© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Devoir surveillé no 9 I La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. I On prendra le temps de vérifier les résultats dans la mesure du possible. I Les calculatrices sont interdites. Problème 1 — L’objet de ce problème est de s’intéresser à résoudre dans certains cas l’équation fonctionnelle suivante : Zx ∀x ∈ R, f(x) − (x − t)f(t) dt = g(x) (1) 0 où f est une fonction inconnue supposée continue sur R ensemble des nombres réels et g une fonction donnée définie sur R. ex − e−x ex + e−x On rappelle que la fonction sh est définie par sh x = et la fonction ch par ch x = · 2 2 Partie I – Dans cette partie on suppose que la fonction g est de classe C 2 sur R. 1. Montrer que les fonctions f solutions de (1) sont elles aussi de classe C 2 sur R et qu’elles vérifient : ∀x ∈ R, f 00 (x) − f(x) = g 00 (x) 2. En déduire la solution de l’équation (1) quand g est la fonction nulle. 3. Déduire aussi que l’équation (1) (que g soit de classe C 2 ou pas) a au plus une solution. 4. Montrer que toute fonction f de la forme : ïZ ò ïZ ò ex x −t 00 e−x x t 00 ∀x ∈ R, f(x) = e g (t) dt + kA − e g (t) dt + kB 2 0 2 0 où kA et kB sont des constantes réelles est solution de (2). 5. Montrer qu’une solution f de (2) vérifiant : f(0) = g(0) et f 0 (0) = g 0 (0) est également solution de (1). 6. Déduire des deux questions précédentes la solution f de (1) quand g est la fonction exponentielle. Partie II – Dans cette partie on suppose que la fonction g est seulement continue. On note E l’ensemble des fonctions continues de R dans R. On définit l’application A qui à une fonction f de E associe la fonction (notée A(f)) par la relation : Zx ∀x ∈ R, A(f)(x) = (x − t)f(t) dt 0 http://laurentb.garcin.free.fr 1 (2) © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot 1. Montrer que pour f ∈ E, A(f) et de classe C 2 et calculer A(f) 0 et A(f) 00 en fonction de f. 2. Montrer que l’application A est un endomorphisme injectif de E. 3. On définit une application U de E dans E par : Zx ∀x ∈ R, U(f)(x) = sh(x − t)f(t) dt 0 Montrer que U ◦ A = U − A. 4. Pour n ∈ N∗ , on désigne par An la n-ème itérée de l’application A : A2 (f) = A(A(f)), . . . , An (f) = A(An−1 (f)) Montrer que pour tout f ∈ E, pour tout x ∈ R et pour tout n ∈ N∗ , Zx (x − t)2n−1 n A (f)(x) = f(t) dt 0 (2n − 1)! 5. Pour n ∈ N∗ , on pose Un = A + A2 + · · · + An . a. Montrer que pour tout u ∈ R et pour tout n ∈ N∗ , on a : n 2n+1 2k−1 X u 6 ch (u)|u| sh (u) − (2k − 1)! (2n + 1)! k=1 b. En déduire que pour toute fonction f de E, pour tout réel x et pour tout n ∈ N∗ : Z ch (x)|x|2n+1 x |U(f)(x) − Un (f)(x)| 6 |f(t)| dt (2n + 1)! 0 puis que U(f)(x) − Un (f)(x) tend vers 0 lorsque n tend vers +∞. c. En déduire que A ◦ U = U − A. 6. a. On note I l’application identité de E dans E. Montrer que les application I − A et I + U sont (pour la composition des applications) des bijections de E dans E réciproques l’une de l’autre. b. En déduire la fonction f de E solution de l’équation (1). http://laurentb.garcin.free.fr 2 © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Problème 2 — Å Pour t ∈ R∗+ , on définit f(t) = exp − 1 t ã et g(t) = f(t) . t Partie I – Etude de deux suites implicites 1. Prouver que f et g sont C ∞ sur R∗+ . 2. Montrer que g peut se prolonger en 0 en une fonction de classe C 1 sur R+ . On notera encore g ce prolongement. 3. Faire un tableau de variations de g sur R+ puis en faire un graphe. Å ã 1 ∗ 4. Soit H la primitive sur R+ de t 7→ g s’annulant en 1. t a. Calculer H. b. En donner un développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 1. t 5. Soit n > 3 un entier naturel. On introduit l’équation (En ) : f(t) = d’inconnue t ∈ R∗+ . n a. En utilisant la question I.3, montrer que (En ) a une unique solution dans ]0, 1[, que l’on notera αn . Montrer que (En ) admet également une unique solution dans ]1, +∞[ que l’on notera βn . b. Montrer que les suites (αn )n>3 et (βn )n>3 sont monotones. c. Est-il possible que l’une des deux suites converge vers une limite l > 0 ? En déduire leurs limites. Partie II – Etude d’une équation différentielle On considère une application y solution de l’équation différentielle (E) : x2 y 0 + y = x2 sur R+ de classe C ∞ sur R+ . Nous allons, sans aucun calcul explicite de y, déterminer entièrement la suite de terme général un = y(n) (0) à partir de l’équation (E). 1. Que vaut u0 ? 2. Calculer u1 et u2 . 3. y peut-elle être une application polynomiale de degré inférieur ou égal à 2 ? 4. Soit n ∈ N. a. On suppose n > 3. Prouver que pour tout x ∈ R+ : x2 y(n+1) (x) + (1 + 2nx)y(n) (x) + n(n − 1)y(n−1) (x) = 0 En déduire une relation de récurrence entre un et un−1 . b. Donner une expression de un utilisant une factorielle valable pour tout n > 2. En déduire un développement limité (dont on justifiera l’existence) de y à tout ordre au voisinage de 0. http://laurentb.garcin.free.fr 3