TRIGONOMETRIE TRIANGLE QUELCONQUE
TRIGONOMETRIE TRIANGLE QUELCONQUE a² = b² + c² − 2bc cos A Soit ABC un triangle quelconque. Al-Kashi : b² = a² + c² − 2ac cos B . c² = a² + b² − 2ab cos C Si l’angle A est droit, alors cos A = 0 et la relation devient : a² = b² + c². Elle correspond au théorème de Pythagore. Cette relation permet de calculer les éléments d’un triangle quelconque connaissant : les trois côtés ou deux cotés et l’angle compris entre ces deux côtés. L’aire d’un triangle quelconque est donné par : 1 1 1 ab sin C = bc sin A = ac sinB 2 2 2 Relation des sinus : a b c = = sin A sin B sin C Cette relation permet de calculer les éléments d’un triangle quelconque connaissant : un côté et deux angles ou deux cotés et un angle non compris entre des deux cotés. 1 C Soit ABC un triangle quelconque. On donne AB = 4 cm ; BC = 7 cm et CBA = 45°. 1) Construire le triangle ABC -1 2) Mesurer le coté AC (arrondir à 10 ) 2 C On donne un triangle GEF quelconque avec GF = 6 cm ; GEF = 83° et FGE = 58°. Calculer la mesure de EF 3 C On donne ABC avec CA = 6,1 cm ; AB = 5 cm et BAC = 51 ° Calculer la mesure de BC 4 C ABC est un triangle tel que AB = 3cm ; BC = 7 cm et B = 40 ° 1) Construire le triangle ABC. 2) Calculer l’aire du triangle ABC. 3) Calculer AC. 4) Calculer les mesures des angles A et C à 0.1 près. 5 C ABC est un triangle tel que BC = 5 cm ; C = 18 ° et B = 97°. Calculer les angles et les côtés manquants. 6 C ABC est un triangle tel que AC = 60 cm ; AB = 90 cm et C = 80° Calculer les angles et les côtés manquants. 7 C 8 C 9 C 10 C 11 C 12 C Calculer les mesures des angles A, B et C dans le triangle ABC tel que AB = 5 cm ; AC = 4 cm et BC = 6 cm Calculer le côté AC dans le triangle ABC tel que AB = 12 cm, BC = 6 cm et l’angle B = 125°. Construire un triangle RST tel que RS = 7 cm ; SRT = 30° et TSR = 70°. Calculer les angles et les côtés manquants. Soit le triangle ABC tel que BAC = 60° ; AC = 5 cm et BC = 7 cm. Calculer la mesure de l angle ABC. Soit le triangle MNP tel que MN = 5 cm ; NP = 8 cm et MP = 9 cm. Calculer les angles de ce triangle. Arrondir à l’unité. DEF est un triangle tel que DE = 4 cm, EF = 6 cm et l’angle E mesure 70°. 1) 2) 3) 4) 5) Construire le triangle DEF. Calculer l’aire de DEF. H désigne le pied de la hauteur issue de E. Calculer EH. Calculer DF. Arrondir au centième. Calculer les meures des angles D et F à 0.1 près. FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 1 11/04/2015 TRIGONOMETRIE TRIANGLE QUELCONQUE 13 C Déterminer les longueurs des côtés a, b et c et les angles A, B et C dans chacune des conditions suivantes : 1) 2) 3) 4) On a : a = 10 ; b = 8 et c = 5. On a : a = 6 ; b = 7.5 ; C = 47°. On a : b = 5 ; c = 4 ; C = 35° On a : a = 11 ; b = 7 ; A = 40°. 14 C Le profil d’une pièce métallique est représenté par la figure ci-dessous. On donne AB = 18,6 m ; AE = 14,6 m ; CD = x ; BAE = 150° et DE = BC. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Calculer la longueur CD 15 C Un couvreur possède une vue de côté d’une maison avec un toit à deux pentes ; la façade mesure 14,5 m et la toiture dépasse sur chaque côté de 0,25m. Quelle est la surface que le couvreur doit recouvrir ? 16 C Lors d’une forte tempête dans la Manche, une station de radio C située au Cap de Carteret sur l’ile d’Aurigny capte un message de détresse en provenance d’un transporteur T. Ce même signal de détresse est également capté par une autre station H située sur le Cap de la Hague. Dans le premier cas, le signal provient d’une direction faisant un angle de 59° avec la droite (CH). Dans le deuxième cas, il fait un angle de 22° avec la droite (CH). La situation est représentée par le schéma suivant : [CH = 32 km] S = 59° et H = 22° Calculer en degré la mesure de l’angle T du triangle CTH. Calculer en km la distance TH. FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 2 11/04/2015 TRIGONOMETRIE TRIANGLE QUELCONQUE 17 C Soit le quadrilatère ABCD : AD = 80 mm ; AB = 30 mm Calculer : 1) la mesure de BD 2) les mesures de BC et CD 3) la mesure de l’angle BDA puis celle de ADC 4) la mesure de AC 18 C Au dessus d’un passage de 10m, un luminaire est maintenu par deux câbles métalliques. Les câbles OA et OB font respectivement un angle de 10° et de 30° avec l’horizontale. 1) Calculer à 0,1 près les longueurs OA et OB des câbles. 2) En déduire la côte x. 19 C Un plateau incliné, mobile autour d’un axe O est commandé par un vérin. Le vérin AB est fixé sur un support horizontal au point A, sur le plateau mobile au point B tel que OA = 600 mm et OB = 500 mm. La largeur AB peut ainsi varier de 200 mm à 600 mm. Déterminer les valeurs minimales de l’angle d’inclinaison α. FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 3 11/04/2015 TRIGONOMETRIE TRIANGLE QUELCONQUE CORRIGE : 1 2 3 4 Soit ABC un triangle quelconque. On donne AB = 4 cm ; BC = 7 cm et CBA = 45°. 1) Construire le triangle ABC -1 2) Mesurer le coté AC (arrondir à 10 ) AC² = AB² + BC² − 2ABxACx cos 45 = 7² + 4² − 2x7x 4x cos 45 = 25,402 donc AC = 5,04 cm On donne un triangle GEF quelconque avec GF = 6 cm ; GEF = 83° et FGE = 58°. Calculer la mesure de EF EF 6 6x sin 58 = ⇒ EF = = 5,13 cm sin 58 sin 83 sin 83 On donne ABC avec CA = 6,1 cm ; AB = 5 cm et BAC = 51 °. Calculer la mesure de BC BC² = AB² + BC² − 2ABxBCx cos 51 = 5² + 6.1² − 2x 5x6.1x cos 51 = 23,82 donc BC = 4 ,88 cm ABC est un triangle tel que AB = 3cm ; BC = 7 cm et B = 40 ° 1) Construire le triangle ABC. 1 2) Calculer l’aire du triangle ABC. 7x3x sin 40 = 6,75 cm² 2 3) Calculer AC. AC² = 3² + 7² − 2x 3x7x cos 40 = 31 donc AC = 5,57 cm 4) 5 6 Calculer les mesures des angles A et C à 0.1 près. 5.57 3 7 = = ⇒ C = 20.3° et A = 119.7° sin 40 sin C sin A ABC est un triangle tel que BC = 5 cm ; C = 18 ° et B = 97°. Calculer les angles et les côtés manquants. A = 65° AC AB 5 = = ⇒ AB = 1,70 cm et AC = 5,48 cm sin97 sin18 sin 65 ABC est un triangle tel que AC = 60 cm ; AB = 90 cm et C = 80°. Calculer les angles et les côtés manquants. 90 60 = ⇒ A = 41° sin 80 sin A B = 180 − 80 − 41 = 59° BC² = 90² + 60² − 2x90x60x cos 41 ⇒ BC = 59 ,57 cm 7 8 9 10 11 12 Calculer les mesures des angles A, B et C dans le triangle ABC tel que AB = 5 cm ; AC = 4 cm et BC = 6 cm 5 6² = 5² + 4² − 2x 5x 4x cos A ⇒ cos A = ⇒ A = 82,8° 40 45 4² = 5² + 6² − 2x 5x6x cos B ⇒ cos B = ⇒ B = 41,4° 60 27 5² = 6² + 4² − 2x6x 4x cos C ⇒ cos C = ⇒ C = 55,8° 48 Calculer le côté AC dans le triangle ABC tel que AB = 12 cm, BC = 6 cm et l’angle B = 125°. AC² = 12² + 6² − 2x12x6x cos 125 ⇒ AC = 16 ,2 cm Construire un triangle RST tel que RS = 7 cm ; SRT = 30° et TSR = 70°. Calculer les angles et les côtés manquants. TS RT 7 = = ⇒ TS = 3,55 cm et RT = 6,68 cm sin 30 sin 70 sin 80 Soit le triangle ABC tel que BAC = 60° ; AC = 5 cm et BC = 7 cm. Calculer la mesure de l angle ABC. 5 7 = ⇒ B = 38° sinB sin 60 Soit le triangle MNP tel que MN = 5 cm ; NP = 8 cm et MP = 9 cm. Calculer les angles de ce triangle. Arrondir à l’unité. 42 8² = 5² + 9² − 2x 5x9x cos M ⇒ cos M = ⇒ M = 62° 90 8 9² = 5² + 8² − 2x 5x8x cos N ⇒ cos N = ⇒ N = 84° 80 120 5² = 8² + 9² − 2x8x 9x cos P ⇒ cos P = ⇒ P = 34° 144 DEF est un triangle tel que DE = 4 cm, EF = 6 cm et l’angle E mesure 70°. 1) Construire le triangle DEF. 1 2) Calculer l’aire de DEF. x6x 4x sin 70 = 11.28 cm² 2 FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 4 11/04/2015 TRIGONOMETRIE TRIANGLE QUELCONQUE 3) 4) 5) EH ⇒ EH = 4x cos 70 = 1,37 cm 4 Calculer DF. Arrondir au centième. DF² = 4² + 6² − 2x 4x6x cos 70 ⇒ DF = 5.97 cm Calculer les meures des angles D et F à 0.1 près. 6 4 5.97 = = ⇒ D = 71° et F = 39° sinD sinF sin 70 H désigne le pied de la hauteur issue de E. Calculer EH. cos 70 = 13 Déterminer les longueurs des côtés a, b et c et les angles A, B et C dans chacune des conditions suivantes : 1) On a : a = 10 ; b = 8 et c = 5. A = 98° ; B = 52° ; C = 30°. 2) On a : a = 6 ; b = 7.5 ; C = 47°. c = 5.56 cm ; A = 52° ; B = 81°. 3) On a : b = 5 ; c = 4 ; C = 35°. a = 6.87 cm ; A = 99° ; B = 46°. 4) On a : a = 11 ; b = 7 ; A = 40°. c = 15.4 cm ; B = 24° ; C = 116°. 14 Le profil d’une pièce métallique est représenté par la figure ci-dessous. On donne AB = 18,6 m ; AE = 14,6 m ; CD = x ; BAE = 150° et DE = BC. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Calculer la longueur CD. BE² = 14,6² + 18,6² - 2x14.6x18.6xcos150 = 1029.48. CD = BE = 32.09 cm Un couvreur possède une vue de côté d’une maison avec un toit à deux pentes ; la façade mesure 14,5 m et la toiture dépasse sur chaque côté de 0,25m. Quelle est la surface que le couvreur doit recouvrir ? 9.5 AB BC = = ⇒ AB = 6.50 m et BC = 5.05 m sin110 sin 40 sin 30 S = 6.50x14.5 + 5.05x14.5 = 167.475 m². 15 16 Lors d’une forte tempête dans la Manche, une station de radio C située au Cap de Carteret sur l’ile d’Aurigny capte un message de détresse en provenance d’un transporteur T. Ce même signal de détresse est également capté par une autre station H située sur le Cap de la Hague. Dans le premier cas, le signal provient d’une direction faisant un angle de 59° avec la droite (CH). Dans le deuxième cas, il fait un angle de 22° avec la droite (CH). La situation est représentée par le schéma suivant : [CH = 32 km] S = 59° et H = 22° Calculer en degré la mesure de l’angle T du triangle CTH. Calculer en km la distance TH. T = 180 − 121 − 22 = 37° TH 32 = ⇒ TH = 45.58 sin121 sin 37 17 Soit le quadrilatère ABCD : AD = 80 mm ; AB = 30 mm Calculer : 1) la mesure de BD : 85.44 mm 2) les mesures de BC et CD : CD = 26.72 mm et BC = 64.69 mm. 3) la mesure de l’angle BDA puis celle de ADC : 21°. 4) la mesure de AC : 67.83 mm. 18 Au dessus d’un passage de 10m, un luminaire est maintenu par deux câbles métalliques. Les câbles OA et OB font respectivement un angle de 10° et de 30° avec l’horizontale. 1) Calculer à 0,1 près les longueurs OA et OB des câbles. OA = 7.8 m et OB = 2.7 m. 2) En déduire la côte x. x = 1.35 m. 19 Un plateau incliné, mobile autour d’un axe O est commandé par un vérin. Le vérin AB est fixé sur un support horizontal au point A, sur le plateau mobile au point B tel que OA = 600 mm et OB = 500 mm. La largeur AB peut ainsi varier de 200 mm à 600 mm. Déterminer les valeurs minimales de l’angle d’inclinaison α. 570000 Valeur minimale : 200² = 500² + 600² − 2x 500x 600x cos α ⇒ cos α = ⇒ α = 18.2° 600000 250000 Valeur maximale : 600² = 500² + 600² − 2x 500x600x cos α ⇒ cos α = ⇒ α = 65.4° 600000 FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 5 11/04/2015
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