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TS 8 Jeudi 2 avril 2015
Compléter le cadre ci-contre :
CONTRÔLE DE MATHÉMATIQUES N° 10
Durée : 2 heures
NOM et Prénom :
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ dont la courbe représentative C dans un repère orthogonal
e 
(O ; i , j ) est donnée ci-dessous. Sa tangente au point A(e ; 2e) coupe l’axe des abscisses au point H  ; 0  .
2 
Les tangentes à la courbe C au point B d’abscisse
e et au point C d’abscisse
1
sont horizontales.
e
On suppose que l’on a, pour tout réel x strictement positif , l’égalité :
f ( x)  2 x  a(ln x) 2  b ln x  c  où a, b et c sont des nombres réels fixés.
1. a) Déterminer f '( x) pour tout réel x strictement positif.
b) À l’aide des informations données sur le graphique, déterminer les valeurs de :
1
f    , f  e et f  (e) .
e
c) En déduire les valeurs de a, b et c et vérifier que, pour tout réel x strictement positif, on a :
 
f ( x)  2 x  2(ln x) 2  3ln x  2  .
2. a) Montrer que, pour tout réel x  0, x(ln x) 2  4

x ln x

2
. En déduire la limite de f en 0.
b) Déterminer la limite de f en + .
c) Montrer que pour tout réel x strictement positif, f '( x)  2(ln x  1)(2ln x  1) .
d) Étudier le signe de f '( x) et dresser le tableau de variations de f . On indiquera le calcul de la valeur
exacte de chaque extremum de f .
3. Soit  un nombre réel. On note D la droite d’équation : y = x .
a) Démontrer que C et D2 ont deux points d’intersection dont on calculera les abscisses. Tracer la droite D2.
b) À l’aide du graphique, émettre une conjecture sur le nombre de points d’intersection de C et D selon les
valeurs de . Démontrer cette conjecture.
TS 8 Contrôle 10
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G. Guidini
Exercice 2
Les questions 1., 2., 3. et 4. sont indépendantes.
1. Démontrer que la fonction f : x
1  e2 x
est impaire.
1  e2 x
e2 x  1
.
x0
x
2. Déterminer lim
3. Dans le repère ci-contre sont représentées les courbes (C f ) et
(Cg ) des fonctions f : x
2e x et g : x
9  4e x .
Etudier la position relative de ces deux courbes.
4. On considère la fonction f définie sur
par f ( x) 
(e x  1)2
.
ex  2
e x
.
1  2e x
vérifiant F (0)  1.
a) Démontrer que, pour tout réel x, f ( x)  e x 
b) En déduire la primitive F de f sur
Exercice 3
On considère la fonction f définie sur
par f ( x)  2sin( x)  sin(2 x).
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1. Démontrer que f est impaire et périodique de période 2.
2. En déduire qu’il suffit d’étudier la fonction f sur l’intervalle [0 ; π] et indiquer comment on obtient la courbe
C à partir de son tracé sur [0 ; π].
3. Démontrer que, pour tout réel x, f ( x)  2 1  cos x  (1  2cos x) et étudier le signe de f ( x) pour tout x de [0 ; π].
4. Dresser le tableau de variation de f sur l’intervalle [0 ; π].
5. Tracer la représentation de f pour x appartenant à l’intervalle   3π ; 2π .
Unités graphiques : 1 cm pour
π
unités en abscisse et 1 cm pour 1 unité en ordonnée.
3
Formulaire
Quels que soient les réels a et b :
cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b
cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b
sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a
sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a
cos(2a)  cos2 a  sin 2 a  2cos2 a  1  1  2sin 2 a
sin(2a)  2sin a cos a
Valeurs remarquables :
x
0
cos x
1
sin x
0
TS 8 Contrôle 10
π
6
3
2
1
2
π
4
2
2
2
2
π
3
1
2
3
2
π
2
0
1
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2π
3
1

2
3
2
3π
4
2

2
2
2
5π
6
3

2
1
2
π
−1
0
G. Guidini