1. No category

Konkreter – hvorfor og hvordan?
av
Petter Sjørbotten
564
Veileder: Bodil Kleve, Matematikk
Bacheloroppgave i GLU 1-7
G1PEL3900
Institutt for grunnskole- og faglærerutdanning
Fakultet for lærerutdanning og internasjonale studier
Høgskolen i Oslo og Akershus
23.04.15
Antall ord: 7096
Sammendrag og nøkkelord
Hensikten med denne bacheloroppgaven var å undersøke hvorfor og hvordan lærere bruker
konkreter på barneskolen. For å belyse problemstillingen ble kvalitativ metode benyttet
gjennom intervju av tre informanter med solid erfaring fra matematikkundervisning på
barneskolen. Funnene gjennom analyse av datamaterialet var blant annet at alle informantene
peker på bedre matematikkforståelse og mer motiverte elever ved bruk av konkreter. Det var
også indikasjoner på bruk av en tretrinnsmodell i form av en abstraksjonsprosess på de to
informantene som arbeidet på småskoletrinnet. Den siste informanten la vekt på arbeid i et
undersøkende landskap med konkreter som utgangspunkt. Funnene ble så til slutt drøftet opp
mot teori og forskning rundt temaet. Forskningen rundt temaet er tvetydig, men det finnes
utvilsomt et stort læringspotensiale ved fornuftig og reflektert bruk av konkreter i
matematikkundervisningen.
Nøkkelord: Konkreter, undersøkende landskap, tretrinnsmodell, språk og motivasjon.
Innholdsfortegnelse
1. Innledning............................................................................................................................... 1
2. Teoridel .................................................................................................................................. 3
2.1 Begrepsavklaring .............................................................................................................. 3
2.2 Konkreter – bare konkretisering? ..................................................................................... 3
2.3 Det undersøkende landskapet og tilpassa opplæring........................................................ 3
2.4 Forskning omkring konkretbruk....................................................................................... 4
2.5 Konkreter, for konkretenes skyld? ................................................................................... 6
2.6 Tretrinnsmodellen og språkets rolle i matematikkundervisningen .................................. 6
3 Metodedel ................................................................................................................................ 8
3.1 Valg av metode og informanter ........................................................................................ 8
3.2 Gjennomføring av intervjuene ......................................................................................... 8
3.3 Validitet og reliabilitet ..................................................................................................... 9
4 Analyse av datamaterialet ..................................................................................................... 10
4.1 Hvorfor konkreter? ......................................................................................................... 10
4.2 Hvordan brukes konkreter? ............................................................................................ 12
5 Drøfting ................................................................................................................................. 17
5.1 Øker konkretene elevenes forståelse for matematikk? ................................................... 17
5.2 Bruk av konkreter som tilpassa opplæring ..................................................................... 17
5.3 Konkreter for moro skyld? ............................................................................................. 18
5.4 Konteksten rundt konkretene ......................................................................................... 18
5.5 Språkets rolle ved konkretbruk ...................................................................................... 19
5.6 Tretrinnsmodellen .......................................................................................................... 19
5.7 Undersøkende virksomhet og abstraksjonsmateriell ...................................................... 20
6 Oppsummering/avslutning/konklusjon ................................................................................. 22
7 Siterte verk ............................................................................................................................ 24
Vedlegg 1 – intervjuguide ........................................................................................................ 25
Vedlegg 2: Samtykkeerklæring for intervju ............................................................................. 26
Vedlegg 3 – egenerklæring angående fusk og plagiering ........................................................ 27
1. Innledning
I idédokumentet utgitt av Kunnskapsdepartementet (2010) Matematikk for alle … men alle
behøver ikke kunne alt, understrekes det at: ”Alle som underviser i matematikk bør ta i bruk
læringsressurser som legger til rette for en mer utforskende matematikkundervisning, med
fokus på grunnleggende begrepslæring og forståelse. Det gjøres for eksempel gjennom
varierte arbeidsmåter og bruk av konkreter” (s. 12). Det at begrepet konkreter nevnes spesielt
her viser at konkreter har en rolle å spille i dagens matematikkundervisning. Hvordan og
hvorfor konkreter skal brukes vises det derimot ikke til.
Gjennom tre år med matematikk på grunnskolelærerutdanninga dukker bruk av konkreter opp
med jevne mellomrom i pensumlitteraturen. Det er sjelden at litteraturen går i dybden på
konkretbruk, men det står ofte generelle henvisninger til at bruk av konkretiseringsmateriell
kan være en innfallsvinkel til arbeid rundt temaet. I matematikkundervisninga på høyskolen
har vi blitt introdusert til en del forskjellige former for konkreter, men vi går sjelden i dybden
på hvordan og hvorfor vi skal bruke det i undervisning.
Min forforståelse rundt temaet er at det kan være et stort læringspotensiale i en
matematikkundervisning preget av konkretbruk på barneskolen. Konkretene kan etter min
forståelse være gjenstand for fruktbare matematiske samtaler med engasjerte elever. Med
reflektert og god tilrettelegging fra læreren sin side bør det også være muligheter for økt
forståelse blant elevene når det kommer til flere forskjellige matematiske temaer og begreper.
Jeg ser på denne oppgaven som en fin mulighet til å ta seg tid til å sette seg inn i teori og
forskning rundt dette temaet. Forhåpentligvis vil lesing av teori og forskning kombinert med å
intervjue lærere om deres tanker og erfaringer omkring konkretbruk føre til egne refleksjoner
og ideer jeg kan få bruk for i min fremtidige utøvelse av matematikkundervisning.
Med bakgrunn i det jeg har beskrevet ovenfor har jeg kommet fram til en problemstilling som
lyder:
Hvordan og hvorfor bruker lærere konkreter i matematikkundervisningen på barneskolen?
Oppgaven vil starte med en presentasjon av teori på temaet, før jeg deretter vil jeg gjøre rede
for metoden jeg har brukt for å samle inn data for å belyse problemstillingen. Deretter
1
kommer analysen av datamaterialet, før jeg helt til slutt drøfter analysen av materialet opp
mot teorien jeg har presentert.
2
2. Teoridel
2.1 Begrepsavklaring
Konkreter kan i bunn og grunn defineres som alt materiale som kan oppleves gjennom syn og
berøring. Dersom man definerer konkreter i en så vid forståelse vil det være en fordel å
kategorisere konkretene. Amdal og Åbotnes (2011) kategoriserer konkreter inn i strukturerte
og ustrukturerte konkreter. Strukturerte konkreter er alt konkretiseringsmateriale laget for å
øke forståelsen til elevene når det kommer til ulike matematiske begreper. Eksempler på dette
kan være base-10 materiell som er laget for å utvikle forståelse for posisjonssystemet, eller
numicon som kan brukes til blant annet å gjenkjenne ulike oppbygninger av tall.
Ustrukturerte konkreter er materiale som ikke er laget med tanke på matematikk, men som
kan brukes i undervisningen. Her setter da kun fantasien og formålet med undervisningen
grensene for hva som kan brukes.
2.2 Konkreter – bare konkretisering?
Klaveness (2010) problematiserer begrepet konkreter gjennom at ordlyden blir slik at vi fort
kun tenker på konkreter i den hensikt at det skal visualisere den abstrakte matematikken. Hun
kategoriserer materiellet brukt i matematikkundervisning inn i konkretiseringsmateriell og
abstraksjonsmateriell. Med konkretiseringsmateriell menes materiell som er ment som en
illustrasjon for den abstrakte matematikken. Materiell kan derimot også brukes i
undervisningen til å utforske og gjøre matematikken mer praktisk. Det er dette som menes
med abstraksjonsmateriell, nemlig det å bruke materiell for å trekke ut matematikken. Jeg
kommer allikevel til å bruke det mer generelle begrepet konkreter i store deler av oppgaven
som en fellesbetegnelse for både konkretiseringsmateriell, abstraksjonsmateriell og
strukturerte og ustrukturerte konkreter.
2.3 Det undersøkende landskapet og tilpassa opplæring
Abstraksjonsmateriell som begrep kan ses i sammenheng med det Skovsmose (1998) omtaler
som undersøkende landskaper, nemlig et landskap som inviterer og frister til å bli utforsket
for elevene. Landskapet er preget av spørsmålsstillinger som ”hva hvis?” og ”hvorfor det?”.
Disse spørsmålene fungerer som invitasjoner til elevene for å gjennomføre en utforskning,
men om elevene tar invitasjonen avhenger av elevene, og det blir et pedagogisk ansvar for
læreren å vurdere hvilke invitasjoner som passer elevgruppen. Skovsmose setter dette
undersøkelseslandskapet i kontrast til vanlig arbeid med tydelig formulerte oppgaver, som han
3
omtaler som oppgaveparadigmet. Her er undervisningen ofte strukturert ved at læreren går
gjennom nytt stoff, før man går i gjennom utvalgte oppgaver og til slutt regner elevene
lignende oppgaver i grupper eller individuelt.
Det å arbeide i et undersøkende landskap stiller store krav til læreren gjennom at man må
legge opp til et skikkelig problem å løse med et tydelig matematikkfaglig fokus, i tillegg til å
stimulere elevene for å holde den kreative, utforskende prosessen i gang (Alseth & Røsseland,
2006). Da må man hele tiden avveie om elevene er på et sidespor og om den retningen
elevenes utforskning tar, passer overens med det tydelig matematikkfaglige fokuset som var
tenkt eller om det er mulig å lære et matematisk begrep eller finne matematiske
sammenhenger. Denne komplekse vurderinga er noe som helt sikkert kan skremme mange
lærere fra å prøve å arbeide i et slikt landskap.
Fordelene med å arbeide i et undersøkende landskap er blant annet at hvis elevene lykkes vil
dette føre til mestringsfølelse og dermed motivasjon til å lære nye begreper og finne flere
matematiske sammenhenger. Det er også en fordel at differensiering kan skje gjennom arbeid
med ulike representasjoner og uttrykksformer for ulike elever. Dette omfatter alt fra
konkreter, tegninger og symboler. Dette stiller seg i motsetning til det mest vanlige i norsk
matematikkundervisning som er differensiering gjennom kvantitet, ved at de elevene som er
først ferdig for eksempel regner videre i boka (Alseth & Røsseland, 2006).
Nettopp differensiering gjennom kvantitet er ikke i tråd med det grunnleggende prinsippet om
tilpassa opplæring i norsk skole. Dette kan man se gjennom Læreplanverket for
Kunnskapsløftet – prinsipper for opplæring: ” Tilpassa opplæring innanfor fellesskapet er eit
grunnleggjande element i fellesskolen. Opplæringa skal leggjast til rette slik at elevane skal
kunne gi noko til fellesskapet og også kunne oppleve gleda ved å meistre og å nå måla sine”
(Kunnskapsdepartementet, 2006).
2.4 Forskning omkring konkretbruk
Det er gjennomført omfattende forsking omkring effekten av konkretbruk i
matematikkundervisning, men forskningen er tvetydig. En forklaring på dette er at de ulike
forskerne ikke måler nøyaktig det samme (Frostad, 1995). Noen har for eksempel fokus på
om elever behersker algoritmer bedre, og noen har for eksempel fokus på om elevene har
utviklet den begrepsmessige kunnskapen etter bruken av konkreter. I mye av diskusjonen
rundt forbedring av matematikk har konkreter også fått en sentral rolle. Konkret matematikk
4
er åpenbart bra, mens abstrakt matematikk ikke er passende. I alle fall for de yngste elevene
(Ball, 1992).
Patricia Moyer (2001) peker i sin forskningsartikkel Are we having fun yet? How teachers use
manipulatives to teach mathematics blant annet på at forskning viser at elever som bruker
konkreter i undervisningen presterer bedre enn elever som ikke gjør det. Hun viser også til
forskning som viser at lærerens egne erfaringer med konkreter har en betydning for elevenes
læringsutbytte ved konkretbruk. Det pekes også på at den blotte tilstedeværelsen av konkreter
ikke er nok for å øke læringen i matematikkundervisningen: ”Although research generally
supports the use of manipulatives, there is evidence that the mere presence of manipulatives
does not guarantee the acquisition of conceptual understanding” (s. 178).
Moyer presenterer også egen forskning i den samme artikkelen. Forskningen strekker seg over
ett år og målet er å undersøke hvordan lærerne bruker konkreter under normale
omstendigheter i klasserommet. Kvalitative metoder er brukt gjennom intervju, observasjon
og rapporterende data fra læreren selv om sin egen bruk av konkreter. Funnene i forskningen
var blant annet at lærere snakker varmt om bruken av konkreter i matematikkundervisningen.
Problemet var bare det at det kom tydelig fram at mange av lærerne skilte mellom ”morsom
matematikk” og ”ekte matematikk”. Undervisningen i klasserommene som ble observert
fulgte i stor grad en tradisjonell form for oppbygning. Denne oppbygningen startet med
repetisjon fra tidligere økter, fortsatte med demonstrasjon av dagens tema fra læreren fulgt
opp med individuell jobbing, før man avsluttet med gjennomgang. Her inngikk den ”ekte
matematikken” som sørget for at lærerne hadde dekket pensum. Studiet viste at konkreter og
den ”morsomme matematikken” i stor grad ble brukt hvis tid på slutten av timene og i slutten
av uka, istedenfor å bruke de til å bruke de til å forklare matematiske sammenhenger og
begreper.
I sluttkommentaren peker Moyer på at konkreter kan fungere som redskap for å oversette
abstraksjoner til en form hvor elevene kan få hjelp med å koble eksiterende kunnskap til ny
kunnskap, i tillegg til å hjelpe elevene med å se sammenhenger i matematikken.
Utfordringene for læreren blir da å tolke elevenes representasjoner for matematisk tenkning, i
tillegg til å klare å avdekke sammenhengene i matematikk for elevene. For å klare dette må
man også utvikle passende konkrete kontekster for å lære matematikk (Moyer, 2001).
5
2.5 Konkreter, for konkretenes skyld?
I Deborah Ball (1992) sin artikkel Magical Hopes retter hun et kritisk blikk mot hvor stor
plass konkreter får i diskusjonen omkring det å utvikle matematikkutdanning: “My main
concern about the enormous faith in the power of manipulatives, in their almost magical
ability to enlighten, is that we will be misled into thinking that matematical knowledge will
automatically arise from their use” (s. 16). Videre påpekes det at konteksten enhver
representasjon brukes, er like viktig som representasjonen i seg selv. Dette gjelder da
selvfølgelig også konkreter. Viktigheten av å skape en felles forståelse blant elevene i
klasserommet når det kommer til konteksten rundt konkretene er helt avgjørende i arbeid med
alle mulige konkrete. Med konteksten menes her måten konkretene skal manipuleres eller
forstås, mot hvilket mål de skal brukes og om hva slags språk man bruker rundt spesifikke
konkreter. Denne bredere forståelsen av konkretet er prekært ved bruken av konkreter, for
materialet i seg selv har ikke denne forståelsen innbakt (Ball, 1992).
Kaufmann (2010) ønsker i større grad en diskusjon omkring den enkelte elevs tolkning av
konkretene, og peker på at elevene kanskje bare ser de konkrete materialene og ikke
nødvendigvis de matematiske begrepene og ideene som er meningen de skal se. Elevene må i
følge han læres opp i hvordan å bruke og tolke ulike konkreter, og påpeker at det alltid vil
være problematisk å tilpasse konkretene til de spesifikke situasjonene i klasserommet.
2.6 Tretrinnsmodellen og språkets rolle i matematikkundervisningen
Marit Holm (2002) peker blant annet i sin bok Opplæring i matematikk - for elever med
matematikkvansker og andre elever på at en forutsetning for bruk av konkreter er at elevene
selv får ta og føle på konkretene, og ikke bare være tilskuere i selve manipuleringen av
konkretene. Konkretene bør også variere i farge, fasong og størrelse ved innøving av
tallbegreper slik at elevene får mange erfaringer i at tallstørrelsene kan knyttes til alle mulige
mengder og enheter.
Et annet interessant poeng som dras frem er en tretrinnsmodell for matematikkopplæringen.
De tre trinnene innebærer først et konkret nivå hvor elevene arbeider med ulike konkreter som
støtte for å løse oppgaver. Deretter foregår det som omtales som en abstraksjonsprosess hvor
man gradvis nærmer seg bruk av abstrakt tankegang og abstrakte symboler. Dette siste nivået
kalles det abstrakte nivået. Mellom det konkrete og abstrakte nivået er det et halvkonkret nivå.
Her beveger man seg bort fra konkretene, men føres et trinn videre i abstraksjonsprosessen
gjennom å bruke bilder og tegninger i stedet for konkreter. Denne gradvise
6
abstraksjonsprosessen kalles også ofte for avkonkretisering. Elever kan etter hvert fint arbeide
på de ulike nivåene samtidig, gjennom å se oppgavene gjennom ulike representasjoner som
konkreter, tegning og abstrakte symboler (Holm, 2002).
I samme boken omtales også språkets rolle i matematikkundervisningen. Ved at elevene får
bruke språket aktivt får de hjelp til å styre tankene, til å strukturere og organisere arbeidet med
oppgavene. Læreren spiller da en sentral rolle som tilrettelegger av opplegget, som pådriver
for elevaktivitet og som leder av kommunikasjonen mellom lærer – elev og elev – elev.
Språket kan være et tydelig uttrykk for hvilken forståelse elevene har av begreper og
sammenhenger i matematikk og språket bidrar også til å fremme denne forståelsen mer
tydelig og bevisst (Holm, 2002).
7
3 Metodedel
3.1 Valg av metode og informanter
For å belyse oppgavens problemstilling har jeg valgt å benytte meg av kvalitative intervjuer
som metode. Kvalitative metoder er ofte mer fleksible enn kvantitative metoder, noe som
sørger for større rom for spontanitet og tilpasning i interaksjonen mellom deltager og forsker
(Christoffersen & Johannesen, 2012). Nettopp denne fleksibiliteten er mye av bakgrunnen for
valget av kvalitative intervjuer. Jeg hadde et ønske om å få frem fyldige og detaljerte
beskrivelser omkring problemstillingen, og fleksibiliteten i en kvalitativ metode kunne bidra
til dette.
For å få frem disse beskrivelsene ble det også naturlig å tilrettelegge for semistrukturert
intervju. ”Et semistrukturert eller delvis strukturert interju har en overordnet intervjuguide
som utgangspunkt for intervjuet, mens spørsmål, temaer og rekkefølge kan variere”
(Christoffersen & Johannesen, 2012, s. 79). Intervjuguiden min består av ulike forholdsvis
åpne spørsmål, noe som gjør at deltagerne har stor frihet i besvarelsen (Se vedlegg nr 1). Det
første spørsmålet er helt åpent og de andre spørsmålene fungerte som en liste for
oppfølgingsspørsmål. Innimellom ble det avvik fra intervjuguiden, noe som er helt normalt i
og med at et intervju ofte er mer dialog enn rene spørsmål og svar (Christoffersen &
Johannesen, 2012).
Informantene mine består av 2 lærere og en tidligere lærer, som nå er ansatt som
regneveileder på kommunenivå. Lærerne arbeider i dag på 2. trinn og 4. trinn.
Regneveilederen er ansatt for å veilede lærere i kommunen når det kommer til
matematikkundervisning på barneskolen og har erfaring fra undervisning både på barneskoleog ungdomsskoletrinnet. I utvelgelsen av informantene var mine to eneste kriterier at
informanten var utdannet lærer og hadde erfaring med undervisning på barneskolen. For å
sikre anonymiteten til informantene har jeg valgt å gi de pseudonymer. I denne oppgaven vil
læreren på 2. trinn hete Randi, læreren på 4. trinn vil hete Sunniva og regneveilederen vil hete
Daniel.
3.2 Gjennomføring av intervjuene
Alle intervjuene ble gjennomført på informantenes arbeidsplasser. Informantene skrev under
på et samtykkeskjema (se vedlegg 2) hvor de ble opplyst om formålet med undersøkelsen, at
8
de ville være anonyme i oppgaven og at de hele tiden hadde mulighet til å trekke seg i løpet
av prosessen.
3.3 Validitet og reliabilitet
Med tanke på oppgavens validitet gir datamaterialet kun et innblikk i de tre informantenes syn
og tanker rundt problemstillingen. For å øke undersøkelsens gyldighet kunne jeg ha intervjuet
flere informanter og kanskje også utvidet min kvalitative metode ved i tillegg å gjennomføre
observasjon, for å se om det fantes en sammenheng mellom det informantene ga uttrykk for i
intervjuet stemte overens med det de gjør i praksis. Grunnen til at jeg falt ned på kun intervju
og kun tre informanter har sammenheng med oppgavens omfang og plass til å analysere og
drøfte data. I tillegg har jeg ikke som intensjon å generalisere hvordan og hvorfor lærere
bruker konkreter, men kun få et lite innblikk jeg kan ta med meg som inspirasjon i min
fremtidige yrkesutøvelse.
En svakhet med mitt utvalg av informanter, som jeg har merket i arbeidet med denne
oppgaven, er at ingen av informantene jobber med elever på mellomtrinnet i barneskolen. Jeg
kunne med hell ha utvidet til fire informanter og fått med en lærer som jobbet på
mellomtrinnet, som da muligens hadde økt validiteten i undersøkelsen. På en annen side er
regneveilederen ansatt for å veilede både på småskoletrinnet og mellomtrinnet. Dette kan
uansett gjøre at dataene ikke illustrerer like godt hvordan og hvorfor lærere arbeider med
konkreter gjennom alle trinnene på barneskolen.
Når det kommer til oppgavens reliabilitet ble dataene samlet inn gjennom lydopptak av
intervju, før det deretter ble transkribert. Denne jobben har jeg tatt alvorlig gjennom å
transkribere nøyaktig det som ble uttrykt av informantene. Lydopptakene ble deretter slettet
direkte etter transkribering.
9
4 Analyse av datamaterialet
4.1 Hvorfor konkreter?
Gjennom problemstillingens hvorfor konkreter brukes, fikk informantene spørsmål om hva de
ser på som de største fordelene ved å bruke konkreter i matematikkundervisningen. Gjennom
besvarelsene kommer det tydelig fram at alle informantene peker på at konkreter øker
matematikkforståelsen til elevene. De drar også hver for seg inn forskjellige elementer som
mer motiverte og selvstendige elever og tilpasset opplæring gjennom variasjon av
undervisningen, bruk av ulike sanser og at det er lettere å differensiere i en og samme
oppgave/aktivitet.
Sunniva som er lærer på 4. trinn peker på større forståelse og mer selvstendige elever
gjennom konkreter som god støtte for oppgaveløsning:
Jeg har jo nevnt at jeg føler at forståelsen rundt talls oppbygging og
forståelse rundt posisjonssystemet blir større hvis de får mange ulike
erfaringer gjennom konkretene. Jeg ser også at du blir mer selvstendig og
selvhjulpen også, fordi du får støtte i konkretene når du løser oppgavene.
De løser problemer bedre selv, uten at de hele tiden må ha meg tilstede.
Hun peker senere også på mer motiverte barn og ulike sanser som en fordel ved konkretbruk:
Ja, de gir uttrykk for at de liker å jobbe med konkreter, fordi da får de
muligheten til ”å gjøre noe” (viser hermetegn). De syns også materiellet i
seg selv er spennende. Det skaper mer entusiasme og arbeidslyst hos
ungene. Det å få ta og føle på ting virker veldig givende for barna. Så det å
få bruke flere sanser i undervisninga er jo også helt klart en fordel.
Daniel, som er regneveileder, peker på at elever som får mulighet til å arbeide med konkreter
bygger opp en bedre tallforståelse enn elever som ikke gjør det. Han mener også at konkreter
kan forebygge at elever blir fort lei av matematikk og nevner at han ser et stort
læringspotensiale ved gjennomtenkt og fornuftig bruk av konkreter:
10
Jeg ser at det er et enormt læringspotensial dersom bruken er
gjennomtenkt og fornuftig. Jeg har også fått observert mye undervisning
hvor lærere bruker det. De som bruker det mye i begynneropplæringen i
matematikk ser jeg får veldig tallsikre elever. Med det mener jeg at de
utvikler en god forståelse rundt tall og tallenes oppbygning. De er trygge
på alle mulige tallkombinasjoner. Hvis de hadde måttet sitte stille på
pulten og skrive på et papir, ser jeg for meg at de hadde fått en sånn
”fattig” måte å jobbe på, noe som kanskje hadde gjort at de ble lei
tidligere, og i tillegg ikke helt skjønt hva de gjorde og dermed heller ikke
fått på plass matematikkforståelsen på samme måte.
Randi, som er lærer på 2. trinn, peker på at konkreter gjør ting mer forståelig for barn og
peker på tilpasset opplæring gjennom variasjon av undervisningen, bruk av flere sanser og
større muligheter for å differensiere i en og samme oppgave/aktivitet:
Jeg tenker det at (Eh, liten pause) tall er veldig abstrakt. De forstår det
ikke, mange. Det å bruke konkreter tenker jeg gjør det mye mer forståelig
for barn. Også tenker jeg at jo flere måter jeg kan gjøre det, jo flere unger
kan jeg nå. Fordi unger lærer på forskjellige måter, ikke sant. Variasjonen
i undervisningen blir en fordel. Vi spretter også en del ball på matter som
symboliserer posisjonssystemet. Da må de si hvor mange ganger de
spretter ballen på tierplassen f. eks. Her blir også ulike sanser en del av
variasjonen. Nettopp variasjonen ser jeg på som viktig i forhold til TPO
blant annet. Ved å bruke konkreter er det mye lettere for meg å tilpasse til
nivået til elevene også. Noen kan bruke materiell i tallområde 0-5, mens
andre kan samtidig arbeide i tallområde 0-100 for eksempel.
11
Når det kommer til besvarelse av spørsmålet om ulemper rundt konkretbruk sier Randi og
Sunniva at de ikke ser noen store ulemper, men Sunniva legger til viktigheten av å hjelpe
elevene til abstraksjon og at elevene ikke må være avhengig av konkretene til enhver tid.
Daniel peker derimot på utfordringer når det kommer til klasseledelse:
Det krever litt mer av deg som klasseleder når du arbeider med konkreter,
fordi noen konkreter lager lyd og kan fort ta oppmerksomheten til ungene
bort fra matematikken. Det trenger ikke være noen stor utfordring, men
jeg har sett at det kan bli en utfordring i forhold til klasseledelse.
4.2 Hvordan brukes konkreter?
Når det kommer til problemstillingens hvordan konkreter brukes, er det noen klare skiller
mellom lærerne. Daniel vektlegger konkreter som utgangspunkt for utforskende matematikk,
mens Randi og Sunniva peker på viktigheten av gradvis abstraksjon. Når det kommer til selve
organiseringen av undervisningen peker alle lærerne på at alle elevene bør få mulighet til å ta
og føle på konkretene. Randi nevner ikke samarbeid spesifikt, men sier at elevene viser og
forklarer hverandre innimellom hvordan de regner gjennom konkretene. Sunniva peker på at
hun er bevisst i sin planlegging at elevene skal få mulighet til å samtale og diskutere rundt
konkretbruken og at de har fokus på å forklare hverandre tankegangen bak regningen:
Ja, noen ganger lager de regnefortellinger ut fra konkreter to og to
sammen. Andre ganger har de sittet i grupper og må samarbeide og
diskutere oppgaver omkring vekt, med en vekt på hver gruppe. Jeg sier
ofte til elevene at å prate matematikk er lurt for å hjelpe hverandre å
forstå. Vi snakker også mye om hvordan vi kan hjelpe hverandre, og at å
hjelpe andre er ikke å gi dem svaret, men å forklare hvordan du tenkte.
Dette prøver jeg da å legge til rette for i organiseringen min. At de har
mulighet til å prate matematikk med hverandre.
Daniel ser tydelig på samarbeid og diskusjon som essensielt i matematikkundervisningen:
12
Jeg syns samarbeid i seg selv er en faktor som er såpass viktig, at jeg
nesten utelukkende ville lagt opp til samarbeidsoppgaver. Det er veldig
sjelden at jeg ville satt ungene hver for seg. Jeg lar ofte alle elevene gjøre
den samme aktiviteten i smågrupper, og det har med at det da er lettere å
trekke noen felles slutninger og sammenhenger. Da er det en fordel at alle
har gjort det samme. I grupper ser jeg at det blir en enda større utfordring
med å dele ut masse konkreter. En fordel med stasjonsarbeid er at det ikke
kreves så mye likt materiell av hver type. Da kan du ha en type på hver
stasjon. Jeg har i alle fall veldig tro på samarbeid og hva du velger av
organisering utover det, kommer litt an på klassen og utstyr og sånne ting.
Daniels tanker rundt planlegging, organisering og gjennomføring av undervisning skiller seg
ut fra de andre informantenes tanker gjennom hans uttalte fokus på utforskning i
matematikkundervisningen:
Jeg prøver alltid i større og mindre grad å lage matematikkundervisningen
så utforskende som mulig. Elevene elsker det og det er mye mer
spennende for meg også. Da tenker jeg ofte at konkreter er det beste
utgangspunktet for utforskning. Dette kan være både ekte og uekte
konkreter. Alt mulig rart, men det gir elevene en start på tankeprosessen.
Å utvikle gode opplegg som er utforskende er tidkrevende og jeg tenker at
det er noe av grunnen til at mange heller velger å følge læreboka. I min
jobb som regneveileder har jeg derimot god tid til å leke med ideer og
tanker som jeg kan teste ut og vise fram til lærerne i kommunen. Jeg
tenker at du vil få mer motiverte og unngår at elevene blir fort lei av matte,
men som nevnt tidligere i forhold til den matematiske samtalen krever det
mye av læreren for å takle innspill og trekke slutninger sammen med
13
elevene. Jeg ser dessverre at mange lærere vegrer seg for samtale og
diskusjon i hel klasse, og det er synd, fordi det er jo da det også er
spennende og gøy å være matematikklærer.
Randi gir uttrykk for at de jobber lite med utforskende aktiviteter, men Sunniva gir uttrykk for
at de gjør det innimellom:
Ja, men vi har gjort mest av det i måling og vekt. Burde sikkert ha gjort
det mye mer. Da har de sittet i grupper og hatt noen litermål og
desilitermål, med noen få spørsmål som støtte for å sørge for litt
systematikk. Da sier jeg minst mulig før aktiviteten starter, men gruppene
får i oppgave og beskrive hva de finner ut underveis. Da har de friheten til
å finne ut andre ting enn spørsmålene og elevene blir veldig engasjerte.
Det samme har vi gjort med vekt. Det er veldig gøy å samtale til slutt med
hele klassen om hva vi har funnet ut ved å bruke konkreter. Mange som
viser større engasjement i helklassesamtalen da. Jeg tror det er mye læring
som skjer da, fordi da oppdager de ting selv og sammen noe som gjør at
kunnskapen sitter bedre.
Randi og Sunniva legger mer vekt på en abstraksjonsprosess med fokus på gradvis
avkonkretisering. Sunniva peker på dette allerede på det helt åpne innledningsspørsmålet hvor
informantene blir oppfordret til å fortelle om sin egen konkretbruk i forbindelse med
matematikkundervisningen:
Elevene trenger å kjenne på det og telle fysisk de klossene. 1-2-3-4 og
tierstaver og 100-brett. Når du på en måte har jobba med dette og skjønner
hva dette dreier seg om, så kan du gå over til mer type halvkonkreter.
Altså at elevene tegner mengdene inn i boka si. Lager det først, så tegner.
Etter hvert så danner du deg noen bilder i hodet, så du f. eks klarer å lage
14
det tallet i boka de, ved å tenke på base 10-materiellet. Da tegner du
prikker og streker og firkanter. I starten er ungene der at de tegner veldig
sirlig i boka ved at de ofte må tegne hver eneste kloss og dele tierstavene
inn i ti klosser. Etter hvert så blir klossene bare prikker, tierstaver bare en
strek og hundrebrettet bare en firkant. Det er på en måte gangen i det. I
starten bruker vi også mye terningspill og annet tellemateriell. Etter hvert
så lærer jo også elevene tallsymbolene som de kan knytte til alle
erfaringene de har gjort seg omkring mengder.
Randi peker på viktigheten av at elevene får støtte i abstraksjonsprosessen til mer effektive
strategier når elevene er modne for det:
Det du må passe på er å hjelpe noen videre til mer effektive strategier og f.
eks over til halvkonkreter ved hjelp av tegning. Et annet eksempel er hvis
de jobber med tellemateriell eller lignende og skal legge sammen 10 og
16, så prøver jeg å bevisstgjøre dem på hvilket tall det lønner seg å
begynne på. Det som også er viktig å være bevisst på er om elevene er
flinke rent teknisk med regning ved bruk av konkretene. Om de klarer de å
regne dette etter hvert ved å lage seg disse bildene i hodet blir da
spørsmålet.
Meg: Så jeg tolker det du sier nå som at det er viktig å hjelpe de og
utfordre de til å abstrahere det litt innimellom?
Ja, etter hvert. Og der må man se ann ungene altså, men vår jobb er å dra
de videre og hjelpe de inn i mer effektive strategier når forståelsen er på
plass.
15
Andre interessante funn i datamaterialet er blant annet at alle tre informantene uttrykker
bekymring over at de tror konkreter blir for tidlig borte for elevene, og at konkreter bør
involveres i matematikkundervisningen gjennom hele grunnskoleløpet. Alle tre informantene
er også enige om at alle elevene bør i størst mulig grad få mulighet til å ta og føle på de ulike
konkretene som brukes i undervisningen og at å la elevene få eksperimentere med materialet
er den beste måten å introdusere ulike konkreter på. De strukturerte konkretene som gikk
igjen i intervjuene var base 10-materiell og numicon, men alle mente at ustrukturerte
konkreter også fint kan brukes.
16
5 Drøfting
5.1 Øker konkretene elevenes forståelse for matematikk?
Når det kommer til hvorfor informantene velger å bruke konkreter i undervisningen peker alle
tre på at elever utvikler en bedre forståelse i matematikk. Argumentene er rettet mot
forståelsen av tall og tallenes oppbygning og lite mot andre matematisk sammenhenger og
begreper. Dette kan ha sammenheng med at to av tre informanter jobber på småskoletrinnet
hvor utviklingen av en god tallforståelse står sentralt. Den tredje, Daniel, jobber som
regneveileder for hele barneskoleløpet og skiller seg også litt ut fra de to andre på noen
områder av materiale, men peker samtidig også på bedre forståelse rundt tallbegrepet.
Forskningen omkring økt matematisk forståelse er derimot ikke entydig (Frostad, 1995). Et
interessant spørsmål blir om elevene kan lure lærerne, i vurderinga av hvor god forståelse de
egentlig har opparbeidet seg, ved at de blir flinke til å regne rent teknisk ved å bruke
konkretene. For som Ball (1992) påpeker så kan vi ikke anta at korrekte eller feil svar,
operasjoner eller manipuleringer av konkreter viser til den forståelsen som det ser ut som.
Informantene uttrykker i alle fall at de ser en økt forståelse blant elevene når det kommer til
tallbegrepene, med bakgrunn i deres opplevde erfaringer og vurderinger. Dette kan
selvfølgelig medføre korrekthet ved deres undervisning og elever, og jeg har heller ikke noe
belegg for å drøfte dette ytterligere ut i fra mitt metodevalg i denne oppgaven. Det er derimot
viktig å ha i bakhodet at det ikke er tilstedeværelsen av konkretene i seg selv som sørger for
forståelsen (Moyer, 2001). Denne naive tankegangen kan muligens være faretruende enkel å
tilegne seg for lærere med bakgrunn i den sentrale rollen konkreter har fått i diskusjonen
omkring forbedring av matematikkundervisningen (Ball, 1992).
5.2 Bruk av konkreter som tilpassa opplæring
Randi peker på konkretenes rolle med tanke på tilpasset opplæring gjennom variasjon av
arbeidsmåter, bruk av ulike sanser og muligheten til å differensiere vanskelighetsgrad på
oppgaver innenfor en og samme aktivitet. Sunniva nevner også bruk av ulike sanser som en
fordel uten og spesifikt knytte dette til tilpasset opplæring. Dette er helt klart gode argumenter
og samsvarer med det grunnleggende prinsippet om tilpasset opplæring innenfor fellesskapet
av klassen (Kunnskapsdepartementet, 2006). Dette stiller seg i motsetning med den mest
vanlige formen for tilpasset opplæring i norsk matematikkundervisning, nemlig
17
differensiering gjennom kvantitet (Alseth & Røsseland, 2006), som ikke samsvarer med
prinsippet i og med at elevene da mister klassen som læringsfellesskap.
5.3 Konkreter for moro skyld?
En annen begrunnelse som Sunniva bruker for at konkreter bør brukes i
matematikkundervisningen er mer motiverte barn. Daniel peker også forebygging av at barna
blir lei matematikk. Informantene mine skiller ikke spesifikt mellom morsom matematikk og
ekte matematikk som flere lærere gjorde i Moyer (2001) sin forskning, men likhetene er at
begge grupper av informanter snakker varmt om bruken av konkretene og ser på mer
motiverte barn som en fordel ved konkretbruk i undervisning. Et annet funn i samme
forskning var at konkretene ble brukt i morsomme aktiviteter på slutten av timen eller i slutten
av uka (Moyer, 2001). Det er ingenting i mitt datamateriale som tyder på det samme. Det
generelle inntrykket mitt omkring datamaterialet er at informantene har en genuin tro på at
konkreter spiller en sentral rolle i en god matematikkundervisning.
5.4 Konteksten rundt konkretene
Denne genuine troen har trolig en sammenheng med at ingen av informantene ser noen store
ulemper eller utfordringer omkring konkretbruk. Daniel peker på at selve klasseledelsen kan
bli litt mer utfordrende, men understreker samtidig at dette ikke trenger å være noen stor
utfordring. Sunniva peker på at det kan være utfordrende å hjelpe elevene og gradvis
avkonkretisere, for å hjelpe elevene til mer effektive strategier. Det var noe overraskende at
ingen påpekte viktigheten av det å skape en felles forståelse blant elevene når det kommer til
konteksten rundt konkretene som skal brukes. Denne felles forståelsen av konteksten rundt
konkretene er en avgjørende faktor for arbeid med alle mulige konkreter og andre
representasjoner (Ball, 1992).
Noe av grunnen til at ingen av informantene tar opp viktigheten av dette kan være at mye av
konkretene de bruker er knyttet til tallbegrepet og posisjonssystemet, og at de dermed føler at
konteksten da er innforstått uansett hva slags type materiell man jobber med. På en annen side
gir informantene uttrykk for at de bruker konkreter i omtrent all matematikkundervisning,
uansett tema, noe som kan tilsi at temaet burde vært tatt opp. Informantene fikk heller ikke et
direkte spørsmål omkring dette, men spørsmålet handlet mer om generell introduksjon av et
nytt konkretiseringsmateriale. Da svarte de alle at de vektla at elevene fikk kjenne på og
eksperimentene med materialene, noe som kan støttes gjennom Holm (2002), og nevnte ikke
noe om å skape en felles forståelse. Dette kan selvfølgelig skyldes meg som en uerfaren
18
intervjuer, og trenger ikke bety at deres elever ikke har denne felles forståelsen. Viktigheten
av en felles forståelse rundt konteksten påpekes i alle fall i veldig mye av teorien og
forskningen omkring konkretbruk, og er definitivt noe som enhver lærer bør være bevisst og
reflektert omkring. Dette har sammenheng med at effektiv bruk av konkreter forutsetter at
elever må læres opp i hvordan å bruke og tolke de ulike konkretene (Kaufmann, 2010).
5.5 Språkets rolle ved konkretbruk
Med tanke på problemstillingens hvordan kommer det tydelig fram samarbeid og språk er noe
alle informantene er opptatt av, og har i bakhodet, i sin planlegging og gjennomføring av
undervisning som involverer konkreter. De vektlegger gruppearbeid og samarbeid to og to,
både gjennom stasjonsarbeid og at alle jobber med samme aktivitet. Målet er i følge
informantene at gjennom å prate matematikk får elevene forklart sin tankegang til medelever
og dermed lærer av hverandre. Dette kan støttes gjennom Holm (2002), som påpeker at
elevene gjennom språket kan få støtte til å strukturere og organisere arbeidet med oppgaven, i
tillegg til at å bruke språket kan hjelpe de til å styre tankene sine. Språket bidrar også til å
fremme forståelsen av begreper og sammenhenger i matematikken og læreren er viktig som
støtte i denne prosessen blant annet gjennom tilrettelegging og styring av kommunikasjon
elev - elev og lærer – elev. Moyer (2001) peker også på et annet viktig poeng som språket og
samarbeid kan bidra med: ”Students must reflect on their actions with the manipulatives to
build meaning” (s. 177)
5.6 Tretrinnsmodellen
Det finnes også ulikheter mellom informantene i hva som vektlegges i hvordan undervisning
med konkreter bør planlegges og gjennomføres. Det kan se ut som at Randi og Sunniva, som
jobber på småskoletrinnet, vektlegger tretrinnsmodellen (Holm, 2002) uten å bruke selve
begrepet. Dette kommer fram ved at de bruker begrepet halvkonkreter som de utdyper som
andre representasjoner som f. eks tegninger. Begge er opptatt av å hjelpe elevene i
abstraksjonsprosessen gjennom gradvis avkonkretisering, gjennom f. eks tegning og deretter
til abstrakte tall. De vektlegger at forståelsen må være på plass før elevene beveger seg mot
det abstrakte og at elevene må være modne nok for det. Sunniva peker også et annet godt
poeng at elevene kan jobbe med ulike representasjoner som konkreter, tegninger og abstrakte
tall i en og samme oppgave. Alt dette er helt i tråd med det Holm (2002) foreslår som en
modell for opplæring på de yngste elevene i skolen.
19
Paradokset blir bare det at både Randi og Sunniva peker avslutningsvis i intervjuet på at
konkretene blir borte for tidlig i skoleløpet og bør følge elevene gjennom hele
barneskoleløpet. Det kan tenkes at de ser på som konkreter og andre representasjoner som
støtte for matematikk med abstrakte symboler gjennom hele barneskoleløpet, men de peker
samtidig på gradvis avkonkretisering. De sier derimot lite om tempoet for denne
avkonkretiseringen i abstraksjonsprosessen.
5.7 Undersøkende virksomhet og abstraksjonsmateriell
Daniel er også enig i at konkreter blir for tidlig borte i skoleløpet i matematikkundervisning,
men har et litt annet fokus enn de to andre informantene i sin planlegging av undervisning.
Han peker på at han legger i størst mulig grad opp til at hans undervisning skal være
utforskende, og legger til at han mener at konkreter er det beste utgangspunktet for
utforskning. Kanskje er da konkreter, i form av abstraksjonsmateriell, brukt i et undersøkende
landskap løsningen på å beholde konkreter lenger i barneskoleløpet? Konkretene er viktig for
elever i alle aldre og at materiellet kan brukes til å gjøre matematikken mer anvendt og
utforskende. Forutsetningen er da at man ikke kun ser på konkreter i en rolle for
konkretisering, men også motsatt vei gjennom abstraksjon (Klaveness, 2010). Fordelene med
å arbeide i et undersøkende landskap er blant annet at gjennom og lykkes med å oppdage
matematiske sammenhenger og begreper, kan man stimuleres og motiveres til og utforske
flere. I tillegg kan arbeid med åpne, utforskende oppgaver føre til en tilpasset opplæring
gjennom læring i fellesskapet, i motsetning til en differensiering gjennom kvantitet. Dette
foregår gjennom at elevene har friheten til å utforske ut fra sine egne erfaringer og kunnskaper
og dermed bruker ulike representasjoner for sin tankegang, både individuelt og i grupper.
Deretter deles dette med klassen som fellesskap (Alseth & Røsseland, 2006).
Hvis man ser på det undersøkende landskapet i forhold til konkreter tenker jeg at
abstraksjonsmateriell vil være et glimrende utgangspunkt for å utforske matematiske
sammenhenger og begreper. Daniel peker også på at konkreter er et glimrende utgangspunkt
for utforskning. Gjennom å ha tilgang til abstraksjonsmateriell i denne utforskende prosessen
elevene også ha friheten til å velge enda en form for representasjon og ikke bare
representasjoner gjennom tegninger og tall: ”I et undersøkelseslandskap vil det dermed være
svært gunstig for elevenes prosess at de får anledning til å arbeide med ulike uttrykksformer
og på ulike abstraksjonsnivåer” (Alseth & Røsseland, 2006, s. 111). Samtalene, diskusjonene
og selve utforskningen kan muligens da bli enda mer fruktbare.
20
Ulempene derimot er blant annet at dette stiller store krav til lærerens faglige og pedagogiske
kompetanse gjennom å legge til rette for en god invitasjon til utforskning, med et tydelig
matematikkfaglig fokus, og i tillegg skulle hjelpe elevene til å trekke slutninger omkring
begreper og se sammenhenger innenfor matematikkfaget (Alseth & Røsseland, 2006). Denne
utfordringen pekes også på i datamaterialet i denne oppgaven, gjennom at Daniel sier at han
ser at mange lærere vegrer seg for den matematiske samtalen i hel klasse. Han peker blant
annet på at han tror mange lærere er redd for innspill de ikke er forberedt på.
Jeg ser at det er utfordringer knyttet til det undersøkende landskapet, men tenker at det er
viktig at elever får et eierforhold til oppgavene som jobbes med. I tillegg kan elevene bli
nysgjerrige til å finne sammenhenger i matematikk, og kanskje få sulten på å lete etter flere.
Undervisningen blir da i mine øyne mer spennende både for elever og lærer, men det er ingen
tvil om at arbeid i det undersøkende landskapet krever meget god faglig og pedagogisk
kompetanse som tilrettelegger og pådriver for arbeidet. Denne utfordringen bør lærere ta på
strak arm og kaste seg ut i. Alle som underviser i matematikk bør legge til rette for mer
utforskende matematikk med fokus på forståelse og grunnleggende begrepsforståelse
(Kunnskapsdepartementet, 2010). De fleste lærere vil helt sikkert tidvis bomme med
invitasjonen til utforskningen og i tillegg slite med å hjelpe elevene se sammenhenger og lære
begreper, men fordelene med en slik type undervisningsmetode er såpass store at det trolig er
verdt det. Oppfordringen fra Alseth og Røsseland (2006) er i alle fall klar: ”Det er ved å gjøre
erfaringer med undersøkelseslandskap og ved å vurdere disse erfaringene opp mot det som er
beskrevet i kapittelet, muligheten til å utvikle sin egen undervisning ligger. Herved er
oppfordringen gitt” (s. 119).
21
6 Oppsummering/avslutning/konklusjon
Hvordan og hvorfor lærere bruker konkreter er et komplekst spørsmål (Moyer, 2001). Jeg har
gjennom denne undersøkelsen belyst noen aspekter av tre ulike informantens tanker og
begrunnelser for konkretbruk. På bakgrunn av dette har jeg ingen belegg for å generalisere på
noen som helst måte. Det som derimot undersøkelsen viser er at alle mine informanter
uttrykker seg positivt om konkreter. Den sier noe om hvorfor mine informanter velger å bruke
konkreter i undervisningen, og den sier litt om hvordan informantene bruker konkretene i
undervisningen. Her skulle jeg gjerne sett at datamaterialet mitt ga flere detaljerte, gode og
konkrete beskrivelser av hvordan de bruker konkretene i undervisningen. Her burde da
muligens undersøkelsen blitt utvidet med observasjoner av undervisning i tillegg.
Det er interessant og inspirerende å høre tre erfarne informanter snakke om at deres erfaringer
med konkretbruk tilsier økt matematisk forståelse blant elevene og mer motiverte elever.
Samtidig er det viktig å ha et reflektert syn på konkreter og ikke tro at de er magiske. Det er
mange faktorer som elevenes matematikkforståelse avhenger av, men at konkreter kan spille
en faktor i en god matematikkundervisning er det liten tvil om. Det å ha i bakhodet at
konkreter er en representasjon som kan være verdifull for mange elever uansett og kan være
med på å variere undervisningen kan være hensiktsmessig. Ser man dette i sammenheng med
tilpasset opplæring, så kan konkreter være et middel og en ressurs for å klare og tilpasse
opplæringen for flere elever innenfor fellesskapet av klassen.
De to informantene som arbeidet på småskoletrinnet la vekt på at matematikken måtte være
konkret til forståelsen for tall og andre begreper var på plass. Deretter måtte det foregå en
abstraksjonsprosess, en gradvis avkonkretisering, hvor man gjennom andre representasjoner
som for eksempel tegning beveger mot de abstrakte tallene. Dette stemte godt overens med
tretrinnsmodellen jeg hadde fordypet meg i, og er noe jeg kommer til å ta med meg ved
undervisningen på småskoletrinnet.
Alle informantene ga også uttrykk for at de ser at konkreter blir for fort borte for elevene i
skoleløpet. Her ser jeg for meg at konkreter i form av abstraksjonsmateriell kan spille en rolle,
og gjerne da i et undersøkende landskap. Det undersøkende landskapet er kanskje det som har
fanget oppmerksomheten min mest i arbeidet med denne oppgaven. Vi har på høyskolen vært
innom dette temaet opptil flere ganger, men ved å ha muligheten til å fordype meg ytterligere,
har denne undervisningsmetoden virkelig satt spor i en forhåpentligvis fremtidig
22
matematikklærer. Alle informantene vektla språk og samarbeid i hva de la vekt på når de
skulle bruke konkreter i undervisningen og denne metoden kan virkelig legge til rette for
begge deler.
De ulike kategoriseringene strukturerte/ustrukturerte og
konkretiseringsmateriell/abstraksjonsmateriell viser at det er uendelig mange muligheter for
hva slags materiale som kan brukes i matematikkundervisningen. Arbeidet med denne
oppgaven har bare bekreftet forforståelsen min som handlet om at bruk av konkreter i
undervisningen har et enormt læringspotensial, og at de kan være gjenstand for fruktbare og
engasjerende matematiske samtaler. Å legge til rette for, i tillegg til å hjelpe elevene til å se
sammenhenger og lære begreper i matematikk krever mye som lærer. Disse kravene og
utfordringene er inspirerende i jakten på økt matematisk og pedagogisk kompetanse.
Drømmen er at mine elever får en undervisning preget av utforskning, rik på representasjoner
og rik på fruktbare matematiske samtaler og diskusjoner, helt uavhengig av en lærebok.
23
7 Siterte verk
Alseth, B., & Røsseland, M. (2006). Undersøkelseslandskap i matematikk. I M. E. Frislid, &
H. (. Traavik, Boka om GLSM - Grunnleggende lese-, skrive- og matematikkopplæring
(ss. 99-120). Oslo: Universitetsforlaget.
Amdal, A., & Åbotnes, M. (2011). FoU i Praksis 2010. Matematikk, didaktikk og pedagogikk
- en studie av bruk av konkreter i matematikkundervisningen (ss. 45-56). Trondheim:
TapirAkademisk Forlag.
Ball, D. (1992). Magical Hopes. American Educator: The Professional Journal of the
American Federation of Teachers (2), ss. 14-18, 46-47.
Christoffersen, L., & Johannesen, A. (2012). Forskningsmetode for lærerutdanningene. Oslo:
Abstrakt forlag.
Frostad, P. (1995). Konkretiseringsmateriell - veien til matematikkinnsikt. Tangenten (2), ss.
9-17.
Holm, M. (2002). Opplæring i matematikk. Oslo: J. W. Cappelens Forlag.
Kaufmann, O. T. (2010). Bruk av konkreter. Tangenten (1), ss. 23-26.
Klaveness, E. (2010). Konkretiseringsmateriell og abstraksjonsmateriell. Tangenten, ss. 2729.
Kunnskapsdepartementet. (2006). Prinsipp for opplæringa. Henta frå
http://www.udir.no/Lareplaner/Kunnskapsloftet/Prinsipp-for-opplaringa/Tilpassaopplaring-og-likeverdige-foresetnader/
Kunnskapsdepartementet. (2010). Matematikk for alle, ...men alle trenger ikke kunne alt.
Oslo: Kunnskapsdepartementet.
Moyer, P. (2001). Are we having fun yet? How teachers use manipulatives to teach
mathematics. Educational Studies in Mathematics (2), ss. 175-197.
Skovsmose, O. (1998). Undersøgelseslandskaber. Matematikk for alle (ss. 24-37). Trondheim:
Landslaget for matematikk i skolen (LAMIS).
24
Vedlegg 1 – intervjuguide
Avklaring før intervju: Hva ligger i begrepene konkreter/konkretiseringsmateriell for deg?
1. Kan du fortelle meg om litt din utdanning og arbeidserfaring?
2. Kan du fortelle meg litt om din bruk av konkreter i undervisningen?
Oppfølgingsspørsmål: Hvor ofte bruker du konkretiseringsmateriell i
matematikkundervisningen? Noen spesielle temaer du ser på konkretbruk som spesielt nyttig?
Noen spesielle typer konkreter?
3. Hva ser du på som fordeler/ulemper ved å bruke konkreter i undervisningen?
4. Hva er ditt inntrykk av elevers læringsutbytte ved bruk av konkreter?
Oppfølgingsspørsmål: Forskjell på svake/sterke elever? Kan du gi meg et konkret eksempel
på en elev som har hatt et godt læringsutbytte?
5. Hvordan introduserer du ulike konkreter for elevene?
6. Hvordan organiserer du klassen i arbeidet med konkreter? Hvorfor? (individuelt
arbeid, gruppearbeid, kun demonstrasjon fra lærer osv)
7. Har du hørt om begrepet abstraksjonsmateriell? Bruker du konkreter for å forklare et
matematisk problem/begrep, eller bruker du konkretene for at elevene skal oppdage et
matematisk problem/begrep? Hvorfor?
8. Hvilke utfordringer møter du på i forbindelse med konkretbruk?
Oppfølgingsspørsmål: Legger skolen til rette for bruk av konkreter? Er de tilgjengelige for
elevene til enhver tid?
9. Siste spørsmål: Er det noe du vil legge til rundt bruk av konkreter?
25
Vedlegg 2: Samtykkeerklæring for intervju
Beskrivelse av bacheloroppgaven
Jeg er student ved grunnskolelærerutdanningen 1-7 trinn på Høgskolen i Oslo og Akershus.
Min veileder er Bodil Kleve, Bodil.Kleve@hioa.no.
I min bacheloroppgave har jeg valgt temaet; konkreter i matematikk. Problemstillingen min er
som følger: Hvordan og hvorfor bruker lærere konkretiseringsmateriell i
matematikkundervisningen på barneskolen? Som en del av bacheloroppgaven vil jeg intervjue
lærere som kan bidra med sine tanker og refleksjoner rundt temaet.
Lydopptaket fra intervjuet vil bli transkribert og deler/hele intervjuet vil bli inkludert som en
del av bacheloroppgaven.
Frivillig deltakelse
All deltagelse er frivillig, og du kan trekke deg når som helst. Jeg vil benytte opptak under
gjennomføringen, for å kunne få tilstrekkelig utbytte av intervjuet i etterkant av
gjennomføringen.
Du kan når som helst avslutte intervjuet eller trekke tilbake informasjon som er gitt under
intervju eller observasjon.
Anonymitet
Opptaket som transkriberes til bruk i bacheloroppgaven vil bli anonymisert. Det vil si at ingen
andre vil vite hvem som er blitt intervjuet, og informasjonen vil ikke kunne tilbakeføres til
deg. Før intervjuet begynner ber jeg deg om å samtykke i deltagelsen ved å undertegne på at
du har lest og forstått informasjonen på dette arket og ønsker å delta.
Samtykke
Jeg har lest og forstått informasjonen over og gir mitt samtykke til å delta i intervjuet
__________
________________________________________
Sted og dato
Signatur
26
Vedlegg 3 – egenerklæring angående fusk og plagiering
27