‫פרק ‪ – 11‬האינטגרל המשולש‬ ‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬המוגדרת בתחום זה‪ .‬נגדיר ריבוע החוסם את‬ ‫יהי 𝐷 תחום במרחב ותהי פונקציה‬ ‫התחום 𝐷 שצלעותיו מקבילות לצירים ונחלק אותו באופן הבא‪ :‬כמות הישרים המקבילים‬ ‫לציר ה‪ 𝑥 -‬זהה לכמות הישרים המקבילים לציר ה‪ 𝑦 -‬וזהה לכמות הישרים המקבילים לציר‬ ‫𝑧 כך שהקטעים שנקבעים על הצירים יהיו מאורך שווה עבור כל ציר‪ .‬חלוקה כזו תיתן שאם‬ ‫כמות הישרים גדול המאוד אז תת המלבנים שיגדירו יהיו בעלי נפח קטן מאוד‪.‬‬ ‫נתייחס לריבועים המוכלים ב‪ 𝐷 -‬ונניח כי קיימים 𝑛 מלבנים כאלה‪ .‬נבחר נקודה כלשהי‬ ‫בריבוע ה‪ 𝑖 -‬ונסמן אותה‬ ‫ואת נפח המלבן ב‪ ∆𝑉𝑖 -‬כך שמתקיים‪.∆𝑉𝑖 = 𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 ∙ 𝑧𝑖 :‬‬ ‫𝑖𝑧 ‪𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ,‬‬ ‫נניח כי קיים מספר 𝐼 כך שלכל ‪ 𝜀 > 0‬קיים ‪ 𝑛0 ∈ ℕ‬כך שאם 𝑛 > ‪ ,𝑛0‬אם מחלקים את 𝐷 כפי‬ ‫שהוסבר‪ ,‬עבור כל נקודה נקבל‪𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ∆𝑉𝑖 − 𝐼 < 𝜀 :‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑓 ‪𝑖=1‬‬ ‫‪ .‬במקרה זה אומרים כי הפונקציה‬ ‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית בתחום 𝐷 ונגדיר‪𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝐼 :‬‬ ‫ובסימון אחר‪𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 :‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪,‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪.‬‬ ‫משפט‬ ‫אם פונקציה‬ ‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית ב‪.𝐷 -‬‬ ‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬רציפה בתחום 𝐷 אזי‬ ‫משפט – תכונות אינטגרל משולש‬ ‫‪ .1‬אם‬ ‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬ו‪-‬‬ ‫𝑧 ‪ 𝑔 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית ב‪ ,𝐷 -‬אזי‬ ‫𝑧 ‪ 𝑎𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑏𝑔 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית‬ ‫ב‪ 𝐷 -‬לכל ‪ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ‬ומתקיים‪:‬‬ ‫𝑏 ‪𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +‬‬ ‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑔 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪ .2‬אם‬ ‫𝑎 = 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑎𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑏𝑔 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝐷‬ ‫𝐷‬ ‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית בתחומים ‪ 𝐷1‬ו‪ 𝐷2 -‬אזי‬ ‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית בתחום‬ ‫‪( 𝐷 = 𝐷1 ∪ 𝐷2‬כאשר ∅ = ‪ )𝐷1 ∩ 𝐷2‬ומתקיים‪:‬‬ ‫‪𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +‬‬ ‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫‪𝐷2‬‬ ‫‪ .3‬אם‬ ‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬ו‪-‬‬ ‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪𝐷1‬‬ ‫𝑧 ‪ 𝑔 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית ב‪ 𝐷 -‬ולכל 𝐷 ∈ 𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬ ‫מתקיים‬ ‫𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≤ 𝑔 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫אז מתקיים‪:‬‬ ‫≤ 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑔 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝐷‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬ ‫חישוב האינטגרל המשולש‬ ‫נחלק את חישוב האינטגרל המשולש לשני תחומים בסיסיים‪:‬‬ ‫‪ .1‬אינטגרל משולש בתיבה‬ ‫משפט‬ ‫אם 𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬רציפה בתיבה 𝑙 ‪( 𝐷 = 𝑎, 𝑏 𝑥 𝑐, 𝑑 𝑥 𝑘,‬כלומר 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎‪ )𝑘 ≤ 𝑧 ≤ 𝑙 ,𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 ,‬אז‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫𝑙‬ ‫𝑙‬ ‫= 𝑦𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑏‬ ‫𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫= 𝑦𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑐‬ ‫𝑏‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝑘‬ ‫𝑙‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑘‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝑎‬ ‫𝑙‬ ‫= 𝑧𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑎‬ ‫𝑏‬ ‫𝑘‬ ‫𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑘‬ ‫𝑙‬ ‫= 𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑏‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑐‬ ‫𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑘‬ ‫𝑎‬ ‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑎‬ ‫𝑙‬ ‫𝑏‬ ‫= 𝑧𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑐‬ ‫𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑘‬ ‫𝑏‬ ‫𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫=‬ ‫𝑎‬ ‫𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑎‬ ‫𝐷‬ ‫𝑐‬ ‫𝑙‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝑐‬ ‫=‬ ‫𝑘‬ ‫‪ .2‬אינטגרל משולש בתחום נורמלי‬ ‫משפט‬ ‫אם 𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬רציפה בתחום‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫𝑦 ‪𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2 𝑥 , 𝑕1 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑕2 𝑥,‬‬ ‫𝑧𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑦‪𝑕 2 𝑥,‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦‪𝑕 1 𝑥,‬‬ ‫𝑥 ‪𝑔2‬‬ ‫= 𝐷 אזי‬ ‫𝑏‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥 ‪𝑔1‬‬ ‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑎‬ ‫באופן כללי יותר ניתן להגדיר‪:‬‬ ‫𝑦 ‪𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷1 , 𝑕1 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑕2 𝑥,‬‬ ‫𝐷‬ ‫𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬ ‫=𝐷‬ ‫כאשר ‪ 𝐷1‬הוא ההיטל של 𝐷 על המישור 𝑦 ‪ 𝑥 −‬אזי מתקיים‪:‬‬ ‫𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑦‪𝑕 2 𝑥 ,‬‬ ‫𝑦‪𝑕 1 𝑥,‬‬ ‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝐷‬ ‫𝐷‬ ‫)‪Z=f(x,y‬‬ ‫)‪h2(x,y‬‬ ‫‪D‬‬ ‫)‪h1(x,y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪g2(x‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫)‪g1(x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬ ‫דוגמא‬ ‫נחשב את האינטגרל 𝑉𝑑‬ ‫‪−3‬‬ ‫𝑧‪1+𝑥+𝑦+‬‬ ‫𝐷‬ ‫כאשר 𝐷 הוא גוף המוגבל ע"י מישורי הצירים‬ ‫והמישור ‪.𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1‬‬ ‫כדי לשרטט את 𝐷 נחשב את היטל המישור ‪ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1‬על המישורים 𝑦 ‪ 𝑦 − 𝑧 ,𝑥 −‬ו‪:𝑥 − 𝑧 -‬‬ ‫אם ‪ 𝑧 = 0‬ונקבל ‪- 𝑦 = −𝑥 + 1‬ישר זה הוא החיתוך של המישור ‪ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1‬עם המישור 𝑦 ‪.𝑥 −‬‬ ‫אם ‪ 𝑦 = 0‬ונקבל ‪- 𝑧 = −𝑥 + 1‬ישר זה הוא החיתוך של המישור ‪ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1‬עם המישור 𝑧 ‪.𝑥 −‬‬ ‫אם ‪ 𝑥 = 0‬ונקבל ‪- 𝑧 = −𝑦 + 1‬ישר זה הוא החיתוך של המישור ‪ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1‬עם המישור 𝑧 ‪.𝑦 −‬‬ ‫שרטוט התחום 𝐷‪:‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z=-y+1‬‬ ‫‪z=-x+1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y=-x+1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫= 𝑧𝑑‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−𝑥+1‬‬ ‫𝑦‪1−𝑥−‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑧‪1+𝑥+𝑦+‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫= 𝑦𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ln 2 −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑦‪1+𝑥+‬‬ ‫‪− +‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−𝑥+1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 1 1‬‬ ‫‪𝑥2 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑥− +‬‬ ‫= 𝑥𝑑‬ ‫𝑥 ‪− 𝑥 + ln 1 +‬‬ ‫‪8‬‬ ‫𝑥‪8 2 1+‬‬ ‫‪16 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑦‪−2 1−𝑥−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑥‪−1 1−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝐷‬ ‫𝑧‪1+𝑥+𝑦+‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫= 𝑉𝑑‬ ‫‪−3‬‬ ‫𝑧‪1+𝑥+𝑦+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−𝑥+1‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑦‪1+𝑥+‬‬ ‫‪𝑑𝑥 − 𝑦 +‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬ ‫החלפת משתנים‬ ‫כאשר תחום האינטגרציה 𝐷 אינו תיבה או נורמלי יש לבצע החלפת משתנים‪.‬‬ ‫הגדרה – החלפת משתנים‬ ‫החלפת משתנים היא העתקה ‪ 𝜑: 𝐻 ⊆ ℝ3 → ℝ3‬כאשר‬ ‫𝑤 ‪𝜑 𝑢, 𝑣, 𝑤 = 𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧 𝑢, 𝑣,‬‬ ‫המוגדרת בתחום פתוח 𝑈 המכיל את 𝐻 ומקיימת‪:‬‬ ‫𝑤 ‪,𝑥 𝑢, 𝑣,‬‬ ‫‪ .1‬הפונקציות‬ ‫𝑤 ‪ 𝑦 𝑢, 𝑣,‬ו‪-‬‬ ‫𝑤 ‪ 𝑧 𝑢, 𝑣,‬בעלות נגזרות חלקיות רציפות מסדר ראשון‬ ‫ב‪. 𝑈 -‬‬ ‫‪ .2‬הפונקציה‬ ‫𝑤 ‪ 𝜑 𝑢, 𝑣,‬היא חד‪-‬חד‪-‬ערכית‬ ‫‪ .3‬היעקוביאן‪:‬‬ ‫𝑤𝑥‬ ‫‪𝑦𝑤 ≠ 0‬‬ ‫𝑤𝑧‬ ‫𝑣𝑥‬ ‫𝑣𝑦‬ ‫𝑣𝑧‬ ‫𝑢𝑥‬ ‫𝑢𝑦 =‬ ‫𝑢𝑧‬ ‫𝑧‪𝐷 𝑥 ,𝑦,‬‬ ‫𝑤‪𝜑 𝑢,𝑣,‬‬ ‫= 𝑤 ‪ 𝐽 𝑢, 𝑣,‬לכל 𝑈 ∈ 𝑤 ‪𝑢, 𝑣,‬‬ ‫משפט‬ ‫בתנאיי ההגדרה הקודמת‪ ,‬קיימת העתקה הפוכה‬ ‫הפונקציות‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑤‪𝐽 𝑢,𝑣,‬‬ ‫𝑤 ‪,𝑥 𝑢, 𝑣,‬‬ ‫= 𝑧 ‪ 𝐽 𝑥, 𝑦,‬לכל‬ ‫𝑤 ‪ 𝑦 𝑢, 𝑣,‬ו‪-‬‬ ‫𝑧 ‪𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑤 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫𝜑 כאשר‬ ‫𝑤 ‪ 𝑧 𝑢, 𝑣,‬בעלות נגזרות חלקיות רציפות ומתקיים‪:‬‬ ‫𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬ ‫משפט‬ ‫אם 𝑓 אינטגרבילית בתחום חסום וסגור 𝐷 בעך נפח 𝑉 שתמונתו 𝐻 היא גם נפח אזי‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫𝑤𝑑𝑣𝑑𝑢𝑑 𝑤 ‪𝐽 𝑢, 𝑣,‬‬ ‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑧 ‪𝑓 𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑤 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝐻‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬ ‫החלפות משתנים נפוצות‪:‬‬ ‫‪ .1‬החלפת משתנים גלילית‬ ‫𝜃 𝑠𝑜𝑐𝑟 = 𝑧 ‪𝑥 𝑟, 𝜃,‬‬ ‫‪z‬‬ ‫נגדיר העתקה ע"י‪ , 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃, 𝑧 :‬כך ש‪𝑦 𝑟, 𝜃, 𝑧 = 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃 -‬‬ ‫𝑧 = 𝑧 ‪𝑧 𝑟, 𝜃,‬‬ ‫)‪P(x,y,z‬‬ ‫ומתקיים‪:‬‬ ‫𝜋‪𝑥, 𝑦, 𝑧 |𝑟 > 0,0 ≤ 𝜃 ≤ 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 =𝑟≠0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜃 𝑛𝑖𝑠𝑟‪−‬‬ ‫𝜃 𝑠𝑜𝑐𝑟‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑧𝑥‬ ‫𝜃 𝑠𝑜𝑐‬ ‫= 𝑧𝑦‬ ‫𝜃 𝑛𝑖𝑠‬ ‫𝑧𝑧‬ ‫‪0‬‬ ‫=𝑈‬ ‫𝜃𝑥‬ ‫𝜃𝑦‬ ‫𝜃𝑧‬ ‫‪y‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫𝑟𝑥‬ ‫=𝐽‬ ‫𝑟𝑦 =‬ ‫𝑧 ‪𝜑 𝑟, 𝜃,‬‬ ‫𝑟𝑧‬ ‫𝑧 ‪𝐷 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫חישוב האינטרגל יתבצע באופן הבא‪:‬‬ ‫𝑧𝑑 𝑟 𝑧 ‪𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃,‬‬ ‫𝜃‪𝜓 2 𝑟,‬‬ ‫𝑟𝑑‬ ‫𝜃‪𝜓 1 𝑟,‬‬ ‫𝜃 ‪𝑟2‬‬ ‫𝜃𝑑‬ ‫𝜃 ‪𝑟1‬‬ ‫‪𝜃2‬‬ ‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪𝜃1‬‬ ‫‪ .2‬החלפת משתנים כדורית‬ ‫𝜑 ‪𝑥 𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 sin‬‬ ‫נגדיר העתקה ע"י‪ , 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 sin 𝜑 , 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃 sin 𝜑 , 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 :‬כך ש‪𝑦 𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃 sin 𝜑 -‬‬ ‫𝜑𝑠𝑜𝑐𝑟 = 𝜑 ‪𝑧 𝑟, 𝜃,‬‬ ‫ומתקיים‪:‬‬ ‫𝜋‪𝑥, 𝑦, 𝑧 |𝑟 > 0,0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, ,0 ≤ 𝜑 ≤ 2‬‬ ‫𝜑𝑠𝑜𝑐𝜃 𝑠𝑜𝑐𝑟‬ ‫‪𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜑 ≠ 0‬‬ ‫𝜑𝑠𝑜𝑐𝑟‪−‬‬ ‫𝜑 ‪−𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃 sin‬‬ ‫𝜑𝑠𝑜𝑐𝜃 𝑠𝑜𝑐𝑟‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜑𝑥‬ ‫𝜑𝑠𝑜𝑐𝜃 𝑠𝑜𝑐‬ ‫𝜑 ‪𝑦 𝜑 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 sin‬‬ ‫𝜑𝑧‬ ‫𝜑𝑠𝑜𝑐‬ ‫=𝑈‬ ‫𝜃𝑥‬ ‫𝜃𝑦‬ ‫𝜃𝑧‬ ‫‪z‬‬ ‫𝑟𝑥‬ ‫=𝐽‬ ‫𝑟𝑦 =‬ ‫𝜑 ‪𝜑 𝑟, 𝜃,‬‬ ‫𝑟𝑧‬ ‫𝑧 ‪𝐷 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫)‪P(x,y,z‬‬ ‫‪φ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫חישוב האינטרגל יתבצע באופן הבא‪:‬‬ ‫𝑧𝑑 𝜑𝑛𝑖𝑠 ‪𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃, 𝑧 𝑟 2‬‬ ‫𝜃‪𝜓 2 𝑟,‬‬ ‫𝜃‪𝜓 1 𝑟,‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫𝑟𝑑‬ ‫𝜃 ‪𝑟2‬‬ ‫𝜃 ‪𝑟1‬‬ ‫𝜃𝑑‬ ‫‪𝜃2‬‬ ‫‪𝜃1‬‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬ ‫דוגמא‬ ‫נחשב את האינטגרל 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 ‪𝑥 2‬‬ ‫‪𝑧 = 9 − 𝑥 2 + 𝑦2‬‬ ‫כאשר 𝐷 הוא גוף החסום ע"י המשטחים‬ ‫𝐷‬ ‫ו‪. 𝑧 = 0 -‬‬ ‫הגוף 𝐷‪:‬‬ ‫היטל הגוף 𝐷 על‬ ‫המישור 𝑦 ‪:𝑥 −‬‬ ‫נבצע החלפת משתנים גלילית כאשר‪:‬‬ ‫‪0≤𝑟≤3‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫𝜋‪0 ≤ 𝜃 ≤ 2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 ≤ 𝑧 ≤ 9 − 𝑥 2 + 𝑦2 = 9 − 𝑟2‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= 𝑧𝑑 𝜃 ‪𝑟 3 �𝑐𝑜𝑠 2‬‬ ‫‪9−𝑟 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9𝑟 4 𝑟 6‬‬ ‫𝜃 𝑠𝑜𝑐 𝜃𝑑‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑟𝑑‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫𝜃𝑑‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= 𝑧𝑑 𝑟 𝜃 ‪𝑟 2 �𝑐𝑜𝑠 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= 𝑟𝑑 𝑟 ‪�𝑐𝑜𝑠 𝜃 9𝑟 −‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫𝜋‪= 60.75‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪9−𝑟 2‬‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫𝜃𝑑‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪6‬‬ ‫𝜃𝑑‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫𝑟 ‪𝑑𝑟 𝑟 �𝑐𝑜𝑠 𝜃 9 −‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜃‪1 + cos 2‬‬ ‫𝜃‪sin 2‬‬ ‫‪𝑑𝜃 = 30.375 𝜃 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑟𝑑‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 ‪𝑥 2‬‬ ‫𝜃𝑑‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝜃 = 60.75‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫‪= 60.75‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬ ‫שימושים של אינטגרל משולש‬ ‫‪ .1‬חישוב נפחים – נפח של גוף 𝐺 נתון ע"י‪:‬‬ ‫=𝑉‬ ‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪ .2‬מסה של גוף – אם לגוף יש צפיפות שאינה קבועה במרחב 𝐷‪ ,‬נגדיר פונקציית‬ ‫צפיפות התלויה בקואורדינטות 𝑥‪ 𝑦 ,‬ו‪ 𝑧 -‬ע"י‪:‬‬ ‫נתונה ע"י‪:‬‬ ‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑧 ‪ 𝜌 𝑥, 𝑦,‬כך שהמסה הכוללת שלו‬ ‫=𝑀‬ ‫𝐷‬ ‫מרכז הכובד של הגוף מתקבל בנקודה‬ ‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑥𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝐷‬ ‫;‬ ‫= ‪𝑥0‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0‬‬ ‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑦𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝐷‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫= ‪𝑦0‬‬ ‫;‬ ‫𝐷‬ ‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑧𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝐷‬ ‫= ‪𝑧0‬‬ ‫𝐷‬ ‫תרגילים‬ ‫‪ .1‬חשב 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑦𝑥 𝑛𝑖𝑠𝑧𝑥‬ ‫‪ .2‬חשב 𝑉𝑑𝑦‪3‬‬ ‫כאשר‬ ‫𝐷‬ ‫‪,0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 ,0 ≤ 𝑧 ≤ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫≤ 𝑥 ≤ | 𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬ ‫= 𝐷‪.‬‬ ‫כאשר 𝐷 מוגבל ע"י הגליל ‪ 𝑧 = 1 − 𝑥 2‬והמישורים ‪𝑦 = 0 ,𝑧 = 0‬‬ ‫𝐷‬ ‫ו‪. 𝑧 + 𝑦 = 2 -‬‬ ‫‪ .3‬חשב 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧𝑦𝑥‬ ‫𝐷‬ ‫כאשר ‪𝑥, 𝑦, 𝑧 |𝑥 2 + 𝑥 2 + 𝑥 2 ≤ 0, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 ≥ 𝑧 ≥ 0‬‬ ‫= 𝐷‪.‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3−2‬‬ ‫𝜋‪4‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪368‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪36‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬