1. No category

Elevers möjligheter till lärande av matematiska resonemang
Jonas Jäder
Licentiatavhandling
Försvaras 4 mars 2014 klockan 13.30
Opponent: Mogens Niss, professor, Roskilde universitet
Institutionen för samhälls- och välfärdsstudier
Linköpings universitet, S-601 74 Norrköping, Sverige
Norrköping 2015
ii
”I'm not the same as I was long ago, I've learned some new things and I hope that it shows”
(N. Young)
“When it comes to luck you make your own”
(B. Springsteen)
”Gå ut o var glad, din jävel!
Gå ut och var vacker och stolt hela vintern
Gå fort och le genom shoppingcentrat
Du kan om du vill”
(U. Lundell)
“Tonight I‟ll be on that hill „cause I can‟t stop, I‟ll be on that hill with everything I‟ve got”
(B. Springsteen)
”När jag kysser havet, är jag tätt intill det verkliga
När jag kysser havet, blir jag uppfylld av det märkliga
I att finnas till, och allt jag vill
Är att leva, låta leva, livet ut”
(U. Lundell)
“Keep on rockin' in the free world.”
(N. Young)
iii
Förord
När jag sitter och skriver det här känns det som jag nått upploppet. Än är jag inte i mål, men
mycket möda, slit, och framför allt glädje, under tre års tid har tagit mig till en plats där ett par
sista stavtag kan föra mig över mållinjen. Likt ett vasalopp krävs givetvis en mängd träning
och rejält stöd för att nå målet. Och likt ett vasalopp kan även den här tiden då min
licentiatavhandling, och de tre studierna jobbats fram, ses som en träning. En träning för nya,
framtida lopp.
Jag skulle vilja passa på att tacka Hudiksvalls kommun som gett mig chansen att genomföra
dessa forskarstudier. Som lärare likväl som nu i detta forskningsarbete har en av mina
drivkrafter hela tiden varit att utveckla skolan och mer specifikt matematikundervisningen, för
att möjliggöra ett större lärande för eleverna. I den processen är all personal på skolan oerhört
väsentlig, och läraren den enskilt viktigaste faktorn. Det är också med mina kollegor i tanken
jag skrivit den här kappan. För trots att de tre artiklarna är skrivna i ett
forskningssammanhang med allt vad det innebär, så bottnar teorier, syften, resultat och
diskussioner i den verklighet som möter oss lärare i klassrummet varje dag. Ett speciellt tack
vill jag rikta till de av er som släppt in mig i era klassrum med filmkamera och
anteckningsblock, och till de elever som välvilligt ställt upp och löst uppgifter och samtalat
med mig.
Jag har haft glädjen av fantastisk handledning, som alltid varit målfokuserad och med mitt
välbefinnande i centrum. Oräkneliga är de Skypemöten vi haft där det hela tiden visats en tro
på projektet och där vägen mot målet analyserats på ett konstruktivt sätt. Jag hyser den allra
största respekt för min huvudhandledare, Michael Hörnquist såväl som människa som i hans
yrkesroll. Ett stort tack vill jag rikta till dig Michael. Ett tack vill jag också rikta till min
biträdande handledare Konrad Schönborn, tillika koordinator för forskarskolan, Font D.
Konrad har i allra högsta grad bidragit till den positiva miljö som jag fått befinna mig i under
tre års tid, och har med sin framåtanda och klokhet fått mig att hela tiden se nya detaljer.
Font D med dess ordförande Lena Tibell i spetsen är också värda ett tack för den plattform
som erbjudits mig och den inramning av hela långa loppet som har skapats. Jag har fått åka
tillsammans med en fantastisk skara människor omkring mig. I klungan av människor
utkristalliserade sig tidigt en person, som höll min takt, och som hela tiden drev på framåt
med aldrig sinande energi. Så fort jag fått bakhalt har han stannat och hjälpt mig valla om,
och dessutom bjudit på, såväl något att äta som ett leende. Jag har helt enkelt mycket att tacka
Johan Sidenvall för.
iv
Längs vägen har jag dessutom haft glädjen att få arbeta tillsammans med ytterligare två
mycket kompetenta forskar, Johan Lithner och Lovisa Sumpter. Johan och Lovisa har varit
högst delaktiga i de projekt jag haft längs vägen och bidragit med så mycket visdom. Båda två
har helhjärtat hoppat in i spåret bredvid mig och med sin erfarenhet, tillsammans med mig
nått flera etappmål. Jag är tacksam för att ha fått lära känna er båda, och för den insyn i
forskningsvärlden ni bidragit med.
Vad behövs då, förutom ordentliga förberedelser, för att klara av ett Vasalopp på bästa
möjliga sätt? Jo, givetvis blåbärssoppa! Och den har jag fått mig serverad av vänner och
familj längs hela vägen. Ingen nämnd och ingen glömd. Men utan all den support jag fått från
mina tre underbara barn, Rasmus, Love och Alvin hade loppet känts så oändligt mycket
längre. De har sett till att soppan hela tiden varit varm och alltid kommit med hejarop. När jag
gått i mål kan vi ägna mer tid till att valla skidor tillsammans och göra gemensamma utflykter
i skogen. Den här är till er. Inte nu, men om några år är det kanske fett coolt eller möjligen
swag 
/Jonas Jäder, Hudiksvall i snöskrud, februari 2015
v
Avhandlingens studier
Avhandlingen baseras på följande tre studier:
1. Reasoning requirements in school mathematics textbooks: an analysis of books
from 12 countries (Inskickad för publicering, major revision requested, januari 2015)
– Jonas Jäder, Johan Lithner & Johan Sidenvall
Avseende den första studien har undertecknad ansvarat för detaljutformningen av
analysverktyget utifrån ramverket (Lithner, 2008), analysprocessen avseende såväl
kategorisering av läroboksuppgifter som analys av dessa data, urvalet av läromedel samt
textbearbetning.
2. Students’ reasoning in mathematical textbook task-solving (Accepterad för
publicering i International Journal of Mathematical Education in Science and
Technology, DOI 10.1080/0020739X.2014.992986. Tillgänglig online) –
Johan Sidenvall, Johan Lithner & Jonas Jäder
I studie 2 består undertecknads bidrag av ett kontinuerligt samarbete med de övriga författarna
kring studiens upplägg och genomförande. Detta arbeta har stärkt det använda ramverket och
innefattar delaktighet i processen att utforma analysverktyget, tolkningar av empirin och stöd
i utformning av stommen till manuskriptet.
3. Students’ mathematical reasoning and beliefs in non-routine task
solving (Inskickad för publicering, februari 2015) – Jonas Jäder, Johan
Sidenvall & Lovisa Sumpter
Den tredje och sista studien är ett samarbete där undertecknad tillsammans med JS jobbat med
urval och datainsamling, samt analys av data med stöd av LS. De tre författarna har
tillsammans skrivit manuskriptet.
vi
Innehållsförteckning
Förord
iii
Avhandlingens studier
v
Sammanfattning
Abstract
viii
ix
DEL 1 - KAPPA
1
Introduktion
1
1.1
Skolans utmaningar
1
1.2
Möjligheter till lärande
4
2
Syfte och frågeställningar
6
3
Bakgrund
7
4
5
6
3.1
Matematiska resonemang
7
3.2
Ett nät av kunskap
7
3.3
Ett ramverk för analys av resonemang
14
3.4
Kunskap som en individuell konstruktion i ett socialt samspel
16
3.5
Sociomatematiska normer som en grund för möjligheterna till lärande
16
3.6
Elevers uppfattningar om matematik
22
3.7
Lärobokens betydelse
23
Metodöverväganden
27
4.1
Kategorisering av resonemang i läromedelsuppgifter
27
4.2
Kategorisering av elevresonemang
29
4.3
Att studera elevers uppfattningar
31
Om studierna
33
5.1
Sammanfattning av studie 1
33
5.2
Sammanfattning av studie 2
33
5.3
Sammanfattning av studie 3
34
Diskussion
36
6.1
Klassrumsarbetet
36
6.2
Läromedlen och läromedelsanvändningen
41
6.3
Sammanfattningsvis
44
6.4
Fortsatt forskning
45
Referenser
47
vii
DEL 2 - STUDIERNA
Studie 1: Reasoning requirements in school mathematics textbooks: an analysis of books from 12
countries
Studie 2: Students’ reasoning in mathematical textbook task-solving
Studie 3: Students’ mathematical reasoning and beliefs in non-routine task solving
viii
Sammanfattning
En av anledningarna till varför elever har svårigheter med matematik i skolan är att utantillinlärning utgör grunden för utbildningen för många av dem. Procedurella och konceptuella
kunskaper behövs för att skapa en bred matematisk kompetens. Eleverna lär sig bara det som
de får en möjlighet att lära sig, vilket innebär att de möjligheterna till lärande som erbjuds
eleverna i skolan måste beaktas. Ett väletablerat ramverk som gör det möjligt att analysera det
resonemang som krävs för att lösa läroboksuppgifter samt det resonemang som används av
eleverna vid uppgiftslösning har använts för att undersöka möjligheterna att lära sig resonera
matematiskt. Genom att använda ramverket möjliggörs en mer förfinad diskussion av vilken
typ av kunskap som används av eleverna. Ramverket skiljer på kreativa matematiska
resonemang, där en lösning måste skapas av eleven, och imitativa resonemang som bygger på
utantill-inlärning eller imitering av en tillgänglig lösningsalgoritm. Möjligheterna att lära sig
beror på klassrummets normer som har förhandlats fram mellan elever och lärare. Dessa
normer påverkas i sin tur av flera faktorer. I denna avhandling diskuteras läroboken, både som
en av flera bilder av undervisningen och utifrån hur den används i klassrummet, samt
elevernas uppfattningar om matematik. Den första studien består av en analys av uppgifterna i
läromedel från tolv länder, i fem världsdelar. För den andra studien har elevers resonemang då
de jobbar med uppgifter från läroboken i klassrummet analyserats. I den tredje studien
används en tematisk analys för att undersöka de uppfattningar som eleverna visar upp, och
koppla dessa uppfattningar till de resonemang som används.
Resultaten visar att läroböckerna från tolv olika länder har en liknande andelen uppgifter som
kräver att eleverna använda kreativa matematiska resonemang. Detta antyder att läroboken
inte är den enda faktorn som påverkar elevernas möjligheter till lärande. I genomsnitt krävde
ungefär var tionde uppgift ett mer genomgripande kreativt matematiskt resonemang.
Resultaten visar även att elever i den svenska gymnasieskolan främst löser de första, lättare
uppgifterna, där andelen uppgifter som kräver ett kreativt matematiskt resonemang är lägre.
Eleverna använder också i stor utsträckning imitativa resonemang. Möjligheterna för elever
att träna sig på kreativa matematiska resonemang verkar i våra ögon vara begränsade. Då
elever guidar varandra genom uppgiftslösning verkar det som att fokus främst ligger på att
komma fram till ett svar som överensstämmer med facit. Inte heller då elever får hjälp av en
lärare verkar möjligheter till annat än imitativa resonemang skapas. Eleverna indikerar
dessutom uppfattningar om att matematiska uppgifter i de allra flesta fall ska kunna lösas
genom ett imitativt resonemang och att utantill-inlärning därför bör vara en central del av
undervisningen. Lärarens roll i klassrummet är viktig för att skapa och utveckla de
gemensamma klassrumsnormerna. Läraren bör bland annat lägga stor vikt vid vilka uppgifter
och vilka läromedel som används i undervisningen. Även elevernas sätt att arbeta i
klassrummet måste beaktas i relation till möjligheterna till lärande, och den matematiska
förståelsen bör spela en större roll.
ix
Abstract
One of the main problems with learning difficulties in mathematics is that rote-learning
becomes the very foundation of mathematics for many students. Procedural as well as
conceptual knowledge is needed to build a broad mathematical competence. Students learn
only what they get an opportunity to learn, which means that we must consider what
opportunities to learn are given to school students. For the purpose of exploring what
opportunities are available to learn to reason mathematically, a well established framework is
used to analyze the reasoning required by textbook tasks as well as the reasoning used by
students. The framework was used to refine the discussion of what type of knowledge is used
by the students. Application of the framework distinguishes between creative mathematical
reasoning, where a solution has to be created by the student, and imitative reasoning which is
based on rote learning or following an existing template. Opportunities to learn depend on the
classroom norms that have been negotiated between students and teacher. These norms are
influenced by several factors. This thesis deals with the textbook, both as one of several
pictures of the education, and in terms of how it is used in the classroom, as well as students’
beliefs about mathematics. In the first study included in the thesis, mathematics textbooks
used in secondary school around the world are analyzed. For the second study an analysis of
students reasoning during textbook task solving in the classroom has been conducted. In the
third study a thematic analysis has been used to explore students’ beliefs about mathematics
and relate these beliefs to the reasoning used.
Results from analyzing textbooks from twelve different countries paint a similar picture when
it comes to the proportion of tasks requiring students to use creative mathematical reasoning.
This indicates that the textbook is not the only factor influencing students’ opportunities to
learn. On average, only every tenth task required creative mathematical reasoning to a greater
extent. Furthermore, students in the Swedish upper secondary school level mainly focus on
solving the easier, earlier tasks and also mainly use imitative reasoning. Opportunities for
students to use creative mathematical reasoning seem limited. When students guide each other
during task solving, the main focus seems to be to reach a conclusion in terms of an answer
corresponding to that given in the answer-section of the book. Moreover, guidance from a
teacher does not seem to lead to anything other than imitation of a procedure. Students also
indicate their beliefs by expressing that most tasks should be possible to solve using imitative
reasoning, and that therefore, rote learning is a central part of mathematics education. This
places pressure on teachers to carefully reflect on what tasks and textbooks they use in their
teaching, and also what types of classroom norms they wish to present. The manner in which
students work in the classroom also needs consideration, where a greater focus should be
directed toward understanding.
DEL 1 - KAPPA
Introduktion
1
1
Introduktion
1.1 Skolans utmaningar
Utbildningsväsendet och skolan är viktiga institutioner för att de så tydligt omfattar en stor del
av befolkningen och dessutom en del av befolkningen som har stor potential att forma
framtiden, eller som Schmidt et al. (2001) uttrycker det: dåtiden formar våra skolor, och våra
skolor formar framtiden. Skolan står ständigt inför stora utmaningar för att på bästa möjliga
sätt kunna stötta elever i deras strävan efter att nå sin fulla potential. För att kunna se en
helhet i utbildningen behöver densamma också brytas ned i mindre delar och analyseras i
syfte att kunna svar på frågor om vad som görs och vad som behöver förändras och på vilket
sätt. Ett övergripande tema för de tre studier som ingår i denna avhandling är förmågan att
resonera matematiskt. Jag har utgått från en definition av matematiska resonemang (Lithner,
2008) där resonemanget kategoriseras baserat på vilken typ av kunskap som används. Medan
ett imitativt resonemang baseras på memorerade algoritmer eller imitation av en lösning,
kräver ett kreativt matematiskt resonemang att en lösning skapas helt eller delvis utan ett
sådant stöd. För snart hundra år sedan poängterade Dewey (1929) att skolundervisningen
plågas av en strävan efter snabba svar. Fortfarande kan liknande tendenser ses i
matematikutbildningen. En av de avgörande anledningarna till inlärningssvårigheter avseende
matematik är att utantill-inlärning är basen i matematikundervisningen för många elever
(Hiebert, 2003). Lithner och Palm (2010) beskriver en elevs skolgång som, bland annat, ett
ackumulerande av algoritmer som till slut blir för många för eleven att hantera. Analyser av
läromedel från flera olika länder har påvisat att det finns brister i vad eleverna får möta i
bokens presentationer respektive uppgifter, avseende en bred matematisk kompetens. (Fan &
Zhu, 2007; Vincent & Stacey, 2008). Procedurella kunskaper är väsentliga i matematiken och
är basen för mycket problemlösning, men avtar i värde om den alltför sällan knyts till ett
sammanhang. Boaler (1998) förtydligar genom att dra slutsatsen att många elever som besitter
utantill-kunskaper inte klarar av att överföra denna kunskap till nya situationer och att lösa,
för dem nya problem. Schoenfeld (2012) beskriver en situation där det, redan tidigt i ett barns
utbildning byggs upp en kultur som baseras på att lösa uppgifter så snabbt och smidigt som
möjligt med hjälp av inövade algoritmer. Inom en begränsad kontext och mer kortsiktigt kan
”rules without reasons” (Skemp, 1976), grundlösa regler vara välmotiverat. Men om å andra
sidan en förståelse för en större helhet finns skapas utrymme för en större flexibilitet (Skemp,
1976). Exempelvis har det visat sig mer värdefullt och effektivt att skapa en förståelse för de
procedurer som används i matematiken än att lära sig utantill (Hiebert, 2003). Det är oerhört
viktigt att mer inkluderas i termen lärande än bara att ”komma ihåg”. Distinktionen mellan
procedurer och ett mer resonerande arbetssätt kan exemplifieras med hjälp av ett exempel
tidigare presenterat av Lithner (2003).
2
Introduktion
____________________________________________________________
En elev frågar sin lärare om
. Han berättar att han minns att
beräkningen har något att göra med att adderas eller multiplicera exponenterna,
men att han inte minns vilket av räknesätten som är det korrekta.
____________________________________________________________
Exemplet visar hur en algoritmisk syn på matematiken och ett procedurellt tillvägagångssätt
kan hämma eleverna i deras utveckling. En fråga som bör ställas i relation till exemplet är,
varför eleven, istället för att försöka erinra sig en specifik algoritm, inte beaktar de
grundläggande egenskaperna hos potenstal. I detta fall hade det räckt att eleven förstod och
beaktade att
bara är ett mer smidigt sätt att representera en upprepad multiplikation
med m faktorer. Med hjälp av denna förståelse och ett resonemang kring
antalet faktorer i respektive kan en slutsats dras där
. Ytterligare ett exempel
som jag stött på i min roll som lärare är då elever använder sig av en algoritm som inte är
applicerbar i det aktuella sammanhanget.
____________________________________________________________
I läroboken återfinns uppgiften att räkna ut
. En elev försöker använda
kalkylatorn i sin mobiltelefon för att lösa uppgiften. Tyvärr kan inte mobilen
hantera negativa tal så bra, och han lyckas inte få fram något svar. Istället erinrar
han sig att ”minus och minus blir plus”, och att svaret med andra ord borde bli .
____________________________________________________________
Eleven i exemplet minns en algoritm för multiplikation av negativa tal. Tyvärr har algoritmen
inte något stöd av en djupare förståelse hos eleven vilket leder till att eleven använder den i fel
sammanhang. Att eleven till synes verkar ha en svag taluppfattning medför dessutom att
svaret accepteras. Hiebert (2003) anser det sannolikt att en elev mer troligt minns en procedur
om han också förstår hur den fungerar. Dessutom ökar då sannolikheten att eleven kan
applicera proceduren i nya sammanhang.
Forskning har visat att ett medvetet arbete med förmågor såsom problemlösning,
kommunikation, modellering och resonemang krävs för att kunna behärska matematik
(Hiebert, 2003). Detta har också satt sina spår i riktlinjer och styrdokument såväl i Sverige
som i andra delar av världen (Boesen et al., 2014) som numera tydligt betonar vikten av en
bred matematisk kompetens och vilka förmågor som krävs för att detta ska uppnås. Att
behärska matematik innebär att inneha en rad förmågor (Niss, 2003). Niss (2003) beskriver att
en individ kan inneha en förmåga till viss del, och i relation till ett visst matematiskt innehåll.
Det finns två aspekter av de matematiska förmågorna, den analytiska vilket innebär att en viss
förståelse skapas, och en produktiv där fokus är på produkten av ett matematiskt arbete (Niss,
2003). Således har en förändrad målbild inom matematikutbildningen vuxit fram, där hänsyn
tas till en helhet som inkluderar flera förmågor som tillsammans bygger upp en matematisk
kompetens. De förmågor som nämns i den svenska ämnesplanen för matematik är:
begreppsförståelse,
procedurhantering,
problemlösning,
matematisk
modellering,
Introduktion
3
resonemangsförmåga, kommunikation och slutligen att kunna relatera matematiken till hur
den används inom olika områden. De olika förmågorna är både relaterade till varandra och
ibland överlappande (Niss, 2003). Skolverket skriver:
Kunskap är inget entydigt begrepp. Kunskap kommer till uttryck i olika former – såsom fakta,
förståelse, färdighet och förtrogenhet – som förutsätter och samspelar med varandra.
Undervisningen får inte ensidigt betona den ena eller den andra kunskapsformen. (Skolverket,
2011a, s. 8)
Citatet visar på komplexiteten i kunskapsbegreppet och på nödvändigheten av att diskutera
vad matematisk kunskap är och hur den byggs upp. En del av matematikens berättigande som
skolämne formuleras i kommentarsmaterialet till ämnesplanen i matematik, av Skolverket på
följande sätt:
Förutom att elever i skolan får en direkt tillämpning av ett matematikinnehåll som behandlas, får
de också möjlighet att upptäcka matematikens egenvärde.(Skolverket, 2011b)
Det vill säga, såväl att träna sig i logiskt tänkande, som att kunna applicera procedurer i
verkliga problemlösningssituationer är en drivkraft i ämnet. Mål och kunskapskrav som
uttrycks i olika styrdokument så som läroplaner och kurs- eller ämnesplaner blir levande i
klassrummen och i skolan. Det är här som utbildningen genomförs och resultaten mäts. Den
svenska skolinspektionen har uppmärksammat att lärare ofta lämnas att tillsammans med sina
kollegor på skolan tolka nya styrdokument (Boesen et al., 2014). Vidare har det visat sig att
en stor majoritet av skolorna inte i tillräcklig utsträckning undervisar mot målen i
styrdokumenten (Boesen et al., 2014). Förmågor så som resonemang, problemlösning och
kommunikation hamnar i skymundan. Lithner (2003) oroar sig för en situation som är alltför
obalanserad och där få möjligheter att lära sig resonera matematiskt gör det svårare för
eleverna att utveckla en förståelse. Även Schoenfeld (2012) betonar vikten av en bredare syn
på vad som ska betraktas som matematik. Han inser att givetvis måste vissa regler och
procedurer bemästras, men att samtidigt krävs det ett arbetssätt i klassrummen där tonvikt
läggs även på att göra antaganden, utforska och på att skapa djupare förståelse för
matematiken. Forskning har också visat att en undervisning som syftar till att stärka en bred
matematisk kompetens, där såväl procedurer som en förståelse för dessa är möjlig (Hiebert,
2003). Detta innebär en undervisning som bereder eleverna möjligheter att jobba med
förmågor såsom resonemang, problemlösning, begreppsförståelse och modellering. Hiebert
och Lefevre (1986) motiverar en breddad målbild och en strävan efter en ökad förståelse för
matematiken med att de nödvändiga procedurerna blir mer användbara om de kan relateras till
en större helhet och på så sätt finna sin plats i flera olika kontexter och inte heller i alla lägen
användas som en memorerad algoritm utan snarare med hjälp av matematiska resonemang.
En större förståelse för helheten ökar också möjligheten för eleverna att använda sig av flera
procedurer och begrepp i en och samma problemlösningssituation och koppla samman dessa
(Hiebert & Carpenter, 1992).
4
Introduktion
1.2 Möjligheter till lärande
Ett av de starkaste didaktiska forskningsresultaten kan synas självklart, men är så oerhört
viktigt att det ändå bör betonas. Elever lär sig det de får en möjlighet att lära sig (Hiebert &
Grouws, 2007). På samma sätt som att det behövs en cykel för att kunna lära sig cykla,
behöver eleverna i våra skolor möta specifikt kursinnehåll och ges möjligheten att träna på
specifika matematiska förmågor för att lära sig det som förväntas av dem. Möjligheter till
lärande är inte det samma som att få undervisning eller att exponeras för, utan något mer
komplext (Hiebert & Grouws, 2007). Till exempel är det svårt att påstå att en nyfödd bebis
som får en cykel och lite instruktioner också har fått en möjlighet att lära sig cykla. Utifrån
samma resonemang bör en elev innan han kan få en möjlighet att lära sig lösa ekvationer
känna sig trygg med begrepp som till exempel variabler och likhetstecknets betydelse. Men
med adekvata förkunskaper är just möjligheterna till lärande, i form av någon typ av
exponering, en nödvändighet för lärande. Möjligheter till lärande kan användas som ett mått
på huruvida elever haft möjligheten att träna upp en viss förmåga eller öva på ett visst
matematiskt innehåll (Husen, 1967, citerad i Burstein, 1993). Detta innebär att
utbildningssystemet och skolan, inklusive lärare och elever måste skapa möjligheter för
lärande. Utifrån en elevs förkunskaper behöver alltså lärsituationer skapas så att möjligheter
att lära sig ett specifikt ämnesinnehåll eller att träna en specifik matematisk förmåga ges. För
som Hiebert (2003) säger är det inte eleverna som är problemet, de kan utvecklas mer om
ökade möjligheter till lärande skapas.
Möjligheterna till lärande beror på en mängd olika faktorer varav denna avhandling diskuterar
några. Den första studien presenterar en undersökning där läromedel, som en väsentlig del av
det som eleven möter i skolan, har analyserats utifrån vilka möjligheter till matematiska
resonemang de erbjuder eleverna. Den andra studien visar på vilket sätt elever jobbar med
läroboksuppgifter och vilka matematiska resonemang som faktiskt används av eleverna i
klassrummet. Slutligen undersöker den tredje studien vilka uppfattningar om matematik och
matematiska resonemang och problemlösning elever har och på vilket sätt dessa kan kopplas
samman med elevernas agerande med avseende på matematiska resonemang. Läromedel,
deras uppgifter och hur dessa används, samt elevernas egna uppfattningar är några av många
faktorer som påverkar vilka reella möjligheter till lärande som skapas och kan således bidra
till en bild av vad som görs i skolan idag (Rezat & Strässer, 2012).
Att påverka möjligheterna till lärande kan ske på flera olika plan, såväl på systemnivå som på
en mer praxisnära nivå. The International Association for the Evaluation of Educational
Achievement (IEA) har i Trends in International Mathematics and Science Study, (TIMSS)
diskuterat möjligheterna till lärande med hjälp av tre begrepp i relation till läroplanen (Mullis,
Martin, Ruddock, O'Sullivan & Preuschoff, 2009). Dessa är den avsedda, den genomförda
samt den uppnådda läroplanen. Med den avsedda läroplanen menas det som finns skrivet i
styrdokument såsom exempelvis ämnesplanen för matematik. Detta är alltså en läroplan som
existerar främst på en systemnivå. Den genomförda läroplanen är det som presenteras för
Introduktion
5
eleverna i skolan och innefattar till exempel lärares och läroboksförfattares kommunikation
med eleverna. Mellan den avsedda och den genomförda läroplanen finns alltså en rad källor
vars hantering får en stor betydelse för hur en avsedd läroplan faktiskt genomförs. En källa
såsom läroboken kan i denna mening betraktas som en potentiellt genomförd läroplan
(Schmidt et al., 2001). Trots att läroboken används på olika sätt i olika miljöer och av olika
lärare och elever så syns en tydlig och stark influens från läroboken i den genomförda
läroplanen (Rezat och Strässer, 2014). I såväl den avsedda som den genomförda läroplanen
kan möjligheterna till lärande mätas som antingen närvarande eller frånvarande eller utifrån
den betoning som ges det specifika lärandet (Floden, 2002). Slutligen finns en uppnådd
läroplan som är det som faktiskt tas emot av varje enskild elev (Schmidt et al., 2001). Tydliga
distinktioner kan således göras mellan vad som avses med, vad som genomförs av och vad
som uppnås av en läroplan. För att komma så nära det verkliga lärandet som möjligt blir det
intressant att studera hur en läroplan genomförs snarare än hur den är skriven (Floden, 2002).
Det är inom strukturen för skolans lektioner som möjligheter till lärande skapas men även
begränsas (Hiebert & Carpenter, 1992). Lärmiljön påverkas av ett flertal faktorer. Att lärare
och elever tillsammans bygger upp denna miljö är både en logisk konsekvens av och en orsak
till hur matematiklektionerna i skolan ser ut (Lampert, 1990). För att ytterligare nyansera
elevers möjligheter till lärande har jag alltså valt att analysera några av de faktorer som
påverkar den miljö vilken lärandet sker.
Här, i den introducerande delen av avhandlingen, kappan, är mitt främsta syfte att lyfta fram
på vilka gemensamma grunder de tre studierna är gjorda. För att möjliggöra en diskussion
kring möjligheterna till lärande krävs en bild av vad matematisk kunskap består av och även
hur denna kunskap byggs upp. Som en del av matematisk kunskap finns förmågan till
matematiska resonemang vilket är huvudfokus i avhandlingens tre studier. Därför fördjupas
diskussionen kring kunskap utifrån just matematiska resonemang. Detta leder diskussionen
vidare till vilken lärmiljö som skapas i skolor och klassrum. Diskussionen kring lärmiljön har
två utgångspunkter, nämligen vilken påverkan läromedel respektive elevers uppfattningar har
på miljön som skapas och på lärandet. Därefter beskriver jag på vilka grunder de olika
metodologiska besluten tagits och sammanfattar de tre studierna var för sig. Studierna tar
avstamp i tidigare forskningsresultat som diskuterar vad som är centralt för en god
matematikutbildning. Utifrån vad som behövs och den nulägesbeskrivning som de tre
studierna tillsammans med andra studier bidrar med kan en diskussion kring tänkbara
förändringar i skolan och dess struktur initieras. I kappan önskar jag främst att ha den svenska
skolan i sikte och skriver därför också på svenska. Data till avhandlingens tre studier har
också samlat från den svenska gymnasieskolan. Utöver detta består dessutom den första
studien av en analys av matematikläromedel från ytterligare elva länder.
6
Syfte och frågeställningar
2 Syfte och frågeställningar
Det övergripande syftet med studierna som ingår i denna avhandling är att skapa en större
förståelse för vad som sker i skolan idag med avseende på matematiska resonemang, och
vilka möjligheter till att lära sig att resonera matematiskt eleverna får. Detta sker genom att
undersöka flera aspekter som potentiellt påverkar elevers möjlighet till lärande. Elevers
läromedel används som en indikator på möjligheterna till lärande och analyseras både utifrån
vilka krav uppgifterna ställer på eleverna och utifrån hur eleverna använder läroboken på
lektionstid. Då sättet som elever agerar på i problemlösningssituationer visat sig vara länkat
till deras uppfattningar om ämnet undersöks även elevers uppfattningar om matematik i
relation till de matematiska resonemang som används för att ytterligare vidga bilden av vilka
möjligheter till att lära sig att resonera matematiskt som eleverna får. Mer specifikt är
frågeställningarna i de tre studierna enligt nedan. För de mer tekniska forskningsfrågorna
hänvisas till respektive studie.
Studie 1: Reasoning requirements in school mathematics textbooks: an analysis of books from
12 countries.
I vilken utsträckning räcker det med imitativa resonemang för att lösa uppgifterna i
matematikläromedel från 12 olika länder, och vilka möjligheter till lärande med
avseende på olika typer av resonemang erbjuder böckerna utifrån bland annat hur
läroboksförfattarna väljer att strukturera uppgifterna i grupper med olika beteckningar.
Studie 2: Students’ reasoning in mathematical textbook task-solving.
På vilket sätt angriper elever olika typer av läroboksuppgifter, med avseende på olika
typer av resonemang, och i vilken utsträckning lyckas de med sina lösningar?
Studie 3: Students’ mathematical reasoning and beliefs in non-routine task solving.
Vilka uppfattningar om matematik uppvisar eleverna i relation till det resonemang
som används då de löser icke-rutinuppgifter?
Bakgrund
7
3 Bakgrund
För att kunna genomföra studierna och skapa en förståelse för vad matematiska resonemang
kan innebära för matematikundervisningen vill jag nu presentera en bild av vad matematisk
kunskap är och hur den kan byggas upp. Vidare önskar jag placera denna kunskapsutveckling
i ett större socialt sammanhang där den rådande klassrumskulturen ligger till grund för en
elevs möjligheter till lärande. Lärmiljön påverkas av en mängd faktorer, varav läroboken är
en. Läroboken diskuteras utifrån såväl dess betydelse i undervisningen, som sin utformning
och hur den används i klassrummet.
3.1 Matematiska resonemang
Ball och Bass (2003) beskriver det som att en diskussion om matematisk förståelse blir
meningslös utan en tonvikt på resonemang. De beskriver matematiska resonemang som såväl
ett mål som ett medel för att nå denna förståelse. Ett matematiskt resonemang kan användas
för att förklara eller bevisa en kunskap. Men matematiska resonemang kan även användas för
att utforska ny matematik och skapa förståelse för nya begrepp eller procedurer och bygga ny
kunskap. För att skapa förståelse för någonting och för att även kunna använda detta i olika
kontexter krävs resonemang. Genom att se detta i ett socialt sammanhang definierar
Bauersfeld (1980) resonemang som förmågan att motivera val och slutsatser genom
argumentation som baseras på logik och matematisk kunskap. I linje med Bauersfeld
definieras resonemangsförmågan av Skolverket (2011b) på följande sätt:
Resonemangsförmågan innebär att kunna föra matematiska resonemang som involverar
matematikens begrepp, metoder och utgör lösningar på problem och modelleringssituationer.
Att föra ett resonemang innefattar även att själv och tillsammans med andra till exempel testa,
föreslå, förutsäga, gissa, ifrågasätta, förklara, finna mönster, generalisera, argumentera. Det
innefattar även att kunna formulera och allmänt undersöka hypoteser samt genomföra bevis i
tal och skrift. Detta inkluderar att uppmärksamma betydelsen av och kunna redogöra för de
bärande idéerna i ett matematiskt bevis och inse skillnader mellan gissningar och välgrundade
påståenden.
Att resonera innebär alltså att flera andra förmågor införlivas i en process för att kunna dra
önskade slutsatser. Jag har för syftet med dessa tre studier valt att använda en definition av
resonemang som enligt Lithner (2008) är utfallet av den tankebana som antagits för att
formulera påståenden och dra slutsatser. Definitionen gör det möjligt att kategorisera
resonemang utifrån vilken typ av kunskap som används. Som en bakgrund till definitionen av
matematiskt resonemang blir det därför relevant med en diskussion kring matematisk
kunskap. I följande avsnitt presenteras en modell för hur matematisk kunskap kan betraktas
och för hur denna kunskap byggs. Kunskapsmodellen fungerar också som bas för att
introducera det ramverk för kategorisering av matematiska resonemang (Lithner, 2008) som
använts i avhandlingens samtliga studier.
3.2 Ett nät av kunskap
Resonemangsförmågan beskrivs av skolverket (2012) som vilandes på en konceptuell grund
och dessutom som ett verktyg för att utveckla förståelsen för det matematiska innehållet och
8
Bakgrund
dess relation till andra områden. Vad som kan avses med konceptuell kunskap fångas av den
metafor som Hiebert och Lefevre (1986) presenterar och benämner ett nät av kunskap (se
figur 1 för exempel). Nätet är rikt på sammankopplande relationer och fakta. I noderna finns
till exempel grundförståelsen för matematiska objekt. När en större förståelse skapas
framträder hur dessa matematiska objekt relaterar till varandra, och ett nät formas och växer
sig starkare. Ett nytt objekt kan införlivas i nätet för att vidga detsamma, likväl som att två
mindre nät kan sammanfogas till ett större med hjälp av en sammankopplande relation. När så
fler relationer skapas mellan de bägge nätdelarna växer sig det stora nätet starkare. En
konceptuell kunskap kan med andra ord inte bestå av en enskild faktauppgift, utan är snarare
ett förhållande mellan faktauppgiften och annan information.
”Roten ur…”
pq-formeln
Andragradsekvationer
Variabler
Konstanter
Ekvationer
Koordinatsystem
Likhetstecken
Grafer
Figur 1. Exempel på ett nät av kunskap, med kopplingar som bygger upp en konceptuell kunskap.
Procedurell kunskap å andra sidan beskrivs som bestående av det formella matematiska
språket och algoritmer (Hiebert & Lefevres, 1986). Detta inkluderar till exempel en
medvetenhet om de matematiska symbolerna och om hur man hanterar dem, samt regler,
procedurer och algoritmer som kan användas för att lösa matematiska uppgifter (Hiebert &
Lefevres, 1986). Distinktionen mellan de två typerna av kunskap kan exemplifieras genom att
betrakta ett barn som blir ombedd att tala om hur många leksaker det ligger på golvet. Hon
inleder räknandet; 1, 2, 3… och slår slutligen fast att det ligger sju leksaker på golvet.
Uppräkningen kan ses som en procedur bestående av att uttrycka tal i en förutbestämd
ordning. I och med att uppräkningen slutar på sju drar barnet slutsatsen att svaret på frågan är
just sju leksaker. Men när samma fråga ställs en gång till visar det sig att den procedurella
kunskapen inte är länkad till den konceptuella, i form storhet eller antal, då barnet snarare än
att direkt svara sju, återigen börjar räkna för att kunna besvara frågan. En procedurell kunskap
kan givetvis även den vara svagare eller starkare utvecklad. I följande exempel visas på en
situation där denna skillnad synliggörs.
Bakgrund
9
____________________________________________________________
En elev som tidigare i kursen visat procedurella kunskaper löser ekvationen
genom algoritmen som går ut på att ”flytta” termer, koefficienter
och delar av rationella uttryck från ena ledet till det andra. En metod som innebär
att exempelvis en positiv konstantterm kan elimineras från ena ledet genom en
subtraktion som utförs i bägge leden för att behålla likheten. Detta
tillvägagångssätt hanteras dock inte sälla per automatik som att ”flytta” termen
med omvänt tecken till andra ledet. Dock använder eleven i detta fall algoritmen
på ett felaktigt sätt då han inleder arbetet genom att ”flytta” koefficienten (3:an)
först, på ett felaktigt sätt, utan att ta hänsyn till konstanttermen 6. I och med att
metoden baseras på att just flytta innebär det att eleven delar 15 med 3, och får
vilket sedan leder till svaret
. Eleven hade med en tryggare
procedurell kunskap kunnat börja med att flytta 6:an och får
efter
förenkling. Nästa steg för eleven blir då att flytta även koefficienten 3 och på så
sätt slutligen få svaret
.
____________________________________________________________
I detta fall är det dessutom uppenbart att eleven hade varit hjälpt av en större konceptuell
förståelse där exempelvis algoritmen för ekvationslösning var kopplad till en förståelse för
likhetstecknet, och till metoden giltighet. Förståelsen kan enligt Gravemeijer och van Galen
(2003) skapas genom att eleverna själva, utifrån flera problemsituationer får möjligheten att
jämföra lösningsmetoder och generalisera. Ett problem med den procedurella kunskapen då
den isoleras är således att en större mängd information måste memoreras. Inte heller blir det
självklart att bygga upp matematiska modeller för att lösa problem om inte procedurerna kan
kopplas till en större helhet och på så sätt också användas i olika situationer. Ett exempel på
detta är en elev som jobbar med en uppgift där kostnaden för att gå på två olika gym, A och
B, jämförs. Uppgiften består i att undersöka hur många gymbesök det krävs för att gym A ska
vara fördelaktigt att gå på.
____________________________________________________________
Det ena gymmet, gym A har en årsavgift på 1500 kr och därefter betalar man 30
kr/besök. På det andra gymmet, gym B kostar ett besök 75 kr. Eleven, som enbart
lärt sig algoritmen för att lösa ekvationer och en definition för variabel får svårt
att lösa uppgiften då det krävs att en matematisk modell skapas, där exempelvis
likställs med
, eller där de bägge ekvationerna
representeras som grafer. Han frågar läraren om hjälp som också visar en möjlig
väg framåt genom att skriva ner de bägge ekvationerna åt eleven. Återigen fastnar
dock eleven. Denna gång på grund av en bristande förståelse för att kostnaden för
gym A och B kan likställas genom att jämföra respektive uttryck med variabeln x.
Läraren kommer återigen till eleven och visar att
kan likställas med
och att då en ekvation som kan lösas för x skapas. Tyvärr har eleven inte
tidigare stött på ekvationer med x i bägge leden och måste ännu en gång fråga
läraren om hjälp, som nu förklarar för eleven att
kan ”flyttas till andra sidan”
precis som konstanttermer. Då har eleven efter förenkling ekvationen
framför sig, som han löser med hjälp av sedan tidigare bekant algoritm. Han
svarar
på uppgiften, noterar att facit har avrundat felaktigt till 34, och
går vidare.
____________________________________________________________
10
Bakgrund
I exemplet visas en situation då den algoritmiska kunskapen återigen inte räcker till för att
lösa ett matematiskt problem. I detta fall orsakar bristen både att en modell inte kan skapas,
men också att proceduren utan stöd från en större helhetsförståelse inte stöttar en delvis ny
problemformulering. Genom att inte heller underbygga sitt svar med en koppling till
uppgiftens kontext, indikeras ytterligare att eleven inte naturligt kopplar samman sin
algoritmiska kunskap med en större förståelse för en helhet. Att istället svara att vid 33 besök
eller färre på gymmet lönar det sig att gå på gym B, men då antalet överstiger 33/år så är det
mer ekonomiskt att gå på gym A, visar att mer än en procedur har använts för att lösa
problemet. I exemplet visas också den betydelse en lärare kan ha för en elevs lärande. Sättet
på vilket lärare handleder elever återkommer jag till i diskussionen.
Skemp (1976) beskriver två typer av förståelse som särskiljs genom att man antingen vet hur
något genomförs, eller vet såväl hur som varför någonting genomförs. Skemp (1976)
åskådliggör skillnaden mellan de två olika typer med hjälp av en metafor baserad på två
personer som flyttar till en ny stad. De bägge personerna bekantar sig på varsitt sätt med
stadens omgivningar. Jag beskriver i det följande en metafor fritt efter Skemp (1976). Låt oss
börja med att betrakta person 1 som lär sig vägen från sin nya bostad till sitt jobb, och från
bostaden till affären och till motionsspåret. Han lägger på minnet höger respektive
vänstersvängarna och i vilken ordning dessa genomförs. När detta väl är gjort nöjer han sig.
Han har nu memorerat tre stycken färdvägar. Person 2 lär sig även han vägen från bostaden
till jobbet, till affären och till motionsspåret. Relativt omgående blir dock personen intresserad
av att även kunna gå via affären hem från jobbet någon dag. Under sina initiala promenader
reflekterar han över platsernas inbördes läge i relation till varandra. Person 2 börjar skapa en
slags mental karta över staden där även en potentiell väg från jobbet till affären finns
representerad, trots att han egentligen aldrig ännu gått den vägen. På detta sätt lyckas person 2
utforska även andra delar av staden och stärker bilden av den mentala kartan han skissat. Med
tiden kopplas allt fler punkter i staden samman vilket möjliggör att han till exempel kan ta en
löprunda innan jobbet en morgon utan att behöva åka hem emellan, eller ta en annan väg till
jobbet dagen då ett vägarbete begränsar framkomligheten. Han kan således konstruera ett
nästan oändligt antal resvägar inom staden. Person 1 som inte skapat en mental karta över
staden tvingas dagen då ett vägarbete hindrar hans väg till jobbet ringa en arbetskamrat för att
få en alternativ vägbeskrivning. Då person 2 ställs inför samma problem lyckas han tack vare
sin mentala karta själv konstruera en alternativ resväg. Att fråga om hjälp är givetvis i sig inte
att förakta, men den flexibilitet som en mental karta erbjuder och det faktum att faktiskt få
eller inga vägbeskrivningar då heller behöver memoreras talar för att den mentala kartan kan
underlätta. Det person 1 bär med sig kan jämföras med den information man kan få ut om
man söker på vägbeskrivningen mellan två städer i Google Maps. Person 1 har i detta fall ett
flertal sådana vägbeskrivningar med hänvisningar till höger- och vänstersvängar och
avståndsangivelser. Person 2 å andra sidan bär istället för dessa vägbeskrivningar med sig den
karta man också kan ta fram på Google Maps och som innehåller information om platsers
inbördes relation till varandra. Skemp (1976) skiljer på den undervisning som syftar till att
Bakgrund
11
skapa en mental karta och den som istället ger en detaljerad vägbeskrivning. Parallellt till
Skemps (1976) metafor beskriver jag nedan två exempel på hur jag själv som gymnasielärare
i matematik valt att presentera begreppet andragradsekvationer för mina elever. Dessa två
exempel illustrerar hur synen på kunskap hos mig som lärare också influerar de möjligheter
till lärande av olika typer av kunskap som eleven får. I den första undervisningssituationen
står den algoritmiska kunskapen i centrum medan den kunskap som relaterar begrepp och
procedurer till varandra för en djupare förståelse får större utrymme i den andra
undervisningssituationen.
____________________________________________________________
Ett sätt att introducera begreppet andragradsekvationer som jag vid flera tillfällen
använt mig av är att tillsammans med eleverna lösa ett antal typekvationer på
tavlan och bygga upp en bulk av mallar för eleverna att förhålla sig till då de
senare går vidare till att lösa läroboksuppgifter. Inkluderat i en sådan presentation
finns ofta också ett tillämpat problem av typen där en till exempel kulstöts längd
ska beräknas, där kulbanan beskrivs med hjälp av en andragradsfunktion.
Jag har även inlett en diskussion kring andragradsekvationer genom att först
diskutera likheter och samband i allmänhet och också kopplat dessa diskussioner
till grafiska representationer. Här har också funnits möjligheter att introducera
parabler som beskriver exempelvis kaströrelser. Utifrån denna bas har jag sedan
fortsatt diskussionen genom att introducera ett exempel på en kaströrelse i form
av exempelvis en handbolls bana,
. I detta skede får
eleverna i uppgift att undersöka hur långt från mål man bör stå för att pricka
ribban med en handboll. Många elever i klasserna brukar då försöka skissa
bollbanan i ett koordinatsystem och därifrån dra sina slutsatser. Några jobbar mer
algebraiskt och ställer upp en ekvation där bollbanan
likställs med ribbans höjd över marken 2 meter. Eleverna finner snart ett
behov av en metod att hantera den andragradsekvation som skapats. I detta skede
brukar jag finna det lämpligt att visa eleverna den så kallade pq-formeln. För att
knyta ihop diskussionen finns ett behov av att få ett antal punkter tydliggjorda för
eleverna. En av dessa är att det är möjligt att finna två svar på den ställda frågan. I
sammanhanget brukar jag då försöka lyfta fram exempel på såväl grafiska som
algebraiska lösningsmetoder som visar på detta. En ytterligare punkt som jag i en
sådan undervisningssituation försöker förmedla är det gränssnitt som finns mellan
det matematiska och den specifika kontexten som handbollens bana och ribban
utgör. Vi samtalar kring vikten i att förflytta sig mellan den matematiska
modellen och verkligheten och resonerar kring hur denna förflyttning kan ske. I
och med detta upplägg har också alla elever fått se såväl en algebraisk metod, pqformeln, som en grafisk metod för att lösa problemet med.
____________________________________________________________
Eleverna i det första exemplet kommer sannolikt bli goda ekvationslösare i de flesta av de av
skolan presenterade uppgifterna. Det är däremot mer osäkert om det också stöttar en djupare
förståelse för när detta kan tänkas vara användbart och modelleringar med hjälp av ekvationer
i olika sammanhang. I den andra undervisningssituationen används det som Sfard (1991)
beskriver som ”matematikens dubbla natur” i och med att begreppet ekvation får en mening
med hjälp av procedurer för att lösa andragradsekvationer, samtidigt som begreppet också
kopplas till andra begrepp och får en innebörd på den större matematiska kartan. Eleverna
12
Bakgrund
engageras i en problemlösande aktivitet och precis som Hiebert et al., (1996) uttrycker det så
är det slående här inte hur eleverna löser ett extremt svårt problem, eller att de visar på
enastående förmågor, utan snarare att eleverna engagerades i sann problemlösning i något
som annars riskerar att vara en rutinaktivitet. Hiebert och Carpenter (1992) betonar att
undervisningen måste sträva efter att eleverna ska bygga relationer mellan matematiska
begrepp och att begrepp och procedurer inte ska hanteras som enskilda bitar information utan
införlivas i den mentala kartan, kunskapsnätet som eleverna bygger. Såväl procedurell som
konceptuell kunskap krävs för en god matematisk kompetens (Hiebert, 2003). Kopplingarna
mellan exempelvis två begrepp baseras på likheter och skillnader (Hiebert & Carpenter,
1992). Genom att skapa en större förståelse för procedurerna kan också antalet procedurer
minskas. Till exempel blir det inte nödvändigt att minnas formlerna för hur arean av varje
enskild figur beräknas om en djupare förståelse för areabegreppet finns. Att en rektangel har
arean basen (b)∙höjden (h) blir uppenbart, liksom att då formeln för triangelns area är b∙h/2.
Även parallelltrapetsens och parallellogrammets area följer då naturligt.
Att genom modeller försöka att beskriva kunskap och en lärandeprocess innebär naturligtvis
att generalisera och att göra förenklingar. Syftet med att utifrån beskrivningen av olika typer
av kunskap bygga upp en modell för samspelet mellan konceptuell och procedurell kunskap
är att tydliggöra väsentliga aspekter av lärprocessen. Kunskapsnätet vidgas på så sätt med
införlivandet av nya processer och nya matematiska objekt som kopplas till det existerande
nätet. Hiebert och Carpenter (1992) definierar förståelse som att ett matematiskt begrepp eller
procedur har införlivats i ett större nätverk med andra begrepp och procedurer. Djupet av
förståelse kan beskrivas med antalet kopplingar till andra begrepp och procedurer, och
kopplingarnas styrka. I den beskrivna modellen tas en tydlig hänsyn till den förförståelse som
finns, och vilken kunskap som kan användas som bas i kunskapsutvecklingen. En kunskap
som sedan tidigare införlivats i kunskapsnätet bidrar på ett annat sätt än en isolerad
förförståelse för exempelvis en viss, enskild procedur (Hiebert & Carpenter, 1992).
Utvecklad kunskap kan karakteriseras som en förändring i nätet. Antingen förtätas nätets
utseende utifrån de nya kopplingar som tillkommer, eller så vidgas det då nya begrepp,
procedurer kopplas till det existerande nätet. Dessutom kan två mindre nät kopplas samman i
en eller flera punkter för att skapa ett nytt, större nät. Nätet är i ständig förändring. Ibland kan
en förändring baseras på en förvirring, där nätet för en stund får en struktur som inte i alla
delar är logiskt uppbyggt.
Figur 2. En paradoxal illusion med lokal logik, Penrose trappa.
Bakgrund
13
Man skulle kunna jämföra ett sådant förvirrat nät med en paradoxal illusion som till exempel
Penrose trappa (se figur 2) där logiken finns lokalt men inte i ett större sammanhang, men där
den mer omfattande logiken ändå sätts på prov. Förhoppningsvis leder undervisningen till att
ett sådant kunskapsnät istället omstruktureras. Innan ny kunskap införlivas i tidigare befäst
kunskap kan den skapa ett eget delnät där ett fåtal procedurer och begrepp ryms, som sedan i
sin helhet knyts till det större nätet. Förändringar i ett kunskapsnät kan illustreras med
nedanstående exempel där bråkräkning introduceras för en elev.
____________________________________________________________
En elev har en förförståelse för bland annat de hela talen och även för begreppet
division och även hur division av heltal kan utföra, det vill säga i elevens
kunskapsnät finns det kopplingar mellan heltal och begreppet division samt en
algoritm för division. Att urskilja hur starka dessa kopplingar är och vad de är
byggda av krävs en hel del efterforskning för att utröna. På en matematiklektion
presenteras eleven för bråkbegreppet och får ett stöd i att införliva detta i sitt
kunskapsnät genom att koppla det till såväl de hela talen som till division.
Inledningsvis ser eleven bråktalen som två objekt, täljare och nämnare som delas
med varandra, men med tiden utvecklas en förståelse för hur det rationella talet
som sådant också är ett objekt i sin egen rätt, och kan införlivas i kunskapsnätet
även med kopplingar till begrepp som procent, och tiondelar, hundradelar och tal
i decimalform. Undervisningen går vidare till att addera bråk med gemensam
respektive olika nämnare. Återigen relateras dessa nya idéer till det redan
befintliga kunskapsnätet, och bland annat till begreppet addition och algoritmer
för additionsberäkningar. När eleven sätter sig för att lösa en läroboksuppgift där
två bråktal ska adderas stöter han dock på problem. Uppgiften är att beräkna
, och eleven använder då delar av de kopplingar han byggt upp för att
komma fram till ett korrekt svar. Han adderar täljarna och nämnarna var för sig
och kommer fram till , jämför det med facit och inser att hans svar är felaktigt.
Eleven har i sitt försök att koppla det som undervisningen tar upp till sitt eget
kunskapsnät inte helt lyckas skapa tillräckligt med kopplingar utan förlitar sig på
någon enstaka koppling mellan heltalen har ser som delar av bråktalen och den
förståelse för addition han sedan tidigare har, vilket i detta fall inte är erforderligt.
Han provar då att istället skriva om respektive bråk i decimalform och adderar
sedan dessa med resultatet och får fram resultatet 0,91666… Återigen jämför han
sitt svar med facit och ser att de inte stämmer överens. Denna gång har han
använt andra kopplingar i sitt nät och detta på ett välgrundat sätt. Kopplingen
mellan tal skrivna i bråkform och tal skrivna i decimalform verkar inte tillräckligt
utvecklad för att han ska se sambandet mellan sitt svar och
, som facit anger
som rätt svar. Ytterligare jämförelser mellan de två representationsformerna
verkar krävas.
____________________________________________________________
För att stötta eleven i en strävan efter ett större och stabilare kunskapsnät krävs det att han får
en undervisning som beaktar hans förkunskaper och hjälper till att skapa starka kopplingar
mellan dessa och de nya begrepp som det undervisas om. För att eleverna ska beredas
möjligheter till konceptuell kunskap krävs utmaningar. En utmaning bör vara möjlig för
eleven att klara av men ändå befinna sig på den övre delen av den proximala
utvecklingszonen (Vygotsky, 1978). Den proximala utvecklingszonen beskriver vad en elev
14
Bakgrund
kan förväntas lära sig utifrån sina förkunskaper och förutsättningar för stunden. Det innebär
att utmaningen som skapas består av något som till viss del är nytt för eleven och som
stimulerar upptäckande. Att eleverna själva upptäcker betyder också att de knyter an till sina
egna förkunskaper (Hiebert & Grouws, 2007). Möjligheter till lärande med fokus på en bred
matematisk kompetens behöver således vara elevcentrerade och dessutom innehålla
utmaningar där mer än utantill-kunskaper används (Hiebert & Grouws, 2007). Detta medför
ett behov av en balanserad matematik utbildning där möjligheter ges till elever att jobba med
procedurer såväl som resonemang baserade på en konceptuell förståelse.
3.3 Ett ramverk för analys av resonemang
Med förståelsen för vilka typer av kunskap som krävs för att skapa en bred matematisk
kompetens har jag valt att använda mig av ett ramverk (Lithner, 2008) för kategorisering av
olika typer av resonemang som tar hänsyn till om eleven får möjlighet att träna på mer än en
procedurell förmåga. Resonemang definieras här som utfallet av den tankebana som antagits
för att formulera påståenden och dra slutsatser (Lithner, 2008). I resonemang innefattas i och
med definitionen även resonemang som inte är baserade på formell logik och bevisföring.
Resonemangen kan till och med vara felaktiga, eller baseras på imitation snarare än djupare
förståelse. Det centrala är dock att även om de är felaktiga stöttas de av någon form av
argument som betraktas som rimliga och meningsfulla av den resonerande. Ramverket
möjliggör en mer nyanserad diskussion av den typ av kunskap som eleverna använder och de
möjligheter till lärande som detta innebär.
De empiriska studier som ligger till grund för ramverket visar på två huvudkategorier av
resonemang. Dessa två benämns kreativa matematiska resonemang och imitativa resonemang.
Det finns tre krav på ett resonemang för att kunna kategoriseras som kreativt matematiskt. Ett
för uppgiftslösaren nytt resonemang ska föras, strategivalet ska vara medvetet samt motiveras
med argument som bygger på relevanta matematiska egenskaper. Viktigt att notera är att ett
kreativt resonemang inte nödvändigtvis måste uppfinna något helt nytt, utan snarare att en
ibland till synes anspråkslös lösningsmetod har skapats som är ny för uppgiftslösaren
(Jonsson, Nordqvist, Lithner & Liljekvist, 2014). Kreativa matematiska resonemang kan
antingen omfatta en större, central, global del av en uppgiftslösning eller enbart en mindre
central, lokal del av uppgiftslösningen. Imitativa resonemang å andra sidan passar ofta väl vid
arbete med rutinuppgifter, då genomförandet enbart består av att imitera en återkallad eller på
annat sätt lättillgänglig algoritm, eller att från minnet producera ett svar på en fråga. I detta
fall är det ledtrådar i form av till exempel nyckelord eller mer ytlig karakteristik i uppgiften
som vägleder eleven i strategivalet. De imitativa resonemangen kan ytterligare preciseras i
underkategorier utifrån på vilket sätt som algoritmen tillgängliggörs (se tabell 1 nedan).
En algoritm definieras här som en instruktion med ett begränsat antal steg som möjliggör att
ett svar erhålls för en viss typ av uppgifter (Brousseau, 1997). En algoritm kan alltid
specificeras i förväg. Ett visst steg i kedjan av instruktioner beror inte på någon oförutsedd
Bakgrund
15
händelse tidigare i sekvensen. I denna definition ingår inte bara beräkningar utan även alla
förutbestämda procedurer som kan krävas för att kunna dra en slutsats. Detta innebär att
algoritmen hanterar konceptuella svårigheter i en uppgiftslösning (Lithner, 2008). I tabellen 1
nedan presenteras de centrala delarna av kategoriseringen av resonemang utifrån ramverket
(Lithner, 2008).
Tabell 1. Sammanfattning av olika typer av resonemang enligt Lithners (2008) ramverk.
Kreativt matematiskt
resonemang
Imitativt resonemang
Algoritmiskt resonemang
Globalt
Lokalt
Bekant
Algoritm
Kompisvägledning
Lärarvägledning
Textvägledning
Memorerat
resonemang
Om inte ett resonemang i sin helhet kan tas ur minnet, kan det ändå imiteras. Ett sätt kan vara
att utifrån ett urval av algoritmer välja den man tror passar bäst för situationen, baserat på
ytlig karakteristik eller ledtrådar i uppgiften. Ett annat sätt kan vara att få vägledning av en
kompis, en lärare eller en lärobok eller annan textkälla. I dessa fall utgör grunden för
strategivalet att algoritmen finns tillgänglig. Och implementeringen består således av att
imitera någon av dessa källor. Enligt ramverket är de olika typerna av resonemang disjunkta
kategorier. I verkligheten kan elever snarare visa upp typer av resonemang längs ett
kontinuum, från att vara helt baserade på ett det som definierar ett kreativt resonemang till att
vara helt imitativt.
Ramverket har visat sig användbart vid analys av såväl läromedel och prov som lärares arbete
och elever i olika sammanhang (Bergqvist & Lithner, 2012; Lithner, 2004; Palm, Boesen &
Lithner, 2011; Sumpter, 2013). Det jag använt ramverket till i de tre studierna i denna
avhandling är att undersöka läromedel ämnade för gymnasiet och jämföra resultaten med
läromedel från elva andra länder, att analysera svenska elevers resonemang då de arbetar med
läroboksuppgifter, samt att se hur elevers resonemang kan kopplas till elevers uppfattningar
om matematik och matematiska resonemang då de arbetar med uppgifter som kräver ett
kreativt matematiskt resonemang.
Ramverket förtydligar att en elevs tankebanor styrs och begränsas av elevens förståelse och
formas i en sociokulturell miljö, som beskrivs i figur 3. I miljön inkluderas allt som berör
eleven eller som berörs av eleven, i en lärsituation (Brousseau, 1997). Huvudsakligen
behandlas här distinktionen och relationen mellan utantill-inlärning och en djupare förståelse.
Miljö
Elevens förståelse
Tankebanor
Figur 3. Resonemangets ursprung. (Fritt efter Lithner, 2008).
Resonemangssekvens
16
Bakgrund
Ett matematiskt resonemang ska alltså ses i ljuset av en speciell miljö, där elever och även
lärare anpassar sig efter de förutsättningar som miljön ger (Brousseau, 1997). Denna lärmiljö
utvecklas som ett slags didaktiskt kontrakt som fungerar som en implicit överenskommelse
mellan lärare och elever i ett klassrum. I det följande avsnittet önskar jag titta närmare på
lärmiljön med avseende på skolmatematiken.
3.4 Kunskap som en individuell konstruktion i ett socialt samspel
Cobb (1994) jämför det konstruktivistiska och det sociokulturella perspektivet på lärande.
Såväl det konstruktivistiska som det sociokulturella perspektivet ser aktiviteter som en
språngbräda för utveckling (Cobb, 1994). Då den sociokulturella teorin betraktar aktiviteter
som något som sker i en gemenskap med andra individer, anser däremot konstruktivister att
en aktivitet är något som en individ genomför för sig själv men i en kontext. Skillnaden
mellan de två perspektiven utvecklas av Cobb (1994) genom en diskussion om synen på
kunskap. Konstruktivismen ser kunskap som en konceptuell process i individen och en
strävan att skapa struktur för nya intryck. Med andra ord är lärande utifrån denna synvinkel
högst personligt och baserat på den kontext som tolkas specifikt för varje individ. För den
sociokulturella inriktningen har omgivningen en större betyder för kunskap och blir en
beskrivning av hur en individ förhåller sig till och förstår nya situationer. Kunskap ses då som
något som skapas i ett socialt samspel och som sedan utifrån miljön befästs i individens
medvetande. För en djupare diskussion av de två perspektiven på lärande hänvisas till någon
av förespråkarna för respektive inriktning. Den konstruktivistiska inriktningen förespråkas av
namn som Piaget och von Glasersfeld, medan förespråkare för den sociokulturella synen på
lärande till exempel är Vygotsky och Leont’ev.
Cobb (1994) säger att lärande är en individuell konstruktion likväl som en process som pågår
i samarbete med den omkringliggande miljön. Med andra ord är den miljö som till viss del
kan formas av utbildningssystemet väsentlig för vad elever kan lära sig i skolan. Genom att
elever till exempel jobbar i par eller grupp får de möjlighet att reflektera över andras
förståelse för det matematiska innehållet (Webb & Mastergeorge, 2003). En elevs kunskap
Detta är en syn som jag i fortsättningen av denna text kommer att förhålla mig till. Det nät av
kunskap som skapas är unikt för varje individ, men den kunskap som införlivas i nätet får sin
mening med hjälp av det sociala sammanhanget. Förståelsen för en ny information byggs upp
utifrån en gemensam överenskommelse i en specifik kontext.
3.5 Sociomatematiska normer som en grund för möjligheterna till lärande
Den didaktiska triangeln där läraren, eleverna och ämnesinnehållet utgör de tre hörnen är en
vedertagen modell av undervisningssituationen. Det samband som skapas mellan de tre
hörnen i triangeln ramar in och skapar de möjligheter till lärande som erbjuds i
undervisningen (se figur 4). I resten av detta avsnitt önskar jag beskriva under vilka premisser
dessa möjligheter till lärande kan förverkligas och existera, utifrån den miljö som gemensamt
skapas i samspelet mellan lärare, elever och matematiken.
Bakgrund
17
Matematik
Möjligheter
till lärande
Elev
Lärare
Figur 4. Den didaktiska triangeln som ramar in möjligheterna till lärande.
Ett av syftena med en modell är att förenkla och framför allt förtydliga verkligheten.
Huruvida förenklingen är alltför grov har med inramningen och användningsområdet att göra.
Som en bas fungerar den didaktiska triangeln som modell dock oomtvistat.
Inom ramen för den didaktiska triangeln förhandlas ett didaktiskt kontrakt fram (Brousseau,
1997). Läraren, eleverna och ämnets karaktär är grunden för det kontrakt som kontinuerligt
och dynamiskt vidareutvecklas. Cobb, Wood och Yackel (1993) beskriver att den unika
kulturen som finns i varje enskilt klassrum är en produkt av vad lärare och elever för med sig
avseende kunskap och värderingar, och hur dessa påverkar och påverkas av det sociala
samspelet i klassrummet. Kontraktet är en slags implicit överenskommelse kring en mängd,
regler eller normer som påverkar och i vissa fall styr interaktionen mellan lärare och elever
(Schoenfeld, 2012). De möjligheter att lära som erbjuds i ett klassrum utvecklas inom
ramarna för denna överenskommelse. Vissa av dessa regler är mer generella och rör
klassrumsinteraktion i allmänhet. Några av reglerna är däremot unika för matematikämnet,
sociomatematiska normer, och skapar en normativ bild av ämnet (Yackel & Cobb, 1996). Att
elever förväntas redovisa och förklara sina tankar är exempelvis en social norm, medan vad
som betraktas som en acceptabel matematisk förklaring är en sociomatematisk norm (Yackel
& Cobb, 1996). En godtagbar förklaring normaliseras av flera faktorer så som elevernas
förståelse för matematiken, lärarens förståelse för elevernas utveckling (Yackel & Rasmussen,
2002). Överenskommelsen om en förklarings giltighet växer fram i samspelet mellan lärare
och elever (Yackel & Rasmussen, 2002). Cobb et al., (1993) betonar i detta sammanhang
vikten av att i klassrummet samtala om såväl matematik som om själva samtalet om
matematik. Denna metanivå av samtalet kan påverka hur normerna ser ut. De presenterar ett
exempel på ett sådant samtal, med ett tidigt möte mellan en lärare och hans nya elever.
18
Bakgrund
____________________________________________________________
Eleverna i klassrummet har en stund arbetat enskilt med ett problem, och läraren
frågar efter Jacks lösning till problemet. Jack i sin tur förutsätter, utifrån hans
tidigare erfarenheter av matematik i skolan, att läraren efterfrågar ett svar och
avger detta. Jack hade i detta skede också förväntat sig att få svaret utvärderat.
Läraren väljer dock att förtydliga frågan och undrar hur Jack kommit fram till sitt
svar. Detta är en indikation till eleven och även resten av klassen om vad läraren
anser är ett passande sätt att samtala kring matematik. Jack beskriver hur han löst
uppgiften, men inser i samband med detta att han tidigare angivit ett felaktigt
svar. I detta tar läraren fasta på att det är tillåtet att göra misstag och att
ansträngningen med att tydliggöra sin lösning och att fortsätta att sträva efter
korrekthet är väsentlig.
____________________________________________________________
Snarare än ett samtal som strikt håller sig till matematik lutar sig läraren även mot en
diskussion kring det matematiska samtalet, en slags metadiskussion. I exemplet visar sig en
konflikt i den mån att eleven, Jack och läraren initialt har olika syn på den sociomatematiska
normen. Läraren använder i undervisningen den inbyggda auktoritet han har genom sitt
yrkesroll till att utveckla den kultur han önskar finns i klassrummet (Cobb et al., 1993).
Överenskommelsen blir en jämkning av den syn på matematiken och matematikämnet och
dess undervisning som läraren och som eleverna har. Triangeln existerar dessutom i ett vidare
didaktiskt system där påverkansfaktorer nära eller längre ifrån klassrummet finns
representerade. I det följande ämnar jag därför att bygga på modellen med vidare teorier och
fylla den med ytterligare innehåll.
I förhandlingarna kring de sociomatematiska normerna såväl som andra klassrumsnormer
inkluderas lärarens uppfattning om vad som bör inbegripas i undervisningen. Denna
uppfattning påverkas av en mängd olika faktorer såsom den avsedda läroplanen i form av
styrdokument på systemnivå, ämnesdiskussioner på skolan, nationella prov, läromedel,
traditioner och influenser från andra miljöer. Även eleverna kliver in i klassrummet med en
uppfattning om vad som ska finnas med i ett kontrakt avseende normer, och mer specifikt de
sociomatematiska normerna. Det normativa bestäms alltså, bland annat av de uppfattningar
som klassrummets deltagare bär med sig (Yackel & Rasmussen, 2002). När så en norm byggs
upp och en oskriven överenskommelse sluts mellan lärare och elever kring ett ämne och dess
innehåll, är det inte ett enkelt förhållande mellan lärare och elev, utan snarare ett förhållande
där såväl lärare som elev finns i en unik miljö som ligger till grund för det dynamiska och
intrikata samspelet. Varje matematikklassrum med sina elever och sin lärare blir en unik miljö
som under loppet av kursens gång utvecklar gemensamma sociomatematiska normer, som en
delmängd av större mer allmänna undervisningsnormer. I följande exempel åskådliggörs
några av de faktorer som indirekt kan påverka de sociomatematiska normerna i ett klassrum.
Bakgrund
____________________________________________________________
I augusti kliver en lärare in i ett klassrum på gymnasiet och träffar för första
gången sina 25 nya elever. Med sig har läraren många års erfarenheter som
matematiklärare och även erfarenheter av hur det är att själv vara elev. Läraren
har en lärarutbildning som också till viss del format honom. Efter tiden på
lärarhögskolan har han dessutom influerats av såväl kollegor som läroböckernas
utformning och de nationella proven. Under årens lopp har också de klasser han
undervisat satt sina spår i hans syn på skolmatematiken. Eleverna har även de
sina unika erfarenheter med sig in i klassrummet, och har förväntningar på vad
undervisningen under året ska bjuda på. De erfarenheter som läraren och eleverna
tar med sig till klassrummet är inte desamma som samma individer tar med sig
till låt oss säga samhällskunskapslektionen, utan är ämnesspecifika och beror på
ämnets karaktär och mer specifika erfarenheter i relation till just matematik.
Läraren börjar snart presentera kursen med hjälp av ämnesplanen och den
tilltänkta läroboken. Han initierar också förhandlingen kring hur de
sociomatematiska normerna ska se ut. Genom sättet som läraren betonar olika
aspekter av kursinnehåll, kunskapskrav och bokens upplägg visar han implicit
vad han värderar som viktigt. Under nästa lektion inleds arbetet med det
matematiska innehållet i kursen. Läraren håller en genomgång vid tavlan men
engagerar samtidigt eleverna till en aktiv dialog. Det inledande kapitlet i boken
handlar om algebra och det första som presenteras är hur man tecknar och tolkar
algebraiska uttryck. Läraren går igenom ett antal exempel på uppgifter eleverna
senare under lektionen kommer att stöta på då de jobbar med lärobokens
uppgifter. Läraren, tillsammans med läroboken skapar här en i det närmast
gemensam röst som beskriver en syn på matematikundervisningen. I elevgruppen
sitter ett flertal elever som är vana med arbetssättet som går ut på en
lärargenomgång med lösta exempel för att sedan få möjligheten att jobba med
liknande uppgifter på egen hand. Dessa elever och läraren torde i detta avseende
vara överens om hur den sociomatematiska normen borde se ut. De svar som
eleverna får på uppgifterna jämförs med facit för en snabb återkoppling, där just
svaret har stor betydelse och där antalet avklarade uppgifter blir till ett mått på
framsteg. Dock finns det i gruppen även ett par elever som önskar diskutera
begreppen och i vissa fall även utveckla resonemangen kring uttryck till att även
innefatta formler och kanske även ekvationer. Frågor som ”vad är det för nytta
med det här” formuleras och i deras strävan att försöka sätta in det matematiska
materialet i ett större sammanhang visar de möjligen en något annan syn på
matematikundervisningen.
För att undervisningen ska gå framåt för hela gruppen känner sig läraren pressad
att bedriva en undervisning i helklass och således måste han också inleda en
förhandling med klassen som helhet kring hur undervisningen ska bedrivas och
vad det slutgiltiga målet bör vara. Då lärarens tid är begränsad finner han det
rationellt att använda läroboken i största möjliga utsträckning. Läroboken ger
också undervisningen en viss ytterligare auktoritet då inte alla elever i gruppen
har samma uppfattning om vad undervisningen bör syfta till. Fortfarande måste
dock alla elevers olika syn beaktas då en gemensam norm för det matematiska
klassrummet ska skapas.
Frågan om vilken typ av kunskap som premieras kommer upp då klassen jobbar
med ekvationer och några elever har svårt att följa den av läraren presenterade
algoritmen för ekvationslösning som innebär att termer ”flyttas” mellan de två
sidorna av likheten och ”byter tecken”, och istället prövar sig fram eller i vissa
fall jobbar med en alternativ algoritm som dock är svårare att redovisa skriftligt.
19
20
Bakgrund
Läraren diskuterar med eleverna de sju förmågor som eleverna enligt
kunskapskraven behöver visa prov på. Åsikterna går isär i och med att det finns
flera uppfattningar i klassrummet om vad som är att betrakta som matematik.
Läraren påverkas således av såväl läroboken som av kunskapskraven som ställs
på eleverna i styrdokumenten.
Den uppfattning kring matematik som läraren sedan gentemot eleverna
presenterar är det som skapar utgångspunkten i den implicita förhandlingen kring
gemensamma sociomatematiska normer. Rollen som lärare medför en auktoritet
som innebär att eleverna särskilt beaktar vad läraren i klassrummet förmedlar
med avseende på synen på matematik. Några av eleverna har djupt rotade
uppfattningar om vad det borde innebära att kunna matematik som antingen
harmonierar med lärarens eller som i viss utsträckning går emot lärarens
uppfattning. Dessa uppfattningar kan inte slipas bort direkt, utan utvecklas med
tiden och i ett socialt samspel kring de sociomatematiska normerna som
förhandlas fram bit för bit. De sociomatematiska normerna växer dynamiskt fram
under kursens gång. Läraren och klassen tittar gemensamt på ett äldre nationellt
prov för att se vad som krävs för att få ett E i betyg. Provets utformning kommer
även det, i stor utsträckning att påverka elevernas syn på matematik, och därmed
också dynamiken i hur de sociomatematiska normerna formuleras.
____________________________________________________________
I exemplet framgår att elevers och lärares agerande visar på deras syn på matematik och
påverkar den dynamik som råder i klassrummet avseende de sociomatematiska normerna.
Rezat och Strässer (2012) betonar att den didaktiska triangeln finns i ett socialt sammanhang
där ett flertal faktorer påverkar en eller flera av noderna i triangeln. Till exempel influeras
sannolikt eleverna av vänner och familj i sin syn på ett didaktiskt kontrakt. Även skolan som
institution, såväl på lokal nivå som på nationell nivå, påverkar lärare och elever i samspelet i
den didaktiska triangeln. På lokal nivå kan de rutiner som finns i ett lärarkollegium influera
den enskilde läraren genom samtalen som förs kring kunskapsbegreppet eller utformningen av
gemensamma prov. På nationell nivå påverkar styrdokumenten vad som sker i klassrummen.
Även faktorer som nationella prov och den bild media förmedlar kring
matematikundervisningen kan påverka hur sociomatematiska normer förhandlas fram i
klassrummen. Påverkansfaktorer kan således finnas i nära anslutning till klassrummet såväl
som längre bort från skolans verklighet. Greer, Verschaffel och de Corte (2002) presenterar
en modell där faktorer på olika nivåer påverkar elevers och lärares uppfattningar om
matematik. I figur 5 nedan har jag valt att inkludera den didaktiska triangeln i modellen för att
ytterligare poängtera att samspelet i klassrummet påverkas av underliggande faktorer. I
modellen tydliggörs varifrån influenserna kommer, då sociomatematiska normer förhandlas
fram i klassrummet.
Bakgrund
21
Matematik
Elever
Klassrummet:
Sociala normer
Sociomatematisk norm
Lärare
Skolan:
Pedagogisk miljö
Prov
Läromedel
Utbildningssystemet:
Läroplaner
Prov
Lärarutbildning
Samhället:
Familj, vänner
Politik
Media
Figur 5. Faktorer som påverkar socio- och sociomatematiska normer. (Fritt efter Greer et
al., 2002).
Elevers möjligheter till lärande påverkas av vilka sociomatematiska normer som råder i
klassrummet (Yackel & Cobb, 1996). I modellen synliggörs det att sociomatematiska normer
indirekt påverkas av faktorer såsom den allmänna uppfattningen av matematik, vänner och
familj samt olika institutioner såsom den lokala skolan eller högre utbildningsinstanser.
Utifrån modellen som den nu målats upp, med en didaktisk triangel och undre lager av
påverkansfaktorer kan en diskussion kring vilka möjligheter till lärande som erbjuds eleverna
utvecklas. Den påverkan som de undre lagren till den didaktiska triangeln innebär kan både
möjliggöra och begränsa lärandet (Hiebert & Carpenter, 1992).
22
Bakgrund
3.6 Elevers uppfattningar om matematik
Vad som blir normativt i klassrummet påverkas av såväl kognitiva som icke-kognitiva, mer
känslomässiga förmågor och värderingar som alla de i klassrummet aktiva för med sig. Vad
en elev lär sig beror på såväl rent kognitiva faktorer som på elevernas bidrag till sociala
normer, inklusive de sociomatematiska normerna i form av icke-kognitiva faktorer (Op’t
Eynde, de Corte & Verschaffel, 2002).
De kognitiva och känslomässiga faktorerna som en individ för med sig in till det sociala
samspelet i klassrummet kan klassificeras utifrån bland annat deras stabilitet över tid
(McLeod, 1992). Exempelvis är känslor mer flyktiga och kommer och går relativt snabbt
jämfört med till exempel attityder. Ytterligare mer stabila är uppfattningar som influeras i en
högre utsträckning av det kognitiva. Uppfattningar betraktas som mer stabila än känslor och
attityder och tar längre tid på sig att slå rot i en individ och är även svårare att förändra än
känslor. I den engelskspråkiga forskningslitteraturen används affect som en sammanfattande
term för de faktorer som är mindre kognitivt betingade än kunskap. Ett rakt motsvarande ord
på svenska är svårt att finna. Affekt får en delvis annan, mer känslomässigt betonad innebörd
i det svenska språket. Den del av begreppet affect som vi valt att beforska i studie 3, väljer jag
här att benämna uppfattningar, vilket ska tolkas som likstämmigt med engelskans beliefs.
Då förhandlingarna kring en sociomatematisk norm pågår är enskilda elevers uppfattningar ett
viktigt förhandlingsmaterial. Så att påverka elevers uppfattningar innebär att påverka deras
syn på de sociomatematiska normerna, och att också fortsätta att förhandla fram normer.
De tolkningar av de rådande sociomatematiska normerna som elever och lärare gör påverkar
de uppfattningar de har om matematikämnet (Greer et al., 2002). Samtidigt som elevernas och
lärarnas uppfattningar påverkas av de sociomatematiska normerna påverkas normerna av
dessa uppfattningar i ett dynamiskt samspel. Ett unikt kommunikationssystem där elever och
lärare interagerar utifrån sina uppfattningar inom ramen för den didaktiska triangeln bygger
upp normer. Skapandet, eller förändringen av uppfattningar går med andra ord hand i hand
med utvecklingen av en klassrumsnorm (Yackel & Rasmussen, 2002). Uppfattningar kan
således betraktas som individens förståelse av de normativa kraven som ställs i
undervisningssituationen (Yackel & Rasmussen, 2002). Lärare och elever möts i en vidare
kontext där deras uppfattningar påverkas både av de gemensamt framförhandlade
sociomatematiska normerna som av andra normer som aktörerna är en del av i skolan såväl
som utanför densamma (Greer et al., 2002).
Om normen betraktas som något som förhandlas fram i ett socialt sammanhang kan den
enskilde elevens (eller lärarens) uppfattningar om matematik och syn på den
sociomatematiska normen sägas vara den psykologiska dimensionen av den gemensamma
normen (Yackel & Rasmussen, 2002). Uppfattningarna kommer till uttryck och utvecklas
genom att de införlivas i en klassrumsnorm (Op’t Eynde et al., 2002). Sambandet mellan
Bakgrund
23
normer och individers uppfattningar innebär att en diskussion om uppfattningar är tätt
relaterad till en diskussion om normer (Yackel & Rasmussen, 2002). I modellen med ett
didaktiskt torn, som tidigare presenterats kan det vertikala flödet från underliggande plan
representera influenser på elevers (och lärares) uppfattningar. Noderna i det över planet, den
didaktiska triangeln utgör då representanter för aktörernas uppfattningar, vilka i sin tur
samspelar för att bygga upp och påverkas av sociomatematiska normer.
Elevers uppfattningar om matematik har visats sig i hög utsträckning påverka sättet de
angriper matematiska problem på (Schoenfeld, 1992), och således också skapat
förutsättningar för olika typer av lärande. Sambandet mellan elevers uppfattningar och inte
minst utvecklingen av en konceptuell kunskap bör synliggöras mer (McLeod, 1992). Tidigare
forskning har visat att de matematiska uppfattningar som elever har är kontextuellt betingade
(Francisco, 2013). I en svensk gymnasieskolekontext har Sumpter (2013) undersökt elevers
uppfattningar om matematik och matematiska resonemang, då de jobbar med matematiska
uppgifter av standardkaraktär. Sumpter identifierade tre huvudgrupper, nämligen
förväntningar, motivation och säkerhet. Elever har visat förväntningar på såväl sig själva som
på matematiken. Motivationen hos en elev kan komma antingen inifrån eller utifrån. En elev
kan uppvisa säkerhet eller osäkerhet. Utifrån Sumpters (2013) resultat har analysen i studie 3
bedrivits deduktivt i den meningen att vi utgick från tre fördefinierade kategorier för att
undersöka om uppfattningarna är desamma om eleverna erbjuds arbeta med ickerutinuppgifter som kräver kreativa matematiska resonemang för att skapa en korrekt lösning.
3.7 Lärobokens betydelse
Enligt Valverde, Bianchi, Wolfe, Schmidt och Houang (2002) bör en läromedelsanalys ses i
ljuset av hur den används. Läroboken är en artefakt som används i ett sampel mellan lärare
och elever. Såväl internationellt som i den svenska kontexten finns tydliga indikationer på
lärobokens betydelse för hur undervisningen i matematik ser ut. Till exempel redovisas i
TIMSS-studien från 2011 (Mullis, Martin, Foy & Arora, 2012) hur läromedel används i
årskurs 8 i några av de i studie 1 inkluderade länderna. Över hälften av eleverna i såväl
Australien, Finland, Singapore, Sverige, Sydafrika (åk 9), som 2 av 3 provinser i Kanada
undervisas i miljöer där läroboken utgör basen i undervisningen. I TIMSS-undersökningen
från 2007 (Mullis et al., 2008) redovisades även detta resultat för Skottland. I USA är siffran
48 %, och i Sverige är siffran så hög som 97 %. Färre än 10 % av eleverna i de angivna
länderna undervisas helt utan lärobok. Skolverket (2003) uppmärksammar också att svensk
matematikutbildning till stor del influeras av lärobokens utformning. Istället för att läroplaner
och kursplaner är de bärande dokumenten i en lärares arbete bygger en stor del av planeringen
av undervisningen på just läroboken, som fungerar som en guide till ämnesplanen. Jablonka
och Johansson (2010) beskriver i en svensk kontext ett förhållande mellan läroboken och
läraren där bokens giltighet godkänns av läraren samtidigt som boken stöttar läraren i
uppbyggnaden av undervisningen. Schmidt et al. (2001) har visat att den utbredning ett
specifikt matematiskt innehåll får i en bok också styr hur mycket undervisningstid en lärare
24
Bakgrund
planerar för detta innehåll. Läroboken förmedlar dock inte bara vilket innehåll som ska
presenteras och dess omfattning, utan även sättet på vilket det kan hanteras av lärare i
undervisningen (Valverde et al., 2002).
Eleverna påverkas av läroboken indirekt, via lärare och genom deras direkta användning av
boken (Rezat, 2012). När eleverna skapar sin bild av vad matematik är, är läroboken en
influerande faktor (Valverde et al., 2002). Rezat och Strässer (2012) bedömer att
undervisningsverktyg såsom läroboken spelar en så central roll i det sociala samspelet i
klassrummet att den didaktiska triangeln bör kompletteras med en fjärde nod för att skapa en
didaktisk tetraeder. En lärobok kritiseras dessutom sällan av dess användare (Jablonka &
Johansson, 2010), vilket ytterligare stärker banden till lärare och elever i en didaktisk
tetraeder. Läroboken är betydelsefull för vilka sociomatematiska normer som gäller i
klassrummet. Ett läromedels möjlighet att omforma en didaktisk situation berättigar dess
position i förhållande till den didaktiska triangeln (Rezat & Strässer, 2012). Läroboken visar
ett filtrerat innehåll som reflekterar vad författarna anser är värdefull kunskap och skapar en
slags metakunskap som är viktig att beakta lärande diskuteras.
Aktiviteterna som genomförs i klassrummet visar vad som är legitimt och vad som är att
betrakta som matematisk kunskap (Lampert, 1990). Detta i sin tur påverkar hur den
sociomatematiska normen växer fram. Till exempel blir urvalet av uppgifter vägledande då
sociomatematiska normer (Yackel och Cobb, 1996) ska förhandlas fram i klassrummet. Detta
urval kan visa på synen på hur kunskap skapas. Uppgifters betydelse då sociomatematiska
normer skapas poängteras även av Doyle (1983) som beskriver det som att uppgifter påverkar
eleverna genom att fokusera deras uppmärksamhet på en speciell aspekt av innehållet och
genom att förtydliga hur informationen bör hanteras. Stein och Lane (1996) understryker detta
och poängterar att den kumulativa effekten av en undervisning baserad på en viss typ av
uppgifter påverkar möjligheterna till lärande som erbjuds och den bild av matematiken som
visas upp. Schmidt (2012) beskriver läroboken som en mall för skeendet i klassrummet, och
ser tydligt kopplingen mellan läroboken, undervisningen och lärandet. Och trots att ett
läromedel kan användas på många olika sätt kan det fungera som indikator på elevernas
möjligheter till lärande (Schmidt, 2012). Som ett exempel på detta kan jämföras två av de
läromedel som ingått i studie 2 (Sanaghan et al., 2007; Wai Keung, 2013).
Bakgrund
25
____________________________________________________________
I Sanaghans bok, under rubriken ”Solving equations” återfinns 9 lösta exempel av
typen; ”solve the equation
”, där lösningen presenteras genom att
först 7 subtraheras från båda led och sedan en division med 3 utförs. Inget vidare
resonemang kring metodens giltighet förs. Den algebraiska komplexiteten stiger
ju längre fram i avsnittet man kommer, och ett av de senare exemplen som
presenteras av boken är
. Lösningen visar att det krävs att termerna
multipliceras med 12, som är den minsta gemensamma nämnaren. Efter det
förkortas respektive term så att ekvationen får följande utseende:
, vilket förenklas och löses steg för steg enligt samma princip som i
tidigare exempel. Avsnittet erbjuder eleverna 89 uppgifter av liknande karaktär
att lösa och jämföra med ett svar i facit.
I läroboken av Wai Keung, under rubriken ”Simple linear equaitons in one
variable” ägnas första sidan åt en diskussion kring den utsaga som en ekvation
innebär och vad likhetstecknet betyder. Där behandlas dessutom begreppen
lösning, rot utifrån en ekvations giltighet, och vad det innebär att lösa en
ekvation. Boken använder termer som ”balans” och höger och vänster led för att
förklara en ekvations uppbyggnad. Begreppen linjär ekvation och ekvivalenta
ekvationer presenteras också på sidan. På nästföljande sida återfinns en
aktivitetsuppgift kopplat till en mjukvara som följer med boken. Uppgiften består
i att bibehålla balansen på en balansvåg där det i respektive vågskål återfinns ett
antal marker med numeriskt värde samt en eller flera x-marker. Samtidigt som
balansen ska bestå, ska eleverna ta reda på vad som döljer sig bakom marken
märkt med x som återfinns i den ena vågskålen. För att göra detta behöver
eleverna ta bort marker så att en x-marker till sist ligger kvar själv i den ena
vågskålen och kan jämföras med en mark med numeriskt värden i den andra.
Innan ett antal lösta exempel presenteras ställs också frågan om
innebär
detsamma som
samt om 2
är detsamma som att säga att
x+7
. Sex lösta exempel följer sedan och byggs upp på ett sätt liknande det i
Sanaghans bok. Eleverna har sedan 22 uppgifter att jobba med på två olika
svårighetsnivåer, och sedan sju uppgifter på den högsta svårighetsnivån där
ekvationslösning tillämpas på verkliga kontexter och i vissa fall även eleverna
själva behöver ställa upp ekvationerna utifrån given information.
____________________________________________________________
Då dessa bägge läromedel används förmedlar de också olika budskap avseende vad som kan
betraktas som värdefull matematik. Den presentation som böckerna ger av begreppet ekvation
och hur de kopplar det till andra ingående och nära relaterade begrepp skiljer sig markant.
Genom att jämföra bokens genomgång med de uppgifter eleverna sedan förväntas jobba med
kan de krav som ställs på eleverna också analyseras. Bilden som läroboken ger, och inte minst
de uppgifter som eleverna genom läroboken får tillgång till, blir således en högst bidragande
faktor till hur de sociomatematiska normerna kommer att se ut. Hiebert och Wearne (1993)
har visat att uppgifter påverkar lärandet indirekt genom elevernas syn på matematiken och
sättet som de angriper uppgifterna på, vilket i sin tur påverkas av undervisningen och de
uppgifter som eleverna möter.
26
Bakgrund
Många läromedel betecknar sina uppgifter utifrån olika kriterier. För att elevernas möjligheter
till lärande ytterligare ska nyanseras är det rimligt att också beakta på vilket sätt boken
presenterar uppgifterna. Tillsammans med en analys av elevers arbete med läroboken kan
denna data ytterligare bidra värdefullt till diskussionen. I arbetet med urval av läromedel för
studien ingående i denna avhandling har jag uppmärksammat att uppgifter grupperas i
läromedlen såväl utifrån svårighetsnivå, som en specifik förmåga och det arbetssätt som
önskas. Till exempel finns det i flera av de analyserade böckerna grupper av uppgifter av mer
undersökande karaktär, under rubriker som “Activity”, “Reflection”, “Investigate”. Under
rubriker som “Discuss”, “Reflection”, “Discuss the concept”, “To think about” och “Write in
your journal” återfinns uppgifter där ett mer reflekterande förhållningssätt krävs. Även inom
den grupp uppgifter som direkt följer på en av bokens genomgångar finns i flera fall en
uppdelning. I vissa fall är denna uppdelning uttalat utifrån svårighetsnivå, medan det i andra
fall baseras på den förmåga som enligt läroboksförfattarna eleverna ska få möjlighet att öva
på. Exempel på rubriker för den grupp som eleverna först stöter på i böckerna är “Basic”,
“Fluency”, “Skill practice” “Practice” och “General”. Bland de senare grupperna märks
“Understanding”, “Reasoning”, “Apply”, “Extend”, “Maths at work”, “Brainworks”,
“Challenge” och “Problem solving”.
Ett samband mellan läroboken, sedd som en potentiell bild av den genomförda läroplanen,
och den uppnådda läroplanen i form av det eleverna får ut av undervisningen har påvisats i
flera kontexter (Schmidt, 2012). Henningsen och Stein (1997) beskriver det som att en uppgift
kan ses ur flera perspektiv, där den initialt betraktas objektivt så som den gestaltats i till
exempel en lärobok. Nästa perspektiv i deras modell är sättet på vilket en lärare presenterar
uppgiften i klassrummet, följt av hur eleverna implementerar uppgifter och slutligen vilket
utfall i form av lärande det leder till. Samtliga dessa perspektiv bör beaktas för att skapa en så
komplett bild som möjligt av hur en lärobok och dess uppgifter påverkar elevernas lärande. I
linje med detta föreslår Shield och Dole (2013) att betrakta en läromedelsanalys som en
förstanivåanalys som kan ge en av flera bilder av de möjligheter till lärande som erbjuds i
skolan. En läromedelsanalys knyts därför med fördel till studier som till exempel visar på hur
boken används av lärare och elever.
Speciellt specifika förmågor, så som i detta fall förmågan att resonera matematiskt är möjliga
att urskilja och tydliggöra för en diskussion kring möjligheterna till lärande enligt Schmidt et
al. (2001). Tillsammans med en större förståelse för sättet som elever och lärare använder
läroboken kan en tydligare bild av lärobokens betydelse för de sociomatematiska normerna
växa fram.
Metodöverväganden
27
4 Metodöverväganden
I följande avsnitt presenteras något av bakgrunden till de metoder som använts i de tre
studierna. Två separata analysverktyg har använts, ett för analysen av resonemang och ett för
analysen av elevers uppfattningar. Analysen av resonemang innefattar såväl uppgifterna i
läromedel, som elevresonemang. Samtliga elever samt lärare i de deltagande klassrummen
och de elever som ingick i urvalet för studie 3 blev innan datainsamlingen tillfrågade, och
accepterade sitt deltagande, genom att skriftligt underteckna ett medgivandeavtal. Lärarna,
samt eleverna, som samtliga var över 15 år, såväl som elevernas målsmän informerades om
att ljud- och bildupptagning skulle ske, samt att enstaka elevers anteckningar skulle kopieras.
Elever och målsmän informerades också om att ingen insamlad data skulle användas annat än
i forskningssammanhang. Vidare är i alla sammanhang där eleverna refereras till namnen
fingerade. De etiska överväganden som gjorts har skett utifrån Vetenskapsrådet (2011).
Genomgående för de tre studierna och för avhandlingen som helhet finns en strävan efter
största möjliga trovärdighet. I samtliga för avhandlingen ingående studier finns tre författare.
Diskussionen kring elevers möjligheter att lära sig resonera matematiskt stärks av de olika
metoder som använts i de tre studierna, så som analysen av läromedel, videofilmning såväl i
som utanför klassrummet, elevintervjuer och insamling av elevlösningar till uppgifter.
Insamlingen av data har dessutom skett i fler än en skola och vid fler än ett tillfälle. I
möjligaste mån har också den kontext i vilken datainsamlingen skett beskrivits i respektive
studie.
4.1 Kategorisering av resonemang i läromedelsuppgifter
Läromedelsanalysen har genomförts som en förstanivåanalys där det som står i läroboken
analyseras, snarare än sättet som uppgifterna presenteras i klassrummet. Detta motsvarar det
första perspektivet i Henningsen och Steins (1997) modell som tidigare refererats till. För att
analysera vilka möjligheter till resonemang som erbjuds av en lärobok undersöks om en
uppgift kan lösas med hjälp av textvägledning från boken, eller om en elev för att lösa
uppgiften måste utföra ett kreativt matematiskt resonemang enligt resonemangsramverket
som tidigare presenterats (Lithner, 2008). Ramverket har tidigare använts för liknande
analyser av uppgifter i andra kontexter (Boesen, Lithner & Palm, 2010; Lithner, 2003; Palm
et al., 2011). Stein, Remillard och Smith (2007) poängterar att genom att se skillnader mellan
olika uppgifter kan också olika möjligheter till lärande urskiljas. För varje uppgift har bokens
teorigenomgångar, lösta exempel, fakta och även tidigare uppgifter genomsökts för att finna
stöd för en lösningsmetod som kan appliceras på uppgiften eller en del av uppgiften. Om ett
sådant stöd finns tidigare i boken, i samma avsnitt som uppgiften, eller med en karaktäristik
som liknar den i uppgiften (Palm et al., 2011) och gör det möjligt för eleven att koppla ihop
de två, betraktas det också som tillgängligt för eleverna. Detta innebär i sin tur att en elev kan
lösa uppgiften i fråga utan att föra ett matematiskt resonemang. För varje uppgift noterades
också vilken kategorisering som gjorts av läromedelsförfattarna avseende till exempel
svårighetsnivå eller arbetssätt enligt tidigare presentation i bakgrunden. Jag är ödmjuk inför
28
Metodöverväganden
det självklara i att en läromedelsanalys också bör ses i ljuset av hur läromedlet används (Rezat
& Strässer, 2012). Läroboken är ett verktyg som används av lärare och elever i ett samspel i
klassrummet. I en verklig situation kan en uppgift som en viss elev löser med hjälp av ett
imitativt resonemang, kräva ett kreativt resonemang av en annan elev. Detta beror till exempel
på de förkunskaper som eleverna har då de läser och tolkar lärobokens presentationer.
Men en läromedelsanalys kan ses som en av flera bilder av de möjligheter till lärande som
erbjuds eleverna. När man betraktar läromedel som en objektiv faktor kan läromedlets
potential att vara såväl ett stöds som en begränsning i lärandet analyseras (Herbel-Eisenmann,
2007). Studien kan bidra med en del av underlaget för en diskussion kring vilka möjligheter
till lärande som erbjuds. Ett led i detta är att skapa en ökad förståelse för vilka budskap som
läromedel i sig bär med sig. För att bättre förstå lärobokens roll i ett didaktiskt system krävs
att såväl lärobokens utformning som hur den används av elever och lärare (HerbelEisenmann, 2007) undersöks. Att kategorisera läromedelsuppgifter gör det också praktiskt
möjligt att jämföra flera olika länder på ett relativt omfattande sätt. I studien ingår en
kategorisering av knappt 6000 läroboksuppgifter från 12 olika länder. Trots en avsaknad av,
till exempel en diskussion kring hur läromedel används i respektive land, och ett urval av
länder, där endast engelsk- och svenskspråkiga läromedel finns representerade, bedöms att
generella slutsatser kring läromedelsuppgifters krav kan dras. För att diskutera elevers
möjligheter till lärande betraktas alltså i studie 1 läroboken som en spegling av
undervisningen som bedrivs. Därför baserades också urvalet på de mest använda läromedlen i
respektive land. Törnroos (2005) har påvisat en korrelation mellan lärobokens utformning och
elevers lärande i en finsk kontext, beaktandes specifika matematiska områden och också
under en längre tidsperiod än ett läsår. I urvalsprocessen tillfrågades erfarna
matematikdidaktiska forskare, lärarutbildare, lärare och skolledare om vilka böcker de i sina
respektive länder ansåg vara just mest använda. Dessa fick ingen kostnadsersättning för sitt
deltagande i studien. Kontaker i 13 länder användes, och tolv av dessa länder ingår också i
studien. Avseende England erhölls inget svar. Urvalet skedde utifrån uppfattningen att
samtliga böcker skulle vara möjliga att analysera utan översättningar, med potentiella risker
för feltolkningar. Således bestod underlaget av länder där undervisningen på gymnasienivå
bedrivs i en större omfattning på antingen engelska eller svenska. På detta sätt var
kategoriseringen möjlig att genomföra med en hög reliabilitet, där även initialt, alla uppgifter
medkodades av medförfattare till studien. Detta i sin tur stärkte metoden så att en
samstämmighet till 98 % nåddes i kategoriseringen. Till min vetskap har inga
matematikläromedelsstudier de senaste 30 åren, förutom de baserade på TIMSS-studierna,
inkluderat ett urval av fler än tre länder. Detta i sin tur innebär att urvalskriterierna för studien
varit explorativa och baserats på en spridning i termer av geografisk position, vilket lett till att
länder i fem världsdelar inkluderats i studien. Vidare skedde ett urval inom respektive bok
eller bokserie utifrån det matematiska innehållet. För att möjliggöra en jämförelse av
möjligheterna till lärande bör de matematiska områden som behandlas i de olika böckerna
Metodöverväganden
29
vara likvärdigt (Schmidt et al., 2001). Två huvudområden centrala för
matematikundervisningen på gymnasienivån valdes ut, algebra och geometri. Inom dessa två
områden specificerades urvalet ytterligare till ”ekvationer och formler” respektive ”omkrets,
area och volym”. Detta urval baserade sig på den indelning av det matematiska innehållet som
gjorts i TIMSS ramverk (Mullis et al., 2008). Detta innebar också att läromedlen som
slutligen analyserades riktade sig till elever i något skiftande åldrar, mellan 12 och 17 år, men
där merparten av böcker var ämnade för elever i åldern 15-16 år och som gick sitt tionde år i
skolan. Ramverket möjliggör en analys av ytterligare läromedel för en utvidgning av
jämförelsen. Resultaten, tillsammans med resultat kring hur läroboken används och andra
klassrumsnära faktorer kan även bidra till en diskussion kring elevers möjligheter att lära sig
resonera matematiskt så som önskat.
Urvalet av uppgifter för studien 2 skedde naturligt utifrån vad eleverna jobbade med under
just de lektionstillfällena som datainsamlingen ägde rum. Dessa uppgifter kategoriserades
sedan i enlighet med metoden som användes för studie 1. Svårighetsnivån hos en uppgift har
visat sig påverka elever som antingen kan bli frustrerade eller uttråkade (Kloosterman, 2002).
För genomförandet av studie 3 sökte vi aktivt efter uppgifter med en ökande svårighetsnivå,
för att eleverna skulle erbjudas en utmaning på lämplig nivå. Uppgifter från tidigare nationella
prov, och som bedömdes svara mot innehåll och krav för den aktuella kursen (matematik 1)
kategoriserades för ett urval baserat på krav på ett kreativt matematiskt resonemang. Urvalet
av uppgifter för studie 3 skedde utifrån en kategorisering med en metod liknande den för
studie 1, med den skillnaden att relationen mellan lärobok och elev beaktades ur en något
annan synvinkel. Uppgifterna som eleverna i studie 3 löste tillhandahölls på lösblad, skiljt
från boken. Detta distanserar alltså uppgifterna från specifika avsnitt i boken. Uppgifterna
behandlade dessutom olika matematiska områden, som eleverna inte nödvändigtvis hade
arbetat med nyligen. Det ställdes samma krav på uppgifterna i relation till den av eleverna
använda läroboken som i Boesen et al. (2010), för att de skulle bedömas kräva ett kreativt
resonemang för att lösas och därmed vara icke-rutinuppgifter. Detta innebar att en
lösningsmetod för en uppgift inte skulle förekomma fler än tre gånger i boken.
4.2 Kategorisering av elevresonemang
Resonemangsramverket (Lithner, 2008), som tidigare presenterats, och som använts för att
undersöka elevers resonemang har tidigare använts i liknande studier i andra kontexter
(Boesen et al., 2010; Lithner, 2004; Sumpter, 2013). Då elevers faktiska resonemang
analyseras underlättar en strukturering av arbetsgången, resonemangssekvensen, för att
urskilja de argument som eleven använder explicit eller implicit i sin uppgiftslösning. Denna
struktur möjliggör också att en uppgift kan delas in i fler än en resonemangssekvens
30
Metodöverväganden
För att kunna kategorisera olika typer av resonemang särskiljs fyra moment i en
resonemangssekvens.
1. Eleven stöter på en (del)uppgift där det inte är uppenbart hur han ska gå vidare
2. Ett val av strategi görs, där ”strategi” kan innebära allt från delalgoritmer till mer
generella angreppssätt, och ”val” betraktas i en vidare mening som exempelvis
minnas, återkalla, skapa, upptäcka, gissa osv. Ett strategival kan stöttas av predikativa
argument som svarar på frågan varför just denna strategi kommer att lösa uppgiften.
3. Strategin som valts, genomförs. Genomförandet kan slutligen stöttas av verifierande
argument som svarar på frågan varför den valda strategin löste uppgiften.
4. En slutsats nås.
I och med att uppgiftslösningen och även resonemanget struktureras på detta sätt möjliggör
det att elevers argument identifieras och används för att kategorisera resonemangets karaktär.
Elevernas resonemang analyserads på individnivå snarare än parnivå då det inom paren inte
sällan var uppenbart att typen av resonemang var olika. De enskilda elevernas resonemang var
oftast möjliga att urskilja. I några fall saknades erforderlig data för en tillförlitlig
kategorisering, medan dialogen i ett fåtal fall medförde att de två elevernas resonemang blev
alltför nästlade för att särskiljas.
Metodvalet för den andra studien, då elevers resonemang skulle analyseras var att göra detta i
klassrummet, under lektionstid, för att göra så få förändringar av elevernas naturliga
undervisningsmiljö som möjligt och bibehålla dessa faktorer som yttre ramar. Två elevpar
eller grupper valdes ut under lektionstid, efter några minuters arbete med läroboksuppgifter.
Urvalet tog hänsyn till graden av matematisk aktivitet och dialog för att öka möjligheten till
värdefull data. Inga andra aspekter såsom till exempel genus eller prestationer/betyg vägdes in
urvalet, och därför kan inte heller några slutsatser kring dessa aspekter dras. Jämfört med
exempelvis så kallade ”think aloud protocols”, där eleverna ombeds att högt delge sina tankar
vid uppgiftslösning, medför den valda metoden även att data kan samlas in under vanliga
lektionsförhållanden. Dock innebär det att elever som jobbar enskilt inte finns representerade
i data. Schoenfeld (1985) bedömer det ändå som en metod med god giltighet, då eleverna vid
pararbete med större sannolikhet visar upp då de inte vet hur de ska komma vidare, och
resonerar kring den uppstådda situationen, och även mer tydligt visar på vilka grunder de
gjort sina val i uppgiftslösningsprocessen. En nackdel som Schoenfeld (1985) presenterar är
att en elev ensidigt kan dominera en grupp eller par. Till viss del går det att komma till rätta
med detta då varje enskild elevs resonemang analyseras, snarare än gruppens.
Elevernas uppgiftslösande filmades med ljudupptagning och detta material transkriberades för
att tillsammans med elevernas skriftliga lösningar till uppgifterna samt de använda
läromedlen utgöra data. Tidigare insamlingar av klassrumsdata med hjälp av videofilmande
har betonat fördelar som större detaljrikedom i en analys i och med att situationerna kan
Metodöverväganden
31
betraktas flera gånger och med olika syfte, samt att det möjliggör för fler personer att aktivt
delta i analysprocessen (Hiebert et al., 2003). Datainsamlingen skedde i två kommuner, på
naturvetenskaps-,
teknik-,
bygg
och
anläggningsoch
handels
och
administrationsprogrammet, samt det estetiska programmet. I samtliga fall gick eleverna det
första året på gymnasiet och läste någon av de två första kurserna i matematik. Två elevpar
eller grupper per lektion filmades och i varje klass skedde datainsamling vid 2-3 tillfällen.
Detta renderade 26 filmer à 30-45 minuter. För analys valdes i samtliga fall det första
lektionstillfället och 5 elevpars och en grupp om 3 elevers uppgiftslösande analyserades.
Eleverna från handelsprogrammet analyserades inte på grund av att de inte i erforderlig
utsträckning ägnade lektionstiden åt att lösa matematikuppgifter eller löste uppgifter tyst.
Innan analysen genomfördes kalibrerades, för ökad reliabilitet, analysverktyget av samtliga
författare.
Urvalet av elever för den tredje studien skedde efter en dialog med två undervisande lärare i
tre klasser. Elevpar efterfrågades som var vana att arbeta tillsammans och som förväntades
precis klara av kursen, som i detta fall var Matematik 1. Inga andra aspekter såsom till
exempel genus eller prestationer/betyg vägdes in urvalet, och därför kan inte heller några
slutsatser kring dessa aspekter dras. Totalt fyra stycken elevpar, två från vardera
byggprogrammet respektive samhällsprogrammet i två kommuner valdes ut. Eleverna ombads
att i par lösa fyra uppgifter i ett avskilt rum med tillgång till såväl lärobok som miniräknare.
De slutsatser som således dras av studiens resultat är begränsade till dessa förutsättningar, och
hade möjligen sett delvis annorlunda ut om studien till exempel genomförts i ett klassrum.
Eleverna ombads att kommunicera muntligt med varandra kring sina tankar och lösningar
kring uppgifterna. Inom en veckas tid genomfördes även intervjuer enskilt med samtliga åtta
elever, där filmklipp från uppgiftslösningen visades för att återkalla minnet från tidigare, för
att ytterligare förstärka analysen. Metoden med filmning av uppgiftslösning och efterföljande
intervjuer har använts framgångsrikt i tidigare studier (Bergqvist, Lithner & Sumpter, 2008;
Boesen et al, 2010). Såväl elevparens uppgiftslösande som de enskilda intervjuerna filmades
med ljudupptagning och detta material transkriberades för att tillsammans med elevernas
skriftliga lösningar till uppgifterna utgöra data. Totalt ingick 5 timmar filmat material i data. I
den slutliga analysen av data valdes de tre elever ut som bedömdes gett mest data och som
också bedömdes visa upp olika typer av uppfattningar och något olika angreppssätt i
uppgiftslösningen. I vår process med data har analysarbetet hela tiden gjorts av fler än en av
författarna, vilket skapat en större reliabilitet än om en enskild person gjort arbetet.
4.3 Att studera elevers uppfattningar
Jag är medveten om att en analys av elevers uppfattningar om matematik och matematiska
resonemang innebär att tolkningar görs, vilket också bekräftas av Furinghetti och Morselli
(2009). Uppfattningarna i studien har tillskrivits egenskaper i form av namn eller teman.
Furinghetti och Morselli är ödmjuka inför att andra tolkningar kan göras, men att en analys
ändå kan presentera en, av flera bilder av hur uppfattningarna kan tolkas och relateras till
32
Metodöverväganden
elevers agerande. Snarare än att analysera uppfattningar har vi analyserat indikationer på
uppfattningar som finns i data. En indikation på en uppfattning definieras av Sumpter (2013)
som ett teoretiskt begrepp och del av en modell vars syfte är att beskriva ett specifikt
fenomen, i detta fall utsagorna från elever då de löser matematiska uppgifter. För att analysera
dessa indikationer har en tematisk analys genomförts. Den tematiska analysen har noggrant
inkluderat elevernas utsagor i form av muntliga uttalanden, gester och även skriftlig
kommunikation i form av uppgiftslösningar. Då indikationen inte var tydlig har den
utelämnats. Indikationerna på uppfattningar har sedan tolkats i den kontext de har sitt
ursprung, och utifrån ett deduktivt tillvägagångssätt relaterats till de tre teman på
uppfattningsindikationer som presenterats av Sumpter (2013), och som tidigare refererats till.
Då relationen mellan elevernas uppfattningar och resonemang skulle studeras skedde
insamlingen av data av naturliga skäl enligt beskrivningen i stycket ovan.
Uppfattningsindikationerna har dessutom kopplats till de resonemang som eleverna använt i
situationen. I vissa fall bestod denna koppling av en eller flera uppfattningsindikationer och
ett byte av resonemang. Analysen har i sin helhet genomförts gemensamt och i samförstånd
mellan två av författarna, vilket skapat en ökad reliabilitet. Initialt har även den tredje
författaren deltagit i analysen och stärkt stabiliteten av densamma ytterligare. En stärkt
reliabilitet avseende analysen av elevernas matematiska resonemang bedöms erhållas i och
med att analysverktyget är det samma som i den tidigare genomförda studie 2.
Om studierna
33
5 Om studierna
De tre studierna som ingår i avhandlingen har alla haft ett gemensamt syfte att studera
matematiska resonemang på gymnasiet. Detta sker genom tre olika perspektiv. Ett är en
analys av läromedel, ett är en undersökning av vilka typer av matematiska resonemang elever
använder i klassrummet, och i det tredje perspektivet innebär att elevers resonemang relateras
till de uppfattningar om matematiska resonemang och matematik de visar upp. I följande
avsnitt presenteras kortfattat de resultat som erhållits i respektive studie, samt något om de
slutsatser som dras i relation till dessa resultat.
5.1
Sammanfattning av studie 1: Reasoning requirements in school mathematics textbooks:
an analysis of books from 12 countries.
Den första studien är en internationell läromedelsanalys där vanligt förekommande läromedel
från tolv olika länder analyserats. Läromedel från Australien, Kanada, Finland, Irland, Indien,
Nepal, Skottland, Singapore, Sydafrika, Sverige, Tanzania och USA ingår i studien. Uppgifter
inom de två matematiska områdena algebra och geometri analyserades med avseende på vilka
krav på resonemang som de ställer på eleverna i kontexten av läroboken som en vägledare i
uppgiftslösandet. Mer specifikt har uppgifterna i läromedlen jämförts med bokens övriga
innehåll i en strävan att bedöma huruvida ett matematiskt resonemang krävs för att lösa
uppgiften eller inte. Samtliga böcker är hämtade från motsvarande gymnasieskolan, ”upper
secondary school” eller ”high school”, och är ämnade för elever i åldersspannet från 13 till 17
år. Total har knappt 6000 uppgifter kategoriserats, och trots att länderna representerar olika
nivåer av resultat i internationella kunskapsjämförelser (Mullis et al., 2012; OECD, 2014),
och geografiska positioner i fem olika världsdelar, visar resultaten att andelen uppgifter som
kräver ett kreativt matematiskt resonemang (lokalt eller globalt) är jämförbart i de olika
länderna. Andelen uppgifter som kräver ett globalt kreativt resonemang var i genomsnitt 8
respektive 12 procent för algebra och geometriavsnitten. Denna andel är avsevärt mindre i den
grupp av uppgifter eleverna först stöter på inom varje nytt avsnitt. Något som blir intressant
att beakta i den svenska kontexten där vi även sett att eleverna främst jobbar med dessa första,
enklare uppgifter. Detta innebär givetvis också att andelen uppgifter där eleverna får en
möjlighet att träna på att resonera matematiskt, snarare än att imitera minskar. Den relativa
homogenitet som syns i resultaten av den internationella läromedelsanalysen indikerar att om
urvalet är representativt för respektive land så är läroboken inte den enda faktorn som
påverkar resultaten i matematik. I ett klassrum där fokus läggs på de traditionella uppgifterna
och för en elev som främst jobbar på grundläggande nivå kan i vissa fall möjligheten att träna
resonemangsförmågan i det närmaste helt utebli.
5.2 Sammanfattning av studie 2: Students’ reasoning in mathematical textbook task-solving.
I den andra studien jämförs de resonemang som elever använder då de löser läroboksuppgifter
i reella undervisningssituationer med kategoriseringar av vilka krav uppgiften ställer avseende
resonemang. Elever videofilmades i sitt uppgiftslösande under lektionstid och deras
resonemang analyserades och kategoriserades i överensstämmelse med ramverket för
34
Om studierna
resonemang som presenterats tidigare. Elever som jobbade i parkonstellationer valdes ut för
att på så sätt få tillgång till deras tankeprocess indirekt via de resonemang som verbalt
uttrycktes. Undersökningen gjordes i den svenska gymnasieskolan och visar att eleverna till
mycket övervägande del jobbar med de enklare uppgifterna i boken och sällan stöter på
uppgifter som kräver ett kreativt matematiskt resonemang. Resonemanget som eleverna för
överensstämmer också i mycket hög grad med de krav som uppgiften ställer. 80 % av alla
analyserade uppgifter löstes framgångsrikt med imitativa resonemang. Vidare visar studien att
eleverna ofta vägleder varandra på så sätt att algoritmer presenteras för varandra i syfte att
lösa en uppgift snarare än för en djupare matematisk förståelse. I de fall då elever sökte stöd
av läraren i sitt uppgiftslösande ledde det till ett imitativt snarare än kreativt resonemang. Då
eleverna fick problem med att lösa en uppgift var huvudalternativet för den fortsatta processen
nästan uteslutande att fråga en kompis eller lärare om hjälp. Detta innebär i praktiken att en
potentiell möjlighet att få träna på ett kreativt resonemang försvinner. Eleverna använde sällan
lärobokens presentationer eller lösta exempel som ett stöd i sin uppgiftslösning. Däremot
användes facit, som återfinns längst bak i boken snarare än egna argument för en verifikation
av en metods giltighet. Utifrån dessa resultat kan slutsatsen dras att även i beaktande hur
läroboken används skapas få möjligheter till att lära sig resonera kreativt. Även
arbetsmetoderna avseende arbete i par och sättet på vilket lärare vägleder elever i
uppgiftslösningen diskuteras. I bägge fall krävs ett strukturerat och organiserat arbetssätt för
att förstärka elevernas möjligheter att använda kreativa matematiska resonemang i sin
uppgiftslösning. Dessutom skapar sättet som läroboken används av eleverna frågor kring
bokens utformning. Läromedelsförlagen bör fråga sig om facit snarare än bokens
genomgångar ska stå för den främsta vägledningen då eleverna jobbar med bokens uppgifter.
Sammanfattning av studie 3: Students’ mathematical reasoning and beliefs in nonroutine task solving.
I avhandlingens tredje studie har vi undersökt vilka uppfattningar om matematik några elever
har i relation till matematiska resonemang. Elevpar filmades då de jobbade med ickerutinuppgifter, i en avskild miljö. Uppgifterna bedömdes kräva ett kreativt matematiskt
resonemang för att lösas. Eleverna ombads att tala högt med varandra kring vad de gjorde och
varför. Samtliga elever intervjuades också för en möjlighet till klargöranden av data. Urvalet
av elever bestod av elever som förväntades precis klara kursen, då elever som får betyget F
eller E utgör mer än hälften av alla elever som läser denna kurs. Tre elever analyserades
djupare, och de använda resonemangen kopplades till indikationer på elevernas uppfattningar
om matematik. De tre eleverna visade upp olika relationer mellan deras respektive
uppfattningar och de resonemang som de använde. Såväl imitativa som kreativa matematiska
resonemang användes. Bilden av de uppfattningar och de resonemang som elever använder
har breddats jämfört med tidigare resultat (Sumpter, 2013). Att eleverna jobbade med ickerutinuppgifter synes ha en påverkan på deras resonemang. En av eleverna förstärker bilden av
osäkerhet, låg förväntningar på sig själv, en negativ inre motivation och förväntningar på att
kunna använda sig av algoritmer för att lösa uppgifterna. Denna elev använder sig också av
5.3
Om studierna
35
imitativa resonemang för att lösa uppgifterna med ett svagt resultat. Eleven överger vid flera
tillfällen ett korrekt kreativt resonemang. Resultaten visar också att två elever uppvisar delvis
annorlunda uppfattningar och även i större utsträckning använder kreativa matematiska
resonemang, speciellt då de känner sig ha en komplett lösning inom räckhåll. En av dessa
elever genomför korrekta kreativa matematiska resonemang medan den andra inte i något fall
lyckas lösa uppgiften korrekt. De uppfattningar som indikerades av dessa två elever var mer
blandade än hos den första eleven, då de visade såväl negativ som positiv inre motivation och
såväl säkerhet som osäkerhet. Eleverna hade dessutom förväntningar på uppgifternas
svårighetsnivå och att lösningen skulle harmoniera med denna nivå. Dessutom indikerades en
uppfattning om att lösningsredovisningar enbart syftade till att tillfredsställa läraren och inte
som ett verktyg i lösningsprocessen. Vad skillnaderna jämfört med tidigare forskning
(Sumpter, 2013) kan bero på diskuteras. En hypotes är att elever med låg procedurell förmåga
tvingas försöka lösa uppgifter med kreativa matematiska resonemang, och att urvalet av
elever för denna studie till viss del uppfyllde detta kriterium. Situationen, där inget facit eller
lärare heller finns till hands kan möjligen hindra eleverna från andra metoder. Anledningen
till att eleverna använder kreativa resonemang kan givetvis också bero på att deras
undervisning stimulerat till detta. Trots att uppgifterna, som tidigare noterats, verkar påverka
elevernas resonemang, används alltså imitativa resonemang trots att något annat krävs, vilket
indikerar att det krävs mer än arbete med icke-rutinuppgifter för att stötta eleverna i att skaffa
sig en bred matematisk kompetens och i att använda kreativa matematiska resonemang.
36
Diskussion
6 Diskussion
Ett huvudsyfte med studierna i denna avhandling har varit att skapa en större förståelse för
vad som sker i skolan idag med avseende på matematiska resonemang, och hur elevers
möjligheter att lära sig resonera matematiskt påverkas av faktorer såsom läromedel och deras
egna uppfattningar. I diskussionen fungerar resultaten som en bas för det som sägs, med stöd
av de i kappan tidigare presenterade teorierna kring möjligheter till lärande, matematisk
kunskap, matematiska resonemang, sociomatematiska normer och elevers uppfattningar om
matematik och matematiska resonemang. Dessutom knyts diskussionen till kompletterande,
tidigare forskningsresultat. Forskning har tydligt visat på vikten av en syn på matematiken
som mer än mekaniskt läroboksräknande. Elever måste få möjligheter att träna på sin förmåga
att resonera matematiskt och att lösa matematiska problem (Hiebert, 2003). Bilden av
undervisningen som Dewey (1929) målade upp och som presenterades i introduktionen, kan
ännu idag användas. Stort fokus läggs vid att producera svar på uppgifter, snarare än att skaffa
sig kunskap. Resultaten från studierna i denna avhandling visar inte på att möjligheterna till
lärande, med avseende på en bredare matematisk kompetens erbjuds i skolan idag i en
erforderlig omfattning. Två av de frågor jag i den fortsatta texten önskar diskutera är varför
det till synes finns en snedvridning i undervisningen, och också möjliga sätt att påverka
undervisningen i en positiv riktning. Brousseau (1997) säger att eleverna, såväl som lärarna
måste anpassa sig till en miljö i vilken lärandet sker, och på ett plan håller jag med om detta.
Lärare och elever måste tillsammans acceptera de förutsättningar under vilka de jobbar, men
kan samtidigt påverka dessa förutsättningar. Hiebert och Wearne (1993) poängterar att två
avgörande faktorer för att koppla samman ut- och inlärning är de rådande klassrumsnormerna
och de uppgifter som används i undervisningen. I diskussionen av resultaten har jag valt att
speciellt beakta klassrumsarbetet och mer specifikt relationen elever emellan och mellan
lärare och elever för att skapa sociomatematiska normer, samt läroböckerna och dess
uppgifter som tongivande i skapandet av sociomatematiska normer.
6.1 Klassrumsarbetet
Resultaten av studie 2 visar att när elever jobbar med uppgifter i läroboken löser de främst de
enklare uppgifterna i boken, som sällan innehåller krav på mer än imitativa resonemang.
Eleverna använder inte heller mer än vid enstaka tillfällen kreativa matematiska resonemang.
Inte heller i provsituationer använder sig gymnasieelever av kreativa matematiska
resonemang i större utsträckning, utan använder sig istället av imitativa resonemang genom
att egenskaper i uppgiften kopplas till tidigare inlärda algoritmer (Boesen et al., 2010). Då
uppgiften tydligt skiljde sig från det eleverna tidigare mött i läroboken ökade sannolikheten
att de använde ett kreativt matematiskt resonemang (Boesen et al., 2010). Elevernas arbetssätt
har tidigare beskrivits av Rezat & Strässer (2012) som svarsfokuserat. Elevers målsättning då
de arbetar med läroboksuppgifter är att lösa uppgiften snarare än att lära sig matematik.
Liknande resultat har även presenterats avseende universitetsstudenter (Lithner, 2003). Sfard
och Linchevski (1994) har i sin forskning sett elever som söker tryggare metoder baserade på
algoritmer, istället för att utifrån situationen skapa den mest rationella lösningen. Detta
Diskussion
37
avspeglar sig även i att eleverna i de i avhandlingen ingående studierna använder sig av
imitativa resonemang utan framgång snarare än att lita på ett kreativt matematiskt
resonemang, även då så bedömts krävas. Enligt Engelbrecht, Bergsten och Kågesten (2009)
kan detta bero på att elever är vana med att kunna använda algoritmer och också tror sig ha en
förväntan på sig att presentera en algoritmisk lösning, även om denna lösning visar sig mer
omständig än en lösning baserad på ett kreativt matematiskt resonemang.
De indikationer på uppfattningar kring matematik som elever visar upp i samband med
lösning av uppgifter som kräver ett kreativt resonemang visar på likheter med de
uppfattningar som tidigare presenterats i relation till elevers arbete med rutinuppgifter
(Sumpter, 2013). Trots olikheter i kontext går en viss likstämmighet att urskilja i resultaten
från flera tidigare studier på elevers uppfattningar kring problemlösning. Elever uppvisar en
syn på matematiken som algoritmisk med stort fokus på att göra snarare än att förstå och med
fokus på resultat snarare än processer och på begränsad reflektion och snabba hanteringar
(McLeod, 1992; Schoenfeld, 1992). I studie 3 indikerades en förväntning på uppgifterna att
kunna lösas med en välbekant algoritm. Denna uppfattning indikerades i samband med
osäkerhet och till viss del en låg förväntning på sin egen förmåga, samt en negativ motivation.
Detta leder också till att sättet som eleverna angriper uppgifter på, påverkas och att
möjligheterna till att lära sig, till exempel att resonera på ett kreativt matematiskt sätt inte
utnyttjas. Eleverna använde kreativa matematiska resonemang till viss del, men även imitativa
resonemang. Fler kreativa matematiska resonemang användes för att slutföra uppgifterna då
eleven kände sig ha en komplett lösning inom räckhåll. En förväntan på uppgifters
svårighetsnivå indikerades också, och kan möjligen kopplas till elevernas resonemang på
uppgiften. Kloosterman (2002) uttrycker att elever oftast har en tydlig bild av en uppgifts
svårighetsnivå och att eleverna angriper uppgiften utifrån denna förväntan. En elev vars
förväntan på en uppgift är att den ska vara enkel skulle till exempel, i kombination med en låg
förväntan på sig själv kunna anse ett kreativt matematiskt resonemang som alltför
komplicerat. Då en elev möter en uppgift som däremot har en förväntan på sig att vara svår,
kan frustration skapas hos eleven vilket skulle kunna leda till att en trygghet söks genom
användandet av välbekanta algoritmer. Ett liknande, algoritmiskt beteende kan också
förstärkas av den uppfattning som av tidigare forskning påvisats hos elev, att uppgifter ska
vara lösbara inom fem minuter (Schoenfeld, 1992). Resultaten från studie 3 troliggör att det
krävs något mer än icke-rutinuppgifter för att bereda elever möjligheter att träna på kreativa
matematiska resonemang. De uppfattningar elever har verkar inte i tillräcklig utsträckning
bidra till att kreativa matematiska resonemang används. Liknande iakttagelser har gjorts av
Ball och Bass (2003) som drar slutsatsen att en uppgifts utformning kan ha betydelse för
elevens resonemang, men att utan en stöttande sociomatematisk norm riskerar möjligheterna
att lära sig annat än imitativa resonemang att utebli. Dock kan inte en samstämmig bild målas
upp av vilka behov elever har, utan behoven, såväl som uppfattningarna elever har om
matematik och matematiska resonemang är högst individuella. Schoenfeld (1985) diskuterar
38
Diskussion
vad som krävs för att bli en god problemlösare och inkluderar bland annat nödvändiga
förkunskaper, problemlösningsstrategier och uppfattningar om matematik som inkluderar
annat än imitativa resonemang. Att elevers uppfattningar är individuella, kompletterar det
som påvisats om hur kontext påverkar uppfattningarna (Fransisco, 2013).
Såväl sättet som elever jobbar tillsammans som de metoder som lärare använder för att hjälpa
elever framåt i uppgiftslösningen verkar kunna hämma användningen av kreativa matematiska
resonemang. Elever guidar ofta varandra genom lösningar med syfte att skapa en redovisning
med ett svar för läraren eller för jämförelse med facit i boken. Sällan stimuleras ett kreativt
matematiskt resonemang i dessa samarbeten. Inte heller då lärare guidar elever vid
uppgiftslösning har det visat sig att kreativa matematiska resonemang stimuleras. Det har
även visat sig att lärare på sina prov inte ställer krav på kreativa matematiska resonemang i en
större utsträckning (Palm et al., 2011). Lampert (1990) går så långt som att säga att lärare
använder boken för att tillgodose behovet av regler och algoritmer så att eleverna i
klassrummet kan komma fram till korrekta svar på angivna matematiska uppgifter. Det skapas
alltför lite utrymme för matematiska resonemang i undervisningen, och detta beror delvis på
att undervisning i procedurer fortfarande tar stort utrymme (Boesen et al., 2014; Hiebert,
2003). Ett av hindren för en sådan utveckling av undervisningen kan vara att lärare inte har
den tid som krävs för att sätta sig in i, och djupare förstå betydelsen av förmågorna som de
kommuniceras av ämnesplanen (Boesen et al., 2014). Att utgå från ämnesplanen i sin
undervisning blir då en subjektiv handling. Det har visat sig att lärarna anser sig betona även
förmågor som resonemang och problemlösning i undervisningen, trots att de i själva verket
inte gör det (Boesen et al., 2014). Lärares presentationer bygger av naturliga skäl oftast på
uppgifter som är av rutinkaraktär för lärare, som i och med detta inte heller presenterar ett
arbetssätt där reflektion och argumentation kring metodval ingår (Berqqvist & Lithner, 2012).
Att lärare säger en sak och delvis driver en annan undervisning exemplifierades tidigare i
avsnitt 3.5.
Yackel och Hanna (2003) uttrycker behovet av sociomatematiska normer som mer tydligt
inbegripa en bredare syn på matematiken, där inte procedurer och imitativa resonemang utgör
det centrala. En utveckling av de sociomatematiska normerna och de uppfattningar som
uppvisas i klassrummet kan påverkas av arbetssätten som används och de ageranden som
värdesätts. Skemp (1976) betonar att de aktiviteter som matematikutbildningen erbjuder
tydligt ska leda mot ett lärandemål. Distinktionen mellan att kunna och att göra behöver alltså
suddas ut (Hiebert et al., 1996). Möjligheterna till lärande är det som ska styra
undervisningens utformning. Dewey (1929) lyfte fram en metod för att just integrera
aktiviteter med möjligheter till lärande genom att introducera granskande undersökning
(reflective inquiry), vilket innebär att identifierade problem driver undervisningen framåt med
hjälp av elevengagemang där slutmålet är någon form av slutsats angående problemet.
Utforskandet sker med lärande som mål snarare än att skapa en produkt i form av en lösning
Diskussion
39
(Hiebert et al., 1996). Arbetet bör således koncentreras på att stötta eleverna i att bygga upp
en konceptuell förståelse, ett slags kunskapsnät eller en mental karta, snarare än att uppmuntra
dem till att bli duktiga på att utföra rutinprocedurer (Hiebert & Carpenter, 1992). Kunskap
skapas av eleven och inte av läraren, även om den senare sannolikt och förhoppningsvis har
en viktig roll i att stötta eleven i utvecklingen. Arbetssättet kan stimulera till att
ändamålsenliga algoritmer skapas av eleverna. Så istället för att använda algoritmer till att
lösa matematiska problem, kan algoritmen bli ett av delmålen för eleven. I vissa fall krävs att
algoritmer och fakta i större utsträckning automatiseras (Gravemeijer & van Galen, 2003), så
som till exempel multiplikationstabellen eller ”tio-kamrater”. I andra fall är det däremot
rimligt att undervisningen inte nödvändigtvis strävar mot en formell algoritm, utan snarare en
användbar, men mindre formell algoritm (Gravemeijer & van Galen, 2003). Undervisningen
har således såväl konceptuella som procedurella inslag. Cobb et al. (1993) lyfter fram
granskande undersökning som ett gott exempel på undervisning som hjälper till att forma
normer där möjligheter till lärande av mer än utantill-kunskap och imitation utvecklas.
Genom att erbjuda elever utmaningar, snarare än uppgifter som testar deras nuvarande
kunskaper, och genom att stötta dem i arbetet med dessa kan en lärare visa på alternativa
normer för undervisningens utformning. Explicita insatser från just läraren i klassrummet för
att utveckla de sociomatematiska normerna i en önskvärd riktning är avgörande (Yackel &
Hanna, 2003). Hiebert et al. (1996) argumenterar för att förståelse skapas genom att
undersökande arbetsmetoder används. Detta synliggörs i den sociala interaktionen som pågår i
ett klassrum där förståelsen leder till ett utvecklat samtal där kunskapen delas och växer fram
i ett samspel mellan eleverna och läraren. De aktiviteter som pågår i klassrummet medför att
tankar och idéer utbyts, men innebär dessutom att strategier för att lösa matematiska problem
formuleras och att eleverna kan bygga upp ett större och mer stabilt kunskapsnät samt att
eleverna bildar sig nya uppfattningar om vad matematik är (Hiebert et al., 1996). Enligt
Dweck (2007) finns det elever som anser att intelligens inte alls kan byggas upp, utan
antingen finns eller inte, och att detta leder till att eleverna håller uppe skenet genom att lösa
enklare rutinuppgifter utan utmaningar och utan att jobba för en djupare förståelse. Det blir då
viktigt att belysa vikten av en helhetssyn på den matematiska kunskapen snarare än ett korrekt
svar på en uppgift.
Hiebert et al. (1996) föreslår ett antal punkter att beakta då undervisningen byggs upp. Den
första punkten innebär att eleverna bör få möjlighet att utforska matematiken med hjälp av
problem, snarare än att en lärare visar på lösningen till ett problem. Den andra handlar om att
eleverna ska få möjlighet att göra problemen till sina egna, för att på så sätt också kunna knyta
dem till sina förkunskaper och sitt unika kunskapsnät för att på bästa sätt komplettera nätet
med den bonuseffekt problemlösning sagt erbjuda i form av kunskap. Detta innebär
nödvändigtvis inte att det alltid är eleverna som ska formulera problemen, utan denna process
kan initieras av såväl lärare som elever. Slutligen bör undervisningen syfta till att utveckla
såväl den kognitiva kunskapen som elevernas uppfattningar om matematik. En undervisning
40
Diskussion
baserad på öppna uppgifter med möjligheter till egen reflektion beskrivs av Boaler (1998)
som framgångsrik. Boaler (1998) visar på skillnaden mellan två undervisningsmodeller och
utfallet av dessa. Hon beskriver en situation där skolan med en traditionell, läroboksbaserad
undervisning fostrade elever som ansåg att matematiken till största delen handlar om att
komma ihåg. Eleverna jobbade mycket enskilt och i sin egen takt utifrån lärobokens
beskrivningar av metoder och med individuellt stöd av läraren. Dessa elever presterade
mindre bra med avseende på de nationella GCSE (General Certificate of Secondary
Education)-prov som de allra flesta 16-åringar genomför i Storbritannien, och eleverna
uttryckte en frustration över att inte kunna applicera sina algoritmer i de till synes nya
situationer som proven krävde. På den andra skolan å andra sidan fick eleverna möjlighet att
jobba med större, öppna uppgifter eller projekt, där eleverna uppmuntrades att resonera sig
fram till egna lösningar och reflektera över sina metoder. På detta sätt mötte eleverna ett
behov av matematiken och använde då läraren som en resurs i sitt arbete med projektet.
Eleverna på denna skola ansåg att matematik handlade om att kunna vara flexibel och
använda sig av olika metoder beroende på situationen och på att tänka och reflektera. Just
detta ansåg de också vara grunden till de relativt sett goda provresultat de presterade. De
tyckte inte att de nya situationer som uppgifterna på provet presenterade innebar lika stora
problem som eleverna på den första skolan gjorde.
Tidigare forskning har betonat vikten av en aktiv insats av såväl elever som lärare för att öka
möjligheterna till lärande i interaktionen dem emellan (Webb & Mastergeorge, 2003). Till
exempel bör lärare erbjuda elever möjligheter att själva skapa en lösningsmetod till uppgiften,
och elever bör ha som mål att alltid förstå och utifrån detta också ställa precisa frågor. Hiebert
& Wearne (1993) har tidigare visat att det är fruktbart att stimulera eleverna till att finna
alternativa lösningar till de matematiska problem de ställs inför, snarare än att lösa flera olika
problem på ett likartat sätt. Denna stimulans kan komma från läraren i form av frågor som
syftar till att få eleverna att beskriva och förklara sina lösningar. Stein, Engle, Smith och
Hughes (2008) preciserar de krav som bör ställas på lärare för att optimera ett undersökande
arbetssätt. Lärarna måste vara aktiva parallellt med eleverna och observera vad eleverna
åstadkommer och förbereda en gemensam diskussion med utgångspunkt i de elevlösningar
som framkommit. Läraren bör också kunna hjälpa eleverna att med hjälp av olika lösningar
till en uppgift utöka eller förtäta deras kunskapsnät.
Det krävs även ett större engagemang och en bättre organisation kring på vilket sätt som
elever samarbetar (Fuchs et al., 1997). Då elever jobbar i grupp finns en risk att elever med
stöd av sina kompisar löser uppgiften utan större förståelse, men inte inser detta. Det är
således väsentligt att hjälpa eleverna att själva reflektera över sin förståelse (Webb &
Mastergeorge, 2003). Genom att betona vikten av ett gemensamt ansvar för lösningen till
gruppuppgifter förmedlar även läraren vilken syn på matematik han har. Cobb et al., (1993)
ger exempel på hur detta kan ske genom att läraren genom frågor inkluderar samtliga
Diskussion
41
gruppmedlemmar. Läraren i exemplet inleder också en metadiskussion kring hur grupperna
bör sträva efter att samtliga i gruppen förstår den gemensamma lösningen. En liknande
metadiskussion kring skriftliga redovisningar som ett stöd för en tanke process snarare än som
en produkt för läraren är en tänkbar väg mot utvecklade sociomatematiska normer.
Den medvetenhet som krävs för att lärare ska kunna utveckla sin undervisning i denna
riktning behöver byggas upp på skolorna, exempelvis genom riktade fortbildningsinsatser,
men inte minst också genom ett kontinuerligt arbete, där alla kollegor på skolan medverkar i
en gemensam insats. Lärare bör få stöd med att tolka och jobba med styrdokumenten (Boesen
et al., 2014). Det stöd som behövs kan vara tid eller kunskap eller rent av ett ökat intresse för
att jobba med utvecklingsarbete i skolan. Här kan en skolledning spela en central roll genom
att visa på incitament i form av till exempel en positiv kunskapsutveckling och genom att ge
möjligheter till att diskutera de goda exempel från forskningen, som finns. Även
lärarutbildningen har en viktig roll i att med blivande lärare diskutera vad som krävs för att
bygga upp en bred matematisk kompetens hos eleverna.
6.2 Läromedlen och läromedelsanvändningen
Som tidigare påpekats influeras elevers uppfattningar om matematik såväl som de
sociomatematiska normer som råder i klassrummet i hög utsträckning av de aktiviteter som
genomförs och då även av bland annat läroboken (Lampert, 1990; Schmidt et al., 2001). En
följd av detta blir att också möjligheterna till lärande påverkas av hur läroboken är utformad
och hur den används. För att utveckla våra elevers utbildning krävs utökade möjligheter till
lärande och detta innebär bland annat uppbyggnaden av sociomatematiska normer som tar
stöd i att matematik är mer än procedurer och utantill-inlärning (Schoenfeld, 2012).
Utvecklade läromedel kan hjälpa till att förändra undervisningen i önskad riktning (HerbalEisenmann, 2007). Arbetet med att skapa sociomatematiska normer som inkluderar ett större
perspektiv på matematiken får då ett slagkraftigt argument med hjälp av boken. Resultaten av
analysen av läromedel visar att andelen uppgifter som kräver ett kreativt matematiskt
resonemang är liknande i de tolv ländernas böcker. En hypotetisk förklaring till denna relativa
likhet är den djupt rotade matematiska tradition som är global och som påverkar läromedlen i
mycket hög grad. Förutsatt att de analyserade böckerna är representativa för respektive land
indikerar resultaten att läromedlens utformning inte är den enda bidragande faktorn till de
resultat som påvisats i till exempel TIMSS- och PISA (Programme for International Student
Assessment)-studierna. Sociomatematiska normer är som i tidigare avsnitt diskuterats
avhängigt av en mängd faktorer, varav läroboken är en. I genomsnitt ungefär var tionde
uppgift i de analyserade läromedlen krävde ett kreativt matematiskt resonemang. En
iakttagelse som bör beaktas I sammanhanget är också att de flesta uppgifter som enligt
kategoriseringen bedömts kräva ett kreativt matematiskt resonemang, har lösningar som också
till viss del består av algoritmhantering. I uppgifter som däremot kan lösas genom imitativa
resonemang saknas helt de kreativa matematiska resonemangen. Om även denna aspekt
beaktas kan resultaten beskrivas som att i det närmaste 100 % av uppgifterna erbjuder
42
Diskussion
möjligheter att träna på algoritmer och mer procedurella kunskaper, medan ungefär 10-20 %
av uppgifterna erbjuder möjligheter att träna på kreativa matematiska resonemang. Beaktas
bör även att uppgifter som kräver kreativa matematiska resonemang återfinns avsevärt mindre
frekvent i den grupp av uppgifter eleverna först stöter på inom varje nytt avsnitt. Då resultaten
av elevernas arbete med läroboksuppgifter visar att eleverna i den svenska gymnasieskolan
främst jobbar med de första, enklare uppgifterna i boken är det intressant att poängtera att
andelen uppgifter som kräver ett kreativt matematiskt resonemang i denna grupp är ungefär 5
% enligt analysen. I flera av de analyserade läromedlen finns det fler uppgifter än vad som
kan anses rimligt för eleverna att jobba med, vilket antyder att ett uppgiftsurval görs, antingen
av den enskilda eleven och/eller av läraren.
Att flera läromedel utifrån sin egen beteckning på uppgifterna särskiljer på till exempel
resonemangs- eller problemlösningsuppgifter och färdighetsuppgifter, och där de senare i
samtliga fall i boken föregår de tidigare, indikerar en syn på progression där just
färdighetsträning är det initiala i lärprocessen, och där några men inte nödvändigtvis alla
elever når resonemangsuppgifterna. Att uppgifter av undersökande karaktär särskiljs och
potentiellt riskerar att uteslutas för vissa elever påvisar möjligen ytterligare en aspekt att
beakta då läromedel utformas.
Den aktuella läromedelsstudien, likväl som andra (Lithner, 2004) indikerar att läromedel
använda i svensk undervisning inte med självklarhet fungerar som ett stöd i utvecklingen av
sociomatematiska normer där större utrymme ges åt en konceptuell kunskap, vilket dock inte
utesluter att sådana läromedel kan finnas. Inte heller analysen av de internationella läromedlen
ger fog för att säga att de kan fungera som ett gott stöd i utvecklingen av sådana
sociomatematiska normer. Detta indikeras även av tidigare forskning på läromedel. Till
exempel anser Fan och Zhu (2007) att läromedel från såväl Singapore som Kina och USA
uppvisar brister i sättet de presenterar problemlösning på. Vincent och Stacey (2008) drar
slutsatsen att flera av de australiensiska läromedel de analyserat inkluderar en alltför stor
andel uppgifter av enkel procedur- och repetitionskaraktär. Herbal-Eisenmann (2007)
presenterar en liknande bild avseende läromedel från USA som inte lyckas förmedla en bild
av en matematik som innefattar kreativa matematiska resonemang. Schmidt et al. (2001)
definierar en mer komplex uppgift som en uppgift som kräver problemlösnings- och
resonemangsförmåga för att lösa. Resultaten från studien visar att flertalet av de 34 ländernas
läromedel innehöll färre än 15 % komplexa uppgifter. Ett resultat i linje med den för
avhandlingen genomförda läromedelsanalysen. Värdet av dessa resultat kan också förstärkas
av Henningsen och Stein (1997) som sett att uppgifter som kräver ett eget tänkande från
eleven för att lösas, är de uppgifter som oftast av lärare och elever behandlas på ett sätt så att
de konceptuella kraven avtar. Liknande resultat har också påvisats av den analys av
klassrumsarbete som gjordes i samband med TIMSS 1999, där många av de uppgifter som
bedömdes stimulera till att skapa en konceptuell förståelse löstes på procedurella sätt (Hiebert
Diskussion
43
et al., 2003). Detta kan tolkas som att möjligheterna att lära sig annat än imitativa resonemang
avtar ytterligare. Faktorer som visat sig avgörande för att behålla de möjligheter till lärande
som uppgiften sannolikt avsett är bland annat elevens förförståelse och den tid som avsätts för
uppgiften (Henningsen & Stein, 1997). Dessutom har som tidigare poängterats lärarens stöd
stor betydelse, och det är viktigt att stödet består av att skapa en förståelse och att med hjälp
av uppgiften stärka elevens kunskapsnät, snarare än att fokusera på att presentera en lämplig
algoritm (Henningsen & Stein, 1997).
Stacey och Vincent (2009) utvecklar resonemanget kring australiensiska läromedel där
presentationerna kan betraktas som en manual för hur de efterföljande uppgifterna ska lösas.
Lithner och Palm (2010) drar slutsatsen att lärare förväntar sig att läromedel ska fungera som
en manual till hur uppgifter löses. I en svensk kontext beror detta enligt Lithner och Palm
delvis på hur lektionstiden till stor del används, där individuellt arbete med uppgifter
prioriteras. Just uppgifterna utgör en stor del av ett läromedel i matematik och influerar
sannolikt elevers och lärares uppfattning om ämnet. Så omfattningen av uppgifter med
möjligheter till lärande av olika typer av förmågor, och olika typer av krav är viktigt.
Schoenfeld (1992) uttrycket en oro för den ackumulerade effekt de tusentals uppgifter elever
löser under sin skolgång, och som förväntas kunna lösas på någon enstaka minut, och med
fördel genom memorerade algoritmer. Elevernas uppfattning om matematik måste utvecklas
så att exempelvis kreativa matematiska resonemang blir en mer naturlig del av ämnet för dem.
Läromedlen behöver inkludera mer material med syfte att erbjuda möjligheter till lärande av
en bred matematisk kompetens, på samtliga svårighetsnivåer, och på ett lättillgängligt sätt. Då
eleverna sällan tar stöd av läroboken, vare sig i ett imitativt eller kreativt matematiskt
resonemang är det rimligt att tycka att dessutom läromedelsförlagen bör beakta på vilket sätt
de strukturerar och presenterar innehållet.
Utifrån en syn på undervisningen där ett undersökande arbetssätt används föreslår Stein och
Lane (1996) att uppgifter som möjliggör olika typer av lösningar och olika typer av
representationsformer samt ställer krav på eleverna att också förklara sitt arbete används.
Dessa typer av uppgifter beskriver Stein och Lane (1996) som en god grund för ett
klassrumsarbete som syftar till att skapa möjligheter för eleverna att lära sig mer än utantillkunskaper så som till exempel att resonera kreativt matematiskt. Det är rimligt att anta att
denna typ av uppgifter också kan presenteras av en lärobok. Andelen uppgifter som kan lösas
med imitativa resonemang bör då kunna minska, för som Hiebert (2003) påtalar krävs inte
lika mycket övning för att minnas och kunna använda en procedur om man också förstår hur
och varför den fungerar.
Lösningen ligger dock inte enbart i utvecklade läromedel, utan utifrån lärobokens utformning
och vilka kunskapskrav som ställs på eleverna blir det viktigt att använda läroboken medvetet
och reflekterande, så att de lärandemål som definierats också kan uppnås. För att detta ska bli
44
Diskussion
verklighet måste reella möjligheter för lärare att hantera även denna del av sitt arbete på ett
tillfredställande sätt. Trots den betydelse läroboken har i matematikundervisningen visar det
faktum att den också används på vitt skilda sätt (Rezat och Strässer, 2014) att också
möjligheterna till lärande kan variera högst påtagligt. De styrdokument som reglerar
utbildningen i Sverige och många andra länder i världen baseras på en syn att matematisk
kunskap består av mer än procedurer. På en systemnivå visar alltså en avsedd läroplan vad
som forskningen betonat som avgörande för att bättre rusta våra elever med en bred
matematisk kompetens. Fan och Zhu (2007) har dock funnit tydliga skillnader mellan vad
styrdokument och läromedel i såväl Singapore, Kina som USA tar upp. Liknande resultat
presenteras avseende den svenska skolan av Jablonka och Johansson (2010). Detta ställer krav
på att läromedlen väljs ut och används med omsorg. I en undersökning gjord av den
lärarfackliga tidskriften Skolvärlden där 1500 svenska lärare deltog (Stridsman, 2014, nov)
framkom att 79 % av de tillfrågade upplevde att de inte hade tillräckligt med tid för att
kvalitetsgranska, värdera och välja läromedel. Tidigare fanns i Sverige en central granskning
av läromedel som i alla fall till viss del bemötte problemet med tidsbrist hos lärarna. Dock
tror jag att genom möjligheten att välja läromedel skapas en verklig möjlighet för lärarna att
också utforma sin undervisning utifrån sina egna förutsättningar och visioner. Men för att
lärarna ska kunna göra medvetna val baserade på dessa förutsättningar och visioner och
dessutom på de styrdokument som ligger till grund för undervisningen tror jag att såväl tid
som kunskap krävs. Lärare måste få en möjlighet att under ordnade fortbildningsformer eller
under sin utbildning träna sig i att använda undervisningsmaterial på ett medvetet sätt så att
möjligheter till lärande ges för de förmågor som enligt forskningen och även styrdokumenten
ligger till grund för en bred matematisk kompetens. Detta kan till exempel innebära
diskussioner kring och medvetandegörande av vikten av urval av läromedel och hur dessa
används. Med tillgång till läromedel som inkluderar en bredare syn på matematiken och som
bereder möjligheter till lärande av såväl procedurell som konceptuell kunskap skapas en större
potential för ökade möjligheter till lärande, i en urvalsprocess. Men likväl kan det innebära en
träning i att bygga upp undervisningen på fler källor, där läroboken kan vara en central del,
och där återigen en bred matematisk kompetens får utgöra målet för undervisningen.
6.3 Sammanfattningsvis
Utifrån den förda diskussionen ovan önskar jag ytterligare poängtera några av de möjliga
implikationer på undervisningen i matematik som framkommit i och med arbetet med de tre
studierna som ingår i denna avhandling.
Det behövs ett stöd för lärare att tolka styrdokument och att jobba med sin
undervisning med en bred matematisk kompetens som mål.
Lärarna bör i ökad utsträckning basera undervisningen på problem där eleverna själva
får utforska matematiken, och att stötta eleverna i en process, snarare än att presentera
färdiga algoritmer.
Uppfattningen om matematik hos eleverna är en annan väsentlig faktor att beakta, och
metadiskussioner om matematiken i klassrummet kan främja utvecklingen av
Diskussion
45
sociomatematiska normer som på ett bra sätt stöttar det mål som tidigare presenterats
som en bred matematisk kompetens.
Även utvecklade läromedel som skapar bättre förutsättningar för lärare att med hjälp
av läroboken skapa goda möjligheter för denna typ av lärande är värdefullt. Denna
utveckling bör bestå i andra typer av aktiviteter som mer tydligt betonar vikten av en
konceptuell förståelse. I linje med detta kan även andelen proceduruppgifter sannolikt
minskas.
Eleverna använder sällan läroboken annat än som uppgiftsbank med ett medföljande
facit. Då läromedel utformas bör beaktas hur det är önskvärt att eleverna använder
böckerna som stöd i en lärprocess.
I och med den indelning av uppgifter som läroboksförfattarna gör förenklas
möjligheterna att göra urval där en viss typ av uppgifter helt utesluts. Detta indikerar
att det bör noga beaktas vilket epitet som sätts på uppgifterna i en lärobok och också
uppgifternas inbördes ordningsföljd.
6.4 Fortsatt forskning
Utifrån diskussionen ovan kan flera frågor formuleras vars svar skulle vara en hjälp på vägen
mot en utvecklad syn på matematiken. Väsentligt i mycket av detta är hur skolan kan
stimulera till lärandet av en bred matematisk kompetens, där till exempel kreativa
matematiska resonemang har en central roll. Mycket av utvecklingsarbetet i klassrummet är
lärarens ansvar. Frågor att beakta i detta sammanhang är då:
Vilka begränsningar lärare känner då en mer konceptuell undervisning ska iscensättas?
På vilket sätt stöttas lärarna bäst då undervisningen ska utvecklas?
Vilka parametrar blir avgörande då eleverna jobbar i grupp med uppgifter med
avseende att lösa problem och lära sig resonera matematiskt?
I och med läromedlens centrala roll i matematikklassrummet kan de sociomatematiska
normerna och det sätt på vilket undervisningen bedrivs påverkas med hjälp av dessa. Frågor
att beakta då utvecklade läromedel efterfrågas är:
Vilka uppgifter fungerar i en läromedelskontext med en kontinuitet och en
ackumulerad effekt i lärandet, och hur ser läroboken i övrigt ut i relation till
uppgifterna?
Hur ska en lärarhandledning parallellt med ett läromedel hantera detta?
För att ytterligare nyansera elevers möjligheter till lärande är det viktigt att beakta såväl
läroboken och hur den används i undervisningen, som annat undervisningsmaterial och dess
användning. En fråga relaterad till detta ämne och som bör beaktas är:
På vilket sätt används annat undervisningsmaterial och vilka möjligheter till lärande
erbjuder de i förhållande till hur de används?
46
Diskussion
Samtliga de studier som ingår i denna avhandling har undersökt möjligheterna till lärande i
gymnasieskolan. En bild av matematikundervisningen i den kontexten har presenterats, men
vad som sker i de tidigare åldrarna har inte beaktats. Den undervisning som bedrivs på
gymnasiet bygger på det som sker på grundskolan. Så för att utveckla
matematikundervisningen krävs att vi frågar oss hur undervisningen ser ut även i
grundskolan:
Vilka uppfattningar om matematik och matematiska resonemang har elever i
grundskolan, och vilka resonemang använder eleverna i grundskolan i relation till
dessa uppfattningar?
Vilka möjligheter till lärande med avseende på matematiska resonemang erbjuder
grundskoleläromedel i matematik, beaktandes hur de används?
Referenser
47
Referenser
Ball, D. L., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. I J. Kilpatrick, W.
G. Martin & D. Schifter, (Red.), A research companion to the principles and standards
for school mathematics (s. 27-44). Reston, VA: National Council of Teachers of
Mathematics.
Bauersfeld, H. (1980). Hidden dimensions in the so-called reality of a mathematics
classroom. Educational Studies in Mathematics, 11(1), 23-41.
Bergqvist, T. & Lithner, J. (2012). Mathematical reasoning in teachers' presentations. Journal
of Mathematical Behavior, 31(2), 252-269.
Bergqvist, T., Lithner, J., & Sumpter, L. (2008). Upper secondary students' task reasoning.
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 39(1), 112.
Boaler, J. (1998). Open and closed mathematics: Student experiences
understandings. Journal for Research in Mathematics Education, 29(1), 41-62.
and
Boesen, J., Helenius, O., Bergqvist, E., Bergqvist, T., Lithner, J., Palm, T. & Palmberg, B.
(2014). Developing mathematical competence: From the intended to the enacted
curriculum. The Journal of Mathematical Behaviour, 33(1), 72-87.
Boesen, J., Lithner, J., & Palm, T. (2010). The relation between types of assessment tasks and
the mathematical reasoning students use. Educational Studies in Mathematics, 75(1), 89105.
Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers.
Burstein, L. (1993). Studying learning, growth, and instruction cross-nationally: Lessons
learned about why and why not engage in cross-national studies. I L. Burstein (Red.) The
IEA Study of Mathematics III: Student Growth and Classroom Processes, xxvii-xlix.
New York: Pergamon Press.
Cobb, P. (1994). Where is the mind? constructivist and sociocultural perspectives on
mathematical development. Educational Researcher, 23(7), 13-20.
Cobb, P., Wood, T., & Yackel, E. (1993). Discourse, mathematical thinking, and classroom
practice. I E. A. Forman, N. Minick & C. A. Stone (Red.), Contexts for learning:
Sociocultural dynamics in children's development. (s. 91-119). New York, NY: Oxford
University Press.
Dewey, J. (1929). The quest for certainty. Oxford, England: Minton, Balch.
Doyle, W. (1983). Academic work. Review of Educational Research, 53(2), 159-199.
Dweck, C. S. (2007). Boosting achievement with messages that motivate. Education
Canada, 47(2), 6-10.
48
Referenser
Engelbrecht, J., Bergsten, C., & Kågesten, O. (2009). Undergraduate students' preference for
procedural to conceptual solutions to mathematical problems. International Journal of
Mathematical Education in Science and Technology, 40(7), 927-940.
Fan, L., & Zhu, Y. (2007). Representation of problem-solving procedures: A comparative
look at China, Singapore, and US mathematics textbooks. Educational Studies in
Mathematics, 66(1), 61-75.
Floden, R. E. (2002). The measurement of opportunity to learn. I A. C. Porter & A. Gamoran
(Red.), Methodological advances in cross-national surveys of educational achievement
(s. 231-266). Washington, DC: National Academy Press.
Francisco, J. (2013). The mathematical beliefs and behavior of high school students: Insights
from a longitudinal study. The Journal of Mathematical Behavior, 32(3), 481-493.
Fuchs, L. S., Fuchs, D., Hamlett, C. L., Phillips, N. B., Karns, K., & Dutka, S. (1997).
Enhancing students' helping behavior during peer-mediated instruction with conceptual
mathematical explanations. The Elementary School Journal, 97, 223–249.
Furinghetti, F., & Morselli, F. (2009). Every unsuccessful problem solver is unsuccessful in
his or her own way: Affective and cognitive factors in proving. Educational Studies in
Mathematics, 70(1), 71-90.
Gravemeijer, K. & van Galen, F. (2003). Facts and algorithms as products of students’ own
mathematical activity. I J. Kilpatrick, W. G. Martin & D. Schifter, (Red.), A research
companion to the principles and standards for school mathematics (s. 114-122). Reston,
VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Greer, B., Verschaffel, L., & de Corte, E. (2002). 'The answer is really 4.5': Beliefs about
word problems. I G. C. Leder, E. Pehkonen & G. Törner (Red.), Beliefs : A hidden
variable in mathematics education? (s. 271-292). Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers.
Henningsen, M., & Stein, M. K. (1997). Mathematical tasks and student cognition:
Classroom-based factors that support and inhibit high-level mathematical thinking and
reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 28(5), 524-549.
Herbel-Eisenmann, B. (2007). From intended curriculum to written curriculum: Examining
the "voice" of a mathematics textbook. Journal for Research in Mathematics
Education, 38(4), 344-369.
Hiebert, J. (2003). What research says about the NCTM standards. I J. Kilpatrick, W. G.
Martin & D. Schifter, (Red.), A research companion to the principles and standards for
school mathematics (s. 5-23) Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Hiebert, J., & Carpenter, T. P. (1992). Learning and teaching with understanding. I D. A.
Grouws (Red.), Handbook for research on mathematical teaching and learning (s. 6597). New York, NY: Macmillan.
Referenser
49
Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K., Human, P., Murray, H., … Wearne, D.
(1996). Problem solving as a basis for reform in curriculum and instruction: The case of
mathematics. Educational Researcher, 25(4), 12-21.
Hiebert, J., Gallimore, R., Garnier, H., Givvin, K. B., Hollingsworth, H., Jacobs, J., … Stigler,
J. (2003).Teaching mathematics in seven countries: Results from the TIMSS 1999 video
study. Washington, DC: U.S. Government Printing Office.
Hiebert, J., & Grouws, D. (2007). The effects of classroom mathematics teaching on students
learning. I F. K. Lester (Red.), Second handbook of research on mathematics teaching
and learning : A project of the national council of teachers of mathematics (s. 371-404).
Charlotte, NC: National Council of Teachers of Mathematics; Information Age
Publishing.
Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An
introductory analysis. I J. Hiebert (Red.), Conceptual and procedural knowledge: The
case of mathematics (s. 1-27). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Hiebert, J., & Wearne, D. (1993). Instructional tasks, classroom discourse, and students'
learning in second-grade arithmetic. American Educational Research Journal. 2(30),
393-425.
Jablonka, E., & Johansson, M. (2010). Using texts and tasks: Swedish studies on mathematics
textbooks. I B. Sriraman (Red.), The first sourcebook on nordic research in mathematics
education : Norway, Sweden, Iceland, Denmark, and contributions from Finland (s. 363372). Charlotte, NC: Information Age Publishing.
Jonsson, B., Norqvist, M., Lithner, J., & Liljekvist, Y. (2014). Learning mathematics through
algorithmic and creative reasoning. Journal of mathematical behavior, 36, 20-32.
Kloosterman, P. (2002). Beliefs about mathematics and mathematics learning in the
secondary school: Measurement and implications for motivation. I G. C. Leder, E.
Pehkonen & G. Törner (Red.), Beliefs: A hidden variable in mathematics education? (s.
247-269). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the answer:
Mathematical knowing and teaching. American Educational Research Journal, 27(1),
29-63.
Lithner, J. (2003). Students' mathematical reasoning in university textbook exercises.
Educational Studies in Mathematics, 52(1), 29-55.
Lithner, J. (2004). Mathematical reasoning in calculus textbook exercises. Journal of
Mathematical Behavior, 23(4), 405-427.
Lithner, J. (2008). A research framework for creative and imitative reasoning. Educational
Studies in Mathematics, 67(3), 255-276.
Lithner, J., & Palm, T. (2010).Learning difficulties and mathematical reasoning. In B.
Sriraman (Ed.), The first sourcebook on nordic research in mathematics education :
50
Referenser
Norway, Sweden, Iceland, Denmark, and contributions from Finland (pp. 283-298).
Charlotte, NC: Information Age Publishing.
McLeod, D. B. (1992). Research on affect in mathematics education: A reconceptualization.
In D. A. Grouws (Red.), Handbook for research on mathematical teaching and learning
(s. 575-596). New York, NY, England: Macmillan.
Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Foy, P., Arora, A. (2012). TIMSS 2011 International Results
in Mathematics. Chestnut Hill, MA: Boston College, TIMSS and PIRLS International
Study Center.
Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Foy, P., Olson, J. F., Preuschoff, C., Erberber, E., … Galia, J.
(2008). TIMSS 2007 International Mathematics Report – Findings from IEA’s trends in
international Mathematics and Science Study at the fourth and eighth grades. Chestnut
Hill, MA: Boston College, TIMSS and PIRLS International Study Center.
Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Ruddock, G. J., O'Sullivan, C. Y. & Preuschoff, C. (2009).
TIMSS 2011 assessment frameworks. Chestnut Hill, MA: Boston College, TIMSS and
PIRLS International Study Center.
Niss, M. (2003). Mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish
KOM project. Third Mediterranean Conference on Mathematics Education Athens,
Greece. 115–124.
Op’t Eynde P., B., de Corte, E. & Verschaffel, L., (2002). Framing students’ mathematicsrelated beliefs. I G. C. Leder, E. Pehkonen & G. Törner (Red.), Beliefs : A hidden
variable in mathematics education? (s. 13-37). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
OECD (2014). PISA 2012 results in Focus. What 15-year-olds know and what they can do
with what they know. Paris: OECD Publishing.
Palm, T., Boesen, J., & Lithner, J. (2011). Mathematical reasoning requirements in Swedish
upper secondary level assessments. Mathematical Thinking and Learning: An
International Journal, 13(3), 221-246.
Rezat, S. (2012). Interactions of teachers’ and students’ use of mathematics textbooks. I G.
Gueudet, B. Pepin & L. Trouche (Red.), From text to 'lived' resources (s. 231-245).
Dordrecht: Springer Science+Business Media B.V.
Rezat, S., & Strässer, R. (2012). From the didactical triangle to the socio-didactical
tetrahedron: Artifacts as fundamental constituents of the didactical situation. Zdm – The
International Journal of Mathematics Education, 44(5), 641-651.
Rezat, S., & Strässer, R. (2014). Mathematics Textbooks and How They Are Used. In P.
Andrews & T. Rowland. London (Eds.) Master Class in Mathematics Education.
International Perspectives on Teaching and Learning. (pp. 51-62).New York:
Bloomsbury.
Sanaghan T., Pennel J., Munro C., Ford C., Dalton J. & Walker E. (2007). Scottish Secondary
Mathematics R3. Essex: Heinemann
Referenser
51
Schmidt, W. (2012). Measuring content through textbooks: The cumulative effect of middleschool tracking. I G. Gueudet, B. Pepin & L. Trouche (Red.), From text to 'lived'
resources (s. 143-160). Dordrecht: Springer Science+Business Media B.V.
Schmidt, W. H., McKnight, C. C., Houang, R. T., Wang, H., Wiley, D. E., Cogan, L. S. &
Wolfe, R. G. (2001). Why schools matter: A cross-national comparison of curriculum
and learning. The jossey-bass education series
Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. Orlando: Academic Press.
Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition,
and sense making in mathematics. I D. A. Grouws (Ed.), Handbook for research on
mathematical teaching and learning (s. 334-370). New York, NY England: Macmillan
Publishing Co, Inc.
Schoenfeld, A. H. (2012). Problematizing the didactic triangle. Zdm – The International
Journal of Mathematics Education, 44(5), 587-599.
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes
and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in
Mathematics, 22(1), 1-36.
Sfard, A., & Linchevski, L. (1994). The gains and the pitfalls of reification: The case of
algebra. Educational Studies in Mathematics, 26(2-3), 191-228.
Shield, M., & Dole, S. (2013). Assessing the potential of mathematics textbooks to promote
deep learning. Educational Studies in Mathematics, 82 (2), 183-199
Skemp, R.R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics
teaching, 77, 20-26.
Skolverket. (2003). Lusten att lära - med fokus på matematik. No. 221. Stockholm: Fritz.
Skolverket (2011a). Läroplan, examensmål
gymnasieskola 2011. Stockholm: Fritzes.
och
gymnasiegemensamma
ämnen
för
Skolverket. (2011b). Ämnesplan - matematik. alla kommentarer. Stockholm: Skolverket.
Hämtad
(16/1-2015)
http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-ochkurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=MAT&lang=svhttp
://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-ochkurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=MAT&lang=sv
Skolverket. (2012). Upper secondary school 2011. Stockholm: Fritzes.
Stacey, K., & Vincent, J. (2009). Modes of reasoning in explanations in australian eighthgrade mathematics textbooks. Educational Studies in Mathematics, (3), 271.
Stridsman, S. (2014, nov). Läromedelslotteriet. Skolvärlden, 9, s. 29-34.
52
Referenser
Stein, M. K., Engle, R. A., Smith, M. S., & Hughes, E. K. (2008). Orchestrating productive
mathematical discussions: Five practices for helping teachers move beyond show and
tell. Mathematical Thinking and Learning: An International Journal, 10(4), 313-340.
Stein, M. K., & Lane, S. (1996). Instructional tasks and the development of student capacity
to think and reason: An analysis of the relationship between teaching and learning in a
reform mathematics project. Educational Research & Evaluation, 2(1), 50.
Stein, M. K., Remillard, J., & Smith, M. S. (2007). How curriculum influences student
learning. I F. K. Lester (Red.), Second handbook of research on mathematics teaching
and learning : A project of the national council of teachers of mathematics (s. 319-369).
Charlotte, NC: National Council of Teachers of Mathematics; Information Age
Publishing.
Sumpter, L. (2013).Themes and interplay of beliefs in mathematical reasoning. International
Journal of Science and Mathematics Education, 11(5), 1115-1135.
Törnroos, J. (2005). Mathematics textbooks, opportunity to
achievement. Studies in Educational Evaluation, 31(4), 315-327.
learn
and
student
Valverde G. A., Bianchi L. J., Wolfe R. G., Schmidt W. H. och Houang R. T.
(2002). According to the book: Using TIMSS to investigate the translation of policy into
practice through the world of textbooks. Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic
Publishers.
Vetenskapsrådet. (2011). God forskningssed. (No. 1:2011). Stockholm: Vetenskapsrådet.
Vincent, J., & Stacey, K. (2008). Do mathematics textbooks cultivate shallow teaching?
applying the TIMSS video study criteria to australian eighth-grade mathematics
textbooks. Mathematics Education Research Journal, 20(1), 82-107.
Vygotsky, L. S., (1978). Mind in society : The development of higher psychological
processes. Cambridge, MA.: Harvard University Press.
Wai Keung, C. (2013). Discovering Mathematics 1A. Singapore: Star publishing Pte Ltd
Webb, N. M., & Mastergeorge, A. (2003). Chapter 4: Promoting effective helping behavior in
peer-directed groups. International Journal of Educational Research, 39 (1-2), 73-97.
Yackel, E., & Cobb, P. (1996).Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in
mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 27(4), 458-77.
Yackel, E., Hanna, G. (2003). Reasoning and proof. I J. Kilpatrick, W. G. Martin & D.
Schifter, (Red.), A research companion to the principles and standards for school
mathematics (s. 227-236). Reston, VA, USA: National Council of Teachers of
Mathematics.
Yackel, E., & Rasmussen, C. (2002). Beliefs and norms in the mathematics classroom. I G.
C. Leder, E. Pehkonen & G. Törner (Red.), Beliefs : A hidden variable in mathematics
education?
(s.
313-330).
Dordrecht:
Kluwer
Academic
Publishers.
DEL 2 - STUDIERNA
Reasoning requirements in school mathematics textbooks: an analysis of books from 12 countries
Jonas Jäder, Johan Lithner, Johan Sidenvall
Abstract
A selection of upper secondary school textbooks from twelve countries in five continents is used in this paper as
an indicator of the opportunities to learn mathematics through different forms of reasoning. Education that
allows for more than rote learning is important. One aspect that is fundamental to the development of conceptual
understanding as well as problem solving ability is the opportunity to learn how to construct mathematically
well-founded reasoning. This study compared textbook tasks to the information provided previously in the book,
determining if it is possible and reasonable to mimic available solution templates, or if a solution has to be
constructed. The results show that the average proportion of tasks where it is possible to mimic available
templates is 75% in all books, but that this proportion varies widely depending on the textbook authors own
labeling of the tasks. Approximately 15% of the tasks can be solved mainly by mimicking provided templates
but require some minor modification, and the remaining 10% of the tasks require that the main parts of the
solution are constructed without the guidance of a template. The twelve countries perform differently in
international tests such as Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS), and Programme for
International Student Assessment (PISA). Nevertheless, we see similarities in the textbooks which indicate that
the textbook is not the only factor to students’ opportunities to learn. The results further indicate that the
opportunities to learn also depend on the task selection made from within the textbook, and that the textbooks
might provide limited opportunities for students to create their own solutions to tasks and rely on the competence
of mathematical reasoning. One implication of these results may be that textbook designers, teachers and
students need to pay greater attention to the learning goals in relation to textbook tasks.
Keywords: Mathematics Textbooks, Mathematics Tasks, Mathematical reasoning, Opportunities to learn, Upper
secondary school
1
Introduction and purpose
A shift toward a richer view of what doing mathematics is, has appeared in several countries included in this
study since the 1990s (Boesen et al., 2014). For example, curricula and national standards in Australia, Canada,
India, Ireland, Scotland, Singapore, South Africa, Sweden and the USA now stress the importance of
competencies such as problem solving, reasoning and the ability to connect concepts to each other (Boesen et al.,
2014; Davis, Smith, Roy, & Bilgic, 2014; Henderson, 2012; Ministry of Education, Ontario, 2005; Department:
Education, Republic of South Africa, 2008). Due to the immense complexity of mathematics education (Niss,
2007), and the long tradition of mathematics as a school subject, the impact of curriculum reforms may not be
clearly visible in all aspects of education. Several factors influence what opportunities to learn students have.
One of these factors is the textbook (e.g. Schmidt et al., 2001; Schmidt, 2012). This article presents a study
where a selection of upper secondary textbooks from twelve countries in five continents are analyzed. The
textbooks are used as indicators of what opportunities to reason mathematically are provided to the students. A
basic assumption is that how students use mathematical reasoning when solving textbook tasks will affect their
learning process and thus their development of mathematical competence. At least in some countries it seems
2
J. Jäder et al.
that students are mainly provided with opportunities to learn mathematics by rote (Hiebert, 2003; Lithner, 2008;
Boesen et al., 2014). Of particular focus in this study is whether this is reflected in common textbooks from the
twelve countries, or if development of basic competencies such as conceptual understanding, problem solving
and mathematical reasoning ability is enhanced.
2
2.1
Background
The textbook (and its tasks) creating opportunities to learn
There is a large body of evidence supporting that “students learn what they are given opportunities to learn”
(Hiebert, 2003, p. 10). Opportunities to learn (OTLs) can be used as a measure of “whether or not... students
have had the opportunity to study a particular topic or learn how to solve a particular type of problem presented
by a test” (Husen, 1967, pp. 162-163, cited in Burstein, 1993, p. xxxiii). In relation to the framework used in the
Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS), a factor such as the textbook may be regarded
as a potentially implemented curriculum (Mullis, Martin, Ruddock, O'Sullivan & Preuschoff, 2009). The
textbook can provide one of many images of the students’ opportunities to learn. Rezat and Strässer (2012) argue
for the textbook becoming part of a didactical tetrahedron, shaping didactical situations together with the teacher,
students and the specifics of the subject mathematics. How the textbook is used varies a lot, but it is clear that the
textbook is one of the main influencing factors on the teaching of mathematics (Rezat & Strässer, 2014). The
results from TIMSS 2011 show that more than half the students in year eight in countries such as Australia,
Finland, Singapore, Sweden, South Africa (year 9), 2 of 3 provinces included in Canada are taught in an
environment where the textbook is the foundation of the education. In the USA the proportion was 48%, and in
some countries as high as above 90 % (Mullis, Martin, Foy & Arora, 2012).
What is considered important and part of mathematics education is reflected by the textbook (e.g. Vincent &
Stacey, 2008; Johansson, 2006; Schmidt, 2012; Schmidt et al., 2001). A relationship between the textbook,
viewed as a potentially implemented curriculum and the attained curriculum, meaning the learning outcome, has
been shown in several different contexts (Schmidt, 2012). Shield and Dole (2012) suggests to consider a
textbook analysis as a first level analysis, and one way of getting an idea of the OTL that are available to
students. The OTLs are created by the textbook in combination with other factors such as, time spent on the
subject, a student’s motivation, and teacher competence. All these factors are likely to affect the OTL for
students.
Consequently, a textbook analysis may help us understand how policy documents such as national curricula
are manifested in the classroom by textbooks (McDonnell, 1995). Schmidt et al. (2001) has also shown that there
is a clear relationship between textbooks and classroom instruction. From the activities that students are
presented in the classroom and their experiences, the idea of what qualifies as mathematical knowledge is made
legitimate.
Major components of many textbooks are the tasks or exercises constructed for students to solve. What the
students encounter through the tasks will be of importance in forming their view of mathematics. Doyle (1983)
states that, “tasks influence learners by directing their attention to particular aspects of content and by specifying
ways of processing information” (p. 161), while Stein, Remillard and Smith (2007) argue that, “the tasks with
which students engage determine what they learn about mathematics” (p. 346). They go on to conclude that
Reasoning requirements in school mathematics textbooks
3
different tasks provide different OTLs and that the cumulative effect of this explains to the students what
mathematics is and how one does it.
A task may signal whether a student should engage their understanding or just produce an answer (Gresalfi,
2009). Empirical hints about solutions and step-by-step procedures to memorize, integrate students into the norm
of skill-based task solving without a serious emphasis on understanding (Schoenfeld, 2012). Consequently, this
will eventually lead to a view of mathematics as merely focused on finding the appropriate algorithm to solve a
problem.
A lot of textbook authors label the tasks in the book with regard to different criteria. For example there are
sets of tasks labeled “Activity”, “Reflection”, and “Investigate”, where an inquiry based way of working is
expected. Labels such as ”Discuss”, “Reflection”, “Discuss the concept”, “To think about” and “Write in your
journal” ask for some kind of reflection. Among the tasks immediately following the textbooks presentation of
new material, different sets of tasks are also present. Sometimes this division is explicitly said to be in relation to
the level of difficulty, while in other books being based on a specific skill. The first set of tasks that students
meet is for example called ” Basic”, “Fluency”, ”Skill practice” ”Practice” and “General”. Among the later sets
we notice “Understanding”, “Reasoning”, “Apply”, “Extend”, “Maths at work”, “Brainworks”, “Challenge” and
“Problem solving”. This labeling of tasks and the task selection done by students and teachers, springing from
this labeling may influence the opportunities to learn for students. In a Swedish context it appears to be
important since students mainly work with the first, easier tasks within each section (Sidenvall, Lithner & Jäder,
in press).
2.2
Reasoning and mathematical competence
Hiebert & Grouws discuss the types of knowledge, conceptual and procedural, and acknowledge the importance
of both and the fact that they interact with each other. One of the main problems with learning difficulties in
mathematics is that rote learning and mathematically superficial reasoning become the very foundation of
mathematics for many students (Hiebert, 2003). Nevertheless, to learn mathematics also implies mastering
competencies such as mathematical reasoning, problem solving and conceptual understanding (NCTM, 2000;
Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001; Niss, 2003). To develop such competencies, students need an education
that is explicitly focused on each one of them (Hiebert, 2003, Niss, 1999). Boaler (1998) argues that mathematics
teaching needs to take an approach that emphasizes a deeper understanding of the subject and pays less attention
to computation, rules and procedures. Logical reasoning is a valuable asset when learning mathematics (Nunes et
al., 2007). Ball and Bass (2003) claims that, “the notion of mathematical understanding is meaningless without a
serious emphasis on reasoning” (p. 28). This is also expressed by Thompson (1996) who states that he is not able
to separate a discussion on learning from one on reasoning.
3
3.1
Research framework
Types of reasoning
The framework used in this study (Lithner, 2008) allows for a distinction between procedural and conceptual
knowledge, in regard to the kind of knowledge required to solve tasks. The framework provides an analytical
tool making it possible to distinguish the reasoning used or required. We acknowledge that there are other
frameworks related to reasoning (e.g. Stacey & Vincent (2009); Stylianides (2009); Thompson, Senk & Johnson
4
J. Jäder et al.
(2012). Some of these focus on proofs or distinctions between different skills related to the conceptual field. Still
others are theoretical frameworks rather than aimed at providing an analytical tool. In this article, reasoning is
defined as “the line of thought adopted to produce assertions and reach conclusions” (Lithner, 2008, p. 257). The
reasoning does not have to be correct, as long as it can be supported by some kind of explicit or implicit
arguments that make sense to the reasoner. Reasoning can be seen as the trace of a student’s thinking process
which is “guided and limited by the student competencies and is formed in a sociocultural milieu” (Lithner,
2008, p. 257).The empirical studies behind the framework (Lithner, 2000, 2003, 2004; Bergqvist, Lithner &
Sumpter, 2008) developed by Lithner (2008) led to definitions of two main types of reasoning. Creative
mathematically founded reasoning (CMR) is defined by three conditions: novelty, plausibility and mathematical
foundation. This means that a reasoning sequence that is new to the reasoner is created, the strategy choice, as
well as the strategy implementation is purposeful, and arguments are based on intrinsic mathematical properties.
In contrast, imitative reasoning is often suitable in routine tasks, where the strategy choice is finding an answer
or algorithm that seems appropriate for the situation, and the strategy implementation consists only of writing
down a recalled answer or applying the available algorithm. In this case, superficial characteristics of the task
guide the reasoner in his/her strategy choice. Guided algorithmic reasoning (GAR) is a specific type of imitative
reasoning that is defined by two conditions: 1) The strategy choice concerns identifying surface similarities
between the task and a solution template in the form of an example, definition, theorem, rule or some other
situation in a text source and, 2) The algorithm is implemented without verificative argumentation (Lithner,
2008).
In this study, an algorithm is defined as, “a finite sequence of executable instructions which allows one to
find a definite result for a given class of problems” (Brousseau, 1997, p. 129). An algorithm can always be
determined in advance. A certain step in the chain of instructions cannot depend on any unforeseen
circumstances earlier in the sequence of instructions, nor “on the finding of new information, on any new
decisions, any interpretation, and therefore on any meaning that one could attribute to them” (Brousseau, 1997,
p. 129). Included in this definition are not only calculations, but also all pre-specified procedures that might be
necessary for reaching a conclusion. This implies that the algorithm includes everything that is conceptually
difficult (Lithner, 2008).
3.2
Textbook task analysis
The term “task” is in this paper used to refer to a textbook exercise or a part thereof that is intended to support
the student’s learning (Halldén, Scheja & Haglund, 2008). This also implies that all tasks included in the
textbook are considered to be solvable by the students. The way in which a textbook makes different kinds of
strategies in solving tasks possible cannot be determined solely by the task itself. When working on textbook
tasks it may be possible for the student to connect the task to examples or other situations in the textbook by
using surface properties of the task. This provides the student with a template for how to solve the task, which
may now be done in a routine way without considerations of mathematical meaning (Brousseau, 1997). This
approach may prove “successful” as long as the surface properties lead to the appropriate strategy and the
purpose is only to solve the task. However, this strategy leads to rote learning (Hiebert, 2003), and if the purpose
is to develop broad mathematical competence, other types of reasoning are required (Lithner, 2008).
To be able to deploy GAR, a student must have access to a template presenting an algorithm or fact
necessary to solve the task. In the context of solving tasks in the textbook this situation could be found anywhere
Reasoning requirements in school mathematics textbooks
5
in the textbook, preceding the task. For example, this could be in a solved example or in a theory paragraph, but
also in a previous task. The information given by the textbook in that specific instance is denoted GARinformation. The comparison needs to take into account the algorithm itself, and also includes the supplementary
GAR-information in terms of the contextual features important to reinforce the algorithm. For example, an
algorithm might be understood when used in a certain setting, but when parameters are changed, there needs to
be a transfer of the understanding that is conceptually demanding. The more the initial parameters resemble the
ones in the task at hand, the less cognitively demanding the transfer (Palm, Boesen & Lithner, 2011).
Additionally, if the parameters are altered they might make the transfer of understanding more demanding.
Nevertheless, when possible, solvers often proceed without understanding the task by linking to previously used
procedures (Silver, 1986). Both the contextual and the mathematical features of a task are important to consider
when performing a task analysis (Li, 2000). Such linkage has been demonstrated by Hegarty, Mayer and Monk
(1995), who state that unsuccessful problem solvers use a direct-translation strategy. This means that certain
features of the task formulation are used to form a basis for selecting a strategy. In the context of textbook tasks
the strategy could be finding a corresponding solved example.GAR is possible for the student if the method of
solution is found in the GAR-information, and this information is possible to relate to the task by surface
properties only.
If it is possible to use an available algorithm to solve a task, but minor modifications are needed, the task is
considered to require Local CMR. This means that the main part of the solution can be carried out using GAR
but a smaller part has to be constructed by CMR.A textbook task that is possible to solve by GAR will be
denoted as a GAR-task, a task that is not possible to solve by GAR but can be solved by Local CMR is denoted
as a Local CMR-task, and a task that to a large extent requires CMR is denoted as a Global CMR-task. Since
only correct solutions are included in the classification and since completely random guesses are not included,
the categories can be seen as mutually disjointed (Lithner, 2008).
GAR-tasks: Can be solved by
Local CMR-tasks: Can be solved
Global
CMR-tasks:
The
an algorithm (or answer) that is
with minor modifications by an
algorithm (or answer) needed to
available in the textbook
algorithm (or answer) available in
solve the task is not found in
the textbook.
the textbook.
In connection to each task categorized, the textbooks own labeling of the tasks, in terms of for example, difficult
level, a specific skill or way of approaching the problem, was also recorded.
4
Research questions
By analyzing the textbook tasks in relation to what is presented in the textbook, the intention is to discover what
opportunities to learn to reason mathematically are provided by the textbook. It is important to convey to the
students the message that mathematics is built on a foundation of reasoning rather than on mere arbitrary rules
(Stacey & Vincent, 2009). The proportion of tasks requiring students to go beyond using well-defined and preknown algorithms is an indication of the expectations set on students. Stacey and Vincent (2009) argue that even
though a textbook presentation includes reasoning, the requirement set up by the subsequent tasks is likely to
mediate a focus on rules rather than reasoning. Li (2000) argues that task analysis may give us other information
6
J. Jäder et al.
on what is expected from students than does a content analysis. Few earlier studies on textbooks have focused on
the tasks (Li, 2000). The study responds to the following research question:
What is the proportion of Global CMR-, Local CMR- and GAR-tasks in chapters on algebra and
geometry in mathematics textbooks used in upper secondary school in twelve different countries?
We will discuss the results of the question above in relation to students’ opportunities to learn to reason
mathematically. This discussion will also relate to how the textbook chooses to organize their tasks in subgroups according to, for example difficult level, a specific skill or way of approaching the problem.
5
5.1
Method
Selection of countries and textbooks
The selection of countries was based on a wish to include countries from different parts of the world, but also
affected by pragmatic constraints. Firstly, since the analysis is rather time-consuming it was judged that more
than 10-15 countries would be difficult to manage. Secondly, the ambition was to analyze commonly used
textbooks and in order to avoid the need for making translations (which is a methodological difficulty) the
selection was limited to countries where English or Swedish is a common language in secondary school. Thirdly,
since there, to our knowledge have been very few studies on textbooks from more than 2-3 countries that could
guide the selection procedure, it is in this study rather explorative. This lead to the decision to prioritize a
geographical distribution including samples from the five continents, since one of the underlying explorative
questions is if textbooks are different in different parts of the world. We also see that among these countries
there is a variation in achievement in international tests such as TIMSS (Mullis et al., 2012), and Programme for
International Student Assessment (PISA) (OECD, 2014). Consultations with mathematics educators, teachers,
school administrators and researchers in the field of mathematical education formed the basis for ascertaining
which textbooks were commonly used. A questionnaire was sent to contact persons (mathematics teachers and/or
mathematics education researchers) in thirteen countries where Swedish or English is the dominant (or at least a
common) language used in secondary education. These countries were: Australia, Canada, England, Finland,
Ireland, India, Nepal, Scotland, Singapore, South Africa, Sweden, Tanzania and the USA. All countries, but
England, where no answer to the questionnaire was received, are included in the study. A question asking what
were the most commonly used textbooks, or textbook series within each country at the specified level of
education was posed. Textbook series were selected in accordance with the answers to this question, and can be
seen as providing a sample of commonly used textbooks, representative of each country.
To analyze the OTLs, the study of specific mathematics topics is valuable (Schmidt et al., 2001). Therefore, a
decision was made to focus the analysis on two specified mathematical topics. The mathematical content of the
textbooks was labeled in accordance with the TIMSS content framework on its most detailed level (forty-four
mathematics topics such as decimal fractions, measurement, 2-D geometry, proportionality concepts, equations
and formulas, and uncertainty and probability) to find common topics in textbooks (Mullis et al., 2008). Algebra
and geometry are two core mathematical topics included as part of mathematical education internationally.
Within these two topics, more specific areas were chosen according to the demands stated above. These were
“equations and formulas” and “perimeter, area and volume”. The specified topic areas were components of all
Reasoning requirements in school mathematics textbooks
7
textbooks or textbook series, but at different age levels. Nevertheless all chapters analyzed were part of
secondary school education covering similar material and deemed comparable.
5.2
Data analysis
The earlier presented framework serves as a backbone to the deployed analytical method. The basic
methodological assumption is that if students are provided with information in the textbook that makes it
possible to solve a task by guided algorithmic reasoning (GAR), then students will mainly apply GAR and
seldom use creative mathematically founded reasoning (CMR) (even though it is possible to solve every task by
CMR). This assumption is in line with both theoretical analyses (Brousseau, 1997), and empirical studies on how
students reason when working individually with textbook and test tasks (Lithner, 2003; Boesen, Lithner & Palm,
2010). Surveys of empirical studies (e.g. Hiebert, 2003) of how students use mathematically superficial thinking
when tasks solving templates are provided also support this assumption. Students may use guidance from text
resources such as the textbook, as indicated in the above-mentioned studies, or if more easily accessible, the
guidance from peers or teachers (Sidenvall et al., in press). Whether it is more likely for the student to use text
guided AR or some kind of person guided AR is not within the scope of this study.
5.2.1
Classification procedure
The analysis was based on a method proposed by Lithner (2004) developed during analysis of university
mathematics textbook tasks and later refined by Palm et al. (2011) upon analysis of mathematics test tasks. The
overall idea behind the procedure is to determine if it is possible and reasonable that students can solve the task
by using GAR, or whether CMR is required. GAR is judged to be sufficient for solving a task if it is reasonable
that the students can find GAR-information in the textbook. It is assumed that there are two situations in which
finding the GAR-information is possible. The first situation is if the solution algorithm is positioned close to the
task. If a task can be solved by using an algorithm that has appeared earlier in the same textbook section, it is
reasonable to suggest it likely that the student tries this algorithm to solve the task. A section of a book is defined
as a well delimited space within a chapter, with its own (sub-)title in the contents section, and often spans 1-10
pages. When the GAR-information is not found within the same section, but rather earlier in the chapter, a
strengthened link between the two is needed. This is made possible if task characteristics are similar to the GARinformation. A set of task characteristics that are important for students’ possibilities of detecting the relatedness
between a task and corresponding GAR-information are suggested by Palm et al. (2011) and will be used in this
study.
For relatedness between a task and GAR-information to become clear, one or more of these characteristics
need to link the two together. Task characteristics considered to be important are: the assignment, what data is
presented and in what way, the context in which the task is embedded, certain keywords, phrases or symbols,
response format and non-mathematical pictures, hints to solutions, and other extra information useful to relate a
task to GAR-information. Sometimes two or more pieces of GAR-information can be combined into a task
solution. If finding a suitable combination of GAR-information requires CMR, the task is classified as requiring
CMR. If not it is classified as a GAR task. It is assumed that information that serves as a basis to what is
presented by the textbook has been covered earlier in the students’ education, and is considered pre-knowledge.
The task analysis procedure comprised the following steps (see below for specifications of the steps and also
the section Examples of Classifications for examples of data analyses following the procedure):
8
J. Jäder et al.
Task analysis
1.
Identification of possible algorithms that can be used to solve the task.
2.
Description of the task by means of contextual features of possible importance to the appearance
of the algorithm.
Search for GAR-information
3.
A search for solved examples, presented rules, theorems, facts and tasks prior in the same
section, with GAR-information being the same or similar to that of the task.
4a.
If no GAR-information is found in the same section as the task, a new search within previous
sections is conducted.
4b.
Description of the task characteristics (presented below) and a comparison with the found GARinformation.
Conclusion
5.
Conclusion and arguments for categorization of a task as being either of the GCMR, LCMR or
GAR type, depending on possible similarities between the task and the GAR-information. Also
included in this argumentation is the accessibility of the GAR-information and/or similarities in
task characteristics.
1. Algorithm(s)
features- Task
Schematic representation of the
analysis procedure with possible
categorizations.
2. Contextual
features- Task
3. GAR-information –
Same section
Yes
No
4a. GAR-information –
Yes
Previous section(s)
4b. Characteristics – Task &
GAR-information
No
Yes
No
5. Conclusion -
5. Conclusion –
GCMR
LCMR/GAR
Fig. 1 The task classification procedure
Reasoning requirements in school mathematics textbooks
9
Initially the analysis and classification of tasks was discussed with two fellow researchers conversant with
the framework and the method of analysis. This in turn strengthened the reliability of the method where interrater agreement was reached in more than 98% of the analyzed tasks.
The analysis of textbooks included tasks in two separate chapters on algebra and geometry respectively. This
resulted in a proportion of GAR-, LCMR- and GCMR-tasks in each chapter of each book. Some of the textbooks
were intended to be used together with a (home-) workbook, practice book or similar. These extended learning
opportunities were also considered. A survey of these books revealed that they were comparable to each of the
textbooks regarding the focus of this study. These extra resources were therefore not included in the final
analysis since they were judged not to significantly change the outcome of the analysis and since they were only
present for some of the textbooks.
5.2.2
Classification categories
Guided algorithmic reasoning (GAR) classification
For a task to be classified as GAR two conditions need to be fulfilled. First, a solved example, presented rule,
theorem or some other solution template that can be applied to solve the task has to exist. Second, it is necessary
that this solution algorithm can be easily identified, either by being positioned previously within the same
section as the task or in terms of the task characteristics presented above.
Local creative mathematically founded reasoning (LCMR) classification
If the demands regarding characteristics of GAR above are essentially fulfilled, but the algorithm or answer
needs minor modifications by CMR, the task is classified as LCMR.
Global creative mathematically founded reasoning (GCMR) classification
If the algorithm needed to solve the task has not appeared in the textbook before or if such an algorithm exists
but it is not reasonable that the student can connect it to the task without applying CMR, the task is classified as
GCMR. The textbook, being an artifact produced for a specified target group, and used to promote learning, is
assumed to include no tasks that are not solvable using GAR or CMR. Therefore, if neither the GAR nor the
LCMR criteria are fulfilled, the categorization is GCMR.
5.3
Examples of task categorization
The five steps of the classification procedure were applied to all tasks included in the analysis. As presented in
the flow chart above, not all steps are necessary at all tasks. The task
exemplifies a typical GAR-task,
in the context of the Tanzanian textbook (Secondary Basic Mathematics, Book 1, Tanzania, task 7.5-2). On the
previous page of the textbook, and within the same section, a solved example is provided, using the same
algorithm needed to solve the task. The context is mathematical in the textbooks example as well as the task. The
considerations done during the process of categorization is exemplified by the following six authentic examples.
(For a complete list of all the textbooks analyzed please see appendix 1.)
5.3.1
GAR-categorization (Geometry, USA, task 1.7-40, problem solving)
The task is “The giant Amazon water lily has a lily pad that is shaped like a circle. Find the circumference and
area of a lily pad with a diameter of 60 inches. Round your answer to the nearest tenth.”
Step 1: Possible solution: Calculate the radius by dividing the diameter in half. Use the formula
calculate the circumference and the formula
to
to calculate the area of the circular pad. Round the answer.
Step 2: Contextual features: A lily pad surface shaped as a circle.
10
J. Jäder et al.
Step 3: GAR-information: In example 2, the area and circumference of a cloth patch is calculated, given a figure
of the patch with the diameter shown. The answers are also rounded to the nearest tenth.
Step 4: Not necessary since GAR-information is already identified.
Step 5: Conclusion: Since the assignment is to calculate the circumference and area the context is not likely to
hinder the students from seeing the similarity between the task and the solved example. The algorithm used in
the example can be used to solve the task.
5.3.2
LCMR-categorization (Speedy Maths, Book 10, Nepal, task 5.1-4d, Creative)
The task is “If the perimeter of an equilateral triangle is 12cm, find its area.”
Step 1: Possible solution: Use the fact that the triangle is equilateral to find the length of the sides by dividing
the perimeter by three. Calculate the height of the triangle by using Pythagoras’ theorem, and finally use the
formula
to calculate the A area of the triangle.
Step 2: Contextual features: Mathematical context
Step 3: GAR-information: In a previous task (5.1-4a), the area of an equilateral triangle for which the sides are
known is asked for.
Step 4: Not necessary since GAR-information is already identified.
Step 5: Conclusion: To be able to calculate the area one needs to find the height and base of the triangle. The
height is found by using Pythagoras’ theorem in both the task and the previous task. Nevertheless, the task starts
at an earlier point than that, in that the base (i.e. the length of the sides) has to be calculated. To realize the need
to find the side length and to also implement this is considered to require CMR. In turn, this reasoningis
considered constituting only a minor part of the total of the solution, which makes the categorization LCMR.
5.3.3
GCMR-categorization (Matematik 5000 1b, Sweden, task 3324, a-task)
The task is to “With words, describe the relation between a and b”. The table below is included in the text.
a
b
1
6
2
7
4
9
Step 1: Possible solution: Compare the values of a and b in each row. A reasonable approach is to search for
elementary arithmetic relations, and to find the relation saying that b is 5 more than a. In this case, this can be
done by performing the subtractions 6-1, 7-2 and 9-4 and seeing that the result is always going to be 5.
Step 2: Contextual features: Mathematical context
Step 3: GAR-information: No GAR-information reasonable to use for solving the task is found within the same
section as the task.
Step 4a: GAR-information: No GAR-information reasonable to use for solving the task is found in other
sections.
Step 4b: Describe the task and the GAR-information in terms of characteristics: Not applicable.
Step 5: Conclusion: To solve the task means to find the correct relation, considering all three rows. Since there is
no algorithm available to do this, the task is categorized as requiring GCMR.
Reasoning requirements in school mathematics textbooks
6
11
Results and analysis
The data collected in this study has been analyzed using descriptive statistics. In the sections below, relative
proportion diagrams present the results in relation to each of the research questions posed. Since the aim of the
study is not to present exact values corresponding to the questions, but rather expose similarities and differences
as well as give an indication of the general proportion of each of the task types, the provided diagrams are
suggested to be more meaningful visual communication of these data than tabulated values. Information on what
books have been analyzed can be found in appendix 1. Tasks covering the two mathematical topics “equations
and formulas” and “perimeter, area and volume” have been analyzed in textbook series from twelve different
countries. In some textbook series this comprised two different textbooks or years, but the content in all cases
belonged to upper secondary school.
100%
80%
60%
40%
20%
0%
GCMR
LCMR
GAR
Fig. 2 The proportion of tasks belonging to each of the categories in the textbooks from 12 countries (%).
Number of tasks analyzed shown within parenthesis.
In the diagram above (see figure 2), a pattern is made visible throughout all twelve countries. GAR-tasks highly
dominate the textbooks and on average made up for 79 % of the tasks. The range of the proportion of GAR-tasks
was 65 % to 94 %. The lowest proportion was found in India, which also had the lowest number of tasks
included in the sections relevant to the selection for this study. Scotland had the highest proportion of GARtasks, and also the highest number of tasks within the specified sections of algebra and geometry.
Table. 1 The proportion of tasks belonging to each of the categories in the textbooks algebra and geometry sections
respectively (%). Number of tasks analyzed shown within parenthesis. A: Algebra, G: Geometry.
AUS
CAN
FIN
IND
IRL
NPL
A (361)
G (78)
A (235)
G (53)
A (216)
G (87)
A (111)
G (75)
A (419)
G (129)
A (193)
G (68)
GAR
94
74
75
75
75
62
68
59
86
82
82
74
LCMR
4
14
12
11
16
17
25
25
10
11
14
19
GCMR
3
12
13
13
9
21
6
16
5
7
4
7
SCO
SGP
ZAF
SWE
TZA
USA
Avg.
A (851)
G (114)
A (327)
G (243)
A (260)
G (107)
A (649)
G (105)
A (398)
G (88)
A (478)
G (86)
A (4498)
G (1233)
GAR
96
85
74
74
82
69
74
65
84
63
81
65
81
71
LCMR
3
12
10
16
10
22
15
15
11
24
10
16
12
17
GCMR
1
3
16
9
8
8
11
20
5
14
9
19
8
12
12
J. Jäder et al.
The most salient result from table 1, as well as figure 2, is that the proportion of the different kinds of tasks is
similar in textbooks from all twelve countries included in this study. GAR-tasks dominate all textbooks, making
up an average of 81% of the tasks in the algebra sections and 71% in the geometry sections (with a standard
deviation of 8% in both cases). The average proportions of Global CMR-tasks were 8% and 12% respectively for
the algebra and geometry sections, with standard deviations of 4% and 6%. The proportion of GAR-tasks in the
algebra sections ranged from 68% to 96%, with nine of the twelve countries having proportions between 74%
and 86%. The corresponding values for the geometry sections ranged between 59% and 85% with ten countries
between 59% and 75%.
Some of the books label the tasks according to for example different levels of difficulty, specific skills or the
way the task might be approached. The proportion of GAR-, LCMR- and GCMR-tasks in each of these tasks
groups labeled by the textbook authors are presented in table 2 below.
IND
IRL
NPL
SCO
GCMR
1
65
15
19
77
9
14
40
0
90
58
31
0
0
8
21
38
60
10
30
21
31
37
20
43
92
72
45
65
3
17
0
25
5
11
55
10
86
10
4
76
7
18
82
81
80
18
19
13
0
0
7
94
4
1
SGP
ZAF
SWE
TZA
USA
GCMR
FIN
5
LCMR
CAN
94
Task label
Level 1/ Basic practice (124)
Level 2/ Further practice (103)
Level 3/ Math works (91)
Brainworks (13)
Try it (60)
Class activity/ Discuss/ Write in
your journal (93)
Review (88)
Unlabeled (276)
Review, check your skills (67)
Review, extend your skills (24)
a-tasks (355, incl. 32 review
tasks)
b-tasks (204, incl. 29 review
tasks)
c-tasks (47, incl. 12 review tasks)
Unlabeled (61, incl. 33 review
tasks)
Activity (experiment, explore,
discuss) (87)
Unlabeled (486)
Practice/Skill practice (191)
Apply (108)
Challenge (26)
Problem solving (21)
Activity/Solve it (30)
Review (83)
Other (105)
GAR
AUS
LCMR
Task label
Fluency (371, incl. 69 review
tasks)
Understanding (26)
Reasoning/Problem solving (35,
incl. 11 review tasks)
Reflection (5)
Unlabeled (2)
Practice the concept (120)
Apply the concept (57)
Extend the concept (13)
Investigate/ Discuss the concept
(35)
Review (63)
Unlabeled (297)
To think about (11)
Unlabeled (186)
Unlabeled (503, incl. 142 review
tasks)
Activity (45) (found in separate
book)
General (33)
Creative (57)
Unlabeled (171)
Unlabeled (965, incl. 118 review
tasks)
GAR
Table. 2 The proportion of tasks belonging to each of the, by the textbook authors labeled task sets (%). Number of tasks
analyzed shown within parenthesis.
81
74
57
38
93
15
18
15
0
5
4
8
27
62
2
70
10
20
76
78
88
50
11
15
6
17
10
7
6
33
85
10
6
63
22
16
34
34
32
80
11
8
60
16
24
80
86
69
42
67
73
88
79
14
9
15
23
10
10
4
12
7
4
17
35
24
17
8
9
A detailed consideration of the proportions of Global and Local CMR tasks within each of these different sets
reveals that the proportions are significantly lower among the easier tasks, and also among exercise sets
described as “Basic”, “Fluency”, (Skill-) “Practice” and “General”. The results also show that the proportion of
Global CMR-tasks in several books is higher in activity/reflection sets. The review sets seem to reflect what is
presented by the exercise sets in each chapter, which is in line with results from Schmidt (2012).
Reasoning requirements in school mathematics textbooks
7
7.1
13
Discussion
There is more to the opportunities to learn than the textbook.
The presented results indicate similarities among textbooks from twelve countries. Tasks that are solvable by
using Guided Algorithmic Reasoning, GAR, is the most common type of tasks in all textbooks studied. The
range of the proportion of GAR-tasks is from 65 % to 94 %, and the average proportion is 79 %. The results
indicate that the proportions of different kinds of tasks regarding the reasoning requirements are, in our view,
surprisingly similar in the textbooks from all twelve countries considering that there is a wide geographical
diversity between them, as well as a range of results in terms of TIMSS- (Mullis, 2012) and PISA- (OECD,
2014) results. The achievements by students from some of these twelve countries are at the high rank, while
others are below average. Provided that the textbooks analyzed are representative to each of the countries, these
results may indicate that the textbook is not the only factor to students’ opportunities to learn.
7.2
The opportunities to learn to reason mathematically provided by the textbook
Procedural as well as conceptual knowledge is important to build a broad mathematical competence (Hiebert,
2003). To gain these kinds of knowledge students need opportunities to learn. The aim of this study is not to
examine if the proportion of CMR-tasks is sufficient or not. What can be said is that research (Hiebert, 2003;
Niss, 1999; Tall et al., 2001) and national curricula in several countries (e.g. Ministry of Education, Singapore,
2006; NCTM, 2000; Swedish National Agency for Education, 2011; Ministry of Education, Ontario, 2005;
Department: Education, Republic of South Africa, 2008) have stressed the importance of broadening the views
of mathematics to include more than algorithmic reasoning and proceduralized work. About three out of four of
all tasks categorized were GAR-tasks. Approximately every tenth task requires Global Creative Mathematical
Reasoning, GCMR. It is also observed that most tasks classified as requiring CMR also include the application
of algorithmic sub-procedures, but tasks classified as GAR include no CMR. Hence, another way to express the
result is that essentially 100% of the tasks provide the opportunity to practice algorithms, and 10-20% of the
tasks provide the opportunity to practice CMR.
The results further describe a skewness in the sense that the proportion of Global and Local CMR-tasks
within each of the textbooks is significantly lower among the first set of tasks (“Basic”, “Fluency”, (Skill-)
“Practice” and “General”) that students meet in each section of the textbook. The task in 5.3.3 indicates that it is
possible to design tasks that require students to use CMR, without at the same time requiring them to use other
competencies at a higher level of difficulty.
It seems that at least some of the textbooks include more tasks than what is reasonable for the average student
to work through. This in turn implies that a selection has to be made, either by the individual student and/or by
the teacher. Consider an example of a Swedish student struggling with mathematics. The textbook supports a
situation where students choose one of three strands, referring to three levels of difficulty, and three sets of tasks.
There are indications that the student in his or her attempt to work with tasks, focuses mainly on the easier tasks
(Sidenvall et al., in press). In this case, the proportion of Global and Local CMR-tasks that the student is faced
with decreases from 22% to 13% (when working with the analyzed algebra chapter). A similar situation where
the selection of tasks may prove important can be highlighted by an example in a Singaporean textbook context.
Considering an algebra chapter, the students may encounter 27 Global CMR-tasks out of 172 tasks in total. A
teacher, maybe due to lack of time, decides to exclude all the tasks included under the headings “Class Activity”
14
J. Jäder et al.
and the “Write in your Journal” heading. In addition, the struggling student may exclude the level containing the
most difficult tasks and end up with 6 Global CMR-tasks out of the 118 tasks left in the chapter. These results
indicate that the selection of tasks may have significant effects on the opportunities to learn students get. The
tasks within the textbook is one of the main influences on the teaching of mathematics, and the way the textbook
is used, in regard to for example the selection of tasks, varies greatly (Rezat & Strässer, 2014). This indicates
that different opportunities to learn appear in different settings, and that it is important to consider the task
selection done.
In presenting the results of this study, we in no way claim that reasoning is all there is to mathematics.
However, the results serve as an indication of the support the textbook provides concerning the opportunities to
learn to reason mathematically. Considering the proportion of CMR-tasks and how these are distributed within
the textbook it appears that there might be limited opportunities for students to use creative mathematical
reasoning. To be able to say something more in-depth about students’ opportunities to learn would require a
consideration not only of what tasks are presented in the textbook, but also, an exploration of how the textbook
is used. A textbook analysis should be seen in the light of how it is used (Valverde, Bianchi, Wolfe, Schmidt &
Houang, 2002), and how the tasks within the textbook are used to creates different opportunities to reason
mathematically (Ball & Bass, 2003).
In the TIMSS 1999 video study, problem statements were compared to actual mathematical processes used
when solving the problem. Results of this study show that many of the tasks that were defined as being a
“making connection” problem, were in fact solved by simply giving a result or by using a procedure (Hiebert et
al., 2003). Other studies indicate that tasks which focus on developing students’ capacity to think and to use
more creative types of mathematical reasoning seem to be the tasks that teachers and students have the most
difficulty in implementing as intended (Stein et al., 2007). This indicates that students’ opportunities to learn to
use creative mathematical reasoning may, at least, be not greater than what is found by this textbook study. In
fact there seems to be an unused potential in textbooks concerning these opportunities. To unlock this potential it
may be fruitful for teachers and students to reflect on the usage of the textbook in relation to the learning goals.
This could translate into teachers helping students carry out the tasks as intended, keeping the requirement for
using creative mathematical reasoning. In addition, deliberate task selection may be essential to what
opportunities to reason mathematically are given to the students by the textbook. In the light of the textbook as a
potential model for teaching, these results also emphasize that textbook writers and publishers need to include a
broader view of mathematics (Newton & Newton, 2007). The inclusion of task sets such as “Problem solving” or
“Activity” does not change this situation if the tasks within the sets can still be solved following available
templates. An example of such a task is evident in section 5.3.1, which is labeled as a “Problem solving” task,
but is possible to solve by GAR. The framework and method presented in this study provide teachers and
researchers as well as textbook authors and designers with an additional tool with which they can examine
mathematics textbooks more closely.
7.3
Future studies
How the textbook is used is an important factor to consider when discussing opportunities to learn. In this
regard, textbook usage by both students and teachers is essential. As stated by Ball (2003), “no curriculum
teaches itself”, which means that teachers and students need to create opportunities to learn with the aid of the
Reasoning requirements in school mathematics textbooks
15
textbook. Therefore, it would be valuable to investigate how students reason while solving textbook tasks with
different reasoning requirements in the twelve countries included in this study.
The framework and method used in this study are not able to capture the complete picture of the textbook and
its constitutive tasks. According to Stein and Lane (1996) the likelihood of a task keeping its intended
requirements has to do with certain characteristics, such as clear demands and possibilities for students to
connect more than one representational model or more than one solution strategy to the task. Another such
characteristic is what kind of expectations are placed on the students by the wording of the assignment. These
could, for example, be to explain, solve, calculate, motivate or reason (Davis et al., 2014). To be able to say
something about this matter another kind of analysis would be necessary. To analyze the tasks in the textbooks
with respect to the task characteristics formulated by Stein and Lane (1996) would also provide a deeper
understanding of the opportunities to learn to reason mathematically provided by the textbook.
References
Ball, D. L. (2003, February 6). Mathematics in the 21st century: What mathematical knowledge is needed for teaching mathematics? Paper
presented at the Secretary’s Summit on Mathematics, U.S. Department of Education, Washington, DC.
Ball, D. L., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. In J. Kilpatrick, W. Martin G. & D. Schifter (Eds.), A research
companion to the principles and standards for school mathematics (pp. 27-44) Reston, VA: National Council of Teachers of
Mathematics.
Bergqvist, T., Lithner, J., & Sumpter, L. (2008). Upper secondary students' task reasoning. International Journal of Mathematical Education
in Science and Technology, 39(1), 1-12.
Boaler, J. (1998). Open and closed mathematics: Student experiences and understandings. Journal for Research in Mathematics Education,
29(1), 41-62.
Boesen, J., Helenius, O., Bergqvist, E., Bergqvist, T., Lithner, J., Palm, T. & Palmberg, B. (2014). Developing mathematical competence:
From the intended to the enacted curriculum. Journal of Mathematical Behavior, 33(1), 72-87.
Boesen, J., Lithner, J., & Palm, T. (2010). The relation between types of assessment tasks and the mathematical reasoning students use.
Educational Studies in Mathematics,75(1), 89-105.
Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Burstein, L. (1993). Studying learning, growth, and instruction cross-nationally: Lessons learned about why and why not engage in crossnational studies. In L. Burstein (Ed.) The IEA Study of Mathematics III: Student Growth and Classroom Processes, xxvii-xlix. New
York: Pergamon Press.
Davis, J. D., Smith, D. O., Roy, A. R., & Bilgic, Y. K.(2014). Reasoning-and-proving in algebra: The case of two reform-oriented U.S.
textbooks. International Journal of Educational Research, 64, 92-106.
Department: Education, Republic of South Africa. (2008). National Curriculum Statement, Grades 10-12 (General), Learning Programme
Guidelines, Mathematical Literacy, January 2008. Retrieved from http://www.education.gov.za/
Doyle, W. (1983). Academic work. Review of Educational Research, 53(2), 159-199.
Gresalfi, M. S. (2009). Taking up opportunities to learn: Constructing dispositions in mathematics classrooms. Journal of the Learning
Sciences,18(3), 327-369.
Halldén, O., Scheja, M., & Haglund, L. (2008). The contextuality of knowledge: An intentional approach to meaning making and conceptual
change. In S. Vosniadou (Ed.), International handbook of research on conceptual change (pp. 509-532). New York: Routledge.
Hegarty, M., Mayer, R., & Monk, C. (1995).Comprehension oh arithmetic word-problems - a comparison of successful and unsuccessful
problem solvers. Journal of Educational Psychology, 87(1), 18-32.
Henderson, S. (2012). Why the journey to mathematical excellence may be long in Scotland's primary schools. Scottish Educational Review,
44(1), 46-56.
Hiebert, J. (2003). What research says about the NCTM standards. In J. Kilpatrick, G. Martin & D. Schifter (Eds.), A research companion to
the principles and standards for school mathematics (pp. 5-23) Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Hiebert, J., Gallimore, R., Garnier, H., Givvin, K. B., Hollingsworth, H., Jacobs, J., … Stigler, J. (2003). Teaching mathematics in seven
countries: Results from the TIMSS 1999 video study. Washington, DC: U.S. Government Printing Office.
Johansson, M. (2006). Teaching mathematics with textbooks - A classroom and curricular perspective. (Doctoral dissertation, Luleå
University of Technology, Department of Mathematics, Sweden, 23) Retrieved from http://pure.ltu.se/portal/sv/
Kilpatrick, J., Swafford, J.,&Findell, B. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. National Academy Press, Washington,
DC.
Li, Y. (2000). A comparison of problems that follow selected content presentations in American and Chinese mathematics textbooks.
Journal for Research in Mathematics Education, 31(2), 234-41.
Lithner, J. (2000). Mathematical reasoning in task solving. Educational Studies in Mathematics, 41(2), 165-90.
Lithner, J. (2003). Students' mathematical reasoning in university textbook exercises. Educational Studies in Mathematics, 52(1), 29-55.
Lithner, J. (2004). Mathematical reasoning in calculus textbook exercises. Journal of Mathematical Behavior, 23(4), 405-427.
Lithner, J. (2008). A research framework for creative and imitative reasoning. Educational Studies in Mathematics, 67(3), 255-276.
McDonnell, L. M. (1995). Opportunity to learn as a research concept and a policy instrument. Educational Evaluation and Policy Analysis,
(3), 305.
Ministry of Education, Singapore (2006). Secondary Mathematics Syllabuses.Singapore: Ministry of Education, Curriculum Planning and
Development Division.
Ministry of Education, Ontario. (2005). The Ontario Curriculum, Grades 9 and 10. Mathematics. Available fromhttp://www.edu.gov.on.ca
Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Foy, P., Olson, J. F., Preuschoff, C., Erberber, E., … Galia, J. (2008) TIMSS 2007 International Mathematics
Report – Findings from IEA’s trends in international Mathematics and Science Study at the fourth and eighth grades. International
16
J. Jäder et al.
Association for the Evaluation of Educational Achievement. Chestnut Hill, MA: Boston College, TIMSS & PIRLS International
Study Center.
Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Ruddock, G. J., O'Sullivan, C. Y. & Preuschoff, C. (2009). TIMSS 2011 assessment frameworks. International
Association for the Evaluation of Educational Achievement. Chestnut Hill, MA: Boston College, TIMSS & PIRLS International
Study Center.
Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Foy, P., Arora, A. (2012) TIMSS 2011 International Results in Mathematics. International Association for
the Evaluation of Educational Achievement. Chestnut Hill, MA: Boston College, TIMSS & PIRLS International Study Center.
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2000). Principles and standards for school mathematics, Reston, VA: National
Council of Teachers of Mathematics.
Newton, D. P., & Newton, L. D. (2007). Could elementary mathematics textbooks help give attention to reasons in the classroom?
Educational Studies in Mathematics, 64(1), 69-84.
Niss, M. (1999). Aspects of the nature and state of research in mathematics education. Educational Studies in Mathematics, 40(1), 1-24.
Niss, M. (2003). The mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish KOM project. Denmark: IMFUFA, Roskilde
University.
Niss, M. (2007). Reflections on the state of and trends in research on mathematics teaching and learning - from here to utopia. In F. K. Lester
(Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 1293-1312) Greenwich, Connecticut: Information
Age Publishing Inc.
Nunes, T., Bryant, P., Evans, D., Bell, D., Gardner, S., Gardner, A., Carraher, J. (2007). The contribution of logical reasoning to the learning
of mathematics in primary school. British Journal of Developmental Psychology, 25(1), 147-166.
OECD (2014). PISA 2012 results in Focus. What 15-year-olds know and what they can do with what they know. Paris: OECD Publishing.
Palm, T., Boesen, J., & Lithner, J. (2011). Mathematical reasoning requirements in Swedish upper secondary level assessments.
Mathematical Thinking and Learning: An International Journal, 13(3), 221-246.
Rezat, S., & Strässer, R. (2012). From the didactical triangle to the socio-didactical tetrahedron: Artifacts as fundamental constituents of the
didactical situation. Zdm – The International Journal of Mathematics Education, 44(5), 641-651.
Rezat, S., & Strässer, R. (2014). Mathematics Textbooks and How They Are Used. In P. Andrews & T. Rowland. London (Eds.) Master
Class in Mathematics Education. International Perspectives on Teaching and Learning. (pp. 51-62).New York: Bloomsbury.
Schmidt, W. (2012). Measuring content through textbooks: The cumulative effect of middle-school tracking. In G. Gueudet, B. Pepin & L.
Trouche (Eds.), From text to 'lived' resources: Mathematics curriculum materials and teacher development (pp. 143-160). Dordrecht:
Springer Science & Business Media B.V.
Schmidt, W. H., McKnight, C. C., Houang, R. T., Wang, H., Wiley, D. E., Cogan, L. S., Wolfe, R., G. (2001). Why schools matter: A crossnational comparison of curriculum and learning. The Jossey-Bass education series. San Francisco: Jossey-Bass.
Schoenfeld, A. H. (2012). Problematizing the didactic triangle. Zdm – The International Journal of Mathematics Education, 44(5), 587-599.
Shield, M., & Dole, S. (2013). Assessing the potential of mathematics textbooks to promote deep learning. Educational Studies in
Mathematics 82, 183-198.
Sidenvall, J., Lithner, J., & Jäder, J. (in press). Students’ reasoning in mathematics textbooks task-solving. International Journal of
Mathematical Education in Science and Technology.
Silver, E. A. (1986). Using conceptual and procedural knowledge: A focus on relationships. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural
knowledge: The case of mathematics (pp. 181-198). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Stacey, K., & Vincent, J. (2009). Modes of reasoning in explanations in Australian eighth-grade mathematics textbooks. Educational Studies
in Mathematics, (3), 271-288.
Stein, M. K., & Lane, S. (1996). Instructional tasks and the development of student capacity to think and reason: An analysis of the
relationship between teaching and learning in a reform mathematics project. Educational Research & Evaluation, 2(1), 50-80.
Stein, M. K., Remillard, J., & Smith, M. S. (2007). How curriculum influences student learning. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of
research on mathematics teaching and learning, (pp. 319-369). Charlotte, NC: National Council of Teachers of Mathematics;
Information Age Publishing.
Stylianides, G. J. (2014). Textbook analyses on reasoning-and-proving: Significance and methodological challenges. International Journal of
Educational Research, 64, 63-70.
Swedish National Agency for Education (2011). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för gymnasieskola 2011. English
translation of title: Curriculum, exam goals and core subjects in upper secondary school 2011, Stockholm: Fritzes.
Tall, D., Gray, E., Ali, M. B., Crowley, L., DeMarois, P., McGowen, M., …Yusof, Y. (2001).Symbols and the bifurcation between
procedural and conceptual thinking. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 1(1), 81-104.
Thompson, P. W. (1996). Imagery and the development of mathematical reasoning. In L. P. Steffe, B. Greer, Nesher P., P. Cobb & Goldin G.
(Eds.), Theories of learning mathematics (pp. 267-283). NJ: Erlbaum: Hillsdale.
Thompson, D.R., Senk, S.L., & Johnson, G.J. (2012), Opportunities to learn reasoning and proof in high school mathematics textbooks,
Journal for Research in Mathematics Education, 43, 253-295.
Valverde, G. A., Bianchi, L. J., Wolfe, R. G., Schmidt, W. H.& Houang, R. T. (2002). According to the book: Using TIMSS to investigate the
translation of policy into practice through the world of textbooks, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Vincent, J., & Stacey, K. (2008). Do mathematics textbooks cultivate shallow teaching? Applying theTIMSS video study criteria to
Australian eighth-grade mathematics textbooks. Mathematics Education Research Journal, 20(1), 82-107.
Reasoning requirements in school mathematics textbooks
17
APPENDIX 1
Australia: Math Quest 10 for the Australian Curriculum (John Wiley & Sons Australia, Ltd, 2012)
Canada: Foundations of Mathematics 10 (McGraw-Hill Ryerson, 2007)
Finland: Kort Matematik 1-Uttryck och ekvationer, 2-Geometri (Aalto et al., Schildts & Söderström,
2004, 2007)
India: Mathematics Textbook for Class VII, X (National Council of Educational Research and Training,
2005-2007).
Ireland: Active Maths 3. Book 1, 2 and Activity Book (Keating, M.; Mulvany, D.; O’Loughlin, J.,
Folens Publishers, 2011-2012).
Nepal: Perfect Mathematics, class 8 (N B Khatakho, VidyarthiPrakashan (P.) Ltd., 2013) and United’s
Speedy Maths, book 10 (Hukum Pd. Dahal, United Nepal Publication Pvt. Ltd., 2013).
Scotland: Scottish Secondary Mathematics R3 (Senaghan et al., Heineman, 2007)
Singapore: Discovering Mathematics 1A, 1B, 3A, 3B (Star Publishing Pte Ltd, 2012-2013)
South Africa: Classroom Mathematics Grade 10 (Heinemann Publishers (Pty) Ltd, 2011)
Sweden: Matematik 5000 1b (Alfredsson et al., Natur & Kultur, 2011).
Tanzania: Secondary Basic Mathematics. Book 1, 2, 4 (Tanzania Institute of Education, Educational
Books Publishers Ltd., 2009).
USA: Algebra 1 (Prentice Hall, Pearson, 2011) and Geometry (Larson, Boswell, Kanold, Stiff,
McDougal Littell, 2007).
The homeworkbooks/extra books etc were:
Australia: Math Quest 10 for the Australian Curriculum - Homework book (John Wiley & Sons
Australia, Ltd, 2012)
Canada: Foundations of Mathematics 10 - Student Workbook 10 (McGraw-Hill Ryerson, 2007)
Finland: Kort Matematik 9-Repetition (Aalto et al., Schildts & Söderström, 2004, 2007)
India: Mathematics Exemplar Problems, class X (National Council of Educational Research and
Training, 2008).
Nepal: Compulsory Mathematics Practice Book – Class 8 (D R Simkhada, Readmore, 2013)
Singapore: Discovering Mathematics Workbook 1, Workbook 3 (Star Publishing Pte Ltd, 2012-2013)
South Africa: Classroom Mathematics Grade 10, Learners book and Practice book (Heinemann
Publishers (Pty) Ltd, 2011)
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 2014
http://dx.doi.org/10.1080/0020739X.2014.992986
Students’ reasoning in mathematics textbook task-solving
Johan Sidenvalla∗ , Johan Lithnerb and Jonas Jädera
a
Department of Social and Welfare Studies, Linköping University, Sweden; b Umeå Mathematics
Education Research Centre, Umeå University, Sweden
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
(Received 21 July 2014)
This study reports on an analysis of students’ textbook task-solving in Swedish upper secondary school. The relation between types of mathematical reasoning required,
used, and the rate of correct task solutions were studied. Rote learning and superficial
reasoning were common, and 80% of all attempted tasks were correctly solved using
such imitative strategies. In the few cases where mathematically founded reasoning was
used, all tasks were correctly solved. The study suggests that student collaboration and
dialogue does not automatically lead to mathematically founded reasoning and deeper
learning. In particular, in the often common case where the student simply copies a solution from another student without receiving or asking for mathematical justification,
it may even be a disadvantage for learning to collaborate. The results also show that
textbooks’ worked examples and theory sections are not used as an aid by the student
in task-solving.
Keywords: mathematical reasoning; task-solving; mathematics textbook; upper
secondary school
1. Introduction
Reasoning is a fundamental aspect of mathematics.[1–3] Research has shown that there is
too much emphasis on rote learning and superficial reasoning in mathematical education.[4]
According to Hiebert [4] ‘One of the most reliable findings from research on teaching and
learning is that students learn what they are given opportunities to learn’ (p.10). To learn
both procedures and mathematically founded reasoning students must practise how to
solve both routine and non-routine tasks.[5] The textbook is an important source for giving
students an opportunity to learn.[6] This study does not primarily examine the textbook
itself as an opportunity to learn, nor does it focus on what is actually being learned. The
study focuses on students’ solving textbook tasks related to their reasoning; examining how
the type of reasoning affects the ability to solve textbook tasks. Rote learning is related
to students’ tendency to use sometimes inefficient and mathematically superficial imitative
strategies rather than creating their own solutions through reasoning.[7–10] Tasks are a
cornerstone of students’ work with mathematics and according to Doyle [11] ‘influence
students by directing their attention to particular aspects of content and specifying ways of
processing information’ (p. 161). The overall purpose of this study is to examine to what
extent students create their own solutions through mathematically founded reasoning to
solve textbook tasks, and to relate the students’ reasoning with their ability in completing
the tasks.
∗
Corresponding author. Email: johan.sidenvall@liu.se
C 2014 Taylor & Francis
2
J. Sidenvall et al.
This paper has the structure as follows. In the Background the importance of the textbook
and its tasks are shown upon, followed by a background of the reasoning competence. In
the Research framework section the research framework is presented. The Methods section
includes description of both data collection and data analysis. Results are presented in the
Results section. The paper ends with a Discussion of the results.
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
2. Background
2.1. The textbook and textbook tasks
Textbooks have been shown to have a great impact on classroom work and to form the
backbone of mathematical teaching both in Sweden [12–14] and internationally.[6,15–18]
The textbook tasks that students engage in largely determine what they learn about
mathematics and how they learn it.[19] By studying data from the Third International
Mathematics and Science Study, Valverde et al. [18] found that a majority of the textbooks
for 9- and 13-year-olds and students in the final year of secondary school mainly focused on
practising routine skills. A low proportion of the textbooks’ content aimed at investigation,
problem-solving or making mathematical generalizations. An international textbook task
analysis [20] showed that around 75% of the tasks in a common Swedish secondary
school mathematics textbook were solvable by mimicking previously presented algorithmic
templates. Twenty-five per cent of the tasks required at least some mathematically founded
reasoning to be solved. The study also showed that a majority of the tasks requiring
mathematically founded reasoning were classified by the textbook authors as more difficult
tasks.
2.2. Reasoning
Ball and Bass [21] state that ‘mathematical reasoning is no less than a basic skill’ (p.28).
In the following, a broad definition of reasoning is applied. This means that reasoning can
be found in all levels of mathematical understanding. In the literature ‘reasoning’ is often
defined as a skill of high deductive-logical quality.[22] This is not the case in this study;
our overall assumption is that mathematically founded reasoning can be found and used
at all levels of difficulty in solving mathematical tasks. This is also in line with national
curricula and research concerning what competences should be developed.[1,2,4,23] The
definition of reasoning used here is: ‘reasoning is the line of thought adopted to produce
assertions and reach conclusions in task-solving. It is not necessarily based on formal logic,
thus not restricted to proof, and may even be incorrect as long as there are some kind of
sensible (to the reasoner) reasons backing it’.[24,p.257] Empirical studies [7,10,25–29]
using this wider definition of reasoning lead to a division into imitative reasoning and
creative mathematically founded reasoning (CMR). To use imitative reasoning is to solve
tasks by methods that are known or provided by someone else (e.g. a teacher or a textbook).
To use CMR is to use a new, mathematically founded and intrinsic line of argument (see
Research framework section).[24] When opportunities to learn CMR are given it will
also lead to opportunities to develop other related important mathematical competences:
problem-solving and conceptual understanding.[24] Such competences are not developed
by imitative reasoning alone.[4,5,24]
A framework of analysis will be used to categorize the reasoning used by students to
solve a task, and whether or not they succeed. Another framework of analysis will be used
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
3
to categorize the anticipated reasoning required for a task according to the level of the
mathematical course. Both frameworks use the theoretical framework by Lithner.[24]
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
3. Aim and research questions
The aim of the study is to examine how the type of reasoning affects the possibilities to solve
textbook tasks in a Swedish upper secondary school context. In order to do this we will (1)
categorize what kind of reasoning is required in order to solve the tasks, (2) categorize the
students’ reasoning, and (3) analyse how (1), (2) and students’ correct task solution rate are
related. The aim of the study is specified in the following research questions:
• What is the relationship between the reasoning required and the reasoning used when
solving textbook tasks?
• What is the relationship between the reasoning used and the rate of correct solutions
when solving textbook tasks?
4. Research framework
This study is based on a research framework formulated by Lithner [24] in which reasoning
in task-solving is seen as a product of a student’s thinking process. Reasoning is seen as
data in empirical studies, which can be documented through text, graphical representation,
video recordings, etc., and these data are seen as traces of the students’ thoughts.[10]
The thinking processes are dependent on the students’ mathematical competences. In turn,
these competences are formed by the sociocultural milieu.[24] The task-solving process
according to the framework comprises the following four steps:
(1) A task is met.
(2) A strategy choice is made, where ‘strategy’ ranges from local procedures to general
approaches, and ‘choice’ is seen in a wide sense (choose, recall, construct, discover,
guess, etc.). The strategy choice can be supported by predicative argumentation:
Why will the strategy solve this task?
(3) The strategy is implemented, which can be supported by verificative argumentation:
Why did the strategy solve the task?
(4) A conclusion is obtained.
The characterization of reasoning types is based on analyses of the explicit or implicit
arguments in the strategy choice and implementation. The two main reasoning types,
imitative and CMR, are defined below.
4.1. CMR
Imitative reasoning is often suitable for solving routine tasks. The six different types of
imitative reasoning are as follows.
Memorized reasoning is characterized by the strategy of recalling a complete answer
(e.g. a proof) and the implementation of this choice consists of merely writing it down.
Many school tasks normally require calculations where it is more appropriate to recall
an algorithm rather than the answer. This provides a basis for the other main type of
imitative reasoning, algorithmic reasoning (AR). In this regard, ‘An algorithm is a finite
sequence of executable instructions which allows one to find a definite result for a given
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
4
J. Sidenvall et al.
class of problems’.[30,p.129] The nth transition does not depend on any circumstance
unforeseen in the (n − 1)th transition; nor on finding new information, any new decision,
any interpretation, and thus on any meaning that one could attribute to them. Thus, an
algorithm can be determined in advance. AR is characterized by a strategy of searching
for or recalling a certain algorithm that is thought to be suitable and then implementing
this algorithm in task-solving.[24] ‘The remaining parts of the strategy implementation are
trivial for the reasoner, only a careless mistake can prevent a correct answer from being
reached. How to identify a suitable algorithm is fundamental, and the rest is relatively
straightforward’.[29,p.225] AR can be further divided into five subgroups in which an
algorithm is obtained: familiar AR,delimiting AR, and three types of guided AR (peerguided AR, teacher-guided AR andtext-guided AR).[7,24] The different AR types are as
follows.
Familiar AR is connected to a strategy of searching for familiar (perhaps superficial)
clues or leads that in turn trigger a strategy choice of which algorithm to choose. A student
might use familiar AR when solving an equation where the student knows the corresponding
algorithms.
Delimited AR may be employed when a student cannot connect a familiar algorithm
to the task. Instead, an algorithm is chosen from a set that is delimited by the student
through the algorithms’ surface relations to the task. If the implementation does not lead
to a reasonable conclusion (to the reasoner) the reasoning sequence is simply terminated
and another algorithm may be chosen from the set. An example from Bergqvist et al. [7]
illustrates a student’s use of delimited AR: in Sally’s attempt to solve ‘Find the largest and
smallest values of the function y = 7 + 3x − x 2 on the interval [1, 5]’. She differentiates
y, solves y (x) = 0, (x = 1, 5) and evaluates y (1, 5) = 9, 25. She hesitates: ‘I think that
I should have got two values, and I don’t know why I didn’t, what have I done wrong’.
She abandons this method without reflection since it did not produce an expected answer.
Instead she moves on to two different methods using a graphic calculator. These subsequent
attempts are also abandoned since they do not produce an expected answer. Sally finally
makes the incorrect strategy choice to solve 7 + 3x − x 2 = 0 and obtains two values,
x1 ≈ 4, 54 and x2 ≈ −4, 54, which she regards as a correct solution even though this does
not solve the task.
Peer-guided AR occurs when the reasoner is guided through the task by a peer who
describes the solution procedure. The strategy choice is to follow the peer’s guidance and
the implementation is in simply executing the algorithm without verificative argumentation.
Teacher-guided AR is similar to peer-guided AR with the difference that the teacher serves
as a guide.
Text-guided AR is used when, during his/her strategy choice, a student identifies surface
similarities between the task and an example, definition, theorem, rule, or some other
situation in a text source. The algorithm is implemented without verificative argumentation.
4.2. Creative mathematically founded reasoning
In imitative reasoning the task-solver applies a recalled or externally provided solution
method. In CMR the solver constructs a solution method. The empirical studies forming
the basis of the reasoning framework [24] have identified three central aspects distinguishing
CMR from imitative reasoning:
• Novelty. A new (to the reasoner) reasoning sequence is created, or a forgotten one is
re-created.
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
Table 1.
Types of reasoning defined in the reasoning framework of Lithner.[24]
Creative
mathematically
founded reasoning
Global
Local
Imitative reasoning
Algorithmic
reasoning, AR
Memorized
reasoning
Familiar
AR
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
5
Delimited
AR
Peerguided
AR
Teacherguided
AR
Textguided
AR
• Plausibility. There are arguments supporting the strategy choice and/or strategy implementation motivating why the conclusions are true or plausible.
• Mathematical foundation. The arguments are anchored in the intrinsic mathematical
properties of the components involved in the reasoning.
Imitative reasoning contains no CMR. Local CMR always contains considerable parts
of imitative reasoning (e.g. recalling facts and using algorithmic subprocedures) and minor
parts of CMR. Global CMR may contain large parts of imitative reasoning but always
contains significant parts of CMR.
Table 1 shows schematically CMR and imitative reasoning with their subcategories.
4.3. Textbook task analysis
An analysis of textbook task is performed considering what type of reasoning is required
in order to solve the task. The essence of the method is that the reasoning required of the
task depends on the previous information in the textbook. Empirical studies [20,26,27]
have used this method to categorize the reasoning requirements of a task. If a task can be
solved by using algorithmic templates previously presented in the textbook’s theory section,
a worked example, or in previous tasks, it is categorized as only requiring text-guided AR
to be solved. If the task has no algorithmic templates and CMR is needed for the overall
solution strategy then the task is categorized as requiring global CMR. If minor changes
have to be made in the presented algorithmic templates to solve a task, the task is categorized
as requiring local CMR to be solved.
5. Methods
5.1. Method of data collection
Data were collected from two Swedish upper secondary schools of about average size.
Upper secondary school is not a compulsory part of the Swedish school system, but 98%
of students from the compulsory lower secondary school continue to upper secondary
school. The overall data collection method adopted in this study is based on Långström and
Lithner’s [28] methods, which enables collection of data during normal classroom work.
Data were collected from two classes from the least mathematically intense programme,
one class from the intermediately intense programme and two classes from the most mathematically intense programme. This was done to cater for the case that students participating
in different tracks might have different mathematical competences. All students attended
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
6
J. Sidenvall et al.
the first year of upper secondary school, equivalent to the 10th year of schooling. The
teachers were professionally trained and had at least 10 years of teaching experience.
The lessons (50–60 minutes) were alike in structure and execution. A typical lesson
commenced with a teacher’s presentation (10–25 minutes) followed by student work with
textbook tasks (30–45 minutes). The teacher did direct the students to a specific section of
the book. It was to a large extent up to the students to decide what tasks and at what level
of difficulty to do in the directed section. The teacher moved around the classroom helping
students in their task-solving. Following the teachers’ presentations, the video recordings
began. Two cameras were placed in the classroom. During the first minutes of the students’
work with textbook tasks, two groups of students were chosen for the data collection. A
camera and microphone were placed in close vicinity to each group. The criteria used when
choosing groups of students were that they seemed to be mathematically active and that a
mathematical dialogue was in progress. The students’ notebooks and textbooks were also a
part of the data. Field notes were taken throughout the lessons. The work from seven groups
of students from four classes was analysed. Six groups consisted of 2 students and one group
consisted of 3 students, giving a total of 15 students. A class from the least mathematically
intense track was excluded from the analysis due to the lack of mathematical task-solving
observed in the groups.
5.2. Method of data analysis
5.2.1. Reasoning analysis procedure (reasoning used)
The analysis procedure was based on previous empirical studies.[10,26,28] In applying the
framework to analyse what reasoning a student used when solving a task, the first step
was to structure the data by studying video-recordings, transcripts, students’ notebooks and
field notes. To conduct a more fine-grained analysis, the second step was to identify subtasks in the students’ task-solving, and subdivide the subtasks using the four-step reasoning
sequence. Following this, any observed predicative and verificative arguments were identified in each subtask situation. The reasoning sequence was then classified according to
the reasoning types of the framework. Finally, each subtask solution attempt was classified
as correct or incorrect, unless the incorrectness is only due to a careless mistake and the
solution is otherwise correct.
In order to categorize the reasoning of a solution for a whole task, an analysis of
the subtasks was made to investigate which of the subtasks had the decisive reasoning
sequence. The decisive reasoning sequence was then considered as representative of the
overall reasoning for the whole task. The overall solution attempt was also classified as
correct or incorrect.
5.2.1.1. Example of data and analysis of familiar AR. Data: Adam solves the task below
(Figure 1) straightforwardly by identifying the algorithm connected to a familiar clue or
lead, here as a geometrical figure where the centre angle is given and the boundary angle
is sought. ‘It was like this, I think that it [angle v] is half [of 190◦ angle]. Isn’t that right?’
‘Calculate angle v’ [31,p.159] (Figure 1).
Analysis: Since Adam states: ‘I think that it [angle v] is half [of 190◦ angle]’ it is clear
that he knows the inscribed angle theorem and thus an algorithmic solution method. If
he had not already been familiar with the theorem he would have to construct it during
the task-solving session, which is very difficult. This would take much longer time than
what he used and there would be some traces of this construction in the data, for example
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
Figure 1.
7
Figure for task solved using familiar AR.
drawings and probably also some explicit arguments justifying the construction. Therefore
the reasoning is categorized as familiar AR.
5.2.1.2. Example of data and analysis of delimited AR. Data: Molly is trying to solve the
task ‘What are the zeroes of the function y = x 2 − 6x + 5?’.[32,p.108] Molly chooses a
suitable method, does the following calculations, but makes the careless mistake of adding
and subtracting 4 instead of 2 in the final step:
y = x 2 − 6x + 5, y = 0, 0 = x 2 − 6x + 5, x = 3 ±
√
9 − 5, x1 = 7, x2 = −1
(1)
Molly then compares her result with the answer in the answer section. She sees that
she has produced an incorrect answer. Molly then tries, without any further reflection, an
algorithm that the teacher has presented on the blackboard to calculate a function’s value.
This algorithm can be used to check if given x-values are zeros of the function or not,
but it is not suitable for finding such values (i.e. to solve the task). However, she uses the
algorithm presented by the teacher in the hope that it might solve the task. She arrives at
the following result:
y1 (7) = 12, y2 (−1) = −18
(2)
There is no indication of the student’s reflection that the calculated x-values should give
y = 0 and not the two function values as in (2) if they were solutions to the task. Molly’s
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
8
J. Sidenvall et al.
Figure 2.
Figure for task solved using text-guided AR.
calculation (2), which she sees as an answer to the task, she is confused and she seems to
lose track of what she is doing when the answer does not match the answer in the answer
section. She states: ‘Well, this did not go so well’ and abandons the task.
Analysis: The first calculation (1) is categorized as familiar AR since Molly chooses a
known algorithm, although she makes a computational error. Her second calculation (2) is
categorized as delimited AR. The reason for this classification is that instead of analysing
the outcome of the chosen algorithm (1) she merely abandoned it without reflection and
continued trying to solve the task by using a new algorithm (2) that yields two numbers as
an answer. She hopes that this algorithm might solve the task. When the first algorithm does
not provide her with an answer that is the same as in the answer section, the second algorithm
is selected on the basis that it is considered somehow connected to finding function values,
but Molly does not understand how or why. The strategy implementation is then carried out
by following the algorithm. No verificative argumentation is required.
5.2.1.3. Example of data and analysis of text-guided AR. Data: The task below is solved
by David by searching in the textbook for a suitable algorithm. The bisector theorem is
found and used to solve the task. ‘CD is a bisector. Determine AD’ [33,p.160] (Figure 2).
Analysis: The strategy choice concerns identifying surface similarities between the task
and the theorem. In this case the figure beside the theorem is similar to the figure in the
task. The algorithm is implemented without verificative argumentation.
5.2.1.4. Example of data and analysis of peer-guided AR. Data: Simon is trying to solve
task (d) below.
When Jesper buys a TV for 15000 crowns he is offered to a yearly payment plan over five years
instead of paying cash. Every year a fifth of the debt is paid off. The interest rate is 5.75%.
(a) How much must Jesper pay to the bank the first year?
(b) How much must Jesper pay to the bank the second year?
(c) How much more will the TV cost if it is paid through the payment plan compared to
paying in cash.
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
Figure 3.
9
Figure for task solved using teacher-guided AR.
(d) How much more expensive (in percentage) is the TV when it is paid off in instalments?
[34,p.107]
Simon seems to know that he must compare the cash price with the sum of the cash
price plus interest, but does not know how to make the comparison himself. He then turns
to his peer and asks: ‘Or should I take the new [value] divided by the old [value]?’ The
peer then responds with: ‘The new by the old. That divided by that [pointing in Simon’s
notebook]’. Simon then writes the correct computation without asking for an explanation
as to why this algorithm leads to the correct answer.
Analysis: The strategy choice that is problematic for Simon was already made by a peer.
The strategy implementation followed the guidance and execution of the remaining routine
transformations.
5.2.1.5. Example of data and analysis of teacher-guided AR. Data: Adam is trying to
solve the task ‘Determine angle AOB in [Figure 3]’.[33,p.159] Adam asks the teacher for
help. The teacher reads the inscribed angle theorem to Adam and states that the centre angle
is always double the angle on the circumference. Adam completes the task.
Analysis: The strategy choice is to ask the teacher, which leads to a strategy implementation guided by the teacher. No predicative or verificative arguments are visible.
5.2.1.6. Example of data and analysis of (local) CMR. Data: Lars is working on the task
‘Determine x’ [31,p.265] (Figure 4) with his peer John. Lars and John have the following
dialogue:
10
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
Figure 4.
Lars
John
Lars
John
Lars
John
Lars
John
Lars
John
Lars
John
Lars
John
Lars
John
Lars
J. Sidenvall et al.
Figure for task solved using CMR.
5. . . 3x, 5, 1 [x]
Yeah, I was wondering.
If you like add all the x:es and divide by 180. I don’t know.
Eeh, what. . .
Or, how should I solve it?
You have to determine x. That means that you have to determine each angle.
Yeah.
Yeah.
That was what I meant. But look, maybe it’s 5 times x [pointing at 5x in the
figure] and that [pointing at 3x in the figure] is 3 times x.
Yes, but. . .
That [pointing at x in the figure] is x, maybe. Something like that, maybe.
The only thing we know. . .
Yeah?
. . . is that the triangle is 180.
Yes, that is what I meant.
Yeah, ehh. And then, all there is, is a . . .
What if, all you have to do is like add all the x:es? Then that is 8x [pointing at
3x and 5x in the figure], and with that [pointing at x in the figure] it becomes
9x. And then you divide that by 180. The answer you get, you multiply by 3.
And that should be [angle with the 5x]. . . there you take times 5. And there
[angle with the 5x] you only take x itself.
The task is then correctly solved.
Analysis: First, it is evident that Lars constructs, at least partially, a novel reasoning
sequence; the sum of the angles is 9x, and then division of 180 with 9. Second, his arguments
for his strategy choice to add 5x, 3x and x are implicit and not explicitly communicated. His
interpretation of 5x meaning 5 times the size of the angle x is strengthened as verification
that the sum of the angles add up to 180◦ . Lars finds his solution graphically plausible; the
angles seem to be as large as calculated. As a whole, this makes his reasoning sequence
plausible. Finally the arguments used are: the sum of the angles of a triangle is 180◦ ,
and the properties of a variable [x] provide a relation between the angles. Even though
Lars is unsure, the arguments used are grounded in mathematical intrinsic properties. The
component of the reasoning sequence that Lars is to construct – thereby using CMR – is
representing the relationship between the angles by using a variable. If considering each
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
11
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
step in the solution individually, adding the angles and dividing by the number of x’s, the
solution can be considered as comprising of known algorithms at a year 10 mathematics
level. This reasoning sequence is categorized as local CMR because Lars uses CMR
to solve the task, although the solving process contains large portions of AR. If larger
part of a solution would consist of CMR, it could have potentially been categorized as
global CMR.
5.2.2. Task analysis procedure (reasoning required)
The task analysis procedure adopted to categorize the reasoning required to solve a task
is based on establishing whether text-guided AR is possible or if CMR is required. The
method was introduced by Lithner [24] and Palm et al. [29] and has been further developed
by Jäder et al.[20] The first step is to identify possible algorithms that could solve the task.
Second, a search for solved examples, presented rules, theorems, facts, and tasks for textguided AR information that is the same or similar to that of the task is conducted. Finally,
a categorization of the task as global CMR, local CMR or text-guided AR depending on
possible similarities between the task and the text-guided AR information is made.
5.2.2.1. Example of data and analysis. Data: The task example (see ‘Example of data
and analysis of peer-guided AR’, task (a)) is about a TV that is bought via a payment plan.
Analysis: (1) Possible algorithms are identified for the tasks; e.g. the algorithm for
= 3000, 1.0575 × 3000 = 3172.5. (2) On the page before
solving the task could be 15,000
5
the page where the task appears a worked example containing the same type of task question,
information is available and showing the same algorithms that are needed to solve the task
with the TV. The only difference is that the worked example is in the context of buying a
car instead of a TV. (3) The task is categorized as only requiring text-guided AR because
of the close similarities with the worked example.
5.2.3. Validity
The data analysis, categorization of the reasoning used and the reasoning required were
done by two coders to establish interrater reliability. The two coders both categorized all
the textbook tasks; the required reasoning. They reached an agreement on 37 of the 39
tasks (95%). The categorization of the reasoning used was first done by one coder. The
categorizations that were considered borderline-categorizations (5/122) by the first coder
were coded by a second coder. In four of these five cases the two coders had done the same
categorization. The discrepancies in the categorization of both used and required reasoning
were resolved through discussion.
6. Results
The textbook task-solving performed by seven groups of students was analysed. Overall,
the students worked on 86 textbook tasks that were divided into 122 subtasks, 106 of these
subtasks contained sufficient data in the form of oral communication to be analysed.
The textbook tasks were labelled according to how difficult the textbook authors considered the tasks to be. All the textbooks pitched the tasks at three levels of difficulty.
Data showed that students rarely attempted the more difficult tasks. Eighty-four per cent
of the encountered tasks belonged to the easiest level of difficulty. Sixteen per cent of the
attempted tasks belonged to the intermediate difficulty. No attempts were made to solve
12
J. Sidenvall et al.
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
the most difficult tasks. Since the students mainly worked on the least difficult tasks this
indicates that the cognitive demand of the tasks attempted can be assumed not to be at
the highest level. In addition none of the students worked on tasks belonging to activity
sections (headings containing e.g. ‘Activity’, or ‘Explore’).
6.1. The relation between reasoning used and reasoning required
Altogether, 15 students attempted 86 tasks, made up of 39 unique tasks. As displayed
in Table 2, the analysis of the textbook tasks showed that 84% (72/86) of the tasks only
required text-guided AR using algorithmic templates (e.g. solved examples) presented in
the textbook. These tasks are referred to as guided AR tasks below. Thirteen per cent
(11/86) required local CMR and 5% (4/86) required global CMR. The most frequent types
of reasoning used were familiar AR, 43% (37/86) and peer-guided AR, 29% (25/86). Local
CMR was used in 7% (6/86) of the tasks, while global CMR was used in only one (1/86)
of the tasks.
Using AR on CMR tasks occurred on seven occasions. When this occurred, the solution
attempts were not always correct. But when guided by another student (i.e. peer-guided
AR) who used CMR to solve the task in advance the task was correctly solved. Tasks that
did not require CMR to be solved were primarily carried out using AR.
The least common type (14/86) of tasks were those that required CMR in order to
be solved. These tasks seemed to elicit the use of CMR, since they were all attempted
through the use of CMR by at least one student in each group. The tasks were solved
on six occasions by global CMR or local CMR and five were solved by peer-guided
AR. A typical way to solve a CMR task in pairs is represented by the dialogue shown
previously between Lars and John upon solving a task (see Section 5.2.1.6). Lars solved
the task by using local CMR, while John was guided by Lars. Thus, John’s reasoning
about the CMR task was categorized as being peer-guided AR. One possible reason why
CMR tasks were solved using CMR was that the students had no access to AR. It is not
self-evident that a CMR task always results in the use of CMR. In the attempt to solve
two CMR tasks, familiar AR was used without being able to solve the task correctly.
Another possible reason why the students in all groups solved these CMR tasks was
that these tasks were not among the most complex ones and were conceptually relatively
simple.
Guided AR tasks were almost always solved via AR strategies. Familiar AR was the
most frequent reasoning type adopted to solve guided AR tasks. This can be considered
Table 2.
tasks.
Frequency of occurrences of reasoning required and reasoning used in solving textbook
Reasoning used
CMR
Reasoning
required
GCMR
LCMR
GAR
Total
AR
Global
Local
FAR
DAR
PeerGAR
TeacherGAR
TextGAR
Not cat.
able
Total
1
0
0
1
0
5
2
7
2
0
35
37
0
0
2
2
1
4
20
25
0
0
8
8
0
0
2
2
0
1
3
4
4
10
72
86
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
13
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
an expected result since the students had worked with the used algorithms previously in
their textbook and/or the teacher had presented the method for the students. One reason for
using familiar AR was that the student would recognize the task type and could then link
the task to a known algorithm using a clue or a lead strategy. An example of this is where
Adam solved a task via the inscribed angle theorem (see Section 5.2.1.1.).
6.2. The relation between reasoning used and rate of correct solutions
Eighty-two per cent of the tasks were correctly solved. When using global CMR or local
CMR, 100% of the tasks were solved correctly, while 80% of the tasks were solved correctly
when using AR. Table 3 shows that all tasks solved through global CMR, local CMR and
text-guided AR yielded a correct solution. However, these three reasoning types rarely
occurred.
To further explore the relationship between reasoning used and the rate of correct task
solutions a more fine-grained analysis was carried out by examining the relation between the
subtask reasoning used and the rate of correct solutions when solving a subtask. Seventy-two
per cent (76/106) of the subtasks were correctly solved. The most common way of trying to
solve a task was via AR, which was used in 92% (98/106) of the subtask solution attempts.
Memorized reasoning was only used once (1/106). No further analysis was carried out
concerning memorized reasoning because it rarely occurred. The most frequent reasoning
type was familiar AR, which was observed in 44% (47/106) of all the task-solving attempts.
Peer-guided AR was the second most common type of reasoning and accounted for around
a quarter (27/106) of the solution attempts. Teacher-guided AR was the third most common
reasoning type and emerged in 11% of the task-solving attempts (12/106). Table 4 shows
the proportion of correct solutions for each of the reasoning types used.
One possible explanation why tasks were correctly solved when using CMR (100%,
7/106) could be that the limited depth of the task made the CMR part very minor. Another
possible explanation why tasks were correctly solved when using CMR was that the student
engaged himself or herself in some sort of struggle.[35] By ‘struggle’, Hiebert and Grouws
[35] mean ‘that students expend effort to make sense of mathematics, to figure something
out that is not immediately apparent’ (p.387). This struggle might be exemplified in Lars’s
task solution presented above (see Section 5.2.1.6.). Lars could not use peer-guided AR
since his peer, John, was seeking help from Lars. Lars also did not use the answer section,
the textbook or the teacher’s assistance to reach a solution. Rather it was by solving a task
that was conceptually within reach and with mathematical ideas that were understandable
but not yet well formed [36] that led to the use of CMR and a correct solution. Since
the students in the study rarely used CMR, especially global CMR, it was difficult to
hypothesize further reasons for using CMR.
The use of familiar AR that leads to correct solutions was connected to if the student
could identify what algorithm to use by searching for familiar clues or leads in the task
Table 3.
Students’ correctly solved tasks using different types of reasoning.
GCMR
LCMR
FAR
DAR
PeerTeacherTextguided AR guided AR guided AR
Other
AR∗
100% (1/1) 100% (7/7) 81% (30/37) 0% (0/2) 92% (23/25) 63% (5/8) 100% (2/2) 50% (2/4)
∗ Categorized
as AR strategy but analysis has not been able to clarify what type of AR.
Local
∗ In
68% (32/47)
FAR
DAR
0% (0/3)
0% (0/3)
70% (69/99)
FDAR∗
three cases it was not possible to distinguish if the reasoning used was familiar AR or delimited AR.
100% (1/1)
Memorized reasoning
Imitative reasoning
90% (26/29)
Peer-GAR
AR
For each reasoning type the entries display the proportion of a correct solution for a subtask.
100% (1/1)
100% (6/6)
100% (7/7)
Global
CMR
Table 4.
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
46% (6/13)
Teacher-GAR
67% (2/3)
Text-GAR
72% (76/106)
Total
14
J. Sidenvall et al.
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
15
that in turn triggered a strategy choice on which algorithm to choose. When Adam solved
a task by using the inscribed angle theorem (Section 5.2.1.1.), he identified and used a
familiar algorithm, in a straightforward manner and without verificative arguments. Besides
checking the answer with the answer section, explicit verifications were rare in the cases
where the students believed that they had identified and used the correct algorithm (i.e.
using familiar AR). When the strategy choice was based on surface properties it sometimes
led to an incorrect algorithm choice, which naturally resulted in an incorrect answer. This
superficial way of solving tasks was the main reason for incorrect solutions when using
familiar AR.
The reason why almost all subtasks that were approached using peer-guided AR were
correctly solved was that the peers guiding the students had in most cases already correctly
solved the task themselves. Usually whole solutions, otherwise essential parts of a solution
were presented to the student under guidance. This is illustrated by Simon’s solution of how
much more it costs to pay for the TV via instalments (Section 5.2.1.1.). In the majority of
such cases, the student receiving the information did not ask for explanations, nor did the
peer giving the guidance provide any explanations. One may note that this can be paralleled
to the didactical contract, introduced by Brousseau [30], between a teacher and her student.
The didactical contract is an (mainly implicit) agreement between the teacher and the
student determining their respective roles in the mathematics classroom. The students of
this study are acting as if there was an (implicit) agreement that the guide does not have
to provide any justifications for the choices and claims, and that the guided student does
not ask for such justifications. In some peer-guided AR the students carried out a simple
but not mathematically complete verification of the answer. The verifications that did take
place often concluded that the answer seemed reasonable in relation to the task context.
Text-guided AR was seldom used (3/106). It was successful in two cases where the
students could connect the task to a presented theorem in the textbook via surface similarities. Text-guided AR might be more common among students who do not work together in
task-solving.[10]
None of the instances where a student requested help from a teacher led to CMR by
the student. Instead teacher assistance often resulted in the use of teacher-guided AR by
the student. Teacher-guided AR was one of the reasoning types that led to least correct
solutions. Seven of the 13 subtasks that used teacher-guided AR were incorrectly solved.
One identified reason was that the teacher did not provide adequate assistance for the
students to make progress during their task-solving. For example, the teacher thought that
the student needed help to complete one algorithm, while the student actually needed
help with a different algorithm or probably with understanding a concept. The reason for
generating correct solutions when using teacher-guided AR was that the teacher led the
student through the task.
When a student tried to solve a task by using delimited AR, this, by definition, involved
using the surface properties of the task. To try to solve a task using delimited AR the student
may have used a number of algorithms at hand that are delimited by the specific situation.
However, it would be more or less a matter of chance that the student would have used the
correct algorithm. This was why delimited AR frequently led to incorrect solutions. No
task in the study was correctly solved using delimited AR.
6.3. Use of the textbook
Even when algorithmic templates (e.g. solved examples) were available students hardly
used the worked examples of the textbook in their task-solving. Most interesting were the
16
J. Sidenvall et al.
Year
1
Remaining
Yearly
To pay to
loan
interest
the bank
30 000
2
3
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
Figure 5.
Figure for task solved using answer section.
incorrect solutions where students did not turn to the textbook to seek assistance. Twentynine of 106 subtasks were incorrectly solved. In almost all of these cases (23/29) there was
a corresponding solved example that had an algorithm that could have been applied to solve
the task (i.e. text-guided AR information was readily available, but not used).
Students focused clearly on finding an algorithmic method to produce an answer, rather
than on understanding the task and solution method. This was emphasized in the frequent
use of textbooks’ answer sections, which played a paramount role in students’ task-solving.
The answers in the answer section were used as a hint to progress in solving the task, or
as a means of verifying an answer. The answers to a task often assisted a student to make
task progress using an AR strategy. Ann worked on the following task: ‘A loan of 30,000
crowns will be amortized with three equally large amounts over three years. The interest
rate is 5.20%. Complete the table’. See Figure 5.
Ann first attempted to complete the column ‘Remaining loan’, but could then progress
no further. Her strategy to complete the column was to consult the answer section and view
the completed table. Reading the table in the answer section led her to an algorithm of
subtracting 10,000 crowns for every year. A similar process was used for completing the
remaining columns; not knowing how to proceed, she consulted the answer section which
led to an algorithm and a solution.
6.4. Summary of main results
The students in this study did not attempt to solve more complex or difficult tasks in the
textbook. The relation between the reasoning required and the reasoning used was that AR
was almost always used when students attempt text-guided AR tasks. CMR was seldom
used. One important relationship between used reasoning and the rate of correct solutions
was that peer-guided AR often led to a correct solution since the peer doing the guiding
had often already completed the task. All the tasks that were attempted with CMR were
correctly solved. This was also the case with the use of text-guided AR, even though this
use was very rare. Students often turned to peer-guided AR when solving a task. When
peer-guided AR was used there was little focus on obtaining and providing explanations as
to why a certain solution and answer were correct. None of the occasions where the teacher
assisted a student with a task led to CMR by the student.
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
17
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
7. Discussion
This study shows that there was a discrepancy between what students actually do during
their task-solving and mathematical competence of reasoning that is stated as important
by research and the Swedish national curricula.[1,2,23] The results of this study suggest
that students engage in CMR to a very limited extent or not at all while solving textbook
tasks.
7.1. Worked tasks
Students mainly worked with the least difficult tasks. Following the work by Jäder et al.,[20]
if students were to work on more challenging tasks and more on tasks in activity sections,
or if there was a larger proportion of CMR tasks among the less difficult tasks, the students
would be given more opportunities to learn CMR. Since CMR is a competence that all
students are acquired to develop to inhabit a broad mathematical competence, it is essential
for textbooks to include more CMR tasks designed at a less difficult level.
7.2. Guided AR as a hindrance in developing CMR
In solution attempts in which students failed to solve the task on their own, students often
turned to peer-guided AR or to teacher-guided AR to solve it. These strategies often led to
a correct solution. But they can be seen as missed opportunities to learn CMR. This was
particularly clear in the case where students solved tasks that required CMR with peerguided AR. Schoenfeld [37] states that social interaction is central to individual learning.
The present study shows that social interaction is not sufficient on its own. Furthermore the
study’s results indicate that when students work informally together and receive help from
each other, it might lead to decreased opportunities to learn CMR. The reason for these
decreased opportunities could be attributed to the fact that tasks that are only solvable using
CMR are instead solved by using peer-guided AR. Research by Fuchs et al. [38] shows
that students working together must be concisely organized, otherwise the explanations the
students receive from each other tend to be algorithmic rather than of a conceptual nature.
The results from the present study suggest that working together during task-solving has
to be organized in such a manner that opportunities to learn CMR are provided. Previous
research on cooperative learning has established a clear connection between the use of
elaborated explanation, elaborated help-seeking and learning.[39–42] Empirical studies
by Webb and Mastergeorge [42] suggest that a student seeking help must (1) ask precise
questions, (2) be persistent in asking until she/he understands the explanation, and (3) apply
the explanation given to the task at hand. The help-giver must give an opportunity for the
help-seeker to solve the task herself or himself.
On none of the occasions where a teacher helped a student did the teacher’s assistance
lead to the use of CMR in solving the task. Therefore, the way in which the teacher helps
a student in his or her task-solving is of great importance to how well the student learns to
use task-solving as a means to develop CMR. In this regard, Stein et al. [19] acknowledge
that a teacher using wrong help-giving strategies will lead to a decline in task depth and
usefulness as an opportunity to learn. This manner of help-giving might instead fuel the
use of an algorithmic manner in solving tasks. Working on a task appropriately can keep
the intended goals of the task, rather than trivializing them. According to Stein et al., the
teacher has a central role in maintaining tasks at a high level of cognitive demand. This
can be accomplished by (1) scaffolding the student’s thinking, (2) modelling high level
18
J. Sidenvall et al.
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
thinking, (3) pursuing explanations, (4) selecting tasks that build on prior knowledge, (5)
drawing on frequently conceptual connections, and (6) providing sufficient time to explore
the task and the mathematics connected to it.
7.3. The textbook and the opportunities to develop CMR
The data suggest that the textbook theory and worked examples are hardly used by students
when solving textbook tasks. This might be seen as surprising, especially since almost
all of the tasks that were incorrectly solved had an algorithmic template presented in the
textbook. In Lithner’s [10] study, which examined university students’ reasoning when
solving textbook tasks, the use of the textbooks’ theory sections and worked examples
were used frequently. A reason that the results of the present study do not harmonize with
the results from Lithner [10] might be the different categories of students, and that the
students worked alone as well as had no access to teacher- or peer-guided AR in Lithner’s
[10] study. Johansson’s [43] study on Swedish lower secondary school classes indicates that
textbook tasks are central in the teacher’s interaction when helping students during their tasksolving. Haggarty and Pepin [44] have reported differences in how common mathematics
textbooks are composed and how they are used by lower secondary school classes in French,
German and British classrooms. The study revealed that French textbooks communicated
mathematics that was comprehensive and presented in situations and contexts that were
cognitively challenging. Students in France were encouraged by their teachers to use the
book as a resource in their learning. Despite Lithner’s,[10] Johansson’s [43] and Haggarty
and Pepin’s studies little research has studied students’ use of textbooks.[16,45] The present
study has not aimed primarily at studying students’ use of the textbook per se, but aspects
of the findings could contribute some insights into how the textbook is used in a certain
context. Herein it is pointed out that there might be a need for a critical view on how a
textbook should be composed and used by teachers and students in order to assist students
as much as possible in their mathematics learning.
The students’ task-solving in the present study was answer oriented and the answer
section was frequently consulted. This has also previously been established in a Swedish
context.[12,13] Data from the present study provide evidence that the textbooks’ answer
sections were used as an integral part of students’ task-solving. It was common that the
answer in the answer section was used as a means of finding an algorithm that can lead to a
correct answer. The results from this study suggest that the way the answer section is used
by the students does not scaffold the development of CMR.
7.4. Further research
The findings of this study demonstrate that students get few opportunities to learn CMR.
Further research on how this situation can be improved is required. Since students hardly
utilize the theory or worked example sections of current textbooks, one avenue would
be to investigate how a textbook should communicate, be most meaningfully structured,
and used for promoting students’ acquisition of CMR. The study has also shown that the
answer sections within textbooks have an impact on task-solving. Hence, it would be of
importance to examine how the answer section should be constructed and used to assist
students’ development of CMR.
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
19
Disclosure statement
No potential conflict of interest was reported by the authors.
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
References
[1] National Council of Teachers of Mathematics. Principles and standards for school mathematics.
Reston (VA): The Council Teachers of Mathematics; 2000.
[2] Niss M. Mathematical competencies and the learning of mathematics: the Danish KOM project.
Third Mediterranean Conference on Mathematics Education; 2003 January 3–5; Athens,
Greece. p. 115–124.
[3] Ross KA. Doing and proving: the place of algorithms and proofs in school mathematics. Am
Math Mon. 1998;105(3):252–255.
[4] Hiebert J. What research says about the NCTM standards. In: Kilpatrick J, Martin WG, Schifter
D, editors. A research companion to principles and standards for school mathematics. Reston
(VA): National Council of Teachers of Mathematics; 2003. p. 5–23.
[5] Schoenfeld AH. Mathematical problem solving. Orlando (FL): Academic Press; 1985.
[6] Schmidt WH, McKnight CC, Houang RT, Wang H, Wiley DE, Wolfe RG. Why schools matter:
a cross-national comparison of curriculum and learning. San Francisco (CA): Jossey-Bass;
2001.
[7] Bergqvist T, Lithner J, Sumpter L. Upper secondary students’ task reasoning. Int J Math Educ
Sci Technol. 2008;39(1):1–12.
[8] Lithner J. Mathematical reasoning and familiar procedures. Int J Math Educ Sci Technol.
2000;31(1):83–95.
[9] Lithner J. Mathematical reasoning in task solving. Educ Stud Math. 2000;41(2):165–190.
[10] Lithner J. Students’ mathematical reasoning in university textbook exercises. Educ Stud Math.
2003;52(1):29–55.
[11] Doyle W. Academic work. Rev Educ Res. 1983;53(2):159–199.
[12] Swedish National Agency for Education (Skolverket). Lusten att lära–Med fokus på matematik:
Nationella kvalitetsgranskningar 2001–2002 [The desire to learn with a focus on mathematics: national quality audits 2001–2002] (No. 221). Stockholm: Swedish National Agency for
Education; 2003. Swedish.
[13] Swedish Schools Inspectorate (Skolinspektionen). Undervisningen i matematik i gymnasieskolan [Mathematics education in upper secondary school] (No. 2010:13). Stockholm:
Swedish Schools Inspectorate; 2010. Swedish.
[14] Johansson M. Teaching mathematics with textbooks: a classroom and curricular perspective
[doctoral dissertation thesis]. Luleå: Luleå University of Technology; 2006.
[15] Kajander A, Lovric M. Mathematics textbooks and their potential role in supporting misconceptions. Int J Math Educ Sci Technol. 2009;40(2):173–181.
[16] Love E, Pimm D. ‘This is so’: a text on texts. In: Bishop AJ, editor. International handbook of
mathematics education. P. 1. Dordrecht: Kluwer; 1996. p. 371–409.
[17] Törnroos J. Mathematics textbooks, opportunity to learn and student achievement. Stud Educ
Eval. 2005;31(4):315–327.
[18] Valverde GA, Bianchi LJ, Wolfe RG, Schmidt WH, Houang RT. In: Valverde GA, editor.
According to the book: using TIMSS to investigate the translation of policy into practice
through the world of textbooks. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers; 2002.
[19] Stein M, Remillard JT, Smith M. How curriculum influences student learning. In: Lester FK,
editor. Second handbook of research on mathematics teaching and learning: a project of the
National Council of Teachers of Mathematics. Charlotte (NC): Information Age Publishing;
2007. p. 319–369.
[20] Jäder J, Lithner J, Sidenvall J. An international comparison of reasoning requirements in
mathematics textbooks. Forthcoming 2014.
[21] Ball D, Bass H. Making mathematics reasonable in school. In: Kilpatrick J, Martin WG,
Schifter D, editors. A research companion to principles and standards for school mathematics.
Reston (VA): National Council of Teachers of Mathematics; 2003. p. 27–44.
[22] Silver E. Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and
problem posing. ZDM. 1997;29(3):75–80.
Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015
20
J. Sidenvall et al.
[23] Swedish National Agency for Education (Skolverket). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för gymnasieskola 2011 [Curriculum, exam goals and core subjects in upper
secondary school 2011]. Stockholm: Fritzes; 2011. Swedish.
[24] Lithner J. A research framework for creative and imitative reasoning. Educ Stud Math.
2008;67(3):255–276.
[25] Bergqvist T., Lithner J. Mathematical reasoning in teachers’ presentations. J Math Behav.
2012;31(2):252–269.
[26] Boesen J, Lithner J, Palm T. The relation between types of assessment tasks and the mathematical reasoning students use. Educ Stud Math. 2010;75(1):89–105.
[27] Lithner J. Mathematical reasoning in calculus textbook exercises. J Math Behav. 2004;23(4):
405–427.
[28] Långström P, Lithner J. Svenska gymnasieelevers matematiska resonemang och hjälpprocesser
i klassrumsmiljö [Swedish upper secondary students’ mathematical reasoning and aid processes
in a classroom environment]. Matematikelevers strategier för fel- och hjälpsökning [Mathematics students’ strategies for error and help seeking] [licentiate thesis]. Umeå: Umeå University;
2008. p. 51–102. Swedish.
[29] Palm T, Boesen J, Lithner J. Mathematical reasoning requirements in Swedish upper secondary
level assessments. Math Thinking Learn. 2011;13(3):221–246.
[30] Brousseau G, Balacheff N. Theory of didactical situations in mathematics [electronic resource],
1970-1990. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers; 1997.
[31] Szabo A. Matematik origo. 1b [Mathematics origo. 1b]. 2nd ed. Stockholm: Bonnier Utbildning; 2011. Swedish.
[32] Alfredsson L. Matematik 5000. kurs 2c blå, lärobok [Mathematics 5000. Course 2c blue,
textbook]. 1st ed. Stockholm: Natur & Kultur; 2011. Swedish.
[33] Szabo A. Matematik origo. 2c [Mathematics origo. 2c]. 2nd ed. Stockholm: Sanoma Utbildning;
2012. Swedish.
[34] Alfredsson L, Erixon P, Heikne H. Matematik 5000. kurs 1a gul, lärobok [Mathematics 5000.
Course 1a yellow, textbook]. 1st ed. Stockholm: Natur & Kultur; 2011. Swedish.
[35] Hiebert J, Grouws DA. The effects of classroom mathematics teaching on students’ learning.
In: Lester FK, editor. Second handbook of research on mathematics teaching and learning: a
project of the National Council of Teachers of Mathematics. Charlotte (NC): Information Age
Publishing; 2007. p. 371–404.
[36] Hiebert J, Carpenter TP, Fennema E, Fuson K, Human P, Murray H, Oliver A, Wearne D.
Problem solving as a basis for reform in curriculum and instruction: the case of mathematics.
Educ Res. 1996;25(4):12–21.
[37] Schoenfeld AH. Ideas in the air: speculations on small group learning, environmental and
cultural influences on cognition, and epistemology. Int J Educ Res. 1989;13(1):71–88.
[38] Fuchs LS, Fuchs D, Hamlett CL, Phillips NB, Karns K, Dutka S. Enhancing students’ helping
behavior during peer-mediated instruction with conceptual mathematical explanations. Elem
School J. 1997;97(3):223–249.
[39] Hiebert J, Wearne D. Instructional tasks, classroom discourse, and students’ learning in secondgrade arithmetic. Am Educ Res J. 1993;30(2):393–425.
[40] Webb NM. Peer interaction and learning in small groups. Int J Educ Res. 1989;13(1):21–39.
[41] Webb NM. Task-related verbal interaction and mathematics learning in small groups. J Res
Math Educ. 1991;22(5):366–389.
[42] Webb NM, Mastergeorge A. Chapter 4: promoting effective helping behavior in peer-directed
groups. Int J Educ Res. 2003;39:73–97.
[43] Johansson M. Mathematical meaning making and textbook tasks. Learn Math. 2007;45(1):45–
51.
[44] Haggarty L, Pepin B. An investigation of mathematics textbooks and their use in English,
French, and German classrooms: who gets an opportunity to learn what? Br Educ Res J.
2002;28(4):567–590.
[45] Rezat S. Interactions of teachers’ and students’ use of mathematics textbooks. In: Gueudet G,
Pipin B, Trouche L, editors. From text to ‘lived’ resources: mathematics curriculum materials
and teacher development [electronic resource]. New York (NY): Springer; 2012. p. 231–245.
Students’ mathematical reasoning and beliefs in non-routine task solving
Jonas Jäder, Johan Sidenvall, Lovisa Sumpter
Abstract: Beliefs and problem solving are connected and have been studied in different
contexts. One of the common results of previous research is that students tend to prefer
algorithmic approaches to mathematical tasks. This study explores Swedish upper secondary
school students‟ beliefs and reasoning when solving non-routine tasks. The results regarding
the beliefs indicated by the students were found deductively and include expectations,
motivational beliefs, and security. Similar beliefs were found when contrasting our results
and previous results on students solving routine tasks. A variety of approaches to the tasks in
terms of the reasoning used were found. Even though the tasks were designed to demand
more than imitation of algorithms, students used this method and failed to solve the task. Our
study could imply that there is more to create a problem solving learning environment than
just to give students non-routine tasks.
Keywords: beliefs, mathematical reasoning, non-routine tasks, problem solving, upper
secondary school
1
Introduction
There is a fairly good picture of the relation between affect and problem solving and the
conditions for being a successful problem solver. A student who has confidence and control
is more likely to continue and ultimately succeed when solving problems (Hannula, 2006).
Previous research has identified beliefs that influence students‟ problem solving. For
example, beliefs can be restraining when solving tasks as some students hold believes that
tasks should be solved in an algorithmic manner and do not expect to understand, but only to
memorize, and also that a task should be solved in five minutes or less (Schoenfeld, 1992).
1
But beliefs can also assist a student to be persistent instead of giving up when working on a
task (Carlson, 1999). In this way beliefs play a part in problem solving.
According to the Swedish Schools Inspectorate (2010), Swedish students to a large extent
are engaged in an education that emphasizes rote learning and procedural knowledge. To
receive an education in line with the curriculum and develop, e.g. problem solving and
reasoning competencies, students must be given more comprehensive, better developed and
more systematic opportunities to engage in activities than they receive from working on
textbook tasks that heavily rely on procedures (Swedish Schools Inspectorate, 2010). Aspects
such as curriculum and the character of the task (e.g. routine or non-routine) may influence
the beliefs (Liu, 2010). This implies that beliefs may be highly contextualized and results
depend on the tasks you give to the students. In a study of Swedish upper secondary school
students‟ beliefs and reasoning when solving routine task, the results involved three themes
of beliefs: safety, expectations, and motivation (Sumpter, 2013). These beliefs seemed to
interplay and connect to imitative mathematical reasoning. Other research has also pointed
out the connection between reasoning and affect; it has been shown that an imitative
approach is less stressful and secure (Sfard & Lincheviski, 1994), and that combinations of
beliefs shape the way a student develops solutions to tasks (Furinghetti & Morselli, 2009).
During the past three decades, extensive research has been performed on students‟ beliefs.
Yet more research is needed at a pre-college level, since most of the research performed is in
a college context (Francisco, 2013). In this present study, we explore upper secondary school
students‟ beliefs and reasoning when solving non-routine tasks. The research questions posed
are: (1) What are the beliefs indicated in upper secondary task solving? (2) What types of
reasoning are displayed by students when solving non-routine tasks? and, (3) What is the
relation between the beliefs indicated and the student‟s reasoning when students solve nonroutine tasks?
2
2
Theoretical background
This paper has two main concepts: beliefs and mathematical reasoning. We will here give a
short background to these concepts in the context of students‟ task solving, and more
specifically the solving of non-routine tasks. These two concepts will later be discussed in
relation to each other and the results.
2.1
Beliefs
Depending on the research question, different aspects of the concept beliefs need to be
emphasized. In this paper, we build upon the results from Sumpter (2013) and therefore the
same definition will be used. Beliefs are defined as “an individual‟s understandings that
shape the ways that the individual conceptualizes and engages in mathematical behaviour
generating and appearing as thoughts in mind” (Sumpter, 2013, p.1118). All beliefs are
attributed (Speer, 2005), and we are aware of the impact methods and researchers play when
we report data and draw our conclusions. Another issue to recognize is that it is not possible
to establish causality between specific beliefs and actions (Callejo & Vila, 2009). Still the
notion of beliefs works as a model that can produce attributions and thereby help with
predicting and explaining behaviour. Following this, we use the notion of Beliefs Indications
(BI) introduced by Sumpter (2013). BI is defined as a “theoretical concept and part of a
model aimed to describe a specific phenomenon, i.e. the type of arguments given by students
when solving school tasks in a lab setting” (Sumpter, 2013, p. 1116). This means that we talk
about beliefs as being indicated and attributed.
In relation to a greater classroom context, an individual‟s beliefs can be thought of as an
understanding of the classroom norm, which is collectively negotiated among the classroom
participants (Yackel & Rasmussen, 2002). Beliefs are then contextually bound (Fransisco,
2013), and the context sets the rules operating together with other affective factors. Research
has shown that students adjust their solutions to perceived picture of solutions strategies (to
3
specific problems) and that lack of confidence combined with previous lack of success could
make them stop working (Lerch, 2004). Hence, in mathematical task solving there are other
factors involved than just cognitive ones.
The three themes of beliefs shown by Sumpter (2013), expectations, motivation and
security, can be further divided into sub-categories. An expectation has been seen as being
either personal e.g. I can only solve tasks by memorizing an algorithm (Schoenfeld, 1992), or
subject oriented e.g. doing mathematics is to memorize (facts, theorems) and reproduce
(Furinghetti & Morselli, 2009). There could also be combination of these two types of
expectations. For instance, it has been reported that a majority of students believe it more
valuable to memorize than to think in mathematics classrooms (Boaler, Wiliam, & Brown,
2002), which could be both a personal expectation and an expectation on mathematics
education. The motivational beliefs indicated in Sumpter (2013) were either sprung from
intrinsic or extrinsic motivation (Ryan & Deci, 2000). As to security, this may be seen as an
emotional belief saying something about a student‟s view of his or her own degree of security
in relation to a specific task solving situation. Mercer (2010) argues that emotions may both
establish and strengthen beliefs.
The different beliefs interplay to create an “internal dynamic of the belief systems that
characterizes how students‟ beliefs influence learning and problem solving” (Op‟t Eynde, De
Corte, & Verschaffel, 2002, p. 33). Beliefs don‟t just interplay with each other, but also
interact with other affective notions such as emotions and attitudes (Hannula; 2006).
2.2
Reasoning
In the literature „reasoning‟ is often defined as a skill of high deductive-logical quality
(Lithner, 2008). At the same time Ball and Bass (2003) state that „mathematical reasoning is
no more than a basic skill‟ (p. 28). The latter implies that reasoning can be found in all levels
of mathematical understanding. The overall assumption in this study is that mathematical
4
reasoning can be used at all levels of difficulty in solving non-routine tasks. This is also in
line with research concerning mathematical competences (c.f. Niss, 2003).
In order to study students‟ reasoning we need a framework with a clear definition, that
focus on different types of reasoning, which we can categorize, but also allow us to structure
the data. Therefore, we use a framework developed by Lithner (2008). A broad definition of
reasoning is applied: “reasoning is the line of thought adopted to produce assertions and
reach conclusions in task-solving. It is not necessarily based on formal logic, thus not
restricted to proof, and may even be incorrect as long as there are some kind of sensible (to
the reasoner) reasons backing it.” (Lithner, 2008, p. 257). This definition provides flexibility
when studying different types of reasoning since it does not have to be based on formal logic,
and it even allows reasoning to be incorrect. Reasoning is a sequence, a product, which starts
with a task and ends with a conclusion. We use the four step reasoning sequence proposed by
Lithner (2008): (1) A (sub-)task is met, which is denoted task situation. (2) A strategy choice
is made where „choice‟ is seen in a wide sense (choose, recall, construct, discover, guess,
etc.); (3) The strategy is implemented, and (4) A conclusion is obtained.
The characterization of reasoning types is based on analyses of the explicit or implicit
arguments for strategy choice and implementation. Empirical studies have shown it possible
to extract these arguments from students when solving tasks both in pairs (Schoenfeld, 1985;
Sidenvall, Lithner & Jäder, in press) and individually (Boesen, Lithner & Palm, 2010). It has
also shown successful to use interviews to further strengthen the analysis (Bergqvist, Lithner
& Sumpter, 2008; Boesen et al, 2010). There are two main categories of reasoning: Imitative
reasoning (IR) and Creative mathematical founded reasoning (CMR) (Lithner, 2008). In IR
the task solver applies a recalled or externally provided solution method. In CMR the solver
constructs a solution method. There are three central aspects distinguishing CMR from IR
(Lithner, 2008): (1) A new reasoning sequence is created, or a forgotten one is re-created; (2)
5
There are arguments supporting the strategy choice and/or strategy implementation
motivating why the conclusions are true or plausible; and, (3) The arguments are anchored in
intrinsic mathematical properties of the components involved in the reasoning. IR contains no
CMR, but CMR may contain parts of IR. For example to solve a task a student might need to
use the formula for calculating the area of a circle, which is an example of IR, while the rest
of the task solving requires the student to create a, to him novel solution, using CMR. The
aim of the study is to study students‟ reasoning in non-routine task-solving, and our interest is
focused on whether a student uses CMR or not when solving a non-routine task. In the
framework (Lithner, 2008) both IR and CMR contain subgroups to further specify the
reasoning used. These subcategories become secondary in light of the aim of the study and
will therefore not be operationalized.
2.3
Non-routine tasks
The reasoning used by students is likely to be dependent on the type of task they meet. Also,
the beliefs indicated by students are likely to alter depending on the type of task (Hoyles,
1992). In relation to the two types of reasoning mentioned above we would like to distinguish
two types of tasks. Routine tasks are tasks that a student has met before, maybe on several
occasions, and have a ready algorithm to solve, while non-routine tasks to the student means
that he or she has to create a to him or her new solution method to solve the task. So,
characterizing tasks as being routine or non-routine also means considering the students and
their previous experiences. There is evidence to the statement that students tend to use
imitative reasoning when faced with routine tasks (Boesen et al, 2010). It also seems that a
wider range of reasoning is used when students work on non-routine tasks (Boesen et al,
2010).
6
3
Methods
Data was collected by video recording task solving sessions and stimulated recall interviews,
both of which were fully transcribed. The students‟ written solutions were also part of the
data. The students participating in this study worked in pairs in a lab situation (c.f. Bergqvist
et al, 2008; Schoenfeld, 1985). The students were encouraged to talk to each other while
solving the tasks and this enabled us to extract their arguments from the communication.
Apart from the encouragement to talk out loud and the possibility to use the textbook and the
calculator, no further instructions or time constraints were given to the students. They were
placed in an adjacent room during an ordinary class session with a video camera and
microphone set up. Eight students from year one of the upper secondary school, equivalent to
year ten of schooling were selected from two programs with different intensity of
mathematics, the Building and Construction Programme and the Social Science Programme.
Two teachers were asked to select two pairs of students each that usually work together in
their task solving and are likely to communicate verbally with each other. More than 50 % of
the students taking this course either fail or receive the lowest passing grade. Therefore the
teachers were also asked to select students that were expected to barely pass the course.
Post-interviews were used to clarify issues concerning the task solving sessions. Semistructured, stimulated recall interviews were conducted individually since both the reasoning
used and the beliefs indicted were analysed separately rather than in pairs. This is made
possible since the method is based on the students‟ individual arguments and not their
collective mathematical reasoning. In total the data consisted of: (I) four task solving sessions
with a total length of 1 hour and 40 minutes (varying between 17 - 32 minutes/session), (II)
eight interviews with a total length of 3 hours and 20 minutes (varying between 12- 34
minutes/interview), and (III) written solutions to all tasks from all eight students.
7
To answer the research questions posed, we needed to identify and select tasks of a nonroutine character that were in line with the course curriculum for the designated students. We
choose four tasks from national tests specific to the course the students were taking. Using
the method of Boesen et al. (2010), we compared the tasks of the national test with the
textbooks used by the students to conclude that the tasks were of non-routine character. A
further aim was to provide a progression of difficulty as to meet each of the students at an
appropriate level. Therefore tasks at different levels of difficulty were chosen. Dìaz-Obando,
Plasencia-Cruz and Solano-Alvarado (2003) show that the approach that students take to
problem solving depends on his or her capacity, which could be linked to the level of
difficulty on specific tasks. A motivational factor that has been proven important is the level
of difficulty, where too easy or too hard tasks may bore or frustrate the students
(Kloosterman, 2002). For the study, one easy (task 1), two intermediate (tasks 2 and 3) and
one difficult task (task 4) were used. All four tasks are presented in Appendix 1.
The analysis procedure for reasoning was based on Lithner‟s (2008) framework. In
applying the framework to analyse student‟s reasoning and to conduct a more fine grained
analysis, we identified subtasks in the students‟ task-solving, and subdivided the subtasks
using the four-step reasoning sequence. Following this, any observed predictive and verifying
arguments were identified in each subtask situation. These arguments were used to identify
the student‟s strategy choice and strategy implementation, and also on what basis these
choices and implementations were made. The reasoning sequence was then classified
according to the reasoning types in focus of this study, IR or CMR.
When studying affective issues in mathematics education the issue of subjectivity is
present; in relation to their study, Furinghetti and Morselli (2009) states that they are “aware
of the fact that our methodological choice may introduce elements of questionability and
subjectivity in our work” (p. 78). In a likewise manner we acknowledge our method to be
8
partly subjective. Therefore it is necessary to show how the analysis was carried out by
referring to detailed examples of data for the reader to follow. Following the categorization of
the reasoning used by the eight students we identified three students that all showed different
behaviours in regard to the reasoning used. These three students also provided us with rich
data in terms of verbal communication in the task solving sessions and the interviews.
To analyse students‟ beliefs, we used a thematic analysis of the video-recordings,
transcripts and students‟ written solutions was conducted with equal attention to these data
items (Braun & Clark, 2006), where we focused on Beliefs Indications (BI) (Sumpter, 2013).
BI:s could be explicit meta-cognitive statements in the transcripts of the task-solving session,
the transcripts of the interview, or in the students‟ task-solving notes. They could also have
an emotional element such as a sigh or a gesture connected to emotions or an explicit
mention of a feeling (e.g. “I do not understand this”). BI:s can also be implicit and hidden in
the students‟ behaviour (Sumpter, 2013). Passages when the BI was not clear were left out.
The BI:s were then interpreted in a wider context to be able to work deductively considering
the three themes attributed by Sumpter (2013). The three themes of belief indications,
security, motivation and expectation were used as a basis for consideration. Two of the
authors analysed the data by discussing it in relation to the framework for categorizing
reasoning and to what beliefs were indicated by the students‟ statements, explicitly or
implicitly. The discussions were in all cases ended with an agreement on both the reasoning
used and what beliefs were indicated. There was also a possibility to discuss issues with the
third author.
In this way, there were two separate analysis procedures: one for the reasoning used, and
one for the beliefs indicated. The next step in the analysis was to recognize what beliefs were
indicated concurrently as a specific type of reasoning was used. In some cases this connection
was between an indication of beliefs and a change of reasoning or a pattern of reasoning
9
sequences. The generated data might have been different if the data had been collected in
another setting, e.g. with single students and using a think aloud protocol. We are also aware
that the lab-setting might have had an impact on the generated data and the results and
conclusion only concern this particular setting.
4
Results
The results indicate that students expressed beliefs of security, motivation and expectation.
We have been able to further distinguish between different kinds of expectations belonging to
the subject oriented category. The motivational beliefs have been further divided into positive
and negative. This applies to security as well, which we have been able to see as both security
and insecurity. In our presentation of the results we will show how beliefs connect to the
reasoning used. We will do this by first exemplifying the work of three students (Leila, Karl
and Eric) on one of the four tasks, task 2. The reason for exemplifying data using task 2, in
line with Kloosterman (2002), is that this task appeared to be a task where all these three
students met their challenge. By this we mean that the task was neither too easy nor too hard.
The task solving session and the interview rendered a lot of data concerning the chosen task.
The task that we use to exemplify the students‟ work is the following:
“Which of the following expressions correspond to the perimeter of the figure?
.
Motivate your answer.” (Swedish National Agency for Education, 2010, p. 3, authors‟
translation)
Fig. 1 Figure to task 2 (Swedish National Agency for Education, 2010, p. 3).
10
The data have been translated from Swedish. […] stands for omitted passages not relevant to
the solving process.
4.1
Leila, reasoning
Leila worked in pair with Anna. Leila‟s work on the task resulted in three reasoning
sequences.
Part 1
Leila
Anna
Leila
Anna
Leila
Leila
Anna
Leila
Anna
[Reads the question]. Seriously, I don‟t know how to do this stuff. […] What? Is this
whole line ? [Pointing at the most left vertical line.]
Yes.
And all of this, is ? [Pointing along the bottom of the figure.]
Yes.
Isn‟t it 2, or, eh, plus ? Then it is...
[...]
If you, [gesturing in the figure] just move these [indentations], kind of, then it will
be, the you just take…
Yes..
No, I don‟t get it. [pause] But it, if you, even if you squeeze it together, it should be
plus ? […]
Yeah. […] It should be that one [pointing at the expression
].
Leila
Mmh.
[…]
Leila But then you could write, eeh: it is
becomes equal length.
Anna Yeah.
since if you squeeze it together the sides
Task situation 1: Which of the following expressions correspond to the perimeter of the
figure and why?
Strategy choice 1: Leila argues that the indentations do not add any length to the perimeter
of the figure. Therefore it can be considered to be a rectangle and the algorithm of a rectangle
perimeter can therefore be used.
Strategy implementation 1: Leila adds the side lengths of the rectangle
, (without
considering that the indentations add to the perimeter).
Conclusion 1: Leila‟s answers is
algebraic expression.
11
, but hesitates in her motivation of the chosen
Leila’s reasoning: Leila does not consider necessary properties of the figure, the
indentations, in her strategy choice. Instead she uses the algorithm for computing the
perimeter of a rectangle. This algorithm was considered to be familiar to Leila. The reasoning
used in the first sequence was therefore categorized as IR. Leila‟s conclusion from the first
reasoning sequence results in a new reasoning sequence, since Leila hesitates when she is to
motivate her choice of expression.
Part 2
Leila
Or? [pause] It can‟t
plus , can it? [pause] Or, yeah, if you add these, [pointing
at the vertical lines in the indentations] maybe. Look, this one and then you add it..
Anna Uhm.
Leila ... and then you add it to this one.
Anna
But what?
Leila
Look. [pointing at the figure]
Anna
Yes.
Leila
This, [pointing above the left indentation] thing..., or, there is something missing
...
Anna here,
Yes.
Leila
... then you can, kind of take this [pointing at the larger indentation] and this one
[pointing at the smaller indentation] or, not. [Pause] I don‟t get it.
Task situation 2: Which of the following expressions correspond to the perimeter of the
figure and why?
Strategy choice 2: Leila considers the indentations as important for the computation of the
perimeter. She also finds a way to integrate this necessary property into her solution. The
argument supporting her following implementation is that the smaller vertical line of an
indentation is the missing part of a vertical line of the larger indentation. The sum of these
two vertical lines would be the same as the length of .
Strategy implementation 2: Leila adds one of the vertical sides of the larger indentation to
one of the sides of the smaller one making up another . She repeats this for the other side of
12
the indentations which leads to Leila seeing four a‟s in the figure.
Conclusion 2: Leila‟s answer is
. Before Leila writes a motivation for the choice of
algebraic expression she states “I don‟t get it.”
Leila’s reasoning: Leila creates a to her a novel solution. She gives an argument for her
strategy choice (adding the vertical sides of the indentations) based on necessary intrinsic
mathematical properties. Her reasoning sequence is therefore categorized as CMR.
Nevertheless, Leila abandons the correct solution and the answer, which results in a third and
final reasoning sequence.
Part 3
Leila
Anna
Leila
Anna
Leila
Should we write
?
Mmh.
Because you, if you squeeze together the, block..., or, yeah, the figure, then, it is...
It will be...
Mmh.
[Writes down the solution]
Task situation 3: Which of the following expressions correspond to the perimeter of the
figure and why?
Strategy choice 3: Leila reconsiders her interpretation of the relevance of the indentations.
She, once again omits the indentations by “squeezing” the figure. “Because you, if you
squeeze the blocks..., or yeah, the figure [...] then the figure becomes a rectangle.”
Strategy implementation 3: Adds the vertical sides (
interpreted as being of length equivalent to
Conclusion 3:
(
).
with the motivation that squeezing the figure, a rectangle is formed
and the sides of the rectangle are not equally long.
13
) and the horizontal sides,
Leila’s reasoning: Leila returns to her incorrect answer
and omits an important
intrinsic property of the figure; the indentations in her strategy choice. This reasoning
sequence is therefore categorized as imitative reasoning.
4.2
Leila, beliefs indicated
There are several beliefs indicated in the data of Leila working on this task. The subsequent
interview also clarified several of these belief indications. There are three main beliefs
indicated in the data on Leila. Firstly, Leila expresses that she does not “know how to do
this”, when meeting the task. This also reoccurs several times throughout the three reasoning
sequences. This could be an indication of an intrinsic motivational belief, but also a personal
expectation on herself: she does not expect herself solve the task. The fact that she expresses
that she does not understand may motivate her to handle the situation in a certain way. In the
interview motivating her choices, she on two occasions states an insecurity regarding her own
thinking: “I‟m not sure if it is right, but [...]”. In the interview Leila also says that: “I am
unsure when I have to think differently, therefore I choose the simplest way.” This statement
indicates that there is an expectation on the task to be solvable in a way where the amount of
thinking is reasonable according to Leila. The simplest way here, according to Leila is to
consider the figure as a rectangle (without the indentations).
4.3
Leila, reasoning and beliefs indicated
The above presented example is signifying for Leila as it shows her use of IR. Leila uses IR
solving all four tasks. In the interview Leila expresses that the first task, to her, is of routine
character. She also delivers a correct solution to this task. Of the other three tasks, one more
was solved with a correct result, using IR via peer guidance, and the two others were
incorrect.
Leila indicates similar intrinsic motivational beliefs when working on all four tasks,
expressing that she does not understand. On two occasions she also indicates an insecurity
14
regarding her own ability. In the interview she states: “Because, I would have probably done
something wrong. You know, not knowing how to really think and just skipped something
[…] it had become more complicated”. As shown in the example above, she also indicates an
expectation on herself not to be able to solve the task. In the interview, Leila states that she
“can only solve tasks with normal shapes, and not with indentations [...] it becomes too
complicated. [...] You have to think differently, [...] but then I used what seemed easiest.”
These three beliefs seem to interplay in a way that supports each other. The three beliefs
support each other so that, for example, the personal expectation of only being able to solve
tasks with familiar geometrical figures may strengthen her intrinsic motivation of not
understanding the task and also her insecurity of the task being of an unfamiliar character,
and also of her own solution.
4.4
Karl, reasoning
Karl‟s work, in pair with Ian, resulted in one reasoning sequence.
Karl I thought that it should be [...] If we were to just do like this [showing in the figure].
Then we will get…
Ian Yeah ….
Karl ... then we will have and . And then we pull these [indentations] together, put
them opposite each other, then we will get, 1, 2 ...
Ian 4, 5.
Karl We [have], 1, 2, 3, 4at least got four a‟s. And two b‟s, It should be and .
Ian What? I don‟t get what you are getting at!
Karl If we were to move this, [points at the smaller indentation], and put it here instead.
Instead of here. Then it would be, 1, 2, 3, 4, four lengths.
Karl I‟ll just… ehh
Ian You can‟t write a solution to this, can you?
Karl No, we‟ve been talking so much, anyway
Task situation: Which of the following expressions correspond to the perimeter of the figure
and why?
15
Strategy choice: Karl immediately sees that the vertical sides in the indentations can be
expressed by variable „a‟. “We pull these [the vertical sides in the indentations] together, put
them opposite each other. Then we get 1, 2, […] 4 a‟s.”
Strategy implementation:
Conclusion:
. Did not give a written motivation to the choice of algebraic expression
Karl’s reasoning: Karl constructs a novel solution method to solve the task. The assumption
that the method is novel is strengthened by Karl‟s statement in the interview where he says
that he has not seen this type of task before. The arguments that the length „a‟ can be found
also as parts of the indentations are made plausible by his pointing in the figure. Karl anchors
the properties of the indentations and the different forms of representation of the variables
and intrinsically. Therefore the reasoning sequence is categorized as CMR.
4.5
Karl, beliefs indicated
Karl indicates motivational beliefs in two different ways solving the second task. First, he
expresses that he does not understand, but later in the interview formulating that he
nevertheless thought that the solution was ok even though he was not certain. Altogether he
shows insecurity about whether the results were correct or not.
4.6
Karl, reasoning and beliefs indicated
Karl uses CMR to solve all tasks except the last and most difficult one. The last task is also
the only task where Karl‟ solution and answer is incorrect. Summarizing Karl‟s beliefs
indications on all tasks, he shows greater confidence than Leila but also both security and
insecurity. On the first task he indicates, in a similar way to the task in the example above, a
negative intrinsic motivational belief saying that he does not understand. In the interview he
stresses a different motivational belief, saying that “[the solution] just came to me”. Karl here
has a clear picture of the complete solution and uses CMR to solve the task. Karl also
indicates an extrinsic motivational belief regarding the written computation of a solution on
16
paper. He finds it necessary to present a solution to us, in a similar manner as to his class
teacher, but also finds it hard to written these written computations. In one task solution (task
3), Karl indicates a belief of expectation that the task should be solvable by using an
algorithm when he in a response to Ian, who says ”But I don‟t remember how to do this”,
replies ”Neither do I.”. This is also the only task where Karl actually uses IR in his attempt to
solve a task. The other subject oriented expectation that is indicated on two occasions in
Karl‟s task solving, is that he expects tasks to be of a certain level of difficulty. He states in
the interview “I understood that it was too simple”, and by this he signals that he had an
expectation on how complicated the solution should be to meet the level of the tasks. On the
other occasion, concerning the fourth and final task, Karl is puzzled when he says “It‟s
probably a trick question that is actually really simple to answer”. Here he expresses an
expectation that it should be a difficult question but his simple IR solution does not fit his
expectation of complexity of the task. The relation between the beliefs held and the reasoning
used in the case of Karl is a relation between a mix of negative and positive intrinsic
motivation and the relative security he shows regarding his ability to create novel solutions
and to use intrinsic mathematical properties and his use of CMR.
4.7
Eric, reasoning
Eric‟s work, in pair with Axel, with task 2 resulted in one reasoning sequence.
Eric
Eric
Eric
Axel
Eric
Axel
17
We can make our own ruler, [using] a piece of paper. […] Two [squares on the paper]
is one centimetre.
[Eric and Axel measures in the figure using the piece of squared paper.] […]
Let‟s guess that this [pointing at the larger of the indentations and referring back to a
measurement of the figures height as 3,5cm] is maybe two to three centimetres.
[Eric and Axel continue to measure in the figure.] […]
Yes, listen, listen, listen. This side is as long as one . This [pointing at the lower part
of the figure] is .
Mmh.
Mh. Plus one , if you compare with that one [the figures upper part]. This is just one
, and this is one and one . [lower part of the figure].
But, look, this is what they show, this side [the figures left side] is a. Then, it just that
side [the figures right hand side] ...
Eric
Axel
Eric
Axel
Eric
Axel
Eric
Axel
Eric
Eric
Axel
Eric
Eric
Axel
Eric
Eric
Eric
Axel
Eric
Mmh.
... and that side [the figures right hand side] that is .
[inaudible] 3.5 centimetres longer here [bottom part of the figure]. That is why I use
instead. [pointing at the bottom right horizontal line] Do you understand what I
mean?
No
But that side [bottom] is 12.5, that [upper] 9.5
Mmh.
[counting on his fingers] It differs three, almost an a.
But, that ...
I know, but I know what that side [left] is, what I mean is that the they [bottom] are
just as long as that [upper], but one more of those [left side, ].
[…]
Yeah. Or you could write three a‟s, not three of those. […] and one b. But that doesn‟t
work [sees that there is no such algebraic expression. It is , exactly,
and .
, ?
Mmh. Because it‟s still [bottom], [upper], plus , 1, 2, 3.
[...]
Can I copy your notes, I haven‟t written anything, because I‟ve just been trying to
work it out.
But I didn‟t have the time to write anything.
Mh. But they have it recorded. […]
That is about a half less. I doesn‟t matter if we round off a bit.
[…]
Damn, I don‟t know how to explain on paper, it sounds better when you just talk.
[…]
Tell me what you‟re writing.
I wrote that “ is
longer than the other ”. Because that is the way it is!
Task situation: Which of the following expressions correspond to the perimeter of the figure
and why?
Strategy choice: Eric considers the perimeter of the figure to be affected by the indentations.
He chooses to measure all the sub-lengths of the figure. The argument used is that some sublength measured in centimetres can be transformed into variable a.
Strategy implementation: Eric measures all sub-lengths. The lengths are rounded off to fit
the, by Eric measured length of a. Eric adds all sides: left side
cm
, upper side (including small indentation)
.
have different lengths.
18
cm
, right side
, lower side (including indentation)
. An implicit argument is used that variable
could
Conclusion:
ended up being
. Motivation: “One
and
is an
longer than the other . That was why it
.”
Eric’s reasoning: Eric in this reasoning sequence uses a type of reasoning that has the
character of CMR. He does not at any point refer to an algorithm or other familiar solution
method, but constructs a, to him, new solution method. He argues for his solution together
with his peer, basing the arguments on intrinsic properties of the task such as the indentations
and what these do to the perimeter of the figure. He also realizes that the answer must consist
of only „a‟ and „b‟ terms, meaning that the measured sub-lengths must be represented in
terms of the two variables. What is lacking in his reasoning is a correct handling of variables.
Nonetheless, this reasoning is categorized as being CMR.
4.8
Eric, beliefs indicated
Eric indicates several beliefs in working on the example-task. He indicates a security in the
regard to his solution to the task, at the same time as he shows insecurity in regard to how he
came about this solution. His insecurity is apparent in the interview: “I don‟t know how we
thought, we got that answer anyway”. This may interplay with another expressed BI, an
extrinsic motivational belief saying that there should be a written solution to the task. This
latter BI is stated when Eric argues for not including a written computation because he finds
it difficult. Eric also shows a general frustration about the hassle to present a written solution
of the task.
4.9
Eric, reasoning and beliefs indicated
The reasoning used by Eric on the four tasks have the character of CMR in that he
approaches the tasks by creating novel reasoning sequences and hence also solutions. These
solutions are vaguely based on mathematical arguments. He expresses a confidence in these
arguments based on the relevant mathematical properties. It can be Eric‟s mathematical
ability that hinders him from always grounding the arguments in the intrinsic mathematical
19
properties, but nevertheless he reasons in a way that is reasonable and plausible to him, in
this context. Therefore the reasoning used by Eric on all task but the first task is categorized
as being CMR. The first task is to him, just like it was to Leila, of routine character as stated
by Eric in the interview. He reaches a correct answer on solely one task, the third one.
During the work on all four tasks, Eric expresses a positive intrinsic motivational belief
when he says in the interview that the task solving process feels rather good and that he
thought the solution to be correct (e.g. commenting one of the task solutions: “It felt right at
that moment.”). Working on the last, and most difficult task he also shows another intrinsic
motivational belief expressing that guessing is a valid method to approach a task. In the
interview he states: “well, it‟s a little difficult, but I try to guess, it feels rather ok”. Eric
indicates differentiated beliefs of security. Statements such as “I know that the answer is
correct” and “I don‟t know what our thought were, but we finished it anyway” and “we were
really unsure” all indicate different levels of security or insecurity. The use of CMR with an
incorrect result is in Eric‟s task solving connected to mostly positive intrinsic motivational
beliefs and security, but also to insecurity and different beliefs relating to the written
computations and to the belief that also guessing is valid.
4.10 Summary
In the results we have presented three belief systems connected to three different ways of
approaching non-routine tasks, see Table 1.
Table 1. Beliefs indicated and reasoning used by Leila, Karl and Eric.
Studen
Belief Indication (BI)
Reasoning
Leila
Insecurity -Low personal expectations
IR, abandoning CMR (correct
t
- Negative Intrinsic motivation
20
solution)
Subject Expectation
Karl
Negative and positive intrinsic
CMR (correct solution)
motivation
Security and insecurity
Extrinsic motivation
Karl
Subject expectation
IR
Eric
Positive intrinsic motivation
CMR (incorrect solution)
Security and Insecurity
Extrinsic motivation
From Table 1, we can see that the difference in the way the students approach the non-routine
problems, and also which BI:s are connected to their approach.
5
Discussion
Even though beliefs are contextually bound (Francisco, 2013), several studies indicate
similarities between different countries (Dìaz-Obando et al., 2003; Furenghetti & Morselli,
2009). Students expect mathematical tasks in school to be solvable by memorized algorithms.
Broadening the picture from just memorized to IR, using Lithner‟s (2008) framework,
Swedish upper secondary school students indicated beliefs about mathematics as being of an
imitative character, where CMR is not necessary to solve school tasks (Sumpter, 2013). It has
also been reported that a majority of students believe it is more valuable to memorize than to
think in mathematics classrooms (Boaler, Wiliam, & Brown, 2000). What we have seen in
this study is that results from previous research are also valid when students work on non-
21
routine tasks. Leila in many ways exemplifies several of the above mentioned beliefs. Yet,
this present study also shows that there are other kinds of beliefs represented among the
upper secondary school students in Sweden compared to previous research (c.f. Sumpter,
2013). Two of students in our study indicate beliefs that CMR is indeed a valid method of
approach, at least when a complete solution is within reach. These results seem to be an
addition to the present picture of students‟ beliefs about problem solving and mathematical
reasoning. However, these results also somewhat contrast previous research that has shown
that students tend to focus on familiar algorithms when engaged in problem solving (Carlson,
1999). IR is very fruitful when you want to solve a lot of mathematical task of routine
character quickly and (most likely) with a correct answer, but it is not so helpful when facing
mathematical problems (Lithner, 2008). We can only speculate why the students in the
present study use CMR to the extent shown in the results. The task design might trigger the
use of CMR, or it may be that the selected students are weak procedurally. These students, all
expecting to barely pass the course are likely to have limited procedural as well as conceptual
knowledge. Having this limitation leaves you with two options, either try to fit a well known
algorithm to the task solution or try to create a new solution. In this lab situation the might
also be a greater incitement for these students to actually present a solution than in an
ordinary classroom situation.
Another result of the present study is that students have indicated a belief of expectation
regarding the level of difficulty of the tasks, a subject expectation. This expectation could be
connected to an understanding of what type or reasoning should be used, e.g. Leila expressed
that one of her solutions to task 2 was too complicated while on the fourth and last task
several students indicated a belief that their solution was not complex enough. Kloosterman
(2002) also argues that students seem to want to have a clear picture of tasks‟ level of
difficulty, and also how the students act in relation to this expectations. A possible
22
explanation to why the students in this present study turned to IR when facing more difficult
tasks could be the level of difficulty following Kloosterman (2002). Another possible
explanation could be that if students do not see CMR as an option (Sumpter, 2013), then it is
difficult to evaluate and control your own reasoning (Schoenfeld, 1992) and thereby judge
the „correct‟ level of difficulty or simply see if the solution is correct. Boaler (1998) describes
the same phenomena: students have expectations on the expected difficulty level of tasks.
All three students indicate beliefs of insecurity and just as in Mercer (2010) the emotions
supports beliefs (in either direction). Here it is illustrated by Leila who shows a negative
intrinsic motivation and low personal expectations interplaying with insecurity. Leila‟s
interplay of beliefs may strengthen the connection to her use of IR, a behaviour that is in line
with previous research (c.f. Lerch, 2004). Related to this Leila, with a low personal
expectation, is the one using IR on all tasks. Callejo and Vila (2009) describes a similar
situation as a student being “focused on recurrence, without getting into the overall analysis
of the situation” (p. 116). Karl shows a mix of positive and negative intrinsic motivation
while Eric indicates more positive intrinsic motivation. The motivational belief is what
distinguishes the three students from each other, rather than the insecurity. Motivational
beliefs can be viewed as the engine, the driving force, of the mathematical work (Hannula,
2006). Without it, it can be hard to sustain the reasoning.
The successful students in Carlson‟s (1999) study showed high levels of patience, trusting
their own thinking even though it didn‟t go smoothly. In this present study, both Karl and
Eric use CMR without abandoning it. However, they did not indicate a belief of expectation
that a task should be solved using a known algorithm, i.e. using IR. The BI:s connected to
CMR are to a large extent the same for Karl and Eric. Eric‟s indicate beliefs of positive
intrinsic motivation and of security that seems to overrule insecurity. Eric may lack the
conceptual knowledge that is necessary to be able anchor his solutions in intrinsic
23
mathematical properties. Another possible explanation to his incorrect solutions may be his
seemingly unreflective manner. This behaviour is similar to what Callejo and Vila (2009)
categorizes as being naive, impulsive or unthinking and is characterized for example by quick
answer without justifications. Unlike Eric, Karl indicates both a negative and a positive
intrinsic motivation. In this particular episode, Karl has a more reflective approach to the
task solving than Eric. It appears that students‟ cognition and beliefs are intertwined
following the results from previous research (Furenghetti & Morselli, 2009). The reasons for
a student to use IR on non-routine tasks could be that the student holds expectations on the
subject, or more specifically, does not know that CMR is an option. Another reason could be
that the student argues CMR not being an option (c.f. Sumpter, 2013), which can be
paralleled to Sfard and Lincheviski‟s (1994) findings that an imitative approach is less
stressful and secure. Here it is illustrated by Leila when saying “I am unsure when I have to
think differently, therefore I choose the simplest way.”
To conclude, we see that students when working on non-routine tasks use a variety of
approaches including both CMR and IR. Compared to previous studies on students‟ beliefs
when solving routine tasks, this indicates that the task influences the way students reason (c.f.
Liu, 2010). Nevertheless, contrasting with previous research we see that similar themes of
beliefs are indicated in this partly new setting. Furthermore, even though the tasks are
designed to demand CMR, students still use IR (without success). This implies that there is
more to supporting a broader view of mathematics and the use of CMR than just giving nonroutine tasks to students.
24
References
Ball, D., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. In J. Kilpatrick, W.
G. Martin & D. Schifter (Eds.), A research companion to principles and standards for
school mathematics (pp. 27-44). Reston, VA: National Council of Teachers of
Mathematics.
Bergqvist, T., Lithner, J., & Sumpter, L. (2008). Upper secondary students' task reasoning.
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 39(1), 112.
Boaler, J. (1998). Open and closed mathematics: Student experiences and understandings.
Journal for Research in Mathematics Education, 29(1), 41-62.
Boaler, J., Wiliam, D., & Brown, M. (2000). Students' experiences of ability grouping disaffection, polarisation and the construction of failure. British Educational Research
Journal, 26(5), 631-648.
Boesen, J., Lithner, J., & Palm, T. (2010). The relation between types of assessment tasks and
the mathematical reasoning students use. Educational Studies in Mathematics, 75(1), 89105.
Braun, V., & Clarke, V. (2006). Using thematic analysis in psychology. Qualitative Research
in Psychology, 3, 77-101.
Dìaz-Obando, E., Plasencia-Cruz, I., & Solano-Alvarado, A. (2003). The impact of beliefs in
student's learning: An investigation with students of two different contexts. International
Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 34(2), 161.
Callejo, M.,& Vila, A. (2009).Approach to mathematical problem-solving and students‟
belief systems. Educational Studies in Mathematics, 72, 111-126.
25
Carlson, M. (1999). The mathematical behavior of six successful mathematics graduate
students: influences leading to mathematical success. Educational Studies in Mathematics,
40(3), 237-258.
Francisco, J. (2013). The mathematical beliefs and behavior of high school students: Insights
from a longitudinal study. The Journal of Mathematical Behavior, 32(3), 481-493.
Furinghetti, F.,& Morselli, F. (2009). Every unsuccessful problem solver is unsuccessful in
his or her own way: affective and cognitive factors in proving. Educational Studies in
Mathematics, 70, 71-90.
Hannula, M. (2006). Affect in mathematical thinking and learning: Towards integration of
emotion, motivation and cognition. In J. Maasz & W. Schloeglmann (Eds.), New
Mathematics Education Research and Practice (pp. 209-232). Rotterdam: Sense
Publishers.
Hoyles, C. (1992). Mathematics teaching and mathematics teachers: A meta-case study. For
the Learning of Mathematics, 12(3), 32–44.
Kloosterman, P. (2002). Beliefs about mathematics and mathematics learning in the
secondary school: Measurement and implications for motivation. In G. C. Leder, E.
Pehkonen& G. Törner (Eds.), Beliefs: A hidden variable in mathematics education?(pp.
247-269). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Lerch, C. (2004). Control decisions and personal beliefs: their effect on solving mathematical
problems. The Journal of Mathematical Behavior, 23, 361-372.
Lithner, J. (2003). Students' mathematical reasoning in university textbook exercises.
Educational Studies in Mathematics, 52(1), 29-55.
Liu, P-H. (2010). Are beliefs believable? An investigation of college students‟
epistemological beliefs and behavior in mathematics. The Journal of Mathematical
Behavior, 29 (2), 86-98.
26
Mercer, J. (2010). Emotional beliefs. International Organization, 64(1), 1-31.
Niss, M. (2003). Mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish
KOM project. Third Mediterranean Conference on Mathematics Education. Athens,
Greece. 115–124.
Op 'T Eynde, P., De Corte, E., & Verschaffel, L. (2002). Beliefs a hidden variable in
mathematics education? In G.C. Leder, E. Pehkonen & G. Törner (Eds.), Beliefs: A hidden
variable in mathematics education? (pp. 13-37) Dordrecht: Kluwer Academic, 2002.
Ryan, R., & Deci, E. (2000). Intrinsic and extrinsic motivations: Classic definitions and new
directions. Contemporary Educational Psychology, 25(1), 54-67.
Schoenfeld, A. (1985). Mathematical Problem Solving. Orlando, FL: Academic Press.
Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: problem solving, metacognition
and sense-making in mathematics. In D. Grouws (Ed.), Handbook of Research in
Mathematics Teaching and Learning (pp.334-370). New York: Macmillan Publishing
Company.
Sfard, A., & Linchevski, L. (1994). The gains and the pitfalls of reification - the case of
algebra. Educational Studies in Mathematics, 26(2-3), 191-228.
Sidenvall, J., Lithner, J. & Jäder, J. (in press). International Journal of Mathematical
Education in Science and Technology.
Speer, N. (2005). Issues of methods and theory in the study of mathematics teachers'
professed and attributed beliefs. Educational Studies in Mathematics, 58(3), 361-391.
Sumpter, L. (2013).Themes and interplay of beliefs in mathematical reasoning. International
Journal of Science and Mathematics Education, 11(5), 1115-1135.
Swedish National Agency for Education [Skolverket] (2010). National test in mathematics
Course A, Spring 2010, Part I short answers [Nationellt kursprov i matematik, kurs A,
27
våren 2010, Del I kortsvar]. Retrieved from http://www.su.se/polopoly_fs/1.155928.
1384787016!/menu/standard/file/VT2010_Del1Kortsvar.pdf. Swedish.
Swedish Schools Inspectorate [Skolinspektionen]. (2010). Undervisningen i matematik i
gymnasieskolan [Mathematics education in upper secondary school] (No. 2010:13).
Stockholm: Swedish Schools Inspectorate. Swedish.
Yackel, E., & Rasmussen, C. (2002). Beliefs and norms in the mathematics classroom. In
G.C. Leder, E. Pehkonen, & G. Törner (Eds.), Beliefs: A hidden variable in mathematics
education? (pp. 313-330). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
28
Appendix 1
1. “When using 6 kg of apples Astrid gets 2.8 l of apple juice. How many litres of apple juice
will she get using 15 kg of apples, of the same sort?” (Swedish National Agency for
Education, 2005a, p. 2, authors‟ translation)
2. “Which of the following expressions correspond to the perimeter of the figure?
a+b
2a + 2b
3a + 2b
3a + 3b
4a + 2b
Motivate your answer.”
(Swedish National Agency for Education, 2010, p. 3)
3. “The average age of five employees at a sporting goods store was 24 years. A woman of
age 36 years was hired as shop manager. What will be the new average age of the
employees at the sporting goods store?” (Swedish National Agency for Education, 2005b,
p. 2, authors‟ translation)
4. “A circular one person American pizza has a diameter of 21 cm. What should the diameter
be for the pizza to be a two person pizza?” (Swedish National Agency for Education,
1996, p. 5, authors‟ translation).
29
References
Swedish National Agency for Education [Skolverket] (1996). National test in mathematics
Course A, Spring 1996 [Nationellt kursprov i matematik, kurs A, våren 1996]. Retrieved
from http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/A-kursprov-vt96.pdf. Swedish.
Swedish National Agency for Education [Skolverket] (2005). National test in mathematics
Course A Spring 2005 Part I [Nationellt kursprov i matematik, kurs A, våren 2005 Del I].
Retrieved from http://www.su.se/polopoly_fs/1.155924.1384786957!/menu/standard/file/
VT2005_del_I.pdf. Swedish.
Swedish National Agency for Education [Skolverket] (2005). National test in mathematics
Course A Spring 2005 Part II [Nationellt kursprov i matematik, kurs A, våren 2005 Del
II]. Retrieved from
http://www.su.se/polopoly_fs/1.155926.1384786979!/menu/standard/file/
VT2005_del_II.pdf. Swedish.
Swedish National Agency for Education [Skolverket] (2010). National test in mathematics
Course A, Spring 2010, Part I short answers [Nationellt kursprov i matematik, kurs A,
våren 2010, Del I kortsvar]. Retrieved from http://www.su.se/polopoly_fs/1.155928.
1384787016!/menu/standard/file/VT2010_Del1Kortsvar.pdf. Swedish.
30