1. No category

Ristitulo ja skalaarikolmitulo
Opetussuunnitelman 2003 mukainen kurssi Vektorit (MAA5) sisältää vektoreiden laskutoimituksista keskeisenä aineksena yhteenlaskun, vähennyslaskun, vektorin kertomisen
luvulla ja vektoreiden pistetulon eli skalaaritulon. Opetustilanteissa on sopivissa yhteyksissä totuttu käyttämään myös ristituloa ja skalaarikolmituloa. Tämä tiivistetty aineisto on laadittu tätä opettamisen vaihtoehtoa varten. Aineisto tukee myös opiskelijaa
hänen siirtyessään lukiosta matemaattis-luonnontieteellisiin jatko-opintoihin.
Ristitulo eli vektoritulo
Vektoreiden a ja b ristitulo eli vektoritulo tarkoittaa vektoria
a × b = a b sin(a, b)e
Merkintä a × b luetaan "a risti b". Vektori e on vektoreita a ja b vastaan kohtisuorassa
oleva yksikkövektori niin, että a , b ja e tässä järjestyksessä muodostavat oikean käden
järjestelmän (vrt. alla oleva kuva). Kun a ja b ovat yhdensuuntaisia, niin määritelmän
mukaan a × b = 0. Erikseen sovitaan, että 0 × b = a × 0 = 0 .
Koska aina a b sin( a , b ) ≥ 0 ja e = 1 , on vektorin a × b pituus a × b = a b sin( a , b ) .
Toisaalta tämä lauseke ilmoittaa vektoreiden a ja b määräämän suunnikkaan pintaalan, sillä vastaavan kolmion ala on
1
2
a b sin( a, b) , ja suunnikkaan ala on kaksi kertaa
niin suuri.
a b
e
a × b = suunnikkaan pinta - ala
b
a
Ristitulo noudattaa eräin poikkeuksin lukujen tulolle ominaisia laskulakeja. Niiden perusteella voidaan vektoreiden a = a x i + a y j + a z k ja b = b x i + b y j + b z k ristitulo laskea seuraavan säännön mukaisesti:
a × b = ( a ybz − azby )i + ( azbx − axbz ) j + ( a xby − a ybx ) k
2
i
Tulos voidaan esittää determinanttina a × b = a x
bx
j
ay
by
k
az
bz
ja laskea käyttämällä
seuraavassa esimerkissä esitettyä muistisääntöä.
Esimerkki 1
Laske a × b , kun a = i + 2 j + 3k ja b = −2i + j + 4k .
Ratkaisu:
i
j k i
j
a ×b = 1 2 3 1 2
−2 1 4 −2 1
tu
ku
alu
t
s
va tulo
lon
= 8i − 6 j + k + 4k − 3i − 4 j = 5i − 10 j + 5k
Skalaarikolmitulo
Kolmen vektorin a , b ja c muodostamaa tuloa ( a × b) ⋅ c sanotaan skalaarikolmituloksi.
Merkintä voidaan kirjoittaa ilman sulkeita, koska vektoritulo on joka tapauksessa laskettava ensin, jotta lauseke olisi määritelty.
Koordinaatiston vektoreiden skalaarikolmitulo voidaan laskea determinanttina
a x a y az
a × b ⋅ c = bx by bz . Tästä voi varmistua niin, että ensin muodostetaan vektori a × b ,
cx
cy
cz
sitten tämän ja vektorin c pistetulo ja verrataan näin saatua tulosta determinantista
muodostettuun lausekkeeseen.
Tulkitaan skalaarikolmitulo a × b ⋅ c geometrisesti. Kun vektorit a , b ja c alkavat samasta pisteestä, ne määräävät suuntaissärmiön. Sen pohjan pinta-ala on a × b .
a b
c α h
b
a b
a
Jos vektoreiden a × b ja c välinen kulma on α , saadaan pistetulon määritelmän mukaan
( a × b ) ⋅ c = a × b c cos α . Tässä c cos α on särmiön korkeus tai sen vastaluku sen mu-
kaan, onko α terävä vai tylppä. Särmiön korkeus on siis aina c cos α , joten vektoreiden
a , b ja c määräämän suuntaissärmiön tilavuus on V = a × b ⋅ c .
3
Esimerkki 2
Laske skalaarikolmitulo a × b ⋅ c , kun a = i − 3 j − k , b = −2i + j − 3k ja
c = 5i − 5 j + 5k .
Ratkaisu:
1 − 3 −1 1 − 3
a×b⋅c = − 2 1 −3 − 2 1
5 −5 5 5 −5
= 5 + 45 − 10 + 5 − 15 − 30
=0
Skalaarikolmitulo on nolla. Silloin myös vektoreiden a , b ja c määräämän suuntaissärmiön tilavuus on nolla, mikä merkitsee, että vektorit a , b ja c ovat samassa tasossa.
Seuraavissa sovelluksissa ratkaisut esitetään ensin ilman ristituloa ja sitten sitä käyttäen.
Kolmion pinta-ala
Laske kolmion A(1, 2, 3)B(–2, 0, 5)C(–1, 4, 6) pinta-ala.
Ratkaisu:
Valitaan kolmion sivuvektoreiksi AB = b = −3i − 2 j + 2k ja AC = c =
− 2i + 2 j + 3k . Pistetuloa soveltamalla saadaan niiden välisen kulman kosiniksi
cos α =
a ⋅b
ab
=
6−4+6
17 17
on näin ollen A =
=
8
15
8
, jolloin sin α = 1 − ( ) 2 =
. Kolmion pinta-ala
17
17
17
1
1
15
1
a b sin α = ⋅ 17 ⋅ 17 ⋅
=7 .
2
2
17
2
Toisin:
Edellisessä kohdassa muodostetut vektorit b ja c määräävät suunnikkaan, jonka
i
j k
pinta-ala on b × c . Ristitulovektori on b × c = − 3 − 2 2 = −10i + 5 j − 10k ,
−2 2 3
1
1
joten a × b = 100 + 25 + 25 = 15 . Kolmion ala on siis A = b × c = 7 .
2
2
4
Tason yhtälö
Taso kulkee pisteiden A(2, 2, –1), B(1, 1, 0) ja C(3, –1, –1) kautta. Esitä tason yhtälö muodossa ax + by + cz + d = 0.
Ratkaisu:
Tason suuntavektoreiksi voidaan valita vektorit AB = −i − j + k ja AC = i − 3 j .
Tason normaalivektori n = ai + b j + c k on kohtisuorassa suuntavektoreita vastaan, joten vastaavat pistetulot ovat nollia. Saadaan yhtälöpari –a – b + c = 0 ja
a – 3b = 0, josta a = 3b ja c = 4b. Tällöin n = 3bi + b j + 4b k ja normaalivektoriksi voidaan valita 3i + j + 4k . Tason yhtälö on 3x + y + 4z + d = 0. Sijoittamalla
tähän esimerkiksi pisteen B koordinaatit saadaan 3 + 1 + d = 0 eli d = –4. Haettu
yhtälö on 3x + y + 4z – 4 = 0.
Toisin:
i
j k
Tason normaalivektoriksi voidaan ottaa AB × AC = − 1 − 1 1 = 3i + j + 4k .
1 −3 0
Tason yhtälö on siis 3x + y + 4z + d = 0. Sijoittamalla tähän esimerkiksi pisteen B
koordinaatit saadaan 3 + 1 + d = 0 eli d = –4. Tason yhtälöksi saadaan näin ollen
3x + y + 4z – 4 = 0.
Suuntaissärmiön tilavuus
Laske sen suuntaissärmiön tilavuus, jonka kärkinä ovat origo O ja pisteet
A(2, 2, 0), B(0, –1, 1) ja C(–4, 0, 5).
Ratkaisu:
Paikkavektoreiden OA = a = 2i + 2 j ja OB = b = − j + k välisen kulman kosini
on cos α =
−2
8⋅ 2
=−
1
3
, joten sin α =
. Pohjana olevan suunnikkaan pinta2
2
ala on A = a b sin α = 2 3 . Pisteiden O, A ja B kautta kulkevan tason yhtälöksi
saadaan x – y – z = 0. Pisteen C etäisyys tästä tasosta on h =
−4−0−5
3
=3 3.
Suuntaissärmiön tilavuus on V = Ah = 18.
Toisin:
Muodostetaan paikkavektoreiden a = 2i + 2 j , b = − j + k ja c = −4i + 5k skalaari2
2 0
kolmitulo. Saadaan a × b ⋅ c = 0 − 1 1 = −18 . Suuntaissärmiön tilavuus on
−4 0 5
siis V = a × b ⋅ c = 18.
5
Tetraedrin tilavuus
Samasta pisteestä alkavien vektoreiden a , b ja c määräämän tetraedrin tilavuus
saadaan laskemalla ensin vastaavan suuntaissärmiön tilavuus. Suuntaissärmiö
voidaan jakaa vektorin c suuntaisella a :n ja b :n kärkien kautta kulkevalla tasolla
kahteen samanlaiseen kolmisivuiseen särmiöön. Vektoreiden a , b ja c määräämän tetraedrin tilavuus on kolmasosa tällaisesta särmiöstä eli kuudesosa suuntaissärmiön tilavuudesta. Alla oleva kuva havainnollistaa asiaa.
a
a
b
a
b
b
c
c
c
Pisteen etäisyys avaruussuorasta
Laske pisteen A(2, 4, 7) etäisyys pisteiden B(1, 1, –2) ja C(5, –5, 6) kautta kulkevasta suorasta.
Ratkaisu:
Kuvaan merkityt vektorit ovat
a = i + 3 j + 9k ja b = 4i − 6 j + 8k . Silloin
ab =
a ⋅b
b
=
4 − 18 + 72
116
1
=
=
116 .
116 2
A(2, 4, 7)
a
d
58
b
B(1, 1,-2)
C(5,-5, 6)
ab
Tämä on suorakulmaisen kolmion kateetin
pituus. Koska hypotenuusan pituus on a = 91 , on toisen kateetin pituus eli kysytty etäisyys d = 91 −
1
⋅ 116 = 62 .
4
Toisin:
Ilmaistaan vektoreiden a ja b määräämän suunnikkaan ala kahdella tavalla:
i
j k
a×b
a × b = b ⋅ d , josta d =
. Koska a × b = 1 3 9 = 78i + 28 j − 18k ,
b
4 −6 8
niin d =
78 2 + 28 2 + (−18) 2
16 + 36 + 64
=
7 192
= 62 .
116
6
Tehtäviä
1.
Laske ristitulo a × b .
a) a = i − j + k , b = −i + 2 j + k
b) a = 3i − 4 j + k , b = −i − 5 j + 3k
c) a = i + k , b = −3 j + 2k
2.
Vektorit a = i − j + 2k ja b = 3i + j − k ovat suunnikkaan sivuina. Laske suunnikkaan pinta-ala.
3.
Kolmion kärkipisteet ovat A(1, 3, 0), B(–1, 2, 2) ja C(2, 1, –2). Laske kolmion
ABC pinta-ala.
4.
Tason suuntavektorit ovat u = i − 2 j + k ja v = 2i + j − 3k . Määritä jokin tason
normaalivektori.
5.
Laske pisteen A(2, –1, 3) etäisyys pisteiden B(–1, 2, 3) ja C(3, –2, 1) kautta kulkevasta suorasta.
6.
Laske skalaarikolmitulo a × b ⋅ c .
a) a = i − j + k , b = i + j − k ja c = −2i + j + 3k
b) a = −2 j + k , b = −i + k ja c = 2i + j + k
c) a = i + j , b = j + k ja c = i + k
7.
Tutki, ovatko vektorit a , b ja c samassa tasossa, kun a = −2i + 3 j − 4k ,
b = −i + 2 j − 4k ja c = −i + j .
8.
Suuntaissärmiön pohjasärminä ovat vektorit 3i − 2 j − 2k ja i + j − 4k sekä sivusärmänä vektori 4i + j + 2k . Määritä suuntaissärmiön a) tilavuus, b) korkeus.
9.
Tetraedrin särminä ovat samasta pisteestä alkavat vektorit i − j + 2k , 2i + 3 j − k
ja − i + j + 3k . Laske tetraedrin tilavuus.
10.
Tetraedrin kärkinä ovat pisteet A(1, –2, –3), B(2, –2, 0), C(4, 0, –6) ja
D(5, –4, –2). Laske tetraedrin tilavuus.
Vastauksia:
1. a) − 3i − 2 j + k
3.
65
≈ 4,03
2
7. ovat
b) − 7i − 10 j − 19k
c) 3i − 2 j − 3k
4. esim. n = i + j + k
5.
2
6. a) 8 b) –7 c) 2
8. a) 60
9. 4
1
6
10. 7
b) 4
2.
66 ≈ 8,12
2
3