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Intégration
© Laurent Garcin
MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Exercice 1.
Exercice 6.
Soit f : R → R une fonction continue T -périodique telle que
Montrer que :
Zb
∀a, b ∈ R, f(λt)dt −→ 0.
Que devient le résultat si
RT
0
RT
0
Soit f : [0, π] → R une application continue.
Zπ
f(t) sin t dt = 0. Montrer que f s’annule en un réel
1. On suppose que
f(t)dt = 0.
f(t)dt 6= 0 ?
Zπ
Zπ
f(t) sin t dt =
2. On suppose que
0
f(t) cos t dt = 0. Montrer que f s’an0
nule deux fois sur ]0, π[.
Zπ
On pourra considérer
f(t) sin(t − a) dt.
Exercice 2.
Soient f une fonction continue sur R admettant une limite finie l en +∞ et a
un réel strictement positif.
Z y+a
f(t) dt = al.
1. Montrer que lim
y→+∞ y
ZX
2. Montrer que
3. Calculer
0
a ∈]0, π[.
λ→+∞
a
lim
X→+∞ 0
ZX
lim
X→+∞ 0
0
Exercice 7.
Soit f : [a, b] → R continue. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f(c) =
Zb
1
f(t) dt.
b−a a
Za
(f(t + a) − f(t)) dt = −
f(t) dt + al.
0
Exercice 8.
(arctan(t + 1) − arctan t) dt.
Soient n ∈ N∗ et f la fonction définie sur [0, 1] par f(t) = bntc. Montrer que f
est en escalier sur [0, 1] et calculer son intégrale.
Exercice 3.
Soit f : [a, b] → R+ continue.
Exercice 9.O
1. Justifier l’existence de M = max f(x).
2. Montrer que
å n1
n
f(x) dx
lim
n→+∞
Zπ
On note
x∈[a,b]
ÇZ b
I=
= M.
0
a
t
dt et J =
2 + sin(t)
Zπ
0
dt
.
2 + sin(t)
1. Trouver une relation simple entre I et J en effectuant le changement de
variable t = π − u.
Exercice 4.
2. Pour tout réel x , on pose
Z
Z
|f| si et
f =
Soit f continue sur [a, b] à valeurs réelles. Montrer que [a,b] [a,b]
seulement si f est de signe constant sur [a, b].
Zx
F(x) =
0
dt
.
2 + sin(t)
a. Montrer que F est continue sur R.
Exercice 5.
b. Calculer F(x) en fonction de x pour tout x ∈ ] − π, π[.
Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] à valeurs réelles. On suppose de
plus g positive sur [a, b]. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que
c. En déduire la valeur de J puis celle de I.
Zb
Zb
f(t)g(t) dt = f(c)
a
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g(t) dt
a
1
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Exercice 10.
Exercice 14.
Calculer les primitives suivantes
Z
Z
dx
4.
tan3 (x)dx ;
;
1.
x2 + 5
Z
Z
1
dx
5.
dx ;
2. √
;
3
2
tan
(x)
x
+
5
Z
Z
2x + 3
dx,
6.
3. ex sin(ex )dx ;
2
(x + 3x + 7)m
Pour n ∈ N et x ∈ R, on pose
Zx
m∈N ;
Z
ln(x)
7.
dx ;
x
Z
ch(x)dx
8.
.
sh5 (x)
In (x) =
0
dt
(1 + t2 )n+1
1. Déterminer une relation entre In+1 (x) et In (x).
2. En déduire l’existence et une expression simple de limx→+∞ In (x).
Exercice 15.
Exercice 11.
Soient a < b réels et f : [a, b] → R convexe et dérivable. Montrer que
Soit α ∈ R et H la fonction définie par :
Zb
Å
ã
a+b
1
f(a) + f(b)
f
6
.
f(t)dt 6
2
b−a a
2
∀x ∈ R, H(x) = α cos x + sin x + 2
1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur α pour que H ne s’annule
Exercice 16.
pas.
1
2. On
Z x suppose la condtion précédente satisfaite et on pose pour x ∈ R, F(x) = Soit f une fonction de classe C strictement croissante de [a, b].
dt
D’après le théorème de la bijection, f induit une bijection de [a, b] sur [f(a), f(b)]
. Justifier que F est bien définie et continue sur R et donner une
et f−1 est continue sur [f(a), f(b)].
0 H(t)
expression de F(x) pour x ∈] − π, π[.
1. Montrer que
3. Calculer l’intégrale F(2π).
Z
Z
b
Exercice 12.
a
Soient α et β deux réels strictement positifs. On définit une fonction f par :
∀x ∈ R, f(x) =
f−1 (y) dy = bf(b) − af(a)
1
α + β cos2 x
Exercice 17.
Etablir la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction ψ définie par
x 7−→
2. Montrer que F(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞.
3. Déterminer une expression de F(x) pour x ∈ − π2 , π2 .
Z 2π
dt
4. Calculer I =
.
2
0 49 − 45 sin t
Z ex »
1 + ln2 (t)dt.
e−x
Exercice 18.
Zx
3−btc dt où btc représente la partie entière du réel
Pour x ∈ R, on pose f(x) =
t.
Exercice 13.
Z b2 »
x (x − a2 )(b2 − x) dx.
0
1. Justifier que f est bien définie.
2. Montrer que la suite (f(n)) converge et donner sa limite.
a2
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f(a)
2. Donner une interprétation géométrique de cette formule.
1. Justifier que f admet des primitives sur R. On note F celle qui s’annule en
0.
Calculer I =
f(b)
f(x) dx +
3. En déduire que f admet une limite en +∞ et préciser celle-ci.
2
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Exercice 19.
Exercice 24.O
Z x2
Étudier le comportement asymptotique de la suite définie par,
dt
.
x ln t
1. Déterminer le domaine de définition de f.
Pour x ∈ R, on pose f(x) =
vn =
1 »
n
(n + 1)(n + 2) . . . (n + n).
n
2. Quel est le signe de f ?
Exercice 25.
3. Prolonger f par continuité partout où cela est possible.
4. Montrer que f est dérivable et étudier les variations de f. On déterminera Etudier la suite (un )n>1 définie par
également la limite de f en +∞.
1
1
1
5. Etudier la concavité de f.
un =
+
+ ··· +
.
n+1 n+2
2n
6. Tracer le graphe de f.
Exercice 26.
Exercice 20.
√ √
√ √
√
√
Déterminer
un équivalent de un = 1 n − 1 + 2 n − 2 + · · · + n − 2 2 +
Zx
√
√
n − 1 1 quand n tend vers +∞.
Soit g : R → R continue. Pour x ∈ R, on pose f(x) =
sin(x − t)g(t) dt.
0
1. Montrer
que f est de classe C 1 sur R et que pour tout x ∈ R, f 0 (x) =
Zx
cos(t − x)g(t) dt.
Exercice 27.
Montrer que
0
2. Montrer que f est de classe C 2 et que f est solution de l’équation différentielle
y 00 + y = g.
X2n − 1 = (X2 − 1)
En déduire pour r > 1
Exercice 21.
Z 2x
x→0 x
X2 − 2X cos
k=1
3. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle y 00 + y = g.
Déterminer lim
n−1
YÅ
Zπ
−π
cos t
dt.
t
ã
kπ
+1
n
ln 1 + reiθ dθ
Exercice 28.
Soit λ ∈ [−1, 1]. Trouver les fonctions f ∈ C0 (R, R) telles que
Exercice 22.
Z λx
Soit f une fonction continue sur [a, b].
Rb
Montrer que la fonction g : x 7→ a f(t) sin(tx) dt est lipschitzienne.
∀x ∈ R,
Étudier le comportement asymptotique de la suite définie par,
n
X
k=1
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k2
f(t)dt.
0
Exercice 23.O
tn =
f(x) =
n
.
+ n2
3
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Exercice 29.OO
Exercice 31.OO
On note, pour tout n ∈ N,
On pose pour tout n > 0,
Zπ
Z π/2
n
In =
sin (x)dx.
In =
0
0
cos(nt)
dt.
2 − cos(t)
1. Montrer que ∀n ∈ N, In+2 = 4In+1 − In .
1. Calculer I0 et I1 .
2. En déduire une expression de In en fonction de n.
2. En intégrant par parties, trouver une relation de récurrence entre In et
In+2 .
Exercice 32.OO
3. En déduire une expression de I2n et I2n+1 pour tout n ∈ N à l’aide de
factorielles.
4. Vérifier que (In )n>0 est décroissante. En déduire que
5. Démontrer que In+1
n+1
n+2 In
Soit n ∈ N∗ .
1. Prouver que, sur un ensemble à déterminer,
6 In+1 6 In .
sin2 (nt)
= sin(t) + sin(3t) + · · · + sin((2n − 1)t).
sin(t)
∼ In .
n→+∞
6. Établir que ∀n ∈ N, (n + 1)In+1 In =
π
2.
2. En déduire une expression de
7. En déduire que
…
In
∼
n→+∞
Z π/2
π
.
2n
In =
0
Exercice 30.
∗
Pour n ∈ N , λ ∈
sin2 (nt)
dt
sin(t)
sous la forme d’une somme.
R∗+
et x ∈ 0, π2 , on pose fn,λ (x) = sin(2nx) ln(λ cos x).
1. Etudier la limite de fn,λ (x) lorsque x tend vers
Z π2
fn,1 (x) dx. Montrer que
2. On pose In =
3. Vérifier que
π
2.
1
6
2k + 1
∀k ∈ N∗ ,
Z k+1
k
1
dx
6
.
2x − 1
2k − 1
0
Z π2
0
4. En déduire que
1 + (−1)n+1
fn,λ (x) dx =
ln λ + In
2n
Z π/2
0
3. Calculer I1 et I2 .
sin2 (nt)
1
dt ∼ ln(n).
sin(t)
2
Exercice 33.
4. Etablir que
In = (−1)
n+1
Z π2
Soit f : [0, 1] −→ R une fonction continue. Prouver que la suite de terme général
sin(2nx) ln(sin x) dx
Z1
0
et
nIn = (−1)n Jn
Z π2
où Jn =
0
sin2 (nx) cot x dx
converge vers 0.
0
5. Calculer Jn − Jn−1 et en déduire In selon la parité de n.
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tn f(t)dt
In =
4