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13.5 지수함수
나머지절에서는 지수함수,삼각함수,로그함수등 기본적인 복소함
수를 다름.
지수함수
ez
, exp z
(1) e = e (cos y + i sin y )
z
x
위의 정의는 실수함수
e x 로 부터 도출됨
.(A)z=x일때 e z = e x
z
(B)모든 z에 대해서 e 는 해석적
(C)
e z 의 미분이
(2)
( e z )′ = e z
ez
1
(3) e z = e x (cos y + i sin y )
(4)
e z = e x e iy
(5) e
iy
= cos y + i sin y
극형식으로 표시하면
e z = reiθx
eiπ / 2 = i, eiπ = −1, e − iπ / 2 = −i, e − iπ = −1
주기를 2πi를 갖는 e z 의 주기성
e z + 2πi = e z
2
예제 1
e1.4− 0.6i = e1.4 (cos 0.6 − i sin 0.6) = 4.055(0.825 − 0.564i )
= 3.347 − 2.289i
e1.4− 0.6i = e1.4 = 4.055
Arg (e1.4− 0.6i ) = −0.6
3
13.6 삼각함수 및 쌍곡선 함수
오일러 공식에 의해
eix = cos x + i sin x
1 ix
cos x = (e + e − ix )
2
.
e − ix = cos x − i sin x
1 ix
sin x = (e − e − ix )
2i
위의 관계를 복소수로 확장하면
cos z =
1 iz
(e + e − iz )
2
sin z =
e iz = cos z + i sin z
4
1 iz
(e − e − iz )
2i
예제1 다음을 보여라
cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y
sin z = sin x cosh y + i sin x sinh y
1 i ( x + iy )
1 −y
1 y
− i ( x + iy )
cos z = (e
+e
) = e (cos x + i sin x) + e (cos x − i sin x)
2
2
2
.
1 y
1 y
−y
= ( e + e ) cos x − i (e − e − y ) sin x
2
2
= cosh y cos x + i sin x sinh y
cosh y =
1 y
(e + e − y )
2
sinh y =
1 y
(e − e − y )
2
5
예제2 다음을 풀어라
(a) cos z = 5
(b) cos z = 0
(c) sin z = 0
(a) (1)식을 적용
1 iz
cos z = 5 = (e + e − iz )
2
양변에 e iz 를 곱하면
e 2iz − 10eiz + 1 = 0
e iz = e − y + ix = 5 ± 25 − 1 = 9.899,
6
0.101
e iz = e − y + ix = 5 ± 25 − 1 = 9.899,
e − y = 9.899,
y = ±2.2992
0.101
eix = 1
0.101
x = 2nπ
z = ±2nπ ± 2.292i
(b)예제1로부터
cos x = 0
y=0
sinh y = 0
1
z = ± (2n + 1)π (n = 0,1,2,...)
2
7
(c)예제1로부터
sin x = 0
sinh y = 0
y=0
z = ±2nπ (n = 0,1,2,...)
일반적인 공식
cos( z1 ± z2 ) = cos z1 cos z2 m sin z1 sin z2
sin( z1 ± z2 ) = sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2
cos 2 z + sin 2 z = 1
8
쌍곡선 함수
1 z
cosh z = (e + e − z )
2
1 z
sinh z = (e − e − z )
2
(cosh z )′ = sinh z
(sinh z )′ = cosh z
일반적인 공식
sinh z
tanh z =
cosh z
cosh z
coth z =
sinh z
1
sec hz =
cosh z
csc hz =
9
1
sinh z
복소수의 삼각함수 & 쌍곡선 함수
cosh iz = cos z
cos iz = cosh z
sinh iz = i sin z
sin iz = i sinh z
10
13.7 로그함수
ew = z
eu = r
e w = eu + jv = re jθ
v =θ
.
ln z = ln r + iθ
Lnz = ln z + iArgz
lnz = Lnz ± 2nπi
Z가 양의 실수이면
Lnz = Ln z + iπ
11
예제1
ln 1 = 0,±2πi,±4πi,
Ln1= 0
ln 4 = 1.386294 ± 2nπi
Ln 4 = 1.386294
ln(−1) = ±πi,±3πi,
Ln(−1) = πi
ln(−4) = 1.386294 ± 2nπi
Ln(−4) = 1.386294 + πi
ln( z1z2 ) = ln z1 + ln z2
ln( z1 / z2 ) = ln z1 − ln z2
예제2
Z1 = Z 2 = eπi = −1
ln( z1z2 ) = ln 1 = 2πi
ln( z1z2 ) = ln 1 = 0
12
정리1
모든 정수n에 대해서
(lnz)′ =
1
z
여기서, Z는 0 또는 음실수가 아님.
Cauchy-Riemann 방정식을 만족하는 지 증명
1
y
2
2
lnz = ln r + i (θ + c) = ln( x + y ) + i ( Arc tan + c)
2
x
여기서, c는 2π의 곱의 형태임
ux =
x
x2 + y2
= vy =
1
1 + ( y / x) 2
13
⋅
1
x
(ln z )′ = u x + iv x =
1
x − iy
1
+i
(− 2 ) = 2
=
2
2
2
2
z
x +y
x
x +y
1 + ( y / x)
x
14
y
일반적 거듭제곱
z = x + iy
z c = e c ln z
(c는 복소수,
c = n = 1,2,... 이면 z의 n제곱과 일치
c = −1,−2,...
일떄도 유사함
c = 1/ n(n = 2,3,...) 이면
z c = n z = e (1/ n ) ln z
15
)
예제3
π
π
i i = e i ln i = exp(i ln i ) = exp[i ( i ± 2nπi )] =
2
− m 2 nπ
e 2
모든 값은 실수이며 주값(n=0)은 e −π / 2 임
유사하게
(1 + i )
2− i
1
= exp((2 − i ) ln(1 + i )) = exp[(2 − i )(ln 2 + πi ± 2nπi )]
4
1
1
π / 4 ± 2 nπ
= 2e
[sin( ln 2) + i cos( ln 2)]
2
2
a z = e z ln a
16
Pages 635-636a
Continued
17
Pages 635-636b
Continued
18
Pages 635-636c
Continued
19
Pages 635-636d
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