Øvinger uke 44 løsninger Oppgave 1 Vis at disse grenseverdiene ikke eksisterer ved å velge ulike veier mot origo: a) En strategi er å skifte til polarkoordinater: limHx,yL®H0,0L x-2 y x+2 y = limr®0 rHcos Θ - 2 sin ΘL rHcos Θ+ 2 sin ΘL cos Θ - 2 sin Θ cos Θ+ 2 sin Θ = limr®0 = cos Θ - 2 sin Θ cos Θ+ 2 sin Θ Da grenserverdien avhenger av retningen Θ, vil en unik verdi ikke eksistere. En annen strategi er å vise at stråler gjennom origo y = k x er nivålinjer med verdi som avhenger av k. x-2 k x x+2 k x = 1- 2 k 1+ 2 k b) Samme to strategier som i pkt a) kan benyttes. y = k x er nivåkurve for flaten: y 3 +x3 xy 2 = 1+ k 3 k3 . Grenseverdien er avheenig av k og ikke unik. Dvs. grensen eksisterer ikke. Oppgave 2 Funksjonene i a), b) og c) er kontinuerlige i hele R2 unntatt muligens i origo. Det er derfor nok å sjekke situasjonen nær origo. a) limHx,yL®H0,0L 3xy eksisterer ikke ( vises som i oppgave 1), derfoir er funksjonen diskontinuerlig i x2 + y 2 origo. Du kan ikke tette “hullet i grafen” med en funksjonsverdi. b) limHx,yL®H0,0L sin Ix2 + y 2 M = limu®0 x2 + y 2 sin u u = limu®0 cos u 1 =1 Grenseverdien eksisterer, men funksjonsverdien i origo er forskjellig fra denne verdien. Funksjonen er ikke kontinuerlig slik den står, men kan “repareres” ved å definere f H0, 0L = 1. c) f limHx,yL®H0,0L 1-cos Ix2 + y 2 M x2 + y 2 = limu®0 1-cos u u = limu®0 Da f H0, 0L = 1, er funksjonen kontinuerlig i origo. sin u 1 =0 d) Funksjonen er kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde, som er 8x , y< Oppgave 3 a) ¶f ¶x = 6 x2 - 3 y, b) Kjerneregelen gir ¶f ¶y = 8 y 7 - 3 x, ¶f ¶x = y 1 x y = 1 , x ¶f ¶y = y x J- 2N = x y 1 y Resultatene fremkommer også ved forenklingen ln J N = ln x - ln y x y y £ x<. 2 Regneøvinger fasit uke 44.nb ¶f ¶f a) = 6 x2 - 3 y, ¶x ¶y b) Kjerneregelen gir = 8 y 7 - 3 x, ¶f ¶x y 1 x y = ¶f ¶y 1 , x = = y x J- 2N = x y 1 y Resultatene fremkommer også ved forenklingen ln J N = ln x - ln y x y ¶f ¶x c) 1 = xy 2 ¶f ¶y . x-y 1 = 2 Hx-yL y - x y . xy x-y Hx-yL 1 =- 2 xy 2 Hx-yL x + x y Hx-yL2 . x-y 1 = 2 . xy x-y y2 Hx-yL2 x2 Hx-yL2 1 =- x 2 J 1 = 2 y J y x-y N 32 x 32 N x-y Oppgave 4 ¶f ¶x ¶f ¶y = 10 x4 y 2 + 2 x y, ¶2 f ¶x ¶ x = 40 x3 y 2 + 2 y, Vi sjekker at ¶2 f ¶x ¶ y = = 4 x5 y + x2 ¶2 f ¶y ¶ y ¶2 f ¶y ¶ x ¶2 f ¶x ¶ y = 4 x5 , = 20 x4 y + 2 x, ¶2 f ¶y ¶ x = 20 x4 y + 2 x . Oppgave 5 3xy Hx, yL ¹ H0, 0L Gitt funksjonen f Hx, yL = 0 ¶f ¶x f H0+h,0L- f H0,0L h h®0 = lim 0 = 0 . f H0,0+hL- f H0,0L h h®0 = lim 0 = 0 ¶f ¶y H0.0L = lim H0.0L = lim x2 + y 2 Hx, yL = H0, 0L h®0 Vi har sett i oppgave 2 a) at f Hx, yL ikke er kontinuerlig i (0,0). Da er ikke funksjonen deriverbar i (0,0), til tross for at de partielt deriverte eksisterer. h®0 Oppgave 6 a) Ñf Hx, yL = J ¶f ¶f , N ¶x ¶x = I2 y 2 cosI 2 x y 2 M , 4 x y cosI 2 x y 2 MM b) Ñf Hx, yL = H2 x - 2 y , -2 x - 2 yL Oppgave 7 Vi gjenkjenner funksjonene fra oppgave 6 og kan derfor bruke resultatene derfra: a) Du f H1, 1L = Ñf H1, 1L. u u = H2 cos 2, 4 cos 2L.J b) Du f H1, 1L = Ñf H1, 1L. u u 1 , 5 = H0, -4L.I , 3 5 2 5 4 M 5 N= =- 2 5 16 , 5 cos 2 + 8 5 cos 2 = 10 5 cos 2 = 2 5 cos 2 Vi gjenkjenner funksjonene fra oppgave 6 og kan derfor bruke resultatene derfra: Regneøvinger fasit uke 44.nb a) Du f H1, 1L = Ñf H1, 1L. u u = H2 cos 2, 4 cos 2L.J b) Du f H1, 1L = Ñf H1, 1L. u u 1 2 , 5 = H0, -4L.I , 3 5 5 4 M 5 N= =- 2 5 cos 2 + 8 cos 2 = 5 16 , 5 Oppgave 8 a) Det er brattest i den retning gradienten peker: Ñf Hx, yL = I3 x2 y - 2, x3 + 2 yM Ñf H1, 1L = H1, 3L tan Φ = | Ñf(x,y) | = 1 + 9 = Dette gir oss Φ = 72.5° b) z = 3 + c) n = J® ¶f ¶x ¶f , ¶x Hx - 1L + - ¶f , ¶y ¶f ¶y 10 Hy - 1L = 3 + Hx - 1L + 3 Hy - 1L = x + 3 y - 1 1N = H-1, -3, 1L 10 5 cos 2 = 2 5 cos 2 3
© Copyright 2025