‫‪ 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫תרגילים מערכת מסדר שני‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫נתונה המערכת המכאנית‪:‬‬ ‫תגובה ‪ X‬לכוח של ‪ 10‬ניוטון מתוארת בגרף הבא‪:‬‬ ‫‪Step Response‬‬ ‫)‪From: U(1‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪Xmax=1.31m‬‬ ‫‪tp=0.18sec‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.94‬‬ ‫)‪X(t‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫)‪To: Y(1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.8‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Time (sec.‬‬ ‫חשב בקירוב מהגרף את מקדם הריסון ‪ ξ‬ותדירות טבעית ‪ . ω n‬‬ ‫תרגילים מערכת מסדר שני‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬ערך‪ :‬חיון אבי ‪ ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫פתרון ‪1‬‬ ‫‪1.31‬‬ ‫‪= 1.39‬‬ ‫‪0.94‬‬ ‫= ‪Mp‬‬ ‫‪−π‬‬ ‫‪= 1.39‬‬ ‫‪1−ξ 2‬‬ ‫‪π 2ξ 2‬‬ ‫‪1−ξ 2‬‬ ‫‪Mp = 1 + e‬‬ ‫= ‪(ln 0.39) 2‬‬ ‫‪0.8866‬‬ ‫‪= 0.287‬‬ ‫‪π + 0.8866‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 18.2 rad‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.18 1 − 0.287‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪tp 1 − ξ‬‬ ‫=‪ξ‬‬ ‫= ‪ωn‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫נתונה מערכת בעלת הפונקציה ‪-‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪R s + 1.2 s + 0.75‬‬ ‫מצא מקדם ריסון‪ ,‬תדירות טבעית ותדירות מרוסנת‪ ,‬הגבר סטטי ותגובת יתר ‪ Mp‐ ‬‬ ‫תשובה ‪ ‬‬ ‫‪ξ = 0.69‬‬ ‫‪ω n = 0.868 rad‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫תרגילים מערכת מסדר שני‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪Mp = 1.05 ω d = 0.628 rad‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪ ‬ערך‪ :‬חיון אבי ‪ ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫שאלה ‪ ) 3‬ממבחן חיצוני אביב ‪(2006‬‬ ‫פתרון ‪3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪πξ‬‬ ‫‪1−ξ 2‬‬ ‫‪πξ‬‬ ‫‪1−ξ 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪Mp = 1 + e‬‬ ‫‪ln(Mp − 1) = −‬‬ ‫‪ln 2 ( Mp − 1) ⋅ (1 − ξ 2 ) = π 2ξ 2‬‬ ‫)‪ξ 2 [π 2 + ln 2 ( Mp − 1)] = ln 2 ( Mp − 1‬‬ ‫)‪− ln(Mp − 1‬‬ ‫)‪π 2 + ln 2 ( Mp − 1‬‬ ‫תרגילים מערכת מסדר שני‬ ‫‪ ‬‬ ‫=‪ξ‬‬ ‫‪ ‬ערך‪ :‬חיון אבי ‪ ‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪11.7‬‬ ‫אחרי נרמול ‪= 1.17 :‬‬ ‫‪10‬‬ ‫= ‪Mp‬‬ ‫‪= 0.491‬‬ ‫)‪− ln(1.17 − 1‬‬ ‫)‪π 2 + ln 2 (1.17 − 1‬‬ ‫=‪ξ‬‬ ‫‪Td = 0.725 sec‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪= 8.66 rad‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪Td‬‬ ‫‪= 10 rad‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪ωd‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1−ξ‬‬ ‫= ‪ωd‬‬ ‫= ‪ωn‬‬ ‫‪kω n2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪R s 2 + 2ξω n s + ω n2‬‬ ‫‪ – k‬הגבר סטטי שווה ליחס בין המוצא במצב מתמיד לאות הכניסה‬ ‫‪c ss 10‬‬ ‫=‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪k‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪R s + 10s + 100‬‬ ‫תרגילים מערכת מסדר שני‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬ערך‪ :‬חיון אבי ‪ ‬‬ 5 .1 .‫ב‬ 1000 1000 C G s + 10s + 100 = = = 2 1000 R 1 + GH ⋅ 0.5 s + 10s + 600 1+ 2 s + 10s + 100 2 ω n = 600 = 24.5 rad sec ξ= 10 10 = = 0.204 2ω n 2 ⋅ 24.5 k= 1000 = 1.67 600 c(t ) ⎡ ⎛ 1−ξ 2 e −ξω nt 2 −1 ⎜ ⎢ = k 1− sin ω n 1 − ξ ⋅ t + tg 2 ⎜ ξ ⎢ − 1 ξ ⎝ ⎣ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦ ⎡ e −5t ⎤ c( t ) = 1.67 ⎢1 − sin (23.5 ⋅ t + 78.2°)⎥ ⎣ 0.96 ⎦ .2 Step Response From: U(1) 3 2.5 To: Y(1) Amplitude 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Time (sec.) ‫ חיון אבי‬:‫ ערך‬ ‫תרגילים מערכת מסדר שני‬