1. No category

Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Föreläsning 4, Matematisk statistik 7.5hp för E
Summor och väntevärden
Anna Lindgren
11 november 2015
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
1/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
2D stokastisk variabel
Tvådim. stokastisk variabel (X, Y)
Simultan fördelningsfunktion: FX,Y (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)
Simultan sannolikhetsfunktion: pX,Y (j, k) = P(X = j, Y = k)
∂2
Simultan täthetsfunktion: fX,Y (x, y) =
FX,Y (x, y)
∂x∂y
Några egenskaper:
▶
P[(X, Y) ∈ A] =
∑
pX,Y (j, k)
(j,k)∈A
∫∫
▶
▶
P[(X, Y) ∈ A] =
fX,Y (x, y) dxdy
A
∑
pX (j) =
pX,Y (j, k) Marginell slh.funkt. för X
∫k ∞
▶
fX,Y (x, y) dx
fY (y) =
Marginell täthet för Y
−∞
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
2/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
2D stokastisk variabel
Fler egenskaper (för täthetsfunktioner)
▶
Betingad täthetsfunktion för X givet att Y = y
fX∣Y=y (x) =
▶
fX,Y (x, y)
fY (y)
X och Y är oberoende ⇐⇒
fX,Y (x, y) = fX (x) ⋅ fY (y) för alla (x, y)
▶
Satsen om total sannolikhet
∫ ∞
fY (y) =
fY∣X=x (y) ⋅ fX (x) dx
−∞
▶
Bayes sats
fY∣X=x (y) ⋅ fX (x)
−∞ fY∣X=z (y) ⋅ fX (z) dz
fX∣Y=y (x) = ∫ ∞
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
3/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Oberoende Exempel
Summa av två oberoende, Z = X + Y
Diskret:
pZ (k) =
∑
pX (i) ⋅ pY (j) =
k
∑
pX (i) ⋅ pY (k − i)
i=0
i+j=k
Kontinuerlig:
∫∫
∫
FZ (z) =
fX (x) ⋅ fY (y) dxdy =
∞
fX (x) ⋅ FY (z − x) dx
−∞
x+y≤z
∞
∫
fX (x) ⋅ fY (z − x) dx
fZ (z) =
−∞
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
4/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Oberoende Exempel
Summor av tärningskast
Summa av tärningar
pX(k)
0.2
0.1
50
0
1
40
2
30
3
4
20
5
6
10
7
8
0
k
Antal tärningar
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
5/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Oberoende Exempel
Exempel: Summa av diskreta stokastiska variabler
Vad blir sannolikhetsfunktionen för summan av två Geometriska
stokastiska variabler X och Y?
pX (k) = pY (k) = p(1 − p)k , k = 0, 1, . . . ,
0.5
pX(k)
0.4
pX+Y(k)
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
k
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
6/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Oberoende Exempel
Exempel: Summa av kontinuerliga stokastiska variabler
Vad blir tätheten för Z = X + Y om X, Y ∈ Exp(l), där X och Y är
oberoende?
{
le−lx x > 0
fX (x) = fY (x) =
0
f.ö.
0.4
fX(x)
fX+Y(x)
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
x
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
7/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Exempel
Maximum
Störst av två oberoende Z = max(X, Y)
FZ (z) =P(Z ≤ z) = P(max(X, Y) ≤ z) = P(X ≤ z ∩ Y ≤ z)
=FX (z) ⋅ FY (z)
Störst av fler oberoende Z = max(X1 , . . . , Xn )
FZ (z) = FX1 (z) ⋅ . . . ⋅ FXn (z)
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
8/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Exempel
Minimum
Minst av två oberoende Z = min(X, Y)
FZ (z) =P(Z ≤ z) = P(min(X, Y) ≤ z) = 1 − P(min(X, Y) > z)
=1 − P(X > z ∩ Y > z) = 1 − [1 − FX (z)] ⋅ [1 − FY (z)]
Minst av fler oberoende Z = min(X1 , . . . , Xn )
FZ (z) = 1 − [1 − FX1 (z)] ⋅ . . . ⋅ [1 − FXn (z)]
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
9/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Exempel
Exempel: Tid tills maskin går sönder
Vi har en komplicerad maskin som består av n stycken delsystem.
Maskinen fungerar så länge varje delsystem fungerar. Antag att tiden till
att delsystem k går sönder är Tk , där Tk ∈ Exp(lk ), för
k = 1, 2, . . . , n. Delsystemen går sönder oberoende av varandra. Vad är
fördelningen för tiden tills maskinen går sönder?
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
10/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Exempel
Täthetsfunktioner för min och max av exponentialfördelning
2
X, Y
max(X,Y)
min(X,Y)
1
0
0
1
2
3
x
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
11/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Exempel
Täthetsfunktioner för max av 1,10,50,100,250,500 Exp(1)−fördelningar
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
6
8
FMSF20 F4: väntevärden
10
12/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Exempel
Väntevärden
Succesiva medelvärden för 6 tärningar
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1 0
10
1
2
10
3
10
10
4
10
Antal tärningskast
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
13/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Exempel
Väntevärde, E(X), m, mX , m, . . .
Väntevärdet anger tyngdpunkten för fördelningen och kan tolkas som
det värde man får i ”medeltal i långa loppet”.
{∫ ∞
−∞ x ⋅ fX (x) dx Kont.
E(X) = ∑
Diskr.
k k ⋅ pX (k)
Väntevärde av Y = g(X)
{∫ ∞
E(Y) =
−∞ g(x) ⋅ fX (x) dx
∑
k g(k) ⋅ pX (k)
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
Kont.
Diskr.
FMSF20 F4: väntevärden
14/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Exempel
Exempel: Keno-3 (igen)
I Keno-3 väljs 3 av 70 nr. Vid dragning väljs 20 av dessa 70 ut som
vinstnummer. Låt X = Antal vinstnr man prickar in och
Y = Vinsten (kr). Två vinstnr ger 5 kr och 3 vinstnr ger 90 kr.
Sannolikhetsfunktionerna är
k
j
0
1
2
3
0
5
90
pX (j) 0.36 0.45 0.17 0.02 pY (k) 0.81 0.17 0.02
Vad är väntevärdet av antal vinstnr, X, resp. vinsten (kr), Y = g(X)?
1
1
pX(k)
E(X)
0.8
pY(k)
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
1
2
3
E(Y)
0.8
0
0
20
k
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
40
60
80
k
FMSF20 F4: väntevärden
15/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Exempel
Exempel
1. Vad blir väntevärdet E(X) om X ∈ Exp(l)?
0.4
fX(x)
E(X)
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
x
2. Vad blir väntevärdet av a + bX om X ∈ Exp(l)?
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
16/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Exempel
Varians, V(X), s2 , s2X
Variansen anger hur utspridd X är kring sitt väntevärde.
{[
]2 }
= E(X 2 ) − E(X)2
V(X) = E X − E(X)
Variansen är alltid positiv.
Standardavvikelse, D(X), s, sX
D(X) =
▶
√
V(X)
Standardavvikelsen har samma dimension som X och E(X).
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
17/18
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians
Exempel
Exempel
▶
Vad blir variansen V(X) om X ∈ Exp(l)?
▶
Vad blir standardavvikelsen D(X) om X ∈ Exp(l)?
Anna Lindgren — anna@maths.lth.se
FMSF20 F4: väntevärden
18/18