1. No category

t54
KAPITTELlO
TREKANTBEREGNING
PYTHAGORAS' SETNING
Pythagoras var født ca. 565BC (før Kristi fødsel) på den greske øya Samos i
det østre Egeerhavet.
Han var den som først oppfant eller brukte ordet "matemitiker".
Den ene vinkelen til en rettvinklet trekant er alltid lik 90" (rett vinkel). Summen
av vinklene i en
trekant er alltid lik 180". I en rettvinklet trekant vil summen av de to splsse vinklene (de som
er
mindre enn 90") alltid være 90". Før vi gilr videre, setter vi navn på de ulike sidene i
en rettvinklet
trekant, sett i forhold til en av de to spisse vinklene. Definisjonen er generell og gjelder for
begge
de spisse vinklene.
Vi skal bruke navnet-hypotenus på den lengste siden og kcrtet som fellesnavn på de to sidene
som står vinkelrett på hr,erandre.
Pythagoras' setning
:
I en rettvinklet trekcrrt er
kvodrotet ov lengden p&
hypotenusen lik summen crv
kvodrcrtene ov lengdene p&
kqtetene.
katet
52
:42 + 32
(2s:
16 + 9)
155
Bevis for Pythagoras' setning (det fins mange utgaver)
:
Areal av stort kvadrat: side ganger side: (a + b) . (a + b)
Areal av stort kvadrat: 4 ganger areal pltrekant
=4.I12.a.b+c2
*
areal av
Disse to uttrykkene for arealene er selvfølgelig lik hverandre
lite kvadrat
:
b)' (a + b) : 4 .,112. a . b + cr(vi regner ut hver av sidene i likningen)
a. a* a' b +b . a+b . b : 2ab * cz
a'+ zab * b2: 2ab + c' (flytter Zab over påhøyreside og skifter fortegn)
a2 +b2 :2ab t c2 - 2ab (2ab - 2ab: o)
(a +
Dette gir deg
a2 +b2 = c2, hvor a og b er katetene og c er hypotenusen
til de 4 trekantene ovenfor.
Dermed har vi bevist pythagoras, setning.
I
trekant ABC er vinkelene på
BC er
50m. Finn lengden på de andre
sidene ved hjelp av pythagoras'
en
30o, 60o og 90". Lengden på
setning.
156
Løsning:
I en trekant på 30o, 60" og 90o, er hypotenusen dobbelt så lang som den minste av katetene : Dvs
at AC :2x og AE| : x
Pythagoras' setning : (hypotenus)2: (katet t)2 + (katet 2)2 d,ettegir oss videre at
,
AC2=AB2+BC2
Q\)' : :'+
4<: t
5o2 (husk at ACL (2x)z ikke er lik 2x2 : (2x)2 : 2x . 2x: 4x2)
+ 502 (nå flytter vi x2 over til venstre side og'skifter fortegn)
4x2-x2:502
3x2:2500 (nå
deler vi med 3 på begge sider)
3*' = zsoo
33
x2
:
(nå forkorter
vi 3 på venstre side)
833,3 (nåtar vi kvadratroten på begge sider)
{*'=t[932,3 (kvadratrot og toeråkspongnt utligner hverandre, slik at rfxr:
x:.f833,3 (på lommeregneren får viat ,[g33,3-:2g,9)
x:28,9
Svar
: AC : 2x:2. 28,9m: 57,gm
AB
: x:28,9m
x)
157
FORMLIKE TREKANTER
Hvis to vinkler i en trekcrrt er lik to vinkler i en crnnen trekcmt, betegnes trekcmtene
som formlike
Trekant ABC er formlik med trekant DEF
aABD
- aDEF (-
:
, betyr "lik form" og
r, betyr "trekant,,),
fordi vinkel A og vinkel D er like, samt at vinkel B og vinkel E er like.
Hvorfor er vinkel C og
vinkel F like også?
Trekant GHJ er formlik med trekant GIH
aGHI
a.tt
:
- aGIH
r-": r*:
tt" ,
Sider som ligger ovenfor like store vinkler i hver sine formlike trekcrnter, kqlles
scrmsvcrende sider.
158
EKSEMPEL
Sidene
AC og DF er samsvarende sider (se figur ovenfor).
Sidene GH og GI er samsvarende sider : Ligger ovenfor 90" i henholdsvis
aGHJ og
Vi har at trekant GFII er formlik med trekant GIH
rGIH.
(se figuren ovenfor).
Legg spesielt merke trl rekkeføtgen på bokstavene vi med hensikt har brukt
:
De to første bokstavene i betegnelsen for de to trekantene gir
oss de samsvarende sidene GH og
GI (begge sidene ligger ovenfor en rett vinkel).
GJ og GH er også samsvarende (første og siste bokstaver).
HJ og IH er det siste par samsvarende sider (to siste boksiaver).
Dette leder til selveste "skinkeboksen" når det gjelder formlike
trekanter (se under).
SKINKEBOKS :Æle pcr sqmsvorende sider hcn scnnme forhold.
Dette faktum kan vi bruke til å beregne lengden til en side i en trekant.
159
EKSENÆEL
Vi skal beregne
siden
HJ:
x.
Løsning.
aGHJ
- rGIH
Dette gir oss
(samsvarende sider er skrevet med fete typer).
:
forholdet mellom de samsvarende sidene GH og
aGHJ
- aGII{ (samsvarende
Dette gir oss
sider er skrevet med fete typer).
:
forholdet mellom de samsvarende sidene HJ og
Siden
GL GH = 3
GI 5
IH , HJ = *
IH4
vi har SKINKEBOKSEN "olle por sqmsvcrende sider hcn scnnme forhold,, kan vi
sette forholdene lik hverandre og få en likning som vi kan løse med hensyn på
siden forholdene
vi
er like, far vi .. * =
3
45
ganger likningen med 4 på hver side for å forkorte nevneren 4:
x
:
160
x-' a 1 . +
=
45
*
=
^
5
-5 . 4
(4 ganges rett
f,= l2 =2.4
f
Svar : Siden HI
(nå kan vi forkorte 4 på venstre side)
:2,4
i telleren)
t6I
KAPITTEL 11 NAS.TOilALE - OG IRRASJONALE TALL (REELLE TALL)
Til nå har vi jobbet med de hele tallene '.2: {....-3,-2,-1,0,I,2,3....},brøker,kvadratrøtter og
tallet x : 3,14 i forbindelse med sirkelberegninger. Et tall kan være enten et rasjonalt tall eller et
irrasjonalt tall i kurset vårt. Tilsammen utgjør de rasjonale - og de irrasjonale tallene de såkalte
reelle tallene.
De reelle tallene, dvs. mengden de
rasjonale og de irrasjonale tallene,
tilsvarer punktene på den reelle
tallinjen. Punktene på tallinjen
regnes som dimensjonsløse, dvs. de
har ingen utstrekning. Dessuten
ligger de "tett i tett", og siden de
ikke tar plass finnes det ikke noe
"nabopunkt". På grunn av dette er
det like mange punkter mellom 0 og
1 som det er på hele den reelle
tallinjen (*).
Den reelle tallinje
3/4
EKSEMPF,I,
Ethvert reelt tall kan uttrykkesi desimal.form, for eks. 19110: 1,9 ,71100: 0,07 , 115 :0,2 ,
116:0,16666..... Når det gjelder et rasjonalt tall vil sifferene enten stoppe, eller at ettall eller en
gruppe av tall gjentar seg systematisk i rekkefølge, som for eks. i Il7 : 0,142857 142857
142.....For et irrasjonalt tall kan denne type systematiske repetisjoner ikke forekomme (ingen har
settdettilnå),foreks.,[2:l,414213562,....ellertallet pi:r:3,14159265358979323
846 . ..(22 siffer av en uendelig følge). Som vi skal se nedenfor, kan ethvert rasjonalt tall skrives
som en endelig - eller uendeligperodisk desimalbrøk.For eks. har den periodiske desimalbrøken
13133 :0,393939393939.....tal\et39 som periode. Som du ser, går ikke brøken opp, slik at en
avbrutt desimalbrøk bare er tilnærmet riktig.
(*)I forbindelse med uendelige mengder fins det mange paradokser og såkalt "common sense"
råder ikke der. Georg Cantor (1845 - 1918), grunnleggeren av mengdelæren, opererte med ulike
uendelige mengder (han kalte dem "uendelige klasser") : De tellbare og de som ikke er tellbare (de
tellbare lar seg nummerere nred de naturlige tallene '. T,2,3,4,5...osv.). Selve definisjonen hanga
på "uendelige klasser" er selv et kjempeparadoks : "Det hele er ikke større enn noen av sine
deler". Dvs. det fins delkomponenter til en "uendelig klasse" som er akkurat like stor som klassen
selv. Det er slett ikke lett å forstå at for eksempel klassen bestående av alle partall
{2,4,6,8,10,12...} kan f ernes fra klassen til de hele tallene, uten at det påvirker "antallet"
(kardinaliteten) på klassen til de hele tallene.
162
Innføringen av brøker gir oss anledning til å definere de rasjon ale tall ("fornuftige tall").
Definisjon
Et rasionalt tall er påformen m/n, hvor m og n er hele tall. n kqn ikke være tik nu7.
:
Alle hele tall er ifølge denne definisjonen rasjonale tall, men ikke omvendt. For eksempel er -3
3ll ph formen m/n, hvor m: -3 (helt tall) og n: 1 (helt tall) slik definisjonen krever.
Il2 er et rasjonalt tall, men ikke et helt tall. ll2kanogså skrives som desimalbrøken 0,5
:
-
:
0,5=0.1+5
I =0*
l0
5 5.t
l0 5.2
-=-=_
I
2
Alle rasjonale tall kan som sagt skrives som en periodisk desimalbrøk. Systematikken på
siflerrekkefølgen er grunnen til fellesnavnet rasjonale tall (av latinratioiqlis. fornuftigeller
logisk). Men til manges ergrelse er ikke alt fornuftig i vår verden, det gjelder også for tall. De
irasjonale tallene - de ufornuftige tallene - lar seg ikke uttrykke på foåen m/nl hvor m og n er
hele tall. De rasjonale - og irrasjonale tallene har fellesbetegnelsen reelle tall (betegnes rn"å n;.
Før vi går videre serverer vi en liten repetisjon som vi får bruk for senere . "Kvadratroten av et
tall er det tallet som ganget med seg selv gir tallet". For eksempel er kvadratroten av 4 lik 2, dvs.
,[ 4
:
2, fordi 2 . 2 : 4 som er det samme rorn .f+
.
{4:
4.
To vanlige eksempler på irrasjonale tall er Wadratroten av 2, rl-2: T,414 23..... og tallet pi : I
,
159 265 358 979 323 846......(22 siffer av en uendelig følge). La oss ta en gjenno*gung uv
tallet pi først.
:3,14
Hvis vi tenker oss for enkelthetens skyld, at lengden på diameteren til en sirkel er lik l, så vil
forholdet mellom omkretsen til sirkelen og dens diameter (omkretsen delt på diameteren), være
liktallet n=3,14.....
I praktisk måling byr dette på et problem, fordi tallet n er et irrasjonalt tall. Sagt på en annen
måte, hvis vi retter ut en sirkel til et rett linjestykke og bruker diameteren til å ååie lengden av
linjestykket (som tilsvarer omkretsen til sirkelen . "En gang rundt stadion"), ville det være ideelt
at
at lengden på diameteren og lengden på denne utbrettede sirkelen hadde et felles måI. Men
problemet er, at det ikke fins noen brøkdel av diameteren, for eksemp el Il3 av diameteren, som
du kan gange opp med et helt tall, for eksempel 9 ganger 1/3 som er lik 3, slik at resultatet blir
dennøyaktige lengden på omkretsen. Vi sier da at diameteren og omkretsen ikke harll3 som
felles måI. Det finnes desverre ikke noen andre felles mål heller. Poenget er atbrøken9l3 er et
hyggelig rasjonalt tall som ikke fikser den jobben. Ikke noen andre hyggelige rasjonale tall fikser
jobben heller, det vil si at det ikke fins tall på formen m. Iln, hvor l/n er .n
b.rtd.l av diameteren
og m er et helt tall, slik at produktet blir lik omkretsen på sirkelen. Telling er ikke stort verdt her.
Det er her historien om Archimedes (ca.287?-2I2 før kristi fødsel) og de gamle grekerene
kommer inn i bildet. På den tiden brukte man betegnelsen inkommens:urabie (av latin mensura,
r63
mål : ikke sammenlikbare eller ikke målbare) størrelser på irrasjonale tall. Rasjonale og irrasjonale
størrelser har ikke noe felles måI. Man ville den gangenhelst kvitte seg med Oe intommensurable
størrelsene (tankegangen er vel ikke helt ukjent). Men Archimedes traåde på følelsen at rdisse
størrelsene også fortjente å kalles for tall, dvs. at de hadde en tallverdi Han mente at irrasjonale
tall "ligger mellom" de rasjonale tallene (dette gir mening hvis vi tenker på tallinja). Oa han jobbet
med problemet "hva diameteren i en sirkel må ganges for å få omkretsen", fant ian at
det søkte
tallet måtte ligge mellom tallene 3 + IOlTl og 3 + 10170, dvs. mellom 3,140g4507 og
3,L42857l42.Dette stemmer godt med den "virkelige" verdien3,l4 r5g 265......
I gamle dager regnet matematikere og andre regnekyndige ut sifferene for hånd. Utregningen av
hvert siffer tok grusomt lang tid. En engelsk matematikei, Shanks. regnet ut fantastiske 707 siffer
for tallet n i 1873 . Kraftige datamaskin er har regnet ut svimlende : O millioner siffer for pi, men et
system på sifferrekkefølgen kan man skyte en hvit pil etter. En pekepinn om hvor krevende
utregningen av Ic er, får du ved å sufirmere flere og flere ledd i den uendelige rekkennedenfor
:
TE
4
_r
I
3
I
5
I
7
I
9
I
ll
Legg merke til systematikken på brøkenhetene. Du får neste ledd i rekken ved å
øke nevneren
med 2 og skifte fortegn. Nevnerene er en følge av oddetall. Jo flere ledd
du trekker sammen (og
ganger med 4), desto nøyaktigere blir verdien til n. Rekken stammer
fra den tyske matematiker
og diplomat Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Historien om kvadratroten av
2, r[2, har sine røtter langt
tilbake i tiden. De gamle
egypterene var dyktige
landmålere.Tre tusen år gamle
egyptiske veggmalerier viser
landmålere som strekker et
tau med 12 knuter som har
samme avstand, rundt to
pinner. Resultatet blir en
rettvinklet trekant hvor sidene
har lengdene3,4 og 5, hvis
lengden mellom to knuter
tilsvarer lengdeenheten 1.
En egvptisk trekant får man ved å strekke en snor
med L2 knuter rundt to pinner
Pythagoras' (569-500 før
kristi fødsel) setning sier at "kvadratet på den lengste siden (hypotenus) i en rettvinklet trekant
er
lik summen av kvadratene på de andre sidene (katetene)". For trekanten med de TZ knutene som
vi nettopp nevnte, ffirvi likningen 5 .
dvs. kvadrattallet2l (kvadratetav
hypotenusen) er lik kvadrattallet 16 (kvadratet på den lengste kateten) pluss tvadr attallet 9
(kvadratet på den minste kateten).
5:4.4+3.3,
r64
Hvis vi nå tenker oss en rettvinklet trekant hvor katetene (sidene som står vinkelrett på hverandre)
settes lik 1, så er spørsmålet : Hva blir lengden på den lengste siden ?
M må finne et tall a som ganget med seg selv er lik summen av kvadratene på katetene, dvs. a . a
= I ' 1 + 1 ' 1 : 2. Utfra definsjonen på kvadratrot vet vi at kvadratroten av 2, t[2, er et slikt tall :
,[z',[z:2. Men ,[2 er ikke et rasjonalt tall. Man kan ikke måle lengden på hypotenusen til
denne trekanten i forhold til lengden på en katet (: 1).Pytagoreerne(et selskap dannet av
Pythagoras'lærlinger) kjente til eksistensen av dette tallet sammen med andre irrasjonale tall. De
(ente også til beviset for at ,[2 er irasjonal. For plthagoreerne var matematkk en halvreligiøs
kult (fornuften ble opphøyd til religion), og oppdagelsen av de irrasjonale tallene rev grunnen
under deres etablerte måte å tenke på. De hadde betraktet de hele tallene som det fundamentale.
De avla ed på å holde oppdagelsen hemmelig.
Vi
skal avslutte tallodyseen vår med å bevise atr[2 er et irrasjonalttall, dvs. at tallet ikke kan
skrives på formen m/n, hvor m og n er hele tall (n er ikke lik 0). For det første, kvadratrote n av 2
kan ikke være et helt tall, fordi det ikke fins hele tall som ganget med seg selv er lik 2. Det betyr
at n-heller ikke er lik 1, fordi m/n da ville være lik m som er et helt tall. I beviset vårt går viut i fra
atr[2 er et rasjonalt tall, og viser at resonnementet ender i en selvmotsigelse. Vi setter
,l;
m
=
n
,
hvor brøken er mest mulig forkortet (teller og nevner har ingen felles faktorer). Hvis vi kvadrerer
,[2,
far
vi
mm
=-.l;
nn
'l;
Siden ,f
Z'r[Z:2
ogproduktet av to brøker er lik "teller gangetmed teller" og "nevner ganget
med nevner", får vi
m,m
n'n
Nevneren kan ikke være lik 1, siden n ikke er lik l(se ovenfor). Hvis brøken skal være lik 2, måt
nevneren kunne forkortes (telleren må ha n . n som faktor). fordi2 er et helt tall. Men
forutsetningen var nettopp at m og n ikke hadde felles faktorer (de kunne vi jo ha forkortet med
en gang), dermed lar brøken seg ikke forkorte og antagels en at r[2 er et rasjon alt tall holder ikke
165
KAPITTEL 12 TRIGONOMETRI (trekantberegning ved hjelp av cos, sin og tan)
Trigonometri betyr trekantmåling
eller trekantberegning.
Trekantmåling er å måle sidene og
vinklene i en trekant. Lengden på
sidene i en trekant på et stykke papir
kan måles med en linjal, mens
størrelsen på en vinkel kan måles med
en gradskive.
rR\
\\' /-------r
i
)\
r \\ Da er det vel bare å måld
,/
Vel
*'
,
F-;:
!!
,-/
-!--,
lreKanmalms
/----\ 1 \
--,---/
,,-/
Landmåler
T. Rekant
,/\er en praktisk
mann.
Trekantberegninger foretas blant annet
ved hjelp av Pytogoros' setning,
ensformede trekanterog de trigonometriske funksjonene cosinus, sinus og tcmgens til en
vinkel. Det er de trigonometriske funksjonene vi skal lære om i dette kapittelet.
Innenfor landmåling brukes en teknikk som kalles triangulering. Her bygges det opp et såkalt
triangelnett som er linjer mellom terrengpunkter : I forhold trl ennøyaktigfastlagt grunnlinje kan
et tredje punkts nøyaktige beliggenhet beregnes ved å måle horisontal- og vertikalvinklene til
punktet. Vinklene og avstandene måles effektivt med teodolitten og tachymeteret.
I åpen sjø er det mulig å bestemme posisjonen til et skip ved hjelp av en sekstand som er et
instrument til å måle høydevinkelen mellom horisonten og sola. Ved å foreta flere slike
beregninger er det mulig å beregne skipets posisjon. Kunsten å bestemme et skips posisjon og
kurs kalles for navigasjon (fra det latinske ordet navigare som betyr å seile).
De trigonometriske funksjonene som vi skal introdusere, brukes til å beregne størrelsen på
vinkler og lengden på sidene til rettvinklete trekanter.
NA'\TNSETTING PÅ SIDENE I EN RETTVINKLET TREKANT
Den ene vinkelen til en rettvinklet trekant er alltid lik 90" (rett vinkel). Summen av vinklene i en
trekant er alltid lik 180". I en rettvinklet trekant vil summen av de to spisse vinklene (de som er
mindre enn 90") alltid være 90". Før vi går videre, setter vi navn på de ulike sidene i en rettvinklet
trekant, sett i forhold til en av de to spisse vinklene. Definisjonen er generell og gjelder for begge
de spisse vinklene.Vi velger en gammel kjenning som utgangspunkt, nemlig en trekant på 30o, 60"
og 90".
Vi skal bruke navnet hypotenus på den lengste siden og kotet som fellesnavnpå de to sidene
som står vinkelrett på hverandre. Navnene hosliggende kcrtet og motstående kotet refererer
166
alltid til en spesiell vinkel
:
Hosliggende katet
til 30 grad.
Hypotenu
Motstående
katet til 60 grad.
Hypotenus
Motstående
katet til 30 grad.
Hosliggende katet
grad.
til60
Her refererer katetene seg til vinkelen på 30 grad.
Her refererer katetene seg
til
vinkelen pL 60 grad.
Husk at navnsettingen gjelder for alle mulige spisse vinkler v i en rettvinklet trekant, ikke bare for
vinkler på 30"og 60". Betegnelsen rABC betyr at vi har en trekant med tre hjørner A, B og C. En
vinkel som for eksempel betegnes I BAC, er en vinkel med vinkelbeinene AB og AC som stråler
ut fra toppunktet ihjørnet A. I trekanten nedenfor er I BAC : 60o. Dersom det ikke er fare for
misforståelse, skriver vi kort og godt tA: 60,.
En viktig egenskap for rettvinklete trekanter er at størrelsen til de to spisse vinklene bestemmes
helt av lengden på sidene i trekanten.
Dette kan illustreres ved å se på trekanten nedenfor : I en trekqnt med vinklene 30o, 60o og
90o, er olltid lengden p& den lengste siden (hypotenusen) dei dobbelte ov lengden på
den minste koteten.
Kort skriver vi at AC :2AB Ved hjelp av
likningen kan vi regne utforholdstallet
AB/AC på en enkel måte. Dette tallet skal
vi bruke nedenfor.
Først setter vi AB
Dette gir oss
:
x, slik at AC = 2x.
A
=l.x = l
2x 2.x
2
AB= x
AC
=0,5
t67
Forholdstallet AB/AC kan vi knytte til hver av de spisse vinklene. Hvis vi for eksempel knytter det
til lA: 60o (se siste figur), vil forholdstallet AB/AC være det samme som "lengden til
hosliggende katet til vinkel A delt på lengden til hypotenusen" (AB er den hosliggende kateten til
vinkel A og AC er hypotenusen).
Dette leder oss følgende definisjon, som skal være foreløpig smakebit
:
Lengden til den hosiiggende koteten til en spiss vinkel v delt på lengden til hypotenusen
kalles for cosinus til vinkelen v og skrives cos v.
(de trigonometriske funksjonene sin, cos og tan skal vi komme tilbake
til)
Dette kan vi bruke til å finne en ukjent vinkel v hvis vi vet cosinus til vinkelen.
I vårt tilfelle har vi altså
cos
6o' = AB = 0.5
AC
Hvis vi ikke hadde kjent vinkelen, kunne vi ha kalt den for v og skrevet cos
Lommeregneren vår kan automatisk gi oss at vinkelen v da er lik 60".
v:
0,5.
Lommeregner Casio CFX-9850GB PLUS : Start lommeregneren ved å trykke på AC/ON. Velg
RUN på menyen ved hjelp av piltastene og trykk EXE.
Trykk på SHIFT og cos (dette aktiviserer den omvendte funkslonen til cosinus, cos-t. Mer om det
senere) og tast inn 0,5 og trykk EXE, slik at 60 vises på displayen (Rekkefølgen på inntastningen
kan også være omvendt, avhengig av lommeregneren : Tast inn 0,5 og trykk på SHIFT og cos
tasten. 60 vises på displayen.
Husk at lommeregneren må være innstilt på grader (GRAD)
NB ! Før du går videre må du sjekke at lommeregneren er innstilt på grader (ikke radianer, som
er et annet vinkelmål). Nedenfor viser vi hvordan du gSør dette.
Lommeregner:
Bruk
SI{IFT
MENU
piltast nedover til du kommer til linja
Angle
: Rad (eller Deg som det skal stå i vårt tilfelle)
Nederst på skjermen ser du tre innstillinger som du kan velge mellom
Deg Rad Gra
Du velger Deg (ikke velg Gra som er noe annet) ved å trykke Fl. Nå skal det stå
Angle
: Deg (trykk på EXE for å komme ut av menyen)
så
.
Nå vil lommeregneren fortsette å bruke grader, selv om den har vært avslått.
168
COSINUS, SINUS OG TANGENS
Nå er vi klare for definisjonene på cos, sin og tan til en vinkel (hold øye med figur på side 166).
I en rettvinklet trekcrnt er cos, sin og tcm til en spiss vinkel,
I
v, definert ved:
cos v
lengden av hosliggende katet til vinkel v
lengden av hYPotenasen
SlnY=
lengden av motstående katet til vinkel v
lengden øv hypotenusen
tanv
lengden av motstående katet til vinkel v
lengden av hosliggende katet til vinkel v
=
Kommentar;
Vinkelen v kan ikke være lik 0" eller 90" ved bruk av disse definisjonene. Definisjonene kan
utvides til å gjelde vinkler som er srørre eller lik 90" og mindre eller lik 0". På lommeregneren kan
du for eksempel regne ut tan(-45") : -1.
EKSEIVTPEL
Vi har en trekant på 30", 60" og 90" (gammel kjenning) AC : 6 cm, BC
1) Finn lengden
av
:
3 cm'
AB vecl hjelp av pytcrgoros' setning (gammel plageånd fra
ungdomsskolen).
cos, sin og tan til I A
og I C ved hjelp av sidene i
trekanten.
2) Finn
3) Finn til slutt cos, sin og
tan til 30" og 60" direkte ved
hjelp av lommeregneren
uten å bruke definisjonene.
r69
Løsning på 1):
Pytagoras' setning sier:
(lengden p& hypotenusen)z
Hypotenus
Vi
:
AC
:
:
(lengden p& kotet)2 + (lengden p& kotet)2
6 cm, katet AB
setfer verdiene inn t
:
x og katetBC
:
3 cm.
setntn
AC2:AB2+BC2
62:x2+32
36:v2+9
Erstatter AC med 6, AB med x og BC med
62: 6 . 6:36
og32
:3
.3
:9
Vi flytter 9 over på venstre side
og bytter
fortegn
36-9:x2
2'7 : x2
,[27
\)
36 -
9:21
Anvender kvadratroten på begge sider
:
rfxt
Regel : "Toer-eksponent spiser opp
kvadratroten".
Dette gir atrfxz : x På høYre siden
Venstre side gir al't[27 : 5,2
X
Svar : Lengden på siden AB er altså 5,2 cm.
Løsning
pe4'.
cosl.
5,2 0,g6g7
hosliggende katet AB
=
=
=--ffi"*n^
AC =
6
BC 3 ! = 0,5
motståendekatet
=
= =
sinr4 -
hypotenus AC 6
tan
2
?
motstående katet BC
- -:- = 0.5769
=
A. - :::::"*:-hosliggende katet -AB 5,2
3
t70
cosL=-=BC
3 = 1=0,5
slnL=-=AB
5,2
62
AC
AC
=
0,8687
6
<)
-AB
tanc=_=
BC
1,7333
-=
J
Den siste oppgaven (oppgave 3), kan du gSøre selv og sammenlikne.
Kommentar : I eksempelet ovenfor var det strengt tatt ikke nødvendig å bruke pytagoras' setning
for å beregne lengden av AB. Vi kunne ha brukt hvilken som helst av de trigonometriske
likningene i eksempelet som inneholder AB
:
For eks.
tanC:
ABÆC
:
1,7333 <+AR
:
1,7333. 8C
:
1,7333
'3 :
5.2 (etter forhøying).
Legg merke til at tan C : tan 60o: I,7333 får vi rett ut av lommeregneren.
I neste avsnitt skal vi vise hvordan sidene i en rettvinklet trekant kan beregnes på den måfien.
BEREGNING AV SIDER
Når vi beregner sider ved hjelp av de trigonometriske funksjonene cos, sin, og tan til en vinkel, må
vi kjenne minst en spiss vinkel (mindre enn 90") og en side i en rettvinklet trekant.
F,KSF,MPtr,T,
Vi skal måle bredden av en elv.
Strekningen AB er nøyaktig målt til 100m. Vinkel
A er 90". Vinkel B kan vi måle ved hjelp av en
transportør og en dreibar siktepinne. Vinkel B
måles til 40". Nå kan vi beregne lengden AC som
er bredden på elva (ikke bry deg om målestokken).
IanB
bredden
på
elva
=
100
Siktcpinnb
Vi erstatter tan B med tan 40o.
tan 40o : 0,8391, finner vi på lommeregneren.
tan 40,
_
bredden
på
100
elva
blir til
0-g-1gl
'
-
bredden
på
elva
100
Vi ganger med 100 på begge sider for å bli kvitt nevneren. Dette gir 0,8391 ' 100 : bredden på
elva, dvs. 83,91
:
bredden på elva. Svar : Bredden på elva er ca. 8m.
t71
EKSEMPEL
Hvor lang skygge kaster en bygning som er 45mhøy, når sola
stårr 23,1o
over horisonten
?
Løsning.
Lengden av skyggen er lik AB : x.
Tangens til en vinkel er definert som
lengden av motstående katet delt på
lengden av hosliggende katet. Det er
derfor naturlig å beregne tan 23,1' i
dette tilfellet.
tan 23,1o =
BC
= 45
ABx
tan23,L' :0,4265 finner vi ved hjelp av lommeregneren.
0,4265
=
45
Vi multipliserer med x på begge sider av
x
likningen
0,4265'*=45 *
)c
0,4265
'x:45
Nå kan vi forkorte x i teller og nevner på
høyre side
Deler med 0,4565 på begge sider
x = 45
0,4265 0,4265
Etter å ha forkortet 0,4265 i teller og nevner
på venstre side får vi x
x:
Skyggen: AR
0,4265
105,5
Svar : Skyggen er altså 105,5m lang.
:
x
172
EKSE]\æEL
Nedenfor har vi tegnet en rettvinklet trekant med AB
:
4 cm og
I C:
55o.
Finn lengden på AC.
Løsning
.
Sinus til en vinkel er lik lengden av
motstående katet delt på lengden av
hypotenusen. AC x.
:
sin 55o =
sin 55":0,8192 beregner vi ved hjelp av lommeregneren
Dette gir oss en likning som vi løser mhp. x.
0,8192
4
Vi multipliserer med x på begge sider av
x
likhetstegnet
L
0,8192'x=
.r
x
0,8192'x:
x: 4,8828
side av likhetstegnet
Og så er det bare L dele med Q,8I92
begge sider av likhetstegnet
4
0,8192 . x
0,8192
Vi forkorter x i teller og nevner påhøyre
0,8792
Påt
Forkorter felles faktor på venstre side av
likhetstegnet. På høyre siden får vi
410,8192: 4,8828
AC=x
Svar : Lengden av siden AC er lik 4,9 cm (etter forhøying).
t73
FKSF,MPtr-T,
En stige står stilt opp 40 cm fra en
C
vegg.
I
I"ll
Helningen med bakken er 75o
Finn lengden av stigen.
Løsning
Lengden av stigen er lik AC: x cm.
Cosinus til en vinkel er lik lengden av
hosliggende katet delt på lengden av
hypotenusen.
:
cos 75o =
cos 75o
:
Å
A40B
AB
=
40
ACx
0,2588 beregner vi ved hjelp av lommeregneren og får en likning som vi løser mhp.
X.
0,2588
=
Vi ganger med x på begge sider av
40
likhetstegnet
x
0,2588'x=40'*
x
0,2588x
:
0,2588
x:
Deler med 0,2588 på begge sider av
likhetstegnet
40
0,2588 . x
=-
154,5595
Forkorter felles faktor x på høyre side av
likhetstegnet
40
0,2588
Forkorter felles faktor 0,2588 på venstre
: 154,5595
side. På høyre side : 40/0,2588
Lengden av stigen: AC
:
x
Svar : Stigen er 154,6 cm lang.
I neste avsnitt skal vi beregne vinkler ved hjelp av de omvendte funksjonene til cos, sin og
-log tcrn-I.
tan til en vinkel v. De betegnes cos-t, sin
174
BEREGNING AV VINKLER
cosv
-0
De omvendte funksjonene til cos,
sin og tan til en vinkel v, cos-10 sin
og tan-l,
kan vi bruke til å finne en ukjent
vinkel v, ved å anvende de på
verdien til cos v, sin v eller tan v.
cos -l rof. Tallmøl's omvendte
-1
EKSEl\æEL
La oss anta vi skal finne en ukjent vinkel v. Det eneste vi vet er at cosinus til denne ukjente
vinkelen v er lik 0,5 , dvs.
cos
v:
0,5
Oppgaven blir nå å finne vinkel v.
Løsning
Vi anvender den omvendte funksjonen til cos v (som er lik cos-l) på 0,5
:
cos-t 0,5
:
'
60o (utregnet på lommeregneren, se under)
Dette gSør du slik på lommeregneren(Casio) : Du aktiviserer funksjonen cos-t ved å trykke
ørst på SI{IFT og så på cos (cos-t-tegnet står som regel over cos-knappen). Til slutt taster du
inn 0,5 (cos v: 0,5) og trykker På EXE.
Svar : Vinkelen hvis cosinus er lik 0,5 er v: 60o.
EKSEI\æEL
Hvis vi anvender funksjonen cos v på vinkelen
lommeregneren :
v:
60o fra
forrige eksempel, {år vi ved hjelp av
175
cos 60o = 0,5
Dette svaret bekrefter at cos og cos-t er omvendte funksjoner av hverandre.
Casio lommeregner
: cos 60 EXE
(skjermen viser 0,5).
Oppskriften for Lfinne en vinkel v er klar
'.
"Kost cos v opp i den omvendte fi.rnksjonsmoskinen (se tobellen nedenfor) og ut
skvetter vinkelen v igjen". Enkelt ?
ovenfor slik
Formelt kan vi skrive resultatene fra
cos
v
sln
cos-l(cosv)
:
v
tan v
v
sin-l(sinv)
:
v
tan-l(tanv)
:
v
HUSK : Vær oppmerksomph at -1 ikke er en eksponent slik som i potensen
2-r : ll2. For eks. er cos-t ihke lik cos-t : l/cos, men er en egen funksjon.
Vi repeterer at lommeregneren må være innstilt på gradet (GRAD).
EKSEVFEL
I
den rettvinklete trekanten nedenfor er
:7
cm og BC :2
AB
cm.
Finn vinkel v.
C
/'.'
) 2 cm
-.::1) tt
--,1 B
A 7cm
I
Løsning
:
Tangens til en vinkel er lik lengden av
motstående katet delt på lengden av
hosliggende katet. Derfor er det naturlig å
anvende tanpL vinkel v (finne tan til v).
BC2-tanv=";=a=0,2857
Den omvendte tangensfunksjonen anvendt phtanv (dvs. anvendt ph0,2857) gir oss vinkelen
v som vi ønsker å finne. Bruk tan-l funksjonen på lommekalkissen til dette.
Løsning : Still lommeregneren på GRAD (se side 167)'
v:
tan-l(tan v)
:
tan'r 0,2857
:
15'
T76
Svar : vnkelen v i trekanten ABC er lik 15" (det står l5 på displayen).
Kommentar . Legg merke tit at tanv er det safilme som stigningstallet trl den rette linja gjennom
AogC.
vi
prøver oss med en liten oversikt igjen (det safilme som er sagt ovenfor)
(tall med benevningen grader)
Vnkel v med benevningen
grader slenges ned i for eks.
cosinus-maskinen og ut
kommer cosinus til vinkelen
som er et ubenevnt tall. Det
..,v
,
ubenevnte tallet cos v
fortsetter inn i den omvendte
cosinus-maskinen og ut
kommer vinkelen igjen.
cos
v (ubenevnt tall)
(tall med benevningen grader)
AREALSETNINGEN
Grunnlinjen t entrekant kan velges
fritt som en av sidene i trekanten.
Høyden i trekanten står alltid
vinkelrett på grunnlinjen.
B
g
:
grunnlinjen
h
:
høyden
t77
I den rettvinklete trekanten til venstre på forrige
side er den ene
av katetene grunnlinjen og
den
andre er høyden.
I trekanten tilhøyre hvor alle vinklene er spisse har vi valgt AB som grunnlinje. Norm alenfra
hjørnet C nedfelt på AB blir den tilsvarende høyden.
Arealet av et rektangel (firkant med fire rette vinkler) er lik lengden av den ene siden ganget
med lengden av den andre siden
For rektangelet (halvparten av rektangelt er stiplet) til venstre ovenfor tilsvarer det grunnlinjen
ganget med høyden i trekanten.
Diagonalen i et rektangel deler rektangelet i to like trekanter.
Dette gir oss følgende resultat :
Areolei, F,
crv
en trekont er lik holvporten ov grunnlinjen gonget med høyden:
p=!sh
2
Setningen gjelder for alle typer trekanter.
La oss finne et uttrykk for grunnlinjen g og høyden
h.
Høyden h i trekant ABC (se figur på forrige side) inngår i uttrykket for sinus til vinkelen v i
samme trekant.
.h
Vi ganger med AC på begge sider
AC
(sinv).AC=L.eC
AC
AC'sinv:h
Forkorter felles faktor AC på høyre side.
Snur rekkefølgen på faktorene på venstre side
h:
høyden i trekant ABC
Grunnlinjen g i formelen for arealet F et stykke ovenfor tilsvarer siden AB i trekanten ABC (se
figur på forrige side).
Samlet har vi derfor at
g:
AB
h:AC'sinv
Grunnlinjen i trekant ABC
Høyden i trekant ABC
178
hilnnlu
Sett gI
kket for a realet F til en treka
Erstatter g med AB og h med AC . sin v
p=!.g"h
I
=-r'AB-AC.sinv
2
På grunnlag av dette kan
far VI
Arealet F i en trekant ABC.
v er mellomliggende vinkel til sidene AB og
AC
vi formulere oreqlsetningen
:
Areolet F ov en trekcmt ABC er tik holvpcrrten ov produktet ov to sider og sinus til
mellomliggende vinkel
:
F = i- . AB . AC' sinv
1
2
Kommentar : Husk regelen er generell og gjelder for qlle par av sider i en fritt valgt trekant. For
eksempel får vi det samme arealetF. hvis vi bruker vinkel ABC (l ABC) istedenfor vinkel v : F
Il2' AB .BC . sin (l ABC) Se figur ovenfor et sted.
:
EKSEMPEL
Vi har
:
en trekant
5 cm og AC
:
ABC hvor AB : 7,8 cm, BC
4 cm. Vinkel C (lC) er lik
1200.
Oppgave : Finn høyden h i trekanten.
'
Løsning
4 cm,,
Her har vi to sider, AC og BC, og deres
.,a
mellomliggende vinkel, I C: 120". Disse
A
opplysningene tilsier at vi kan bruke
arealstningen. Dessuten vet vi at arealet av en
trekant er lik grunnlinjen ganget med høyden
delt på z
\Å setter de to uttrykkene for å beregne arealettil en trekant lik hverandre og løser likningen mhp.
h
179
!sh= n, BC (sin t2u)
)
Erstatter g: AB med 7,8 , AC med 4 ,BC
med 5 og sin 120" med 0,8660 (sin 120" er
1.4.5.0,8660
=
!.r,t
)1
Vi multipliserer med 2 påbegge sider av
2
funnet med lommeregner)
--
likningen
2 :-lr . 7,8 - 2 . - . 4. 5 . 0.8660
22
Forkorter felles faktor 2 i teller og nevner på
7.8.h:4.5.0,9660
Høyre siden : 4' 5 '0,8660
h:17,32
7,8
7,8.h
:
I7,32
Deler med 7,8 på begge sider av likhetstegnet
Gjett hva som kan forkortes ? Høyre siden er
lik I7,32 I 7,8 : 2,2205
_17,32
7,8
begge sider
dessuten
7,8
h:2,2205
Høyden i trekanten ABC
Svar : Høyden i trekanten ABC er 2,2 cm
LØ S TE EKSAMENS
Eksamen våren
OPPGA\ER
1993
(emneområde 2)
Oooqave 6
Avstanden mellom to fyrtårn A og B er 30,0
km. Siktelinja gjennom A og B danner 48,0o
med nordlig retning. Ved et bestemt tidspunkt er
et skip i posisjonen P slik at PB danner 73,0o
med nordlig retning. PA danner 138,0" med
nordlig retning. Se figuren.
a) Vis at I PAB :90"
Løsning
Tegn beregningene inn i figuren etter hvert
Vet du hvor stor en vinkel på 180" er ? Se
tegningen. IAPC: 180"- I38':42'.
Summen av vinklene i en trekant er lik 180".
:
!
Anvender vi dette på trekani APC (AAPC) får
vi
Nord
B (fyrtårn)
180
IPAC:
Svar
180o
- 42o - 48o: 90o
: IPAB:
90o:4o
180'-
(se tegningen)
.
b)
Regn ut avstanden
LØSNING
Vi
til hvert av de to fyra.
:
skal altså finne lengden av PB og PA.
IAPB
:
138o-
Tangens
til
'73o: 65"
lik motstående katet delt på hosliggende katet. I trekant ABp er tangens
til vinkel APB det samme som AB ÆA.
en vinkel er
tantAPB=tan65o=AB =
PA
30
PA
tan 65":2,1445 finner vi på lommeregneren.Vi setter dette inn og ffir
en likning som vi kan løse mhp. PA
2,1445
30
Vi ganger med PA på begge sider av
PA
likhetstegnet
=_
2,1445.PA=3o.p.l
Vi forkorter felles faktor PA på høyre siden
PA
2"1445.PA:30
2,1445 . PA
2,1445
PA:
Svar
=
13,9893
\å
er desverre nødt til å dele begge sider av
likhetstegnet med 2,1445
30
2,1445
Forkorter felles faktor 2,1445 på venstre
siden. Høyre siden : 30 I 2,1445:13,9893
Avstanden til fyrtårn A
:
Nå gjenstår det å finne avstanden fra skipet til fyrtårnet B, dvs. finne lengden på PB.
Sinus
til
en vinkel er
lik mot.rtående katet delt på hypotenusen. På figuren tilsvarer dette
181
sin65o
65o: 0,9063 (funnet
=AB
sin
=AB
Ganger med PB på begge sider av
på lommeregneren)
PB
0,9063
PB
PB =
0,9063
AB .pa
PB
0,9063 'PB
:
0,9063 .PB
:30
0,9063 . PB
0,9063
:
PB
AB
=
Forkorter felles faktor PB på høyre side
Erstatter AB med 30 (gitt i oppgaven)
Deler med 0,9063 på begge sider
30
0,9063
33,1016
Vi kan atter
forkorte felles faktor på
venstre side. Høyre side er lik 33,1016
en gang
Avstanden til fyrtårn B
Svar : Avstanaen na stioet
En liten øy H ligger 18,0 km fra A og
12,0 km fra B.
Nord
c)
Regn ut vinkelen som linja PH
danner med nordlig retning.
LØSNING
:
Vi finner først zAPH
Siden trekant
:
v
AHP er rettvinklet kan
vi benytte oss av tangens-definisjonen
til en spiss vinkel (mindre enn 90").
ens
til
tll
en vinkel
vmKel er detmert
definert som lengden av motstående katet delt på hoslieeende katet
tan v
=AH
Erstatter AH med 18 og PA med 14
=-l8
l8lI4:
PA
tan v
14
I,2857
:
T82
tan
Hvis vi anvender den mystiske motsatte
funksjonen tanl på 1,2857, år vi vinkelen v.
La lommeregneren stå på GRAD
v = 1,2857
!
Lommeregneren gir oss
v:
tan-l(1,2857): 52,Io (displayen viser ingen benevning)
Svar:Vntetenmettomnor
.T3o + 65o-
v:
138o
- 52,I":85.9o
Eksamen våren 1992 (emneområde 2)
I skjøtet på en hyttetomt står det blant annet : "Tomta danner en rettvinklet trekant ABC der AB
er 85m og vinkel A er 35". Det er satt ned merker i alle hjørnene',.
Etter mange år var merkene blitt borte, og det oppsto tvil hos en ny eier om hvilken vinkel som
var lik 90".
a)
Regn ut AC, BC og arealet av tomta hvis
lC:
90o.
LØSNING:
Utregning av AC :
For å finne lengden på siden AC : x
anvender vi cosinus-funksjonen på vinkel
IBAC:35o. Cosinus til en spiss vinkel
(mindre enn 90") i en rettvinklet trekant er
definert som lengden av hosliggende katet
delt på lengden av hypotenusen. (Katetene
er de sidene som står vinkelrett på
hverandre). Det lønner seg å ta med minst
fire siffer etter kommaet i utregningen for
h øke nøyaktigheten. I selve svaret
forhøyer vi eventuelt første siffer etter
kommaet.
cos35'=AC = x
AB 85
cos 35o
:0,8192 finner vi ved hjelp
av lommeregneren.
C
/-<\
.)'
183
O,8lgZ
=
x
Vi ganger med 85 på begge sider av
85
likhetstegnet
0,8192. 85 : 69,6320
og på høyre siden forkorter vi felles åktor 85
85=4.85
0,8192
På venstre siden får
85
x:
69"6320: x
Svar : Lensden av siden AC
Utregning av BC
:
vi
AC
69 6m
:
Lengden av siden BC : y finner vi ved å anvende sinus-funksjonen på IBAC: 35"
Sinus til en vinkel er lik lengden av motstående katet delt på hypotenusen.
sln
SM
:
0.5736 finner vi
0,5736
0,5736
J;- = BC AB
Y
85
ommekalkulatoren.
-
y
Ganger med 85 på begge sider av
85
likhetstegnet
.85=-.,L.85
Forkorter felles faktor 85 på høyre side
85
Y: BC.
Andre siffer til høyre for kommaet i tallet
48,7560 er større eller lik 5, slik at tallet 7 kan
lorhøyes til 8
48,7560: y
Svar : Lensden oå siden BC er lik 48 8 m
Arealutregning
Arealet av en trekant kan beregnes på to måter. Den ene måten sier oss at arealet av en trekant er
lik det halve produktet av grunnlinjen og høyden. Arealet er også lik det halve produktet av to
sider og sinus til deres mellomliggende vinkel.
:
1. måte :
Areal av trekant ABC
: ll2 gh: ll2 AC .BC
:0,5 ' 69,6320'48,7560
:
L697,4889
184
: Il2 AC. AB sin 35"
2. måne: Areal av trekant ABC
:
0,5' 69,6320. 85 . 0,5736 : 1697,4889
tC:
Svar : Arcalel3lllada (dersom
90') er ca. 1200-m3
Kommentar : Benevningen kvadratmeter, m2, fremkommer når to lengder målt i meter ganges
sammen (for eksempel lm . lm: 1m2).
b) Regn ut arealet av tomta hvis
lB :
90o.
LØSNING
Vi kan regne ut arealet på trekant ABC
enten ved å finne lengden på siden AC : x
eller lengden på BC. Vi kan bruke tan 35o:
BC/AB for å beregne BC og så regne ut
uttrykket Il2 AB. BC. For treningens skyld
regner vi ut uttrykket Tl2 AC . AB sin 35"
for å finne arealet på trekant ABC.
Vi bruker cos 35o for å finne AC : x.
.
cos 35o =
cos 35"
AB
=
ACx
85m
85
:0,8192 finner vi på kalkulatoren.
=
O,8lg2
85
Ganger med x på begge sider
x
0,8192'r=85.,
På høyre side
forkorter vi felles faktor x
)c
0,8192'
x:
85
0,8192,x
= 85
0,8192 0,glg2
:
x
Arealet av trekant ABC
103,7598
Deler med 0,8192 på begge sider
Vi forkorter felles faktor 0,8T92 på venstre
side og regner ut brøken påhøyre . 8510,8192
:
103,7598
x:
AC
:
Tl2' AC' AB ' sin 35"
Erstatter AC med I03,7598, AB med 85 og
sin 35o med 0,5736 (regnet ut med
lommeregneren)
185
:0,5 . 103,7598 . 85 . 0,5736
:2529,4564
fuealet av trekant ABC
Svar : Arcalctgylolq1A (dersom
lB
: 90") er ca. 2500m3
Ved en ny oppmåling ble zA beholdt
lik 35". Hjørnene B og C ble plassert
slik at ABC danner en likebeint trekant
med BC som grunnlinje, og slik at
arealet av tomta er 2000 m2.
c)
Areal:
2000 nP
Regn ut lengden av BC nå.
LØSNING:
AC:AI}:X
Likebeint trekant (oppgitt i oppgaven)
BF:
Fotpunktet F for normalen fra A ned på
grunnlinja BC deler linja i to like deler
CF
IFAC: IBAF:17"5o
Siden arealet
Il2'
AV
Fordi linja AF halveringslinja for IBAC
ABC er gltt. Kan u sette
t AjJU
AC' AB ' sin 35o : 2000
0,5
'x'x'
0,5636:2000
0,5 , 0,5736
0,5 . 0,5736
x2
2000
0,5 . 0,5736
x2:6973,5007
lik 2000
rmelen
len t'or
fo areal-setru
Il2
erstattes med 0,5 ,
AC med x, AB med x,
x ' x er som kjent lik x2. Ved å dele med
produktet 0,5 . 0,5636 på begge sider av
likhetstegnet får vi x2. Husk også at
faktorenes rekkefølge er likegyldig
Forkorter felles faktorer på venstre side.
Høyre side er lik 6973,5007
Yr tar kvadratroten på
begge sider av likhetstegnet
186
l*
Kvadratroten av et tall er det tallet som
ganget med seg selv gir tallet (det er ikke lett
å se skogen for bare trær). Dvs. rfx' : x.
6973,5007
,[agls,sooT :83,5075
x:
AC:AF-X
83,5075
Kommentar.
x: - 83,5075 er også en løsning, fordi (- 83,5075)2:
(- 83,5075) . (- 83,5075) : + (83,5075 . 83,5075): 83,50752: xt 1like fortegn gir pluss). Men
lengder regnes som positive, slik at løsningen x: - 83,5075 utelukkes.
Nå har vi funnet AB : x: 83,5075. Trekant ABF er på 90", derfor kan vi anvende sinusfunks
noåzBAF:175
sin
17,5o
0,3007
g3,5075.0,3007
=
BF
AB
Erstatter sin 17,5o med 0,3007 (lommeregner)
og AB med 83,5075
BF
Ganger med 83,5075 på begge sider
83,5075
= BF
Forkorter med felles faktor på høyre side
.83,5075
83,5075
0,3007 . 83,5075 :25,1107
0,3007'83,5075:BF
BF:
25,T107:BF
BC
:
BF + CF :25,II07 + 25,1107
Svar : Lenqden av siden BC er lik
:
CF
50,22T4
50.2m
Tllil
END