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Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Cours L2 SF de Probabilit´es
”Les questions les plus importantes de la vie ne sont en effet, pour la plupart, que des probl`
emes
de probabilit´
e.” Pierre-Simon Laplace.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
April 21, 2015
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Figure: Andre¨ı Kolmogorov (1903-1987)
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es finies
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
”The theory of probability as a mathematical discipline can and should be developed from axioms in
exactly the same way as geometry and algebra.” Andre¨ı Kolmogorov.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Description ensembliste d’une exp´erience
al´eatoire
”A set is a unity of which its elements are the constituents. It is a fundamental property of the mind
to comprehend multitudes into unities. Sets are multitudes which are also unities. A multitude is the
opposite of a unity. How can anything be both a multitude and a unity? Yet a set is just that. It is a
seemingly contradictory fact that sets exist. It is surprising that the fact that multitudes are also unities
leads to no contradictions: this is the main fact of mathematics. Thinking a plurality together seems like
a triviality: and this appears to explain why we have no contradiction. But many things for one is far
from trivial.” Kurt G¨
odel.
Pour mod´eliser math´ematiquement une exp´erience al´eatoire,
il faut commencer par d´ecrire l’ensemble de tous les r´esultats
possibles (”l’univers des possibles”) de l’exp´erience. La tradition veut que cet ensemble soit not´e Ω. Chaque ´el´ement ω ∈
Ω ”code” le r´esultat de l’exp´erience al´eatoire de mani`ere non
ambigue. L’univers des possibles Ω ´etant fix´e, un ´ev´enement
est d´efini comme une sous-partie de Ω.
Probabilit´
es finies
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Par exemple, si on consid`ere un lancer de deux d´es `a 6 faces,
on prend Ω = {1, . . . , 6} × {1, . . . , 6} (on remarquera que
cette description introduit implicitement un ordre).
L’´ev´enement A : ”la somme des chiffres des deux d´es est 9”
sera d´ecrit par l’ensemble
A = {(3, 6); (6, 3); (4, 5); (5, 4)}.
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Observations
Ev´enement ´el´ementaire
Ev´enement
A⇒B
A ou B
A et B
Absence de A
Ev´enement impossible
Ev´enement certain
Ev´enements incompatibles
Formulation ensembliste
{ω}, ω ∈ Ω
A, A ⊂ Ω
A⊂B
A∪B
A∩B
Ac
∅
Ω
A∩B =∅
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
R`egles de d´enombrement
Probabilit´
es finies
1. Le nombre de parties `a k ´el´ements dans un ensemble `a n
´el´ements est :
n!
.
Cnk = k!(n−k)!
2. Le nombre de parties d’un ensemble `a n ´el´ements est :
n
X
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Cnk
n
=2 .
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
k=0
C’est une cons´equence de la formule du binˆ
ome de
Newton :
∀(a, b) ∈ R2 ,
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
(a + b)n =
n
X
k=0
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Cnk ak b n−k .
Quizz
Probabilit´
es finies
3. Une permutation de E est une bijection de E . Il y a autant
de permutations de E qu’il y a de fa¸cons de num´eroter
les ´el´ements de E . Ainsi le nombre de permutations d’un
ensemble `a n ´el´ements est n!.
4. Un arrangement de k ´el´ements parmi n est un k-uplet
(x1 , . . . , xk ) avec xi 6= xj si i 6= j. Le nombre d’arrangements
de k ´el´ements parmi n est :
Akn =
n!
(n−k)! .
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
La probabilit´e mesure les chances d’occurence d’un ´ev´enement
quelconque. On doit donc a priori d´efinir la probabilit´e de
chaque ´ev´enement A ⊂ Ω mais on verra qu’il est suffisant de
donner la probabilit´e de chaque ´ev´enement ´el´ementaire {ω},
ω ∈ Ω ´etant n’importe quelle issue possible de l’exp´erience
al´eatoire.
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Espace de probabilit´e fini
Probabilit´
es finies
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
D´efinition 1
Etant donn´e un espace fini Ω, on appelle mesure de probabilit´e
(ou ”probabilit´e” ou ”loi de probabilit´e” ou ”loi”) sur Ω toute
fonction P de P(Ω) `a valeurs dans [0, 1] v´erifiant :
Probabilit´
es
discr`
etes
1. P(Ω) = 1,
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
2. ∀A, B ∈ P(Ω),
A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Le couple (Ω, P) s’appelle espace de probabilit´e (fini dans ce
cas).
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Proposition 1
Probabilit´
es finies
Soit (Ω, P) un espace probabilis´e fini. Pour tout ´ev´enement
A,
X
P(A) =
P({ω}).
ω∈A
En particulier, la mesure de probabilit´e P est enti`erement
d´efinie par la famille (finie) des ”poids” (pω = P({ω}))ω∈Ω .
Ces poids ont la propri´et´e d’ˆetre positifs et de somme ´egale `a
1.
R´eciproquement, toute famille (qω )ω∈Ω de poids positifs de
somme ´egale `a 1 d´efinit une probabilit´e Q sur Ω par la formule
:
X
Q(A) =
qω .
ω∈A
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Cette propri´et´e est ´el´ementaire et sera d´emontr´ee ult´erieurement
dans un cadre plus g´en´eral.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
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Quizz
Exemples
Probabilit´
es finies
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemples
Probabilit´
es finies
1. Loi uniforme sur Ω fini: ∀A ⊂ Ω,
poids sont donn´es par P({ω}) =
P(A) =
1
Card(Ω) ,
Card(A)
Card(Ω) ;
ω ∈ Ω.
les
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemples
Probabilit´
es finies
1. Loi uniforme sur Ω fini: ∀A ⊂ Ω,
poids sont donn´es par P({ω}) =
P(A) =
1
Card(Ω) ,
Card(A)
Card(Ω) ;
les
ω ∈ Ω.
2. Loi de Bernoulli de param`etre p ∈ [0, 1] sur Ω = {0, 1} :
Les poids sont donn´es par P({0}) = 1 − p, P({1}) = p.
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
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Applications
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Quizz
Exemples
Probabilit´
es finies
1. Loi uniforme sur Ω fini: ∀A ⊂ Ω,
poids sont donn´es par P({ω}) =
P(A) =
1
Card(Ω) ,
Card(A)
Card(Ω) ;
les
ω ∈ Ω.
2. Loi de Bernoulli de param`etre p ∈ [0, 1] sur Ω = {0, 1} :
Les poids sont donn´es par P({0}) = 1 − p, P({1}) = p.
3. Loi binomiale de param`etre p ∈ [0, 1] : Si les n + 1
´el´ements de Ω sont not´es {0, . . . , n} alors
P({k}) = Cnk p k (1 − p)n−k ,
0 ≤ k ≤ n.
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
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eatoires
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etes
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et ind´
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variance, LGN et
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Formules de calcul
Probabilit´
es finies
Proposition 2
Etant donn´es deux ´ev´enements C , D d’un espace de
probabilit´e fini (Ω, P),
1.
P(D c )
= 1 − P(D),
2. P(C ) = P(D) − P(D\C ), si
C ⊂ D,
3. P(C ∪ D) = P(C ) + P(D) − P(C ∩ D).
4. Si Ω = ∪pi=1 Ωi est une partition de Ω (i.e. Ωi ∩ Ωj = ∅
pour i 6= j) alors
p
X
P(Ωi ) = 1.
i=1
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve :
Description
ensembliste d’une
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erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
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Probabilit´
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et ind´
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erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve : 1), 2) d´ecoulent de la d´efinition de probabilit´e appliqu´ee avec les ´ev´enements disjoints A = D, A = D c pour
obtenir 1) et avec A = D\C , B = C pour 2).
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
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etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve : 1), 2) d´ecoulent de la d´efinition de probabilit´e appliqu´ee avec les ´ev´enements disjoints A = D, A = D c pour
obtenir 1) et avec A = D\C , B = C pour 2).
Pour 3) et 4) on commence par ´etablir par r´ecurrence sur
p≥2:
HRp : si A1 , . . . , Ap sont disjoints deux `a deux, alors
P(A1 ∪ . . . ∪ Ap ) = P(A1 ) + . . . + P(Ap ).
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
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et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
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Probabilit´
es finies
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
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d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
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Probabilit´
es
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etes
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et ind´
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Esp´
erance,
variance, LGN et
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es sur un
espace g´
en´
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Probabilit´
es finies
Pour p = 2, c’est par d´efinition d’une probabilit´e.
Description
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erience al´
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R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
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Probabilit´
es
discr`
etes
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et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Pour p = 2, c’est par d´efinition d’une probabilit´e. Supposons
HRp et montrons HRp+1 . On se donne p + 1 ´ev´enements disjoints deux `a deux et on applique la d´efinition d’une probabilit´e
avec A = A1 ∪ . . . ∪ Ap , B = Ap+1 pour avoir
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
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etes
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et ind´
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variance, LGN et
TCL
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es sur un
espace g´
en´
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Probabilit´
es finies
Pour p = 2, c’est par d´efinition d’une probabilit´e. Supposons
HRp et montrons HRp+1 . On se donne p + 1 ´ev´enements disjoints deux `a deux et on applique la d´efinition d’une probabilit´e
avec A = A1 ∪ . . . ∪ Ap , B = Ap+1 pour avoir
P(A ∪ B) = P(A1 ∪ . . . ∪ Ap+1 )
= P(A) + P(B)
= P(A1 ∪ . . . ∪ Ap ) + P(Ap+1 ).
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
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e
fini
Variables al´
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et ind´
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es sur un
espace g´
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Probabilit´
es finies
Pour p = 2, c’est par d´efinition d’une probabilit´e. Supposons
HRp et montrons HRp+1 . On se donne p + 1 ´ev´enements disjoints deux `a deux et on applique la d´efinition d’une probabilit´e
avec A = A1 ∪ . . . ∪ Ap , B = Ap+1 pour avoir
P(A ∪ B) = P(A1 ∪ . . . ∪ Ap+1 )
= P(A) + P(B)
= P(A1 ∪ . . . ∪ Ap ) + P(Ap+1 ).
On utilise alors l’hypoth`ese de r´ecurrence au rang p pour
obtenir finalement l’hypoth`ese de r´ecurrence au rang p + 1.
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
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etes
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et ind´
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variance, LGN et
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es sur un
espace g´
en´
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Applications
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egles de
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Espace de probabilit´
e
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et ind´
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variance, LGN et
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es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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Quizz
Probabilit´
es finies
4) d´ecoule trivialement de cette propri´et´e puique P(Ω) =
P(∪i Ωi ) = 1.
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
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Probabilit´
es
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etes
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et ind´
ependance
Esp´
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variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
4) d´ecoule trivialement de cette propri´et´e puique P(Ω) =
P(∪i Ωi ) = 1.
Pour 3) on utilse HR3 avec les trois ´ev´enements A1 = (C ∪
D)\C , A2 = (C ∪ D)\D et A3 = C ∩ D. On a A1 ∪ A2 ∪ A3 =
C ∪ D et par 2) on a
P(A1 ) = P(C ∪ D) − P(C ),
P(A2 ) = P(C ∪ D) − P(D).
Donc
P(C ∪ D) = P(C ∪ D) − P(C ) + P(C ∪ D) − P(D) + P(C ∩ D).
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
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Probabilit´
es
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etes
Conditionnement
et ind´
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Esp´
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variance, LGN et
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D´efinition
Probabilit´
es finies
D´efinition 2
Etant donn´e un ensemble Ω fini, on appelle variable al´eatoire
toute application de Ω dans R.
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
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etes
Conditionnement
et ind´
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Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
D´efinition
Probabilit´
es finies
D´efinition 2
Etant donn´e un ensemble Ω fini, on appelle variable al´eatoire
toute application de Ω dans R.
Exemple : L’espace Ω = {1, . . . , 6}N d´ecrit l’ensemble des
r´esultats possibles de N lancers successifs d’un d´e `a 6 faces.
Une issue (´ev´enement ´el´ementaire) est d´ecrit par le singleton {(x1 , x2 , . . . , xN )}. Pour tout i entre 1 et N l’application
Xi : Ω → R telle que Xi ((x1 , . . . , xn )) = xi est une variable
al´eatoire d´ecrivant le r´esultat du i `eme lancer.
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Image r´eciproque
Probabilit´
es finies
Soit X : Ω → R une variable al´eatoire et x un r´eel donn´e. On
s’int´eresse aux issues possibles ω de Ω pouvant donner lieu `a
l’observation x de la variable al´eatoire X , i.e. `a l’ensemble
X
−1
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
({x}) = {ω ∈ Ω ; X (ω) = x} ⊂ Ω.
Cet ensemble est not´
e (et ce n’est qu’une notation !)
{X = x} ou encore {X (ω) = x} ou encore X = x mais
c’est un sous-ensemble de Ω, i.e. un ´
ev´
enement.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Plus g´en´eralement, ´etant donn´e une partie de R, on sera
int´eress´e aux issues ω ∈ Ω pouvant donner lieu `a une observation dans A de la variable al´eatoire X , i.e. `a l’ensemble
X −1 (A) = {ω ∈ Ω ; X (ω) ∈ A} ⊂ Ω.
Cet ensemble est not´
e (et ce n’est qu’une notation !)
{X = x} ou encore {X (ω) = x} ou encore X = x mais
c’est un sous-ensemble de Ω, i.e. un ´
ev´
enement.
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Loi d’une variable al´eatoire
Probabilit´
es finies
D´efinition-Proposition 1
Soit un espace probabilis´e fini (Ω, P) et une variable al´eatoire
X : Ω → R une variable al´eatoire.
1. X (Ω) = E ⊂ R est un ensemble fini not´e
E = {x1 , . . . , xp }.
2. La loi de X , not´ee PX est la probabilit´e sur E d´efinie par
∀A ⊂ E ,
PX (A) = P(X −1 (A)).
3. La loi PX de X est caract´eris´ee par les poids
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
( P({X = xk }) )1≤k≤p .
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve : X (Ω) est trivialement fini car Ω est fini. On a vu
en TD que les ensembles Ωk = X −1 ({xk }), k = 1, . . . , p,
formaient une partition de Ω. Donc
1 = P(Ω) =
p
X
k=1
P(Ωk ).
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve : X (Ω) est trivialement fini car Ω est fini. On a vu
en TD que les ensembles Ωk = X −1 ({xk }), k = 1, . . . , p,
formaient une partition de Ω. Donc
1 = P(Ω) =
p
X
P(Ωk ).
k=1
Donc les ”poids” P(Ωk ) ≥ 0 d´efinisssent de mani`ere unique
une probabilit´e not´ee PX sur Ω0 = {x1 , . . . , xp } telle que
PX ({xj }) = P(Ωj ).
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
On a donc que :
1. PX ({xk }) = P({X = xk }) = P({ω ∈ Ω ; X (ω) = xk }).
2. Si A0 ⊂ Ω0 ,
PX (A0 ) = P(X ∈ A0 ) = P({ω ∈ Ω ; X (ω) ∈ A0 }).
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
On consid`ere l’exp´erience al´eatoire consistant `a lancer deux
d´es successivement. L’espace des possibilit´es est Ω = {1, . . . , 6}2
(Card(Ω) = 6 × 6 = 36). On munit Ω de la loi uniforme :
∀ω = (ω1 , ω2 ) ∈ Ω,
P({ω}) = 1/36.
Soit S : Ω → R la variable al´eatoire mod´elisant la somme des
r´esultats, i.e.
∀ω = (ω1 , ω2 ) ∈ Ω,
S(ω) = ω1 + ω2 .
L’ image S(Ω) de S est Ω0 = {2, 3, . . . , 12} et la loi PS de S
est la probabilit´e sur Ω0 telle que
Probabilit´
es finies
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
PS ({2}) = P(S = 2) = P({(1, 1)}) = 1/36,
PS ({3}) = P(S = 3) = P({(1, 2); (2, 1)}) = 2/36 = 1/18 . . .
Quizz
On peut repr´esenter la loi d’une v.a. par un histogramme.
Probabilit´
es finies
Description
ensembliste d’une
exp´
erience al´
eatoire
R`
egles de
d´
enombrement
Espace de probabilit´
e
fini
Variables al´
eatoires
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Sur l’axe des abscisses on place l’ensemble des valeurs k prises
par X et en ordonn´ee la valeur PX ({k}) = P(X = k) ∈ [0, 1]
correspondante. L’ aire totale de la parie bleue claire vaut 1.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Probabilit´
es discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
”The true logic of this world is the calculus of probabilities.” James Clerk Maxwell.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
D´enombrabilit´e
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
”No one will expel us from the paradise that Cantor has created for us.” David Hilbert.
D´efinition 3
Un ensemble est d´enombrable s’il peut ˆetre mis en bijection avec l’ensemble des entiers naturels N. Il est au plus
d´enombrable s’il est fini ou d´enombrable.
Autrement dit, un ensemble d´enombrable est un ensemble
dont ”on peut num´eroter les ´el´ements par les entiers naturels
0, 1, 2, . . .. On peut donc noter les ´el´ements d’un ensemble
d´enombrable Ω sous la forme {ω0 , ω1 , . . . , ωn , . . .}.
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
1. Les ensembles N, Z, Q sont d´enombrables mais R, C ne le
sont pas.
2. Une r´eunion d´enombrable d’ensemble d´ebombrable est
d´enombrable.
3. Un sous ensemble d’un ensemble d´enombrable est au plus
d´enombrable. Par cons´equent, une intersection quelconque
d’ensembles d´enombrables est au plus d´enombrable.
4. Un produit cart´esien fini d’ensemble d´enombrable est aussi
d´enombrable (N2 , Z3 , Q157 le sont mais pas NN ).
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
S´eries
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Proposition 3
Soit une suite de
P r´eels positifs (ak )k≥0 . La suite des sommes
partielles Sn = nk=0 ak est une suite croissante positive. Soit
elle converge
limite finie `, soit elle tend vers +∞.
P∞ vers uneP
On note k=0 ak (ou k≥0 ak ) la valeur de cette limite (finie
ou infinie). Dans le cas o`
u la limite est finie, on dit que la s´erie
de terme g´en´eral ak converge. Sinon on dit qu’elle diverge.
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
1. Une CNS pour que la s´erie de terme g´en´eral ak ≥ 0 soit
convergente est qu’il existe une constante C > 0 telle que
∀n ≥ 0,
n
X
ak ≤ C .
k=0
2. Si (ak )k et (bk )k sont deux suites de r´eels positifs telles
que
∀k ≥ 0, 0 ≤ ak ≤ bk
P
P
alors k≥0 bk converge implique
P
P k≥0 ak converge et
k≥0 ak diverge implique que
k≥0 bk diverge.
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemples
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
1. La s´erie
P de terme g´en´eral n est divergente car
Sn = nk=1 k = n(n + 1)/2 tend vers +∞ avec n.
2. La s´erie de terme g´en´eral q n est convergente si et
seulement si |q| < 1.
3. La s´erie de terme g´en´eral n1a (pour n ≥ 1) est
convergente si et seulement si a > 1.
4. La s´erie de terme g´en´eral
1
n
(pour n ≥ 1) est divergente.
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Pour montrer le troisi`eme point on remarque que puisque x →
1
ecroissante, on a
x a est d´
∀x ∈ [k, k + 1],
1
(k+1)a
≤
1
xa
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Pour montrer le troisi`eme point on remarque que puisque x →
1
ecroissante, on a
x a est d´
∀x ∈ [k, k + 1],
donc
1
(k+1)a
Z
≤
k
1
(k+1)a
k+1
1
x a dx
≤
1
xa
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Pour montrer le troisi`eme point on remarque que puisque x →
1
ecroissante, on a
x a est d´
1
(k+1)a
∀x ∈ [k, k + 1],
donc
1
(k+1)a
Z
≤
1
xa
k+1
1
x a dx
≤
k
d’o`
u
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Sn =
≤
=
n−1
X
1
(k+1)a
k=1
n−1 Z k+1
X
=
n
X
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
1
ka
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
k=2
1
x a dx
k=1 k
1
1
1−a [1 − na−1 ]
Z
n
=
≤
1
1
1−a .
1
x a dx
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Si A est un ensemble d´enombrable alors les ´el´ements de A
peuvent ˆetre num´erot´es : A = {a1 , a2 , . . . , an , . . .}. Si f :
A → R+ , on d´efinit
X
S :=
f (a)
a∈A
comme ´etant :
S :=
∞
X
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
f (ak ).
k=1
La num´erotation des ´el´ements de A n’est pas unique donc
a priori S d´epend de la num´erotation choisie. En fait on
peut montrer (admis) qu’il n’en est rien : quelque soit la
num´erotation choisie, S prendra la mˆeme valeur.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
On a les propri´et´es (admises) tr`es intuitives suivantes (f est
toujours une fonction positive):
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
On a les propri´et´es (admises) tr`es intuitives suivantes (f est
toujours une fonction positive):
1. Si (Ak )k≥1 est une partition compos´ee d’ensembles
d´enombrables de A = ∪k≥1 Ak alors
∞
X
X
k=1
x∈Ak
X
f (x) =
f (x).
x∈A
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
On a les propri´et´es (admises) tr`es intuitives suivantes (f est
toujours une fonction positive):
1. Si (Ak )k≥1 est une partition compos´ee d’ensembles
d´enombrables de A = ∪k≥1 Ak alors
∞
X
X
k=1
X
f (x) =
f (x).
x∈Ak
x∈A
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
2. Si A et B sont deux ensembles d´enombrables alors on a le
th´eor`eme de Fubini discret :
X
XX
f ((a, b)) =
f ((a, b))
a∈A
(a,b)∈A×B
=
b∈B
XX
b∈B
a∈A
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
f ((a, b)) .
Quizz
Probabilit´es discr`etes
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Beaucoup d’exp´eriences al´eatoires sont telles que les issues
possibles sont soit en nombre infini (une infinit´e de lancers de
pile ou face), soit en nombre fini mais tellement grand qu’il est
plus simpe de le consid´erer comme infini, soit d´ecrites par un
ensemble infini (la position de tel atome). Dans ce chapitre,
on ne s’int´eressera qu’au cas o`
u l’univers des possibilit´es est au
plus d´enombrable (on ne pourra donc pas consi´erer le dernier
exemple).
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Dans le cas o`
u Ω ´etait fini on avait d´efini une probabilit´e sur
Ω comme une application P de P(Ω) `a valeurs dans [0, 1]
v´erifiant :
Probabilit´
es
discr`
etes
1. P(Ω) = 1,
2. ∀A, B ∈ P(Ω),
Probabilit´
es finies
A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Dans le cas o`
u Ω ´etait fini on avait d´efini une probabilit´e sur
Ω comme une application P de P(Ω) `a valeurs dans [0, 1]
v´erifiant :
Probabilit´
es
discr`
etes
1. P(Ω) = 1,
2. ∀A, B ∈ P(Ω),
Probabilit´
es finies
A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
On avait alors vu par r´ecurrence que si A1 , . . . , An ´etaient n
´ev´enements disjoints deux `a deux alors
P(∪ni=1 Ai )
=
n
X
i=1
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
P(Ai ).
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Dans le cas o`
u Ω ´etait fini on avait d´efini une probabilit´e sur
Ω comme une application P de P(Ω) `a valeurs dans [0, 1]
v´erifiant :
Probabilit´
es
discr`
etes
1. P(Ω) = 1,
2. ∀A, B ∈ P(Ω),
Probabilit´
es finies
A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
On avait alors vu par r´ecurrence que si A1 , . . . , An ´etaient n
´ev´enements disjoints deux `a deux alors
P(∪ni=1 Ai )
=
n
X
Conditionnement
et ind´
ependance
P(Ai ).
i=1
On pourrait ˆetre tent´e de passer `a la limite et ´ecrire
P(∪∞
i=1 Ai )
=
∞
X
i=1
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
P(Ai ).
R´
ef´
erences
Quizz
Dans le cas o`
u Ω ´etait fini on avait d´efini une probabilit´e sur
Ω comme une application P de P(Ω) `a valeurs dans [0, 1]
v´erifiant :
Probabilit´
es
discr`
etes
1. P(Ω) = 1,
2. ∀A, B ∈ P(Ω),
Probabilit´
es finies
A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
On avait alors vu par r´ecurrence que si A1 , . . . , An ´etaient n
´ev´enements disjoints deux `a deux alors
P(∪ni=1 Ai )
=
n
X
Conditionnement
et ind´
ependance
P(Ai ).
i=1
On pourrait ˆetre tent´e de passer `a la limite et ´ecrire
P(∪∞
i=1 Ai )
=
∞
X
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
P(Ai ).
i=1
Ceci est vrai si Ω est fini mais peut devenir faux si Ω est infini
!!!
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
En 1924, Banach et Tarski ont d´emontr´e qu’il ´etait possible
de d´ecouper une boule en un nombre fini de parties et de les
d´eplacer pour former deux nouvelles boules identiques `a la
premi`ere!
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
O`
u est l’arnaque ?
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
D´efinition 4
Etant donn´e un espace au plus d´enombrable Ω, on appelle
mesure de probabilit´e (ou ”probabilit´e” ou ”loi de probabilit´e”
ou ”loi”) sur Ω toute fonction P de P(Ω) `a valeurs dans [0, 1]
v´erifiant :
1. P(Ω) = 1,
2. Pour A, B ∈ P(Ω),
A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
3. Si A1 , . . . , An , . . . est une famille d´enombrable d’´ev´enements
deux `a deux disjoints, alors on a la propri´et´e dite de σadditivit´e
∞
X
∞
P(Ai ).
P(∪i=1 Ai ) =
i=1
Le couple (Ω, P) s’appelle espace de probabilit´e (discr`ete dans
ce cas).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Proposition 4
Probabilit´
es finies
Etant donn´e un espace probabilis´e d´enombrable (Ω, P), pour
tout ´ev´enement A,
X
P(A) =
P({ω}).
ω∈A
En particulier, la mesure de probabilit´e P est enti`erement
d´efinie par la famille des ”poids” (pω = P({ω}))ω∈Ω . Ces
poids ont la propri´et´e d’ˆetre positifs et de somme (en tant
que s´erie) ´egale `a 1.
R´eciproquement, toute famille (qω )ω∈Ω de poids positifs de
somme ´egale `a 1 d´efinit une probabilit´e Q sur Ω par la formule
:
X
Q(A) =
qω .
ω∈A
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Preuve :
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Preuve : Si P est une probabilit´e sur Ω d´enombrable, tout
´ev´enement A ⊂ Ω s’´ecrit comme la r´eunion d´enombrable
A = ∪ω∈A {ω}.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Preuve : Si P est une probabilit´e sur Ω d´enombrable, tout
´ev´enement A ⊂ Ω s’´ecrit comme la r´eunion d´enombrable
A = ∪ω∈A {ω}.
Par la troisi`eme propri´et´e dans la d´efinition d’une probabilit´e,
on en d´eduit que
X
P(A) =
P({ω}).
ω∈A
Les ”poids” pω = P({ω}) forment une famille d´enombrable de
nombres positifs de somme ´egale `a 1 (appliquer ce qui pr´ec`ede
avec A = Ω et remarquer que P(Ω) = 1).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
R´eciproquement, une famille (qω )ω∈Ω de poids positifs de
somme ´egale `a 1 ´etant donn´es on d´efinit une application Q
de P(Ω) dans R par la formule :
X
Q(A) =
qω .
ω∈A
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
R´eciproquement, une famille (qω )ω∈Ω de poids positifs de
somme ´egale `a 1 ´etant donn´es on d´efinit une application Q
de P(Ω) dans R par la formule :
X
Q(A) =
qω .
ω∈A
Vu les conditions sur les poids, on a :
X
0 ≤ Q(A) ≤
qω = 1 = Q(Ω).
ω∈Ω
Il reste `a montrer les deux propri´et´es caract´eristiques d’une
probabilit´e. On d´emontre seulement la deuxi`eme qui est la
plus compliqu´ee.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Si (Ak )k∈N est une s´equence d´enombrable d’´ev´enements (deux
`a deux disjoints) alors remarquons que chaque Ak est aussi
d´enombrable. Donc A = ∪k≥0 Ak est aussi d´enombrable.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Si (Ak )k∈N est une s´equence d´enombrable d’´ev´enements (deux
`a deux disjoints) alors remarquons que chaque Ak est aussi
d´enombrable. Donc A = ∪k≥0 Ak est aussi d´enombrable. On
a
X
X X
Q(Ak ) =
qω
k≥0
k≥0 ω∈Ak
=
X
ω∈∪k≥0 Ak
qω =
X
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
qω
ω∈A
= Q(A)
car les Ak sont deux `a deux disjoints (pour justifier la deuxi`eme
´egalit´e).
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Formules de calcul
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Proposition 5
Etant donn´es deux ´ev´enements C , D d’un espace de
probabilit´e d´enombrable (Ω, P),
1. P(D c ) = 1 − P(D),
2. P(C ) = P(D) − P(D\C ), si
C ⊂ D,
3. P(C ∪ D) = P(C ) + P(D) − P(C ∩ D).
4. Si Ω = ∪pi=1 Ωi est une partition de Ω (i.e. Ωi ∩ Ωj = ∅
pour i 6= j) alors
p
X
P(Ωi ) = 1.
i=1
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemples
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemples
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
1. Loi de Poisson de param`etre λ > 0 : C’est la probabilit´e
sur Ω = N d´efinie par les poids
k
P({k}) = e −λ λk! ,
k ≥ 0.
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemples
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
1. Loi de Poisson de param`etre λ > 0 : C’est la probabilit´e
sur Ω = N d´efinie par les poids
k
P({k}) = e −λ λk! ,
k ≥ 0.
Conditionnement
et ind´
ependance
2. Loi g´eom´etrique de param`etre p ∈ [0, 1] : C’est la
probabilit´e sur Ω = {1, 2, . . .} d´efinie par les poids
P({k}) = (1 − p)k−1 p,
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
k ≥ 1.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Propri´et´e de σ-additivit´e
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Proposition 6
La condition (3) (σ-additivit´e) dans la d´efinition d’une probabilit´e peut-ˆetre remplac´ee de mani`ere ´equivalente par la condition suivante (3’) : Pour toute suite croissante d´ev´enements
(Bn )n≥0 , i.e. Bn ⊂ Bn+1 pour tout n, on a
P ∪n≥0 Bn = lim P(Bn ).
n→∞
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Propri´et´e de σ-additivit´e
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Proposition 6
La condition (3) (σ-additivit´e) dans la d´efinition d’une probabilit´e peut-ˆetre remplac´ee de mani`ere ´equivalente par la condition suivante (3’) : Pour toute suite croissante d´ev´enements
(Bn )n≥0 , i.e. Bn ⊂ Bn+1 pour tout n, on a
P ∪n≥0 Bn = lim P(Bn ).
n→∞
(3’) implique
implique (3’)
A0 = B0 .
(3) se montre en posant Bn = ∪nk=0 Ak et (3)
se montre en posant An = Bn \Bn−1 , n ≥ 1, et
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Variables al´eatoires et lois de variables al´eatoires
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Les notions de variables al´eatoires et de lois de variables al´eatoires
se g´en´eralisent sans peine au cas o`
u Ω est d´enombrable.
D´efinition 5
Etant donn´e un ensemble Ω d´enombrable, on appelle
variable al´eatoire toute application de Ω dans R.
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Loi d’une variable al´eatoire discr`ete
Probabilit´
es finies
D´efinition-Proposition 2
Soit un espace probabilis´e d´enombrable (Ω, P) et une
variable al´eatoire X : Ω → R. Alors
I
L’image E = X (Ω) := {X (ω) ∈ R ; ω ∈ Ω} ⊂ R est un
ensemble d´enombrable (ou fini) not´e {x1 , . . . , xp , . . .}.
I
La loi de X , not´ee PX , est la probabilit´e sur l’ensemble
E = X (Ω) d´efinie par
∀A ⊂ E ,
I
PX (A) = P(X −1 (A)) = P(X ∈ A).
La loi PX est aussi caract´eris´ee par les poids
( P({X = xk }) )k≥1 .
Probabilit´
es
discr`
etes
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´efinition 6
Si X et Y sont deux v.a. discr`etes d´efinies sur des espaces
probabilis´es, on dit qu’elles ont mˆeme loi et on note X ∼ Y
si
PX = PY .
Ω0
Exemple : Soit Ω = {1, . . . , 6} et
= {0, 1} munis chacuns
0
des prbabilit´es uniformes P et P . Soit X : Ω → {0, 1} d´efinie
par X (ω) = 0 si ω pair et X (ω) = 1 si ω impair. Soit
Y : ω 0 ∈ Ω0 → ω 0 ∈ {0, 1}. Alors X et Y ont mˆeme loi :
Z ∼ Y . En fait PX = PY = P0 .
D´
enombrabilit´
e et
S´
eries
Probabilit´
es discr`
etes
Exemples
Propri´
et´
e de
σ-additivit´
e
Variables al´
eatoires et
lois de variables
al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Conditionnement et
ind´
ependance
” Let me summarize once again the logic that leads to the impasse. The EPRB correlations are such that
the result of the experiment on one side immediately foretells that on the other, whenever the analyzers
happen to be parallel. If we do not accept the intervention on one side as a causal influence on the other,
we seem obliged to admit that the results on both sides are determined in advance anyway, independently
of the intervention on the other side, by signals from the source and by the local magnet setting. But this
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
has implications for non-parallel settings which conflict with those of quantum mechanics. So we cannot
R´
ef´
erences
dismiss intervention on one side as a causal influence on the other.” J.S. Bell.
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Le but de ce chapitre est de formaliser la notion de ”d´ependance”
entre ´ev´enements al´eatoires. Cette notion est dans la vie
courante tr`es mal comprise. Elle est diff´erente de la notion de
causalit´e (avec laquelle elle a cependant un lien). Partons d’
exemples concrets.
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemple 1
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
La probabilit´e qu’un foetus soit atteint de trisomie 21 (T21)
a ´et´e statistiquement ´evalu´ee `a 1/650 ≈ 0, 0015. Une femme
enceinte va chez le m´edecin et celui-ci lui conseille un d´epistage
pour savoir si le foetus est porteur de la T21. Le taux de
d´etection est de 90% et le taux de faux positifs est de 5%.
Le diagnostic tombe et le m´edecin vous dit que le r´esultat est
positif (le foetus est porteur de la T21). Que doit-elle faire ?
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemple 2
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Monty Hall : Doit-on
changer de porte ou pas
?
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
http://lmrs.univ-rouen.fr/Vulgarisation/Hall/hall.html
R´
ef´
erences
Quizz
Exemple 3
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Le 2 aoˆ
ut 2005, un avion d’ Air France sort de piste lors de son
atterrissage `a Toronto et s’ enflamme. Le 6 aoˆ
ut, un avion
de Tuninter tombe en mer `a proximit´e de Palerme. Le 14
aoˆ
ut, un avion d’ H´elios Airways percute une montagne pr`es
d’ Ath`enes. Le 16 aoˆ
ut, un avion de West-Carribean s’ ´ecrase
au V´en´ezu´ela. Et, le 23 aoˆ
ut, un avion de Tans s’ ´ecrase en
Amazonie. Que conclure ?
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
D´efinition 7
Probabilit´
es
discr`
etes
Soit (Ω, P) un espace probabilis´e (discret ou fini) et B un
´ev´enement de probabilit´e strictement positive P(B) > 0. La
”loi conditionnelle sachant B”, not´ee P(·|B), est d´efinie comme
la probabilit´e sur Ω v´erifiant
P(A|B) =
P(A ∩ B)
.
P(B)
On v´erifie sans peine que P(·|B) est une probabilit´e sur Ω.
P(A|B) est la probabilit´e que A se r´ealise sachant que B s’est
r´ealis´e.
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve : On a
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve : On a
1. P(Ω|B) = 1.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve : On a
1. P(Ω|B) = 1.
2. ∀C , D ⊂ Ω, C ∩ D = ∅ ⇒ P(C |B) + P(D|B) =
P(C ∪ D|B) car (C ∪ D) ∩ B = C ∩ B ∪ D ∩ B.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve : On a
Probabilit´
es
discr`
etes
1. P(Ω|B) = 1.
2. ∀C , D ⊂ Ω, C ∩ D = ∅ ⇒ P(C |B) + P(D|B) =
P(C ∪ D|B) car (C ∪ D) ∩ B = C ∩ B ∪ D ∩ B.
3. Si C1 , . . . Cn , . . . est une suite d’´ev´enements deux `a deux
disjoints,
∞
X
P(Cn |B) = P ∪n≥1 Cn |B
n=1
car
∪n≥1 Cn ∩ B = ∪n≥1 (Cn ∩ B).
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
On remarquera que:
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
On remarquera que:
1. P(B c |B) =
P(B c ∩B)
P(B)
=
P(∅)
P(B)
= 0.
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
On remarquera que:
1. P(B c |B) =
P(B c ∩B)
P(B)
=
P(∅)
P(B)
= 0.
2. Si B ⊂ C (i.e. l’´ev´enement B implique l’´ev´enement C )
alors
P(B)
∩B)
P(C |B) = P(C
P(B) = P(B) = 1.
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Dans la pratique on ne poss`ede souvent que la connaissance
de probabilit´es conditonnelles (i.e. sachant l’occurence d’un
certain ´ev´enement) alors que l’on s’int´eresse `a la probabilit´e
en sachant un autre. La formule de Bayes va permettre de
faire le lien entre ces deux probabilit´es conditionnelles.
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Formule des probabilit´es totales
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Proposition 7 (Formule des probabilit´es totales)
Soit (Ω, P) un espace probabilis´e (discret ou fini) et B1, . . . , Bn
n ´ev´enements incompatibles (i.e. disjoints) partitionnant Ω :
Ω = ∪ni=1 Bi et tels que P(Bi ) > 0 pour tout i. Alors on a
pour tout ´ev´enement A :
P(A) =
n
X
i=1
P(A|Bi )P(Bi ).
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Preuve : On a A = ∪ni=1 (A ∩ Bi ) avec (A ∩ Bi ) ∩ (A ∩ Bj ) = ∅
pour i 6= j donc
P(A) =
n
X
P(A ∩ Bi )
i=1
or P(A ∩ Bi ) = P(A|Bi )P(Bi ) par d´efinition de P(A|Bi ) d’o`
u
le r´esultat.
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Formule de Bayes
Probabilit´
es finies
La formule de Bayes est une cons´equence directe de la formule
des probabilit´es totales.
Proposition 8 (Formule de Bayes)
Soit (Ω, P) un espace probabilis´e (discret ou fini) et
B1, . . . , Bn n ´ev´enements incompatibles (i.e. disjoints)
partitionnant Ω : Ω = ∪ni=1 Bi et tels que P(Bi ) > 0 pour
tout i. Soit A un ´ev´enement tel que P(A) > 0 alors
P(A|B1 )P(B1 )
P(B1 |A) = Pn
.
i=1 P(A|Bi )P(Bi )
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve : On a P(A|B1 )P(B1 ) = P(A ∩ B1 ) (par d´efinition) et
n
X
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
P(A|Bi )P(Bi ) = P(A)
i=1
par la formule des probabilit´es totales. Donc le quotient des
deux donne
P(A ∩ B1 )
= P(B1 |A).
P(A)
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Revenons `a notre exemple 1 ...
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
La probabilit´e qu’un foetus soit atteint de trisomie 21 (T21)
a ´et´e statistiquement ´evalu´ee `a 1/650 ≈ 0, 0015. Une femme
enceinte va chez le m´edecin et celui-ci lui conseille un d´epistage
pour savoir si le foetus est porteur de la T21. Le taux de
d´etection est de 90% et le taux de faux positifs est de 5%.
Le diagnostic tombe et le m´edecin vous dit que le r´esultat est
positif (le foetus est porteur de la T21). Que doit-elle faire ?
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
¯
¯ ×
Soit Ω = {(x, y ) ; x ∈ {M, M},
y ∈ {P, N}} = {M, M}
{P, N}.
¯ pour non malade; P pour positif (i.e
Ici M pour malade; M
. le test pr´etend que le foetus est malade) et N pour n´egatif.
On ne connaˆıt pas P sur Ω.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
¯
¯ ×
Soit Ω = {(x, y ) ; x ∈ {M, M},
y ∈ {P, N}} = {M, M}
{P, N}.
¯ pour non malade; P pour positif (i.e
Ici M pour malade; M
. le test pr´etend que le foetus est malade) et N pour n´egatif.
On ne connaˆıt pas P sur Ω.
1. A = {(M, P); (M, N)}=”le foetus est malade”.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
¯
¯ ×
Soit Ω = {(x, y ) ; x ∈ {M, M},
y ∈ {P, N}} = {M, M}
{P, N}.
¯ pour non malade; P pour positif (i.e
Ici M pour malade; M
. le test pr´etend que le foetus est malade) et N pour n´egatif.
On ne connaˆıt pas P sur Ω.
1. A = {(M, P); (M, N)}=”le foetus est malade”.
¯ P)}=”le test est positif”.
2. B = {(M, P); (M,
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
¯
¯ ×
Soit Ω = {(x, y ) ; x ∈ {M, M},
y ∈ {P, N}} = {M, M}
{P, N}.
¯ pour non malade; P pour positif (i.e
Ici M pour malade; M
. le test pr´etend que le foetus est malade) et N pour n´egatif.
On ne connaˆıt pas P sur Ω.
1. A = {(M, P); (M, N)}=”le foetus est malade”.
¯ P)}=”le test est positif”.
2. B = {(M, P); (M,
On cherche P(Ac |B), i.e. la probabilit´e d’avoir un foetus sain
sachant que le test est positif (i.e. que le test pr´etend que le
foetus est malade).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
On sait que
P(A) = 1/650,
Probabilit´
es
discr`
etes
P(B|A) = 90/100,
P(B|Ac ) = 5/100.
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
On sait que
P(A) = 1/650,
Probabilit´
es
discr`
etes
P(B|A) = 90/100,
P(B|Ac ) = 5/100.
On a par la formule de Bayes (Ω = A ∪ Ac ) :
P(Ac |B) =
=
=
P(B|Ac )P(Ac )
P(B|Ac )P(Ac ) + P(B|A)P(A)
5
1
100 (1 − 650 )
5
100 (1
97,3
100 .
−
1
650 )
+
90 1
100 650
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
... pas tr`es fiable ce test.
Quizz
Probabilit´
es finies
Cependant, la probabilit´e de d´eclarer le foetus malade sachant
que le test est n´egatif (i.e. que le test dit que le foetus n’est
pas malade) est :
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Cependant, la probabilit´e de d´eclarer le foetus malade sachant
que le test est n´egatif (i.e. que le test dit que le foetus n’est
pas malade) est :
P(A|B c ) =
=
=
P(B c |A)P(A)
P(B c |A)P(A) + P(B c |Ac )P(Ac )
95
100 (1
0,01
100 .
10 1
100 650
1
10 1
− 650
) + 100
650
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
... plutˆot tr`es fiable ce test.
R´
ef´
erences
Quizz
Ind´ependance
Probabilit´
es finies
D´efinition 8
Probabilit´
es
discr`
etes
Soit (Ω, P) un espace probabilis´e (discret ou fini). Deux
´ev´enements A et B sont dits ind´ependants entre eux si et
seulement si
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
On remarquera que si P(B) 6= 0 et P(A) 6= 0 alors ceci est
´equivalent `a dire
P(B|A) = P(B)
ou P(A|B) = P(A).
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Autrement dit, savoir si A est r´ealis´e ou pas ne donne pas
plus d’information que de ne pas le savoir en ce qui concerne
l’occurence ou non de B (et mˆeme chose en inversant les rˆoles
de B et A) .
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Si l’´ev´enement A implique l’´ev´enement B, il est intuitivement
clair que A et B ne sont pas ind´ependants sauf si B est certain
ou si A ne peut pas se r´ealiser.
En effet A implique B se traduit par A ⊂ B donc
Conditionnement
et ind´
ependance
P(A ∩ B) = P(A) 6= P(A)P(B)
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
sauf si P(A) = 0 ou si P(B) = 1.
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
La notion d’ind´ependance traduit cependant une notion plus
subtile que celle d’absence de causalit´e. Deux ´ev´enements
peuvent ˆetre d´ependants (on dit qu’ils sont corr´el´es) sans que
l’un implique l’autre. Une cause ext´erieure peut expliquer la
corr´elation.
Si A est l’´ev´enement ”il y aura un orage `a 9h le 15 mai 2015”
et B l’´ev´enement ”le barom`etre indiquera une forte pression
le 15 mai 2015” alors on imagine bien qu’une investigation
statistique montrera que
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
P(A|B) P(A)
Applications
R´
ef´
erences
Peut-on en d´eduire que B est une cause de A ? Non.
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
I
Dans les villages alsaciens, les statistiques montrent que
le nombre de cigognes est fortement corr´el´e au nombre
de naissance par an (coefficient de corr´elation proche de
1) . Est-ce la preuve que les cigognes apportent (relation
de causalit´e) les enfants ?
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
I
I
Dans les villages alsaciens, les statistiques montrent que
le nombre de cigognes est fortement corr´el´e au nombre
de naissance par an (coefficient de corr´elation proche de
1) . Est-ce la preuve que les cigognes apportent (relation
de causalit´e) les enfants ?
Non, c’est plutˆot la causalit´e inverse : plus il y a de
naissances, plus il y a de maisons, plus il y a de chemin´ee
donc de place pour les cigognes.
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Proposition 9
Soient A et B deux ´ev´enements ind´ependants alors Ac et B c
sont ind´ependants; Ac et B sont ind´ependants; A et B c sont
ind´ependants.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Proposition 9
Soient A et B deux ´ev´enements ind´ependants alors Ac et B c
sont ind´ependants; Ac et B sont ind´ependants; A et B c sont
ind´ependants.
Preuve :
P(Ac )P(B c ) = (1 − P(A))(1 − P(B))
= 1 − P(A) − P(B) + P(A)P(B)
= 1 − P(A) − P(B) + P(A ∩ B)
c
= 1 − P(A ∪ B) = P((A ∪ B) )
= P(Ac ∩ B c ).
et idem pour les deux autres affirmations.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
La notion d’ind´ependance entre plusieurs ´ev´enements entre
eux est plus difficile `a formaliser.
D´efinition 9
Soit (Ω, P) un espace probabilis´e (discret ou fini) et A1 , . . . , An
n ´ev´enements. On dit qu’ils sont ind´ependants (entre eux) si
est seulement si pour tout sous ensemble I ⊂ {1, . . . , n} on a
Y
P(∩i∈I Ai ) =
P(Ai ).
i∈I
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Il ne suffit pas de v´erifier cette ´egalit´e pour I = {1, . . . , n} !!!
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
On consid`ere le lancer de deux d´es ind´ependants, i.e. Ω =
{1, . . . , 6}2 muni de la loi uniforme P. Les ´ev´enements
A = {1, . . . , 6} × {1, 2, 5},
B = {1, . . . , 6} × {4, 5, 6},
C = {(i, j) ∈ Ω ; i + j = 9}.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
On a
P(A ∩ B ∩ C ) = P(A)P(B)P(C )
mais A, B, C ne sont pas ind´ependants car P(A∩B) 6= P(A)P(B)
par exemple.
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Il ne suffit pas non plus de la v´erifier ”deux par deux”. Soit P la
probabilit´e uniforme sur Ω = {1, 2, 3, 4} et soit les ´ev´enements
A = {1, 2},
B = {2, 3},
C = {3, 4}.
On v´erifie que A et B sont ind´ependants; que A et C sont
ind´ependants; que B et C sont ind´ependants mais que A, B, C
ne le sont pas car
P(A ∩ B ∩ C ) 6= P(A)P(B)P(C ).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
La proposition 9 se g´en´eralise :
Proposition 10
Soit (Ω, P) un espace probabilis´e (discret ou fini) et A1 , . . . , An
n ´ev´enements ind´ependants (entre eux) alors Ac1 , . . . , Acn sont
ind´ependants entre eux.
La preuve est laiss´ee en exercice.
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´efinition 10
Soit X1 , . . . , Xn n variables al´eatoires sur un espace probabilis´e
(Ω, P) `a valeurs respectivement dans les ensembles (discrets)
E1 , . . . , En . On dira qu’elles sont ind´ependantes si et seulement si pour tout n-uplet (i1 , . . . , in ) ∈ E1 × E2 × . . . × En ,
on a
P({X1 = i1 , . . . , Xn = in }) = P({X1 = i1 }) . . . P({Xn = in }).
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
On rappelle qu’une lecture formellement correcte de ce qui est
´ecrit est :
P({X1 = i1 , . . . , Xn = in }) = P(A1 ∩ . . . ∩ An ) =
n
Y
j=1
P(Aj )
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
o`
u
Aj = Xj−1 ({ij }) = {ω ∈ Ω ; Xj (ω) = ij }
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Affaire Sally Clark
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Affaire Sally Clark
Probabilit´
es finies
I
Deux morts subites du nourrisson dans la famille Clarke.
Christopher ˆag´e de 11 semaines en d´ecembre 1996 et
Harry ˆag´e de 8 semaines en janvier 1998. Faute de
preuves, l’ expert aupr`es du tribunal, le Professeur Meadow,
utilisa l’ argument suivant :
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Affaire Sally Clark
Probabilit´
es finies
I
I
Deux morts subites du nourrisson dans la famille Clarke.
Christopher ˆag´e de 11 semaines en d´ecembre 1996 et
Harry ˆag´e de 8 semaines en janvier 1998. Faute de
preuves, l’ expert aupr`es du tribunal, le Professeur Meadow,
utilisa l’ argument suivant :
”La probabilit´e que les deux nourrissons soient morts
dune mort subite du nourrisson est tr`es tr`es faible, 1
chance sur 100 millions (risque de mort subite dans ”famille
ais´ee” : 1 sur 10000 donc risque de deux morts subites
: 1 sur 100 Millions) . Cest comme si un outsider cot´e
80 contre 1 gagnait 4 ann´ees de suite le grand prix National.”
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Affaire Sally Clark
Probabilit´
es finies
I
I
I
Deux morts subites du nourrisson dans la famille Clarke.
Christopher ˆag´e de 11 semaines en d´ecembre 1996 et
Harry ˆag´e de 8 semaines en janvier 1998. Faute de
preuves, l’ expert aupr`es du tribunal, le Professeur Meadow,
utilisa l’ argument suivant :
”La probabilit´e que les deux nourrissons soient morts
dune mort subite du nourrisson est tr`es tr`es faible, 1
chance sur 100 millions (risque de mort subite dans ”famille
ais´ee” : 1 sur 10000 donc risque de deux morts subites
: 1 sur 100 Millions) . Cest comme si un outsider cot´e
80 contre 1 gagnait 4 ann´ees de suite le grand prix National.”
Sally Clarke a ´et´e condamn´ee a perp´etuit´e.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
I
Le risque de 1/10000 a mal ´et´e estim´e. Pour des gar¸cons,
le risque est de 1/1000.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
I
Le risque de 1/10000 a mal ´et´e estim´e. Pour des gar¸cons,
le risque est de 1/1000.
I
Les 2 morts ne sont pas des ´ev´enements a priori ind´ependants. Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
Apr`es une premi`ere mort subite dans la famille, le risque
al´
eatoires
Ind´
ependance de
d’une seconde est peut-ˆetre plus elev´ee.
variables al´
eatoires
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
I
Le risque de 1/10000 a mal ´et´e estim´e. Pour des gar¸cons,
le risque est de 1/1000.
I
Les 2 morts ne sont pas des ´ev´enements a priori ind´ependants. Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
Apr`es une premi`ere mort subite dans la famille, le risque
al´
eatoires
Ind´
ependance de
d’une seconde est peut-ˆetre plus elev´ee.
variables al´
eatoires
I
Erreur grave : Les jurys ont confondu la probabilit´e
de rencontrer 2 morts subites sachant l’innocence de la
m`ere (1/108 ) et la probabilit´e de l’innocence de la m`ere
sachant que l’on a rencontr´e 2 morts subites (2/3).
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Le singe savant
Probabilit´
es finies
Quelle est la probabilit´e
qu’un singe tapant au
hasard sur les touches
d’une machine `a ´ecrire
finisse par ´ecrire les oeuvres compl`etes de Shakespeare ?
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Toute ressemblance avec un ´etudiant de L2 tapant sur son smartphone ne serait ˆetre que fortuite : il serait en effet totalement
absurde de penser qu’un ´etudiant de L2 puisse ˆetre po`ete ...
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Pour simplifier, on va supposer que les oeuvres de Shakespeare se r´esument `a ´ecrire le mot ”HAMLET” (6 lettres
dans un ordre bien d´etermin´e) et que le singe ´ecrit uniquement avec les majuscules sans ponctuation, tapant au
hasard une lettre par seconde.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
I
Pour simplifier, on va supposer que les oeuvres de Shakespeare se r´esument `a ´ecrire le mot ”HAMLET” (6 lettres
dans un ordre bien d´etermin´e) et que le singe ´ecrit uniquement avec les majuscules sans ponctuation, tapant au
hasard une lettre par seconde.
Si le singe tape n secondes, l’univers des possibles est
Ω = {1, 2, . . . , 26}n
de cardinal 26n .
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
I
Pour simplifier, on va supposer que les oeuvres de Shakespeare se r´esument `a ´ecrire le mot ”HAMLET” (6 lettres
dans un ordre bien d´etermin´e) et que le singe ´ecrit uniquement avec les majuscules sans ponctuation, tapant au
hasard une lettre par seconde.
Si le singe tape n secondes, l’univers des possibles est
Ω = {1, 2, . . . , 26}n
de cardinal 26n .
I
Soit Xi : ω = (ω1 , . . . , ωn ) → ωi la v.a. d´ecrivant la
i-`eme tap´ee par le singe.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
I
Pour simplifier, on va supposer que les oeuvres de Shakespeare se r´esument `a ´ecrire le mot ”HAMLET” (6 lettres
dans un ordre bien d´etermin´e) et que le singe ´ecrit uniquement avec les majuscules sans ponctuation, tapant au
hasard une lettre par seconde.
Si le singe tape n secondes, l’univers des possibles est
Ω = {1, 2, . . . , 26}n
de cardinal 26n .
I
Soit Xi : ω = (ω1 , . . . , ωn ) → ωi la v.a. d´ecrivant la
i-`eme tap´ee par le singe.
I
On munit Ω de la loi uniforme P({ω}) = 1/(26)n . Ceci
implique (exercice) que les (Xi )i=1,...,n sont n variables
al´eatoires ind´ependantes de loi
PXi ({k}) =
1
26 ,
k = 1, 2, . . . , 26.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Soit Bp l’´ev´enement ”le mot ”HAMLET” a ´et´e tap´e entre la
(p + 1)-`eme seconde et la (p + 6)-`eme”. Le mot ”HAMLET”
est cod´e par (8, 1, 13, 12, 5, 20).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Soit Bp l’´ev´enement ”le mot ”HAMLET” a ´et´e tap´e entre la
(p + 1)-`eme seconde et la (p + 6)-`eme”. Le mot ”HAMLET”
est cod´e par (8, 1, 13, 12, 5, 20).
P(Bp )
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
= P(X1+p = 8, X2+p = 1, X3+p = 12, X4+p = 12, X5+p = 5, X6+pEsp´=
20)
erance,
= P(X1+p = 8)P(X2+p = 1)P(X3+p = 12)×
× P(X4+p = 12)P(X5+p = 5)P(X6+p = 20)
1 6
= ( 26
)
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Soit k := k(n) l’entier tel que 6k ≤ n < 6(k + 1). Soit An
l’´ev´enement ”le singe a tap´e ”Hamlet” durant les n premi`eres
secondes”. On a
Acn
⊂
c
c
B0c ∩ B6c ∩ B12
∩ . . . ∩ B6(k−1)
.
c
On peut monter (exercice!) que B0c , B6c , . . . , B6(k−1)
sont
c
c
ind´ependants (mais B0 et B1 ne le sont pas par exemple,
pourquoi ?) . Donc
n
c
1 6 6 −1
1 6 k
) = [1−( 26
P(Acn ) ≤ P(B0c ) . . . P(B6(k−1)
) ] ≤ [1−( 26
) ]
.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Donc
P(An ) ≥ 1 − [1 −
n
1 6 6 −1
( 26
) ]
.
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Soit A l’´ev´enement ”le singe a tap´e ”Hamlet” `a un certain
moment”. Alors pour tout n, An ⊂ A donc
n
1 6 6 −1
P(A) ≥ P(An ) ≥ 1 − [1 − ( 26
) ]
.
Le terme le plus `a gauche ne d´epend pas de n et le terme
le plus `a droite tend vers 1 quand n → +∞ donc
P(A) = 1.
Un singe (mˆeme non savant) finira toujours par ´ecrire
”HAMLET”.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Soit A l’´ev´enement ”le singe a tap´e ”Hamlet” `a un certain
moment”. Alors pour tout n, An ⊂ A donc
n
1 6 6 −1
P(A) ≥ P(An ) ≥ 1 − [1 − ( 26
) ]
.
Le terme le plus `a gauche ne d´epend pas de n et le terme
le plus `a droite tend vers 1 quand n → +∞ donc
P(A) = 1.
Un singe (mˆeme non savant) finira toujours par ´ecrire
”HAMLET”.
I
Cependant, l’argument pr´ec´edent pose probl`eme : A est
un ´ev´enement si on consi`ere Ω = {1, . . . , 26}N qui n’est
pas d´enombrable !!!
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Probabilit´
es
conditionnelles
Formule de Bayes
Ind´
ependance
d’´
ev´
enements
al´
eatoires
Ind´
ependance de
variables al´
eatoires
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Esp´
erance, variance, LGN et
TCL
”Everybody believes in the exponential law of errors [i.e., the Normal distribution]: the experimenters,
because they think it can be proved by mathematics; and the mathematicians, because they believe it has
been established by observation.” E.T. Whittaker and G. Robinson.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
”Do not trust any statistics you did not fake yourself. ” Winston Churchill.
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Si (Ω, P) est un espace probabilis´e, une variable al´eatoire est
une fonction de Ω dans R et donc X (ω) prends une valeur qui
d´epend de l’´ev´enement ´el´ementaire ω. Certains ω ont peu de
chances de se r´ealiser (P({ω}) 1) alors que d’autres ont
une grande chance de se r´ealiser P({ω}) ≈ 1).
L’esp´erance de X , not´ee E(X ), est un r´eel qui mesure la valeur
moyenne de X pond´er´ee selon P.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Si Ω est fini, l’esp´erance de la variable al´eatoire X est simplement d´efinie par
X
E(X ) =
X (ω) P({ω}).
ω∈Ω
Si Ω est infini d´enombrable, le terme de droite n’a pas forc´ement
de sens car on somme une infinit´e de termes, qui peuvent ˆetre
positifs ou n´ergatifs.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
S´eries absolument convergentes
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
On rappelle que si A est d´enombrable et f : A → R+ est une
fonction positive,
X
f (a)
a∈A
a toujours un sens dans [0, +∞]. Cette somme est d´efinie
comme la limite des sommes partielles
lim
n→+∞
n
X
f (ak )
k=1
o`
u {a1 , . . . , ak , . . .} est une num´erotation quelconque de A.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
D´efinition 11
Probabilit´
es finies
Soit A un ensemble d´enombrable et {a1 , a2 , . . . , an , . . .} une
num´erotation des ´el´ements de A. Soit f : A → R une fonction. On doit que la s´erie de terme g´en´eral f (a) est absolument convergente si
Probabilit´
es
discr`
etes
+∞
X
|f (ak )| < +∞.
k=1
P
Dans ce cas, les sommes partielles Sn = nk=1 f (ak ) convergent vers une limite finie. Ces conditions ainsi que la limite
des (Sn )n sont
P ind´ependantes de la num´erotation choisie. On
note alors a∈A f (a) la limite des sommes partielles d´efinies
pr´ecedemment.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
1. La s´erie de terme g´en´eral
convergente ssi a > 1.
2. La s´erie de terme g´en´eral
si et seulement si |q| < 1.
(−1)n
na
qn
est absolument
est absolument convergente
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
On a les propri´et´es (admises) tr`es intuitives suivantes (f est
une fonction de signe quelconque) d`es que les sommes ont un
sens (i.e. que les s´eries sont absolument convergentes) :
Probabilit´
es finies
1. Si (Ak )k≥1 est une partition compos´ee d’ensembles
d´enombrables de A = ∪k≥1 Ak alors
Conditionnement
et ind´
ependance
∞
X
X
k=1
f (x) =
x∈Ak
X
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
f (x).
x∈A
2. Si A et B sont deux ensembles d´enombrables alors on a le
th´eor`eme de Fubini discret :
X
XX
f ((a, b))
f ((a, b)) =
a∈A
(a,b)∈A×B
=
b∈B
XX
b∈B
Probabilit´
es
discr`
etes
a∈A
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
f ((a, b)) .
D´efinition 12
Probabilit´
es finies
Soit (Ω, P) un espace (fini ou d´enombrable) probabilis´e et
X un variable al´eatoire. On dit que X est ”int´egrable” ou
”d’esp´erance fini” si et seulement si la s´erie
X
X (ω)P({ω})
Probabilit´
es
discr`
etes
ω∈Ω
est absolument convergente. Dans ce cas, cette s´erie (i.e.
la limite des sommes partielles) est not´ee E(X ) et appel´ee
l’”esp´erance” ou la ”moyenne” de X :
X
E(X ) =
X (ω)P({ω}).
ω∈Ω
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
On a une autre mani`ere de calculer l’esp´erance de X qui est
souvent plus pratique
Probabilit´
es finies
Proposition 11
Conditionnement
et ind´
ependance
Soit (Ω, P) un espace (fini ou d´
nombrable) probabilis´e et X un
variable al´eatoire int´egrable `a valeurs dans l’ensemble discret
E . Alors on a
X
X
E(X ) =
x P({X = x}) =
x PX ({x}).
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
x∈E
x∈E
La derni`ere ´egalit´e montre en particulier que E(X ) ne d´epend
que de X par sa loi PX . Donc si X , Y sont deux v.a. de mˆeme
loi (PX = PY ) alors E(X ) = E(Y ).
Probabilit´
es
discr`
etes
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Preuve : La deuxi`eme ´egalit´e vient de la d´efinition mˆeme de
la loi de X (not´ee PX ). Pour la premi`ere, on remarquera que
l’on a la partition de Ω suivante
Probabilit´
es finies
Ω = ∪x∈E X −1 ({x}) = ∪x∈E Ωx .
Conditionnement
et ind´
ependance
Donc par propri`et´e sur les s´eries absolument convergentes, on
a
X
X X
X (ω)P({ω}) =
X (ω)P({ω})
ω∈Ω
x∈E ω∈Ωx
or si ω ∈ Ωx , X (ω) = x donc
X
X
X X
x P(Ωx )
X (ω)P({ω}) =
x
P({ω}) =
ω∈Ω
x∈E
ω∈Ωx
x∈E
et on se rappelera que {X = x} n’est rien d’autre qu’une
notation pour Ωx .
Probabilit´
es
discr`
etes
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemples
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemples
Probabilit´
es finies
I
Soit A un ´ev´enement alors
X
E(1A ) =
1A (ω)P({ω}) = P(A).
ω∈Ω
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemples
Probabilit´
es finies
I
Soit A un ´ev´enement alors
X
E(1A ) =
1A (ω)P({ω}) = P(A).
ω∈Ω
I
Soit X une v.a. de loi de Bernoulii de param`etre p alors
E(X ) = 0×PX ({0})+1×PX ({1}) = 0×(1−p)+1×p = p.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemples
Probabilit´
es finies
I
Soit A un ´ev´enement alors
X
E(1A ) =
1A (ω)P({ω}) = P(A).
ω∈Ω
I
Soit X une v.a. de loi de Bernoulii de param`etre p alors
E(X ) = 0×PX ({0})+1×PX ({1}) = 0×(1−p)+1×p = p.
I
Soit X une v.a. de loi de Poisson de param`etre λ > 0.
Alors
E(X ) =
∞
X
k=0
kPX ({k}) =
∞
X
k=0
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
ke
−λ λk
k!
= λ.
Quizz
Probabilit´
es finies
Proposition 12
Probabilit´
es
discr`
etes
1. L’esp´erance est lin´eaire (λ ∈ R constante et X , Y v.a.
int´egrables) : E(X + λY ) = E(X ) + λE(Y ).
Conditionnement
et ind´
ependance
2. L’esp´erance d’une v.a. positive ou nulle (i.e. X (ω) ≥ 0
pour tout ω) est un nombre positif ou nul.
3. Si X est int´egrable alors
|E(X )| ≤ E(|X |).
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
La preuve de cette proposition est triviale et laisss´ee en exercice.
R´
ef´
erences
Quizz
In´egalit´e de Cauchy-Schwarz
Probabilit´
es finies
Proposition 13
Si X et Y sont deux variables al´eatoires telles que X 2 et Y 2
sont int´egrables alors XY est int´egrable et on a l’in´egalit´e de
Cauchy-Schwarz :
q
q
|E(XY )| ≤ E(|XY |) ≤ E(X 2 ) E(Y 2 ).
En particulier, avec Y = 1, ceci implique que si X 2 est
int´egrable alors X l’est et
q
|E(X )| ≤ E(X 2 ).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve : Puisque |XY | ≤ 12 (X 2 + Y 2 ) on en d´eduit que XY
est int´egrable. On ´etudie la fonction quadratique positive
P : t ∈ R → E[(t|X |+|Y |)2 ] = t 2 E(X 2 )+2E(|XY |)t+E(Y 2 ).
Vu que E[X 2 ] ≥ 0, la condition P(t) ≥ 0 implique que le
discriminant de P(t) est n´egatif ou nul, i.e.
4[E(|XY |)]2 − 4E(X 2 )E(Y 2 ) ≤ 0.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Variance
Probabilit´
es finies
L’esp´erance de X mesure la valeur moyenne de X . La variance
mesure comment la variable al´eatoire se disperse autour de
cette moyenne.
D´efinition 13
Soit X une v.a. sur (Ω, P) telle que X 2 soit int´egrable (on
dit que X est de ”carr´e int´egrable”). La variance de X ,
not´ee V(X ) ou Var(X ) est d´efinie par
V(X ) = E (X − E(X ))2 = E(X 2 ) − [E(X )]2 ≥ 0.
La racine carr´e σX =
l’´ecart-type de X .
p
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
V(X ) de la variance est appel´ee
La deuxi`eme ´egalit´e se montre en d´eveloppant le carr´e et en
utilisant la lin´earit´e de l’esp´erance.
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
L’histogramme de gauche a une variance moyenne, l’histogramme
de droite une variance tr`es importante.
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
On remarquera que tout comme l’esp´erance, la variance de X
ne d´epend de X qu’`a travers sa loi car
X
X
2
V(X ) = E(X 2 ) − E(X )2 =
x 2 PX (x) −
x PX (x)
x∈E
avec E = X (Ω) l’image de Ω.
x∈E
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Il faut connaˆıtre et savoir retrouver rapidement les r´esultats
suivants (`a faire imp´erativement !):
I
I
V(X ) = p(1 − p).
V(X ) = λ.
Si X ∼ G(p) (g´eom´etrique) alors
E(X ) = p1 ,
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Si X ∼ P(λ) (Poisson) alors
E(X ) = λ,
I
Probabilit´
es
discr`
etes
Si X ∼ B(p) (Bernoulli) alors
E(X ) = p,
Probabilit´
es finies
V(X ) =
1−p
.
p2
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
I
Si X ∼ B(n, p) (binomiale) alors
E(X ) = np,
V(X ) = np(1 − p).
Quizz
Ind´ependance
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Proposition 14
Soit (Ω, P) un espace probabilis´e fini ou discret. Les v.a.
al´eatoires X1 , . . . , Xn sont ind´ependantes si et seulement si
pour toutes fonctions ϕ1 , . . . , ϕn : R → R born´ees on a
E ϕ1 (X1 ) . . . ϕn (Xn ) = E[ϕ1 (X1 )] . . . E[ϕn (Xn )].
Dans ce cas, l’´egalit´e demeure d`es que les fonctions ϕ1 , . . . , ϕn :
R → R satisfont
∀i ∈ {1, . . . , n},
E[|ϕi (Xi )|] < +∞.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Pour montrer cette proposition nous aurons besoin de la proposition suivante.
Proposition 15 (”Propri´et´e de transfert”)
Soit (Ω, P) un espace probabilis´e fini ou discret. Si X : Ω → R
et ϕ : R → R est telle que ϕ(X ) est une v.a. int´egrable alors
X
E[ϕ(X )] =
ϕ(x)PX (x)
x∈E
avec E = X (Ω) l’image de X .
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve : On ne montrera cette proposition que dans le cas
o`
u ϕ est borne (cas g´en´eral en exercice). On commence par
montrer que la v.a. ϕ(X ) : ω ∈ Ω → ϕ(X (ω)) ∈ R est
int´egrable. On doit donc montrer que
X
|ϕ(X (ω))| P({ω}) < +∞.
ω∈Ω
Mais puisque ϕ est born´ee (disons par M ≥ 0) on a
X
X
|ϕ(X (ω))| P({ω}) ≤ M
P({ω}) = M < +∞.
ω∈Ω
ω∈Ω
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Soit maintenant Ω = ∪x∈E Ωx avec
Ωx = X −1 ({x}) = {ω ∈ Ω ; X (ω) = x}.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
C’est une partition de Ω donc
X
X X
ϕ(X (ω)) P({ω}) =
ϕ(X (ω)) P({ω}).
ω∈Ω
x∈E ω∈Ωx
x∈E
=
X
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
ω∈Ωx
Applications
ϕ(x) P(Ωx )
R´
ef´
erences
x∈E
=
X
x∈E
ϕ(x) P(X = x) =
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Si ω ∈ Ωx alors X (ω) = x donc on obtient
X
X
X
ϕ(X (ω)) P({ω}) =
ϕ(x)
P({ω})
ω∈Ω
Conditionnement
et ind´
ependance
X
x∈E
Quizz
ϕ(x)PX (x).
On donne la preuve de la Proposition 22 uniquement dans le
cas n = 2 avec toutes les ϕi born´ees (pour simplifier). Les ϕi
´etant born´ees, d’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a
X
E(ϕi (Xi )) =
ϕi (x)PXi (x)
x∈Ei
Ici Ei = Xi (Ω) est l’image de Xi . D’apr`es le th´eor`eme de
Fubini discret on a alors


2
2 X

Y
Y
E(ϕi (Xi )) =
ϕi (x) PXi (x)


i=1
i=1 x∈Ei
X X
=
ϕ1 (x1 )ϕ2 (x2 ) PX1 (x1 )PX2 (x2 ).
x1 ∈E1 x2 ∈E2
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Si X1 , X2 sont ind´ependantes alors pour tout couple (x1 , x2 ) ∈
E1 × E2 on a
PX1 (x1 )PX2 (x2 ) = P(X1 = x1 )P(X2 = x2 )
= P(X1 = x1 , X2 = x2 ).
Donc
2
Y
i=1
E(ϕi (Xi )) =
X
(x1 ,x2 )∈E1 ×E2
P(X1 = x1 , X2 = x2 ) ϕ1 (x1 )ϕ2 (x2 )
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Soit Ω = ∪(x1 ,x2 )∈E1 ×E2 Ωx1 ,x2 la partition de Ω d´efinie par
Ωx1 ,x2 = {ω ∈ Ω ; (X1 (ω), X2 (ω)) = (x1 , x2 )}
= {X1 = x1 } ∩ {X2 = x2 }.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Soit Ω = ∪(x1 ,x2 )∈E1 ×E2 Ωx1 ,x2 la partition de Ω d´efinie par
Ωx1 ,x2 = {ω ∈ Ω ; (X1 (ω), X2 (ω)) = (x1 , x2 )}
= {X1 = x1 } ∩ {X2 = x2 }.
Soit Z (ω) = ϕ1 (X1 (ω))ϕ2 (X2 (ω)).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Soit Ω = ∪(x1 ,x2 )∈E1 ×E2 Ωx1 ,x2 la partition de Ω d´efinie par
Ωx1 ,x2 = {ω ∈ Ω ; (X1 (ω), X2 (ω)) = (x1 , x2 )}
= {X1 = x1 } ∩ {X2 = x2 }.
Soit Z (ω) = ϕ1 (X1 (ω))ϕ2 (X2 (ω)). Pour tout ω ∈ Ωx1 ,x2 on
a
Z (ω) = ϕ1 (x1 )ϕ2 (x2 ).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
E(Z ) =
X
Z (ω) P({ω}) =
=
(x1 ,x2 )∈E1 ×E2
=
X
X
Z (ω) P({ω})
(x1 ,x2 )∈E1 ×E2 ω∈Ωx1 ,x2
ω∈Ω
X
X
ϕ1 (x1 )ϕ2 (x2 )
X
P({ω})
ω∈Ωx1 ,x2
ϕ1 (x1 )ϕ2 (x2 ) P(Ωx1 ,x2 )
(x1 ,x2 )∈E1 ×E2
=
X
(x1 ,x2 )∈E1 ×E2
ϕ1 (x1 )ϕ2 (x2 ) P(X1 = x1 , X2 = x2 ).
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
R´eciproquement, on suppose que pour ϕ1 , ϕ2 : R → R quelconques born´ees,
E ϕ1 (X1 )ϕ2 (X2 ) = E[ϕ1 (X1 )] E[ϕ2 (X2 )].
On fixe alors x, y dan R quelconques et on applique cette
´egalit´e avec ϕ1 : t ∈ R → 1{x} (t) et ϕ2 : t ∈ R → 1{y } (t).
On obtient alors imm´ediatement que
P(X1 = x, X2 = y ) = P(X1 = x)P(X2 = y ).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Si X1 , . . . , Xn sont ind´ependantes et si on se donne des
ensembles A1 ⊂ E1 , . . . , An ⊂ En alors en prenant
ϕ1 = 1A1 , . . . , ϕn = 1An
on a
P[X1 ∈ A1 , . . . , Xn ∈ An ] = P(X1 ∈ A1 ) . . . P(Xn ∈ An ).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Si X1 , . . . , Xn sont ind´ependantes et si on se donne des
ensembles A1 ⊂ E1 , . . . , An ⊂ En alors en prenant
ϕ1 = 1A1 , . . . , ϕn = 1An
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
on a
P[X1 ∈ A1 , . . . , Xn ∈ An ] = P(X1 ∈ A1 ) . . . P(Xn ∈ An ).
I
Probabilit´
es finies
Si X , Y sont int´egrables et ind´ependantes et si XY est
int´egrable (hypoth`ese en fait inutile car d´ecoule de
l’ind´ependance, pourquoi ?) alors
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
E(XY ) = E(X ) E(Y ).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Proposition 16
Soit X1 , . . . , Xn des v.a. discr`etes ind´ependantes entre elles
et soit une partition des indices
{1, . . . , n} = ∪j∈J Ij ,
(Ij ∩ Ij 0 = ∅ si j 6= j 0 ).
Soit pour chaque j ∈ J une variable al´eatoire Zj de la forme
Zj = ϕj ((Xi )i∈Ij ) o`
u ϕj est une fonction arbitraire. Alors
(Zj )j∈J sont ind´ependantes entre elles.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Exemple : SI (X , Y , Z , T ) sont 4 v.a. ind´ependantes alors
1. (X 2 + sin(Z ), Y , T ) sont 3 v.a. ind´ependantes.
2. (e X , YZ , T 3 ) sont 3 v.a. ind´ependantes.
3.
(e Z X , YT 3 )
4.
(e Z X , YX 3 , T )
sont 2 v.a. ind´ependantes.
ind´ependantes.
NE sont PAS a priori 3 v.a.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
La preuve de la Proposition 16 est compliqu´ee sans les outils
de la th´eorie de la mesure. Nous l’admettrons.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Covariance
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
D´efinition 14
Soit X , Y deux variables al´eatoires de carr´e int´egrable. La
covariance de X et Y est d´efinie par
Cov(X , Y ) = E [(X − E(X ))(Y − E(Y ))]
= E(XY ) − E(X )E(Y ) = Cov(Y , X ).
Si X et Y sont ind´ependantes alors Cov(X , Y ) = 0.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Covariance
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
D´efinition 14
Soit X , Y deux variables al´eatoires de carr´e int´egrable. La
covariance de X et Y est d´efinie par
Cov(X , Y ) = E [(X − E(X ))(Y − E(Y ))]
= E(XY ) − E(X )E(Y ) = Cov(Y , X ).
Si X et Y sont ind´ependantes alors Cov(X , Y ) = 0.
Un ´
etudiant utilisant cette implication dans l’autre sens
est un ´
etudiant mort.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Variance et ind´ependance
Probabilit´
es finies
Proposition 17
Soit X1 , . . . , Xn n variables al´eatoires sur l’espace probabilis´e
(Ω, P) de variances finies et ind´
ependantes. Alors
Preuve : On peut se ramener au cas E(Xi ) = 0 quitte `a
prendre Yi = Xi − E(Xi ) et en remarquant que
X
X
E(Yi ) = 0, V(Yi ) = V(Xi ), V(
Yi ) = V(
Xi ).
i
On suppose donc que E(Xi ) = 0. Par ind´ependance on a
∀i 6= j,
E(Xi Xj ) = E(Xi )E(Xj ) = 0.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
V(X1 + . . . + Xn ) = V(X1 ) + . . . + V(Xn ).
i
Probabilit´
es
discr`
etes
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Alors
Probabilit´
es finies
"
V(
X
Xi ) = E
i

#
X
Xi
2
= E
i

X
Xi
i


XX
XX
= E
Xi Xj  =
E(Xi Xj )
i
=
X
j
E(Xi Xj ) =
i
(i,j)
=
X
i
i
X
V(Xi ).
E(Xi2 )
j
X
j
Xj 
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Exercice : Soit T une v.a. de carr´e int´egrable `a valeurs dans
N et (Xi )i∈N des v.a. ind´ependantes toutes de mˆeme loi et de
carr´es int´egrables, et ind´ependantes de T . On pose
Z=
T
X
Xi .
i=1
Calculer E(Z ) et V(Z ) en fonction de
E(T ), V(T ), E(X1 ), V(X1 ).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Loi (faible) des grands nombres
Probabilit´
es finies
Une cons´equence facile mais importante de la proposition
pr´ec´edente est
Th´eor`eme 1 (Loi faible des grands nombres)
Soit X1 , X2 , . . . , Xn . . . des variables al´eatoires ind´ependantes
identiquement distribu´ees (i.i.d., c’est-`a-dire ind´ependantes
toutes de mˆeme loi) et de carr´e int´egrable. On note m leur
esp´erance et σ 2 leur variance. Alors pour tout ε > 0
h
i
σ2
X1 +...+Xn
−
m
≥
ε
≤
.
P n
nε2
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Loi (faible) des grands nombres
Probabilit´
es finies
Une cons´equence facile mais importante de la proposition
pr´ec´edente est
Th´eor`eme 1 (Loi faible des grands nombres)
Soit X1 , X2 , . . . , Xn . . . des variables al´eatoires ind´ependantes
identiquement distribu´ees (i.i.d., c’est-`a-dire ind´ependantes
toutes de mˆeme loi) et de carr´e int´egrable. On note m leur
esp´erance et σ 2 leur variance. Alors pour tout ε > 0
h
i
σ2
X1 +...+Xn
−
m
≥
ε
≤
.
P n
nε2
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
On rappelle que si X et Y ont mˆeme loi (i.e. PX = PY ) alors
E(X ) = E(Y ) et V(X ) = V(Y ). C’est pourquoi m = E(Xi )
et σ 2 = V(Xi ) ne d´ependent pas de i.
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
I
Ce th´eor`eme signifie que la probabilit´e que la moyenne
empirique des Xi ´evalu´ee pour un ´echantillon de taille n
soit proche (`a ε pr`es) de l’esp´erance m des Xi est d’ordre
1 − O(n−1 ) donc tend vers 1 avec n.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
I
I
Ce th´eor`eme signifie que la probabilit´e que la moyenne
empirique des Xi ´evalu´ee pour un ´echantillon de taille n
soit proche (`a ε pr`es) de l’esp´erance m des Xi est d’ordre
1 − O(n−1 ) donc tend vers 1 avec n.
Formellement on a donc
X1 (ω)+...+Xn (ω)
n
≈m
pour un ”gros” ensemble de ω ∈ Ω.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
I
I
Ce th´eor`eme signifie que la probabilit´e que la moyenne
empirique des Xi ´evalu´ee pour un ´echantillon de taille n
soit proche (`a ε pr`es) de l’esp´erance m des Xi est d’ordre
1 − O(n−1 ) donc tend vers 1 avec n.
Formellement on a donc
X1 (ω)+...+Xn (ω)
n
≈m
pour un ”gros” ensemble de ω ∈ Ω.
I
Ce th´eor`eme est `a la base des m´ethodes statistiques.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
I
I
Ce th´eor`eme signifie que la probabilit´e que la moyenne
empirique des Xi ´evalu´ee pour un ´echantillon de taille n
soit proche (`a ε pr`es) de l’esp´erance m des Xi est d’ordre
1 − O(n−1 ) donc tend vers 1 avec n.
Formellement on a donc
X1 (ω)+...+Xn (ω)
n
≈m
pour un ”gros” ensemble de ω ∈ Ω.
I
Ce th´eor`eme est `a la base des m´ethodes statistiques.
I
Il justifie a posteriori l’axiomatique utilis´ee vis `a vis d’une
approche ”fr´equentiste” de la notion de probabilit´e.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Pour montrer ce th´eor`eme on utilise l’in´egalit´e de Markov suivante:
Proposition 18 (In´egalit´e de Markov)
Soit Z une variable al´eatoire telle que E(Z 2 ) < +∞. Alors
pour tout ε > 0 on a
P[|Z − E(Z )| ≥ ε] ≤
V(Z )
ε2
Preuve : Soit A l’´ev´enement
A = {|Z − E(Z )| ≥ ε} = {ω ∈ Ω ; |Z (ω) − E(Z )| ≥ ε}.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Si ω ∈ A alors
Quizz
|Z (ω) − E(Z )|2
1≤
ε2
Probabilit´
es finies
Donc
P(A) =
X
P({ω}) ≤
ω∈A
X
ω∈A
P({ω})
|Z (ω) −
ε2
|Z (ω) − E(Z )|2
≤
P({ω})
ε2
ω∈Ω
#
"
|Z (ω) − E(Z )|2
=E
ε2
X
=
V(Z )
.
ε2
E(Z )|2
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Exercice : Soit X une v.a. `a valeurs dans Z telle que pour
tout λ > 0, F (λ) = log E(e λX ) soit bien d´efinie. Montrer,
en utilisant une m´ethode similaire `a la preuve de l’in´egalit´e de
Markov, que pour tout α ∈ R
P(X ≥ α) ≤ exp inf {−λα + F (λ)} .
λ>0
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Preuve de la loi faible des grands nombres : Apr`es avoir remarqu´e que pour tout r´eel λ, on a
Probabilit´
es finies
V(λZ ) = E[(λZ )2 ] − (E(λZ ))2 = λ2 V(Z )
Conditionnement
et ind´
ependance
on applique l’in´egalit´e de Markov `a
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
X1 + . . . + Xn
.
Z=
n
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Or par la remarque pr´ec´edente
V(Z ) =
1
V(X1 + . . . + Xn )
n2
et puisque les Xi sont i.i.d. de variance
proposition 17
Probabilit´
es
discr`
etes
σ2
on obtient par la
V(X1 + . . . + Xn ) = n V(X1 ) = nσ 2 .
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Th´eor`eme Limite Centrale
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Th´eor`eme Limite Centrale
I
La loi des grands nombres fournit une approximation par
une constante (l’esp´erance m = E(X1 )) de la moyenne
¯n = X1 +...+Xn pour un ´echantillon de n variempirique X
n
ables al´eatoires i.i.d.. Quelle est la correction `a cette
approximation ?
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Th´eor`eme Limite Centrale
I
I
La loi des grands nombres fournit une approximation par
une constante (l’esp´erance m = E(X1 )) de la moyenne
¯n = X1 +...+Xn pour un ´echantillon de n variempirique X
n
ables al´eatoires i.i.d.. Quelle est la correction `a cette
approximation ?
Le th´eor`eme de la limite centrale fournit une r´eponse
`a cette question. Formellement on a (sous les mˆemes
hypoth`eses que la loi faible des grands nombres) avec
√
n
σ
¯n − m) ⇔ X
¯ n = m + √ Zn
(X
Zn =
σ
n
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
que la loi PZn de Zn sera bien approch´ee par la loi d’une
variable universelle, la loi normale µ, i.e.
PZn ≈ µ.
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
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Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
I
La formulation pr´ecise de ce th´eor`eme n´ecessite un cadre
th´eorique bien plus ´evolu´e que celui de ce cours. En effet
la loi normale µ est une probabilit´e sur R (qui n’est pas
d´enombrable).
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
I
I
La formulation pr´ecise de ce th´eor`eme n´ecessite un cadre
th´eorique bien plus ´evolu´e que celui de ce cours. En effet
la loi normale µ est une probabilit´e sur R (qui n’est pas
d´enombrable).
µ est un objet universel. La correction `a la moyenne est
`a σ pr`es ind´ependant de la forme de la loi des Xi .
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
I
La formulation pr´ecise de ce th´eor`eme n´ecessite un cadre
th´eorique bien plus ´evolu´e que celui de ce cours. En effet
la loi normale µ est une probabilit´e sur R (qui n’est pas
d´enombrable).
I
µ est un objet universel. La correction `a la moyenne est
`a σ pr`es ind´ependant de la forme de la loi des Xi .
I
La derni`ere approximation est en loi, i.e. au niveaux des
histogrammes.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Figure: L’histogramme associ´e `a Zn se rapproche de la courbe de
Gauss.
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
http://lmrs.univ-rouen.fr/Vulgarisation/Galton/galton.
html
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Esp´
erance
Variance
Ind´
ependance
Loi des grands
nombres
Th´
eor`
eme Limite
Centrale
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es sur un espace
g´
en´
eral
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
” I have [...] emphasized that the second law of thermodynamics is from the molecular viewpoint merely a
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
statistical law. Zermelos paper shows that my writings have been misunderstood;[...] Poincar´
es theorem,
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
which Zermelo explains at the beginning of his paper, is clearly correct, but his application of it to the
theory of heat is not.[...] Thus, when Zermelo concludes, from the theoretical fact that the initial states
in a gas must recur without having calculated how long a time this will take that the hypotheses of gas
theory must be rejected or else fundamentally changed, he is just like a dice player who has calculated
Applications
that the probability of a sequence of 1000 ones is not zero, and then concludes that his dice must be
R´
ef´
erences
loaded since he has not yet observed such a sequence!” Ludwig Bolzmann
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
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Tribu d’´
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Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
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erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Le but de ce chapitre est de pr´esenter de mani`ere informelle la th´eorie des probabilit´es lorsque l’univers des
possibles Ω n’est plus d´enombrable (”g´en´eral”). Le cadre
”propre” pour d´evelopper cette th´eorie est la th´
eorie de
la mesure qui sera vue (pour certains) en L3.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
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Conditionnement
et ind´
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Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
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Tribu d’´
ev´
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Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
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e
Esp´
erance et variance
Ind´
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LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
I
Le but de ce chapitre est de pr´esenter de mani`ere informelle la th´eorie des probabilit´es lorsque l’univers des
possibles Ω n’est plus d´enombrable (”g´en´eral”). Le cadre
”propre” pour d´evelopper cette th´eorie est la th´
eorie de
la mesure qui sera vue (pour certains) en L3.
Il est souhaitable en pratique de consid´erer des v.a. X :
Ω → R pouvant prendre des valeurs non pas discr`etes
(i.e. `a valeurs dans un ensemble d´enombrable) mais continues, i.e. X (Ω) non d´enombrable (par exemple X (ω)
pouvant repr´esenter la position d’un atome ou la taille
d’une bact´erie).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
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es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
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e
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Ind´
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Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
I
I
Le but de ce chapitre est de pr´esenter de mani`ere informelle la th´eorie des probabilit´es lorsque l’univers des
possibles Ω n’est plus d´enombrable (”g´en´eral”). Le cadre
”propre” pour d´evelopper cette th´eorie est la th´
eorie de
la mesure qui sera vue (pour certains) en L3.
Il est souhaitable en pratique de consid´erer des v.a. X :
Ω → R pouvant prendre des valeurs non pas discr`etes
(i.e. `a valeurs dans un ensemble d´enombrable) mais continues, i.e. X (Ω) non d´enombrable (par exemple X (ω)
pouvant repr´esenter la position d’un atome ou la taille
d’une bact´erie).
Si Ω est d´enombrable alors X (Ω) l’est aussi. Donc on doit
pouvoir d´efinir la notion de probabilit´e sur un ensemble
Ω non d´enombrable (typiquement R) pour consid´erer ce
genre de situations.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
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Conditionnement
et ind´
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erance,
variance, LGN et
TCL
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es sur un
espace g´
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es sur un
espace non
d´
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eatoires `
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Applications
R´
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Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
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et ind´
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Esp´
erance,
variance, LGN et
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es sur un
espace g´
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es sur un
espace non
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Variables al´
eatoires `
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e
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Ind´
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LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
I
D’autre part, dans le chapitre pr´ec´edent, nous avons consid´erer une infinit´e (d´enombrable) X1 , . . . , Xn , . . . de v.a.
i.i.d. d´efinies sur un espace (Ω, P) d´enombrable sans se
poser de questions sur leurs existences.
Probabilit´
es
discr`
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Conditionnement
et ind´
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Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
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es sur un
espace non
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enombrable
Variables al´
eatoires `
a
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e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
I
I
D’autre part, dans le chapitre pr´ec´edent, nous avons consid´erer une infinit´e (d´enombrable) X1 , . . . , Xn , . . . de v.a.
i.i.d. d´efinies sur un espace (Ω, P) d´enombrable sans se
poser de questions sur leurs existences.
On peut montrer (exercice) qu’il est impossible de trouver
un espace probabilis´e Ω d´enombrable sur lequel on puisse
construire une infinit´e de v.a. i.i.d. Ainsi, la loi des grands
nombres ou le TCL d´emontr´es pr´ecedemment sont creux
: l’hypoth`ese de d´epart n’est jamais v´erifi´ee ! Il faut
obligatoirement consid´erer un Ω non d´enombrable pour
pouvoir construire des v.a. i.i.d. en nombre infini.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
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Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
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e
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erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
I
I
Une probabilit´e P sur Ω est une application qui permet
d’associer `a un sous ensemble A ⊂ Ω (un ´ev´enement)
une mesure, P(A), de cet ensemble.
La th´eorie de la mesure vise `a d´efinir de telles mesures
(=probabilit´es) sur des ensembles quelconques Ω.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
La th´eorie de l’int´egration sur R est un cas particulier
(Ω = R) de la th´eorie de la mesure. Elle permet d’assigner
une ”mesure” (dite de Lebsgue) aux sous-ensembles de
R. Par ex., la ”mesure de Lebsgue” de [1, 2] est 2 − 1 =
1, la mesure de [1, 2] ∪ [5, 8[ est 1 + 3 = 4 ... Plus
g´en´eralement, on va pourvoir d´efinir la mesure d’un sousensemble A ⊂ R mˆeme s’il a une forme compliqu´ee par
Z +∞
”mesure” de A =
1A (x) dx.
−∞
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
La th´eorie de l’int´egration sur R est un cas particulier
(Ω = R) de la th´eorie de la mesure. Elle permet d’assigner
une ”mesure” (dite de Lebsgue) aux sous-ensembles de
R. Par ex., la ”mesure de Lebsgue” de [1, 2] est 2 − 1 =
1, la mesure de [1, 2] ∪ [5, 8[ est 1 + 3 = 4 ... Plus
g´en´eralement, on va pourvoir d´efinir la mesure d’un sousensemble A ⊂ R mˆeme s’il a une forme compliqu´ee par
Z +∞
”mesure” de A =
1A (x) dx.
−∞
I
Mais pour ´eviter le genre de ”paradoxes” rencontr´es dans
le th´eor`eme de Banach-Tarsky il va falloir exclure certaines parties de R comme pouvant ˆetre consid´er´ees comme
des parties mesurables.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
La th´eorie de l’int´egration sur R est un cas particulier
(Ω = R) de la th´eorie de la mesure. Elle permet d’assigner
une ”mesure” (dite de Lebsgue) aux sous-ensembles de
R. Par ex., la ”mesure de Lebsgue” de [1, 2] est 2 − 1 =
1, la mesure de [1, 2] ∪ [5, 8[ est 1 + 3 = 4 ... Plus
g´en´eralement, on va pourvoir d´efinir la mesure d’un sousensemble A ⊂ R mˆeme s’il a une forme compliqu´ee par
Z +∞
”mesure” de A =
1A (x) dx.
−∞
I
I
Mais pour ´eviter le genre de ”paradoxes” rencontr´es dans
le th´eor`eme de Banach-Tarsky il va falloir exclure certaines parties de R comme pouvant ˆetre consid´er´ees comme
des parties mesurables.
Dans le cas d’un ensemble g´en´eral, de mˆeme, il faut restreindre les parties de Ω `a une classe F ⊂ P(Ω) plus petite qui seront consid´er´es comme les ´ev´enements ”r´eels”
que l’on pourra mesurer.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Tribu
Probabilit´
es finies
D´efinition 15
Probabilit´
es
discr`
etes
Soit Ω un ensemble quelconque. Une tribu F sur Ω est une
classe de sous-ensembles de Ω qui v´erifient
Conditionnement
et ind´
ependance
1. Ω, ∅ ∈ F.
2. Si A ∈ F alors Ac ∈ F.
3. Si (An )n≥0 est une s´equence d´
enombrable d’´el´ements de
F alors ∩n An et ∪n An sont dans F.
Les sous-ensembles de Ω qui sont dans F sont appel´es des
´ev´enements.
Autrement dit, une tribu F est une classe de sous-ensembles
de Ω qui sont stables par les op´erations ”´el´ementaires” que
l’on peut faire sur des ensembles. Par exemple P(Ω) est une
tribu.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
D´efinition 16
Probabilit´
es finies
Soit d ≥ 1. La plus petite tribu (au
Qdsens de l’inclusion)
contenant les tous les parall´elipip`edes i=1 [ai , bi ], ai < bi ∈
R est appel´ee la tribus des Bor´eliens de Rd et not´ee B(Rd ).
On dit que ce sont les ensembles mesurables de Rd .
Probabilit´
es
discr`
etes
Les ensembles du th´eor`emes de Banach-Tarski ne sont pas
des ensembles mesurables. Les ensembles mesurables sont les
ensembles ”r´eels”. Seul un mathopathe peut imaginer des
ensembles non mesurables dans Rd : on en trouve jamais en
se promenant dans la rue !
Exemples d’ensembles dans B(Rd ) : les intervalles (ouverts,
ferm´es, semi-infinis ...), les fractales ...
Dans la suite on ne cond`erera que le cas d = 1 mais tout se
g´en´eralise mutatis mutandis au cas d quelconque.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
D´efinition 17
Soit Ω un ensemble quelconque et F une tribu sur Ω. Une
probabilit´e P est une application de F dans [0, 1] v´erifiant les
conditions suivantes :
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
1. P(Ω) = 1,
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
2. Pour A, B ∈ F,
A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
3. Si A1 , . . . , An , . . . est une famille d´enombrable d’´ev´enements
(de F donc) deux `a deux disjoints, alors on a la propri´et´e
dite de σ-additivit´e
P(∪∞
i=1 Ai )
=
∞
X
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
P(Ai ).
i=1
Le triplet (Ω, F, P) s’appelle une espace de probabilit´e (ou
probabilis´e).
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´efinition 18
Soit (Ω, F, P) un espace probabilis´e quelconque. On appelle
variable al´eatoire sur (Ω, F, P) toute application X : Ω → R
telle que
∀A ∈ B(R), X −1 (A) ∈ F.
On peut montrer que cette condition est ´equivalente `a :
∀a ∈ R,
{X ≤ a} ∈ F.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Dans le cadre discret, on avait d´efini la notion de loi
(not´ee PX ) d’une variable al´eatoire au moyen de ses
poids. Dans le cadre non d´enombrable, on ne peut pas
d´efinir une probabilit´e par ses poids.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
I
Dans le cadre discret, on avait d´efini la notion de loi
(not´ee PX ) d’une variable al´eatoire au moyen de ses
poids. Dans le cadre non d´enombrable, on ne peut pas
d´efinir une probabilit´e par ses poids.
La loi d’une v.a. X : Ω → R sera d´efinie comme la
probabilit´e PX sur (R, B(R)) donn´ee par
∀A ∈ B(R),
PX (A) = P(X ∈ A).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
I
Dans le cadre discret, on avait d´efini la notion de loi
(not´ee PX ) d’une variable al´eatoire au moyen de ses
poids. Dans le cadre non d´enombrable, on ne peut pas
d´efinir une probabilit´e par ses poids.
La loi d’une v.a. X : Ω → R sera d´efinie comme la
probabilit´e PX sur (R, B(R)) donn´ee par
∀A ∈ B(R),
PX (A) = P(X ∈ A).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
I
On ne s’int´eressera dans la suite qu’aux v.a. X dont la
loi PX v´erifie
Z
∀A ∈ B(R), PX (A) =
f (x)dx
A
pour une certaine fonction (la densit´e de PX ) f : R → R.
Puisque
PX (R) = P(X ∈ R) = P(Ω) = 1, et PX (A) ≥ 0
R
ceci implique que f (x) ≥ 0 et R f (x)dx = 1.
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Une v.a. X : Ω → R telle que E = X (Ω) est discret ne
peut pas admettre de densit´e.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
I
Une v.a. X : Ω → R telle que E = X (Ω) est discret ne
peut pas admettre de densit´e.
Une v.a. X : Ω → R telle que sa loi admette une densit´e
f ne peut pas ˆetre `a valeurs dans un espace discret (car
alors P(X = x) = 0 pour tout x ∈ R).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
I
I
Une v.a. X : Ω → R telle que E = X (Ω) est discret ne
peut pas admettre de densit´e.
Une v.a. X : Ω → R telle que sa loi admette une densit´e
f ne peut pas ˆetre `a valeurs dans un espace discret (car
alors P(X = x) = 0 pour tout x ∈ R).
Il existe des v.a. X : Ω → R dont la loi PX n’est ni
`a densit´e ni discr`ete. Il suffit de consid´eRrer g : R → R
continue par morceaux, positive telle que gdx = 1−a <
1 et de d´efinir la probabilit´e µ sur (Ω, F) = (R, B(R))
par
Z
µ(A) =
g (x)dx + a1A (0)
A
puis prendre X : x ∈ Ω → x ∈ R. La loi de X est µ et µ
n’est ni discr`ete ni `a densit´e.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
D´efinition-Proposition 3
Probabilit´
es finies
La loi d’une v.a. X : Ω → R est d´efinie comme la probabilit´e
PX sur (R, B(R)) donn´ee par
Probabilit´
es
discr`
etes
∀A ∈ B(R),
PX (A) = P(X ∈ A).
La loi de X est enti`
erement caract´
eris´
ee par sa fonction
de r´epartition FX d´efinie par
FX : a ∈ R → P(X ≤ a) ∈ [0, 1]
qui est une fonction croissante telle que
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
lim FX (a) = 0,
a→−∞
lim FX (a) = 1.
a→+∞
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
D´efinition 19
Probabilit´
es
discr`
etes
On appelle fonction de densit´e sur R toute fonction continue
par morceaux f qui v´erifie les conditions suivantes :
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
1. ∀x ∈ R, f (x) ≥ 0,
R +∞
2. −∞ f (x)dx = 1.
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Exemples :
1. Pour a < b deux r´eels fix´es, f : x ∈ R →
1
b−a 1[a,b] (x).
2. Pour λ > 0 fix´e, f : x ∈ R → λe −λx 1[0,+∞[ (x).
3. Pour m ∈ R et σ 2 > 0 fix´es, f : x ∈ R →
√ 1 e−
2πσ 2
(x−m)2
2σ 2 .
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
D´efinition 20
Probabilit´
es finies
Soit X : Ω → R une v.a. sur (Ω, F, P). On dit que la loi de X
a une densit´e f si seulement si f est une fonction de densit´e
telle que
Z
f (x)dx.
∀A ∈ B(R), PX (A) = P(X ∈ A) =
A
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
D´efinition 20
Probabilit´
es finies
Soit X : Ω → R une v.a. sur (Ω, F, P). On dit que la loi de X
a une densit´e f si seulement si f est une fonction de densit´e
telle que
Z
f (x)dx.
∀A ∈ B(R), PX (A) = P(X ∈ A) =
A
Formellement, la densit´e f de la loi de X peut-ˆetre comprise,
pour dx tr`es petit, comme la fonction v´erifiant
f (x)dx ≈ P(X ∈ [x, x + dx]).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
D´efinition 20
Probabilit´
es finies
Soit X : Ω → R une v.a. sur (Ω, F, P). On dit que la loi de X
a une densit´e f si seulement si f est une fonction de densit´e
telle que
Z
f (x)dx.
∀A ∈ B(R), PX (A) = P(X ∈ A) =
A
Formellement, la densit´e f de la loi de X peut-ˆetre comprise,
pour dx tr`es petit, comme la fonction v´erifiant
f (x)dx ≈ P(X ∈ [x, x + dx]).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
Il faut cependant noter
P que P({X = x}) = 0 pour tout x ∈ R.
Ecrire P(X ∈ A) = x∈A P({X = x}) n’a aucun sens (A est
non d´enombrable).
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Figure: La densit´e est l’´equivalent pour les v.a. `a valeurs non
discr`etes d’un histogramme.
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
La d´efinition pr´ec´edente est quelque peuR formelle car nous
n’avons pas d´efini ce qu’´etait r´ellement A f (x)dx pour un
bor´elien A ∈ B(R) (c’est le propos de la th´eorie de la mesure).
Dans le cas o`
u A est un intervalle [a, b],]a, b], [a, b[, ]a, b[ (a et
b pouvant ˆetre ±∞), c’est exactement ce `a quoi vous pensez
:
Z
Z
b
f (x)dx =
[a,b]
f (x)dx.
a
... mais si A est un ensemble fractal ??? Il faut faire appel
`a la th´eorie de la mesure que l’on esquisse rapidement apr`es
(cf. cours de L3).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
On a la terminologie suivante pour les lois (ou les v.a. X )
dont les densit´es sont donn´ees f par les fonctions de densit´e
suivantes :
1. Loi uniforme (not. U[a,b] ) sur [a, b], a < b deux r´eels :
f :x ∈R→
1
b−a 1[a,b] (x).
2. Loi exponentielle (not. E(λ)) de param`etre λ > 0 :
f : x ∈ R → λe
−λx
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
1[0,+∞[ (x).
3. Loi normale (ou Gaussienne, not. N (m, σ 2 )) de
param`etres m ∈ R et σ 2 > 0 :
f :x ∈R→
Probabilit´
es finies
√ 1 e−
2πσ 2
(x−m)2
2σ 2 .
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
On note alors par exemple X ∼ U[a,b] pour signifier que X est
une v.a. sur un espace probabilis´e (Ω, F, P) dont la loi PX est
`a densit´e uniforme sur [a, b].
Soit X une v.a. avec une loi`a densit´e f . Sa fonction de
r´epartition F v´erifie :
F (t) = P(X ≤ t) = P(X ∈] − ∞, t])
= PX (] − ∞, t])
Z
Z
=
f (x) dx =
]−∞,t]
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
t
f (x) dx.
−∞
Comme f est continue par morceaux (par d´ef.), F est d´erivable
sauf en un nombre d´enombrable de points. Pour les t tels que
F soit d´erivable en t on a alors
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
F 0 (t) = f (t).
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
I
Exercice 1 : Calculer explicitement les fonctions de
r´epartitions des lois uniformes et exponentielles.
I
Exercice 2 : Montrer que la loi exponentielle est sans
m´emoire : Si T ∼ E(λ), λ > 0, alors
∀t, s > 0,
I
P({T > t + s} | {T > t}) = P({T > s}).
Exercice 3 : Montrer que si X ∼ N (m, σ 2 ) alors
X −m
∼ N (0, 1).
σ
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Esp´erance et variance
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Esp´erance et variance
I
La notion d’esp´erance sur un espace probabilis´e infini
non d´enombrable (Ω, F, P) est beaucoup plus difficile `a
d´efinir et fait appel `a la th´eorie de la mesure.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Esp´erance et variance
I
I
La notion d’esp´erance sur un espace probabilis´e infini
non d´enombrable (Ω, F, P) est beaucoup plus difficile `a
d´efinir et fait appel `a la th´eorie de la mesure.
Soit V (resp. V + ) l’ensemble des variables al´eatoires
(resp. positives) sur (Ω, F, P) et E + ⊂ V + compos´e des
v.a. X pouvant s’´ecrire sous la forme
∀ω ∈ Ω,
X (ω) =
n
X
ak 1Ak (ω)
k=0
avec n ≥ 0,
ak ∈ R,
Ak ∈ F quelconques.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Esp´erance et variance
I
I
La notion d’esp´erance sur un espace probabilis´e infini
non d´enombrable (Ω, F, P) est beaucoup plus difficile `a
d´efinir et fait appel `a la th´eorie de la mesure.
Soit V (resp. V + ) l’ensemble des variables al´eatoires
(resp. positives) sur (Ω, F, P) et E + ⊂ V + compos´e des
v.a. X pouvant s’´ecrire sous la forme
∀ω ∈ Ω,
X (ω) =
n
X
ak 1Ak (ω)
k=0
avec n ≥ 0,
I
ak ∈ R,
Ak ∈ F quelconques.
E+
Si X ∈
est de la forme pr´ec´edente son esp´erance est
d´efinie par
n
X
E(X ) =
ak P(Ak ).
k=0
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Si X ∈ V + son esp´erance est d´efinie par
E(X ) = sup { E(Y ) ; Y ∈ E + , 0 ≤ Y ≤ X } ∈ [0, +∞].
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Si X ∈ V + son esp´erance est d´efinie par
E(X ) = sup { E(Y ) ; Y ∈ E + , 0 ≤ Y ≤ X } ∈ [0, +∞].
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
I
Si X ∈ V telle que E(|X |) < +∞ alors soit
X + = max(X , 0),
X − = max(−X , 0)
qui sont dans V + . On a
X = X + − X −,
E(X ± ) ≤ E(|X |) < +∞.
On d´efinit alors
E(X ) = E(X + ) − E(X − ).
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Sur un espace probabilis´e infini non d´enombrable (Ω, F, P),
l’esp´erance est souvent not´ee sous forme d’une int´egrale
Z
E(X ) =
X (ω)dP(ω).
Ω
R
En particulier, l’int´egrale (”classique”) de Lebesque R f (x)dx
est un cas particulier lorsque Ω = R, F = B(R) et dP = dx
(mesure de Lebesgue).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Sur un espace probabilis´e infini non d´enombrable (Ω, F, P),
l’esp´erance est souvent not´ee sous forme d’une int´egrale
Z
E(X ) =
X (ω)dP(ω).
Ω
R
En particulier, l’int´egrale (”classique”) de Lebesque R f (x)dx
est un cas particulier lorsque Ω = R, F = B(R) et dP = dx
(mesure de Lebesgue).
Cette notation est le pendant dans le cas non d´enombrable de
(dans le cas d´enombrable)
X
E(X ) =
X (ω)P({ω}).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
ω∈Ω
R´
ef´
erences
Cette deuxi`eme notation n’a de sens que si Ω est au plus
d´enombrable !!!
Quizz
L’esp´erance ainsi d´efinie jouit de foutes les propri´et´es vues
auparavant pour les v.a. `a valeurs discr`etes.
Proposition 19
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
1. L’esp´erance est lin´eaire (λ ∈ R constante et X , Y v.a.
int´egrables) : E(X + λY ) = E(X ) + λE(Y ).
2. L’esp´erance d’une v.a. positive ou nulle (i.e. X (ω) ≥ 0
pour tout ω) est un nombre positif ou nul.
3. Si X est int´egrable alors
|E(X )| ≤ E(|X |).
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
4. L’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz est vraie (pour les v.a. de
carr´e int´egrable).
R´
ef´
erences
Quizz
Th´eor`eme 2 (”Propri´et´e de transfert”)
Probabilit´
es finies
Soit X : Ω → R une v.a. sur (Ω, F, P) dont la loi de X a
une densit´e f . Soit ϕ : R → R une fonction continue par
morceaux telle que
Z +∞
|ϕ(x)|f (x)dx < +∞.
Probabilit´
es
discr`
etes
−∞
On a
Z
+∞
E(ϕ(X )) =
ϕ(x)f (x)dx.
−∞
En particulier
Z
x f (x)dx.
−∞
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
+∞
E(X ) =
Conditionnement
et ind´
ependance
R´
ef´
erences
Quizz
Exemple : Soit X ∼ E(λ), λ > 0. Calculons E(X 2 + 2).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemple : Soit X ∼ E(λ), λ > 0. Calculons E(X 2 + 2).
I
On applique ce qui pr´ec`ede avec ϕ(x) = x 2 + 2.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemple : Soit X ∼ E(λ), λ > 0. Calculons E(X 2 + 2).
Probabilit´
es finies
I
On applique ce qui pr´ec`ede avec ϕ(x) = x 2 + 2.
Probabilit´
es
discr`
etes
I
La densit´e f de la loi de X est (par d´efinition)
Conditionnement
et ind´
ependance
f (x) = λe −λx 1x>0 .
I
Donc
R∞
R +∞
E(X 2 + 2) = −∞ ϕ(x)f (x)dx = 0 λe −λx (x 2 + 2)dx.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemple : Soit X ∼ E(λ), λ > 0. Calculons E(X 2 + 2).
Probabilit´
es finies
I
On applique ce qui pr´ec`ede avec ϕ(x) = x 2 + 2.
Probabilit´
es
discr`
etes
I
La densit´e f de la loi de X est (par d´efinition)
Conditionnement
et ind´
ependance
f (x) = λe −λx 1x>0 .
I
I
Donc
R∞
R +∞
E(X 2 + 2) = −∞ ϕ(x)f (x)dx = 0 λe −λx (x 2 + 2)dx.
Il suffit de calculer cette int´egrale (utiliser une
int´egration par parties) et on trouve
E(X 2 + 1) =
2
+ 2.
λ2
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Cette propri´et´e caract´erise aussi la loi :
Probabilit´
es
discr`
etes
Proposition 20
Conditionnement
et ind´
ependance
Si X : Ω → R est une v.a. sur (Ω, F, P) telle qu’il existe une
densit´e de probaiblit´e f telle que pour toute fonction ϕ : R →
R continue par morceaux born´ee on ait
Z +∞
E(ϕ(X )) =
ϕ(x)f (x)dx
−∞
alors la loi de X est une loi `a densit´e sur (R, B(R)) de densit´e
f.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemple : Soit X ∼ U[0,2] une v.a. et Y = X + 2 une
nouvelle v.a.. Quelle est la loi de Y ?
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemple : Soit X ∼ U[0,2] une v.a. et Y = X + 2 une
nouvelle v.a.. Quelle est la loi de Y ?
I
Soit ψ : R → R une fonction born´ee quelconque. On
sait par d´efinition de la loi uniforme que
Z
∞
E(ψ(X )) =
−∞
ψ(x) 21 1[0,2] (x)dx =
1
2
Z
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
2
ψ(x)dx.
0
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Exemple : Soit X ∼ U[0,2] une v.a. et Y = X + 2 une
nouvelle v.a.. Quelle est la loi de Y ?
I
Soit ψ : R → R une fonction born´ee quelconque. On
sait par d´efinition de la loi uniforme que
Z
∞
E(ψ(X )) =
−∞
I
ψ(x) 21 1[0,2] (x)dx =
1
2
Z
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
2
ψ(x)dx.
0
Soit maintenant φ : R → R une fonction born´ee
quelconque. On a
E(ϕ(Y )) = E(ϕ(X + 2)) = E(ψ(X ))
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
o`
u ψ : x ∈ R → ϕ(x + 2) ∈ R.
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Probabilit´
es finies
Donc
2
2
1
1
ψ(x)dx =
ϕ(x + 2)dx
2 0
2 0
Z
Z ∞
1 4
1
=
ϕ(y )dy =
2 1[2,4] (y ) ϕ(y )dy
2 2
−∞
Z ∞
=
f (y ) ϕ(y )dy
Z
Z
E(ϕ(Y )) =
−∞
avec
f (y ) = 12 1[2,4] (y ).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Probabilit´
es finies
Donc
2
2
1
1
ψ(x)dx =
ϕ(x + 2)dx
2 0
2 0
Z
Z ∞
1 4
1
=
ϕ(y )dy =
2 1[2,4] (y ) ϕ(y )dy
2 2
−∞
Z ∞
=
f (y ) ϕ(y )dy
Z
Z
E(ϕ(Y )) =
−∞
avec
f (y ) = 12 1[2,4] (y ).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
I
Donc Y ∼ U[2,4] (i.e. la loi de Y a pour densit´e f ).
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Exercice : Reprouver les mˆeme r´esultat en utilisant les fonctions de r´epartition (i.e. calculer la fonction de r´epartition de
Y et reconnaˆıtre la fonction de r´epartition d’une loi uniforme).
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
D´efinition 21
Probabilit´
es finies
Soit X : Ω → R une v.a. sur (Ω, F, P) dont la loi de X a
une densit´e f . Soit ϕ : R → R une fonction continue par
morceaux telle que
Z +∞
x 2 f (x)dx < +∞.
Probabilit´
es
discr`
etes
−∞
On appelle variance de X et on note V(X ) le r´eel positif
V(X ) = E(X 2 ) − [E(X )]2
Z
Z +∞
2
=
x f (x)dx −
−∞
2
+∞
−∞
x f (x)dx
.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
I
Si X ∼ U[a,b] alors
E(X ) =
I
Conditionnement
et ind´
ependance
b+a
2 ,
(b−a)2
12 .
Si X ∼ E(λ) alors
E(X ) =
I
V(X ) =
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
1
λ,
V(X ) =
1
.
λ2
Si X ∼ N (m, σ 2 ) alors
E(X ) = m,
V(X ) = σ 2 .
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Une fois ces d´efinitions et concepts pos´es, toutes les notions vues pr´ecedemment se g´en´eralisent (les preuves sont
cependant plus compliqu´ees) : probabilit´es conditionnelles,
ind´ependance, LGN, TCL ...
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Ind´ependance
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
D´efinition 22
Soit (Ω, F, P) un espace probabilis´e quelconque. Les v.a.
al´eatoires X1 , . . . , Xn sont dites ind´ependantes si et seulement si pour toutes fonctions continues ϕ1 , . . . , ϕn : R → R
born´ees on a
E ϕ1 (X1 ) . . . ϕn (Xn ) = E[ϕ1 (X1 )] . . . E[ϕn (Xn )].
Dans ce cas, l’´egalit´e demeure d`es que les fonctions ϕ1 , . . . , ϕn :
R → R satisfont
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
∀i ∈ {1, . . . , n},
E[|ϕi (Xi )|] < +∞.
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Si X1 , X2 , . . . , Xn sont ind´ependantes avec des densit´es
f1 , f2 , . . . , fn alors on a l’´egalit´e
E(G (X1 , . . . , Xn ))
Z
G (x1 , . . . , xn ) f1 (x1 ) . . . fn (xn )dx1 . . . dxn
=
Rn
Rn
pour toute fonction G :
→ R telle que l’int´egrale
(multiple) de droite ait un sens (i.e. la fonction sous le
signe int´egrale est int´egrable).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Si X1 , X2 , . . . , Xn sont ind´ependantes avec des densit´es
f1 , f2 , . . . , fn alors on a l’´egalit´e
E(G (X1 , . . . , Xn ))
Z
G (x1 , . . . , xn ) f1 (x1 ) . . . fn (xn )dx1 . . . dxn
=
Rn
Rn
pour toute fonction G :
→ R telle que l’int´egrale
(multiple) de droite ait un sens (i.e. la fonction sous le
signe int´egrale est int´egrable).
I
C’est une cons´equence directe de ce qui pr´ec`ede et du
th´eor`eme de Fubini lorsque G (x1 , . . . , xn ) est de la
forme ϕ1 (x1 ) . . . ϕn (xn ). Si G est quelconque la preuve
n´ecessite un cours avanc´e de th´eorie de la mesure.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Loi (faible) des grands nombres
Probabilit´
es finies
Th´eor`eme 3 (Loi faible des grands nombres)
Soit X1 , X2 , . . . , Xn . . . des variables al´eatoires ind´ependantes
identiquement distribu´ees (c’est-`a-dire toutes de mˆeme loi)
ayant une densit´e f et de carr´e int´egrable sur un
R espace probabilis´e quelconque R(Ω, F, P). On note m = xf (x)dx leur
esp´erance et σ 2 = (x − m)2 f (x)dx leur variance.
Alors pour tout ε > 0
i
h
σ2
n
−
m
≥
ε
≤
.
P X1 +...+X
n
nε2
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
La d´emonstration est la mˆeme que dans le cas o`
u Ω est
d´enombrable.
Quizz
Th´eor`eme Limite Centrale
Th´eor`eme 4 (Th´eor`eme Limite Centrale)
Soit X1 , X2 , . . . , Xn . . . des variables al´eatoires ind´ependantes
identiquement distribu´ees, discr`etes ou ayant une densit´e f .
On les suppose de plus de carr´e int´egrable. On note m leur
esp´erance et σ 2 > 0 leur variance et on pose
√
n X1 +...+Xn
σ
n
(
− m) ⇔ X1 +...+X
= m + √ Zn .
Zn =
n
n
σ
n
Alors pour toute fonction continue par morceaux born´ee ϕ :
R → R on a
Z +∞
1
2
lim E[ϕ(Zn )] = √
ϕ(z)e −z /2 dz.
n→∞
2π −∞
On dit que (Zn )n converge en loi vers une gaussienne centr´ee
r´eduite (i.e. N (0, 1)).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Dire
1
lim E[ϕ(Zn )] = √
n→∞
2π
Z
+∞
Probabilit´
es
discr`
etes
ϕ(z)e −z
2 /2
dz
−∞
pour toute fonction test ϕ, c’est dire que si Z ∼ N (0, 1),
alors
Z ∞
Z ∞
ϕ(x)dPZn (x) ≈
ϕ(x)dPZ (x)
−∞
−∞
pour n grand, i.e. la loi PZn de Zn est proche de la loi PZ de
Z.
Ce n’est pas dire que Zn est proche de Z pour chaque r´ealisation
!
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
L’utilisation la plus classique de ce r´esultat est que si l’on dispose d’un grand (n ≥ 100 par exemple) ´echantillon X1 , . . . , Xn
de v.a. i.i.d. de moyenne m et de variance σ 2 fini alors on va
pouvoir ”estimer” des probabilit´es comme
P(X1 + . . . + Xn ≥ α)
√
nα−m
)
σ
1
=√
2π
Z
+∞
√
nα−m
σ
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
par
P(Z ≥
Probabilit´
es
discr`
etes
e −x
2 /2
dx
o`
u Z ∼ N (0, 1). Le TCL dit que cette approximation est
”bonne” quand n → ∞.
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Exercice : La dose de sucre que je consomme chaque jour
est repr´esent´ee par une variable al´eatoire de moyenne 10g et
d’´ecart-type 0, 4g . On suppose que ces v.a. sont ind´ependantes.
Soit S la quantit´e (al´eatoire) de sucre que je consomme en 1
an. Evaluer la probabilit´e
P(S ≥ 3660)
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Tribu d’´
ev´
enements
Probabilit´
es sur un
espace non
d´
enombrable
Variables al´
eatoires `
a
densit´
e
Esp´
erance et variance
Ind´
ependance
LGN et TCL
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Applications
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
”Probability is a mathematical discipline whose aims are akins to those, for example, of geometry of
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
analytical mechanics. In each field we must carefully distinguish three aspects of the theory: (a) the
Applications
formal logical content, (b) the intuitive background, and (c) the applications. The character, and the
charm, of the whole structure cannot be appreciated without considering all three aspects in their proper
relation.” William Feller.
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Paradoxe de l’autobus
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
I
Les diff´erences entre les temps de passage successifs d’
un autobus passant par un arrˆet donn´e suivent une loi
exponentielle, de moyenne 1 minutes. Un individu arrive
`a l’ arrˆet `a t pour prendre le bus et on se demande quel
va ˆetre son temps d’attente Wt et depuis combien de
temps, disons Zt , est pass´e le bus pr´ec´edent.
I
On peut s’attendre `a ce que l’esp´erance du temps (al´eatoire)
Wt + Zt soit d’environ 1 minute.
I
On va voir que le temps moyen E(Wt + Zt ) est (approximativement) en fait de 2 minutes, bien que les bus
passent en moyenne toutes les minutes !
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
La distribution des longueurs d’ intervalle de temps entre deux
bus nest pas triviale, certains seront beaucoup plus longs que
la moyenne, d’ autres beaucoup plus courts. En faisant une
observation au hasard , il se trouve que l’on a davantage de
chance de tomber dans un long intervalle plutˆ
ot que dans un
court.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
Soit X1 , X2 , . . . des v.a. i.i.d. de lois exponentielles E(1)
´
sur (Ω, F, P) et definissons
pour t ≥ 0 la v.a. Nt par
Nt (ω) est ´egal `a l’entier k tel que
X1 (ω)+X2 (ω)+. . .+Xk (ω) ≤ t < X1 (ω)+. . .+Xk+1 (ω).
I
Dans cette mod´elisation Xk repr´esente l’intervalle de
temps entre l’arriv´ee du k − 1 `eme bus et l’arriv´ee du k
`eme bus.
I
Nt est ´egal au nombre de bus qui sont pass´es jusqu’`a
l’instant t.
I
Soit Tk = X1 + X2 + . . . + Xk , k ≥ 1, le temps d’arriv´ee
du k `eme bus. On pose T0 = 0.
I
Le processus (Nt )t≥0 s’appelle un processus de Poisson
(de param`etre 1).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Processus de Poisson
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Exercice : Montrer que :
Probabilit´
es
discr`
etes
1. Nt = sup{n ≥ 0 ; Tn ≤ t} et pour tout n ≥ 0,
{Nt ≥ n} = {Tn ≤ t}.
Conditionnement
et ind´
ependance
2. Pour tout 0 ≤ s < t, la loi de Nt − Ns est une loi de
Poisson de param`etre (t − s). En particulier
Nt − Ns ∼ Nt−s (en loi !).
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
3. La loi de Tk est une loi `a densit´e de fonction de densit´e
´egale `a
1
fk (x) = 1x>0
x k−1 e −x .
(k − 1)!
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Exercice : Soit les v.a. Wt = t − TNt et Zt = TNt +1 − t.
Montrer que :
1. Les variables Wt et Zt sont ind´ependantes.
2. Zt ∼ E(1).
3. Wt est une v.a. telle que pour toute fonction continue ϕ
Z
E(ϕ(Wt )) = ϕ(w )h(w )dw + e −t ϕ(t)
avec
h(w ) = e −w 1[0,t[ (w ).
4. E(Wt + Zt ) = 2 −
e −t .
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
I
On remarquera que Wt est une v.a. dont la loi n’est ni
`a densit´e, ni discr`ete.
Cet exercice se montre en calculant pour toutes
fonctions tests ψ, ϕ : R → R
E(ψ(Zt )ϕ(Wt ))
et en montrant que c’est ´egal `a
Z ∞
Z
−z
−t
ψ(z)e dz
ϕ(w )h(w )dw + e ϕ(t) .
0
dont on d´eduit en particulier (prendre ϕ = 1 ou ψ = 1)
que
E(ψ(Zt )ϕ(Wt )) = E(ψ(Zt ))E(ϕ(Wt ))
et donc que Zt et Wt sont ind´ependantes et ont les lois
annonc´ees.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Marches al´eatoires
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
Soit p ∈]0, 1[ et X1 , X2 , . . . des v.a. i.i.d. sur (Ω, F, P)
telles que
P(Xi ) = p,
P(Xi = −1) = q = 1 − p.
Pour a ∈ Z, on pose S0 = a et pour n ≥ 1,
Sn = Sn−1 + Xn = a +
n
X
k=1
Xk .
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
Soit p ∈]0, 1[ et X1 , X2 , . . . des v.a. i.i.d. sur (Ω, F, P)
telles que
P(Xi ) = p,
P(Xi = −1) = q = 1 − p.
Pour a ∈ Z, on pose S0 = a et pour n ≥ 1,
Sn = Sn−1 + Xn = a +
n
X
Xk .
k=1
I
La s´equence de v.a. (Sn )n≥0 s’appelle une marche al´eatoire
simple. Le param`etre n s’interpr`ete comme le temps (discret) et Sn comme la position (sur Z) d’un marcheur
faisant `a chaque instant un pas en avant avec probabilit´e
p et un pas en arri`ere avec probabilit´e 1 − p.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
La loi faible des grands nombre nous indique que pour
tout ε > 0,
lim P Sn − (2p − 1) ≥ ε = 0
n→∞
n
c’est-`a-dire que le marcheur se d´eplace avec une vitesse
(2p − 1) pour les temps longs.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
La loi faible des grands nombre nous indique que pour
tout ε > 0,
lim P Sn − (2p − 1) ≥ ε = 0
n→∞
n
c’est-`a-dire que le marcheur se d´eplace avec une vitesse
(2p − 1) pour les temps longs.
I
Si p = 1/2, la marche est dite sym´etrique (vitesse
nulle). Sinon, on dit qu’elle est asym´etrique (vitesse
non nulle).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
La loi faible des grands nombre nous indique que pour
tout ε > 0,
lim P Sn − (2p − 1) ≥ ε = 0
n→∞
n
c’est-`a-dire que le marcheur se d´eplace avec une vitesse
(2p − 1) pour les temps longs.
I
Si p = 1/2, la marche est dite sym´etrique (vitesse
nulle). Sinon, on dit qu’elle est asym´etrique (vitesse
non nulle).
I
Question : Le marcheur revient-il souvent sur ces pas ?
Quel est le temps moyen qu’il lui faut, partant de a
pour aller en b ? ...
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Proposition 21
Pour tout n ≥ 1 on a
P(Sn = s) =
Conditionnement
et ind´
ependance
n
p
n+s−a
2
(n+s−a)/2 (n−s+a)/2
q
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
avec la convention
Applications
Cnk =
n
k
=0
si k < 0 ou si k > n ou si k n’est pas entier.
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Preuve : Soit n± (ω) = Card{1 ≤ i ≤ n ; Xi (ω) = ±1}. Ces
deux v.a. v´erifient
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
∀ω ∈ Ω,
En fait,
n+ =
n+ (ω) + n− (ω) = n.
n
X
i=1
Yi ,
Yi =
Xi +1
2 .
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Preuve : Soit n± (ω) = Card{1 ≤ i ≤ n ; Xi (ω) = ±1}. Ces
deux v.a. v´erifient
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
∀ω ∈ Ω,
En fait,
n+ =
n+ (ω) + n− (ω) = n.
n
X
Yi ,
Yi =
Xi +1
2 .
i=1
Les Yi sont des v.a. i.i.d. de Bernoulli de param`etre p donc
n+ ∼ B(n, p).
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Preuve : Soit n± (ω) = Card{1 ≤ i ≤ n ; Xi (ω) = ±1}. Ces
deux v.a. v´erifient
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
∀ω ∈ Ω,
En fait,
n+ =
n+ (ω) + n− (ω) = n.
n
X
Yi ,
Yi =
Xi +1
2 .
i=1
Les Yi sont des v.a. i.i.d. de Bernoulli de param`etre p donc
n+ ∼ B(n, p).
P(Sn = s) = P(n+ − n− = s − a) = P(n+ = (s − a + n)/2)
n
=
p (n+s−a)/2 q (n−s+a)/2
n+s−a
2
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Soit N ≥ 1 fix´e. On consid`ere l’ensemble des trajectoires
partant de a ∈ Z de longueur N :
Ta,N = {(γ0 , γ1 , . . . , γN ) ∈ ZN+1 ; γ0 = a, ∀i, γi+1 −γi = ±1}.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Soit N ≥ 1 fix´e. On consid`ere l’ensemble des trajectoires
partant de a ∈ Z de longueur N :
Ta,N = {(γ0 , γ1 , . . . , γN ) ∈ ZN+1 ; γ0 = a, ∀i, γi+1 −γi = ±1}.
Soit S : Ω → Ta,N la v.a. d´efinie par
S(ω) = (S0 (ω), S1 (ω), . . . , SN (ω)).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Soit N ≥ 1 fix´e. On consid`ere l’ensemble des trajectoires
partant de a ∈ Z de longueur N :
Ta,N = {(γ0 , γ1 , . . . , γN ) ∈ ZN+1 ; γ0 = a, ∀i, γi+1 −γi = ±1}.
Soit S : Ω → Ta,N la v.a. d´efinie par
S(ω) = (S0 (ω), S1 (ω), . . . , SN (ω)).
On a que pour tout γ = (γ0 , . . . , γN ) ∈ Ta,N ,
P(S = γ) = PS (γ) = p n+ (γ) q n− (γ)
avec
n± (γ) = Card{i ∈ {0, . . . , N − 1} ; γi+1 − γi = ±1}.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Soit N ≥ 1 fix´e. On consid`ere l’ensemble des trajectoires
partant de a ∈ Z de longueur N :
Ta,N = {(γ0 , γ1 , . . . , γN ) ∈ ZN+1 ; γ0 = a, ∀i, γi+1 −γi = ±1}.
Soit S : Ω → Ta,N la v.a. d´efinie par
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
S(ω) = (S0 (ω), S1 (ω), . . . , SN (ω)).
On a que pour tout γ = (γ0 , . . . , γN ) ∈ Ta,N ,
P(S = γ) = PS (γ) = p n+ (γ) q n− (γ)
avec
n± (γ) = Card{i ∈ {0, . . . , N − 1} ; γi+1 − γi = ±1}.
Si p = q = 1/2, vu que n+ (γ) + n− (γ) = N,
P(S = γ) = ( 12 )N =
Probabilit´
es finies
1
.
2N
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
I
On remarque que Card(Ta,N ) = 2N . Donc, dans le cas
sym´etrique p = 1/2, la loi de la variable al´eatoire S est
la loi uniforme sur Ta,N .
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
I
I
On remarque que Card(Ta,N ) = 2N . Donc, dans le cas
sym´etrique p = 1/2, la loi de la variable al´eatoire S est
la loi uniforme sur Ta,N .
Conditionnement
et ind´
ependance
Dans le cas p 6= 1/2, ce n’est pas le cas et la loi de S
n’est pas la loi uniforme sur l’espace des trajectoires.
Certaines trajectoires ont une probabilit´e plus grande
d’ˆetre choisies que d’autres.
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Soit τa la v.a. `a valeurs dans l’ensemble d´enombrable N∪{∞}
d´efinie par
τa = min{n ≥ 1 ; Sn = a}
avec la convention min ∅ = ∞.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Proposition 22
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
On a
P(τa > N, SN = b) =
|b − a|
P(SN = b)
N
et donc en sommant sur b ∈ Z
P(τa > N) =
1
E(|SN − a|).
N
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Preuve : On peut supposer a = 0 et b > 0 (pourquoi ?).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Preuve : On peut supposer a = 0 et b > 0 (pourquoi ?).
I
L’´ev´enement A = {τ0 > N, SN = b} est ´egal `a
{ω ∈ Ω ; S0 (ω) = 0, SN (ω) = b, ∀1 ≤ i ≤ N, Si (ω) 6= 0}
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
soit
{ω ∈ Ω ; S(ω) ∈ Γ}
avec Γ l’ensembles des trajectoires γ dans T0,N qui
finissent en b `a l’instant N (γN = b) sans jamais visiter
0 entre 1 et N (γi 6= 0 for 1 ≤ i ≤ N).
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Preuve : On peut supposer a = 0 et b > 0 (pourquoi ?).
I
L’´ev´enement A = {τ0 > N, SN = b} est ´egal `a
{ω ∈ Ω ; S0 (ω) = 0, SN (ω) = b, ∀1 ≤ i ≤ N, Si (ω) 6= 0}
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
soit
{ω ∈ Ω ; S(ω) ∈ Γ}
I
Probabilit´
es finies
avec Γ l’ensembles des trajectoires γ dans T0,N qui
finissent en b `a l’instant N (γN = b) sans jamais visiter
0 entre 1 et N (γi 6= 0 for 1 ≤ i ≤ N).
P
On a donc P(A) = P(S ∈ Γ) = γ∈Γ P(S = γ).
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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M´
ecanique statistique
Arbres de
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M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Preuve : On peut supposer a = 0 et b > 0 (pourquoi ?).
I
L’´ev´enement A = {τ0 > N, SN = b} est ´egal `a
{ω ∈ Ω ; S0 (ω) = 0, SN (ω) = b, ∀1 ≤ i ≤ N, Si (ω) 6= 0}
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
soit
{ω ∈ Ω ; S(ω) ∈ Γ}
I
avec Γ l’ensembles des trajectoires γ dans T0,N qui
finissent en b `a l’instant N (γN = b) sans jamais visiter
0 entre 1 et N (γi 6= 0 for 1 ≤ i ≤ N).
P
On a donc P(A) = P(S ∈ Γ) = γ∈Γ P(S = γ).
I
Si γ ∈ Γ, on a
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
n+ (γ) + n− (γ) = N,
n+ (γ) − n− (γ) = b
donc
P(S = γ) = p (N+b)/2 q (N−b)/2
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
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ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
Donc : P(A) = Card(Γ) p (N+b)/2 q (N−b)/2 .
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
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M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
Donc : P(A) = Card(Γ) p (N+b)/2 q (N−b)/2 .
I
Il faut donc calculer Card(Γ), i.e. le nombre de trajectoires partant de 0, finissant en b `a l’instant N sans ne
jamais repasser par 0. Remarquons que si γ ∈ Γ alors
γ1 = 1 car b > 0.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
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R´
ef´
erences
Quizz
I
Donc : P(A) = Card(Γ) p (N+b)/2 q (N−b)/2 .
I
Il faut donc calculer Card(Γ), i.e. le nombre de trajectoires partant de 0, finissant en b `a l’instant N sans ne
jamais repasser par 0. Remarquons que si γ ∈ Γ alors
γ1 = 1 car b > 0.
I
Soit Γ0 l’ensemble des trajectoires qui partent de 0, passent
par 1 `a l’instant 1, en b `a l’instant N et intersectent l’axe
des absisses au moins une fois entre l’instant 1 et l’instant
N.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
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R´
ef´
erences
Quizz
I
Donc : P(A) = Card(Γ) p (N+b)/2 q (N−b)/2 .
I
Il faut donc calculer Card(Γ), i.e. le nombre de trajectoires partant de 0, finissant en b `a l’instant N sans ne
jamais repasser par 0. Remarquons que si γ ∈ Γ alors
γ1 = 1 car b > 0.
I
I
Soit Γ0 l’ensemble des trajectoires qui partent de 0, passent
par 1 `a l’instant 1, en b `a l’instant N et intersectent l’axe
des absisses au moins une fois entre l’instant 1 et l’instant
N.
Soit W l’ensemble de toutes les trajectoires qui partent
de 0, passent par 1 `a l’instant 1 et en b `a l’instant N.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
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ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
Donc : P(A) = Card(Γ) p (N+b)/2 q (N−b)/2 .
I
Il faut donc calculer Card(Γ), i.e. le nombre de trajectoires partant de 0, finissant en b `a l’instant N sans ne
jamais repasser par 0. Remarquons que si γ ∈ Γ alors
γ1 = 1 car b > 0.
I
Soit Γ0 l’ensemble des trajectoires qui partent de 0, passent
par 1 `a l’instant 1, en b `a l’instant N et intersectent l’axe
des absisses au moins une fois entre l’instant 1 et l’instant
N.
I
Soit W l’ensemble de toutes les trajectoires qui partent
de 0, passent par 1 `a l’instant 1 et en b `a l’instant N.
I
Card(Γ) = Card(W) − Card(Γ0 ).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
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R´
ef´
erences
Quizz
I
Donc : P(A) = Card(Γ) p (N+b)/2 q (N−b)/2 .
I
Il faut donc calculer Card(Γ), i.e. le nombre de trajectoires partant de 0, finissant en b `a l’instant N sans ne
jamais repasser par 0. Remarquons que si γ ∈ Γ alors
γ1 = 1 car b > 0.
I
Soit Γ0 l’ensemble des trajectoires qui partent de 0, passent
par 1 `a l’instant 1, en b `a l’instant N et intersectent l’axe
des absisses au moins une fois entre l’instant 1 et l’instant
N.
I
Soit W l’ensemble de toutes les trajectoires qui partent
de 0, passent par 1 `a l’instant 1 et en b `a l’instant N.
I
Card(Γ) = Card(W) − Card(Γ0 ).
N −1
Card(W) =
.
N+b
2 −1
I
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
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Applications
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R´
ef´
erences
Quizz
Le principe de r´eflexion
Le principe de r´eflexion est la remarque suivante :
Il y a autant de trajectoires dans Γ0 qu’il y en a dans l’ensemble
Γ00 des trajectoires partant de 0, passant en −1 `a l’instant 1
et passant par b en N.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Figure: La transformation figur´ee ´etablit une bijection entre les
trajectoires de Γ0 (gauche) et celles de Γ00 (droite).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
I
Par le principe de r´eflexion et le calcul de Card(Γ00 ) :
N −1
0
00
.
Card(Γ ) = Card(Γ ) =
N+b
2
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
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R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
I
Par le principe de r´eflexion et le calcul de Card(Γ00 ) :
N −1
0
00
.
Card(Γ ) = Card(Γ ) =
N+b
2
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
I
Donc
Applications
Card(Γ) =
b
N −1
N −1
N
−
=
.
N+b
N+b
N+b
N
2 −1
2
2
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ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
On obtient ainsi des formules explicites (mais compliqu´ees)
sur P(τ0 = N) pour tout N. Grˆace `a la formule de Stirling,
on peut alors d´eduire des r´esultats sur les marches :
Proposition 23 (La chance de l’ivrogne)
Soit p = 1/2 alors si N est la v.a. qui compte le nombre de
retours de la marche en 0, on a
P(N = +∞) = 1.
Mais on a aussi
E(τ0 ) = +∞.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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Marches al´
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M´
ecanique statistique
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M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Pour ´etablir cette proposition il est plus simple d’utiliser la
propri´et´e de Markov de la marche al´eatoire.
Quizz
Propri´et´e de Markov
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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M´
ecanique statistique
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M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Propri´et´e de Markov
I
Soit
Probabilit´
es finies
T = {γ ∈ ZN ; ∀i ∈ N, γi+1 − γi = ±1}
I
l’espace (non d´enombrable!) de toutes les trajectoires
en temps infini. On le suppose muni d’une tribu
ad´equate.
Soit la marche al´eatoire S0 := (Sn )n≥0 : Ω → T partant
de 0 d´efinie par
Sn =
n
X
k=1
Xk ,
S0 = 0.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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eatoires
M´
ecanique statistique
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M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Propri´et´e de Markov
I
Soit
Probabilit´
es finies
T = {γ ∈ ZN ; ∀i ∈ N, γi+1 − γi = ±1}
I
l’espace (non d´enombrable!) de toutes les trajectoires
en temps infini. On le suppose muni d’une tribu
ad´equate.
Soit la marche al´eatoire S0 := (Sn )n≥0 : Ω → T partant
de 0 d´efinie par
Sn =
n
X
Xk ,
S0 = 0.
k=1
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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M´
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M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
Pour a ∈ Z on note Qa la loi (sur T ) de la marche
al´eatoire Sa := (a + Sn )n≥0 partant de a.
Propri´et´e de Markov
I
Soit
Probabilit´
es finies
T = {γ ∈ ZN ; ∀i ∈ N, γi+1 − γi = ±1}
I
l’espace (non d´enombrable!) de toutes les trajectoires
en temps infini. On le suppose muni d’une tribu
ad´equate.
Soit la marche al´eatoire S0 := (Sn )n≥0 : Ω → T partant
de 0 d´efinie par
Sn =
n
X
Xk ,
S0 = 0.
k=1
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
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M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
I
Pour a ∈ Z on note Qa la loi (sur T ) de la marche
al´eatoire Sa := (a + Sn )n≥0 partant de a.
On a que Sa : Ω → T est une v.a. sur Ω `a valeurs dans
T.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
I
On a donc par d´efinition d’une loi que pour tout
i0 , i1 , . . . , ip ∈ Z
Qa ({γ ∈ T ; γ0 = i0 , . . . , γp = ip })
= P({a + S0 = i0 , . . . , a + Sp = ip })
= P({S0 = i0 − a, . . . , Sp = ip − a})
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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eatoires
M´
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M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
I
Soit n ≥ 0 quelconque et s ∈ Z quelconque. Soit B un
´ev´enement de T de la forme
B = {γ0 = i0 , γ1 = i1 , . . . , γn = in }
o`
u i0 , . . . , in ∈ Z quelconques mais tels que
Qa (B ∩ {γn = s}) > 0 (donc i0 = a et in = s).
I
L’´ev´enement B ne d´epend de la trajectoire que jusqu’au
temps n (instant pr´esent). C’est donc un ´ev´enement du
pass´e.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
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R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Propri´et´e de Markov : Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes sur B,
on a pour tout p ≥ 0 et j0 , . . . , jp ∈ Z quelconques
Qa ({γn = j0 , γn+1 = j1 , . . . , γn+p = jp }|{γn = s} ∩ B)
= Qs ({γ0 = j0 , γ1 = j1 , . . . , γp = jp }).
Cette propri´et´e v´erifi´ee par la marche al´eatoire est la d´efinition
des processus dits de Markov. Ces processus sont tels que
conditionellement au pr´esent, leur pass´e et leur futur sont
ind´ependants (”Oui Monsieur, ¸ca veut dire quelque chose !”).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
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ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve de la prop. de Markov :
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
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R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve de la prop. de Markov :
I
On peut supposer s = j0 car sinon les deux termes dans
la propri´et´e de Markov sont nuls.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Preuve de la prop. de Markov :
I
On peut supposer s = j0 car sinon les deux termes dans
la propri´et´e de Markov sont nuls.
I
Soit P la probabilit´e sur l’espace Ω sur lequel sont
d´efinies les v.a. (Xi )i≥1 . Par d´efinition de la loi Qs
Qs ({γ0 = j0 , γ1 = j1 , . . . , γp = jp })
= P(s = j0 , S1 = j1 − s, . . . , Sp = jp − s)
= P(S1 = j1 − s, . . . , Sp = jp − s)
= P(X1 = j1 − s, X2 = j2 − j1 , . . . , Xp = jp − jp−1 ).
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
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M´
ecanique statistique
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M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Qa ({γn = j0 , γn+1 = j1 , . . . , γn+p = jp }|{γn = s} ∩ B)
Qa ({γn = j0 , γn+1 = j1 , . . . , γn+p = jp } ∩ {γn = s} ∩ B)
=
Qa ({γn = s} ∩ B)
P(U ∩ V )
=
P(V )
avec
V = {S0 = i0 − a, S1 = i1 − a, . . . , Sn = in − a = s − a}
= {S1 = i1 − a, S2 = i2 − a, . . . , Sn−1 = in−1 − a, Sn = s − a}
U = {Sn = j0 − a, . . . , Sn+p = jp − a}
car on a i0 = a, in = s, j0 = s.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
En se rappelant que Sk+1 − Sk = Xk+1 on voit que U ∩ V
peut se r´e´ecrire comme U 0 ∩ V avec
U 0 = {Xn+1 = j1 − s} ∩ {Xn+2 = j2 − j1 }
. . . {Xp+n = jp − jp−1 }.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
En se rappelant que Sk+1 − Sk = Xk+1 on voit que U ∩ V
peut se r´e´ecrire comme U 0 ∩ V avec
U 0 = {Xn+1 = j1 − s} ∩ {Xn+2 = j2 − j1 }
. . . {Xp+n = jp − jp−1 }.
Vu que U 0 ne d´epend que de Xn+1 , . . . , Xn+p et V de X1 , . . . , Xn ,
U 0 et V sont ind´ependants donc
Qa ({γn = j0 , γn+1 = j1 , . . . , γn+p = jp }|{γn = s} ∩ B)
= P(U 0 )
= P({X1 = j1 − s, X2 = j2 − j1 , . . . , Xp = jp − jp−1 })
car les (Xi )i sont i.i.d. C’est l’expression vu dessus pour
Qs ({γ0 = j0 , γ1 = j1 , . . . , γp = jp }).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Exercice : En utilisant la propri´et´e de Markov, montrer la
proposition 23.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Vers le mouvement Brownien
I
I
Soit (Sn )n≥0 une marche al´eatoire sym´etrique (p = 1/2)
partant de 0. Le TCL dit que pour toute fonction
continue born´ee ϕ : R → R et tout t > 0,
Z ∞
z2
1
S[nt]
ϕ(z)e − 2t dz.
lim E(ϕ( √n )) = √
n→∞
2πt −∞
En fait on peut monter plus et que toute la trajectoire
al´eatoire (en temps continu)
B (n) : t ∈ [0, ∞) →
S[nt]
√
n
converge (en un certain sens) quand n → ∞ vers une
fonction (al´eatoire)
B : t ∈ [0, +∞) → Bt
I
La fonction al´eatoire t ∈ [0, +∞) → Bt est appel´e le
mouvement Brownien.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Le mouvement Brownien a ´et´e obtenu par une limite d’´echelle,
i.e. en regardant la marche al´eatoire dans une certaine ´echelle
de temps et d’espace : en temps d’ordre n et en espace d’ordre
√
n.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Le mouvement Brownien a ´et´e d’abord
exp´erimentalement introduit par le botaniste
Brown pour d´ecrire le
mouvement erratique de
particules de pollen en
suspension dans de l’eau.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
En 1905, Einstein ´elabore une th´eorie
microscopique pour d´ecrire le mouvement Brownien en supposant
l’existence des atomes (observ´es pour
la premi`ere fois quelques ann´ees plus
tard par Perrin). Il parvient alors
`a estimer le nombre d’Avogadro.
La th´eorie math´ematique est due `a
Wiener.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
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M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Le mouvement Brownien est utilis´e de nos jours en physique,
en m´ecanique, en finance, en biologie ... et bien entendu
dans diverses branches math´ematiques allant des ´equations
aux d´eriv´ees partielles jusqu’`a la th´eorie des nombres.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
M´ecanique statistique
Probabilit´
es finies
”Ludwig Boltzmann, who spent much of his life studying statistical mechanics, died in 1906, by his own
hand. Paul Ehrenfest, carrying on the work, died similarly in 1933. Now it is our turn to study statistical
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
mechanics. Perhaps it will be wise to approach the subject cautiously. ” David Goodstein dans sa pr´
eface
de States of Matter.
La m´ecanique satistique est la branche de la physique qui
tente de comprendre comment les propri´et´es microscopiques
d’un grand nombre de particules qui ´evoluent de mani`ere desordonn´ee (cahotique, al´eatoire) peuvent g´en´erer `a une ´echelle
macroscopique un comportement ordonn´e.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
En particulier, la m´ecanique statistique permet en th´eorie de
d´eriver ou d’expliquer tous les principes thermodynamiques `a
partir d’une description microscopique de la mati`ere.
Quizz
Exemple : Polym`eres et transitions de phase
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Soit N ≥ 1 fix´e. On consid`ere l’ensemble des trajectoires
partant de 0 de longueur N :
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
TN = {s = (s0 , s1 , . . . , sN ) ; s0 = 0, ∀i, si+1 − si = ±1}.
Chaque ´el´emet de TN est vu comme une configuration possible
d’un polym`ere. On munit TN de la probabilit´e uniforme P0 .
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Pour d´ecrire l’interaction d’un polym`ere avec un solvant situ´e
le long de l’axe des abcisses, on introduit pour β ∈ R la
probabilit´e Pβ sur TN definie par
Pβ ({s}) =
PN
1
e β k=0 1{0} (sk ) P0 ({s})
ZN (β)
o`
u ZN (β) est une fonction de β d´efinie pour que Pβ soit une
probabilit´e.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
Probabilit´
es finies
On a
1 X β PN 1 (sk )
ZN (β) = N
e k=0 {0} .
2
s∈TN
I
La fonction β → ZN (β) s’appelle la fonction de
partition.
I
On a que ZN est d´erivable en β et
" N
#
d 1
1X
log ZN (β) = Eβ
1{0} (sk )
dβ N
N
k=0
c’est-`a-dire le nombre moyen de contacts du polym`ere
avec l’axe horizontal sous Pβ .
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
Si (Sn )n≥0 d´esigne une marche al´eatoire sym´etrique
(d´efinie sur (Ω, F, P) ) sur Z on a que
ZN (β) = E(e β
I
PN
k=0
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
1{0} (Sk )
).
Les connaissances acquisent sur les marches al´eatoires
permettent de montrer l’existence et de calculer
1
F (β) = lim
log ZN (β)
N→∞ N
et
d 1
log ZN (β).
N→∞ dβ N
N(β) = lim
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
La fonction F s’appelle l’´energie libre et N(β)
repr´esente le nombre moyen de contacts du polym`ere
avec le solvant quand le polym`ere est tr`es grand.
Probabilit´
es finies
Th´eor`eme 5
Probabilit´
es
discr`
etes
1. Si β ≤ 0, F (β) = 0 et si β > 0, F (β) > 0.
Conditionnement
et ind´
ependance
2. Pour tout β, N(β) = F 0 (β).
3. La fonction F n’est pas deux fois d´erivable en 0. On dit
que l’on a une transition de phase du second ordre.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
4. Dans la r´egion β ≤ 0, le polym`ere est d´elocalis´e et est en
g´en´eral loin du solvant. Dans la r´egion β > 0, le
polym`ere est localis´e autour du solvant.
Applications
Le th´eor`eme pr´ec´edent est un exemple typique de r´esultat de
m´ecanique statistique.
R´
ef´
erences
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
Quizz
Arbres de Galton-Watson
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
A l’´epoque victorienne, Sir Francis Galton demanda s’il ´etait
possible de d´eterminer la probabilit´e de voir les noms de familles
aristocratiques anglaises disparaˆıtre. En 1874, avec le R´ev´erend
H. W. Watson, ils ´ecrivirent un article o`
u ils introduisirent un
mod`ele probabiliste et propos`erent une solution.
Leur mod`ele suppose que le nom de famille est transmis `a
tous les enfants mˆales par leur p`ere. Il suppose ´egalement
que le nombre de fils d’un individu est une variable al´eatoire `a
valeurs dans N, et que le nombre de fils d’hommes diff´erents
sont des v.a. i.i.d.
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
I
I
I
I
On note Zn : Ω → N la v.a. qui compte le nombre
d’individus `a la n `eme g´en´eration. On suppose pour
simplifier Z0 = 1.
Pour d´efinir Zn , on se donne une s´equence
(n)
(Xk )n≥0,k≥1 de v.a. i.i.d. sur un espace probabilis´e
(Ω, F, P) `a valeurs dans N.
(n)
Xk repr´esente le nombre d’enfants du k`eme individu
de la n`eme g´en´eration.
On d´efinit (Zn )n par r´ecurrence par
Zn+1 =
Zn
X
(n)
Xk .
k=1
I
Les (Zn )n ne sont pas ind´ependantes entre elles !
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
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erences
Quizz
Arbres de Galton-Watson
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
A l’aide des fonctions g´en´eratrices (cf. TD), on peut montrer
le th´eor`eme suivant
Th´eor`eme 6
(n)
On suppose que les (Xk )k,n ont une esp´erance µ et une
variance σ 2 > 0. Alors
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
η = lim P(Zn = 0)
n→∞
est telle que η = 1 si µ ≤ 1 et η < 1 si µ > 1.
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
M´ecanique quantique
Probabilit´
es finies
”For those who are not shocked when they first come across quantum theory cannot possibly have
understood it.” Niels Bohr
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
I
I
I
En m´ecanique quantique, `a un instant t > 0, une particule n’a pas une position d´etermin´ee mais seulement une
probabilit´e d’ˆetre ici ou l`a. Il en est de mˆeme pour sa
vitesse.
On d´ecrit alors une particule `a l’instant t par une fonction
d’onde ψ(x, t) ∈ C. La fonction d’onde ´evolue selon
l’´equation de Schr¨odinger (qui remplace en m´ecanique
quantique les ´equations de Newton).
A tout instant t > 0, |ψ(x, t)|2 est une fonction de densit´e (positive et d’int´egrale 1) et repr´esente la probabilit´e
que la particule se trouve en x ∈ R3 `a l’instant t > 0.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
ef´
erences
Quizz
La position X de la particule est donc une variable al´eatoire de fonction
de densit´e |ψ(x, t)|2 . De
mˆeme, la vitesse P de
la particule est une variable al´eatoire ayant une
certaine densit´e de probabilit´e.
Ce n’est que lorsque l’on mesure la position (resp. la vitesse)
de la particule que la position (resp. la vitesse) cesse d’ˆetre
al´eatoire et qu’elle devient d´eterministe (”collapse” de la fonction d’onde).
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
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erences
Quizz
In´egalit´es de Heisenberg
Probabilit´
es finies
I
Le principe d’incertitude d’Heisenberg assure alors
que mˆeme apr`es le ”collapse”
σX σP ≥
h
4π
o`
u σX est l’´ecart type de la v.a. X , σP est l’´ecart type
de la v.a. P et h la constante de Planck.
I
I
Il est donc impossible de d´eterminer exactement la position (il faudrait X constante, i.e. σX = 0) et la vitesse
en mˆeme temps (il faudrait σP = 0). Et cela mˆeme avec
des appareils de mesure parfaits !
Le principe d’incertitude est une cons´equence de l’in´egalit´e
de Cauchy-Schwarz.
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
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Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Le principe de la d´emonstration du principe d’incertitude d’Heisenberg
Conditionnement
et ind´
ependance
est le mˆeme que dans l’exercice (simplifi´e) suivant.
Exercice : Soit X une v.a. strictement positive telle que X
et 1/X soient int´egrables. Montrer en utilisant l’in´egalit´e de
Cauchy-Schwarz que
E(X )E(1/X ) ≥ 1.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
Paradoxe de l’autobus
Marches al´
eatoires
M´
ecanique statistique
Arbres de
Galton-Watson
M´
ecanique quantique
R´
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erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
R´
ef´
erences
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
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erences
Quizz
Livres en Fran¸cais :
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Calcul des probabilit´es, Foata et al.
I
Probabilit´es et statistique, Jourdain
I
Al´eatoire, Introduction `a la th´eorie et au calcul des
probabilit´es, M´el´eard
Livres en Anglais :
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
I
Probability and Random Processes, Grimmett et al.
I
A first course in Stochastic Processes, Karlin et al.
I
Weighing the Odds A course in Probability and
Statistics, Williams
R´
ef´
erences web :
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
I
https://fr.coursera.org/course/probas (vid´eo,
en fran¸cais).
I
https://www.youtube.com/view_play_list?p=
B72416C707D85AB0 (vid´eo, m´ecanique statistique, en
anglais).
I
http://www.unige.ch/math/folks/velenik/
Cours/2014-2015/ProbaStat/probastat.pdf
(poly).
I
http://math.unice.fr/~delarue/Teaching/
CoursL2.pdf (poly).
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Quizz
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
–Guide de survie en terre hostile `a l’intention de l’´etudiant
de L2SF–
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
1. Donner la d´efinition d’une probabilit´e.
Probabilit´
es finies
2. Donner la d´efinition de la loi d’une variable al´eatoire.
Probabilit´
es
discr`
etes
3. Que signifie pour deux variables al´eatoires d’avoir mˆeme
loi ?
Conditionnement
et ind´
ependance
4. Que signifie la notation X ∼ Y ?
5. Que signifie la notation {X = 2} pour une v.a. X ?
6. Qu’est-ce qu’une loi de Bernoulli ? Binomiale ? Uniforme
? de Poisson ? G´eom´etrique ?
7. Enoncer toutes les conditions que doivent v´erifier 4
´ev´enements pour ˆetre ind´ependants.
8. Supposons que {X , Y , Z , T } soient ind´ependantes. Que
pouvez-vous dire de {X + Y , Z 2 /T } ? et de
{XZ , Z /T 2 } ?
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
9. Donner les deux formules pour l’esp´erance d’une variable
al´eatoire discr`ete.
10. Donner les formules de la variance d’une variable
al´eatoire.
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
11. Qu’est-ce que l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz ? La
d´emontrer.
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
12. Qu’est-ce que l’in´egalit´e de Markov ? La d´emontrer.
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
13. Combien vaut l’esp´erance d’une loi de Bernoulli ?
Binomiale ? Uniforme ? de Poisson ? G´eom´etrique ?
Mˆeme question avec la variance.
14. Combien vaut l’esp´erance d’une loi uniforme?
exponentielle ? normale ? Mˆeme question avec la
variance.
15. Qu’est-ce que la formule de transfert pour une v.a.
dicr`ete ?
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
16. Donner un exemple de v.a. non int´egrable.
Probabilit´
es finies
17. Donner un exemple de v.a. ayant une esp´erance finie
mais pas de variance finie.
P
18. Comment d´efinit-on la notion a∈A f (a) lorsque A est un
ensemble infini mais d´enombrable et f : A → R ?
Probabilit´
es
discr`
etes
19. Quelle est la diff´erence entre ”loi normale” et ”loi
Gaussienne” ?
20. Est-ce qu’une probabilit´e est une application lin´eaire ? Et
la variance ? Et l’esp´erance ? Et l’int´egrale ?
21. Qu’appelle-t-on fonction de r´epartition ?
22. Qu’appelle-t-on une fonction de densit´e ? Quelle relation
simple y a-t-il entre fonction de densit´e et fonction de
r´epartition ?
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
23. Existe-t-il des v.a. dont les lois ne sont ni discr`etes ni `a
densit´e ?
24. Qu’est-ce que la formule de transfert pour une v.a. `a
densit´e ?
25. Peut-on avoir deux v.a. de mˆeme fonction de r´epartition
mais ayant des esp´erances diff´erentes ? des variances
diff´erentes ?
26. Peut-on avoir deux v.a. de mˆeme esp´erance et de mˆeme
variance mais ayant des fonctions de r´epartition
diff´erentes ?
27. Que signifie l’abr´eviation i.i.d. ?
28. Que pouvez-vous dire de la variance de n variables
al´eatoires ind´ependantes de carr´es int´egrables ?
29. Enoncer la Loi faible des Grands Nombres. Quelles sont
les hypoth`eses ?
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
Conditionnement
et ind´
ependance
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz
30. Pourquoi dit-on que la loi exponentielle est sans m´emoire
?
31. La loi g´eom´etrique est-elle sans m´emoire ?
Probabilit´
es finies
Probabilit´
es
discr`
etes
32. Si Z ∼ N (m, σ 2 ), que dire de X = (Z − m)/σ ?
Conditionnement
et ind´
ependance
33. Si Z ∼ N (0, 1) que dire de m + σZ ?
Esp´
erance,
variance, LGN et
TCL
34. Que dire de X + Y si X ∼ P(λ) et Y ∼ P(µ) sont
ind´ependantes ?
35. Que dire de min(X , Y ) si X ∼ E(λ) et Y ∼ E(µ) sont
ind´ependantes ?
36. Enoncer le Th´eor`eme Limite Centrale. Quelles sont les
hypoth`eses ?
37. Pourquoi dit-on que les fluctuations d’un ´echantillon de n
√
v.a. i.i.d. de carr´es int´egrables sont d’ordre n ?
38. Pourquoi suis-je venu en L2SF ?
Probabilit´
es sur un
espace g´
en´
eral
Applications
R´
ef´
erences
Quizz