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#8 – Théorème de Thalès
Théorème de Thalès :
Si dans un triangle ABC, M est un point de [AB] et N est un point de [AC] tel que (MN) est
AM AN MN
AB AC BC
parallèle à (BC), alors : k =
=
=
ou k ' =
=
=
.
AB AC BC
AM AN MN
Remarques : Dans la configuration de Thalès ci-dessus, il apparaît 2 triangles.
• Un « petit » triangle : AMN
• Un « grand » triangle : ABC
Ces deux triangles ont un sommet en commun : A
C’est à partir du sommet commun qu'on écrit les deux premiers quotients :
AM AN
AB AC
k=
=
ou k ' =
=
(*)
AB AC
AM AN
Ces deux triangles sont semblables (mêmes angles, même nature) :
• Les angles correspondants ̂
AMN et ̂
ABC sont de même mesure car (MN) // (BC).
̂
̂
• De même, ANM= ACB.
D'après (*), on a :
{
AM=k AB
AN=k AC
MN=k BC
Et :
{
AB=k ' AM
AC=k ' AN
BC=k ' MN
Les longueurs des triangles ABC et AMN sont proportionnelles.
ABC est un agrandissement de AMN de rapport k'.
AMN est une réduction de ABC de rapport k.
avec k < 1 et k' > 1
Exercice 1 :
Soit ABC un triangle. M et N sont respectivement sur [AB] et [AC] de sorte que (MN) est
parallèle à (BC) et AM = 3 cm, AN = 2 cm, AC = 5 cm et BC = 9cm.
1.) Calculer AB et MN. En déduire MB.
2.) Préciser les rapports d'agrandissement et de réduction.
Rédaction de la réponse :
1.) On sait que, dans le triangle ABC :
• M ∈ [AB].
• N ∈ [AC].
• (MN) // (BC).
AM AN MN
=
=
AB AC BC
3 = 2 = MN
Donc :
AB 5
9
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :
Calcul de AB : On a :
3 =2
AB 5
Calcul de MN : On a :
Donc : 2 AB=3×5
Donc : AB =
3×5 15
= =7,5 cm
2
2
Donc : 5 MN=2×9
Donc : MN =
Calcul de MB : Les points A, M et B sont alignés dans cet ordre.
Donc : MB = AB – AM = 7,5 – 3 = 4,5 cm
2
2.) AMN est une réduction de ABC de rapport
5
5
ABC est un agrandissement de AMN de rapport
2
Exercice 2 : Construis
• l'agrandissement AB'C' de ABC de rapport 3.
1
.
• la réduction AB''C'' de ABC de rapport
2
MN = 2
9
5
2×9 18
= =3,6 cm
5
5
Exercice 2 BIS :
1
1.) Trace [AB] de longueur 7cm puis construis le point M de [AB] tel que : AM = AB.
3
9
2.) Trace [AB] de longueur 5 cm puis construis le point N de [AB) tel que : AN = AB .
7
Socle commun et bilan des compétences travaillées dans ce chapitre :
A l'issue de ce chapitre, je dois :
• Savoir écrire les rapports égaux dans une configuration de Thalès.
• Savoir calculer une longueur manquante dans un triangle.
• Savoir dire si un triangle est une réduction ou un agrandissement d'un autre, tout en
précisant le rapport.
• Savoir construire une réduction ou un agrandissement d'un triangle.
• Savoir construire un point M sur une demi-droite [AB) en respectant une égalité du
3
type AM = AB.
5