دراسة الدالة وتمثيلها المبياني
اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ
-1ﺗﻘﻌﺮ ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ --ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف
1-1ﺗﻌــﺮﻳﻒ
ﻟـﺘﻜﻦ fﻗﺎﺑـﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘــــــﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I
ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) (C fﻣﺤﺪب إذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻓﻮق ﺟﻤﻴﻊ ﻣﻤﺎﺳـﺎﺗﻪ
ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )
(C fﻣﻘﻌﺮ إذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﺗﺤﺖ ﺟﻤﻴﻊ ﻣﻤﺎﺳـﺎﺗﻪ
ﻣﻘﻌﺮ
ﻣﺤﺪب
2-1ﺗﻌـــﺮﻳﻒ
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘـــﻘﺎق ﻋﻠﻰ
ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح Iو . x0 ∈ I
)
(
ﻧﻘﻮل ان اﻟﻨﻘﻄﺔ ) A x0 ; f ( x0ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف
ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C fاذا ﺗﻐﻴﺮ ﺗﻘﻌﺮ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C f
ﻋﻨﺪ A
3-1ﺧـــﺎﺻﻴﺎت
fداﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ اﻻﺷﺘــــــــﻘﺎق ﻣﺮﺗﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I
* إذا آﺎﻧﺖ " fﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ Iﻓﺎن ) (C fﻳﻜﻮن ﻣﺤﺪﺑﺎ ﻋﻠﻰ I
* إذا آﺎﻧﺖ " fﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ Iﻓﺎن
*
)
(C fﻳﻜﻮن ﻣﻘﻌﺮا ﻋﻠﻰ I
اذا آﺎﻧﺖ " fﺗـﻨﻌﺪم ﻓﻲ x0ﻣﻦ اﻟــﻤﺠﺎل Iوآﺎن ﻳـﻮﺟﺪ α ∈ *+ﺑﺤﻴﺚ إﺷﺎرة " fﻋﻠﻰ [ [x0, x0 +α
ﻣﺨﺎﻟـﻔﺔ ﻹﺷﺎرة " fﻋﻠﻰ ] ]x0 −α,x0ﻓﺎن ) ) M 0 ( x 0 ; f ( x 0ﻧﻘـﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) (C f
ﻣﻼﺣﻈــــــــﺔ ﻗﺪ ﻻ ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻣﺮﺗﻴﻦ وﻳﻜﻮن ﻣﻊ ذﻟﻚ ﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻬﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف
ﺗﻤﺮﻳﻦ
f ( x ) = x3 − 3 x 2 + x + 1
و
1 − 2x
2
= )g ( x
x −x−2
-1أدرس ﺗﻘﻌﺮ C fو اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ Aذات اﻷﻓﺼﻮل 1ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ C f
- 2أدرس ﺗﻘﻌﺮ C gو ﺣﺪد ﻧﻘﻂ اﻧﻌﻄﺎف اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ Cg
-2اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬـــــﺎﺋﻴﺔ
1-2ﺗﻌﺮﻳﻒ
إذا ﺁﻟﺖ إﺣﺪى إﺣﺪاﺛــــﻴﺘﻲ ﻧﻘـﻄﺔ ﻣﻦ Cﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ إﻟﻰ اﻟﻼﻧﻬﺎﻳﺔ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل إن Cﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﻻﻧﻬﺎﺋﻴﺎ.
1
2-2ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎرب ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
أ -اﻟﻤﻘﺎرب اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ
ﺗﻌﺮﻳﻒ
إذا آﺎن ∞ lim f ( x ) = ±أو ∞lim f ( x ) = ±
x→ a−
x→ a+
ﻓﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ x = a
ﻣﻘﺎرب ل Cf
2x + 1
ﻣﺜﺎل
x −1
ﻟﺪﻳﻨﺎ ∞ lim+ f ( x ) = +و ∞ lim− f ( x ) = −و ﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ x = 1ﻣﻘﺎرب ﻋﻤﻮدي ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ
= )f ( x
x →1
x →1
ب -اﻟﻤﻘﺎرب اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ
ﺗﻌﺮﻳﻒ
آﺎن
إذا
C
ل
ﻣﻘﺎرب
y
=b
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
ذا
اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
ﻓﺎن
lim
f
x
=
b
. f
) (
∞x→±
2x + 1
ﻣﺜﺎل
x −1
ﻟﺪﻳﻨﺎ lim f ( x ) = 2و lim f ( x ) = 2
= )f ( x
∞x →+
∞x →−
و ﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y = 2ﻣﻘﺎرب
أﻓﻘﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ
2
ج -اﻟﻤﻘﺎرب اﻟﻤﺎﺋﻞ
ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ y =ax + bﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ Cfإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن lim ( f ( x) − (ax + b)) = 0
∞x →+
أو lim ( f ( x) − (ax + b)) = 0
∞x→−
ﺧﺎ ﺻﻴﺔ
ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ y =ax + bﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ Cfإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ ﺗﻮﺟﺪ داﻟﺔ hﺣﻴﺚ ﻳﻜﻮن
) f ( x ) = ax + b + h ( xو ) lim h ( x ) = 0أو ( lim h ( x ) = 0
∞x →−
∞x →+
ﻣﺜﺎل
2
x − 3x + 1
x −1
1
ﻟﺪﻳﻨﺎ
f ( x) = x − 2 −
}∀x ∈ − {1
x −1
−1
limوﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y = x − 2ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ) ﺑﺠﻮار ∞( +
=0
x →+∞ x − 1
−1
limوﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y = x − 2ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ) ﺑﺠﻮار ∞( −
=0
x →−∞ x − 1
ﻓﻲ آﺜﻴﺮ ﻣﻦ اﻷﺣﻴﺎن ﻳﺼﻌﺐ آﺘﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ) f ( x ) = ax + b + h ( xﺣﻴﺚ lim h ( x ) = 0
= )f ( x
∞x →±
ﺗﻘﻨﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ
ﻟﻨﻔﺘﺮض أن ) f ( x ) = ax + b + h ( xو lim h ( x ) = 0
)f ( x
∞x →+
b 1
= lim a + + h ( x ) = a
x→+∞ x
x→+∞
x x
)f ( x
lim ( f ( x ) − ax ) = b ; limﻓﺎن lim ( f ( x) − (ax + b)) = 0
ﻋﻜﺴﻴﺎ إذا آﺎن = a
∞x →+
∞x→+
x
∞ x→+
lim
( f ( x ) − ax ) = xlim
و (b + h ( x )) = b
∞x →+
∞→+
lim
ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y = ax + bﻣﻘﺎرب ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ Cfإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن
= a
)f ( x
x
lim
∞x→+
; ( f ( x ) − ax ) = b
xlim
∞→+
أو
= a
)f ( x
x
lim
∞x→−
; ( f ( x ) − ax ) = b
xlim
∞→−
ﻣﻼﺣﻈﺔ دراﺳﺔ إﺷﺎرة ) ) ( f (x) – (ax + bﺗﻤﻜﻨﻨﺎ ﻣﻦ ﻣﻌﺮﻓﺔ وﺿﻊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) (C fﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻘﺎرب اﻟﻤﺎﺋﻞ.
ﻣﺜﺎل
f ( x ) = 4 x2 + x − 2
ﺣﺪد اﻟﻤﻘﺎرب اﻟﻤﺎﺋﻞ ﺑﺠﻮار ∞ +ﺛﻢ ﺑﺠﻮار ∞−
3
-3 -2اﻻﺗﺠﺎهﺎت اﻟﻤﻘﺎرﺑﺔ
ﺗﻌﺎرﻳﻒ
) f (x
∞= ±
x →±∞ x
أ – إذا آﺎن ∞lim f ( x ) = ±
lim
∞x →±
اﻷراﺗﻴﺐ.
) f (x
=0
x →±∞ x
ب -إذا آﺎن ∞lim f ( x ) = ±
اﻻﻓﺎﺻﻴﻞ
) f (x
=a
x →±∞ x
ج -إذا آﺎن ∞lim f ( x ) = ±
lim
∞x →±
ﻓﻲ اﺗﺠﺎﻩ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
ﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣﺔ
إذا
آﺎن
ﻧﻘﻮل إن ) (C f
lim
∞x →±
ﻧﻘﻮل إن ) (C f
ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ ﻓﻲ اﺗﺠﺎﻩ ﻣﺤﻮر
ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ ﻓﻲ اﺗﺠﺎﻩ ﻣﺤﻮر
و ∞lim f ( x) − ax = ±
∞x →±
ﻧﻘﻮل إن ) (C fﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ
y= ax
) f (x
=a
x →±∞ x
∞lim f ( x ) = ±
limﻧﻘﻮل إن ) (C f
∞x →±
ﻳﻘﺒﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
y= axآﺎﺗﺠﺎﻩ ﻣﻘﺎرب.
- 3ﻣﺮآﺰ ﺛﻤﺎﺛﻞ – ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ
1 -3ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ
اذا آﺎن C fﻳﻘﺒﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ x = aآﻤﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ
) (
ﻓﻬﺬا ﻳﻌﻨﻰ أن ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) (
C fﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ( Ω; i ; jﺣﻴﺚ ) Ω ( a;0
X = x − a
هﻲ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ) Y = f ( a + X ) = ϕ ( Xﺣﻴﺚ ϕداﻟﺔ زوﺟﻴﺔ و
Y=y
∀X ∈ Dϕ
أي أن ) ϕ ( − X ) = ϕ ( X
أي ) f ( a − X ) = f ( a + X
∀X ∈ Dϕ
ﺑﻤﺎ أن X = x − aﻓﺎن ) f ( 2a − x ) = f ( x
∀x ∈ D f
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ,ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ x = a
)f (2a − x) = f ( x
;
( 2a − x ) ∈ D f
ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ fإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن
∀x ∈ D f
2-3ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ
اذا آﺎن C fﻳﻘﺒﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) Ω ( a; bآﻤﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ
) (
ﻓﻬﺬا ﻳﻌﻨﻰ أن ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) (
C fﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ
) ( Ω; i ; j
هﻲ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ) Y + b = f ( a + X
أي ) Y = f ( a + X ) − b = ϕ ( X
X = x − a
ﺣﻴﺚ ϕداﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ و
Y = y − b
أي أن ) ϕ ( − X ) = −ϕ ( X
∀X ∈ Dϕ
أي f ( a − X ) − b = − f ( a + X ) + b
أي ) f ( a − X ) = 2b − f ( a + X
∀X ∈ Dϕ
∀X ∈ Dϕ
ﺑﻤﺎ أن X = x − aﻓﺎن ) f ( 2a − x ) = 2b − f ( x
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺎ,ﺗﻜﻮن اﻟﻨﻘﻄﺔ
)f (2a − x) = 2b − f ( x
∀x ∈ D f
) Ω ( a; bﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﺪاﻟﺔ fإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن
;
( 2a − x ) ∈ D f
∀x ∈ D f
ﺗﻤﺮﻳﻦ
4
f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 (1
x2 − 2
(2
x −1
= )f ( x
ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ( D ) : x = 1ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C f
ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ
) Ω (1; 2ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C f
-4اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺪورﻳﺔ
1-4ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻧﻘﻮل أن fداﻟﺔ دورﻳﺔ إذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ Tﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ ﺑﺤﻴﺚ
x −T ∈ Df
) f (x + T ) = f (x
; x +T ∈ Df
∀x ∈ D f
اﻟﻌﺪد Tﻳﺴﻤﻰ دور اﻟﺪاﻟﺔ . fاﺻﻐﺮ دور ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ ﻳﺴﻤﻰ دور اﻟﺪاﻟﺔf
أﻣﺜﻠﺔ
* اﻟﺪاﻟﺘﺎن x → cos xو x → sin xدورﻳﺘﺎن و دورهﻤﺎ 2π
* اﻟﺪاﻟﺔ x → tan xدورﻳﺔ دورهﺎ π
2π
* اﻟﺪاﻟﺘﺎن x → cos axو ) x → sin axﺣﻴﺚ ( a ≠ 0دورﻳﺘﺎن و دورهﻤﺎ
a
* اﻟﺪاﻟﺔ ) x → tan axﺣﻴﺚ ( a ≠ 0دورﻳﺔ دورهﺎ
π
a
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﺣﺪد دورا ﻟﻠﺪوال x → cos x − sin x
2 -4ﺧﺎﺻﻴﺔ
إذا آﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fدور Tﻓﺎن
1
و x → 3 − cos xو x → tan 3 xو x → cos 2 x
4
∈ ∀x ∈ D f , ∀n
)f ( x + nT ) = f ( x
) ﻧﺒﻴﻦ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺑﺎﻻﺳﺘﺪﻻل ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ(
3-4اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ دورﻳﺔ
ﻟﺘﻜﻦ fدورﻳﺔ دورهﺎ Tو C fﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب ال ﻣﻌﻠﻢ
) (
) ( O; i ; j
ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟــﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ [ D f ∩ [ x0 + nT ; x0 + (n + 1)Tهـﻮ ﺻﻮرة ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻠﻰ [ D f ∩[x0, x0 +Tﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻹزاﺣﺔ
ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ nT ⋅ iﺣﻴﺚ nﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴـﺒﻲ.
ﻣﻼﺣﻈﺔ:
ﻹﻧﺸﺎء ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ دورﻳﺔ ﻳﻜﻔﻲ إﻧﺸﺎﺋﻪ ﺟﺰﺋﻪ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ ﻧﻮع [ I0 = D f ∩ [ x0 , x0 + T
اﺳﺘﻨﺘﺎج اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻹزاﺣﺔ tTni
أﻣﺜﻠﺔ
* داﻟﺔ x → cos xدورﻳﺔ ودورهﺎ 2πإذن ﻳﻜﻔﻲ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ] ]−π ; π
و ﺣﻴﺚ أن x → cos x
ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات
زوﺟﻴﺔ ﻓﻨﻘﺘﺼﺮ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ] [0; π
( cos x ) ' = − sin x
π
] ∀x ∈ [ 0; π
0
1
-1
5
x
cos x
داﻟﺔ x → sin xدورﻳﺔ ودورهﺎ 2πإذن ﻳﻜﻔﻲ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ
و ﺣﻴﺚ أن x → sin x
ﻓﺮدﻳﺔ ﻓﻨﻘﺘﺼﺮ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ] [0; π
( sin x ) ' = cos x
ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات
π
π
] ]−π ; π
] ∀x ∈ [ 0; π
x
0
2
1
0
0
sin x
−π π
π
** داﻟﺔ x → tan xﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ − 2 + kπ / k ∈ و دورﻳﺔ ودورهﺎ πإذن ﻳﻜﻔﻲ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ 2 ; 2
π
و ﺣﻴﺚ أن x → tan xﻓﺮدﻳﺔ زوﺟﻴﺔ ﻓﻨﻘﺘﺼﺮ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ 0; 2
( tan x ) ' = 1 + tan 2 x
ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات
π
2
∞+
0
x
tan x
0
6
π
∀x ∈ 0;
2
ﺗﺼﻤﻴﻢ دراﺳﺔ داﻟﺔ
ﻟﺪراﺳﺔ داﻟﺔ fﻓﻲ ﻏﺎﻟﺐ اﻷﺣﻴﺎن ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
• ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺛﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪراﺳﺔ )ﺧﺎﺻﺔ إذا آﺎﻧﺖ fزوﺟﻴﺔ أو ﻓﺮدﻳﺔ أو دورﻳﺔ(
• دراﺳﺔ اﻻﺗﺼﺎل و اﻻﺷﺘﻘﺎق و ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق و دراﺳﺔ إﺷﺎرﺗﻬﺎ
• وﺿﻊ ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات
• دراﺳﺔ اﻟﻔﺮوع اﻻﻧﻬﺎﺋﻴﺔ
• دراﺳﺔ اﻟﺘﻘﻌﺮ ان آﺎن ذﻟﻚ ﺿﺮورﻳﺎ و ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻘﻂ اﻧﻌﻄﺎف إن وﺟﺪت
• إﻧﺸﺎء اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
ﺗﻤﺮﻳﻦ
أدرس وﻣﺜﻞ ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
1
x−2
2x
a) : f ( x ) = x − 3 +
2
x +1
1
c) : f ( x ) = cos x + cos 2 x
2
= ) b) : f ( x
ﺗﻤﺎرﻳﻦ و ﺣﻠﻮﻟﻬﺎ
ﺗﻤﺮﻳﻦ1
1
ﻧﻌﺘﺒﺮ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ:
x−2
ﻟﻴﻜﻦ C fﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ( O; i ; j
f ( x) = x − 1 +
) (
-1أ( ﺣﺪد D f
ب( ﺣﺪد
)(x
limو ) lim f ( x
f
∞x → −
∞x→ +
ج( ﺣﺪد ) lim f ( xو ) lim f ( xو أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ هﻨﺪﺳﻴﺎ
x → 2+
-2أ( ﺑﻴﻦ أن
)( x − 1)( x − 3
( x − 2 )2
x → 2−
= )f '( x
∀x ∈ D f
ب( أدرس ﺗﻐﻴﺮات fو أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ
-3ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) (
C fﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل 0
-4ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ
) A ( 2;1ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C f
-5ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y = x − 1
-6أﻧﺸﺊ ) ( C f
ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) (
C fﺑﺠﻮار ∞ +و ∞−
اﻟﺠﻮاب
1
x−2
f ( x) = x −1 +
أ( ﻧﺤﺪد D f
}− {2
ب( ﻧﺤﺪد
= Df
)(x
f
limو ) lim f ( x
∞x → −
∞x→ +
1
∞= +
∞x→ +
∞x→ +
x−2
ج( ﺣﺪد ) lim f ( xو ) lim f ( xو أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ هﻨﺪﺳﻴﺎ
lim x − 1 +
x → 2+
1
∞= +
x−2
= )(x
f
lim
1
و ∞= −
x−2
lim x − 1 +
∞x→ −
= )(x
f
lim
∞x→ −
x → 2−
lim x − 1 +
+
x→ 2
= )(x
1
lim fو ∞ = −
x−2
x→ 2+
7
lim x − 1 +
−
x→ 2
= )(x
lim f
−
x→ 2
وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ x = 2ﻣﻘﺎرب ﻋﻤﻮدي ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C f
-2أ( ﻧﺒﻴﻦ أن
)( x − 1)( x − 3
( x − 2 )2
= )f '( x
∀x ∈ D f
1
x−2
fداﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ }− {2
f ( x) = x −1 +
}− {2
∈ ∀x
)ﻷن fداﻟﺔ ﺟﺬرﻳﺔ(
)( x − 2 )2 − 1 ( x − 3)( x − 1
f '( x) = 1 −
=
=
( x − 2 )2 ( x − 2 )2
( x − 2 )2
1
}− {2
∈ ∀x
ب( ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات fو ﻧﻌﻄﻲ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ
إﺷﺎرة ) f ' ( xهﻲ إﺷﺎرة
∞+
+
)( x − 3)( x − 1
3
0
2
-
∞+
∞−
1
0
-
∞+
+
-1
∞−
3
x
)f '( x
f
∞−
-3ﻧﺤﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) (
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C fﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل 0هﻲ ) y = f ' ( 0 ) x + f ( 0
C fﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل 0
3
3
أي هﻲ y = − x −
4
2
-4ﻧﺒﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ) A ( 2;1ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ
}− {2
∈4− x
}− {2
1
و
2− x
وﻣﻨﻪ ) f ( 4 − x ) = 2 − f ( x
f (4 − x) = 3 − x +
) (C f
∈ ∀x
1
1
;
= 3− x +
2−x
x−2
إذن ) A ( 2;1ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ
-5ﻧﺒﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y = x − 1
2 − f ( x) = 2 − x + 1 −
) (C f
ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C fﺑﺠﻮار ∞ +و ∞−
1
1
lim f ( x ) − ( x − 1) = lim
; =0
=0
x→−∞ x − 2
∞x→+
x→+∞ x − 2
إذن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y = x − 1ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ C fﺑﺠﻮار ∞ +و ∞−
lim f ( x ) − ( x − 1) = lim
) (
-6ﻧﻨﺸﺊ ) ( C f
8
∞x→−
ﺗﻤﺮﻳﻦ2
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪﻳﺔ fﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ
1 − 2x
x2 − x − 2
-1ﺣﺪد D fو ﺣﺪد ﻧﻬﺎﻳﺎت fﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪات D f
-2ﺣﺪد ) f ' ( xﻟﻜﻞ xﻣﻦ D f
-3أدرس ﺗﻐﻴﺮات f
1
-4أ -ﺑﻴﻦ أن C fﻳﻘﺒﻞ I ;1آﻨﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف.
2
1
ب -ﺑﻴﻦ أن I ;1ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟـ C f
2
د -ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟـ C fﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ I
-5أ -أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ
ب -أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ C f
اﻟﺠﻮاب
1 − 2x
2
f ( x) = 1 +
x −x−2
-2ﻧﺤﺪد D fو ﻧﺤﺪد ﻧﻬﺎﻳﺎت fﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪات D f
ﻟﻴﻜﻦ
∈x
9
f ( x) = 1 +
x ∈ D f ⇔ x 2 − x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1
x≠2
et
D f = ]−∞; −1[ ∪ ]−1;1[ ∪ ]1; +∞[ إذن
x
1 − 2x
lim
±∞
2
x −x−2
= lim
−2 x
±∞
x
x
2
x
2
−
x
x
2
-1
0
+
lim f ( x ) = lim 1 +
−
−2
1 − 2x
= 0 ﻷنlim f ( x ) = lim 1 + 2
=1
±∞ x
x ±∞
x ±∞
x −x−2
lim 1 − 2 x = −3
lim x 2 − x − 2 = 0 ﻟﺪﻳﻨﺎ
= lim
x
−∞
x
f ( x)
x
2
1 − 2x
2
x −x−2
2
0
-
x
2
x
2
x
lim f ( x ) = lim 1 +
−
−1
x
−
−1
1 − 2x
2
−1
x −x−2
x
= +∞ وlim f ( x ) = lim 1 +
x
+
−1
x
1 − 2x
= −∞ وﻣﻨﻪ
x −x−2
lim x 2 − x − 2 = 0 ﻟﺪﻳﻨﺎ
+
lim 1 − 2 x = 3
x
+∞
+
= +∞ وlim f ( x ) = lim 1 +
+
2
+
−1
2
−1
1 − 2x
2
x −x−2
= −∞ وﻣﻨﻪ
D f ﻣﻦx ﻟﻜﻞf ' ( x ) ﻧﺤﺪد-2
f '( x) =
f '( x) =
(1 − 2 x ) ' ( x 2 − x − 2 ) − ( x 2 − x − 2 ) ' (1 − 2 x )
(
)
(x
−∞
1
−x−2
)
2
−2 x 2 − x − 2 − ( 2 x − 1)(1 − 2 x )
(x
2
−x−2
)
2
f '( x) =
−2 x 2 + 2 x + 4 + 4 x 2 − 4 x + 1
f '( x) =
2 x2 − 2 x + 5
(x
(x
2
2
−x−2
∀x ∈ D f
x
f '( x )
f
2
−x−2
)
)
2
2
f '( x) =
f ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات-3
2 x2 − 2 x + 5
(x
2
−x−2
)
2
2 x 2 − 2 x + 5 هﻲ إﺷﺎرةf ' ( x ) إﺷﺎرة
∆ = 4 − 40 = −36
∀x ∈
2 x 2 − 2 x + 5 0 اذن
f ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات
-1
2
+
+
+∞
−∞
+
+∞
+∞
1
−∞
1
2
. آﻨﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎفI ;1 ﻳﻘﺒﻞC f ﻧﺒﻴﻦ أن- أ-4
10
)
(
−2 ( 2 x − 1) x 2 − x + 7
3
)
−x−2
2
(x
= ) f '' ( x
∀x ∈ D f
1
) f " ( xﺗﻨﻌﺪم ﻓﻲ
2
1
ب -ﻧﺒﻴﻦ أن I ;1ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟـ C f
2
∀x ∈ D f
1− x ∈ Df
ﻣﻊ ﺗﻐﻴﻴﺮ اﻹﺷﺎرة إذن
1 − 2x
2
x −x−2
= 1−
1 − 2x
x2 − x − 2
) 1 − 2 (1 − x
− (1 − x ) − 2
= 1−
2
) (1 − x
1 − 2x
x2 − x − 2
1
2
C fﻳﻘﺒﻞ I ;1آﻨﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف
f (1 − x ) = 1 +
2 − f ( x) = 2 −1 −
1
إذن ) f (1 − x ) = 2 − f ( xوﻣﻨﻪ I ;1ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟـ C f
2
د -ﻧﺤﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟـ C fﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ I
1
1
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟـ C fﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ Iهﻲ y = f ' x − + 1
2
2
8
5
8
1
أي y = x − + 1وﻣﻨﻪ y = x +
9
9
9
2
-5أ -ﻧﺪرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ
ﻟﺪﻳﻨﺎ lim f ( x ) = 1وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y = 1ﻣﻘﺎرب أﻓﻘﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ C f
∞±
x
ﻟﺪﻳﻨﺎ وﻣﻨﻪ ∞ lim f ( x ) = −و ∞ lim f ( x ) = +وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ x = 2ﻣﻘﺎرب ﻋﻤﻮدي ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ C f
2+
2−
x
x
ﻟﺪﻳﻨﺎ ∞ lim f ( x ) = −و ∞ lim f ( x ) = +وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ x = −1ﻣﻘﺎرب ﻋﻤﻮدي ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ C f
−1+
x
−1−
x
ب -ﻧﻨﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ C f
11
ﺗﻤﺮﻳﻦ3
1 + cos x
1 − cos x
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪﻳﺔ fﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ
-1ﺣﺪد D fو ) lim f ( x
= ) f (x
x →0
-2أ -ﺑﻴﻦ أن fداﻟﺔ دورﻳﺔ و ﺣﺪد دورهﺎ
ب ﺗﺄآﺪ أن fزوﺟﻴﺔ اﺳﺘﻨﺘﺞ DEﻣﺠﻤﻮﻋﺔ دراﺳﺔ f
DE
-3أدرس ﺗﻐﻴﺮات fﻋﻠﻰ
-4أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ C f
اﻟﺠﻮاب
1 + cos x
1 − cos x
-5ﻧﺤﺪد D fو ) lim f ( x
ﻟﻴﻜﻦ
∈/k
اذن
}
∈x
x →0
x ∈ D f ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ 2kπ
∈ − {2 k π / k
= Df
-6أ -ﻧﺒﻴﻦ أن fداﻟﺔ دورﻳﺔ و ﺣﺪد دورهﺎ
}
= ) f (x
∈ − {2 k π / k
∈ x − 2π
1 + cos x
)= f ( x
1 − cos x
=
}
∈ − {2 k π / k
) 1 + cos ( x + 2π
) 1 − cos ( x + 2
}
∈ 2π + x
= ) f ( x + 2π
∈ − {2 k π / k
∈ ∀x
اذن fداﻟﺔ دورﻳﺔ و ﺣﺪد دورهﺎ 2π
ب -ﻧﺘﺄآﺪ أن fزوﺟﻴﺔ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ DEﻣﺠﻤﻮﻋﺔ دراﺳﺔ f
}
∈ − {2 k π / k
1 + cos x
)= f ( x
1 − cos x
-7ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات fﻋﻠﻰ
∈ −x
=
}
∈ − {2 k π / k
) 1 + cos ( − x
) 1 − cos ( − x
= )f (−x
∈ ∀x
إذن fزوﺟﻴﺔ
DE
( − sin x )(1 − cos x ) − (1 + cos x ) sin x
−2sin x
=
(1 − cos x )2
(1 − cos x )2
π
0
0
-
∞+
0
وﻣﻨﻪ ] DE = ]0; π
x
)f '( x
)f ( x
-8أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ C f
12
= )f '( x
] ∀x ∈ ]0; π
ﺗﻤﺮﻳﻦ4
1 − cos x
ﻧﻌﺘﺒﺮ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ:
= )f ( x
sin x
ﻟﻴﻜﻦ C fﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ( O; i ; j
) (
-1أ( ﺣﺪد D f
ب( ﺑﻴﻦ أن fداﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ
د( ﺑﻴﻦ أن fدورﻳﺔ دورهﺎ 2π
ج( ﺑﻴﻦ lim f ( x ) = 0ﺛﻢ ﺣﺪد ) lim f ( xﻣﻊ ﺗﺄوﻳﻞ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ هﻨﺪﺳﻴﺎ
x →π −
x →0 +
1
-2أ( ﺑﻴﻦ أن
1 + cos x
ب( أدرس ﺗﻐﻴﺮات fﻋﻠﻰ [ ]0; πو أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ
[ ∀x ∈ ]0; π
= )f '( x
-3أ( ﺣﺪد ﺗﻘﻌﺮ ) ( C f
ب( أﻧﺸﺊ ) ( C f
اﻟﺠﻮاب
1 − cos x
= )f ( x
sin x
-2أ( ﻧﺤﺪد D f
}
∈ − {k π / k
= Df
ب( ﻧﺒﻴﻦ أن fداﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ
ﻟﺪﻳﻨﺎ
}
∈ − {k π / k
∈ ∀x
:
}
∈ − {k π / k
∈ −x
1 − cos x
1 − cos x
==−
)= − f ( x
− sin x
sin x
=
) 1 − cos ( − x
) sin ( − x
= )f (−x
إذن fداﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ
د( ﻧﺒﻴﻦ أن fدورﻳﺔ دورهﺎ 2π
}
∈ − {k π / k
}
∈ x + 2π
) 1 − cos ( x + 2π
∈ − {k π / k
∈ ∀x
1 − cos x
)= f ( x
) sin ( x + 2π
sin x
fدورﻳﺔ دورهﺎ 2π
ﻣﻼﺣﻈﺔ :ﺑﻤﺎ أن fدورﻳﺔ دورهﺎ 2πو fداﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ ﻓﺎن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪراﺳﺔ هﻲ [ DE = ]0; π
=
= ) f ( x + 2π
ج( ﻧﺒﻴﻦ lim f ( x ) = 0ﺛﻢ ﻧﺤﺪد ) lim f ( xﻣﻊ ﺗﺄوﻳﻞ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ هﻨﺪﺳﻴﺎ
x →0 +
1
= 0× 2 = 0
1
x →π −
1 − cos x
1 − cos x
= lim x x
sin x
sin x
x →0 +
x
2
lim f ( x ) = lim
+
x →0
1 − cos x
∞= +
x →π −
x→π − sin x
1
-2أ( ﻧﺒﻴﻦ أن
= ) ∀x ∈ ]0; π [ f ' ( x
1 + cos x
sin 2 x − (1 − cos x ) cos x 1 − cos x
1
= )f '( x
=
=
sin 2 x
1 − cos 2 x 1 + cos x
ب( ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات fﻋﻠﻰ [ ]0; πو ﻧﻌﻄﻲ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ
lim f ( x ) = limوﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
13
+
x →0
x = πﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C f
[ ∀x ∈ ]0; π
)f '( x
0
[ ∀x ∈ ]0; πﻷن 0
وﻣﻨﻪ fﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ
∀x ∈ ]0; π [ 1 + cos x
[ ]0; π
π
0
∞+
0
-3أ( ﻧﺤﺪد ﺗﻘﻌﺮ ) ( C f
1
ﻟﺪﻳﻨﺎ
1 + cos x
sin x
= ) f '' ( x
(1 + cos x )2
f
[ ∀x ∈ ]0; π
= )f '( x
[ ∀x ∈ ]0; π
π
0
+
إذن ) (
C fﻣﺤﺪب ﻋﻠﻰ [ ]0; πو ﺣﻴﺚ fﻓﺮدﻳﺔ ﻓﺎن
) (
[ ]−π + 2kπ ; 2kπﺣﻴﺚ
x
) f "( x
) ( C fﻣﻘﻌﺮ ﻋﻠﻰ []−π ;0
وﺑﻤﺎ أن fدورﻳﺔ دورهﺎ 2πﻓﺎن C fﻣﺤﺪب ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ ﺷﻜﻞ
ب(
x
∈k
ﻧﻨﺸﺊ ) ( C f
14
[ ]2 k π ; π + 2 k π
و ﻣﻘﻌﺮ ﻋﻠﻰ
ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻟﻠﻌﻠﻮم رﻳﺎﺿﻴﺔ
ﺗﻤﺎرﻳﻦ و ﺣﻠﻮل
ﺗﻤﺮﻳﻦ1
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪﻳﺔ fﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ
x ≤1
1
x
f ( x ) = x − 1 − x2
x
1
f ( x) = x + 2
2
x +1
-1أ( أدرس اﺗﺼﺎل ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ 1و -1
ب( أدرس اﺷﺘﻘﺎق fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ 1و -1و أول اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ هﻨﺪﺳﻴﺎ
-2أ( أﺣﺴﺐ ) f ' ( xﻟﻜﻞ xﻣﻦ [ ]−1;1ﺛﻢ أﺣﺴﺐ ) f ' ( xﻟﻜﻞ xﻣﻦ [∞]−∞; −1[ ∪ ]1; +
ب( أدرس ﺗﻐﻴﺮات f
-3أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟـ C fﺛﻢ اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟـ C fو ﻣﻘﺎرﺑﻪ.
-5أدرس ﺗﻘﻌﺮ C f
-6أﻧﺸﺊ C f
اﻟﺠﻮاب
x ≤1
1
x
f ( x ) = x − 1 − x2
x
1
f ( x) = x + 2
2
x +1
-4أ( ﻧﺪرس اﺗﺼﺎل ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ 1و -1
1
x
x+ 2
lim f ( x ) = lim x − 1 − x 2 = 1و = 1
x→1 2
x→1−
x→1−
x +1
وﻣﻨﻪ ) lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1اذن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 1
lim f ( x ) = lim
+
x→1−
+
x→1
x →1+
lim f ( x ) = lim x − 1 − x 2 = −1
x→−1+
x→−1+
x→−1−
x →−1+
وﻣﻨﻪ )lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( −1
1
x
x+ 2
و = −1
x→−1 2
x +1
اذن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ -1
−
lim f ( x ) = lim
−
x→−1
ب( ﻧﺪرس اﺷﺘﻘﺎق fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ 1و -1و ﻧﺆول اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ هﻨﺪﺳﻴﺎ
)f ( x ) − f (1
x − 1 − x2 − 1
1− x
1
= lim 1 +
x + 1 = lim 1 +
∞x + 1 = +
x −1
x −1
1− x
1− x
x→1−
x→1−
x→1−
وﻣﻨﻪ fﻻ ﺗﻘﺒﻞ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر 1و ﻣﻨﺤﻨﻰ fﻳﻘﺒﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر 1
1
x
x
1
x+ 2
−1
−
2
)f ( x ) − f (1
1
1
1
−x + 1
2
2
x +1
lim
= lim
= lim + x + 1
= lim +
=
2
x −1
x −1
x −1
x→1+
x→1+
x→1+ 2
x→1+ 2 2 x 2 + 1
= lim
)
lim
x →1−
(
1
وﻣﻨﻪ fﺗﻘﺒﻞ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ 1و ﻣﻨﺤﻨﻰ fﻳﻘﺒﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ اﻟﻤﻮﺟﻪ
2
ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ 1
)f ( x ) − f (1
x − 1 − x2 + 1
x +1
1
= lim 1 −
1 − x = lim 1 −
∞1 − x = −
+
+
+
+
x +1
x +1
x +1
1+ x
x →−1
x→−1
x→−1
x→−1
وﻣﻨﻪ fﻻ ﺗﻘﺒﻞ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ -1و ﻣﻨﺤﻨﻰ fﻳﻘﺒﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ -1
1
x
x
1
x+ 2
+1
+
2
)f ( x ) − f ( −1
1
1
x +1
1
2
2
x +1
lim
= lim
= lim + x + 1
= lim +
=
−
−
−
−
2
2
x +1
x +1
x +1
x→−1
x→−1
x→−1 2
x→−1 2 2 x + 1
= lim
)
(
1
وﻣﻨﻪ fﺗﻘﺒﻞ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر -1و ﻣﻨﺤﻨﻰ fﻳﻘﺒﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ اﻟﻤﻮﺟﻪ
2
15
ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر -1
lim
-5أ( ﻧﺤﺴﺐ ) f ' ( xﻟﻜﻞ xﻣﻦ [ ]−1;1ﺛﻢ أﺣﺴﺐ ) f ' ( xﻟﻜﻞ xﻣﻦ
x
[∀x ∈ ]−1;1
f '( x) = 1 +
1 − x2
1
1 x2 + 1 − 2 x2
2
+
=
= 2
2
2
2
x +1
x +1
2 x +1
)
(
ب( ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات f
1 − 2 x2
ﻟﺪﻳﻨﺎ
1 − x2
)
1 − x2 − x
1 − 2 x2
2
(
=
x
1 − x2
[∞∀x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1; +
= )f '( x
( 1 − x − x) 1 − x
2
f '( x) = 1 +
=
x
1 − x2
[∀x ∈ ]−1;1
f '( x) = 1 +
إﺷﺎرة ) f ' ( xﻋﻠﻰ [ ]−1;0هﻲ إﺷﺎرة 1 − 2x 2ﻋﻠﻰ
2
2
1
2;
∀x ∈ −
0
2
)f '( x
x +1
f '( x) ≤ 0
[∞ ∀x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1; +وﻣﻨﻪ 0
= )f '( x
2
[]−1;0
[x ∈ ]−1;0
f '( x) = 0 ⇔ x = −
وﻣﻨﻪ 0
[∀x ∈ ]−1;1
[∀x ∈ [ 0;1
)f '( x
0
[∞]−∞; −1[ ∪ ]1; +
∞+
2
2
0
1
+
+
∞+
−
2
∀x ∈ −1; −
2
)f '( x
[∞∀x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1; +
∞−
-1
-
1
x
)f '( x
+
-1
∞−
− 2
f
-6ﻧﺪرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟـ C fﺛﻢ اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟـ C fو ﻣﻘﺎرﺑﻪ.
1
x
ﻟﺪﻳﻨﺎ ∞= +
x+ 2
∞x→−
∞x→+
x→+∞ 2
x +1
1
1
x
1
lim f ( x ) − x = limوﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y = xﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ
= lim = 0
2
∞x→±
x→±∞ x + 1 x→±∞ x
2
2
Cf
lim f ( x ) = lim
1
x
x= 2
2
x +1
و ﻣﻨﻪ C fﻓﻮق ) ( Dﻋﻠﻰ [∞ ]1; +و
1
x
; ∞= −
x+ 2
x→−∞ 2
x +1
lim f ( x ) = lim
[∞∀x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1; +
f ( x) −
C fﺗﺤﺖ ) ( Dﻋﻠﻰ
[]−∞; −1
-5ﻧﺪرس ﺗﻘﻌﺮ C f
x2
0
1
1 − x2
−2 x
2
)( x + 1
2
)
(
1 − x2
= ) f '' ( x
=
1 − x2 +
1 − x2
2
1− x
[ ∀x ∈ ]−1;1وﻣﻨﻪ C fﻣﺤﺪب ﻋﻠﻰ
= ) f "( x
[∞ ∀x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1; +وﻣﻨﻪ :
16
[]−1;1
≺0
0
−2 x
2
)( x + 1
2
= ) f '' ( x
) f '' ( x
[∞ ∀x ∈ ]1; +أي C fﻣﻘﻌﺮ ﻋﻠﻰ
[ ∀x ∈ ]−∞; −1أي C fﻣﺤﺪب ﻋﻠﻰ
[∞]1; +
[]−∞; −1
-6ﻧﻨﺸﺊ C f
ﺗﻤﺮﻳﻦ2
1
1
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪﻳﺔ fﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ
+
cos x sin x
-1ﺣﺪد D fﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ f
-2أ -ﺑﻴﻦ أن 2πدور ﻟﻠﺪاﻟﺔ f
ب -ﺑﻴﻦ أن ) f ( x + π ) = − f ( x
= )f ( x
∀x ∈ D f
-3أﺣﺴﺐ ) f ' ( x
-4أدرس ﺗﻐﻴﺮات fﻋﻠﻰ
[0; π ] ∩ D f
-5أﻧﺸﺊ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ
[0; 2π ] ∩ D f
اﻟﺠﻮاب
1
1
+
cos x sin x
-3ﻧﺤﺪد D f
ﻟﻴﻜﻦ ∈ x
17
= )f ( x
x ∈ D f ⇔ sin x ≠ 0
et cos x ≠ 0
x ∈ D f ⇔ x ≠ kπ
et
x ∈ Df ⇔ x ≠ k
π
2
x≠
π
+ kπ
2
/k ∈
/k ∈
π
− k / k ∈ اذن
2
f دور ﻟﻠﺪاﻟﺔ2π ﺑﻴﻦ أن- أ-4
Df =
∀x ∈
π
− k / k ∈
2
π
− k / k ∈
2
1
1
f ( x + 2π ) =
+
sin ( x + 2π ) cos ( x + 2π )
x∈
= f ( x)
f دور ﻟﻠﺪاﻟﺔ2π إذن
f ( x + π ) = − f ( x ) ﻧﺒﻴﻦ أن-ب
∀x ∈ D f
f (x +π ) =
∀x ∈ D f
1
1
1
1
+
=
+
= − f ( x)
sin ( x + π ) cos ( x + π ) − sin x − cos
f ' ( x ) ﻧﺤﺴﺐ-3
f '( x) =
− cos x
2
sin x
+
sin x
2
cos x
=
3
3
sin x − cos x
sin 2 x ⋅ cos 2 x
=
sin x − cos x ) 1 +
( sin x − cos x )(1 + cos x ⋅ sin x ) (
sin 2 x
2
=
sin 2 x ⋅ cos 2 x
sin 2 x ⋅ cos 2 x
[0; π ] ∩ D f ﻋﻠﻰf ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات-4
sin x − cos x هﻲ إﺷﺎرةf ' ( x ) إﺷﺎرة
π π
x ∈ 0; ∪ ; π
2 2
x
0
f '( x)
f
-
sin x − cos x = 0 ⇔ x =
π
4
π
π
4
0
2
π
+
+
+∞
+∞
2 2
[0; 2π ] ∩ D f
+∞
−∞
ﻋﻠﻰf ﻧﻨﺸﺊ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ-5
C f ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰx = π وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔlim− f ( x ) = +∞
x →π
C f ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰx =
π
2
وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔlim − f ( x ) = +∞
x→
π
2
;
lim + f ( x ) = −∞
x→
π
2
C f ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰx = 0 وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔlim+ f ( x ) = +∞
x →0
3π 3π
f ( x + π ) = − f ( x ) ﺣﻴﺚπ ; ∪ ; 2π و ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﺠﺰء اﻷﺧﺮ ﻋﻠﻰ
2 2
18
π π
0; 2 ∪ 2 ; π ﻋﻠﻰC f ﻧﻨﺸﺊ
19
© Copyright 2025