1. No category

Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
INF3170 / INF4171
Intuisjonistisk logikk:
konstruktiv resonnering, naturlig deduksjon og
Kripke-modeller
Andreas Nakkerud
15. september 2015
Kripke-semantikk
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Konstruktiv resonnering
Hvordan tenker vi på uendelige mengder?
Kan vi avgjøre A |= ∃xφ(x) ved å inspisere mendgen?
10
Finnes det et primtall større enn 1010 ?
Hvordan tenker vi på disjunksjoner?
Finnes det to irrasjonelle tall a og b slik at ab er
rasjonelt?
Hvordan tenker vi på negasjon?
Hva tenker vi om motsigelsesbevis?
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Brouwer-Heyting-Kolmogorov
i. a beviser φ ∧ ψ hvis a = hb, ci, hvor b beviser φ og c
beviser ψ.
ii. a beviser φ ∨ ψ hvis a = hn, ci, hvor n er et naturlig tall,
og hvis n = 0, så beviser c φ, ellers beviser c ψ.
iii. a beviser φ → ψ hvis a er en konstruksjon som konverterer
et bevis b for φ til et bevis a(b) for ψ.
iv. ingen a beviser ⊥.
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Brouwer-Heyting-Kolmogorov
La D være et domene av objekter.
i. a beviser ∀xφ(x) hvis a er en konstruksjon slik at a(d)
beviser φ(d) for enhver d ∈ D.
ii. a beviser ∃xφ(x) hvis a = hd, ci, d ∈ D, og c beviser
φ(d).
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Eksempel
Lage et bevis for φ ∧ ψ → φ.
Anta at ha, bi er et bevis for φ ∧ ψ. Da er f (ha, bi) = a et
bevis for φ. Vi skriver gjerne f (a, b) i stedet for f (ha, bi).
Lambda: λx.λy .x
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Eksempel
Lage et bevis for (φ ∧ ψ → σ) → (φ → (ψ → σ)).
Anta at f beviser φ ∧ ψ → σ. Da er det slik at hvis a beviser φ
og b beviser ψ, så er f (a, b) et bevis for σ. Vi må gjøre om f
til et bevis for φ → (ψ → σ). Altså, vi må lage en g slik at
hvis c er et bevis for φ, så er g (c) et bevis for ψ → σ. Vi lar
g (c) = f (c, d). Da vil g (c) være en prosedyre som konverterer
et bevis d for ψ til et bevis (g (c))(d) = f (c, d) for σ.
Lambda: λx.λy .λz.x(y , z).
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Naturlig deduksjon
Vi beholder nesten alle reglene slik vi kjenner dem fra klassisk
utsagnslogikk og klassisk førsteordens logikk. Den eneste
reglen vi stryker er RAA.
a beviser φ ∧ ψ hvis a = hb, ci, hvor b beviser φ og c beviser
ψ. I naturlig deduksjon:
f
D , D0
φ ψ
D
D0
= φ
ψ
φ∧ψ
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Naturlig deduksjon
a beviser φ ∨ ψ hvis a = hn, ci, hvor n er et naturlig tall, og
hvis n = 0, så beviser c φ, ellers beviser c ψ.
D
f 0,
=
φ
D
φ
φ∧ψ
0
D
f 1,
=
ψ
D0
ψ
φ∧ψ
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Naturlig deduksjon
Alle klassiske resultater som bevises uten RAA holder
fortsatt.
Vi bruker bare Brouwer-Heyting-Kolmogorov-tolkningen
til å motivere valget av naturlig deduksjon uten RAA.
Skal senere innføre modeller, og vise sunnhet og
kompletthet.
Vi fortsetter å bruke ` for bevisbarhet. Dersom vi trenger
å skille intuisjonistisk og klassist bevisbarhet bruker vi `i
for intuisjonistisk.
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Noen bevis
` φ → ¬¬φ.
[φ]2
[¬φ]1
→E
⊥ →I
1
¬¬φ
→ I2
φ → ¬¬φ
Merk at 6`i ¬¬φ → φ. Kommer til å bruke sunnhet til å vise
dette.
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Noen bevis
` ¬¬¬φ → ¬φ.
[φ]2
[φ]3
[¬φ]1
→E
⊥ →I
1
¬¬φ
→ I2
φ → ¬¬φ
→E
¬¬φ
[¬¬¬φ]4
→E
⊥ →I
3
¬φ
→ I4
¬¬¬φ → ¬φ
Kripke-semantikk
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Kripke-semantikk
Kripke-semantikk
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Kripke-modeller
Vi ser på modeller for et språk L.
Definisjon
En Kripke-modell er et kvadruppel K = hK , Σ, C , Di, hvor
K er en ikke-tom, partielt ordnet mengde, C er en funksjon på
konstantene i L, D er en funksjon på K og Σ er en funksjon
på K , slik at
C (c) ∈ D(k) for alle k ∈ K ,
D(k) 6= ∅ for alle k ∈ K ,
Σ(k) ⊆ Atk for alle k ∈ K ,
hvor Atk er mendgen av atomære formler i L med konstanter
for elementer i D(k).
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Kripke-modeller
Definisjon (forts.)
D og Σ må oppfylle betingelsene
i. k ≤ l ⇒ D(k) ⊆ D(l).
ii. ⊥ 6∈ Σ(k) for alle k.
iii. k ≤ l ⇒ Σ(k) ⊆ Σ(l).
D(k) kalles domenet til K i k, elementene i K kalles nodene til
K. Vi sier at “φ har parametre i D(k)” hvis alle
konstantsymbolene i φ er symboler for konstanter i D(k).
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Kripke-modeller
Lemma
Σ har en unik udvidelse til en funksjon fra K (også med
symbol Σ), slik at Σ(k) ⊆ SENTk , hvor SENTk er mengden
av setninger med parapmetre i D(k), og hvor Σ tilfredsstiller
(i) φ ∨ ψ ∈ Σ(k) ⇔ φ ∈ Σ(k) eller ψ ∈ Σ(k)
(ii) φ ∧ ψ ∈ Σ(k) ⇔ φ ∈ Σ(k) og ψ ∈ Σ(k)
(iii) φ → ψ ∈ Σ(k) ⇔ for alle l ≥ k (φ ∈ Σ(k) ⇒
ψ ∈ Σ(k))
(iv) ∃xφ(x) ∈ Σ(k) ⇔ det finnes en a ∈ D(k) slik at
φ(a) ∈ Σ(k)
(v) ∀xφ(x) ∈ Σ(k) ⇔ for alle l ≥ k og for alle a ∈ D(l) er
det slik at φ(a) ∈ Σ(l).
Hvis φ ∈ Σ(k) skriver vi k φ og sier at k tvinger φ.
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Kripke-modeller
Corollary
(i) k ¬φ ⇔ for alle l ≥ k er det slik at l 6 φ.
(ii) k ¬¬φ ⇔ for alle l ≥ k finnes det en p ≥ l slik at
p φ.
Bevis: (i) k ¬φ ⇔ k φ → ⊥ ⇔ for alle l ≥ k, k φ → ⊥
⇔ for alle l ≥ k, (l φ ⇒ l ⊥) ⇔ for alle l ≥ k, l 6 φ.
(ii) k ¬¬φ ⇔ for alle l ≥ k, k 6 ¬φ ⇔ for alle l ≥ k, så er
det slik at ikke for alle p ≥ l, p 6 φ ⇔ for alle l ≥ k finnes
det en p ≥ l slik at p φ.
Merk: Vi argumenterer her klassisk med motsigelsesbevis.
Konstruktiv resonnering
Naturlig deduksjon
Kripke-semantikk
Eksempel
k1
φ
k0
Altså: k0 6 φ og k1 φ. Vi har, derimot, at k0 ¬¬φ, så
k0 6 ¬¬φ → φ.
Siden k1 φ har vi at k0 6 ¬φ, så k0 6 φ ∨ ¬φ.