1. No category

Lukion
Calculus
5
MAA10 Integraalilaskenta
Paavo Jäppinen
Alpo Kupiainen
Matti Räsänen
Otava
PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN
TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
Integraalilaskenta (MAA10) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
1
Pikatesti (MAA10)
1.
2
Määritä se funktio, jonka eräs integraalifunktio on F ( x) = e x .
Ratkaisu:
2
2
Jos funktio F ( x) = e x on funktion f integraalifunktio, niin f ( x ) = F ′( x ) = 2 xe x .
2.
Funktio F ( x ) = x − ln x 2 + 1 on funktion a) f ( x) =
c) f ( x) =
x−2
integraalifunktio. Valitse oikea vaihtoehto.
x
Ratkaisu:
Kun F ( x ) = x − ln x 2 + 1 , niin F ′( x) = 1 −
3.
1
1 − 2x
, b) f ( x) =
,
2
1− x
x2
Määritä y, kun
2 x−2
. Oikea vaihtoehto on c.
=
x
x
1
6
dy
on a) 3x, b) x 3 , c) 2 , d) 3 .
dx
x
x
Ratkaisu:
dy
3
dy
1
a) Kun
b) Kun
= 3 x , niin y = x 2 + C .
= x 3 , niin y = x 4 + C .
dx
2
dx
4
dy
1
1
= 2 = x − 2 , niin y = − x −1 + C = − + C .
c) Kun
dx x
x
dy
6
3
1 −2
= 3 = 6 x −3 , niin y = 6 ⋅
x + C = −3x − 2 + C = − 2 + C .
d) Kun
dx x
−2
x
3
4.
Jos
∫
3
f ( x)dx = 10 , niin paljonko on ∫ ( f ( x) + 2)dx ?
1
1
Ratkaisu:
3
3
3
3
3
1
1
1
1
1
∫ ( f ( x) + 2)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ 2dx = ∫ f ( x)dx + / 2 x = 10 + 4 = 14
5.
y
Oheisessa kuvassa A1 = 2, 2 ja A2 = 9, 8 pinta-
y = f (x)
5
alayksikköä. Määritä
∫ f ( x ) dx .
−2
A1
-2
A2
5 x
Ratkaisu:
5
∫
−2
0
f ( x ) dx =
∫
−2
5
f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 2,2 − 9,8 = −7,6
0
© Lukion Calculus 5
2
Integraalilaskenta (MAA10) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
y
6.
y=x
Laske kuvaan merkityn alueen pinta-ala.
Ratkaisu:
Käyrien y = x ja y = 2 − x 2 leikkauskohdiksi lasketaan x = 1 ja
x = –2. Kuvaan merkityn alueen pinta-ala on
1
1
1 3 1 2
2
x
x
x
(
2
−
−
)
d
=
/−2 (2 x − 3 x − 2 x )
∫
−2
1 1
8
1
= 2 − − − (−4 + − 2) = 4 .
3 2
3
2
7.
x
y = 2 − x2
y
3
y=x
Laske oheisen pyörähdyskappaleen tilavuus.
x
Ratkaisu:
Käyrien y = x 2 ja y = 3 rajaama alue pyörähtää y-akselin ympäri, joten integroidaan
1 2 9π
x =
2
0 2
3
3
y-akselin suunnassa. V = π∫ ( x ) 2 dx = π /
0
8.
1
π/2
0
π/4
Laske a) ∫ e − x dx , b)
∫ cos 2 xdx , c)
4
∫
x dx .
−2
Ratkaisu:
1
1
1
1
a) ∫ e − x dx = / − e − x = −e −1 − (−e 0 ) = − + 1 = 1 −
e
e
0
0
π/2
b)
c)
∫ cos 2 xdx =
1 π/2
1 π/2
1
1
π
2 cos 2 xdx = / sin 2 x = (sin π − sin ) = −
∫
2 π/4
2 π/4
2
2
2
π/4
4
0
4
0
−2
−2
0
−2
∫
x dx = ∫ (− x)dx + ∫ xdx =
/
−
1 2 41 2
x + / x = 2 + 8 = 10
2
0 2
x
9.
Laske F ′( 2) , kun F ( x) = ∫ t 1 + 2t 2 dt .
0
Ratkaisu:
x
Kun F ( x) = ∫ t 1 + 2t 2 dt , niin F ′( x) = x 1 + 2 x 2 ja F ′( 2) = 6 .
0
10.
Laske funktion f ( x) =
x
1+ x2
keskiarvo välillä [0, 3]. Tarkka arvo ja kolmidesimaa-
linen likiarvo.
Ratkaisu:
Funktion f ( x) =
=
x
1+ x2
1
ln 10 ≈ 0,384 .
6
© Lukion Calculus 5
3
keskiarvo välillä [0, 3] on
1
13
x
d
x
=
ln(1 + x 2 )
/
∫
2
3 − 0 0 1+ x
60
2
3
Integraalilaskenta (MAA10) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Kertauskoe 1 (MAA10)
1.
Määritä a) ∫ ( x −
1 2
) dx , b)
2
4
∫ cos 6 x dx , c) ∫
x +1
x
1
dx .
Ratkaisu:
a) ∫ ( x − ) 2 dx =
1
2
4
c)
∫
x +1
x
1
2.
4
dx = ∫
1
1
(x − )3 + C
3
2
1
(x 2
+x
−
1
2
1
b) ∫ cos 6 x dx =
4
3
1
sin 6 x + C
6
1
2
28 8
2
) dx = / ( x 2 + 2 x 2 ) =
− =6
3 3
3
1 3
Muodosta se funktion f ( x) = 3 x 2 −
2
+ 1, x > 0 , integraalifunktio, joka pisteessä x =
x
1 saa arvon 5.
Ratkaisu:
2
+ 1 integraalifunktiot ovat F ( x) = x 3 − 2 ln x + x + C , kun
x
x > 0. Ehdolla F(1) = 5 on C = 3. Haettu funktio on F ( x ) = x 3 − 2 ln x + x + 3, x > 0 .
Funktion f ( x) = 3 x 2 −
3.
Laske käyrien y = x 3 ja y = x 1 / 3 rajaaman äärellisen alueen ala.
Ratkaisu:
Käyrien y = x 3 ja y = x1 / 3 yhteiset pisteet ovat kohdissa
y
y = x3
1
x = 0 ja x = 1. Niiden välillä käyrä y = x 1 / 3 on käyrän
y=x3
y = x 3 yläpuolella. Käyrien välisen silmukan ala on
1
A=∫
1
(x 3
0
4.
4
1
1
3
1
− x )dx = / ( x 3 − x 4 ) = .
2
4
0 4
3
1
x
Käyrä y = e x , koordinaattiakselit ja suora x = a , a > 0 , rajaavat erään alueen. Alue
pyörähtää x-akselin ympäri. Millä a:n arvolla syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus
on π ?
Ratkaisu:
a
V = π ∫ ( e x ) 2 dx =
0
π
a
e
2 /0
2x
=
π
2
(e 2 a − 1) . Kun merkitään tilavuus yhtä suureksi kuin
1
π , saadaan a = ln 3 = ln 3 .
2
5.
Eräällä paikkakunnalla alkoi levitä influenssaepidemia. N ( t ) on niiden ihmisten
määrä, jotka sairastuivat t:n vuorokauden aikana epidemian alkamisesta. Seurannan
alkaessa heitä oli 120. Kahdenkymmenen ensimmäisen vuorokauden aikana epidemia leviää nopeudella N ′(t ) = 125t − 3t 2 . Johda laskulauseke sairastuneiden määrälle
N (t ) .
© Lukion Calculus 5
4
Integraalilaskenta (MAA10) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Ratkaisu:
N (t ) = ∫ (125t − 3t 2 )dt = 62,5t 2 − t 3 + C . Koska N ( 0) = 120 , niin C = 120 . Sairastuneiden määrän ilmaisee funktio N (t ) = 62,5t 2 − t 3 + 120, t ≥ 0 .
6.
Piirrä graafisen laskimen avulla käyrä y 2 = x 2 (9 − x 2 ) ja laske sen rajaaman alueen
pinta-ala.
y
4
Ratkaisu:
Käyrä y 2 = x 2 ( 9 − x 2 ) on määritelty arvoilla −3 ≤ x ≤ 3. Sen
rajaaman alueen pinta-ala on
-4
3
43
A = 4 ∫ x 9 − x 2 dx = − / (9 − x 2 ) 3 / 2 = 36 .
30
0
7.
2
2 3 x
-2
-2
-4
Lentokoneen laskeutuessa sen pystysuuntainen vajoamisnopeus (m/s) viiden minuu(t − 150) 3
tin aikana saadaan likimain yhtälöstä v(t ) = 3 −
, jossa t on aika sekunteina
10 6
laskeutumisen alusta mitattuna. Kuinka paljon kone laskeutuu sanotussa ajassa ja
mikä on keskimääräinen laskeutumisnopeus?
Ratkaisu:
10 −6
(t − 150) 4 )
/
∫
4
0
0
= 900 (m). Keskimääräinen laskeutumisnopeus pystysuunnassa on siis 3 m/s.
Kone laskeutuu matkan s =
8.
300
(3 − 10 −6 (t − 150) 3 )dt =
300
(3t −
Tiedetään, että f ′′( x) = x 2 − 1 . Määritä f ( x ) , kun käyrälle y = f ( x ) pisteeseen (1, 1)
piirretyn tangentin yhtälö on x + 12 y = 13 .
Ratkaisu:
1 3
x − x + C1 . Tangentin kulmakerroin kohdassa
3
7
1
= f ′ (1) , josta saadaan vakion arvo C1 = . Silloin
x = 1 on −
12
12
5
1 4 1 2 7
f ( x) =
x − x + x + C2 . Yhtälö f (1) = 1 määrää vakion arvon C2 = .
6
12
2
12
1 4 1 2 7
5
x − x + x+ .
Näin on saatu f ( x ) =
12
2
12
6
Koska f ′ ′ ( x ) = x 2 − 1 , niin f ′ ( x ) =
9.
Alla olevassa kuvassa nähdään nesteallas mittoineen ja altaan vaakasuora poikkileikkaus. Laske altaan vetoisuus.
m
2,00
5,00 m
2,00 m
h
3,00 m
© Lukion Calculus 5
3+h
2h
Integraalilaskenta (MAA10) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
5
Ratkaisu:
Poikkileikkaus on aina suorakulmio. Sen pinta-ala on A( h) = ( 3 + h) 2h . Tilavuus
2
2
2
0
0
0
on näin ollen V = ∫ (3 + h) 2h dh = ∫ (3 2h + h 2h )dh = / ( 2 2h h +
=
2 2 2
h h)
5
56
= 11, 2 ( m3 ) .
5
Kertauskoe 2 (MAA10)
1.
Määritä a)
4
x
∫ ( x 2 + 4) 3 dx , b) ∫ (6
x−
1
1
x
)dx .
Ratkaisu:
x
1
1 1
1
+C
dx = ∫ 2 x( x 2 + 4) −3 dx = ⋅
( x 2 + 4) − 2 + C = −
a) ∫ 2
3
2
2
2 −2
( x + 4)
4( x + 4) 2
4
b) ∫ (6 x −
1
2.
1
x
4
) dx = ∫
1
(6 x 2
1
−x
−
1
2 ) dx
4
=/
3
(4 x 2
−
1
2x 2
) = 28 − 2 = 26
1
Kun käyrälle y = f(x) piirretään tangentti mihin tahansa kohtaan x, tangentin kulma1
kerroin on x − 3 . Käyrä leikkaa y-akselin kohdassa 2. Mikä on käyrän yhtälö?
2
Ratkaisu:
1
1
x − 3 , niin f ( x ) = x 2 − 3 x + C . Ehto f (0) = 2 antaa C = 2. Käy2
4
1 2
rän yhtälö on näin ollen y = x − 3 x + 2 .
4
Koska f ′( x ) =
3.
Määritä käyrän y = x − 4 +
4
ja x-akselin välisen äärellisen alueen ala.
x +1
Ratkaisu:
4
ja x-akselin leikkauskohdiksi
x +1
lasketaan x = 0 ja x = 3. Niiden välillä käyrä on x-akselin
alapuolella. Pinta-ala on
Käyrän y = x − 4 +
3
A = −∫ ( x − 4 +
0
=7
4.
3
4
1
)dx = − / ( x 2 − 4 x + 4 ln( x + 1))
x +1
0 2
y
2
y=x-4+
4
x+1
1
1
2
3
4x
1
− 4 ln 4 ≈ 1,95.
2
Avaruusluotaimen nopeus v (m/s) saadaan yhtälöstä v (t ) = 850 ⋅ e 0,5t , jossa t on sekunteina ilmaistava aika mittaushetkestä lukien. Kuinka pitkän matkan luotain ehtii
kulkea viiden ensimmäisen sekunnin aikana?
© Lukion Calculus 5
6
Integraalilaskenta (MAA10) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Ratkaisu:
Kysytty matka metreissä ilmaistuna on
5
5
5
0
0
0
s (5) − s (0) = ∫ v(t )dt = ∫ 850e 0,5t dt = 1 700 / e0,5 t ≈ 19 010 eli noin 19 kilometriä.
5.
Funktio f määritellään yhtälöllä f ( x ) = 2 x + 4 .
a) Määritä käyrän y = f (x ) ja koordinaattiakseleiden leikkauspisteet. Piirrä käyrä.
b) Määritä käyrien y = f (x) , x = 0 ja y = 0 rajaaman alueen ala.
c) Laske sen kappaleen tilavuus, joka syntyy, kun b-kohdan alue pyörähtää y-akselin
ympäri.
Ratkaisu:
a) Käyrän ja koordinaattiakseleiden leikkauspisteiksi
lasketaan (0, 2) ja (–2, 0).
0
b) A =
∫
-2
y
y = 2x + 4
3
1 0
2
2 x + 4 dx = / ( 2 x + 4) 2 = 2
3 −2
3
c) Yhtälöstä y = 2 x + 4 ratkaistaan x =
A 1
1 2
y − 2, y ≥ 0 . -2
2
1
x
2
1
1
2
64π
V = π ∫ ( y 2 − 2) 2 dy = π / ( y 5 − y 3 + 4 y ) =
2
3
15
0 20
0
2
6.
Puun tiheys, yksikkönä kg/m, on annettu yhtälöllä ρ (h) =
50
h +1
nä ilmoitettu korkeus maan pinnasta. Puun korkeus on 24 m.
a) Määritä puun kokonaismassa.
b) Millä h:n arvolla saatu massa on puolet kokonaismassasta?
, jossa h on metrei-
Ratkaisu:
a) Kun tiheyden yksikkönä on kg/m, massa saadaan tiheyden ja pituuden tulona.
24
24
50
Puun kokonaismassa on m = ∫
dh = / 100 h + 1 = 500 − 100 = 400 (kg) .
0
0 h +1
h
b) Yhtälön
∫
0
50
x +1
dx = 200 eli 100 h + 1 − 100 = 200 ratkaisuna h = 8 (m).
1
7.
Millä vakion k positiivisella arvolla ∫ (1 − x 2 ) k x dx =
0
1
?
6
Ratkaisu:
1
1
1
1
1
1
1
2 k
(
1
)
d
(
2
)(
1
)
d
(1 − x 2 ) k +1 =
−
=
−
−
−
=
−
=
x
x
x
x
x
x
/
∫
∫
20
2( k + 1) 0
2( k + 1) 6
0
2 k
Tästä k = 2.
© Lukion Calculus 5
7
Integraalilaskenta (MAA10) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
8.
Laske käyrien y = sin x ja y = sin 2 x rajaamien silmukoiden alat, kun x ∈ [0, π ] .
Ratkaisu:
Käyrien y = sin x ja y = sin 2 x leikkauskohdat välillä [0, π] ovat 0,
π
ja π .
3
Pienemmän silmukan ala on
π /3
π /3
1
(− cos 2 x + cos x)
2
0
π
1
2π
1
1
= − cos
+ cos − (− cos 0 + cos 0) = .
2
3
3
2
4
A1 =
∫ (sin 2 x − sin x)dx =
/0
y
y = sinx
1
1
2
3
x
Suuremman silmukan ala on
π
π
1
∫ (sin x − sin 2 x)dx = π// 3 (− cos x + 2 cos 2 x)
π /3
π 1
1
2π
1
= − cos π + cos 2π − (− cos + cos ) = 2 .
3
4
2
3 2
y = sin2x
7
9.
Määritä integraalin ∫ 1 + x 3 dx likiarvo laskemalla alasumman ja yläsumman kes0
kiarvo tasavälisessä jaossa n = 7. Ilmoita saamasi tulos yhden desimaalin tarkkuudella.
Ratkaisu:
Integroimisvälillä [0, 7] funktio f ( x) = 1 + x 3 on aidosti kasvava, joten jokaisella
osavälillä pienin arvo tulee välin alkupisteessä ja suurin loppupisteessä. Integroimisväli jaetaan seitsemään yhtä suureen osaan.
Alasumma on
s 7 = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 9 ⋅ 1 + 28 ⋅ 1 + 65 ⋅ 1 + 126 ⋅ 1 + 217 ⋅ 1 ≈ 44,724 .
Yläsumma on
S 7 = 2 ⋅ 1 + 9 ⋅ 1 + 28 ⋅ 1 + 65 ⋅ 1 + 126 ⋅ 1 + 217 ⋅ 1 + 344 ⋅ 1 ≈ 62,271 .
Alasumman ja yläsumman keskiarvo yhden desimaalin tarkkuudella on 53,5.
7
Edellisiä tarkempi integraalin ∫ 1 + x 3 dx likiarvo on 53,16142.
0
© Lukion Calculus 5