c) 2,043
d) 0,707
44. Den tillåtna blyhalten i bensin har sänkts från 0,40 mg/l till 0,15 mg/l. Med hur många
procent sänktes värdet?
45. Priset på en vara steg från 400 kr till 950 kr. Bestäm prishöjningen i procent.
46. a) Bob Beamon höjde 1968 världsrekordet i längdhopp från 835 cm till 890 cm.
Ange höjningen i procent.
b) År 1991 höjde Mike Powell rekordet till 895 cm. Hur stor var denna höjning i procent?
82
Fastighetsakademin
– Kapitel 6: Procent –
Översikt
Hur mycket är alltsammans om 15 % av det är 45 m?
15 % av alltihop är 45 m
45 m
15
45 m
 100  300 m
(100 % av) alltihop är
15
1 % av alltihop är
En kvot av två storheter eller tal anges ibland i procentform , särskilt då man vill ange storleksförhållanden t.ex. vid en förändring. Procenttecknet (%) utläses procent och betyder hundradelar.
I procenträkning arbetar man med tre grundbegrepp:
Det totala: hela mängden, hela beloppet o.s.v. Det totala svarar mot en hel eller 100/100 eller 100 %.
Procentsatsen: 2 %, 7 %, 12,5 % o.s.v. Procentsatsen anger, hur många hundradelar man ska ta av
det totala. 2 % anger, att man ska ta 2 hundradelar o.s.v.
Procentdelen: en del av det totala (mängden, beloppet o.s.v.). Talet före procenttecknet anger
antalet procentenheter.
Storhetsförhållanden kan även anges i promille, som tecknas ‰ och betyder tusendelar.
En storhet ändras med ett visst procenttal. Man kan då beräkna det nya värdet genom att multiplicera det ursprungliga värdet med en tillväxtfaktor (förändringsfaktor). T.ex. 120 plus 20 % av 120
blir 120 × 1,2 = 144. Vid ökning är denna faktor större än 1, vid minskning är mindre än 1.
Procent
7 % = 7/100 = 0,007
procentform, bråkform, decimalform
Det hela = 1 = 100 %
Hälften = 1/2 = 50 %
En fjärdedel = 1/4 = 25 %
Vi söker procentsatsen
a) procentsatsen = delen/hela
Om 3 elever av 25 är sjuka, så är
3/25 = 0,12 = 12 % av eleverna sjuka.
b) procentsatsen = förändringen /värdet från början
Antag att priset för en vara ökar från 20 kr till 26 kr.
Förändringen är då 6 kr.
Ökning i % = 6/20 = 0,30 = 30 %.
Vi vet procentsatsen
25 % av 400 kr = 0,25 × 400 = 100 kr
eller 1/4 av 400 kr = 100 kr
Ränta
Ränta = kapital × räntesats × tid där tiden är uttryckt i
år. Räntan under en månad = 1/12 av årsräntan
Fastighetsakademin
83
– Kapitel 7: Index –
7 Index
Index används i två betydelser inom matematiken. Dels är det beteckningen för det lilla eller de små
tal som står nertill till höger om en bokstavsbeteckning – t.ex. som de tal som används för att numrera rötterna när man anger lösningen till en ekvation med flera rötter (x1, x2 o.s.v.), dels avses de
indextal i en indexserie som används för att visa hur priser, intäkter eller kostnader förändras med
tiden. Det är index i denna senare betydelse som detta handlar om.
När vi har förändringar brukar man tala om ökning eller minskning med ett visst antal procent,
men om man beskriver förändringen med en indexserie, så anger indextalet till hur många procent
något ökat eller minskat jämfört med basåret (då index är 100). Något procenttecken skrivs aldrig
efter indextalet.
En typisk indexserie kan se ut så här:
(I detta fall är också de priser som ligger till grund för indexserien angivna.)
År
Index
Pris
1970
1980 (basår)
1990
2000
86
100
159
178
13,50 kr
15,75 kr
25,00 kr
28,00 kr
Priset år 1970 (13,50 kr) är enligt indextalet 86 % av priset vid basåret, år 1980, (15,75 kr) (86 %
fås genom att ta 13,50/15,75) och därmed är priset år 1970 100 % – 86 % = 14 % lägre än basårspriset. Priset år 1990 (25,00 kr) är på samma sätt (25,00/15,75) 159 % av priset vid basåret och
därmed är det 159 % – 100 % = 59 % högre än basårspriset och priset år 2000 (28,00 kr) är 178 %
av priset vid basåret och alltså 178 % – 100 % = 78 % högre än basårspriset. (Observera att detta
inte innebär att den procentuella ökningen från år 1990 till år 2000 skulle kunna beräknas genom
att subtrahera 178 med 159, utan den måste beräknas på vanligt sätt med hjälp av förändringsfaktorn 178/159 = 1,12 – eller ännu hellre 28,00/25,00 = 1,12 – d.v.s. ökningen är 12 %.)
84
Fastighetsakademin
– Kapitel 7: Index –
Konsumentindex
Det i Sverige mest kända indextalet är säkert KPI – Konsumentprisindex. KPI bygger inte på en
varas prisutveckling utan på flera varors prisutveckling. Varje månad räknas indextal fram för olika
varugrupper och dessa indextal vägs sedan samman till medelvärdet KPI. Vägningstalen (vikterna)
sätts med hänsyn tagen till de olika varugruppernas tyngd i ett normalhushålls budget. KPI används
som ett mått på inflationen och för att styra storleken på olika avgifter till och ersättningar och
bidrag från exempelvis samhället och försäkringar. Tidigare användes 1949 som basår för KPI.
Numera är basåret 1980.
För att illustrera principen vid beräkning av vägda indextal följer här ett förenklat exempel. I
exemplet antas normalpersonen år 1 (basåret) leva på 2,0 kg bananer och 1,0 liter mjölk om dagen.
Bananerna kostade då 10 kr/kg och mjölken 5 kr/l. År 2 lever han på 2,5 kg bananer och 0,5 liter
mjölk om dagen och priserna har ändrats till 11 kr/kg för bananerna och 7 kr/l för mjölken.
År
1
(basår)
2
Kilopris för bananer
10
11
Index (avseende bananpriset)
100
110
Kostnad per dag för bananer
2 × 10 = 20 kr
2,5 × 11 = 27,50 kr
5
7
100
140
Kostnad per dag för mjölk
1 × 5 = 5 kr
0,5 × 7 = 3,50 kr
Sammanvägt index
 20  100  5  100


20  5

Literpris för mjölk
Index (avseende mjölkpriset)

  100

27,5  110  3,5  140
 113,4
27,5  3,5
Resultatet kan tyckas inte helt rättvisande. Om man i stället hade räknat på totalkostnaden direkt,
hade man ju fått ett indextal på 124 (31/25), som ju är klart mer än 113. Vanligen är dock
förändringarna i konsumtionsmönstret mindre än i exemplet ovan, och då blir det inte så stor
skillnad.
Fastighetsakademin
85
– Kapitel 8: Statistik och diagram –
8 Statistik och diagram
Lägesmått
Exempel 1: Vid en undersökning i en klass på 15 elever noterades för varje elev antalet syskon.
Resultatet blev: 3, 2, 1, 4, 0, 0, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 5. Man kan beskriva materialet
med 3 olika mått.
1. Medelvärde: Betecknas med x .
Medelvärdet =
summan av alla observationer
antalet observationer
30
2,
15
d.v.s. medelvärdet är 2 syskon/elev.
Här blir x 
2. Typvärde: Betecknas med T. Typvärdet = Den vanligaste observationen. Här blir
T = 1 (5 st ettor). Typvärdet är 1.
3. Median: Betecknas med Md. Median = värdet i mitten när man ordnat materialet i
storleksordning
0,0,1,1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5
  
7 st Median
7 st
Md = 2 d.v.s. medianen är 2.
Medelvärdet är det vanligaste lägesmåttet. Medianen används när det förekommer ett litet antal
kraftigt avvikande värden i materialet, t.ex. löner i ett företag. Observera att medianen räknas ut på
olika sätt beroende på om man har ett jämt eller udda antal observationer.
Exempel 2:
Beräkna medelvärde, median och typvärde för materialet nedan.
a) 2, 7, 6, 8, 5, 10, 8
b) 3, 1, 2, 5, 9, 7, 7, 4
a) Ordna materialet i storleksordning:
2, 5, 6, 7, 8, 8, 10
2  5  6  7  8  8  10 46

 6,5
7
7
T = 8, Md = 7
x
b) Storleksordning: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 7, 9
x
38
 4,75
8
T = 8, Md 
86
45
 4,5
2
Fastighetsakademin
– Kapitel 8: Statistik och diagram –
Exempel 3: I en klass fanns 10 pojkar. Deras skonummer var i tur och ordning 42, 43, 44, 46, 43,
42, 42, 41, 42, 39. Vilket lägesmått skulle du svara med?
Här är nog typvärdet eller möjligen medianen det bästa måttet. T = 42 och Md = 42.
Exempel 4: Bestäm sju tal med medianen 10 och medelvärdet 12.
Det finns många lösningar på problemet. Talens summa är 7 × 12 = 84. 10 ligger i
mitten. Man kan tänka sig talen 3, 7, 9, 10, 12, 16, 27.
Exempel 5: I en klass med 30 elever blev medelvärdet för klassen 18,0 poäng. De 20 pojkarna
hade medelvärdet 16 poäng. Beräkna flickornas medelvärde.
Medod 1.
Poängsumman för hela klassen är 30 × 18 = 540 poäng.
Pojkarna har 20 × 16 = 320 poäng.
Flickorna har då 540 – 320 = 220 poäng,
vilket ger medelvärdet 220 / 10 = 22 poäng.
Metod 2.
Antag att flickornas medelvärde är x poäng.
Ekv.
20  16  10  x
 18
30
320 + 10x = 540
10x = 220

x = 22
Svar: 22 poäng
Mycket statistik redovisas i form av tabeller eller diagram. Detta gäller alla ämnesområden. Därför
är det viktigt att kunna avläsa både tabeller och diagram.
Tabeller
Exempel 1: Hur stort är förädlingsvärdet för den kemiska industrin?
Näringsgren
Livsmedel m.m.
Textil m.m.
Trävaru
Massa m.m.
Kemisk industri
Järnverk m.m.
Verkstadsindustri
Arbetsställen
848
318
953
1 098
736
168
3 557
Förädlingsvärde,
1 000 kr
231 648 000
3 602 607
12 603 742
35 527 824
33 942 022
12 438 450
103 161 586
Svar: Förädlingsvärdet är 33 942 022 000 kr
Fastighetsakademin
87
– Kapitel 8: Statistik och diagram –
Diagram
Exempel 1: Hur många bilar av märket Opel
nyregistrerades under 1994?
Nyregistreringar 1994
Antal
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
Svar: Drygt 10 000 Opelbilar nyregistrerades
Olika typer av diagram
Det finns flera olika diagramtyper som förekommer ofta. Några av de vanligaste är cirkeldiagram,
stapeldiagram, stolpdiagram och histogram. Vilket man använder beror på vilken typ av data och
vad man vill visa med statistiken.
Stolpdiagram
Ett stolpdiagram visar frekvenserna av rangordningsbara observationer (d.v.s. tal) som ”stolpar” eller
vertikala streck.
Exempel 1: När tolv matcher var spelade i en bandyserie
var antalet matcher med visst antal mål
fördelade enligt vidstående diagram.
Antal
matcher
4
3
2
Vi ser till exempel att det blev tre mål gjorda
i två av de spelade matcherna.
1
0
0
1
2
3
4
5
Antal
gjorda
mål
Stolpdiagram används när man har några få heltalsvärden.
Histogram
Ett histogram visar frekvensen av observationer av en rangordningsbar storhet inom ett intervall. Att
dela in observationerna i intervall kallas för att klassindela materialet. Alla intervall skall vara lika
stora.
Histogrammet nedan visar hur många vedträn, med en
längd inom ett givet intervall, som det fanns i en vedtrave. Histogramet visar t.ex. att det var 35 vedträn i
längder mellan 36 och 37 cm.
Antal vedträn
40
30
20
10
Histogram används när man har:
35
Stora material
Stor spridning
Låga frekvenser på enskilda observationer
88
Fastighetsakademin
36
37
38
39
40
längd
(cm)
– Kapitel 8: Statistik och diagram –
Exempel på material:
Vid en fartkontroll (max 50 km/h) uppmätte polisen farten hos 50 bilister. Resultatet blev:
7 23 42 58 26 15 39 53 21 38 21 43 56 36 44 31 43 9 49 44 41 51 17 46 55 41 54 27 59 39 51 7
33 56 46 52 5 47 25 48 5 37 48 35 50 11 45 57 42 32
Största värde = 59 (Tant Hedvigs sonson, 18)
Minsta värde = 5 (Tant Hedvig, 83)
Differens 59 – 5 = 54
Man bör dela in materialet i klasser. Antalet klasser kan variera från 5 till 15. Klasserna bör vara lika
breda. Antag att klassbredden är 5. Antalet klasser blir då 11. Då kan vi välja klasserna (5–10), (10–
15), (15–20) o.s.v. Här får man ett problem. Var ligger t.ex. 10? Man kan bestämma sig för att 10
hör till antingen 5–10 eller till 10–15. Om man låter 10 höra till en speciell klass måste det framgå
klart och tydligt hur man skall placera 10. Ett sätt är följande:
Klass
5  x < 10
10  x < 15
15  x < 20
20  x < 25
25  x < 30
30  x < 35
35  x < 40
40  x < 45
45  x < 50
50  x < 55
55  x < 60
Frekvens Klassmitt
5
1
2
3
3
3
6
8
7
6
6
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
52,5
57,5
Frekvens
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
km/h
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Klassmitten använder man när man vill beräkna ett medelvärde för materialet. Räknar man med
klassmitterna blir medelvärdet 37,8 och på hela materialet blir medelvärdet 37,2.
Stapeldiagram
För att relatera frekvenser till observationer som inte är rangordningsbara t.ex. egenskaper, platser,
företeelser etc. kan stapeldiagram användas.
Stapeldiagrammet till höger visar resultatet
från ett prov i MaA. Vi ser bland annat att
12 elever fick betyget väl godkänt.
Värdet på observationen är ”ord”. I detta fall
kan de räknas upp i någon sorts värderingsordning, ”Icke Godkänd”, ”Godkänd” och
så vidare men det behöver inte vara så.
Fastighetsakademin
89
– Kapitel 8: Statistik och diagram –
Exempel:
I ett kvarter som omfattar 20 hus noterades varje hus färg.
Färg
Röd
Gul
Vit
Grön
Antal
7
4
6
3
Antal hus
8
6
4
2
0
Röd
Gul
Vit
Grön
Cirkeldiagram
Ett cirkeldiagram är bra när man vill visa relativ frekvens. Storleken på varje cirkelsektor visar
andelen varje post utgör av hela materialet.
Diagrammet nedan visar t.ex. hur stor andel av den totala konsumtionen av bananer som
befolkningen i Svealand, Götaland respektive Norrland står för.
(Diagrammet är fingerat)
Vi använder oss av samma material som i exemplet ovan. Här gäller det att räkna ut hur stor ”tårtbit”
varje färg får. Observera att 1 varv = 360 grader. En lämplig tabell är följande:
Färg
Röd
Gul
Vit
Grön
Antal
7
4
6
3
Andel
7/20=0,35
4/20=0,20
6/20=0,30
3/20=0,15
Vinkel
0,35 × 360° = 126°
0,20 × 360° = 72°
0,30 × 360° = 108°
0,15 × 360° = 54°
Vinkelsumman bör bli ungefär 360. Avrunda inte förrän du kommer
till vinkel. Med hjälp av passare och/eller bara gradskiva ritar man
följande diagram.
90
Fastighetsakademin
– Kapitel 8: Statistik och diagram –
Linjediagram
Används när man vill illustrera t.ex. morgontemperaturen i Östersund under en vecka.
Missbruk av statistik
Missbruk av statistik är tyvärr väldigt vanligt. Man kapar diagram för att försöka påskina att det är
stora skillnader mellan material när skillnaden är försumbar.
Exempel 1: Vid ett tillfälle publicerade LT ett diagram där det framgick att LT var mycket större
än lokalkonkurenten ÖP. Det såg ut ungefär så här.
Man kan lätt få intrycket att
LT har 3 gånger så stor
upplaga som ÖP, när det i
själva verket rörde sig om ett
fåtal exemplar, typ
LT 28 765 ex ÖP 28 750 ex.
Ett annat sätt att illustrera är att låta en 2-dimensionell figur se ut som en 3-dimensionell.
Exempel 2: Vi kan anta att Pripps säljer dubbelt så mycket som Spendrups av en viss ölsort.
Diagrammet kan då se ut så här.
Här är höjd och bredd
fördubblad men volymen av
Prippsburken blir inte
dubbelt så stor som
Spendrupsburken för
volymen blir 2 x 2 x 2 = 8
gånger större.
När du läser i dagstidningen och ser diagram så var uppmärksam på hur de är ritade. Det är lätt att
bli lurad.
Fastighetsakademin
91
– Kapitel 8: Statistik och diagram –
Beräkningar
1.
2.
En enkät besvarades av 60 personer. Cirkeldiagrammet
visar hur svaren fördelar sig.
a) Hur många procent svarade ”Vet ej”?
b) Hur många personer svarade ”Vet ej”?
Ja
45 %
Nej
20 %
En resebyrå visar i cirkeldiagrammet hur deras
charterresenärer väljer resmål.
a) Vilket resmål är populärast?
b) Vilket resmål är minst populärt?
c) Vilket resmål väljer ungefär 25 % av resenärerna?
d) Hur många procent av de sålda resorna går till
Spanien eller Portugal?
Vet ej
Italien
Grekland
Portugal
Frankrike
Spanien
3.
En stickprovsundersökning visade att storlekarna för T-tröjor i
en skola fördelade sig enligt cirkeldiagrammet. Man beställer
800 skoltröjor. Ungefär hur många bör vara
a) M
b) L
c) S
d) XL ?
4.
Bilarnas hastighet vid en trafikkontroll redovisas i
ett histogram. Du ser att 5 bilar hade en hastighet
i intervallet 60–70 km/h. Hur många hade en
hastighet
a) i intervallet 80–90 km/h
b) större än 90 km/h ?
Antal bilar
30
20
10
Hastighet
60
5.
92
På ett företag med flextid mellan kl. 8.00 och
kl. 9.00 på morgonen undersökte man en dag hur
dags de anställda kom till arbetet. Resultatet visas i
histogrammet.
a) Hur många av de anställda kom före kl. 8.15?
b) Hur många arbetade den dagen?
c) Hur många procent av de anställda kom före
kl. 8.15?
d) Hur många procent av de anställda kom efter
kl. 8.30?
70
Antal
80
90
100 110
km/h
Ankomst vid flextid
80
60
40
20
Tid
Fastighetsakademin
kl 8.00
kl 8.30
kl 9.00
– Kapitel 8: Statistik och diagram –
6.
Linjediagrammet visar medeltemperaturen under årets månader för Jokkmokk och Visby.
a) Vilken månad har högst medeltemperatur i Jokkmokk och i Visby?
b) Vilken månad har lägst medeltemperatur i Jokkmokk och i Visby?
c) Vilken månad är temperaturskillnaden mellan orterna störst/minst?
d) Vilka månader har samma medeltemperatur i Visby/Jokkmokk?
e) Vilken är den största ökningen i medeltemperatur från en månad till nästa på de båda orterna?
20
Medeltemperatur
Temperatur °C
15
10
Visby
5
0
–5
–10
Jokkmokk
–15
–20
J
7.
F
M
A
M
J
J
A
S
O
Av diagrammet ser du att det i grupp 1a går 20 pojkar.
a) Hur många flickor går det i grupp 1a ?
b) Hur många flickor går det i grupp 1b ?
c) Hur många pojkar går det i grupp 1b ?
d) Är det lika många pojkar som flickor i någon grupp?
e) I vilka grupper går det fler pojkar än flickor ?
N
D
Antal
Diagrammet visar resultaten för Petra och Erik på fyra
prov i matematik. Erik hade 20 poäng på prov 1.
a) Hur många poäng hade Petra på prov 1?
b) Hade de lika många poäng på något prov?
c) På vilka prov hade Petra fler poäng än Erik?
d) Hur många fler poäng hade Petra än Erik på prov 2?
Pojkar
25
Flickor
20
15
10
5
Grupp
8.
Antal elever som läser Kurs A
1a
1b
Fanns det fler Saab än Volvo på parkeringen på
a) måndagen
b) tisdagen ?
1d
Resultat på prov
Poäng
Erik
50
Petra
40
30
20
10
Prov 1
9.
1c
Prov 2
Prov 3
Prov 4
Antal Bilmärken på skolans parkering
Volvo
12
Saab
10
Övriga
8
6
4
2
Måndag
Fastighetsakademin
Tisdag
93
– Kapitel 8: Statistik och diagram –
10. Diagrammet visar temperaturen kl. 12.00 på dagen i
Gävle och i Örebro under en vecka i mars månad.
a) Punkten P visar att det var 4 °C i Gävle på söndagen. Punkten Q visar söndagens termperatur i
Örebro. Vilken var den?
b) Vilken var temperaturen i Örebro på fredagen?
c) Vilka dagar var temperaturen högre i Örebro än i
Gävle?
d) Hur stor var temperaturskillnaden på måndagen?
e) Hade Gävle och Örebro samma temperatur någon
av dagarna?
11. a) Vilket kvartal sålde A och B lika mycket?
b) Vilka kvartal sålde A mer än B?
c) Vilka kvartal sålde B mer än A?
d) Vilket kvartal var skillnaden i försäljningssumma störst?
e) Beräkna den totala försäljningssumman
under de fyra kvartalen för A och för B.
5,0
°C
12
Temperatur
Gävle
Örebro
10
Q
8
6
P
4
2
Sö Må Ti On To Fr Lö
Dag
Försäljning
Summa (100 000 kr)
4,0
3,0
2,0
1,0
A
Kvartal
B
1
2
3
4
Försäljningssumman i 100 000 kr för Andersson och
Bengtsson under fyra kvartal.
12. a) Hur stor är mannens syreupptagningsförmåga vid 50 år?
b) Hur stor är kvinnans syreupptagningsförmåga vid 50 år?
c) Vid vilken ålder är mannens syreupptagningsförmåga som störst?
d) När är kvinnans syreupptagningsförmåga 2,0 liter/min?
e) När ökar mannens syreupptagningsförmåga hastigast?
4,0
Syreupptagning
Liter/min
3,5
3,0
Män
2,5
2,0
Kvinnor
1,5
1,0
0,5
Ålder
10
20
30
40
50
60
år
Så här ändras den maximala syreupptagningen för
måttligt tränade personer i åldern 4–65 år.
13. Vilka månader var nederbörden
a) större i Jönköping än i Haparanda
b) större i Haparanda än i Jönköping
c) Lika i Jönköping och Haparanda?
Vilken var den högsta och den lägsta
nederbörden i
d) Jönköping
e) Haparanda?
Nederbörd 1990
(mm)
100
Jönköping
75
50
25
Haparanda
f) Vilka tre månader var skillnaden i
nederbörd störst?
J
F
M
A
M
J
J
MÅNAD
A
S
O
N
Linjediagrammet visar nederbörden i mm under
årets månader 1990 i Haparanda och Jönköping.
94
Fastighetsakademin
D
– Kapitel 8: Statistik och diagram –
14. Den 15 maj 1998 presenterade Dagens Nyheter följande opinionsundersökning:
Så här tycker partierna om kärnkraftsavvecklingen
Starta avvecklingen omedelbart
Starta avvecklingen senare
Procent
60
59
54
47
45
41
34
45
31
21
28
27
21
I vilka partier vill en majoritet starta
avvecklingen av kärnkraft omedelbart?
11
v
s
c
fp
m
kd
mp
15. Vi antar att länderna har lika många kvinnor som
män.
a) Grekland har 10 miljoner invånare. Hur många av
männen i Grekland röker?
b) Italien har 58 miljoner invånare. Hur många av
kvinnorna i Italien röker?
c) Sverige har 8,8 miljoner invånare. Hur många fler
kvinnor än män röker i Sverige?
d) I vilket av de tre länderna är andelen rökare minst?
Andel män
resp. kvinnor
som röker
i olika länder.
54
%
46
%
13
%
18
%
GREKLAND
16. a) Med hur många procent ökade antalet fyrlingfödslar från 1991 till 1992?
b) Med hur många procent minskade antalet fyrlingfödslar från 1992 till 1993?
26
%
ITALIEN
30
%
SVERIGE
Fyrlingfödslar i Sverige
Antal
6
5
4
3
2
1
1991
17. Hur förändrades antalet trillingfödslar från 1987 till
1991? Svara i procent.
1992
1993
Trillingfödslar i Sverige
Antal
50
40
30
20
10
1987
1991
18. a) Sex spelare i ett basketbollag hade längderna: 185 cm, 186 cm, 189 cm, 191 cm, 192 cm
och 197 cm. Beräkna medelvärdet av deras längder.
b) Kalle som går i sexan och är 148 cm lång fick på träning vara med i laget. Antalet spelare
blir nu sju. Vilken är deras medellängd?
19. Bestäm medianen till talen
a) 8, 12, 9, 7, 11
b) 8, 12, 9, 7, 11, 13
Fastighetsakademin
95
– Kapitel 9: Geometri –
9 Geometri
Mäta med linjal
Att mäta med linjal, måttband eller tumstock är en viktig del av de geometriska kunskaperna. En
vanlig linjal brukar vara ungefär 3 dm lång medan längden på måttband varierar väldigt.
Vanliga geometriska figurer som används är rektangeln, kvadraten, cirkeln och triangeln.
Rektangeln har fyra sidor och alla vinklar är räta, d.v.s. 90. Exempel på rektanglar är våra dörrar,
fönster och golvytor.
Kvadraten är en speciell form av rektangel
där alla fyra sidorna är lika långa.
Cirkeln är rund med konstant avstånd från centrum till ytterkant.
Triangeln har tre hörn och tre sidor.
Omkrets
Kalle ska lägga kantsten runt parkeringsplatsen. Platsen har de mått som figuren visar.
9
(m)
3
6
7,5
4,5
15
Måtten är angivna i meter eftersom det finns ett m inom parentes i figurens övre högra hörn.
Hur mycket kantsten går det åt? Vi adderar och får
9 m + 3 m + 6 m + 4,5 m + 15 m + 7,5 m = 45 m.
Detta kallas för figurens omkrets.
Omkrets = summan av alla sidornas längder.
Cirkelns area beräknas med hjälp av ett matematiskt värde som kallas för pi
och betecknas med den grekiska bokstaven .
Omkretsen av en cirkel är  × diametern =  × d.
96
Fastighetsakademin
– Kapitel 9: Geometri –
Längdenheter
Längden är en grundläggande geometrisk storhet, exempelvis avståndet mellan en sträckas båda
ändpunkter. Längden betecknas vanligen I eller S och mäts i längdenheter. SI-enhet är en meter
(1 m).
Hur stor omkrets har triangeln?
För att kunna addera triangelns sidor krävs att de
mäts i samma enhet. Omvandla till cm eller mm.
56 mm = 5,6 cm
Omkretsen = 5,6 + 4 + 4 = 13,6 cm.
1 mil
1 km
1m
1 dm
1 cm
= 10 km
= 1 000 m
= 10 dm
= 10 cm
= 10 mm
Area
Att beräkna en yta är detsamma som att beräkna en
area. Det kan t.ex. vara en golvyta eller en trädgårdsarea. Beroende på vilken form ytan har används en del olika formler. Ett enkelt golv har ofta
formen av en rektangel.
Vad är arean på golvet?
2
Arean = basen × höjden = 24 × 9 = 216 m
Ett parallellogram beräknas på samma vis, enda problemet är att ta reda på höjden. Figuren visar en parallellogram med basen 4 cm och höjden 2 cm. Lägg märke till
att höjden går vinkelrät mot basen och att det inte är
sidan som är höjden.
Om vi flyttar den mörkare delen som figuren visar, får vi
istället en rektangel med samma bas och höjd som
parallellogrammen. Vi får alltså parallellogrammens area
genom att multiplicera basen med höjden.
Triangelns area beräknas med formeln:
basen  höjden
Area =
2
Detta kan man bevisa genom att använda ett
parallellogram och dela det som figuren visar. Var och
en av trianglarna har en area som är hälften så stor som
parallellogrammens area.
Fastighetsakademin
97
– Kapitel 9: Geometri –
Cirklar
Det finns många sätt att beskriva en cirkel. Ett alternativ är att säga att det är någonting helt runt.
Matematikerna väljer att definiera en cirkel som ”mängden av de punkter i ett plan, vilka ligger på
ett bestämd avstånd, r, från en bestämd punkt, M, i planet, är en kurva som kallas cirkel”.
Olika beskrivningar av samma sak…
M är cirkelns medelpunkt eller centrum.
Radie (r) är en sträcka från medelpunkten till en punkt på cirkeln.
Kurvans längd kallas cirkelns omkrets eller periferi.
Omkretsen för en cirkel är: 2 ×  × r
 (pi) är ett slags irrationellt tal (transcendent), dess närmevärde med 5
decimaler är 3,14159.
En cirkelbåge är en sammanhängande del av cirkeln.
Arean för en cirkel är  × r eller  × d /4 vilket är samma sak.
2
2
Cylindrar, koner
En cylinder är en kropp, som begränsas av en cylindrisk yta (mantelytan) och två parallella plan
(basytorna).
Cylinderns höjd = avståndet mellan basytorna.
Då man i dagligt tal talar om cylinder avser man oftast en rak cirkulär cylinder.
En liksidig cylinder är en rät cirkulär cylinder, vars axelsnitt utgöres av en kvadrat.
Rak cirkulär cylinder
Rak cirkulär kon
Mantelarea
Om du lindar papper kring en cylinder, klipper av det så att det passar precis och rullar ut pappret
har du mantelarean.
A=×d×h
Ordet area kommer från latin och betyder egentligen ’öppen plats’, ’jämn plan’, ’plan yta’. Tidigare
användes begreppet yta, men idag föredras ordet area som mått på en figurs ytinnehåll. Arean
betecknas vanligen A eller S och mäts i areaenheter. SI enhet är en kvadratmeter (1 m2).
98
Fastighetsakademin
– Kapitel 9: Geometri –
Areaenheter
I många sammanhang vill man veta hur stort ett område är. Man ska kanske flytta till en ny lägenhet, lägga ett nytt golv eller måla om köket. Då man anger ett områdes storlek, anger man dess area
2
i t.ex. kvadratmeter. En kvadrat med sidan 1 m har arean 1 m .
2
2
1 m = 100 dm
2
2
1 dm = 100 cm
2
2
1 cm = 100 mm
Lägg märke till att omvandlingstalet för
areor är 100 medan den är 10 för längder.
Exempel 1: Beräkna arean av rektangeln.
Sidorna är 3 och 5 cm.
2
A = b × h = 5 × 3 = 15 cm
Exempel 2: Beräkna mantelarean av ett cylindriskt rör med rördiametern 28 cm. Röret är 2 m
långt.
2
A =  × d × h = 3,14 × 28 × 200 = 17 584 cm .
Exempel 3: Hur stor är den cirkulära mattans area?
Radien är 1,5 m.
A =  × r =  × 1,5 = 7,1 m
2
2
2
Beräkningar
1.
Vilken sträcka måste man känna till för att kunna räkna ut arean av en cirkel?
2.
I vilken enhet svarar man enklast när man räknat ut arean av en cirkel med diametern 6 dm?
3.
En cirkel har radien 4 m och en kvadrat har sidan 7,1 m. Vilken av figurerna har en area
2
närmast 50 m ?
4.
Vad blir arean av en rektangel med sidorna 3,4 m och 56 cm?
Volym
För att beräkna en volym av en kub eller ett rätblock används formeln: V = A × b
Det innebär att arean av ”golvet” multipliceras med höjden.
Ordet volym kommer från det latinska ordet volumen som betyder ’skriftrulle’; ’krök(ning)’, av
volvo ’vrida runt’, ’rulla runt’), storhet för den del av rummet som uppfylls av en solid kropp.
Fastighetsakademin
99
– Kapitel 9: Geometri –
Volymen betecknas vanligen V. Volym mäts i volymenheter, och en volymenhet är volymen av en
kub vars sidlängd är en längdenhet. SI-enheten är en kubikmeter (1 m3) med en liter (1 l) som
tilläggsenhet.
För att beräkna volymen av en cylinder multipliceras bottenarean med höjden.
2
V=×r ×h
3
Volymen av en sfär beräknas som 4 × r / 3.
Volymenheter
3
Ofta mäts volym i m eller liter, men det beror givetvis på vilken enhet som passar bäst i situationen.
3
1m
3
1 dm
3
1 cm
1 liter
3
3
3
= 1 000 dm = 1 000 000 cm = 1 000 000 000 mm
3
= 0,001 m
3
= 0,000 001 m
3
= 1 dm
Exempel 1: Beräkna arean av en kub med sidan 1 m.
3
A=l×b×h=s×s×s=1×1×1=1m
Exempel 2: En varmvattenberedare har formen av en cylinder med måtten 3 m hög,
diametern är 1 m.
2
A=×r
2
2
3
V = A × h =  × r × h = 3,14 × 0,5 × 3 = 2,355 m =
3
3
2,355 × 1000 dm = 2 355 dm = 2 335 liter.
100
Fastighetsakademin
– Kapitel 9: Geometri –
Beräkningar
2
1.
Nederbörden, i form av regn, som faller på ett tak med arean 140 m rinner via stuprännor och
rör ned i tunnor. Vid ett tillfälle regnade det 22 mm på en timme. Hur stor volym vatten rann
ner i stuprören under denna timme?
2.
En vattentoalett spolar 10 l vatten vid varje spolning.
3
a) Hur många dm är det?
3
b) Efter hur många spolningar har man spolat bort 1 m ?
3.
En flaska vaccin innehåller 250 ml.
3
a) Vid varje vaccination ges 2 cm . Hur många ml ges då?
b) Hur många vaccinationer räcker flaskan till?
4.
Vad heter figurerna i bilden?
a)
5.
b)
c)
Använd rätt formel och räkna ut varje kropps volym
V=B×h
V=B×h/3
(B = Bottenytans area)
Fastighetsakademin
101
– Kapitel 9: Geometri –
Trianglar och vinklar
Du känner säkert till att vi mäter vinklar i grader. 1 varv motsvarar 360°. En normal tårtbit är
mellan 30° och 45°. Det är praktiskt att ge vissa vinklar namn. En vinkel är spetsig om den ligger
mellan 0° och 90°. Den är rät om den är 90° och den är trubbig om den ligger mellan 90° och
180°.
0 < V < 90
V = 90
90 < V < 180
För att mäta vinkar används gradskivor.
Vinkelns storlek i figuren är 60.
När två linjer skär varandra bildas vertikalvinklar.
Här är V1  V3 och V2  V4 vertikalvinklar.
V1  V2 är s.k. sidovinklar. V1 + V2 = 180°.
Ett annat namn är supplementvinklar (tillsammans 180°).
När en tredje linje skär två parallella linjer bildas
alternatvinklar, V1  V2
och likbelägna vinklar V1  V3.
102
Fastighetsakademin
– Kapitel 9: Geometri –
Speciella trianglar:
1. Liksidig. Alla sidorna är lika stora och alla vinklar 60°.
2. Likbent. Två sidor är lika stora och basvinklarna är lika stora.
Höjden i dessa två trianglar delar basen mitt i tu.
Exempel 1: Beräkna vinkeln V.
Triangelns vinkelsumma ger
V + 46 + 40 = 180
V = 94
Svar: V = 94°
Exempel 2: Hur stor är vinkelsumman i en
a) 4-hörning
b) 7-hörning
a)
Man delar upp fyrhörningen i
2 trianglar.
Vinkelsumman blir
180 + 180 = 360
b)
Man delar upp 7-hörningen i
5 trianglar.
Vinkelsumman blir då
5 × 180 = 900
Svar: a) 360
b) 900
Fastighetsakademin
103
– Kapitel 9: Geometri –
Beräkningar
1.
Mät
vinklarna.
2.
Bestäm storleken av den okända vinkeln i trianglarna.
3.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Bestäm den okända vinkeln i fyrhörningarna.
b)
a)
4.
Bestäm vinkeln B i sjötomten ABCD.
5.
En tomt ABCD går delvis in över en sjö. Mått
och vissa vinkelbestämningar framgår av kartskissen. Bestäm vinklarna A och B.
104
Fastighetsakademin
– Kapitel 9: Geometri –
6.
Från punkt A observeras en 12 m hög lodrät
mast, BC. Bestäm vinklarna B och C.
7.
Hur stor är vinkeln v?
b)
a)
8.
Från ett fönster högst upp på en fyr
ser man sträckan mellan två roddbåtar A och B under synvinkeln 18°.
Båtarna ligger i rät linje med fyren.
Från B ser man fönstret under
höjdvinkeln 47°. Under vilken
höjdvinkel syns fönstret från A?
9.
Bestäm vinklarna x och y.
a)
b)
c)
d)
Fastighetsakademin
105
– Kapitel 9: Geometri –
10. I en triangel ABC är vinkeln A dubbelt så stor som vinkel B och 10 grader större än vinkeln C.
Beräkna vinklarna.
11. Beräkna triangelns minsta vinkel x, genom att utnyttja att vinkelsumman i en triangel är 180°.
b)
a)
12. I en triangel är vinklarna x, 4x och 80°. Bestäm triangelns vinklar.
13. Vinkelsumman i en triangel är 180°. Ställ upp en ekvation och bestäm triangelns vinklar.
b)
a)
Pythagoras sats
Ibland kan man behöva konstruera en rät vinkel. Detta går att göra med tumstocken genom att vika den i förhållande 3:4:5. Alltså 30, 40 och 50 cm.
Pythagoras sats:
Summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten på hypotenusan.
2
2
2
a +b =c
106
Fastighetsakademin
– Kapitel 9: Geometri –
Kvadratrötter
Om man vet längden av två sidor i en rätvinklig triangel, kan man beräkna den tredje sidan med
Pythagoras sats.
Exempel 1: Vi skall ta reda på längden av sidan x i triangeln.
Pythagoras sats ger
x² + 12² = 13²
x² + 144 = 169
x² + 144 – 144 = 169 – 144
x² = 25
Vi söker ett tal som multiplicerat med sig själv blir 25.
Du inser att 5 är ett sådant tal eftersom 5² = 25.
Även –5 duger, eftersom (–5)² = (–5) × (–5) = 25.
Kvadratroten ur x är det positiva tal vars kvadrat är x.
Kvadratroten ur x skrivs x
I detta fall vet vi att x är större än 0, eftersom längder anges med positiva tal.
Detta ger oss
x = 25
x=5
Svar: Längden av sidan x är 5 cm.
Exempel 2: Beräkna arean av en likbent triangel med sidorna 5 cm, 5 cm och 6 cm.
Drag en höjd. Den delar basen mitt itu.
Antag att höjden är x cm.
Pythagoras sats ger:
x² + 3² = 5²
x² = 5² – 3²
x² = 16
x = 16
x=4
Arean blir
64
= 12
2
Svar: Arean blir 12 cm²
Fastighetsakademin
107
– Kapitel 9: Geometri –
Beräkningar
1.
I samband med att man sätter ut hörnpunkterna till en ny garageuppfart kan det vara viktigt att vinklarna blir räta. Det kan man
kontrollera med hjälp av pythagoras sats. Gör det! Längden är
14 430 mm, bredden är 11 180 mm och diagonalen är ungefär
18 254 mm.
2.
Beräkna triangelns hypotenusa.
3.
Beräkna omkrets och area av följande områden.
a)
b)
4.
Bestäm x då man vet att rektangelns omkrets är 48 cm.
5.
Bestäm x då man vet att triangelns omkrets är 28 m.
6.
Bestäm x då man vet att fyrhörningens omkrets är 85 m.
7.
Bestäm x då man vet att rektangelns omkrets är 40 cm.
a)
108
b)
Fastighetsakademin
– Kapitel 9: Geometri –
8.
Rektangeln och triangeln har lika stor omkrets.
Bestäm x.
9.
Skriv ett uttryck för omkretsen och förenkla detta.
a)
b)
10. Skriv ett uttryck för omkretsen och förenkla detta.
a)
b)
11. Rektangeln har omkretsen 48 m. Beräkna x.
12. Bilden visar en fyrhörning med sidorna s, 2s, 3s och 4s.
Beräkna omkretsen då s = 2,6 m.
13. Triangeln och rektangeln har lika stor omkrets.
Ställ upp en ekvation och beräkna x.
14. Beräkna arean av det skuggade området.
Fastighetsakademin
109
– Kapitel 9: Geometri –
15. Rektangeln har omkretsen 28 m.
Beräkna rektangelns area.
16. Beräkna omkrets och area av rektangeln och triangeln.
b)
a)
17. Beräkna trianglarnas omkrets och area.
a)
b)
18. Beräkna omkrets och area av parallellogramen och parallelltrapetset.
a)
b)
19. a) Hur får du rektangelns omkrets?
b) Ställ upp och beräkna omkretsen.
c) Hur får du rektangelns area?
d) Ställ upp och beräkna arean.
20. a) Hur får du triangelns omkrets?
b) Ställ upp och beräkna omkretsen.
c) Hur får du triangelns area?
d) Ställ upp och beräkna arean.
110
Fastighetsakademin
– Kapitel 9: Geometri –
21. Beräkna omkrets och area av kvadraten och rektangeln.
b)
a)
22. Beräkna trianglarnas omkrets och area.
a)
b)
23. Figuren visar en parallellogram.
a) Ställ upp hur du beräknar
omkretsen.
b) Beräkna omkretsen.
c) Ställ upp hur du beräknar
arean.
d) Beräkna arean.
24. Beräkna parallellogrammens omkrets och area.
25. Trianglarna har lika stor area.
Förklara varför.
26. Rita en rektangel med omkretsen 18 cm och en area som är mindre än 15 cm². Kontrollera att
din rektangel uppfyller villkoren.
Fastighetsakademin
111
– Kapitel 9: Geometri –
27. Beräkna avståndet mellan B och C fågelvägen över sjön.
28. Ett av rummen har måtten 400 cm × 520 cm. Pontus mätte rummets ena diagonal till 656 cm.
Har rummets golv räta vinklar?
29. Ytterdörren är 95 cm bred och 200 cm hög. Kan man ta in en spånskiva genom dörren om
skivans mått är 220 cm × 300 cm?
30. Hur högt når ”äppelplockarstegen”, om den är 2,6 m lång och den på marken står 1,2 m från
trädet?
31. Taknocken befinner sig 5,2 m över marken. Hur lång måste en stege minst vara för att nå upp
till en punkt 0,5 m under taknocken, om nedre änden ska stå 2,1 m från väggen?
32. Man ska bygga en altan med plattor. Altanen markeras först med snören. För att kontrollera
om vinklarna blivit räta lägger Sofia ut en 2 m lång tumstock mellan två sidor. Hon mäter
sidorna i den triangel som hon får. De blev 170 cm och 125 cm. Var vinkeln vid hörnet rät?
33. En torkvinda för tvätt har 170 cm långa armar. Klädstrecket som spänns upp på armarna
bildar en kvadrat. En rulle klädstreck innehåller 10 m. Räcker den till torkvindan?
34. Markisduken är fäst vid en 70 cm lång metallarm. Hur många centimeter duk kan man släppa
ut, då armen i utfällt läge är vinkelrät mot väggen?
112
Fastighetsakademin
– Kapitel 9: Geometri –
Översikt
Månghörningar
Rektangel, kvadrat, parallellogram, romb och triangel
är exempel på månghörningar.
Omkrets
Omkretsen av en månghörning = summan av alla
sidornas längder.
Area
Rektangelns area = b × h
Kvadratens area = s × s
Parallellogrammens area = b × h
Triangelns area = b × h / 2
Längdenheter
1 mil = 10 km = 10 000 km
1 km = 1000 m
1 m = 10 dm
1 dm = 10 cm
1 cm = 10 mm
Area enheter
2
2
2
2
1 m = 100 cm
1 dm = 100 cm
2
2
1 cm = 100 mm
Vinklar
Vinklar mäts i grader.
Ett helt varv är 360
Spetsig vinkel
En spetsig vinkel är mindre än 90
0° < v < 90°
Trubbig vinkel
En trubbig vinkel är större än 90
90° < v < 180°
Rät vinkel
En rät vinkel är exakt 90
v = 90°
Vinkelsumman i en triangel
Vinkelsumman i en triangel är alltid 180
Fastighetsakademin
113
– Kapitel 10: Trigonometri –
10 Trigonometri
På din räknare har du tre tangenter märkta sin , cos och tan .
Nu ska vi som en orientering visa dig vad
de står för och hur det kan användas vi beräkningar i rätvinkliga trianglar.
I en rätvinklig triangel ABC gäller:
Sinus är en kvot
Sinus för den spetsiga vinkeln A är förhållandet mellan
(kvoten mellan) motstående sida (till A) och hypotenusan.
sin A =
motstående sida (till A )
hypotenusan
Denna kvot beror bara av vinkelns storlek och inte av triangelns storlek.
Bestäm sin 30°
I triangeln ABC (ovan) är vinkeln A = 30°. Mäter du sidorna, finner du att BC = 35 mm och
AB = 70 mm.
sin 30° 
motstående sida (till A ) 35

 0,5
hypotenusan
70
Räknaren
Sätt räknaren på grader (deg) och kontrollera att 30 sin ger 0,5.
Cosinus (cos) och tangens (tan) definieras på liknande sätt som sinus (sin).
Med figurens beteckningar blir det
sin A = a/c
cos A = b/c
tan A = a/b
Försök uttrycka dessa definitioner i ord!
Några exempel
Trigonometri används ofta för att bestämma sträckor och vinklar som inte går att mäta direkt.
Exempel 1: På stranden till en älv mäter vi upp en
sträcka AC = 42 m och bestämmer en
punkt B på andra stranden så att vinkeln
C blir rät. Därefter mäter vi vinkeln A
och får 58°. Hur bred är älven?
Vi låter BC = x m
Kvoten x/42 är lika med tan 58°  1,6
x
= 1,6
42
x = 42 × 1,6
x = 67,2
Med räknare
Svar: Älven är 67 m bred.
114
Fastighetsakademin
– Kapitel 10: Trigonometri –
Exempel 2: Figuren visar en skiss till ett uterum.
Hur stor är takets lutningsvinkel v?
sin v =
0,75
= 0,17647
4,25
Hur får vi vinkeln v när vi vet sinus
för v? Det är den omvända (inversa)
proceduren till att bestämma sin v då
du vet v.
0,17647 inv sin ger 10,164
Svar: Vinkeln är 10,2°.
Exempel 3: Beräkna vinkeln v.
Definitionen av tangens ger tan v =
19
37
Räknaren (ställd på räkning i grader) ger 27,181…
Vi avrundar till två siffror v  27°.
Svar: Vinkeln v är 27°.
Exempel 4: Beräkna längden av den sträcka som markerats med x.
a)
b)
a) Definitionen av sinus ger sin 38° =
x = 42 × sin 38
Räknaren ger 25,857…
x
42
x  26
Svar: Sträckan är 26 cm
b) Definitionen av cosinus ger cos 32° =
Räknaren ger 39,858…
x
47
x  39,858
Svar: Sträckan är 40 cm.
Fastighetsakademin
115
– Kapitel 10: Trigonometri –
Exempel 5: När vi står 20 meter från ett träd så uppmäts vinkeln v i figuren till 51°.
Vilken höjd har trädet?
I figuren är x motstående katet till vinkeln v medan sidan
som är 20 meter lång är närliggande katet (den närliggande
kateten är den sida som både bildar rät vinkel med en
annan sida i triangeln och som dessutom spänner upp
vinkeln v.
Med hjälp av formeln ovan får vi ekvationen:
tan(51) 
x
20
51 tan ger avrundat 1,235.
1,235 
x
20
För att få x fritt på höger sida måste vi multiplicera upp 20. Vi får:
20 × 1,235 = x
och med huvudräkning kan vi exempelvis räkna 2 × 12,35 = 24,7.
Svar: Trädet är 24,7 m högt.
Exempel 6: Hur stora är vinklarna v och u i figuren?
Med hjälp av formeln får vi ekvationen (varför?):
tan( v ) 
24,7
20
Tan för något okänt ska alltså bli
24,7 / 20 = (24,7 / 2) / 10 = 12,35 / 10 = 1,235
1,235 inv tan ger att vinkeln då måste vara 51°.
Eftersom summan av vinklarna i en triangel alltid är 180°
så får vi vinkeln u = 180° – 90° – 51° = 39°.
Svar: Vinkeln v = 51° och vinkeln u = 39°.
–1
I exemplet ovan använder vi den inversa funktionen till tangens för att få fram vinkeln: tan .
–1
Blanda inte ihop denna med tan. Tan är ”baklängesfunktionen” till tan. Tan använder vi när vi
–1
känner vinkeln och vill ha ut sidan medan tan används när vi känner sidorna och vill ha ut
vinkeln.
116
Fastighetsakademin
– Kapitel 10: Trigonometri –
Exempel 7: Bestäm vinklarna v och u i figuren.
7,0
tan( v ) 
10,0
tan(v) = 0,70
–1
v = tan (0,70)
v  35°
Eftersom summan av vinklarna i en triangel alltid är 180° så får vi vinkeln
u = 180° – 90° – 35°  55°.
Svar: Vinkeln v = 35° och vinkeln u = 55°.
Beräkningar
1.
Använd måtten i figuren nedan för att med två decimaler bestämma
a) sin 35°
b) cos 35°
c) tan 35°
2.
Använd din räknare för att bestämma
a) sin 35°
b) cos 35°
c) tan 35°
3.
Ställ upp och beräkna tan A och tan B (två decimaler).
a)
4.
Bestäm sin v och cos v
(två decimaler).
b)
a)
Fastighetsakademin
b)
117
– Kapitel 10: Trigonometri –
5.
Beräkna längden som markeras
med x.
a)
b)
6.
Beräkna längden av de sidor
som markerats med x.
a)
b)
7.
Bestäm den obekanta vinkeln v
i hela grader.
a)
b)
8.
Bestäm den obekanta vinkeln v
i hela grader.
a)
b)
9.
Hur högt är trädet?
10. Hur långt är avståndet AB över sjön om
vinkeln A är 56° och sträckan AC är 640 m?
11. En viadukt går över en motorväg.
Bestäm lutningen v (hela grader).
118
Fastighetsakademin
– Kapitel 10: Trigonometri –
12. Under vilken vinkel sker nedfarten?
13. Figuren nedan visar en plan genomskärning av ett tak. Hur högt är fönstret AB?
14. Bestäm trädets höjd, då a = 28 m, u = 19° och v = 23°.
15. För att en 9,0 m lång stege ska stå säkert när den reses
mot en vägg får vinkeln med markplanet ej understiga
64° och ej överstiga 78°. Bestäm stegens kortaste
respektive längsta avstånd till väggen, då den är i säkert
läge.
16. Använd måtten i figuren för att bestämma
a) sin 35°
b) cos 35°
c) tan 35°
17. Använd miniräknare för att bestämma
a) sin 35°
b) cos 35°
c) tan 35°
(Jämför med värdena i föregående uppgift.)
Fastighetsakademin
119
– Kapitel 10: Trigonometri –
18. Bestäm flaggstångens höjd BC.
19. Bestäm avståndet AC över viken.
20. Hur hög är masten BC, om linan AB = 29 m?
21. Bestäm vinkeln v, med en decimal, då
a) tan v = 0,675
b) sin v = 0,675
22. Bestäm vinkeln v, med en decimal, då
a) tan v = 13  19
b) cos v = 11  27
23. En 1,8 m hög käpp kastar en 4,7 m lång
skugga. Bestäm vinkeln v.
24. Bestäm de med v markerade
vinklarna.
a)
b)
25. Bestäm de med v markerade
vinklarna.
a)
b)
120
Fastighetsakademin
– Kapitel 10: Trigonometri –
26. En av kateterna i en rätvinklig triangel är 73 mm. Motstående vinkel är 37°. Hur lång är den
andra kateten?
27. Bestäm älvens bredd AB.
28. I en likbent triangel är höjden 10 centimeter och vinkeln mot den avvikande
sidan 48 grader. Beräkna triangelns area.
29. Lös ut x i
x
2
15
d) tan v =
x
a) tan v =
b) tan v =
x
q
q
x
x
f) tan v =
15
c) tan v =
e) tan v = 15x
30. a) I figuren till vänster visas en halv kvadrat.
Motivera varför tan 45° = 1.
b) I figuren till höger visas en halv liksidig triangel.
Motivera varför tan 60° = 3 .
31. Beräkna triangelns area.
32. Beräkna sträckan x i figuren.
33. I en triangel har gjorts de fyra
mätningar som beskrivs i figuren.
a) Visa att minst en av dessa mätningar måste vara felaktig.
b) Beräkna ett riktigt värde på längden av sträckan AH om du
vet att de andra tre värdena är korrekta.
34. Ange en formel för den rätvinkliga triangelns area uttryckt i a och v.
a)
b)
Fastighetsakademin
121
– Kapitel 10: Trigonometri –
35. Ange vinklarna i nedanstående båda likbenta trianglar.
b)
a)
36. Bestäm vinkeln v om
a) 3 tan 2v = 5
b) 0,5 tan 0,5v = 3
37. Beräkna med hjälp av sinus längden x hos en katet i dessa trianglar.
a)
b)
38. Beräkna med hjälp av cosinus längden y hos den andra kateten i ovanstående trianglar.
39. Hur kan du i senaste övningen beräkna längderna y med hjälp av sinus i stället för cosinus?
40. Bestäm med hjälp av sinus vinkeln u i dessa trianglar.
a)
b)
41. Bestäm med hjälp av cosinus vinkeln v i trianglarna i föregående uppgift. Kontrollera att
svaren i denna och föregående övning inte motsäger varandra.
42. En brant trappa till ett sovloft i en sportstuga
ska tillverkas. Hur lång ska trappan vara om
höjdskillnaden är 2,45 m och vinkeln mot
golvet är 52° ?
43. Antag att vi befinner oss på ett fartyg i punkten A och går i riktning
mot C. Vi bestämmer vinkeln u till 36°. Efter en stund befinner vi oss
i punkten B. Vi vet då att avståndet s är 700 m och mäter vinkeln v,
v = 42°. Vi ska nu bestämma avståndet från B till fyren F.
a) Uttryck BC i x.
b) Uttryck AC i x.
c) Bestäm x.
d) Bestäm BF.
122
Fastighetsakademin
– Kapitel 10: Trigonometri –
44. I en rätvinklig triangel är hypotenusan c och en av de spetsiga vinklarna v. Uttryck de båda
kateterna med hjälp av c och v.
45. I triangeln är en bisektis dragen.
Beräkna längden hos sträckan x i figuren.
46. Ange exakta värden på sin v, cos v och tan v om v är
a) 45°
b) 30°
c) 60°
47. Förklara varför följande samband gäller
a) sin(90° – v) = cos v
b) cos(90° – v) = sin v
48. Bestäm det exakta värdet på
2
2
a) (sin 60°) + (cos 60°)
b) 2 × sin 45° × cos 45°
49. Bestäm med hjälp av miniräknaren
a) tan(12°)
b) 200 × tan(12°)
d) 57 × tan(45°)  3
50. Ställ först upp en ekvation med
x för följande trianglar. Beräkna
sedan längden på sidan markerad med x. Bestäm också
triangelns area.
2
c) (cos 30°) – (sin 30°)
2
c) 10 × tan(38°)
a)
b)
c)
d)
51. Ställ upp ekvationer och beräkna därefter storleken på vinklarna v.
a)
b)
c)
52. Bestäm arean i hektar med två decimaler för figurena.
a)
b)
Fastighetsakademin
123
– Kapitel 10: Trigonometri –
53. Bilden till höger är en skiss på ett skogsskifte format som en rätvinklig triangel.
Bilden är i skalan 1:20 000.
a) Använd linjal för att bestämma skiftets areal i hektar. Beräkna sedan hur
många ekplantor som ska beställas om området ska planteras med 1 000
ekplantor per hektar. (Vid planteringen blandas sedan ekplantorna med
rader av gran.)
b) Beräkna vinkeln i den nedre spetsen på triangeln.
54. Ett relaskop har en spaltöppning på 10 mm och en kedjelängd som gör att spalten vid användning hamnar 50 cm från ögat. Uppskatta med hjälp av tabell 5.1 hur stor vinkeln v är (figuren
nedan är inte skalenlig).
124
Fastighetsakademin
– Kapitel 11: Likformighet och skala –
11 Likformighet och skala
En bild av något verkligt kan vara olika stor i förhållande till det som avbildats men skall ha samma
form, d.v.s. den ska vara likformig med det som avbildats. Om bildens storlek är samma som storleken av det som avbildats sägs skalan vara 1 (naturlig). Om bilden är mindre än det som avbildats är
då skalan mindre än 1 och om bilden är större är skalan större än 1. När man talar om skala avses
vanligen detsamma som längdskala d.v.s. det är förhållandet mellan sträckors längder som avses.
Ibland talar man emellertid om areaskala och volymskala i stället.
Med hjälp av skalor förstorar eller förminskar man. Kameran är ett exempel på hur man förminskar,
mikroskopet ett exempel på hur man förstorar. I byggsammanhang är förminskning av linjer det
vanliga. Tittar du på en ritning är skalan för det mesta utskriven.
Exempel 1: En vägg är i verkligheten 5 000 mm lång. Hur lång ska den vara på en ritning i skala
1:50. Den ska då förminskas 50 gånger.
5 000/50 = 100 mm
Exempel 2: Ett avstånd på en ritning 1:50 är 25 mm lång. Hur långt är avståndet i verkligheten?
Den ska göras 50 gånger större. Alltså ska man multiplicera med 50.
25 × 50 = 1 250 mm.
Man mäter aldrig på en ritning för att bygga efter det måttet, men för uppskattningar fungerar det
bra.
Bilden i mitten nedan är ett utsnitt ur en textboks övre vänstra hörn i naturlig storlek (i skala 1).
Bilden till vänster är en likformig avbildning i skala 2/3 (0,67) och bilden till höger är en likformig
avbildning i skala 8.
Skalan
2/3 ( 0,67)
Skalan
1
Skalan
8
kan också skrivas
2 2/2 1
=
=
3 3 / 2 1,5
kan också skrivas
1
1
kan också skrivas
8
1
eller med det speciella
skrivsättet
eller med det
speciella skrivsättet
eller med det
speciella skrivsättet
1:1,5
1:1
Fastighetsakademin
8:1
125
– Kapitel 11: Likformighet och skala –
Lägg märke till att kolon (:) används i stället för bråkstreck och att när det gäller förminskning så
står det 1 till vänster om kolontecknet (tänk på kartor) och när det gäller förstoring så står det 1 till
höger om kolontecknet. (De tre här nämnda skalorna utläses: ”ett till ett komma fem”, ”ett till ett”
resp. ”åtta till ett”)
Förminskade bilder av text förekommer på s.k. mikrofilm. Exempelvis finns gamla arkiv sparade på
detta sätt. I detta fall brukar skalan vara mellan 1:20 och 1:48.
Likformiga trianglar
Låt oss börja med att titta på en av den plana geometrins enklaste figurer – triangeln. Kännetecknande för likformiga trianglar är att motsvarande vinklar är lika och att detta också räcker som
villkor för att trianglarna ska vara likformiga. I figuren nedan syns två likformiga trianglar.
Om man betraktar triangeln till höger (den större)
som en bild av den till vänster så är skalan 3:1.
Om man å andra sidan betraktar triangeln
till vänster (den mindre) som en bild av
den till höger så är skalan 1:3. Om man i
stället talar om areaskalan så är den uppenbarligen (räkna småtrianglarna) 9:1 resp. 1:9.
För trianglar såväl som för alla andra figurer gäller
att areaskalan är kvadraten på längdskalan (längdskalan
upphöjd till 2) och volymskalan är kuben på längdskalan
(längdskalan upphöjd till 3). (Så om längdskalan är 1:5, så är
areaskalan 1:25 och volymskalan 1:125 och om längdskalan är 6:1, så är areaskalan 36:1 och
volymskalan 216:1.)
Exempel 3: Vid ett visst ögonblick en solig dag bildar ett träd en skugga som är 8.5 meter lång.
Samtidigt får en person som har en längd av 200 cm en skugga
som är precis 100 cm. Hur högt är trädet?
Här har vi ett exempel på likformig avbildning. Vinklarna i de två trianglarna kommer
att bli lika stora. Vidare kommer relationerna
mellan sidorna att bli desamma.
Följande ekvation kan därmed ställas upp
(sidan x ska förhålla sig till 200 på samma sätt
som sidan 850 förhåller sig till 100):
x
850

200 100
x  200 
850
100
x = 2 × 850
x = 1 700
Svar: Trädet är 17,0 m högt.
126
Fastighetsakademin
– Kapitel 11: Likformighet och skala –
Andra likformiga figurer
För de flesta figurer gäller att det inte räcker att kontrollera att motsvarande vinklar är lika för att
veta att figurerna är likformiga (har samma form), utan man måste också kontrollera att förhållandet mellan olika sträckor är lika. Exempelvis måste ju förhållandet mellan längd och bredd hos två
rektanglar vara lika för att rektanglarna ska vara likformiga. Å andra sidan är alla cirklar likformiga.
Figurerna nedan är två rektanglar med enbart 90-vinklar, dessa är ändå inte likformiga eftersom
sidorna inte är i bestämt förhållande till varandra!
Exempel 4: Om man känner motsvarande sträckor (ett par räcker) i två likformiga figurer kan
skalan beräknas. Om man å andra sidan känner skalan och en sträcka i en figur så kan
motsvarande sträcka i den andra figuren beräknas.
Figurerna nedan är likformiga.
ABCDEF ~ A1B1C1D1E1F1
Skalan vid avbildningen från vänster till höger (förstoring) är
A 1 F1 4,5

 3 (3:1)
AF
1,5
Skalan vid avbildningen från höger till vänster (förminskning) är
AF
1,5 1

 (  0,33) (1:3)
A 1 F1 4,5 3
a och b är båda förstoringar av motsvarande sträckor och fås genom beräkningarna
a = 3 × 2,2 = 6,6 och b = 3 × 3,2 = 9,6
x, y och z är alla förminskningar av motsvarande sträckor och fås genom
beräkningarna
1
4,8
1
6,0
1
10,5
x =  4,8 
= 1,6, y =  6,0 
= 2,0 och z =  10,5 
= 3,5
3
3
3
3
3
3
Följande samband gäller alltså:
sträckan i avbildningen
(längd)skalan =
sträckan i det som avbildas
sträckan i avbildningen = (längd)skalan × sträckan i det som avbildas
Fastighetsakademin
127
– Kapitel 11: Likformighet och skala –
Exempel 5: När man orienterar använder man en karta som är likformig med verkligheten. Skala
1:10 000 betyder att verkligheten är 10 000 gånger större än bilden. Hur långt är det
mellan 2 myrstackar i verkligheten om avståndet på en karta i skala 1:15 000 är
12,4 cm?
Avståndet i verkligheten blir 12,4 × 15 000 = 186 000 cm = 1 860 m
Svar: 1 860 m
Beräkningar
1.
En triangels sidor är 7,0 cm, 10 cm och 12 cm. I en annan triangel, likformig med den första,
är den kortaste sidan 10,5 cm. Bestäm längden av de övriga sidorna i den andra triangeln.
2.
De två fyrhörningarna är likformiga.
Beräkna längden av de sidor som
betecknats med x, y och z.
3.
Skuggan av ett lodrätt träd är 28 m. Samtidigt finner Nina,
som är 170 cm lång, att hennes skugga är 2,6 m.
Hur högt är trädet?
4.
En femkrona på 3,10 m avstånd ser ungefär lika stor ut som
månen. Femkronans diameter är 28,0 mm och månens 3 470
km. Beräkna med hjälp av detta månens avstånd från jorden.
5.
Beräkna längden av den med x
markerade sträckan.
6.
Nedanstående figurer visar likformiga avbildningar. Bestäm längden på sidan markerad med x.
a)
7.
128
b)
Figuren nedan visar två likformiga femhörningar. Hur långa är sidorna a, b, c och d? Avrunda
svaren till heltal.
Fastighetsakademin
– Kapitel 11: Likformighet och skala –
8.
På en karta i skala 1:100 000 är ett flygfält 2 cm långt. Hur långt är det i verkligheten?
9.
Beräkna följande:
Kartan över Vättern och dess omgivningar är i skala 1:1 000 000. Det innebär att en
sträcka på kartan är 1 miljon gånger längre i verkligheten.
Askersund
b) Hur långt är det från Karlsborg till Motala?
Fågelvägen?
Närmsta bilväg?
c) Tänk dig att det blåser 15 m/s på Vättern.
Räkna om till enheten km/h.
Karlsborg
Motala
Hjo
Vät
tern
a) Visingsö är ungefär 1 cm lång på kartan. Hur lång är ön
i verkligheten?
I cm?
I m?
I km?
I mil?
Ödeshög
Visingsö
Gränna
Huskvarna
Jönköping
10. Olle vill räkna ut höjden på Uppsala domkyrkas torn. Han mäter längden av den skugga som
tornen ger på marken och finner att den är 130 m. Den vinkel som solstrålarna bildar med
marken är 42°. Hur höga är tornen?
11. På en ritning i skala 1:100 är verkligheten förminskad 100 gånger. En stege är 5 cm lång på
ritningen. Hur lång är den i verkligheten?
12. En modell av ett flygplan är gjord i skalan 1:85. Flygplanets verkliga längd är 42,5 m. Hur lång
är modellen?
13. På en affisch är ett armbandsur avbildat i skala 3:1. Urtavlan, som är cirkelrund, har i verkligheten diametern 2,8 cm. Vilken diameter har urtavlan på affischen?
14. Bilden visar ett rör i genomskärning. Hur stor är yttre
diametern i verkligheten, om röret är avbildat i skala
a) 1:2
b) 5:1 ?
15. Ange i ord vad det betyder att skalan är
a) 1:50
b) 8:1
16. Är modellen större eller mindre än föremålet om skalan är
a) 1:4
b) 4:1
c) 1:50 000
d) 50:1 ?
17. Eiffeltornet i Paris är ungefär 300 m högt. Hur hög blir en modell av Eiffeltornet om skalan är
a) 1:100
b) 1:1 500 ?
Fastighetsakademin
129
– Kapitel 11: Likformighet och skala –
18. Beräkna skottkärrans längd i verkligheten då modellen är gjord i skalan 1:40.
19. Blomklockan är 18 mm hög på bilden. Hur
hög är den i verkligheten, om skalan är
a) 3:1
b) 1:2 ?
20. En tändsticka är 5 cm. Den ska avbildas i skala 1:5.
a) Ska tändstickan förstoras eller förminskas?
b) Ställ upp hur du beräknar bildens längd.
c) Hur lång blir bilden av tändstickan?
21. En 5 cm lång tändsticka avbildas i skala 4:1.
a) Ska tändstickan förminskas eller förstoras?
b) Ställ upp hur du beräknar bildens längd.
c) Hur lång blir bilden av tändstickan?
22. Blir bilden av ett föremål större eller mindre då det avbildas i skala
a) 6:1
b) 1:6
c) 1:9
d) 9:1 ?
23. Ett tennisracket är avbildat i skala 1:17.
a) Ställ upp hur du beräknar den verkliga längden.
b) Hur lång är racketet i verkligheten?
24. Insekten är avbildad i skala 2:1.
a) Är insekten större eller mindre i verkligheten?
b) Ställ upp hur du beräknar den verkliga längden.
c) Hur lång är insekten i verkligheten?
25. Bestäm diametern i den cirkel man får då cirkeln i figuren avbildas i skala
a) 4:1
b) 6:1
c) 1:2
d) 1:1
26. I rektangeln är sidorna 4 cm och 3 cm. Hur långa
blir rektangelsidorna om de avbildas i skala
a) 2:1
b) 1:2
27. Figuren visar bilden av ett hjul som avbildats i skala 1:20.
a) Är hjulet större eller mindre i verkligheten?
b) Ställ upp hur du beräknar hjulets verkliga radie.
c) Bestäm den verkliga radien.
130
Fastighetsakademin
– Kapitel 11: Likformighet och skala –
28. Tärningen på bilden har kanten 1,5 cm. Hur lång
är kantlinjen i verkligheten om skalan är 2:1?
29. Basketbollen är avbildad i skala 1:5. Vilken diameter har den i
verkligheten?
30. Mät rektangeln och rita den i skala
a) 3:1
b) 1:2
31. Parkeringsplatsen är avbildad i skala 1:300. Vilka mått
har den i verkligheten?
32. Fågelvägen mellan Ekudden och Albacken är 23 mm på
en karta i skala 1:50 000. Hur långt är det i verkligheten?
33. Vägen mellan Ekudden och Albacken är 1 650 m. Hur lång är den på en karta i skala 1:50 000?
34. Fågelvägen mellan Björkuddden och Granbo är 35 mm på en karta i skala 1:50 000. Hur stort
är avståndet i verkligheten?
35. Vägen mellan Enbacken och Granbo är 2 400 m. Hur långt blir det på en karta i skala
1:50 000?
36. Ingrid mäter på en fjällkarta hur långt hon gått under dagen. Vägen är 6,5 cm på kartan.
Skalan är 1:200 000. Hur lång var dagsetappen?
37. Avståndet mellan Stockholm och Oslo är 63 mm på en karta i skala 1:6 500 000. Hur många
mil är det i verkligheten?
38. En sträcka är 60 mm på en ritning. Hur lång är sträckan i verkligheten om skalan är
a) 1:25
b) 1:40
c) 1:100
d) 1:500 ?
39. Man mäter upp en avloppsledning till 240 mm på en ritning. Skalan är 1:50. Hur många
meter rör behövs till ledningen?
40. Ett rum är 5 400 mm långt. Bestäm rummets längd på en ritning i skala
a) 1:10
b) 1:25
c) 1:50
d) 1:100
Fastighetsakademin
131
– Kapitel 11: Likformighet och skala –
41. På en ritning över en lägenhet i skalan 1:40 har ett sovrum måtten 90 mm × 75 mm. Ange
rummets verkliga mått.
42. Bestäm den skala som föremålet avbildats i.
Föremålets längd
a)
8 cm
b)
30 mm
Bildens längd
32 cm
6 mm
43. Skolgården är 200 m lång. På en karta är längden 80 mm. Vilken skala har kartan?
44. I vilken skala är skuven avbildat?
b)
a)
24 mm
Naturlig storlek
12 mm
48 mm
45. Ett häftstift är 8,5 mm högt. I vilken skala avbildas det, om höjden är
a) 34 mm
b) 1,7 mm
46. En tennsoldat är 50 mm hög. Medelsoldaten är 175 cm lång. I vilken skala kan man säga att
tennsoldaten är gjuten?
47. Fågelvägen mellan Stockholm och Visby är 19 mil. På en karta mätte man avståndet till
76 mm. Vilken är skalan?
132
Fastighetsakademin
– Kapitel 12: Lutning –
12 Lutning
I vissa tekniska tillämpningar brukar man använda begreppet lutningsprocent som mått på en
vinkel. Det kan t.ex. handla om ifall en maskin ska orka upp för en backe.
Lutningsprocenten 
Motstående katet a

Närliggande katet b
Observera att detta innebär att lutningsprocenten är detsamma som tangens för backens vinkel. I
praktiken kan det ofta vara svårt att mäta sträckan b i figuren. I stället kan man då mäta sträckan c.
Sträckorna b och c kommer nämligen att vara ungefär lika långa om vinkeln är liten vilken den
oftast är i praktiken.
Notera också att i en triangel där a och b är lika stora så kommer lutningsprocenten att bli 100 %.
I byggsammanhang anges lutningen på ett antal olika sätt.
Den horisontella längden är 7 och höjden är 1.
Lutningen är 5 %.
Lutningen är 5 ‰.
Vanlig rekommenderad marklutning från byggnader är 1:20.
Fastighetsakademin
133
– Kapitel 12: Lutning –
Exempel:
Bestäm lutningsprocenten och sträckan x i nedanstående figur.
Lutningen = 1  25 = 0,04 = 4 %
Med hjälp av Pythagoras sats får vi den okända sidan x:
2
2
2
2
2
25 + 1 = x
2
x = 25 + 1
x  25 2  12
x  25,02
Här blir alltså hypotenusan nästan precis lika lång som den långa kateten. Vi hade
alltså fått svaret 4 % på lutningen även om vi använt hypotenusan i stället för kateten.
Beräkningar
1.
Bestäm lutningsprocenten och sidan x i följande figur. (Figuren är inte skalenlig.)
2.
Ett tåg kör uppför en 1 km lång backe. Lutningsprocenten är 8 %.
a) Uppskatta hur många meter högre upp tåget befinner sig vid backens slut.
b) Beräkna hur många grader backens lutningsvinkel är. Svara på en halv grad när.
134
Fastighetsakademin
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
13 Algebraiska uttryck och ekvationer
Algebraiska uttryck
Man brukar säga att algebra är räkning med bokstäver. Låt oss se på
ett enkelt exempel på bokstavsräkning. En rektangel med basen x
och höjden y har omkretsen x + y + x + y. Detta är ett algebraiskt
uttryck med fyra termer.
Uttrycket kan förenklas till två termer 2x + 2y. Termen 2x är
produkten 2 × x av konstanten 2 och variabeln x. Talet 2 kallas
koefficienten för x.
x
y
y
x
När vi använder formler och löser ekvationer behöver vi kunna förenkla algebraiska uttryck. I det
här avsnittet ska vi träna förenklingar.
Exempel 1: Föra samman termer
Förenkla 3x + 2z – 2x – 5z + x
3x + 2z – 2x – 5z + x =
= 3x – 2x + x + 2z – 5z =
= 2x – 3z
Vi för samman x-termer för sig och ztermer för sig. Observera att x
betyder 1x
Svar: 2x – 3z
Exempel 2: Ta bort paranterser
a) Förenkla 3x + 1 + (x + 5)
3x + 1 + (x + 5) =
= 3x + 1 + x + 5 =
= 4x + 6
Parentesen föregås av plustecken. När
vi tar bort parentesen sker ingen
ändring inuti parentesen.
Svar: 4x + 6
b) Förenkla 4x + 7 – (x – 4)
4x + 7 – (x – 4) =
= 4x + 7 – x + 4 =
= 3x + 11
Parentesen föregås av minustecken.
När vi tar bort den måste tecknen
inuti parentesen ändras.
Svar: 3x + 11
Fastighetsakademin
135
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Exempel 3: Beräkna värdet
Vi förenklar högra ledet innan vi
sätter in x = 7,3 i uttrycket.
Y = 8x – 1,2 – (7x + 1,1)
Beräkna y om x = 7,3
Y = 8x – 1,2 – (7x + 1,1) =
= 8x – 1,2 – 7x – 1,1 =
= x – 2,3
x = 7,3 ger y = 7,3 – 2,3 = 5
Svar: y = 5
Exempel 4: Multiplicera in en faktor
Förenkla följande uttryck
a) 2(x + 3)
c) (2x – 3)(5x + 4)
b) x(x – 5)
2
d) (4x – 1)(x – 3x – 5)
a) 2(x + 3) = 2 × x + 2 × 3 = 2x + 6
2
b) x(x – 5) = x × (x – 5) = x × x – x × 5 = x – 5x
c) (2x – 3)(5x + 4) =
= 2x × 5x + 2x × 4 – 3 × 5x – 3 × 4 =
2
2
= 10x + 8x – 15x – 12 = 10x – 7x – 12
Addera termer av
samma slag.
2
d) (4x – 1)(x – 3x – 5) =
2
2
= 4x × x – 4x × 3x – 4x × 5 – 1 × x – 1 × (–3x) – 1 × (–5) =
3
2
2
Skriv termerna med
= 4x – 12x – 20x – x + 3x + 5 =
3
2
= 4x – 13x – 17x + 5
avtagande gradtal.
3
Termen 4x har gradtal
2
3, termen –13x har
gradtal 2 o.s.v.
Svar: a) 2x + 6
b) x2 – 5x
2
3
2
c) 10x – 7x – 12
d) 4x – 13x – 17x + 5
När man multiplicerar in en faktor i en parentes sker det med hjälp av följande regler:
(cm)
a(b + c) = ab + ac
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Figuren illustrerar beräkningen
2
(x + 1)(x + 2) = x + 2x + x + 2
Arean av den stora rektangeln
är lika med summan av areorna
av de fyra små rektanglarna.
136
Fastighetsakademin
2
x
2
x
2x
x
2
1
x
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Beräkningar
Förenkla följande uttryck:
1.
a) 5x + 4 + (7x – 5)
b) 8x + 6 + (2x – 4)
c) 3x – 5 + (4 – x)
2.
a) 3(x + 4)
b) 5(x – 2)
c) 6(a + 7)
3.
a) x(x + 6)
b) x(x – 7)
c) x(3x + 4)
4.
a) (x + 2)(x + 3)
b) (x + 4)(x + 5)
c) (x + 6)(x – 1)
5.
a) (4x – 3z) – (3x – 4z)
b) (6x – 8z) – (7x – 9z)
Utför multiplikationerna:
6.
a) 3x(4x + 1)
b) 8y(2y – 3)
7.
a) x(x + 4x + 5)
b) x (x – x + 3)
c) x(x – 4x – 8)
8.
a) (3x + 10)(2x – 11)
b) (4y – 1)(2y – 1)
c) (7z – 3)(2z – 4)
9.
a) (3x – 1)(x + 3x + 1)
2
c) 5t(3t – 4)
2
2
2
2
b) (x + 1)(2x – 4x + 5)
2
2
10. a) (4x – 3)(3x + 4x + 3)
b) (2x – 5)(4x – 3x – 6)
Förenkla först och beräkna sedan följande uttryck med angivna x-värden:
11. 5(x – 5) – (4x – 28)
x = 3,2
1
1
 x
 x
12. 6    4  
 12 18 
 12 16 
x
2
13. (x + 3)(x + 4) – (x – 9x – 2)
2
3
1
2
x = –0,5
14. (x + 1)(x – 4x + 1) – (x – 3x + 2)
x = –2
Fastighetsakademin
137
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Förstagradsekvationer
Ett exempel på en förstagradsekvation är 2x + 3 = 11. Denna ekvation innehåller en variabel x.
Genom prövning ser vi att x = 4 satisfierar (uppfyller) ekvationen. Detta betyder att om vi sätter in
x = 4 i ekvationen så blir vänsterledet, som är 2x + 3, lika med högerledet som är 11.
Vänsterledet VL = 2 × 4 + 3 = 11
Högerledet HL = 11
Vi säger då att talet 4 är en rot eller lösning till ekvationen.
Vi ger ett antal exempel på hur man löser ekvationer. När du får variablen x ensam i VL har du löst
ekvationen.
Exempel 5: Lösa förstagradsekvationer
Vi vill ha x ensamt kvar i VL. Därför adderar vi
båda leden med 6.
Lös ekvationerna
a)
x – 6 = 13
x – 6 + 6 = 13 + 6
x = 19
Svar: x = 19
b)
7x =
7x
=
7
x=
42
42
7
6
Observera att 7x betyder 7 × x. För att få x
ensamt kvar i VL dividerar vi båda leden med
7.
Svar: x = 6
c)
x
= 3
6
6x
= 6×3
6
x = 18
För att få x ensamt kvar i VL multiplicerar vi
båda leden med 6.
Svar: x = 18
d)
y + 0,15y =
1y + 0,15y =
1,15y =
1,15y
=
1,15
y=
46
46
46
46
1,15
40
Observera att en etta är utelämnad före första
y-termen. Istället för 1y står där y.
Svar: y = 40
138
Fastighetsakademin
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Exempel 6: Lös ekvationerna
a)
4z + 14 + z =
5z + 14 =
5z – 5z + 14 =
14 =
14 – 8 =
6=
2z =
z=
Förenkla i båda leden så mycket som
möjligt
2 + 13z + 6 – 6z
7z + 8
7z – 5z + 8
2z + 8
2z
2z
6
3
Vi subtraherar båda leden med 5z
och får då en enda z-term, 2z, kvar
och kan lösa ekvationen på vanligt
sätt.
6 = 2z betyder att 2z = 6.
Svar: z = 3
Båda leden multipliceras med 7.
Vänstra ledet förkortas sedan med 7.
4x
+5= 3
7
b)
4x
+5–5=
7
4x
=
7
7  4x
=
7
4x =
4x
=
4
x=
3–5
–2
7 × (–2)
–14
14

4
–3,5
Svar: x = –3,5
c)
5(x + 3) =
5x + 15 =
15 – 12 =
3=
x=
Multiplicera in i parenteserna.
6(x + 2)
6x + 12
6x – 5x
x
3
Svar: x = 3
Exempel 7: Lös ekvationen
2
2
(2x – 1)(3x – 4x + 5) = (x + 1)(6x – 17x + 1)
2
2
2x × 3x – 2x × 4x + 2x × 5 – 1 × 3x – 1 × (–4x) – 1 × 5 =
2
2
= x × 6x – x × 17x + x × 1 + 1 × 6x – 1 × 17x + 1 × 1
3
2
2
6x – 8x + 10x – 3x + 4x – 5 =
3
2
6x – 11x + 14x – 5 =
3
3
2
2
6x – 6x – 11x + 11x + 14x + 16x =
30x =
3
2
2
6x – 17x + x + 6x – 17x + 1
3
2
6x – 11x – 16x + 1
1+5
6
6
x=
30
1
x=
5
x = 0,2
Svar: x = 0,2
Fastighetsakademin
139
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Lös ekvationerna
1.
a) x + 6 = 19
b) x – 17 = 19
2.
a) 0,3x = 27
b)
3.
a) 7x – 3 = 53
b) 3x + 6 = 24
c) 11x – 20 = 101
4.
a) x + 27 = 89
b) x – 13,1 = 16,9
c) 3x = 243
5.
a)
6.
a) x – 0,1x = 405
b) k + 0,23k = 2 952
c) t + 1,25t = 99
7.
a) 3x + 5 = x + 11
b) 4x + 26 = 2x + 20
c) 3x – 11 = 5x – 3
8.
a)
3x
 12
7
b)
5x
32
4
c)
4x
62
9
9.
a)
x 7

8 4
b)
2 x 22,5

11
15
c)
3x
4,5

12,6 15,75
x
 10,5
6
b)
x
4
2
2x
 12
4,5
c) 2x = 35
c) 6,28x = 157
c)
3x
 150
6,28
10. 3(x + 2)(x – 2) = (3x – 2)(x + 4)
2
2
11. x(x – 2x + 1) = x (x – 2)
De ekvationer som vi löst har alla efter förenkling kunna skrivas ax + b = 0 där a och b är givna tal
(konstanter) och a  0 (a är skilt från 0). Ekvationen innehåller en x-term, ax och en x-fri term, b.
Talen a och b kallas ekvationen koefficienter. En sådan ekvation kallas en linjär ekvation eller en
förstagradsekvation och har en lösning med en rot. Man löser ekvationen genom att först subtrahera
b och sedan dividera med a.
ax + b = 0
ax = –b
b
x= 
a
Sett ur algebraisk synpunkt kan man säga att vi i detta avsnitt löst samma ekvation gång på gång,
nämligen den allmänna förstagradsekvationen ax + b = 0.
140
Fastighetsakademin
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Problemlösning med förstagradsekvationer
Exempel 8: Bestämma ett okänt tal
Ett tal multipliceras med 3. Om man därefter adderar 29 får man 62 som resultat.
Vilket är talet?
Antag att talet är x
3x + 29 =
3x + 29 – 29 =
3x =
3x
=
3
x=
62
62 – 29
33
33
3
11
Svar: Talet är 11.
Om vi multiplicerar x med 3 får vi 3 × x eller
3x. Om vi sedan adderar med 29 får vi
3x + 29. Detta ska vara lika med 62, vilket ger
oss vår ekvation.
Man kan kontrollera svaret genom att sätta x
lika med 11 i den ursprungliga ekvationens
vänsterled. VL = 3 × 11 + 29 = 33 + 29 = 62
Exempel 9: Bestämma ursprungliga priset
Kajsa fick 15 % rabatt när hon köpte sin räknare. Genom rabatten tjänade hon 72 kr.
Vad kostade räknaren utan rabatt?
Antag att räknaren kostade x kr utan rabatt.
0,15x = 72
0,15x
72
=
0,15
0,15
Rabatten var 15 % av x, d.v.s. 0,15 × x som
skrivs 0,15x. Rabatten var också 72 kr, vilket
ger oss ekvationen.
x = 480
Svar: Räknaren kostade 480 kr utan rabatt.
Exempel 10: Bestämma antal personer
Vid en fotbollsmatch kostade ståplats 60 kr och sittplats 100 kr. 4 450 personer
betalade entréavgift. Hur många köpte sittplats om de totala entréavgifterna var
352 000 kr?
Vi antar att det köptes x st sittplatser. Då köptes (4 450 – x) st ståplatser.
100 × x + 60(4 450 – x) = 352 000
100x + 267 000 – 60x = 352 000
40x = 352 000 – 267 000
x = 2 125
Svar: 2 125 personer köpte sittplats.
Fastighetsakademin
141
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Exempel 11: Bestämma saltmängd
Hur mycket salt ska lösas upp i ett kilogram vatten för att man ska få en 20-procentig
(viktsprocent) saltlösning?
Låt mängden salt vara x gram. Mängden salt plus vatten blir då x + 1 000 gram. Då
mängden salt ska vara 20 % av saltlösningen blir ekvationen
x=
x=
0,80x =
x=
0,20(x + 1000)
0,20x + 200
200
250
Svar: 250 g salt ska tillsättas.
Lös uppgifterna
1.
Ett tal multipliceras med 5. Om vi därefter adderar 16 får vi 61 som resultat. Vilket är talet?
2.
Antag att en sträcka är x meter. Hur tecknar man då en sträcka som är
a) 15 meter längre
b) dubbelt så lång
c) 20 % längre
d) 10 % kortare
e) 30 m tillsammans med den första sträckan?
3.
Anders, Johan och Eva ska dela på 2 800 kr. Anders ska ha dubbelt så mycket som Johan och
Eva ska ha fyra gånger så mycket som Johan. Hur mycket ska var och en ha?
4.
En teatergrupp anordnar en föreställning där man för att täcka kostnaderna behöver få in
50 000 kr i biljettintäkter. Man har 600 biljetter till försäljning och biljetter finns i två prisklasser, 70 kr eller 100 kr. Om man räknar med att sälja slut på alla biljetter, hur många
100-kronorsbiljetter måste man då sälja? (Om antalet inte blir ett heltal, avrunda till närmaste
heltal.)
5.
Hur mycket olja ska tillsättas 40,0 liter bensin för att oljehalten ska bli 2,0 %?
6.
Vid en löneförhandling diskuteras två olika alternativ. Det ena alternativet innebär att månadslönen höjs med 5,0 % samt ett kontanttillägg på 210 kr. Det andra alternativet innebär att
månadslönen höjs med 7,4 % men utan kontanttillägg. Hur stor månadslön måste man ha
före lönehöjningen för att de båda alternativen ska vara likvärdiga?
7.
I en rektangel är ena sidan dubbelt så lång som den andra. Om samtliga sidlängder ökar med
2
10 cm ökar rektangelns area med 700 cm . Beräkna den ursprungliga rektangelns sidor.
142
Fastighetsakademin
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Lösa ut variabler i formler
När man arbetar med formler har man vanligtvis löst ut den variabel vars värde ska beräknas. Ibland
måste man lösa ut en annan av de variabler som ingår i formeln. Vi ska först se på några exempel.
Exempel 12: Lösa ut hastigheten
Mellan vägsträckan s, hastigheten v och tiden t råder (med konstant hastighet)
sambandet s = v × t
I denna formel är s utlöst, d.v.s. s finns ensamt i vänster led och vi får värden på s
genom att sätta in värden på v och t. Vi ska nu lösa ut v i ovanstående formel.
Vi dividerar båda leden i s = v × t med t. Detta ger
s
s
 v eller v 
t
t
Svar: Löses v ut i formeln s = v × t erhålls v 
s
t
Exempel 13: Lösa ut strömmen
Ett batteri har den elektromagnetiska spänningen 1,5 volt och inre resistansen
0,10 ohm. När batteriet lämnar ström av styrkan I ampere är batteriets polspänning
U volt där U ges av formeln
U = 1,5 – 0,10 × I
Lös ut I och ange strömmens styrka när polspänningen är 0,5 volt.
U = 1,5 – 0,10 × I
0,10 × I = 1,5 – U
I
1,5
U

0,10 0,10
1,5 15

 15
0,10
I
I  U 10  U
U


 10  U
0,10
0,1
I
I = 15 – 10 × U
Om U = 0,5 så är I = 15 – 10 × 0,5 = 10
Svar: I = 15 – 10 × U
När polspänningen är 0,5 volt så är strömmen 10 ampere.
Exempel 14: Lösa ut x
Lös ut x i formeln
x y
  1 och beräkna x om y = 6, a = 3 och b = 2.
a b
x y
 1
a b
y
x
1
a
b
Multiplicera nu båda led med a.
ax
ay
 a 1 
a
b
Fastighetsakademin
143
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
xa
ay
b
y = 6, a = 3 och b = 2 insätts i uttrycket och detta ger
x 3
36
3 9  6
2
Svar: x  a 
ay
, x = –6
b
Lös uppgifterna
1.
Lös ut k om
a) 8k = 60
b) ak = b
c) c = kd
2.
Lös ut formeln s = v × t och beräkna värdet på tiden t när sträckan s är 125 m och hastigheten
v är 5,0 m/s.
3.
Omkretsen L av en cirkel ges i formeln L = 2r.
Lös ut r och beräkna för vilket värde på radien som omkretsen blir 25 cm.
4.
Enligt Ohms lag gäller att U = R × I där U ges i volt (V), R i ohm () och I i ampere (A).
a) Lös ut R och beräkna resistansens storlek om spänningen är 55 V och strömmen är 2,5 A.
b) Lös ut I och beräkna resistansen storlek om spänningen är 200 V och resistansen är 11 .
5.
Lös ut h ur
a) A = bh
b) A 
bh
2
h(a  b )
2
c) A 
6.
a) A = 2rh. Lös ut r och beräkna värdet för A = 54,0 och h = 4,15.
b) A = 2rh. Lös ut h och beräkna värdet för A = 0,456 och r = 0,0325
7.
Lös ut k ur
a) y = kx
8.
9.
c) y 
b) y = kx + m
pV
 k är given. Lös ut
T
a) p
b) V
Lös ut m ur
Formeln
a) F = ma
c) T
c) F 
2
b) W = mc
mv 2
r
d) F 
10. Lös ut v0 ur
a) v = v0 + at
144
k
x
b) s  v 0 t 
at 2
2
Fastighetsakademin
c) v 
v0  v
2
4 2 mr
T2
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Kvadratrötter
2
2
2
2
En kvadrat har arean 4 cm . Hur stor är sidan? Sidan är 2 cm, eftersom 2 = 2 × 2 = 4.
En kvadrat har arean 9 cm . Hur stor är sidan? Sidan är 3 cm, eftersom 3 = 3 × 3 = 9.
2
En kvadrat har arean 5 cm . Hur stor är sidan?
Sidan måste vara större än 2 cm men mindre än 3 cm.
2
Vi prövar med 2,3: 2,3 = 5,29 detta är för stort.
2
Vi prövar med 2,2: 2,2 = 4,84 detta är för litet.
2
Vi prövar vidare:
2,25 = 5,0625 för stort,
2
2,23 = 4,9729 för litet,
2
2,24 = 5,0176 för stort
2
A = 5 cm
Eftersom 2,23 är för litet och 2,24 för stort måste det korrekta värdet ligga mellan 2,23 och 2,24. Vi
ser också att det måste ligga närmare 2,24 än 2,23. Vi har funnit ett närmevärde till sidans längd
med två decimaler: Sidan  2,24 cm.
Om vi vill ha sidans längd med större noggrannhet kan vi fortsätta, men det finns inget decimaltal
(utlästes ”kvadratroten ur” eller ”roten ur”)
som ger sidans längd exakt. Vi inför beteckningen
och skriver: Sidan =
Vi har funnit
5 cm.
5  2,24 med två decimalers noggrannhet.
Sammanfattning:
2
4 cm = 2 cm.
5 cm  2,24 cm.
2
9 cm = 3 cm.
En kvadrat med arean 4 cm har sidan =
2
En kvadrat med arean 5 cm har sidan =
En kvadrat med arean 9 cm har sidan =
Kvadratrötter kan beräknas med de flesta miniräknare.
5 beräknas så här:
Fönstret visar då 2,23606 ...
Om man inte har en miniräknare som hanterar kvadratrötter kan man använda tabell:
Kvadratrötter ur talen 1–999
Tal
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0,000
3,162
4,472
5,477
6,325
1,000
3,317
4,583
5,568
6,403
1,414
3,464
4,690
5,657
6,481
1,732
3,606
4,796
5,745
6,557
2,000
3,742
4,899
5,831
6,633
5
6
7
8
9
7,071
7,746
8,367
8,944
9,487
7,141
7,810
8,426
9,000
9,539
7,211
7,874
8,485
9,055
9,592
7,280
7,937
8,544
9,110
9,644
10
11
12
13
14
10,000
10,488
10,954
11,402
11,832
10,050
10,536
11,000
11,446
11,874
10,100
10,583
11,045
11,489
11,916
10,149
10,630
11,091
11,533
11,958
5
6
7
8
9
2,449
4,000
5,099
6,000
6,782
2,646
4,123
5,196
6,083
6,856
2,828
4,243
5,292
6,164
6,928
3,000
4,359
5,385
6,245
7,000
7,348
8,000
8,602
9,165
9,695
2,236
3,873
5,000
5,916
6,708
7,416
8,062
8,660
9,220
9,747
7,483
8,124
8,718
9,274
9,798
7,550
8,185
8,775
9,327
9,849
7,616
8,246
8,832
9,381
9,899
7,681
8,307
8,888
9,434
9,950
10,198
10,677
11,136
11,576
12,000
10,247
10,724
11,180
11,619
12,042
10,296
10,770
11,225
11,662
12,083
10,344
10,817
11,269
11,705
12,124
10,392
10,863
11,314
11,747
12,166
10,440
10,909
11,358
11,790
12,207
o.s.v.
5  2,236.
Avläs
5 . Sök upp 5 i övre kanten, avläs
Avläs
57 . Sök upp 5 i vänstra kanten och 7 i övre kanten, avläs
57  7,550.
Avläs 122 . Sök upp 12 i vänstra kanten och 2 i övre kanten, avläs 122  11,045.
Fastighetsakademin
145
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Lös följande uppgifter
1.
Hur stor är sidan i en kvadrat med arean (huvudräkning!)
2
2
2
b) 121 cm
c) 64 cm
a) 25 cm
2.
Beräkna med huvudräkning
a) 100
b) 1
c) 16
d)
Beräkna närmevärden med 2 decimaler till
a) 7
b) 50
c)
d) 142
3.
87
36
Andragradsekvationer
2
En ekvation där x -termer ingår kallas en andragradsekvation.
2
Ekvationen x = 9 är en sådan ekvation. Den har två lösningar:
2
2
x = 3 eftersom 3 = 3 × 3 = 9
och
x = –3 eftersom (–3) = (–3) × (–3) = 9
Svaret kan också skrivas: x = ±3
eller
x1 = 3, x2 = –3
Lös ekvationerna.
Avrunda till tre decimaler.
2
2
b) x = 36
1. a) x = 25
2
b) 2x + 21 = 39
2
2
b) x – 16 = 0
2.
a) x –14 = 50
3.
a) x – 2 = 18
4.
a) 3x – 14 = 66 + x
2
2
2
2
5.
2
d) x – 7 = 18
2
d) x – 13 = 2
c) x + 2 = 51
c) x + 7= 9
2
c) 2x – 8 = 28
2
2
2
d) x + 7 = 32
b) x(x + 5 ) = 72 + 5x
2
c) 5x = 768 – x
d) (x + 8)(x – 8) = 0
a) (x – 9)(x + 11) = 1 + 2x
b) (x + 9)(x – 9) = 63
2
c) 0,25x – 28 = 100
d) (x + 5)(x – 8) = 41 – 3x
Allmänna andragradsekvationer
2
Vi ska nu lösa ekvationer av typen x + 6x – 7 = 0. Ekvationen är en fullständig andragradsekvation,
2
d.v.s. den innehåller en andragradsterm x , en förstagradsterm 6x och en konstant term –7.
2
En fullständig andragradsekvation kan alltid skrivas x + px + q = 0
2
Ekvationen x + px + q = 0 har lösningarna
2
x
p
p
   q
2
2
Hälften av
koefficienten för x
med ombytt tecken.
146
Konstanta termen
med ombytt tecken.
Hälften av
koefficienten för x
i kvadrat.
Fastighetsakademin
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Exempel 15: Använd formeln
2
Lös ekvationen x + 6x – 7 = 0 med hjälp av formeln.
2
x + 6x – 7 = 0
Konstanta termen
med ombytt tecken.
x  3  3  7
2
Hälften av
koefficienten för x
med ombytt tecken.
Hälften av
koefficienten för x
i kvadrat.
x  3  9  7
x   3  16
x = –3 ± 4
x1 = 1
x2 = –7
Svar: x1 = 1
x2 = –7
Exempel 16: Använd formeln
2
Lös ekvationen x – 8x + 16 = 0
2
x – 8x + 16 = 0
x  4  4 2  16
x  4  16  16
x4 0
x=4±0
x1 = 4, x2 = 4
Svar: x = 4
Lös följande ekvationer
2
b) x + 4x – 12 = 0
2
b) x + 10x + 24 = 0
2
b) x + 6x – 7 = 0
2
b) x + 8x + 15 = 0
2
b) x + 5x + 6 = 0
2
b) y + 8y + 9,75 = 0
1.
a) x + 2x – 8 = 0
2.
a) x – 10x + 16 = 0
2
c) x – 12x + 20 = 0
3.
a) x – 8x – 9 = 0
4.
a) x + 4x + 3 = 0
5.
a) x + 3x + 2 = 0
6.
a) t – 2,5t – 1,5 = 0
2
c) z – 2,9z + 2,08 = 0
2
2
c) x + 6x – 16 = 0
2
2
c) x – 2x – 3 = 0
2
2
c) x + 6x + 5 = 0
2
c) x – 7x + 6 = 0
2
2
2
Fastighetsakademin
147
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Exempel 17: Använd formeln
2
Lös ekvationen 5x – 100 – 10x = 0
2
5x – 100 – 10x = 0
Ekvationen måste skrivas på formen
2
x + px + q = 0
2
0 = 10x – 5x + 100
2
Koefficienten framför x ska vara 1
innan formeln används. Dividera därför
med 10.
2
10x – 5x + 100 = 0
2
x – 0,5x + 10 = 0
x  0,25  0,25 2  10
Det finns inget reelt tal vars kvadrat
är –9,9375
x  0,25   9,9375
Svar: Reella rötter saknas.
Exempel 18: Ekvation med x i nämnaren
1
Lös ekvationen 8x  2  då x  0
x
1
8x  2 
x
x2 
2x 1
 0
8 8
Multiplicera alla termer med x.
Samla alla termerna i vänstra ledet och
dividera med 8.
2
x
1
1
1
   
8
8
8
 
x
1

8
1
8

64 64
x
1

8
9
64
x
1 3

8 8
x1 
1 3

8 8
Svar: x 
148
x1 
4
8
x2 
1 3

8 8
x2  
1
2
Fastighetsakademin
2
8
Då x  0 gäller
enbart x1
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Exempel 19: Bestämma en rektangel
2
Vi vill mäta upp en rektangulär yta med omkrets 120 m och area 700 m . Finns det
någon sådan rektangel och vilken längd och bredd har i så fall rektangeln?
Vi antar att en sida är x m. Då halva omkretsen är 60 m blir den andra sidan
(60 – x) m. Då rektangelns bas gånger höjden ger arean får vi ekvationen:
x
x(60 – x) = 700
2
60x – x = 700
2
0 = x – 60x + 700
2
x – 60x + 700 = 0
60 – x
x  30  30  700
2
x  30  200
x 1  30  200
x 2  30  200
200  44,1
Fall 1: Längden av rektangeln är x1 = 30 +
Bredden är 60  (30  200) = 30  200  15,9
Fall 2: Längden av rektangeln är 30  200  15,9
Bredden är 30  200  44,1
I båda fallen får rektangelns sidor längden 30  200  44 och 30  200  16 .
Svar: En sådan rektangel finns. Dess sidor är 44 och 16 m.
Lös följande uppgifter
2
b) 3x – 18x + 24 = 0
2
2
b) 10x – 25x + 10 = 0
2
b) x = 1 – 2x
1.
a) 2x – 12x + 16 = 0
2.
a) 2x + 3x + 1 = 0
3.
a) 3x = 18 – 3x
4.
a) 14x – 22,8x – 6,4 = 0
b) 6,2y = 1,3 – 7,6y
5.
a) x(5x – 8) = 21
b) 3x(x – 0,2) = 2,97
6.
a) x  2 
7.
I en rektangel är halva omkretsen 16 cm. Rektangelns area är 30 cm . Beräkna rektangelns
sidor.
8.
I en rätvinklig triangel är den ena katetern 56 cm längre än den andra. Hypotenusan är 8 cm
längre än den längsta katetern. Beräkna hypotenusans längd.
9.
Lös ekvationen då x  0
3
a) 2  x   0
x
2
2
2
2
8
x
b) x  10 
16
0
x
c) x  8 
9
x
2
b)
6
 4  2x
x
Fastighetsakademin
c) 7  x 
6
x
149
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Repetion inför linjära funktioner
Att räkna med negativa tal
Exempel 19: Beräkna
a) 5 + (–3)
5 + (–3) = 5 – 3 = 2
b) 9 – (–7)
9 – (–7) = 9 + 7 = 16
– (–7) = 7
c) (–3) × (–4)
(–3) × (–4) = 12
vid multiplikation och division:
lika tecken ger plus
(–8) – 7 –8 – 7 – 15
=
=
=–3
3 – (–2 ) 3 + 2
5
olika tecken ger minus
d)
(–8) – 7
3 – (–2 )
(–8) – 7 = –8 – 7 = –15
jämför med termometer
Lös följande uppgifter
1.
a) 7 + (–3)
b) –6 + (–8)
c) 9 – (–3)
d) –10 – (–2)
2.
a) 4 × (–3)
b) (–10) × (–5)
c) (–7) × 6
d) –6 × (–2)
3.
a) –15
3
b) 45
–5
c)
4.
a) 2 × (–9)
b) –4 × (–5)
c) 27 ⁄ (–3)
5.
a)
7–2
9 – (–6 )
b)
4 – (–3)
2–9
c)
–5 – (–7 )
1 – (–1)
6.
a)
–9 – 1
3 – (–2 )
b)
8 – (–4 )
– 7 – (–1)
c)
– 10 – 6
– 5 – (–3)
(–36 )
(–9)
d) –42
–6
d) (–32) ⁄ (–8)
Bestäm m
7.
a) 7 = 2 × 6 + m
b) 4 = 5 × (–3) + m
c) 12 = –2 × (–9) + m
d) 9 = – 2 × (–21) + m
3
8.
a) –5 = 3 × 4 + m
b) –3 = –9 × 2 + m
c) –12 = –2 × (–9) + m
d) –7 = – 3 × (–35) + m
7
150
Fastighetsakademin
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Att multiplicera in ett tal i en parentes och att lösa ut en variabel i en formel
Exempel 20: Multiplicera in och förenkla
a) 5(4x – 7)
5(4x – 7) = 5 × 4x – 5 × 7 = 20x – 35
b) –7(x + 4)
–7(x + 4) = (–7) × x + (–7) × 4 = –7x – 28
c) –2(x – 8)
–2(x – 8) = (–2) × x – (–2) × 8 = –2x – (–16) = –2x + 16
Exempel 21: Lös ut y ur formlerna
a) 12x – 4y + 8 = 0
12x – 4y + 8 = 0
12x + 8 = 4y
3x + 2 = y
y = 3x + 2
b) 4x + 2y – 3 = 0
Addera 4y till båda leden
Dividera båda leden med 4
4x + 2y – 3 = 0
Subtrahera 4x och addera 3
till båda leden
2y = –4x + 3
y = –2x + 1,5
Dividera båda leden med 2
Lös följande uppgifter
Multiplicera in
1. a) 2 × (x + 5)
b) 2(x – 3)
c) 3 × (2x – 1)
d) 3(4x + 3)
2.
a) –3 × (x + 2)
b) –3(x – 2)
c) –5 × (2x + 6)
d) –4(7x – 5)
3.
a) –5(x + 9)
b) 7(3x – 2)
c) –6(3x + 4)
d) –8(5x – 6)
Lös ut y ur formlerna
4. a) y – x = 0
b) y + 2x = 0
c) 3x – y = 0
d) 4x – y = 0
5.
a) 2y – 10x = 0
b) 4y + 12x = 0
c) 9x – 3y = 0
d) 3x – 7y = 0
6.
a) y + x – 3 = 0
b) y + 3x – 2 = 0
c) x – y – 1 = 0
d) x – y + 5 = 0
7.
a) 2x – 2y – 12 = 0
b) 9x – 3y + 6 = 0
c) 10x – 5y – 5 = 0
d) 4x – 4y + 12 = 0
8.
a) –4x + 4y – 20 = 0
b) 2x – 5y – 40 = 0
c) x + 2y – 10 = 0
d) 2x – 7y + 21 = 0
c) y – (–5) = 7(x –3)
d) y – (–11) = –6(x – 1)
Multiplicera in och lös sedan ut y
9. a) y – 3 = 2(x – 4)
b) y – 7 = –3(x – 2)
Fastighetsakademin
151
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Funktionsbegreppet
I många situationer träffar vi på samband mellan två storheter som varierar. Ändrar vi den ena storheten så ändras också den andra. Storheter som varierar kallar vi i matematiken variabler. Sambanden kan beskrivas på olika sätt:
Graf
Sambandet mellan temperaturen, y°, och tiden x h, under ett
dygn kan beskrivas med en graf.
°C
y
10
x
4
8
12
16
20
24
h
–10
Tabell
Sambandet mellan skatten, y kr, och månadslönen, x kr, finner du i en skattetabell.
Månadslön
x kr
10 301–10 400
10 401–10 500
10 501–10 600
10 601–10 700
10 701–10 800
Skatt
y kr
3 448
3 490
3 531
3 572
3 613
Månadslön
x kr
10 801–10 900
10 901–11 000
11 001–11 100
11 101–11 200
11 201–11 300
Skatt
y kr
3 654
3 696
3 737
3 778
3 819
Formel
Vid fritt fall på månen kan sambandet mellan fallsträckan, y m, och falltiden, x s, uttryckas med
formeln
2
y = 0,8x
När är y en funktion av x?
y
Exempel 1: Vi ritar en graf som visar hur y beror av x,
om y = –0,5x + 2.
Vi kan här välja x godtyckligt.
x
y
152
–2
3
0 2
2 1
1
4
0
x
1
Fastighetsakademin
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
y
Exempel 2: Vi ritar en graf som visar hur y beror av x,
2
om y = 0,25x .
Vi väljer x-värden mellan –4 och 4.
x
y
±4
4
±2±1
10,25
1
0
0
x
1
y
Exempel 3: Vi ritar en graf som visar hur y beror av x,
2
om y = x.
1
Här får vi y = ±
x
1
Vi kan bara välja x  0.
x
y
0
0
1 4
±1±2
x
9
±3
Vertikaltest
Det finns en väsentlig skillnad mellan graferna i de tre exemplen.
I exemplen 1 och 2 svarar precis ett y-värde mot varje tillåtet x-värde.
I exempel 3 svarar två y-värden mot alla tillåtna x-värden utom mot x = 0.
Funktion
En regel som till varje tillåtet x-värde ger exakt ett y-värde kallas en funktion. Vi säger då att y är en
funktion av x.
Med ”vertikaltestet” kan vi avgöra om en graf representerar en funktion; varje vertikal linje i planet
skär grafen till en funktion i högst en punkt.
Exempel 4: Mot en mur ska en rektangulär
trädgårdsordling avgränsas med
ett 12 m långt stängsel. Hur
varierar arean y m² av odlingen
för olika värden på rektangelns
sida x m?
(m)
x
x
12 – 2x
y = x(12 – 2x)
y = 12x – 2x²
Med hjälp av denna regel (formel) kan vi beräkna y för varje tillåtet x-värde. Men vilka
x är tillåtna? Kravet att sidornas mätetal ska vara positiva ger direkt att x > 0 och x < 6
eftersom 2x måste vara mindre än 12.
Vi sammanfattar detta till ett intervall 0 < x < 6.
Då talen x = 0 och x = 6 inte tillhör intervallet markerar vi detta på en tallinje med
öppna ringar. Tillhör talen intervallet markerar vi ändpunkterna med fyllda ringar.
_x<
_6
0<
0<x<6
0
6
öppet
0
_6
0<x<
6
0
slutet
Fastighetsakademin
x>0
6
halvöppet
0
obegränsat
153
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
En tabell ger oss några viktiga y-värden innan vi ritar grafen.
x
y
0
0
1 2
1016
3
18
4
16
5
10
6
0
De tillåtna x-värdena i intervallet 0 < x < 6 kallas funktionens definitionsmängd. Talen
0 och 6 i tabellen tillhör alltså inte definitionsmängden.
Grafen visar hur y varierar då x
ändras inom definitionsmängden.
y
(3, 18)
20
De erhållna y-värdena bildar
intervallet 0 < y  18 och kallas
värdemängden. Talet 18 tillhör
värdemängden men däremot inte
talet 0.
15
10
5
x
Om rektangelns mått är 3 m × 6 m
så är arean 18 m² (så stor som
möjligt).
1
2
3
4
5
6
Exempel 5: Definierar grafen en funktion y av x?
y
a)
y
b)
4
1
x
1
1
x
1
Svar: Ej funktion.
De tillåtna x-värdena ger två y-värden.
3
Svar: Funktion, eftersom varje
tillåtet x-värde ger exakt ett y-värde.
y
Exempel 6: Grafen beskriver en funktion y av x.
Ange funktionens definitionsmängd och värdemängd.
1
Svar: Definitionsmängd:
Värdemängd:
154
0x<5
2y4
Fastighetsakademin
x
1
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
Beräkningar
1.
Definierar grafen en funktion y av x?
y
a)
y
b)
1
1
x
x
1
1
y
c)
y
d)
1
1
x
x
1
1
2.
y
Grafen beskriver en funktion y av x.
Ange funktionens definitions- och värdemängd.
1
x
1
3.
y
a) I hur många punkter skär den vertikala
linjen grafen?
b) Beskriver grafen en funktion?
1
x
1
Fastighetsakademin
155
– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –
4.
y
a) Kan man dra en vertikal linje som skär grafen
i mer än en punkt?
b) Beskriver grafen en funktion?
1
x
1
5.
y
a) Avläs minsta och största tillåtna x-värde.
b) Ange funktionens definitionsmängd.
c) Avläs minsta och största y-värde som
funktionen antar.
d) Ange funktionens värdemängd.
1
x
1
6.
Teckna följande intervall.
a)
b)
x
x
0 1
7.
0 1
Avgör om följande grafer representerar funktioner. Ange i så fall definitions- och
värdemängder.
y
a)
y
b)
1
1
x
x
1
1
y
c)
y
d)
1
1
x
1
1
156
x
Fastighetsakademin
– Kapitel 14: Blandad problemlösning –
14 Blandad problemlösning
Problemlösning kallas alla de lösningar av problem som vi arbetar på att hitta. Ibland kan det vara
en mycket enkel lösning som ska till, men ibland är det mer avancerade tankeövningar som krävs.
Nedan följer ett antal blandade uppgifter för problemlösning.
Beräkningar
1.
En låda med 36 golfbollar väger 2 kg. Lådan väger 2 hg. Vad väger 1 golfboll?
2.
I en låda ligger fyra grå, fyra svarta och fyra vita sockor. Utan att titta i
lådan ska du ta upp sockor ur lådan. Hur många måste du minst ta upp
för att vara säker på att få ett par av samma färg?
3.
Det tar två timmar att svetsa samman två rör. Hur lång tid tar det att svetsa samman fem rör?
4.
I sista uträkningen dividerar Linus med 5 i stället för att multiplicera med 5. Han fick då svaret
20. Vilket var det rätta svaret?
5.
En burk färg väger fem kg när den är fylld till hälften och fyra kg när den är fylld till en tredjedel. Vad väger burken tom och vad väger den fylld med färg?
6.
Använd alla siffrorna 1, 2, 3, 4 och 5 en gång vardera för att skriva ett tvåsiffrigt och ett tresiffrigt tal. Bilda sedan produkten av dessa båda tal, t.ex. 41 × 325 = 13 325.
Vilken produkt bildad på detta sätt är
a) mindre än 3 200
b) så stor som möjligt ?
Räcker dina data?
Om det i uppgiften finns för många data väljer du ut de som behövs. Om det är för få data sätter du
ett rimligt värde på det som saknas. Sedan löser du uppgiften.
7.
Per kan köra 16 km på 1 liter bensin med sin bil. Hur långt kommer han på full tank?
8.
En årskurs på 320 elever ska åka på teaterresa. Att hyra en buss kostar 1 500 kr. Hur många
bussar måste man hyra?
9.
Linus kör en liten lastbil med en bensintank som rymmer 80 liter. Bilen
drar 1,5 liter per mil i stadstrafik och 1,2 liter per mil vid landsvägskörning. Bensinen kostar 8 kr per liter. Vad får Linus betala för full
tank om bensinen är helt slut?
10. På en rea kostar både cd-skivor och kassetter 40 kr per styck. Ordinarie pris på cd-skivor var
75 kr och på kassetter 60 kr. Katja köpte tre cd-skivor, två kassetter och en affisch. Hur mycket
tjänade hon på cd-skivorna?
11. Familjen Karlsson ska åka bil från Bylunda till Sommarland. På fredagen tar fru Karlsson ut
1 000 kr i bankomaten och tankar bilen full för 8 kr/litern. Bylunda ligger ca 14 mil från
Sommarland. Familjen vill tillbringa fem timmar på Sommarland och vara hemma till
kl. 18:00. Hur dags bör de åka från Bylunda?
12. Beräkna en tredjedel av 9 000.
Fastighetsakademin
157
– Kapitel 14: Blandad problemlösning –
13. En transportfirma har fyra bilar som kan ta följande laster:
Bil
A
B
C
D
Kan lasta
0,5 ton
1 ton
5 ton
10 ton
En dag ska Henrik transportera 250 kg cement, 300 kg golvplattor, skåp som väger 200 kg och
dörrar som väger 100 kg. Vilken är den minsta bil han kan använda för denna transport?
14. Lisa simmade 16 längder i en bassäng för att komma upp till 400 m. Hur många längder
behövs det för 1 000 m?
15. Skillnaden mellan högsta och lägsta års temperatur för en plats var 98 °C. Vilken var den
högsta årstemperaturen om den lägsta var –60 °C?
16. Vilka siffror kan du ersätta  med om det fyrsiffriga talet 5 86 ska avrundas korrekt till
hundratal så här: 5 86  5 900?
17. Vilka av talen 72, 28, 38, 63, 79, 88 har en produkt som är närmast 5 000?
18. Anna ska göra svartvinbärssylt. I receptet finns följande ingredienser med:
1 kg svarta vinbär
750 g socker
2,5 dl vatten
När Anna plockat och rensat bären väger hon dem och får vikten 800 g.
Hur mycket socker och vatten ska hon ta till sylten?
19. Här är sex siffror: 0, 2, 3, 5, 7 och 9. Dessa kan flyttas om till olika sexsiffriga tal, t.ex.
795 320. Bilda det tal som ligger så nära 300 000 som möjligt.
20. Gör först en överslagsräkning, använd sedan räknare och avrunda därefter till ett lämpligt antal
siffror.
a) Den tid som en bil behöver för att passera en sträcka på 509 m uppmättes till 22 s. Beräkna
bilens hastighet.
b) Per håller en jämn fart av 5,9 m/s. Hur lång till behöver han för att springa 1 engelsk mil
som är 1 609 m?
21. En Audi 80 av 1993 års modell kostade ny 137 000 kr. Vad var priset år 1999 om den då gått
10 000 mil och värdeminskningen är 4,50 kr per mil?
22. För en lax på 2,5 kg betalade Jesper 150 kr. Vad bör Ebba betala för en bit lax på 0,8 kg?
23. Du kommer sist till ett pizzaparty som just ska börja. Vid bord A sitter nio personer med fyra
pizzor och vid bord B sitter sju personer med tre pizzor. Vid vilket bord ska du var med och
dela pizzorna om du vill ha en så stor bit som möjligt? Alla pizzor är lika stora.
24. I en idrottstävling vid Bolleskolan deltog 150 elever. Två femtedelar av deltagarna var pojkar.
Av de deltagande flickorna kom en tredjedel från omvårdnadsprogrammet. Hur många var det?
25. En låda med 40 spik väger 175 gram. Samma låda med 20 spik väger 95 gram. Vad väger
1 spik?
158
Fastighetsakademin
– Kapitel 14: Blandad problemlösning –
26. Tre klasser hade ett gemensamt prov i matematik. Resultatet blev
Klass
Antal elever
Medelpoäng
A
B
C
25
20
30
17,2
18,5
14,0
Beräkna medelpoängen, om man slår ihop klasserna.
27. Vilket är medelvärdet av 5 tal, om medelvärdet av de båda första är 8 och medelvärdet av de tre
sista är 13 ?
28. Bestäm medelvärdet och typvärdet för
poängsummorna.
Antal
Test i matematik
10
9
Fastighetsakademin
10
11
12
Poängsumma
159
– Facit –
Facit
KAPITEL 2
Division, sidan 18
Addition, sidan 15
1.
9
1.
0, 2, 4, 6, 8
2.
8
2.
1, 3, 5, 7, 9
3.
9
3.
20 501
4.
20
4.
2 121
5.
111
5.
563
6.
62
6.
845
7.
57 st
7.
4 677
8.
7 st
8.
2 766
9.
2 steg åt höger
9.
1 190
10. Fler än 37
10. 412
Tiopotenser, sidan 20–22
2
Subtraktion, sidan 16
1.
a) 3
1.
2.
a) 36
28
b) 42
c) 23
b) 16
c) 64
2.
3 444
3.
a) 9
2
3.
4a
4.
a) 9
5
4.
1
5.
5.
67
6.
4 802
a)
b)
c)
d)
7.
198
6.
a) 16
b) 1
c) 20
8.
578
7.
a) 101
b) 300
c) 50
9.
6
8.
a) 0,05
b) 0
c) 40
9.
a) Fyra tusen
b) Niohundra
c) Sju miljoner
10. 200
Multiplikation, sidan 17
3
b) 8
b) 42
c) 34
3
10 = 1 000
104 = 10 000
102 = 100
106 = 1 000 000
3
10. a) 4 000 = 4 × 10
6
b) 8 000 000 = 8 × 10
c) 2 000 000 000 = 2 × 109
1.
190
2.
39
3.
20,25
4.
450
5.
2 898
6.
74,04
12. a) 2 000 = 2 × 10
b) 3 000 000 000 = 3 × 109
c) 6 000 = 6 × 103
7.
102
13. a) 4,5 × 10
8.
551 156
2
9.
11. a) 900 = 9 × 10
b) 5 000 = 5 × 103
c) 7 000 000 = 7 × 106
3
3
b) 8,3 × 103
c) 9 × 105
3
b) 2 × 104
c) 3,05 × 104
14. a) 7,5 × 10
–4
0,0008 = 8 × 10
15. a) 3 × 10
5
b) 7,8 × 105
c) 2,9 × 103
10. Ett steg åt vänster
16. a) 6 × 10
3
b) 5,2 × 104
c) 1,85 × 105
11
17. a) 5,6 × 10
b) 5,6 × 103
c) 5,6 × 105
b) 2,1 × 103
c) 2,01 × 104
19. a) 5 000
b) 5 400
c) 540
20. a) 200 000
b) 27 000
c) 32
a) 30 × 185
b) 30 × 200 = 6 000 kr
2
12. 104
13. a) 16
160
18. a) 2 × 10
b) 56
c) ca 2,24 kg
3
Fastighetsakademin
– Facit –
21. a) 810
b) 8 100
c) 8 500
12. 750
22. a) 2 100
b) 9 000
c) 26 000
13. a) 51 – 380/10
b) 13
23. a) 350
b) 4 500
c) 807 000
14. a) 3
c) 6
b) 1 000
c) 108
15. b
24. a) 5 000 000
6
b) 6
25. 8,6 × 10
16. 3 × 11 + 5 × 4 = 53
26. 300 000 000 m/s
17. a) 2 300 + 4 × 220 = 3 180
d) 8
4
27. 4 × 10 km
b) I, Steg 1: 4 940–2 300 = 2 640
 Steg 2: 2 640/220 = 12 st
II, I ett svep
(4 940 – 2 300)/220 =12 st
28. 4 700 000 000 år
7
b) 109
c) 102
9
b) 1011
c) 108
3
b) 1014
c) 102
3
b) 100
c) 104
12
b) 106
1.
a) 0,6
b) 0,02
c) 0,005
2
b) 104
2.
a) 8,45
d) 0,15
b) 8,9
e) 2,4
c) 0,2
3.
a) 1,25
d) 8250
b) 25
e) 0,045
c) 0,825
f) 4,5
29. a) 10
30. a) 10
31. a) 10
32. a) 10
33. a) 10
34. a) 10
18. 13 år
Decimaltal, sidan 26
35. a) 8 × 10
–2
b) 6 × 10–3
c) 4,5 × 10–3
36. a) 7 × 10
–2
b) 7,5 × 10–3
c) 2,3 × 10–4
–5
b) 5 × 10–6
c) 4 × 10–5
–4
b) 3,3 × 10–7
c) 9 × 10–3
Överskagsräkning m.m., sidan 31
b) 7 × 10–2
c) 2 × 10–6
1.
a) 132
40. a) 1,05 × 10
b) 4,5 × 10–5
c) 4,08 × 10–4
2.
41. a) 0,007
b) 0,09
c) 0,000 001
42. a) 0,052
b) 0,000 049
c) 0,001 7
a)
b)
c)
d)
43. a) 0,001
b) 0,004 05
c) 0,000 38
3.
44. a) 0,000 7
b) 0,1
c) 0,001 6
a) 200m/40s =5 m/s
b) 200/37  5,4 m/s
c) 5,4 m/s
45. a) 0,01
b) 0,080 7
4.
23/29
5.
Kilopris:
11,60 kr / 0,160 kg = 72,5 kr/kg
0,181 kg kostar:
0,181 kg × 72,5 kr/kg  13,10 kr
6.
30
7.
2,05 och 2,01
37. a) 1,9 × 10
38. a) 6,3 × 10
39. a) 8 × 10
–4
–3
–3
b) 9,5 × 10
46. a) 10
47. a) 7 × 10
–2
–3
48. a) 1,9 × 10
–3
–4
c) 2,95 × 10
–5
b) 2 × 10
–2
49. a) 5 × 10
c) 0,000 009 50
–2
c) 1,6 × 10
–4
b) 8,5 × 10
c) 10–4
b) 6,08 × 10–3 c) 3,7 × 10–2
Prioriteringsregler, sidan 24–26
1.
a) 7
b) 350
c) 70
d) 30
2,
a) 40
b) 90
c) 24
d) 37
3.
a) 10
b) 1
c) 60
d) 40
4.
a) 9
b) 7
c) 7
d) 1
5.
a) 13
b) 29
c) 5
d) 20
6.
a) 17
b) 5
c) 1
d) 5
7.
a) 8
b) 20
c) 8
d) 4
8.
a) 15
b) 148
c) 10
d) 4
9.
a) 28
b) 6
c) 17
d) 41
10. a) 10
b) 2
11. a) 16
b) 3
8.
9.
3
4
b) 132,0
c) 132,05
d) 130
460 + 850 = 1 300
26 000 – 4 000 = 22 000
12 × 3 = 36
24/0,4 = 60
och
52
100
a) 50
b) 48
c) 48,2
d) 48,15
10. a och d
11. a) 1 700
b) 20
12. a) 0,65
b) 0,22
13. a) 0,43
b) 43
14. a) 26
b) 4,5
15. a) 3,0 och 3,1
16. a) –6
Fastighetsakademin
b) –3,0 och –2,9
b) 11
161
– Facit –
7.
Proportionellt, sidan 33
1.
200
 25
8
b) 24,691…
a)
c) 25 liter
42/50 = 0,84 liter/mil
3.
a) 2 × 9 = 18 kr
4.
a) 3 000 × 100 = 300 000 kr
b) 3 118 × 95 = 296 210 kr
5.
a)
6.
1,09
7.
31,80 kr
8.
9.
13
17
b) 17,48 kr
b)
d) –9°
29
26
1.
a) –63
b) –32
c) 12
d) 0
2.
a) –7
b) –9
c) 9
d) 0
3.
a) –77
b) –4
c) –25
d) 120
4.
a) –3
b) 8
c) 6
d) –21
19
17
 87 st
13,7 kg
(88 blir för tungt!)
5.
a) 5
b) 0
c) –3
d) –1
6.
a) –3 °C
b) –8 °C
c) 4 °C
d) 0°
7.
a) 20 m
b) –35m
8.
a) 2
b) 20
c) -2
d) –14
9.
a) –35
b) 24
c) –3
d) 3
KAPITEL 4
Bråk, sidan 48–52
173,35 g
10. 6 479 kr!! (En restresa för två…)
1.
KAPITEL 3
2.
Negativa tal, sidan 37–38
1.
a) –2
b) 0
c) 5
2.
a) 6<9
d) –3 >–9
b) 6>–3
e) –5<0
c) –3 <–1
f) 1>0
3.
a) 5
4.
a) –6
b) –3
c) 4
5.
a) 7>3
d) –2<–1
b) 5 >–2
e) 0<5
c) –2<5
f) 0>–7
b) –5
c) 5
a) 11°
b) 0°
c) –3°
d) –11°
7.
a) –9°
b) –16°
c) 5°
d) –24°
8.
a) –2
b) –8
c) 2
d) –2
9.
a) 11
b) –13
c) 6
d) –18
b) +3
c) –1
d) –6
11. a) 13, 17, 19, 21
c) –5, –1, 0, 3
b) –2, 4, 6, 10
d) –9, –6, –2, 0
12. a) +11 °C
c) +14 °C
b) –8 °C
a) 3
b) 4
c) 7
d) 2
2.
a) –10
b) –12
c) –8
d) –12
3.
a) 10
b) 10
c) 12
d) 2
4.
a) 1
b) 2
c) –2
d) –4
5.
a) 8
b) –50
c) 40
6.
a) 19
b) 3
c) 6
b)
32
48
b)
9
10
1
4
b)
10
3
2
11
b)
3 1 4
+ =
9 9 9
15 5
=
27 9
5.
a) 2
6.
a)
7.
2 100 m
8.
5
6
5
eftersom bitarna som ska delas på 8 är större än
8
1
1
de som delas på 9, d.v.s.
är större än
8
9
4.
9.
1.
7
8
a)
d) –26 °C
Addition och subtraktion med negativa tal, sidan 39–40
a)
3.
d) –14
6.
162
c) 15°
Negativa tal, sidan 42
749
339
1 200 kg
10. a) –3
b) –12°
Multiplikation och division med negativa tal, sidan 42
2.
39
35
a) 6°
c)
5
10
4 1
=
10 10
10 5
=
12 6
4
d)
15
8
15
32
4
=4
c)
7
7
a)
b)
1
av 60 = 15 skift
4
2
av 60 = 24 skift
5
1
av 60 = 20 skift
3
Återstår 1 skift
10. a) 20 min
d) 40 min
b) 15 min
e) 6 min
c) 45 min
f) 12 min
d) –10
11. a) 0,5
d) 0,2
g) 0,8
b) 0,25
e) 0,4
h) 0,1
c) 0,75
f) 0,6
i) 0,9
d) 30
12. Det är bättre att vara 3 att dela tårtan än 4.
Fastighetsakademin
– Facit –
13. a)
14.
3
4
b)
3
5
c)
2
5
d)
3
5
4
7
15.
16.
31. a)
2
(2:5)
5
32. a)
1
3
b)
33. a) 1/6
1
av 2 400 = 800
3
3
av 2 400 = 900
8
2
är färgade.
3
3
b) 3 rutor av 5 är skuggade.
är skuggade.
5
4
c) 4 träd av 7 är granar.
är granar.
7
3
(3:2)
2
1
3
b) 3/4
c) 1/20
d) 1/12
34. 5/6
35. a)
17. a) 2 kulor av 3 är färgade.
b)
1 1 3 ×1 1 3 1 4 2
+ =
+ = + = =
2 6 3×2 6 6 6 6 3
2 1 4 × 2 3 ×1 8
3
5
– =
–
=
–
=
3 4 4 × 3 3 × 4 12 12 12
9 8 1
1
1
= + =2+ =2
4 4 4
4
4
1
1 6 1 7
b) 3 = 3 + = + =
2
2 2 2 2
36. a)
18.
37.
Cirkeln är delad i
5 lika delar.
Varje del är 1/5.
Cirkeln är delad i
4 lika delar.
Varje del är 1/4.
b)
a)
b)
Färre delar ger större bitar. 1/4 är större än 1/5.
19. a)
2
9
8
20. a)
28
21. a)
5
8
b)
4
9
c)
b)
5
9
2
3
41.
15
b)
18
25. a)
2
8
b) 2
26. a)
4
5
b)
c)
1
4
3
5
6
22
29. De har färgat lika mycket.
30. a)
2
12
b)
9
12
8
12
3
4
b)
5
9
1
6
b)
13
15
1
2
b) 2
1
2
44. a) 1
2
5
b) 1
1
4
45. a) 2
3  11 
 
4 4
c)
3
28
d)
c) 1
1
3
b) 1
1  10 
 
9  9
23
45
d) 3
1
3
1
8
47. a)
2
3
och
6
6
b)
1
3
och
6
6
48. Jenny skall ha 30 kr och Sara 45 kr.
49. 2 000 m
2 2×2 4
=
=
3 2×3 6
c)
2
3
43. a) 1
46.
28. a) Dividera både täljare (10) och nämnare (15)
med 5. Resultat: 2/3
b) Multiplicera både täljare (10) och nämnare (15)
med 5. Resultat: 50/75
b)
7
10
42. a)
3
5
1
4
1
2
40. a)
3
7
b)
38. a)
39.
7
b)
(7:10)
10
8
24. a)
18
27.
d)
25
b)
45
3
(3:5)
22. a)
5
23. a)
7
9
50. a) 50 kr
c) 400 cm
d)
6
12
b) 18 kg
d) 630 elever
51. Johan 4 800 kr, Martin 3 200 kr.
52. a) 4 kg
Fastighetsakademin
b) 8 kg
c) 20 kg
163
– Facit –
53. a) 7 kg
b) 21 kg
54. a) 5 kr
b) 15 kr
55. a) 50 m
b) 250 m
c) 8 kr
d) 56 kr
17. x = 1,1
18. a) t 
58. 7 km
 T 2 / L

 2 
59. 2/3 av 42 kr = 28 kr är mer än 3/5 av 45 kr = 27 kr
d) c  
60. Jesper 180 kr, Jakob 240 kr
b) 9 år
19.
P
62. Lisa 600 kr, Anna 560 kr, Niklas 240 kr
v  v0
a
R
=1+×t
R0
R
–1=×t
R0
b) 27
61. a) 12 år
b) t 
c) R = R0 (1 +  × t) 
540
elever = 60 elever.
9
5/9 av 540 elever är 5 × 60 elever = 300 elever.
56. 1/9 av 540 elever är
57. a) 45
s
v
R

  1
 R0   t
Svar:

e) V 2 
P2  T 2  V1
P1  T1
b
5a
20. 8 750 kr
KAPITEL 5a
21. 300 st
Formler och ekvationer, sidan 59–62
1.
x = 17
2.
x = 12
3.
x = 20
4.
x=5
5.
x = 10
6.
22. 113,2 km/h
23. 25 g
24. a) 10,9 m/s
b) 15,1 m
25. 3
26. 331 
2x x
4x x
5x
+ = 10 
+ = 10 
= 10 
3 6
6 6
6
5x =60  x = 12
27. a) x = 6
b) x = 20
c) x = 10
28. a) x = 27
b) x = 11
c) x = 29
29. a) x = 21
b) x = 65
c) x = 40
( x + 2)
=1  x + 2 = 3  x = 1
3
30. a) x = 4
b) x = 5
c) x = 2,5
7.
31. a) x = 18
b) x = 80
c) x = 15
8.
x  15,9
32. a) x = 77
b) x = 100
c) x = 4
9.
3(2x – 5) = 45  6x – 15 = 45  6x = 60  x = 10
33. a) x = 1,5
b) x = 120
c) x = 119
10. 5 000 kr
34. a) x = 99
b) x = 13,5
c) x = 23
11. x + x + 20 = 730  2x = 710 
x = 355 och 355 + 20 = 375
35. a) x = 4
b) x = 75
c) x = 0
36. a) x = 160
b) x = 7,5
c) x = 2,5
12. 90 000
37. a) x = 7
b) x = 5
c) x = 4
38. a) x = 10
b) x = 6
c) x = 200
39. a) x = 7,5
b) x = 1
c) x = 2,4
40. a) x = 15
b) x = 6
41. a) x = 3
b) x = 12
Nu Om 15 år
Jon
x
x +15
42. a) x = 40
b) x = 4
43. a) 7
b) 14
Far
44. 126 kr
13. Conny
12
32
Lars Evert
14.
av 640 = 240 kr
20
32
av 640 = 400 kr
x + 25 2(x + 15) och
x + 25 + 15
2(x + 15) = x + 40 
2x + 30 = x + 40  x = 10
Svar: 10 och 35 år.
15. a) x = 7
b) x = 5,5
16. a) x = 21
b) x = 18
164
c) x = 1,2
45. a) x = –4
b) x = 0,5
46. a) x = –1
b) x = –2
47. a) x = –3,5
b) x = 0
48. a) x = 2,5
b) x = 0,2
49. 7,5 kg
Fastighetsakademin
– Facit –
50. a) 335 kr
b) 515 kr
c) 5 dagar
d) 9 dagar
13. Persboda 9/75 = 12 % Störst!
Västerstad 165/1 500 = 11 %
51. a) x = 3
b) x = 2
52. a) x = 6
b) x = 2
Promille och ppm, sidan 70–71
53. a) x = –20
b) x = 4
1.
a) 0,003
c) 0,000 002
55. a) x = 4,5
b) x = 1,5
2.
56. a) x = 2
b) x = 0,5
a) 1,5 ‰ av 42 000 = 0,001 5 × 42 000 = 63
b) 35 ppm av 60 000 = 0,000 035 × 60 000 = 2,1
57. a) x = 0
b) x = 1
3.
Antalet födda var 12 ‰ av befolkningen.
58. a) –25
b) 11
4.
2 ppm
5.
a) 7 ‰
6.
a) 6 ‰
b) 1,5 ‰
7.
a) 0,008
b) 360 kr
8.
a) 0,003 5
b) 168 kr
9.
a) 190 ppm
b) 31 ppm
54. 9 år
59. A, B och D
60. a) 55 mål
b) 41 mål
KAPITEL 5b
Massa, densitet och tryck, sidan 64
3
1.
V = 3,75 m
m = 3,75 × 2 400 = 9 000 kg
2.
V = 5,5 m3
m = 5,5 × 1 500 = 8 250 kg
3.
Finns massor av svar!
Antag t.ex. att diametern är 1 m, och höjden är 15 m.
V = 11,78 m3
m = 11,78 × 500 = 5 890 kg
4.
5.
b) 0,015 2
d) 0,000 025
b) 1,6 ‰
10. a) 5 ppm
b) 20 ppm
11. a) 0,000 025
b) 2 kg
c) 12 ‰
d) 0,2 ‰
12. 25 800
13. 4 ‰
14. 12 ppm
15. 0,92 g
16. 0,36 g
Total kraft = 9 613,8 N
Tryck = 2 403,45 N/m2
17. a) 1 promilleenhet
b) 80 ‰
2
a) 53 9550 N
b) 1 542 N/m
Procent och procentenheter, sidan 74
KAPITEL 6
1.
a) 5 %
Procent, sidan 67–68
2.
a) Ökat med 3 procentenheter.
b) Minskat med 1,5 procentenheter.
3.
a) 2 procentenheter
4.
a) 13 %
5.
5 procentenheter
6.
a) 5 procentenheter
b) 0,20
7.
a) 3 procentenheter
b) 30 %
8.
a) 1 procentenhet
b) 20 %
9.
a) 1 %
1.
96 %
2.
3
a)
5
3.
3
a)
8
4.
a) 62,5 %
5.
a) 50 %
6.
40 %
7.
a) 42 %
b) 3 %
c) 30 %
d) 30,5 %
8.
a) 0,65
b) 0,07
c) 0,70
d) 0,703
9.
a) 1/4
10. I a)
II a)
b) 0,6
c) 60 %
b) 0,375
b) 28,1 %
c) 37,5 %
c) 58,6 %
b) 20 %
b) 0,25
9
25
6
16
d) 83,3 %
b) 0,36
c) 36 %
b) 0,375 c) 37,5 %
b) 41,7 %
c) 13,6 %
b) 25 %
b) 10 %
c) 20 %
b) 10 %
10. TV-12, eftersom det sänks med 3 % från
ursprungliga 30 %, d.v.s. 3/30 = 10 %
Procent, sidan 75–76
c) 25 %
11. Hur många svar som helst!
12. a) 87,5 %
b) 3,5 %
d) 47,2 %
1.
a) 15 kr
b) 10 %
2.
a) 42 kr
b) 392 kr
3.
40 %
4.
72 kg
5.
a) 30 cm
b) 5 %
6.
a) 120 kr
b) 280 kr
Fastighetsakademin
165
– Facit –
3.
4 200 kr
b) 49 000
4.
7,5 %
b) 20 %
5.
8,04 d.v.s. 8 st
37 800 kr
6.
a) 150 kr
b) 5 000 kr c) 0,03
d) 3 %
3 105 kr
7.
a) 0,20
b) 0,20 × 550
c) 110 kr
8.
a) 540 kr
c) 13 500 kr
9.
25 %
7.
7 20 %
8.
a) 51 500
9.
a) 25 %
10.
11.
12. a) T.ex.: Ett par jeans kostade 620 kr, men nu har
de höjt priset med 15 %. Vad är det nya priset?
b) T.ex.: CD-spelaren kostade 800 kr men jag
prutade ner priset med 5 %. Vad fick jag betala?
b) 135 kr
d) 13 500 kr
10. 644 kr
Procent, sidan 77–78
11. 5,2 %
1.
a) 20 %
b) 60 %
12. 46 000 kr
2.
a) 7 kr
b) 616 kr
13. Hur många svar som helst!
3.
a) 500
b) 45 000 m
14. a) 108 %
b) 235 %
c) 3,6 = 360 %
4.
a) 12 %
b) 1 750 kr
c) 300
15. a) 1,35
b) 2,7
c) 4,06
5.
a) 340 km
b) 400
c) 4,5 %
6.
a) 72 kr
b) 288 kr
c) 25 %
7.
a) 60 %
b) 25 %
8.
a) 0,12
9.
a) 24
c) 20 %
16.
Nya priset
75
=
= 5 = 500 %
Gamla priset 15
d) 12 %
17. 108 % av 2 400 kr = 1,08 × 2 400 kr = 2 592 kr
b) 0,12 × 750
c) 90 kr
18. a) 109 %
b) 285 %
c) 375 %
b) 60
d) 18
19. a) 1,03
b) 2,4
c) 5,45
c) 510
10. a) 150
b) 15 000
c) 15 000
20. 125 %
11. a) 2 000
b) 500
c) 150
21. 294 kr
12. a) 20 %
b) 8 %
13. a) 4,5 miljoner
b) 18 m
14. a) 20 %
b) 300
c) 75
15. a) 666
b) 25 %
c) 700
16. a) 35 kr
c) 24,8 m
b) 72 mm
d) 165 liter
17. a) 20,4 %
b) 80,6 %
18. a) 12 000 m
19. a) 60,5 %
c) 5 000 kr
20. Han glömmer 5 hundradelar.
21. a)
75
1
eftersom det bara fattas
till en hel,
76
76
d.v.s. 100 %
26
b)
eftersom det är ungefär hälften, d.v.s. 50 %
51
c)
d)
11
42
3
31
45 %
2.
222 kr
166
c) 150 %
d) 285 %
23. a) 0,76
b) 1,76
c) 1,4
d) 3,48
24. a) 80 %
b) 125 %
c) 225 %
d) 240 %
36
8
som nästan är
1
10
, d.v.s. 10 %
b) 4,5 = 450 %
26. a) 1,35
c) 11 340 kr
b) 1,35 × 8 400 kr
27. a) 2,08
c) 24 960 kr
b) 2,08 × 12 000 kr
28. a) 80 %
b) 125 %
29. a) 12 960 kr
b) 256 kr
30. a) 207 cm
b) 184 cm
31. 120 %
32. C: 3 000 kr
150 % av ett tal måste vara större än talet.
33. 1,05
eftersom det är nära 1/4, d.v.s. 25 %
Procent, sidan 80–82
1.
b) 135 %
25. a)
b) 384 000 kr
b) 504 km
22. a) 35 %
11/10
7/5
150 %
34. a) 0,83
b) 1,2
c) 0,95
d) 1,6
35. a) + 25 %
b) – 20 %
36. a) + 3 %
b) + 30 %
c) + 8 %
d) + 80 %
37. a) – 5 %
b) – 10 %
c) – 15 %
d) – 40 %
38. a) – 4 %
b) + 13 %
c) + 65 %
d) – 51 %
39. a) 1,25
b) 25 %
Fastighetsakademin
– Facit –
40. a) 0,85
b) 15 %
16. a) 25 %
41. a) 0,8
b) 20 %
17. Ökade med 100 %.
42. a) 0,7
b) 30 %
18. a) 190 cm
43. a) + 12,5 %
c) + 104,3 %
b) 184 cm
19. a) Medianen är 9
b) – 12,5 %
d) – 29,3 %
44. 62,5 %
b) Medianen är 10
KAPITEL 9
Area, sidan 99
45. 137,5 %
46. a) 6,6 %
b) 40 %
b) 0,6 %
KAPITEL 8
1.
Diametern eller radien
2.
dm2
3.
Cirkeln: 50,3 m2, kvadraten: 50,41 m2.
Svar: Cirkeln
4.
1,904 m2
Statistik och diagram, sidan 92–95
1.
a) 35 %
b) 21
2.
a) Spanien b) Italien
c) Grekland d) 50 %
Volym, sidan 101
3.
a) 400
b) 200
c) 100
1.
3,08 m3 (=3080 liter)
4.
a) 25
b) 30
2.
a) 10 dm3
b) 100 gånger
5.
a) 20
b) 200
3.
a) 2 ml
b) 125 st
6.
a) Båda kurvorna har sin topp för juli månad.
b) I Jokkmokk är temperaturen lägst i januari
och i Visby i februari.
c) Störst skillnad i januari (största avståndet mellan
kurvorna). Minst skillnad i juli.
d) April och november har samma medeltemperatur i Visby. April och oktober har samma
medeltemperatur i Jokkmokk.
e) Ökningen är störst där kurvan är brantast.
I Jokkmokk är största ökningen 8 °C
(mars–april).
I Visby är största ökningen 5 °C.
(april–maj och maj–juni).
4.
a) cylinder
d) 100
c) 10 %
d) 70 %
7.
a) 5
d) 1c
b) 15
e) 1a och 1d
c) 10
8.
a) 30
d) 30
b) På prov 4
c) Prov 1, 2 och 3
9.
a) Nej (8 Saab, 10 Volvo)
b) Nej, lika många (10 av varje)
10. a) 8°
b) 4°
c) Söndag, måndag, lördag
d) 4°
e) Ja, tisdag
11. a) 3:e
d) 4:e
b) 2:a
c) 1:a och 4:e
e) A: 1 050 000 kr, B: 1 250 000 kr
12. a) 2,7 l/min b) 1,8 l/min
c) 18 år
d) 12 år och 34 år
e) Mellan 12 år och 14 år
13. a)
b)
c)
d)
e)
f)
5.
b) rätblock
3
a) 12,48 m
b) 4,16 m
3
c) kon
c) 12,48m3
Vinklar, sidan 104–106
1.
Mät med gradskiva.
2.
a) 71°
d) 44°
b) 58°
e) 46°
3.
a) 125°
b) 73°
4.
106°
5.
A = 66,6° , B = 72,6°
6.
B = 112°, C = 59°
7.
a) 50°
8.
29°
9.
a) x = 50°, y = 80°
c) x = 70°, y = 50°
c) 90°
f) 113°
b) 45°
b) x = 143°, y = 75°
d) x = 45°, y = 73°
10. A + B + C = 180 
C  10
C + 10 +
+ C = 180 
2
2,5 C + 15 = 180  C = 66, B = 38, A = 76
(A = 2B, A = C + 10, 2B = C + 10, B =
Jan, apr, maj, jun, jul, sep, okt, nov
Feb, aug
Mar, dec
Högst = 110 mm, lägst = 20 mm
Högst = 100 mm, lägst = 10 mm
Jun, aug, sep
11. a) x = 27°
C  10
2
)
b) x = 30°
12. x = 20. Vinklarna är 20°, 80° och 80°.
13. a) 40°, 60° och 80°
b) 20°, 60° och 100°
14. c och mp
15. a) 2,7 miljoner
c) 180 000 (176 000)
b) 5,2 miljoner (5,22)
d) Sverige
Fastighetsakademin
167
– Facit –
Pythagoras sats m.m., sidan 108–112
1.
14 4302 + 11 1802 = 18 2542
Stämmer! Alltså är vinklarna räta.
2.
132 + 152 = 394
Hypotenusan är
26.
27. 430 m ( 187 200 )
394  19,8 (19,8 = 392,04)
2
3.
a) Omkrets: 12,3 cm, area: 5,7 cm² (5,67)
b) Omkrets: 13,3 cm, area: 8,6 cm² (8,61)
4.
x=8
5.
x = 3,5
6.
x = 8,5
7.
a) x = 7,5
8.
x = 30
9.
a) 8x
10. a) 6x
Ex:
28. Ja (4002 + 5202 = 6562)
29. Ja, dörrens diagonal är drygt 221 cm.
30. 2,3 m (2,30...)
31. 5,1 m (5,14...)
32. Nej (1702 + 1252  2002)
33. Klädstrecket blir 960 cm (4 × 240,41...)
b) x = 4
34. 1 m (98,9... cm)
b) 9x
KAPITEL 10
b) 6x + 2
Trigonometri, sidan 117–124
11. x = 8 m
1.
a) 35/61  0,57
b) 50/61  0,82
c) 35/50  0,70
14. Områdets area är 32 cm².
2.
a) 0,57
15. 48 m²
3.
16. a) Omkrets: 19,8 cm, area: 22 cm² (22,4)
b) Omkrets: 17,6 cm, area: 13 cm² (13,3)
a) tan A = 15/8  1,88 , tan B = 8/15  0,53
b) tan A = 20/21  0,95 , tan B = 21/20  1,05
4.
17. a) Omkrets: 54,0 cm, area: 122 cm² (121,5)
b) Omkrets: 7,8 cm, area: 2,2 cm² (2,185)
a) sin v = 9/11  0,82 , cos v = 6/11  0,55
b) sin v = 16/34  0,47 , cos v = 30/34  0,88
5.
a) 58 m
b) 54 m
6.
a) 41 cm
b) 43 cm
7.
a) 40°
b) 46°
8.
a) 28°
b) 53°
9.
30 m (30,1)
12. 26 m
13. x = 6 cm
18. a) Omkrets: 19,4 cm, area: 20 cm² (20,16)
b) Omkrets: 21,3 cm, area: 25 cm² (25,08)
19. a)
b)
c)
d)
Summan av sidornas längder
2 × 6,0 cm + 2 × 3,0 cm = 18 cm
Basen × höjden
6,0 × 3,0 cm² = 18 cm²
11. 16°
12. 14° (14,1)
13. 1,42 m
14. 22 m
15. 1,9 respektive 3,9 m
21. a) Omkrets: 7,6 cm, area: 3,6 cm² (3,61)
b) Omkrets: 29 cm, area: 47 cm² (46,56)
16. a) 35  61  0,57
b) 50  61  0,82
c) 35  50  0,70
22. a) Omkrets: 12,6 cm, area: 7,1 cm² (7,105)
b) Omkrets: 16,2 cm, area: 8,6 cm² (8,58)
2 × 8,0 cm + 2 × 4,0 cm
24 cm
8,0 cm × 3,5 cm
28 cm²
17. a) 0,574
b) 0,819
18. 15,3 m
19. 557 m
24. Omkrets: 17,2 cm, area: 15 cm² (15,4)
20. 15 m
25. Baserna är lika långa och höjderna är lika långa.
21. a) 34,0°
b) 42,5°
22. a) 34,4°
b) 66,0°
23. 21°
168
c) 0,70
10. 360 m (358)
20. a) Summan av sidornas längder
b) 12,0 cm + 10,8 cm + 5,0 cm = 27,8 cm
basen × höjden
c)
2
12,0 × 4,5
cm ² = 27 cm ²
d)
2
23. a)
b)
c)
d)
b) 0,82
Fastighetsakademin
c) 0,700
– Facit –
24. a) 53°
b) 58°
25. a) 32°
b) 39°
49. a) 0,213
d) 19
15
15
1
 x  15 cm
x
x
Arean = 15 × 15  2 = 112,5 cm²
27. 100 m
28. 45 cm²
x
 20  tan(55)  x
20
x = 20 × 1,428  x  28,56 dm
b) tan(55) 
29. a) x = 2 × tan v
q
c) x =
tan v
tan v
e) x =
15
b) x = q × tan v
15
d) x =
tan v
c) tan(16) 
f) x = 15 × tan v
b) Kateterna är 1 resp.
28,7
 x  100
0,287
Arean = 28,7 × 100  2 = 1 435 cm²  14,4 dm²
3.
31. 2,2 m²
32. 4,5 m
33. a) Två olika värden fås på sträckan CH om den
beräknas som CH = 5,35 × tan 40° eller
CH = 4,05 × tan 50°.
b) 5,75 m
34. a) Arean är
b) Arean är
a2
2 × tan v
d) Om triangeln delas upp i två lika stora rätvinkliga
trianglar så kommer basen att bli 100  2 = 50
meter. Med x som höjden fås:
x
tan( 64) 
 x  50  tan( 64)
50
x = 102,5 m
Arean = 100 × 102,5  2  5 125 m²  0,5 ha
51. a) tan( v ) 
5
 tan( v )  1,67
3
–1
v = tan (1,67)  v  59°
b) a  32,7° , b  114,6°
36. a) v  29,5°
b) v  161°
37. a) x = 19 cm
b) x = 25 mm
38. a) y = 23 cm
b) y = 43 mm
39. Alla tre vinkarna i triangeln är kända.
40. a) u = 37°
b) u = 62°
41. a) v = 53°
b) v = 28°
42. 3,1 m
1
×x
tan 42°
c) x = 2 600
43. a) BC =
1
×x
tan 36°
d) 3,9 km
b) AC =
44. c × sin v resp. c × cos v
45. 4,7 dm
2 ,1
b) 1 2 , 3 2 , 1
3
3 2 ,1 2 , 3
47. Ur figuren fås att
a) sin(90° – v) = a  c = cos v
39
78
 tan( v ) 
50
100
tan(v) = 0,78  v = tan–1(0,78)  v  38°
c) För att tangens ska kunna användas måste kateterna (de två sidor som bildar en rät vinkel med
varandra) vara kända. För att få den okända sidan
här använder vi först Pythagoras sats:
402 + x2 = 502
40
tan( v ) 
1 600 + x2 = 2 500
2
30
x = 2 500 – 1 600
tan(v)  1,33
x2 = 900
v = tan–1(1,33)
x  900
x = 30
v  53°
b) tan( v ) 
52. a) Om höjden i triangeln betecknas med x får vi:
x
tan( 22) 
 x  200  tan( 22)  x  80,8
200
Arean =200 × 80,8  2  8 080 m²  0,81 ha
b) Ur triangeln till vänster i figuren fås:
h
tan( 64) 
 h  50  tan( 64)
50
h  102,5
Arean av fyrhörningen fås då genom att man
beräknar medelvärdet av 100 och 200 och multiplicerar med h.
Arean = (100 + 200)  2 102,5 = 150 × 102,5 =
= 150(100 + 2,5) = 15 000 + 375 m²  1,54 ha
b) cos(90° – v) = b  c = sin v
48. a) 1
b) 1
motst. katet 25

närl. katet
15
tan( v ) 
a 2 × tan v
2
35. a) a  67° , b  56°
2 ,1
28,7
 x  0,287  28,7
x
x
30. a) De båda kateterna är lika långa.
c)
c) 7,81
50. a) tan( 45) 
26. 97 mm
46. a) 1
b) 42,6
c)
1
2
Fastighetsakademin
169
– Facit –
53. a) 1 cm  20 000 cm
1 cm  200 m
2 cm  400 m
4 cm  800 m
Arean = 400 × 800  2 = 160 000 m² = 16 ha
Svar: 16 000 ekplantor
2
b) tan( v )   tan( v )  0,5  v  tan –1 (0,5)
4
v  26,5°
54. Vinkeln u i nedanstående triangel är hälften av den
sökta vinkeln v.
tan( u ) 
5
 tan( u )  1,01  u  tan –1 (0,01)
500
u  0,5°
Vinkeln v som söks är dock dubbelt så stor. v  1°
16. a) Mindre
b) Större
17. a) 3 m
c) Mindre
d) Större
b) 2 dm
18. 1,8 m
19. a) 6 mm
b) 36 mm
20. a) Förminskas b) 5 cm  5
c) 1 cm
21. a) Förstoras
c) 20 cm
22. a) Större
b) 4 × 5 cm
b) Mindre
23. a) 17 × 4 cm
b) 68 cm
24. a) Mindre
b) 2 cm  2
25. a) 8 cm
b) 12 cm
26. a) 8 cm och 6 cm
27. a) Större
c) Mindre
d) Större
c) 1 cm
c) 1 cm
d) 2 cm
b) 2 cm och 1,5 cm
b) 20 × 1,5 cm
c) 30 cm
28. 0,75 cm
KAPITEL 11
29. 24,5 cm
Likformighet och skala, sidan 128–132
1.
15 cm resp. 18 cm
30. Rektangeln har måtten
a) 9 cm × 6 cm i skalan 3:1
b) 1,5 cm × 1 cm i skalan 1:2
2.
x = 11,4 mm, y = 18,0 mm, z = 15,6 mm
31. 13,5 m × 15 m
3.
18 m
32. Fågelvägen är 1,2 km.
4.
384 000 km
33. Vägen är 33 mm på kartan.
5.
33,0 cm
34. 1,8 km (1,75)
90  60
x 60
a)

x
 x  120
90 45
45
x
225
225
b)

 x  100 
 x  300
100 75
75
35. 48 mm
6.
7.
36. 13 km
37. 41 mil (40,95)
38. a) 1,5 m
a
20
20

 a  50 
 a  40
50 25
25
På motsvarande vis fås: b  22, c  9, d  15
b) 2,4 m
d) 30 m
39. 12 m
40. a) 540 mm b) 216 mm c) 108 mm d) 54 mm
8.
200 000 cm = 2 000 m = 2 km
41. 3,6 m × 3,0 m
9.
a) 1 000 000 cm = 10 000 m =
10 km = 1 mil
b) 2,5 mil fågelvägen och
7,5 mil närmaste bilväg
c) 15 m/s = 60 × 15 m/min =
60 × 60 × 15 m/h =
60 × 60 × 15 / 1 000 km/h
Svar: 54 km/h
42. a) Skalan är 4:1
b) Skalan är 1:5
43. Kartans skala är 1:2 500
44. a) 1:2
b) 2:1
45. a) 4:1
b) 1:5
46. 1:35
47. 1:2 500 000
10. 120 m (117)
11. 500 cm = 5 m
KAPITEL 12
12. Modellen är 5 dm lång.
Lutning, sidan 134
13. Urtavlans diameter på affischen är 8,4 cm.
1.
14. a) Rördiametern är 50 mm.
b) Rördiametern är 5 mm.
15. a) Förminskning. På bilden är en sträcka 1/50 av
vad den är i verkligheten.
b) Förstoring. På bilden är en sträcka 8 gånger så
lång som i verkligheten.
170
c) 6,0 m
tan( 27 ) 
5,1
5,1
 0,510 
 x  0,510  5,1
x
x
5,1
 x  10
0,510
Lutningsprocenten är då ungefär
5,1  10  0,51 = 51 %
x
Fastighetsakademin
– Facit –
2.
a) Eftersom i trianglar med små vinklar den långa
kateten och hypotenusan är ungefär lika långa får
vi här att den långa kateten är ungefär 1 000 m.
x
 0,08  x  0,08  1 000
1 000
x  80 meter
b) tan( v ) 
80
 tan( v )  0,08
1 000
v = tan–1(0,08)  v  4,5°
Förstagradsekvationer, sidan 142
1.
9
2.
a) x + 15
d) 0,9x
3.
Johan 400 kr, Anders 800 kr,
Eva 1 600 kr
4.
267 st
5.
0,82 liter
6.
8 750 kr
7.
20 cm och 40 cm
b) 2x
e) 30 – x
c) 1,2x
KAPITEL 13
Lösa ut variabler, sidan 144
Förenklingar, sidan 137
1.
a) 12x – 1
b) 10x + 2
c) 2x – 1
1.
a) k = 7,5
b) k = b/a
2.
a) 3x + 12
b) 5x – 10
c) 6a + 42
2.
t =s/v
t = 25 s
3.
a) x2 + 6x
b) x2 – 7x
c) 3x2 + 4x
3.
r = L/2r
r  4,0 cm
4.
2
a) x + 5x + 6
c) x2 + 5x – 6
4.
a) R =U/I
b) I = U/R
R = 22
I = 18,2A
5.
a) x + z
b) z – x
5.
a) H = A/b
b) h = 2A/b
6.
a) 12x2 + 3x
b) 16y2 – 24y c) 15t2 – 20t
6.
a) r 
3
2
b) x + 9x + 20
2
3
2
7.
a) x + 4x + 5x
c) x3 – 4x2 – 8x
b) x – x + 3x
8.
a) 6x2 – 13x – 110
c) 14z2 – 34z + 12
b) 8y2 – 6y +1
9.
a) 3x3 + 8x – 1
b) 2x3 – 2x2 +x + 5
10. a) 12x3 + 7x2 – 9
11. x + 3
12.
x

6
12
13. 16x + 14
6
14. –3x2 – 1
–13
h  2,23
2 r
a) k = y/x
b) k = (y – m)/x
c) k = x × y
8.
a) p = kT/V
9.
a) m = F/a
c) m = Fr/v2
0
c) h = 2A/(a + b)
r  2,07
rh
A
7.
b) 8x3 – 26x2 + 3x +30
6,2
1
b) h 
A
c) k = c/d
b) V = kT/p
c) T = pV/k
b) m = W/c2
d) m = FT2/(42r)
10. a) V0 = v – at
b) V 0 
s at

t
2
c) V0 = 2v – v
Kvadratrötter, sidan 146
Förstagradsekvationer, sidan 140
1.
a) x = 13
b) x = 36
c) x = 17,5
1.
a) 5 cm
b) 11 cm
c) 8 cm
2.
a) x = 90
b) x = 8
c) x = 25
2.
a) 10
b) 1
c) 4
d) 6
3.
a) x = 8
b) x = 6
c) x = 11
3.
a) 2,65
b) 7,07
c) 9,33
d) 11,92
4.
a) x = 62
b) x = 30
c) x = 81
5.
a) x = 63
b) x = 27
c) x = 314
6.
a) x = 450
b) k = 2 400
c) t = 44
7.
a) x = 3
b) x = –3
c) x = –4
8.
a) x = 28
b) x = 4
c) x = –9
c) x1 =
2  1,414
x2 = – 2  –1,414
9.
a) x = 14
b) x = 8,25
c) x = 1,2
d) x1 =
15  3,873
x2 = – 15  –3,873
Andragradsekvationer, sidan 146
1.
a) x1 = 5
c) x1 = 7
x2 = –5
x2 = –7
b) x1 = 6
d) x1 = 5
x2 = –6
x2 = –5
2.
a) x1 = 8
x2 = –8
b) x1 = 3
x2 = –3
10. x = –0,4
11. x = 0
Fastighetsakademin
171
– Facit –
3.
4.
5.
x2 = – 20  –4,472
8.
c) x1 = 18  4,243
x2 = –5
d) x1 = 5
x2 = – 18  –4,243
Multiplicera in i parentes och lösa ut, sidan 151
a) x1 =
40  6,325
x2 = – 40  –6,325
b) x1 =
72  8,485
x2 = – 72  –8,485
c) x1 = 128  11,314
x2 = –8
d) x1 = 8
x2 = – 128  –11,314
a) x1 = 10
b) x1 = 12
x2 = –10
c) x1 = 512  22,627
x2 = –9
d) x1 = 9
x2 = –12
x2 = – 512  –22,627
Allmänna andragradsekvationer, sidan 147
1.
a) x1 = 2
c) x1 = 2
x2 = –4
x2 = –8
b) x1 = 2
x2 = –6
2.
a) x1 = 8
c) x1 = 10
x2 = 2
x2 = 2
b) x1 = –4
x2 = –6
3.
a) x1 = 9
c) x1 = 3
x2 = –1
x2 = –1
b) x1 = 1
x2 = –7
4.
a) x1 = –1
c) x1 = –1
x2 = –3
x2 = –5
b) x1 = –3
x2 = –5
5.
a) x1 = –1
c) x1 = 6
x2 = –2
x2 = 1
b) x1 = –2
x2 = –3
6.
a) t1 = 3
c) z1 = 1,6
t2 = –0,5
z2 = 1,3
b) y1 = –1,5 y2 = –6,5
1.
a) 2x + 10
b) 2x – 6
2.
a) –3x – 6 b) –3x + 6
d) –28x + 20
3.
a) –5x – 45 b) 21x – 14 c) –18x – 24
d) –40x – 48
4.
a) y = x
b) y = –2x
c) y = 3x
d) y = 4x
5.
a) y = 5x
b) y = –3x
c) y = 3x
d) y = 3 x
7
6.
a) y = –x + 3 b) y= –3x +2 c) y = x – 1
7.
a) y = x – 6
8.
a) y = x + 5
1.
a) x1 = 4
x2 = 2
b) x1 = 4
x2 = 2
2.
a) x1 = –0,5 x2 = –1
b) x1 = 2
x2 = 0,5
3.
a) x1 = 2
b) x1 = 0,5
x2 = –1
4.
a) x1  1,87 x2  –0,24
b) y1  –1,38 y2  0,15
5.
a) x1 = 3
x2 = –1,4
b) x1 = 1,1
x2 = –0,9
6.
a) x1 = 2
c) x1 = 9
x2 = –4
x2 = –1
b) x1 = 8
x2 = 2
7.
2 cm och 14 cm.
8.
104 cm
9.
a) x = 3
9.
c) 6x –3
d) 12x + 9
c) –10x – 30
d) y = x + 5
b) y = 3x + 2 c) y = 2x – 1 d) y = x + 3
b) y = 0,4x – 8
d) y = 2 x + 3
7
c) y = –0,5x + 5
Fler ekvationer, sidan 149
x2 = –3
a) m = –17 b) m = 15
c) m = –30 d) m = –22
a) x1 = 20  4,472
x2 = –4
b) x1 = 4
a) y = 2x – 5
c) y = 7x – 26
b) y = –3x + 13
d) y = –6x – 5
Funktioner, sidan 155–156
1.
a) Nej
2.
Definitionsmängd: –1  x < 2
Värdemängd: –2  y  2
3.
a) 2
b) Nej
4.
a) Nej
b) Ja
5.
a) x = 2, x = 5
c) y = 2, y = 6
6.
a) –4 < x  2
7.
a)
b)
c)
d)
Funktion?
Ja
Ja
Nej
Ja
b) Ja
c) Ja
d) Nej
b) 2  x  5
d) 2  y  6
b) x  0 (obegränsat intervall)
Definitionsmängd Värdemängd
–2  x < 4
–2  y < 4
Alla x
y3
–3  x < 4
–5 < y  2
KAPITEL 14
c) x1 = 6 x2 = 1
b) x = 1
Negativa tal, sidan 150
Blandad problemlösning, sidan 157–159
1.
50 g
2.
4 st
1.
a) 4
b) –14
c) 12
d) –8
3.
8h
2.
a) –12
b) 50
c) –42
d) 12
4.
500
3.
a) –5
b) –9
c) 4
d) 7
5.
Burken väger 2 kg tom och 8 kg fylld
4.
a) –18
b) 20
c) –9
d) 4
6.
a) 13 × 245
5.
a) 1/3
b) –1
c) 1
7.
6.
a) –2
b) –2
c) 8
Antag att full tank är 60 liter. Han kommer då 960
km.
7.
a) m = –5
b) m = 19
c) m = –6
8.
Antag att det går 30 pers i en buss. Då behövs 11
bussar.
172
d) m = –5
Fastighetsakademin
b) 5 × 4 321 = 21 605
– Facit –
9.
640 kr
10. 3 × 35 = 105 kr
11. Antag att medelhastigheten är 100 km/h = 10 mil/h.
Tiden Sommarland – Bylunda  1,5 h
Utflyktens tid 1,5 + 5 +1,5 = 8 h
Svar: Man måste åka hemifrån kl. 10.00.
12. 3 000
13. 850 kg = 0,85 ton. Ta bil B.
14. 40 st
15. 38C
16. 5, 6, 7, 8 eller 9
17. 63 × 79
18. 600 g socker och 2 dl vatten.
19. 302 579
20. a) 500/20 = 25 m/s , 23,1 m/s  23 m/s
b) 1 600/6  250s , 266,6 s  267 s
21. 92 000 kr
22. 48 kr
23. Bordet med 9 personer.
4
3
(
i stället för )
10
8
24. 30 st
25. 4 g
26. 16,3 (16,266...)
27. 11
28. Medelvärde = 10,4 p, typvärde = 10 p
Fastighetsakademin
173
J A Wettergrens gata 14  421 30 Västra Frölunda
Tel 031-734 11 60  Fax 031-734 11 69
www.fastighetsakademin.se  info@fastighetsakademin.se