CORRECTION DS 6 (1H ENVIRON ) MATHEMATIQUES 28 AVRIL 2015 2°6 INEQUATIONS-EQUATIONS DE DROITES Exercice 1 : 4 points 1) 0.5 + 0,5 ; 2) 0.5 + 0,5 + 1 + 1 A sa grande surprise, Charlie vient d’être nommé responsable de la chocolaterie de son village. On note x la quantité de chocolat produite (en tonnes) avec 0 ≤ x ≤ 60. Charlie a calculé les formules donnant le coût C(x) et la recette R(x) de la chocolaterie (en milliers d’euros) en fonction de la quantité produite x de chocolat : C(x) = x² + 30 x + 1000 et R(x) = 100x. 1) On a tracé à la calculatrice les courbes des deux fonctions C et R. a) la courbe de R est la demi-droite. b) Sachant que l’axe des abscisses est gradué toutes les 10 tonnes, lire graphiquement pour quelles valeurs de x on a C(x) ≤ R(x). On lit que la courbe de C est en-dessous de la courbe de R pour x compris entre 20 et 50. 2) Soit la fonction B(x) = - x²+ 70x – 1000 a)La fonction B est égale à R - C, elle correspond au bénéfice de la chocolaterie. b) (-x+20)(x-50) = - x² + 50x + 20x - 1000 = -x² + 70 x – 1000 = B(x) c) x 0 20 -x + 20 + x - 50 - Produit - 50 0 60 - - 0 0 + + 0 - 4) B(x) positif pour 20 < x < 50 donc Charlie doit produire entre 20 et 50 tonnes pour rendre rentable la production. Exercice 2 : 4 points 1 + 2 + 1 On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction f définie pour tout réel x non nul, f ( x)  5 . x 1) Résoudre graphiquement dans  l’inéquation f(x) ≥ 1. On trace la droite d’équation y=1, la courbe est au-dessus de cette droite pour x  [-5 ;0[. 2) a) Etudier à l’aide d’un tableau de signe le signe du quotient 5  x . x Le numérateur s’annule en -5 et le dénominateur en 0. x - -5 -5-x + x - quotient - 0 - 0 + 0 0 + + - b) En déduire les solutions de l’inéquation  5  1 . Estx ce cohérent avec votre réponse du 1) ? L’inéquation  5 5  x 5 5  x , d’où par lecture du tableau de signe  1 équivaut à  0 ,car 1  x x x x S= [-5 ;0[. C’est bien le résultat trouvé au 1). Page 1 sur 2 Exercice 3 : 3 points 1 + 0,5 + 0,5 + 1 3 5 d1 : y =  x  3 d2 : y = -1 d3 : x = 3 d4 : y = 2x + 6 Exercice 4 : 2 points ci-contre Exercice 5 : 3 points 0,5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 1 Dans un repère (O , I , J), on considère la droite d d’équation y = -3x + 4 1) Soit M le point de coordonnées (-2 ;10). M appartient-il à d ? Justifier. -3×(-2) + 4 = 6 + 4 = 10 donc M ∈ d 2) Soit A le point de d d’abscisse –1/5, calculer l’ordonnée de A. 1 3 20 23 yA  3  ( )  4     4,6 ; yA = 4,6 5 5 5 5 3) Soit B le point de d d’ordonnée 2, calculer l’abscisse de B. 2 = -3xB + 4 soit 3xB = 4 – 2 soit xB = 2/3 4) Soit C le point d’intersection de d avec l’axe des abscisses. Quelles sont les coordonnées de C ? 0 = -3xC + 4 soit 3xC = 4 soit xC = 4/3 5) Soit la droite d’ parallèle à d et passant par le point E(-5; 2). Déterminer une équation de d’. D et d’ sont parallèles donc elles ont le même coefficient directeur donc d’ a une équation de la forme y = -3x + p. Par ailleurs E appartient à d’ donc yE = -3xE + p soit 2 = -3×(-5) + p soit 2 = 15 + p soit p = -13 donc d’ a pour équation y = -3x -13 Exercice 6 : 4 points 0,5 + 1,5 + 2 Dans un repère (O , I , J), on considère les droites d 1 d’équation y= 3x - 4 et d2 d’équation y = -2x + 5 . 1. d et d’ n’ont pas le même coefficient directeur (3 et -4) donc elles ne sont pas parallèles. 2. d1 passe par (0 ; -4) et (1 ; -1). d2 passe par (0 ; 5) et (1 ; 3). 3. Pour calculer les coordonnées du point d’intersection A, on résout le système suivant :  y  3x  4    y  2x  5  y  3x  4  y  3x  4   3x  4  2x  5 3x  2x  4  5   9 27 27 20 7 4     1, 4  y  3   4  y   y  3x  4 5 5 5 5 5    9 9 5x  9 x   4,5 x   1,8   5 5 d et d’ sont sécantes au point A de coordonnées (1,8 ;1,4). Page 2 sur 2