1. No category

Försättsblad till skriftlig
tentamen vid Linköpings Universitet
Datum för tentamen
Sal
Tid
Kurskod
Provkod
Kursnamn/benämning
Institution
Antal uppgifter som
ingår i tentamen
Antal sidor på tentamen
(inkl. försättsbladet)
Jour/Kursansvarig
Telefon under skrivtid
Besöker salen ca kl.
2015-06-03
Kursadministratör
Lena Wide
013 - 28 1229
lena.wide@liu.se
(namn + tfnnr + mailadress)
Tillåtna hjälpmedel
TER2
G32
G34
GG32
8 – 13
TFYA13
TEN1
Elektromagnetism
IFM
5
6
Peter Münger
013 - 28 5797
9:30 och 11:30
Physics Handbook; Carl Nordling, Jonny Österman
Räknedosa (tömd på program och annan information)
Formelblad (utgörs av de sista bladen på tentan)
Matematiska tabeller, tex Beta, behövs dock ej
Betyg: 8-11 poäng 3, 12-15 poäng 4, 16-20 poäng 5
Övrigt
Elektromagnetism sommarkurs (TFYA61):
Bonuspoäng steg 1 ger 1 poäng på denna tentamen
Bonuspoäng steg 2 ger 2 poäng på denna tentamen
Lösningar anslås på anslagstavlan utanför
kursexpeditionen i fysikhuset och på kurshemsidan:
http://www.ifm.liu.se/courses/TFYA13
Antal exemplar i påsen
1. En liten metallkula med radie a = 1,0 mm skall uppladdas till potentialen V0 relativt
en oändligt avlägsen punkt. För att V0 skall kunna anta mycket höga värden omges
metallkulan av ett koncentriskt lager av vanligt glas ut till en radie b. Glasets ledningsförmåga är noll, relativa dielektricitetskonstanten är εr = 7,0 och dess genomslagshållfasthet är Emax,g = 15 kV/mm. För luften antar vi att genomslagshållfastheten är
Emax,` = 3,0 kV/mm.
(a) Hur tjockt glaslager lönar det sig att lägga på? Svara genom att ange ett numeriskt
värde på b.
(2p)
(b) Beräkna det största möjliga värdet på potentialen V0 .
(2p)
2. En oändlig rak ledare ligger längs x-axeln och för strömmen I i positiv x̂-riktning, se
figur nedan. En rektangulär trådslinga (ett varv) är belägen i planet z = c. Rektangeln har utsträckning a i x̂-riktningen och b i ŷ-riktningen. Rektangelns hörn ligger i
punkterna (0,0,c), (a,0,c), (a,b,c) och (0,b,c). Sök det magnetiska flöde som strömmen
orsakar i trådslingan.
(4p)
(0,b,c)
(0,0,c)
ẑ
(a,b,c)
(a,0,c)
ŷ
x̂
I
3. Ett Hall element med dimensioner enligt figuren nedan har ledningsförmågan σ och n
laddningsbärare per volymselement var och en med laddningen q. Proben placeras i ett
okänt homogent magnetfält B = B ŷ längs y-axeln. En extern potential Vext appliceras
mellan två av elementets sidor så att ett homogent elektriskt fält E skapas i positiv ẑriktning. Mellan vilka två sidor av Hall proben kan vi observera Hall spänningen VHall
vid jämvikt? Härled ett uttryck för B uttryckt i VHall , Vext , σ, n, q och Hall probens
dimensioner som ges i figuren.
(4p)
x̂
`
h
ẑ
w
ŷ
B
4. Vi undersöker hur stor elektromotoriskspänning εems som induceras mellan rotationsaxeln och ett propellerblads spets då en propeller roterar i en konstant magnetisk
flödestäthet B. Propellern vrider sig med konstant vinkelhastighet ω i det plan som
har ẑ som normalriktning dvs φ = ωt där t anger tid, se figur nedan. Magnetiska
flödestätheten är B = Bx x̂ + Bz ẑ och avståndet mellan axeln och bladets spets är a.
(a) Beräkna ett uttryck för den elektromotoriskaspänningen εems . Antag att propellerns centrum är fix i rummet. Av lösningen skall det tydligt framgå i vilken
riktning den elektromotoriskaspänningen ”vill” driva ström.
(3p)
(b) Med hjälp av a-uppgiften kan du ge ett numeriskt värde på beloppet av εems då en
helikopter hovrar över geografiska nordpolen (ungefär densamma som magnetiska
sydpolen). Jordens magnetiska moment är m = 0,824 · 1023 Am2 , jordradien är
r0 = 640 mil, a = 5 m och propellern gör 5 varv per sekund.
(1p)
ẑ
B
a
ŷ
x̂
φ
5. Området mellan två koncentriska sfäriska skal av metall med radie a respektive b (a < b)
är fyllt med ett medium med relativ dielektricitetskonstant εr och ledningsförmåga σ.
Vid tiden t = 0 appliceras plötsligt en laddning Q0 sfäriskt symmetriskt på den inre
sfären.
(a) Beräkna den totala strömmen i(t) mellan sfärerna som funktion av tiden.
(2p)
(b) Beräkna den totala Joule-värme W som produceras av denna ström. (Totalt från
t = 0 till t → ∞ i hela volymen mellan de sfäriska skalen.)
(2p)
Lycka till!
FORMELBLAD TILL Y-LINJENS KURS I
ELEKTROMAGNETISM.
Maxwells ekvationer:
∇·D=ρ,
∇×E=−
∇ · P = −ρp ,
D = ε0 E + P ,
∂B
,
∂t
P · n̂ = ρsp ,
∇ × M = Jm ,
B = µ0 H + M ,
∇·B=0,
∇×H=J+
Poyntingvektor: P = E × H
M × n̂ = Jsm
Potential och E-fält från elektriskt dipolmoment.
V =
p cos θ
,
4πε0 r2
E=
p
2
cos
θ
r̂
+
sin
θ
θ̂
4πε0 r3
Vektorpotential och B-fält från magnetiskt dipolmoment.
A=
µ0 m × r̂
,
4πr2
B=
µ0 m 2
cos
θ
r̂
+
sin
θ
θ̂
4πr3
Kraftmoment: T = r × F ,
T=m×B
!
∂B
dΦ
Elektromotorisk spänning: ε =
v × B · dl +
−
· dS = −
∂t
dt
C
S
I
∂D
∂t
Z
Några vanliga integraler:
Z
dx
= ln(x + (x2 + a2 )1/2 )
2
(x + a2 )1/2
;
Z
(x2
dx
x
= 2 2
2
3/2
+a )
a (x + a2 )1/2
Z
Z
a2
dx
x
x2 dx
x 2
1
2 1/2
2
2 1/2
(x
+
a
)
−
ln(x
+
(x
+
a
)
)
;
=
= arctan( )
2
2
1/2
2
2
(x + a )
2
2
x +a
a
a
Z
−x
x2 dx
=
+ ln(x + (x2 + a2 )1/2 )
(x2 + a2 )3/2
(x2 + a2 )1/2
Z
x3 dx
x2
2
2 1/2
=
2
(x
+
a
)
−
(x2 + a2 )3/2
(x2 + a2 )1/2
;
Z
x2 dx
x
)
=
x
−
a
arctan(
x 2 + a2
a
Några användbara vektoridentiteter (V och f är skalära funktioner):
A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)
A × (B × C) = B (A · C) − C (A · B)
∇(f V ) = f ∇V + V ∇f
∇ · (f A) = f ∇ · A + A · ∇f
∇ × (f A) = f ∇ × A + ∇f × A
∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)
∇ · (∇V ) = ∇2 V
∇ × (∇V ) = 0
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A
∇ · (∇ × A) = 0
Gradient, divergens, rotation och Laplace-operator i olika koordinatsystem (V är en skalär
funktion).
Cartesiska koordinater (x,y,z):
∇V =
∂V
∂V
∂V
x̂ +
ŷ +
ẑ
∂x
∂y
∂z
∇·A=
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
"
#
"
#
"
#
∂Az ∂Ay
∂Ax ∂Az
∂Ay ∂Ax
∇×A=
−
x̂ +
−
ŷ +
−
ẑ
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∇2 V =
∂ 2V
∂ 2V
∂ 2V
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
Cylindriska koordinater (R,φ,z):
∇V =
∂V
∂V
1 ∂V
φ̂ +
ẑ
R̂ +
∂R
R ∂φ
∂z
∇·A=
1 ∂
1 ∂Aφ ∂Az
(R AR ) +
+
R ∂R
R ∂φ
∂z
#
"
#
"
1
1 ∂Az ∂Aφ
∂AR ∂Az
−
−
φ̂ +
∇×A=
R̂ +
R ∂φ
∂z
∂z
∂R
R
1 ∂
∂V
∇V =
R
R ∂R
∂R
!
2
+
"
#
∂
∂AR
(R Aφ ) −
ẑ
∂R
∂φ
1 ∂ 2V
∂ 2V
+
R2 ∂φ2
∂z 2
Sfäriska koordinater (r,θ,φ):
∇V =
∂V
1 ∂V
1 ∂V
r̂ +
θ̂ +
φ̂
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
∇·A=
1 ∂ 2 1 ∂Aφ
1
∂
(sin θ Aθ ) +
r Ar +
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
1
∇×A =
r sin θ
1
r
"
"
"
#
1 ∂Ar
∂
−
(r Aφ ) θ̂ +
sin θ ∂φ
∂r
#
∂
∂Ar
φ̂
(r Aθ ) −
∂r
∂θ
1 ∂
∂V
∇V = 2
r2
r ∂r
∂r
2
#
∂
∂Aθ
1
(sin θ Aφ ) −
r̂ +
∂θ
∂φ
r
!
1
∂
∂V
+ 2
sin θ
r sin θ ∂θ
∂θ
!
+
1
∂ 2V
r2 sin2 θ ∂φ2