1. No category

JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2001 för Ma4
1(24)
VERSION UNDER ARBETE.
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001
3
Skolverkets svar, #1 – #6
9
Några lösningar till D-kursprov vt 2001
10
Digitala verktyg
Uppgift # 1
Uppgift # 5
Uppgift # 6
Uppgift # 7
Uppgift # 8
Uppgift # 9
Uppgift # 10
Uppgift # 11
Uppgift # 12
Uppgift # 13
Uppgift # 14
Uppgift # 15
10
10
10
11
12
13
14
15
16
17
19
21
22
c G Robertsson
är tillåtna hela provet
(2/0)
Enkel integral . . . . . . . . . . . . . . .
(2/0)
Enkelt problem med sinussatsen . . . .
(2/0)
Enkel integral . . . . . . . . . . . . . . .
(2/0)
Integral och area . . . . . . . . . . . . .
(2/0)
Förenkla trigonometriskt uttryck . . . .
(2/0)
Triangelns area . . . . . . . . . . . . . .
(0/2)
Derivering med produktregeln . . . . .
(0/2)
Primitiv funktion och linjära ekvationer
(2/3)
Parametrar i fasförskjuten sinuskurva .
(0/4)
Parabolantenn och sinussatsen . . . . .
(0/3)
Triangel och sinussatsen . . . . . . . . .
(2/4)
Vattentank, modellbyggnad . . . . . . .
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2001 för Ma4
2(24)
Förord
Utformningen av de nationella proven i matematik har varierat över tid. Uppgifter till
den äldre kursen Matematik D duger utmärkt för träning till kurser enligt Gy 2011.
Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma4. Innehållet i den äldre
kursen MaD hör nu främst till Ma4 men också till Ma3. I tabellen nedan framgår vilka
uppgifter som är lämpliga till respektive kurs.
Ma 3
Ma 4
1
1
(1)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2
(2) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
NpMaD vt 2001
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om
sekretess i 4 kap. 3 § sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen
fram till utgången av december 2011.
Anvisningar
NATIONELLT KURSPROV I
MATEMATIK KURS D
VÅREN 2001
Provtid
240 minuter utan rast.
Hjälpmedel
Grafritande räknare och ”Formler till nationellt prov i matematik kurs
C, D och E”.
Provmaterialet
Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv ditt namn och komvux/gymnasieprogram på de papper du
lämnar in.
Provet
Provet består av 15 uppgifter.
Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett
kort svar anges.
Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det
krävs att du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar,
att du ritar figurer vid behov och att du vid numerisk/grafisk
problemlösning visar hur du använder ditt hjälpmedel.
Uppgift 15 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa
fullständigt. Det är viktigt att du prövar på denna uppgift. I uppgiften
finns en beskrivning av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen
av ditt arbete.
Pröva på alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av
provet få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även
en påbörjad icke slutförd redovisning kan ge underlag för positiv
bedömning.
Poäng och
betygsgränser
Provet ger maximalt 43 poäng.
Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få för
din lösning. Om en uppgift kan ge 2 g-poäng och 1 vg-poäng skrivs
detta (2/1).
Undre gräns för provbetyget
Godkänd:
13 poäng
Väl godkänd:
24 poäng varav minst 7 vg-poäng
Namn:
Komvux/gymnasieprogram:
Skola:
NpMaD vt 2001
1.
2
Beräkna med hjälp av primitiv funktion ∫ ( x 2 + 3)dx
(2/0)
0
2.
Ange alla primitiva funktioner F till f ( x) = 2 x + 5
3.
Figuren visar en enhetscirkel.
5.
(2/0)
y
v
4.
Endast svar fordras
x
a)
Bestäm sin v
Endast svar fordras
(1/0)
b)
Bestäm sin(180° − v)
Endast svar fordras
(1/0)
Låt f ( x) = sin 3 x
a)
Bestäm f ′(x)
Endast svar fordras
(1/0)
b)
Beräkna f ′(0)
Endast svar fordras
(1/0)
c)
Ange samtliga lösningar till ekvationen f ′( x) = 0
I triangeln ABC är sidan AB 12,0 cm, vinkeln A 42,5° och vinkeln C 32,3° .
Beräkna längden av sidan BC.
(2/0)
(2/0)
NpMaD vt 2001
6.
Beräkna exakt arean av det skuggade området i figuren.
(2/0)
y
2
y = 2+sinx
1
π
x
2π
y
7.
Grafen till funktionen y = f (x) begränsar
tillsammans med x-axeln två områden med
areorna A och B areaenheter. Grafen skär
x-axeln i a, b och c.
y = f (x)
A
a
b
B
c
x
Teckna med hjälp av integral ett uttryck för
8.
a)
A
Endast svar fordras
(1/0)
b)
B−A
Endast svar fordras
(0/1)
Förenkla så långt som möjligt (cos x + sin x) 2 − sin 2 x
(2/0)
NpMaD vt 2001
9.
I triangeln ABC är vinkeln C 50° .
Välj a och b så att triangelns area A ges av A = 12 sin 50° cm 2
(0/2)
10.
Visa att y = x 2 sin x är en lösning till differentialekvationen xy ′ − 2 y = x 3 cos x
(0/2)
11.
Funktionen y = f (x) har en primitiv funktion F ( x) = Ax 2 + Bx där A och B är
konstanter.
Bestäm A och B då
1
∫
0
12.
f ( x)dx = 2 och
2
∫ f ( x)dx = 0
(0/3)
0
På en sinuskurva y = A sin( Bx + C ) + D har en av maximipunkterna
koordinaterna ( π , 5). En av de två närliggande minimipunkterna har
7π
koordinaterna (
, 1), se figur.
3
y
5
4
3
2
1
π
2π
x
-1
a) Bestäm A och D.
b) Bestäm B och C.
Endast svar fordras
(2/0)
(0/3)
NpMaD vt 2001
13.
Stina som bor i Halmstad har köpt en
parabolantenn. Hon ska sätta upp den
på villataket. Hur ska hon rikta
parabolantennen för att bäst ta emot
TV-signaler från en satellit?
Kommunikationssatelliter finns
"parkerade" i söder på en höjd av
35900 km rakt ovanför ekvatorn
enligt figuren nedan. Halmstad ligger
på latituden 56,6° nordlig bredd och
jorden kan antas vara en sfär med
radien 6370 km.
Vilken vinkel v över horisonten i
söder ska parabolantennen ställas in i
för att bäst ta emot signalen?
(0/4)
14.
I triangeln ABC är vinkeln A dubbelt så stor som vinkeln B.
Vilka längder kan sidan BC ha om sidan AC är 12 cm?
(0/3)
NpMaD vt 2001
15.
En behållare som från början innehåller 300 liter
vatten fylls på med en inflödeshastighet qin
enligt diagram 1. Vattnets utflödeshastighet
qut framgår av diagram 2. Vätskevolymen vid
en viss tidpunkt beror då på vilket värde på
den konstanta utflödeshastigheten qut som valts.
•
Beräkna hur mycket vätska behållaren innehåller efter 2 minuter respektive 5
minuter om utflödeshastigheten qut väljs till 40 liter/min.
•
Undersök och beskriv så utförligt du kan hur vätskevolymen i behållaren beror
av tiden och valet av utflödeshastighet.
Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta extra hänsyn till:
• vilka slutsatser du dragit av din undersökning
• hur långt mot en generell lösning du lyckas komma
• hur systematisk du är i din undersökning
• hur väl du redovisar ditt arbete
• om du gjort korrekta beräkningar
(2/4)
NpMaD vt2001
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om
sekretess i 4 kap. 3 § sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram
till och med utgången av december 2011.
Bedömningsanvisningar (MaD vt 2001)
Exempel på godtagbara svar anges inom parentes. Bedömningen ”godtagbar” ska tolkas
utifrån den undervisning som föregått provet.
Uppg.
1.
4.
5.
6.
Poäng
Korrekt primitiv funktion
med godtagbart svar ( 8,67 )
Max 2/0
+1 g
+1 g
Angett en korrekt primitiv funktion
med godtycklig konstant C ( F ( x) = x 2 + 5 x + C )
Max 2/0
+1 g
+1 g
a)
Godtagbart svar (0,6)
Max 2/0
+1 g
b)
Godtagbart svar (0,6)
+1 g
a)
b)
c)
Korrekt svar ( f ′( x) = 3 cos 3 x )
Korrekt svar ( f ′(0) = 3 )
Redovisat godtagbar lösning med en vinkel
Redovisat godtagbar lösning med samtliga vinklar
( ± 30° + n ⋅ 120°)
2.
3.
Bedömningsanvisningar
Max 4/0
+1 g
+1 g
+1 g
+1 g
Redovisat godtagbar metod
med godtagbart svar ( 15,2 cm )
Max 2/0
+1 g
+1 g
Redovisat godtagbar metod
med korrekt svar (( 2 + 2 π ) a.e.)
Max 2/0
+1 g
+1 g
v
JENSENvuxutbildning
Uppgift # 1
x
NpMaD vt2001 för Ma4
10(24)
NpMaD vt 2001
(2/0)
Enkel integral
Endast svar fordras
(1/0)
b)
Bestäm
sin(180
− v)
Beräkna
med hjälp
av°primitiv
funktion ∫ ( x 2 + 3)dx Endast svar fordras
(1/0)
(2/0)
2
3
Låt2 f alla
( x) =primitiva
sin 3 x x
26 svar fordras
Ange
funktioner F till8 f ( x) = 28x + 518 Endast
(x + 3) dx = ( + 3 x) = + 6 = +
=
≈ 8,67
3
3
3
3
3
0
0
a)
Bestäm f ′(x)
Endast svar fordras
26
Svar
′(0)
Beräkna
Endast svar fordras
3. 3b)
Figuren
visar enf enhetscirkel.
(2/0)
a)
Bestäm sin v
2
1.
0
4.
2.
Z
2
(1/0)
(1/0)
y
c)
Ange samtliga lösningar till ekvationen f ′( x) = 0
Uppgift # 5
5.
(2/0)
Enkelt problem med sinussatsen
I triangeln ABC är sidan AB 12,0 cm, vinkeln A 42,5° och vinkeln C 32,3° .
v
Beräkna längden av sidan BC.
x
(2/0)
(2/0)
Vinkeln C (känd 32,3◦ ) står mitt emot sträckan AB (känd 12cm) och vinkeln A (känd
42,5◦ ) står mitt emot sträckan BC (sökt).
Sinussatsen ger
sin C
sin A
=
a)BC Bestäm AB
Endast svar fordras
(1/0)
sin v
sinb)
42,5◦Bestämsin 32,3◦
= sin(180° − v)
x
12
x = 12
Endast svar fordras
(1/0)
sin 42,5◦
≈ 15,2
sin 32,3◦
4.
Låt f ( x) = sin 3 x
Svar Sidan BC är 15,2 cm.
5.
a)
Bestäm f ′(x)
Endast svar fordras
(1/0)
b)
Beräkna f ′(0)
Endast svar fordras
(1/0)
c)
Ange samtliga lösningar till ekvationen f ′( x) = 0
I triangeln ABC är sidan AB 12,0 cm, vinkeln A 42,5° och vinkeln C 32,3° .
Beräkna längden av sidan BC.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
(2/0)
(2/0)
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Uppgift # 6
6.
NpMaD vt2001 för Ma4
(2/0)
11(24)
Enkel
integral
NpMaD
vt 2001
Beräkna exakt arean av det skuggade området i figuren.
(2/0)
y
2
y = 2+sinx
1
π
2π
x
Integralen
π
Z π blir
y
y = f (x)
(2 + sin x) dx = (2 x − cos x) = [2 · π − cos
]
−
[2
· 0 − cos
π
|{z}0] = 2 π + 2
| {z }
0
0
−1
1
7. Grafen till funktionen y = f (x) begränsar
A
med x-axeln två områden med
Svar 2 tillsammans
π + 2 areaenheter.
c
a
b
x
areorna A och B areaenheter. Grafen skär
B
x-axeln i a, b och c.
Teckna med hjälp av integral ett uttryck för
8.
a)
A
Endast svar fordras
(1/0)
b)
B−A
Endast svar fordras
(0/1)
Förenkla så långt som möjligt (cos x + sin x) 2 − sin 2 x
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
(2/0)
2015-04-06
y = 2+sinx
1
JENSENvuxutbildning
Uppgift # 7
π
NpMaD vt2001
för Ma4
(2/0)
x
2π
12(24)
Integral och area
y
7.
Grafen till funktionen y = f (x) begränsar
tillsammans med x-axeln två områden med
areorna A och B areaenheter. Grafen skär
x-axeln i a, b och c.
y = f (x)
A
a
b
B
c
x
Teckna med hjälp av integral ett uttryck för
a)
A
Endast svar fordras
(1/0)
b)
B−A
Endast svar fordras
(0/1)
a) I intervallet från a till b är f (x) övre funktion och linjen y = 0 undre funktion
(x-axeln).
8.
Förenkla så långt som möjligt (cos x + sin x) 2 − sin 2 x
(2/0)
Z b
Z b
f (x) dx
[f (x) − 0] dx =
A =
a
a
Svar a)
Rb
a
f (x) dx
b) I intervallet från b till c är f (x) undre funktion och linjen y = 0 övre funktion
(x-axeln).
Z c
Z c
B =
[0 − f (x)] dx = −
f (x) dx
b
b
Z c
Z b
B−A = −
f (x) dx −
f (x) dx
b
Svar b)
−
Rc
b
f (x) dx −
a
Rb
a
f (x) dx
Kommentar
Rb
R a Alternativt kan integrationsordningen kastas om vilket ger
f
(x)
dx
+
f (x) dx
c
b
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
Teckna med hjälp av integral ett uttryck för
Endast svar fordras
A
a)
vuxutbildning
JENSENb)
B−A
Uppgift # 8
8.
NpMaD vt2001 för Ma4Endast svar fordras
(2/0)
(1/0)
13(24)
(0/1)
Förenkla trigonometriskt uttryck
Förenkla så långt som möjligt (cos x + sin x) 2 − sin 2 x
(2/0)
cos2 x+2 cos x sin x+sin2 x
z
}|
{
(cos x + sin x)2
trigonometriska ettan
− sin 2x
noll
z
}|
{
z
}|
{
2
2
cos x + sin x + 2 cos x sin x − sin 2x
Svar Det förenklade uttrycket blir 1.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
7(8)
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2001 för Ma4
Uppgift
# 9
(2/0)
Trigonometri
Definitioner
9.
I triangeln
Triangelns
NpMaD
vt 2001
14(24)
area
a
ABC
är vinkeln
C 50° .
sin v =
c
b
cos v =
c
a
tan v =
b
Enhetscirkeln
sin v = y
Välj a och b så att triangelns area A ges av A = 12 sin 50° cm 2
cos v = x
(0/2)
y
tanfinns
v = i FORMELSAMLINGEN.
Använd areasatsen som
x
10. Visa att y = x 2 sin x är en lösning till differentialekvationen xy ′ − 2 y = x 3 cos x
Sinussatsen
(0/2)
sin A sin B sin C
=
=
a
b
c
Funktionen y = 2f (x)2 har 2en primitiv funktion F ( x) = Ax 2 + Bx där A och B är
a = b + c − 2bc cos A
konstanter.
2
1
ab
sin C
T
=
Areasatsen
Bestäm A och B då ∫ f ( x)dx = 2 och ∫ f ( x)dx = 0
2
0
0
11.
Cosinussatsen
Trigonometriska
formler
(0/3)
sin v + cos v = 1 ab sin 50◦
Enligt areasatsen gäller att arean T =
och enligt uppgiften är arean 12 sin 50◦
2
12. gerPåaben=sinuskurva
har
enuparet
av maximipunkterna
yv =+ oändligt
Bxv+cos
C )u++ D
v sin
uA)sin(
cos
= sin
vilket
24. Detsin(
finns
många
val
av
a och b.
koordinaterna ( π , 5). En av de två närliggande minimipunkterna har
sin(
7 π v − u ) = sin v cos u − cos v sin u
koordinaterna (
, 1), se figur.
3
3 50◦
50◦ 3
cos(v + u ) = cos v cos u − sin v sin u
2
2
y
8
v◦ − u ) = cos v cos u + sin v sin u
50
4 cos(
5
50◦ √
√
6
sin42v = 2 sin v cos24
v
24
50◦ 4
8
6
cos 2 v − sin 2 v (1)

cos 2v =  2 cos 2 v − 1
(2)
√
√
Några möjliga val2 är a = 3, b =2 8 eller a = 4, b = 6 eller a = 24, b = 24.
(3)
1 − 2 sin v
3
Svar
1
a sin x + b cos x = c sin( x + v ) där c = a 2 + b 2 och tan v =
π
c G Robertsson
Cirkelns
ekvation
-1
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
a) Bestäm A och D.
13-01-24b)
2π
Bestäm B och C.
Endast svar fordras
b
xa
2015-04-06
(2/0)
© Skolverket
(0/3)
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2001 för Ma4
15(24)
Välj a och b så att triangelns area A ges av A = 12 sin 50° cm 2
Uppgift # 10
(0/2)
(0/2)
Derivering med produktregeln
10.
Visa att y = x 2 sin x är en lösning till differentialekvationen xy ′ − 2 y = x 3 cos x
Givet
11.
Funktionen y = f (x) har en primitiv funktion F ( x) = Ax 2 + Bx där A och B är
konstanter.
y = x2 sin x1
2
visa att Bestäm A och B då ∫ f ( x)dx = 2 och
xy 0 − 2 y = x3 cos x0 .
| {z }
| {z }
vänsterled
(0/2)
∫ f ( x)dx = 0
(0/3)
0
högerled
Strategin är att utveckla vänsterledet (VL). Börja med att derivera y med hjälp av
produktregeln.
12. På en sinuskurva y = A sin( Bx + C ) + D har en av maximipunkterna
2
x+
x. närliggande minimipunkterna har
y 0 = 2x( πsin
koordinaterna
, 5).
Enxavcos
de två
Utveckla vänsterledet 7 π
koordinaterna (
, 1), se figur.
2
2
VL = x (2x
3 sin x + x cos x) − 2 x sin x
VL = 2 x2 sin x + x3 cos x − 2 x2 sin x
y
VL = x3 cos x.
5
Vänsterled och högerled är alltså lika vilket skulle visas.
4
Svar Se ovan.
3
Kommentar Lösningen y = x2 sin x är inte entydig. Det finns fler lösningar till
xy 0 − 2 y = x3 cos x men 2det hör inte till denna uppgift.
1
π
2π
x
-1
a) Bestäm A och D.
Endast svar fordras
b) Bestäm B och C.
c G Robertsson
(2/0)
(0/3)
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
Välj a och b så att triangelns area A ges av A = 12 sin 50° cm 2
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2001 för Ma4
(0/2)
16(24)
2
3
10. Visa
till differentialekvationen
x är en lösningPrimitiv
xy ′ − 2linj
y = xära
cos x
Uppgift
#att11y = x sin(0/2)
funktion och
ekvationer
11.
(0/2)
Funktionen y = f (x) har en primitiv funktion F ( x) = Ax 2 + Bx där A och B är
konstanter.
Bestäm A och B då
1
∫
f ( x)dx = 2 och
2
∫ f ( x)dx = 0
(0/3)
0
0
12. På en sinuskurva y = A sin( Bx + C ) + D har en av maximipunkterna
( π , 5). En av
Bilda de koordinaterna
två ekvationerna
1 minimipunkterna har
1 de två närliggande
Z 1
7π
+B
= Ax2 + Bx = A
f (x) (dx =, 1),
F (x)
2 koordinaterna
=
se figur.
3
0
0
0
2
2
Z 2
2
y F (x) = Ax + Bx = A · 22 + B · 2.
0 =
f (x) dx =
0
5
0
0
Detta ekvationssystem med två obekanta har lösningen
A = −2
4
B = 4
3
Svar A = −2 och B = 4.
2
1
π
2π
x
-1
a) Bestäm A och D.
Endast svar fordras
b) Bestäm B och C.
c G Robertsson
(2/0)
(0/3)
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
Funktionen y = f (x) har en primitiv funktion F ( x) = Ax 2 + Bx där A och B är
konstanter.
2
1
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2001
för Ma4
Bestäm A och B då ∫ f ( x)dx = 2 och ∫ f ( x)dx = 0
11.
0
Uppgift # 12
12.
(2/3)
17(24)
(0/3)
0
Parametrar i fasförskjuten sinuskurva
På en sinuskurva y = A sin( Bx + C ) + D har en av maximipunkterna
koordinaterna ( π , 5). En av de två närliggande minimipunkterna har
7π
koordinaterna (
, 1), se figur.
3
y
5
4
3
2
1
π
2π
x
-1
a) Bestäm A och D.
Endast svar fordras
(2/0)
b) Bestäm B och C.
(0/3)
Parametrana A och D är enkelt att bestämma. Maxvärdet är 5 och minvärdet är 1.
Detta ger amplituden A
5−1
=2
A =
2
och nollpunktsförskjutningen D är
5+1
D =
=3
2
Svar a) A = 2 och D = 3.
Nu återstår att bestämma vinkelhastighet B och fasförskjutning C i
y = 2 sin(Bx
+ C}) + 3
| {z
argument
Skillnaden i argument mellan ett maxvärde och nästa maxvärde är 2π radianer.
Skillnaden i argument mellan ett maxvärde och efterföljande minvärde är π radianer.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Vi får nu
NpMaD vt2001 för Ma4
argument för minvärde
}|
{
7π
(B
+ C)
3
argument för maxvärde
z
π =
18(24)
z
−
}|
{
(B π + C)
7
4
= B π ( − 1) = B π
3
3
3
4
Nu återstår att bestämma fasförskjutning C i
3
y = 2 sin( x + C) + 3
4
Använd koordinaten för maxpunkten (π, 5). Sinusfunktionen har max när argumentet är
π
vilket ger
2
π
3
=
π+C
2
4
−π
C =
4
B =
Svar b)
B=
c G Robertsson
3
−π
och C =
4
4
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Uppgift # 13
13.
NpMaD vt2001 för Ma4
(0/4)
Parabolantenn
NpMaD
vt 2001
19(24)
och sinussatsen
Stina som bor i Halmstad har köpt en
parabolantenn. Hon ska sätta upp den
på villataket. Hur ska hon rikta
parabolantennen för att bäst ta emot
TV-signaler från en satellit?
Kommunikationssatelliter finns
"parkerade" i söder på en höjd av
35900 km rakt ovanför ekvatorn
enligt figuren nedan. Halmstad ligger
på latituden 56,6° nordlig bredd och
jorden kan antas vara en sfär med
radien 6370 km.
Vilken vinkel v över horisonten i
söder ska parabolantennen ställas in i
för att bäst ta emot signalen?
(0/4)
I triangeln OHS är vinklarna
14. I triangeln
ABC=är 56,6
vinkeln
A dubbelt så stor som vinkeln B.
◦
6 O
Vilka längder kan sidan
BC ha om sidan AC är 12 cm?
6 H = 90◦ + v
6 S = 180◦ − 6 H − 6 O = 180◦ − 90◦ − v − 56,6◦ = 33,4◦ − v
Inför beteckningar (för att underlätta)
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
(0/3)
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2001 för Ma4
20(24)
r = 6 370
R = 6 370 + 35 900
Sinussatsen ger
sin(90◦ + v)
sin(33,4◦ − v)
=
R
r
Trigonometrisk formel för sin(α + β) ger
sin(90◦ + v) = sin 90◦ · cos v + cos 90◦ · sin v = cos v
och trigonometrisk formel för sin(α + β) ger
sin(33,4◦ − v) = sin 33,4◦ · cos v − cos 33,4◦ · sin v
Vi får
cos v
sin 33,4◦ · cos v − cos 33,4◦ · sin v
=
R
r
cos 33,4◦
sin 33,4◦
1
sin v =
−
cos v
r
r
R
r
sin 33,4◦
1
tan v =
−
cos 33,4◦
r
R
r
tan v = tan 33,4◦ −
R cos 33,4◦
r
−1
◦
v = tan
tan 33,4 −
= 25,6◦
R cos 33,4◦
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Uppgift # 14
14.
NpMaD vt2001 för Ma4
(0/3)
21(24)
Triangel och sinussatsen
I triangeln ABC är vinkeln A dubbelt så stor som vinkeln B.
Vilka längder kan sidan BC ha om sidan AC är 12 cm?
(0/3)
Inför variabler enligt
6 A = 2α
6 B = α
Kalla längden av den sökta sidan BC för x. Sinussatsen ger
sin α
sin 2α
=
12
x
sin 2α
x = 12
sin α
Formeln för dubbla vinkeln sin 2α = 2 sin α cos α ger
2 sin α cos α
x = 12
= 24 cos α
sin α
Vilka värden kan vinkeln α ha? Triangelns vinkelsumma är 180◦ . Det gäller att
180◦ = 6 A + 6 B + 6 C
Ingen vinkel kan vara noll. Då gäller
180◦ > 6 A + 6 B > 0◦
alttså att
180◦ > 3α > 0◦
60◦ > α > 0◦
Vi får nu att
12 < x < 24
eftersom cos 60◦ = 21 och cos 0◦ = 1.
Svar 12 cm < BC < 24 cm
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Uppgift # 15
15.
NpMaD vt2001 för Ma4
(2/4)
Vattentank,
NpMaD
vt 2001
22(24)
modellbyggnad
En behållare som från början innehåller 300 liter
vatten fylls på med en inflödeshastighet qin
enligt diagram 1. Vattnets utflödeshastighet
qut framgår av diagram 2. Vätskevolymen vid
en viss tidpunkt beror då på vilket värde på
den konstanta utflödeshastigheten qut som valts.
•
Beräkna hur mycket vätska behållaren innehåller efter 2 minuter respektive 5
minuter om utflödeshastigheten qut väljs till 40 liter/min.
•
Undersök och beskriv så utförligt du kan hur vätskevolymen i behållaren beror
av tiden och valet av utflödeshastighet.
Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta extra hänsyn till:
• vilka slutsatser du dragit av din undersökning
• hur långt mot en generell lösning du lyckas komma
• hur systematisk du är i din
undersökning
c G Robertsson
buggar
⇒ robertrobertsson@tele2.se
• hur väl du redovisar ditt arbete
• om du gjort korrekta beräkningar
(2/4)
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Ändring i volym
dV
dt
dV
Z V (t)
dV
NpMaD vt2001 för Ma4
23(24)
är inflöde minus utflöde
= qin − qut
= (qin − qut ) dt
Z t
=
(qin − qut ) dt
300
0
Z t
V (t) − 300 =
(qin − qut ) dt
0
För de 5 första minuterna gällar att
qin = 100 − 20 · t
därefter gäller att
qin = 0.
Utflödet är qut om det finns vatten i behållaren, annars är flödet 0. Med qut = 40 fås
Z
2
(100 − 20 · t − 40) dt
V (2) = 300 +
0
Z
2
(60 − 20 · t) dt
2
t2
300 + 60 t − 20 ·
= 380
2 0
Z 5
(100 − 20 · t − 40) dt
300 +
0
Z 5
(60 − 20 · t) dt
300 +
0
5
t2
300 + 60 t − 20 ·
= 350
2 0
V (2) = 300 +
0
V (2) =
V (5) =
V (5) =
V (5) =
Skolverkets lösning missar att behandla fallet att tanken töms snabbt. För att behandla
detta fall lös V (t0 ) = 0. Alltså att tanken är tömd vid tiden t0 som alltså är mindre än 5
minuter.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2001 för Ma4
24(24)
t
t2
V (t) = 300 + 100 t − 20 · − qut t
2
0
2
V (t) = 300 + 100 t − 10 t − qut t
0 = 300 + 100 t0 − 10 t20 − qut t0
qut t0 = 300 + 100 t0 − 10 t20
300
qut =
+ 100 − 10 t0
t0
(För att tömma tanken på 1 minut krävs qut = 390.)
För att tömma tanken på 5 minuter krävs qut = 110.
Om qut < 110 finns två fall. Fallet att t ≤ 5 då gäller
V (t) = 300 + 100 t − 10 t2 − qut t
och fallet att t > 5 då gäller att
V (t) = V (5) − qut (t − 5)
som gäller fram till tanken är tom, alltså
V (5)
t = 5+
qut
Om qut > 110 så är volymen
V (t) = 300 + 100 t − 10 t2 − qut t
fram till tidpunkten då tanken är tom. Tidpunkten t0 då tanken är tom är den positiva
roten till
0 = 300 + 100 t0 − 10 t20 − qut t0
qut
0 = t20 + (
− 10)t0 − 30
10
Ovanstående är en SKISS på lösning. Lösningen måste presenteras tydligare.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06