Suites arithmétiques et géométriques 1/1 Exercice 1. Dans une entreprise, l’atelier et les bureaux sont installés dans un même bâtiment non isolé. L’activité des atelier génère des bruits très gênants pour les bureaux. Pour atténuer, on décide d’installer des plaques d’isolation phonique, qui permettent également d’isoler thermiquement la pièce. Avant leur installation, l’intensité du bruit à l’intérieur du bureau est de 100 dB (par inpact) et la consommation annuelle de chauffage est de 600 e Chaque plaque est composée de deux plaques de placo BA13. Chacune de ces plaque a une épaisseur de 13 mm et diminue de 3 dB l’intensité du bruit. On insère, entre ces deux plaques de placo, des couches de mousse isolante, chacune d’épaisseur 20 mm. L’ajout d’une couche permet : — de diminuer de 9 dB l’intensité du bruit — de réduire de 2,5 % la consomation annuelle de chauffage. Le nombre de couches intermédiaires ne peut dépasser dix unités. 1. Quelles sont l’intensité du bruit à l’intérieur du bureau quand on insère une couche de mousse isolante ? Deux couches ? 2. On appelle n le nombre de couche isolantes insérées, ainsi 0 6 n 6 10. On note — un l’intensité du bruite à l’intérieur du bureau, en dB — vn la consommation annuelle de chauffage, en euro. (a) donner les valeurs u0 et v0 (b) Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse, justifier la réponse. (1) Pour tout entier n 6 10, un+1 = un − 9. (2) Pour tout entier n 6 10, vn+1 = 0.975 × vn . (3) Pour tout entier n 6 10, un = 100 − 9n. (4) Pour tout entier n 6 10, vn+1 = vn + 2,5 100 × vn . (5) Pour tout entier n 6 10, vn = 0.975 × n (6) Les suites u et v ont même sens de variation. 3. Le bruit à l’intérieur du bureau sera acceptable si son intensité est inférieur à 50 dB. (a) Déterminer le nombre minimal N de couches de mousse à insérer pour obtenir une intensité acceptable. (b) Quel est le pourcentage de diminution de la consomation annuelle de chauffage pour N couches de mousse insérées ? (c) Si l’entreprise souhaite réduire de 20 % sa consommation annuelle de chauffage, combien au minimum doit elle mettre de couches de plaques isolantes ? Exercice 2. On se propose de calculer la somme : Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + n pour n > 1 1. On souhaite calculer S10 , on propose le dessin si dessous : 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Expliquer comment celui ci permet de trouver S10 2. Refaire un dessin pour S12 3. Généraliser, et exprimer Sn en fonction de n