OLYMPIADES KAALA DE SEBIKOTANE Aucun document n’est autorisé. 2015 Classe de TS2 Durée : 04H Epreuve de Mathématiques Veuillez bien soigner votre présentation en encadrant surtout les résultats EXERCICE 1 (05 points) On considère les suites (Un) et (Vn) définie sur IN par : Un = 2nn1 et Vn = Un+1 - 1 Un. 3 3 1°/ a) Montrer que la suite Un est décroissante, en déduire qu’elle est convergente. b) Montrer que la suite Vn est une suite géométrique convergente puis en déduire lim Un. n   2°/ Pour tout entier naturel n , n  2 , on pose Sn = 3 + 52 + 73 + …………..+ 2nn1 . 3 3 3 3 n 1 a) Calculer V k en fonction de n puis montrer que : Sn = 2 - k 1 1 - 1 U. 2.3n 2 2 n b) Déterminer lim Sn n   3°/ Pour tout entier naturel n , on pose tn = ( 2n + 1 ) (tgx)2n ou x ] 0 ,  [ . 2 a) On prend x  ] 0 ,  [ , montrer que pour tout n  IN , on a : tn  Un puis calculer lim tn n   6 b) * On prend x  ]  ,  [ , montrer que pour tout n  IN , on a : tn  2n +1 . 4 2 * En déduire que la suite (tn ) est divergente n t c) On prend x =  . Pour tout entier naturel n , on pose bn =  2k . 4 n 1 k 0 Calculer bn en fonction de n puis déduire lim bn n   EXERCICE 2 (05 points) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, ⃗, ⃗) (unité graphique 4cm). Soit ῼ le point d‘affixe 2. On donne R la rotation de centre ῼ et d’angle et h l’homothétie de centre ῼ et de rapport =ℎ 1) On pose √ . . a) Quelle est la nature et les éléments caractéristiques de . b) Montrer que l’écriture complexe de est Z’ = +1− . c) Soit M un point d’affixe Z distinct de ῼ et M’ son image par d’affixe Z’. = . Montrer que d) Déduire des questions précédentes la nature du triangle ῼ M M’. pour M distinct de ῼ. 2) Soit M0(2 + i). On considère la suite de points (Mn) définie, pour tout entier naturel n, par : Mn+1 = (Mn). a) Placer les points ῼ, M0 ; M1 ; M2 ; M3 et M4. b) Montrer par récurrence, pour tout entier naturel n que l’affixe Zn du point Mn est donnée par : ) + 2. Soit p  IN, montrer que tous les points M 4p + 2 appartiennent à l’axe des réels. Déterminer le plus petit entier n0 tel que l’on ait pour tout n > n0, ῼMn < 0,01 1 ( Page √ Zn = ( ) PROBLEME (10 points) Partie A On considère la fonction g définie sur ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ par : ( ) = ∈ ]−∞ ; 0[ ; ( ) = [ 1. a). Montrer que, que pour ∈ ]0 ; 1[ ( ) = [ (− ) − − . (− + 1) − 1] et (− + 1) − 1]. − b). Etudier la limite de g en 0. c). Calculer les limites de g en −∞ et en 1. 2. Etudier les variations de g, dresser son tableau de variation. En déduire qu’il existe un unique réel ∝ tel que (∝) = 0 et que 0.7 <∝< 0.8 3. En déduire le signe de ( ). Partie B Soit ( − 1) la fonction définie de IR dans IR par : ( ) = <1 . On note la courbe de dans un ≥1    repère orthonormal O ;i ; j unité graphique 2cm. 1. Montrer que l’ensemble de définition 2. a). Montrer que pour tout 0 < b). Montrer que de < 1 ; on a est ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[. ( ) = ( − 1) + (− + 1)ln (− + 1). est continue en 1. 3. a). Montrer que, pour ( ) > 1, = b). Montrer qu’en posant c). Etudier la dérivabilité de ( ) = 5. a). Montrer que, pour = − 1 on obtient : ′( )= ∈ ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ − ∈ ]1 ; +∞[ . . ( ) = ( − 1)ln 1 + < 0, en +∞ et la limite de b). Calculer la limite de − 1. en 1et interpréter les résultats 4. Justifier la dérivabilité de . Puis montrer que : En déduire les variations de . 6. Dresser le tableau de variation de et calculer la limite de en −∞. en 0. puis tracer Partie C =1+ . Calculer alors∫ 2. En intégrant par parties, calculer ∫ (− + 1) 3. Soit un réel, −1 < avec −1 < < 0. −1 < < 0. < 0 et ( ) l’aire du domaine compris entre la courbe = 1 et les droites d’équations = et , la droite d’équation = −1. Fin du sujet ! 2 – Page 1. Vérifier que