M5 Théorème du moment cinétique PCSI 2014 – 2015 Intérêt : b on fera plutôt appel au TMC qu’au PFD dans le cas de mouvements de rotation. ~eθ Exemple : pendule simple. O H • Référentiel terrestre local considéré comme galiléen. ~ez a ~er • Système de coordonnées : cylindro–polaires. b • Système : boule du pendule M y T~ l θ • Forces : Poids p~, tension du fil T~ et frottements fluides f~ = −α~v . ~v M f~ I Produit vectoriel p~ x ~ noté ~u ∧ ~v. Le vecteur Le produit vectoriel d’un vecteur ~u avec un vecteur ~v donne un vecteur w résultant possède les propriétés suivantes : – direction : orthogonale à ~u et ~v – sens : tel que ~u, ~v , w ~ forme un trièdre direct (comme vu en SI) – norme : k~u∧vk = k~ukk~vk sin(~u,~v ) (en particulier, le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est le vecteur nul) Le produit vectoriel est une opération linéaire à gauche et linéaire à droite , c’est à dire : ∧ ~ex ~ey ~ez ~ ~ e 0 ~ e −~ ey x z (λ~a + µ~b) ∧ c = λ~a ∧ ~c + µ~b ∧ ~c ~0 ~ey −~ez ~ex ~ ~ ~0 ~a ∧ (λb + µ~c) = λ~a ∧ b + µ~a ∧ ~c ~ez ~ey −~ex Le produit vectoriel est antisymétrique : ~a ∧ ~b = −~b ∧ ~a. Les bases usuelles sont orthonormées directes donc ~ex ∧ ~ey = ~ez ( + permutation circulaire). Par exemple : Cartésien : ~ey ∧ ~ex = −~ez ~ez ∧ ~ex = −~ey Cylindro-polaire : ~er ∧ ~ez = −~eθ ~eθ ∧ ~er = −~ez Sphérique : ~er ∧ ~eφ = −~eθ ~eθ ∧ ~eφ = ~er Exemple : (3~ex + 2~ez ) ∧ 2~ex = 4~ey (3~ex + 2~ez ) ∧ 3~ey = 9~ez − 6~ex (3~ex + 2~ez ) ∧ (2~ex + 3~ey ) = 9~ez + 4~ey − 6~ex (~ex ∧ (~ey − ~ez )) · ~ex = 0 car le résultat du produit scalaire de gauche est orthogonal à ~ex (4~ex + 2~ez ) ∧ (−2~ex − ~ez ) = 0 car les deux vecteurs sont colinéaires 1 TMC M5 II Moment d’une force ~ A. 1. Moment d’une force F~ par rapport à un point A : M 1.a. Définition et propriétés On cherche à traduire l’efficacité qu’à une force F~ appliquée en un point M à "mettre ce dernier en rotation" autour d’un point A. Définition : on appelle moment de la force F~ par rapport à un point A, le vecteur : −→ ~ A (F~ ) = − M AM ∧ F~ −→ ~A=− AM ∧ F~ A M b −−→ AM où M est le point d’application de la force F~ . b F~ b M • C’est une grandeur dynamique vectorielle dont la norme s’exprime en N.m=J=kg.m2 s−2 . −→ ~ A (F~ ) est normal au plan qui contient − • M AM et F~ (voir figure). • Le moment de F~ dépend du point par rapport auquel on le calcule (souvent l’origine O). ~ A (F~ ) : ~ A′ (F~ ) le moment de F~ par rapport à A′ et M Il existe une relation entre M −−→ −−→ −−→ −→ ~ A (F~ ) ~ A′ (F~ ) = A′ A ∧ F~ + M ~ A′ (F~ ) = A′ M ∧ F~ = A′ A ∧ F~ + − AM ∧ F~ ⇒ M M • Si on applique plusieurs forces à M et en notant F~ = P i F~i la résultante des forces, X −−→ X −→ −−→ X ~ ~ A (F~i ) ~ A (F~ ) = − M Fi = AM ∧ F~i = M AM ∧ F~ = AM ∧ i i i Le moment de la résultante des forces est égal à la somme des moments des forces (grandeur additive). 1.b. Méthodes de calcul b −−→ • Par décomposition de AM et F~ selon les vecteurs unitaires de la base choisie. −−→ −−→ Exemple : pendule simple : AM = OM = l.~er −→ ~ O (T~ ) = − ⋆ T~ = −T.~er d’où M OM ∧ T~ = l.~er ∧ (−T.~er ) = ~0. ˙ eθ d’où M ~ = l.~er ∧ (−αlθ.~ ˙ eθ ) = −αl2 θ.~ ˙ er ∧ ~eθ = −αl2 θ.~ ˙ ez . ~ O (f) ⋆ f~ = −αv.~eθ = −αlθ.~ ⋆ p~ = mg cos θ.~er − mg sin θ.~eθ d’où ~ O (~p) = l.~er ∧ (mg cos θ.~er − mg sin θ.~eθ ) = −lmg sin θ.~er ∧ ~eθ = −lmg sin θ.~ez . M ~ A (F~ ), il est souvent plus efficace d’utiliser la notion de bras de levier, a la • Pour calculer M distance la plus courte entre la droite d’action (ou support) de la force et le point A : PCSI 2014 – 2015 Page 2/15 TMC M5 −−→ Dans Π le plan contenant F~ et AM ~ A (F~ ) M ~ A = aF ~n A M ~n b A F~ a M b H F~ a H M α α b Π −→ −−→ ~ A (F~ ) = − M AM ∧ F~ = AM.F. sin(AM ,F~ ) = AM.F. sin α.~n = AH.F.~n = aF.~n où ~n un vecteur unitaire normal à Π et dont le sens est donné par la règle du tire - bouchon ou de la main droite. Remarque : toute force dont le support passe par A a un moment nul par rapport à A. Exemple : pendule simple. b ~ O (T~ ) = ~0. ⋆ T~ , bras de levier nul d’où M −−→ ⋆ f~, bras de levier l et vecteur AM ∧ f~ orienté selon −~ez si θ˙ > 0 d’où ~ = −l.α.v.~ez = −αl2 θ.~ ˙ ez . ~ O (f) M −−→ ⋆ p~, bras de levier MH = l. sin θ et AM ∧ p~ orienté selon −~ez d’où ~ O (~p) = l. sin θ.p~ez = −lmg sin θ.~ez . M 2. Moment d’une force F~ par rapport à un axe orienté ∆ : M∆ (F~ ) Si toutes les forces sont coplanaires, leurs moments sont portés par le même axe , on a donc intérêt à travailler par projection sur cet axe (∆ = Oz dans le cas du pendule). Définition : la projection du moment de F~ sur un axe ∆ orienté par le vecteur unitaire ~e∆ est ~ A (F~ ).~e∆ M∆ (F~ ) = M −→ ~A ~ A′ = ~e∆ .(− A′ A ∧ F~ ) + ~e∆ .M Si deux points A et A′ appartiennent à ∆, MA′ ∆ = ~e∆ .M − − → ~ A = MA∆ = M∆ Or, A~′ A ∧ F~ est normal à A′ A et donc à ∆ ⇒ ~e∆ .(A~′ A ∧ F~ ) = 0 et MA′ ∆ = ~e∆ .M ne dépend plus du point A situé sur l’axe. On définit ainsi le moment de F~ par rapport à un axe et non plus par rapport à un point. PCSI 2014 – 2015 Page 3/15 TMC M5 −−→ Méthode de calcul : en prenant l’axe ∆ normal au plan contenant AM et F~ , on a M∆ = ±aF où a est le bras de levier. • on place le projeté orthogonal (H) de ∆ sur la direction de F~ ce qui donne le bras de levier. • le signe se détermine par utilisation de la règle du tire bouchon : si F~ tend à faire tourner M dans le sens de l’orientation de ∆, la projection de son moment est positive. Effet de F~2 Exemples : • figure ci-contre b ⋆ M∆ (F~1 ) = +F1 a1 ⋆ M∆ (F~2 ) = +F2 a2 Effet de F~1 a′1 b ∆ ⋆ M∆′ (F~1 ) = −F1 a′1 ⋆ M∆′ (F~2 ) = +F2 a′ 2 • pendule simple, on choisit ici de projeter les moments selon Oz. H2 a2 Effet de F~1 et de F~2 a′2 ∆′ M1 a1 H F~1 1 H2′ H1′ F~2 M2 ⋆ T~ bras de levier nul d’où MOz (T~ ) = 0. ˙ ⋆ f~ tend à faire tourner M dans opposé à θ qui oriente Oz si θ˙ > 0, d’où MOz (f~) = −αl2 θ. b ⋆ p~ tend à faire tourner M dans opposé à θ si 0 < θ < π2 , d’où MOz (~p) = −ap = −mgl sin θ. Retenir : la relation entre le signe du moment par rapport à un axe orienté et le fait que la force tende à faire tourner le point dans un sens ou dans l’autre autour de cet axe. Remarque : toute force dont la droite d’action et parallèle à un axe ∆ a un moment normal à ce dernier en un de ses points. Sa projection sur ∆ est donc nulle. Ainsi, pour mettre en mouvement une porte autour de l’axe de ses gonds ∆, on aura interet à appliquer une force F~ dans un plan normal à ∆ et avec un bras de levier important (point d’application loin de l’axe). III Moment cinétique 1. Moment cinétique de M par rapport à un point A Soit un point matériel M, de quantité de mouvement ~p(M/R) = m.~v (M/R) dans le référentiel R (trajectoire C). Soit le plan Π qui contient ~v (M/R) à l’instant t et un point A quelconque de R. PCSI 2014 – 2015 Page 4/15 TMC M5 Définition : par rapport à A et dans R, on définit : −→ −−→ ~ A (M/R) = − L AM ∧ p~(M/R) = mAM ∧ ~v(M/R) ~ A (M/R) L ~ A (M/R) A L b ~n C A R a O M ~v (M/R) a ~v (M/R) M b H Π Remarques : • C’est une grandeur vectorielle dont la norme s’exprime en kg.m2 s−1 et qui caractérise le fait de tourner autour du point A, lié à l’aire balayée. −→ ~ A est normal au plan qui contient − • L AM et ~v . • Le moment cinétique dépend du référentiel d’étude et du point par rapport auquel on le calcule (A ici, mais souvent l’origine O). −→ ~A ~ A′ = m− A′ A ∧ ~v + L On montre à nouveau que L Méthodes de calcul • Par décomposition des vecteurs dans la base choisie, Exemple : dans la base cylindro-polaire et en prenant le cas usuel où A = O : b r˙ r −−→ ~ LO = mOM ∧ ~v = 0 ∧ r θ˙ z z˙ −zr θ˙ ˙er + m[−r z˙ + rz]~ ˙ez = m −r z˙ + rz ˙ = −mzr θ~ ˙ eθ + mr 2 θ~ r 2 θ˙ ~ A sous la forme : • On peut également écrire L −→ −−→ −−→ ~ A = m− L AM ∧ ~v = m(AH + HM ) ∧ ~v = mAHv~n ~ O (M/R) = mav~ez O L b ~eθ b ~ A = mav~n ⇒L où a est la plus courte distance entre A et la direction de ~v et ~n un vecteur unitaire normal à Π et dont le sens est donné par la règle du tire-bouchon ou de la main droite. PCSI 2014 – 2015 a ~v (M/R) b H M ~er Page 5/15 TMC M5 Cas particuliers ˙ eθ ˙ er + r θ.~ • Mouvement plan. On prend alors Oxy le plan du mouvement, OM = r.~er et ~v = r.~ 2 ˙ eθ ) = mr θ~ ˙er ∧ ~eθ ~ O = r.~er ∧ (r.~ d’où L ˙ er + r θ.~ ˙ ez ~ O = mr 2 θ.~ ⇒L z R • Mouvement circulaire. ˙ ez = mR2 .~ω ~ O = mR2 θ.~ L ˙ ez ~ω = θ.~ ~eθ ~ O = mR2 ~ω O L ~ω y r=R b ~ez ~er θ x M ~er ~ey O ~v ~ex ~eθ ~ez θ x y M ~eθ ~v ~er −−→ ˙eθ = Rω~eθ On a OM = R~er et ~v = v~eθ = Rθ~ b b −→ ~ O = m− L OM ∧ ~v = Rmv~er ∧ ~eθ = mR2 ω~ez = mR2 ~ω ˙ez le vecteur rotation instantané dont la norme est θ˙ = ω, la direction en posant ~ω = ω~ez = θ~ est selon l’axe de rotation et le sens indique le sens de rotation (règle du tire bouchon). −→ ˙ eθ ) = ml2 θ~ ˙ez . ~ O = m− Exemple : pendule simple L OM ∧ ~v = m(l.~er ) ∧ (lθ.~ ~ O est un vecteur • Mouvement circulaire et uniforme. Si en plus, ω est contant (MCU), alors, L constant (direction, sens et norme) : intégrale première du mouvement. 2. Moment cinétique de M par rapport à un axe orienté L∆ ~ A sur un axe ∆ orienté par le Définition : L∆ est la projection du moment cinétique L vecteur unitaire ~e∆ et contenant A (indépendant de A). Méthode de calcul : comme tout à l’heure, on a alors L∆ = ±mav où a est la plus courte distance entre l’axe ∆ et la direction de ~v , le signe se détermine par utilisation de la règle du tire bouchon. Exemple : dans le cas du pendule simple, LOz = mlv = ml2 θ˙ positif quand θ˙ > 0 car M tourne alors selon l’orientation de Oz. PCSI 2014 – 2015 Page 6/15 TMC M5 IV Théorème du moment cinétique TMC 1. Démonstration et énoncé −→ ~ A = m− Dérivons par rapport au temps l’expression de L AM ∧ ~v le moment cinétique, dans R et par rapport à un point A d’un point matériel M(m,~v ) : ~A dL dt ! R ! −−→ ! −−→ dAM d~v =m ∧ ~v + mAM ∧ dt R dt R −−→ −−→ ~ si on prend maintenant A est fixe dans R, ( dAM ) = ( dAO ) + ( dOM )R = ~0 + ~v et si R est galiléen, dt R dt R dt v ) = F~ , la résultante des forces appliquées en M d’où m( d~ dt R b ~A dL dt ! R −−→ d~v ~ −−→ ~ = m~v ∧ ~v + AM ∧ m = 0 + AM ∧ F dt Théorème du moment cinétique : dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle du moment cinétique d’un point matériel, en un point fixe A, est égale au moment en A de la résultante des forces F~ qui s’exercent sur le point matériel. ~ A (M) dL dt ! −−→ ~ A (F~ ) = AM ∧ F~ = M avec A un point fixe dans Rg Rg Remarque : souvent le point A est l’origine O du référentiel. 2. Application au pendule simple b On travaille dans R lié au sol et considéré comme galiléen et O est fixe dans ce référentiel, on peut donc appliquer le TMC. ˙ez et par dérivation, dL~ 0 = ml2 θ~ ¨ez car ~ez constant dans R ~ 0 = ml2 θ~ On a montré que L dt ~ 0 (F~ ) = M ~ 0 (T~ ) + M ~ 0 (f~) + M ~ 0 (~p) = ~0 − lαv.~ez − mga.~ez Le moment de la résultante des forces : M ˙ avec v = lθ et a = l sin θ d’où ¨ez = −αl2 θ˙ − mgl sin θ~ez ml2 θ~ et par projection sur ~ez , on retrouve l’équation différentielle du mouvement du pendule simple : ω0 θ¨ + θ˙ + ω02 sin θ = 0 Q PCSI 2014 – 2015 en posant ω0 α g = et ω02 = Q m l Page 7/15 TMC M5 3. Version scalaire (TSMC) Théorème Théorème scalaire du moment cinétique : par projection du TMC sur un axe ∆ passant par A, on a dL∆ dt ! = M∆ (F~ ) avec ∆ un axe fixe dans Rg Rg Exemple : dans le cas du pendule simple, toutes les forces sont coplanaires et le calcul des projections sur O se fait simplement. LOz = ml2 θ˙ et par application du TSMC dans R où l’axe Oz est fixe, dLOz = ml2 θ¨ = MOz (F~ ) = MOz (T~ ) + MOz (f~) + MOz (~p) = 0 − l.α.v − mga dt b et on retrouve la même équation. V Généralisation aux systèmes 1. Système discret − → Définition : Le moment cinétique L O d’un système est la somme des moments de chacun des points en O. X− X −−→ − → → L O (S = L O (Mi ) = OMi ∧ p~i i∈S i∈S Moment intérieur : De la même façon que pour les forces, on sépare les moments entre moment intérieur et moment extérieur à un système. Considérons un système de deux points M1 et M2 , ils sont soumis à des forces F~ext/1 ; F~ext/2 ; F~2/1 ; F~1/2 . Le moment des forces intérieurs vaut : − → −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−−→ MO,int = OM1 ∧ F~2/1 + OM2 ∧ F~1/2 = OM1 ∧ (−F~1/2 ) + OM2 ∧ F~1/2 = M1 M2 ∧ F~2/1 = ~0 En effet, d’après la 3e loi de Newton, on a F~1/2 = −F~2/1 et les forces s’exercent selon la droite M1 M2 . Ce résultat est généralisable à un système de plus de deux points. Moment intérieur : Le moment intérieur à un système, c’est-à-dire la somme des moment des forces exercées par un point du système sur un autre point du système, est nul. Remarque : Le moment des forces extérieures ne peut pas être simplifié en général, on est obligé P −−→ de calculer i OMi ∧ F~i . PCSI 2014 – 2015 Page 8/15 TMC M5 Couple Dans le cas de la mécanique du point, la notion de résultante des force suffit à décrire le mouvement du point en utilisant le principe fondamental de la dynamique. Pour un système de points, nous avons vu le théorème de la résultante cinétique qui montre que le mouvement que l’on peut déduire de la résultante des forces est celui du centre de masse. Pour les système de points, la résultante ne suffit pour décrire tout le mouvement, on parle plus généralement d’action ou d’effort . En effet considérons deux forces F~1 et F~2 = −F~1 appliquées en deux points distincts M1 et M2 alors : – la résultante des forces est nulle. −−− → −−−→ −−−−→ – le moment résultant de ces deux forces en un point O est OM1 ∧ F~1 + OM2 ∧ F~2 = M1 M2 ∧ F~2 qui est « a priori » différent de ~0 (sauf cas particuliers). – le moment résultant ne dépend pas du choix du point O. Exemple : : poids et poussée d’Archimède (pour un objet flottant dont la répartition de masse n’est pas homogène) La somme de ces deux forces n’a pas d’effet sur le mouvement du centre de masse mais engendre une rotation de l’objet. Définition : Une action exercée sur un système dont la résultante des forces est nulle est appelée couple , cela correspond à un moment des forces mais ne dépend pas du point par rapport auquel on le calcule. Remarques : – Un couple n’a pas d’action sur le mouvement du centre de masse du système, mais tend à faire tourner le système. – Sa dimension est la même que celle du moment d’une force et s’exprime donc en N.m − → – Les couples sont fréquemment notés C ou ~Γ. Théorème du moment cinétique : La dérivée du moment cinétique d’un système fermé en un point fixe O (resp. par rapport à un axe fixe ∆) dans un référentiel galiléen est égal au moment en O (resp. par rapport ∆) à des actions extérieures au système : ~O − → dL = MO,ext dt dL∆ resp. = M∆,ext dt ! 2. Liaison pivot Définition : Une liaison pivot est un mécanisme qui ne laisse qu’un degré de liberté de rotation autour d’un axe ∆ à un solide. La liaison est dite parfaite si le moment des efforts exercés par le mécanisme sur le solide par rapport à l’axe ∆ est nul : M∆ = 0 Dans le cas contraire, la liaison produit un couple de frottement. PCSI 2014 – 2015 Page 9/15 TMC M5 Un moyen de construire une liaison pivot est d’utiliser deux cylindre coaxiaux (un plein et un creux) comme illustré ci-contre. Un dispositif permet de faire en sorte que les cylindres ne peuvent pas glisser l’un par rapport à l’autre selon la direction de ∆. Remarques : – Dans les dispositifs en rotation (moteur, roue . . .), la partie en rotation est appelée rotor et la partie immobile est appelée stator. – Pour qu’un couple puisse s’exercer sur le rotor (soit pour freiner, soit pour mettre en mouvement), il est nécessaire que le dispositif contienne un stator pour pouvoir « s’appuyer dessus ». (Principe des actions réciproques) 3. Solide en rotation autour d’un axe fixe. Si l’on considère un solide S en rotation autour d’un axe fixe à une vitesse Ω, on se place en coordonnées cylindro-polaire d’axe Oz l’axe de rotation du solide. Le champ des vitesses est alors ~v = rΩ~eθ , c’est-à-dire que pour un point M du solide, sa vitesse ne dépend que de sa distance r à l’axe de rotation. Calculons alors le moment cinétique du système {S} par rapport à l’axe de rotation ∆. Dans le cas d’un système discret : L∆ (S) = ~ez · X −−→ OMi ∧ mi~vi = ~ez · i∈S = ~ez · X X (ri~er (Mi ) + zi~ez ) ∧ mi ri Ω~eθ (Mi ) i∈S mi (ri2 ω~ez − zi ri Ω~er ()Mi ) = Ω i∈S X mi ri2 = J∆ Ω i∈S Définition : On appelle moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe ∆ la grandeur J∆ = X mi ri2 i∈S où ri est la distance du point i à l’axe ∆ et mi sa masse. Si le solide est en rotation autour de l’axe ∆ (orienté) à une vitesse angulaire Ω, alors son moment cinétique par rapport à ∆ est simplement le produit de son moment d’inertie par rapport à ∆ et de sa vitesse de rotation autour de ∆ L∆ (S) = J∆ (S)Ω Remarques : t 2 t 2 – Dans le cas d’un solide continu, l’expression du moment d’inertie est r dm = r ρ(M) dτ . – Le moment d’inertie croit fortement lorsque les masses sont éloignés de l’axe de rotation, ce phénomène est utilisé par les gymnastes et les patineurs (voir exemple du tabouret d’inertie). PCSI 2014 – 2015 Page 10/15 TMC M5 VI aspect énergétique 1. Énergie cinétique d’un solide en rotation On considère un solide S en rotation autour d’un axe fixe ∆ à la vitesse Ω. Son énergie cinétique est la somme des énergies cinétiques des points constituants le système. Ec (S) = X i∈S X1 X1 1 1 mi vi2 = mi (ri Ω)2 = Ω2 mi ri2 = J∆ Ω2 2 2 i∈S 2 i∈S 2 Énergie cinétique d’un solide en rotation : Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe ∆ à la vitesse angulaire Ω, de moment d’inertie J∆ par rapport cet axe, l’énergie cinétique peut s’exprimer en utilisant la formule : 1 Ec = J∆ Ω2 2 2. Puissance des forces intérieures Soit un système de deux points M1 et M2 en interaction et soumis à des forces extérieures. On cherche à exprimer la puissance des forces intérieures. Pint −−−→  −−−−→ − −−→ d OM1  ~ dM1 M2 d OM 2 ~ ~ ~ ~ ~  − = F1/2 · = F1/2 · ~v2 + F2/1 · ~v1 = F1/2 · ~v2 − F1/2 · ~v1 = F1/2 · dt dt dt  −−−−→ Or d’après le principe des actions réciproques, F~1/2 et M1 M2 sont colinéaires. Soit ~u le vecteur −−−−→ unitaire tel que M1 M2 = M1 M2~u et soit F la projection de F~1/2 sur ~u, alors : Pint = F ~u · d dM1 M2 d~u dM1 M2 1 d~u · ~u (M1 M2~u) = F ~u · ~u + F × M1 M2~u · =F + F × M1 M2 dt dt dt dt 2 dt Or ~u est un vecteur unitaire donc ~u · ~u = 1 ne dépend pas du temps. D’où Pint = F dM1 M2 dt Puissance des efforts intérieurs pour un système : Dans un système, la puissance des efforts intérieurs est lié à la déformation du système (variation de distance entre les points à l’intérieur d’un même système). Dans le cas particulier d’un solide (indéformable), la distance entre les points reste constante par définition et la puissance des forces intérieurs est donc nulle. PCSI 2014 – 2015 Page 11/15 TMC M5 Les théorèmes énergétiques vu dans le chapitre M3 deviennent donc (en sommant pour chaque point du système). Théorème l’énergie cinétique : Dans un référentiel galiléen , la variation d’énergie cinétique d’un système fermé est égale à la somme des travaux des forces intérieures et des travaux des forces extérieures : ∆Ec = Ec,2 − Ec,1 = Wint,1→2 + Wext,1→2 Remarques : – Il en va de même pour tous les autres théorèmes énergétiques : il ne faut surtout pas oublier la puissance des forces intérieurs (sinon une voiture ne pourrait pas avancer) – Dans le cas particulier d’un système indéformable (solide), nous avons vu que la puissance des forces intérieures est nulle. films 3. Tabouret d’inertie On considère une personne assise sur un tabouret pouvant tourner librement. Cette personne tourne initialement avec les bras écartés et en tenant des masses dans chaque main. La personne ramène les bras vers lui. On se propose de modéliser ce problème de la façon suivante : – 2 masse m à une distance r1 de l’axe de rotation et à une vitesse de rotation Ω1 – les masses se rapprochent l’une de l’autre jusqu’à être distante d’une distance r2 de l’axe de rotation. 1. par application du théorème du moment cinétique, quelle est la nouvelle vitesse de rotation Ω2 ? 2. Quelle est l’énergie cinétique du système au début ? 3. Quelle est l’énergie cinétique du système à la fin ? (en fonction de Ω1 ) 4. D’où vient la différence ? 1. L’axe est fixe et le référentiel est galiléen, on peut donc appliquer le théorème du moment cinétique. dLdt∆ = M∆,ext = 0 donc le moment cinétique se conserve. L1 = L2 ⇒ 2mr12 Ω1 = 2mr22 Ω2 r12 ⇒ Ω2 = 2 Ω1 > Ω1 r2 2. 2 21 mr12 Ω21 r4 3. 2 12 mr22 Ω22 = m r12 Ω21 2 r12 r22 4. ∆Ec = mr12 − 1 Ω21 > 0. Cette différence vient de l’opérateur, puissance interne qui crée une déformation du système. Puissance d’un couple pour un solide en rotation autour d’un axe fixe ? ? ? coordonnées cylindrique d’axe delta F1 v1 + F2 v2 = F1 r1 Ωeθ + F2 r2 Ω pour rotation ep pes ? Moment du poids PCSI 2014 – 2015 Page 12/15 TMC M5 VII Exemple du pendule de torsion z b O θ x b M2 y b M1 Description de l’expérience : – deux masses M1 et M2 de masse m sont attachée à une tige de longueur 2l et de masse négligeable ; – la tige est suspendue au plafond par un fil ; – le fil peut exercer un couple sur la tige par rapport à l’axe Oz lorsqu’il est tordu, ce couple sera pris de la forme ~Γ = −Cθ~ez ; – au repos, la tige est alignée selon l’axe Ox, en mouvement sa position est repérée par rapport à l’angle θ qu’elle fait avec l’axe x ; Cette expérience a permis historiquement à Cavendish de « peser » la terre (aujourd’hui, on le voit plutôt comme une mesure de la constante de gravitation G) Mise en équation : 1. référentiel : celui du laboratoire, supposé galiléen. 2. système : {M1 , M2 et la tige} 3. bilan des efforts extérieurs : poids des deux masses P~1 et P~2 , tension du fil qui supporte la tige T~ et couple du fil qui supporte la tige ~Γ. On utilise le TMC projeté sur l’axe Oz : P~1 , P~2 , T~ sont parallèles à Oz donc leur moment par ˙ rapport à Oz est nul. Le moment cinétique du système est Jz θ˙ = 2 × (ml2 )θ. dLz C = −Cθ ⇔ 2ml2 θ¨ = −Cθ ⇔ θ¨ + θ=0 dt 2ml2 Équation d’un oscillateur harmonique de pulsation propre ω0 = q C 2ml2 intégrale première du mouvement : Il suffit de multiplier par θ˙ ˙ θ¨ + Cθ) = 0 ⇔ 1 θ˙2 + 1 Cθ2 = cte θ(J 2 2 PCSI 2014 – 2015 Page 13/15 TMC M5 VIII Exemple pendule pesant F~ On considère un solide lié à un axe ∆ par une liaison pivot parfaite. Le schéma ci-contre est représenté dans un plan orthogonal à ∆ et contenant le centre de gravité. On choisit un axe Ox vertical orienté vers le bas. – Le moment cinétique du solide par rapport à ∆ est J – On pose l = OG – On repère la position du centre de masse G par l’angle θ = −→ (Ox,OG) – Le système étudié est le solide dans le référentiel du laboratoire – Les forces appliquées au système sont le poids P~ et la réaction de la liaison F~ – Une difficulté est que l’on ne connait pas la direction de F~ Moment du poids sur un système : poids de chaque point du système. O b b = l sin θ l θ b G P~ x Le moment du poids se calcule en utilisant le moment du ! X −−→ X −−→ −→ −→ − → OMi ∧ mi~g = mi OMi ∧ ~g = mOG ∧ ~g = OG ∧ P~ M0 (P~ ) = i∈S i∈S Énergie potentielle de pesanteur d’un système de points : Ep,pes = X mi zi = mzG i∈S En effet, cela correspond à projetter sur l’axe Oz la relation X −−→ −→ mi OMi = mOG i∈S Poids : Du point du vue du moment, le poids se comporte donc comme si toute la masse du système était concentrée au centre de masse G. Il en va de même du point de vue de l’énergie potentielle de pesanteur. On va travailler avec le théorème du moment cinétique par rapport à l’axe de rotation, l’avantage est que le moment de F~ par rapport à cet axe est nul puisque son bras de levier est nul. J J θ¨ = −mgl sin θ ⇔ θ¨ + sin θ = 0 = θ¨ + ω02 sin θ mgl Résolution numérique de l’équation aux grandes amplitudes : Nous avons déjà vu comment résoudre analytiquement cette équation dans le cas des faibles amplitudes. L’équation devient alorsθ¨ + ω02θ = 0 et la période des oscillations vaut T0 = ω2π0 et est indépendante de l’amplitude des oscillations : on parle d’isochronisme des petites oscillations. Dans le cas des grandes amplitudes, on peut utiliser des méthodes numériques pour résoudre l’équation différentielle non-linéaire. Ces méthodes ont été vue en cours d’informatique, mais peuvent (doivent) être utilisées dans les autres matières aussi. PCSI 2014 – 2015 Page 14/15 TMC M5 Proposez un programme permettant de tracer θ(t) pour les grandes amplitudes et pour une vitesse initiale nulle. 1 2 3 4 from scipy.integrate import odeint import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt omega_0=1#pulsation propre 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 0 .3 g r a n d e s a m p lit u d e s p e t it e s a m p lit u d e s 0 .2 0 .1 θ θ 22 plt.show() 0 .0 − 0 .1 − 0 .2 − 0 .3 0 5 10 15 t 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 t La figure précédente représente les solutions tracées pour différentes conditions initiales. On remarque que : – sur la figure de droite, les courbes passent toutes en même temps par 0 : la période des trois signaux est la même (isochronisme) – sur la figure de droite au contraire, on observe que la période est d’autant plus élevée que l’amplitude des oscillations est élevée (non isochronisme) portrait de phase : Réviser le portrait de phase vu dans M3 . Lorsque l’énergie mécanique est supérieure à l’énergie potentielle maximale, on a un mouvement révolutif, lorsqu’elle est inférieure, on a un mouvement pendulaire. On parle de bifurcation. PCSI 2014 – 2015 Page 15/15 TMC M5 Table des matières I Produit vectoriel II Moment d’une force ~ A. 1. Moment d’une force F~ par rapport à un point A : M 1.a. Définition et propriétés 1.b. Méthodes de calcul 2. Moment d’une force F~ par rapport à un axe orienté ∆ : M∆ (F~ ) III Moment cinétique 1. Moment cinétique de M par rapport à un point A 2. Moment cinétique de M par rapport à un axe orienté L∆ IV Théorème du moment cinétique TMC 1. Démonstration et énoncé 2. Application au pendule simple 3. Version scalaire (TSMC) V Généralisation aux systèmes 1. Système discret 2. Liaison pivot 3. Solide en rotation autour d’un axe fixe. VI aspect énergétique 1. Énergie cinétique d’un solide en rotation 2. Puissance des forces intérieures 3. Tabouret d’inertie VIIExemple du pendule de torsion VIIIExemple pendule pesant Manip : Tabouret d’inertie Vidéo de gymnaste qui replie les bras ? œuf dur œuf pas dur PCSI 2014 – 2015 Lycée Poincaré