1. No category

Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Föreläsning 1, Matematisk statistik 7.5hp för E
Sannolikhet
Anna Lindgren
2 november 2015
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
1/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Tillämpningar Praktiska detaljer
Matematisk statistik – slumpens matematik
Sannolikhetsteori: Hur beskriver man slumpen?
Statistikteori: Vilka slutsatser kan man dra av ett datamaterial?
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
2/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Tillämpningar Praktiska detaljer
Slumpmässig Variation
▶
Inom population
▶
Mätosäkerhet
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
3/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Tillämpningar Praktiska detaljer
Vad kan vi veta om slumpmässig variation?
Inte exakt vad som ska hända, men hur ofta olika saker händer.
Vad vi kan säga är hur sannolika olika händelser är.
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
4/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Tillämpningar Praktiska detaljer
Tillämpningar för matematisk statistik
▶
Miljö
▶
▶
▶
Ekonomi
▶
▶
▶
Ozonlagret bild
Våghöjd bild
Aktiedata bild
Försäkringar bild
Signalbehandling
▶
▶
▶
EEG/EKG bild
Hitta sprängämnen
Hitta narkotika bild
bild
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
5/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Tillämpningar Praktiska detaljer
Tillämpningar för matematisk statistik (forts)
▶
Mobil kommunikation
▶
Elmarknad
▶
Försäkringar
▶
Spel/Lotterier
▶
Biologi
▶
Geologi
▶
osv
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
6/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Tillämpningar Praktiska detaljer
Praktiska detaljer
▶
Ny kurs på 7.5hp (istället för 9hp) för E-13.
Äldre årskullar som inte läst eller inte är godkända på FMS012, ska
kontakta E-programmet!
▶
Kräver 12 hp inom Endim och/eller Flerdim och/eller Linalg.
Vi inväntar oktobertentorna innan vi kastar ut er från kursen.
▶
2 föreläsningar i veckan
▶
2 räkneövningar i veckan
▶
5 obligatoriska datorövningar (läsvecka 3–7).
▶
1 obligatoriskt färdighetsprov deadline 23/11 kl 9.00
▶
skriftlig tentamen 14 januari.
▶
Kurshemsida:
www.maths.lth.se/matstat/kurser/fmsf20/
▶
Föreläsare: Anna Lindgren, MH:136
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
7/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Wenn Ex Kolmogorov Frekvens
Grundläggande sannolikhetsteori
Grundläggande begrepp
▶
Utfall – resultatet av ett slumpmässigt försök.
Bet. w1 , w2 , . . .
▶
Händelse – en samling av ett eller flera utfall.
Bet. A, B, . . .
▶
Utfallsrum – mängden av möjliga utfall. Bet W
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
8/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Wenn Ex Kolmogorov Frekvens
Exempel: Tärningskast
Ex. Kasta en tärning.
▶ Utfallsrum W = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a, 6:a}
▶ En händelse A : ”Minst 4:a” = {4:a, 5:a, 6:a}
▶ B : ”Högst 5:a” = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a}
▶ C : ”3:a” = {3:a}
Ex. Kasta två tärningar.
Ej uppenbart hur man skall välja utfallsrum. T.ex.
▶ W = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)}. Totalt 36 utfall.
▶ Om man bara är intresserad av summan:
W = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. 11 utfall.
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
9/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Händelser
Wenn Ex Kolmogorov Frekvens
Wenn-diag.
Utfallsrummet Ω
Händelsen A;
A inträffar
Komplementhändelsen.
A∗ till A; A inträffar ej
Unionhändelsen A ∪ B;
A eller B eller båda inträffar
Snitthändelsen A ∩ B = AB;
både A och B inträffar
A och B oförenliga hndlser;
kan ej inträffa samtidigt
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
Mängdlära
Grundmängden
Delmängden A
Komplementet ∁A till A
Unionen A ∪ B
Snittet A ∩ B
A och B disjunkta
FMSF20 F1: Sannolikhet
10/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Wenn Ex Kolmogorov Frekvens
Exempel (kasta en tärning rep, forts)
▶
A : ”Minst 4:a” = {4:a, 5:a, 6:a}
▶
B : ”Högst 5:a” = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a}
▶
C : ”3:a” = {3:a}
Några exempel på snitt och union
▶
A ∩ B = {4:a, 5:a}
▶
A∪B=W
▶
B ∩ C = C = {3:a}
▶
A ∩ C = {} = ∅. Kan inte inträffa, eftersom A och C är oförenliga.
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
11/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Wenn Ex Kolmogorov Frekvens
Sannolikhet
Sannolikheten att en händelse A skall inträffa bet. P(A)
En sannolikhet måste uppfylla följande,
Kolmogorovs axiomsystem:
∙ 0 ≤ P(A) ≤ 1
En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1
∙ P(W ) = 1
Sannolikheten att något skall hända är 1
∙ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Om och endast om A och B är oförenliga
Härur följer även t.ex.
Komplementsatsen P(A∗ ) = 1 − P(A).
Om det är slh 1/100 att vinna på ett lotteri är slh 99/100
att inte vinna.
Additionssatsen P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
12/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Wenn Ex Kolmogorov Frekvens
Frekvenstolkning av sannolikhet
Upprepa ett slumpmässigt försök n gånger
Antal ggr A inträffar
→ P(A),
n
n→∞
Ex Kasta tre tärningar 100 000 ggr och räkna ut relativa frekvensen treor
i varje kast för var och en av tärningarna
Relativa frekvensen av antal treor
Relativ frekvens
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
10
1/6?
1
10
2
3
10
10
Antal tärningskast
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
4
10
5
10
13/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Wenn Ex Kolmogorov Frekvens
Den klassiska sannolikhetsdefinitionen
Om ett försök kan utfalla på m möjliga sätt som alla är lika sannolika
(har vi en likformig sannolikhetsfördelning) och en händelse A inträffar
vid g st av dessa gäller
P(A) =
g
m
Ex Dra ett kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att det är ett hjärter?
Lsg Det finns m = 52 kort varav g = 13 är hjärter så
P(♥) = 13/52 = 1/4
Ex Dra två. Vad är sannolikheten att båda är hjärter?
Lsg Med lite kombinatorik blir det lite mer komplicerat
(13)
78
1
Antal sätt att välja två ♥
2
P(båda ♥) =
= (52
=
)=
Antal sätt att välja två kort
1326
17
2
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
14/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Bayes Oberoende Flera händelser
Betingad sannolikhet
Ex. För en tärning har vi P(Etta) = 1/6, men om vi vet att utfallet är
udda får vi P(Etta om udda utfall) = 1/3.
Def. Den betingade sannolikheten att A skall inträffa om vi vet att B
inträffat betecknas P(A ∣ B) och definieras som
P(A ∣ B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Ur detta (och P(B ∣ A)) får vi två räkneregler för P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = P(A ∣ B) ⋅ P(B) = P(B ∣ A) ⋅ P(A)
Ex (igen) Dra två kort.
Vad är sannolikheten att båda är hjärter?
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
15/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Bayes Oberoende Flera händelser
Betingad risk
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
16/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Bayes Oberoende Flera händelser
Satsen om total sannolikhet
Om vi har n st händelser H1 , . . . , Hn som är
▶
▶
Parvis oförenliga, dvs Hi ∩ Hj = ∅, i ∕= j
n
∪
Tillsammans täcker utfallsrummet, dvs
Hi = W
i=1
gäller för varje händelse A
P(A) =
n
∑
P(A ∣ Hi ) ⋅ P(Hi )
i=1
samt ”Konsten att vända en betingad sannolikhet” eller Bayes sats
P(Hi ∣ A) =
P(Hi ∩ A)
P(A ∣ Hi ) ⋅ P(Hi )
=
P(A)
P(A)
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
17/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Bayes Oberoende Flera händelser
Oberoende händelser
Om det visar sig att P(A ∣ B) = P(A), påverkas inte A av att B inträffat
eller ej, de är oberoende. Detta kan med definitionen av betingad
sannolikhet skrivas om som P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).
Def. Händelserna A och B är oberoende av varandra
⇐⇒
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
Obs. Skilj mellan oberoende och oförenliga.
Kan två oberoende händelser vara oförenliga?
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
18/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Bayes Oberoende Flera händelser
Exempel: Oberoende
Kasta två tärningar och låt
A = Första tärningen visar sexa
B = Summan är sju
C = Summan är åtta
Vilka av händelserna A, B och C är oberoende av varandra?
A
B
C
6
Tärning 2
5
4
3
2
1
1
2
3
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
4
Tärning 1
5
6
FMSF20 F1: Sannolikhet
19/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Bayes Oberoende Flera händelser
Alla, ingen och någon
Om vi har n st oberoende händelser A1 , . . . , An kan vi räkna ut
sannolikheten att
▶
alla inträffar
P(A1 ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ An ) = P(A1 ) ⋅ . . . ⋅ P(An )
▶
ingen inträffar, dvs alla inträffar inte
P(A∗1 ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ A∗n ) = P(A∗1 ) ⋅ . . . ⋅ P(A∗n ) =
= [1 − P(A1 )] ⋅ . . . ⋅ [1 − P(An )]
▶
någon inträffar, dvs minst en, eller ”inte ingen”
P(A1 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An ) = 1 − P(A∗1 ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ A∗n ) =
= 1 − [1 − P(A1 )] ⋅ . . . ⋅ [1 − P(An )]
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
20/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Ozon i Dobson enheter
Tillbaka
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
21/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Våghöjd
Tillbaka
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
22/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
OMXS30 aktieindex
Tillbaka
OMXS30
1400
1200
1000
800
600
400
200
1993
1995
1997
1999
2001
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
2003
2005
2007
2009
FMSF20 F1: Sannolikhet
23/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Kostnad stormskador
Tillbaka
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
24/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
EKG och R-R variation
Tillbaka
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
25/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
Detektion av sprängämne
Tillbaka
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
26/27
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende
NQR signal meta-amfetamin
Tillbaka
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F1: Sannolikhet
27/27