1. No category

Lektionsanteckningar
för kursen
Matematik I:1
15
10
5
4
2
2
4
5
10
till mina studenter i
TBASA-AV VT2015
Håkan Strömberg
6
TBASA-GH14
Lärare:
Planering i matematik I:1
P1 14/15
Niclas Hjelm | niclas.hjelm@sth.kth.se | 08-790 48 57
(Niclas är pappaledig tisdagar och onsdagar under hösten!)
Examinator: Niclas Hjelm
Kursnr:
HF0021
Kursmapp: U:\KURS\HF0021_Matematik för basår I
Läromedel: Alfredsson, Bråting, Erixon, Heikne: Matematik 5000 Kurs 3c Blå Basåret
ISBN 978-91-27-43010-5
Förlag: Natur och kultur
Alphonce, Pilström; Formler och tabeller
ISBN 978-91-27-42245-2
Förlag: Natur och Kultur
eller den äldre upplagan
Björk m.fl: Formler och tabeller
ISBN 978-91-27-72279-1
Förlag: Natur och Kultur
Kursbunt (utdelas vid kursstart)
Datum
1
2
3
Avsnitt
Räkning med polynom
Andragradsekvationer
Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer
4 Polynom i faktorform
5 Rationella uttryck
Förlängning och förkortning
6 Addition och subtraktion
7 Multiplikation och division
8 Algebraiska uttryck och algebraiska metoder
Implikation och ekvivalens.
9 Repetition inför kontrollskrivning 1
Kontrollskrivning 1
10 Potenser.
11 Kvadratrötter. Absolutbelopp.
12 Avrundning och gällande siffror
Likformighet
13 Areaskala. Volymskala.
Bevis med likformighet
14 Trigonometri
15 Trigonometri
16 Funktioner
Räta linjen
Sidor i bok (KB = Kursbunt)
110-113, 68-69
119-121
122-123, 70-73 (ej u16311632)
124-125
128-129
130-134
135-139
140-141
49-50
KB 2
114-115
116-118
8-9
90-93
KB 3-5
94-95
26-34
35-36
142-143
145-147
17 Räta linjen
Direkt proportionalitet
18 Repetition inför kontrollskrivning 2
Kontrollskrivning 2
19 Linjära ekvationssystem
20 Andragradsfunktioner
21 Formelhantering
22 Olikheter
23 Vektorer
24 Komposanter, koordinater och vektorlängd
25 Krafter och hastigheter
26 Repetition inför kontrollskrivning 3
Kontrollskrivning 3
27 Repetition inför tentamen
Tentamen
KB 6
66
KB 7-15
148-151
KB 16-18
13-15
37-39
40-42
46-48
Räknestugor
Fredagar kl 13-15 ordnas räknestuga. Dessa syns på ert schema.
Kontrollskrivningar (KS)
Student som erhåller åtminstone 7 poäng av 12 möjliga på en kontrollskrivning kan
tillgodogöra sig bonus på ordinarie tentamen.
Student som blir godkänd på KS 1 hoppar över uppgifter motsvarande 4 p.
Student som blir godkänd på KS 2 hoppar över uppgifter motsvarande 2 p.
Student som blir godkänd på KS 3 hoppar över uppgifter motsvarande 2 p.
Tillåtna hjälpmedel
Vid kontrollskrivning och tentamen är godkänd miniräknare (ej symbolhanterande) samt
formelsamlingen (utan anteckningar!) tillåtna hjälpmedel.
Kursmapp
I kursmappen U:\KURS\HF0021_Matematik för basår I finns en del material ni kan ha
nytta av, t ex
• Kursbunten (pdf-fil).
• Extra algebraövningar (pdf-fil). Detta är väsentligen svårare uppgifter på det som
tillhör KS1
• Gamla tentor och kontrollskrivningar. Eftersom denna kurs är ny finns inga gamla
tentor och kontrollskrivningar. Dock hittar ni gamla tentor och kontrollskrivningar i
kursmappen för den gamla kurserna U:\KURS\HF0012_HF0013_HF0014. Vissa
moment har tillkommit, andra har flyttats. För att se skillnaderna mellan gamla och
nya kurserna, titta på Vad har ändrats i nya kursen (word-fil). Notera även att de
gamla kontrollskrivningarna inte överensstämmer helt med de nya.
Rekommenderade övningsuppgifter
Övningsuppgifterna i läroboken är indelade i tre svårighetsnivåer, A, B och C. Vi
rekommenderar att ni löser några få A-uppgifter (dessa testar om ni är bekanta med
terminologin) och därefter en hel del B-uppgifter (dessa är lagom svåra och är dessutom på
samma nivå som de flesta tentauppgifterna. Har ni därefter tid, och siktar på ett högt betyg,
kan ni ge er på C-uppgifterna (dessa är svåra, i några fall t o m rejält svåra, och motsvarar de
2 svåraste uppgifterna på tentamen).
Sidor i boken
110-113, 68-69
Räkning med polynom
Faktorisering av heltal. Attprimtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där
varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett heltal större än 1, som inte kan skrivas som produkten
av två heltal, båda större än 1.
Exempel 1. Här har vi de 10 första primtalen.
2, 3, 5, 7, 11 , 13 , 17 19, 23
Vilka är de 10:e och 11:e primtalen?
Svar: 29 och 31.
Exempel 2. Primtalsfaktorisera talen 420 och 900.
Svar:
420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7
900 = 3 · 3 · 5 · 5 · 2 · 2
Exempel 3. 71, 93, 133. Ett av dessa tre tal är primtal, vilket?
Svar: 71 är primtal. 93 = 3 · 31 och 133 = 7 · 19
När man ska √
ta reda på om ett heltal n är primtal eller inte behöver man inte testa divisioner av
primtal över n. Till exempel
h√ kani man komma fram till att 541 är ett primtal genom att ingen av
541 = 23 går jämnt upp.
divisionerna med primtal <
Polynom i en variabel är en summa av termer. De termer som innehåller bokstavsbeteckningar
(oftast x) kallas variabeltermer. Termer utan bokstav kallas konstanttermer. Variabeltermen är en
produkt av en koefficient och en potens av variabeln med positiv heltalsexponent, som bestämmer
termens grad. Poynomets grad avgörs av högsta graden hos polynomets termer.
Några exempel på polynom
x2 + 3x + 7
x10 − 1
3 − x3 + x − x2
Ett andragradspolynom
Ett tiogradspolynom
Ett tredjegradspolynom
Ett polynom kan innehålla flera variabler. 2ab3 + b2 − 3a är ett polynom i två variabler a och b.
Dess gradtal är 4, som bestäms av termen 2ab3 genom 1 + 3 = 4
Två polynom kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras med varandra.
Exempel 4. Utför i tur och ordning addition, subtraktion och multiplikation av två polynom
(3x + 2) + (1 + 4x) ≡ 7x + 3
(4x2 − 3x) − (3x2 − 3x) ≡ x2
(3a + 1)(2 + 4a) ≡ 6a + 12a2 + 2 + 4a ≡ 12a2 + 10a + 2
Vi hoppar över polynomdivision som just nu är lite för komplicerat!
Håkan Strömberg
1
KTH STH
Tre regler, som är ett måste att känna till, är de två kvadreringsreglerna och konjugatregeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Första kvadreringsregeln
Andra kvadreringsregeln
Konjugatregeln
Det räcker inte med att man kan utveckla till exempel (3x +2)2 = 9x2 +12x +4 eller (x +2)(x −2) =
x2 − 4. Ibland måste man också kunna gå ’bakvägen’. Man faktoriserar polynomet 4x2 + 12x + 9 till
(2x + 3)(2x + 3) ≡ (2x + 3)2 .
Ett annan situation kallar vi för att bryta ut. Polynomet 4x2 + 8x = 4x(x + 2) blir faktoriserat genom
att bryta ut 4x. Någon kanske nöjer sig med att enbart bryta ut 4 och få 4(x2 + 2x) eller enbart x
och få x(4x + 8).
En anledning till att man vill faktorisera ett polynom är att man vill förenkla ett uttryck, mest för att
den fortsatta beräkningen ska bli enklare och kunna göras snabbare.
Exempel 5. Förenkla uttrycket
(a2 − b2 ) + (a + b)2 + (a − b)2 ≡ a2 − b2 + a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 − 2ab ≡ 3a2 + b2
Det är förstås enklare att räkna vidare med 3a2 + b2 än med det ursprungliga uttrycket.
Exempel 6. Ser du mönstret för att skriva uttrycket som en ( + )2
9x2 + 24xy2 + 16y4
Först ser vi att 9x2 ≡ (3x)2 och sedan 16y4 ≡ (4y2 )2 . När vi sedan ser att 2 · 3x · 4y2 = 24xy2
förstår vi att 9x2 + 24xy2 + 16y4 ≡ (3x + 4y2 )
Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom till exempel
3x2 + 4y
2+x+y
Just detta uttryck kan man inte förenkla.
Exempel 7. Förenkla
3(4x + 5)
12x + 15
≡
≡ 4x + 5
3
3
Genom att bryta ut 3 kan vi därefter förkorta och vi får ett enklare uttryck
Exempel 8. Förenkla
3x2 + 6x
3x(x + 2)
≡
≡x+2
3x
3x
Exempel 9. Förenkla
4(a + 2b)
4a + 8b
≡
≡4
a + 2b
a + 2b
När vi bryter ut 4 i täljaren visar det sig att polynomet i täljaren överensstämmer med det i nämnaren
och vi kan förkorta
Exempel 10. Förenkla
2ab − 2a2 + b2 − ab − (a2 − 2ab + b2 )
(2a + b)(b − a) − (a − b)2
≡
≡
b−a
b−a
3ab − 3a2
3a(b − a)
≡
≡ 3a
b−a
b−a
Som genom trolleri har vi förenklat det ursprungliga uttrycket till 3a
Håkan Strömberg
2
KTH STH
Med insättning i ett polynom menas ersättning av en bokstavsbeteckning med ett tal eller en annan
bokstav. Ersätter man variabeln x med talet 2 i uttrycket x2 − 2x + 4 får man uttryckets värde för
x = 2. Normalt skriver man för p(x) = x2 − 2x + 4, p(2) = 22 − 2 · 2 + 4 och får att p(2) = 4.
Exempel 11. Bestäm p(x) = 3x2 + 4x − 10 för x = 1
p(1) = 3 · 12 + 4 · 1 − 10 ≡ p(1) = −3
Exempel 12. Bestäm f(2) − f(0) då f(x) = 3x2 + 5
f(2) − f(0) ≡ (3 · 22 + 5) − (3 · 02 + 5) = 12
Exempel 13. Givet polynomet f(x) = x3 + x2 + x + 1. Bestäm
f(3)
f(2)
Först bestämmer vi f(3) = 33 + 32 + 3 + 1 som ger f(3) = 40, sedan f(2) = 23 + 22 + 2 + 1 som ger
f(2) = 15. Vi får
5·8
8
40
≡
=
15
5·3
3
Problem 1. Beräkna 3(2 − 4) + (3 − 4)(2 + 1) + 100(3 − (4 − 1)) + (−2)(−4)
3(2 − 4) + (3 − 4)(2 + 1) + 100(3 − (4 − 1)) + (−2)(−4) ≡
3 · (−2) + (−1)3 + 100(3 − 3) + 8 ≡
−6 − 3 + 8 ≡
−1
Svar: −1
Problem 2. Bestäm exakt
2 3 5
7
+ + +
3 4 6 12
För att kunna addera bråk måste en gemensam nämnare bestämmas. Helst den minsta gemensamma
nämnare, MGN, (även om det inte det är nödvändigt).
Den som är van ser direkt att den MGN= 12. Det gäller att finna ett tal som samtliga nämnare går
jämnt upp i. Vi ser att så är fallet här.
När vi bestämt en gemensam nämnare ska vi förlänga varje bråk så att det antar
MGN.
Vi får
7·1
2·4 3·3 5·2
+
+
+
3 · 4 4 · 3 6 · 2 12 · 1
Vi kan nu skriva summan som
Problem 3. Bestäm exakt
34
17
8 + 9 + 10 + 7
≡
≡
12
12
6
1
1
1
1
+
+ +
36 45 8 30
Den här gången är det lite besvärligare att hitta MGN. Visserligen fungerar den långt ifrån minsta
gemensamma nämnaren 36 · 45 · 8 · 30 = 388800, men här ska vi verkligen försöka hitta MGN.
Håkan Strömberg
3
KTH STH
Vi startar med att primtalsfaktorisera nämnarna
36 = 2 · 2 · 3 · 3
45 = 3 · 3 · 5
8 =2·2·2
30 = 2 · 3 · 5
Endast tre faktorer förekommer: 2, 3, 5. Vi plockar nu ut så många faktorer av dem som det finns
i den faktorisering som innehåller flest. Detta ger
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360
MGN=360, betydligt mindre än 388800. När vi nu ska förlänga de fyra bråken ’håller vi över’ De
faktorer som ingår i respektive nämnare och multiplicerar övriga faktorer. Detta tal förlänger vi så
bråket med
1·2·2·2
1·3·3·5
1·2·2·3
10 + 8 + 45 + 12
75
5
1·2·5
+
+
+
≡
≡
≡
36 · 2 · 5 45 · 2 · 2 · 2 8 · 3 · 3 · 5 30 · 2 · 2 · 3
360
360
24
Så jobbigt kan det vara! i sista steget faktoriserade vi
75
=3
· 5 · 5 och fick
3·5·5
5
5
=
=
2·2·2·3·3·5
2·2·2·3
24
Problem 4. Bestäm
36
24
12
5
Detta kallas för dubbelbråk. Så här hanterar man det
a
b
c
d
a·d
b·c
≡
Man multiplicerar bråket i täljaren med det inverterade värdet av bråket i nämnaren. Vi får
36
24
12
5
≡
36 5
36 · 5
3·5
5
·
≡
≡
≡
24 12
24 · 12
24 · 1
8
Problem 5. Bestäm exakt
2
3
3
4
+
+
3
2
2
3
Vi behandlar täljare och nämnare för sig, så att vi får ett bråk i täljaren och ett i nämnaren.
2·2
3·2
3·3
4·3
+
+
3·3
2·3
2·4
3·4
≡
4+9
6
9+8
12
≡
13
6
17
12
≡
26
13 · 12
≡
6 · 17
17
Problem 6. Skriv uttrycket som ett rationellt uttryck
1
1
+
x+1 x−1
Minsta gemensamma nämnaren är denna gång MGN= (x + 1)(x − 1) Precis som i aritmetiken
fortsätter vi:
1(x − 1)
1(x + 1)
x−1+x+1
2x
+
≡
= 2
(x + 1)(x − 1) (x + 1)(x − 1)
(x + 1)(x − 1)
x −1
Håkan Strömberg
4
KTH STH
Ett rationellt uttryck är alltså division av två polynom.
Problem 7. Är det någon skillnad på värdet mellan 3 · 4 + 5 och 5 + 3 · 4 ?
Svar: Nej eftersom multiplikation går före addition har båda uttrycken värdet 17. Observera att
det finns ’dåliga’ räknedosor som inte klarar detta.
Problem 8.
a)
b)
Man tänker multiplicera 12 stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet?
Man tänker multiplicera 15 stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet?
Svar: a) Resultatet blir positivt, > 0. b) Resultatet blir negativt, < 0.
Problem 9. Givet polynomet
f(x) = 10x3 − 12x2 + 5x + 101
Du ska beräkna ett av dessa värden: p(0), p(1) och p(2). Du får välja vilket som helst. Vad väljer
du (om du är lite lat) ?
Svar: Den som är latast väljer p(0) = 101. Den som inte är riktigt så lat väljer p(1) = 10 − 12 + 5 +
101 = 104. Den som gillar att räkna kanske väljer p(2) = 10 · 23 − 12 · 22 + 5 · 2 + 101 = 143.
Problem 10. Vad ska det stå istället för för att uttrycket ska kunna faktoriseras med en kvadreringsregel?
x2 + 8x + Svar: = 4
Problem 11. Faktorisera med kvadreringsreglerna
a) x2 − 6x + 9
b) 16x2 + 8x + 1
a)
Här måste det handla om andra kvadreringsregeln
x2 − 6x + 9 ≡ (x − 3)2
Om man är osäker på om det är rätt kan man utföra multiplikationen av termerna. Ett krav är att
två av termerna måste vara kvadrater. Det ser man ganska enkelt. Dubbla produkten ser man sedan
om den kommer stämma. Tecknet framför dubbla produkten avgör om det är första eller andra
kvadreringsregeln.
b)
16x2 + 8x + 1 = (4x + 1)2
Problem 12. Utveckla
(x + 1)3
Lösning:
(x + 1)3
(x + 1)(x + 1)2
(x + 1)(x2 + 2x + 1)
x3 + 3x2 + x + x2 + 2x + 1
x3 + 3x2 + 3x + 1
Håkan Strömberg
5
KTH STH
Problem 13. Med hjälp av konjugatregeln kan man ibland utföra en del multiplikationer i huvudet.
Hur kan man förenkla
42 · 38
Lösning:
38 · 40 ≡ (40 − 2)(40 + 2) ≡ 402 − 22 ≡ 1600 − 4 ≡ 1596
Problem 14. Använd första kvadreringsregeln på ett smart sätt för att bestämma
522
Lösning:
522 ≡ (50 + 2)2 ≡ 502 + 2 · 2 · 50 + 22 ≡ 2500 + 200 + 4 ≡ 2704
Problem 15. Förenkla
5t(t2 − 2t − 1) − t2 (t − 3) + 2t3
Lösning:
5t(t2 − 2t − 1) − t2 (t − 3) + 2t3
5t3 − 10t2 − 5t − (t3 − 3t2 ) + 2t3
5t3 − 10t2 − 5t − t3 + 3t2 + 2t3
6t3 − 7t2 − 5t
Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna framför parenteserna. Behåll parenteserna
då det finns ett minustecken strax framför. Utför inte fler steg på en gång än du klarar av!
Problem 16. Bollens höjd y(x) över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln
y(x) = 2.15 + 2.1x − 0.41x2
där x m från utkastet räknat längs golvet. Beräkna och tolka y(2.5) − y(2.0)
Lösning: Givet y(x) = 2.15 + 2.1x − 0.41x2 Vi har fått i uppgift att bestämma y(2.5) − y(2.0).
y(2.5) = 2.15 + 2.1 · 2.5 − 0.41 · 2.52 = 4.8375
y(2) = 2 + 2.1 · 2 − 0.41 · 22 = 4.71
y(2.5) − y(2) = 4.8375 − 4.56 = 0.1275
Kommentarer: Sätt in (substituera) x med respektive 2.5 och 2 och låt räknedosan göra resten.
Som extra bonus får du här funktionen plottad. Eftersom det handlar om basket är det inte förvånande att det här visar sig vara en kastparabel, en andragradsfunktion med negativ x2 -term.
Figur 1:
Håkan Strömberg
6
KTH STH
Utkastet sker antagligen från x = 0. Det verkar ju troligt att då spelaren står med händerna över huvudet så befinner sig bollen mer än 2 meter över golvet (x-axeln). När bollen har nått x-koordinaten
2 har bollen nästan nått sin högsta punkt. Om x = 2.5 verkligen är det x-värde då bollen nått maximal höjd kommer vi att kunna avgöra senare i kursen. Det 0.1275 vi fått som svar anger hur mycket
bollen stigit från golvet sedan senaste avläsningen, x = 2.
Problem 17. En 279 meter lång väg ska var färdig efter 10 dagar. Under 6 dagar arbetar 5 man
och hinner med 135 meter. Hur många arbetare måste ytterligare anställas för att vägen skall bli bli
färdig i rätt tid?
Lösning: Antag att man behöver anställa ytterligare x arbetare. 5 man arbetar i 6 som ger 30 ’man9
dagar’. Detta betyder att 1 man klarar 135
30 = 2 meter/dag. Eftersom det återstår 279 − 135 = 144
meter kommer det att behövas
9
· (10 − 6) · (x + 5) = 144
2
som ger x = 3.
Svar: Det behövs 3 extra arbetare.
Problem 18. Förenkla
p+1
2
p+1
2
2
−
p−1
2
2
Lösning:
2
−
p−1
2
2
2
(p+1)2
− (p−1)
4
4
(p2 +2p+1)−(p2 −2p+1)
4
p2 +2p+1−p2 +2p−1
4
4p
4
p
Problem 19. Ett bilmärke ökade sin marknadsandel från 12.4% till 15.5%. Hur stor var ökningen i
a)
b)
procentenheter
procent
Lösning: a)
Antalet procentenheter är 15.5 − 12.4 = 3.1
b)
Antag att det såldes 1000 bilar ena året. Då var 1000 · 125
100 = 124 stycken av vårt märke. Nästa
år såldes det åter 1000 bilar. 1000 · 155
=
155.
Antag
att
tillväxtfaktorn x. x · 124 = 155, som ger
100
x = 1.25, vilket betyder att andelen steg med 25%.
Svar: 3.1% respektive 25%.
Lös i första hand problemen på sidorna 69 och 112 − 113. Men du behöver mer träning ...
Läxa 1. Förenkla så långt möjligt
2(x + h) − 7(x + h)2 − (2x − 7x2 )
Håkan Strömberg
7
KTH STH
Läxa 2. Faktorisera med kvadreringsreglerna
a) 50a2 + 40a + 8
b) x2 − 12xy + 36y2
Läxa 3. Lös ekvationen
5x2 − (2x + 1)(x − 3) = 3(x + 4)(x − 4)
Läxa 4. Beräkna exakt
2 2
5
5
+ −
+
3 9 12 16
Läxa 5. Förenkla så långt möjligt
5x + 15 x2 − 3x
+
5
x
Läxa 6. Förenkla så långt möjligt
(3x + 3y)2
(2x − 2y)2
−
− (x + y)2
9
4
Läxa Lösning 1.
2(x + h) − 7(x + h)2 − (2x − 7x2 )
(2x + 2h) − 7(x2 + h2 + 2hx) − (2x − 7x2 )
2x + 2h − (7x2 + 7h2 + 14hx) − 2x + 7x2
2x + 2h − 7x2 − 7h2 − 14hx − 2x + 7x2
2h − 7h2 − 14hx
Kommentarer: Vilka bokstäver man använder spelar förstås ingen roll. Det går lika bra om man
byter ut y mot h, som när man på lågstadiet byter äpplen mot päron. Kom nu ihåg att det är bäst
att behålla parenteserna så länge! Har man flera bokstavsfaktorer i en term brukar det vara vanligt
att ordna dem i bokstavsordning – skriv hellre 4hx än 4xh.
Läxa Lösning 2. a)
Vi ska alltså använda kvadreringsreglerna baklänges.
50a2 + 40a + 8
2(25a2 + 20a + 4)
2(5a + 2)2
Kommentarer: Varken 50 eller 8 är heltalskvadrater. Därför kan vi inte tillämpa någon av reglerna
direkt. Men om vi bryter ut 2 ser det bättre ut. Det är alltså första kvadreringsregeln som kommer
till användning här.
b)
x2 − 12xy + 36y2
x2 − 12xy + (6y)2
(x − 6y)2
Minustecknet framför dubbla produkten anger att det handlar om andra kvadreringsregeln.
Håkan Strömberg
8
KTH STH
Läxa Lösning 3. Här dyker det plötsligt upp en ekvation, trots att vi ännu inte pratat om det!
5x2 − (2x + 1)(x − 3)
5x − (2x2 − 6x + x − 3)
5x2 − 2x2 + 5x + 3
5x2 − 2x2 − 3x2 + 5x
=
=
=
=
x
=
2
3(x + 4)(x − 4)
3(x2 − 4x + 4x − 16)
3x2 − 48
−48 − 3
51
−
5
Kommentarer: Starta med att utveckla parenteserna, men behåll dem. I andra steget tar vi bort
parentesen på vänster sida och observerar samtidigt att det finns en minustecken framför den på
vänstra sidan. På högra sidan kan vi multiplicera in 3 och samtidigt ta bort parentesen. Samla nu
alla x och x2 -termer på vänster sida. Vilken tur att x2 -termerna försvann – vi har ju inte talat om
andragradsekvationer ännu! Resultatet −51/5 är lika med −10.2.
Läxa Lösning 4.
2 2
5
5
+ −
+
3 9 12 16
Först måste vi bestämma en gemensam nämnare och vi siktar in oss på
3
9
12
16
MGN=
=
=
=
=
MGN.
3
3·3
2·2·3
2·2·2·2
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 144 Nu är det dags att förlänga
5 · 12
5·9
2 · 48 2 · 16
+
−
+
3 · 48 9 · 16 12 · 12 16 · 9
I nästa steg får vi
133
96 + 32 − 60 + 45
≡
144
144
Svar: Summan är
133
144
Läxa Lösning 5.
5x + 15 x2 − 3x
+
5
x
5(x + 3) x(x − 3)
+
5
x
(x + 3) + (x − 3)
2x
Läxa Lösning 6.
2
(3x+3y)2
− (2x−2y)
− (x + y)2
9
4
2
2
2
2
9x +18xy+9y
− 4x −8xy+4y
− (x2 + 2xy + y2 )
9
4
2
2
)
9(x2 +2xy+y2 )
− 4(x −2xy+y
− x2 − 2xy − y2
9
4
x2 + 2xy + y2 − (x2 − 2xy + y2 ) − x2 − 2xy − y2
x2 + 2xy + y2 − x2 + 2xy − y2 − x2 − 2xy − y2
−x2 + 2xy − y2
−(x2 − 2xy + y2 )
−(x − y)2
Håkan Strömberg
9
KTH STH
I varje uppgift du kommer att lösa under denna kurs ingår mer eller mindre manipulerande av
uttryck, kallat algebra. Därför är det speciellt viktigt att du kan hantera denna disciplin.
Problem 20. Förenkla
3x2 − 2x2 + 5x + 3x2 + 4x3 + x − 6x2 − 2x3 − 3x
Svar: 2x3 − 2x2 + 3x
Problem 21. Förenkla
x + 2y + 3z + (2x − y − 2z) − (y − 3x + 2x) − (2x + 3y − x)
Svar: 3x − 3y + z
Problem 22. Förenkla
(x + 1)(x + 3) − (x + 2)(x + 3) + 2(x − 2)(x − 1)
Svar: 2x2 − 7x + 1
Problem 23. Förenkla
(x3 + x)2 − (x3 − x)2 + (x3 + x)(x3 − x)
Svar: x6 + 4x− x2
Håkan Strömberg
10
KTH STH
Sidor i boken
119-121
Andragradsekvationer
Dagens tema är ekvationer, speciellt av andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer.
En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen flera) obekant tal, betecknade med en bokstav,
där x är den absolut vanligaste.
En lösning till en ekvation är ett sådant värde på den obekanta som innebär att likheten gäller. En
lösning till en ekvation kallas ibland rot.
3x + 2 = x + 6 är en ekvation av första graden, som har lösningen x = 2. Att x = 2 är en lösning
visar man genom att substituera 2 för x. Man säger att man prövar lösningen.
V.L.
3·2+2=8
H.L.
2+6=8
V.L. = H.L.
V.L. står för vänsterledet och H.L. för högerledet. Då båda leden har samma värde, gäller likhet.
x = 2 satisfierar eller uppfyller ekvationen.
Till skillnad från förstagradsekvationen ovan är detta en ekvation av andra graden.
x2 + x − 6 = 0
Normalt lär man sig en formel för att snabbt kunna lösa denna ekvation. Om ekvationen skrivs
x2 + px + q = 0, där p och q är reella tal är lösningen
r p
p 2
x=− ±
−q
2
2
Bland studenter kallas ofta den här formeln för PQ-formeln. Under denna kurs kommer du att lösa
minst 100 andragradsekvationer, så det finns all anledning att bekanta sig med denna formel.
Exempel 14. Lös ekvationen
x2 + x − 6 = 0
Lösning:
x2 + x − 6 =
0
x =
− 12 ±
x =
− 21 ±
x =
− 12 ±
x =
− 12 ±
q
1
q4
1
q4
+6
+
6·4
4
25
4
5
2
x1
=
− 12 +
5
2
x2
=
− 21 −
5
2
≡2
≡ −3
Rötterna till ekvationen är alltså x = −3 och x = 2. En andragradsekvation har alltid två rötter.
Men ibland är dessa rötter inte reella och kallas då imaginära. Vi ska dock inte befatta oss med
Håkan Strömberg
11
KTH STH
imaginära rötter i denna kurs. Någon gång är båda rötterna lika. Man säger då att ekvationen har
en dubbelrot.
Exempel 15. Lös ekvationen
x2 − 8x + 16 = 0
Lösning:
x2 − 8x + 16
x
x
x1
x2
=
=
=
=
=
0 √
4 ± √42 − 16
4± 0
4
4
Ekvationen har en dubbelrot.
Exempel 16. Lös ekvationen
x2 + 4x + 6 = 0
Lösning:
x2 + 4x + 6 =
x =
x =
0
p
−2 ± √ (−2)2 − 6
−2 ± −2
Den här ekvationen saknar reella rötter. Anledningen till det är att
matematik som tillhör den här kursen.
√
−2 inte är definierad i den
Exempel 17. Lös ekvationen
3x2 − 3x − 6 = 0
Lösning: Om koefficienten till x2 -termen inte är 1 kan man först dividera samtliga termer med
denna koefficient. Här får vi då
x2 − x − 2 = 0
och nu kan vi fortsätta med PQ-formeln och få rötterna x1 = −1 och x2 = 2. Man kan också
använda den här, alternativa, formeln då ekvationen är ax2 + bx + c = 0 och a, b och c är reella
tal.
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
I vårt exempel får vi
√
x
x
x
x1
x2
−(−3)±
=
√
= 3± 69+72
= 3±9
6
= −1
= 2
(−3)2 −4·3·(−6)
2·3
Exempel 18. Lös ekvationen
x2 = 81
Här behöver vi dock inga formler. x2 = 81 har två rötter x1 = −9 och x2 = 9, som vi får genom att
”dra roten ur båda sidorna”, upphöja båda sidorna med 12 . Observera att formeln fungerar. Det är
på grund av att p = 0, som allt blir så enkelt.
Problem 24. Lös ekvationen
x2 − 2x − 15 = 0
Håkan Strömberg
12
KTH STH
Lösning:
x2 − 2x − 15
x
x
x1
x2
=
=
=
=
=
0 √
1 ± 12 + 15
1±4
5
−3
Svar: x1 = 5 och x2 = −3
Problem 25. Lös ekvationen
x2 + x − 3 = 0
Lösning:
x2 + x − 3 = 0
x
x
x
x1
x2
√
= − 21 ±
= − 21 ±
= − 12 ±
√
q
1 2
+3
2
q
1
+ 3·4
4
q4
13
4
13
= − 1+√
2
= − 1−2 13
√
Svar: x1 = − 1+2 13 och x2 = − 1−2 13
Problem 26. Lös ekvationen
2x2 + 3x − 1 = 0
Lösning:
2x2 + 3x − 1
x2 + 32 x − 21
x
x
x
x
x
x1
x2
= 0
= 0
= − 43 ±
= − 43 ±
= − 34 ±
= − 34 ±
√
q
9
q 16
9
q 16
9
q 16
+
1
2
+
1·8
2·8
+
1·8
2·8
17
16
= − 3±√4 17
= −3+4√17
= −3−4 17
Man kan inte förvänta sig att det alltid är heltalslösningar. Det är ofta tillåtet att använda räknedosan
för att få ett approximativt svar.
Svar: x1 ≈ 1.30 och x2 ≈ −1.78
Problem 27. Lös ekvationen
(x − 3)(x + 4) = 0
Lösning: Först den klumpiga vägen:
(x − 3)(x + 4)
x2 + 4x − 3x − 12
x2 + x − 12
x1 = 3
Håkan Strömberg
13
= 0
= 0
= 0
x2 = −4
KTH STH
Sista steget fixar vi med formeln:
x
=
x
=
x
x
x1 = 3
=
=
q
1 2
+
− 21 ±
q 2
1
1+4·12
−2 ±
4
√
−1± 1+4·12
2
−1±7
2
x2 = −4
12
Den mindre klumpiga vägen. Målet är att finna ett (eller två) värden på x, sådana att dessa,
insatta i den ursprungliga ekvationen medför att dess vänstra led blir lika med dess högra. Högra
ledet i vår ekvation är 0, alltså vill vi finna värden på x, så att även vänstra ledet blir 0. Studerar vi
nu ekvationen innan vi utvecklar parenteserna (x − 3)(x + 4) = 0 så kan vi få vänstra ledet till 0
genom att välja x = 3 eller x = −4, där har vi de två rötterna!
Problem 28. Lös ekvationerna
x2 − 4x + 3 = 0
x2 + 8x − 9 = 0
y2 − 3y − 4 = 0
t2 + 5t + 4 = 0
Lösning: De fyra ekvationerna i denna uppgift kan alla direkt lösas med formeln ovan. Det orkar
vi dock inte genomföra här. Istället ska ni förstå att skolan och lärarna i allmänhet är ganska snälla.
Detta betyder att det är mer än troligt att en given andragradsekvation har heltalslösningar, det vill
säga x1 och x2 är heltal. Vad har man nu för nytta av att veta detta?
Vi påstår utan att bevisa det att p = −x1 − x2 och q = x1 · x2 . Efter en del träning kan man se detta
ganska enkelt. Vi försöker på de fyra ekvationerna
x2 − 4x + 3 = 0
x2 + 8x − 9 = 0
y2 − 3y − 4 = 0
t2 + 5t + 4 = 0
x1 = 3
x1 = 1
y1 = −1
t1 = −1
x2 = 1
x2 = −9
y2 = 4
t2 = −4
Det gick ju utmärkt, åtminstone för mig. Du får se detta knep som överkurs.
Kvadratkomplettering. Ett alternativt sätt att lösa andragradsekvationer är att använda sig av
kvadratkomplettering. Vi vet att
(x + a)2 ≡ x2 + 2ax + a2
genom första kvadreringsregeln. Om vi nu vill lösa
bara roten ur båda leden.
2
p(x + 2)
(x + 2)2
x+2
x1
x2
ekvationen (x + 2)2 = 9, så är det lätt. Vi drar
=
=
=
=
=
9
√
9
±3
1
−5
Men hur är det då att lösa x2 + 4x − 5 = 0 utan att använda PQ-formeln? Eftersom (x + 2)2 = 9 kan
utvecklas till x2 + 4x − 5 = 0 är det ju samma ekvation som förstås har samma rötter.
Eftersom (x + 2)2 = 9 är enkel att lösa skulle det vara bra om vi kunde skriva om x2 + 4x − 5 = 0
på den formen!
Vi startar med att skriva om ekvationen x2 +4x = 5. Nu gäller det att hitta ett tal a så att x2 +4x+a2 =
5 + a2 . Vilket värde ska a ha för att vi ska kunna skriva vänstra ledet som (x + a)2 ≡ x2 + 2ax + a2 ?
Jo, a = 2. Då får vi x2 + 4x + 4 = 5 + 4 eller (x + 2)2 = 9 och vi har kommit fram till den enkla
formen som ovan.
Håkan Strömberg
14
KTH STH
Problem 29. Lös följande ekvationer med kvadratkomplettering
a) x2 − 14x + 24 = 0
b) x2 − 6x − 55 = 0
c) x2 + 8x + 15 = 0
Lösning: a)
x2 − 14x + 24 = 0
x2 − 14x + a2 = −24 + a2
x2 − 14x + 49 = −24 + 49
(x − 7)2 = 25
x − 7 = ±5
x1 = −2
x2 = −12
b)
x2 − 6x − 55 = 0
x2 − 6x + a2 = 55 + a2
x2 − 6x + 9 = 55 + 9
(x − 3)2 = 64
x − 3 = ±8
x1 = −5
x2 = 11
c)
x2 + 8x + 15 = 0
x2 + 8x + a2 = −15 + a2
x2 + 8x + 16 = −15 + 16
(x + 4)2 = 1
x + 4 = ±1
x1 = −5
x2 = −3
Problem 30. Givet andragradsekvationen
x2 − ax + 35 = 0
där x-termens koefficienten är ett okänt reellt tal a. Istället vet man att x1 = 5. Sök a och den andra
roten.
Lösning: Vi startar med att ta reda på a och sätter in x = 5.
52 − 5a + 35
25 + 35
a
a
Nu har vi ekvationen
Håkan Strömberg
x2 − 12x + 35
x
x
x1 = 5
x2 = 7
=
=
=
=
0
a
60
5
12
= 0 √
= 6 ± 36 − 35
= 6±1
15
KTH STH
Svar: a = 12 och x2 = 7
Problem 31. Rötterna till en andragradsekvation är x1 = 2 och x2 = 1. Bestäm en ekvation med
dessa rötter.
Lösning:
(x − 2)(x − 1) = 0
Det står helt klart att om x = 2 eller x = 1 är H.L. = V.L.. Alltså är detta en av oändligt många
ekvationer som är lösning till denna uppgift.
Hur är det då med 4711(x − 2)(x − 1) = 0 ? Även den har rötterna x1 = 1 och x2 = 2.
Detta är inte lika lätt att se om man ger ekvationen ovan som 4711x2 − 14133x + 9422 = 0.
I första hand ska du lösa problem 2161 − 2174 i boken. När det är klart har du ’nött in’ konsten att
lösa andragradsekvationer. Men det skadar inte med några till. En del kanske är lite klurigare. . .
Vi börjar med några förstagradsekvationer
Läxa 7. Lös ekvationen
2x + 3 − 4x + 5 − 3x + 7 + 4x = 3x + 5 − 3x
Läxa 8. Lös ekvationen
3(x + 2) − 4(3 + x) − (3x + 2) = 2(x − 1) − 3(x + 3)
Läxa 9. Den här uppgiften gavs i realexamen HT1948.
3
3
2
x+4
5 + (x − 2) − x =
(x + 4) −
2
3
4
x−4
Klarar du den här klarar du nog de flesta förstagradsekvationer som kommer att dyka upp i den
här kursen.
Läxa 10. Lös andragradsekvationen
x2 − 2x − 3 = 0
Läxa 11. Lös andragradsekvationen
x2 + 4x + 4 = 0
Läxa 12. Lös ekvationen
(x + 3)(x − 5) = 0
Läxa 13. Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering
a) x2 − 12x + 30 = 0
b) x2 − 3x − 4 = 0
Håkan Strömberg
16
KTH STH
Läxa 14. Lös ekvationen
3x2 + 5 − x2 − 2 − 4x = x2 + 2 − 2x + 1 − x + 2
Läxa 15. Lös ekvationen
7
2
40 − x
+
= 2
x−5 x+5
x − 25
Läxa Lösning 7.
2x + 3 − 4x + 5 − 3x + 7 + 4x
−x + 15
15 − 5
x
=
=
=
=
3x + 5 − 3x
5
x
10
Svar: x = 10
Läxa Lösning 8.
3(x + 2) − 4(3 + x) − (3x + 2)
3x + 6 − (12 + 4x) − (3x + 2)
3x + 6 − 12 − 4x − 3x − 2
3x + 6 − 12 − 4x − 3x − 2
−4x − 8
11 − 8
3
x
=
=
=
=
=
=
=
=
2(x − 1) − 3(x + 3)
(2x − 2) − (3x + 9)
2x − 2 − 3x − 9
2x − 2 − 3x − 9
−x − 11
4x − x
3x
1
Svar: x = 1
Läxa Lösning 9.
3
2
(x + 4) −
2
3
3x
2
+
3·4
2
−
2
3
3x
2
+
3·4
2
−
2·5
3
3x
2
+
12
2
−
10
3
x+4
(x − 2) − x = x−4
3·2
x+4
5 + 3x
− x = x−4
4 − 4
5+
−
−
3
4
2·3x
3·4
6x
12
+
+
2·3·2
3·4
12
12
−x=
6·3x+6·12−4·10−6x+12−12x
12
18x+72−40−6x+12−12x
12
44
12
=
=
=
−x=
x+4
x−4
x+4
x−4
x+4
x−4
x+4
x−4
x+4
x−4
44(x − 4) = 12(x + 4)
44x − 176 = 12x + 48
32x = 224
x=
224
32
x=7
Svar: x = 7
Läxa Lösning 10.
x2 −
√2x − 3 =
x = 1 ± 12 + 3
x=1±2
x1 = 3
x2 = −1
Håkan Strömberg
17
0
KTH STH
Svar: x1 = 3 och x2 = −1
Läxa Lösning 11.
x2 + 4x + 4 =
p
x = −2 ± (−2)2 −
√4
x = −2 ± 0
x1 = −2
x2 = −2
0
Ekvationen har en dubbelrot.
Svar: x1 = 3 och x2 = −1
Läxa Lösning 12.
(x + 3)(x − 5) = 0
Här är det meningen att man direkt ska se att V.L. = 0 då den ena av faktorerna är = 0. Detta
inträffar då x = −3 eller x = 5. Inte för något annat värde på x kan V.L. vara = 0.
Svar: x1 = −3 och x2 = 5
Läxa Lösning 13. a)
x2 − 12x + 30 = 0
x2 − 12x + a2 = −30 + a2
x2 − 12x + 36 = −30 + 36
(x − 6)2 =√6
x − 6 = ±√ 6
x1 = 6 + √6
x2 = 6 − 6
b)
x2 − 3x − 4 = 0
x2 − 3x + a2 = 4 + a2
x2 − 3x + 49 = 4 + 94
4·4
9
(x − 32 )2 =
q4 +4
x − 23 = ± 25
4
x1 = 23 + 52 ≡ 4
x2 = 23 − 52 ≡ −1
Läxa Lösning 14.
3x2 + 5 − x2 − 2 − 4x
=
x2 + 2 − 2x + 1 − x + 2
3x2 − x2 − x2 − 4x + 2x + x + 5 − 2 − 2 − 1 − 2 =
0
x2 − x − 2 =
0
x
=
1
2
x
=
1
2
x
=
1
2
x1
=
2
x2
=
−1
±
±
±
q
1
q4
1
4
+2
+
8
4
3
2
Svar: x1 = 2 och x2 = −1
Håkan Strömberg
18
KTH STH
Läxa Lösning 15. När man vet att (x2 − 25) = (x − 5)(x + 5) är det lämpligt att multiplicera båda
led med (x − 5)(x + 5)
7
x−5
2
x+5
=
40−x
x2 −25
2
7
x−5 + x+5
2(x−5)(x+5)
x+5
=
(x − 5)(x + 5)
=
40−x
x2 −25
(x−5)(x+5)(40−x)
x2 −25
7(x + 5) + 2(x − 5)
=
40 − x
7x + 35 + 2x − 10
=
40 − x
7x + 2x + x
=
40 − 35 + 10
10x
=
15
x
=
15
10
x
=
3
2
(x − 5)(x + 5)
7(x−5)(x+5)
x−5
Svar: x =
+
+
3
2
Bokstavsräkning – Algebra
Du står nu inför en ny kurs i matematik, där meningen är att du ska tillgodogöra dig nya teorier,
som samtliga leder fram till övningar och uppgifter.
Även om du förstått vad teorin ska användas till och hur den ska tillämpas, är det inte säkert att
dina lösningar leder fram till ett korrekt svar.
Ofta beror detta på att du inte är speciellt vältränad på att hantera de uttryck, som du satt upp
på papperet. Du är inte tillräckligt säker på hur du förenklar ett algebraiskt uttryck eller löser en
ekvation.
Denna färdighet är inte direkt kopplad till matematik, vad avser abstraktionsförmåga och problemlösning. Därför måste det vara speciellt tråkigt och frustrerande att snubbla på tröskeln och inte
lyckats visa, att man egentligen förstått vad man håller på med.
Med hjälp av de lösta och väl kommenterade uppgifter som finns här, är det tänkt att du ska finslipa
dina förmåga att räkna med bokstäver.
Det är tillåtet att tycka att detta är en tråkig disciplin, men tänk då på hur mycket glädje du kan få ut
av några timmars tråkig träning. Att verkligen kunna visa att man förstått ett avsnitt i matematiken
genom att lösa tillhörande uppgifter. Jämför det gärna med sport. Styrke- och konditionsträning hör
inte till det det roligaste, men är nödvändiga inslag, för att nå toppen i många grenar.
Det torde vara omöjligt att förvärva denna färdighet utan träning. Tidigare generationer, som bland
andra dina lärare tillhör, har räknat sida upp och sida ned med denna typ av förenklingsuppgifter.
• Läs först igenom de regler och knep som presenteras här nedan. De utgör de kunskaper du
behöver för att lösa de 30 uppgifterna.
• Varje uppgift går ut på att förenkla ett algebraiskt uttryck, så lång det går och det går här alltid
’väldigt’ långt. Ofta är svaret ett heltal eller en enda bokstav. Se detta som en ledtråd, som
inte kan sägas gälla för uttryck i allmänhet.
• Lös en uppgift i taget och kontrollera sedan ditt svar i den kommenterade lösningen. Även
om du lyckats få rätt svar, kan det vara idé att titta igenom lösningen. Är din lösning likadan,
Håkan Strömberg
19
KTH STH
smartare eller för omständlig? Om du misslyckades i ditt första försök är det viktigt att du ’får
med dig något’ från lösningen, som du kan använda i kommande uppgifter. Studera därför
lösningen noga och är du ambitiös kan du försöka att lösa den igen, en annan dag.
• Mycket, när det gäller bokstavsräkning, är resultat av noggrannhet och god administrationsförmåga. Egenskaper man kan ha nytta av inom andra områden. Uppgifterna här anses svåra
och när du känner att du behärskar dem väl, kan du känna dig trygg.
Regler och knep vid bokstavsräkning
I När man avlägsnar parenteserna i uttrycket
(2a + b) − (a + b + c) − (a − b − c)
kommer termerna i en parentes, som föregås av ett minustecken att ändra tecken
(2a + b) − (a + b + c) − (a − b − c) ≡ 2a + b − a − b − c − a + b + c ≡ b
II För att förenkla uttrycket
3(a − b) − 2(b − a) + 5(b + a)
’multiplicerar man in’ konstanten i parentesen. Denna lag kallas den distributiva lagen,
a(x + y) = ax + ay.
3(a − b) − 2(b − a) + 5(b + a) ≡ 3a − 3b − 2b + 2a + 5b + 5a ≡ 10a
III När vi stöter på ett uttryck liknande
(a + b)(b − c)
tvingas vi ofta att ’multiplicera samman’ dessa parenteser till
(a + b)(b − c) ≡ ab − ac + b2 − bc
Detta är inget annat än distributiva lagen i en annan skepnad,
(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d
Antalet termer i de två parenteserna kan var godtyckligt stort. Om till exempel den ena
parentesen innehåller 3 termer och den andra 4, kommer multiplikationen att ge 3 · 4 = 12
termer (innan eventuell sammanslagning).
IV Speciellt stöter vi ofta på uttrycken
Första kvadreringsregeln
Andra kvadreringsregeln
(a + b)2 ≡ a2 + b2 + 2ab
(a − b)2 ≡ a2 + b2 − 2ab
som man bör kunna använda i båda riktningar. Det vill säga det är lika viktigt att kunna se att
4x2 − 20xy + 25y2 ≡ (2x − 5y)2
som att snabbt kunna utveckla
(10a + 7b)2 ≡ 100a2 + 140ab + 49b2
Det kan vara bra att känna till även
(a + b)3 ≡ a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b)4 ≡ a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
Dessa ’formler’ blir mindre komplicerade då man känner till binomialkoefficienter och Pascals
triangel.
Håkan Strömberg
20
KTH STH
V Konjugatregeln (a − b)(a + b) = a2 − b2 ska kunna användas i båda riktningar. Man ska
snabbt kunna se, att
(4x − 7)(4x + 7)
kan skrivas
(4x − 7)(4x + 7) ≡ 16x2 − 49
lika väl som att
100a2 − 64b2
kan skrivas
100a2 − 64b2 ≡ (10a + 8b)(10a − 8b)
VI Ser man i detta uttryck inte, att man kan bryta ut 9 i täljaren och 3 nämnaren
9(2x + 1)
18x + 9
≡
=3
6x + 3
3(2x + 1)
kan man inte komma vidare. Detta är att använda distributiva lagen bakvägen. Även detta är
ett exempel på att bryta ut:
a(b + 1) + c(b + 1)
(b + 1)(a + c)
≡
≡b+1
a+c
a+c
VII Bryter vi ut (−1) ur parentesen (a − b) får vi (−1)(b − a). Detta är ett vanligt återkommande
’knep’ som till exempel i uppgiften
a−b
(a − b)
≡
≡ −1
b−a
(−1)(a − b))
VIII Att förlänga ett bråk är samma sak som att multiplicera täljare och nämnare med samma
uttryck (6= 0). Dessa bråk är alla ekvivalenta:
1
(a + b)(x + y)
(a + b)
x3
≡
≡ 3 ≡
2
2(a + b)
2x
2(a + b)(x + y)
IX Addition av bråk. För att kunna skriva dessa termer på samma bråk, måste man först göra
liknämnigt:
1
2
b·1
a·2
b + 2a
+ ≡
+
≡
a b
b·a a·b
ab
ab är den minsta gemensamma nämnaren för de två termerna. Det är inget absolut krav att
man hittar den minsta gemensamma nämnaren, även om det i praktiken leder till mindre
räknande. I detta exempel är (a − b)(a + b) minsta gemensamma nämnaren
3
2
1
+
+
a + b a 2 − b2 a − b
När vi skriver de tre termerna på samma bråkstreck får vi
(a − b) + 2 + 3(a + b)
(a − b)(a + b)
Håkan Strömberg
21
KTH STH
X Division av bråk. En regel som ofta används är: Division av två bråk är samma sak, som att
multiplicera täljaren med det den inverterade nämnaren. Att invertera ett bråk är att byta
plats på täljare och nämnare. Alltså
a
2
a + b ≡ a · (a + b) ≡ a + b
a
a+b
a
(a + b)2
Vi har här ett dubbelbråk. Vi skriver om huvudbråkets täljare. Inverterar bråket i nämnaren
och multiplicerar med täljaren.
För dessa tre uppgifter gäller det att förenkla så långt möjligt.
Problem 32.
(2a + 5)(8a + 18) − (4a + 16)(4a + 3)
Lösning:
(2a + 5)(8a + 18) − (4a + 16)(4a + 3) ≡
1
16a2 + 36a + 40a + 90 − (16a2 + 12a + 64a + 40) ≡
2
16a2 + 36a + 40a + 90 − 16a2 − 12a − 64a − 40) ≡
3
76a + 9 − 76a − 48 ≡
4
42
Vi inleder med att multiplicera samman de två paren av parenteser (1). Eftersom det finns ett
minustecken framför det andra paret, tar vi det försiktigt och behåller först parenteserna (1). När
vi sedan tar bort dem, kommer samtliga termer inuti parentesen att byta tecken (2). Återstår att slå
samman termer som hör ihop (3). Svar: 42
Problem 33.
(3a + 8)2 + (4a − 6)2 − (5a + 7)(5a − 7)
Lösning:
(3a + 8)2 + (4a − 6)2 − (5a + 7)(5a − 7) ≡
1
9a2 + 64 + 48a + 16a2 + 36 − 48a − (25a2 − 49) ≡
2
9a2 + 64 + 48a + 16a2 + 36 − 48a − 25a2 + 49 ≡
3
100 + 49 ≡
4
149
I tur och ordning använder vi här första kvadreringsregeln, andra kvadreringsregeln, och konjugatregeln (1). När vi slår samman de åtta termerna är det bara de konstanta som inte tar ut varandra
(4). Svar: 149
Håkan Strömberg
22
KTH STH
Problem 34.
(3a2 − a + 1)2 − (3a2 − a)2 + 2a(1 − 3a)
Lösning:
(3a2 − a + 1)2 − (3a2 − a)2 + 2a(1 − 3a) ≡
1
2
(9a4 − 3a3 + 3a2 − 3a3 + a2 − a + 3a2 − a + 1) − (9a4 − 6a3 + a2 ) + (2a − 6a2 ) ≡
9a4 − 3a3 + 3a2 − 3a3 + a2 − a + 3a2 − a + 1 − 9a4 + 6a3 − a2 + 2a − 6a2 ≡
3
9a4 − 9a4 − 3a3 − 3a3 + 6a3 + 3a2 + a2 − a2 + 3a2 − 6a2 − a − a + 2a + 1 ≡
4
1
När den första parentesen kvadreras får vi före sammanslagning 9 termer. I den andra använder vi
andra kvadreringsregeln (1). För att se hur de olika typerna av termer tar ut varandra sorterar vi
dem efter exponentens storlek och ser att nästan alla tar ut varandra (3) Svar: 1.
Problem 35.
a(b + c) − d(b + c)
(d − a)(b + c)
Lösning:
a(b + c) − d(b + c)
≡
(a − d)(b + c)
1
(b + c)(a − d)
≡
(d − a)(b + c)
2
(−1)(b + c)(a − d)
≡
(−1)(d − a)(b + c)
3
−
4
−1
(b + c)(a − d)
≡
(a − d)(b + c)
Vi inleder med att bryta ut (b + c) i täljaren (1). Täljare och nämnare är lika, så när som på (a − d)
i täljaren och (d − a) i nämnaren (1). Om vi utför multiplikationen (−1)(d − a) övergår parentesen
till (a − d). Detta kan vi åstadkomma genom att förlänga bråket med (−1) (2). −1 i täljaren kan
lika väl skrivas framför bråket (3). Vi kan nu förkorta båda parenteserna och kvar blir Svar: −1.
Håkan Strömberg
23
KTH STH
Sidor i boken
122-123, 70-73
Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer
Rotekvationer
Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den√obekanta förekommer under ett rotmärke.
√
Observera att betecknar ett positivt tal. Ekvationen x + 1 = −3 saknar därför rot. Däremot har
√
ekvationen x + 1 = 3 roten x = 8, vilket man inser om båda leden i ekvationen kvadreras.
√
√x + 1 = 3
( x + 1)2 = 32
x+1=9
x=8
För att förstå det här med rotekvationer måste vi införa några grafer (eller kurvor).
√
Lite för tidigt måste vi här nämna ordet funktion. f(x) = x är just en funktion. När vi plottar dess
graf får vi
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
2
4
6
8
10
En graf till ska vi plotta, som ni säkert redan är bekanta med. Vi kallar den räta linjen. Ett exempel
y=x+3
12
10
8
6
4
2
4
6
8
10
Nu över till rotekvationer. Detta är en rotekvation som vi vill lösa
Exempel 19.
√
x 3
x= +
4 4
Håkan Strömberg
24
KTH STH
Här undrar vi som vanligt, när är vänstra ledet lika med högra? Om vi plottar de två graferna i
samma figur får vi.
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
2
4
6
8
10
Rötterna får vi nu genom att läsa av var de två graferna skär varandra. På ett ungefär verkar de
vara x1 ≈ 1 och x2 ≈ 9. Observera dock att det aldrig i den här kursen är tillåtet att ge grafiska
lösningar. Därför måste vi lösa ekvationen analytiskt.
√
x = x+3
4
√ 2
x+3 2
( x) =
4
2
x = (x+3)
2
4
2
x = x +6x+9
16
16x = x2 + 6x + 9
x2 − 10x + 9 = 0 √
x = 5 ± 25 − 9
x = 5±4
x1 = 9
x2 = 1
Det stämmer med vår grafiska avläsning! Lösningen är exakt x1 = 9 och x2 = 1. Vi utgår ifrån
√ 2
= . Idén med att lösa rotekvationer är alltså att kvadrera båda leden och
att alla vet att
hoppas att rottecknen försvinner.
Men det finns komplikationer!
Exempel 20. Lös ekvationen
√
x=2−x
Vi plottar funktionerna och får
2
1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
Här skär den räta linjen ’rotgrafen’ endast en gång. Vi gissar att roten är x1 = 1. Över till den
analytiska lösningen
√
√ x2 = 2 − x 2
( x) = (2 − x)
x = 4 − 4x + x2
x = 4 − 4x + x2
x2 − 5x + 4 = 0 q
5 2
−4
x = 52 ±
q 2
5
25
4·4
x = 2±
4 − 4
x = 52 ± 23
x1 = 4
x2 = 1
Håkan Strömberg
25
KTH STH
Men här får vi ju två rötter!. Ja, men en är falsk. När man kvadrerar båda sidor i en ekvation kan
det uppstå falska rötter !
Man avgör om roten är falsk genom att sätta in den i den ursprungliga ekvationen
√
1=2−1
ger 1 = 1 och verkar helt OK. Men
√
4=2−4
ger 2 6= −2, så x1 = 4 är falsk.
Svar: x = 1.
Vi tar en till för säkerhets skull
Exempel 21.
√
x=x+1
Först den grafiska lösningen
5
4
3
2
1
1
Oj då, här verkar inte de två graferna skära
vad den analytiska lösningen ger
√
√ x2
( x)
x
x2 + x + 1
2
3
4
varandra över huvud taget! Det ska bli intressant att se
=
=
=
=
x =
x =
x =
x+1
(x + 1)2
x2 + 2x + 1
0
q 1
1 2
−2 ±
−1
q 2
4
1
1
−2 ± 4 − 4
q
− 21 ± − 34
Negativt under rottecknet, lika med inga reella rötter.
Svar: Ekvationen saknar lösning.
Mer om polynomekvationer
Här några polynomekvationer
Förstagradsekvation
Andragradsekvation
Tredjegradekvation
Fjärdegradsekvation
10x + 53 = 73
x2 − x − 12 = 0
x3 + 6x2 − 163x − 1092
x4 + x3 − 21x2 − 9x + 108
x=2
x1 = −3, x2 = 4
x1 = −12, x2 = −7, x3 = 13
x1 = x2 = 3, x3 = −3, x4 = −4
Ekvationer av första och andra graden ska vi alltid klara av hur de än ser ut. En godtycklig ekvation
av tredje graden, klarar åtminstone inte jag av utan dator eller tabell. Samma gäller 4:e-gradare. Då
talar vi hela tiden om exakta lösningar. Allmänna 5:e-gradare och högre gradtal, klara ingen av att
lösa exakt, därför att man bevisat att det inte går.
Men det hindrar inte att det finns speciella ekvationer av alla gradtal som man hädelsevis kan lösa.
Till exempel
Håkan Strömberg
26
KTH STH
Exempel 22.
x3 = 27
med som åtminstone har en rot x = 3 (och två andra imaginära).
Här kommer en speciell typ av 4:e-gradare som du ska kunna lösa
Exempel 23. Lös ekvationen
x4 − 5x2 + 4 = 0
Ett krav är att ekvationen saknar termer av 3:e och 1:a graden, som här. Knepet är att man substituerar x2 = t och får ekvationen
t2 − 5t +q4 = 0
t=
t=
5
2
5
2
±
±
t = 25 ±
t = 25 ±
t1 = 4
t2 = 1
q
q
25
4
−4
25
4
−
4·4
4
9
4
3
2
√
2
2
2
Men nu
√ har vi ju bestämt att x = t, så då får vi x = 4, x = ± 4, x1 = −2, x2 = 2 och att x = 1,
x = ± 1 som ger x3 = −1 och x4 = 1
Problem 36. Lös ekvationen
√
x+1=
Lösning: En rotekvation av den enklare sorten
√
√ x + 12 =
( x + 1) =
x+1 =
x=2
Vi ser lång väg att detta är en äkta rot eftersom
√
2x − 1
√
√2x − 1
( 2x − 1)2
2x − 1
√
√
2+1 ≡ 2·2−1
Svar: x = 2
Problem 37. Lös ekvationen
Lösning:
p
x2 + 5 = x − 5
√
2
√ x + 52
2
( x + 5)
x2 + 5
10x
x
=
=
=
=
=
x−5
(x − 5)2
x2 − 10x + 25
25 − 5
2
Vänstra
ledet Högra ledet
√
22 + 5
2−5
3
−3
x = 2 är en falsk rot.
Svar: Ekvationen saknar rötter.
Håkan Strömberg
27
KTH STH
Problem 38. Lös ekvationen
x−
Lösning:
√
x − 8 = 20
√
x−8
x − 20
(x − 20)2
2
x − 40x + 400
x2 − 41x + 408
=
=
=
=
=
x
=
x−
20
√
√x − 8
( x − 8)2
x−8
0
q
41
2
41
2
41
2
=
=
x
x
x1 = 24
x2 = 17
±
±
±
1681
4
q
−
408·4
4
49
4
7
2
Vi testar x1 = 24
Vänstra
√ ledet
24 − 24 − 8
24 − 4
20
x1 = 24 är en äkta rot. Vi testar x2 = 17
Högra ledet
20
20
20
Vänstra
√ ledet
17 − 17 − 8
17 − 3
14
Högra ledet
20
20
20
x2 = 17 är en falsk rot
Svar: x = 24.
Problem 39. Lös ekvationen
Lösning:
√
√
√
x+4− x−1= x−4
√
√
x+4− x−1
√
√
( x + 4 − x − 1)2
√
√
x+4−2 x+4 x−1+x−1
√
√
−2 x + 4 x − 1
p
−2 (x + 4)(x − 1)
p
2 (x + 4)(x − 1)
p
(2 (x + 4)(x − 1))2
=
x−4
=
x−4−x−4−x+1
=
−7 − x
=
7+x
=
(7 + x)2
4(x + 4)(x − 1) =
49 + 14x + x2
4(x2 − x + 4x − 4) =
49 + 14x + x2
4x2 + 12x − 16
=
49 + 14x + x2
3x2 − 2x − 65
=
0
2x
3
=
0
x =
x =
1
3
1
3
x1
=
5
x2
=
− 13
3
2
x −
Håkan Strömberg
=
√
x−4
√
( x − 4)2
=
−
65
3
28
±
±
q
1
9
+
65·3
3·3
14
3
KTH STH
Så är det dags att testa rötterna
Vänstra ledet
√
√
5+4− 5−1
3−2
1
Högra ledet
√
5−4
1
1
Roten x1 = 5 är en äkta rot
Vänstra ledet
Högra ledet
q
q
q
13
13
− 3 +4− − 3 −1
− 13
3 −4
I två av termerna blir det negativt under rottecknet vilket betyder att roten är falsk.
Svar: x = 5
Problem 40. En bakteriekultur tillväxer enligt formeln
N(x) = 2500 + 350x + 25x2
där N(x) är antalet bakterier x minuter efter försökets början. Hur länge dröjer det innan antalet
bakterier har fördubblats?
Lösning: Antalet bakterier i burken följer funktionen N(x) = 2500 + 350x + 25x2 . Efter 12 minuter
till exempel finns det N(12) = 2500 + 350 · 12 + 25 · 122 = 10300. Hur många bakterier finns det
i burken när försöket startar? Får vi genom T (0) = 2500. Vi vill alltså ha reda på hur lång tid det
dröjer innan det finns dubbelt så många – 5000. Detta ger oss ekvationen:
2500 + 350x + 25x2
100 + 14x + x2
x2 +√
14x − 100
x = −7 ± 49 + 100
x1 = 5.21
=
=
=
5000
200
0
x2 = −19.21
Som du ser började vi dividera ekvationen med 25. Den här ekvationen är inte så enkel, det vill
säga den ger inte heltalsrötter. Åter en ekvation där en av rötterna är omöjlig. Svaret blir då 5.21
minuter.
Lös ekvationen
Problem 41.
x2 (x + 1) − 64(x + 1) = 0
Lösning: För att kunna lösa ekvationen x2 (x +1)−64(x +1) = 0 får man absolut inte starta med att
utveckla parenteserna, för då hamnar man i en tredjegradsekvation, som vi inte har något verktyg
för att lösa. Nej, titta i stället på ekvationen. Vad händer då x = −1? Båda termerna blir ju 0. Vi har
hittat en rot x1 = −1. Dividerar vi nu båda sidor med (x + 1) återstår x2 − 64 = 0 eller x2 = 64. Huvudräkning, x2 = 8 och x3 = −8. Tre rötter!? Inte ett dugg överraskade, om en förstagradsekvation
har en rot, en andragradsekvation två rötter, så är det väl logiskt att en tredjegradsekvation har tre.
Lös ekvationen
Problem 42.
√
3x − 5 = x − 1
√
Lösning: Ekvationen 3x − 5 = x − 1 ser kanske besvärligare ut än den i verkligheten är. Rot√ 2
x = x Vi kvadrerar alltså båda sidor i
tecknet försvinner om upphöjer det till 2. Jag menar att
Håkan Strömberg
29
KTH STH
ekvationen:
√
3x − 5
2
√
3x − 5
3x − 5
x2 − 5x + 6
x1 = 2
=
=
=
=
x−1
(x − 1)2
x2 + 1 − 2x
0
x2 = 3
Som tur är kan vi direkt se vilka rötterna är genom knepet som vi nämnt. Nu tillkommer en
komplikation när det gäller rotekvationer. Vid kvadreringen kan falska rötter tillkomma och man är
alltid tvungen att testa om de duger genom att sätta in dem
√ i den ursprungliga ekvationen. Som vi
ser uppfyller x1 √
= 2 villkoret att båda sidor ska vara lika 3 · 2 − 5 = 2 − 1. Detta gäller även för
x2 = 3 som ger 3 · 3 − 5 = 3 − 1. I figur 2visar vi grafen.
2
1.5
1
0.5
1.8
2.2
2.4
2.6
2.8
3
Figur 2:
Problem 43. Lös ekvationen
√
√
s + 13 − 7 − s = 2
Lösning: Den här ekvationen är verkligen besvärlig! Kvadrerar vi båda sidor får vi fortfarande ett
rottecken kvar. Men varför skulle man då inte kunna kvadrera en gång till.
√
√
s + 13 − 7 − s
√
√
2
sp
+ 13 − 7 − s
20 − 2 (s + 13)(7 − s)
8
64
64
s2 + 6s − 27
s1 = 3
=
=
=
=
=
=
=
2
22
4p
(s + 13)(7 − s)
(s + 13)(7 − s)
7s − s2 + 91 − 13s
0
s2 = −9
OK, nu har vi funnit två rötter s1 = 3 s2 = −9. Innan vi ger dem som svar måste vi pröva dem.
√
√
s1 = 3
p3 = 4 − 2 = 2
p3 + 13 − 7 −
(−9) + 13 − 7 − (−9) = 2 − 4 6= 2
s2 = −9
Alltså är det bara s1 = 3 som
√ fungerar.
√ Men hur ska man förstå detta? Innan vi kvadrerar har vi
funktionerna (VL) f1 (s) = s + 13 − 7 − s och (HL) f2 (s) = 2. Plottar vi dem får vi följande graf:
Vi ser helt klart att ekvationen bara har en rot. Den ena kurva skär den andra på ett ställe, s = 3.
√
2
√
s + 13 − 7 − s och f4 (s) = 4, sådana de ser ut efter
Plottar vi nu de två funktionerna f3 (s) =
en kvadrering får vi
En extra (falsk) rot har dykt upp för x = −9, som förresten inte försvinner då vi kvadrerar ytterligare
en gång. Denna uppgift är kanske onödigt komplicerad i den här delen av kursen.
Håkan Strömberg
30
KTH STH
4
2
-5
-10
5
-2
-4
Figur 3:
20
15
10
5
-5
-10
5
Figur 4:
Räkna i första hand uppgifterna på sidan 72 − 73 och 123.
Läxa 16. Lös ekvationen
Läxa 17. Lös ekvationen
Läxa 18. Lös ekvationen
√
√
x+2=
x+4+
√
2x − 2
√
x−2=3
√
x+5=1−x
Läxa 19. Bestäm konstanten a, så att ekvationen
ax2 − (2a − 5)x − (a2 − 1) = 0
får en
Läxa 20. Lös ekvationen
x4 − 10x2 + 9 = 0
Läxa Lösning 16.
√
x+2
√
2
x+2
x+2
x
=
=
=
=
√
2x − 2
2
√
2x − 2
2x − 2
4
Varje gång vi i en ekvation kvadrerar båda sidorna, måste vi testa att att rötterna vi fått inte är falska.
Håkan Strömberg
31
KTH STH
Sätter vi in x = 4 får vi
√
√
6= 6
Vilket betyder att roten är äkta!
Svar: x = 4
Läxa Lösning 17.
√
√
x+4+ x−2
√
√
2
x+4+ x−2
√
√
(x + 4) + (x − 2) + 2 x + 4 · x − 2
p
2x + 2 + 2 (x + 4)(x − 2)
p
2 (x + 4)(x − 2)
2
p
2 (x + 4)(x − 2)
=
3
=
32
=
9
=
9
=
7 − 2x
=
(7 − 2x)2
4(x + 4)(x − 2) =
(7 − 2x)2
4(x2 − 2x + 4x − 8) =
49 + 4x2 − 28x
4x2 + 8x − 32
=
49 + 4x2 − 28x
8x − 32
=
49 − 28x
36x
=
81
x =
9
4
Denna rot måste prövas och det visar sig att den fungerar.
Svar: x =
9
4
Läxa Lösning 18.
√
x+5 =
2
√
x+5
=
1−x
(1 − x)2
1 − 2x + x2
x+5 =
−4 − 3x + x2
0 =
x2 − 3x − 4 =
x
=
x
=
x
=
x1
=
0
r
3
9 4·4
±
+
2 r4
4
3
25
±
2
4
3 5
±
2 2
4
x2
=
−1
Vi testar x = 4
V.L. →
som är falsk. Sedan testar vi x = −1
√
4+5=3
H.L. → 1 − 4 = −3
V.L. →
√
−1 + 5 = 2
H.L. → 1 − (−1) = 2
Håkan Strömberg
32
KTH STH
som är äkta
Svar: x = −1
Läxa Lösning 19. Vi vet att en rot är x = 1 och sätter därför in den
ax2 − (2a − 5)x − (a2 − 1)
a − (2a − 5) − (a2 − 1)
a − 2a + 5 − a2 + 1
a2 + a − 6
=
=
=
=
0
0
0
0
a
=
− 21 ±
=
=
=
=
a
a
a1
a2
− 21
− 21
2
−3
±
±
q
1
q4
1
4
+6
+
24
4
5
2
Båda dessa ekvationer har en rot x = 1
2x2 − (2 · 2 − 5)x − (22 − 1)
2x2 + x − 3
x1
x2
och
=
=
=
=
0
0
1
− 23
(−3)x2 − (2 · (−3) − 5)x − ((−3)2 − 1)
−3x2 + 11x − 8
x1
x2
=
=
=
=
0
0
1
8
3
Läxa Lösning 20. Vi substituerar t = x2 .
x4 − 10x2 + 9
t2 − 10t + 9
t
t
t1
t2
=
=
=
=
=
=
0
0 √
5 ± 25 − 9
5±4
9
1
I nästa steg löser vi först
2
√ 9=x
x = ± 9x1 = 3
x2 = −3
och sedan
1 =√
x2
x=± 1
x3 = 1
x4 = −1
Svar: x1 = 3, x2 = −3, x3 = 1, x4 = −1
Håkan Strömberg
33
KTH STH
Problem 44.
(a − b)(a2 + ab + b2 ) + (a + b)(a2 − ab + b2 )
Lösning:
(a − b)(a2 + ab + b2 ) + (a + b)(a2 − ab + b2 ) ≡
1
2
3
4
(a3 + a2 b + ab2 − a2 b − ab2 − b3 ) + (a3 − a2 b + ab2 + a2 b − ab2 + b3 ) ≡
a3 + a2 b + ab2 − a2 b − ab2 − b3 + a3 − a2 b + ab2 + a2 b − ab2 + b3 ≡
a3 + a3 + a2 b − a2 b − a2 b + a2 b + ab2 + ab2 − ab2 − ab2 − b3 + b3 ≡
2a3
När man multiplicerar en parentes med 3 termer med en med 2 termer får man total 3 · 2 = 6 termer.
Total ska vi här alltså hantera 12 termer (1). I (3) har vi samlat ihop liknade termer. Den som har
en administrativ vana kan gå direkt från (2) till svaret. Svar: 2a3
Problem 45.
a
3
a
a+
3
a−
Lösning:
a
3
a ≡
a+
3
a−
1
3a a
−
3
3 ≡
3a a
+
3
3
2
3a − a
3
≡
3a + a
3
3
2a 3
·
≡
3 4a
4
1
2
Vi startar med att göra de liknämnigt i täljaren och nämnaren oberoende av varandra. Nu råkar
båda ha samma minsta gemensamma nämnare (1). Nu kan vi skriva termerna på samma bråkstreck
(2). Division av två bråk är samma sak som att multiplicera det första med det andra inverterat (3).
Efter förkortning får vi Svar: 12
Håkan Strömberg
34
KTH STH
Problem 46.
(6a + 19)2 − (2a + 9)2
(2a + 6)2 − 1
Lösning:
(6a + 19)2 − (2a + 9)2
≡
(2a + 6)2 − 1
1
(36a2 + 361 + 228a) − (4a2 + 81 + 36a))
≡
4a2 + 36 + 24a − 1
2
32a2 − 192a + 280
≡
4a2 + 24a + 35
3
8(4a2 − 24a + 35)
≡
4a2 + 24a + 35
4
8
Två gånger första kvadreringsregeln i täljaren och en gång i nämnaren ger (1). Sammanslagning av
termer ger (2). I (2) ser vi att det är möjligt att bryta ut 8 i täljaren som ger (3). Svar: 8
Problem 47.
2a
ab + b2
a−b
+
− 2
a
a − b a − ab
Lösning:
a−b
2a
ab + b2
+
− 2
≡
a
a − b a − ab
1
a · 2a
b(a + b)
(a − b) · (a − b)
+
−
≡
(a − b) · a
a · (a − b) a(a − b)
2
(a − b)2 + 2a2 − b(a + b)
≡
a(a − b)
3
a2 + b2 − 2ab + 2a2 − ab − b2
≡
a(a − b)
4
3a2 − 3ab
≡
a(a − b)
5
3a(a − b)
≡
a(a − b)
6
3
Vi strävar nu efter att kunna skriva de tre bråken på samma bråkstreck. a(a − b) är en gemensam
nämnare (för övrigt den minsta). Vi förlänger bråken med lämpliga uttryck (1). Nu har vi nått första
målet (2). I (3) förenklar vi täljaren till resultatet i (4). I (4) ser vi att det är möjligt att bryta ut 3a.
Efter förkortning av (5) för vi Svar: 3
Håkan Strömberg
35
KTH STH
Sidor i boken
124-125
Vi räknar en KS1
För att ni ska få en uppfattning om hur en KS kan se ut räknar vi här igenom den enda KS1 som
givits i denna kurs! Totalt kan man få 12 poäng. Om man lyckas skrapa ihop 7 poäng eller mer är
man godkänd och får tillgodoräkna 4 poäng på ordinarie tentamen.
Problem 48. Förenkla uttrycket så långt som möjligt (2p)
(a − 3b)2 + a(6b − a)
Lösning:
(a − 3b)2 + a(6b − a)
(a2 − 6ab + 9b2 ) + (6ab − a2 )
a2 − 6ab + 9b2 + 6ab − a2
9b2
Svar: 9b2
Problem 49. Förenkla uttrycket så långt som möjligt. (2p)
a2 − 4
6a2
a+2
12a
Lösning:
a2 − 4
6a2
a+2
12a
2
a − 4 12a
·
6a2
a+2
12a(a2 − 4)
6a2 (a + 2)
12a(a − 2)(a + 2)
6a2 (a + 2)
2(a − 2)
a
Kommentarer: Ett dubbelbråk. Vi vet att vi kan skriva om det som en produkt där nämnaren är
inverterad. Vi tillämpar konjugatregeln på första faktorn i täljaren. Innan vi multiplicerar samman
faktorerna i täljaren och nämnaren passar vi på att förkorta så långt möjligt.
Svar:
2(a − 2)
a
Håkan Strömberg
36
KTH STH
Problem 50. Lös ekvationen (2p)
2x3 = 32x
Lösning: Direkt ser vi att likhet råder då x = 0 eftersom det insatt ger 0 = 0. Det betyder att x1 = 0.
Vi kan nu lugnt dividera båda leden med x och får
2x2
x2
x2
x
x
x2
x3
=
=
=
=
=
=
=
32
32
2
16√
± 16
±4
4
−4
Här en alternativ lösning som går ut på att vi faktoriserar polynomet och direkt ser när vänstra ledet
blir = 0
2x3 − 32x = 0
2x(x2 − 16) = 0
2x(x − 4)(x + 4) = 0
x1 = 0
x2 = 4
x3 = −4
Svar: x1 = 0, x2 = 4, x3 = −4.
Problem 51. Lös ekvationen (2p)
x2
1
+2=
x−1
x−1
Lösning: Vi ser här att x 6= 1 för om x = 1 får vi
ekvationen.
x2
+2
x2− 1 x
+2
(x − 1)
x−1
x2 (x − 1)
+ 2(x − 1)
x−1
x2 + 2x − 2
x2 + 2x − 3
x
x
(x1
x2
1
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
i två av termerna. Medveten om detta löser vi
1
x−1 1
(x − 1)
x−1
x−1
x−1
1
0
√
−1 ± 12 + 3
−1 ± 2
1)
−3
Svar: x = −3
Problem 52. Lös ekvationen (2p)
x4 − 4x2 − 45 = 0
Lösning: Normalt kan vi inte lösa polynomekvationer av 4:e graden. Ett undantag är då ekvationen
saknar både x3 -term och x-term. Det är precis vad som är fallet här. Tillvägagångsättet är då att
substituera t = x2 och vi får ekvationen
x4 − 4x2 − 45
t2 − 4t − 45
t
t
t1
t2
Håkan Strömberg
=
=
=
=
=
=
37
0
0 √
2 ± 4 + 45
2±7
9
−5
KTH STH
√
Återstår att bestämma 9 = x2 som leder till x1 = 3 och x2 = −3. Men −5 = x2 leder till x = ± −5,
som inte leder till reella rötter. En 4:e gradsekvation har alltid 4 rötter om man räknar både reella
och imaginära. I vår kurs redovisar vi inte imaginära rötter, vilket betyder att en 4:e ’gradare’ har
0, 2 eller 4 rötter. I detta fall finns två rötter.
Svar: x1 = 3 och x2 = −3.
Problem 53. Förenkla uttrycket så långt som möjligt. (2p)
a
− 1 a2 − ab
a−b
Lösning:
a
− 1 a2 − ab
a−b
a−b
a
−
a(a − b)
a−b a−b
a − (a − b)
a(a − b)
a−b
b
a(a − b)
a−b
b(a − b)
a
a−b
ab
Svar: ab
Polynom i faktorform
Målet med föreläsningen är att kunna skriva ett polynom på faktorform. Polynomet
3x2 − 6x − 24
består av tre termer. Det kan också skrivas som
3(x + 2)(x − 4)
Nu som tre faktorer. Den som inte tror kan multiplicera samman faktorerna
3(x + 2)(x − 4)
3(x2 − 4x + 2x − 8)
3(x2 − 2x − 8)
3x2 − 6x − 24
Det stämmer! Men utför man faktoriseringen? Vi tar ett nytt exempel
Exempel 24.
2x2 − 8x − 42
Lösning: Först bryter vi ut så mycket vi kan. Vi kan dock inte bryta ut mer än 2
2(x2 − 4x − 21)
Håkan Strömberg
38
KTH STH
Det som står inom parentes betraktar vi som en andragardsekvation som vi måste lösa.
x2 − 4x − 21
x
x
x1
x2
=
=
=
=
=
0 √
2 ± 4 + 21
2±5
7
−3
Andragradsekvationen kan nu skrivas, som vi tidigare nämnt
(x − 7)(x + 3) = 0
Det betyder att vi kan skriva i tre steg
2x2 − 8x − 42 ≡ 2(x2 − 4x − 21) ≡ 2(x − 7)(x + 3)
Istället för tre termer består nu polynomet av tre faktorer. Nästa exempel
Exempel 25. Faktorisera polynomet som är av tredje graden
3x3 + 3x2 − 6x
Lösning: Först bryter vi ut allt vi kan
3x3 + 3x2 − 6x
3x(x2 + x − 2)
Sedan löser vi ekvationen
x2 + x − 2 q
=0
x = − 21 ±
x = − 21 ±
x = − 21 ±
x = − 21 ±
x1 = 1
x2 = −2
1
q4
1
q4
+2
+
8
4
9
4
3
2
Det betyder att faktoriseringen ser ut så här
3x(x − 1)(x + 2)
Om vi hade att lösa tredjegrasekvationen
3x3 + 3x2 − 6x = 0
så kan vi utifrån faktorerna direkt säga att rötterna är x1 = 0, x2 = 1 och x3 = −2. Att vi klarar
att lösa den här tredjegradsekvationen beror på att den är speciell. Den saknar konstant term och
därför ser vi direkt att x = 0 är en rot.
Hade vi istället stött på denna ekvation, också av tredje graden
x3 − 3x2 − 10x + 24 = 0
så hade vi inte haft någon annan chans än att gissa rötterna. Därför kommer vi inte att träffa på
någon ekvation av 3:e graden i denna kurs om den inte är speciell som i vårt exempel.
Med det datorprogram som jag har och som finns på skolans datorer kan man skriva
Solve[x^3-3x^2-10x+24==0]
{{x-> -3}, {x-> 2}, {x-> 4}}
Håkan Strömberg
39
KTH STH
och få svaret på direkten. Det finns till och med räknedosor som klarar detta. Men de är inte
tillåtna på KS:ar och tentor.
Exempel 26. Faktorisera polynomet
x3 − x
Lösning: Vi bryter ut och får x(x2 − 1). Vad kan man såga om (x2 − 1) ? Jo att vi kan tillämpa
konjugatregeln och direkt få (x2 − 1) ≡ (x + 1)(x − 1). Och vips har vi faktoriserat x3 − x ≡
x(x + 1)(x − 1)
Exempel 27. Faktorisera polynomet
4x2 + 8x + 20
Vi bryter ut och får
4(x2 + 2x + 5)
Vi löser ekvationen
x2 + 2x + √
5=0
x = −1 ± 1 − 5
Ekvationen har inga reella rötter, (negativt under rottecknet), och se då kan inte polynomet faktoriseras.
Vi lär oss att man säger:
Polynomet p(x) = (x + 3)(x − 2) har nollställena x = −3 och x = 2
Ekvationen (x + 3)(x − 2) = 0 har rötterna x1 = −3 och x2 = 2
Nollställena till ett polynom p(x) får man reda på genom att lösa ekvationen p(x) = 0.
Problem 54. Ekvationen
84 + 47x − 37x2 + x3 + x4 = 0
är en fjärdegradsekvation med rötterna
x1 = −7, x2 = −1, x3 = 3, x4 = 4
Faktorisera med denna information uttrycket
84 + 47x − 37x2 + x3 + x4
Lösning: Med den kunskap vi har klarar vi det hela utan att räkna
(x + 7)(x + 1)(x − 3)(x − 4)
Problem 55. Lös ekvationen
x4 + 4x2 + 3 = 0
Lösning: Vi vet att vi kan klara den här ekvationen, just därför att den saknar x3 -term och x-term.
Vi startar med att substituera t = x2 och får
t2 + 4t + 3
t
t
t1
t2
=
=
=
=
=
0
√
−2 ± 4 − 3
−2 ± 1
−3
−1
Nu ska vi lösa x2 = −3 och x2 = −1, men inga av dessa ekvationer har reella rötter, vilket betyder
att den ursprungliga ekvationen helt saknar (reella) rötter.
Svar: Ekvationen saknar rötter.
Håkan Strömberg
40
KTH STH
Problem 56. Lös ekvationen
a + bx = c − dx
med avseende på x
Lösning: Det är bara att betrakta a, b, c och d, som om de vore tal.
a + bx
bx + dx
(b + d)x
x
Svar: x =
=
=
=
=
c − dx
c−a
c−a
c−a
b+d
c−a
b+d
Problem 57. Lös ekvationen
a(x − b) = b(x + a)
med avseende på x.
Lösning: Samma här, vi betraktar a och b som tal eller konstanter.
a(x − b)
ax − ab
ax − bx
(a − b)x
x
Svar: x =
=
=
=
=
=
b(x + a)
bx + ab
2ab
2ab
2ab
a−b
2ab
a−b
Problem 58. Lös ekvationen
x3 + x2 − 12x = 0
Lösning: Detta är alltså en tredjegradsekvation som vi kan lösa därför att den saknar konstant term.
Vi vet då att en rot x1 = 0.
För de andra två rötterna bryter vi ut x och får x(x2 + x − 12) Vi går vidare med ekvationen
x2 + x − 12
=
0
x
=
− 21 ±
x
x
x2
x3
=
=
=
=
− 21 ±
− 21 ±
−4
3
q
1
q4
+
12·4
4
49
4
7
2
Svar: x1 = 0, x2 = −4, x3 = 3
Problem 59. Ursprungligen finns en kvadratisk tomt som utökas i nordsydlig riktningen med 12
m och i östvästlig med 10 m. Tomten får nu en area på 15128 m2 . Vilken var tomtens ursprungliga
mått?
Lösning: Antag att den kvadratiska tomten från början har sidan x meter. Efter förlängning är tomtens sidor x + 12 meter respektive x + 10 meter. Arean kan nu tecknas på två sätt (x + 10)(x + 12) =
15128. Rötterna till denna ekvation ger oss svaret
(x + 10)(x + 12) = 15128
x2 + 12x + 10x + 120
x2 + 22x − 15008
x
x
x1 = 112
Håkan Strömberg
41
=
=
=
=
15128
0
√
−11 ± 121 + 15008
−11 ± 123
x2 = −134
KTH STH
Svar: Den ursprungliga sidan hos tomten var 112 meter.
Läxa 21. Lös ekvationen
x4 − x2 − 6 = 0
Läxa 22. Faktorisera uttrycket
z2 − 7z + 10
Läxa 23. Är det sant att den här ekvationen
x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0
har rötter x1 = 1, x2 = 3 och x3 = 4 ?
Läxa 24. Ett bostadskvarter i en stad upptar ett markstycke av storleken 230 × 350 m2 . Den jämnbreda gatan runt om kvarteret beräknas uppta 24800 m2 . Vilken bredd har gatan?
Läxa 25. Bestäm konstanten a så att ekvationen
3(a − x) + 4a = 9
får en rot x = 4
Läxa Lösning 21. En fjärdegradsekvation som saknar x3 -term och x-term klarar vi genom att
substituera t = x2 . Vi får
t2 − t − 6 = 0 q
t = 12 ± 14 + 6·4
4
t = 12 ± 25
t1 = −2
t2 = 3
2
Återstår så att lösa −2 = x2 och
ser då direkt att den första saknar reella rötter och att
√ 3 = x . Vi √
3
och
x
=
−
3
den andra har
rötter
är
x
=
2
1
√
√
Svar: x1 = 3, x2 = − 3
Läxa Lösning 22. Vi vet att vi kan få tag i faktorerna genom att lösa ekvationen
z2 − 7z + 10
=
0
z =
7
2
z =
z =
z1 =
z2 =
7
2
7
2
5
2
±
±
±
q
q
49
4
−
10·4
4
9
4
3
2
När vi nu har rötterna kan vi direkt skriva ned faktorerna
z2 − 7z + 10 ≡ (z − 5)(z − 2)
Svar: (z − 5)(z − 2)
Håkan Strömberg
42
KTH STH
Läxa Lösning 23. För att testa om ett visst x-värde satisfierar en ekvation, sätter man helt enkelt
in värdet och kontrollerar om V.L. = H.L.
V.L.
H.L.
V.L.
H.L.
V.L.
H.L.
13 − 6 · 12 + 11 · 1 − 6 ≡ 0
0
23 − 6 · 22 + 11 · 2 − 6 ≡ 0
0
43 − 6 · 42 + 11 · 4 − 6 ≡ 6
0
Här kommer räknedosan till användning.
Svar: x1 = 1, x2 = 2 men x3 6= 4
Läxa Lösning 24. Antag att gatan är x meter bred. Vi kan teckna hela arean (inklusive gatan) på
två sätt. Detta leder till andragradsekvationen:
(2x + 230)(2x + 350)
4x2 + 700x + 460x + 230 · 350
4x2 + 1160x
x2 + 290x
x
x
x1
(x2
=
=
=
=
=
=
=
=
24800 + 230 · 350
24800 + 230 · 350
24800
6200 √
−145 ± 1452 + 6200
−145 ± 165
20
−310)
Svar: Gatan är 20 meter bred
Läxa Lösning 25. Vi sätter in x = 4 i ekvationen och får
3(a − 4) + 4a
3a − 12 + 4a
7a
a
a
=
=
=
=
=
9
9
9 + 12
21
7
3
Ekvationen
3(3 − x) + 12 = 9
har roten x = 4
Svar: a = 3
Håkan Strömberg
43
KTH STH
Som vanligt gäller det i denna avdelning att förenkla uttrycket så långt möjligt.
Problem 60.
1
1
1
+
+
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b)
Lösning:
1
1
1
+
+
≡
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b)
1
(−1)
1
1
+
+
≡
(a − b)(a − c) (−1)(b − c)(b − a) (−1)(−1)(a − c)(b − c)
2
a−c
a−b
b−c
−
+
≡
(a − b)(a − c)(b − c) (a − c)(b − c)(a − b) (a − b)(a − c)(b − c)
3
(b − c) − (a − c) + (a − b)
≡
(a − b)(a − c)(b − c)
4
b−c−a+c+a−b
≡
(a − b)(a − c)(b − c)
5
0
≡
(a − b)(a − c)(b − c)
6
0
Vi startar med att försöka finna en gemensam nämnare. Det ser ut som vi kan få en bestående av tre
faktorer om vi på tre ställen använder ’knepet’ (x − y) = (−1)(y − x), (1). I andra termen förlänger
vi med (−1). Observera att i tredje termen bryter vi ut (−1) två gånger och får (−1)(−1) = 1. Detta
är alltså ingen förlängning. I (2) förlänger vi de tre bråken med det uttryck som inte redan finns i
nämnaren. Vi kan skriva allt på samma bråkstreck (3). Efter förenkling får vi 0 i täljaren (5). Svar: 0
Håkan Strömberg
44
KTH STH
Problem 61.
b 
a
+


(b + c)  b + c b + c 
a+b

Lösning:
b 
a
+


(b + c)  b + c b + c  ≡
a+b

a+b
1


(b + c)  b + c  ≡
a+b
1
2
(b + c)
a+b
1
·
b+c a+b
3
(b + c)
1
b+c
4
b+c
≡
b+c
5
1
≡
≡
Först identifierar vi huvudbråkstrecket som det längsta av alla bråkstreck. Sedan ser vi att i täljaren
har de två bråken redan samma nämnare och kan därför enkelt skriva dem på samma bråkstreck. I
nämnaren gör vi för enkelhetens skull ett bråk av a + b genom att lägga till nämnaren 1, se (1). Vi
håller oss fortfarande innanför parenteserna. Vi vet hur vi ska hantera division av två bråk (2). Vi
kan förkorta (3) och multiplicerar till sist de två parenteserna (4) och förkortar och får Svar: 1
Figur 5:
Håkan Strömberg
45
KTH STH
Problem 62.
1−
b
2a − b
a2
−a+b
a−b
Lösning:
a2
−a+b
a−b
1−
1
2a − b
b
−
2a − b 2a − b
2
2a − b − b
2a − b
3
2a − 2b
2a − b
4
2(a − b) b(2b − b)
·
≡
2a − b
a−b
5
2b
b
2a − b
≡
a2
a(a − b) b(a − b)
−
+
a−b
a−b
a−b
a2 − a(a − b) + b(a − b)
a−b
a2 − a2 + ab + ab − b2
a−b
≡
≡
≡
Vi ska multiplicera en parentes med 2 termer med en annan som innehåller 3 termer vilket kommer
att ge oss 6 termer med lite olika nämnare. Detta är en framkomlig väg, men vi väljer istället att
reducera uttrycken i varje parentes för sig. Vi gör liknämnigt genom förlängning (1). Vi skriver de
båda parenteserna på gemensamma bråkstreck (2). Reducerar och bryter ut (3) och (4). Till sist får
vi Svar: 2b.
Figur 6:
Håkan Strömberg
46
KTH STH
Problem 63.
a+4 a
−
9
7
a a−2
−
7
6
Lösning:
a+4 a
−
9
7 ≡
a a−2
−
7
6
1
9a
7(a + 4)
−
7·9
9·7 ≡
7(a − 2)
6a
−
6·7
7·6
2
7a + 28 − 9a
63
≡
6a − 7(a − 2)
42
3
42
7a + 28 − 9a
·
≡
63
6a − 7(a − 2)
3
42
2(14 − a)
42
28 − 2a
·
≡
·
≡
63
14 − a
63
14 − a
4
4
84
=
63
3
Ett dubbelbråk igen. Vi startar med att skriva om huvudbråkets täljare och nämnare på gemensamt
bråkstreck (1). I täljaren är den gemensamma nämnaren 63 och i nämnaren 42 (2). Vi skriver om
bråken från en division till en multiplikation (3) och reducerar så långt vi kan (4). Svar: 43
Håkan Strömberg
47
KTH STH
Sidor i boken
128-129, 130-134
Rationella uttryck. Förlängning och förkortning
Först några begrepp.
Aritmetik eller räknelära är den mest grundläggande formen av matematik. Ett aritmetiskt uttryck
innehåller tal, men inga variabler och de grundläggande räkneoperationerna är addition, subtraktion, multiplikation och division. Även andra räkneoperationer som procenträkning, potenser,
rotutdragning och logaritmer kan förekomma. Här några exempel på aritmetiska uttryck
1
3
+
2
5
1
3(2+5)
−
1
2(3+7)
1+1
1+2+3+4
1
2
3
5
3(4 + 5) − 2(4 − 1)
√
121
√1
9
+
32 + 43
√2
3
1
3
1
7
+
+
2
5
3
5
Alla dessa uttryck kan ersättas med ett enda tal — heltal, bråk eller approximativt decimaltal
11
15
2
≈ 0.733
1
≈ −0.00238
− 420
10
21
5
6
11
≈ 1.48803
≈ 0.833
73
77
78
≈ 0.987
Algebra (elementär algebra) eller, i vår mening, populärt uttryckt bokstavsräkning. Skillnaden från
aritmetiken är att man här ersätter alla eller en del av talen med variabler (med bokstäver). Här
några exempel på algebraiska uttryck
1
a
a+b
3a+a
4
+
1
b
√
a·b
a
b
c
d
(x + y)2
3x2 + 4x + 1
a + 2a + 3a
3(a + b) − 2a − b
3a2 + 3ab
a(a + b)
Algebraiska uttryck kan ibland förenklas och i undantagsfall leda fram till ett enda tal. Vi förenklar
det som går av uttrycken ovan:
a+b
b+a
ab
6a
a
a + 2b
3
√
a·b
x2 + 2xy + y2
ad
bc
3x2 + 4x + 1
En del av uttrycken kan inte förenklas, andra kan förändras men det är inte helt klart om förändringen innebär en förenkling. Resten är verkligen förenklingar. En stor del av vårt arbete fram till
KS:en går ut på att förenkla algebraiska uttryck.
Ekvationer, i vår mening, är två algebraiska uttryck som sätts lika med varandra. Ekvationer
innehåller alltid ett likhetstecken, (=). Att lösa en ekvation innebär i allmänhet att först förenkla de
algebraiska uttrycken på båda sidor om likhetstecknet.
Håkan Strömberg
48
KTH STH
En förstagradsekvation kan alltid förenklas till ax + b = 0 där a och b är konstanter. Till exempel
kan ekvationen
3x + 4 − 2x + 3 + x = 5 − x + 3x + 4 − 4x
förenklas till 2x − 1 = 0, med lösningen x = 21 .
En andragradsekvation kan alltid förenklas till ax2 + bx + c = 0, där a, b och c är konstanter till
exempel kan ekvationen
(x + 1)2 + 3(x2 − x − 1) = (2 + x)2
förenklas till 3x2 − 5x − 6 = 0.
Båda dessa ekvationer kräver förenkling av algebraiska uttryck.
Förenkling av algebraiska uttryck
2
3
5
3
2 5
+ ≡
+
≡
3 6
2
3a 6a
2a
Om man inte klarar av att beräkna uttrycket till vänster ovan klarar man förmodligen inte av att
förenkla uttrycket till höger. Det vill säga man måste behärska aritmetiken för att kunna ta sig an
algebran.
De mesta av aritmetiken har ni med er från tidigare skolår. Här några exempel som kan behöva
fräschas upp. Först addition av bråk
2
3
+
2·4
3·4
1
4
+
+
1·3
4·3
5
6
+
5·2
6·2
2·4+1·3+5·2
12
8+3+10
12
21
12
7·3
4·3
7
4
I första föreläsningen gick vi igenom hur man finner en gemensam nämnare, speciellt den minsta
MGN. Här är MGN= 12. När vi förlänger bråken med ett lämpligt tal får alla bråken samma nämnare
och vi kan addera de ’nya’ täljarna. Det är snyggt, om inte nödvändigt, att förkorta resultatet så
långt möjligt.
3
7
2
9
≡
3 9
27
· ≡
7 2
14
Detta är ett dubbelbråk. Bråket i täljaren multipliceras med det inverterade värdet av bråket i
nämnaren.
2 + 3 · 4 ≡ 14
Multiplikation (och division) går före addition (och subtraktion). Vill man att uttrycket ovan ska bli
20 måste man använda parenteser
(2 + 3) · 4 ≡ 20
När vi nu ska gå vidare med förenkling av algebraiska uttryck måste vi kunna förlänga, förkorta
och bryta ut.
Bryta ut och förkorta. Tre exempel
3x2 + 3x ≡ 3x(x + 1)
Håkan Strömberg
49
KTH STH
och
4x + 4
4(x + 1)
4
≡
=
3x + 3
3(x + 1)
3
och
3(a + b) + 2a(a + b)
(a + b)(3 + 2a)
3(a + b) + 2(a2 + ab)
≡
≡
≡ 3 + 2a
a+b
a+b
a+b
För att man ska kunna förkorta måste ett bråk vara inblandat. I första exemplet finns inget bråk.
Ett rationellt uttryck är division av två aritmetiska uttryck
2a + 3
4b + 1
Ibland kan de förenklas
x2 + 2x + 1
x+1
2a + 3
4b + 1
x+1
a 2 − b2
a+b
a−b
Rationella uttryck kan förstås också adderas och subtraheras
2b
a
+
2b
a
Precis som i aritmetiken måste vi finna en gemensam nämnare. Den måste vara 2ab eftersom de
två nämnarna inte har någon gemensam faktor.
a·a
2b · 2b
a2 + 4b2
+
≡
2b · a
a · 2b
2ab
Om detta resultat kan anses vara en förenkling av det ursprungliga uttrycket är en smaksak, men vi
har i alla adderat de två uttrycken
Problem 64. Addera uttrycken
1
1
+
1 + a 1 + 2a
Lösning: Uttryckets gemensamma nämnare är (1 + a)(1 + 2a). Vi får
1(1 + a)
1(1 + 2a)
+
(1 + a)(1 + 2a) (1 + 2a)(1 + a)
(1 + 2a) + (1 + a)
(1 + 2a)(1 + a)
2 + 3a
(1 + 2a)(1 + a)
2 + 3a
1 + a + 2a + 2a2
2 + 3a
1 + 3a + 2a2
Om man ska låta nämnaren stanna vid (1+2a)(1+a) eller om man ska utveckla den till 1+3a+2a2
är en smaksak.
2 + 3a
Svar:
1 + 3a + 2a2
Håkan Strömberg
50
KTH STH
Problem 65. Addera uttrycken
a b a 2 b2
+ +
+
b a
b
a
Lösning: Med addition menas att termerna ska slås samman till ett rationellt uttryck. Vi ser direkt
att MGN= ab
a b a 2 b2
+ +
+
b a
b
a
a · a b · b a 2 · a b2 · b
+
+
+
b·a a·b
b·a
a·b
a · a + b · b + a 2 · a + b2 · b
ab
a 2 + b2 + a 3 + b3
ab
Svar:
a 2 + b2 + a 3 + b3
ab
Problem 66. Lös ekvationen
2 3
−
3 x =− 1
2 3
17
+
3 4
Lösning: En ekvation innehållande ett dubbelbråk, men x bara på ett ställe. Starta med att förenkla
vänstra ledet. Avsluta den förenklingen med att ersätta divisionen av bråken i täljare och nämnare
med multiplikation av täljaren och nämnaren inverterad. Sedan har vi nått till en ekvation, som är
enkel att lösa.
3
2
1
3 − x
= −
2
3
17
+
3
4
2x
3x
4·2
4·3
3·3
3x
+ 3·3
3·4
2x−9
3x
8+9
12
−
= −
1
17
= −
1
17
1
2x − 9 12
·
= −
3x
17
17
2x − 9 12
1
51x
= 51x −
·
3x
17
17
51x(2x − 9)12
3x · 17
12(2x − 9)
24x − 108)
27x
x
= −
=
=
=
=
51x
17
−3x
−3x
108
4
Svar: x = 4
Håkan Strömberg
51
KTH STH
Problem 67. Lös ekvationen
1
= 12
1 2 1
− +
2 x 4
Lösning:
1
1
2
2x·1
2x·2
−
=
12
=
12
1
1
2x−8+x
4x
=
12
4x
3x − 8
=
12
4x
=
12(3x − 8)
4x
=
36x − 96
32x
=
96
x
=
3
−
1
2
x
4·2
4·x
+
+
1
4
x·1
x·4
Problem 68. Förenkla så långt möjligt
2 2
1
1
− x−
x+
4x
4x
Lösning: Ett sätt att lösa detta problem är med hjälp av konjugatregeln A2 − B2 = (A − B)(A + B).
Detta ger
2 2 1
1
1
1
2
1
1
x+
− x−
·
x+
+ x−
≡
− x−
≡
x+
· 2x ≡ 1
4x
4x
4x
4x
4x
4x
4x
Självklart kan problemet lösas även ’den långa vägen’.
Problem 69. Förenkla
x
y
+
2
xy − y
xy − x2
Lösning:
x
y
x
y
x
y
x2
y2
+
≡
+
≡
−
≡
−
≡
2
2
xy − y
xy − x
y(x − y) x(y − x)
y(x − y) x(x − y)
xy(x − y) xy(x − y)
(x − y)(x + y)
x+y
x2 − y2
≡
≡
xy(x − y)
xy(x − y)
xy
Håkan Strömberg
52
KTH STH
Läxa 26. Beräkna
1
3
1
3
+
−
1
4
1
4
Läxa 27. Förenkla så långt möjligt
(2a − 3b)2 + 3(b + 2a)2 − (4a − 2b)(4a + 2b)
Läxa 28. Vilket är störst: summan, differensen, produkten eller kvoten av
3
7
och −
5
9
Läxa 29. Lös ekvationen
2
3
1
+
=
x 2x
8
Läxa 30. Lös ekvationen
√
x + 55 = x − 1
Läxa Lösning 26. Beräkna
1
3
1
3
+
−
1
4
1
4
=
4·1
4·3
4·1
4·3
+
−
3·1
3·4
3·1
3·4
=
4+3
12
4−3
12
=
7
12
1
12
=
7 12
·
=7
12 1
Kommentar: Ett lite mer komplicerat dubbelbråk. Vi hanterar inledningsvis täljare och nämnare
för sig.
Läxa Lösning 27.
(2a − 3b)2 + 3(b + 2a)2 − (4a − 2b)(4a + 2b)
(4a2 − 12ab + 9b2 ) + 3(b2 + 4ab + 4a2 ) − (16a2 + 8ab − 8ab − 4b2 )
4a2 − 12ab + 9b2 + 3b2 + 12ab + 12a2 − 16a2 − 8ab + 8ab + 4b2
16b2
Svar: 16b2
Läxa Lösning 28.
Summan:
Produkten:
Diffrensen:
Kvoten:
3
7
≈ −0.177778
+ −
5
9
7
3
· −
≈ −0.466667
5
9
7
3
≈ 1.37778
− −
5
9
3
5
−
≈ −0.771429
7
9
Svar: Differensen är störst
Håkan Strömberg
53
KTH STH
Läxa Lösning 29.
3
2
+
=
x 2x
2
3
8x
=
+
x 2x
1
8
8x
1
8
8x · 2 8x · 3
+
x
2x
=
8x · 1
8
16 + 12
=
x
x
=
28
Svar: x = 28
Läxa Lösning 30.
√
x + 55
2
√
x + 55
x + 55
x2 − 3x − 54
=
=
=
=
x
=
x−1
2
(x − 1)
x2 − 2x + 1
0 q
3
2
3
2
3
2
±
9
q4
+
45̇4
4
x =
± 225
4
± 15
x =
2
x1 = 9
(x2 = −6)
√
Vi
√ ser att x = −6 är en falsk rot eftersom −6 + 55 6= −7. Däremot är x = 9 en äkta rot eftersom
9 + 55 ≡ 9 − 1
Svar: x = 9
Problem 70.
a 2 − b2
b2 − c2
c−a
1
+
+ 2
−
2
a+b
c −a
b−c
c+a
Lösning:
a 2 − b2
b2 − c2
c−a
1
+
+ 2
−
≡
a+b
c − a2
b−c
c+a
1
c−a
(b − c)(b + c)
1
(a + b)(a − b)
+
+
−
≡
a+b
(c − a)(c + a)
b−c
c+a
2
a−b+
3
a−b+b+c≡
4
a+c
1
1
+b+c−
≡
c+a
c+a
Här gäller det att tänka en liten stund innan man sätter igång att hitta en gemensam nämnare.
Genom att använda konjugatregeln inte mindre än tre gånger kan vi skriva om uttrycket som i (1).
Håkan Strömberg
54
KTH STH
Efter möjliga förkortningar får vi ett betydligt enklare uttryck (2). De två termerna med nämnare tar
ut varandra och kvar blir Svar: a + c
Problem 71.
2ab
2a − b 3a2 + 5ab + 2b2
−
+
2
−b
a−b
(a + b)2
a2
Lösning:
2a − b 3a2 + 5ab + 2b2
2ab
−
+
≡
2
−b
a−b
(a + b)2
a2
1
2a − b 3a2 + 5ab + 2b2
2ab
−
+
≡
(a − b)(a + b)
a−b
(a + b)(a + b)
2
2ab(a + b)
(2a − b)(a + b)2
(3a2 + 5ab + 2b2 )(a − b)
−
+
≡
2
2
(a − b)(a + b)
(a − b)(a + b)
(a − b)(a + b)2
3
(2a2 b + 2ab2 ) − (2a − b)(a2 + b2 + 2ab) + (3a2 + 5ab + 2b2 )(a − b)
≡
(a − b)(a + b)2
4
2a2 b + 2ab2 − (2a3 + 2ab2 + 4a2 b − a2 b − b3 − 2ab2 ) + (3a2 + 5ab + 2b2 )(a − b)
≡
(a − b)(a + b)2
5
2a2 b + 2ab2 − 2a3 − 2ab2 − 4a2 b + a2 b + b3 + 2ab2 + 3a3 + 5a2 b + 2ab2 − 3a2 b − 5ab2 − 2b3
≡
(a − b)(a + b)2
6
−2a3 + 3a3 + 2a2 b − 4a2 b + a2 b + 5a2 b − 3a2 b + 2ab2 − 2ab2 + 2ab2 + 2ab2 − 5ab2 + b3 − 2b3
≡
(a − b)(a + b)2
7
a3 + a2 b − ab2 − b3
≡
(a − b)(a + b)2
8
a3 + a2 b − ab2 − b3
≡
a3 + a2 b − ab2 − b3
9
1
En riktigt jobbig uppgift. Till att börja med ser vi att minsta gemensamma nämnaren är
(a + b)2 (a − b) (1). Med utgångspunkt från det förlänger vi de tre bråken med lämpliga uttryck
(2) och kan slå samman hela uttrycket till ett bråk (3). Vi står nu inför en mängd beräkningar vars
framgång präglas av noggrannhet och en administrativ känsla. Håller vi tungan rätt i mun kommer
vi så småningom hit (7). Om vi inte visste att samtliga svar bland dessa 30 uppgifter var betydligt
mindre komplicerade kanske vi skulle stanna här. Vår enda chans är nu att utveckla nämnaren (8)
och se det gav frukt! Svar: 1
Problem 72.
Uppgift 15
9a2
Håkan Strömberg
3a
2
3(a − 1)
1
−
+
−
2
− 6a + 1 3a + 1
9a − 1
(3a − 1)2
55
KTH STH
Lösning:
3a
2
3(a − 1)
1
≡
−
+
−
9a2 − 6a + 1 3a + 1
9a2 − 1
(3a − 1)2
1
2
3(a − 1)
1
3a
−
≡
+
−
(3a − 1)2
3a + 1 (3a − 1)(3a + 1) (3a − 1)2
2
3a(3a + 1)2 − 2(3a + 1)(3a − 1)2 + 3(a − 1)(3a − 1)(3a + 1) − (3a + 1)2
≡
(3a − 1)2 (3a − 1)2
3
(3a + 18a2 + 27a3 ) − (2 − 6a − 18a2 + 54a3 ) + (3 − 3a − 27a2 + 27a3 ) − (1 + 6a + 9a2 )
≡
(3a − 1)2 (3a − 1)2
4
3a + 18a2 + 27a3 − 2 + 6a + 18a2 − 54a3 + 3 − 3a − 27a2 + 27a3 − 1 − 6a − 9a2
≡
(3a − 1)2 (3a − 1)2
5
27a3 + 27a3 − 54a3 + 18a2 − 27a2 + 18a2 − 9a2 + 3a + 6a − 3a − 6a − 2 + 3 − 1
≡
(3a − 1)2 (3a − 1)2
6
0
≡
(3a − 1)2 (3a − 1)2
7
0
ÃĚter en uppgift som kräver precision. För att finna en lämplig gemensam nämnare behöver man
se att 9a2 − 6a + 1 ≡ (3a − 1)2 och att 9a2 − 1 = (3a − 1)(3a + 1) (1). När väl detta är genomskådat
får vi den minsta gemensamma nämnaren (3a + 1)2 (3a − 1)2 som leder till en del förlängningar
innan vi kan skriva hela uttrycket på gemensamt bråkstreck (2). På två ställen i den nya nämnaren
ska tre parenteser multipliceras samman. Med tålamod och noggrannhet får vi först (3), sedan (4)
och (5), för att till slut upptäcka att hela nämnaren blir 0. Svar: 0.
Figur 7:
Håkan Strömberg
56
KTH STH
Problem 73.
b a
+ +2
a b
(a + b)2
2ab
Lösning:
b a
+ +2
a b
≡
(a + b)2
2ab
1
b2 + a2 + 2ab
ab
≡
(a + b)2
2ab
2
2ab
b2 + a2 + 2ab
≡
·
ab
(a + b)2
3
2ab
(a + b)2
≡
·
ab
(a + b)2
4
2
Division av två bråk, som vi också kallar dubbelbråk. Vi inleder med att skriva de tre termerna i
täljaren på gemensamt bråkstreck (1). Vi går över från division till multiplikation på ett numera känt
sätt (2). Vi upptäcker att b2 + a2 + 2ab ≡ (a + b)2 i (3) och avslutar med att förkorta. Svar: 2
Figur 8:
Håkan Strömberg
57
KTH STH
Sidor i boken
135-139
Addition och subtraktion
Vi börjar med lite aritmetik. Heltalsaddition innebär inga som helst problem. Här tar vi lämpligen
räknedosan till hjälp.
Exempel 28.
231 + 400 + 645 = 1276
Så länge alla nämnare är lika innebär det inget problem att addera ett antal bråk.
Exempel 29.
20
1 2 6 11
+ + +
≡
≡4
5 5 5
5
5
Aningen besvärligare blir det då nämnarna är olika. Med lite träning och med nämnare som inte är
allt för stora bör man kunna hitta en gemensam nämnare. Minst jobb blir det om man hittar den
minsta gemensamma nämnaren, MGN.
Exempel 30.
1·4 3·3 5·2
4 + 9 + 10
23
1 3 5
+ + ≡
+
+
=
≡
3 4 6
3·4 4·3 6·2
12
12
Här bestämde vi oss för den gemensamma nämnaren 12, som för övrigt är den minsta möjliga.
Multiplicerar man alla nämnarna får man 3 · 4 · 6 = 72, som också duger, bara att det blir lite
arbetssammare
Exempel 31.
1 3 5
1 · 24 3 · 18 5 · 12
24 + 54 + 60
138
23
+ + ≡
+
+
≡
≡
≡
3 4 6
3 · 24 4 · 18 6 · 12
72
72
12
Som synes blir det samma resultat efter förkortning.
Vi höjer svårighetsgraden en aning
Exempel 32.
2·4
1
2
+
3 + 4
≡ 3·4
2
2
1·3
4·3
≡
8+3
12
2
≡
11
12
2
1
≡
11
11 1
· ≡
12 2
24
Först tar vi oss an täljaren och summerar de två bråken. Vi skriver, för att vara tydliga, 2 som 21 . Vi
har nu ett dubbelbråk, där multiplicerar täljaren med den inverterade nämnare. Hur ska man förstå
det sista steget?
Exempel 33. Jag har en
vänner har jag?
1
2
tårta. Mina vänner får var sin bit som motsvarar
1
2
1
8
Håkan Strömberg
≡
1
8
tårta. Hur många
1·8
1 8
· ≡
≡4
2 1
2·1
58
KTH STH
Svar: Jag har 4 vänner.
Visst kan man krångla till det ännu mer!
Exempel 34.
2
2
5
4
1
−
+ 1 −
≡ +
3
12
9
4
5
1
1
4
−
4 5·4
1
4 · 4 20 · 36
1·3
16 + 720 − 3
733
1
≡ +
−
≡
+
−
≡
≡
12
9 1 · 1 12
9·4
1 · 36
12 · 3
36
36
Även om det är tänkt att en uppgift av denna typ ska lösas exakt, kan man ha hjälp med att kolla
svaret på räknedosan.
Ett sista exempel på aritmetiska uttryck
Exempel 35.
3
3·5
1·4
1
5 + 4
5·4 + 4·5
≡
≡
2
2·4
1
1·3
3 − 4
3·4 − 4·3
4+15
20
8−3
12
≡
19
20
5
12
≡
228
57
19 12
·
≡
≡
20 5
100
25
Nu över till algebraiska uttryck. Här kommer vi normalt inte att avsluta beräkningarna med ett tal
utan har som mål att förenkla det givna uttrycket. Vi börjar enkelt
Exempel 36.
a + 3b + 4a − 2b − 3a ≡ 2a + b
Med parenteser inblandade
Exempel 37.
3(a − b) − 2(a + 2b + 4) + 4(b − a) ≡ (3a − 3b) − (2a + 4b + 8) + (4b − 4a) ≡
≡ 3a − 3b − 2a − 4b − 8 + 4b − 4a ≡ −8 − 3a − 3b
Att ’multiplicera in’ innan man plockar bort parenteserna är en god vana.
Exempel 38.
(a + b)2 + (a − b)2 − a2 − b2 ≡ (a2 + 2ab + b2 ) + (a2 − 2ab + b2 ) − a2 − b2 ≡ a2 + b2
Kvadreringsreglerna är bra att känna till. Mer om potenser kommer senare i kursen. Lite svårare blir
det när vi blandar in bråk
Exempel 39.
1
1
1·9
1·3
1
9+3+1
13
1
+
+
≡
+
+
≡
≡
a 3a 9a
a · 9 3a · 3 9a
9a
9a
Man måste förstås hitta en gemensam nämnare för att komma vidare.
Exempel 40.
a
2
a
a · 2a
2·2
a·a
2a2 + 4 + a2
3a2 + 4
+
+ ≡
+
+
≡
≡
3 3a
6
3 · 2a 3a · 2 6 · a
6a
6a
Nu blandar vi in flera variabler
Exempel 41.
a b
a·a b·b
a 2 − b2
− ≡
−
≡
b a
b·a a·b
ab
Så ett dubbelbråk
Exempel 42.
ab
b2
a2
ab2
Håkan Strömberg
≡
a
b
a
b2
≡
59
a b2
·
≡b
b a
KTH STH
Här ska man förkorta så långt man kan
Exempel 43.
ca2 b3 c
≡b
a2 b2 c2
Här måste man bryta ut innan man kan förkorta
Exempel 44.
3a2 b + 3b2 a
3ab(a + b)
≡
≡a+b
a+b
a+b
Här startar nu mängdträning. 20 uppgifter i stigande (?) svårighetsgrad
Läxa 31. Förenkla så lång möjligt
2(a + b) − 3(b + a) − 4(a − b) + 2(a − b)
Läxa 32. Förenkla så lång möjligt
2(a + b)(a − b) + 3(b − a)(b + a)
Läxa 33. Förenkla så lång möjligt
(a + b + 1)(a − b − 1) + (b + 1)2
Läxa 34. Förenkla så lång möjligt
1
x2
1
1+
x
1−
Läxa 35. Förenkla så lång möjligt
(2a − 3)2 − (a + 1)(a − 4)
Läxa 36. Förenkla så lång möjligt
(a + b)2 + (a − b)2
2
Läxa 37. Förenkla så lång möjligt
9x2 − 144
3x2 + 24x + 48
Läxa 38. Beräkna exakt och förkorta så långt möjligt
1
2
7
3
+ −2·
1
15
5
2
Håkan Strömberg
60
KTH STH
Läxa 39. Beräkna exakt
1 1
+
2 4
1 1
1− ·
2 4
Läxa 40. Beräkna den exakta skillnaden mellan uttrycken
19 23
12 7 19 23
12 7
·
+
−
+ ·
−
5
4
3
9
5
4 3
9
Läxa 41. Förenkla så lång möjligt
(a + b)2 − (a − b)(a + b)
a+b
Läxa 42. Förenkla så lång möjligt
(x − 3)2
− 3x
x 3
−
3 x
Läxa 43. Förenkla så lång möjligt
2a a
−
3
2
a
a−
6
Läxa 44. Förenkla så lång möjligt
2a2 − 18b2
− 6ab + 9b2
a2
Läxa 45. Förenkla så lång möjligt
(x2 + xy)2
x2 y − y3
·
x2 y + y3 + 2xy2 x3 − x2 y
Läxa 46. Förenkla så långt möjligt
a b
−
b a · (a + b) + b
a b
+ +2
b a
Läxa 47. Förenkla så lång möjligt
x2 − x
2x2
6x − 6
x
Håkan Strömberg
61
KTH STH
Läxa 48. Förenkla så lång möjligt
6a2 − 24
+ 12 + 12a
3a2
Läxa 49. Förenkla så lång möjligt
4
−4
16
x2 + 4x + 4
x2
Läxa 50. Förenkla så lång möjligt
a b
+ +2
b a
a b
−
b a
Läxa Lösning 31.
2(a + b) − 3(b + a) − 4(a − b) + 2(a − b) ≡ (2a + 2b) − (3b + 3a) − (4a − 4b) + (2a − 2b) ≡
≡ 2a + 2b − 3b − 3a − 4a + 4b + 2a − 2b ≡ b − 3a
Svar: b − 3a
Läxa Lösning 32.
2(a2 − b2 ) + 3(b2 − a2 ) ≡ (2a2 − 2b2 ) + (3b2 − 3a2 ) ≡ 2a2 − 2b2 + 3b2 − 3a2 ≡ b2 − a2
Svar: b2 − a2
Läxa Lösning 33.
(a + b + 1)(a − b − 1) + (b + 1)2 ≡ (a2 − ab − a + ab − b2 − b + a − b − 1) + (b2 + 2b + 1) ≡
≡ a2 − ab − a + ab − b2 − b + a − b − 1 + b2 + 2b + 1 ≡ a2
Svar: a2
Läxa Lösning 34.
1
x2
+ 1x
1−
1
Svar:
≡
x2
x2
x
x
−
+
1
x2
1
x
≡
x2 −1
x2
x+1
x
≡
x2 − 1
x
x2 − 1
(x + 1)(x − 1)
x−1
·
≡
≡
≡
2
x
x+1
x(x + 1)
x(x + 1)
x
x−1
x
Läxa Lösning 35.
(2a − 3)2 − (a + 1)(a − 4) ≡ 4a2 − 12a + 9 − (a2 − 4a + a − 4) ≡
Svar: 3a2 − 9a + 13
≡ 4a2 − 12a + 9 − a2 + 4a − a + 4 ≡ 3a2 − 9a + 13
Läxa Lösning 36.
(a + b)2 + (a − b)2
(a2 + 2ab + b2 ) + (a2 − 2ab + b2 )
2a2 + 2b2
2(a2 + b2 )
≡
≡
≡
≡ a 2 + b2
2
2
2
2
Svar: a2 + b2
Håkan Strömberg
62
KTH STH
Läxa Lösning 37.
9x2 − 144
9(x2 − 16)
≡
+ 24x + 48
3(x2 + 8x + 16)
3x2
Vi löser x2 + 8x + 16 = 0 och får
x2 + 8x + √
16 = 0
x = −4 ± 42 − 16
x = −4 ± 0
x1 = −4
x2 = −4
Vi kan då faktorisera ekvationen till (x + 4)2 = 0. Vårt uttryck övergår då till
3(x − 4)
9(x − 4)(x + 4)
≡
3(x + 4)(x + 4)
x+4
3(x − 4)
x+4
Läxa Lösning 38.
Svar:
1
7
2 4
7
2·5 2·2·3
7 + 10 − 12
1
7
2
+ 3 −2· ≡
+ − ≡
+
−
≡
≡
1
15
5
15 3 5
15 3 · 5
5·3
15
3
2
1
3
Läxa Lösning 39.
Svar:
1 1
1·2 1
3
+
+
2 4 ≡ 2·2 4 ≡ 4 ≡ 3 · 8 ≡ 6
8 1
7
1 1
4 7
7
−
1− ·
2 4
8 8
8
6
7
Läxa Lösning 40. Här kan man spara en hel del jobb genom att tänka till. Om vi betraktar uttrycket
som
(a + b)c − d − (a + bc − d) ≡ ac − a
Svar:
som leder till
12 19 12
12
·
−
≡
5 3
5
5
64
5
Läxa Lösning 41.
19 3
−
3
3
≡
64
12 16
·
≡
5 3
5
Svar:
(a + b)2 − (a − b)(a + b)
(a + b) ((a + b) − (a − b))
≡
≡ 2b
a+b
a+b
Svar: 2b
Läxa Lösning 42.
(x − 3)2
(x − 3)2
(x − 3)2
3x(x − 3)2
− 3x ≡
− 3x ≡ 2
− 3x ≡
− 3x ≡
x 3
x·x 3·3
(x − 3)(x + 3)
x −9
−
−
3 x
3·x x·3
3x
3x2 − 9x − 3x2 − 9x)
18x
3x(x − 3) 3x(x + 3)
−
≡
≡−
(x + 3)
(x + 3)
x+3
x+3
Svar: −
18x
x+3
Håkan Strömberg
63
KTH STH
Läxa Lösning 43.
2a a
2a · 2 a · 3
4a − 3a
a
−
−
1
a 6
3
2
3·2
2·3
6
6
a ≡ a · 6 a ≡ 6a − a ≡ 5a ≡ 6 · 5a ≡ 5
a−
−
6
6
6
6
6
1
5
Läxa Lösning 44.
Svar:
2a2 − 18b2
2(a2 − 9b2 )
2(a − 3b)(a + 3b)
2(a + 3b)
≡
≡
≡
2
2
2
− 6ab + 9b
(a − 3b)
(a − 3b)
a − 3b
a2
Svar:
2(a + 3b)
a − 3b
Läxa Lösning 45.
x2 y−y3
x2 y+y3 +2xy2
·
(x2 +xy)2
x3 −x2 y
≡
x2 (x+y)2
x2 (x−y)
≡
y(x−y)(x+y)
y(x2 +y2 +2xy)
·
≡
y(x−y)(x+y)
y(x+y)(x+y)
x2 (x+y)(x+y)
x2 (x−y)
·
≡
≡
x+y
Svar: x + y
Läxa Lösning 46.
a
b
a
b
−
b
+a
a2
ab
b
a
+2
· (a + b) + b
b2
ab
a2
b2
2ab
ab + ab + ab
2
2
a −b
ab
· (a
2
a +b2 +2ab
ab
a2 −b2
ab
−
·
· (a + b) + b
+ b) + b
ab
a2 +b2 +2ab
(a−b)(a+b)(a+b)
(a+b)2
· (a + b) + b
+b
(a − b) + b
a
Svar: a
Läxa Lösning 47.
x(x − 1)
(x − 1)
x2 − x
x
1
(x − 1)
2
2
2x
2x
2x
·
≡
≡
≡
≡
6x − 6
6(x − 1)
6(x − 1)
2x
6(x − 1)
12
x
x
x
Svar:
1
12
Håkan Strömberg
64
KTH STH
Läxa Lösning 48.
2(a − 2)
6(a2 − 4)
2(a − 2)(a + 2)
6a2 − 24
≡
≡
≡
2
2
+ 12 + 12a
3(a + 4 + 4a)
(a + 2)
a+2
3a2
Svar:
2(a − 2)
a+2
Läxa Lösning 49.
4
4
(x + 2)2
1
x+2
x+2
4
(x − 2)(x + 2)
−4
·
≡
·
≡
≡
≡
16
16
(x − 2)(x + 2)
16
x−2
4
4(x − 2)
x2 + 4x + 4
(x + 2)2
x2
Svar:
x+2
4(x − 2)
Läxa Lösning 50.
a b
(a + b)2
a · a b · b 2 · ab
a2 + b2 + 2ab
+ +2
+
+
b a
ab ≡
ab
ab
≡
≡ b·a a·b
≡
a b
a·a b·b
(a − b)(a + b)
a 2 − b2
−
−
b a
b·a a·b
ab
ab
ab
a+b
(a + b)2
·
≡
ab
(a − b)(a + b)
a−b
Svar:
a+b
a−b
Håkan Strömberg
65
KTH STH
Problem 74.
Lösning:

a b
+ +2
b a

 a b  (a − b)
−
b a

1
1
1
4a2
+
+
−
≡
a2 − 2ab + b2 a2 − b2 a2 + 2ab + b2 (a2 − b2 )2
1
1
1
4a2
1
+
−
≡
+
(a − b)2 (a + b)(a − b) (a + b)2 (a + b)2 (a − b)2
2
(a + b)(a − b)
(a − b)2
4a2
(a + b)2
+
+
−
≡
(a − b)2 (a + b)2 (a − b)2 (a + b)2 (a − b)2 (a + b)2 (a − b)2 (a + b)2
3
(a + b)2 + (a + b)(a − b) + (a − b)2 − 4a2
≡
(a − b)2 (a + b)2
4
(a2 + b2 + 2ab) + (a2 − b2 ) + (a2 + b2 − 2ab) − 4a2
≡
(a − b)2 (a + b)2
5
b2 − a 2
≡
(a − b)2 (a + b)2
6
(b − a)(b + a)
(b − a)(b + a)
1
≡
≡
≡
(a − b)2 (a + b)2
(b − a)2 (b + a)2
(b − a)(b + a)
7
1
b2 − a 2
Med hjälp av första och andra kvadreringsregeln samt med konjugatregeln faktoriserar vi de fyra
nämnarna (1). Vi föreslår sedan den gemensamma nämnaren (a − b)2 (a + b)2 och förlänger på
vanligt sätt sedan bråken för att erhålla denna nämnare (2). I (3), (4) och (5) arbetar vi sedan med
att reducera täljaren, som vi sedan faktoriserar i (6). Eftersom (a−b)2 ≡ (b−a)2 får vi inga problem
1
med att förkorta uttrycket för att till sist erhålla Svar: b2 −a
2
Figur 9:
Håkan Strömberg
66
KTH STH
Problem 75.

1
a
−
 2 a
b b
1
1 
−
a b

Lösning:

a
1
−
 2 a
b b
≡
1 
1
−
a b
 2

a − b2
 ab2 

b
 b−a ≡

1
ab
b
ab
a 2 − b2
·
ab2
b−a
3
b
(a − b)(a + b)
ab
·
2
ab
b−a
4
b
(a − b)(a + b)
(−1)ab
·
ab2
(−1)(b − a)
2
≡
≡
ab
(a − b)(a + b)
·
2
ab
(a − b)
5
−b
6
−
7
−(a + b)
(a − b)(a + b)
ab2
·
2
ab
(a − b)
≡
≡
≡
Åter ett dubbelbråk. Vi reducerar täljare och nämnare för sig (1). Inverterar nämnaren och multiplicerar med täljaren (2). Använder konjugatregeln för att faktorisera första bråkets täljare (3).
Förlänger andra bråket med (−1) (4). Multiplicerar in (−1) i (b − a) och får (a − b) i (5). Kan nu
förkorta en del i (6) och får till slut Svar: −(a + b)
Håkan Strömberg
67
KTH STH
Problem 76.
2a2
ab − a2
+
a+b
a+b
Lösning:
2a2
ab − a2
+
≡
a+b
a+b
1
2a2 + ab − a2
≡
a+b
2
a(a + b)
a2 + ab
≡
a+b
a+b
3
a
Två bråk som redan har samma nämnare kan direkt skrivas på samma bråkstreck (1). Efter reducering, lämplig utbrytning (2) och förkortning återstår Svar: a
Problem 77.
1
1
1
4a2
+
+
−
a2 − 2ab + b2 a2 − b2 a2 + 2ab + b2 (a2 − b2 )2
Lösning:
1
1
4a2
1
+
+
−
≡
a2 − 2ab + b2 a2 − b2 a2 + 2ab + b2 (a2 − b2 )2
1
1
4a2
1
1
+
−
≡
+
(a − b)2 (a + b)(a − b) (a + b)2 (a + b)2 (a − b)2
2
(a + b)2
(a + b)(a − b)
(a − b)2
4a2
+
+
−
≡
(a − b)2 (a + b)2 (a − b)2 (a + b)2 (a − b)2 (a + b)2 (a − b)2 (a + b)2
3
(a + b)2 + (a + b)(a − b) + (a − b)2 − 4a2
≡
(a − b)2 (a + b)2
4
(a2 + b2 + 2ab) + (a2 − b2 ) + (a2 + b2 − 2ab) − 4a2
≡
(a − b)2 (a + b)2
5
b2 − a 2
≡
(a − b)2 (a + b)2
6
(b − a)(b + a)
1
(b − a)(b + a)
≡
≡
≡
(a − b)2 (a + b)2
(b − a)2 (b + a)2
(b − a)(b + a)
7
1
b2 − a 2
Med hjälp av första och andra kvadreringsregeln samt med konjugatregeln faktoriserar vi de fyra
nämnarna (1). Vi föreslår sedan den gemensamma nämnaren (a − b)2 (a + b)2 och förlänger på
vanligt sätt sedan bråken för att erhålla denna nämnare (2). I (3), (4) och (5) arbetar vi sedan med
att reducera täljaren, som vi sedan faktoriserar i (6). Eftersom (a−b)2 ≡ (b−a)2 får vi inga problem
1
med att förkorta uttrycket för att till sist erhålla Svar: b2 −a
2
Håkan Strömberg
68
KTH STH
Sidor i boken
140-141
Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de
mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut.
Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker vi upp allt stoff inför KS1. Kämpa på!
Förstagradsekvationer
Läxa 51. Lös enkel förstagradsekvation
3x − 4 + x + 3 − 4 = x + 3 − 2x + 7
Läxa 52. Det blir väl inte så mycket svårare när det finns parenteser i ekvationen
3(x − 2) − 2(3 − x) − 4(x − 1) = 3(x + 2)
Läxa 53. Nu blandar vi in bråk, men fortfarande ekvation av första graden
x 2x
+
= 11
3
5
Läxa 54. En ganska svår förstagradsekvation
1
2
x
1
−
−
− =0
x − x2 x + x2 1 − x2 x
Läxa 55. Nu blir det riktigt svårt! Förresten, är det här verkligen en förstagradsekvation?
x
2
4 + 3
3x
2 −4
−
x
2
4 − 3
3x
2 +4
=
48
9x2 − 64
Andragradsekvationer
Läxa 56. En enkel andragradsekvation
x2 + 2x − 35 = 0
Håkan Strömberg
69
KTH STH
Läxa 57. En lite svårare
(x − 2)2 + x2 = (x + 2)2
Är det här en andragradare?
Läxa 58.
1
1
1
+
=
x x + 10
12
Läxa 59.
x2
1
3
2
= 2
+
2
− 4x + 4 4 − x
x + 4x + 4
Läxa 60. ’Andragradare’ med x i nämnaren
1
1
−
x x+2 = 2 + 1
1
1
x 2
+
12 3x + 6
Tredjegradsekvationer
Läxa 61. Lös ekvationen
x3 + 2x2 + x = 0
Läxa 62.
(x − 1)(x2 − 5x + 6) = 0
Läxa 63.
x3 = 125
Läxa 64. Denna ekvation har en reell rot. Kan du hitta den?
x3 + 8 = x + 2
Fjärdegradsekvationer
Läxa 65. Lös ekvationen
(x + 1)(x − 2)(x + 3)(x − 4) = 0
Läxa 66. Lös ekvationen
x4 − 6x2 + 5 = 0
Läxa 67. Lös ekvationen
x4 + x2 − 2 = 0
Håkan Strömberg
70
KTH STH
Rotekvationer
Läxa 68. Lös ekvationen
√
x=9
Läxa 69. Lös ekvationen
√
x = −4
Läxa 70. Lös ekvationen
√
x + 1 = 3x + 5
Läxa 71. Lös ekvationen
x−1+
Läxa 72. Lös ekvationen
√
x+1=4
√
x−2−4 x−5=0
Läxa 73. Lös ekvationen
3−
√
√
x − 1 = 4x + 5
Faktorisera polynom
Läxa 74. Faktorisera polynomet
x2 + x − 12
Faktorisera polynomet
Läxa 75.
3x2 + 6x − 72
Läxa 76. Faktorisera så lång möjligt
(x2 − x − 2)(x2 + 5x + 6)
Läxa 77. Faktorisera polynomet så långt möjligt
5x2 + 5x + 10
Läxa 78. Lös en speciell jobbig rotekvation
x−
Håkan Strömberg
√
x − 3 = 11
71
KTH STH
Läxa Lösning 51.
3x − 4 + x + 3 − 4
4x − 5
5x
x
=
=
=
=
x + 3 − 2x + 7
10 − x
15
3
Läxa Lösning 52.
3(x − 2) − 2(3 − x) − 4(x − 1)
(3x − 6) − (6 − 2x) − (4x − 4)
3x − 6 − 6 + 2x − 4x + 4
x−8
−2x
x=
=
=
=
=
=
=
3(x + 2)
(3x + 6)
3x + 6
3x + 6
6+8
−7
Läxa Lösning 53.
x 2x
+
=
5
3
x 2x
+
=
15
3
5
15x 15 · 2x
+
=
3
5
11
15 · 11
15 · 11
5x + 6x
=
15 · 11
11x
=
15 · 11
x
=
15 · 11
11
x
=
15
Läxa Lösning 54.
2
x
1
1
−
−
− =0
2
2
2
x−x
x+x
1−x
x
1
2
x
1
−
−
− =0
x(1 − x) x(1 + x) (1 − x)(1 + x) x
2
x
1
1
=0
−
−
−
x(1 − x)(1 + x)
x(1 − x) x(1 + x) (1 − x)(1 + x) x
(1 + x) − 2(1 − x) − x2 − (1 − x)(1 + x) = 0
1 + x − 2 + 2x − x2 − 1 + x2 = 0
x − 2 + 2x = 0
3x = 2
x=
Svar: x =
2
3
2
3
Håkan Strömberg
72
KTH STH
Läxa Lösning 55.
x
x
2
2
48
4 + 3
4 − 3
− 3x
= 2
3x
9x
− 64
−
4
+
4
2
2
8
8
3x
3x
− 12
48
12 + 12
− 12
=
8
8
3x
3x
(3x
−
8)(3x
−
+
2
2
2
2
3x+8
3x−8
48
12
12
− 3x+8
=
3x−8
(3x
−
8)(3x
+ 8)
2
2
+ 8)
3x + 8
2
3x − 8
2
48
·
−
·
=
12
3x − 8
12
3x + 8
(3x − 8)(3x + 8)
3x + 8
48
2
3x − 8
2
12(3x − 8)(3x + 8)
= 12(3x − 8)(3x + 8)
·
−
·
12
3x − 8
12
3x + 8
(3x − 8)(3x + 8)
2(3x + 8)2 − 2(3x − 8)2 = 12 · 48
(3x + 8)2 − (3x − 8)2 = 6 · 48
9x2 + 48x + 64 − (9x2 − 48 + 64) = 6 · 48
96x = 6 · 48
x=3
Svar: x = 3
Läxa Lösning 56.
x2 + 2x − 35
√ =0
x = − 22 ± 12 + 35
x = −1 ± 6
x1 = 5
x2 = −7
Svar: x1 = 5, x2 = −7
Läxa Lösning 57.
(x − 2)2 + x2 = (x + 2)2
x2 − 4x + 4 + x2 = x2 + 4x + 4
−4x + x2 = 4x
x2 − 8x = 0
x(x − 8) = 0
Svar: x1 = 0, x2 = 8
Håkan Strömberg
73
KTH STH
Läxa Lösning 58.
1
1
1
+
=
x x + 10 12
1
1
1
= 12x(x + 10)
+
12x(x + 10)
x x + 10
12
12(x + 10) + 12x = x(x + 10)
12x + 120 + 12x = x2 + 10x
x2 − 14x − 120 = 0
√
x = 7 ± 49 + 120
x = 7 ± 13
x1 = 20
x2 = −6
Svar: x1 = 20, x2 = −6
Läxa Lösning 59.
3
2
1
= 2
+
2
− 4x + 4 4 − x
x + 4x + 4
1
2
3
+
=
(2 − x)2
(2 − x)(2
+
x)
(2
+
x)2
3
2
1
2
2
=
(2
−
x)
·
(2
+
x)
+
(2 − x)2 · (2 + x)2
(2 − x)2 (2 − x)(2 + x)
(2 + x)2
x2
(2 + x)2 + 2(2 − x)(2 + x) = 3(2 − x)2
x2 + 4x + 4 + 2(4 − x2 ) = 3(x2 − 4x + 4)
x2 + 4x + 4 + 8 − 2x2 = 3x2 − 12x + 12
4x2 − 16x = 0
4x(x − 4) = 0
x1 = 0
x2 = 4
Svar: x1 = 0, x2 = 4
Läxa Lösning 60.
1
1
−
x x+2 = 2 + 1
1
1
x 2
+
12 3x + 6
Svar:
Läxa Lösning 61. Den här ekvationen kan vi lösa därför att den saknar konstant term
x3 + 2x2 + x = 0
x(x2 + 2x + 1) = 0
x(x + 1)2 = 0
x(x + 1)(x + 1) = 0
Det är bra att känna igen första kvadreringsregeln, så slipper man en del jobb. Vi har funnit tre
reella rötter, varav en dubbelrot.
Svar: x1,2 = −1, x = 0
Håkan Strömberg
74
KTH STH
Läxa Lösning 62. Multiplicerar man samman parenteserna kommer man att se att det verkligen
handlar om en 3:e-gradsekvation. Men utför vi det får vi en besvärligare situation. Nej, istället
förstår vi att x1 = 1 är en rot. De andra två får vi genom att lösa x2 − 5x + 6 = 0
x2 − 5x +q6 = 0
x = 52 ±
x = 25 ±
x2 = 2
x3 = 3
25
4
−
6·4
4
1
2
Svar: x1 = 1, x2 = 2 och x3 = 3
Läxa Lösning 63.
x3 =√125
x = 3 125
x1 = 5
En tredjegradsekvation har, som vi känner till, tre rötter, reella och imaginära tillsammans. Här är
endast en reell, x1 = 5. De andra två behöver vi inte bry oss om!
Svar: x1 = 5
Läxa Lösning 64. Vi har inget bättre verktyg än att gissa oss fram. Det ska inte behövas så många
gissningar förrän men hittar x = −2, som är en rot, ty
V.L. (−2)3 + 8 ≡ 0
H.L. (−2) + 2 ≡ 0
Svar: x = 2
Läxa Lösning 65. Ekvationen, som är av 4:e graden är faktoriserad så långt möjligt
(x + 1)(x − 2)(x + 3)(x − 4) = 0
och därför är det mycket enkelt att bestämma rötterna.
Svar: x1 = −1, x2 = 2, x3 = −3, x4 = 4
Läxa Lösning 66. Denna ekvation är en av alla 4:e-gradsekvationer vi kan lösa. Anledningen är
att den saknar x3 och x-term. Vi substituerar t = x2 och får ekvationen
t2 − 6t + 5
t
t
t1
t2
=
=
=
=
=
0 √
3± 9−5
3±2
5
1
Med dessa två rötter går vi vidare och löser de två ekvationerna
x2
x
x1
x2
x2
x
x3
x4
=
=
=
=
=
=
=
=
5√
±
√ 5
5
√
− 5
1√
± 1
1
−1
√
√
Svar: x1 = − 5, x2 = 5, x3 = 1, x4 = −1,
Håkan Strömberg
75
KTH STH
Läxa Lösning 67. Ekvationen x4 + x2 − 2 = 0 kan lösas genom att substituera x2 = t.
t2 + t − 2 =
t =
t =
t1 =
t2 =
x2
x
x1
x2
x2
x
=
=
=
=
=
=
0
− 21 ±
− 21 ±
−2
1
q
1
4
+
8
4
3
2
1
±1
1
−1
−2√
± −2
reell lösning saknas
Ekvationen har endast två reella rötter. En 4:e-gradsekvation kan endast ha 4, 2 eller 0 reella rötter
(alltså aldrig ett udda antal).
Svar: x1 = 1 och x2 = −1
Läxa Lösning 68.
Vi testar och ser att
Svar: x = 81
√
√ x2 =
( x) =
x =
√
81 = 9, vilket betyder att x = 81 är en äkta rot
Läxa Lösning 69.
√
=
√ x
( x)2 =
x =
Vi testar roten x = 16 och får
lösningar.
Läxa Lösning 70.
√
−4
(−4)2
16
16 6= −4, ty 4 6= −4. x = 16 är en falsk rot. Svar: Ekvationen saknar
√
√ x + 12
( x + 1)
x+1
9x2 + 29x + 24
24
x2 + 29
9 x+ 9
=
=
=
=
=
x =
x =
x =
Ekvationen har inga reella rötter.
Svar: Ekvationen saknar lösning
Håkan Strömberg
9
92
81
3x + 5
(3x + 5)2
9x2 + 30x + 25
0
0
q
29
29 2
− 18
±
− 24
18
9
q
841
24·36
29
− 18 ± 324 − 324
q
29
23
− 18
± − 324
76
KTH STH
Läxa Lösning 71.
√
x − 1 + √x + 1
√ x+1
( x + 1)2
x+1
x2 − 11x + 24
=
=
=
=
=
x
=
x
x
x1
x2
3−1+
8−1+
11
2
11
2
11
2
=
=
=
=
Vi testar rötterna först x = 3
x = 3 är äkta. Vi testar x = 8
4
5−x
(5 − x)2
25 − 10x + x2
0
q
3
8
√
±
±
±
121
4
q
−
24·4
4
25
4
5
2
3+1≡4
√
8 + 1 ≡ 10
vilket betyder att x = 8 är falsk.
Svar: x = 3
Läxa Lösning 72.
Vi testar x = 14
och x = 6
√
x − 2 − 4√x − 5
4√x − 5
x−5
√
( x − 5)2
x−5
16x − 80
x2 − 20x + 84
x
x
x1
x2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0
x−2
x−2
4
x−2 2
4
x2 −4x+4
16
2
x − 4x + 4
0
√
10 ± 102 − 84
10 ± 4
14
6
√
14 − 2 − 4 14 − 5 ≡ 0
√
6−2−4 6−5≡0
Båda rötterna är äkta!
Svar: x1 = 14 och x2 = 6
Läxa Lösning 73.
Håkan Strömberg
√
3−
√ x − 12
x − 1)
(3
−
√
9−6 x−1+
√x − 1
6 x−1
√
( x − 1)2
x−1
4(x − 1)
4x − 4
x2 − 6x + 5
x
x
x1
x2
77
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
√
√4x + 5
( 4x + 5)2
4x + 5
3x − 3
3x−3 2
6
(x−1)2
22
2
x − 2x + 1
x2 − 2x + 1
0 √
3± 9−5
3±2
5
1
KTH STH
Vi kan i ett tidigt stadium se att x1 = 1, något vi inte utnyttjat här. Först testar vi x1 = 5
√
√
3 − 5 − 1 6= 20 + 5
x1 = 5 är falsk. Däremot är x2 = 1 äkta
3−
√
√
1−1≡ 4+5
Svar: x = 1
Läxa Lösning 74. Eftersom termerna inte har någon gemensam faktor finns inget att bryta ut.
Återstår bara att lösa ekvationen
x2 + x − 12q= 0
x = − 12 ±
x = − 12 ±
x = − 12 ±
x1 = −4
x2 = 3
1
q4
+
4·12
4
49
4
7
2
Svar: x2 + x − 12 ≡ (x − 3)(x + 4)
Läxa Lösning 75. Vi inleder med att bryta ut så långt det går
3x2 + 6x − 72 ≡ 3(x2 + 2x − 24)
För att få tag i faktorerna har vi att lösa x2 + 2x − 24 = 0
x2 + 2x − √
24 = 0
x = −1 ± 1 + 24
x = −1 ± 5
x1 = 4
x2 = −6
Som ger (x − 4)(x + 6). Tillsammans med den utbrutna 3 får vi så till sist
Svar: 3(x − 4)(x + 6)
Läxa Lösning 76.
(x2 − x − 2)(x2 + 5x + 6)
Här måste vi lösa två andragradsekvationer
x2 − x − q
2=0
x = 12 ±
x = 21 ± 23
x1 = 2
x2 = −1
och
1
4
+
x2 + 5x + 6q= 0
x = − 52 ±
x = − 25 ±
x1 = −3
x2 = −2
25
4
8
4
−
24
4
1
2
Vi kan nu skriva ner de fyra faktorerna.
Svar: (x − 2)(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Håkan Strömberg
78
KTH STH
Läxa Lösning 77. Vi startar att bryta ut så mycket vi kan ur 5x2 + 5x + 10 och får 5(x2 + x + 2). I
nästa steg löser vi ekvationen x2 + x + 2 = 0.
x2 + x + 2 =
0
− 12 ±
x =
− 21 ±
x =
q
1
q4
−
8
4
−7
4
Ekvationen saknar reella rötter, vilket i sin tur betyder att polynomet inte kan faktoriseras.
Svar: Ingen faktorisering möjlig.
Läxa Lösning 78.
√
x − √x − 3
√ x−3
( x − 3)2
x−3
x2 − 23x + 124
=
=
=
=
=
11
x − 11
(x − 11)2
x2 − 22x + 121
0
q
23 2
±
−
= 23
2
2
q
33
= 23
2 ±
4
x
x
=
=
x1
x2
23
2
23
2
+
−
√
33
√2
33
2
124·4
4
≈ 14.37
≈ 8.63
Vi har hittat två rötter som vi måste testa och det verkar inte speciellt enkelt. Vi har att testa om
s
√
√
33
23
33
23
+
−
+
− 3 ≡ 11
2
2
2
2
och
23
−
2
√
33
−
2
s
23
−
2
√
33
− 3 ≡ 11
2
Om vi tillåter oss att använda de approximativa rötterna
√
14.37 − 14.37 − 3 ≈ 11.00
och
8.63 −
√
8.63 − 3 ≈ 6.26
kan vi anta √
att det finns en äkta rot och att den är
23 + 33
Svar:
2
Håkan Strömberg
79
KTH STH
Problem 78.
a3 + 3a2 + 3a + 1 a2 − 10a + 25
+
a2 + 2a + 1
5−a
Lösning:
a3 + 3a2 + 3a + 1 a2 − 10a + 25
+
≡
a2 + 2a + 1
5−a
1
(a + 1)3 (a − 5)2
+
≡
(a + 1)2
5−a
2
(a + 1) +
(a − 5)2
≡
(−1)(a − 5)
3
(a + 1) −
(a − 5)2
≡
(a − 5)
4
(a + 1) − (a − 5) ≡
5
6
Här gäller det att se att a3 + 3a2 + 3a + 1 ≡ (a + 1)3 , vilket är lite ovanligare än de två andra
uttrycken som vi identifierar som uttryck i första och andra kvadreringsregeln (1). I (2) och (3) fixar
vi till parentesen i andra termens nämnare så att det går att förkorta. Svar: 6.
Figur 10:
Håkan Strömberg
80
KTH STH
Problem 79.
1
1
−
a+b a−b
1
1
+
b+a b−a
Lösning:
1
1
−
a+b a−b ≡
1
1
+
b+a b−a
1
(a − b) − (a + b)
a 2 − b2
≡
(b − a) + (b + a)
b2 − a 2
2
−2b
− b2
≡
2b
(b − a)(b + a)
3
a2
(b − a)(b + a)
−2b
·
≡
2
−b
2b
a2
4
(−1)(a − b)(a + b)
−1
·
≡
(a − b)(a + b)
1
5
(−1)(−1) ≡ 1
Ett dubbelbråk där vi först hanterar täljare och nämnare för sig (1) och (2). Nu är det dags att skriva
om bråket som en multiplikation i stället för en division. Förkortning av parenteserna är ej direkt
möjlig innan vi använder att (x − y) ≡ (−1)(y − x). Svar: 1
Problem 80.
Håkan Strömberg
3a + (1 + a)2 2 − 3a 4a − 2
+
+ 2
a+1
a−1
a −1
81
KTH STH
Lösning:
3a + (1 + a)2 2 − 3a 4a − 2
+
+ 2
≡
a+1
a−1
a −1
1
4a − 2
(a − 1)(3a + (1 + a)2 ) (2 − 3a)(a + 1)
+
+
≡
(a − 1)(a + 1)
(a − 1)(a + 1)
(a − 1)(a + 1)
2
(a − 1)(3a + (1 + a)2 ) + (2 − 3a)(a + 1) + 4a − 2
≡
(a − 1)(a + 1)
3
(−1 − 4a + 4a2 + a3 ) + (2 − a − 3a2 ) + 4a − 2
≡
(a − 1)(a + 1)
4
a2 (a + 1) − (a + 1)
(a2 − 1)(a + 1)
(a − 1)(a + 1)(a + 1)
a3 + a2 − a − 1
≡
≡
≡
≡
(a − 1)(a + 1)
(a − 1)(a + 1)
(a − 1)(a + 1)
(a − 1)(a + 1)
5
a+1
Med den vana vi nu har, ser vi direkt att minsta gemensamma nämnaren är (a + 1)(a − 1). Vi
förlänger de tre bråken (1) och eftersom nämnarna redan från början är ganska komplicerade får
vi en del jobb i (2), (3). I (4) kan det dock bli stopp eftersom vi har svårigheter att faktorisera
a3 + a2 − a − 1. Vi delar upp uttrycket i två delar och kan till sist bryta ut (a + 1). Efter förkortning
får vi Svar: a + 1.
Figur 11:
Håkan Strömberg
82
KTH STH
Problem 81.
a 2 + b2
a b
+ +2−
b a
ab
Lösning:
a 2 + b2
a b
+ +2−
≡
b a
ab
1
a · a b · b ab · 2 a2 + b2
+
+
−
≡
a · b b · a ab · 1
ab
2
a · a + b · b + ab · 2 − (a2 + b2 )
≡
ab
3
a2 + b2 + 2ab − a2 − b2
≡
ab
4
2
Borde nu efter all träning vara ganska enkelt. Den gemensamma nämnaren blir ab. Vi förlänger
och skriver uttrycket på gemensamt bråkstreck (1) och (2). Vi reducerar sedan nämnaren i (3) och
får efter förkortning Svar: 2.
Håkan Strömberg
83
KTH STH
Sidor i boken
49-50, KB 2
Algebraiska uttryck och algebraiska metoder.
Implikation och ekvivalens.
Definitionsområde
Vi startar med ett uttryck
2(x + 1) 4 + x
3x
+
+ 2
x+1
3−x
x
Om man nu vill bestämma uttryckets värde för olika värden på x, finns det då några ’känsliga’
värden?
Ja det finns tre stycken x = −1, x = 3 och x = 0. Försöker man bestämma uttrycket för något av
dessa x-värden kommer man att utför division med 0, för något av termerna.
Vi säger att uttrycket är odefinierat för de tre x-värdena eller att uttrycket är
definierat för alla x 6= −1, x 6= 3 och x 6= 0.
Exempel 45. Vi studerar följande ekvation
2x
3
1
−
=
x−2 x−2
x−2
Här är lösningen
3
2x
−
=
2
x − 2 x −
3
2x
=
−
(x − 2)
x−2 x−2
1
x−2 1
(x − 2)
x−2
2x − 3 =
1
2x
=
4
x
=
2
Ekvationen ger roten x = 2. Men innan vi ger detta svar, ser vi att x = 2 inte är godkänd rot
eftersom x = 2 inte hör till definitionen. Ekvationen saknar lösning!
Exempel 46. Ett nytt exempel
3
1
3
+
=
x + 1 (x + 1)(x − 2)
x−2
Håkan Strömberg
84
KTH STH
(x + 1)(x − 2)
3
3
+
x + 1 (x + 1)(x − 2)
3(x − 2) + 3
3x − 6 + 3
2x
x
=
(x + 1)(x − 2)
=
=
=
=
x+1
x+1
4
2
1
x−2
Även den ekvationen saknar lösning eftersom x = 2 gör att andra termen i ekvationen blir odefinierad.
Exempel 47.
Läxa 79. Skriv om dessa uttryck som en kvadrat, (första eller andra kvadreringsregeln)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
4a2 − 12ab + 9b2
x2 + 10xy + 25y2
32x2 − 48xy + 18y2
27a2 + 72ab + 48b2
x4 − 2x2 y3 + y6
3a3 + 6a2 b + 3ab2
8x5 y − 24x3 y3 + 18xy5
ÖvningsKS 1
Läxa 80. Förenkla så långt möjligt
54 + 36x + 6x2 72 − 8x2
−
3x + 9
12 − 4x
Läxa 81. Förenkla så långt möjligt
b
a
+
−1
2b 2a
2
2
a −b
2ab
Läxa 82. Lös ekvationen
(x + 1)2 + (x − 1)2 + (x − 1)(x + 1) = 4x2 − 3
Läxa 83. Lös ekvationen
4x4 + 8x2 − 60 = 0
Läxa 84. Faktorisera
3x3 + 3x2 − 60x
Läxa 85. Lös ekvationen
x+1+
√
x=3
Läxa Lösning 79.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Håkan Strömberg
(2a − 3b)2
(x + 5y)2
2(4x − 3y)2
3(3a + 4b)2
(x2 − y3 )2
3a(a + b)2
2xy(2x2 − 3y2 )2
85
KTH STH
Lösningar ÖvningsKS 1
Läxa Lösning 80.
54 + 36x + 6x2
72 − 8x2
6(9 + 6x + x2 ) 8(9 − x2 )
−
≡
−
≡
3x + 9
12 − 4x
3(x + 3)
4(3 − x)
8(3 − x)(3 + x)
6(3 + x)2
−
≡ 2(3 + x) − 2(3 + x) ≡ 0
3(x + 3)
4(3 − x)
Svar: 0
Läxa Lösning 81.
a
a2 + b2 − 2ab
b
b·b
2ab
a·a
+
−1
+
−
2b 2a
2ab
≡
≡ 2b · a 2a · b 2ab ≡
(a − b)(a + b)
(a − b)(a + b)
a 2 − b2
2ab
2ab
2ab
Läxa Lösning 82.
(x + 1)2 + (x − 1)2 + (x − 1)(x + 1)
x2 + 2x + 1 + x2 − 2x + 1 + x2 − 1
3x2 + 1
1+3
x
x1
x2
(a − b)2
2ab
a−b
·
≡
2ab
(a − b)(a + b)
a+b
=
=
=
=
=
=
=
4x2 − 3
4x2 − 3
4x2 − 3
x2√
± 4
2
−2
Svar: x1 = 2, x2 = −2
Läxa Lösning 83. Vi startar med att i ekvationen 4x4 + 8x2 − 60 = 0 substituera x2 = t och får
1
4
4t2 + 8t − 60
4t2 + 8t − 60
t2 + 2t − 15
t
t
t1
t2
=
=
=
=
=
=
=
0
0 · 14
0
√
−1 ± 1 + 15
−1 ± 4
3
−5
Återstår att lösa x2 = 3 och x2 = −5
2
√x
x2
x1
x2
x2
x
Svar: x1 =
=
=
=
=
=
=
3
√
√3
3
√
− 3
−5√
± −5
ingen lösning
√
√
3 och x2 = − 3
Läxa Lösning 84. Vi startar med att bryta ut så mycket som möjligt ur 3x3 + 3x2 − 60x som ger
3x(x2 + x − 20) Sedan löser vi ekvationen x2 + x − 20 = 0
Håkan Strömberg
x2 + x − 20
=
0
x
=
− 21 ±
x
x
x1
x2
=
=
=
=
− 21 ±
− 21 ±
4
−5
86
q
1
q4
+
20·4
4
81
4
9
2
KTH STH
Vi kan nu faktorisera ekvationen till (x − 4)(x + 5). Uttrycket insatt i det ursprungliga ger
3x3 + 3x2 − 60x ≡ 3x(x2 + x − 20) ≡ 3x(x − 4)(x + 5)
Svar: 3x(x − 4)(x + 5)
Läxa Lösning 85.
√
x + 1 + √x
√ x
( x)2
x
x2 − 5x + 4
=
=
=
=
=
3
2−x
(2 − x)2
4 − 4x + x2
0 q
5
2
x =
5
2
5
2
x =
x =
x1 = 1
x2 = 4
±
±
±
25
4
q
−
4·4
4
9
4
3
2
Vi testar så rötterna, först x1 = 1
V.L.
H.L.
V.L. ≡ H.L.
1+1+
3
√
1≡3
så x2 = 4
V.L.
4+1+
H.L.
3
V.L. 6= H.L.
√
4≡7
Svar: x = 1
Problem 82.
a3 + 3a2 − a − 3
a2 − 1
Lösning:
a3 + 3a2 − a − 3
≡
a2 − 1
1
a2 (a + 3) − (a + 3)
≡
a2 − 1
2
(a + 3)(a2 − 1)
≡
a2 − 1
3
a+3
Samma knep som vi använde i slutfasen av uppgift 23. Dela upp nämnare i två lämpliga delar så
att vi till sist kan bryta ut (a + 3) (1). Därmed är täljaren faktoriserad och en av faktorerna visar sig
finnas även i nämnaren (2). Återstår endast att förkorta och Svar: a + 3
Håkan Strömberg
87
KTH STH
Problem 83.
a + 2b
a2 − 4b2
· 2
a − 2b a + 4b2 + 4ab
Lösning:
a2 − 4b2
a + 2b
· 2
≡
a − 2b a + 4b2 + 4ab
1
a + 2b (a − 2b)(a + 2b)
≡
·
a − 2b
(a + 2b)2
2
(a + 2b)(a − 2b)(a + 2b)
≡
(a − 2b)(a + 2b)2
3
1
Aningen svårare än i tidigare uppgifter att känna igen kojugatuttrycket och det som härrör från
första kvadreringsregeln (1). När det väl är gjort är det bara att förkorta Svar: 1
Problem 84.
a 2 − b2
a2 + 2ab + b2
·
a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
a−b
Lösning:
a3
a2 + 2ab + b2
a 2 − b2
·
≡
2
2
3
+ 3a b + 3ab + b
a−b
1
(a − b)(a + b) (a + b)2
·
≡
(a + b)3
(a − b)
2
(a − b)(a + b)(a + b)2
≡
(a − b)(a + b)3
3
1
Åter en uppgift där det gäller att faktorisera täljare och nämnare. Uttrycket a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ≡
(a + b)3 är vi inte lika vana vid, som de två andra (1). När vi förkortat bråket återstår Svar: 1
Problem 85.
Håkan Strömberg
a − cd
(a − cd)2
a − cd
c−
+
d+
c−d
c−d
(c − d)2
88
KTH STH
Lösning:
a − cd
d+
c−d
a − cd
(a − cd)2
c−
+
≡
c−d
(c − d)2
1
cd −
d(a − cd) c(a − cd) (a − cd)2
(a − cd)2
+
≡
+
−
c−d
c−d
(c − d)2
(c − d)2
2
cd −
d(a − cd) c(a − cd)
+
≡
c−d
c−d
3
cd(c − d) − d(a − cd) + c(a − cd)
≡
c−d
4
c2 d − cd2 − ad + cd2 + ac − c2 d
≡
c−d
5
ac − ad
a(c − d)
≡
≡
c−d
c−d
6
a
De två parenteserna måste multipliceras samman. Vi kan redan nu se att en av de då fyra bildade
termerna återfinns som sista term i uttrycket, med omvänt tecken (1). Återstår tre termer, med målet
att skriva på samma bråkstreck (2). Den gemensamma nämnaren är förstås (c − d). I (3) och (4)
arbetar vi med att reducera täljaren. Efter att ha brutit ut och förkortat i (5) får vi Svar: a
Håkan Strömberg
89
KTH STH
Sidor i boken
Ingen ny teori idag!
ÖvningsKS 2
Läxa 86. Förenkla så långt möjligt
ax ab
−
6
2
x
−b
3
Läxa 87. Förenkla så långt möjligt
x3 + xy2
x3 − 2x2 y
x2 + y2
2
x − 4xy + 4y2
Läxa 88. Lös ekvationen
x2 + 4x + 9 = 0
Läxa 89. Lös ekvationen
√
x − 3 = 2x − 6
Läxa 90. Lös ekvationen
(x + 2)2 − (x − 1)2 + 9x(x + 2)2 − 3 = 0
Läxa 91. Faktorisera polynomet
5x4 − 10x3 − 15x2
Läxa 92. Så en bonusuppgift, för de sugna. Förenkla så långt möjligt
y
x
+
y2 x2
1
1
1
−
+ 2
2
x
xy y
Det här är en svår uppgift, om man inte känner till att
x3 + y3 ≡ (x + y)(y2 − xy + x2 )
Kolla upp om den regeln finns med i formelsamlingen!
Lösningar ÖvningsKS 2
Läxa Lösning 86.
ax ab
ax 3ab
ax − 3ab
−
−
3
a
a(x − 3b)
6
2 ≡ 6
3·2 ≡
6
·
≡
≡
x
x
x
−
3b
3b
6
x
−
3b
2
−b
−
3
3
3
3
Håkan Strömberg
90
KTH STH
a
2
Läxa Lösning 87.
Svar:
x(x2 + y2 )
x3 + xy2
3
2
x x − 2y
x − 2y
x(x2 + y2 ) (x − 2y)2
x2 (x − 2y)
x − 2x y
≡ 2·
·
≡
≡
≡ 2
2
2
2
2
x (x − 2y) x2 + y2
x
1
x
x +y
x +y
2
2
2
x − 4xy + 4y
(x − 2y)
x − 2y
x
Läxa Lösning 88. Lös ekvationen
Svar:
x2 + 4x + 9 =
x =
x =
0
√
−2 ± √4 − 9
−2 ± −5
Svar: Ekvationen saknar reella rötter
Läxa Lösning 89.
√
√ x − 32
( x − 3)
x−3
4x2 − 25x + 39
1
2
4 (4x − 25x + 39)
39
x2 − 25x
4 + 4
=
=
=
=
=
=
x
=
x
=
x
x
x1
x2
=
=
=
=
2x − 6
(2x − 6)2
4x2 − 24x + 36
0
0 · 14
0
q
25 2
25
±
− 39·16
8
4·16
q 8
624
25
625
±
−
8
64
q 64
25
1
8 ±
64
1
25
±
8
8
13
4
3
Återstår att testa rötterna
V.L.
H.L.
V.L. ≡ H.L.
V.L.
H.L.
V.L. ≡ H.L.
q
q
2
3·4
13
4 − 4 ≡
13
· 13
4 −6 ≡ 2
√
3−3≡0
2·3−6 ≡0
1
4
−
≡
12
2
1
2
≡
1
2
Båda rötterna är äkta
13
Svar: x1 =
och x2 = 3
4
Läxa Lösning 90.
(x + 2)2 − (x − 1)2 − 9x(x + 2)2 − 3
x + 4x + 4 − (x2 − 2x + 1) − 9x(x2 + 4x + 4) − 3
x2 + 4x + 4 − x2 + 2x − 1 − 9x3 − 36x2 − 36x − 3
−9x3 − 36x2 − 30x
9x3 + 36x2 + 30x
3x(3x2 + 12x2 + 10)
2
Håkan Strömberg
91
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
KTH STH
x1 = 0. Vi går vidare med
1
3
3x2 + 12x2 + 10
3x2 + 12x2 + 10
x2 + 4x2 + 10
3
x
Svar: x1 = 0, x2 = −2 +
q
2
3
och x3 = −2 −
=
=
=
0
0·
0
=
−2 ±
1
3
x
=
−2 ±
x2
=
−2 +
x3
=
−2 −
q
q
q
4·3
3
−
10
3
2
q3
2
q3
2
3
2
3
Läxa Lösning 91. Vi startar med att bryta ut så mycket som möjligt ur 5x4 − 10x3 − 15x2 ,
5x2 (x2 − 2x − 3)
Vi går vidare med ekvationen x2 − 2x − 3 = 0
x2 − 2x − 3
x
x
x1
x2
=
=
=
=
=
0 √
1± 1+3
1±2
3
−1
Ekvationen kan nu skrivas som (x − 3)(x + 1). Tillsammans med de faktorer vi brutit ut får vi
Svar: 5 · x · x · (x − 3) · (x + 1)
Läxa Lösning 92.
x3 + y3
x · x2
y
y · y2
x
+ 2
+ 2 2
2
2
2
y
x
y ·x
x ·y
x2 · y2
≡ 2
≡
≡
2
2
1
1
1
xy
1·x
1·y
y − xy + x2
−
+
−
+
x2 xy y2
x2 · y2 xy · xy y2 · x2
y2 · x2
x3 + y3
y2 · x2
x3 + y3
(x + y)(y2 − xy + x2 )
·
≡
≡
≡x+y
x2 · y2 y2 − xy + x2
y2 − xy + x2
y2 − xy + x2
Håkan Strömberg
92
KTH STH
Viktigt inför KS1
• Vilken sal. I entrén finns anslaget listor som berättar i vilken sal du ska sitta.
• Försättsbladet. Förutom bladet med uppgifterna tilldelas du en plastmapp med ett försättsblad tillsammans med några rutade papper att räkna på. Fyll i namn, personnummer och
klassbeteckning. Innan du lämnar in tentan kryssar du får de uppgifter du lämnar in lösning
på.
• Hjälpmedel. Formelsamling, miniräknare, passare, gradskiva och linjal.
• Hur lång tid? Skrivtiden är 8 : 15 − 10 : 00, 1 timma och 45 minuter.
• Vad krävs för godkänt? Totalt består skrivningen av 6 uppgifter som var och en kan ge maximalt 2 poäng. Av de 12 poängen krävs 7 poäng för godkänt. Godkänd KS1 ger 4 bonuspoäng
på den ordinarie tentamen. Observera att man inte får tillgodoräkna dessa poäng vi eventuell
omtentamen.
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. Lösningarna skall vara tydliga och lätta att
följa. Införda beteckningar skall definieras. Uppställda samband skall motiveras. Skriv helst
med blyertspenna!
Aldrig mer än en uppgift per blad. Skriv aldrig på båda sidorna.
• Vad är en rättningsmall? På hemsidan, längst ned, finns en ’gammal’ KS1. På sista sidan
finns en tabell som berättar hur lösningarna bedöms. En liknande rättningsmall kommer att
finnas för denna KS.
Problem 86.
2
2 4 a+b
a+b
a2
−1
−2
b
a 2 − b2
a−b
Lösning:
2
2 4 a+b
a2
a+b
−1
−2
≡
b
a 2 − b2
a−b
1
a + b − 2b
b
2
a−b
b
3
(a − b)4
b4
4
b4
(a + b)2
(a − b)4
·
·
≡
b4
(a − b)2 (a + b)2 (a − b)2
5
1
4 4 a2 − (a2 − b2 )
a 2 − b2
b2
a 2 − b2
2 b4
(a2 − b2 )2
a+b
a−b
2 2
a+b
a−b
2
≡
≡
(a + b)2
(a − b)2
≡
Den som här direkt sätter igång att utveckla parenteserna som de ser ut får en lång väg fram till
målet. Vår strategi blir då istället, som så många gånger tidigare, att skriva termerna i de två första
parenteserna på samma bråkstreck (1). Efter reducering ser det ännu bättre ut (2). Nu kan vi låta
exponenterna verka på parentesernas innehåll (3). Efter att ha faktoriserat nämnaren i den mittersta
parenteserna, (a2 − b2 )2 ≡ (a − b)2 (a + b)2 (övertyga dig om det), är det dags att förkorta och få
Svar: 1
Håkan Strömberg
93
KTH STH
Problem 87.

1
1
1
2  a2 + 4b2
a
b
+
+ a
 −
2b
b
a
ab
b
a

Lösning:

1
1
2  a2 + 4b2
1
a
b
+
−
+
≡

a
2b
b
a
ab
b
a


1
2 1
1
a2 + 4b2
a
b + 1 + 1
≡

b − a
a
2b
ab
1
b
1
a

1
2
1
a
2b
1
−
+
+
ab ab 2b
a
3
2b
a
+
2b
a
4
4b2
a2
+
2ab 2ab
5
a2 + 4b2
ab
≡
· 2
2ab
a + 4b2
6
1
2
·
a2 + 4b2
≡
ab
ab
≡
a2 + 4b2
·
ab
≡
a2 + 4b2
Här måste man hålla reda på vad som är huvudbråkstreck – de som ligger i linje med ≡-tecknet.
För att förtydliga att det handlar om fyra dubbelbråk inne i parentesen förstärker vi dem genom att
skriva till nämnaren 1 på några (1). I (2) låter vi bråken gå över från division till multiplikation med
nämnarens inverterade värde. De två första termerna i parentesen tar ut varandra. Återstår att skriva
de två andra på gemensamt bråkstreck (3), (4) och (5). Efter förkortning återstår Svar: 12
Håkan Strömberg
94
KTH STH
Sidor i boken
114-115
Potenser
ab är en potens, där talet a är ett reellt tal > 0 kallad bas och b är ett reellt tal kallad exponent.
Istället för att skriva
skriver man normalt
n faktorer
}|
{
z
a · a ·...· a
an
Vi säger ’a upphöjt till n’.
För att räkna med potenser behöver man några (enkla) lagar
ax ay ≡ ax+y
ax
≡ ax−y
ay
y
((ax ) ≡ axy
ax bx ≡ (ab)x
a x
ax
≡
bx
b
a0 ≡ 1
1
ax
√
1
a2 ≡ a
a−x ≡
1
a3 ≡
1
an ≡
√
3
a
√
n
a
Vi tar några exempel.
Exempel 48.
a · a · b · a · a · b · b · a · a· ≡ a6 b3
Håkan Strömberg
95
KTH STH
Exempel 49.
a·a·b·a·a
a4−2
a2
a4 b
≡ 2 2 ≡ 2−1 ≡
b·b·a·a
b a
b
b
Exempel 50.
a7−4 b3−3
a3
a7 b3 c2
≡
≡ 2
4
4
3
4−2
a c b
c
c
Exempel 51.
1
1
1
x2 · y2 · x2 ≡ x ·
√
y
Exempel 52.
a a2 a3 a4 ≡ a10
Exempel 53.
a6
(a2 )3
≡ 3 ≡ a6−3 ≡ a3
aaa
a
Exempel 54.
a3 b3 c3
(abc)3
≡
≡ (abc)2
abc
abc
Exempel 55.
a−2
b3
≡ 2
−3
b
a
Exempel 56.
√
1
1
a2 ≡ a2 2 ≡ a2· 2 ≡ a
Problem 88. Bestäm
−2
2
3
Lösning:
−2
2
2−2
32
9
≡ −2 ≡ 2 ≡
3
3
2
4
Problem 89. Bestäm
1
25− 2
Lösning:
1
25− 2 ≡
1
25
1
2
1
1
≡√ ≡
5
25
Problem 90. Förenkla
(3x + 3x + 3x )2
Lösning:
(3x + 3x + 3x )2 ≡ (3 · 3x )2 ≡ (3x+1 )2 ≡ 32x+2 ≡ 9 · 32x
Problem 91. Förenkla
15x2 y−3 z5
5x−3 yz−4
Lösning:
15x2 y−3 z5
3x5 z9
≡
5x−3 yz−4
y4
Håkan Strömberg
96
KTH STH
Problem 92. Förenkla
1
1
1
2
a · a 2 · b− 3 · a − 3 · b 3
√
√
1
3
a · b 2 · ab
Lösning:
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
a · a 2 · b− 3 · a − 3 · b 3
a1+ 2 − 3 · b− 3 + 3
a1+ 2 − 3 · b− 3 + 3
a · a 2 · b− 3 · a − 3 · b 3
≡
≡
≡
≡
√
√
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
a · b 2 · ab
a3 · b2 · a2 · b2
a3+2 · b2+2
a3+2 · b2+2
7
5
6
a ·b
Problem 93. Förenkla
7
1
a6 · b3
≡
2
5
a6−6
≡
1
b1− 3
a6
b
2
3
1
≡
a3
b
2
3
≡
r
3
a
b2
2
1
1
1
1
2
x3 + x3 y3 + y3
x3 − y3
Lösning:
1
1 2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
x3 − y3
x3 + x3 y3 + y3 ≡ x3 x3 + x3 x3 y3 + x3 y3 − y3 x3 + y3 x3 y3 + y3 y3 ≡
1 2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
x + x3 y3 + x3 y3 − y3 x3 + x3 y3 + y ≡ x + x3 y3 + x3 y3 − y3 x3 − x3 y3 − y ≡ x − y
Förenkla
Problem 94.
a−1 b
1
2
−2
a 2 b− 3
−3 − 31
a
b−1
Lösning:
a−1 b
a
1
2
2
b− 3
a−3
b−1
−2
− 31
≡
−2
3
5
10
10
1
a− 2 b 3
a3 b−3
a2
a 3 b− 3 b 3
a 3 b− 3
≡
≡
≡
≡
a
a
a
a
b3
1
1
3
b
b3
Problem 95. Bestäm x
v s
u
u a a r a a x
t
=
b b b
b
Lösning:
a
b
Håkan Strömberg
1
a a 21 2
b
b
! 12

a
≡
b
a
3
2
3
b2
! 21  21
97
 ≡
3
a4
3
b4
! 12
3
≡
a8
3
b8
≡
a 38
b
KTH STH
Problem 96. Lös ekvationen
32x−1 + 27 = 10 · 3x
Lösning: Först skriver vi om ekvationen
32x · 3−1 + 27 = 10 · 3x
Vi substituerar så t = 3x och får
t2
3
+ 27
+ 27)
t2 + 81
t2 − 30t + 81
t
t
t1
t2
=
=
=
=
=
=
=
=
2
3( t3
10t
3 · 10t
30t
0
√
15 ± 152 − 81
15 ± 12
27
3
Eftersom t = 3x så får vi 27 = 3x . Utan att kunna något om logaritmer får vi här x = 3. Den andra
lösningen 3 = 3x ger enkelt x = 1
Svar: x1 = 3 och x2 = 1
Problem 97. Lös ekvationen
239 − 238 = 22 · 23x
Lösning:
239 − 238
238 (23 − 1)
238
x
Läxa 93. Förenkla
Läxa 94.
=
=
=
=
22 · 23x
(23 − 1) · 23x
·23x
8
a3 b4 a b−2
a 5 b2 a b
√ √
√
3
a· a· 3b
√ √
a· b
Läxa 95. Bestäm värdet av
4
(−8) 3
Läxa 96. Bestäm värdet av
Läxa 97.
Håkan Strömberg
−2
3
2 −2
3
2
5
1
1
+ 2−4 − 3
2
2
98
KTH STH
Läxa 98. Förenkla
a2x + a2+x
ax
a2x − a4
Läxa 99. Lös ekvationen
3x+2 + 3x+3 = 108
Läxa 100.
2x · 4x · 8x · 16x · 32x = 260
Läxa 101. Lös ekvationen
22x − 40 · 2x + 256 = 0
Läxa 102. Beräkna
16
n+1
3n
4 ·4
8
5n
3
Läxa Lösning 93.
a3 b4 a b−2
1
a 4 b2
≡ 2
≡
a 5 b2 a b
a 6 b3
a b
1
a2 b
Läxa Lösning 94.
Svar:
√
√ √
1
1
1
5
1
1
3
a· a· 3b
a6−2
a3
a3 · a2 · b3
≡ 1 1 ≡ 1
≡
√ √
1
1
a· b
a2 · b2
b2−3
b6
1
Svar:
a3
1
b6
Läxa Lösning 95.
4
4
(−8) 3 ≡ ((−2)3 ) 3 ≡ (−2)4 ≡ 16
Normalt är alla baser positiva, så detta resultat är lite tveksamt.
Svar: 16
Läxa Lösning 96.
−2
3
2 −2
3
(−2)2 3−2
4 22
4 4
16
≡
· −2 ≡ · 2 ≡ · ≡
2
2
3
2
9 3
9 9
81
16
81
Läxa Lösning 97.
Svar:
5
1
15
1
1
1
1
1
1
2·1
4·1
1+2−4
1
1
+
− ≡
+
−
≡
≡−
+ 2−4 − 3 ≡ 5 + 4 − ≡
2
2
2
2
8
32 16 8
32 2 · 16 4 · 8
32
32
Svar: −
1
32
Håkan Strömberg
99
KTH STH
Läxa Lösning 98.
a2x + a2+x
ax · ax + a2 · ax
ax (ax + a2 )
ax + a2
1
ax
ax
ax
≡
≡
≡
≡ x
a2x − a4
(ax − a2 )(ax + a2 )
(ax − a2 )(ax + a2 )
(ax − a2 )(ax + a2 )
a − a2
1
− a2
Läxa Lösning 99.
Svar:
ax
3x+2 + 3x+3
3 · 32 + 3x · 33
3x (9 + 27)
3x
3x
x
x
=
=
=
=
=
=
108
108
108
108
36
3
1
Svar: x = 1
Läxa Lösning 100.
2x · 4x · 8x · 16x · 32x
2 · 22x · 23x · 24x · 25x
2x+2x+3x+4x+5x
215x
15x
x
x
=
=
=
=
=
=
260
260
260
260
60
4
Svar: x = 4
Läxa Lösning 101. Vi substituerar t = 2x och får
t2 − 40t + 256
t
t
t1
t2
Återstår att lösa två ekvationer
32
25
x1
8
23
x2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0
√
20 ± 400 − 256
20 ± 12
32
8
2x
2x
5
2x
2x
3
Svar: x1 = 5 och x2 = 3
Läxa Lösning 102.
16
3n
4
8
· 4n+1
5n
3
≡
24·
3n
4
· 22(n+1)
23·
5n
3
≡
23n · 22n+2
≡ 23n · 22n · 22 · 2−5n ≡ 23n+2n−5n · 4 ≡ 20 · 4 ≡ 4
25n
Svar: 4
Håkan Strömberg
100
KTH STH
Sidor i boken
116-118
Kvadratrötter. Absolutbelopp
Kvadratrötter
Kvadratroten ur ett tal är ett positivt tal
√ √
√
( a)2 ≡ a · a = a
Lägg märke till att
√
36 = 6, men att x2 = 36 har rötterna x1 = 6 och x2 = −6.
Då
kan vi överföra
a≥0
√
1
a ≡ a2
√
1
a till a 2 och därefter använda potenslagarna, vilket ger oss
√
√ √
1
1
1
a · b ≡ a 2 · b 2 ≡ (a · b) 2 ≡ ab
och
√
1
a 21 r a
a
a2
√ ≡ 1 ≡
≡
b
b
b
b2
Exempel 57.
q
√
√
· a·b
· b ≡ a · a · b ≡ a2 b
a·b·a·b·a·a ≡ a·a·a·a·b·b≡ a
· a·a
|{z}
|{z}
|{z}
Exempel 58.
Alternativ lösning:
√
√
144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2 · 2 · 3 = 12
√
144 =
√
√
√
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2 · 2 · 3 = 12
Alternativ lösning:
√
√
144 = 12 · 12 = 12
Kommentar: Sök par av faktorer i talet.
Rötter allmänt
Till exempel är
√
1
3
a ≡ a3
eller
√
1
n
a ≡ an
där n ≥ 2 och heltal.
Exempel 59. Beräkna
√
3
8000 =
√
3
20 · 20 · 20 = 20
Kommentar: För kubikrötter gäller det att hitta tripplar av faktorer i talet.
Håkan Strömberg
101
KTH STH
Exempel 60. Beräkna
q
p
√
(−5)2 = (−5)(−5) = 25 = 5
Kommentar: (−a)2 är förstås a2
Exempel 61. Beräkna
√
− 52 = −5
Kommentar: Det inledande minustecknet har inget med
Exempel 62. Beräkna
√
52 att göra
√
√
√
√
5 · 20 = 5 · 20 = 100 = 10
√
√ √
Kommentar: Vi använder oss av a · b = ab
Exempel 63. Beräkna
√
√
√
2 5+ 5=3 5
Exempel 64. Beräkna
√
√
√
√
√
√
√
20 − 5 = 2 · 2 · 5 − 5 = 2 5 − 5 = 5
Exempel 65. Beräkna
Exempel 66. Beräkna
p
√
√
122 + 92 = 144 + 81 = 225 = 15
r
√
20
20 √
√ =
= 4=2
5
5
Exempel 67. Beräkna
√
√
√
√
5 3 · 6 27 = 5 · 6 · 3 · 27 = 30 81 = 30 · 9 = 270
Exempel 68. Att förlänga med ett konjugatuttryck för att slippa rotuttryck i nämnaren
√
√
√
1
3+1
3+1
3+1
√
√
≡
≡ √
≡
(3 − 1)
2
3−1
( 3 − 1)( 3 + 1)
Problem 98. Beräkna
Lösning:
Svar:
4
15
√
2 20
√
5 45
√
√
√
2 20
2 2·2·5
2·2 5
4
√ = √
√ =
=
15
5 45
5 3·3·5
5·3 5
Problem 99. Beräkna
10
Lösning:
10
√ 2
√
√
3
7 − 2 169 − 144 + 4 8
√ 2
√
√
√
√
3
3
7 − 2 169 − 144 + 4 8 = 10 · 7 − 2 25 + 4 2 · 2 · 2 = 70 − 2 · 5 + 4 · 2 = 70 − 10 + 8 = 68
Svar: 68
Håkan Strömberg
102
KTH STH
Problem 100. Beräkna
r
4
16
81
Lösning:
r
4
Svar:
2
3
Problem 101. Förenkla
Lösning:
Svar:
√
3
16
=
81
r
4
2
2·2·2·2
=
3·3·3·3
3
q
√
7
x2 · 3 x
q
6
7 17
71
17
√
√
1
1
1
7
x2 · 3 x ≡ x2 · x 3
≡ x3 · x3
≡ x3
≡ x3 ≡ 3 x
x
Problem 102. Förenkla
√
√ √
√
( 3 x + 3 y)( 3 x − 3 y)
Lösning:
√
√ √
√
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
2
1
( 3 x + 3 y)( 3 x − 3 y) ≡ (x 3 + y 3 )(x 3 − y 3 ) ≡ x 3 − x 3 y 3 + y 3 x 3 − y 3 ≡ x 3 − y 3
2
2
Svar: x 3 − y 3
Problem 103. Beräkna
Lösning:
p
√
3
−27 = 3 (−3)(−3)(−3) = −3
Svar: −3
Problem 104. Förenkla
Lösning:
Svar:
√
3
x−
√
3
−27
√
3 y
p
√
3
x2 − 3 y2
√
√
3
x+ 3y
p
√
√
√ √
√
3
√
( 3 x − 3 y)( 3 x + 3 y)
√
x2 − 3 y2
√
√
≡
≡ 3x− 3y
√
√
3
3
3
3
x+ y
x+ y
Problem 105. Beräkna exakt
√ √
√
√
6
6
( 8 + 2)( 8 − 2)
Lösning:
√
√ √
√
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
6
6
( 8 + 2)( 8 − 2) ≡ (8 6 + 2 2 )(8 6 − 2 2 ) ≡ 8 6 − 8 6 · 2 2 + 2 2 · 8 6 − 2 ≡ 8 3 − 2 ≡ (23 ) 3 − 2 ≡ 0
Svar: 0
Håkan Strömberg
103
KTH STH
Problem 106. Beräkna exakt
√
√
√
3
3
3
3 4 − 2 32 + 108
Lösning:
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3 4−2 32+ 108 ≡ 3·4 3 −2 25 + 2 · 2 · 3 · 3 · 3 ≡ 3 22 −2·3 22 +3 22 ≡ 4(1−2+3) ≡ 2 4
√
Svar: 2 3 4
Problem 107. Lös ekvationen
Lösning:
√
√
x− 3
x+ 3
√ =
x
x− 2
√
3
√
x−
2
√ !
√
x− 3
√
x(x − 2)
x− 2
√
x(x − 3)
√
x2 − x 3
√
−x 3
√
6
√
6
=
x
=
x
=
x
=
x
=
x
=
x−
=
=
=
=
=
=
√
x+ 3
x
√
x(x − 2)
√ !
x+ 3
x
√
√
(x − 2)(x + 3)
√
√
√ √
x2 + x 3 − x 2 − 2 3
√
√
√
x 3−x 2− 6
√
√
√
x 3+x 3−x 2
√
√
x(2 3 − 2)
√
√ 6√
2 3−
√ 2√
√
6(2 3+ 2)
√
√
√
√
(2 3− 2)(2 3+ 2)
√
√
2 18+ 12
12−2
√
√
2·3 2+2 3
10
√
√
3 2+ 3
5
√
√
3 2+ 3
Svar: x =
5
Läxa 103. Förenkla
√
a 2 · b3 · a 5 · b4
Läxa 104. Beräkna exakt
√
Läxa 105. Beräkna exakt
√
√
27 + 48
Läxa 106. Förenkla
√
10 · 12
√
6
√
4
64a7 b
√
4
4a3 b9
Håkan Strömberg
104
KTH STH
Läxa 107. Förenkla
√ √
a· a
√
a2
Läxa 108. Förenkla
√
√
3
4
a6 + a a4
Läxa 109. Förenkla
q
q
√
√
4
3
3
a 2 b · a b2 a 5 b
Läxa 110. Förenkla
1
b3
√
10
b−3
Läxa 111. Lös ekvationen
Läxa Lösning 103.
√
1+ x
√ =2
1− x
√
a 2 · b3 · a 5 · b4 ≡
√
√
a7 · b7 ≡ a3 b3 ab
Läxa Lösning 104.
r
√
√
√
√
√
10 · 12
10 · 12
10 · 12 √
√
√
= 20 = 2 · 2 · 5 = 2 5
=
=
6
6
6
Läxa Lösning 105.
√
√
√
√
√
√
√
√
√
27 + 48 = 3 · 3 · 3 + 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 3 3 + 2 · 2 3 = 3 3 + 4 3 = 7 3
Läxa Lösning 106.
r
r
√
4
7
4
2a
64a7 b
4 16a
4 64a b
√
≡
≡
≡ 2
4
3
9
8
3
9
4a
b
b
b
4a b
Läxa Lösning 107.
√
√ √
a· a
a2
√
≡ √ ≡1
2
a
a2
Läxa Lösning 108.
6
4
a 3 + a · a 4 ≡ a2 + a2 ≡ 2a2
Läxa Lösning 109.
q
q
1
31 14
√
√
31 4
4
3
2
1
5
1
3
5
2 1
2
2
5
2
a b · a b a b ≡ a b2
· ab a b
≡ a 3 · b 6 · a b2 a 3 b 3
≡
14
8
√
2
2
1
7
1
8
7
8
2
8
7
16
9
16
9
12
a 3 ·b 6 · a 3 · b 3
≡ a 3 ·b 6 ·a 12 ·b 12 ≡ a 12 ·b 12 ·a 12 ·b 12 ≡ a 12 ·b 12 ≡ a 12 ·b 12 ≡ a a4 b9
Läxa Lösning 110.
1
1
√
3
10
9
19
1
b3
b3
30
√
≡
b19
≡ b 3 · b 10 ≡ b 30 · b 30 ≡ b 30 ≡
3
10
−
−3
b
b 10
Håkan Strömberg
105
KTH STH
Läxa Lösning 111.
√
1+ x
√
1 − √x
√ 1+ x
√
(1 − x)
1 − √x
1 + √x
3 x
√
x
√ 2
( x)
x
Vi testar roten
1+
V.L.
H.L.
q
=
=
=
=
=
=
=
1
9
q
≡
2
√
2(1 − x)
√
2 − 2 x)
1
1
3
( 31 )2
1
9
4
3
2
3
1 − 19
2V.L. ≡ H.L.
≡2
och ser den är äkta.
1
Svar: x =
9
Håkan Strömberg
106
KTH STH
Sidor i boken
8-9, 90-93
Absolutbelopp
Men först lite om Absolutbelopp. |x|, kallas absolutbeloppet av x, och är avståndet för x till origo
på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta gäller för talet −4. Vi skriver
|4| ≡ | − 4| ≡ 4.
Exempel 69. Från figuren får vi
| − 3 − 0| ≡ |0 − (−3)| ≡ 3
| − 4 − 1| ≡ |1 − (−4)| ≡ 5
| − 4 − (−2)| ≡ | − 2 − (−4)| ≡ 2
|4 − 2)| ≡ |2 − 4| ≡ 2
Från detta ser vi att om vi har två tal a och b och vill bestämma avståndet på tallinjen mellan dem
skriver vi |a − b|. Detta fungerar även om vi inte vet vilket av talen som är störst.
Exempel 70. Värdet hos de två talen a 6= 0 och b 6= 0 är hemliga. Vilket är då troligtvis störst
|a + b|, |b + a| eller |a| + |b|?
För det första |a + b| ≡ |b + a|. Återstår att jämföra |a + b| och |a| + |b|.
a > 0, b > 0
a < 0, b < 0
a < 0, b > 0
a > 0, b < 0
Exempel 71. Lös ekvationen
⇒
⇒
⇒
⇒
|a + b| = |a| + |b|
|a + b| = |a| + |b|
|a + b| < |a| + |b|
|a + b| < |a| + |b|
|x + 3| = 8
Det är enkelt att se att x = 5 är en lösning. Men finns det fler? Ja, om x = −11 är ju | − 11 + 3| = 8
Svar: x = 5 och x = −11
Håkan Strömberg
107
KTH STH
Exempel 72. Lös ekvationen
|x + 3| + |x − 4| = 11
Lösning:
Plan:
1 Ta reda på de xi för vilka var och en av de två termerna = 0.
2 Sortera de tre ’brytpunkterna’ och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln.
3 Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt tre ekvationer.
4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall.
Genomförande:
1,2 De två eftersökta x-värdena är x1 = −3 och x2 = 4
3 Vi har nu att studera följande tre intervall
x < −3
−3 ≤ x < 4
x≥4
4 Detta ger oss följande ekvationer
Då
x < −3
−3 ≤ x < 4
x≥4
Ekvation
−(x + 3) − (x − 4) = 11
(x + 3) − (x − 4) = 11
(x + 3) + (x − 4) = 11
Rot
x = −5
Ingen lösning
x=6
OK
Ja
Nej
Ja
Svar: x1 = −5 och x2 = 6 (se grafen nedan)
Avrundning och gällande siffror
Detta är inte matematik! Här handlar det om tillämpningar av matematiken inom till exempel fysik
och kemi. Däremot finns det ett ämne, numerisk analys, som handlar om detta.
Vi kopierar den text som finns i boken.
• Alla siffror skilda från 0 är gällande
• 0:or är gällande
– inuti ett tal
– i slutet av ett decimaltal
• 0:or är inte gällande i början av ett decimaltal
• 0:or i slutet av ett heltal kan vara gällande. Avgörs från fall till fall.
Svara exakt om du kan, så slipper du alla problem.
• Vid multiplikation och division av närmevärden (ej exakta värden). Låt det närmevärde som
har minst antal gällande siffror bestämma antalet siffror i slutresultatet.
• Vid addition och subtraktion av närmevärden (ej exakta värden). Låt det närmevärde som
har minst antal decimaler siffror bestämma antalet siffror i slutresultatet.
Håkan Strömberg
108
KTH STH
Exempel 73. Om vi säger att Sveriges folkmängd är 9 000 000 är det troligtvis inte 7 gällande siffror
(synonym signifikanta siffror ).
Om jag säger att jag förlorade 100 kr på ett vad, är sannolikheten ganska stor att beloppet har 3
gällande siffror.
Exempel 74. Kalle som mäter noga fick fram måtten
3.156
≈ 30.06
2.841 − 2.736
Pelle som är lite slarvigare avrundade innan han beräknade slutresultatet
3.16
≈ 31.60
2.84 − 2.74
Av detta ser vi att man inte ska avrunda för tidigt.
Exempel 75. Med hur många siffror ska man svara
0.0003 · 12.6 · 25.7 = 0.097146
Enligt reglerna är svaret 0.1
Likformighet
Om linjerna l1 och l2 är parallella, så är de två vinklarna v och u lika stora. u och v kallas likbelägna
vinklar.
Givet △ABC. Linjen l2 är en transversal som skär triangeln. Linjen l1 är en parallelltransversal som
också skär triangeln, men som dessutom är parallell med en av sidorna, BC i triangeln. △ADE är en
topptriangel till △ABC. ∠BAC är gemensam för △ABC och △ADE. Dessutom är ∠AED = ∠ABC
och ∠ADE = ∠ACB. De två trianglarna har lika stora vinklar, vilket innebär att trianglarna är
likformiga. Man skriver då △ABC ∼ △ADE. Tecknet ∼ betecknar just likformig.
Vi kan nu ställa upp följande förhållanden
AE
AD
ED
=
=
BC
AB
AC
Håkan Strömberg
109
KTH STH
Transversalsatsen: En transversal, som är parallell med en sida i en triangel delar de övriga sidorna
i samma förhållande.
Topptriangelsatsen: En transversal, som är parallell med en sida i en triangel, avskär en topptriangel som är likformig med den förra.
Exempel 76. I △ABC är sidorna a = 10, b = 12 och c = 8. En transversal är parallell med sidan
AB och skär sidan CB i D och sidan CA i E. Sträckan DE = 4. Bestäm CE och CD
Först måste vi rita en figur med beteckningar insatta. Sidan a = BC är den sida som står mot ∠A.
Sidan b = AC är den sida som står mot ∠B. Sidan c = AB är den sida som står mot ∠C.
Vi ställer nu upp förhållandena
CE
CD
4
4
=
=
12
8
10
8
De två ekvationerna ger direkt CE = 6 och CD = 5. Antag att storheten är cm
Svar: CE = 6 cm och CD = 5 cm.
Exempel 77. △ABC är rätvinklig, med sidorna AB = 3 cm, BC = 4 cm. Bestäm höjden BD
Lösning: Hur många trianglar ser du i figuren? Hur många av dem är rätvinkliga? Hur många är
likformiga?
Alla tre trianglarna är likformiga, △ABC ∼ △ADB ∼ △BDC, eftersom de alla innehåller dels en rät
vinkel och ytterligare en vinkel som ingår i en annan triangel.
Antag att BD = x. Sidan AC kan vi bestämma med hjälp av Pythagoras sats
p
AC = 32 + 42 ≡ 5
Betrakta nu trianglarna △ABC och △ADB. Vi får förhållandena
x
3
=
4
5
x = 12
5 .
Svar: BD =
12
5
Håkan Strömberg
cm
110
KTH STH
Problem 108. Beräkna
f(x) = |3x2 − 10x + 2|
för x = 5 och för x = 1
Lösning:
x=5
x=1
|3 · 52 − 10 · 5 + 2| ≡ |75 − 50 + 2| ≡ |27| ≡ 27
|3 · 12 − 10 · 1 + 2| ≡ |3 − 10 + 2| ≡ | − 5| ≡ 5
Svar: f(5) = 27 och f(1) = 5
Problem 109. Lös ekvationen
|3 − x| = 10
Lösning: Då x > 3 är det ekvationen
−(3 − x) = 10
som gäller, med roten x = 13. Då x ≤ 3 gäller ekvationen
(3 − x) = 10
med roten x = −7
Svar: x = 13 och x = −7.
Problem 110. Ht1953. I fyrhörningen ABCD är sidorna AB och AD vardera 12 cm, sidorna CB
och CD vardera 5 cm samt diagonalen AC 13 cm. Hur lång är diagonalen BD?
Lösning:
Eftersom 122 + 52 = 132 måste △ADC och △CBA vara rätvinkliga och dessutom kongruenta, med
de räta vinklarna ∠ADC och ∠ABC.
△ADO ∼ △ADC, eftersom de båda är rätvinkliga och har ∠CAD gemensam. Antag att OD = x.
Vi får förhållandet
12
x
=
5
13
som ger x =
60
13 .
Detta betyder att BD =
120
13
≈ 9.23
Svar: 9.23 cm
Håkan Strömberg
111
KTH STH
Problem 111. Vt1954. I en rektangel ABCD är sidan AB 4 cm och sidan BC 2 cm. På sidan AB
är en punkt E så belägen, att AE är 1 cm. Från E drages parallellt med diagonalen AC en linje, som
skär sidan BC i punkten F. Beräkna längden av sträckan EF.
Lösning:
△ABC ∼ △EBF. EB = 4 − 1 = 3. AC =
√
√
22 + 42 = 2 5. Antag att EF = x och vi får
x
3
√ =
4
2 5
ger x =
√
3 5
2
≈ 3.3541
Svar: EF = 3.35 cm
Problem 112. Ht1954. I ett parallelltrapets är de parallella sidorna 4 cm och 6 cm samt en av
diagonalerna 5.5 cm. Bestäm de delar, i vilka denna diagonal delas av den andra diagonalen.
Lösning:
55
. ∠COD = ∠AOB, ∠ODC = ∠OBA vilket betyder att △AOB ∼ △COD. Antag att
AC = 10
AO = x. Då är CO = 55
10 − x. Vi får då följande förhållande
55
10
som ger x =
x
4
=
6
−x
11
5
Svar: Diagonalen delas i delarna 2.2 och 3.3 cm
Problem 113. Ht1926. Från mittpunkterna D och E på respektive kateterna AB och AC i en
rätvinklig triangel drages normalerna DF och EG mot hypotenusan BC. Hur stora är de delar BF,
FG och GC, vari hypotenusan är delad, om AB = 3 dm och AC = 4 dm?
Lösning:
Håkan Strömberg
112
KTH STH
√
BC = 32 + 42 = 5. △CGE ∼ △ABC, då de båda är rätvinkliga och har ∠ACB gemensam. Antag
CG = x. Vi får
x
2
=
4
5
som ger x =
FB = y. Vi får
8
5.
△FBD ∼ △ABC, då de båda är rätvinkliga och har ∠ABC gemensam. Antag
3
y
= 2
3
5
som ger y =
9
10 .
Vi bestämmer så GF
5−
8
9
+
5 10
≡
5
2
Svar: Delarna är 2.5, 1.6 och 0.9 dm
Problem 114. Vt1920. I en rätvinklig triangel, vars kateter är 15 cm och 20 cm, är en kvadrat
inskriven, så att en av dess vinklar sammanfaller med triangelns räta vinkel och motstående hörn
är beläget på hypotenusan. Hur stor är kvadratens sida?
Lösning:
∠ADE = ∠ACB, betyder att △ABC ∼ △AED ∼ △DFC. Antag att kvadraten har sidan ED = BF =
x. Genom likformighet får vi
AE
DF
=
ED
FC
ger
15−x
x
=
(20 − x)(15 − x) =
x
20−x
x·x
2
=
x2
x
=
300
35
x
=
60
7
300 − 35x + x
Svar: Kvadratens sida är 8.57 cm
Läxa 112. Beräkna
f(x) = |x3 − 8x2 − x|
för x = 1 och x = 3.
Läxa 113. Lös ekvationen
|2x − 4| = 12
Håkan Strömberg
113
KTH STH
Läxa 114. Hur många gällande siffror har
a) 120003
d) 0.0007
b) 2.0000
e) 123.400
c)
f)
0.10003
304040.0
Läxa 115. Vt1915. Skuggan av en flaggstång på den horisontella marken är 17.2 m lång, samtidigt
som en lodrät, meterlång käpp kastar en skugga av 1.23 m. Hur hög är flaggstången?
Läxa 116. Ht1924. I en triangel, vars omkrets är 3 dm, är summan av de båda största sidorna 2.4
dm, och de båda minsta sidorna förhåller sig som 3 : 5. Hur stora är sidorna i en annan triangel,
som är likformig med den förra och vars omkrets är 4.8 dm?
Läxa 117. Vt1929. En person står 20 m från ett träd. För att bestämma trädets höjd håller han
en käpp lodrätt och så, att syftlinjen från ögat till trädets topp går genom käppens övre ändpunkt
A. Syftlinjen till trädets rotända skär käppen i en punkt, vars avstånd från A uppmätes till 31 cm.
Käppens avstånd från ögat uppmätes till 40 cm. Hur högt var trädet?
Läxa 118. Vt1930. Ett åkerfält har formen av en △ABC, där AB = 108 m, AC = 144 m och
BC = 180 m. Från en punkt D på AB, belägen 48 m från B, vill man tvärs över fältet sätta en
gärdesgård DE parallell med BC. Hur lång blir gärdesgården?
Läxa 119. Ht1937. I en △ABC är AB = 12 cm och AC = 9 cm. Höjden mot AB träffar AB i D, 7
cm från A. Höjden mot AC träffar AC, eller dess förlängning, i E. Beräkna AE.
Läxa Lösning 112.
x = 1 |13 − 8 · 12 − 1| ≡ |1 − 8 − 1| ≡ | − 8| ≡ 8
x = 3 |33 − 8 · 32 − 3| ≡ |27 − 72 + 3| ≡ | − 48| ≡ 48
Svar: f(5) = 8 och f(1) = 48
Läxa Lösning 113. Då x < 2 är det ekvationen
−(2x − 4) = 12
som gäller, med roten x = −4. Då x ≥ 2 gäller ekvationen
(2x − 4) = 12
med roten x = 8
Svar: x = −4 och x = 8.
Läxa Lösning 114.
a) 6
d) 1
b) 5 c)
e) 6 f)
5
7
Läxa Lösning 115.
Håkan Strömberg
114
KTH STH
AC
AB
= ′ ′
A ′B ′
AC
Antag att AC = x
1720
x
=
100
123
med roten x = 172000
≈ 1398.37 cm
123
Svar: Flaggstången är 14 m
Läxa Lösning 116. Antag att sidorna är x > y > z.


x+y


x+y+z


y

Vi får då ekvationssystemet
z
=
24
10
=
3
=
5
3
ger z = 35 , y = 1 och x = 75 . Sidorna i den andra triangeln är
48
10
3
≡
8
5
gånger större än i den första triangeln. Sidorna är då
24 8 112
25 , 5 , 25 .
Svar: De efterlysta sidorna är 0.96 dm, 1.6 dm och 2.24 dm
Läxa Lösning 117.
Antag att trädet är x cm. Med hjälp av likformighet får vi förhållandena
x
2000
=
31
40
med roten x = 1550 cm.
Svar: Trädet är 15.5 m högt.
Läxa Lösning 118.
ED är en parallelltransversal. Topptriangelsatsen ger
60
x
=
180
108
ger x = 100
Svar: 100 m
Håkan Strömberg
115
KTH STH
Läxa Lösning 119.
Antag att AE = x. △AEB ∼ △ACD, ty ∠CAD är gemensam och ∠CDA = ∠AEB = 90◦ . Förhållandet blir då
12
x
=
7
9
som ger x =
28
3
Svar: AE =
28
≈ 9.33 cm
3
Håkan Strömberg
116
KTH STH
Sidor i boken
KB 3-5, 94-95
Likformighet. OMTAG
Läxa 120. Nedan ser du 12 trianglar. Alla trianglar är likformig med en annan. Para ihop dem!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Läxa 121. I △ABC är AB = 24 cm, BC = 21 cm och AC = 18 cm. En transversal DE är parallell
med BC och 14 cm lång. D ligger på AB och E på AC. Beräkna AD och AE.
Läxa 122. Skuggan av en flaggstång uppmättes en dag till 32 m. Samtidigt befanns skuggan av en
1 m lång, lodrät stav vara 1.25 m. Beräkna flaggstångens höjd.
Läxa 123. I △ABC är AB = 4 cm, BC = 5 cm och AC = 6 cm. På sidan AB ligger punkten D, så
att BD = 2.5 cm, och på sidan BC punkten E, så att BE = 2 cm. Beräkna längden av sträckan DE.
(Ledning: △BED ∼ △BAC)
Håkan Strömberg
117
KTH STH
Läxa 124. I en likbent triangel är basen 10 cm och höjden mot basen 15 cm. På vilket avstånd från
basen skall man draga en med basen parallell transversal för att dess längd skall vara 8 cm?
Läxa 125. I triangleABC är transversalen DE parallell med BC. Punkten D delar AB, så att AD
är 3 cm längre än BD. Punkten E delar AC, så att AE är 2 cm längre än EC. Vidare är DE 4 cm
kortare än AD och AE = DE. Beräkna triangelns sidor.
Areaskala. Volymskala. Bevis med likformighet
Två punktmängder, föremålet och bilden, är likformiga om avståndet mellan två godtyckligt valda
punkter i föremålet multiplicerat med ett positivt tal k är lika med avståndet mellan motsvarande
punkter i bilden. Talet k kallas skala eller längdskala.
För likformiga ’figurer’ gäller att motsvarande vinklar är lika.
• Om k > 1 innebär att avbildningen är en förstoring. Skalan skrivs k : 1, ’k till 1’.
• Om k = 1 innebär att bilden är lika stor som föremålet. Punktmängderna är kongruenta.
Skalan skrivs 1 : 1, ’1 till 1’.
• Om k < 1 innebär att avbildningen är en förminskning. Skalan skrivs 1 : a, där a =
utläses ’1 till a’.
1
k,
och
Om ett område är en likformig bild av ett annat område i längdskalan k, är bildens area lika med
föremålets area multiplicerat med k2 . Detta kallas areaskala.
Om en kropp är en likformig bild av en annan kropp i längdskalan k, är bildens volym lika med
föremålets volym multiplicerat med k3 . Detta kallas volymskala.
Problem 115. På en karta i skalan 1 : 100 000 är avståndet mellan två orter 3.6 cm. Hur stort är
avståndet i verkligheten?
Lösning:
3.6 · 100 000 = 360000 cm
360000 cm = 3600 m
Svar: 3600 m
Problem 116. I △ABC är höjden AD mot sidan BC 36 cm och BD = 24 cm och DC = 16 cm.
Vilken area har en bild av triangeln ritad i skalan 2 : 3?
Lösning: Arean hos den ursprungliga triangeln är
36 ∗ (24 + 16)
= 720 cm2
2
Arean hos bilden blir då
720 ·
En annan möjlighet. Höjden i bilden är
bilden blir då
Håkan Strömberg
2
2
= 320 cm2
3
36·2
3
= 24 cm. Basen i bilden är
2(24+16)
3
=
80
3 .
arean hos
24 · 80
3
= 320
2
118
KTH STH
Svar: 320 cm2
Problem 117. En sjö, vars area är 9.6 km2 , avbildas på en karta i skalan 1 : 200 000. Hur stor area
upptar sjön på kartan?
Lösning: Då längdskalan är 1 : 200 000 är areaskalan 1 : 200 0002 . 9.6 km2 = 9.6 · 1000002 cm2
9.6 · 1000002
= 2.4 cm2
2000002
Svar: 2.4 cm2
Läxa Lösning 120. Så här paras trianglarna tillsammans
1 − 7, 11 − 2, 5 − 12, 9 − 6, 4 − 8, 10 − 3
Läxa Lösning 121. Antag att AD = x. Vi tecknar förhållandena
x
14
=
24
21
ger x = 16
Antag att AE = y. Vi tecknar förhållandena
14
y
=
18
21
ger y = 12
Scar: AD = 16 cm och AE = 12 cm
Läxa Lösning 122. Antag att flaggstången är x m. Vi tecknar förhållandena.
Flaggstångens höjd förhåller sig till flaggstångens skugga, som stavens höjd till stavens skugga
1
x
=
32
1.25
ger x = 25.6 m
Läxa Lösning 123.
Hur kan man komma fram till att △BED ∼ △BAC? Eftersom figuren är korrekt ritad ser man att DE
inte är parallell med AC. Men eftersom
BD
BE
≡
AB
BC
så förstår man att △BED är en bild av △BAC. Där sidorna i △BAC är dubbelt så långa som △BED.
Detta betyder att DE = 26 = 3 cm.
Svar: DE = 3 cm.
Håkan Strömberg
119
KTH STH
Läxa Lösning 124. Rita figur! Antag att höjden i topptriangeln är x. Vi får då
x
8
=
15
10
som ger x = 12. Höjden i topptriangel är alltså 12 cm, vilket betyder att transversalen ska dras
15 − 12 = 3 cm från basen.
Svar: 3 cm
Läxa Lösning 125. Rita figur. Antag att BD = x och EC = y då vet vi att AD = x + 3, AE = y + 2
och DE = x + 3 − 4 = x − 1. Vi vet också att AE = DE
Vi får följande samband
Med våra beteckningar


AE =
AD
=
AB
y+2
y+2

2y + 2
=
=
DE
AE
AC
x+3−4
x+3
2x + 3
Vi har ett ekvationssystem, där vi startar med att lösa ut y ur första ekvationen, som ger y = x − 3.
Vi substituerar detta i andra ekvationen
x+3
x−3+2
=
2(x − 3) + 2
2x + 3
Denna ekvation har lösningen x = 9, som i sin tur ger y = 6. Nu vet vi att AB = 2 · 9 + 3 = 21, att
AC = 2 · 6 + 2 = 14 och att DE = 9 + 3 − 4 = 8.
För att få tag i BC = z ställer vi upp förhållandet
AB
BC
=
DE
AD
eller
21
z
=
8
12
som ger z = 8.
Svar: AB = 21 cm AC = BC = 14 cm
Håkan Strömberg
120
KTH STH
Sidor i boken
26-34
Trigonometri
Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och
rymden).
Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor och vinklar i en triangel när
vissa av dessa är kända. Det handlar då om plan trigonometri.
Här ska vi hålla oss till rätvinkliga trianglar. I senare kurser kommer trigonometrin att innefatta
godtyckliga trianglar. Ibland kommer det trots allt att dyka upp icke rätvinkliga trianglar. Då är
lösningen, att med hjälp av en konstruktion, till exempel genom att dra en höjd åstadkomma två
rätvinkliga trianglar.
Närliggande och Motstående står i relation till vinkeln v, som är given eller efterfrågad.
tan v =
motstående katet
närliggande katet
tan v =
a
b
sin v =
motstående katet
hypotenusan
sin v =
a
c
cos v =
närliggande katet
hypotenusan
cos v =
b
c
Innan vi sätter igång att solvera rätvinkliga trianglar ska du se till att din räknare är inställd på
”räkning i grader”. Kontrollera att 45 TAN ger resultatet 1. Vinklar mäts i allmänhet i grader
(360◦ på ett varv) eller i radianer (2π på ett varv). Här ska vi hålla oss till grader.
Håkan Strömberg
121
KTH STH
Känner man två storheter i formlerna ovan, kan man enkelt bestämma den tredje.
Nr
Känt Sökt
I
v, a
b
II
v, b
a
III
a, b
v
IV
v, a
c
V
v, c
a
VI
a, c
v
VII
v, b
c
VIII
v, c
b
IX
b, c
v
Formel
a
b=
tan v
a = b · tan v
v = arctan a
b
a
c=
sin v
a = c · sin v
v = arcsin ac
b
c=
cos v
b = c · cos v
v = arccos bc
I formlerna III, VI och IX ska man bestämma en vinkel. till exempel
v = arcsin
1
≈ 19.47
3
På dosan trycker man då SIN−1 1/3 ≈ 19.47 och motsvarande COS−1 för arccos och TAN−1
för arctan.
Problem 118. Vad kallas triangeln i figuren. Bestäm h och b.
Lösning: En triangel med vinklarna 30◦ − 60◦ − 90◦ kallas en halv liksidig.
h = 20 sin 60◦ ≈ 17.32
b = 20 cos 60◦ = 10
Den korta kateten är då häften så lång som hypotenusan. Antag att hypotenusan är 2a, sidan b = a.
Med hjälp av Pythagoras sats kan vi så räkna ut sidan h
(2a)2
4a2
3a2
h
h
=
=
=
=
=
a2 + h2
a2 + h2
h2
√
3a2
√
a 3
√
Av detta får vi att höjden i en liksidig triangel med sidan 2a är h = a 3.
Håkan Strömberg
122
KTH STH
Problem 119. Beräkna triangelns area.
Lösning: Med hjälp av formeln
A=
b·h
2
Först bestämmer vi höjden genom AD = h
h = 46 · sin 41◦ ≈ 30.18
sedan BD = b1
b1 = 46 · cos 41◦ ≈ 34.72
och så DC = b2
b2 ≈
30.18
≈ 20.36
tan 56◦
Till sist kan vi bestämma arean
A=
(20.36 + 34.72) · 30.18
≈ 831.11
2
Svar: 831 cm2
Problem 120. Beräkna triangelns area.
Lösning: Basen BC = 50. Höjden mot BC = h får vi genom
h = 39 · sin 40◦ ≈ 25.07
Arean blir då
A=
25.07 · 50
≈ 626.72
2
Vi kunde likväl bestämt oss för att beräkna höjden mot AB = h, som ger
h = 50 · sin 40◦ ≈ 32.14
Arean blir då
39 · 32.14
≈ 626.72
2
Samma resultat! Hur överraskande var det?
A=
Längre fram i era matematikstudier (närmare bestämt nästa kurs), kommer ni att stifta bekantskap
med areasatsen, som efter denna uppgift är lätt att inse
A=
Håkan Strömberg
a · b · sin γ
2
123
KTH STH
där γ är vinkeln mellan a och b.
Problem 121. I en likbent triangel är höjden hälften av basens längd. Arean är 400 cm2 . Bestäm
triangelns omkrets.
Lösning: Antag att höjden är AD = x. Då är basen BC = 2x. Vi kan då teckna en ekvation med
hjälp av formeln b·h
2 .
x · 2x
= 400
2 2
2x = 800
x2 = 400
√
x =
400
x = 20
Höjden är alltså AD = 20 och basen BC = 40. Återstår att bestämma längden hos de två lika långa
benen AB och AC. Höjden delar basen mitt itu i en likbent triangel. Med hjälp av Pythagoras sats
kan vi nu bestämma AC = y i △ADC.
y2
y
y
= √
202 + 202
2√· 202
=
= 20 2
√
Triangeln ADC är en √
halv kvadrat. Vi finner att diagonalen idenna kvadrat, AC är
√ 20 2. Det vill
säga kvadratens sida · 2. Så är det alltid. Bra att veta. Vi får omkretsen 40 + 2 · 20 2 ≈ 96.57 cm.
Svar: 96.6 cm
Problem 122. Beräkna figurens omkrets
Lösning: AD = x kan vi få fram direkt genom
sin 49◦ =
34
x
som ger x = AD ≈ 45.05 Vi kan också bestämma ED = y med hjälp av
tan 49◦ =
34
y
som ger y = ED ≈ 29.56. Turen har nu kommit till BE = z. Vi får
tan 53◦ =
Håkan Strömberg
124
z
34
KTH STH
som ger z = BE ≈ 45.12. Vi vet nu att BD = 29.56 + 45.12 = 74.68. Nu kan vi gå på △BCD. Först
BC = u. Vi får
74.68
cos 24◦ =
u
som ger u ≈ 81.75. I nästa steg bestämmer vi DC = v genom
v
tan 24◦ =
74.68
med resultatet v = DC ≈ 33.25. Återstår så AB = w. Vi får
34
cos 53◦ =
w
som ger w =≈ 56.50
Nu kan vi bestämma omkretsen
45.05 + 56.50 + 33.25 + 81.75 = 216.55
Svar: Omkretsen är 217 cm
Nedan följer först 9 uppgifter, alla med rätvinkliga trianglar och med en obekant. Ibland efterfrågas
sidan x och ibland vinkeln v. Tillsammans kommer de 9 olika situationerna från tabellen ovan att
tillämpas exakt en gång!
Läxa 126.
Bestäm v
Läxa 127.
Bestäm x
Läxa 128.
Bestäm x
Håkan Strömberg
125
KTH STH
Läxa 129.
Bestäm v
Läxa 130.
Bestäm x
Läxa 131.
Bestäm v
Läxa 132.
Bestäm x
Håkan Strömberg
126
KTH STH
Läxa 133.
Bestäm x
Läxa 134.
Bestäm x
Läxa 135.
Bestäm rektangelns omkrets
Läxa 136.
Bestäm figurens omkrets
Läxa 137. Givet △ABC där sidan BC är dubbelt så lång som sidan AC. Höjden CD = 63 cm mot
sidan AB och ∠BAC = 44◦ . Bestäm triangelns area.
Läxa Lösning 126. Formel III
v = arctan
Håkan Strömberg
5
≈ 29◦
9
127
KTH STH
Läxa Lösning 127. Formel V
x = 11.4 · sin 38◦ ≈ 7
Läxa Lösning 128. Formel I
5
≈ 6.9
tan 36◦
x=
Läxa Lösning 129. Formel IX
v = arccos
6
≈ 39.7◦
7.8
Läxa Lösning 130. Formel VII
v=
7
≈ 8.6
cos 36◦
Läxa Lösning 131. Formel VI
v = arcsin
6
≈ 36.9
10
Läxa Lösning 132. Formel VIII
x = 9.2 cos 40◦ ≈ 7
Läxa Lösning 133. Formel II
x = 7 · tan 45◦ ≈ 7
Läxa Lösning 134. Formel IV
9
≈ 11.41
sin 52◦
Läxa Lösning 135. Vi bestämmer höjden h och basen b genom
x=
b = 60 cos 30◦ ≈ 51.96
och
h = 60 sin 30◦ ≈ 30
Omkretsen blir då
2h + 2b ≡ 2 · 51.96 + 2 · 30 ≈ 163.92
Observera att höjden ska man kunna se direkt eftersom diagonalen delar rektangeln i två ’halva
liksidingar’
Svar: 164 cm.
Läxa Lösning 136. För att kunna bestämma
△BCD. Pythagoras sats ger
x2
x
x
AB och AD behöver vi BD. BD = x är hypotenusa i
=
=
=
32 + 42
√
25
5
△BCD är ofta förkommande, eftersom alla sidor är heltal, och kallas för den egyptiska triangeln. När
vi betraktar △ABD ser vi att den är en halv kvadrat eftersom den har vinklarna 45◦ − 45◦ − 90◦ .
Det betyder att AB = BD = 5. Återstår så att bestämma AD = y. Vi kan använda trigonometri eller
Pythagoras sats, vilket som.
sin 45◦ = y5
y = sin 545◦
y ≈ 7.07
√
Det är√ bra att känna till att för en given sida s i en kvadrat är diagonalen s 2. I vår uppgift
y = 5 2 ≈ 7.07.
Vi får så omkretsen
3 + 4 + 5 + 7.07 = 19.07
Svar: 19 cm
Håkan Strömberg
128
KTH STH
Läxa Lösning 137. Du måste rita figur! Antag att CA = x och CD = 2x. Med hjälp av
sin 44◦ =
63
x
får vi x = CA ≈ 90.69. Vi vet nu att CB = 2x ≈ 181.38. Vi beräknar nu AD = y
tan 44◦ =
63
y
ger y = AD ≈ 65.24. Sedan över till DB = z som vi får genom Pythagoras sats
2
2
181.382 = 63
√ +z
z =
181.382 − 632
z ≈ 170.09
Nu har vi basen AB = 65.24 + 170.09 = 235.33 och kan därmed bestämma arean
A=
63 · 235.33
≈ 7412.84
2
Svar: 7413 cm2
Håkan Strömberg
129
KTH STH
Sidor i boken
35-36
Mer trigonometri
Detta bör du kunna utantill
Figur 12:
Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 30◦ , 60◦ , 90◦ är en
halv liksidig triangel. Hypotenusan är lika med den liksidiga triangelns sida. Den korta kateten är
förstås hälften av hypotenusan. Den längsta kateten är lika med höjden i den liksidiga triangeln.
Dess längd kan vi bestämma med hjälp av Pythagoras sats. Vi antar att den är x
s2 −
Håkan Strömberg
s2
=
s2
4
=
x
=
x
=
x
=
x
=
x
=
s 2
2
x2
r
+ x2
s2
s2 −
s 4
1
s2 1 −
4
r
4·1 1
−
s
4
r 4
3
s
√4
s 3
2
130
KTH STH
Blandar vi nu in trigonometri får vi följande samband som alla är viktiga att kunna utantill:
s
2
cos 60◦ =
s
√
s 3
2
=
1
2
√
3
2
√
√
s 3
3
◦
2
=
sin 60 =
s
2
s
1
sin 30◦ = 2 =
s
2
√
√
s 3
s 3 2 √
· = 3
tan 60◦ = 2s =
2
s
2
cos 30◦ =
tan 30◦ =
s
2
√
s 3
2
s
=
=
2
s
1
· √ = √
2 s 3
3
Vänder vi oss nu mot triangeln till höger ser vi att det är en halv kvadrat. Alla trianglar med vinklarna
45◦ , 45◦ , 90◦ är just halva kvadrater. Om den ena kateten är s så måste förstås även den andra vara
lika lång. Hypotenusan, lika med kvadratens diagonal, kan vi bestämma med Pythagoras sats. Vi
antar att den är x:
x2
=
s2 + s2
x2
√
x2
=
2s2
√
2s2
√
s 2
=
x =
Blandar vi nu in trigonometri får vi följande samband som är viktiga att kunna utantill:
s
1
cos 45◦ = √ = √
s 2
2
s
1
sin 45◦ = √ = √
s 2
2
tan 45◦ =
Håkan Strömberg
131
1
=1
1
KTH STH
Problem 123. Hur högt är Eiffeltornet? Sträckan BC = 150 m. ∠ABC = 63.4◦ .
Lösning: Vinkel och närliggande katet givna. Motstående katet efterfrågas.
tan v =
motstående
närliggande
Antag motstående katet är x m.
x
150
150 · tan 63.4◦
tan 63.4◦
=
x
=
x
≈ 300
Svar: 300 m
Problem 124. I takkonstruktionen är CM = 2.52 m och AB = 12.46 m Beräkna takvinkeln ∠BAC.
Lösning: Eftersom båda takvinklarna är v handlar det om en likbent triangel. Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar där motstående och närliggande katet är givna. Vinkeln v efterfrågas
tan v =
motstående
närliggande
ger
tan v
=
v
=
v ≈
2.52
12.46
2
arctan
2 · 2.52
12.46
22◦
Svar: 22◦
Problem 125. Beräkna vinkeln ∠CAB
Håkan Strömberg
132
KTH STH
Lösning: ∠CAB ska bestämmas. Vi startar med att bestämma ∠ACD som vi antar är v◦ .
120
240
1
v = arctan
2
◦
v ≈ 26.57
tan v
=
Vi kan nu bestämma
∠ACB = 180◦ − ∠ACD = 180◦ − 26.57◦ = 153.43◦
I nästa steg bestämmer vi ∠ABD som vi antar är u◦
tan u
=
u
=
120
240 + 180
120
arctan
420
15.94◦
u ≈
∠CAB får vi nu genom
∠CAB = 180◦ − 153.43◦ − 15.94◦ = 10.63◦
Svar: 10.6◦
Problem 126. För att en 9.0 m lång stege ska stå säkert när den reses mot en vägg får vinkeln
med markplanet ej understiga 64◦ och ej överstiga 78◦ . Bestäm stegens kortaste respektive längsta
avstånd till väggen, då den är i säkert läge.
Lösning:
Vi har två trianglar där vi ska bestämma den närliggande katet. I △ABC är ∠ABC = 78◦ . Den
eftersökta kateten betecknad med x ger
sin 78◦
=
x
=
x ≈
x
9
9 sin 78◦
8.8
I △DEF är ∠DEF = 64◦ Den eftersökta kateten betecknad med y ger
sin 64◦
=
x
=
x ≈
x
9
9 sin 64◦
8.1
Svar: 8.1 respektive 8.8 m
Håkan Strömberg
133
KTH STH
Problem 127. I en liggande halv cylinder finns vatten som figuren visar. Givet dessutom vinkeln
∠BAD = 35◦ . Beräkna höjden h
Lösning: Vi startar med att dra radien BE vinkelrätt mot vattenytan. I △BDA har vi hypotenusan
given till 30 cm och ∠BAD = 35◦ . Vi kan då bestämma sträckan BD som vi betecknar med x och
får
x
sin 35◦ =
30
x = 30 · sin 35◦
x
≈ 17.2
Den efterfrågade sträckan h = 30 − 17.2 = 12.8 cm
Svar: 12.8 cm
Problem 128. Beräkna exakt triangelns a) area och b) omkrets
Lösning: För att kunna exakt bestämma area och omkrets till △ABC måste man känna till följande:
• △ACD är en halv kvadrat. Vinklarna är 45◦ , 45◦ , 90◦ . Detta för√med sig att sträckorna CD =
AD = 1. Sträckan AC kan bestämmas med Pythagoras sats till 2. Dessutom är det så att
1
sin 45◦ = cos 45◦ = √
2
• △CBD är en halv liksidig triangel. Vinklarna är 30◦ , 60◦ , 90◦ . Detta för med sig att sträckan
CB = 2 är dubbelt så lång som sträckan CD = 1. Dessutom är det så att
sin 30◦ = cos 60◦ =
1
2
• Genom Pythagoras sats kan man nu bestämma sträckan BD
22 = 12 + BD2
som ger BD =
√
3
Alla önskade sidor är kända och vi kan bestämma omkretsen till
√
√
√
√
O=1+ 2+2+ 3=3+ 2+ 3
Arean blir
1 · (1 +
A=
2
Svar: Omkretsen är 3 +
Håkan Strömberg
√
3)
√
√
√
2 + 3 l.e. och arean (1 + 3)/2 a.e.
134
KTH STH
Problem 129.
Beräkna exakt längden av AD
Lösning: △ABC är en halv
√ liksidig triangel. Efter samma resonemang som i föregående uppgift får
vi då: BC = 1 och AB = 3. △CBD är också en halv liksidig triangel. Det betyder att ∠CDB = 60◦ .
Anta att sträckan DC är x. Vi får då ekvationen
Detta betyder att sträckan AD =
Svar: Sträckan AD =
√
3−
tan 60◦
=
x
=
x
=
√1
3
=
1
x
1
tan 60◦
1
√
3
√2 .
3
√2
3
Läxa 138.
Bestäm x.
Läxa 139.
Bestäm x.
Håkan Strömberg
135
KTH STH
Läxa 140.
Bestäm x.
Läxa 141.
Bestäm x.
Läxa 142.
Bestäm v.
Läxa 143.
Bestäm v.
Håkan Strömberg
136
KTH STH
Läxa 144.
Bestäm v.
Läxa 145.
Bestäm v.
Läxa Lösning 138. Rätvinklig triangel med vinkel och närliggande katet given. Motstående katet
efterfrågas.
motstående
tan v =
närliggande
ger
x
tan 34◦ =
35
x = 35 tan 34◦
x
≈ 23.6
Svar: 23.6 cm
Läxa Lösning 139. Vinkel och hypotenusan given. Närliggande katet efterfrågas.
cos v =
närliggande
hypotenusan
ger
x
61
61 cos 40◦
cos 40◦
=
x
=
x
≈ 46.7
Läxa Lösning 140. Vinkel och motstående katet givna. Närliggande katet efterfrågas.
tan v =
Svar: 29 cm
Håkan Strömberg
motstående
närliggande
tan 56◦
=
x
=
x
≈
137
43
x
43
tan 56◦
29
KTH STH
Läxa Lösning 141. Vinkel och hypotenusa givna. Motstående katet efterfrågas.
sin v =
motstående
hypotenusa
ger
x
75
75 · sin 53◦
sin 53◦
=
x
=
x
≈ 59.9
Svar: 59.9 cm
Läxa Lösning 142. De två kateterna givna. Vinkel efterfrågas.
tan v =
motstående
närliggande
ger
Svar: 33◦
tan v
=
v
=
v ≈
27
42
27
arctan
42
33◦
Läxa Lösning 143. Hypotenusan och närliggande katet givna. Vinkel efterfrågas.
närliggande
hypotenusan
cos v =
ger
◦
Svar: 52
sin v
=
v
=
v ≈
44
56
44
arcsin
56
51.79◦
Läxa Lösning 144. Hypotenusan och motstående katet givna. Vinkel efterfrågas.
sin v =
motstående
hypotenusa
ger
◦
Svar: 43
sin v
=
v
=
v ≈
50
73
50
arcsin
73
43◦
Läxa Lösning 145. Närliggande och motstående katet givna. Vinkel efterfrågas.
tan v =
motstående
närliggande
ger
◦
Svar: 37
Håkan Strömberg
tan v
=
v
=
v ≈
23
30
23
arctan
30
37.48◦
138
KTH STH
Sidor i boken
142-143, 145-147
Funktioner. Räta linjen
Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik
Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är de involverade i
ett samtal om räta linjen och dess ekvation (funktion). Tillsammans löser de ett antal problem som
sammantaget utgör det man behöver ha med sig i ”ryggsäcken” för vidare studier.
KTH: Idag ska vi snacka om räta linjen och dess ekvation. Minns du något om det?
TB: Ja, det är klart. Jag tror faktiskt att jag kommer att kunna svara rätt på nästan allt du kommer
att fråga mig om.
KTH: Vi får väl se. Först det här med ekvation. Man uttrycker ju ofta den funktion, som det egentligen handlar om, som y = k · x + m istället för att skriva f(x) = k · x + m. Jag borde förstås
veta varför det blivit på det sättet. Vad står förresten k och m för?
TB: Står för!? Vad menar du då? Stopp, stopp vänta ett tag, jag vet. k, även kallat k-värdet är linjens
riktningskoefficient eller lutningen helt enkelt. m däremot ...
KTH: m är kanske mindre viktig, men det underlättar att känna till att linjen skär y-axeln i punkten
(0, m). Så om jag säger att en linje har riktningskoefficienten −1 och skär y-axeln i punkten
(0, 3), vilken är då den linjens funktion?
TB: k = −1 och m = 3 ger y = −x + 3 eller y = 3 − x
KTH: Bra. Så här ser grafen för den funktionen ut:
8
6
4
2
-4
-2
2
4
-2
Figur 13:
I figur 14 finns två linjer inritade. Här har du två funktioner, L1 : y = 2x + 1 och L2 : y = 4 − x,
vilken är vilken?
TB: Linjen markerad med A skär y-axeln på i punkten (0, 4) och L2 har m = 4, alltså hör de ihop.
KTH: Det är riktigt. Ännu enklare är det kanske att titta på k-värdena A har ”negativ” lutning L2 har
k = −1. B har positiv lutning L1 har k = 2. Vilken funktion har linjen i figur 15
Håkan Strömberg
139
KTH STH
Figur 14:
6
5
4
3
2
1
-4
-2
2
4
Figur 15:
TB: Ingen aning faktiskt. Jag ser att linjen är parallell med x-axeln. Jag gissar att den helt enkelt
saknar funktion.
KTH: Nu hade du fel. För varje värde x är y = 3, till exempel f(1000) = 3 och f(−0.0001) = 3.
Funktionen är konstant och skrivs alltså y = 3. Om jag ger dig två punkter P1(1, 1) och
P2(5, 13), kan du då bestämma funktionen för den linje som går genom dessa punkter?
TB: Mmm... Har man två punkter så finns det ju bara en rät linje som går genom dessa. Jag ska
alltså bestämma k och m i y = k · x + m. Det kanske inte är så lätt. (TB funderar) Om jag
börjar med k-värdet
∆y
13 − 1
y1 − y2
k=
=
=
=3
∆x
x1 − x2
5−1
Jag tror, eller vet, att k = 3. Jag har nu kommit så här långt: y = 3x + m och nu ska jag
bestämma m – men hur? (TB funderar igen) När x = 5 är y = 13
KTH: Javisst.
TB: Jag sätter alltså in den andra punkten P2 i ekvationen y = 3x + m och får 13 = 3 · 5 + m.
Löser jag den ekvationen får jag m = −2. Om jag har tänkt rätt kan funktionen nu skrivas
y = 3x − 2. Men om jag hade satt in P1 istället hade jag väl fått ett annat resultat?
KTH: Gör det.
TB: 1 = 3 · 1 + m. Nej, jag får ändå m = −2. Nu är jag säker på mitt svar.
KTH: Bra. Vi går vidare i texten. Nu ska jag ge dig två funktioner.
L1 : y = 3x − 5
L2 : y = 2x + 3
Var skär de varandra. Med andra ord bestäm skärningspunkten.
Håkan Strömberg
140
KTH STH
TB: När jag stoppar in ett och samma x-värde i de båda funktionerna ska jag få samma resultat.
Då har jag hittat en punkt som ligger på båda linjerna. Denna punkt kallas skärningspunkten.
Observera det kan bara finnas en skärningspunkt när det handlar om två räta linjer.
KTH: Allt du sagt är korrekt, men hur hittar du skärningspunkten?
TB: Jag kan ju alltid prova mig fram. Stoppa in olika värden på x och om jag har tur, så har jag.
KTH: Självklart behöver man inte gissa. Tänk efter nu.
TB: Blir det en ekvation? Någonting i stil med
3x − 5
3x − 2x
x
= 2x + 3
= 3+5
= 8
Låt mig testa nu då x = 8 för linje L1 blir y = 19 och x = 8 för linje L2 är också y = 19. Det
funkar ju!
KTH: Vilken är då skärningspunkten?
TB: (8, 19)
KTH: Bra. Nästa problem: Nu ska vi kombinera de två problemen vi löst ovan. Givet P1(2, 4) och
P2(5, 22), som ligger på samma linje samt P3(−1, 8) och P4(3, −12), som ligger på en annan.
Vilken skärningspunkt har dessa linjer?
TB: Så du menar att jag ska göra om nästan samma sak igen? Vad jobbig du är.
KTH: När du gjort det tror jag att det också kommer att sitta för en lång tid framåt – troligtvis över
tentamen.
TB: Jag börjar med punkterna P1 och P2. De ligger på en linje L1 : y = k1 x+m1 . Först bestämmer
jag k1 -värdet:
22 − 4
y2 − y1
∆y
=
=
=6
k1 =
∆x
x2 − x1
5−2
Jag sätter nu in P1 i L1 och får 4 = 6 · 2 + m1 som ger m1 = −8. Funktionen för den första
linjen är nu bestämd till L1 : y = 6x − 8. Nu är det dags för nästa linje, puh. Det handlar nu
om punkterna P3(−1, 8) och P4(3, −12). Funktionen är denna gång L2 : y = k2 x + m2 .
k2 =
∆y
8 − (−12)
y3 − y4
=
=
= −5
∆x
x3 − x4
(−1) − 3
Så över till m2 . Jag använder den andra punkten och sätter in den i L2 och får (−12) =
(−5)3+m2 som ger m2 = 3. Jag är bra på huvudräkning eller hur? Alltså blir L2 : y = −5x+3.
Vad var det jag skulle göra nu igen?
KTH: Ta reda på skärningspunkten för de linjer vars funktion du just bestämt.
TB: Javisst ja. Jag har alltså
L1 : y = 6x − 8
L2 : y = −5x + 3
Dessa leder till den enkla ekvationen
6x − 8
6x + 5x
11x
x
=
=
=
=
−5x + 3
3+8
11
1
Jag kan nu stoppa in x = 1 i vilken som helst av L1 och L2 i båda fallen får jag y = −2.
Skärningspunkten är alltså (1, −2).
KTH: Nu har du varit så duktig, så du får välja nästa problem själv.
TB: Ska jag – jag har inga olösta problem. Dom får du stå för.
Håkan Strömberg
141
KTH STH
KTH: Då tar vi det här: Jag ger dig fyra punkter P1(2, 9), P2(4, 22), P3(−2, −19) och P4(6, 37). En
av dem ligger inte på samma räta linje vilken?
TB: Det är väl enkelt. Jag väljer ut två punkter till exempel P1 och P2, bestämmer motsvarande
funktion. Sedan sätter jag in de andra två punkterna och den som inte ligger på linjen är den
punkt jag söker.
KTH: Är du säker på att detta fungerar?
TB: Varför skulle det inte göra det? Aha, du menar att om den ”udda” punkten är antingen P1
eller P2 så får jag en linje som inte innehåller någon av de två andra punkterna. Jag förstår
och inser samtidigt att det här kommer att bli riktigt jobbigt. Det finns ju många sätt att välja
ut två punkter.
KTH: Tänk vidare.
TB: Om jag har otur i mitt första val, så vet jag att P3 och P4 ligger på samma linje och då får jag
bestämma den funktionen, med vilken jag kan avgöra vilken av P1 och P2 som är ”oäkta”.
Därmed är denna uppgift inte jobbigare än förra uppgiften.
KTH: Det är bara att sätta igång.
TB: Jag kallar den första linjen L12 : y = k12 x + m12 eftersom punkterna P1 och P2 är inblandade.
Jag bestämmer först k12 precis som tidigare
k12 =
9 − 22
y1 − y2
13
∆y
=
=
=
∆x
x1 − x2
2−4
2
Oj vad jobbigt, inte ens heltal. Så till m12
9=
13
· 2 + m12
2
ger m = −4 och funktionen
13
x−4
2
Nu är det spännande. Vad händer förresten om en punkt fungerar?
L12 : y =
KTH: Det förstår du väl?
TB: Ja,ja. Om en av punkterna P3 och P4 ligger på linjen så blir jag glad – jag vet då att den andra
inte gör det och därmed är den punkt jag är på jakt efter. Först testar jag med P3
13 · (−2)
− 4 = −17 6= −19
2
Nu vet jag att P3(−2, −19) inte ligger på den linje jag just bestämt funktionen för. Chansen
finns nu att P4(6, 37) gör det
13 · 6
− 4 = 35 6= 37
2
Neeej inte heller den punkten fungerar, så då måste jag bestämma L34 . Först k-värdet
k34 =
∆y
37 − (−19)
y4 − y3
56
=
=
=
=7
∆x
x4 − x3
6 − (−2)
8
Och sedan m-värdet
37 = 6 · 7 + m34
m34 = −5 som ger funktionen L34 : y = 7x − 5. Denna funktion ska nu avgöra vilken av
punkterna P1 och P2 som är ”udda”. Först test med P1 (2, 9)
7·2−5 =9
P1 ligger på linjen. Då kan inte P2 göra det. P2 är svaret! Jag ser på dig att du vill att jag ska
testa det. Jag gör som du vill. För P2 får jag
L34 : 7 · 4 − 5 = 23 6= 22
För x = 4 insatt i L34 får vi alltså 23 istället för 22. Ganska nära om man säger.
Håkan Strömberg
142
KTH STH
KTH: Här ser du ett diagram med fem linjer inritade. Nedan finns också en tabell med fem funktioner. Det blir nu din uppgift att para ihop linjerna med funktionerna.
Figur 16:
I
II
III
IV
V
L1
L2
L3
L4
L5
: y = 2x + 3
:y=3−x
: y = 2x − 3
: y = 3x − 1
: y = 3x + 8
TB: Ganska lätt eller hur? I och II skär y-axeln i samma punkt (0, 3), vilket betyder att de har
samma m-värde. B har positivt k värde och E negativt, så då vet vi att B − I och E − II. Sedan
är det bra att plocka ut linjerna efter m-värdet: A − V, C − IV och D − III
KTH: En linje skär y-axeln i punkten (0, 6) och den positiva x-axeln i en punkt så att linjen bildar
en triangel med axlarna med arean 6 areaenheter. Bestäm linjens ekvation.
TB: Triangeln som bildas är ju rätvinklig. Höjden är 6 och basen x. Triangelns area beräknas med:
A=
b·h
2
som ger ekvationen
b·6
2
b = 2 och därför skär vår linje x-axeln i (2, 0). m-värdet har vi ju redan och k-värdet kan vi
bestämma med hjälp av
∆y
6 − 0)
y2 − y1
k=
=
=
= −3
∆x
x2 − x1
0 − 2)
6=
Den sökta funktionen blir då = 6 − 3x eller hur.
KTH: Javisst, jättebra. Direkt över till nästa problem: En linje har k1 = 1/2. En annan går genom
P1(5, −2) och är samtidigt vinkelrät mot den första. Bestäm den andra linjens funktion.
TB: Vad har jag missat? Jag menar, jag har ingen aning!
KTH: Vad vet du om k-värdet för två linjer som skär varandra under rät vinkel?
TB: Aha, jag har hört något om det. Få se nu ... Kanske att om den ena linjen har k-värdet k1 och
den andra k2 så är k1 · k2 = −1. Är det det du tänker på?
KTH: Ja, hur kan du använda detta här?
TB: Linjen måste ju ha k-värdet k2 = −2 eftersom k1 · k2 = 21 · −2 = −1. Eftersom vi har en punkt
P(5, −7) given kan vi bestämma m ur −7 = −2 · 5 + m, som ger m = 3
Håkan Strömberg
143
KTH STH
6.5
6
5.5
-1
1
2
3
4.5
Figur 17:
KTH: Bra. Här får du fem funktioner för räta linjer. Vilka är parallella?
I
18x + 27 = 9y
II
y + 2x − 3 = 0
III
2
3x
IV
13y + 26x = 39
V
y − 2x = 3
+1−
y
3
=0
TB: Ännu fler uppgifter. Jag börjar faktiskt bli trött.
KTH: Men det ska kännas, precis som att träna inför Stockholm Marathon.
TB: Så viktig kan ju inte detta vara. Men jag ska samla mig. Vad skulle jag göra nu igen? Linjer
med samma k-värde. Man kan inte läsa av koefficienten framför x direkt utan måste först lösa
ut y – inte sant. Här har du lösningarna
I
y = 2x + 3
II
y = −2x + 3
III y = 2x + 3
IV
y = −2x + 3
V
y = 2x + 3
Det är inte nog med att de är parallella, I, III och V är identiska. På samma sätt II och IV.
KTH: Bestäm funktionen för den linje som går genom origo och skärningspunkten för linjerna
L1 : y = 4x + 13 och L2 : y = 7 − 2x.
TB: För en linje som går genom origo är m = 0. Vi ska alltså bestämma y = k · x. För att får reda
på k måste vi lösa ekvationen L1 = L2
Håkan Strömberg
144
KTH STH
4x + 13
4x + 2x
6x
x
=
=
=
=
7 − 2x
7 − 13
−6
−1
För x = −1 ger L1 y = 9, skärningspunkten är alltså (−1, 9). Den andra punkten vi ska
använda här är (0, 0) och nu kan vi bestämma k
9−0
= −9
−1 − 0
k=
Så nu kan vi skriva funktionen som L3 : x = −9x, eller hur
KTH: Alldeles utmärkt. Känns det som du börjar behärska detta område nu?
TB: Har ingen aning. Även om jag kunnat lösa de uppgifter du givit mig så finns det säker många
andra som jag inte skulle klara.
KTH: Det låter nästan som du vill ha fler! Vilket k-värde måste linjen y = kx + 5 ha för att gå genom
punkten (3, 11)?
TB: Vi vet att linjen skär y-axeln i (0, 5). Då har vi två punkter och kan enkelt räkna ut k-värdet
k=
11 − 5
=2
3−0
Detta ger funktionen y = 2x + 5. Det var lätt
KTH: Linjerna L1 och L2 skär varandra i (4, −3). Bestäm linjernas funktioner då följande är givet
y = k · x − 11
y = m − 3x
TB: Om jag sätter in den givna punkten i L1 får jag −3 = k · 4 − 11, som ger k = 2. Om jag på
samma sätt sätter in punkten i L2 , så får jag −3 = m − 3 · 4, m = 9. De två linjernas funktioner
är då L1 : y = 2x − 11 och L2 : y = −3x + 9
KTH: Här får du tre linjer som tillsammans bildar en triangel vars area vi vill bestämma
L1 : y = 4x − 2
L2 : y = 6
L3 : y = −2x
TB: Jag har inte en aning om hur man ska göra. Hjälp mig.
KTH: Här får du linjernas grafer, som säkert kommer att hjälpa dig in på rätt spår.
10
5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-5
-10
-15
Figur 18:
Ser du vilken linje som är vilken?
TB: L2 är parallell med x-axeln, det är nog tursamt. Den linjen får bli bas i triangeln. Jag måste ta
reda på var linjerna skär varandra L1 = L2 , L1 = L3 och L2 = L3 . Mycket räkna blir det. Vi
tar dem i tur och ordning:
Håkan Strömberg
145
KTH STH
4x − 2 =
x =
6
2
L1 och L2 skär varandra i (2, 6)
4x − 2
6x
x
=
=
=
−2x
2
1
3
L1 (x) och L3 (x) skär varandra i ( 31 , − 32 )
6
x
= −2x
= −3
L2 (x) och L3 (x) skär varandra i (−3, 6). Så här långt blev det ju ganska enkla uträkningar.
Men sen?
KTH: Hur lång är nu basen? Hur bestämmer man höjden?
TB: Basen måste vara b = 2 − (−3) = 5 och höjden h =
A=
2
3
+6=
20
3 .
Nu kan jag använda:
5 · 20
b·h
50
3
=
=
2
2
3
KTH: Hur många linjer finns det som går genom en given punkt?
TB: Hur många som helst förstås. Det finns ju oändligt många k-värden.
KTH: Hur många linjer finns det som går genom en given punkt och har ett givet k-värde?
TB: Bara en
KTH: Utan alltför mycket räknande ska du nu kunna skriva ned funktionerna för de fyra linjerna i
figur 19
Figur 19:
TB: Först tar vi de två linjerna som har positiva k värden A och B. A går genom origo och har då
m=0. k-värdet är 1. Detta ger LA : y = x. B har också k-värdet 1, men skär y-axeln i (0, −2)
och då får jag LB : y = x − 2.
Så över till C och D. Båda har negativa k-värden rättare sagt k = −1. De är parallella. De skär
y-axeln i (0, 2) respektive (0, 4). Vilket ger LC : y = 4 − x och LD : y = 2 − x
KTH: Punkterna P1(−4, −17) och P2(12, 31) ligger på samma räta linje. Vilken är punkten P3 som
också ligger på linjen, mitt emellan dessa?
TB: x-koordinaten är (12 + (−4))/2 = 4 och y koordinaten är (31 + (−17))/2 = 7. P3 = (4, 7). Är
det rätt?
KTH: Ja
TB: Ha ha, jag behövde inte bestämma någon funktion som jag först tänkte. Hur kunde det bli
rätt egentligen.
Håkan Strömberg
146
KTH STH
KTH: Att x-koordinaten är 4 är väl inte konstigt? Den ligger ju mitt emellan −4 och 12 på x axeln.
På samma sätt är det mer eller mindre självklart att y-koordinaten är 7. En figur?
Figur 20:
KTH: Tack för den här gången
TB: Tack själv. Jag måste faktiskt säga att det var otroligt jobbigt.
KTH: Ja, men du har gjort ett bra jobb och kommer att klara alla uppgifter som har med räta linjen
att göra.
Läxa 146. Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P1 (−3, 4) och P2 (9, −2).
Läxa 147. Bestäm riktningskoefficienten för linjen
3x + 4y − 6 = 0
Läxa 148. Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten (2, −3) och är parallell med
linjen x − 5y = 0
Läxa 149. Lös följande ekvationssystem
Håkan Strömberg
x − 2y
3x + y
147
= 2
= 6
KTH STH
8
6
4
B
2
-3
1
-1
3
A
C
Läxa 150. Bestäm ekvationen för linjerna A, B och C i figuren
Läxa 151. Bestäm ekvationen för den linje som går genom origo och som är parallell med linjen
som går genom punkterna P1 (8, 4) och P2 (1, −3)
Läxa 152. Hur många skärningspunkter får man när man ritar de tre linjerna
x−y+9
x + 2y − 6
3x + 2y + 2
=
=
=
0
0
0
Läxa 153. En fyrhörning har sina hörn i punkterna (0, 0), (3, 0), (6, 10) och (0, 4). Bestäm koordinaterna för diagonalernas skärningspunkt.
Läxa 154. Bestäm P1 (x, 31) och p2 (10, y) då man vet att punkterna ligger på linjen
y = 4x + 3
Läxa 155. Bestäm P3 (5, y) då man vet att punkten ligger på samma linje som P1 (8, 19) och P2 (3, 9)
Läxa 156. Bestäm ekvationen till den linje som går genom origo och som skär linjen y = 2 −
under rät vinkel.
x
2
Läxa 157. Vi har linjen y = x. Bestäm k-värdet för den linje som går genom punkten P1 (10, 0) och
som tillsammans med x-axeln och y = x bildar en triangel med arean 10.
Håkan Strömberg
148
KTH STH
Läxa 158. Hur långt är det mellan punkterna P1 (3, 4) och P2 (6, 8)?
Läxa 159. Bestäm a i punkten P1 (a, 1) så att linjen som också går genom P2 (4, 10) får m-värdet
m = −2
Läxa 160. Bestäm de två punkter där linjen med ekvationen
x y
+ =1
3 2
skär de två axlarna.
Läxa Lösning 146. Först bestämmer vi k-värdet
k=
Vi har nu
4 − (−2)
6
1
=
=−
−3 − 9
−12
2
1
y=− ·x+m
2
Återstår att bestämma m. Vi väljer en av punkterna, P1 och sätter in i ekvationen
1
= − · (−3) + m
2
3
4 =
+m
2
2·4 3
−
= m
2
2
5
m =
2
4
Svar:
1
5
y=− ·x+
2
2
Läxa Lösning 147. Bestäm riktningskoefficienten för linjen
3x + 4y − 6
=
4y =
4y
=
4
y =
y =
y =
0
6 − 3x
6 − 3x
4
6 3x
−
4
4
3x 3
− +
4
2
3
3
− ·x+
4
2
Svar: k-värdet är − 34 .
Läxa Lösning 148. Först skriver vi ekvationen x − 5y = 0 på k-form
x − 5y
x
y
Håkan Strömberg
= 0
= 5y
x
=
5
149
KTH STH
För denna linje är k = 15 . Samma k-värde har den linje vi är på jakt efter och vi kan skriva
y=
1
·x+m
5
Vi söker nu m-värdet och får det genom att använda den givna punkten (2, −3) som ligger på
denna linje
1
·2+m
−3 =
5
5 · (−3) 2
−
= m
5
5
17
m = −
5
Svar:
17
1
y= ·x−
5
5
Läxa Lösning 149. Vi löser ut y ur den andra ekvationen och får
y = 6 − 3x
Detta uttryck för y sätter vi nu in i den första ekvationen och får
x − 2(6 − 3x) =
x − 12 + 6x = 2
7x =
x =
2
14
2
Detta värde på x kan vi nu sätta in i vilken som helst av de två ursprungliga ekvationerna. Vi väljer
den första
2 − 2y = 2
0 = 2y
y = 0
Svar: x = 2 och y = 0
Läxa Lösning 150. Läs av skärningen med y-axeln för att bestämma m Rita en rätvinklig triangel
under linjen för att bestämma ∆x och ∆y.
Svar: A) y = 2x + 3 B) y = −x + 1 C) y = x − 2
Läxa Lösning 151. Först bestämmer vi k-värdet för den linje vår linje ska vara parallell med:
k=
7
4 − (−3)
= =1
8−1
7
Då kan vi så här långt skriva
y=x+m
Linjen ska ju gå genom origo (0, 0) så därför får vi m = 0.
Svar: y = x
Läxa Lösning 152. Om vi först bestämmer skärningen mellan de två första linjerna genom att lösa
ut x ur båda får vi
x−y+9 = 0
x = y−9
och
Håkan Strömberg
x + 2y − 6
x
= 0
= 6 − 2y
150
KTH STH
Nu kan vi bestämma x för skärningspunkten mellan dessa linjer
6 − 2y
6+9
3y
y
=
=
=
=
y−9
y + 2y
15
5
Detta ger oss x för skärningspunkten
x−5+9
x
=
=
0
−4
De två första linjerna skär varandra i punkten (−4, 5) Vi bestämmer nu på samma sätt skärningspunkten mellan den första och tredje linjen. Lös ut x ur tredje ekvationen
3x + 2y + 2
=
x
=
0
−2y − 2
3
Nu bestämmer vi y för skärningen mellan första och tredje ekvationen
y−9
=
3(y − 9)
=
−2y − 2
3
−2y − 2
3y − 27
=
−2y − 2
3y + 2y
=
27 − 2
5y
=
25
y =
5
Till sist bestämmer vi tillhörande x-koordinat
x =
x =
5−9
−4
Av detta kan vi sluta oss att alla tre linjerna skär varandra i en och samma punkt (−4, 5)
Läxa Lösning 153. Plotta punkterna så att Du ser att punkterna (0, 0) och (6, 10) ligger på den
ena diagonalen och att (3, 0) och (0, 4) ligger på den andra. Vi har då först att bestämma den första
diagonalens ekvation. Dess k-värde är
k1 =
5
10 − 0
=
6−0
3
m-värdet får vi direkt genom punkten (0, 0) till m1 = 0. Den första diagonalens ekvation är alltså
y=
5
x
3
Så över till den andra diagonalen. Dess k-värde
k2 =
4−0
4
=−
0−3
3
På samma sätt får vi m-värdet gratis genom punkten (0, 4) till m2 = 4 och den andra diagonalen
har ekvationen
4
y=− x+4
3
Håkan Strömberg
151
KTH STH
Genom att sätta
4
− x+4
3
4
9x
3
x
5
x
3
3x 4x
+
=
3
3
= 4
4
=
3
=
Återstår så att bestämma y för skärningspunkten
y=
5 4
20
· =
3 3
9
Svar: Linjerna skär varandra i punkten ( 43 , 20
9 )
Läxa Lösning 154. Vi sätter in de ’halva’ punkter vi har i ekvationen och får först
31 =
28 =
x =
4x + 3
4x
7
=
=
4 · 10 + 3
43
Detta ger P1 (7, 31). För nästa punkt får vi
y
y
Alltså P2 (10, 43)
Läxa Lösning 155. Föst bestämmer vi ekvationen för den linje som går genom P1 och P2 . k-värdet
k=
19 − 9
=2
8−3
P1 insatt i y = 2x + m ger
19 = 2 · 8 + m
m =
3
Ekvationen är y = 2x + 3. Då x = 5 som i P3 får vi
y = 2 · 5 + 3 = 13
Svar: P3 (5, 13)
Läxa Lösning 156. Vi vet att två linjer skär varandra under rät vinkel om för de två k-värdena
gäller att
k1 · k2 = −1
Eftersom den givna linjen har k-värdet k = − 21 får vi k-värdet för den andra genom
1
− · k2
2
k2
=
−1
=
2
Vi har nu y = 2x + m och får genom punkten (0, 0) får vi direkt att m = 0
Svar: y = 2x
Läxa Lösning 157. Vi antar att skärningspunkten mellan de två linjerna är (a, b). Eftersom y = x
så kan vi skriva att skärningspunkten ska vara (a, a). Triangelns bas är uppenbarligen 10 och dess
höjd kan vi bestämma genom
bh
A=
2
Håkan Strömberg
152
KTH STH
som ger
10h
2
Triangelns höjd ska alltså vara h = 2. Detta betyder att skärningspunkten är (2, 2).
10 =
Vi kan nu bestämma det efterfrågade k-värdet
k=
2
1
2−0
=
=−
2 − 10
−8
4
Läxa Lösning 158. Eftersom ∆x = 6 − 3 = 3 och ∆y = 8 − 4 = 4 har vi en rätvinklig triangel med
kateterna 3 och 4. Med hjälp av Pythagoras sats kan vi bestämma hypotenusan, som är detsamma
som det avstånd vi vill beräkna.
p
√
a = 32 + 42 = 25 = 5
Läxa Lösning 159. Vi har så här långt y = kx − 2. Genom att sätta in punkten P2 i denna ekvation
får vi k-värdet
10 = k · 4 − 2
10 + 2 = 4k
k = 3
Linjen har ekvationen
y = 3x − 2
Vi kan nu bestämma a genom att sätta in den andra punkten
1
a
= 3a − 2
= 1
Svar: a = 1
Läxa Lösning 160. Bestäm de två punkter där linjen med ekvationen
x y
+ =1
3 2
skär de två axlarna.
Vi startar med att forma om ekvationen:
x y
+
3 2
y
2
y
y
y
= 1
x
= 1−
3 x
= 2 1−
3
2x
= 2−
3
2x
= − +2
3
Linjens ekvation kan då skrivas
2x
+2
3
Då x = 0 får vi direkt y = 2. Skärningen med y-axeln är alltså (0, 2). Skärningen med x-axeln får vi
genom att lösa denna ekvation
2x
0 = − +2
3
2x
= 2
3
2x = 2 · 3
y=−
x
=
3
Svar: (0, 2) och (3, 0). Det är ingen tillfällighet att talen 2 och 3 finns i nämnarna i den ursprungliga
ekvationen.
Håkan Strömberg
153
KTH STH
Sidor i boken
KB 6, 66
Funktioner
Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras
ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en matematisk formel, där
invärdet representeras med en (eller flera variabler,) alternativt med en tabell eller grafiskt med en
graf, ett sambandsdiagram eller ett pildiagram.
En viktig egenskap hos funktioner är att de är deterministiska (det vill säga konsekventa, så att varje
invärde alltid ger samma utvärde). Detta gör att funktionen kan ses som en mekanism, en maskin,
som systematiskt levererar rätt utvärde så fort man stoppar in ett invärde.
Definition 1. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett
x-värde motsvaras av högst ett y-värde. (Detta gäller för den här kursen).
6
1
1
5
0.5
0.5
4
3
-2
-1
1
2
-1
2
1
-0.5
-2
-1
-1
0.5
1
-0.5
1
-1
-0.5
2
-1
Definition 2. Mängden av tillåtna x-värden kallas definitionsmängd Df . Mängden av möjliga yvärden kallas värdemängd Vf
Exempel 78. Funktionen y = f(x) = x2 + 1 har definitionsmängden Df = R, mängden av alla
reella tal. och värdemängden Vf = {y ≥ 1}
√
Exempel 79. Bestäm definitions- och värdemängd till funktionen g(x) = 1 − x2 .
√
a är bara definierad om a ≥ 0, vilket ger Dg = {|x| ≤ 1} och Vg = {0 ≤ y ≤ 1}
Elementär funktion
Funktion av en variabel som kan byggas upp medelst aritmetiska operationer och potenser och
deras inversa funktioner
Med termen avses vanligen
• Polynomfunktioner, f(x) = x3 − 2x2 − 13
• Rationella funktioner, f(x) =
x2 +3
x3
x
• Exponentialfunktionen, f(x) = 2
√
• Potensfunktioner, f(x) = 3 x
• Logaritmfunktionen, f(x) = log x
• Trigonometriska funktioner, f(x) = sin x + cos x
• Arcusfunktioner f(x) = arctan 2x
Håkan Strömberg
154
KTH STH
I den här kursen ska vi bara syssla med polynomfunktioner och då enbart av första och andra
graden.
f(x) = 3x − 4
är en polynomfunktion av första graden, som vi oftast skriver y = 3x − 4 och kalla för rät linje.
f(x) = x2 − 4x + 3
är en polynomfunktion av andra graden och kallar för andragradsfunktion. Som vi tar upp inför
KS3.
Läxa 161. Bestäm k och m till linjerna
a) 7x + y + 4 = 0
b) 2x − y = 9
c) 5y − l5x − 10 = 0
d) 6x − 2y = −36
Läxa 162. Rita linjerna i samma koordinatsystem.
a) y = −3 c)
b) x = 1
d)
y=x
2y − 4x = 2
Läxa 163. Ligger punkten (4, −2) på linjen?
a) y = 3x − 14
c) y = −2x + 10
b) 2x − 4y = 0
d) −x − y = 6
Läxa 164.
a) Vilket värde har x i den punkt där en linje skär y-axeln?
b) Vilket värde har y i den punkt där en linje skär x-axeln?
c) I vilken punkt skär grafen till 2y + 3x = 1 y-axeln?
Läxa 165. Ekvationen för en linje är y = −4x + b Vilket är talet b, om linjen går genom punkten
a) (1, 3)
b) (−2, 6)
Läxa 166. Skriv linjerna y + 3x + 4 = 0 och 2y + 6x = −8 i k-form.
Läxa 167. Bestäm koordinaterna för linjernas skärningspunkter med koordinataxlarna.
a) 3x − 2y + 6 = 0 c)
b) 4x + 3y − l2 = 0 d)
Håkan Strömberg
155
7x + 2y + l4 = 0
6y − 3 = 0
KTH STH
Läxa 168. Nadja påstår att graferna till
y=7−
och
y−
x
2
x
+3=0
2
är parallella. Är detta sant?
Läxa 169. Undersök vilka linjer som är inbördes a) parallella b)vinkelräta?
L1 :
L2 :
L3 :
y = 4x − 3
L4 :
4x + y − 5 = 0 L5 :
5.2x − 1.3y = 0 L6 :
4y − x = 0
y = 3 − 0.25x
4x + y = 8
Läxa 170. Finn talet a, om punkten P3 : (3, a) ligger på en linje genom punkterna P1 : (0, 32 ) och
P2 : ( 49 , 0).
Läxa 171. Linjen 3x
2 + by − 6 = 0 avgränsar tillsammans med koordinataxlarna en triangel i första
kvadranten. Bestäm talet b, om triangeln har arean 6 areaenheter.
Läxa 172. Var skär linjen
x y
+ =1
a b
koordinataxlarna?
Läxa 173. För vilket värde på talet a är linjen ax + 2y = 12 vinkelrät mot linjen x + 3y = 6
Läxa 174. Kan man bestämma talet t så att både linjen y = t2 x − 5 och linjen y = 7x + t går genom
punkten (1, 4)?
Läxa 175. Visa att linjerna ax + by = c och bx − ay = d, där a och b är tal skilda från noll, är
vinkelräta mot varandra.
Läxa Lösning 161. Man måste lösa ut y för att kunna läsa av k och m-värden.
a)
7x + y + 4 =
y =
k = −7
0
−7x − 4
m = −4
b)
2x − y =
y =
k=2
9
2x − 9
m = −9
c)
Håkan Strömberg
156
KTH STH
5y − l5x − 10
5y
y
k=3
= 0
= 15x + 10
= 3x + 2
m=2
d)
6x − 2y
2y
y
k=3
=
=
=
−36
6x + 36
3x + 18
m = 18
Läxa Lösning 162.
Läxa Lösning 163.
a)
b)
c)
d)
Läxa Lösning 164.
V.L.
−2
2 · 4 − 4 · (−2) = 16
−2
−4 − (−2) = −2
H.L
3 · 4 − 14 = −2
0
−2 · 4 + 10 = 2
6
Svar
J
N
N
N
a) 0
b) 0
c) 2y + 3 · 0 = 1 ger y = 12 , (0, 21 ).
Läxa Lösning 165. När vi sätter in aktuell punkt får vi en ekvation i b.
a)
3 = −4 · 1 + b ger b = 7
b)
6 = −4 · (−2) + b ger b = −2
Läxa Lösning 166. Vi löser ut y ur de båda ekvationerna
y + 3x + 4 =
y =
och
2y + 6x =
2y =
y =
0
−3x − 4
−8
−6x − 8
−3x − 4
Svar: Samma linje i två skepnader.
Läxa Lösning 167.
a)
b)
c)
d)
x=0
x=0
x=0
x=0
Håkan Strömberg
3 · 0 − 2y + 6 = 0
4 · 0 + 3y − 12 = 0
7 · 0 + 2y + 14 = 0
6y − 3 = 0
y=3
y=4
y = −7
y = 21
157
y=0
y=0
y=0
y=0
3x − 2 · 0 + 6 = 0
4x + 3 · 0 − 12 = 0
7x + 2 · 0 + 14 = 0
6y − 3 = 0
x = −2
x=3
x = −2
Ingen
KTH STH
Läxa Lösning 168. Vi löser ut y i den andra ekvationen
x
−3
2
y=
1
2.
och ser att den första har k = − 21 och den andra k =
k-värdena är lika.
För att de ska vara parallella krävs att
Läxa Lösning 169. Linjerna har följande k-värden
L1
L2
L3
L4
L5
L6
y = 4x − 3
y = −4x + 5
y = 4x
y = x4
y = − x4 + 3
y = −4x + 8
k=4
k = −4
k=4
k = 14
k = − 41
k = −4
L1kL3, L2kL6, L2⊥L4, L6⊥L4, L1⊥L5, L3⊥L5
Läxa Lösning 170. Först bestämmer vi ekvationen genom punkterna P1 och P2.
k=
3
2
−0
0−
Vi har nu
y=−
9
4
≡−
2
3
2x
+m
3
Vi bestämmer m genom att sätta in P1
0
3
=− +m
2
3
ger m = 23 . Vi har nu linjen
y=−
Vi sätter in P3
a=−
2x 3
+
3
2
2·3 3
+
3
2
som ger a = − 12
Läxa Lösning 171. Linjen skär y-axeln då x = 0 ger y =
Linjen skär x-axeln då y = 0 ger
Vi får med hjälp av A =
3x
2
6
b,
som också är höjden i triangeln.
+ b · 0 − 6 = 0. Ger x = 4, som också är triangelns bas.
b·h
2
6
=
12
=
12
4
=
3
=
b
=
6
b
·4
2
6
·4
b
6
b
6
b
2
Svar: b = 2
Läxa Lösning 172. a 6= 0 och b 6= 0 antas vara konstanter.
Då x = 0 skär linjen y-axeln. Detta sker då
y
b
= 1 eller då y = b.
Då y = 0 skär linjen x-axeln. Detta sker då
x
a
= 1 eller då x = a.
Svar: Linjen skär y-axeln då y = b och x-axeln då x = a
Håkan Strömberg
158
KTH STH
Läxa Lösning 173. Vi måste börja med att lösa ut y i de båda ekvationerna
ax + 2y
2y
y
y
och den andra
x + 3y
3y
= 12
= −ax + 12
−ax 12
=
+
2
2
−ax
+6
=
2
=
=
6
−x + 6
−x 6
+
3
2
−x
+3
3
y =
y =
Den senare linjen har k = − 31 . I den förra linjen, som har k = − a2 , ska vi välja a så att
− 31 · − a2
1·a
3·2
a
= −1
= −1
= −6
Svar: Då a = −6 är linjerna vinkelräta.
Läxa Lösning 174. Vilket värde måste t ha för att punkten (1, 4) ska ligga på y = 7x + t? Vi får
ekvationen
4=7·1+t
t = −3
Det betyder att linjen får ekvationen y = (−3)2 x − 5 ≡ 9x − 5, Vi tar nu reda på vilket värde y får
då x = 1 y = 9 − 5 ≡ 4. Ja, det funkar!
Svar: Då t = −3 ligger punkten på båda linjerna.
Läxa Lösning 175. Vi löser ut y i de två ekvationerna
ax + by =
by =
y =
y =
c
c − ax
−ax + c
b
−ax c
+
b
b
k-värdet är − a
b och
bx − ay = d
ay = bx − d
bx − d
y =
a
bx d
y =
−
a
a
k-värdet är
b
a.
Vi multiplicerar så de två k-värdena
−
a b
a·b
· ≡−
≡ −1
b a
b·a
V.S.B.
Håkan Strömberg
159
KTH STH
Sidor i boken
Repetition inför kontrollskrivning 2
Problem 130.
I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är
kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.
Lösning: En sida i den stora triangeln är 6 cm. Motsvarande sida i den lilla triangeln är 4.5 cm. Vi
kan då teckna längdskalan:
3 · 1.5
3
4.5
=
=
L=
6
4 · 1.5
4
Då längdskalan är 34 är areaskalan
teckna följande ekvation
9
16 .
Vi antar att den lilla triangelns area är x cm2 . Nu kan vi
x
12
=
9
16
x =
9 · 12
16
x =
27
4
Svar: Arean hos den lilla triangeln är 6.75 cm2
Problem 131. I den mindre av två likformiga femhörningar är en sida 12 cm. Motsvarande sida
i den större femhörningen är 28 cm. Beräkna den mindre femhörningens area om den större har
arean 980 cm2 .
Lösning: Om det handlar om femhörningar eller tjugofemhörningar spelar ingen roll. Huvudsaken
är att vi känner längden hos en sida i den ena figuren och längden av motsvarande sida i den
andra. Då kan vi bestämma längdskalan.
L=
Detta leder direkt till areaskalan
A=
Håkan Strömberg
3
12
=
28
7
2
9
3
=
7
49
160
KTH STH
Nu kan vi teckna ekvationen där vi antar att den mindre femhörningen har arean x cm2 .
x
980
9
49
=
x =
9 · 980
49
x =
180
Svar: Den mindre av femhörningarna har arean 180 cm2
Problem 132. Två likformiga parallellogrammer har areorna 65 cm2 och 260 cm2 . En sida i den
mindre parallellogrammet är 13 cm. Hur lång är motsvarande sida i den större parallogrammet?
Lösning: Här kan vi inte bestämma längdskalan eftersom endast längden hos en sida är given.
Däremot kan vi direkt bestämma areaskalan
A=
65
1
=
260
4
Vi vet ju att A = L2 så då kan vi bestämma L
L2
=
√
L2
=
L
=
1
4
r
1
4
1
2
En sida i den större parallellogrammen är dubbelt så lång som motsvarande sida i den mindre.
Alltså är den eftersökta sida 2 · 13 = 26 cm
Svar: 26 cm.
Problem 133. Volymen hos en pyramid med kvadratisk basyta är 6.4 m3 . Sidan i kvadraten är 2
m. En skalenlig modell har volymen 100 cm3 . Vilken längd har sidan i modellens kvadrat?
Lösning: Vi använder oss av följande fakta: Längdskalan i kubik är lika med volymskalan
3
l1
v1
=
l2
v2
Detta ger
x 2
200
=
100
6400000
x3
2003
=
100
6400000
x3
=
x
=
x
=
100 · 2003
6400000
r
3
3 100 · 200
6400000
5
Svar: 5 cm
Håkan Strömberg
161
KTH STH
Övnings-KS2 1
Läxa 176. Förenkla så lång möjligt
(a · b · c)3 · b−3 · (2c)−3
a · a−1 · b · c−1 · b−1 · c
Förenkla så långt möjligt
Läxa 177.
√
xy
√ √
y
x
1
√ √ +√ +√
y
x· y
x
Läxa 178. Diagonalen i en rektangel är 11 cm och bildar en vinkel av 30.8◦ med en av sidorna.
Beräkna rektangelns sidor.
Läxa 179.
I en likbent triangel är de lika stora sidorna 12 cm och basen 6 cm. En med basen parallell linje
avskär ett parallelltrapets (röd del i figuren), där tre sidor är lika stora. Bestäm dessas längd. (Alla
lösningar tack)
Läxa 180. Kalle har en mängd byggklotsar i form av kuber med sidan 6 cm. Han bygger av dem
en stor kub med 10 × 10 × 10 klotsar.
Lillebor Pelle har också en mängd byggklotsar i form av kuber, men med sidan 3 cm. Han bygger
av dem en stor kub med 10 × 10 × 10 klotsar.
Fyll i tabellen
Kubens Kubens Kubens
Sida
Area
Volym
Kalle
Pelle
Beräkna därefter längd-, area- och volymskalan mellan Pelles och Kalles skapelser.
Läxa 181. En linje går genom punkterna P1(a, 3) och P2(2, −2a) Vilket värde ska a ha för att
linjen ska få lutningen k = 9?
Håkan Strömberg
162
KTH STH
Lösningar Övnings-KS2 1
Läxa Lösning 176.
(a · b · c)3 · b−3 · (2c)−3
a3 · b3 · c3 · b−3 · 2−3 · c−3
a3 · 2−3
a3 · 2−3
a3
≡
≡
≡
≡
a · a−1 · b · c−1 · b−1 · c
a · a−1 · b · c−1 · b−1 · c
1
1
8
a3
8
Läxa Lösning 177.
Svar:
√ √
√
√ √
√ √
y
xy
xy y
xy x
x
1
√ √ +√ +√
≡ √ √ + √
≡
+ √
y
y
x· y
x
x· y
x
√ √ √
√ √
√ √ √
√ √
x y
x y y
x y x
√ √
√ √ +
√
≡ 1+ y y+ x x ≡1+y+x
+
√
y
x· y
x
√
xy
Svar: 1 + y + x
Läxa Lösning 178. Diagonalen i en rektangel är 11 cm och bildar en vinkel av 30.8◦ med en av
sidorna. Beräkna rektangelns sidor.
Börja med att rita figur!
Antag att rektangelns bas är x cm och höjd y cm. Med hjälp av trigonometri får vi
cos 30.8◦ =
x
≈ 9.45
11
sin 30.8◦ =
y
≈ 5.63
11
och
Svar: Sidorna är 9.45 cm och 5.63 cm
Läxa Lösning 179.
Antag att BD = DE = EC = x. Då är AE = 12 − x. Vi får
Håkan Strömberg
x
6
12x
=
12 − x
12
6(12 − x)
12x
=
72 − 6x
18x
=
72
x
=
4
=
163
KTH STH
En annan möjlighet är att BD = BC = EC = 6. Då behöver man inte ens räkna.
Svar: 4 cm eller 6 cm
Läxa Lösning 180.
Kalle
Pelle
Kubens
Sida
10 · 6 = 60
10 · 3 = 30
Kubens
Area
10 · 10 · 6 · 6 = 3600
10 · 10 · 3 · 3 = 900
Kubens
Volym
10 · 10 · 10 · 6 · 6 · 6 = 216000
10 · 10 · 10 · 3 · 3 · 3 = 27000
Skalorna blir då
Längdskalan
30
60
Areaskalan
900
3600
Volymskalan
27000
216000
=
1
2
=
=1:2
1
4
=
=1:4
1
8
=1:8
Läxa Lösning 181. P1(a, 3) och P2(2, −2a) Formeln för k-värdet till en linje måste man kunna
k=
3 − (−2a)
y2 − y1
=
x2 − x1
a−2
Vi får nu en ekvation där k värdet kan skrivas på två sätt
3 − (−2a)
a−2
3 + 2a
=
9
=
9(a − 2)
3 + 2a
=
9a − 18
7a
=
21
a =
3
Svar: a = 3
Övnings-KS2 2
Läxa 182. Förenkla så långt möjligt
(a−2 )−2 (4b3 )2
2(a · b)3
Läxa 183. Förenkla så långt som möjligt
√
√
x3 + 3 x
√
√
3
3 3 x + x4
Läxa 184. I en rätvinklig triangel △ABC är hypotenusan BC = 10 m och kateten AC = 7 m.
Bestäm triangelns vinklar.
Håkan Strömberg
164
KTH STH
Läxa 185. Ett snapsglas, i form av en kon, rymmer 10 cl. Glaset är ”höjdmässigt” till hälften urdrucket. Hur många centiliter finns kvar i glaset?
Läxa 186. I en rätvinklig triangel är den ena kateten 7 cm och hypotenusan 1 cm längre än den
andra kateten. Beräkna triangelns area.
Läxa 187. En rät linje f(x) skär y-axeln för y = 4 och x-axeln för x = 3/2. En annan g(x) skär
y-axeln i punkten y = −3. De två linjerna skär varandra under rät vinkel. Var skär g(x) x-axeln?
Lösningar Övnings-KS2 2
Läxa Lösning 182.
Svar: 8 · a · b3
(a−2 )−2 (4b3 )2
a4 · 16 · b6
≡
≡ 8 · a · b3
3
2(a · b)
2 · a 3 · b3
Läxa Lösning 183.
√
√
√
√
√
√
√
1
1
1
1
1
x x+3 x
x3 + 3 x
x(x + 3)
x
√
√
√
√
√
≡
≡
≡
≡ x 2 · x− 3 ≡ x 2 − 3 ≡ x 6 ≡ 6 x
√
3
3
3
3
3
3 x+x x
x(x + 3)
x
3 3 x + x4
Läxa Lösning 184. ∠A = 90◦ . Antag att en vinkel är v◦ . Vi bestämmer att AC är närliggande till
∠v. Vi får
7
10
7
v = arccos
10
v ≈ 45.57◦
cos v =
Vi vet att vinkelsumman i en triangel är 180◦ . Den tredje vinkeln är då
180◦ − (90◦ + 45.57◦ ) = 44.43◦
Svar: Triangelns vinklar är 90◦ , 45.6◦ , 44.4◦
Läxa Lösning 185. Den del av drycken som finns kvar i glaset utgör en kon för sig. Om dess höjd
är a har konen som utgör hela glaset höjden 2a. Längdskalan är alltså 1 : 2 mellan konen som utgör
hela glaset och konen som utgör den dryck som är kvar.
3
Då längdskalan är 12 ≡ 1 : 2 är volymskalan 21 ) ≡ 1 : 8. Detta betyder att om det finns 10 cl i
glaset från början så finns det endast 10
8 = 1.25 cl kvar.
Läxa Lösning 186. Antag att den andra kateten är x cm. Då är hypotenusan x + 1 cm. Pythagoras
Håkan Strömberg
165
KTH STH
sats ger
72 + x2 = (x + 1)2
49 + x2 = x2 + 2x + 1
48 = 2x
x = 24
De två kateterna utgör höjd och bas i triangeln och ger arean
24 · 7
≡ 84
2
Svar: Arean är 82 cm2
Läxa Lösning 187. De två funktionerna g(x) = kg ·x +mg och f(x) = kf ·x +mf måste bestämmas
för att svaret ska kunna ges. Vi vet att f(0) = 4 och f(3/2) = 0 ur detta kan vi bestämma kf
kf =
8
4−0
=−
3
3
0− 2
Vi vet redan att mf = 4 och kan nu skriva f(x) = − 83 · x + 4. Genom texten vet vi att kg = 38
eftersom kg · kf = −1. Vi vet också att mg = −3 och kan skriva g(x) = 38 · x − 3. Då vi löser
ekvationen g(x) = 0 får vi den efterfrågade roten.
3
8
·x−3
x
=
=
0
8
g(x) skär x-axeln i (8, 0)
Övnings-KS2 3
Läxa 188. Förenkla så långt möjligt
x2 · (6 · y)2 · (2 · x · y)2
1
· (12 · y)2
x−4
Förenkla så långt möjligt
Läxa 189.
√
√
√ √
( x − y)( x + y)
x2 − 2xy + y2
Läxa 190. I en rätvinklig triangel är ena kateten 21 m och arean är 126 cm2 . Bestäm trianglarnas
vinklar.
Läxa 191. I △ABC är DE parallell med BC. AB = 12 cm, AC = 15 cm och AD = 4 cm. I vilka
längder delas AC ?
Läxa 192. Ett jordområde har formen av en triangel. På en karta i skalan 1 : 1000 är triangelns bas
12 cm och höjd 5 cm. Vilken area har jordområdet?
Läxa 193. Bestäm ekvationen för den linje som går genom skärningspunkten mellan L1 och L2
och som är parallell med L3 .
L1 : y = x − 2
L2 : y = 2x + 3
L3 : y = −x + 2
Håkan Strömberg
166
KTH STH
Lösningar Övnings-KS2 3
Läxa Lösning 188.
144 · x4 · y4
x2 · (6 · y)2 · (2 · x · y)2
x2 · 36 · y2 · 4 · x2 · y2
≡
≡ y2
≡
1
4 · 144 · y2
4 · y2
2
x
144
·
x
·
(12
·
y)
−4
x
Läxa Lösning 189.
√
√ √
√
1
1
1
1
1
1
( x − y)( x + y)
(x 2 − y 2 )(x 2 + y 2 )
(x 2 )2 − (y 2 ))2
x−y
1
≡
≡
≡
≡
x2 − 2xy + y2
x2 − 2xy + y2
(x − y)2
(x − y)2
x−y
Läxa Lösning 190. Rita figur!
Eftersom vi har triangeln area och bas, kan vi bestämma höjden h.
126 =
21 · h
2
som ger h = 12 m. Vinklarna får vi nu genom
12
21
12
v = arctan
21
v ≈ 29.74
tan v =
Den resterande vinkeln får vi genom
180◦ − (90◦ + 29.74◦ ) = 60.26◦
eller genom
21
12
21
u = arctan
12
u ≈ 60.26
tan u =
Svar: Vinklarna är 60.26◦ och 29.74◦
Läxa Lösning 191. Rita figur!
△ADE ∼ △ABC, då DE är en parallelltransversal. Antag att AE = x cm. Vi får
15
x
=
4
12
ger x = 5. AC delas 5 respektive 15 − 5 = 10 cm
Svar: 5 cm och 10 cm
Håkan Strömberg
167
KTH STH
Läxa Lösning 192. Ett jordområde har formen av en triangel. På en karta i skalan 1 : 1000 är
triangelns bas 12 cm och höjd 5 cm. Vilken area har jordområdet?
Arean av området på kartan är
A=
12 · 5
≡ 30 cm2
2
Areaskalan är 1 : 10002 = 1 : 1000000. Detta betyder att arean i verkligheten är
30 · 1000000 = 30000000 cm2 ≡ 3000 m2
Ett annat sätt är att räkna om basen och höjden till verkligheten. Först höjden:
5 · 1000 = 5000 cm ≡ 50 m
och så basen
12 · 1000 = 12000 cm ≡ 120 m
Vi får nu arean genom
50 · 120
= 3000 m2
2
Svar: 3000 m2
Läxa Lösning 193. Först bestämmer vi skärningspunkten mellan L1 och L2 .
y = x−2
y = 2x + 3
som ger
x−2 =
−2 − 3 =
x =
2x + 3
2x − x
−5
x = −5 insatt i L1 ger y = −7. Vi har skärningspunkten (−5, −7). Den sökta linjen har k-värdet −1,
samma som L3 :s k-värde.
Återstår att med hjälp av punkten (−5, −7) bestämma m i y = −x + m. Vi får −7 = −(−5) + m ger
m = −12.
Svar: y = −x − 12
Håkan Strömberg
168
KTH STH
Sidor i boken
KB 7-15
Linjära ekvationssystem
Exempel 80. Kalle och Pelle har tillsammans 300 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle.
Hur många kulor har var och en?
Lösning: Antag att Kalle har x kulor. Då har Pelle 2x kulor, som leder till ekvationen
x + 2x = 300
som ger x = 100
Svar: Kalle har 100 kulor och Pelle har 200.
Detta problem ledde till en ekvation av första graden. Här ett alternativt sätt att lösa problemet
Lösning: Antag att Kalle har x kulor och Pelle y kulor. Vi får då två ekvationer som vi sätter
samman till ett ekvationssystem
x + y = 300
y = 2x
Då vi vet att y = 2x från den andra ekvationen kan vi substituera detta i den första och får
x + 2x = 300
som är identisk med den första lösningen. När vi löst ut och fått x = 100, sätter vi in detta resultat i
den andra ekvationen och får y = 2 · 100 ≡ 200. Samma svar förstås.
Om du skriver om ekvationerna i systemet till
y =
y =
300 − x
2x
ser du att detta är två räta linjer. Lösningen kan då åskådliggöras med hjälp av en graf.
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
Lösningen hittar vi där linjerna skär varandra, (100, 200).
Klassificering av ekvationssystem
Det inledande ekvationssystemet ovan är ett linjärt ekvationssystem med 2 obekanta. Det är linjärt
därför att det de obekanta har gradtalet ett.
Håkan Strömberg
169
KTH STH
Här har vi ett linjärt ekvationssystem med 3 obekanta.

 x+y+z =
2x − y + 3z =

x + 4y − 2z =
6
9
3
med lösningen x = 1, y = 2, z = 3. Systemet är lite svårare att lösa än det med 2 obekanta och
mycket svårare att åskådliggöra i en graf.
Det finns förstås ingen övre gräns för hur många obekanta man kan ha i ett ekvationssystem. Det
finns tillämpningar där antalet obekanta är flera tusen! Då är man förstås tvungen att använda en
dator för att hitta lösningen.
Här har vi ett icke linjärt ekvationssystem med 2 obekanta. Systemet är icke linjärt därför att x (och
även y) förekommer med graden 2.
(x − 2)2 + (y − 3)2 = 36
2y + 3x = 10
Den första ekvationen beskriver en ellips och den andra en rät linje.
Vi kan läsa av de två rötterna på ett ungefär, (−1.78, 7.66) och (4.85, −2.28)
Som tur är kommer vi här bara att syssla med linjära ekvationssystem av 2 obekanta.
En, ingen eller oändligt många lösningar
Ett linjärt ekvationssystem kan ha en, ingen eller oändligt många lösningar. Detta är ett system med
en lösning
2x + 3y = 12
4x − 6y = 0
Med substitutionsmetoden löser vi ut x eller y ur en av ekvationerna och substituerar dess värde i
den andra ekvationen. Vi löser ut x ur den andra ekvationen
4x − 6y =
x =
Vi ’sätter in’
3y
2
3y
2
får vi x =
3·2
2
3y
2
+ 3y
6y
y
=
=
=
12
12
2
≡ 3. Om vi löser ut y ur de två ekvationerna får vi:
y =
y =
Håkan Strömberg
3y
2
för x i den första ekvationen
2·
Från x =
0
− 2x
3 +4
2x
3
170
KTH STH
Två räta linjer som vi kan plotta
Svar: x = 3, y = 2
Det här systemet har ingen lösning.
3y − 9x − 9 =
4y − 12x + 8 =
0
0
Hur kan man se det? Vi löser ut y ur första ekvationen och får y = 3x + 3. Resultatet substituerar vi
i den andra ekvationen och får:

 4(3x + 3) − 12x + 8 = 0
12x + 12 − 12x + 8 = 0

20 = 0
vilket bevisar detta. Hade vi kunna se det på något annat sätt? Om vi löser ut y även ur den andra
ekvationen får vi
y = 3x + 3
y = 3x − 2
Ekvationerna representerar nu två räta linjer. Att de inte skär varandra förstår vi då båda linjerna
har k = 3. Här har vi grafen
Det här systemet har oändligt många lösningar
3y − 3x − 6 =
6y − 6x − 12 =
0
0
Hur kan man se det då? Vi gör som i förra exemplet löser ut y i första ekvationen och får y = x + 2,
sätter in det i andra ekvationen

 6(x + 2) − 6x − 12 = 0
6x + 12 − 6x − 12 = 0

0 = 0
Detta betyder att för varje värde på x så finns det ett värde på y som satisfierar båda ekvationerna.
Hade vi kunna se det på något annat sätt? Om vi löser ut y även ur den andra ekvationen får vi
y = x+2
y = x+2
Håkan Strömberg
171
KTH STH
De båda ekvationerna representerar samma linje! Grafen ger då endast en linje och självklart finns
det då till varje x-värde ett y-värde.
Problem 134. Givet
x2 + ax + b = 0
Bestäm a och b, som är reella tal då man vet att ekvationen har rötterna x1 = −7 och x2 = 9.
Bestäm
Substitutionsmetoden och Additionsmetoden
I systemen vi löst ovan har vi använt oss av substitutionsmetoden som innebär
1 Lös ut en obekant ur den ena ekvationen
2 Ersätt denna lösning med den denna obekanta i den andra ekvationen
3 Lös denna ekvation som nu består av en obekant
4 Sätt in denna lösning i lösningen från steg 2
Vi löser detta system
2y − 6x
6x − 3y − 12
=
=
10
0
efter schemat ovan. (1) Vi löser ut y ur den första ekvationen
2y − 6x =
2y =
y =
10
10 + 6x
5 + 3x
(2) Vi ersätter y med 5 + 3x i den andra ekvationen och löser ekvationen (3).
6x − 3(5 + 3x) − 12
6x − 15 − 9x − 12
6x − 15 − 9x − 12
−27
x
=
=
=
=
=
0
0
0
3x
−9
(4) Vi sätter in x = −9 i lösningen från (1)
y =
y =
5 + 3(−9)
−22
Svar: x = −9 och y = −22
Vi löser så samma system med additionsmetoden. Först städar vi lite grann.
2y − 6x = 10
−3y + 6x = 12
Håkan Strömberg
172
KTH STH
När vi nu adderar V.L. i första ekvationen med V.L. i andra och H.L. i första ekvationen med med
H.L. i den andra får vi
−y = 22
y = −22
Med lite tur fick vi direkt y = −22. Detta värde sätter
väljer den första:

 2(−22) − 6x =
−6x =

x =
vi så in i vilken som helst i ekvationerna. Vi
10
10 + 44
−9
Svar: x = −9 och y = −22 Så där enkelt blir det förstås inte alltid. Vi tar ett exempel till:
y − 5x − 2 = 0
3y + 2x − 40 = 0
Här multiplicerar vi först båda sidor av första ekvationen med −3, innan vi adderar
−3(y − 5x − 2) = −3 · 0
3y + 2x − 40 = 0
och får
Efter additionen har vi
=
=
−3 · 0
0
=
=
0
2
−3y + 15x + 6
3y + 2x − 40
17x − 34
x
Vi sätter in x = 2 i den andra ekvationen 3y + 2 · 2 − 40 = 0, som ger y = 12.
Svar: x = 2 och y = 12.
Ett ännu mer krävande exempel
7x − 3y
3x + 2y
=
=
−13
1
Här multiplicerar vi båda leden i första ekvationen med 2 och båda leden i den andra med 3
2(7x − 3y) = 2 · (−13)
3(3x + 2y) = 3 · 1
Vi får
Efter additionen har vi
14x − 6y
9x + 6y
23x
x
=
=
−26
3
= −23
= −1
x = −1 insatt i den andra ekvationen ger 9(−1) + 6y = 3 ger y = 2.
Svar: x = −1 och y = 2.
Vilken metod ska man då välja? Ibland leder den ena till enklare räkningar än den andra. Eftersom
båda leder till rätt svar kan man låta smaken avgöra.
Håkan Strömberg
173
KTH STH
Läxa 194. Lös ekvationssystemet grafiskt
Läxa 195. Lös ekvationssystemet
4y − 2x
2y + x
= 30
= 21
3(x − 2) − 4(y + 5)
3y − 2x + 5y + 3x
=
=
−3
−11
Läxa 196. Lös ekvationssystemet
13x + 15y
6x + 8y
=
=
19
12
Läxa 197. Bonden Per Olsson har har på sin gård kor och höns. Räknar han huvudena på sina
djur kommer han fram till 23. Räknar han benen kommer han fram till 66. Hur många kor och hur
många höns har Per Olsson?
Läxa 198. HT 1958. Lös ekvationssystemet exakt

 3x + 15y
10
 5x − y
3
=
7
=
1
3
Läxa 199. En arbetare arbetade en vecka dels 48 timmar efter en viss timlön och dels 5 timmar
övertid. Totalt fick han då ut 193 kr. En annan vecka arbetade han 40 timmar med samma timlön
och 4 timmar övertid med samma övertidsersättning. Denna vecka tjänade han 160 kr. Beräkna
timlönen för det ordinarie arbetet och för övertidsarbetet.
Läxa 200. VT 1956. Lös ekvationssystemet exakt

 3x + 4y
5

5x
6
+
7
3y
8
=
38
5
=
61
8
Läxa 201. Lös ekvationssystemet

x+y+z+u



y+z+u
z+u



u
Håkan Strömberg
174
=
=
=
=
10
6
3
1
KTH STH
Läxa 202. Adam kunde ta sig från A-stad till D-stad på två olika sätt. Dels kunde han gå de 12 km
till B-stad och därefter cykla 24 km till D-stad. Eller så kunde han gå 14 km till C-stad och fortsätta
16 km på cykel till D-stad. Resan tog i båda fallen 4.5 timmar. Bestäm Adams hastighet till fots och
på cykel.
Läxa 203. En linje med k = 3 går genom punkten (0, −14). En annan med k = −2 går genom
punkten (8, 0). I vilken punkt skär de två linjerna varandra?
Läxa 204. Kalle köpte bananer för 7 kr/st och apelsiner för 6 kr/st. Totalt handlade han för 34 kr.
Hur många bananer och apelsiner köpte han?
Läxa 205. Lös de två ekvationssystemen grafiskt


x+y = 2
 x+y =

3x − 2y =
3x − 2y = 1


x + 6y =
x + 4y = 5
2
1
5
Läxa 206. VT 1913. En person har åtagit sig att fullborda ett arbete på 50 arbetsdagar och använder
i början 33 man vid detsamma. När 28 arbetsdagar förgått, är endast halva arbetet verkställt. Hur
mycket behöver han öka arbetsstyrkan för att kunna fullgöra sitt åtagande?
Läxa 207. Vid en utställning sänktes inträdesbiljetten med 25% efter första veckan. Under andra
veckan ökades inkomsten med 8%. Med hur många procent hade antalet besökare ökat?
Läxa Lösning 194.
Vi utläser lösningen x = 3 och y = 9 från diagrammet. Genom att sätta in lösningen i ekvationerna
ser vi att avläsningen är korrekt.
Svar: x = 3 och y = 9.
Läxa Lösning 195. Uppgiften är inte svårare än de tidigare efter att vi förenklat ekvationerna
3x − 6 − 4y − 20 = −3
8y + x = −11
så får vi
Additionsmetoden ger
Håkan Strömberg
−4y + 3x =
8y + x =
2(−4y + 3x) =
8y + x =
175
23
−11
2 · 23
−11
KTH STH
och
Efter addition får vi
−8y + 6x =
8y + x =
7x
x
=
=
46
−11
35
5
Så får vi fram y = 8y + 5 = −11 som ger y = −2
Svar: x = 5, y = −2.
Läxa Lösning 196. Vilken metod ska vi välja? Varför inte substitutionsmetoden. Vi löser ut x ur
andra ekvationen
6x + 8y = 12
x
=
x
=
12−8y
6
6−4y
3
Som vi så sätter in in första
3
13(6−4y)
+ 15y
3
13(6−4y)
+
15y
3
78 − 52y + 45y
=
19
=
3 · 19
=
57
−7y =
−21
y =
3
som till sist ger x = 6−4·3
≡ −2
3
Svar: y = 3 och x = −2.
Läxa Lösning 197. Antag att han har k kor och h höns. Vi får då följande ekvationssystem.
x + y = 23
4x + 2y = 66
Från första ekvationen får vi y = 23 − x som vi sätter in i den andra och får
4x + 2(23 − x)
4x + 46 − 2x
2x
x
=
=
=
=
66
66
20
10
Insatt i y = 23 − 10, ger y = 13
Svar: Han har 10 kor och 13 höns.
Läxa Lösning 198. Vi startar med att fixa bort nämnarna

 10 3x + 15y
= 10 · 7
10

= 3· 1
3 5x − y
3
som ger
Genom additionsmetoden får vi
30x + 15y =
15x − y =
30x + 15y =
−2(15x − y) =
3
70
1
70
−2 · 1
som ger
17y
y
Håkan Strömberg
= 68
= 4
176
KTH STH
y = 4 insatt i någon av de tidigare ekvationerna får vi
15x − 4
x
Svar: y = 4 och x =
= 1
= 13
1
3
Läxa Lösning 199. Antag att han tjänade x kronor/timmen under ordinarie arbete och y kronor/timmen under övertidsarbetet. Vi får då följande system:
48x + 5y = 193
40x + 4y = 160
Additionsmetoden ger
eller
som ger
−4(48x + 5y)
5(40x + 4y)
−4 · 193
5 · 160
=
=
−192x − 20y
200x + 20y
8x =
x =
=
=
−772
800
28
3.5
Övertidsersättningen är
40 · 3.5 + 4y =
4y =
y =
160
160 − 140
5
Svar: De olika timlönerna är 3.50 kr respektive 5.00 kr
Läxa Lösning 200. Först gör vi oss av med nämnarna

 35 3x + 4y
= 35
5
7
 48 5x + 3y
= 48
6
8
som övergår i
Nu tillämpar vi additionsmetoden
som ger
och
Till sist får vi så
38
5
61
8
21x + 20y
40x + 18y
=
=
266
366
18(21x + 20y)
−20(40x + 18y)
=
=
18 · 266
−20 · 366
=
=
4788
−7320
378x + 360y
−800x − 360y
−422x
x
=
=
21 · 6x + 20y
20y
y
−2532
6
= 266
= 266 − 126
= 7
Svar: x = 6 och y = 7.
Håkan Strömberg
177
KTH STH
Läxa Lösning 201. Detta är ett linjärt ekvationssystem med 4 obekanta, trots att vi lovat att det inte
skulle förekomma fler än 2 obekanta. Nu är det ju så att detta system kan lösas med huvudräkning.
Tekniken som man ska använda är så kallad bakåtsubstitution. Eftersom u = 1 ser vi enkelt, från
den tredje ekvationen, att z = 2. Lika enkelt ser vi från den andra ekvationen att y = 3 och från
den första får vi då x + 3 + 2 + 1 = 10, ger x = 4. Bakåtsubstitution ingår som ett moment i lösandet
av större ekvationssystem. Mer om detta i er matematiska framtid.
Svar: x = 4, y = 3, z = 2 och u = 1.
Läxa Lösning 202. Antag att han gick med x km/tim och cyklade med y km/tim. Från den bekanta
formeln s = t · v, kan vi lösa ut t = vs . Vi får då ekvationssystemet

 12 + 24 = 4.5
x
y
 14 + 16 = 4.5
x
y
Bästa sättet att lösa detta system är att substituera a =
12a + 24b
14a + 16b
1
x
och b =
1
y.
Vi får
= 4.5
= 4.5
Med additionsmetoden får vi
eller
−7(12a + 24b)
6(14a + 16b)
−84a − 168b
84a + 96b
−72b
b
Då b =
1
y
=
=
=
=
−7 · 4.5
6 · 4.5
= −31.5
= 27
−4.5
4.5
72
får vi y = 16. Sätter vi in y = 16 direkt i
12
x
+
24
16
= 4.5
12
x
= 4.5 − 1.5
12
3
x
=
x
= 4
Svar: Gånghastigheten är 4 km/tim. Cykelhastigheten är 16 km/tim.
Läxa Lösning 203. Vi kan utan vidare bestämma ekvationerna för de två linjerna. Den första har
m-värde −14 = 3 · 0 + m, ger m = −14 och ekvationen y = 3x − 14. Den andra har m-värde
0 = (−2) · 8 + m, ger m = 16 och ekvationen y = −2x + 16. Återstår att lösa ekvationssystemet
y = 3x − 14
y = −2x + 16
Enkel substitution ger
3x − 14
5x
x
Håkan Strömberg
= −2x + 16
= 30
= 6
178
KTH STH
x = 6 insatt i första ekvationen ger y = 3 · 6 − 14 ger y = 4. Att vi troligtvis räknat rätt ser vi i grafen
Läxa Lösning 204. Antag att han köpte x bananer och y apelsiner. Det är inte svårt att teckna
ekvationen
7x + 6y = 34
Men sen? Att problemet är meningsfullt beror på att antalet bananer och apelsiner måste vara heltal.
Denna typ av ekvationer kallas diofantiska och nämns aldrig i gymnasiematematiken. Här har vi
grafen
Hur kan vi utläsa svaret? Jo, en lösning finns där linjen skär en gitterpunkt. Gitterpunkterna i
diagrammet är skärningen mellan blå linjer. I dessa punkter är alltid antalet bananer och apelsiner
heltal.
Vi avläser svaret 4 bananer och 1 apelsin. Normalt finns det flera lösningar. Ja, det finns för vår
ekvation oändligt många lösningar om man tillåter ett negativt antal bananer och/eller apelsiner.
Nog om diofantiska ekvationer.
Läxa Lösning 205. Vi får följande grafer
Båda systemen har tre ekvationer men endast två obekanta. Ett sådant system kallas överbestämt.
För att det ska finnas en lösningen måste alla tre linjerna gå genom en gemensam punkt. Så är fallet
i det vänstra systemet Punkten är (1, 1). I det högra systemet finns ingen gemensam punkt för de
tre linjerna och systemet saknar därför lösning.
Läxa Lösning 206. Antag att han behövde anställa x man ytterligare. 33 · 28 ’mandagar’ fixade
Håkan Strömberg
179
KTH STH
hälften av jobbet. Den andra häften klarades av på (33 + x) · 22 mandagar. Vi får ekvationen
33 · 28
924
x
x
=
=
=
=
(33 + x)22
726 + 22x
924−726
22
9
Svar: Han behövde anställa 9 man till.
Läxa Lösning 207. Vi vet inget om biljettpriset (p), eller antalet besökare (b) men kan ändå ställa
upp en ekvation. Antag att antalet besökare ökade med tillväxtfaktorn x. Första veckan var intäkten
p · b. Andra veckan 0.75p · x · b. Detta ger ekvationen
1.08 · p · b
1.08
x
x
=
=
=
=
0.75 · p · x · b
0.75 · x
1.08
0.75
1.44
Svar: Antalet besökare steg med 44%.
Håkan Strömberg
180
KTH STH
Sidor i boken
148-151
Andragradsfunktioner
Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs
f(x) = ax2 + bx + c
där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 6= 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax2 + bx + c
kallas parabel.
Här följer ett antal exempel kopplade till polynom av andra graden. Oftast handlar det om funktionen
f(x) = x2 + b · x + c
men ibland är koefficienten framför x2 termen a 6= 1.
f(x) = a · x2 + b · x + c
I flera av uppgifterna handlar det om att läsa ut värden ur en graf. Detta är förstås, ett icke
matematiskt sätt att närma sig ett problem. Trots det påstår vi att, när det verkar som en kurva går
genom en viss punkt, så gör den det!
Exempel 81.
Figuren visar grafen till funktionen
f(x) = x2 − x − 6
För att bestämma nollställena löser man ekvationen f(x) = 0.
x2 − x − 6 =
0
=
1
2
x
x =
x =
x1 = 3
Håkan Strömberg
181
±
q
1
q4
+6
25
1
2 ±
4
5
1
2 ± 2
x2 = −2
KTH STH
x-värdet för vertex ligger mitt emellan nollställena
x1 + x2
2
I detta exempel
3 + (−2)
1
=
2
2
f(x) har av allt att döma ett minimum då x =
f
1
2
2
1
1
1
25
=
− −6≡−
2
2
2
4
Minpunkten är ( 21 , 25
4 ).
Symmetrilinjen är x = 12 . Observera att detta är en rät linje parallell med y-axeln!
Exempel 82. Bestäm nollställena hos
a) f(x) = x2 − x − 6
b) g(x) = 2x2 − 2x − 12
Nollställena till f(x) vet vi redan x1 = 3 och x2 = −2. Vi löser ekvationen g(x) = 0 och får
2x2 − 2x − 12 =
x2 − x − 6 =
0
0
x =
1
2
x =
x =
x1 = 3
±
q
1
q4
+6
25
1
2 ±
4
1
5
2 ± 2
x2 = −2
Samma nollställen. Men observera graferna till f(x) och g(x)
Vi ser att nollställena är desamma och därmed att symmetrilinjen är densamma, men i övrigt skiljer
sig graferna åt. y-värdet för minimipunkten är nu
2
1
1
25
1
=2
− 2 − 12 ≡ −
g
2
2
2
2
Håkan Strömberg
182
KTH STH
Här är de fakta man normalt vill ha reda på när det gäller en andragradsfunktion.
• Vilka nollställen funktionen har
• Vilka koordinater funktionens vertex (max- eller min-punkt) har
• Var grafen skär y-axeln
• Symmetrilinjens ekvation
8
6
4
2
-3
1
-1
3
Figur 21:
Exempel 83. Här ser vi, i figur 32, andragradsfunktionen på sin enklaste form där koefficienten till
x2 -termen är 1. Vilken är funktionen?
Lösning: Visst ser du, att det handlar om f(x) = x2 . Antingen ser man bara det, eller så förstår
man att det bara finns en ekvation som har rötterna x1,2 = 0 nämligen x2 = 0, med motsvarande
funktion f(x) = x2
Hur är det då med funktionen g(x) = 2x2 ? Den har ju också det dubbla nollstället x1,2 = 0, men
då med x2 -koefficienten 2. Kan det vara den som syns i grafen?
Normalt behöver vi tre punkter på andragradskurvan för att kunna bestämma funktionen. Så här
går det till:
Vi får våra tre punkter (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) och (x3 , y3 ) och söker nu a, b, c i f(x) = ax2 + bx2 + c.
Vår punkter leder till ett ekvationssystem:



a · x21 + b · x1 + c = y1


a · x22 + b · x2 + c = y2



 a · x2 + b · x + c = y
3
3
3
Ett så linjärt system med tre ekvationer och tre obekanta, a, b, c.
a=−
−x2 y1 + x3 y1 + x1 y2 − x3 y2 − x1 y3 + x2 y3
(x2 − x3 )(x21 − x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 )
b=−
x22 y1 − x23 y1 − x21 y2 + x23 y2 + x21 y3 − x22 y3
(x1 − x2 )(x1 − x3 )(x2 − x3 )
c=−
−x22 x3 y1 + x2 x23 y1 + x21 x3 y2 − x1 x23 y2 − x21 x2 y3 + x1 x22 y3
(x2 − x3 )(x21 − x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 )
Här är systemet löst en gång för alla. Knappast formler man kommer att lära sig utantill. Men om
man ska lösa hundratals problem av den här typen är det idé att skriva ett datorprogram med
utgångspunkt från dessa formler.
Håkan Strömberg
183
KTH STH
Innan vi lämnar dem ska vi bara konstatera ett de fungerar för tre punkter från vår kurva ovan:
(x1 , y1 ) = (−1, 1), (x2 , y2 ) = (0, 0) och (x3 , y3 ) = (1, 1). I alla fall om man ska tro våra avläsningar.
I första steget ser vi att alla termer som innehåller (x2 , y2 ) = (0, 0) försvinner. Återstår
a=−
b=−
c=−
x3 y1 − x1 y3
1 · 1 − (−1) · 1
=1
=−
2
(−1)((−1)2 − (−1) · 1)
(−x3 )(x1 − x1 x3 )
−x23 y1 + x21 y3
−12 · 1 + (−1)2 · 1
=−
=0
(x1 )(x1 − x3 )(−x3 )
(−1)((−1)2 − (−1) · 1)
0
=0
(−x3 )(x21 − x1 x3 )
20
15
10
5
-5
-3
-1
-5
1
3
5
Figur 22:
Exempel 84. Bestäm a och b till funktionen f(x) = x2 + bx + c genom att i grafen, figur 33, avläsa
nollställena.
Lösning: Nollställena är x1 = −2 och x2 = 3. Vi får
f(x) = (x + 2)(x − 3) = x2 − 3x + 2x − 6 = x2 − x − 6
4
2
2
-2
1
-1
2
3
-2
-2
1
-1
2
3
-2
-4
figur I
figur II
Exempel 85.
a) Bestäm a och b till funktionen f(x) = x2 +bx+c genom att i grafen, figur I, avläsa nollställena.
b) Bestäm a och b till funktionen f(x) = x2 +bx+c genom att i grafen, figur II, avläsa nollställena.
Lösning: a)
Nollställena är x1 = −1 och x2 = 2. Vi får
f(x) = (x + 1)(x − 2) ≡ x2 − 2x + x − 2 ≡ x2 − x − 2
Stopp lite, är det verkligen riktigt? Nej den funktion vi fått fram har ett minimum och den i figuren
ett maximum. Det finns tydligen två andragradspolynom som går genom två givna nollställen.
f1 (x) = ax2 + bx + c
f2 (x) = −ax2 − bx − c
Håkan Strömberg
184
KTH STH
Detta styrker vårt resonemang från uppgift 1 där vi påstod att inte förrän vi har tre givna punkter
på kurvan kan vi bestämma funktionen. Men i detta problem fanns dessutom grafen given och vi
kan då bestämma att det är f(x) = −x2 + x + 2 vi är ute efter.
Svar: f(x) = −x2 + x + 2
b)
Har inte funktion, med grafen i figur figur 4, samma nollställen som den i figur 3? Vad är det i så
fall som skiljer den från den tidigare? Jovisst, det har vi ju redan sagt. Svaret på denna uppgift är
f(x) = x2 − x − 2
Svar: f(x) = −x2 + x + 2
Regel: Givet funktionen
f(x) = ax2 + bx + c
Då a > 0
Minimum
Glad gubbe
Då a < 0
Maximum
Ledsen gubbe
6
C
4
B
2
A
-2
1
-1
2
3
Figur 23:
Exempel 86. Här har vi plottat, figur 23, funktionerna p1 (x) = x2 , p2 (x) = 3x2 och p3 (x) = x2 /3.
Vilken är vilken?
Lösning: Ju större koefficient, desto snabbare växer funktionen:
A) p3 (x) = x2 /3
B) p1 (x) = x2
C) p2 (x) = 3x2
Håkan Strömberg
185
KTH STH
25
20
B
15
A
10
C
5
-3
-1
-5
1
3
5
Figur 24:
Exempel 87. Återigen tre plottade funktioner: p1 (x) = −x2 + 2x + 8, p2 (x) = x2 + 3 och
p3 (x) = x2 − 4. Identifiera dem.
Lösning: Vi har nu lärt oss att då x2 -termen har en negativ koefficient har funktionen ett
maximum. En annan har nollställen i x1 = −2 och x2 = 2 och bör då tillhöra funktionen
p(x) = (x + 2)(x − 2) = x2 − 4. Kvar
√ blir den som saknar nollställen, vilket vi förstår då vi försöker
lösa ekvationen x2 + 3 = 0; x = ± −3. Ekvationen saknar reella rötter.
A) p1 (x) = −x2 + 2x + 8
B) p2 (x) = x2 + 3
C) p3 (x) = x2 − 4
10
5
-2
1
-1
2
3
-5
Figur 25:
Exempel 88. Här har vi plottat funktionerna p1 (x) = x2 + 3x − 4 och p2 = −x2 + 4x + 2. Bestäm
skärningspunkterna.
Lösning: Vi söker två punkter som finns på båda kurvorna.
x2 + 3x − 4
2x2 − x − 6
x2 − x2 − 3
=
=
=
x
x
x1 = 2
=
=
p1 (2) = 22 + 3 · 2 − 4 = 6 och p1 (− 32 ) = − 32
(− 23 , 25
4 )
Håkan Strömberg
2
−x2 + 4x + 2
0
0 q
1
1
4 ±
16
1
7
4 ± 4
x2 = − 23
+3
+ 3 · − 23 − 4 =
186
25
4
ger de två punkterna (2, 6) och
KTH STH
10
5
-5
-3
1
-1
3
-5
Figur 26:
Exempel 89. Ett andragradsfunktionen har antingen ett maximum eller minimum. Betrakta nu
grafen ovan där vi kan se båda nollställena. På vilken x-koordinat ligger alltid extrempunkten?
Lösning: Vi har inte den teori som krävs för att klara detta! Men här är svaret:
Om vi utgår från f(x) = x2 + px + q, så är y-koordinaten för extrempunkten
p2
+q
y extrempunkt = −
4
och x-koordinaten
p
x extrempunkt = −
2
Så här kommer det att se ut i nästa kurs: Vi startar med att derivera vår funktion
f ′ (x) = 2x + p
f ′ (x) = 0 då 2x + p = 0; x = − p2 . Vi bevisar också y-koordinaten för extrempunkten.
p
p 2
p
f −
=
−
+q
+p· −
2
2
2
p
2
2
p
p
=
−
+q
f −
2
4
2
p
2
p
f −
+q
= −
2
4
p p2
Svar: Extrempunkten har koordinaterna − , −
+q
2
4
6
5
4
3
2
1
1
3
5
Figur 27:
Exempel 90. Vilka nollställen har denna funktion?
Lösning: Av allt att döma en dubbelrot för x = 3. Funktionen blir då f(x) = (x − 3)2
Håkan Strömberg
187
KTH STH
5
1
-1
3
Figur 28:
Exempel 91. Vilka nollställen har funktionerna och var skär de varandra då båda är av typen
f(x) = x2 + px + q
Lösning: Den ena kurvan motsvarar funktionen f(x) = x2 med nollställena x1,2 = 0 och den andra
är g(x) = (x − 2)2 med nollställena x3,4 = 2. Kurvorna skär varandra i
x2
x2
x
=
=
=
(x − 2)2
x2 − 4x + 4
1
Exempel 92. Vi söker nu p och q i f(x) = x2 + px + q så att andragradsfunktionen går genom
punkterna (1, 2) och (3, 9).
Lösning: Eftersom en koefficient den som tillhör x2 termen redan är given behövs bara två
ekvationer för att finna de två obekanta p och q.
2
1 +p·1+q = 2
32 + p · 3 + q = 9
p = − 21 och q =
3
2
Svar: f(x) = x2 −
p+q
3p + q
= 1
= 0
x 3
+
2 2
14
12
10
8
6
4
2
1
-1
3
Figur 29:
Exempel 93. Plottar vi funktionen vi fick som svar i förra exemplet får vi detta resultat. Vad kan
vi säga om funktionens nollställen?
Lösning: Den saknar nollställen. Om vi löser motsvarande ekvation får vi
x2 −
x 3
+
2 2
=
x =
Håkan Strömberg
188
0
1
±
4
r
1
3
−
16 2
KTH STH
diskriminanten (uttrycket under rottecknet) är < 0.
Exempel 94. En andragradsfunktion, av typen f(x) = x2 + px + q, har ett dubbelt nollställe i 5.
Vilken är funktionen?
Lösning: f(x) = (x − 5)2
Exempel 95. För vilka värden på a har funktionen p(x) = x2 − 8x + a
• Ett dubbelt nollställe
• Två olika nollställen
• Inget reellt nollställe
Lösning: Återigen gäller det att lösa en andragradsekvation
x2 − 8x + a
x
=
=
0 √
4 ± 16 − a
• Om 16 − a = 0; a = 16 finns det en dubbelrot i x = 4
• Om 16 − a < 0; a > 16 saknas reella nollställen
• Om 16 − a > 0; a < 16 finns två reella olika nollställen
25
20
B
15
C
10
A
5
-3
1
-1
3
Figur 30:
Exempel 96. Här har vi plottat funktionerna: p1 (x) = x2 + 2x + 2, p2 (x) = x2 + 2x − 3 och
p3 (x) = x2 + 2x + 5. Vilken är vilken och vad händer då vi ökar q i p(x) = x2 + px + q?
Lösning: Skillnaden mellan f(x) = ax2 + bx + c och g(x) = ax2 + bx + (c + ∆c), är förstås
g(x) − f(x) = ∆c. Med hjälp av detta kan vi snabbt avgöra vilken funktion som är vilken
A)
B)
C)
Håkan Strömberg
p3 (x) = x2 + 2x + 5
p1 (x) = x2 + 2x + 2
p2 (x) = x2 + 2x − 3
189
KTH STH
Exempel 97. Vad kan man säga om andragradsfunktioner, där p = 0 i p(x) = x2 + px + q, alltså
p(x) = x2 + q? Vad krävs för att funktionen ska ha två nollställen? Kan den ha ett dubbelt nollställe?
I så fall för vilka q?
Om vi löser ekvationen
x2 + q
x1,2
= 0
√
= ± −q
ser vi att q ≤ 0 är nödvändigt för att det ska finnas nollställen och att då q = 0 är det frågan om ett
dubbelt nollställe.
Exempel 98. Vi önskar två andragradsfunktioner på formen p1 (x) = −x2 + ax + b och p2 (x) =
x2 + cx + d, som skär varandra i (−3, 4) och (3, 4). Bestäm värden på a, b, c och d. Kan vi utnyttja
något vi diskuterat ovan som gör problemet enklare?
Lösning: Funktionerna f1 (x) = (x + 3)(x − 3) och g1 (x) = −(x + 3)(x − 3) har båda nollställen
i x = −3 och x = 3. f1 (x) har ett minimum och g2 (x) har ett maximum och de skär varandra i
(−3, 0) och (3, 0). Om vi adderar konstanten 4 till båda funktionerna får vi f2 (x) = (x + 3)(x − 3) + 4
och g2 (x) = −(x + 3)(x − 3) + 4, efter vad som diskuterades i problem 15.
Svar: f2 (x) = x2 − 5 och g2 (x) = 13 − x2
Exempel 99. Så några andragradsekvationer. Bestäm direkt i huvudet dess rötter:
a)
b)
c)
d)
e)
x2 − 2x − 8 = 0
x2 − 3x + 2 = 0
x2 − 4 = 0
x2 − 9x + 20 = 0
x2 + 3x − 70 = 0
Du kan räkna med att alla rötter är heltal!
Hur beror rötterna x1 och x2 till ekvationen på koefficienterna p och q i x2 + px + q = 0? Från
formeln får vi

r

p2
p

 x1 = − +
−q
2 r 4
2


 x2 = − p − p − q
2
4
Löser vi detta ekvationssystem med avseende på p och q får vi q = x1 · x2 och p = −(x1 + x2 ).
Med andra ord, koefficienten q är lika med produkten av rötterna och p är lika med summan av
rötter med ombytt tecken. Tillämpar vi detta på de 5 ekvationerna får vi ganska snabbt
a)
b)
c)
d)
e)
Håkan Strömberg
x1
x1
x1
x1
x1
=4
=2
=2
=5
=7
190
x2
x2
x2
x2
x2
= −2
=1
= −2
=4
= −10
KTH STH
-5
-6
-7
-8
1
-1
3
Figur 31:
Exempel 100. I den här grafen ser vi inte origo och heller inte nollställena. Kan du med hjälp av
grafen bestämma funktionen och därefter nollställena?
Lösning: Vi använder resultatet från exempel 9 som ger oss extrempunkten utifrån funktionen
f(x) = x2 + px + q.
p p2
− ,−
+q
2
4
Nu använder vi den i andra riktningen för att få p och q när vi känner extrempunkten, (1, −9).

p


= 1
−
2
2
p

 −
+ q = −9
4
p = −2 och q = −8. Vi får funktionen f(x) = x2 − 2x − 8, vars heltalsrötter vi snabbt kan räkna ut,
x1 = −2 och x2 = 4
Läxa 208. Punkterna (0, 5) och (6, 5) ligger på en andragradskurva. Ange symmetrilinjens ekvation.
Läxa 209. Ange symmetrilinjens ekvation till kurvan
a) f(x) = x(x − 12) + 8
b) f(x) = 13 + 2x(l4 − x)
Läxa 210. En andragradskurva har symmetrilinjen x = 4. Punkten P(0, 6) ligger på kurvan. Ange
koordinaterna för spegelbilden till P.
Läxa 211. Funktionen f(x) = x2 + 8x + 3 är given.
a) Har kurvan en maximi- eller minimipunkt?
b) Ange grafens symmetrilinje.
c) Vilka koordinater har vertex?
d) Rita grafen som kontroll.
Håkan Strömberg
191
KTH STH
Läxa 212. Figuren visar grafen till andragradskurvan y = 2 + 4x − x2 Ange koordinaterna för
a)P b)Q c)M
Läxa 213. Förklara först med ett eget exempel hur du finner koordinaterna för maximi- eller
minimipunkten till en andragradskurva och använd sedan din metod på andragradskurvorna
a)
b)
c)
d)
f(x) = x2 + 4x + 8
f(x) = 10x − x2
f(x) = −5x2 + 15x − 3
f(x) = 6x2 − 24x + 5
Läxa 214. En andragradskurva har symmetrilinjen x = 1. Punkterna (0, 8) och (4, 24) ligger på
kurvan. Ange koordinaterna för ytterligare två punkter på kurvan.
Läxa 215. Bestäm koordinaterna för vertex till andragradskurvan
a) f(x) = 0.1x2 − 0.02x − 1
b) f(x) =
x2
2
+
x
4
−
3
8
Läxa 216. Skär andragradskurvan x-axeln, om den har en
a) maximipunkt med koordinaterna (2, 6) ?
b) minimipunkt med koordinaterna (4, 6) ?
Läxa 217. Ange ekvationen för en parabel som har en maximipunkt i andra kvadranten
Läxa 218. Finn ekvationen för en parabel som har vertex i (−2, 0) och som skär y-axeln i (0, 4)
Läxa 219. En andragradskurva har symmetrilinjen x = 5 och skär y-axeln i punkten (0, 6). Kurvans
vertex har y-koordinaten 1. Finn kurvans ekvation.
Läxa 220. Finns det några värden som inte antas av vare sig funktionen f(x) = x2 − 3x + 6 eller
funktionen g(x) = −2x2 + 8x − 6? Ange i så fall vilka.
Läxa 221. För vilket värde på c har kurvan y = x2 − 8x + c sin minimipunkt på x-axeln?
Håkan Strömberg
192
KTH STH
Läxa Lösning 208. Svaret finner vi enkelt då punkterna har samma y-koordinat. Symmetrilinjen
ligger mitt emellan x = 0 och x = 6, alltså x = 3.
Svar: Symmetrilinjens ekvation är x = 3
Läxa Lösning 209. a)
En möjlighet att finna två punkter som har samma y-koordinater är att lösa ekvationen f(x) = 0.
Detta fungerar så länge ekvationen har reella rötter.
x(x − 12) + 8
x2 − 12x + 8
√ x
x1 = 6 + √28
x2 = 6 − 28
=
=
=
0
0 √
6 ± 36 − 8
Symmetrilinjen får vi genom
√
√
28 + 6 − 28
≡6
x=
2
Vi drar oss till minnes från exempel 9 att vi direkt kunna få svaret genom
6+
−
p
−12
=−
≡6
2
2
b)
Vi använder direkt den enkla metoden
13 + 2x(l4 − x)
13 + 28x − 2x2
13
2
2 + 14x − x
13
2
x − 14x − 2
=
=
=
=
0
0
0
0
Nu har vi fått fram p = −14 och kan bestämma symmetrilinjen
−
p
−14
=−
≡7
2
2
Svar: a) x = 6 b) x = 7
Läxa Lösning 210. Punkten P ligger på y-axeln. 4 enheter från symmetrilinjen. Spegelbilden ligger
också 4 enheter från symmetrilinjen, fast på ’andra sidan’, alltså x = 8.
Svar: (8, 6).
Läxa Lösning 211.
b) x =
− p2
≡
− 82
a) Minimipunkt. a = 1 > 0. ’Glad gubbe’
= −4
c) x-koordinaten är samma som symmetrilinjen. När vi vet det kan vi bestämma f(−4) = (−4)2 +
8(−4) + 3 ≡ −13. Vertex ligger i (−4, −13)
d)
Håkan Strömberg
193
KTH STH
Läxa Lösning 212. P är den punkt där kurvan skär y-axeln.
y = 2 + 4 · 0 − 02 ≡ 2
som ger P(0, 2).
2
M ligger på symmetrilinjen x = − −4
2 ≡ 2. y-koordinaten får vi genom 2 + 4 · 2 − 2 = 6, som ger
M(2, 6)
Q är spegelbild av P och ligger lika långt från symmetrilinjen som Q men på andra sidan, alltså
x = 4, ger punkten Q(4, 2)
Läxa Lösning 213. Jag skriver ned f(x) = 0 och ser till att den får uttrycket x2 + px + q = 0. Nu
kan jag läsa ut p som jag använder för att bestämma
x=−
p
2
Nu har jag x-koordinaten, som jag sätter in i funktionen och bestämmer y-koordinaten.
a) Jag får x2 + 4x + 8 = 0. p = 4 som ger x = − 42 ≡ −2. y-koordinaten får jag genom
f(−2) = (−1)2 + 4(−2) + 8 ≡ 1.
Svar: Minimum i (−2, 1)
b) Jag får −x2 + 10x = 0. Dividerar båda sidor med −1 och får x2 − 10x = 0. p = −10 som ger
2
x = − −10
2 ≡ 5. y-koordinaten får jag genom f(5) = −5 + 10 · 5 ≡ 25.
Svar: Maximum i (5, 25)
c) Jag får −5x2 + 15x − 3 = 0. Dividerar båda sidor med −5 och får x2 − 3x + 35 = 0. p = −3
3
3
3 2
+ 15 · 23 − 3 ≡ 33
som ger x = − −3
2 ≡ 2 . y-koordinaten får jag genom f( 2 ) = −5 2
4 .
3 33
Svar: Maximum i ( 2 , 4 ).
d) Jag får 6x2 − 24x + 5 = 0. Dividerar båda sidor med 6 och får x2 − 4x + 56 = 0. p = −4 som
2
ger x = − −4
2 ≡ 2. y-koordinaten får jag genom f(2) = 6 · 2 − 24 · 2 + 5 ≡ −19
Svar: Minimum i (2, 19)
Läxa Lösning 214. De två punkter som ligger närmast till hands är (x1 , 8) och (x2 , 24) som är
spegelbilder av de två givna punkterna. x1 = 2 och x2 = −2. Det gäller att hålla reda på vilken sida
av symmetrilinjen de ska ligga.
Det finns förstås oändligt många svar att ge, men då måste man räkna lite mer.
Svar: (2, 8) och (−2, 24)
Läxa Lösning 215. Liknar tidigare problem. Vi ’städar upp’ ekvationen f(x) = 0 så att koefficienten
framför x2 blir 1. Sedan kan vi läsa av p i x2 + px + q = 0. Vi använder p för att bestämma xkoordinaten i vertex. Sedan bestämmer vi f(x) för detta x och har y-koordinaten och därmed vertex
(extrempunkten).
Givet 0.1x2 − 0.02x − 1 = 0. Dividera båda sidor med 0.1 ger x2 − 0.2x − 10 = 0 och vi har p = −0.2
som ger symmetrilinjen
p
−0.2
x=− ≡−
≡ 0.1
2
2
sedan får vi
f(0.1) = 0.1 · (0.1)2 − 0.02 · 0.1 − 1 ≡ −1.001
Svar: Vertex (0.1, −1.001)
Läxa Lösning 216. a) Ja
b) Nej
Läxa Lösning 217. a)
Det finns förstås oändligt många sådana funktioner. Punkten (−1, 1) ligger i andra kvadranten och
Håkan Strömberg
194
KTH STH
ska alltså vara en maximipunkt. Vi bestämmer att f(x) = −x2 +px+q. f(x) = 0 ger −x2 +px+q = 0
eller x2 − px − q = 0. Symmetrilinjen är x = −1.
Då kan vi bestämma p med ekvationen
−1 = −
−p
2
ger p = −2. Så här långt har vi bestämt f(x) = −x2 − 2x + c. Nu ska vi bestämma c så att f(−1) = 1.
Vi får −(−1)2 − 2(−1) + c = 1 som ger c = 0. Vi plottar f(x) = −x2 − 2x
Läxa Lösning 218. Vi vet att det finns oändligt många sådana ekvationer. Speciellt en då f(x) =
x2 + bx + c. Den skär y axeln då 02 + b · 0 + c = 4, ger c = 4. Då vertex är (−2, 0) är symmetrilinjen
x = −2. Vi bestämmer f(−2) = 0 och får
(−2)2 + b(−2) + 4 = 0
som ger b = 4. Vi har då funktionen
f(x) = x2 + 4x + 4
Som vi plottar och ser att det stämmer stämmer.
Läxa Lösning 219. Vi startar med f(x) = ax2 +bx+c. Symmetrilinjen x = 5. Vi har då ax2 +bx+c =
c
0 eller x2 + bx
a + a = 0 ger oss b genom
b
5=−a
2
b = −10a. Vi har nu f(x) = ax2 − 10ax + c. Skärningen med y-axeln ger f(0) = 6
a · 02 − 10 · 0 +
c
=6
a
ger c = 6. Nu har vi f(x) = ax2 − 10ax + 6 Till sist vet vi att f(5) = 1 som ger ekvationen
a · 52 − 10a · 5 + 6 = 0
ger a = 15 . Nu har vi funktionen
f(x) =
Håkan Strömberg
x2
− 2x + 6
5
195
KTH STH
som vi plottar och ser att det stämmer
Läxa Lösning 220.
Det ser ut som det skulle kunna finnas värden som inte antas av någon av funktionerna. För att
kunna svara på frågan måste vi ta reda på maximipunkten hos g(x) och minimipunkten för f(x)
Vi startar med minimipunkten för f(x) och använder formeln
−
p2
+q
4
som ger
−
15
(−3)2
+6≡
≡ 3.75
4
4
Innan vi kan bestämma maximipunkten för g(x) måste vi starta med −2x2 + 8x − 6 = 0 och dividera
båda sidor med −2 som ger x2 − 4x + 3 = 0. Nu har vi p och q. och kan bestämma y-värdet för
vertex med samma formel
(−4)2
+3≡2
−
4
Svar: Ingen av funktionerna antar värden i intervallet (2, 3.75).
Läxa Lösning 221. Först bestämmer vi symmetrilinjen genom
x=−
Vi får
x=−
p
2
−8
2
ger x = 4
Det betyder att vi ska fixa till ett vertex i (4, 0) genom att hitta lämpligt c.
Det betyder att f(4) = 0 ger
42 − 8 · 4 + c = 0
ger c = −16
Håkan Strömberg
196
KTH STH
Sidor i boken
KB 16-18
Formelhantering
Formeln
s
t
där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet
att samma formel kan skrivas
s= v·t
v=
eller
t=
s
v
allt beroende på vad formeln ska användas till.
När man i tillämpad matematik, som till exempel fysik, står inför att beräkna ett värde på med hjälp
av en formel har man två vägar att gå. Vi tar ett exempel:
Volymen av materialet i röret bestäms med formeln
V = π h(r21 − r22 )
Låt säga att vi känner V = 2 dm3 , h = 2 dm och r2 = 1 dm. Vilken är då ytterdiametern r1 ?
Vi får ekvationen
Håkan Strömberg
2
=
π2(r21 − 1)
2
=
2πr21 − 2π
2πr21
=
2 + 2π
r21
=
r1
=
r1
=
r1
≈
2+2π
q2π
2+2π
2π
q
1+π
π
1.15
197
KTH STH
Ett alternativ kan vara att lösa ut r1 innan man sätter in de olika värdena.
V
=
π h(r21 − r22 )
V
πh
=
r21 − r22
r21
=
r1
=
V
πh
q
+ r22
V
πh
+ r22
Vi har nu en formel där man direkt kan räkna ut ytterdiametern när andra storheter är kända
r
V
+ r22
r1 =
πh
som ger
r
2
r1 =
+ 12 ≈ 1.15
π2
Det är detta denna föreläsning handlar om. Metod passar bra, om man ska bestämma flera ytterradier, med olika indata.
Problem 135. Lös ut α ur
v2 − v20 = 2αs
Lösning:
Svar: α =
v2 − v20
=
2αs
α
=
v2 −v2
0
2s
v2 −v2
0
2s
Problem 136. Lös ut b ur
1
1
1
+ =
a b
f
Lösning:
1
a
Svar: b =
+
1
b
=
1
f
1
b
=
1
f
b
=
b
=
b
=
−
1
a
1
1
1
f−a
1
a−f
af
af
a−f
af
a−f
Problem 137. Lös ut v ur
F=
m v2
R
Lösning:
F =
RF
m
=
v =
Svar: v =
q
RF
m
Håkan Strömberg
198
mv2
R
v2
q
RF
m
KTH STH
Problem 138. Lös ut m ur
W = mgh +
mv2
2
Lösning:
Svar: m =
2
m =
mgh + mv
2 2
m gh + v2
m =
2W
2gh+v2
W
=
W
=
W
2
gh+ v2
2W
2gh+v2
Problem 139. Lös ut C > 0 ur formeln
s
R2
2
1
+ ωL −
ωC
Z
=
Z2
=
q
R2 + ωL −
Z2 − R2
√
± Z2 − R2
=
Z=
Lösning:
1
ωC
C
Svar: C =
1 2
ωC
1 2
R2 + ωL − ωC
1 2
ωL − ωC
= ωL −
= ωL ±
=
1
ωC
√
Z2 − R2
1
√
ω(ωL± Z2 −R2 )
1
√
ω(ωL± Z2 −R2 )
Läxa 222. Lös ut a ur
s = v0 t +
Läxa 223. Lös ut h ur
v=
Läxa 224. Lös ut h ur
F=G·
Håkan Strömberg
a t2
2
p
2gh
Mm
(R + h)2
199
KTH STH
Läxa 225.
• Bestäm en ekvation för linjen i figuren ovan
• Genom punkten (5, 10) dras en linje L som är vinkelrät mot linjen i figuren. Bestäm en
ekvation för L.
Läxa 226. Förenkla så långt möjligt
1
x2
+ x1
1−
1
Läxa 227. Lös ut den positiva storheten g ur formeln
s
L
T = 2π
g
Läxa 228. Lös ekvationen
4+
√
x−2=x
Läxa 229. I den rätvinkliga triangeln △ABC har man dragit en linje DE parallell med AC. Sträckan
EC = 6 cm, sträckan AC = 7 cm och ∠CBA = 35◦ . Beräkna längden av DE.
Läxa 230. Funktionen f(x) = x2 + 3x är given. Förenkla f(2 + h) − f(2) så långt möjligt
Läxa 231. Den räta linjen 3x + 2y − 6 = 0 bildar tillsammans med koordinataxlarna en triangel.
Rita linjen i ett koordinatsystem och beräkna triangelns minsta vinkel.
Läxa Lösning 222.
s
s − v0 t
2(s − v0 t)
a
Håkan Strömberg
=
=
=
=
200
v0 t +
a t2
2
2
a t2
2
at
2(s−v0 t)
t2
KTH STH
Svar: a =
2(s−v0 t)
t2
Läxa Lösning 223.
v =
Svar: h =
√
2gh
v2
=
2gh
h
=
v2
2g
v2
2g
Läxa Lösning 224.
G·
F =
F(R + h)2
=
(R + h)2
=
Mm
(R+h)2
GMm
GMm
qF
GMm
F
R+h =
q
h =
GMm
F
−R
Läxa Lösning 225. a)
Linjen i figuren går genom punkterna (2, 0) och (0, 1). Linjen har lutningen
k=
1
1−0
≡−
0−2
2
Vi har då y = − 2x + m. Vi sätter in punkten (2, 0) och får ekvationen 0 = − 22 + m, ger m = 1, vilket
vi bör kunna se direkt i diagrammet. Linjens ekvation blir då y = − x2 + 1
b)
Vi är på jakt efter en linje med k-värdet k1 . Sambandet k1 · k2 = −1 gäller för två linjer som skär
varandra under rät vinkel. Vi får k1 · − 21 = −1 ger k1 = 2. Vi har då y = 2x + m. Vi vet dessutom
att denna linje går genom punkten (5, 10) och sätter in den i ekvationen och får 10 = 2 · 5 + m, ger
m = 0. Linjens ekvation är y = 2x.
Svar: Den första linjen y = − x2 + 1. Den andra linjen y = 2x.
Läxa Lösning 226.
1
x2
+ x1
1−
1
≡
x2 −1
x2
x+1
x
≡
x
(x − 1)(x + 1)
1
x−1
x2 − 1
·
≡
·
≡
x2
x+1
x
x+1
x
x−1
x
Läxa Lösning 227.
Svar:
q
Svar: g =
T
=
2π
L
g
2
=
T
2π
=
L
g
=
g
=
g
=
q
L
g
q
L
g
T 2
2π
T2
22 π2
L
T2
4π2
4Lπ2
T2
4Lπ2
T2
Håkan Strömberg
201
KTH STH
Läxa Lösning 228.
√
4+ x−2
√
2
x−2
x−2
x2 − 9x + 18
=
=
=
=
x
x
x1
x2
=
=
=
=
x
(x − 4)2
x2 − 8x + 16
0 q
9
2
9
2
3
6
Vi måste testa rötterna
Svar: x = 6
V.L.
H.L.
V.L. = H.L.
V.L.
H.L.
V.L. 6= H.L.
±
±
81
4
−
72
4
3
2
4+
6
√
6−2≡6
4+
3
√
3−2≡5
Läxa Lösning 229.
tan 35◦
=
7
BC
BC
=
7
tan 35◦
BC
= 10
DE
7
=
BE = BC − 6 = 10 − 6 ≡ 4
Likformighet ger nu
4
10
DE =
4·7
10
DE =
2.8
Svar: 2.8 cm
Läxa Lösning 230.
f(2 + h) − f(2) ≡ (2 + h)2 + 3(2 + h) − (22 + 3 · 2) ≡ 4 + 4h + h2 + 6 + 3h − 10 ≡ h2 + 7h
Svar: h2 + 7h
Läxa Lösning 231.
Vi bestämmer skärningarna med axlarna. Först x-axeln 3x + 2 · 0 − 6 = 0 ger x = 2. Sedan y-axeln
3 · 0 + 2y − 6 = 0 ger y = 3. Triangeln är rätvinklig med kateterna 2 och 3. Den minsta vinkeln, v,
finns vid skärningen med y-axeln. Vi får
Svar: Den minsta vinkeln är 33.7◦
Håkan Strömberg
tan v =
v =
v ≈
2
3
arctan 23
33.69◦
202
KTH STH
Sidor i boken
13-15
Olikheter
I de olikheter vi i första hand ska studera är ett polynom inblandat.
Exempel 101. Bestäm
−x4 + 2x3 + 25x2 − 26x − 120 > 0
Lösning: Problemet är för svårt för oss att lösa, men grafen
f(x) = −x4 + 2x3 + 25x2 − 26x − 120
är lätt att förstå
Läser vi av det vi ser får vi svaret
−4 ≤ x ≤ −2 eller 3 ≤ x ≤ 5
Vi har inte visat det ännu, men kan anta att kurvan saknar vidare skärningar med x-axeln.
Exempel 102. Bestäm
3x − 21 > 0
Lösning: Ett betydligt enklare problem. När vi studerar grafen
y = 3x − 21
som ju är en rät linje.
ser vi att svaret x > 7
Svar: x > 7
Håkan Strömberg
203
KTH STH
Exempel 103. Bestäm
x2 − x − 12 < 0
Lösning: Betraktar vi grafen
f(x) = x2 − x − 12
kan vi direkt läsa av svaret
Svar: −3 ≤ x ≤ 4
Nu duger det ju inte med grafiska lösningar, så vi måste kunna lösa olikheter med första- och
andragradspolynom analytiskt.
När man löser en olikhet beter man sig precis som då man löser en ekvation likhet. Utom då man
multiplicerar eller dividerar båda sidorna av olikheten med ett negativt tal. Då övergår > till <
och < till >
Kolla här! Alla är väl med på att 6 > 2 men att −1 · 6 6> −1 · 2. Däremot är −1 · 6 < −1 · 2.
Problem 140. Bestäm
(x − 3)(x + 2) > 0
Lösning: Det handlar om en olikhet av andra graden. Vi vet att ekvationen
(x − 3)(x + 2) = 0
har två rötter x1 = −2 och x2 = 3. Vi vet också att andragradsfunktionen f(x) = (x − 3)(x + 2) ≡
f(x) = x2 − x − 6 har ett minimum. Alltså är f(x) > 0 då x < −2 eller x > 3. Så här ser grafen ut
Svar: x < −2 eller x > 3
Håkan Strömberg
204
KTH STH
Problem 141. Bestäm
3x + 4 − 2(x − 3) > 2x − 5
Lösning: Sätter vi in ett = istället för > får vi en ekvation av första graden. Alla förstagradsekvationer kan reduceras till ax + b = 0 där a och b är godtyckliga reella tal. En förstgradekvation kan
åskådliggöras genom grafen till funktionen f(x) = ax + b eller, som vi brukar skriva, den räta linjen
y = ax + b.
Vi börjar med att reducera olikheten
3x + 4 − 2(x − 3)
3x + 4 − 2x + 6
4+6+5
15
15 − x
>
>
>
>
>
2x − 5
2x − 5
2x + 2x − 3x
x
0
15 − x > 0 så länge x < 15. Grafen y = 15 − x är en rät linje som alltid är ekvivalent med en
förstagradsekvation.
Svar: x < 15
Problem 142.
2x2 + 20 > x(x + 7) + 14
Lösning: Innan vi gör något annat reducerar vi uttrycket till ax2 + bx + c > 0
2x2 + 20 >
2x2 + 6 >
2
x − 7x + 6 >
Vi löser så ekvationen
x(x + 7) + 14
x2 + 7x
0
x2 − 7x + 6 =
0
=
=
=
=
7
2
7
2
x
x
x1
x2
1
6
±
±
q
49
4
−
24
4
5
2
När vi betraktar f(x) = x2 − 7x + 6 vet vi att den har ett minimum och att p(x) < 0 när x ligger i
intervallet 1 < x < 6. Det betyder att
Svar: olikheten är sann x < 1 och x > 6. Vi avslutar med en graf
Håkan Strömberg
205
KTH STH
Läxa 232. Lös olikheten
2x − 5 > 4x + 9
Läxa 233. Vilka heltal för x uppfyller
−x2 + x + 2 > 0
Läxa 234. För vilka värden på x är båda olikheterna uppfyllda?
x+4>0
2x − 4 < 0
Läxa 235. Lös ut a ur uttrycket
5ac − 3b
=b
a
Läxa 236. Lös ekvationen
2x + 1
1
+
+2=0
x2 − 16 x − 4
Läxa 237. Man har en liksidig triangel och en kvadrat. Sidan i den liksidiga triangeln är 4.0 cm och
höjden mot en av dessa sidor är lika lång som diagonalen i kvadraten. Beräkna kvadratens sida.
Svaret skall ges exakt.
Läxa 238. Beräkna värdet på talet a så att linjen genom punkterna (a, −3) och (2, −a) blir parallell
med linjen 3y − x + 6 = 0
Läxa 239. I en rätvinklig triangel är hypotenusan 15 cm och summan av kateterna är 21 cm.
Beräkna triangelns area.
Läxa 240.
a) Bestäm en ekvation för en rät linje som går genom punkterna P(1, −2) och Q(3, 8).
b) Bestäm en ekvation för en rät linje som går genom punkten S(3, −2) och är vinkelrät mot
linjen i a)
Läxa 241. Linjen y = kx + 3 skär andragradsfunktionen i y = x2 − x dess högra nollställe. Bestäm
linjens k-värde.
Läxa 242. Lös ekvationen
x4 − x2 − 6 = 0
Håkan Strömberg
206
KTH STH
Läxa 243.
I △ACD är AB lika lång som CD. Vinkeln A är 32◦ . Beräkna vinkeln v. (Svårt)
Läxa 244. I △ABC dras en linje DE parallell med AB. Bestäm förhållandet mellan arean av parallelltrapetset ABED och triangeln CDE. (Svårt)
Läxa Lösning 232.
2x − 5
−5 − 9
−14
−7
x
>
>
>
>
<
4x + 9
4x − 2x
2x
x
−7
Svar: x < −7
Läxa Lösning 233. Vi startar med att lösas ekvationen
−x2 + x + 2 =
x2 − x − 2 =
0
0
=
=
=
=
1
2
1
2
x
x
x1
x2
±
±
2
−1
q
1
4
+
8
4
3
2
Funktionen f(x) = −x2 + x + 2 har ett maximum vilket betyder att olikheten är uppfylld x > −1 och
x < 2. Då finns det endast två heltal för vilken olikheten är sann x = 0 och x = 1, som bekräftas av
grafen:
Svar: x = 0 och x = 1
Håkan Strömberg
207
KTH STH
Läxa Lösning 234. För att den översta olikheten ska vara uppfylld måste x > −4. För att den
andra olikheten ska vara uppfylld måste x < 2. Förstår du resultatet då du studerar grafen?
Svar: −4 < x < 2
Läxa Lösning 235.
5ac−3b
a
=
b
5ac − 3b
=
a·b
5ac − ab =
3b
a(5c − b) =
3b
3b
5c−b
a =
Svar: a =
3b
5c−b
Läxa Lösning 236.
(x + 4)(x − 4)
2x+1
1
x2 −16 + x−4 + 2
2x+1
1
(x+4)(x−4) + x−4
=
0
=
−2
=
−2(x + 4)(x − 4)
2x + 1 + x + 4
=
−2x2 + 32
2x2 + 3x − 27
=
0
3x
2
27
2
=
0
x
=
− 34 ±
x
=
− 43 ±
x1
=
3
x2
=
− 29
2x+1
(x+4)(x−4)
x2 +
+
1
x−4
−
q
9
16
+
27·8
16
15
4
Svar: x1 = 3 och x2 = −4.5
Läxa Lösning 237.
Vi startar med att bestämma höjden i en liksidig triangel, se figur. I △ABC, som är rätvinklig är
sidan BC = 2.0 cm. Antag att AC = h. Med Pythagoras sats får vi
h2 + 22 = 42
Håkan Strömberg
208
KTH STH
ger h =
√
12. Antag att sidan i kvadraten är x. Åter med Pythagoras får vi
√ 2
x2 + x2 =
12
2
2x = 12
x2 = 6√
6
x =
Här har vi använt
√ oss av Pythagoras sats. Ett alternativ är trigonometri.
Svar: Sidan är 6
1
Läxa Lösning 238. Linjen 3y − x + 6 = 0 kan skrivas om som y = x−6
3 eller y = 3 · x − 2. Vilket
betyder att linjen har k = 13 . För att vår linje ska vara parallell med denna ska den ha samma
k-värde. Från de delvis givna punkterna på vår linje kan vi teckna ett k-värde för vår linje
1
3
a−2
a−2
2a
a
Svar: a =
=
−3−(−a)
a−2
= 3(−3 + a)
= −9 + 3a
= 7
= 72
7
2
Läxa Lösning 239. Antag att en katet är x cm. Den andra är då 21 − x cm. Med hjälp av Pythagoras
sats får vi
x2 + (21 − x)2 = 152
x2 + 441 − 42x + x2 = 225
2x2 − 42x + 216 = 0
x2 − 21x + 108 = 0
q
x
x
x
x1
x2
=
=
=
=
=
21
2
21
2
21
2
12
9
±
±
±
441
4
q
−
432
4
9
4
3
2
Om den ena kateten är 12 är den andra 9, eller tvärt om! Arean är då
A=
9 · 12
≡ 54
2
Svar: 54 cm2 .
Läxa Lösning 240. a)
Linjen genom P och Q har k-värdet
8 − (−2)
≡5
3−1
Vi har y = 5x + m och bestämmer m genom att sätta in en av punkterna. 8 = 5 · 3 + m ger m = −7.
Svar: y = 5x − 7
b)
Linjen vi söker ska ha k = − 15 . Vi har då y = − x5 + m och får m genom att sätta in punkten S.
−2
= − 35 + m
m = −2 +
m =
3
5
−10+3
5
m = − 57
Svar: y = − x5 −
Håkan Strömberg
7
5
209
KTH STH
Läxa Lösning 241. Genom att lösa x2 − x = 0 får vi reda på andragradsfunktionens nollställen. Då
x2 − x = 0 ≡ x(x − 1) = 0 får vi röttera x1 = 1 och x2 = 0. Det högra nollstället är då (1, 0).
Då linjen går genom (1, 0) får vi 0 = k · 1 + 3, som ger k = −3. Linjens ekvation är då y = −3x + 3.
Här har du grafen
Svar: k = −3
Läxa Lösning 242. Vi kan lösa denna ekvation därför att den saknar x3 och x-term. Vi substituerar
x2 = t och får
t2 − t − 2 = 0 q
t = 12 ± 14 + 24
4
t = 12 ± 25
t1 = 3
t2 = −2
√
√
Vi har nu att lösa först x2 = 3, som ger x1 = 3 och 2 = − 3 och sedan x2 = −2, som saknar
reella rötter. √
Svar: x = ± 3.
Läxa Lösning 243. Antag att AB = CD = x och AC = a. Vi får då
tan 32◦
a
=
=
x
BC = a − x =
−x≡x
tan 32◦
x
a
x
tan 32◦
1
− 1 ≈ 0.60x
tan 32◦
CD
x
1
≡
≡
≈ 1.67
BC
0.60x
0.60
v = arctan 1.67 ≈ 59.0◦
tan v =
Svar: v = 59◦
Läxa Lösning 244. △ABC ∼ △CDE. Längdskalan 5 : 11, vilket betyder att areaskalan 52 : 112 ≡
25 : 121 Antag att △ABC har arean T . △CDE har då arean 25·T
121 . Parallelltrapetset ABED har då
arean
25 · T
T−
121
Förhållandet mellan ABED och CDE blir då
25·T
121
25·T
121
T−
Svar: Förhållandet är
Håkan Strömberg
≡
25·1
121
25·1
121
1−
≡
96
121
25
121
≡
96
25
96
25
210
KTH STH
Sidor i boken
37-39
Vektorer
Det vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dina
fortsatta studier i kursen Linjär algebra.
Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen kan beskrivas med ett
enda tal. Som till exempel omkretsen hos en triangel, summan av en serie eller massan hos en
kropp. I stället för tal kommer vi här ofta att använda ordet skalär.
Det finns dock andra objekt, som kräver flera tal för att låta sig beskrivas – en kraft eller en
förflyttning från en punkt till en annan. Dessa objekt beskrivs med en vektor.
Det mest klassiska exemplet för att visa skillnaden mellan en skalär och en vektor är skillnaden
mellan fart och hastighet. Fart ges som en skalär, 60 km/tim eller 10 m/s, medan hastighet både
kräver en storlek, farten, och en riktning , ”rakt norr ut”.
I denna föreläsning ska vi studera geometriska vektorer, som kommer att dyka upp i planet.
Figur 32: Sträckor
Riktad sträcka och vektor
I figur 32 ser vi två punkter, P1 och P2 i planet. Linjestycket mellan två punkter kallas sträcka.
Sträckan i figur 32 betecknas P1 P2 . Om hänsyn tas till ordningen mellan punkterna är sträckan
P1 P2 inte samma sträcka som P2 P1 . Eftersom ordningen är viktig för oss kommer vi fortsättningsvis
−−−→
att tala om riktad sträcka, som vi betecknar P3 P4 och ritar med en pil, som i figuren. Den riktade
−−−→
sträckan P5 P5 kallar vi i en nollsträcka. I rummet finns förstås oändligt många riktade sträckor, med
samma storlek och riktning, som sträckan P3 P4 .
Definition 3. Vektor. En vektor ~v är mängden av riktade sträckor med samma längd och riktning.
Två riktade sträckor hör till samma vektor, om den ena kan överföras till den andra, genom en
parallellförflyttning
Håkan Strömberg
211
KTH STH
Figur 33: 16 riktade sträckor men bara en vektor!
Som ett extra förtydligande betonar vi.
•
En riktad sträcka har längd, riktning, startpunkt och slutpunkt.
•
En vektor har endast längd och riktning.
Kör man rakt söder ut med 100 km/tim i Haparanda är det i vektoriellt sammanhang samma sak,
som att köra rakt söder ut med 100 km/tim i Ystad.
Koordinatsystem i planet
För att kunna räkna med vektorer på det sätt vi vill – analytiskt – måste vi införa ett koordinatsystem.
Låt ~v vara en vektor i planet. Ofta, kommer vi att välja den representant för ~v som har sin startpunkt
i origo i ett vanligt rektangulärt koordinatsystem.
Koordinaterna för slutpunkten, (v1 , v2 ), kallas vektorns komponenter. Vi skriver så vektorn som
~v = (v1 , v2 ).
~ är identiska då och endast då v1 = w1 och v2 = w2 , då komponenterna är
Två vektorer ~v och w
identiska.
Räkneoperationer för vektorer i planet
.
Definition 4. Vi adderar två vektorer ~v = (v1 , v2 ) och ~u = (u1 , u2 ) genom
~v + ~u = (v1 + u1 , v2 + u2 )
Vi subtraherar två vektorer ~v = (v1 , v2 ) och ~u = (u1 , u2 ) genom
~v − ~u = (v1 − u1 , v2 − u2 )
När vi multiplicerar en vektor ~v med en skalär k, får vi
k~v = (kv1 , kv2 )
En vektors längd och avståndet mellan punkter
Sats 1. Längden av en vektor i planet. En vektor ~v = (v1 , v2 ) i planet är given. Vektorns längd,
skrivs |~v | och bestäms genom
q
|~v | = v21 + v22
Håkan Strömberg
212
KTH STH
Sats 2. Avståndsformeln. Om P1 (x1 , y1 ) och P2 (x2 , y2 ) är två punkter i planet är avståndet, d,
−−−→
−−−→
mellan dessa punkter lika med längden av vektorn med en representant P1 P2 . Eftersom P1 P2 =
(x2 − x1 , y2 − y1 ) är
q
d=
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Parallella vektorer
~ är parallella, ~v k~u, om ~u kan skrivas som ~u = t~v.
Definition 5. Vi säger att vektorerna ~v och u
Alla vektorer anses vara parallella med nollvektorn ~0.
Figur 34:
Exempel 104.
a) Uttryck ~g med hjälp av ~a och ~b
c) Uttryck ~e med hjälp av ~c och ~d
b) Uttryck ~f med hjälp av ~b och ~c
d) Uttryck ~e med hjälp av ~f, ~g och ~h
Lösning:
a) ~g = ~a + ~b
c) ~e = −~c + ~d
b) ~f = −~c + ~b
d) ~e = ~f − ~g + ~h
Exempel 105. Bestäm avståndet d, mellan punkterna P1 = (1, 5) och P2 = (4, 9).
d((1, 5), (4, 9)) =
Svar: Avståndet är 5 l.e.
q
√
(1 − 3)2 + (5 − 9)2 ≡ 9 + 16 ≡ 5
~ = (−21, 28) parallella? Det vill säga finns det ett
Exempel 106. Är vektorerna ~v = (3, −4) och w
~?
reellt tal t sådant att t~v = w
Lösning: Vi får ett överbestämt ekvationssystem, två ekvationer men endast en obekant.
3t = −21
−4t = 28
För t = −7 gäller likheten för båda ekvationerna. Vektorerna är visserligen parallella men riktade
åt olika håll! Svar: Ja
Håkan Strömberg
213
KTH STH
Figur 35:
~ har storleken 75 N. Vinkeln mellan
Exempel 107. En kraft ~F har storleken 60 N. En annan kraft G
krafterna är 45◦ . Bestäm resultanten till storlek och riktning.
~ Då vi känner sträckorna ON och NC kan vi
Lösning: Vi ska alltså ta reda på längden hos OC.
enkelt bestämma OC med hjälp av Pythagoras sats.
Först konstaterar vi att CN = AC sin 45◦ . Eftersom AC = 75 får vi CN = 75 ·
På liknande sätt kan vi så bestämma AN = AC cos 45◦ = 75 ·
2
=
OC
=
OC
2
√1 .
2
√1 .
2
Till sist
2
75
+ 60 + √
2
2
75
5625
+ 60 + √
2
2
75
√
s 2
OC ≈ 124.86
Problem 143. Läs av vektorerna i figuren (enbart heltal) och bestäm deras resultant genom att
summera dem.
Håkan Strömberg
214
KTH STH
Lösning: Avläsningen ger vektorerna v~1 = (3, 2), v~2 = (3, 1), v~3 = (−2, 2) som vi summerar till:
~r = (3, 2) + (3, 1) + (−2, 2) ≡ (4, 5)
Svar: Resultanten ~r = (4, 5)
Problem 144. Vandringen startade i P(2, 2), gick över Q(5, 6) och slutade i R(0, −3). Hur många
längdenheter lång var vandringen?
Lösning: Vi har att bestämma två längder
q
q
√
√
|PQ| + |QR| = (5 − 2)2 + (6 − 2)2 + (0 − 5)2 + ((−3) − 6)2 ≡ 25 + 106 ≈ 15.39
Svar: Vandringen är 15.4 l.e.
Problem 145. Vektorerna ~
u = (1, 2) och ~v = (3, −1) är givna Bestäm a och b så att
a~u + b~v = (3, 13)
Lösning: Vi får
a(1, 2) + b(3, −1) = (3, 13)
(a, 2a) + (3b, −b) = (3, 13)
Vi vet då att a + 3b = 3 och 2a − b = 13. Vi har ett ekvationssystem
a + 3b = 3
a + 3b = 3
a + 3b
2a − b = 13
3(2a − b) = 3 · 13
6a − 3b
=
=
3
39
Via additionsmetoden får vi så 7a = 42 med roten a = 6 och sedan 6 · 6 − 3b = 39 med roten
b = −1.
Svar: a = 6 och b = −1.
Läxa 245. Bestäm längden av vektorn ~v = (6, 8)
Läxa 246. Bestäm längden av resultanten till vektorerna v~1 = (16, −10) och v~2 = (−7, 22)
Läxa 247. Läs av vektorerna i figuren (enbart heltal) och bestäm längden hos deras resultant.
Läxa 248. Hur många längdenheter tjänar man genom att gå direkt från P(3, 5) till Q(8, 10) istället
för att ta omvägen via R(5, 7)?
Håkan Strömberg
215
KTH STH
Läxa 249. Det är vår och Adam, Bertil och Curt spelar kula. När leken är över har Adam dubbelt
så många kulor som Bertil och Curt tillsammans. Bertil har 5 fler än Curt. Tillsammans har de 213
kulor.
Ta reda på hur många kulor var och en har genom att göra ett antagande, ställa upp en ekvation,
lösa den och ge ett fullständigt svar.
Läxa 250. Två av dessa uttryck är identiska. Visa vilka genom förenkling.
A)
ab + a2 + b2 + ab
a+b
B)
ab + a2 − b2 − ab
a+b
C)
ab + a2 − b2 − ab
b−a
D)
−ab + a2 + b2 − ab
a−b
Läxa 251. I andragradsekvationen
(2p)
3x2 + a · x − 612 = 0
är inte x-koefficienten känd. Däremot är ena roten x1 = −12. Bestäm a och den andra roten x2
Läxa 252. Lös ekvationen
x+
√
x − 12 = 0
Läxa 253. En rät linje går genom punkterna P(1, 5) och Q(5, 7). Ange a så att även punkten (8, a)
ligger på linjen.
Läxa 254. I en triangel är en sida 5.8 cm kortare än höjden mot denna sida. Bestäm längden av
denna sida om arean av triangeln är 28.6 cm2 .
Läxa 255. Sidan AB i en rätvinklig triangel är 61 cm, ∠BCA är 10.5◦ och ∠CDA är 8.2◦ . Beräkna
längden CD.
Läxa Lösning 245. |~v| =
Svar: 10 l.e.
√
62 + 82 ≡
√
100 ≡ 10
Läxa Lösning 246. Först bestämmer vi ~r
~r = v~1 + v~2 = (16, −10) + (−7, 22) = (9, 12)
och så
|~r| =
Svar: 15
Håkan Strömberg
p
√
92 + 122 ≡ 225 ≡ 15
216
KTH STH
Läxa Lösning 247.
v~1 = (5, 0), v~2 = (0, 2), v~3 = (2, 2), v~4 = (−2, 3), v~4 = (4, 2)
~r = (5, 0) + (0, 2) + (2, 2) + (−2, 3) + (4, 2) ≡ (9, 9)
så bestämmer vi längden av ~r
|~r| =
√
Svar: |~r| = 9 2
p
92 + 92 ≡
√
√
182 ≡ 9 2
Läxa Lösning 248. Avståndet från P till Q är
q
√
~ = (8 − 3)2 + (10 − 5)2 = 50
a1 = |PQ|
Avståndet från P till Q via R är
q
q
√
√
~ + |RQ|
~ = (5 − 3)2 + (7 − 5)2 + (8 − 5)+ (10 − 7)2 = 8 + 18
a2 = |PR|
a2 − a1 =
√
√
√
50 − ( 8 + 18) = 0
Vad kan man säga om resultatet? Att besöka R är ingen omväg eftersom R ligger på sträckan PQ.
Svar: 0.
Läxa Lösning 249. Antag: Curt har x kulor, Bertil x + 5
Ekvation
x + (x + 5) + 2(2x + 5)
2x + 5 + 4x + 10
6x
x
och Adam 2(2x + 5)
=
=
=
=
213
213
198
33
Svar: Adam har 142, Bertil har 38 och Curt har 33 kulor.
Läxa Lösning 250. Efter förenkling får vi:
A)
C)
a+b
B) a − b
−(a + b) D) a − b
Svar: B och D är identiska.
Läxa Lösning 251. Då vi sätter in x1 = −12 i ekvationen får vi 3 · (−12)2 + a(−12) − 612 = 0.
Ur detta erhåller vi a = −15 och kan nu skriva ekvationen 3x2 − 15x − 612 = 0 som har rötterna
x1 = −12 och x2 = 17.
Svar: a = −15 och x2 = 17
Håkan Strömberg
217
KTH STH
Läxa Lösning 252.
√
x −√12
√ x
( x)2
x
x2 − 25x + 144
=
=
=
=
=
x
=
x+
x
x
x1
x2
Vi testar rötterna
0
12 − x
(12 − x)2
144 − 24x + x2
0
q
25
2
25
2
25
2
=
=
=
=
x1 = 16
H.L.
V.L.
H.L. 6= V.L.
x2 = 9
H.L.
V.L.
H.L. = V.L.
16
9
±
±
±
625
4
q
−
576
4
49
4
7
2
√
16 ≡ 4
12 − 16 ≡ −4
√
9≡3
12 − 9 ≡ 3
Svar: x = 9
Läxa Lösning 253. Vi bestämmer först ekvationen för linjen genom P och Q.
k=
Vi har nu y =
x
2
7−5
1
≡
5−1
2
+ m. Med hjälp av punkten P kan vi bestämma m.
1
+m
2
5=
ger m =
9
2
och ekvationen
x 9
+
2 2
Bestäm så a så att punkten (8, a) ligger på linjen.
y=
a=
Svar: a =
8 9
17
+ ≡
2 2
2
17
2
Läxa Lösning 254. Antag: höjden är h. Basen b
ekvationen
28.6 =
57.2 =
h2 − 5.8h − 57.2 =
h =
h =
h1 =
(h2 =
är då h − 5.8. Genom formeln A =
b·h
2
får vi
h(h−5.8)
2
2
h − 5.8h
0
√
2.9 ± 2.92 + 57.2
2.9 ± 8.1
11
−5.2)
Basen blir då 11.0 − 5.8 = 5.2 cm
Svar: Basen är 5.2 cm.
Håkan Strömberg
218
KTH STH
Läxa Lösning 255.
AB
AB
→ BC =
BC
tan ∠BAC
AB
AB
→ BD =
tan ∠CDA =
BD
tan ∠CDA
61
AB
61
AB
−
≈ 94 cm
−
=
CD = BD − BC =
◦
tan ∠BAC tan ∠CDA
tan 8.2
tan 10.5◦
Svar: 94 cm
tan ∠BCA =
Håkan Strömberg
219
KTH STH
Sidor i boken
40-42
Komposanter, koordinater och vektorlängd
Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Läxa 256. En rät linje, L1 , skär y-axeln då y = 3 och x-axeln då x = 2. En annan linje, L2 , skär
x-axeln då x = 6. Var skär L2 y-axeln om de två linjerna skär varandra under rät vinkel?
Läxa 257. De tre punkterna i vilka funktionen
f(x) = x2 + x − 6
skär x- och y-axeln utgör hörnen i en triangel. Bestäm denna triangels area.
Läxa 258. En rät linje f(x) skär y-axeln då y = 4 och x-axeln då x = 3/2. En annan g(x) skär
y-axeln i punkten (0, −3). De två linjerna skär varandra under rät vinkel. Var skär g(x) x-axeln?
Läxa 259. Man vet att punkten punkten P(2, −9) ligger på kurvan till funktionen f(x) = 2−ax−x2 .
Bestäm a och undersök för vilka värden på x som f(x) > 0
Läxa 260. Bestäm talen b och c, så att grafen till funktionen
y = x2 + bx + c
går genom punkterna P1 (−1, 6) och P2 (2, 3)
Läxa 261. Funktionen f(x) = 3x2 + 2x − 10 är given. Mellan punkterna (5, 75) och (−2, −2) på
funktionens kurva har dragits en sekant (helt enkelt en linje genom dessa punkter). Parallell med
denna sekant har dragits en annan sekant (en annan linje), som bland annat går genom punkten
(−4, 30). Bestäm avståndet mellan denna punkt och och den andra av denna sekantens ändpunkter.
Läxa 262. Bestäm a, så att linjen genom punkterna P1 (a, 10) och P2 (−4, 2a) får k-värdet 2
Håkan Strömberg
220
KTH STH
Läxa 263. Funktionerna
f(x) = 2a + 2x − x2
och
g(x) = ax − 5
skär varandra då x = 3 bestäm den andra skärningspunkten.
Läxa 264. Lös ekvationen
2
3
1
+
=
x 2x
8
Läxa 265. På var och en av triangelns tre sidor är placerad en halv cirkel. Bestäm hela figurens
area.
Läxa 266. Lös ekvationen
√
x + 55 = x − 1
Läxa 267. Bestäm rymddiagonalen e i ett rätblock då a = 3, b = 4 och c = 12.
Läxa 268. Förenkla
y
x
+
xy − y2 xy − x2
Läxa 269. The function is f(x) = x2 − 10x + 21. What is the least value of the function?
Läxa 270. Med hur många procent ökar arean hos en kvadrat om kvadratens sida ökas med 20%
Läxa 271. Förenkla
Håkan Strömberg
√
√
a
a
√
+√
a+1
a−1
221
KTH STH
Läxa 272. Lös ekvationen
2 3
−
3 x =− 1
2 3
17
+
3 4
Läxa 273. Bestäm den lilla skuggade triangelns area.
Läxa 274. Volymen hos en pyramid med kvadratisk basyta är 6.4 m3 . Sidan i kvadraten är 2 m. En
skalenlig modell har volymen 100 cm3 . Vilken längd har sidan i modellens kvadrat?
Läxa 275. En rektangel är inritad i ett koordinatsystem med sidorna parallella med axlarna. Två
diametralt motstående hörn har koordinaterna (−12, 7) och (−6, −15). Bestäm rektangelns area.
Läxa Lösning 256. Först bestämmer vi k-värdet för L1 , som går genom de två punkterna (0, 3)
och (2, 0)
3
3−0
=−
k1 =
0−2
2
Det är nu känt att k-värdena för två linjer som skär varandra under rät vinkel har sambandet
k1 · k2 = −1. Detta betyder att k2 = 32 . Vi vet nu följande om L2
y=
2
x+m
3
Sätter vi in de kända punkten (6, 0) får vi
0=
2
·6+m
3
som ger m = −4, som också är y-koordinaten till skärningspunkten. Linjens ekvation är
L2 : y = 23 x − 4
Svar: L2 skär y-axeln i (0, −4)
Håkan Strömberg
222
KTH STH
Läxa Lösning 257. För att få funktionens nollställen löser vi ekvationen f(x) = 0
x2 + x − 6 =
0
x
=
− 12 ±
x
=
− 12 ±
x
=
− 12 ±
x1
=
2
x2
=
−3
q
1
q4
+
24
4
25
4
5
2
Två av triangels hörn ligger på x-axeln (2, 0) och (−3, 0). f(0) = −6 ger det tredje hörnet (0, −6).
Hörnen på x-axeln bildar basen som är 5 l.e. Höjden är 6 l.e.
Med hjälp av formeln
A=
bh
5·6
=
= 15
2
2
får vi arean till
Figur 36:
Svar: 15 a.e.
Läxa Lösning 258. De två funktionerna g(x) = kg ·x +mg och f(x) = kf ·x +mf måste bestämmas
för att svaret ska kunna ges. Vi vet att f(0) = 4 och f(3/2) = 0 ur detta kan vi bestämma kf
kf =
4−0
8
=−
3
0 − 32
Vi vet redan att mf = 4 och kan nu skriva f(x) = − 83 · x + 4. Genom texten vet vi att kg = 38
eftersom kg · kf = −1. Vi vet också att mg = −3 och kan skriva g(x) = 38 · x − 3. Då vi löser
ekvationen g(x) = 0 får vi den efterfrågade roten.
3
8
·x−3
x
=
=
0
8
Svar: g(x) skär x-axeln i (8, 0)
Håkan Strömberg
223
KTH STH
Läxa Lösning 259. Vi bestämmer a i f(x) = 2 − ax − x2 genom P(2, −9), f(2) : 2 − 2a − 22 = −9.
Ger a = 7/2 och får funktionen
7
f(x) = 2 − x − x2
2
Vi behöver nu funktionens nollställen och måste lösa ekvationen f(x) = 0
7
2 − x − x2
2
7
2
x + x−2
2
=
0
=
0
x
=
x
=
x1 = −4
r
7
49 32
− ±
+
4
16 16
7 9
− ±
4 4
x2 =
1
2
Svar: Eftersom f(x) har ett maximum är funktionen positiv för −4 < x <
1
2
Läxa Lösning 260. Sätter vi in de två punkterna i funktionen får vi följande ekvationssystem:
6 = (−1)2 + b(−1) + c
3 = 22 + b · 2 + c
eller
c−b
c + 2b
=
=
5
−1
Vi subtraherar den första ekvationen från den andra och får
(c + 2b) − (c − b)
c + 2b − c + b
3b
b
=
=
=
=
−1 − 5
−6
−6
−2
b = −2 insatt i första ekvationen ger c − (−2) = 5 eller c = 3
Svar: Funktionen får följande utseende: y = x2 − 2x + 3
Läxa Lösning 261. Vi börjar med att skissa kurvan och sekanterna
Figur 37:
Det kommer att visa sig att denna skiss är helt korrekt, men det ska den inte behöva vara för
att man ska ha glädje av den. De två sekanterna ligger förstås på två linjer med funktionerna
g(x) = kg · x + mg och h(x) = kh · x + mh . Här är en lösningsplan:
a Ta reda på kg med hjälp av P1 och P2
b Ta reda på mh med hjälp av P3
Håkan Strömberg
224
KTH STH
c Lös ekvationen f(x) = h(x) för att få P4
d Ta reda på avståndet mellan P3 och P4 med hjälp av avståndsformeln
Steg a
75 − (−2)
= 11
5 − (−2)
kg =
Steg b
30
mh
11 · (−4) + mh
74
=
=
Vi vet nu att den andra sekanten ligger på linjen h(x) = 11x + 74.
Steg c
3x2 + 2x − 10
2
= 11x + 74
3x − 9x − 84
= 0
x2 − 3x − 28
= 0
x
=
3
2
±
x
=
3
2
±
x1 = 7
q
9
4
+
112
4
11
2
x2 = −4
Genom h(7) = 151 har vi bestämt P4(7, 151).
Steg d
A =
A =
A ≈
p
2
2
p(x1 − x2 ) + (y1 − y2 )
2
(7 − (−4)) + (151 − 30)2
121.5
Läxa Lösning 262.
k=
y1 − y2
x1 − x2
ger ekvationen
2 =
2(a + 4)
2a + 8
2a + 2a
4a
=
=
=
=
a =
Svar: a =
10 − 2a
a − (−4)
10 − 2a
10 − 2a
10 − 8
2
1
2
1
2
Håkan Strömberg
225
KTH STH
Läxa Lösning 263. f(3) = 2a + 2 · 3 − 32 ≡ 2a − 3 och g(3) = 3a − 5 Eftersom funktionerna skär
varandra då x = 3 har de då samma y-värde. Vi får ekvationen
2a − 3 =
3a − 2a =
a =
3a − 5
5−3
2
Vi har nu f(x) = 4 + 2x − x2 och g(x) = 2x − 5. Vi har att lösa ekvationen
4 + 2x − x2
x2
x
=
=
=
2x − 5
9
±3
För den andra skärningspunkten x = −3. g(−3) = 2(−3) − 5 ≡ −11. Ett värde man också får genom
f(−3). Så här ser grafen ut
Svar: Skärningspunkten är (−3, −11).
Läxa Lösning 264.
2
3
+
=
x 2x
3
2
=
+
8x
x 2x
1
8
8x
1
8
8x · 2 8x · 3
+
x
2x
=
8x · 1
8
16 + 12
=
x
x
=
28
Svar: x = 28
Läxa Lösning 265. Den korta katetens längd är
40 tan 37◦ ≈ 30.14
Hypotenusans längd är
40
≈ 50.09
cos 37◦
Med hjälp av formeln för arean hos halva cirkeln med diametern d
A=
får vi
πd2
8
402 π 30.142 π 50.092 π 30.14 · 40
+
+
+
≈ 2573
8
8
8
2
Svar: 2573 a.e.
Håkan Strömberg
226
KTH STH
Läxa Lösning 266.
√
x + 55
2
√
x + 55
x + 55
x2 − 3x − 54
=
=
=
=
x
=
x
x
x1
x2
=
=
=
=
Vi testar svaret
x1 = 9
V.L.
H.L.
V.L. = H.L.
x1 = 9
V.L.
H.L.
V.L. 6= H.L.
x−1
2
(x − 1)
x2 − 2x + 1
0 q
3
2
3
2
3
2
±
±
±
9
−6
9
q4
+
45̇4
4
225
4
15
2
√
9 + 55 ≡ 8
9−1= 8
√
−6 + 55 ≡ 7
−6 − 1 ≡ −7
Svar: x = 9.
Läxa Lösning 267. Först bestämmer vi diagonalen i bottenplanet med hjälp av Pythagoras sats:
p
√
√
d1 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5
Med hjälp av denna diagonal och höjden kan vi så bestämma rymddiagonalen åter med hjälp av
Pythagoras sats
p
√
√
dr = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 13
Svar: Rymddiagonalen är 13 l.e.
Läxa Lösning 268.
x
y
x
y
x
y
x2
y2
+
=
+
=
−
=
−
=
xy − y2
xy − x2
y(x − y) x(y − x)
y(x − y) x(x − y)
xy(x − y) xy(x − y)
(x − y)(x + y)
x+y
x2 − y2
=
=
xy(x − y)
xy(x − y)
xy
Läxa Lösning 269. Vi bestämmer funktionens nollställen och med hjälp av symmetrin det x-värde
för vilket funktionen antar sitt minsta värde.
x2 − 10x + 21
x
x
x1
x2
=
=
=
=
=
0 √
5 ± 25 − 21
5±2
7
3
x = 5 ligger mitt emellan rötterna f(5) = 52 − 10 · 5 + 21 = −4
Svar: Funktionens minsta värde är −4
Läxa Lösning 270. Innan sidan ökas är den a och arean a2 . Efter ökningen är sidan 1.2a och
arean (1.2a)2 = 1.44a2 . Den procentuella ökningen blir då
1.44a2 − a2
= 0.44 = 44%
a2
Håkan Strömberg
227
KTH STH
Läxa Lösning 271.
√
√
√
√
√
√
√
√
a
a
( a − 1) a
( a + 1) a
a− a+a+ a
2a
√
√
√
√
+√
= √
)+ √
= √
=
a−1
a+1
a−1
( a − 1)( a + 1
( a + 1)( a − 1)
( a + 1)( a − 1)
Läxa Lösning 272. En ekvation innehållande ett dubbelbråk, men x bara på ett ställe. Starta med
att förenkla vänstra ledet. Avsluta den förenklingen med att ersätta divisionen av bråken i täljare och
nämnare med multiplikation av täljaren och nämnaren inverterad. Sedan har vi nått till en ekvation,
som är enkel att lösa.
2
3
3−x
3
2
3+4
2x
3·3
3x − 3x
4·2
3·3
4·3 + 3·4
2x−9
3x
8+9
12
2x−9
3x
51x
2x−9
3x
·
·
12
17
12
17
51x(2x−9)12
3x·17
=
1
− 17
=
1
− 17
=
1
− 17
=
1
− 17
=
1
51x − 17
=
− 51x
17
12(2x − 9) =
−3x
24x − 108)
=
−3x
27x
=
108
x =
4
Svar: x = 4
Läxa Lösning 273. Först bestämmer vi hypotenusan c, i den lilla triangeln
c
= tan 30◦
17
ger c = 17 tan 30◦ ≈ 9.815. Den skuggade triangelns katetrar a och b får vi genom
sin 60◦ =
b
a
och cos 60◦ =
9.815
9.815
som ger a = 9.815 sin 60◦ ≈ 8.5 och b = 9.815 sin 60◦ ≈ 4.9. Med hjälp av formeln
A=
8.5 · 4.9
bh
=
≈ 20.86
2
2
Svar: 20.86 a.e.
Håkan Strömberg
228
KTH STH
Läxa Lösning 274. Vi använder oss av följande fakta: Längdskalan i kubik är lika med volymskalan
l1
l2
3
=
v1
v2
Detta ger
x 3
200
=
100
6400000
x3
2003
=
100
6400000
x3
=
x
=
x
=
100 · 2003
6400000
r
3
3 100 · 200
6400000
5
Svar: 5 cm
Läxa Lösning 275. Höjden är 7 − (−15) = 22 och bredden är −6 − (−12) = 6, som ger arean
A = 22 · 6 = 132
Svar: 132 a.e.
Håkan Strömberg
229
KTH STH
Sidor i boken
46-48
Träning inför tentamen
Läxa 276. Förenkla
4x
1
− 2
2
(x − 1)
(x − 1)2
Läxa 277. Bestäm ekvationen för den linje som går genom skärningspunkten mellan L1 och L2
och som är parallell med L3 .
L1 : y = x − 2
L2 : y = 2x + 3
L3 : y = −x + 2
Läxa 278. Bestäm a och b i ekvationssystemet
4ax + 3by =
4bx + 3ay =
så att lösningen blir
Läxa 279. Lös ekvationen
25
30
x=2
y=1
1
= 12
1 2 1
− +
2 x 4
Läxa 280. Bestäm längden hos sidan x
Håkan Strömberg
230
KTH STH
Läxa 281. I en rät cirkulär cylinder, med diametern 20 cm och höjden 100 cm, har man borrat bort
hälften av materialet i form av ett hål centralt placerad i cylindern (se figuren). Hur tjock vägg får
det uppkomna ’röret’?
Läxa 282. Bestäm ekvationen för den linje L1 , som skär linjen L2 : y = 2x + 1 i punkten (−5, −9)
och linjen L3 : y = 3x − 6 i punkten (1, −3).
Läxa 283. Bestäm skärningspunkterna mellan de två funktionerna
f(x) = 2x2 + 3x + 4
g(x) = x2 + 4x + 10
Läxa 284. Lös ekvationen
x 2
x−9
2
− =
−
2 x
2
x+1
Läxa 285. Ekvationen till två linjer är givna:
3x − 5y + 19 = 0
10x + 6y − 50 = 0
Bestäm de två linjernas k-värden. Vad kan sägas om två linjer med dessa k-värden?
Läxa 286. Genom punkterna med x-koordinaterna 2 och 4 dras en sekant till kurvan. Ange sekantens k-värde, om y = 4x − x3
Läxa 287. Förenkla så långt möjligt
y(x + y) − x(y + x) 2yx + x2 + y2 − 4xy
−
y(x + 1) − x(y + 1)
y−x
Läxa 288. Funktionen f(x) = 2x2 − 8x + 6 har en minpunkt. Beräkna analytiskt minimipunktens
koordinater.
Läxa 289. Den räta linjen L1 kan skrivas 4x − 2(y − 1) = 0. Den räta linjen L2 går genom punkten
(5, 1), och är vinkelrät mot L1 . Beräkna koordinaterna för den punkt i vilken linjerna skär varandra.
Läxa 290. Låt f(x) = 2x − x2 och förenkla uttrycket f(3 + h) − f(3) så långt möjligt.
Håkan Strömberg
231
KTH STH
Läxa Lösning 276.
1
4x
1
4x
− 2
≡
−
≡
2
2
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)(x − 1) (x − 1)(x + 1)(x − 1)(x + 1)
x2 + 2x + 1 − 4x
(x + 1)(x + 1) − 4x
≡
≡
(x − 1)(x + 1)(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x + 1)(x − 1)(x + 1)
(x − 1)2
1
x2 − 2x + 1
≡
≡
(x − 1)(x + 1)(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x + 1)(x − 1)(x + 1)
(x + 1)2
Svar:
1
(x + 1)2
Läxa Lösning 277. L3 har k = −1. Samma som vår linje ska ha. Skärningspunkten mellan L1 och
L2 får vi genom att lösa ekvationen
2x + 3
x
= x−2
= −5
y-koordinaten får vi genom y = −5 − 2, ger y = −7. Skärningspunkten är då (−5, −7).
Linjen vi söker har så här långt ekvationen y = −x + m. Vi bestämmer m genom att sätta in
skärningspunkten. −7 = −(−5) + m, m = −12.
Svar: y = −x − 12
Läxa Lösning 278. Vi sätter helt enkelt in x = 2 och y = 1 och får
4a · 2 + 3b · 1 = 25
4b · 2 + 3a · 1 = 30
eller
8a + 3b
3a + 8b
= 25
= 30
Multiplicera den första ekvationen med 3 och den andra med −8 så får vi
3(8a + 3b) = 3 · 25
−8(3a + 8b) = −8 · 30
vidare
24a + 9b
−24a − 64b
=
=
75
−240
Leder till −55b = −165 ger b = 3. b insatt ger 24a + 9 · 3 = 75 med lösningen a = 2
Svar: a = 2 och b = 3
Läxa Lösning 279.
1
=
12
=
12
=
12
4x
3x−8
=
12
4x
=
12(3x − 8)
4x
=
36x − 96
32x
=
96
1
2
1
2−x+4
1
2x·1
4·2
x·1
2x·2 − 4·x + x·4
1
1
2x−8+x
4x
x =
3
Svar: x = 3
Håkan Strömberg
232
KTH STH
Läxa Lösning 280.
Figur 38:
A =
15 sin 32◦ ≈ 7.95
B =
15 cos 32◦ ≈ 12.72
C =
12.72
≈ 4.88
tan 69◦
D
=
X =
4.88
≈ 6.72
tan 36◦
√
√
D2 + A2 = 6.722 + 7.952 ≈ 10.41
Svar: 10.41 l.e.
Läxa Lösning 281. Cylinderns volym bestäms med
Vc = πr2 h = 102 · 100π = 10000π
Ett hål med halva volymen har radien r. Vi får ekvationen
10000π
2
=
r
=
r
=
10
√
2
r
=
7.07
πr2 100
r
100
2
Svar: Tjockleken blir 10 − 7.07 = 2.93
Läxa Lösning 282. Uppgiften är en liten bluff! Vi har ju två punkter på linjen och kan enkelt
bestämma dess ekvation
6
−3 − (−9)
= =1
k=
1 − (−5)
6
y = x + m ger oss med hjälp av (1, −3), −3 = 1 + m eller m = −4
Svar: y = x − 4
Håkan Strömberg
233
KTH STH
Läxa Lösning 283. Vi får ekvationen
2x2 + 3x + 4
x2 − x − 6
x
x
x1
x2
= x2 + 4x + 10
=0
q
1
2
1
2
=
=
=
=
1
4
±
±
4·6
4
+
5
2
3
−2
g(3) = 32 + 4 · 3 + 10 = 31 ger (3, 31) och g(−2) = (−2)2 + 4(−2) + 10 = 6 ger (−2, 6).
Svar: (3, 31) och (−2, 6)
Läxa Lösning 284.
x
2
2x(x + 1)
x
2
−
−
2
x
2
x
=
x−9
2
=
2x(x + 1)
x−9
2
−
2
x+1
x2 (x + 1) − 4(x + 1) =
x(x + 1)(x − 9) − 4x
x3 + x2 − 4x − 4 =
(x2 + x)(x − 9) − 4x
x3 + x2 − 4x − 4 =
x3 − 9x2 + x2 − 9x − 4x
x2 − 4x − 4 =
9x2 + 9x − 4 =
x2 + x −
4
9
=
x =
−8x2 − 13x
0
0
− 21 ±
x =
− 21 ±
x =
− 21 ±
x =
Svar: x = − 34 och x =
2
x+1
−
− 63 ±
x1
=
− 34
x2
=
1
3
q
1
+
q4
9
4
9
+
q 36
16
36
25
36
5
6
1
3
Läxa Lösning 285. Vi bestämmer ett k-värde i taget
3x − 5y + 19
=
0
3x + 19
=
5y
y
=
3x
5
+
19
5
Denna linje har k-värdet 53 . Så till nästa.
10x + 6y − 50
=
0
6y
=
−10x + 50
Denna linje har k-värdet − 53 . Eftersom
Svar: k1 =
3
5
3
5
y =
− 10x
6 +
y =
− 5x
3 +
50
6
25
3
· − 35 = −1 skär linjerna varandra under rät vinkel.
och k2 = − 35 . Linjerna skär varandra under rät vinkel.
Håkan Strömberg
234
KTH STH
Läxa Lösning 286. f(x) = 4x − x3 . Vi behöver f(2) = 0 och f(4) = −48
k=
0 − (−48)
= −24
2−4
Svar: k = −24
Läxa Lösning 287.
y(x+y)−x(y+x)
2yx+x2 +y2 −4xy
y(x+1)−x(y+1) −
y−x
xy+y2 −(xy+x2 )
x2 +y2 −2xy
xy+y−(xy+x) −
y−x
(x−y)2
xy+y2 −xy−x2
xy+y−xy−x − y−x
(x−y)(x−y)
y2 −x2
y−x −
y−x
(y−x)(y+x)
+ (x−y)(x−y)
(y−x)
(x−y)
(y + x) + (x − y)
2x
Svar: 2x
Läxa Lösning 288. Vi startar med att bestämma nollställena hos f(x), att lösa f(x) = 0
2x2 − 8x + 6
x2 − 4x + 3
x
x1
x2
=
=
=
=
=
0
0 √
2± 4−3
3
1
Symmetrilinjen ligger mitt emellan rötterna, x = 3+1
2 ≡ 2. Minimipunkten ligger på symmetrilinjen.
f(2) = 2 · 22 − 8 · 2 + 6 = −2 ger punktens y-koordinat.
Svar: Minimipunktens koordinater (2, −2)
Läxa Lösning 289. Vi startar med ta reda på k-värdet hos L1 .
4x − 2(y − 1)
4x − 2y + 2
4x + 2
y
=
=
=
=
0
2y
2x + 1
L1 skrivs med fördel som y = 2x + 1 och har k = 2. Alla linjer som går vinkelrätt mot denna har
k = − 21 eftersom produkten av de två k-värdena = −1.
För att bestämma m för L2 använder vi oss av punkten (5, 1) och får 1 = − 21 · 5 + m, ger m = 27 .
Ger
x 7
y=− +
2 2
Till sist bestämmer vi skärningspunkten genom
2x + 1
4x + 2
x
=
=
=
− 2x + 72
−x + 7
1
y = 2 · 1 + 1 ≡ 3 och skärningspunkten är bestämd (1, 3).
Svar: (1, 3)
Läxa Lösning 290.
f(3+h)−f(3) ≡ 2(3+h)−(3+h)2 −(2·3−32 ) ≡ 6+2h−(9+6h+h2 )+3 ≡ 6+2h−9−6h−h2 +3 ≡ −h2 −4h
Svar: −h2 − 4h
Håkan Strömberg
235
KTH STH
Sidor i boken
Repetition inför tentamen
Läxa 291. Givet en rätvinklig triangel △ACD, där AD = 120 cm, AB = 240 cm och BC = 180 cm.
Beräkna vinkeln ∠BDC.
Läxa 292. Beräkna omkretsen av △ABC, där BE = 4 cm, EA = 8 cm och DE = 6 cm.
Läxa 293. Lös ekvationssystemet
2(y + x) − y + 9 =
x + 3(x + y) − 8 =
Läxa 294. Förenkla så långt möjligt
(ab3 )2 ·
2(y + 6)
11 + 3x
√
b
3
b2 · a
Läxa 295. Lös ut b ur formeln
A=
h(b + d)
2
Läxa 296. En fyrhörnings sidor är i ordning 9 cm, 12 cm, 15 cm och 18 cm. Vinkeln mellan de två
förstnämnda är rät. Beräkna fyrhörningens area.
Läxa 297. I en likbent triangel är omkretsen 12 cm och höjden mot basen 4 cm. Hur stor är
triangelns area?
Håkan Strömberg
236
KTH STH
Läxa 298. En given rektangels sidor är 8 cm och 5 cm. En rät linje parallell med kortsidan avskär
en rektangel, som är likformig med den givna. Ange den mindre rektangelns sidor.
Läxa 299. I △ABC är AB = 5 cm, AC = 6 cm och BC = 7 cm. Transversalen DE är parallell med
BC samt skär AB i D och AC i E. BD = 2 cm. Beräkna återstående sidor i △ADE.
Läxa 300. I en likbent triangel är basen 10 cm och höjden mot basen 15 cm. På vilket avstånd från
basen ska man dra en parallelltransversal för att dess längd ska bli 8 cm?
Läxa 301. En linje, L1 , går genom punkterna (0, 10) och (1, 15). En annan, L2 , går genom punkterna (0, −8) och (1, −12). Bestäm skärningspunkten mellan L1 och L2 .
Läxa 302. En andragradsfunktion kan skrivas f(x) = ax2 + bx + c. Bestäm den andragradsfunktion
vars minsta värde är −3 och för vilken gäller att f(0) = 9 och f(−1) = f(−3).
Läxa 303. Linjen y = x + 3 skär de båda linjerna y = 2x − 4 och y = −3x + 15. Bestäm avståndet
mellan skärningspunkterna
Läxa 304. Lös ekvationen
|x + 3| − 5 = 0
Läxa 305. För vilka värden på a saknar ekvationssystemet lösning
ax + 2y = 0
2ax − ay = −1
Läxa Lösning 291. Antag att ∠ADB = u.
tan u
=
240
120
u
=
arctan 2
tan(u + v)
240+180
120
=
420
arctan 120
u+v =
v = arctan
420
− arctan 2 ≈ 10.62◦
120
Svar: v = 10.6◦
Läxa Lösning 292. △ABC ∼ △AED. Antag att BC = x. Förhållandet ger
x
4+8
x
6
8
= 9
=
Antag att AC = y. Med Pythagoras sats får vi
p
y = 92 + 122 ≡ 15
Håkan Strömberg
237
KTH STH
Omkretsen blir då 15 + 12 + 9 = 36
Svar: 36 cm
Läxa Lösning 293.
2(y + x) − y + 9
x + 3(x + y) − 8
=
=
2(y + 6)
11 + 3x
2y + 2x − y + 9 =
x + 3x + 3y − 8 =
2y + 12
11 + 3x
2x − y =
x + 3y =
3
19
Efter förenkling kan vi nu lösa systemet med additionsmetoden


 3(2x − y) = 3 · 3


x + 3y = 19



7x = 28
x = 4




 2·4−y = 3


y = 5
Svar: x = 4 och y = 5
Läxa Lösning 294.
(ab3 )2 ·
3
2
√
b
b ·a
Svar: ab5
1
≡
a 2 b6 · b 2
3
2
b ·a
1
3
≡ a2−1 b6+ 2 − 2 ≡ ab5
Läxa Lösning 295.
=
=
=
=
A
2A
2A − hd
b
Svar: b =
h(b+d)
2
hb + hd
hb
2A−hd
h
2A−hd
h
Läxa Lösning 296.
AD = 9 och DC = 12. Med hjälp av Pythagoras får vi
p
√
CA = 92 + 122 ≡ 225 ≡ 15
Det betyder att △ABC är likbent och att höjden
kan vi bestämma
152 =
CE =
CE =
CE delar basen AB mitt itu. Med Pythagoras, åter,
CE2 + 92
√
152 − 92
12
Vi kan nu bestämma fyrhörningens area genom summan av arean hos två trianglar.
A=
9 · 12 12 · 18
+
≡ 162
2
2
Svar: 162 cm2
Håkan Strömberg
238
KTH STH
Läxa Lösning 297. Antag att de två lika långa benen är x då är basen 12 − 2x. Höjden delar basen
≡ 6−x och den andra är 4. Hypotenusan
mitt itu. Vi har en rätvinklig triangel, där en katet är 12−2x
2
har vi antagit ska vara x. Med Pythagoras får vi då
x2
x2
12x
x
=
=
=
=
Arean blir då
A=
Svar:
20
3
(6 − x)2 + 42
36 − 12x + x2 + 16
52
13
3
4(12 − 2 ·
2
13
3 )
≡
20
3
cm2
Läxa Lösning 298.
Antag att linjen är dragen x cm från kortsidan
Svar:
25
8
x
5
=
5
8
x
=
25
8
cm och 5 cm
Läxa Lösning 299.
Antag att DE = x cm. AD = 5 − 2 = 3 cm. Med hjälp av likformighet kan vi så teckna
DE
BC
x
7
ger x =
21
5 .
=
=
AD
AB
3
5
Antag att AE = y cm.
AE
AD
AC = AB
y
3
6 = 5
ger AE = 18
5
Svar: DE = 21
5 cm, AD = 3 cm och AD =
Håkan Strömberg
18
5
cm.
239
KTH STH
Läxa Lösning 300.
Antag att OF = x cm. Då är OA = 15 − x. △ABC ∼ △ADE ger
15−x
15
=
10(15 − x) =
150 − 10x =
10x =
x =
8
10
150 · 8
120
30
3
Svar: 3 cm
Läxa Lösning 301. Vi bestämmer ekvationen till L1 . Först k-värdet
k=
15 − 10
≡5
1−0
Punkten (0, 10) ger direkt m = 10 och ekvationen blir y = 5x + 10.
Ekvationen till L2 . Först k-värdet
k=
(−8) − (−12)
≡ −4
0−1
Även här kan vi snabbt med (0, −8) bestämma m = −8 och ekvationen blir y = −4x − 8.
Nu kan vi bestämma skärningspunkten genom
5x + 10 =
9x =
x =
−4x − 8
−18
−2
Som i sin tur ger y = 5 · (−2) + 10 ≡ 0.
Svar: (−2, 0)
Håkan Strömberg
240
KTH STH
Läxa Lösning 302. Symmetrilinjen ligger alltid mitt emellan två x-värden som har samma y-värde
(funktionsvärde). I vårt fall ser vi att symmetrilinjen då måste vara x = −1+(−3)
≡ −2. Då vet
2
vi att minpunkten är (−2, −3). Vi har dessutom punkten (0, 9) och som direkt ger värdet på c.
f(0) = a · 02 + b · 0 + c = 9, c = 9. Vi kan nu skriva f(x) = ax2 + bx + 9
Antag att f(−1) = y då är även f(−3) = y. Tillsammans med minpunkten f(−2) = −3 kan vi ställa
upp följande ekvationssystem


a−b+9 = y
 a(−1)2 + b(−1) + 9 = y

a − b + 9 = 9a − 3b + 9
9a − 3b + 9 = y
a(−3)2 + b(−3) + 9 = y
4a − 2b + 9 = −3


2
4a − 2b + 9 = −3
a(−2) + b(−2) + 9 = −3
8a − 2b
4a − 2b + 9
=
=
0
−3
Vi får så b genom 8 · 3 − 2b = 0 ,b = 12.
Svar: f(x) = 3x2 + 12x + 9




8a − 2b
−1(4a − 2b + 9)
4a



a
=
=
=
=
0
−1 · (−3)
12
3
Läxa Lösning 303.
Vi startar med att ta reda på de två skärningspunkterna
x+3 =
x =
2x − 4
7
y = 7 + 3 ≡ 10. Den första skärningspunkten är (7, 10). Den andra skärningspunkten
x+3 =
4x =
x =
−3x + 15
12
3
y = 3 + 3 ≡ 6. Den andra skärningspunkten är (3, 6). Avståndet mellan punkterna är
q
√
√
(7 − 3)2 + (10 − 6)2 ≡ 16 + 16 ≡ 4 2 ≈ 5.66
Svar: 5.66 l.e.
Läxa Lösning 304. Så länge x ≥ −3 kan vi plocka bort absolutbeloppstecknen utan att något
’händer’, eftersom uttrycket x + 3 då är positivt.
x+3−5 =
x =
0
2
Om x < −3 påverkar absolutbeloppet uttrycket, eftersom x + 3 < 0, och vi måste vi sätta ett
minustecken framför innan vi tar bort absolutbeloppstecknen. Vi får
−(x + 3) − 5 =
−x − 3 − 5 =
x =
0
0
−8
Ekvationen har två lösningar. Övertyga dig om att de båda satisfierar ekvationen.
Svar: x = 2 och x = −8
Håkan Strömberg
241
KTH STH
Läxa Lösning 305. Vi löser systemet på vanligt sätt med additionsmetoden där
en konstant

−2ax − 4y


 2ax − ay


ax + 2y = 0
−2(ax + 2y) = −2 · 0
−4y − ay
2ax − ay = −1
2ax − ay = −1


y(4 + a)



y
vi betraktar a som
=
=
=
=
=
0
−1
−1
1
1
4+a
Vi får sedan x genom
ax + 2 ·
1
4+a
x
= 0
2
= − a(4+a)
Vi drar så slutsatsen att systemet saknar lösning då a = 0 eller då a = −4 eftersom då nämnarna
för x och/eller y blir 0.
Svar: a = 0 eller a = −4.
Håkan Strömberg
242
KTH STH
Sidor i boken
Repetition inför kontrollskrivning 3
Ekvationssystem
Läxa 306. Lös ekvationssystemet
31x + 45y
14x − 23y
=
=
Läxa 307. Lös ekvationssystemet
x − 3(x + 2y) − 2(5y − 3x) =
3(x − y) − 6(y − x) + 5y − 3 =
−188
305
2(3x − 6y) − (5x − y) + 8
3x − 3 + 5(x − y)
Läxa 308. Lös ekvationssystemet




a
a+b
a+b+c



a+b+c+d
=
=
=
=
1
3
6
10
Läxa 309. Ett gammal problem. 2 kg kaffe och 5 kg socker kostar tillsammans 29.00 kr. Om priset
på kaffe sjunker med 2% och priset på socker stiger med 5%, blir kostnaden för samma mängder
28.84 kr. Beräkna priset per kg på kaffe och socker innan prisändringen.
Olikheter
Läxa 310. y − 3x − 6 = 0 och y + 2x + 8 = 0 är två räta linjer. I vilket intervall på x-axeln har båda
linjerna y-värden < 0?
Läxa 311. Lös olikheten
3x − 2(x + 3) − (2x + 1) > 4(x − 1) − 2(2 − x)
Håkan Strömberg
243
KTH STH
Läxa 312. Lös olikheten
−x2 + x + 2 > 0
Formelhantering
Läxa 313. Lös ut c ur formeln
c(a + b) − a(c − b) = b
Läxa 314. Lös ut c ur
a
Läxa 315. Lös ut c ur
p
b2 + b2 c = b2
1
1 1
1
+ + =
a b c
ab
Vektorer
Läxa 316. Dela upp kraften i figuren i komposanter, en x-komposant och en y-komposant.
Läxa 317. Givet de två vektorerna i figuren. Bestäm deras resultant.
Läxa 318. Bestäm y-komposanten i v~1 = (3, ?), så att den får samma längd som v~2 = (1, 9)
Läxa 319. Vi har två vektorer ~v = (v1 , v2 ) och ~u = (u1 , u2 ). Vi utför följande beräkning
~v ◦ ~
u = (v1 , v2 ) ◦ (u1 , u2 ) = v1 · u1 + v2 · u2
Vi har bestämt vektorernas skalärprodukt. Då denna produkt = 0 betyder det att vektorerna är
vinkelräta mot varandra.
Nedan får du sex vektorer. Para ihop dem så att paren av vektorer är vinkelräta.
~r = (3, 2), ~s = (−2, 3), ~t = (3, 6), ~u = (4, −6), ~v = (−4, 2), w
~ = (6, 4)
Håkan Strömberg
244
KTH STH
Läxa 320. I figuren ser du tre vektorer (alla med heltalskoordinater). Bestäm en fjärde vektor så
att resultanten av dessa fyra vektorer blir (0, 0).
Andragradsfunktionen
Läxa 321. Funktionen f(x) = x2 + bx + c går genom punkterna (4, 24) och (2, 6). Bestäm b och c
Läxa 322. I vilka punkter skär linjen y = 6x + 2 andragradskurvan y = 2x2 + 2x − 68 ?
Läxa 323. Andragradskurvan y = ax2 + bx + c har maximum för x = 1. x = −1 är ett nollställe
och punkten (0, 1) ligger på kurvan. Bestäm värdet på konstanterna a, b och c. (Använd inte
derivatabegreppet även om du skulle kunna)
Läxa 324. För en andragradsfunktion f(x) gäller: f(−5) = 0, f(2) = 0 och f(0) = 10. Bestäm a, b
och c i f(x) = ax2 + bx + c.
Läxa 325. Funktionen f(x) = 2x2 − 8x + 6 har en minpunkt. Beräkna analytiskt denna minpunkts
koordinater. (I nästa kurs kommer du att kunna lösa detta problem med hjälp av derivata, men det
behövs inte här)
Läxa Lösning 306. Vi använder additionsmetoden
23(31x + 45y) = 23 · (−188)
45(14x − 23y) = 45 · 305
713x + 1035y = −4324
630x − 1035y = 13725

 (630 + 713)x + (1035 − 1035)y = −4324 + 13725
1343x = 9401

x = 7

31 · 7 + 45y = −188




 217 + 45y = −188
45y = −188 − 217


45y = −405



y = −9
Svar: x = 7 och y = −9
Håkan Strömberg
245
KTH STH
Läxa Lösning 307. Vi startar med att förenkla
x − 3x − 6y − 10y + 6x =
3x − 3y − 6y + 6x + 5y − 3 =
4x − 16y =
9x − 4y − 3 =
x − 11y + 8
8x − 3 − 5y
3x − 5y =
x+y =
3x − 5y
5(x + y)
6x − 12y − 5x + y + 8
3x − 3 + 5x − 5y
8x
x
8
0
=
=
=
=
1+y =
y =
8
5·0
8
1
0
−1
Svar: x = 1 och y = −1
Läxa Lösning 308. Ett triangulerat system med 4 obekanta som man kan klara i huvudet. Tekniken
kallas bakåtsubstitution. a = 1 är givet. 1 + b = 3 ger då b = 2. I tredje ekvationen får vi så
1 + 2 + c = 6, som ger c = 3. Till sist 1 + 2 + 3 + d = 10 ger d = 4.
Svar: a = 1, b = 2, c = 3, d = 4.
Läxa Lösning 309. Antag att kaffet från början kostade k kr/kg och sockret s kr/kg.
2k + 5s = 29.00
2k · 0.98 + 5s · 1.05 = 28.84
Substitutionsmetoden ger
k =
29.00−5s
2
som sätts in i den andra ekvationen
2 · 0.98 · 29.00−5s
+ 5s · 1.05
2
0.98(29.00 − 5s) + 5.25s
−4.9s + 5.25s
0.35s
s
k
k
=
=
=
=
=
28.84
28.84
28.84 − 28.42
0.42
1.20
= 29.00−5·1.20
2
= 11.50
Svar: Kaffet kostade 11.50 kr/kg och sockret 1.20 kr/kg
Läxa Lösning 310.
Håkan Strömberg
246
KTH STH
Vi löser en olikhet i taget
och
y − 3x − 6
y
y < 0 då 3x + 6 < 0
3x + 6 < 0
x < −2
=
=
0
3x + 6
y + 2x + 8
y
y < 0 då −2x − 8 < 0
−2x − 8
−8
x
=
=
0
−2x − 8
<
<
>
0
2x
−4
Vi får så intervallet −4 < x < −2
Svar: −4 < x < −2
Läxa Lösning 311.
3x − 2(x + 3) − (2x + 1)
3x − 2x − 6 − 2x − 1
−x − 7
1
x
Svar: x <
>
>
>
>
<
4(x − 1) − 2(2 − x)
4x − 4 − 4 + 2x
6x − 8
7x
1
7
1
7
Läxa Lösning 312. Först tar vi reda på nollställena
−x2 + x + 2 =
x2 − x − 2 =
0
0
=
=
=
=
1
2
1
2
x
x
x1
x2
±
±
2
−1
q
1
4
+
8
4
3
2
Eftersom koefficienten framför x2 -termen vet vi att funktionen f(x) = −x2 + x + 2 har ett maximum.
Detta maximum ligger mellan nollställena, vilket i sin tur betyder att −1 < x < 2.
Svar: −1 < x < 2
Läxa Lösning 313.
c(a + b) − a(c − b)
ac + bc − ac + ab
bc + ab
bc
c
c
=
=
=
=
=
=
b
b
b
b − ab
b(1−a)
b
1−a
Svar: c = 1 − a
Håkan Strömberg
247
KTH STH
Läxa Lösning 314.
Svar: c =
b2
a2
− 1 eller c =
√
=
ap b2 + b2 c
a b2√
(1 + c)
=
=
ab√1 + c
1+c
=
√
2
b 2
1+c
= a
1+c
=
c
=
b2
b2
b2
b
a
b2
2
a2
b
a2
−1
b2 −a2
a2
Läxa Lösning 315.
1
a
abc
abc
a
1
a
+
+
+
1
b
1
b
abc
b
1
c
=
1
ab
1
c
=
abc
c
abc ·
=
+
+
+
bc + ac + ab =
ab =
c(1 − b − a) =
c =
Svar: c =
1
ab
abc
ab
c
c − bc − ac
ab
ab
1−b−a
ab
1−b−a
Läxa Lösning 316. Endast två beräkningar behövs. Först x-komposanten
100 cos 42◦ ≈ 74.31
så y-komposanten
100 sin 42◦ ≈ 66.91
Nu kan vi skriva vektorn på formen (74, 67).
Svar: (74, 67).
Läxa Lösning 317. Vi delar upp vektorerna i x och y-komposanter. Därefter kan vi addera dem.
x1 = 34 cos 62◦ ≈ 15.96
y1 = 34 sin 62◦ ≈ 30.02
x2 = 28 cos 21◦ ≈ 26.14
y2 = 28 sin 21◦ ≈ 10.03
x1 + x2 = 15.96 + 26.14 = 42.10
y1 + y2 = 30.02 + 10.03 = 40.05
Resultanten ~r = (42.10, 40.05). Dess storlek eller längd får vi genom
p
|~r| = 42.102 + 40.052 ≈ 58.11
Vi kan, om vi vill också bestämma vinkeln
arctan
42.10
≈ 46.43◦
40.05
Svar: Antingen (42.10, 40.05) eller 58.11∠46.43.
Håkan Strömberg
248
KTH STH
Läxa Lösning 318.
√
12 + 92
2
√
12 + 92
82
y
=
=
=
=
p
32 + y2
2
p
32 + y2
2
9+
√y
± 73 ≈ ±8.54
Det finns alltså två lösningar!
√
Svar: ± 73 ≈ ±8.54
Läxa Lösning 319.
~r ◦ ~
u = (3 · 4 + 2 · (−6)) = 0
~s ◦ w
~ = (−2 · 6 + 3 · 4) = 0
~t ◦ ~v = (3 · (−4) + 6 · 2) = 0
Rita gärna de tre paren i ett koordinatsystem.
Läxa Lösning 320.
Vi startar med att läsa av de tre vektorerna
v~1 = (5, 2), v~2 = (−3, −4), v~3 = (2, 2)
Genom att summera dem få vi dessa tre vektorers resultant
~r = v~1 + v~2 + v~3 = (5, 2) + (−3, −4) + (2, 2) = (4, 0)
För att resultanten ska bli (0, 0) måste vi lägga till en vektor v~4 = (x, y) sådan att ~r + v~4 = 0, 0.
Alltså är v~4 = (−4, 0). Se figuren
Svar: (−4, 0)
Läxa Lösning 321. Problemet leder till ett ekvationssystem
2
4 + 4b + c = 24
4b + c = 8
4b + c =
2b + c = 2
−2(2b + c) =
22 + 2b + c = 6
8
−2 · 2
4b + c =
−4b − 2c =
8
−2 · 2
Vi löser så först ut c = −4, insatt i andra ekvationen
22 + 2b − 4
b
=
=
6
3
Svar: f(x) = x2 + 3x − 4
Håkan Strömberg
249
KTH STH
Läxa Lösning 322. Vi har att lösa ekvationen
2x2 + 2x − 68
2x2 − 4x − 70
x2 − 2x − 35
x
x
x1
x2
=
=
=
=
=
=
=
6x + 2
0
0 √
1 ± 1 + 35
1±6
7
−5
Med x-värdena kan vi enkelt ta reda på motsvarande y-koordinater
x = 7 6 · 7 + 2 ≡ 44 (7, 44)
x − 5 6 · (−5) + 2 ≡ (−5, −28)
Svar: (7, 44) och (−5, −28)
Läxa Lösning 323. Symmetrilinjen är x = 1. Det andra nollstället ligger lika långt från symmetrilinjen som x1 . Alltså är x2 = 3. Eftersom (0, 1) ligger på kurvan innebär f(0) = 1 att a · 02 + b · 0 + c = 1
och att c = 1. Vi har nu f(x) = ax2 + bx + 1 och två punkter (−1, 0) och (3, 0). Vi får ekvationssystemet

3(a − b) = 3 · (−1)



9a + 3b = −1
a(−1)2 + b(−1) + 1 = 0
12a = −4
a · 32 + b · 3 + 1 = 0



a = − 31
Återstår att bestämma b.
2
Svar: − x3 +
2x
3
− 13 · (−1)2 + b · (−1) + 1 =
b =
0
2
3
+1
Läxa Lösning 324. Eftersom f(0) = 10 är f(0) = a · 02 + b · 0 + c = 10 ger c = 10 Vi har
nu f(x) = ax2 + bx + 10. Genom att utnyttja de två givna punkterna (−5, 0) och (2, 0) får vi
ekvationssystemet
a(−5)2 + (−5)b + 10 = 0
25a − 5b = −10
a · 22 + 2b + 10 = 0
4a + 2b = −10
2(25a − 5b)
5(4a + 2b)
=
=
2 · (−10)
5 · (−10)
50a − 10b
20a + 10b
=
=
−20
−50
Efter addition har vi ekvationen 70a = −70 ger a = −1. Vi sätter in a = −1 i
(−1)(−5)2 + (−5)b + 10
−25 − 5b
5b
b
Håkan Strömberg
250
=
=
=
=
0
−10
−15
−3
KTH STH
Ger oss svaret
Svar: f(x) = −x2 − 3x + 10
Läxa Lösning 325. Vi startar med att lösa f(x) = 0
2x2 − 8x + 6
x2 − 4x + 3
x
x
x1
x2
=
=
=
=
=
=
0
0 √
2 ± 22 − 3
2±1
3
1
Vi vet att symmetrilinjen går mitt emellan nollställena, vilket betyder att linjen har ekvationen x = 2.
Vi vet också att funktionen har ett minimum eftersom koefficienten framför x2 är > 0 och att detta
minimum ligger på symmetrilinjen. Vi får
f(2) = 2 · 22 − 8 · 2 + 6 ≡ −2
Svar: Minimipunkten har koordinaterna (2, −2)
Håkan Strömberg
251
KTH STH