1. No category

IF1330 Ellära
F/Ö1
F/Ö2
F/Ö4
F/Ö5
F/Ö3
Strömkretslära Mätinstrument Batterier
Likströmsnät Tvåpolsatsen
KK1 LAB1
Mätning av U och I
F/Ö6
F/Ö8
F/Ö9
F/Ö10
F/Ö11
F/Ö13
F/Ö14
F/Ö15
Magnetkrets Kondensator Transienter
F/Ö7
F/Ö12
KK2 LAB2
Tvåpol mät och sim
KK3 LAB3
Växelström Effekt
Oscilloskopet
Växelströmskretsar jω-räkning
Enkla filter
KK4 LAB4
tentamen
Filter resonanskrets
Trafo Ömsinduktans
Föreläsningar och övningar bygger på varandra! Ta alltid igen det Du missat!
Läs på i förväg – delta i undervisningen – arbeta igenom materialet efteråt!
William Sandqvist william@kth.se
En verklig signal …
Verkliga signaler är svårtolkade. De är ofta störda av brus och
brum.
Brum är vårt 50 Hz nät som inducerats in i signalledningarna.
Brus är slumpmässiga störningar från förstärkare (eller t.o.m.
resistorer).
William Sandqvist william@kth.se
Kanske likspänning …
Kanske är signalen en långsamt
ökande likspänning från tex. en
temperaturgivare?
Ett LP-filter
(=LågPass) filtrerar
bort störningarna och
lyfter fram signalen
I så fall kan störningarna bestå av
50 Hz brum och
högfrekvent brus.
William Sandqvist william@kth.se
Kanske sinuston …
Kanske är signalen en sinuston?
I så fall kan störningarna bestå av
att likspänningsnivån långsamt
ändrar sig, drift,
och att brus tillkommit.
Ett BP-filter
(BandPass) blockerar driften och filtrerar bort bruset.
William Sandqvist william@kth.se
Kanske snabba variationer …
Kanske är signalen de snabba
variationerna?
I så fall kan störningarna bestå av
att likspänningsnivån långsamt
ändrar sig, drift,
och att brum tillkommit.
Ett HP-filter
(HögPass) filtrerar
bort störningarna
och lyfter fram
signalen.
William Sandqvist william@kth.se
Filter
Med R L och C kan man bygga effektiva filter.
Induktanser är mer komplicerade att tillverka än kondensatorer och
resistorer, därför används oftast bara kombinationen R och C.
Snabba datorer kan filtrera signaler digitalt. Att beräkna en signals
löpande medelvärde kan tex. motsvara LP-filtrering.
Numera dominerar den digitala filtrertekniken över den analoga.
Enkla RC-filter ingår naturligt i de flesta mätinstrument, eller t.o.m.
uppkommer av ”sig självt” när man kopplar samman utrustningar.
Detta är anledningen till att man måste känna till och kunna räkna
på enkla RC-länkar, trots att de som filter betraktat är mycket
ofullständiga.
William Sandqvist william@kth.se
LP HP BP BS
BP eller BS filtren kan ses som olika kombinationer av LP och HP filter.
William Sandqvist william@kth.se
William Sandqvist william@kth.se
Spänningsdelarens överföringsfunktion
Enkla filter är ofta utformade som spänningsdelare. Ett filters överföringsfunktion, H(ω) eller H(f), är kvoten mellan utspänning och
inspänning. Den kvoten får man direkt från spänningsdelningsformeln!
U 2 =U1
Z2
Z1 + Z 2
⇒ H (ω ) =
U2
Z2
=
U1 Z1 + Z 2
William Sandqvist william@kth.se
William Sandqvist william@kth.se
RC LP-filtret, visare
Visardiagram: R och C har strömmen I gemensamt. Spänningen över
resistorn och spänningen över kondensatorn blir därför vinkelräta.
Pythagoras sats kan användas:
U12 = U 32 + U 22
William Sandqvist william@kth.se
RC LP-filtret, jω
1
U2
jω C
1
jω C
=
⋅
=
U1 R + 1
jω C 1 + jω RC
jω C
U2
1
=
U1
1 + (ω RC ) 2
U 2 
 ω RC 
ϕ = arg  = arg(1) − arg(1 + jω RC ) = 0 − arctan
 = − arctan(ω RC )
U
1


 1
William Sandqvist william@kth.se
RC LP-filtret, H(ω)
H=
1
1 + jω RC
abs(H ) = H =
1
1 + (ω RC )
2
arg(H ) = − arctan(ω RC )
Vid den vinkelfrekvens då ωRC = 1 , blir nämnarens realdel och imaginärdel lika. Detta är filtrets gränsfrekvens.
William Sandqvist william@kth.se
LP-Beloppsfunktionen
R = 1 kΩ
C = 1 µF
1
2π ⋅1 ⋅103 ⋅1⋅10 −6
≈ 160 Hz
fG =
H=
1
1 + (ω RC ) 2
ωG =
1
RC
fG =
William Sandqvist william@kth.se
1
2πRC
LP-Fasfunktionen
ϕ = arg(H ) = − arctan(ωRC )
William Sandqvist william@kth.se
Grafik med Mathematica
Mathematica har kommandon för komplexa tals belopp (abs[ ]) och
argument (arg[ ], i radianer).
<<Graphics
r=1*10^3;
c=1*10^-6;
w=2*Pi*f;
u2u1[f_]=1/(1+I*w*r*c);
LogLinearPlot[Abs[u2u1[f]],{f,1,10000},PlotRange->All,PlotPoints->100];
LogLinearPlot[Arg[u2u1[f]],{f,1,10000},PlotRange->All,PlotPoints->100];
Tryck SHIFT + ENTER för att utföra beräkningen.
Beloppskurvan
Faskurvan [rad]
William Sandqvist william@kth.se
RC Två sidor av samma mynt
1
ωG =
RC
τ = RC
Låg gränsfrekvens ωG undertrycker störningar bra, men det innebär en
lång tidkonstant τ som gör att det tar lång tid innan UUt når slutvärdet
och kan avläsas.
William Sandqvist william@kth.se
William Sandqvist william@kth.se
RC HP-filtret, jω
jω C
jω RC
U2
R
=
⋅
=
jω C 1 + jω RC
U1 R + 1
jω C
ω RC
U2
=
U1
1 + (ω RC ) 2
U 
 1 
 ω RC 


arg 2  = arg( jω RC ) − arg(1 + jω RC ) = 90° − arctan
arctan
=

 1 
 ω RC 
 U1 
William Sandqvist william@kth.se
RC HP-filtret, H(ω)
H=
jω RC
1 + jω RC
abs(H ) =
ω RC
1 + (ω RC ) 2
 1 

arg(H ) = arctan
 ω RC 
Vid den vinkelfrekvens då ωRC = 1 , blir nämnarens realdel och imaginärdel lika. Detta är filtrets gränsfrekvens.
William Sandqvist william@kth.se
HP-Beloppsfunktionen
R = 1 kΩ
C = 1 µF
1
2π ⋅1 ⋅103 ⋅1 ⋅10 −6
≈ 160 Hz
fG =
abs(H ) =
ω RC
1 + (ω RC ) 2
William Sandqvist william@kth.se
HP-Fasfunktionen
 1 

 ω RC 
ϕ = arg(H ) = arctan
William Sandqvist william@kth.se
William Sandqvist william@kth.se
16.4 Wienbryggan
Undersöktes av Max Wien 1891
För en viss frekvens är U1 och U2 i fas. Vilken?
William Sandqvist william@kth.se
Wienbryggan
1
jω C
1
R⋅
R
jω C jω C
Z2 =
⋅
=
1
jω C 1 + jω RC
R+
jω C
Z1 = R +
U1 och U2 är i fas om överföringsfunktionens imaginärdel är 0!
R
(1 + jω RC )
U2
1
1
1 + jω RC
R
=
⋅
=
=
R
(1 + jω RC )
1
U1 R + 1 +
1
3 + jω RC +
ω
3
+
j
(
RC
−
)
jω C 1 + jω RC
R
jω RC
ω RC
=0
William Sandqvist william@kth.se
Wienbryggan
U2
=
U1
1
3 + j (ω RC −
⇒
1
)
ω RC
1 =0 ⇒ ω = 1
0
ω RC −
RC
ω RC
William Sandqvist william@kth.se
Wienbryggan
ω0 =
1
RC
f0 =
Beloppskurva
1
2πRC
Faskurva
Wienbryggan är ett bandpassfilter.
William Sandqvist william@kth.se
William Hewletts examensarbete
Masteruppsats 1930. Wienbrygga med glödlampa!
William Sandqvist william@kth.se
William Hewletts examensarbete
Hewlett konstruerade en tongenerator. Wienbryggan dämpar
signalen till 1/3 så han behövde en stabil förstärkare med
exakt tre gångers förstärkning.
Glödlampan stabiliserar signalen. Om
amplituden blir för
stor värms glödlampan upp och då
dämpas signalen i
spänningsdelaren på
förstärkarens ingång.
William Sandqvist william@kth.se
The Palo Alto garage
the birthplace of Silicon Valley
Vilket världsföretag kommer Du att grunda med ditt exjobb?
William Sandqvist william@kth.se
William Sandqvist william@kth.se
DMM
Fluke 45
Likspänningsmätning.
UDC Likkomponent
medelvärde
LP-filter
Växelspänningsmätning.
UAC Växelkomponent
effektivvärde
HP-filter
Sant effektivvärde
Samtidigt!
2
U RMS = U DC
+ U A2 C
William Sandqvist william@kth.se
William Sandqvist william@kth.se
Decibel
10 dB = 1 B
10⋅10 log
U 22
U 22
R2
= {R2 = R1} = 2
2
U1
U1
R1
P2
[dB]
P1
U 22
U
⇒ 10⋅ log 2 = 20⋅10 log 2
U1
U1
10
Ursprungligen ett mått på ljudintensitet, men ofta använt
som ett logaritmiskt mått på spänningsförhållanden vid
förstärkning eller dämpning.
William Sandqvist william@kth.se
Exempel. Decibel.
Omvandla från [ggr] → [dB] :
2 ggr → 20⋅10log2 = 6 dB ( fördubbling )
5 ggr → 20⋅10log5 = 14 dB
10 ggr → 20⋅10log10 = 20 dB (2⋅5 = 10 ggr 6+14=20 dB)
0,1 ggr → 20⋅10log0,1 = -20 dB
William Sandqvist william@kth.se
Exempel. Decibel.
Omvandla från [dB] → [ggr] :
3
20
3 dB → 10 = 1,414 ( 2 )
30
20
30 dB → 10 = 31,62
− 6 dB → 10
6
− 20
= 0,5
William Sandqvist william@kth.se
( dB med Fluke 45 )
Man kan ställa in vid vilket värde R som U utvecklar effekten i – men
det struntar man ofta i …
William Sandqvist william@kth.se
William Sandqvist william@kth.se
Bode-diagram
Hendrik Wade Bode
log U2/U1
[dB]
log ω [rad/s]
arg
U2
[°]
U1
log ω [rad/s]
William Sandqvist william@kth.se
Bode-diagrammet är
det vanligaste sättet
att grafiskt beskriva
filter eller förstärkare.
William Sandqvist william@kth.se
Oscilloskopets Wave-generator
Waveform
Sine
Square
Ramp
Pulse
DC
Noise
Frequency Amplitude Offset
BNC-kontakt
Man kan använda oscilloskopets inbyggda Wavegenerator!
William Sandqvist william@kth.se
Output Load
High-Z
50 Ω
Wave-Gen eller PM3159
Välj
själv!
PM3159
Wave-Gen
Nackdel: Alla oscilloskopets
funktioner använder samma
Entry-ratt! Lite som ett
kombinationsverktyg.
Fördel: Man kan välja Trigger Menu, Source,
WaveGen så har man alltid stabil triggning på
signaler som använder Wave-generatorsignalerna!
William Sandqvist william@kth.se
Mätning av fas
t
Oscilloskopet mäter fas som tids-fördröjning.
En positiv tidsfördröjning ses som en positiv
fasvinkel.
I elläran ser vi en positiv tids-fördröjning som att
signalen ”släpar efter” och har en negativ fasvinkel.
2
1
Byt från Phase(1→
→2) till Phase(2→
→1) !
• Ställ in …
Meas, Phase, Settings, Source1 2, Source2 1, så blir det rätt!
William Sandqvist william@kth.se
2
Mätning av överföringsfunktion
DSO2014B
PM5139
U P-P = 4 V
U 2 U CH 2
=
U1 U CH 1
U 2 
 = Phase(2 → 1)
U
 1  ger vinkeln det rätta tecknet!
ϕ = arg 
William Sandqvist william@kth.se
Mätning av impedans Z 45°
PM5139
DSO2014B
U P-P = 4 V
+
U
-
Z=
U
I
mätmotstånd 10 Ω
• Mätning av Z när fasvinkelns belopp är 45°° ger
speciellt enkla uttryck för att beräkna r och L.
Z 452 ° = r 2 + (2π f 45° L) 2
r=
Z 45°
2
r = 2π f 45° L ⇒
r
L=
2π f 45°
William Sandqvist william@kth.se
Z≈
U CH 2
R
U CH 1
ϕ = Phase( 2→1 )
Noggrann mätning DMM
Medan oscilloskopet är till för översiktliga mätningar,
har en DMM som Fluke 45 betydligt högre
mätnoggrannhet. Dessutom har en DMM inte
gemensam jord med signalgeneratorn, så man kan
därför välja mätkopplingen friare.
f ≈30°
f ≈60°
U P-P = 4 V
(1) Z 302 ° = (2π f30° ) 2 ⋅ L2 + r 2
1
(2) − (1) L =
2π
Z 602 ° − Z 302 °
f 602 ° − f302 °
(2) Z 602 ° = (2π f 60° ) 2 ⋅ L2 + r 2
⇒
• Mätning av Z (U, I) vid två olika frekvenser ( f )
kan ge L med en högre noggrannhet än oscilloskopmätningen.
William Sandqvist william@kth.se
William Sandqvist william@kth.se
Oscilloskopkabeln (16.5)
Vanlig
skärmkabel
Mätobjektet har den inre resistansen RI = 10 kΩ. Oscilloskopkabeln har
kapacitansen CK = 60 pF. Oscilloskopet har in-impedansen 1 MΩ||40 pF
( RM och CM ).
Hur stort blir felet när den uppmätta signalen har frekvensen 100 KHz?
( Oscilloskopet uppges ha bandbredden 100 MHz. )
William Sandqvist william@kth.se
Oscilloskopkabeln (16.5)
Signalkällan tillsammans med kabeln och oscilloskopets impedans bildar
ett lågpassfilter.
Kretsen kan förenklas genom att CK slås ihop med CM.
CM+K = 40 + 60 =100 pF. RI = 10 kΩ. RM = 1 MΩ.
1
RM
jω C M + K jω C M + K
=
⋅
=
1
jω CM + K 1 + jω RM CM + K
RM +
jω C M + K
RM ⋅
Z R ||C
William Sandqvist william@kth.se
Oscilloskopkabeln (16.5)
RM
U
1 + jω RM CM + K
RM
1 + jω RM CM + K
=
⋅
=
RM
1 + jω RM CM + K jω RI RM CM + K + RI + RM
E R +
I
1 + jω RM CM + K
U
RM
106
=
=
2
2
E
(ω RI RM CM + K ) + ( RI + RM )
(2π ⋅100 ⋅103 ⋅10 ⋅103 ⋅106 ⋅100 ⋅10 −12 ) 2 + (10 ⋅103 + 106 ) 2
⇒
U
( f = 100 kHz) = 0,84 ⇒ 16% fel!
E
Falsk marknadsföring? På oscilloskopet står det
stämplat BW 100 MHz! Men felet är större än
15% redan vid 100 kHz?
William Sandqvist william@kth.se
Oscilloskop-proben (16.6)
Signalkällans inre resistans bildar alltid ett
lågpassfilter med mätkabeln.
Lösningen ”kort kabel” är inte alltid användbar eller praktisk!
• I stället kan man skaffa sig en speciell
kabel, en dämp-prob.
William Sandqvist william@kth.se
Oscilloskop-proben (16.6)
Siffervärden:
C2 = CK + CM = 60 + 40 = 100 pF
R2 = RM = 1 MΩ
Kan man välja R1 och C1 så att U2 och
U1 är i fas? Det är viktigt att oscilloskopet gör en fasriktig avbildning av U1 ?
William Sandqvist william@kth.se
Oscilloskop-proben (16.6)
Z1
Z2
Impedanserna Z1 och Z2.
1
R1
jω C1 jω C1
⋅
=
Z1 =
1
jω C1 1 + jω R1C1
R1 +
jω C1
R1 ⋅
1
R2
jω C 2 jω C 2
⋅
=
Z2 =
1
jω C2 1 + jω R2C2
R2 +
jω C 2
R2 ⋅
William Sandqvist william@kth.se
Oscilloskop-proben (16.6)
U2
=
U1
R2
1 + jω R2C2
R1
R2
+
1 + jω R1C1 1 + jω R2C2
U2 och U1 ska vara i fas för alla
frekvenser. Det innebär att uttrycket
måste vara oberoende av ”jω”.
Om R1C1 = R2C2 ( = RC ) så kan alla ”jω”
brytas ut och förkortas bort!
William Sandqvist william@kth.se
Oscilloskop-proben (16.6)
R1C1 = R2C2 = RC ⇒
U2
=
U1
R2
1 + jω RC
R1
R2
+
1 + jω RC 1 + jω RC
=
R2
R1 + R2
Det är bekvämt för användaren om dämp-proben dämpar 10 ggr.
1
R2
=
10 R1 + R2
⇒ R1 = 9 ⋅ R2 = 9 MΩ
R1C1 = R2C2 ⇒ C1 = 11 pF
R1 och C1 monteras i mätspetsen. C1 kan ”trimmas” att passa olika
oscilloskop och olika kabellängder.
William Sandqvist william@kth.se
Kalibrering av oscilloskop-prob
Channel-1 (yellow) = Over compensated
Channel-2 (green) = Under compensated
Proper Compensation
Oscilloskop har i allmänhet ett uttag för en
kalibreringssignal, en fyrkantvåg (Demo2 kontakten när
inte träningssignalerna är på).
Kalibreringssignalen kan användas för att kontrollera om en prob är rätt
justerad.
Probens kapacitans kan ”trimmas” genom att man ”vrider”
på en skruv på probskaftet.
William Sandqvist william@kth.se
Probens impedans?
Hur går strömmen mellan resistorerna och kondensatorerna? Det kan inte
gå någon sådan ström! Vi vet att U1 och U2 är i fas, en ström mellan
kondensatorerna och resistorerna skulle leda till att U2 fasvrids.
Probens kapacitans och resistans kan därför beräknas utan att ta med
anslutningen mellan R och C (mycket enklare beräkning).
R = R1 + R2 = 9 + 1 = 10 MΩ
C=
C1 ⋅ C2
11 ⋅100
=
⋅10 −12 = 9,9 pF
C1 + C2 11 + 100
William Sandqvist william@kth.se
Mätning med dämp-proben
Mätobjektet belastas nu med en 10 pF kapacitans i stället för som tidigare med
100 pF.
10 ggr högre mätfrekvens kan nu återges.
Dämpningen av signalen 10 ggr kan kompenseras med att man väljer 10 ggr
högre förstärkning – utom på oscilloskopets känsligaste mätområde, då finns ju
inget ”ändå känsligare” område att ta till!
• Ställ alltid in probens dämpningsfaktor på oscilloskopet så att dina
mätvärden blir korrekta!
William Sandqvist william@kth.se
Aktiv prob
En aktiv prob innehåller en miniatyrförstärkare som byggts in i probspetsen.
Med en sådan har man möjlighet att utnyttja oscilloskopets bandbredd
”fullt ut” utan att behöva ”offra” oscilloskopets känsligaste område.
William Sandqvist william@kth.se
William Sandqvist william@kth.se
( Mätning av oscilloskopets stigtid )
RiseTime
Ställ in oscilloskopet på det snabbaste svepet och studera en
fyrkantvåg med hög frekvens från en signalgenerator
( signalgeneratorn måste ha bättre stigtid än oscillskopet ).
Stigtiden definieras som tiden mellan 10% - 90% av
pulsamplituden. Speciell mätfunktion RiseTime finns för
detta.
William Sandqvist william@kth.se
Oscilloskopets bandbredd och stigtid
Ett DC-kopplat Oscilloskop är ett
• LP-filter med en övre
gränsfrekvens.
ωG =
1
RC
BW [Hz] ≈
1
2πRC
• Lågpassfiltret har en ”tillslagstransient”.
William Sandqvist william@kth.se
Två sidor av samma mynt
Ett oscilloskops stigtid och bandbredd hör ihop
som sidorna på ett mynt. Produkten av stigtid och
bandbredd är = 0,35 Varför blir det så?
William Sandqvist william@kth.se
Stigtid och bandbredd
" hela"
=
" resten"
100 − 10
= τ ⋅ ln
=
100 − 90
= τ ⋅ ln 9
t r = τ ⋅ ln
BW =
1
τ = RC
2πRC
⇒ t r ⋅ BW =
ln 9
≈ 0,35
2π
William Sandqvist william@kth.se
William Sandqvist william@kth.se