Download Report

Rotorter
Exempel: PI-reglering av tanken
Rotort för slutna systemets poler m.a.p. Ki , med Kp = 2 och
Kd = 0.
10
Im
8
6
4
2
asymptoter
Re
0
−2
−4
−6
−8
−10
−10
1/6
hans.norlander@it.uu.se
−5
0
5
10
Rotort
Rotort
Utgångspunkt
Låt
(
P (s)
Q(s)
= sn + a1 sn−1 + · · · + an
,
= sm + b1 sm−1 + · · · + bm
n≥m
En rotort visar hur rötterna till polynomekvationen
P (s) + K · Q(s) = 0,
0≤K<∞
(∗)
beror av parametern K.
Rotorten utgörs av de punkter i det komplexa talplanet C som är
en rot till (∗) för något K ≥ 0.
2/6
hans.norlander@it.uu.se
Rotort
Rotortens karakteristik
◮
Ekvationen (∗) har alltid n rötter, vilka i rotorten utgör n
stycken grenar.
◮
P (s) och Q(s) har reellvärda koefficienter ⇒ alla
komplexvärda rötter till (∗) är komplexkonjugerade par ⇒
rotorten är symmetrisk kring reella axeln.
I övrigt karakteriseras rotorten av dess
◮
◮
◮
◮
◮
3/6
startpunkter
ändpunkter
asymptoter
delar på reella axeln
hans.norlander@it.uu.se
Rotort
Rotortens karakteristik, forts.
4/6
◮
Startpunkter: De n rötterna till (∗) för K = 0. Ges av
P (s) = 0. Markeras med kryss ’×’. (Resultat 3.1)
◮
Ändpunkter: De m ändliga rötterna till (∗) när K → ∞. Ges
av Q(s) = 0. Markeras med ringar ’◦’. (Resultat 3.1)
◮
Asymptoter: n − m grenar går ut mot oändligheten. Detta
sker längs n − m asymptoter. Asymptoterna strålar ut
(symmetriskt) från en punkt på den reella axeln. (Resultat
3.1)
◮
Reella axeln: De delar av den reella axeln som har ett udda
antal (inkl. multiplicitet) reella start- och ändpunkter till
höger om sig, hör till rotorten. (“Uddaregeln”) (Resultat 3.2)
◮
Rotortens grenar kan inte överlappa varandra, så om två
grenar möts (i en dubbelrot) på reella axeln måste de “bryta
ut” i det komplexa talplanet.
hans.norlander@it.uu.se
Rotort
PID-reglering av tanken
Rotort för slutna systemets poler m.a.p. Kd , med Kp = 2 och
Ki = 4.
5
Im
4
3
2
två
ändpunkter
1
Re
0
−1
−2
−3
−4
−5
−8
5/6
hans.norlander@it.uu.se
−6
−4
−2
0
2
Rotort
PI-reglering av tanken
En variant
Rotort för slutna systemets poler m.a.p. K, med F (s) = K s+4
8s .
5
Im
4
3
2
1
0
Re
−1
asymp−
toter
−2
−3
−4
−5
6/6
hans.norlander@it.uu.se
−6
−4
−2
0
2
Rotort