1. No category

Suhteellisuusteorian perusteet 2016
Harjoitus 1
esitetään laskuharjoituksissa viikolla 12
1. Vektorien kertausta. Olkoon (x, y, z)-koordinaatistossa vektorit A =
(1, 1, 2) ja B = (1, 1, b). Määritä b siten että A · B = 0. Muodosta
myös vektori C = A⇥B ja laske A·C. Tee sitten koordinaatistomuutos
x ! x0 = x cos ✓ + y sin ✓, y ! y 0 = x sin ✓ + y cos ✓, z ! z 0 = z.
Mitä nyt on A · B? Entä C?
2. Di↵erentiaalien kertausta. Olkoon f (x, y) = x3 3xy 2 . Mitä on df ?
Kehitä f (x, y) Taylorin sarjaksi pisteen (x0 , y0 ) suhteen. Mitä saat kun
valitset (x0 , y0 ) = (0, 0)? Osoita vielä, että f toteuttaa yhtälön
!
@2
@2
+
f (x, y) = 0 .
@x2 @y 2
(1)
Minkä yhtälön toteuttaa f (x0 , y 0 ), missä x0 = x cos ✓ + y sin ✓, y 0 =
x sin ✓ + y cos ✓?
3. Epärelativistisen systeemin energia on kineettisen ja potentiaalienergian summa, joka koordinaatistossa (x, t) on E = 12 m|v|2 + V (x). Johda energian säilymisestä systeemin liikeyhtälö ja osoita, että se on kovariantti eli sen muoto on sama sekä koordinaatistossa (x, t) että koordinaatistossa (x0 , t0 ) = (x vt, t).
4. Havaitsija, jonka koordinaatit ovat (x0 , t0 ), liikkuu nopeudella v koordinaatiston (x, t) suhteen. Oletetaan, että koordinaatistosta toiseen
päästään Galileo-muunnoksella x0 = x vt, t0 = t. Tarkastellaan aaltoa f (x, t) = A cos(k · x !t), jonka liikkuva havaitsija näkee omassa
koordinaatistossaan aaltona f (x0 , t0 ) = A cos(k0 · x0 ! 0 t0 ). Osoita, että
havaitsijan aaltovektorille pätee k0 = k ja että hänelle aallon frekvenssi
on Doppler-siirtynyt: ! 0 = |! k · v|.
Ota vielä selvää, mikä on aaltoyhtälö ja osoita, että f (x, t) että f (x0 , t0 )
toteuttavat saman aaltoyhtälön.
xy