1. No category

Inlämningsuppgift 2, SF1680
Namn:
Personnummer:
Email:
Allmänt och Regler:
Det nns två uppgifter.
Den första nns där mest för att tvinga dig att
läsa lite i häftet och tänka lite på modulen. Den andra uppgiften är valfri och lite mer intressant (och
mer abstrakt och svårare). Även om du inte gör den andrauppgiften så läs igenom den och försök förstå
ungefär vad du skulle förväntas göra i den. Den introducerar en väldigt viktig topologisk invariant: den
fundamentala gruppen
π(M ).
Invarianter är den viktigaste metoden i algebraisk topologi och om du
fortsätter att plugga matte så kommer du att stöta på invarianter, såsom
π(M ),
igen.
Uppgiften kommer att bedömmas med G (godkänd) eller U (underkänd). För att få gå upp på den
muntliga tentamen så får maximalt en av kursens inlämningsuppgifter vara underkänd. Med två eller
era underkända uppgifter så kan, om substantiellt arbete och/eller en god matematisk utveckling har
påvisats, möjlighet till muntlig tentamen fortfarande ges, eventuellt efter en komplimenterade uppgift.
Uppgiften är individuell. Du får dock diskutera uppgifterna med andra studenter. Du måste dock
skriva din egen lösning helt själv. Avskrifter eller direkta plagiat är, naturligtvis, helt förbjudna. Som
tumregel så skall du sitta helt ensam när du skriver uppgiften och endast använda dig av minnet av
diskussioner du har haft med andra personer.
Sista inlämningsdag är: Torsdagen den 30e Mars, på föreläsningen eller
via email (pdf l) till johnan@kth.se före midnatt.
Uppgift 1: (obligatorisk)
I den här uppgiften betraktar vi
R
med den vanliga metriken
d(x, y) =
|x − y|.
1. Skriv ner en naturlig denition av en 1-dimensionell euklidisk mångfald.
2. Bevisa att varje isometri
på
R
och om
för alla
T x = Sx
T : R 7→ R karakteriseras av två punkter. D.v.s. om T och S är isometrier
T y = Sy för två punkter x, y ∈ R så att x 6= y då kommer T z = Sz
samt
z ∈ R.
Iso(R) vara gruppen av alla isometrier på R och H ⊂ Iso(R) vara en delgrupp. Bevisa att
H är xpunktsfri (d.v.s. om T ∈ H och T 6= I så kommer T x 6= x för alla x ∈ R) och
diskontinuerlig (d.v.s. ingen bana B(x) = {T x; T ∈ H} har någon ackumulationspunkt) då
3. Låt
om
kommer kvotmångfalden
R/H = {[x];
där
[x] = {T x; T ∈ H}}
med metriken
dH ([x], [y]) =
inf
|x̂ − ŷ|
x̂∈[x],ŷ∈[y]
att utgöra en 1-dimensionell euklidisk mångfald (se till att din denition från föregående uppgift
stämmer med detta).
4. Bevisa att om
H ⊂ Iso(R)
är en xpunktsfri och diskontinuerlig delgrupp då kommer
H
att
genereras av ett element, d.v.s.
H = {T k ; k ∈ Z}
där
för något
T ∈ H,
T 0 =identiteten.
5. Bevisa att det endast nns två typer av 1-dimensionella euklidiska mångfalder
Iso(R))1
1 Precis
R/H
(där
H ∈
so i kurshäftet så kommer alla fullständiga och bågvis sammanhängande 1-dimensionella mångfalder att vara
på den formen.
•
hela
•
cirklar med omktets
R
eller
Uppgift 2: (valfri)
r > 0.
I den här uppgiften så låter vi
mångfalden som ges av en cirkel med omkrets
1,
d.v.s.
M = R/H vara den 1-dimensionella euklidiska
H = {Tn ; n ∈ Z} där Tn z = z + n. Syftet med
den här uppgiften är att bevisa ett par viktiga samband från topologin.
x∈M
1. Fixera en punkt
och deniera
Cx ([0, 1], M ) = {φ; φ
Bevisa att det, för varje
är en kontinuerlig funktion från
φ ∈ Cx ([0, 1]),
[0, 1]
till
nns en kontinuerlig kurva
M
och
φ(0) = φ(1) = x}.
φ̂ : [0, 1] 7→ R
så att
P ◦ φ̂(s) = φ(s),
där
2. Låt
P : R 7→ M
är en täckningsisometri så att
φ ∈ Cx ([0, 1])
3. Visa att varje
och
φ̂
P (0) = x.
vara som i föregående deluppgift. Bevisa att
φ ∈ Cx ([0, 1])
φ̂(1) = n
för något
n ∈ Z.
denierar en ekvivalensklass enligt följande
[φ] = {ϕ ∈ Cx ([0, 1]); ϕ̂(1) = φ̂(1)}.
4. Deniera operationen
×
på
Cx ([0, 1])
enligt
φ1 × φ2 (s) =
Bevisa att operationen
×
gör
Cx ([0, 1])
φ1 (2s)
φ2 (2s − 1)
om
om
till en grupp.
0 ≤ s ≤ 1/2
1/2 < s ≤ 1.
På samma sätt så blir mängden av alla
ekvivalensklasser
π(M ) = {[φ]; φ ∈ Cx ([0, 1])}
en grupp med grupp multiplikation
[φ1 ] × [φ2 ] = [φ1 × φ2 ]
(1)
(du behöver inte bevisa detta).
π(M ) till H . D.v.s. att det nns en
σ([φ1 ] × [φ2 ]) = σ(φ1 ) ◦ σ(φ2 ) för alla [φ1 ], [φ2 ] ∈ π(M ).
5. Bevisa att det nns en gruppisomor från gruppen
avbildning
σ : π(M ) 7→ H
så att
bijektiv
6. Man kan på liknande sätt bevisa följande sats:
Sats 1.
deniera
Låt M vara en fullständig och bågvis sammanhängande euklidisk yta och x ∈ M och
Cx ([0, 1]) = {{φ; φ är en kontinuerlig funktion från [0, 1] till M och φ(0) = φ(1) = x}},
deniera vidare ekvivalensklasserna [φ] som består av alla funktioner ϕ ∈ Cx ([0, 1]) så att P −1 ◦
ϕ(1) = P −1 ◦ φ(1).
Då kommer ekvivalensklassenra [φ] att utgöra en grupp, π(M ), under multiplikationen × denierad
såsom i (1). Och om M = R2 /H där H ⊂ Iso(R2 ) då nns det en gruppisomor σ : π(M ) 7→ H .
Använd den satsen för att bevisa att det inte nns någon kontinuerlig bijektion från en torus
till en cylinder
C.
Använd gärna följande steg.
T
T = R2 /H2
H1 till H2
(a) Låt torusen vara
somor från
och cylindern
C = R2 /H1
visa att det inte nns någon gruppi-
För att bevisa detta så visa att om σ : H1 7→ H2 är en isomor så bestäms σ av
vad σ gör med generatorn till H1 , men H2 har två generatorer och H1 har bara en - kan σ
vara surjektiv?
Ledtråd:
ϕ : T →
7 C är
2
gruppen π(C).
(b) Bevisa att om
isomorf med
Ledtråd:
en kontinuerlig bijektion då kommer gruppen
π(T )
att vara
En naturlig gruppisomor ϕ̂ : π(T ) 7→ π(C) skulle avbilda [φ] ∈ π(T ) till ϕ̂([φ]) =
[ϕ ◦ φ] ∈ π(C).
(c) Bevisa att det inte nns någon kontinuerlig bijektion
ϕ : T 7→ C .
Sätt ihop föregående steg och visa att om det nns en kontinuerlig bijektion
ϕ : T 7→ C så kommer enligt föregående steg π(T ) att vara isomorf med π(C) och enligt Sats
1 så är π(T ) isomorf med H2 och π(C) isomorf med H1 . Är detta förenligt med det första
delsteget i den här uppgiften?
Ledtråd:
Lycka Till!
2 Eftersom
gruppelementen i
π(T )
och
π(C)
är ekvivalensklasser i
Cx ([0, 1], T )
och
Cy ([0, 1], C)
så förefaller vår kon-
x och y, i realiteten så är dessa punkter inte viktiga för vårt argument.
förklara varför så antar vi att ϕ(x) = y.
struktion bero på punkterna
Men istället för att