‫פרק ‪ - 2‬מבחני התכנסות לטורים עם איברים חיוביים‬ ‫הגדרה – טור עם איברים חיוביים‬ ‫אם ‪ 𝑎𝑛 ≥ 0‬לכל ‪ ,𝑛 ∈ ℕ‬הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫נקרא טור עם איברים חיוביים‬ ‫משפטים‬ ‫‪ .1‬לכל ‪ 𝛼 ≠ 0‬הטור‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪ .2‬יהיו‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫𝛼=‬ ‫והטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎𝛼 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנסים ומתבדרים ביחד‪.‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎𝛼 ‪𝑛=1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬ ‫טורים מתכנסים‪ ,‬ו‪-‬‬ ‫א‪ .‬הטור 𝑛𝑏 ‪+‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס‬ ‫ב‪ .‬הטור 𝑛𝑐 ‪+‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתבדר‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑐 ‪𝑛=1‬‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫טור מתבדר‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬ ‫מבחן השוואה ראשון‬ ‫נניח 𝑛𝑏 ≤ 𝑛𝑎 ≤ ‪ 0‬לכל ‪ ,𝑛 ∈ ℕ‬אזי‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס אזי הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתבדר אזי הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫האם הטור‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑛 𝑛𝑖𝑠 ∞‬ ‫𝑛‪𝑛=1 5 𝑛 +‬‬ ‫𝑛 ‪𝑠𝑖𝑛 2‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫𝑛‪5 𝑛 +‬‬ ‫מתכנס או מתבדר?‬ ‫= 𝑛𝑎‪ ,‬כאשר ‪ 𝑎𝑛 ≥ 0‬לכל ‪ .𝑛 ∈ ℕ‬מתקיים‪:‬‬ ‫𝑛 ‪𝑠𝑖𝑛2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛 ≤‬ ‫𝑛 ≤‬ ‫𝑛‬ ‫‪5 +𝑛 5 +𝑛 5‬‬ ‫נסמן‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛‪5‬‬ ‫= 𝑛𝑏‪ .‬הטור‬ ‫𝑛 ‪1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 5‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 5‬‬ ‫=‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬ ‫≤‪0‬‬ ‫הוא טור הנדסי (כאשר‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= 𝑞)‪ ,‬ולכן הטור‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫ולכן לפי מבחן השוואה ראשון‪ ,‬הטור‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑛 𝑛𝑖𝑠 ∞‬ ‫𝑛‪𝑛=1 5 𝑛 +‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫משפט‬ ‫נתון הטור‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑝 𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫כאשר ‪:𝑝 ∈ ℝ‬‬ ‫‪ .1‬לכל ‪ 𝑝 > 1‬הטור מתכנס‬ ‫‪ .2‬לכל ‪ 𝑝 ≤ 1‬הטור מתבדר‬ ‫תרגילים‬ ‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 𝑛 2‬‬ ‫(מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛 𝑛−1‬‬ ‫≤‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛‪𝑛=1 ln 2𝑛+1 ∙ 𝑛 3 +‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 ln 𝑛 +‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫𝑛 ‪∞ ln‬‬ ‫‪𝑛=1 𝑛 2‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 ln 𝑛 2‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪ .1‬מתכנס‬ ‫‪ .2‬מתכנס‬ ‫‪ .3‬מתבדר‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪ .4‬מתכנס‬ ‫‪ .5‬מתבדר‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬ ‫מבחן השוואה שני‬ ‫נניח ‪ 𝑎𝑛 ≥ 0‬ו‪ 𝑏𝑛 > 0 -‬לכל ‪:𝑛 ∈ ℕ‬‬ ‫אם 𝐿 =‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫𝑛𝑏‬ ‫∞→𝑛‪ lim‬ו‪ 𝐿 > 0 -‬אזי‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנסים ומתבדרים ביחד‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫האם הטור‬ ‫נסמן‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 sin‬‬ ‫מתכנס או מתבדר?‬ ‫‪ ,𝑎𝑛 = sin‬כאשר ‪ 𝑎𝑛 ≥ 0‬לכל ‪.𝑛 ∈ ℕ‬‬ ‫נגדיר ‪> 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= 𝑛𝑏 לכל ‪ ,𝑛 ∈ ℕ‬ומתקיים‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪=1‬‬ ‫הטור‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫=‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫𝑛𝑏 ∞→𝑛‬ ‫∞→ 𝑛‬ ‫מתבדר‪ ,‬ולכן לפי מבחן השוואה שני הטור‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 sin‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫תרגילים‬ ‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫𝑛‪1 + 𝑒 −‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 ln‬‬ ‫𝑛 ‪𝑛 2 +2𝑛+sin‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 𝑛 2 + 𝑛 + −1‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪ .1‬מתכנס‬ ‫‪ .2‬מתכנס‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬ ‫מבחן קושי – מבחן השורש‬ ‫נניח ‪ 𝑎𝑛 ≥ 0‬לכל ‪ 𝑛 > 𝑁0‬ו‪𝑎𝑛 = 𝐿 -‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ 𝐿 < 1‬הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ 𝐿 > 1‬הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪: lim‬‬ ‫∞→𝑛‬ ‫ג‪ .‬אם ‪ 𝐿 = 1‬לא ניתן לקבוע התכנסות או התבדרות הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫לפי מבחן זה‬ ‫דוגמא‬ ‫האם הטור‬ ‫נסמן‬ ‫‪𝑛3‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛‪𝑛=1 5 𝑛 +3 𝑛 +‬‬ ‫‪𝑛3‬‬ ‫𝑛‪5 𝑛 +3 𝑛 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מתכנס או מתבדר?‬ ‫= 𝑛𝑎‪ ,‬כאשר ‪ 𝑎𝑛 > 0‬לכל ‪ .𝑛 ∈ ℕ‬ומתקיים‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‪3‬‬ ‫𝑛‪5‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪5𝑛 1 +‬‬ ‫ולכן לפי מבחן קושי הטור‬ ‫‪𝑛3‬‬ ‫‪𝑛3‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫𝑛 ∞→𝑛 𝑛 ‪5𝑛 + 3𝑛 + 𝑛 𝑛→∞ 𝑛 5𝑛 + 3𝑛 +‬‬ ‫‪𝑛3‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛‪𝑛=1 5 𝑛 +3 𝑛 +‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑎𝑛 = lim‬‬ ‫∞→𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→𝑛‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫תרגילים‬ ‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪∞ 2‬‬ ‫𝑛 𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫𝑛‪7‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛‪𝑛=1 2 2‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪ .1‬מתכנס‬ ‫‪ .2‬מתבדר‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬ ‫מבחן דלאמבר – מבחן המנה‬ ‫נניח ‪ 𝑎𝑛 ≥ 0‬לכל ‪ 𝑛 > 𝑁0‬ו‪= 𝐿 -‬‬ ‫‪𝑎 𝑛 +1‬‬ ‫‪: lim‬‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫א‪ .‬אם ‪ 𝐿 < 1‬הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ 𝐿 > 1‬הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫∞→𝑛‬ ‫ג‪ .‬אם ‪ 𝐿 = 1‬לא ניתן לקבוע התכנסות או התבדרות הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫לפי מבחן זה‬ ‫דוגמא‬ ‫האם הטור‬ ‫נסמן‬ ‫𝑛𝑛‬ ‫!𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛 ∞‬ ‫!𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס או מתבדר?‬ ‫= 𝑛𝑎‪ ,‬כאשר ‪ 𝑎𝑛 > 0‬לכל ‪ .𝑛 ∈ ℕ‬ומתקיים‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑒=‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪= lim 1 +‬‬ ‫ולכן לפי מבחן דאלמבר הטור‬ ‫∞→𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛 ∞‬ ‫!𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑛 + 1 𝑛+1‬‬ ‫‪𝑛+1‬‬ ‫! ‪𝑛+1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫∞→𝑛‬ ‫𝑛𝑛‬ ‫!𝑛‬ ‫‪𝑎𝑛+1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫𝑛𝑎 ∞→𝑛‬ ‫∞→𝑛‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫תרגילים‬ ‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫𝑛‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 4‬‬ ‫‪∞ 1∙2∙3⋯ 2𝑛−1‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫!𝑛‬ ‫פתרונות‬ ‫‪ .1‬מתכנס‬ ‫‪ .2‬מתבדר‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬ ‫מבחן האינטגרל‬ ‫נניח ‪ 𝑓: 𝑛0 , ∞ → ℝ‬פונקציה המקיימת‪:‬‬ ‫א‪ 𝑓(𝑥) ≥ 0 .‬לכל‬ ‫∞ ‪𝑥 ∈ 𝑛0 ,‬‬ ‫ב‪ 𝑓(𝑥) .‬פונקציה לא עולה‬ ‫נגדיר את הסדרה )𝑛(𝑓 = 𝑛𝑎 לכל ‪ ,𝑛 ∈ ℕ‬אזי האינטגרל 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛0‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫והטור‬ ‫מתכנסים‬ ‫ומתבדרים יחד‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=2 𝑛 ln 𝑛 2‬‬ ‫האם הטור‬ ‫נגדיר‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑥 ln 𝑥 2‬‬ ‫מתכנס או מתבדר?‬ ‫= )𝑥(𝑓‪ .‬נבדוק את התנאים עבור הפונקציה )𝑥(𝑓‪:‬‬ ‫א‪ 𝑓(𝑥) > 0 .‬ומוגדרת לכל 𝑥 בקטע‬ ‫ב‪ .‬לכל‬ ‫∞ ‪ 2,‬דכ‬ ‫∞ ‪ 𝑥 ∈ 2,‬הפונקציה )𝑥(𝑓 יורדת‪ .‬מתקיים‪ :‬ומתקיים‪𝑓 ′ 𝑥 < 0 :‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪𝑙𝑛2 𝑥 + 𝑥𝑙𝑛 𝑥 +‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪𝑥 ln 𝑥 2‬‬ ‫= 𝑥 ‪ 𝑓 ′‬לכל‬ ‫∞ ‪𝑥 ∈ 2,‬‬ ‫נחשב את האינטגרל‪:‬‬ ‫𝑎‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫𝑎‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞→𝑎‬ ‫𝑡‬ ‫𝑡‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫𝑡 = 𝑥 ‪ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫=‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡𝑑 = 𝑥𝑑‬ ‫∞→𝑎‬ ‫𝑥‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥 ‪𝑥 ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪ln 𝑎 ln 2 ln 2‬‬ ‫𝑎‬ ‫‪𝑑𝑥 = lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑎→∞ 2‬‬ ‫𝑎‬ ‫‪= lim −‬‬ ‫∞→𝑎‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥 ‪ln‬‬ ‫קיבלנו כי האינטגרל מתכנס‪ ,‬ולכן לפי מבחן האינטגרל הטור‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥 ‪𝑥 ln‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫= 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= lim −‬‬ ‫∞→𝑎‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛 =1 𝑛 ln 𝑛 2‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫תרגילים‬ ‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪∞ 1‬‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=2 𝑛 ln‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=2 𝑛 ln‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪ .1‬מתבדר‬ ‫‪ .2‬מתכנס‬ ‫‪ .3‬מתבדר‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬ ‫‪ .1‬כל מבחני ההשוואה בפרק זה מתייחסים לטורים חיוביים בלבד‪.‬‬ ‫‪ .2‬טורים נפוצים להשוואה במבחני השוואה ראשון ושני הם מהצורה‬ ‫𝑛‬ ‫∞ ‪.‬‬ ‫טור הנדסי מהצורה‬ ‫𝑞 ‪𝑛=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑝 𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫או‬ ‫‪ .3‬לא לשכוח שתוצאה ‪ 𝐿 = 1‬במבחן קושי ובמבחן דלאמבר לא קובעת התכנסות‬ ‫או התבדרות לגבי הטור הנבדק ויש להשתמש במבחן השוואה אחר‪.‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬