´deutiques Statistiques Prope Cours : Prof. Dr. Christian Mazza Exercices : Matthieu Jacquemet Lundi 23 mars 2015 ´rie 5 Se Probabilit´ es I Cette s´erie a ´et´e r´esolue en cours. Elle n’est pas ` a rendre mais fait partie du corpus enseign´e. Exercice 1 (Ev´ enements et axiomatique) Seien A1 und A2 zwei Ereignisse. (a) Zeige die folgenden Behauptungen : (i) Falls A1 ⊂ A2 , dann gilt P (A2 \A1 ) = P (A2 ) − P (A1 ). (ii) P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ). (b) Es sei P (A1 ∪ A2 ) = 5 , 8 P (A1 ∩ A2 ) = 1 4 und P (A1 ) = 1 . 5 Bestimme P (A1 ), P (A2 ) und P (A1 ∩ A2 ). Exercice 2 (Une famille et un chevalier)(a) Une famille a 6 enfants. D´eterminer le nombre total de configurations possibles, puis d´enombrer le nombre d’issues r´ealisant les ´ev´enements suivants : (i) Les gar¸cons et les filles alternent. (ii) Le premier et le dernier enfant sont des gar¸cons. (iii) Il y a autant de filles que de gar¸cons. (b) Question pos´ee par le chevalier de M´er´e : Est-il plus probable d’obtenir au moins un 6 avec 4 d´es, ou au moins un double 6 en 24 jets de 2 d´es ? Exercice 3 (Conjonction d’´ ev´ enements et probabilit´ e conditionnelle)(a) Montrer par r´ecurrence la formule P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P (A1 ) · P (A2 |A1 ) · P (A3 |A1 ∩ A2 ) · ... · P (An |A1 ∩ ... ∩ An−1 ). (b) Une urne contient 12 boules rouges et 4 boules noires. On tire trois boules au hasard l’une apr`es l’autre. Calculer la probabilit´e que les trois boules tir´ees soient rouges. Exercice 4 (Probabilit´ e totale et formule de Bayes) Deux maladies M1 et M2 sont pr´esentes respectivement chez 10% et 20% des personnes (une personne ne peut pas avoir les deux maladie en mˆeme temps). On entreprend un d´epistage des deux maladies. Le test r´eagit positivement sur 90% des malades de M1 , 70% des malades de M2 et 10% des personnes qui n’ont aucune des deux affections. (a) Calculer la probabilit´e pour que le test r´eagisse positivement sur une personne choisie au hasard dans cette population. (b) Sachant que le test a r´eagi positivement sur la personne choisie au hasard, calculer la probabilit´e que ce soit ` a cause de M2 .