2 - ‫מתמטיקה בהישג יד‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ (a + b)2 = a2 + 2ab +b2 a – b = (a + b)(a – b) 2 2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 −b ±  b −4ac X 1,2= 2a 2 www.heisegyad.co.il ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫תזכורת‪ :‬פתיחת סוגריים באמצעות הנוסחה‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫‪(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪(3x + 2)2 = 9x2 + 12x + 4‬‬ ‫‪(x - 4)2 = x2 - 8x + 16‬‬ ‫פתחו סוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר‪:‬‬ ‫= ‪(2x - 4)2‬‬ ‫= ‪(x - 3)2‬‬ ‫= ‪(x + 4)2‬‬ ‫= ‪(2x - 3)2‬‬ ‫= ‪(x - 4)2‬‬ ‫= ‪(x + 5)2‬‬ ‫= ‪(3x + 5)2‬‬ ‫= ‪(x - 7)2‬‬ ‫= ‪(x + 9)2‬‬ ‫= ‪(3x + 2)2‬‬ ‫= ‪(x - 8)2‬‬ ‫= ‪(x + 10)2‬‬ ‫= ‪(3x - 9)2‬‬ ‫= ‪(2x + 5)2‬‬ ‫= ‪(x + 1)2‬‬ ‫= ‪(5x - 1)2‬‬ ‫= ‪(3x + 6)2‬‬ ‫= ‪(x + 6)2‬‬ ‫= ‪(4x - 3)2‬‬ ‫= ‪(4x + 7)2‬‬ ‫= ‪(x + 7)2‬‬ ‫פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬ ‫‪(6) x(x – 3) = (x – 2)2 + 1‬‬ ‫)‪(1) (x + 3)2 = x(x - 3‬‬ ‫‪(2) x(x - 1) = (x + 2)2 + 1‬‬ ‫)‪(3) (x - 4)2 = 6 -x(3 - x‬‬ ‫‪(4) (x + 2)2 = x2 + 12‬‬ ‫‪(5) (x + 4)2 -5x = 4 + x2‬‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫‪ © 1‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים‪:‬‬ ‫)‪x2 + 3x = x(x + 3‬‬ ‫)הגורם המשותף הוא – ‪(x‬‬ ‫)‪5x + 10 = 5(x + 2‬‬ ‫)הגורם המשותף הוא ‪(5 -‬‬ ‫הוציאו גורם משותף מחוץ לסוגריים‪:‬‬ ‫= ‪2t2 - 4t‬‬ ‫= ‪5x + 10‬‬ ‫= ‪3x + 3‬‬ ‫= ‪2t2 + 8t‬‬ ‫= ‪4x2 + 6x‬‬ ‫= ‪4x + 8‬‬ ‫= ‪t3 - t2‬‬ ‫= ‪-x2 + 6x‬‬ ‫= ‪-2x + 10‬‬ ‫= ‪t5 + t4‬‬ ‫= ‪15x + 25‬‬ ‫= ‪10x + 15‬‬ ‫= ‪3t4 - t3‬‬ ‫= ‪-5x + x2‬‬ ‫= ‪-5x + 20‬‬ ‫= ‪2x3 + 4x2 - x‬‬ ‫= ‪4x3 - 4x‬‬ ‫= ‪4x - 20‬‬ ‫= ‪4x3 – x2 + 6x‬‬ ‫= ‪x4 + 5x2‬‬ ‫= ‪x2 + 3x‬‬ ‫העשרה – שיטה להכפלה ב ‪:5 -‬‬ ‫מכפילים ב‪ 10 -‬ומחלקים בשניים )מכיוון ש‪ 5 -‬הוא חצי מ‪.(10 -‬‬ ‫לדוגמה‪5•12 = 60 :‬‬ ‫‪ 12‬כפול ‪ 10‬הם ‪ 120‬ולכן התשובה היא ‪ 60) 60‬הם חצי מ‪. (120 -‬‬ ‫דוגמה נוספת‪5•16 = 80 :‬‬ ‫‪ 16‬כפול ‪ 10‬הם ‪ .160‬ולכן התשובה היא ‪ 80) 80‬הם חצי מ‪. (160 -‬‬ ‫נסו בעצמכם ללא שימוש במחשבון‪:‬‬ ‫= ‪(7) 5 • 47‬‬ ‫= ‪(5) 5 • 23‬‬ ‫= ‪(3) 5 • 11‬‬ ‫= ‪(1) 5 • 13‬‬ ‫= ‪(8) 5 • 58‬‬ ‫= ‪(6) 5 • 30‬‬ ‫= ‪(4) 5 • 15‬‬ ‫= ‪(2) 5 • 14‬‬ ‫‪ © 2‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫תשובות‪290 (8 , 235 (7 , 150 (6 , 115 (5 , 75 (4 , 55 (3 , 70 (2 , 65 (1 :‬‬ ‫‪ © 3‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫צמצום באמצעות פירוק לגורמים‪:‬‬ ‫‪3x12 3x4‬‬ ‫=‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫תרגול‪:‬‬ ‫‪−3x−9‬‬ ‫=‬ ‫‪x3‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫‪2x8‬‬ ‫=‬ ‫‪x 4‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫=‬ ‫‪2x−4‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫‪3x−9‬‬ ‫=‬ ‫‪x −3‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫=‬ ‫‪4x−4‬‬ ‫)‪(7‬‬ ‫‪4x−16‬‬ ‫=‬ ‫‪x−4‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪x 4‬‬ ‫=‬ ‫‪2x8‬‬ ‫)‪(8‬‬ ‫‪2x−16‬‬ ‫=‬ ‫‪x−8‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫שיטה להכפלה ב‪ :15 -‬מכפילים כפול ‪ 10‬ומוסיפים חצי מהתשובה )מכיוון ש‪ 5 -‬הוא חצי מ‪.(10 -‬‬ ‫לדוגמה‪15•7 = 105 :‬‬ ‫‪ 7‬כפול ‪ 10‬הם ‪ 70‬מוסיפים עוד ‪ 35) 35‬הוא חצי מ‪ (70 -‬ןמקבלים ‪.105‬‬ ‫דוגמה נוספת‪15•16 = 240 :‬‬ ‫‪ 16‬כפול ‪ 10‬הם ‪ .160‬מוסיפים עוד ‪ 80) 80‬הוא חצי מ‪ (160 -‬ומקבלים ‪.240‬‬ ‫נסו בעצמכם ללא שימוש במחשבון‪:‬‬ ‫= ‪(13) 15 • 47‬‬ ‫= ‪(11) 15 • 23‬‬ ‫= ‪(9) 15 • 11‬‬ ‫= ‪(7) 15 • 9‬‬ ‫= ‪(14) 15 • 58‬‬ ‫= ‪(12) 15 • 30‬‬ ‫= ‪(10) 15 • 15‬‬ ‫= ‪(8) 15 • 12‬‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫‪1) 2 , 2) 3 , 3) 4 , 4) 2 , 5) -3 , 6) 0.5 , 7) 0.25 , 8) 0.5‬‬ ‫‪ © 4‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫חזרה ‪ -‬פתרון משוואה ריבועית מהסוג‪ax2 + bx + c = 0 :‬‬ ‫‪3x2 - 3x = 4 - 2x‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪3x2 - 3x + 2x - 4 = 0‬‬ ‫נעביר את כל האיברים לאגף שמאל ונשווה ל ‪:0 -‬‬ ‫‪3x2 - x - 4 = 0‬‬ ‫זיהוי המקדמים‪:‬‬ ‫הצבה בנוסחה‪:‬‬ ‫‪−b ±  b2 −4ac‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪a = 3 , b = -1 , c = -4‬‬ ‫‪−−1±  −12−4• 3•−4 1 ± 7‬‬ ‫=‪X 1, 2‬‬ ‫=‬ ‫‪2 •3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‪X 1,2‬‬ ‫‪1−7‬‬ ‫‪=−1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‪X 2‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪X 1‬‬ ‫פתרו את המשוואות שלפניכם‪:‬‬ ‫‪4x 24x1‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫‪3x−1‬‬ ‫)‪(8‬‬ ‫‪(1) x2 – 7x + 12 = 0‬‬ ‫)‪(9‬‬ ‫‪(2) x2 + x - 6 = 0‬‬ ‫)‪(10‬‬ ‫‪(3) x2 + 5x + 4 = 0‬‬ ‫)‪(11‬‬ ‫‪(4) 2x2 – 6x + 4 = 0‬‬ ‫)‪(12‬‬ ‫‪(5) 3x2 – 3x - 18 = 0‬‬ ‫)‪(13‬‬ ‫‪(6) 2x2 + 11x + 5 = 0‬‬ ‫)‪(14‬‬ ‫)‪(7) (x + 1)2 + 2x(x – 3) = 2(x + 5‬‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫‪1) x = 3 , 4 , 2) x = 2 , -3 , 3) x = -1 , -4 , 4) x = 2 , 1 , 5) x = -2 , 3 , 6) x = -5 , -0.5‬‬ ‫‪7) x = 3 , -1 , 8) x = 2 , 0.75 , x ≠ -1/3‬‬ ‫‪ © 5‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫שרטוט פרבולות‪:‬‬ ‫הגרף של פונקציה ריבועית נקרא "פרבולה"‬ ‫א‪ .‬נקודות החיתוך עם הצירים‬ ‫נתבונן בפרבולה המתארת את הפונקציה הריבועית‪y = x2 – x – 2 :‬‬ ‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על ציר ‪) y‬ולכן ‪( x = 0‬‬ ‫)‪C (0, -2‬‬ ‫‪y = (0)2 - (0) - 2 = -2‬‬ ‫הנקודות ‪ A‬ו‪ , B -‬נמצאות על ציר ה‪) x -‬ולכן ‪( y = 0‬‬ ‫‪x2 – x – 2 = 0‬‬ ‫‪2- = c , 1- = b , 1 = a‬‬ ‫‪−−1± −12−4• 1•−2 1± 3‬‬ ‫=‬ ‫‪2 •1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪B (2, 0‬‬ ‫)‪A (-1, 0‬‬ ‫‪1−3‬‬ ‫‪=−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪X 2‬‬ ‫=‪X 1, 2‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪X 1‬‬ ‫תרגול‪:‬‬ ‫)‪ (1‬לפניכם גרף הפונקציה‪y = x2 - 5x + 6 :‬‬ ‫מצאו את שיעורי הנקודות ‪ B , A‬ו‪. C -‬‬ ‫)‪ (2‬לפניכם גרף הפונקציה ‪y = -x2 + 4x - 4‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו – ‪. B‬‬ ‫ב‪ .‬מהו מרחק הנקודה ‪ A‬מראשית הצירים ?‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫א‪B(2, 0) .‬‬ ‫)‪ , A(0, -4‬ב‪ 4 .‬יח'‬ ‫)‪1) A(0, 6) B(2, 0) C(3, 0) , 2‬‬ ‫‪ © 6‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫ב‪ .‬שיעורי נקודת קודקוד הפרבולה‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את שיעורי נקודת קודקוד הפרבולה של הפונקציה‪y = x – 6x + 8 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ .‬סרטטו את גרף הפונקציה על גבי מערכת צירים‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬נקודת החיתוך עם ציר ‪y‬‬ ‫)‪(x=0‬‬ ‫‪y = (0)2 – 6•(0) + 8 = 8‬‬ ‫נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ‪( y = 0 ) x‬‬ ‫)‪(0 , 8‬‬ ‫‪0=x 2−6x8‬‬ ‫‪a = 1 , b = -6 , c = 8‬‬ ‫‪−−6±  −62−4 •1 •8 6 ± 2‬‬ ‫=‪X 1, 2‬‬ ‫=‬ ‫‪2 •1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6−2‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(2 , 0) , (4 , 0‬‬ ‫=‪X 2‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪X 1‬‬ ‫נקודת החיתוך עם ציר ‪ y‬היא‪ , (0 , 8) :‬נקודות החיתוך עם ציר ‪ x‬הן‪(4 , 0) , (2 , 0) :‬‬ ‫נסמן‪ :‬שיעור ה‪ x -‬של קודקוד הפרבולה ק ‪ , X‬שיעור ה‪ y -‬של קודקוד הפרבולה ק ‪Y‬‬ ‫קודקוד הפרבולה נמצא באמצע הקטע‪ ,‬שבין שתי נקודות החיתוך עם ציר ה‪x -‬‬ ‫ב‪ .‬נחשב את שיעור שיעור ה‪ x -‬של קודקוד הפרבולה‪:‬‬ ‫נחשב את שיעור ה‪ y -‬של קודקוד הפרבולה‪:‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=ק ‪X‬‬ ‫‪ =32−6 •38=−1‬ק‪Y‬‬ ‫כלומר‪ ,‬קיבלנו שקודקוד הפרבולה נמצא בנקודה )‪(3 , -1‬‬ ‫נסמן את ‪ 4‬הנקודות שמצאנו על גבי מערכת צירים‪:‬‬ ‫עיברו על הקו המקווקו ושרטטו את הפרבולה‪.‬‬ ‫סרטטו את הגרפים של הפונקציות הבאות‪ ,‬בעזרת נקודות החיתוך עם הצירים וקודקוד הפרבולה‪:‬‬ ‫‪(5) y = -x2 - 6x‬‬ ‫‪(3) y = x2 - 4‬‬ ‫‪(1) y = x2 – 6x + 5‬‬ ‫‪(6) f(x) = -x2 + 9‬‬ ‫‪(4) f(x) = x2 - 4x‬‬ ‫‪(2) f(x) = -x2 – 6x -5‬‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫)‪1) (5 , 0) (1 , 0) (0 , 5) , (3 , -4) , 2) (-1 , 0) (-5 , 0) (0 , -5) , (-3 , 4‬‬ ‫)‪3) (2 , 0) (-2 , 0) (0 , -4) , (0 , -4) , 4) (0 , 0) (4 , 0) (0 , 0) , (2 , -4‬‬ ‫)‪5) (0 , 0) (-6 , 0) (0 , 0) , (-3 , 9) , 6) (3 , 0) (-3 , 0) (0 , 9) , (0 , 9‬‬ ‫‪ © 7‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫קריאה וכתיבה של אי שיויונים‪:‬‬ ‫" ‪ x‬גדול מ‪ " 3 -‬בכתיב מתמטי‪:‬‬ ‫‪ x > 3‬ובסימון גרפי‪:‬‬ ‫"‪ x‬קטן מ‪ " 2 -‬בכתיב מתמטי‪x < 2 :‬‬ ‫ובסימון גרפי‪:‬‬ ‫" ‪ x‬גדול מ‪ 1 -‬וקטן מ‪ " 5 -‬בכתיב מתמטי‪ 1 < x < 5 :‬ובסימון גרפי‪:‬‬ ‫סמנו באופן גרפי את אי השויונים הבאים‪:‬‬ ‫‪(5) -2 < x < 4‬‬ ‫‪(1) x > 4‬‬ ‫‪(6) x > -3‬‬ ‫‪(2) x < 1‬‬ ‫‪(7) x < 8‬‬ ‫‪(3) 2 < x < 7‬‬ ‫‪(8) x > 0‬‬ ‫‪(4) x < -2‬‬ ‫תארו בכתיב מתמטי את המשמעות של הגרפים הבאים‪:‬‬ ‫)‪(12‬‬ ‫)‪(9‬‬ ‫)‪(13‬‬ ‫)‪(10‬‬ ‫)‪(14‬‬ ‫)‪(11‬‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫‪9) -1 < x < 3 , 10) x > -2 , 11) x < 0 , 12) 2 < x < 6 , 13) x < -4 , 14) x > 5‬‬ ‫‪ © 8‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫תחומי עלייה וירידה של הפרבולה‪:‬‬ ‫גרף הפונקציה יורד עד ל‪x = 2 :‬‬ ‫כלומר‪ ,‬הפונקציה יורדת בתחום‪x < 2 :‬‬ ‫הגרף עולה מ‪ x = 2 :‬ואילך‬ ‫כלומר‪ ,‬הפונקציה עולה בתחום‪x > 2 :‬‬ ‫רשמו את תחום העלייה ואת תחום הירידה של הפרבולות הבאות‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫א‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬ ‫א‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬ ‫__________‬ ‫_________‬ ‫ב‪ .‬תחום ירידה‪:‬‬ ‫ב‪ .‬תחום ירידה‪:‬‬ ‫__________‬ ‫_________‬ ‫)‪(2‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫א‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬ ‫א‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬ ‫_________‬ ‫_________‬ ‫ב‪ .‬תחום ירידה‪:‬‬ ‫ב‪ .‬תחום ירידה‪:‬‬ ‫_________‬ ‫_________‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫‪(1‬א‪ x > -2 .‬ב‪x < -2 .‬‬ ‫‪ (4‬א‪ x > 1 .‬ב‪x < 1 .‬‬ ‫‪ (2‬א‪ x < 2 .‬ב‪x > 2 .‬‬ ‫‪ (3‬א‪ x > 3 .‬ב‪x < 3 .‬‬ ‫‪ © 9‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫תחומי חיוביות ושליליות של הפרבולה‪:‬‬ ‫הפרבולה בעלת ערך חיובי כאשר היא מעל לציר ה‪x -‬‬ ‫כלומר‪ ,‬הפונקציה חיובית בתחום‪ x < 1 :‬או ‪x > 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫הפרבולה בעלת ערך שלילי כאשר היא מתחת לציר ה‪x -‬‬ ‫כלומר‪ ,‬הפונקציה שלילית בתחום‪1x3 :‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של הפרבולות הבאות‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫א‪ .‬תחום חיובי‪:‬‬ ‫א‪ .‬תחום חיובי‪:‬‬ ‫__________‬ ‫_________‬ ‫ב‪ .‬תחום שלילי‪:‬‬ ‫ב‪ .‬תחום שלילי‪:‬‬ ‫__________‬ ‫_________‬ ‫)‪(2‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫א‪ .‬תחום חיובי‪:‬‬ ‫א‪ .‬תחום חיובי‪:‬‬ ‫_________‬ ‫________‬ ‫ב‪ .‬תחום שלילי‪:‬‬ ‫ב‪ .‬תחום שלילי‪:‬‬ ‫_________‬ ‫________‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫>‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫<‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪(2 ,‬א‪ -4 < x < 0 .‬ב‪.‬‬ ‫‪(1‬א‪ x > 1 , x < -2 .‬ב‪.‬‬ ‫‪(3‬א‪ x > 3 , x < 3 .‬ב‪ .‬אין ‪(4 ,‬א‪ 1 < x < 5 .‬ב‪x > 5 , x < 1 .‬‬ ‫‪ © 10‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫יחס הדדי בין פרבולה וישר )לא מוכן(‬ ‫על גבי מערכת צירים נצייר את הגרפים‬ ‫של הפרבולה‪y = x2 - x - 2 :‬‬ ‫ושל הישר‪:‬‬ ‫‪y=x+1‬‬ ‫נמצא את נקודות החיתוך בין שני הגרפים‪:‬‬ ‫‪y=y‬‬ ‫‪x2 - x - 2 = x + 1‬‬ ‫‪x2 - x - x - 2 -1 = 0‬‬ ‫‪x2 - 2x - 3 = 0‬‬ ‫‪a = 1 , b = -2 , c = -3‬‬ ‫‪−−2 ± −22−4• 1•−3 2 ± 4‬‬ ‫=‪X 1, 2‬‬ ‫=‬ ‫‪2 •1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2−4‬‬ ‫‪=−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪X 1‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪X 1‬‬ ‫כעת נציב את הערכים של ‪ X‬באחת‬ ‫הפונקציות ונחשב את הערכים של ‪:Y‬‬ ‫‪y=x+1‬‬ ‫‪y2 = -1 + 1 = 0‬‬ ‫‪y1 = 3 + 1 = 4‬‬ ‫)‪(3 ,4) (1- ,0‬‬ ‫תרגול ‪ -‬באיזה תחום הפונקציה ‪h(x) > f(x) s‬‬ ‫‪(1) y = x2 + 3x - 4 , y = 3x - 4‬‬ ‫‪(2) y = 2x2 - x + 1 , y = 3x - 1‬‬ ‫‪(3) y = 3x2 + 2x - 3 , y = -10x - 15‬‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫‪ © 11‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫משוואות בשני נעלמים ממעלות שונות )לא מוכן(‬ ‫‪ © 12‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫ביטויים אלגבריים – תרגול מסכם‪:‬‬ ‫‪8x 28x2‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪6x3‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪2x 2−16x32‬‬ ‫‪=8‬‬ ‫‪x−4‬‬ ‫)‪(x + 2)2 – (3x +1)(3x -1) = 7(x – 3‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫‪(3) x = -2 , x = 1.625‬‬ ‫‪(2) x = 4‬‬ ‫‪(1) x = 8‬‬ ‫‪ © 13‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫לפניכם גרף הפונקציה ‪y = x2 - 3x :‬‬ ‫א‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה חיובית ?‬ ‫ב‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית ?‬ ‫)‪(6‬‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫)‪ (5‬לפניכם גרף הפונקציה‪y = 3x2 – 15x + 12 :‬‬ ‫א‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה חיובית ?‬ ‫ב‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית ?‬ ‫)‪ (7‬גרף הפרבולה שלפניכם מתאר את הפונקציה‬ ‫גרף הפונקציה הריבועית ‪y = x2 - 4‬‬ ‫הריבועית ‪y = x2 + 4x + 3‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה‬ ‫עם ציר ה‪. y -‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו את נקודות החיתוך של גרף‬ ‫הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬ ‫א‪ .‬מהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‬ ‫ב‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית‬ ‫ג‪ .‬רשמו שני ערכי ‪ x‬שבהן הפונקציה חיובית‬ ‫)‪(8‬‬ ‫להלן גרף הפרבולה‪y = -x2 - 6x -9 :‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את נקודת החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהו הערך המקסימלי של הפונקציה ?‬ ‫ג‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית ?‬ ‫ד‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה עולה ?‬ ‫)‪ (9‬נתונה הפונקציה‪f(x) = x2 + x - 6 :‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את נקודות החיתוך של הפונקציה עם‬ ‫הצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה חיובית ?‬ ‫ג‪ .‬רשמו ערך אחד של ‪ , x‬שבו הפונקציה חיובית‬ ‫וערך נוסף שבו הפונקציה שלילית‪.‬‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫)‪(2, 0) (-2 , 0‬‬ ‫‪(5) x < 1 x > 4 , 1 < x < 4 (6) (0, -4) ,‬‬ ‫‪(8) (-3, 0) , (0 , -9) , y = 0 , x ≠ 3 , x < - 3‬‬ ‫‪(4) x < 0 x > 3 , 0 < x < 3‬‬ ‫)‪(7) (0, 3) , (-3, 0) , (-1, 0‬‬ ‫‪(9) (0, -6) , (-3 , 0) , (2, 0) , x < -3 , x > 2‬‬ ‫‪ © 14‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬ ‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬ ‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬ ‫)‪ (10‬נתונה הפונקציה ‪y = (x + 1)(x - 3) d :‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים‬ ‫וציירו את הפרבולה‪.‬‬ ‫דודו גולדשטיין‬ ‫‪y = -x2 + 2x + 8‬‬ ‫)‪ (11‬לפניכם תיאור הפונקציה‪:‬‬ ‫נתון שהקטע ‪ DC‬מקביל לציר ‪.x‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים ואת‬ ‫ב‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית ?‬ ‫שיעורי הנקודה ‪.c‬‬ ‫ג‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה יורדת ?‬ ‫ב‪ .‬חשבו את שטח המשולש ‪. ADB‬‬ ‫ד‪ .‬מהו הערך המינימלי של הפונקציה ובאיזה‬ ‫ג‪ .‬חשבו את שטח הטרפז ‪. ADCB‬‬ ‫נקודה הוא מתקבל ?‬ ‫)‪ (12‬נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪f(x) = -x2 + 6x - 10‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את שיעורי הקודקוד של הפונקציה‬ ‫ב‪ .‬הסבירו מדוע גרף הפונקציה אינו חותך‬ ‫את ציר ה‪.x -‬‬ ‫)‪ (13‬לפניכם גרף הפרבולה‪f(x) = -x2 + 4x - 4 :‬‬ ‫וגרף הישר‪h(x) = - x :‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את נקודות החיתוך בין שני הגרפים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬עבור אילו ערכים מתקיים ‪f(x) > h(x) a‬‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫)‪(10) (0, -3) , (-1, 0) , (3, 0) , -1 < x < 3 , x < 1 , (1 , -4‬‬ ‫לא ‪(12) (3, -1) ,‬‬ ‫‪(11) (0, 8) , (-2, 0) , (4, 0) , (2, 8) , S1 = 24 , S2 = 32‬‬ ‫‪(13) (1, -1) , (4, -4) , 1 < x < 4‬‬ ‫‪ © 15‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬