מפונקציה ריבועית למשוואה ריבועית : 02 יחידה
יחידה :02מפונקציה ריבועית למשוואה ריבועית מטרות היחידה להעמיק את הבנת הקשר בין פונקציה ריבועית למשוואה ריבועית. לפתור בדרך אלגברית משוואות ריבועיות מהצורה .a ≠ 0 , ax2 + c = 0 2 להבין וליישם את הקשר בין פתרון משוואה ריבועית מהצורה ,a ≠ 0 ax + c = 0לשיעורי נקודות מתאימות על הגרף. לפתור בדרך אלגברית משוואות ריבועיות מהצורה .a ≠ 0 , ax2 + bx = 0 להבין וליישם את הקשר בין פתרון משוואה ריבועית מהצורה ,a ≠ 0 ax2 + bx = 0לשיעורי נקודות מתאימות על הגרף. 2 לפתח ולהעמיק את ההבנה של ההבדלים בין משוואות מהצורה a ≠ 0 , ax + bx = 0למשוואות מהצורה .a ≠ 0 , ax2 + c = 0 לפתח ולהעמיק את ההבנה של ההבדלים בין פרבולות מהמשפחה a ≠ 0 , y = ax2 + bxלפרבולות 2 מהמשפחה .a ≠ 0 , y = ax + c 2 לפתור בעיות מילוליות שהגרף המתאים הוא מהצורה .a ≠ 0 , y = ax + bx לזהות את הפרמטרים של פונקציה ריבועית. למצוא ייצוג אלגברי של פונקציה ריבועית לפי הפרמטרים ,ולהתאים לגרף. לגלות את תכונות הפרבולה הנובעות מערכי הפרמטרים (מינימום/מקסימום ,חיתוך עם ציר .)y לחזק את השליטה במיומנויות אלגבריות -לתרגל פתרון משוואות ריבועיות (כולל פישוט ביטויים בעזרת חוקי הפילוג ו/או נוסחאות הכפל). מהלך השיעורים בשיעור 1מקשרים בין פתרון גרפי לפתרון אלגברי של משוואות מהצורה .a ≠ 0 , ax2 + c = 0פותרים משוואות ריבועיות תוך מתרגלים מיומנויות אלגבריות – פישוט בעזרת חוק הפילוג המורחב ובעזרת נוסחאות הכפל. בשיעור 2מקשרים בין פתרון גרפי לפתרון אלגברי של משוואות מהצורה .a ≠ 0 ,y = ax2 + bxפותרים משוואות ריבועיות תוך כדי כך מתרגלים מיומנויות אלגבריות – פישוט בעזרת חוק הפילוג המורחב ובעזרת נוסחאות הכפל. 2 בשיעור 3פותרים בעיות מילוליות שבהן המשוואה הריבועית היא מהצורה .a ≠ 0 ,ax + bx = 0 ופותרים משוואות ריבועיות הכוללות פישוט. בשיעור 4מזהים את הפרמטרים של פונקציה ריבועית ,רושמים פונקציה ריבועית על-פי הפרמטרים, ומזהים תכונות לפי הפרמטרים. מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 מכון ויצמן למדע 2015 59 שיעור .1משוואות מהצורה a 0 , ax2 + c = 0 מטרות השיעור לחזור ולהעמיק את הבנת הקשר בין פונקציה ריבועית למשוואה ריבועית. לפתור בדרך אלגברית משוואות ריבועיות מהצורה .a ≠ 0 , ax2 + c = 0 2 להבין וליישם את הקשר בין פתרון משוואה ריבועית מהצורה ,a ≠ 0 ax + c = 0לשיעורי נקודות מתאימות על הגרף. פתיחה משימת הפתיחה :מבקשים הצעות לפתרון המשוואה 2x2 – 8 = 0 מציגים את דרך הפתרון של רוני (פתרון אלגברי) ואת דרך הפתרון של הדר (פתרון גרפי). בשתי הדרכים מתקבל כי פתרון המשוואה הוא x = 2או .x = –2 סיכום ביניים :אפשר להציג דוגמאות נוספות כדי להדגיש את הקשר בין שתי דרכי הפתרון (דרך אלגברית ודרך גרפית). מהלך משימות :4 – 1פותרים משוואות ריבועיות. משימה :1פותרים משוואות ריבועיות מהצורה .a ≠ 0 ,ax2 + c = 0 א x = 6 .או x = –6 ב x = 3 .או x = –3 ה x = 5 .או x = –5 ו x = 3 .או .x = –3 ג x = 1 .או x = –1 ד x = 4 .או x = –4 משימה :0מוצאים את נקודות האפס באמצעות פתרון משוואה ריבועית מתאימה. א (8 , 0) .ו(–8 , 0) - ב (1 , 0) .ו(–1 , 0) - ג (3 , 0) .ו(–3 , 0) - משימה :3מפשטים ופותרים משוואות ריבועיות .מומלץ לפתור מספר משוואות לדוגמה ורק אחר-כך לבקש מהתלמידים לפתור את המשוואות. א x = 5 .או x = –5 ב x = 6 .או x = –6 משימה :4א x = 5 .או x = –5 ה x = 1 .או x = –1 60 מכון ויצמן למדע 2015 בx = 0 . ג x = 1 .או x = –1 ד x = 5 .או x = –5 ג x = 2 .או x = –2 ד .אין פתרון ו .אין פתרון מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 משימה :5חשיבה ביקורתית על שתי תשובות של ניר ושל עמית .ניתוח מצב מיוחד של הפונקציה y = x2 + 16 שאין לה נקודות חיתוך עם ציר .xנדרש דיון המסכם את הידע של התלמידים על ייצוג גרפי ,פתרון משוואה ריבועית וניתוח המצב בעזרת הייצוג האלגברי של הפונקציה. הערה :ברוב המשימות עוסקים בפונקציות שחותכות את ציר .xהעיסוק בפונקציות כמו במשימה זו חשוב מאוד כדי להראות מצב אחר ולהבין את הסיבות לכך ואת המשמעות. עמית צודק .אפשר להסביר במספר אופנים: - בעזרת שרטוט גרף הפונקציה. - בעזרת פתרון המשוואה הריבועית ,x + 16 = 0מקבלים שלמשוואה אין פתרון. - בעזרת הייצוג האלגברי של הפונקציה – קדקוד הפונקציה הוא ) (0 , 16מינימום ,כך שהערך המינימלי הוא .16 2 אפשר לבקש מהתלמידים להסביר מדוע ניר לא צודק .ההסבר יכול להיות: - בעזרת הצבה בפונקציה – אם מציבים בפונקציה x = 4או x = –4מקבלים y = 32ולא .0 - בעזרת שיקולים אלגבריים תוך התבוננות בייצוג האלגברי של הפונקציה – מהביטוי x2 + 16מתקבלת תמיד תוצאה חיובית עבור הצבת כל מספר במקום .x - 2 בעזרת הייצוג הגרפי – משרטטים סקיצה של גרף הפונקציה y = x + 16 מתקבלת פונקציה שאין לה נקודות אפס (כל ערכיה חיוביים). סיכום - מסכמים את הקשר בין פתרון משוואה ריבועית לבין מציאת שיעורי נקודות האפס של הפונקציה הריבועית המתאימה. - מדגישים כי פתרון המשוואה הוא מספר (או מספרים) המציינים את ערכו של המשתנה .שיעורי נקודות האפס הם זוגות סדורים מהצורה ).(x , 0 - אם יש זמן אפשר להציג בפני התלמידים משוואה מהצורה ( a ≠ 0 ,ax2 + c = 0לדוגמה,)x2 – 16 = 0 : 2 ולאחר מציאת נקודות האפס ,לבקש מהם לשרטט סקיצה של גרף הפונקציה המתאימה ).(y = x – 16 אוסף משימות המשימות ד ומות למשימות שעבדו עליהן בשיעור והן חוזרות על עצמן בדרגות קושי שונות ולכן מומלץ לתת בחירה בין המשימות .ראו הצעה בטבלה. משימה לכולם 3,2,1 משימה קלה משימה קשה 4 5 אתגר 6 מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 אפשרות בחירה כולם פותרים פותרים משימה אחת רשות מכון ויצמן למדע 2015 61 משימה :1מציאת שיעורי נקודות האפס של פונקציות ריבועיות .מוצאים את שיעורי הנקודות על-ידי פתרון משוואה ריבועית מתאימה. אB(–2 , 0) , A(2 , 0) . גB(–2 , 0) , A(2 , 0) . בB(–1 , 0) , A(1 , 0) . משימה :0חידת מספרים .רצוי לרשום פונקציה ריבועית מתאימה ובעזרתה לענות על השאלות. מסמנים ב x -את המספר שבחרתי ,וב y -את התוצאה שקיבלתי. הפונקציה המתאימה , y = (x + 4)(x – 4) :לאחר פישוט מקבלים.y = x2 – 16 : א .אם קיבלתי ,0המשוואה , x2 – 16 = 0 :פתרון המשוואה x = 4 :או x = –4 ב .אם קיבלתי ,20המשוואה , x2 – 16 = 20 :פתרון המשוואה x = 6 :או x = –6 ג. אם קיבלתי ,65המשוואה , x2 – 16 = 65 :פתרון המשוואה x = 9 :או x = –9 משימה :3עוסקת בפתרון משוואות ריבועיות. א x = 1 .או x = –1 ב x = 5 .או x = –5 ה x = 9 .או x = –9 ו x = 4 .או x = –4 ג x = 4 .או x = –4 ד x = 3 .או x = –3 משימות :5 – 4מדורגות – פתרון משוואות עם פישוט. שגיאות אופייניות בפישוט יכולות להיות: - כפל שגוי בעזרת חוק הפילוג כמו כפל חלקי ,טעויות בסימנים – רצוי לחזור ולהדריך את התלמידים לחישוב נכון. - כפל שגוי באמצעות שימוש בנוסחאות הכפל המקוצר – מומלץ לרשום את הביטוי כמכפלה ולכפול בעזרת חוק הפילוג המורחב. - כינוס שגוי של איברים דומים – אפשר לתת דוגמאות ולהסביר את הטעויות. משימה :4א x = 5 .או x = –5 ה x = 5 .או x = –5 וx = –4 . משימה :5א x = 4 .או x = –4 ה x = 3 .או x = –3 ב x = 4 .או x = –4 ג x = 3 .או x = –3 דx = 0 . ב x = 4 .או x = –4 גx = 0.5 . דx = 1 . ו x = 1 .או x = –1 משימה :6משימת אתגר. ייתכן ,כי פונקציה אחת היא שיקוף בציר xשל הפונקציה האחרת. הסבר נוסף יכול להיות בעזרת חישוב נקודות האפס של כל פונקציה. נזכיר כי ביחידות קודמות ראינו כי הכפלת פונקציה בגורם קבוע גורמת לכיווץ או להרחבה של פרבולות מבלי לשנות את נקודות האפס .נדגיש כי לא רק פרבולת השיקוף ,אלא כל פרבולה שהיא כפולה של אחת מהפונקציות הנתונות תהיה בעלת אותן נקודות אפס. 62 מכון ויצמן למדע 2015 מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 שיעור .0משוואות מהצורה a 0 , ax2 + bx = 0 מטרות השיעור לפתור בדרך אלגברית משוואות ריבועיות מהצורה .a ≠ 0 , ax2 + bx = 0 2 להבין וליישם את הקשר בין פתרון משוואה ריבועית מהצורה ,a ≠ 0 ax + bx = 0לשיעורי נקודות מתאימות על הגרף. לפתח ולהעמיק את ההבנה של ההבדלים בין משוואות מהצורה a ≠ 0 , ax2 + bx = 0למשוואות מהצורה 2 .a ≠ 0 , ax + c = 0 2 לפתח ולהעמיק את ההבנה של ההבדלים בין פרבולות מהמשפחה a ≠ 0 , y = ax + bxלפרבולות מהמשפחה .a ≠ 0 , y = ax2 + c פתיחה משימת הפתיחה :מבקשים הצעות לפתרון המשוואה . 2x2 – 8x = 0 דרך הפתרון של אסף (פתרון אלגברי) ודרך הפתרון של יואב (פתרון גרפי). בשתי הדרכים מתקבל כי פתרון המשוואה הוא x = 0או .x = 4 סיכום ביניים :אפשר להציג דוגמאות נוספות כדי להדגיש את הקשר בין שתי דרכי הפתרון. מהלך משימות :4 – 1פותרים משוואות ריבועיות. משימה :1פותרים משוואות ריבועיות מהצורה .a ≠ 0 ,ax2 + bx = 0 א x = 0 .או x = 3 ב x = 0 .או x = –3 ה x = 0 .או x = 5 ו x = 0 .או .x = –5 ד x = 0 .או x = –4 ג x = 0 .או x = 4 משימה :0מוצאים את נקודות האפס באמצעות פתרון משוואה ריבועית מתאימה. א (0 , 0) .ו(8 , 0) - ב (0 , 0) .ו(2 , 0) - ה (0 , 0) .ו(4 , 0) - ו (0 , 0) .ו(10 , 0) - ג (0 , 0) .ו(–3 , 0) - משימה :3פותרים משוואה ומקשרים את הפתרון לסקיצה של הגרף. ד (0 , 0) .ו(7.5 , 0) - B A א .פתרון המשוואה x = 0 :או x = 2.5 ב .פתרון המשוואה הם שיעורי xשל נקודות האפס של הפונקציה .לכן מתקבל A(0 , 0) :ו.B(2.5 , 0) - משימה :4מפשטים ופותרים משוואות ריבועיות .מומלץ לפתור מספר משוואות לדוגמה ורק אחר-כך לבקש 2 מהתלמידים לפתור את המשוואות .נציין כי בחלק מהמשוואות מתקבלות לאחר פישוט משוואות מהצורה .x + c = 0 א x = 0 .או x = –2 ה x = 0 .או x = –3.5 ב x = 0 .או x = 16 ג x = 6 .או x = –6 ד x = 0 .או x = –2 ו x = 1 .או x = –1 מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 מכון ויצמן למדע 2015 63 סיכום - מסכמים את הקשר בין פתרון משוואה ריבועית למציאת שיעורי נקודות האפס של הפונקציה הריבועית המתאימה. - מדגישים כי פתרון המשוואה הוא מספר (או מספרים) המציינים את ערכו של המשתנה .שיעורי נקודות האפס הם זוגות סדורים מהצורה ).(x , 0 - מדגישים כי אחד מפתרונות המשוואה a ≠ 0 , ax2 + bx = 0הוא .x = 0כלומר ,אחת מנקודות האפס של 2 הפונקציה מהצורה a ≠ 0 , y = ax + bxהיא ) (0 , 0ומשמעותו :גרף הפונקציה עובר דרך ראשית הצירים. - מציגים שתי משוואות שנראות דומות (למשלx2 – 9x = 0 , )x2 – 9 = 0ודנים בהבדלים ביניהן (בפתרון, בייצוג הגרפי המתאים וכד'). - אם יש זמן אפשר להציג בפני התלמידים משוואה מהצורה ( a ≠ 0 ,ax2 + bx = 0לדוגמה,)2x2 – 16x = 0 : 2 ולאחר מציאת נקודות האפס ,לבקש מהם לשרטט את גרף הפונקציה המתאימה ).(y = 2x – 16x אוסף משימות המשימות דומות למשימות שעבדו עליהן בשיעור והן חוזרות על עצמן בדרגות קושי שונות ולכן מומלץ לתת בחירה בין המשימות .ראו הצעה בטבלה. משימה לכולם משימה קשה 2 משימה קלה 1 אפשרות בחירה פותרים משימה אחת כולם פותרים פותרים משימה אחת פותרים משימה אחת רשות אתגר 7,6,3 5 9 4 8 10 משימות :0 – 1מדורגות – מציאת שיעורי נקודות האפס של פונקציות ריבועיות .מוצאים את שיעורי הנקודות על-ידי פתרון משוואה ריבועית מתאימה. משימה :1א (0 , 0) .ו(3 , 0) - ה (0 , 0) .ו(4 , 0) - ו (2 , 0) .ו(–2 , 0) - משימה :0א (0 , 0) .ו(4 , 0) - ה (0 , 0) .ו(25 , 0) - ב (0 , 0) .ו(–3 , 0) - ג (0 , 0) .ו(4 , 0) - ד (2 , 0) .ו(–2 , 0) - ב (2 , 0) .ו(–2 , 0) - ג (0 , 0) .ו(4 , 0) - ד (2 , 0) .ו(–2 , 0) - ו (5 , 0) .ו(–5 , 0) - משימה :3התאמה של פונקציה לגרף .ההתאמה יכולה להיעשות באמצעות מציאת שיעורי נקודות האפס של כל פונקציה ,ובסוג הקדקוד (לפי ערך הפרמטר :aאם a > 0לפרבולה קדקוד מינימום ,ואם a < 0לפרבולה קדקוד מקסימום). 2 א .לפונקציה y = 2x + 4מתאים גרף III 2 ב .לפונקציה y = 2x – 4מתאים גרף IV לפונקציה y = 2x2 – 4xמתאים גרף I ד .לפונקציה y = –2x – 4מתאים גרף V ה .לפונקציה y = –2x2 + 4xמתאים גרף VI ו .לפונקציה y = 2x2 + 4xמתאים גרף II ג. 64 מכון ויצמן למדע 2015 2 מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 משימות :5 – 4מדורגות – פתרון משוואות ריבועיות מהצורה a 0 , ax2 + bx = 0ומשוואות ריבועיות מהצורה .a 0 , ax2 + c = 0 משימה :4א x = 0 .או x = 5 ה x = 0 .או x = 4 ב x = 0 .או x = –5 ד x = 4 .או x = –4 ג x = 0 .או x = 16 ו x = 2 .או x = –2 משימה :5א x = 0 .או x = 9 ד x = 3 .או x = –3 ג x = 0 .או x = 9 ב x = 3 .או x = –3 ו x = 0.5 .או x = –0.5 ה x = 0 .או x = 0.25 משימה :6התאמה של פתרון למשוואה .אפשר לפתור את המשימה בשתי דרכים: - לפתור כל משוואה. - להציב את המספרים .אם מתקבל שוויון ,המספר הוא פתרון המשוואה. א x = 0 .או x = –2 ב x = 0 .או x = 3 ה x = 0 .או x = 2 ו x = 2 .או x = –2 ד x = 0 .או x = –3 ג x = 3 .או x = –3 משימה :7התאמה של פונקציה לשיעורי נקודות האפס שלה. א (3 , 0) .ו(–3 , 0) - ג. ב (0 , 0) .ו(–3 , 0) - אין נקודות אפס (גרף הפונקציה לא חותך את ציר ,xכל ערכי הפונקציה שליליים) ה (2 , 0) .ו(–2 , 0) - ו (5 , 0) .ו(–5 , 0) - ז(0 , 0) . ד (1 , 0) .ו(–1 , 0) - ח (0 , 0) .ו(5 , 0) - משימות :9 – 8מדורגות – פתרון משוואות ריבועיות עם פישוט. מומלץ לבדוק את הפישוט של המשוואות ולהסביר את השגיאות תוך כדי פתרון דוגמאות. משימה :8א x = 0 .או x = 2 ה x = 0 .או x = –6 וx = 0 . משימה :9א x = 0 .או x = –1 ה x = 3 .או x = –3 ב x = 0 .או x = –2 ג x = 2 .או x = –2 ד x = 0 .או x = 2 ב x = 0 .או x = 4 גx = 0 . ד x = 0 .או x = –5 ו x = 0 .או x = –18 משימה :12משימת אתגר .פותרים משוואה ומתאימים גרף לפונקציה. אx = 4 . ב .גרף I כדאי לבקש להסביר מדוע הגרפים האחרים אינם מתאימים. הסברים לדוגמה: גרף IIלא מתאים כי לפרבולה יש שתי נקודות אפס ואילו למשוואה המתאימה יש פתרון יחיד. גרף IIIלא מתאים כי קדקוד הפונקציה y = 2(x – 4)2הוא מינימום ואילו לפרבולה המשורטטת קדקוד מקסימום. גרף IVלא מתאים כי לפרבולה יש שתי נקודות אפס ואילו למשוואה המתאימה יש פתרון יחיד ,בנוסף אפשר להיעזר בסוג הקדקוד. מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 מכון ויצמן למדע 2015 65 שיעור .3פותרים בעיות מילוליות מטרות השיעור לפתור בעיות מילוליות שהגרף המתאים הוא מהצורה .a ≠ 0 , y = ax2 + bx לתרגל פתרון משוואות ריבועיות שדורשות פישוט. פתיחה משימת הפתיחה :בעיה מילולית. משערים :האם הכדור יגיע לגובה של 120מטרים מהקרקע? במשימה 1יבדקו את ההשערה. משימה :1פותרים ודנים. חשוב לציין כי הג רף אינו מתאר את מסלול הכדור אחרי הבעיטה אלא את הגובה מעל נקודת הבעיטה (כי הבעיטה היא אנכית כלפי מעלה). )(4.5 , 101.25 א .נקודות האפס הן (0 , 0) :ו.(9 , 0) - ב. רושמים בשרטוט את המספרים המתאימים לנקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר xומסיקים כי התחום של הפונקציה המתאימה לסיפור הוא 0 ≤ x ≤ 9 (המספרים בין 0ל 9 -כולל הקצוות). ג. משמעות הנקודה ) :(0 , 0בזמן 0הכדור היה על הקרקע, משמעות הנקודה ) :(9 , 0כעבור 9שניות מרגע הבעיטה הכדור הגיע חזרה 9 לקרקע (גובה 0מהקרקע). ד. 2 ( x = 4.5ציר הסימטריה עובר דרך נקודת האמצע בין שתי נקודות האפס). ה ,(4.5 , 101.25) .כעבור 4.5שניות הגיע הכדור לגובה מקסימלי של 101.25מטרים. ו. לא ייתכן .הגובה המקסימלי אליו הגיע הכדור הוא 101.25מטרים. ז. כעבור 3שניות יגיע הכדור לגובה של 90מטרים .הכדור יגיע שוב לגובה זה כעבור 6שניות מרגע הבעיטה שהוא ( x = 0נקודה סימטרית ביחס לזמן של שיא הגובה). מהלך משימה :0שגיאה אופיינית – בלבול בין המושגים היקף ושטח של מלבן .מומלץ לחזור ולהסביר כל מושג. א( x > 0 .מספרים חיוביים) ב .אורך הצלע הארוכה 3x :ס"מ ג .שטח המלבן 3x2 :סמ"ר בסעיפים ד ,ה רושמים משוואות מתאימות ,פותרים ,בודקים אם הפתרון מתאים לתנאי הבעיה ועונים על השאלה. ד .המשוואה ; 3x2 = 75 :פתרון המשוואה x = 5 :או ; x = –5רק הפתרון x = 5מתאים לתנאי הבעיה ,לכן אורכי צלעות המלבן 5 :ס"מ ו 15 -ס"מ ,היקף המלבן 40 :ס"מ. ה .המשוואה ; 3x2 = 192 :פתרון המשוואה x = 8 :או ; x = –8רק הפתרון x = 8מתאים לתנאי הבעיה ,לכן אורכי צלעות המלבן 8 :ס"מ ו 24 -ס"מ. 66 מכון ויצמן למדע 2015 מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 משימה :3פתרון משוואות שדורשות פישוט. שגיאות אופייניות בפישוט יכולות להיות: - כפל שגוי בעזרת חוקי הפילוג כמו כפל חלקי ,טעויות בסימנים – רצוי לחזור ולהדריך את התלמידים לחישוב נכון. - כינוס שגוי של איברים דומים – אפשר לתת דוגמאות ולהסביר את הטעויות. א x = 8 .או x = –8 ב x = 0 .או x = –11 ה x = 0 .או x = 4 ו x = 2 .או x = –2 ד x = 0 .או x = 4.5 ג x = 0 .או x = –7 סיכום - בודקים את הפתרון של משימה 2כולל דיון בתחום המתאים לתנאי הבעיה. - פותרים משוואות ממשימה 3לבדיקת נכונות הפישוט ולבדיקת הפתרונות. . אוסף משימות המשימות דומות למשימות שעבדו עליהן בשיעור והן חוזרות על עצמן בדרגות קושי שונות ולכן מומלץ לתת בחירה בין המשימות .ראו הצעה בטבלה. משימה לכולם משימה קלה 1 3 5 משימה קשה 2 4 6 אתגר 8,7 אפשרות בחירה פותרים משימה אחת פותרים משימה אחת פותרים משימה אחת רשות 9 משימות :0 – 1מדורגות – חקירת סיטואציה סיפורית דומה לסיטואציה שבמשימת הפתיחה בשיעור. )(1 , 5 משימה :1בשרטוט סקיצה של גרף הפונקציה .y = 10x – 5x2 א( 0 ≤ x ≤ 2 .המספרים בין 0ל 2 -כולל הקצוות). ב (0 , 0) .ו (2 , 0) -המשמעות :בהתחלה (בזמן )0 היה הספורטאי על הקרקע ,ובסוף (כעבור 2שניות) הגיע הספורטאי שוב לקרקע ,הקפיצה נמשכה 2שניות. ג. שנייה אחת. ד. 5מטרים. 0 2 ה .הספורטאי הגיע לגובה 2מטרים פעמיים: פעם ראשונה בדרכו למעלה עד הגיעו לגובה המקסימלי, ופעם שנייה בדרכו למטה (בחזרה). אפשר להסביר זאת גם בדרך גרפית :הישר y = 2 חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות. y=2 (שימו לב 200 ,ס"מ = 2מטר). מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 מכון ויצמן למדע 2015 67 משימה :0בשרטוט סקיצה של גרף הפונקציה .y = 400x – 5x2 )(40 , 8000 א( 0 ≤ x ≤ 80 .המספרים בין 0ל 80 -כולל הקצוות). ב .כעבור שנייה אחת היה הקליע בגובה 395מטרים. ג. כעבור 2שניות היה הקליע בגובה 780מטרים. ד. כעבור 80שניות יגיע הקליע שוב לקרקע (נקודת האפס השנייה). ה .הקליע יגיע לגובה מקסימלי כעבור 40שניות. ו. 82 הגובה המקסימלי אליו יגיע הקליע 8,000מטרים ( 8ק"מ). 2 משימות :4 – 3מדורגות – חקירת בעיות מילוליות הקשורות לשטחים ולהיקפים של מלבנים. משימה :3א( x > 0 .מספרים חיוביים) ד. ב .אורך הצלע הסמוכה 2x :ס"מ ג .שטח המלבן 2x2 :סמ"ר אם x = 15אז :היקף המלבן 90ס"מ ,שטח המלבן 450סמ"ר. ה .שטח המלבן 72סמ"ר – רושמים משוואה מתאימה ופותרים. המשוואה ,2x2 = 72 :פתרונות המשוואה x = 6או .x = –6רק x = 6מתאים לתחום הבעיה. אורכי הצלעות של המלבן 6 :ס"מ ו 12 -ס"מ ,היקף המלבן 36 :ס"מ. משימה :4א( x > 0 .מספרים חיוביים) ב .אורך הצלע הסמוכה 2.5x :ס"מ ג .שטח המלבן 2.5x2 :סמ"ר בסעיפים ד ו-ה רושמים משוואה מתאימה ופותרים. ד. שטח המלבן 90סמ"ר ,המשוואה ,2.5x2 = 90 :פתרונות המשוואה x = 6או .x = –6רק x = 6מתאים לתחום הבעיה .לכן ,אורכי הצלעות 6 :ס"מ ו 15 -ס"מ ,היקף המלבן 42 :ס"מ. ה .היקף המלבן 84ס"מ ,המשוואה ,2(x + 2.5x) = 84 :פתרון המשוואה ,x = 12מתאים לתחום הבעיה. אורכי הצלעות 12 :ס"מ ו 30 -ס"מ. משימות :6 – 5מדורגות – פתרון משוואות שדורשות פישוט. משימה :5א x = 0 .או x = 9 ה x = 3 .או x = –3 משימה :6א x = 0 .או x = –8 ה x = 0 .או x = –10.5 ב x = 3 .או x = –3 ג x = 0 .או x = –5 ד x = 4 .או x = –4 ו x = 4 .או x = –4 ב x = 7 .או x = –7 ג x = 5 .או x = –5 ד x = 0 .או x = 11 ו x = 0 .או x = 2 משימות :8 – 7משימות אתגר – חקירת סיטואציות מילוליות. משימה :7משימת אתגר .את הסעיפים א – ג כל התלמידים יכולים לפתור .האתגר הוא בסעיף ד שבו נדרש להבין את המשמעות של המשפט "האם תספיק גדר באורך 80מטר להקיף את המגרש" .כלומר ,יש לבדוק האם היקף המלבן קטן מ 80 -מטר. א( x > 0 .מספרים חיוביים) ב .אורך הצלע הסמוכה 2x :מ' ג .שטח המגרש 2x2 :מ"ר ד .שטח המגרש 392מ"ר – המשוואה ,2x2 = 392 :פתרון המשוואה המתאים לתנאי הבעיה ,x = 14 :אורכי צלעות המגרש 14 :מ' ו 28 -מ' ,לכן היקף המגרש 84 :מ' .המסקנה :גדר באורך 80מטר לא תספיק. 68 מכון ויצמן למדע 2015 מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 משימה :8משימת אתגר. א( 0 ≤ x ≤ 5 .המספרים בין 0ל 5 -כולל הקצוות). ב 80 .מטרים ג 5 .שניות ד 125 .מטרים ה .הגרף המתאים: ו. זמן הנפילה יהיה ארוך יותר והאבן תעבור מרחק גדול יותר .מגובה של 125מטרים עד לגובה של )(–30 מטרים לתוך הבור .הגרף המתאים: )(2 , 20 משימה :9עוסקת בניתוח ופירוש של גרף המתאים ל"סיפור". א A .ו B -הן נקודות האפס של הפונקציה. פותרים את המשוואה 20x – 5x2 = 0ומקבלים x = 0או .x = 4 לכן.B(4 , 0) , A(0 , 0) , ב .ציר הסימטריה.x = 2 : ג , C(2 , 20) .המשמעות :כעבור 2שניות הקליע יגיע לגובה מקסימלי של 20מ'. 4 מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 מכון ויצמן למדע 2015 2 69 שיעור .4מזהים פונקציה ריבועית מטרות השיעור לזהות את הפרמטרים של פונקציה ריבועית. למצוא ייצוג אלגברי של פונקציה ריבועית לפי הפרמטרים ,ולהתאים לגרף. לגלות את תכונות הפרבולה הנובעות מערכי הפרמטרים (מינימום/מקסימום ,חיתוך עם ציר .)y לתרגל כדי לחזק את השליטה במיומנויות אלגבריות – לתרגל פישוט ביטויים בעזרת חוקי הפילוג ו/או נוסחאות הכפל. פתיחה משימת הפתיחה :משוחחים על הפונקציות הרשומות ללא פישוט של הייצוגים האלגבריים .אפשר לשוחח על כל אחת בנפרד ,ולשאול אם היא פונקציה ריבועית .אפשר לשוחח על כולן בבת אחת ,ולבקש לסמן את אלה שהן פונקציות ריבועיות .כך אפשר לשוחח על הייחודיות של פונקציה ריבועית ועל סוגים שונים של פונקציות ריבועיות. משימה :1מפשטים את הייצוגים האלגבריים של הפונקציות שבהן נדרש פישוט וקובעים אם מתקבלת פונקציה ריבועית. 2 2 2 הפונקציות שבהן לא נדרש פישוט והן ריבועיות.y = x + 3x – 5 , y = 4x + 8x , y = x : בפונקציה y = 2x + 1לא נדרש פישוט והיא אינה פונקציה ריבועית. שאר הפונקציות :הפונקציה ) ,y = (x + 8)(x – 1לאחר פישוט .y = x2 + 7x – 8פונקציה ריבועית. הפונקציה ,y = x2 + x2לאחר פישוט .y = 2x2פונקציה ריבועית. הפונקציה ) ,y = 2x(x + 5לאחר פישוט .y = 2x2 + 10xפונקציה ריבועית. הפונקציה , y = x(x + 1) – x2לאחר פישוט y = xאינה פונקציה ריבועית. הפונקציה , y = (x – 3)2לאחר פישוט .y = x2 – 6x + 9פונקציה ריבועית. טעויות צפויות :רושמים את הפישוט של y = x2 + x2כשגוי בצורה .y = x4הפישוט הנכון הוא y = 2x2שהיא פונקציה ריבועית. סיכום ביניים :מסכמים לפי המסגרת .אפשר להשתמש בפונקציות הרשומות במסגרת ,ואפשר להשתמש בפונקציות ריבועיות אחרות .חשוב לציין שקל לזהות את הפרמטרים כאשר הייצוג האלגברי של הפונקציה הוא מהצורה הסטנדרטית המסודרת ,כלומר בצורה .a ≠ 0 , y = ax2 + bx + c נציין כי הפרמטרים של הפונקציה הריבועית יכולים להיות מספרים חיוביים ,מספרים שליליים או אפס ,פרט למגבלה על הפרמטר .a ≠ 0 :a 70 מכון ויצמן למדע 2015 מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 מהלך משימה :0בחלק מהסעיפים יש צורך לפשט תחילה. א .הפונקציה y = 2x2 + 3x + 4 :ערכי הפרמטריםa = 2 , b = 3 , c = 4 : ב .הפונקציה y = –2x + x2 :ערכי הפרמטריםa = 1 , b = –2 , c = 0 : ג. הפונקציה , y = –2x + x :לאחר פישוט y = –xאינה פונקציה ריבועית. ד. הפונקציה y = x2 – 8 + 3x :ערכי הפרמטריםa = 1 , b = 3 , c = –8 : 2 ה .הפונקציה , y = (x + 4)(x – 4) :לאחר פישוט y = x – 16 :ערכי הפרמטריםa = 1 , b = 0 , c = –16 : ו. הפונקציה y = –2x2 :ערכי הפרמטריםa = –2 , b = 0 , c = 0 : ז. הפונקציה , y = 5x(x – 2) :לאחר פישוט y = 5x2 – 10xערכי הפרמטריםa = 5 , b = –10 , c = 0 : ח .הפונקציה y = 12 – 3x2 :ערכי הפרמטריםa = –3 , b = 0 , c = 12 : ט .הפונקציה , y = (x – 3)2 – x2 :לאחר פישוט y = 9 – 6xאינה פונקציה ריבועית. משימה :3נדרשת חשיבה הפוכה .נתונים הפרמטרים ויש לרשום פונקציה ריבועית מתאימה. דy 1 x 2 2x 1 . גy = –x2 + 3x . בy = 8x2 + 3.5 . אy = x2 – x + 4 . 2 סיכום ביניים :בודקים את התשובות במשימות ,3 – 2ומסכמים לפי המסגרת. משימה :4משימה מסכמת. א .הפונקציה הריבועית y = x2 – 4 ב .חשוב לשמוע את ההסברים לסעיף זה. 2 הגרף המתאים הוא גרף IIכי לגרף הפונקציה y = x – 4קדקוד מינימום בנקודה ),(0 , –4 נימוקים נוספים :באמצעות סוג הקדקוד (מינימום) וציר הסימטריה ),(x = 0 באמצעות סוג הקדקוד (מינימום) ומספר נקודות האפס (שתיים). הסברים לדוגמה לכך שהגרפים האחרים לא מתאימים: - לרשום ייצוגים אלגבריים המתאימים לסקיצות האחרות. - לפי סוג הקדקוד וציר הסימטריה. - לפי שיעורי נקודות האפס. משימה :5א y = 2x2 – x .מתאים לפרבולה III ג y = –x2 + 2 .מתאים לפרבולה I ב y = –x2 + 2x .מתאים לפרבולה IV ד y = 2x2 – 1 .מתאים לפרבולה II משימה :6פישוט ייצוגים אלגבריים של פונקציות ריבועיות והסקה של תכונות מתוך הייצוגים האלגבריים. נדגיש כי חשוב לרשום את הפונקציה בצורה מסודרת. א ; a = 5 , b = 10 , c = 5 ; y = 5x2 + 10x + 5 .קדקוד מינימום כי .(0 , 5) ; a > 0 ב ; a = 4 , b = 0 , c = –16 ; y = 4x2 – 16 .קדקוד מינימום כי .(0 , –16) ; a > 0 ג. ; a = 13 , b = 0 , c = –3 ; y = 13x2 – 3קדקוד מינימום כי .(0 , –3) ; a > 0 ד ; a = –4 , b = 16 , c = –4 ; y = –4x2 + 16x – 4 .קדקוד מקסימום כי .(0 , –4) ; a < 0 מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 מכון ויצמן למדע 2015 71 סיכום - בודקים את הפישוט ואת התשובות של משימה .6 - מסכמים את מה שנלמד בשיעור ,כולל חזרה על תכונות הפרבולה המסייעות בזיהוי ובהתאמה. אוסף משימות המשימות דומות למשימות שעבדו עליהן בשיעור ,והן חוזרות על עצמן בדרגות קושי שונות ולכן מומלץ לתת בחירה בין המשימות .ראו הצעה בטבלה. משימה לכולם משימה קשה משימה קלה אפשרות בחירה אתגר 8,7,6,1 2 4 9 כולם פותרים פותרים משימה אחת פותרים משימה אחת פותרים משימה אחת רשות 3 5 10 11 משימה :1השלמת טבלה שבה מתבקשים לזהות את ערכי הפרמטרים ולקבוע את סוג הקדקוד. a b c א. y = 3x2 – 6x – 1 3 –6 –1 קדקוד מינימום/מקסימום מינימום ב. y = 2x2 – 5x – 4 2 –5 –4 מינימום ג. y 1 x 2 3x 1 2 1 2 3 1 מינימום ד. y 1 x 2 6x 2 1 2 –6 0 מינימום y = 3x2 3 0 0 מינימום y = –4x2 – 6 –4 0 –6 מקסימום הפונקציה ה. ו. משימות :3 – 0מדורגות – פישוט ,מציאת ערכי הפרמטרים וקביעת סוג הקדקוד. משימה :0נתונות פונקציות ריבועיות .בסעיפים ו – .ח .מפשטים תחילה. א .הפונקציה ; c = 1 , b = 4 , a = 2 ; y = 2x2 + 4x + 1 :קדקוד מינימום. ב .הפונקציה ; c = 0 , b = 8 , a = 1 ; y = x2 + 8x :קדקוד מינימום. ג. הפונקציה ; c = 4 , b = 0 , a = –2 ; y = 4 – 2x2 :קדקוד מקסימום. 2 ד .הפונקציה ; c = 5 , b = 2 , a = –3 ; y = 5 + 2x – 3x :קדקוד מקסימום. ה .הפונקציה ; c = 5 , b = –6 , a = 1 ; y = x2 – 6x + 5 :קדקוד מינימום. ו. הפונקציה ,y = 2x(x – 5) :לאחר פישוט ; c = 0 , b = –10 , a = 2 ; y = 2x2 – 10xקדקוד מינימום. ז. הפונקציה ,y = x(x + 5) – 3(x + 2) :לאחר פישוט ; c = –6 , b = 2 , a = 1 ; y = x2 + 2x – 6קדקוד מינימום. 2 ח .הפונקציה ,y = 5x – 5(x + 1)(x – 1) :לאחר פישוט y = 5אינה פונקציה ריבועית. 72 מכון ויצמן למדע 2015 מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 משימה :3מפשטים וקובעים אם מתקבלת פונקציה ריבועית .עבור הפונקציה הריבועית מוצאים את ערכי הפרמטרים וקובעים את סוג הקדקוד. 2 א .הפונקציה ,y = (x + 3)(x – 1) :לאחר פישוט ; c = –3 , b = 2 , a = 1 ; y = x + 2x – 3קדקוד מינימום. ב .הפונקציה , y = x(2x – 5) – 2x2 + 1לאחר פישוט ; y = –5x + 1אינה פונקציה ריבועית. ג. הפונקציה ,y = x2 + (x + 3)(2x – 1) :לאחר פישוט ;c = –3 , b = 5 , a = 3 ; y = 3x2 + 5x – 3קדקוד מינימום. 2 2 ד .הפונקציה ,y = –3(x – 1) :לאחר פישוט ; c = –3 , b = 6 , a = –3 ; y = –3x + 6x – 3קדקוד מינימום. ה .הפונקציה ,y = (x + 1)2 – x2 :לאחר פישוט ; y = 2x + 1אינה פונקציה ריבועית. ו. הפונקציה ,y = (x + 2)2 + (x + 6)2 :לאחר פישוט ; c = 40 , b = 16 , a = 2 ; y = 2x2 + 16x + 40קדקוד מינימום. ז. 2 2 הפונקציה ,y = x – (x + 3) :לאחר פישוט ; y = –6x – 9אינה פונקציה ריבועית. ח .הפונקציה ,y = (x + 1)(2x + 1) :לאחר פישוט ; c = 1 , b = 3 , a = 2 ; y = 2x2 + 3x + 1קדקוד מינימום. משימות :5 – 4מדורגות – מפשטים ,רושמים את ערכי הפרמטרים ,קובעים את סוג הקדקוד (לפי הפרמטר ,)a ורושמים את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ( yלפי הפרמטר .)c משימה :4תלמידים שמתקשים בנוסחאות הכפל המקוצר ,בסעיף ב יכולים לרשום כמכפלה ולכפול. א .הפונקציה ; c = –8 , b = 0 , a = 4 ;y = –8 + 4x2 :קדקוד מינימום ; חיתוך עם ציר .(0 , –8) :y ב .הפונקציה ,y = –(x + 3)2 :לאחר פישוט ; c = –9 , b = –6 , a = –1 ; y = –x2 – 6x – 9קדקוד מקסימום ; חיתוך עם ציר .(0 , –9) :y ג. הפונקציה ,y = x2 + x(x + 2) :לאחר פישוט ; c = 0 , b = 2 , a = 2 ; y = 2x2 + 2xקדקוד מינימום ; חיתוך עם ציר .(0 , 0) :y ד. הפונקציה ; c = –3 , b = 9 , a = 1 ; y = 9x + x2 – 3 :קדקוד מינימום ; חיתוך עם ציר .(0 , –3) :y משימה :5תלמידים שמתקשים בנוסחאות הכפל המקוצר ,יכולים לרשום כמכפלה ולכפול. א .הפונקציה ,y = 5x2 + 2(x + 3) + 4 :לאחר פישוט ; c = 10 , b = 2 , a = 5 ; y = 5x2 + 2x + 10קדקוד מינימום ; חיתוך עם ציר .(0 , 10) :y ב .הפונקציה ,y = 2(x + 5)(x – 5) :לאחר פישוט ; c = –50 , b = 0 , a = 2 ; y = 2x2 – 50קדקוד מינימום ; חיתוך עם ציר .(0 , –50) :y ג. 2 הפונקציה ,y = (x + 4)2 – 3x2 :לאחר פישוט ; c = 16 , b = 8 , a = –2 ; y = –2x + 8x + 16קדקוד מקסימום ; ).(0 , 16 ד. הפונקציה , y 1 ( x 4) 2 8 :לאחר פישוט ; c = 0 , b = –4 , a 1 ; y 1 x 2 4xקדקוד מינימום ; 2 2 2 חיתוך עם ציר .(0 , 0) :y מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20 מכון ויצמן למדע 2015 73 משימה :6עוסקת בזיהוי פונקציה ריבועית דרך שרטוט שביל במבוך. משימה :7רישום פונקציה ריבועית לפי הפרמטרים ,והתאמה של גרף לפונקציה. א ; y = x2 + 2x .פרבולה II ג. ; y = –x2 + 2פרבולה III ב ; y = –2x2 + 2x .פרבולה IV ד ; y = x2 + 2 .פרבולה I משימה :8מפשטים ומתאימים זוגות של פונקציות זהות. משימות :12 – 9מדורגות – התאמה של פונקציה לגרף כאשר אחת מהפונקציות היא פונקציה קווית. משימה :9לפונקציה y = 2x – 4מתאים גרף ; Iפונקציה קווית. לפונקציה y = x2 – 4מתאים גרף ; IIפונקציה ריבועית. משימה :12לפונקציה y = x – 3מתאים גרף ; IIפונקציה קווית. לפונקציה y = x2 – 3מתאים גרף ; IIIפונקציה ריבועית בעלת קדקוד מינימום. לפונקציה y = –x2 + 3xמתאים גרף ; Iפונקציה ריבועית בעלת קדקוד מקסימום. משימה :11משימת אתגר. הפונקציה ,y = –x2 + 4x + 5רוני צודקת .אפשר לקבוע מי צודקת באחת מהדרכים הבאות: - לפי שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ( yהפרמטר .)c - אפשר לקרוא מהגרף את שיעורי נקודות האפס ,להציב בפונקציה ולבדוק אם מתקבל שוויון. - אפשר לראות לפי הפונקציה שנקודות החיתוך עם ציר xאחת חיובית ואחת שלילית. 74 מכון ויצמן למדע 2015 מדריך למורים – מתמטיקה משולבת ,כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק -יחידה 20
© Copyright 2024