1. No category

1
Hvordan vi regner med brøk.
ARBEIDSHEFTE
I
MATEMATIKK
Temahefte nr 2
Hvordan du regner med brøk
Detaljerte forklaringer
Av Matthias Lorentzen
mattegrisenforlag.com
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
2
Hvordan vi regner med brøk.
Opplysning: Et helt tall er delelig på et annet helt tall, hvis svaret blir et helt tall.
Eksempel:
4, 6, 8 og 9 er delelige tall.
4
2
2
6
3 ,
2
,
6
2
3
,
8
4
2
,
9
3
3
Eksempel:
2, 3, 5 og 7 er tall som ikke er delelige (se primtall i neste opplysning).
2
3
 0,67 ,
 1,50 ,
3
2
5
5
5
7
7
 2,50 ,
 1,67 ,
 1,25 ,
 3,5 ,
 2,
2
3
4
2
3
7
7
7
 1,75 ,
 1,4 ,
 1,17
4
5
6
1,17 er ikke et
helt tall
Opplysning: Et primtall er kun delelig på seg selv og 1.
Eksempel:
Primtallene 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…osv. lar seg kun faktorisere i faktorene
1 og tallet selv. Det betyr at et primtall er kun delelig på seg selv og 1.
2  2 1
3  3 1
5  5 1
7  7 1
11  11  1
13  13  1
7 består
kun av
faktorene
7 og 1
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
17  17  1
19  19  1
3
Hvordan vi regner med brøk.
Gruble: Hvordan kan jeg vite om et tall er et primtall? Dvs. at det ikke er delelig på
andre tall enn seg selv og 1? Et av hjelpemidlene er noe som heter kvadratroten av
et tall.
Opplysning: Kvadratroten av et tall er det tallet som ganget med seg selv gir
tallet.
Eksempel:
42
fordi
22  4
11  3,3166247903554
fordi
3,3166247903554  3,3166247903554 blir ca. lik 11.
Kommentar: Kvadratroten av 11 kan du regne ut med kalkulatoren. Tallet blir et
såkalt irrasjonalt tall med uendelig mange siffer uten system. Jo flere siffer du tar
med, desto mer nøyaktig blir svaret.
Opplysning: Kanskje litt ukjent stoff: Det er en regel som sier at hvis et tall ikke
er delelig på noen av de hele tallene opp til kvadratroten av tallet, så er tallet et
primtall. Kvadratrotregelen er nyttig spesielt for å finne ut om store tall er primtall
eller ikke.
Eksempel: Frem med kalkulatoren!
Vi skal sjekke om 11 er et primtall. Knepet er å forsøke å dele opp tallet. Begynn med
å dele tallet med det minste primtallet 2.
Kvadratroten av tallet 11 er ca. 3,3 ( 11  3,3 ).
Det er nok å sjekke at 11 ikke er
delelig med noen av tallene til
og med 3.
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
4
Hvordan vi regner med brøk.
11 : 2  5,5
Tallet 5,5 er ikke et helt tall
Hva om vi prøver med primtallet 3?
11 : 3  3,7
Tallet 3,7 er ikke et helt tall
Utregningen ovenfor viser at 11 ikke er delelig med tallene 1 til 3, derfor er altså 11 et
primtall.
Rosin: Vi klarer ikke å faktorisere 11 (bortsett fra 11  11  1).
Opplysning: Du faktoriserer et tall ved å dele tallet opp med primtall. Start med
primtallet 2.
Eksempel: Vi skal faktorisere tallet 18. Først deler du 18 med tallet 2.
18 : 2 = 9
18 kan da skrives som 18  2  9 (fortsett med å faktorisere 9)
9 : 2 = 4,5
delingen går ikke opp, vi prøver med 3
9:3=3
9 kan da skrives som 9  3  3 (tallet 3 er et primtall, ferdig)
Resultatet av faktoriseringen blir
18  2  9  2  3  3
Tallene 2 og 3 er primtall som ikke lar seg faktorisere videre. De er kun delelige på
seg selv og 1.
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
5
Hvordan vi regner med brøk.
Mer oversiktlig kunne vi ha skrevet fremgangsmåten slik:
18 : 2
9: 3
3: 3
1
18  2  3  3
Oppgave: Faktoriser tallet 36. Skriv riktig tall (faktorer) i de tomme rutene og
boksene under. Start med 2.
3:
1:
Skriv inn faktorene
der
9:
3:
1
……
36 



Og her!
Fasit: 2, 2, 3, 3
Opplysning: En brøk utvides ved å multiplisere teller og nevner med samme tall
(ikke null).
Plomme: Brøken forandrer ikke verdi når den utvides, selv om den får en ny form.
Formel:
a ac

b bc
(brøkene har samme verdi)
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
6
Hvordan vi regner med brøk.
Eksempel: Vi skal utvide brøken
6
slik at nevneren blir 21. Da må vi gange med 3
7
oppe og nede.
6 6  3 18


7 7  3 21
Samme-verdi (bruk kalkulator):
6
 0,857
7
og
18
 0,857
21
Vaffel: Brøken 6 delt på 7 har samme verdi som den utvidete brøkformen 18 delt på
21.
Oppgave: Utvid brøken
3
slik at nevneren blir 25. Skriv riktig tall inn i boksene
5
under.
3
5

Fasit: Første brøk oppe og nede: 5. Andre brøk oppe: 15. Andre brøk nede: 25.
Opplysning: En brøk forkortes ved å dele teller og nevner med samme tall (ikke
null).
Formel:
a:c a

b:c b
(brøkene har samme verdi, men ulik form)
Trøst: Forklaring av denne merkelige likningen får du under.
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
7
Hvordan vi regner med brøk.
Eksempel:
For å forstå formelen ovenfor, kan jeg ta et eksempel i etapper.
Jeg starter for eks. med brøken
9
, deler så teller og nevner med 3 og får
18
9:3 3

18 : 3 6
Fortsetter med brøken
3
, deler så teller og nevner med 3 igjen og får
6
3:3 1
  0,5
6:3 2
Øyet som ser:
9
 0,5
18
og
3
 0,5
6
(noe øyet ditt ser hvis du bruker kalkulator)
Gjentakelsens mor: Brøker beholder samme verdi hvis teller og nevner deles med
samme tall.
Eksempel: Vi skal forkorte brøken
6
.
8
Du faktoriserer først telleren 6:
6: 2
3: 3
1
Tallet 6 kan faktoriseres i 2 ganger 3
Dette gir at 6  2  3
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
8
Hvordan vi regner med brøk.
Så faktoriserer du nevneren 8:
8:
4:
2:
1
2
2
2
Tallet 8 kan faktoriseres i 2 ganger 2 ganger 2
Dette gir at 8  2  2  2
Teller og nevner i brøken
8  222
6
erstattes med disse faktorene: 6  2  3
8
6
23
3
3

 1

8 222
22 4
og
(6 : 2  3 , 8 : 2  4)
Forkortingen er lik 1
 3 
Ener: Totallene forkortes. Dvs. to delt på to er lik 1. Og 1 ganger et tall, dvs. 
,
 22
er tallet selv. Ettallet gjør ingenting her og kan fjernes.
Oppgave: Forkort brøken.
6 6

24 6 
6
. Skriv riktig tall inn i boksene under.
24

Fasit: Første brøk (med boks): teller = 1. Første brøk (med boks): nevner = 4. Andre
brøk (med boks): teller = 1. Andre brøk (med boks): nevner = 4.
6-tallet forkorter du og får en firedel.
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
9
Hvordan vi regner med brøk.
Opplysning: Brøker med samme nevner kan trekkes sammen ved å beholde
nevneren og summere tellerne.
Formel:
a c ac
 
b b
b
Kommentar: (a, b og c kan være negative tall, a og c kan være null, b kan ikke være
null, null i nevner er tull)
Drue: Brøker som ikke har samme nevner, kan ikke trekkes sammen.
Eksempel:
Trekke sammen brøker som har like nevnere.
2 1 2 1 3
 
 1
3 3
3
3
4 3 43 1
 

5 5
5
5
Opplysning: Brøker med ulike nevnere må utvides til alle har den minste
fellesnevner.
Eksempel: Vi skal finne den minste fellesnevneren til brøkene under før vi trekker de
sammen.
1 2 1 3 1
    ?
4 3 12 5 15
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
10
Hvordan vi regner med brøk.
Minste felles nevner: Vi faktoriserer alle nevnerne og setter like faktorer under
hverandre.
4 
2  2
3 
3
12  2  2  3
5
5
15 
3  5
--------------------2 
2  3  5  60
Minste felles nevner
Legg merke til: Hver tallsøyle regnes som en faktor.
For eks. søylen med tre treere regnes som kun en treer (en tretalls faktor) i minste
felles nevner. Vi har fire søyler og derfor fire faktorer i minste felles nevner.
Vi utvider en og en brøk, slik at nevneren blir 60, og legger de sammen til slutt. Vi
setter minste felles nevner opp på nytt:
Brøken
1
skal utvides:
4
1 1 15 15


4 4 15 60
Utvidet brøk
Vi trenger 60 i nevneren. Med andre ord vi utvider brøken ved å gange både teller og
nevner med 15.
Brøken
2
skal utvides:
3
2 2  20 40


3 3  20 60
Utvidet brøk
Vi trenger 60 i nevneren. Med andre ord vi utvider brøken ved å gange både teller og
nevner med 20.
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
11
Hvordan vi regner med brøk.
Oppgave: Trekk sammen brøkene under (med ulike nevnere). Skriv riktig tall i
boksene.
 10 5 5
10 5 
   
24 12 6
24 12 


5
6


Fasit: Første brøk (med boks): 2 i teller og nevner. Andre brøk (med boks): 4 i teller
og nevner. Tredje brøk (med boks): Teller har tallene - 10 -10 + 20. Tredje brøk (med
boks): Nevner har tallet 24. Fjerde brøk (med boks): Teller har tallet 0. Fjerde brøk
(med boks): Nevner har tallet 24. Siste boks: har tallet 0.
Opplysning: To brøker multipliseres sammen ved å gange teller med teller og
nevner med nevner. Et tall som ikke er brøk ganges rett inn i telleren.
Formel:
a c ac
 
b d bd
Eksempel:
2 7 2  7 14
 

3 9 3  9 27
,
1 2 4 1 2  4 8
  

5 3 5 5  3  5 75
2 3 2 3 2 6
, 3   

7 1 7 1 7 7
Tallet 3 kan ganges rett inn i telleren. Det er en rask metode. Dette går greit fordi
3
3
og bruker du så (teller ganger teller og nevner ganger nevner) - metoden, vil
1
tretallet havne i telleren og ikke i nevneren.
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
12
Hvordan vi regner med brøk.
Oppgave: Skriv riktig tall i boksene under.
1 3
5  
2 11



=
Fasit: Første brøk med bokser har i telleren: 5  1  3 . Første brøk med bokser har i
nevneren: 2  11 . Siste brøk har i telleren: 15. Siste brøk har i nevneren: 22.
Opplysning: Vi deler to brøker med hverandre ved å multiplisere den første med
den omvendte brøken av den andre.
Du snudd en brøk hvis teller og nevner bytter plass.
Formel:
a c a d
:  
b d b c
Brøken er snudd!
Husk: Deletegnet (:) blir erstattet med et gangetegn (prikk) etter at brøken er snudd.
Eksempel: Glo på pil: En brøk er det samme som deletegn (:).
3
11
2
3
Glo på pil: Brøken etter at

3 2 3 3 33
9
:   

11 3 11 2 11  2 22
2
er snudd. Og deletegnet (:) er blitt prikk.
3
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
13
Hvordan vi regner med brøk.
Eksempel:
Rose: I brøken under vil en metode være å trekke sammen småbrøkene først, og så
bruke ”snu brøk formelen” som i eksempelet over.
Men, men: her vil vi bruke en annen metode: Dvs. gange alle leddene med felles
nevneren (her er den lik tallet 6).
1 2

2 3 ?
1 1

3 6
Alle ledd skal ganges
med 6 oppe og nede
1
2
6  6
2
3
1
1
6  6
3
6
Her er alle ledd ganget
med 6 oppe og nede
Utregning av telleren første ledd:
1
6
6   3
2
2
Utregning av telleren andre ledd: 
Utregning av hele nevneren:
2
26
12
6  
   4
3
3
3
1
1
 6   6  2 1  3
3
6
Brøken fullstendig utregnet blir:
3  4 1
1


3
3
3
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
14
Hvordan vi regner med brøk.
Oppgave: Skriv riktig tall i boksene under.
1
3  1

1 2
1
5
1
2
2
3
4




4
1
1
 
3
1
 
5


Fasit:
Første brøk med boks teller: 3.
Første brøk med boks nevner: 2.
1
Andre brøk med boks teller: 4  15   15 .
3
1
Andre brøk med boks nevner: 1  15   15 .
5
Tredje brøk med boks teller:3.
Tredje brøk med boks nevner: 4.
Fjerde brøk med boks teller: 60 – 5.
Fjerde brøk med boks nevner: 15 + 3.
Siste brøk med boks:
165
165 55  3 55
eller


( forkortet teller og nevner med 3)
72
72 24  3 24
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
15
Hvordan vi regner med brøk.
Opplysning:
Blandet tall er en forkortet skrivemåte for addisjon av et helt tall og en ekte brøk
(telleren mindre enn nevneren).
Blandet tall viser forvirrende nok ikke plusstegnet, slik at det kan være fristende å
tro at det betyr multiplikasjon (ganging).
Blandet tall
 helt tall
teller 
teller 
  helt tall 

nevener 
nevner 
Blandet tall viser ikke
plusstegnet mellom det
hele tallet og brøken
Eksempel:
Blandet tall:
To hele og
trefiredeler
Vi regner litt på det: 2
2
3
4
3
3 4 3
 2    ?
4
4 2 4
Totallet kan skrives som fire halve
Videre regning gir:
4 3 4  2 3 8  3 11
 
 
  2,75
2 4 22 4
4
4
Minste felles nevner er 4, derfor må vi gange oppe og nede med 2 på brøken
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
4
.
2
16
Hvordan vi regner med brøk.
Eksempel:
Vi går andre veien og skriver brøken
11
som blandet brøk.
3
11 9  2 9 2
2
2

   3  3
3
3
3 3
3
3
Det er naturlig å dele 11 opp i 9 + 2, fordi 9 er delelig på nevneren 3.
Oppgave: Skriv inn riktig tall i boksene under.
3
5 
7



3

7

3

7


Fasit:
Første boks: 5.
Første brøk (med bokser) teller: 5  7 .
Første brøk (med bokser) nevner: 1 7 .
Andre brøk (med bokser) teller: 35 + 3.
Andre brøk (med bokser) nevner: 7.
Siste brøk teller: 38.
Siste brøk nevner: 7.
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
17
Hvordan vi regner med brøk.
Oppgave:
Skriv brøken
21
som blandet tall. Fyll ut de tomme boksene under.
4
1
21

4
4
20


1

4

1
5
4
Fasit:
20, 4, 5,
1
4
Enda en opplysning: Blandet tall kan regnes ut på en enkel måte over tre
trinn (men uten innsikt).
Eksempel:
5
1
4
Trinn 1: Gang nevneren 4 med det hele tallet 5, slik:
Trinn 2: Legg telleren 1 til resultatet, slik:
Trinn 3: Behold nevneren 4, slik:
Litt regning gir svaret:
4 5
4  5 1
4 5 1
4
21
4
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.
18
Hvordan vi regner med brøk.
Oppgave:
Regn ut det blandete tallet
3 4
9 
4
3

9
3
4
ved å sette riktig tall inn i de tomme boksene under.
4
Fasit:
Første brøk (teller): 9
Første brøk (nevner): 4
Siste boks: 39
Av Matthias Lorentzen MATTEGRISENFORLAG.COM.