1. No category

‫מתמטיקה דיסקרטית – גליון תרגילים מספר ‪1‬‬
‫‪a n +1 − 1‬‬
‫‪ .1‬הוכיחו באינדוקציה את נוסחת הטור הגיאומטרי‪:‬‬
‫‪a −1‬‬
‫לכל מספר ממשי ‪. a ≠ 0,1‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪∑ a i ≡ a 0 + a1 + L + a n‬‬
‫‪i =0‬‬
‫‪ .2‬הוכיחו באינדוקציה‪ :‬לכל ‪ n‬טבעי אי‪-‬זוגי‪ ,‬ולכל ‪ a‬ו‪ b‬טבעיים‪ ,‬הביטוי ‪ an+bn‬מתחלק ב‪a+b‬‬
‫ללא שארית‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬הוכיחו בעזרת אינדוקציה שלמה‪ ,‬שכל מספר טבעי ‪ n>1‬ניתן לרשום כמכפלה של מספרים‬
‫ראשוניים‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫ב‪ .‬מספרי פרמה )‪ (Fermat numbers‬הם מהצורה ‪ , Fn = 2 2 + 1‬עבור …‪.n=0,1,2‬‬
‫‪n −1‬‬
‫הוכיחו באינדוקציה‪≡ F0 ⋅ F1 ⋅ K ⋅ Fn −1 = Fn − 2 :‬‬
‫‪∏F‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k =0‬‬
‫ג‪ .‬העזרו בסעיף ב' כדי להראות שעבור ‪ , m ≠ n‬ל‪ Fm‬ול‪ Fn‬אין מחלק משותף‪ .‬הסיקו כי קיימים‬
‫אינסוף מספרים ראשוניים‪.‬‬
‫‪ .4‬במלבן מעבירים מספר סופי של קוים ישרים‪ ,‬ובכך מחלקים אותו לאזורים‪) .‬כל אחד מהקוים‬
‫חוצה את כל המלבן‪ ,‬ואינו נעצר באמצע‪ (.‬הוכח באינדוקציה שאפשר לצבוע כל אזור באחד‬
‫משני צבעים‪ ,‬כך ששני אזורים שנוגעים לאורך קטע )לא נקודה( יהיו בצבעים שונים‪.‬‬
‫‪ .5‬הוכח שלכל ‪ n‬מתקיים‪:‬‬
‫א‪) 11 | 10 2 n + 2 ⋅ 10 n + 1 .‬לכל ‪ n‬טבעי אי‪-‬זוגי(‬
‫ב‪7 | 5 ⋅ 3 4 n +1 − 2 2 n .‬‬
‫ג‪9 | 4 4 n − 3n − 1 .‬‬
2005 ,zihxwqic dwihnzna 1 libxz oexzt
:lawp
n=0
xear . n lr divwecpi`a zrvazn dgkedd .1
1 = a0 =
.n+1 xear dze` gikepe itivtq
a1 − 1
=1
a−1
n xear dpekp dprhdy gipp ,divwecpi`d alya
:okae
n+1
X
ai
n
X
=
ai + an+1
i=0
n+1
i=0
−1
+ an+1
a−1
an+1 − 1 + an+2 − an+1
an+2 − 1
=
a−1
a−1
a
=
=
.yweank
dze` gikepe itivtq
n
xear dpekp dprhdy gipp .dxexa dprhd , n
a=b
cibp ,mipey mdy gipdl xyt` okl .dheyt dprhd f`
:zrk .b
an+2 + bn+2
=
=
=
+ ba
=1
+2
(zeillkd zlabd `ll)
a + ba
wlgzn oey`xd iehiad zrk
wlgzn mekqd okl (.iaeig mb `ede)
a + ba
z` meyxl ozipy miiwzn , m
wlgzn
< n lkly gipp .divwecpi`a dgkedd
n xear dprhd z` gikep zrk .miipey`x ly dltknk m
xear n = m1 m2 miiwzn ,zxg` .wexit envrl deedn `ed f` ipey`x
xeza m2 z`e m1 z` meyxl ozip ,divwecpi`d zgpdn . m1 , m2 < n
.n ly wexit aipn m2 e m1 ly miwexitd xeyxy .miipey`x ly dltkn
n
xear .2
xear
(an + bn )a2 + bn+2 − a2 bn
(an + bn )a2 + bn (b2 − a2 )
(an + bn )a2 + bn (b − a)(a + b)
i`cea ipyd iehiade ,divwecpi`d zgpdn
.a
> ay
m` .n
.3
(a)
m` .envr
:wecap
0
1
F0 = 22 + 1 = 3 = 22 + 1 − 2 = F1 − 2
1
n=1
xear (b)
:okae . n
+1
xear dze` gikepe , n xear dprhd zepekp z` gipp zrk
n+1−1
Y
Fi
= Fn
i=0
n−1
Y
Fi
i=0
= (Fn − 2)Fn = Fn 2 − 2Fn
n
n
= (22 + 1)2 − 2 · (22 + 1)
n
n
n
= 22 ·2 + 2 · 22 + 1 − 2 · 22 − 2
n+1
= 22
− 1 = Fn+1 − 2
`ed if` ( i
< jy
Fi z` wlgn xy` mxeb yi m`
Qj−1
− k=0 Fk = 2 z` mb wlgn
(envr `edy okzii) cg` ipey`x mxeb zegtl yi Fi lkly o`kn .dfk mxeb
.miipey`x seqpi` yi okle mi Fi seqpi` yi .xg` Fj s` lv` riten epi`y
k"da gipp)
Fj
z`e
(c)
oi` okle miibefi` md mi Fi d lk la` . Fj
rvap
.dxexa dprhd (oalna exared miew 0 `"f) cg` xefi` mr oaln xear .4
,eze` lhap ,edylk cg` ew xgap jk myl .oalna miewd xtqn lr divwecpi`
mixef`d (.divwecpi`d zgpd jnq lr) eicrla mdy itk mixef`d z` ravpe
,eizgzny dl` ,ewd
“lrn”y
dl` :mibeq dyelyn cg`l miltep eply oalna
jetdp ;eidy itk x`yp ewd lrn xy` mixef`d lk z` .ewd i"r mivgpy dl`e
xy` mixefi`d z`e —jtdle oall xegyn —ewl zgzn mixef`d ly ravd z`
ravae ewd lrny ivga ixewnd rava ,ywaznd ote`a ravp ewd i"r mivgp
ik ,ewd i"r mivgpy mixef`a wx zexwl dleki dxizq .zgzny ivga jetdd
my oi` ok`y xexa diipadne ,divwecpi`d zgpdn oiwz `ed oalnd x`y lk
(.rav eze`n mikenq mixef` bef `"f) dxizq
.jynda lln ly menipin yi okle ,oeirx eze` ixg` zeawer zegkedd lk .5
(a)
n = 1 : 102 + 2 · 10 + 1 = 121 = 112
:n
→n+2
102n+4 + 2 · 10n+2 + 1 = 104 · (102n + 2 · 10n + 1) − 18 · 11 · 10n − 909 · 11
(b)
n = 0 : 5 · 31 − 20 = 14 = 2 · 7
:n
5 · 34n+5 − 22n+2
→n+1
= 34 · (5 · 34n+1 − 22n ) + (81 − 4)22n
= 34 · (5 · 34n+1 − 22n ) + 11 · 7 · 22n
2
(c)
n = 0 : 40 − 3 · 0 − 1 = 0
:n
44n+4 − 3(n + 1) − 1
→n+1
= 44 · (44n − 3n − 1) + 3 · (44 − 1)n − 3 − 1 + 44
= 44 · (44n − 3n − 1) + 85 · 9n + 28 · 9
3
‫תרגיל מס' ‪ 2‬במתמטיקה דיסקרטית‬
‫‪ .1‬הוכיחו את הזהויות הבאות‪ ,‬הן באמצעות ציור והן בכתיבה מפורשת‪:‬‬
‫א‪.A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) .‬‬
‫ב‪.A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) .‬‬
‫ג‪) A∩(B∆C) = (A∩B)∆(A∩C) .‬ראו הגדרה בשאלה ‪.(3‬‬
‫ד‪.A∪(B\C) = (A∪B)\(C∩Ac) .‬‬
‫ה‪.A\(B\C) = (A\B)∪(A∩C) .‬‬
‫ו‪) (A∆B)×C = (A×C)∆(B×C) .‬ראו הגדרה בשאלה ‪.(3‬‬
‫ז‪.(A×A)\(B×C) = (A\B)×(A\C) .‬‬
‫‪ .2‬תהיינה ‪ .A⊆B , C⊆D‬הוכיחו את הטענות הבאות‪:‬‬
‫א‪.A∪C ⊆ B∪D .‬‬
‫ב‪.A∩C ⊆ B∩D .‬‬
‫ג‪.A×C ⊆ B×D .‬‬
‫‪ .3‬יהיו ‪ A,B‬קבוצות‪ .‬נגדיר את ההפרש הסימטרי ביניהן כך‪:‬‬
‫)‪A∆B = (A\B)∪(B\A‬‬
‫)כאשר }‪(A\B = {x: x∈A, x∉B‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו כי )‪.A∆B = (A∩Bc)∪(B∩Ac‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו כי לכל שלוש קבוצות ‪ A,B,C‬מתקיים‪.(A∆B)∆C = A∆(B∆C) :‬‬
‫ג‪ .‬הוכיחו כי לכל ‪ n‬טבעי ‪ x∈A1∆A2∆…∆An‬אם"ם ‪ x‬שייך למספר אי‪-‬זוגי של קבוצות ‪.Ai‬‬
‫)לאור סעיף א'‪ ,‬אכן השמטת הסוגריים בביטוי הנ"ל מוצדקת(‪.‬‬
‫‪ .4‬יהיו ‪ A,B,C‬קבוצות סופיות‪ ,‬הוכיחו‪:‬‬
‫|‪|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C‬‬
‫)רשמו הוכחה מסודרת‪ ,‬אל תסתפקו בציור!(‪.‬‬
‫‪ .5‬יחס ‪ R‬נקרא יחס שקילות על קבוצה ‪ A‬אם הוא מקיים את ‪ 3‬התכונות הבאות‪:‬‬
‫)‪ (i‬רפלקסיביות‪ aRa :‬לכל ‪.a∈A‬‬
‫)‪ (ii‬סימטריות‪.bRa ⇐ aRb :‬‬
‫)‪ (iii‬טרנזיטיביות‪.aRc ⇐ bRc , aRb :‬‬
‫א‪ .‬יהי ‪ n≥2‬מספר טבעי‪ .‬נגדיר את היחס הבא על קבוצת המספרים השלמים ‪ aRb :Z‬אם"ם )‪.n|(a-b‬‬
‫הוכיחו כי ‪ R‬יחס שקילות‪.‬‬
‫ב‪ .‬נגדיר תת‪-‬קבוצה של ‪ A×A‬ע"י }‪ .D={(a,a): a∈A‬הוכיחו כי ‪ D‬יחס שקילות‪.‬‬
‫ג‪ .‬יחס ‪ R‬נקרא אנטי‪-‬סימטרי אם ‪.b=a ⇐ bRa , aRb‬‬
‫הוכיחו כי אם יחס ‪ R⊆A×A‬הוא גם סימטרי וגם אנטי‪-‬סימטרי‪ ,‬אזי ‪.R⊆D‬‬
‫בהצלחה! ☺‬
‫פתרון תרגיל מס' ‪ 2‬במתמטיקה דיסקרטית‬
‫שאלה ‪) 1‬פתרונות לסעיפים נבחרים(‪:‬‬
‫סעיף א'‪:A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) :‬‬
‫⇔ )‪x∈(A∩B)∪(A∩C) ⇔ x∈A∩B or x∈A∩C ⇔ (x∈A and x∈B) or (x∈A and x∈C‬‬
‫)‪x∈A and (x∈B or x∈C) ⇔ x∈A, x∈B∪C ⇔ x∈A∩(B∪C‬‬
‫סעיף ג'‪:A∩(B∆C) = (A∩B)∆(A∩C) :‬‬
‫⇔ )‪x∈ A∩(B∆C) ⇔ x∈A and x∈B∆C ⇔ x∈A and (x∈B or x∈C and x∉B∩C‬‬
‫)‪x∈A∩B or x∈A∩C and x∉A∩B∩C ⇔ x∈(A∩B)∆(A∩C‬‬
‫סעיף ו'‪:(A∆B)×C = (A×C)∆(B×C) :‬‬
‫⇔ ‪(x,c)∈(A∆B)×C ⇔ x∈A∆B, c∈C ⇔ x∈A or x∈B and x∉A∩B , c∈C‬‬
‫)‪(x,c)∈A×C or (x,c)∈B×C and (x,c)∉(A∩B)×C ⇔ (x,c)∈(A×C)∆(B×C‬‬
‫שאלה ‪ :2‬תהיינה ‪.A⊆B , C⊆D‬‬
‫א‪ :A∪C ⊆ B∪D .‬אם ‪ A⊆B‬אז ודאי ש‪ A⊆B∪D -‬ובדומה ‪ ,C⊆B∪D‬לכן‪.A∪C ⊆ B∪D :‬‬
‫ב‪) A∩C ⊆ B∩C ⊆ B∩D :A∩C ⊆ B∩D .‬ההכלה הראשונה נובעת מ‪ A⊆B -‬והשנייה מ‪.(C⊆D -‬‬
‫ג‪ :A×C ⊆ B×D .‬ניקח ‪ ,(a,c)∈A×C‬בגלל ההכלות ינבע ש‪ a∈B -‬ו‪ ,c∈D -‬לכן ‪.(a,c)∈B×D‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪:A∆B = (A∩Bc)∪(B∩Ac) .‬‬
‫די להראות כי ‪ ,A\B=A∩Bc‬וזה נכון כי‪:‬‬
‫‪x∈A\B ⇔ x∈A and x∉B ⇔ x∈A and x∈Bc ⇔ x∈A∩Bc‬‬
‫ב‪ .‬לכל שלוש קבוצות ‪ A,B,C‬מתקיים‪:(A∆B)∆C = A∆(B∆C) :‬‬
‫נוכיח למעשה כי שני האגפים שווים ל‪-‬‬
‫)‪(A∩B∩C) ∪ (A∩Bc∩Cc) ∪ (Ac∩B∩Cc) ∪ (Ac∩Bc∩C‬‬
‫נוכיח את השוויון בין הביטוי הנ"ל לאגף שמאל‪ .‬השוויון השני יתקבל באופן דומה‪.‬‬
‫)‪(A∆B)∆C = ((A∩Bc)∪(B∩Ac))∆C = (((A∩Bc)∪(B∩Ac))∩Cc) ∪ (((A∩Bc)∪(B∩Ac))c∩C‬‬
‫נפתח את שני הביטויים האחרונים בנפרד‪ ,‬ונשתמש בחוקי דה‪-‬מורגן ובסעיפי שאלה ‪:1‬‬
‫)‪((A∩Bc)∪(B∩Ac))∩Cc = (A∩Bc∩Cc) ∪ (B∩Ac∩Cc‬‬
‫•‬
‫= )‪((A∩Bc)∪(B∩Ac))c∩C = ((Ac∪B)∩(Bc∪A))∩C = ((C∩Ac)∪(C∩B)) ∩ (Bc∪A‬‬
‫•‬
‫= )‪(((C∩Ac)∪(C∩B))∩Bc) ∪ (((C∩Ac)∪(C∩B))∩A‬‬
‫)‪(C∩Ac∩Bc) ∪ (C∩B∩Bc) ∪ (C∩Ac∩A) ∪ (C∩B∩A) = (C∩Ac∩Bc) ∪ (C∩B∩A‬‬
‫)כי שתי הקבוצות האחרות הן ריקות(‪.‬‬
‫ג‪ .‬לכל ‪ n‬טבעי ‪ x∈A1∆A2∆…∆An‬אם"ם ‪ x‬שייך למספר אי‪-‬זוגי של קבוצות ‪:Ai‬‬
‫נוכיח באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫‪1‬‬
‫בסיס האינדוקציה‪ :‬עבור ‪ x∈A1 ,n=1‬אם"ם ‪ x‬שייך לקבוצה אחת בלבד‪ .‬עבור ‪ ,n=2‬מההגדרה‬
‫‪ x∈A1∆A2‬אם"ם ‪ x∈A1‬או ‪ x∈A2‬אך ‪ x‬אינו בחיתוך שלהם‪ ,‬לכן ‪ x∈A1∆A2‬אם"ם ‪ x‬שייך בדיוק‬
‫לקבוצה אחת‪ .‬עבור ‪ ,n=3‬שימו לב כי הטענה נובעת מהנוסחא שקיבלנו בסעיף הקודם‪.‬‬
‫הנחת האינדוקציה‪ x∈A1∆A2∆…∆An-1 :‬אם"ם ‪ x‬שייך למספר אי‪-‬זוגי של קבוצות ‪.Ai‬‬
‫שלב האינדוקציה‪ :‬נוכיח את הטענה עבור ‪ n‬קבוצות‪.‬‬
‫מצד‪-‬אחד‪ ,‬נניח כי ‪.x∈(A1∆A2∆…∆An-1)∆An‬‬
‫‪ x∈(A1∆A2∆…∆An-1)∆An‬אם"ם ‪ x∈(A1∆A2∆…∆An-1)/An‬או )‪.x∈An\(A1∆A2∆…∆An-1‬‬
‫במקרה הראשון‪ ,‬מהנחת האינדוקציה‪ x ,‬שייך למספר אי‪-‬זוגי של קבוצות ‪ ,(i=1,…,n-1) Ai‬ולכן‬
‫למספר אי‪-‬זוגי של קבוצות ‪ .(i=1,…,n) Ai‬במקרה השני‪ x∈An ,‬ו‪ ,x∉(A1∆A2∆…∆An-1) -‬לכן‬
‫מהנחת האינדוקציה ‪ x‬שייך למספר זוגי של קבוצות ‪ (i=1,…,n-1) Ai‬ול‪ ,An -‬ולכן בסה"כ למספר אי‪-‬‬
‫זוגי של קבוצות ‪.(i=1,…,n) Ai‬‬
‫מצד שני‪ ,‬נשים לב שאם ‪ x‬שייך למספר אי‪-‬זוגי של קבוצות ‪ ,(i=1,…,n) Ai‬אז או ש‪ x∉An -‬ו‪ x -‬שייך‬
‫למספר אי‪-‬זוגי של קבוצות ‪ (i=1,…,n-1) Ai‬ולכן ‪ ,x∈(A1∆A2∆…∆An-1)/An‬או ש‪ x∈An -‬ו‪ x-‬שייך‬
‫למספר זוגי של קבוצות ‪ ,(i=1,…,n-1) Ai‬ולכן )‪ ,x∈An\(A1∆A2∆…∆An-1‬לפי הנחת האינדוקציה‪.‬‬
‫שאלה ‪:|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C| :4‬‬
‫ראשית‪ ,‬נוכיח כי |‪:|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B‬‬
‫זאת משום ש‪ ,A∪B = (A\(A∩B)) ∪ (B\(A∩B)) ∪ (A∩B) -‬וזהו איחוד של שלוש קבוצות זרות‪ .‬לכן‪:‬‬
‫|‪|A∪B| = (|A| - |A∩B|) + (|B| - |A∩B|) + |A∩B| = |A| + |B| - |A∩B‬‬
‫עתה‪ ,‬נשתמש בכלל זה ובסעיפי שאלה ‪ 1‬על‪-‬מנת לחשב את |‪:|A∪B∪C‬‬
‫= |)‪|A∪B∪C| = |A∪B| + |C| - |(A∪B)∩C| = |A| + |B| - |A∩B| + |C| - |(A∩C) ∪ (B∩C‬‬
‫|‪|A| + |B| - |A∩B| + |C| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C‬‬
‫שאלה ‪:5‬‬
‫א‪ .‬יהי ‪ n≥2‬מספר טבעי‪ .‬נגדיר את היחס הבא על קבוצת המספרים השלמים ‪ aRb :Z‬אם"ם )‪.n|(a-b‬‬
‫אזי ‪ R‬יחס שקילות‪:‬‬
‫)‪ (i‬רפלקסיביות‪.n|(a-a)=0 :‬‬
‫)‪ (ii‬סימטריות‪ :‬אם )‪ n|(a-b‬אז )‪.n|(b-a‬‬
‫)‪ (iii‬טרנזיטיביות‪ :‬אם )‪ n|(a-b‬ו‪ n|(b-c) -‬אזי ))‪ n|((a-b)+(b-c‬לכן )‪.n|(a-c‬‬
‫ב‪ .‬נגדיר תת‪-‬קבוצה של ‪ A×A‬ע"י }‪ .D={(a,a): a∈A‬אז ‪ D‬יחס שקילות‪:‬‬
‫)‪ (i‬רפלקסיביות‪ (a,a)∈D :‬מההגדרה‪.‬‬
‫)‪ (ii‬סימטריות‪ :‬אם ‪ (a,b)∈D‬אז ‪ a=b‬ולכן גם ‪.(b,a)∈D‬‬
‫)‪ (iii‬טרנזיטיביות‪ :‬אם ‪ (a,b)∈D‬ו‪ (b,c)∈D -‬אז ‪ a=b=c‬ולכן גם ‪.(a,c)∈D‬‬
‫ג‪ .‬אם יחס ‪ R⊆A×A‬הוא גם סימטרי וגם אנטי‪-‬סימטרי‪ ,‬אזי ‪:R⊆D‬‬
‫אם ‪ R‬סימטרי אז לכל ‪ (a,b)∈R‬גם ‪ .(b,a)∈R‬משום ש‪ R -‬אנטי‪-‬סימטרי‪.a=b ,‬‬
‫‪2‬‬
‫תרגיל מס' ‪ 3‬במתמטיקה דיסקרטית‬
‫‪ .1‬נתונות שתי הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪2 x if x < 6‬‬
‫‪g : Z → Z, g ( x ) = ‬‬
‫‪ x + 6 if x ≥ 6‬‬
‫‪ n if n even‬‬
‫‪f : N → N, f ( n ) =  2‬‬
‫‪ n + 1 if n odd‬‬
‫האם הפונקציות ‪ f,g‬חח"ע? האם הן על? הוכיחו טענתכם‪.‬‬
‫‪ .2‬יהיו ‪ A,B,C‬קבוצות ותהיינה ‪ f:AB‬ו‪ g:BC -‬שתי פונקציות‪ .‬הוכיחו או הפריכו )על‪-‬ידי דוגמא‬
‫נגדית( כל‪-‬אחת מהטענות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫אם ‪ f,g‬חח"ע אז גם ‪ g°f‬חח"ע‪.‬‬
‫אם ‪ f,g‬על אז גם ‪ g°f‬על‪.‬‬
‫אם ‪ g°f‬על אז ‪ f‬על‪.‬‬
‫אם ‪ g°f‬על אז ‪ g‬על‪.‬‬
‫אם ‪ g°f‬חח"ע אז ‪ f‬חח"ע‪.‬‬
‫אם ‪ g°f‬חח"ע אז ‪ g‬חח"ע‪.‬‬
‫‪ .3‬יהיו ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות ו‪ Z-‬קבוצת המספרים השלמים‪ ,‬עם חיבור רגיל‪.‬‬
‫בהינתן פונקציות ‪ ,f:AZ , g:BZ‬נגדיר פונקציות חדשות כך‪:‬‬
‫))‪h1: A×BZ×Z , h1((a,b)) = (f(a),g(b‬‬
‫)‪h2: A×BZ , h2((a,b)) = f(a)+g(b‬‬
‫))‪h3: A Z×Z , h3(a) = (f(a),f(a‬‬
‫הוכיחו או הפריכו )על‪-‬ידי דוגמא נגדית( כל‪-‬אחת מהטענות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫אם ‪ f,g‬חח"ע אז ‪ h1‬חח"ע‪.‬‬
‫אם ‪ f,g‬על אז ‪ h1‬על‪.‬‬
‫אם ‪ f,g‬חח"ע אז ‪ h2‬חח"ע‪.‬‬
‫אם ‪ g‬על אז ‪ h2‬על‪.‬‬
‫אם ‪ f‬חח"ע אז ‪ h3‬חח"ע‪.‬‬
‫אם ‪ f‬על אז ‪ h3‬על‪.‬‬
‫אם ‪ f‬חח"ע ו‪ g-‬על אז ‪ h1‬על‪.‬‬
‫‪ .4‬תהיינה ‪ U,V‬שתי קבוצות‪ ,‬ותהיינה ‪ A,B⊆U‬ו‪ .C,D⊆V -‬תהי ‪ f:UV‬פונקציה‪.‬‬
‫הוכיחו או הפריכו )על‪-‬ידי דוגמא נגדית( כל‪-‬אחת מהטענות הבאות‪ .‬במקרה שהטענה אינה נכונה‪,‬‬
‫האם קיימת הכלה באחד הכיוונים? הוכיחו טענתכם‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫)‪.f(A∪B) = f(A)∪f(B‬‬
‫)‪.f(A∩B) = f(A)∩f(B‬‬
‫‪-1‬‬
‫)‪.f (C∪D) = f-1(C)∪f-1(D‬‬
‫)‪.f-1(C∩D) = f-1(C)∩f-1(D‬‬
‫‪ .5‬יהיה ‪ R⊆Z×Z‬היחס הבא‪ ,|a|≤|b| ⇔ aRb :‬האם ‪ R‬יחס סדר?‬
‫‪ .6‬תהי ‪ A‬קבוצה ויהי ≤ יחס סדר חלקי על ‪ .A‬לכל ‪ a∈A‬נתאים את תת‪-‬הקבוצה הבאה של ‪:A‬‬
‫}‪Sa = {x∈A: x≤a‬‬
‫הוכיחו כי ‪ a≤b‬בסדר החלקי אם"ם ‪.Sa⊆Sb‬‬
‫בהצלחה! ☺‬
‫פתרון תרגיל מס' ‪ 3‬במתמטיקה דיסקרטית‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫•‬
‫הפונקציה ‪ f‬היא על‪ :‬יהי ‪ n‬שלם‪ ,‬אז ‪ 2n‬זוגי‪ ,‬לכן ‪ n‬יתקבל ע"י ‪.f(2n) = 2n/2 = n‬‬
‫•‬
‫הפונקציה ‪ f‬אינה חח"ע‪ :‬דוגמא נגדית‪.4 = f(8) = f(3) :‬‬
‫•‬
‫הפונקציה ‪ g‬אינה על‪ :‬דוגמא נגדית‪ :‬כל המספרים האי‪-‬זוגיים עד ‪ 11‬אינם מתקבלים‪.‬‬
‫•‬
‫הפונקציה ‪ g‬חח"ע‪ :‬תהי ]‪ g1:(-∞,5](-∞,10‬המוגדרת ע"י ‪ ,g1(x)=2x‬ותהי )∞‪g2:[6,∞)[12,‬‬
‫המוגדרת ע"י ‪ .g2(x)=x+6‬שתי הפונקציות הללו חח"ע )הוכיחו!( ומשום שהטווחים שלהן זרים‪,‬‬
‫הפונקציה ‪ g‬היא חח"ע‪.‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ f,g‬חח"ע אז גם ‪ g°f‬חח"ע – נכון‪:‬‬
‫)‪ g°f(x) = g°f(y‬אם"ם )‪) f(x)=f(y‬כי ‪ g‬חח"ע( וזאת אם"ם ‪) x=y‬כי ‪ f‬חח"ע(‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ f,g‬על אז גם ‪ g°f‬על – נכון‪:‬‬
‫יהי ‪ ,c∈C‬משום ש‪ g-‬על‪ ,‬קיים ‪ b∈B‬עם ‪ .g(b)=c‬משום ש‪ f -‬על קיים ‪ a∈A‬עם ‪ ,f(a)=b‬לכן ‪.g°f(a)=c‬‬
‫ג‪ .‬אם ‪ g°f‬על אז ‪ f‬על – לא נכון‪:‬‬
‫דוגמא נגדית‪ :‬הקבוצות‪ .C={1} ,A=B=N -‬הפונקציות‪ g(x)=1 -‬לכל ‪ f(x)=0 ,x‬לכל ‪ .x‬אז ‪g°f(x)=1‬‬
‫לכל ‪ .x‬לכן‪ g°f :‬היא על ‪ ,C‬אך ‪ f‬אינה על ‪.B=N‬‬
‫ד‪ .‬אם ‪ g°f‬על אז ‪ g‬על – נכון‪:‬‬
‫יהי ‪ ,c∈C‬משום ש‪ g°f -‬על‪ ,‬קיים ‪ a∈A‬עם ‪ ,g°f(a)=c‬לכן )‪ b=f(a‬מקיים ‪.g(b)=c‬‬
‫ה‪ .‬אם ‪ g°f‬חח"ע אז ‪ f‬חח"ע – נכון‪:‬‬
‫נניח ש‪ .f(x)=f(y) -‬נפעיל את ‪ g‬על שני האגפים ונקבל )‪ g°f .g°f(x) = g°f(y‬חח"ע לכן ‪.x=y‬‬
‫ו‪ .‬אם ‪ g°f‬חח"ע אז ‪ g‬חח"ע – לא נכון‪:‬‬
‫דוגמא נגדית‪ :‬הקבוצות‪ .A=B=C=N -‬הפונקציות‪ f(x)=2x -‬לכל ‪ g(x)=x/2 ,x‬לכל ‪) x‬הערך השלם‬
‫של ‪ .(x/2‬אז ‪ g‬אינה חח"ע כי למשל‪ .g(4)=g(5)=2 :‬אך ‪ g°f(x)=x‬לכל ‪ x‬וזו פונקציה חח"ע‪.‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ f,g‬חח"ע אז ‪ h1‬חח"ע – נכון‪:‬‬
‫נניח ש‪ (f(a),g(b))=(f(a`),g(b`)) -‬אז )`‪ f(a)=f(a‬ו‪ .g(b)=g(b`) -‬מההנחה ש‪ f,g -‬חח"ע נקבל ש‪a=a` -‬‬
‫ו‪ ,b=b` -‬לכן )`‪.(a,b)=(a`,b‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ f,g‬על אז ‪ h1‬על – נכון‪:‬‬
‫×‪ ,(c,d)∈Z‬משום ש‪ f,g -‬על‪ ,‬קיימים ‪ a,b‬כך ש‪ .f(a)=c , g(b)=d -‬אזי )‪.h1(a,b)=(c,d‬‬
‫נניח ש‪×Z -‬‬
‫ג‪ .‬אם ‪ f,g‬חח"ע אז ‪ h2‬חח"ע – לא נכון‪:‬‬
‫דוגמא נגדית‪ f(x)=x ,A=B=Z :‬לכל ‪ g(y)=-y ,x‬לכל ‪ .y‬אז ‪ h2((a,a))=0‬לכל ‪ a‬שלם‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪ .‬אם ‪ g‬על אז ‪ h2‬על – נכון‪:‬‬
‫יהי ‪ x‬שלם‪ .‬יהי ‪ y‬שלם כלשהו בטווח של ‪ ,f‬אז קיים ‪ a‬עם ‪ g .f(a)=y‬על‪ ,‬לכן קיים ‪ b‬עם ‪,g(b)=x-y‬‬
‫אזי ‪.h2((a,b)) = y+(x-y) = x‬‬
‫ה‪ .‬אם ‪ f‬חח"ע אז ‪ h3‬חח"ע – נכון‪:‬‬
‫נניח ש‪ ,(f(a),f(a)) = (f(a`),f(a`)) -‬אז )`‪ .f(a)=f(a‬משום ש‪ f -‬חח"ע נקבל ש‪.a=a`-‬‬
‫ו‪ .‬אם ‪ f‬על אז ‪ h3‬על – לא נכון‪:‬‬
‫בטווח של ‪ h3‬לעולם לא נקבל איבר מהצורה )‪ (x,y‬כאשר ‪ x,y‬שונים‪.‬‬
‫ז‪ .‬אם ‪ f‬חח"ע ו‪ g-‬על אז ‪ h1‬על – לא נכון‪:‬‬
‫דוגמא נגדית‪ f(x)=2x .A=B=Z :‬לכל ‪ x‬ו‪ g(x)=x -‬לכל ‪ .x‬אז ‪ f‬חח"ע ו‪ g -‬על‪ .‬אך )‪,h1(a,b)=(2a,b‬‬
‫ולכן בטווח של ‪ h1‬לעולם לא נקבל זוגות שהאיבר הראשון בהם אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫א‪ – f(A∪B) = f(A)∪f(B) .‬נכון‪:‬‬
‫נניח ש‪ y∈f(A∪B) -‬ואז )‪ y=f(x‬לאיזה ‪ .x∈A∪B‬אם ‪ x∈A‬אז )‪ ,y=f(x)∈f(A‬ואם ‪ x∈B‬אז‬
‫)‪ ,y=f(x)∈f(B‬לכן בכל מקרה‪.y∈f(A)∪f(B) ,‬‬
‫אם )‪ ,y∈f(A)∪f(B‬נניח בה"כ ש‪ ,y∈f(A) -‬ואז )‪ y=f(x‬לאיזה ‪ .x∈A‬לכן בפרט ‪ x∈A∪B‬ו‪-‬‬
‫)‪.y=f(x)∈f(A∪B‬‬
‫ב‪ – f(A∩B) = f(A)∩f(B) .‬לא נכון‪:‬‬
‫דוגמא נגדית‪ f(x)=|x| ,B=[-1,0] ,A=[0,1] :‬לכל ‪ .x‬אזי ]‪.0 = f(A∩B) ≠ f(A)∩f(B) = [0,1‬‬
‫ההכלה )‪ f(A∩B) ⊆ f(A)∩f(B‬נכונה‪ A∩B ⊆ A :‬לכן )‪ ,f(A∩B) ⊆ f(A‬בדומה )‪.f(A∩B) ⊆ f(B‬‬
‫מכאן נסיק ש‪.f(A∩B) ⊆ f(A)∩f(B) -‬‬
‫ג‪ – f-1(C∪D) = f-1(C)∪f-1(D) .‬נכון‪:‬‬
‫)‪ x∈f-1(C∪D‬אם"ם ‪ f(x)∈C∪D‬אם"ם ‪ f(x)∈C‬או ‪ f(x)∈D‬אם"ם )‪ x∈f-1(C‬או )‪ x∈f-1(D‬אם"ם‬
‫)‪.x∈f-1(C)∪f-1(D‬‬
‫ד‪ – f-1(C∩D) = f-1(C)∩f-1(D) .‬נכון‪:‬‬
‫)‪ x∈f-1(C∩D‬אם"ם ‪ f(x)∈C∩D‬אם"ם ‪ f(x)∈C‬וגם ‪ f(x)∈D‬אם"ם )‪ x∈f-1(C‬וגם )‪ x∈f-1(D‬אם"ם‬
‫)‪.x∈f-1(C)∩f-1(D‬‬
‫שאלה ‪:5‬‬
‫‪ R‬אינו יחס סדר משום שאינו אנטי‪-‬סימטרי‪ .‬דוגמא נגדית‪ |2|≤|-2| :‬וגם |‪ |-2|≤|2‬אך ‪.-2≠2‬‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫נניח ש‪ a≤b -‬אז אם ‪ x≤a‬גם ‪) x≤b‬מהטרנזיטיביות של יחס הסדר החלקי(‪ .‬לכן אם ‪ x∈Sa‬גם ‪ ,x∈Sb‬ולכן‬
‫‪.Sa⊆Sb‬‬
‫נניח ש‪ a∈Sa .Sa⊆Sb -‬ולכן מההכלה ‪ .a∈Sb‬מהגדרת ‪ Sb‬נובע כי ‪.a≤b‬‬
‫‪2‬‬
zihxwqic dwihnzna 4 libxz
e"qyz ,'` xhqnq
R ⊆ A × A ,dveaw A `dz
= {(a, b) | aRb ∧ bRa} i"r S ⊆ A × A
. A lr iaiqwltxe iaihifpxh qgi
qgi xicbp
.S
Sy
.zeliwy qgi `ed
z` dilr xicbpe
S
itl
A
ly zeliwyd zewlgn ly
B
.1
egiked (a)
dveawa opeazp (b)
:jk
T
qgid
[a]T [b] ⇔ ∃u ∈ [a], v ∈ [b] : uRv
xcq-mcwdn dxyeny xcq qgid `xwp
T)
.xcq qgi `ed
Ty
egiked
(.R
.B lr xcq qgi
Sy
lr xcq qgi `ed
RB e , A
0
egiked . aSa
lr xcq qgi
⇔ a0 RA a
,zexf zeveaw
B ,A
S ⊆ A × A qgi xicbp
RA mm` `ln `edye , A
i"r
.`ln
:i"r
RA
T ⊆ (A ∪ B) × (A ∪ B)
`dz .2
(a)
qgi xicbp (b)
xT y ⇔ (x ∈ A∧y ∈ B)∨(x ∈ A∧y ∈ A∧xRA y)∨(x ∈ B∧y ∈ B∧xRB y)
?`ln
:U, V, W
T
izn .xcq qgi
⊆ (A × B) × (A × B)
T
y egiked
miqgi dyely xicbp (c)
(a, b)W (a0 , b0 ) ⇔ (a 6= a0 ∧ aRA a0 ) ∨ (a = a0 ∧ bRB b0 )
(a, b)V (a0 , b0 ) ⇔ aRA a0 ∧ bRB b0
(a, b)U (a0 , b0 ) ⇔ aRA a0 ∨ bRB b0
.zicbp dnbec epz e` egiked ?xcq qgi cinz mdn eli`
S ⊆ A×A
miiwy egiked .dilr xcq qgi
R ⊆ A × A ,ziteq dveaw A `dz
⊆ S e A lr `ln xcq qgi S y jk
.3
.R
:jk
n+1
f (n) = (−1) ·
2
n
f :N→Z
.lre r"gg `id
n
egiked
+
.ynn miiaeigd miilpeivxd mixtqnd sqe` `ed Q
+
+
ly wexitd m` :jk g : N
→ Q xicbp .ynn miiaeigd
miirahd sqe` `ed
`ed miipey`xl
fy
xicbp .4
N
+
dxevdn
n = p1 a1 · p2 a2 · · · pk ak
xicbp f`
g(n) = p1 f (a1 ) · p2 f (a2 ) · · · pk f (ak )
.lre r"gg
1
gy
egiked
zihxwqic dwihnzna 4 libxz oexzt
e"qyz ,'` xhqnq
-ifpxhe
,ixhniq
,iaiqwltx
edy
d`xp
,zeliwy
qgi
`edy
ze`xdl
ick
.1
(a)
.iaih
.
aSa
okle
∀a ∈ A : aRa ∧ aRa
:zeiaiqwltx
:zeixhniq
∀a, b ∈ A : aSb ⇔ aRb ∧ bRA ⇔ bRa ∧ aRb ⇔ bSa
:zeiaihifpxh
∀a, b, c ∈ A : aSb ∧ bSc ⇔ aRb ∧ bRa ∧ bRc ∧ cRb ⇒ aRc ∧ cRa ⇔ aSc
-niqihp`e ,iaihifpxh ,iaiqwltx `edy d`xp ,xcq qgi
T
y ze`xdl ick
(b)
.ixh
.
[a]T [a]
okle
∀a ∈ A : aRa
:zeiaiqwltx
:zeiaihifpxh
[a]T [b] ∧ [b]T [c] ⇒ ∃u ∈ [a], v ∈ [b], v 0 ∈ [b], w ∈ [c] : uRv ∧ v 0 Rw
⇒ uRv ∧ vRv 0 ∧ v 0 Rv ∧ v 0 Rw
⇒ uRv 0 ∧ v 0 Rw ⇒ uRw ⇒ [a]T [c]
:zeixhniqihp`
[a]T [b] ∧ [b]T [a] ⇒ ∃u, u0 ∈ [a]∃v, v 0 ∈ [b] : uRv ∧ v 0 Ru0
⇒ uRv ∧ vRv 0 ∧ v 0 Ru0 ∧ u0 Ru
⇒ uRv 0 ∧ v 0 Ru ⇒ [u] = [v 0 ] ⇒ [a] = [b]
S
∀a ∈ A : aRA a ⇒ ∀a ∈ A : aSa
aSb ∧ bSc ⇒ bRA a ∧ cRA b ⇒ cRA a ⇒ aSc
.zepekzd zyely z` wecap xcq qgi
y wecal ick
:zeiaiqwltx
:zeiaihifipxh
1
.2
(a)
aSb ∧ bSa ⇒ bRa ∧ aRb ⇒ a = b
RA
:`ln
:zeixhniqihp`
mm` `ln
S
y gikep
RA ⇔ ∀a, a0 ∈ A : aRA a0 ∨a0 RA a ⇔ ∀a0 , a ∈ A : a0 Sa∨aSa0 ⇔
`ln
`ln
.xcq qgi ly zepekzd zyely z` wecap ,ldepa
(.
x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ xRA x
ik)
xT x
okle
xRA x
x∈A
x ∈ B ⇒ xT x
yT z xT y
f`
,
dnec ote`a
oezp :zeaihifpxh
x ∈ A, y ∈ A, z ∈ A
x ∈ A, y ∈ A, z ∈ B
x ∈ A, y ∈ B, z ∈ B
x ∈ B, y ∈ B, z ∈ B
RA
ly
zeiaihifpxhn
miraep
iv i
e
eli`e
T
(b)
m` :zeiaiqwltx
.
:mixwn drax`l lvtp .
S
zxcbdn
miiciin
md
:y al eniy .dn`zda
.
.
.
.
i
ii
iii
iv
iii ii
RB
e
e
xT y ⇒ (y ∈ A → x ∈ A)
dnec ote`ae
yT z ⇒ (z ∈ A → y ∈ A)
.dl` zrax`n ueg mixwn epkzii `l okle
:f` ,
xT y ∧ yT x
m` :zeixhniqihp`
x, y ∈ A ∨ x, y ∈ B
:zrk (.
x, y ∈ A ⇒
x, y ∈ B ⇒
B
a cg`e
A
a cg`y okzii `ly ewca)
xRA y ∧ yRA x ⇒ x = y
xRB y ∧ yRB x ⇒ x = y
a = a ∧ bRB b ⇒ (a, b)W (a, b)
W
a = a0 = a00
(a, b)W (a0 , b0 ) ∧ (a0 , b0 )W (a00 , b00 )
a0 6= a00
a 6= a0
RB
RA
a 6= a00 ∧ aRA a00
00 00
(a, b)W (a , b )
.
:zeiaiqwltx .xcq qgi
m`
e`
ipya
(.
ly
.
gipp
m`
.
zeiaihifpxhe
ly
zeiaihifpxhn
zeixhniqihp`n
zraep
zeiaihifpxh
raep)
.
:zeiaihifpxh
f`
f`
miiwzn mixwnd
zmcewd sirqd ly milewiydn :zeixhniqihp`
(a, b)W (a0 , b0 ) ∧ (a0 , b0 )W (a, b) ⇒ a = a0
RB
∀a ∈ A, b ∈ B : aRA a∧bRB b ⇒ (a, b)V (a, b)
.
.
ly zeixhniqihp`n zraep d`vezd zrke
2
:zeiaiqwltx .xcq qgi
V
(c)
:zeiaihifpxh
(a, b)V (a0 , b0 ) ∧ (a0 , b0 )V (a00 , b00 ) ⇒ aRA a0 ∧ bRB b0 ∧ a0 RA a00 ∧ b0 RB b00
⇒ aRA a00 ∧ bRB b00 ⇒ (a, b)V (a00 , b00 )
:zeixhniqihp`
(a, b)V (a0 , b0 ) ∧ (a0 , b0 )V (a, b) ⇒ aRA a0 ∧ bRB b0 ∧ a0 RA a ∧ b0 RB b
⇒ a = a0 ∧ b = b0 ⇒ (a, b) = (a0 , b0 )
f`
.
A = B = N, RA = RB =≤N
(3, 5) 6= (5, 3)
gwp
:dnbec
.
-ep
dprh
ziy`x
A
oaena
lr
d`xp
ilnipin
,dyrnl
xai`
.
miiw
A
A
a
mixai`d
,
lr
R
U
(3, 5)U (5, 3)U (3, 5)
.xcq
la`
xtqn
xcq
qgi
lr
qgi
`weec
e`l
divwecpi`a
lkl
dgkedd
:divwecpi`a
.3
ztq
:`ad
∃m ∈ A : ¬∃a ∈ A : a 6= m ∧ aRm
m
d
A
`ed
ly
ccead
xai`d)
dxexa
n+1
:meyxp .mixai`
dprhd
f`
,ccea
xai`
A
dlikn
m`
A
dlikn
y gipp ,divwecpi`a (.yweand
A = A0 ∪ {x}
R0
¬xRm0
lr
xcq
f`
qgi
m`
(!gked)
xai`
A
n+1
yi
A
A
A0
dxyn
,zrk
.
R
m0
lr
ly
m
lr ilnipin
xcq
qgi
ilnipin
.cala
xai`
mixwnd ipyae ,
n
mixai`
divwecpi`a
m=x
`vnp
xRm
f`
A0
dlikn
0
xy`k
A0
m = m0
(!gked)
m`e ,
l m` ,aey .divwecpi`a gikep mb dze`y ,zixewnd dprhl xearp zrk
A
l m` ,divwecpi`a (.`ln `ed xcq qgi lk) zil`iaixh dprhd ccea
:meyxp ,mixai`
A = A0 ∪ {m}
z`
:
aigxp
,divwecpi`a
S ⊆ A×A
.
A
ly
z` xicbp zrk .
edylk
A0
lr
S0
ilnipin
xai`
m
zeidl
`ln xcq qgil
A0
z`
xgap
lr dxyeny
xy`k
R0
qgid
S = S 0 ∪ {(m, a) : a ∈ A}
S
.`ln xcq qgi
weica
S
y
ik
.
`ed
,d`eeyd
S0
C = {m}
A = C, B = A0
x, y
y=m
x, y ∈ A0
f`
ick
ixa
,
xicbp
m`y
(.
oniq
oey`xd
y
.
ilra
xexa
mdipyy
i`pzdn
.
al
xear)
f`
itl d`eeyd ixa md okle
ddf
okl
S
ze`xdl
n
|n1 − n2 | < 2
1 +1
y
2
0
= n22+1
e`
raep
mdipyy
ipyd
e`
miyp
,xcq
2
x=m
A
T
dl`ya
,zxg` .
i`pzdn
f`
y
.
xcq
x, y ∈ A
gipp
m`
okl
`ed
l
oia
:
f
ly
.ddf
z = f (2z − 1)
f`
z<0
m` .
z = f (2z)
f`
3
,`ln
z≥0
m` .
z∈Z
m
r"gg
dnvere
yxtddy
.
.
n"r
qgid
a xai` lk mr d`eeyd xa
f`
.ibef
gikedl
xcbeny
f (n1 ) = f (n2 )
(−1)n1 = (−1)n2
n2 n1
e`
oke
m`
S
qgi
k
y wecap
raep
n1 = n2
idi :lr
f
zeid
.4
irah
xtqn
lkl
:wexitd
zecigia
ynzydl
jxhvp
,lre
r"gg
g
y
gikedl
n"r
bevii yi iaeig ilpeivx xtqn lkl ,sqepa .miipey`x ly dltknk cigi wexit yi
mixtqn ipy ,seqal (!gked) mixf miiaeig miirah mixtqn ipy ly dpnk cigi
.mixf md miipey`xl mdly miwexitd mm` mixf md
:meyxp ,
h(n) =
Y
n
xtqn xear
pi f (ai )
i=1...k,f (ai )≥0
Y
k(n) =
pi −f (ai )
i=1...k,f (ai )<0
miwexitd
ik
mixf
h(n), k(n)
mixtqnd
,
n
lkl
.
g(n) = h(n)/k(n)
dyrnl
:y miwiqn epgp` ,mcewn zexrdd itl ,o`kn .mixf miipey`xl mdly
g(n1 ) = g(n2 ) ⇔ h(n1 ) = h(n2 ) ∧ k(n1 ) = k(n2 )
:okl .
n2
ae
n1
a dpey ieaixa riten
p
y jk
p
miiw f` ,
n1 6= n2
m` ,zrk
h(n1 ) 6= h(n2 ) ∨ k(n1 ) 6= k(n2 )
g
okl
.
g(n1 ) 6= g(n2 )
y
o`kne
,ililyi`
e`
ilily
zeidl
aiig
n1
a
ieaixd
ik
.r"gg
izexixy ilpeivx xgap ,lr
g
y gikedl ick
Q k1
pi ai
x = Qki=1
2
bj
j=1 qj
{qj : j = 1 . . . k2 } {pi : i = 1 . . . k1 }


k1
k2
Y
Y
−1
−1
x = g  pi f (ai ) ·
qj f (bj ) 
:f` .zexf
e
i=1
j=1
4
zeveawdyk
dybdl `l - zihxwqic dwihnzna 5 libxz
e"qyz ,'` xhqnq
.miilpeivxd mixtqnd lk zveaw `id
.miirahd mixtqnd lk zveaw `id
Q
.
(minrt
k ) Ak = N × N × · · · × N
A
dveawd ly znverd z` onqn
.
.
:jk
{1, 2, . . . , 10}
?
?mdipy z` `l la`
k lkly egiked
|Ak | = |N| miiwzn
xear ,iaeige irah
|N| = |Q × Q|y
dveawl yi
5
(a)
lcebn zeveaw-zz dnk .2
2
z` e`
1
z` dlikn odn zg` lky (a)
2
z` e`
1
z` dlikn odn zg` lky (b)
zeveaw-zzd xtqnl deey ibef lcebn
A
.1
egiked (b)
.dwix `le ziteq dveaw
A
N
|A|
A
idz .3
ly zeveaw-zzd xtqny e`xd (a)
ea dxwnl dprhd z` egiked :mzkazqd m`)
.ibefi` lcebn
A
ly
(.ibefi` lcebn
?
{1, 2, . . . , 101}
dveawd ly ibef lcebn zeveaw-zzd xtqn edn (b)
:ze`ad zeiedfd z` egiked .4
.
n, k > 0
lkl
.
n
k
n>0
1
=
lkl
n−1
n−1
+
k
k−1
Pn
2n
= 22n−1
i=0
2i
(a)
(b)
zihxwqic dwihnzna 5 libxz oexzt
e"qyz ,'` xhqnq
i:N→N
fk : Ak → N
zedfd zwzrd
.
y
al
eniy
r"gg
,okae
.
.
f :N→N×N
k
dwzrd
fk+1
dpap
r"gg dwzrd d`vxda epi`x
divwecpi`a
fk
gk : Ak × N → N × N
dwzrdd
i"r
lr
z`
dpap
;
.r"gg
dwzrdd
xicbp .
z`
i`cea
`id
epipay
gipp
.1
(a)
Ak+1 = Ak × N
gk (a, n) = (fk (a), i(n))
-pet
ly
dakxd
xeza
,r"gg
fk+1 fk+1 = f ◦ gk
.
xicbp
(?dnl)
gk
r"gg
.r"gg zeivw
`id
dk (n) = (n, n, . . . , n)
Ak → N
N → Ak
htyn
i"r zxcbend
t"r
.
mbe
.
dwzrddy
al
eniy
.
n ∈ Z, m ∈ N
dk : N → Ak
r"gg
zewzrd
dwzrdd ipy cvn
ep`vn
,xnelk
.r"gg
|Ak | = |N|
y lawp ,oiihypxa-xehpw
y
jk
n
m
dbvd
yi
ilpeivx
:i"r zxcbend
xtqn
lkl
(b)
s:Z→N×N
(
(n, 0),
n≥0
s(n) =
(−n, 1), n < 0
f : Q × Q → N × N × N × N × N × N = A6
dwzrdd
okl
.r"gg
`id
:i"r zxcbend
n1 n2
,
m1 m2
→ (s(n1 ), m1 , s(n2 ), m2 )
(?recn) r"gg `id
fk ◦ f : Q × Q → N
f6 : A6 → N
n → (n, n)
d : N → Q×Q
|Q × Q| = |N|
dwzrdd okl .
i"r
zxcbend
.
,mkezn
mixtqn
.mixai`
8
r"gg dwzrd yiy epi`x
dwzrdd
ok
enk
.r"gg
`id
oiihypxa-xehpw htyn itl okle r"gg
10
za
dveaw
dn cg` wx `l`
2
jezn
z` e`
1
mixtqn
5
xegal
mikxc
10
5
z` dlikn `l dxigad mixwn
yi
8
5
a
yi okl ;mixg`d
10
8
−
= 252 − 56 = 196
5
5
.
2
z` e`
1
z` dlikny dveaw xegal mikxc
1
.2
(a)
exzep
f`
2
1
z`e
z`
dlikn
8
3
.zigtdl jixvy mixwn
dveaw
yi okl ;
8
m`
,mcew
epwcay
mixwnd
jezn
(b)
jezn da xegal mixai` dyely cer
exzep okl
8
196 −
= 196 − 56 = 140
3
.zeiexyt`
ly
zeveaw-zzl
ibef
lcebn dveaw xear .
A
lcebn
a∈A
ly
zeveaw-zzn
xai` xgap ;dxiw `l
lre
r"gg
dwzrd
dpap
A
y gipp .ibefi` lcebn
:xicbp ,
.3
(a)
A
B⊆A
ibef
B
m`
(
B ∪ {a}, a 6∈ B
f (B) =
B \ {a}, a ∈ B
.
1
`ed
mdly
milcbd
yxtd
ik
,ibefi`
zeibef zeveaw-zz ly xtqn eze` yi
lcebn
f (B)
f`
,ibef
lcebn
A
l okl (!ewca) lre r"gg
f
,sqepa
.zeibefi`e
101
2
100
/2 = 2
yi
okle
,ibef
lcebn
odn
ivg
.zeveaw-zz
2
101
yi
[101]
l
(b)
.dl`k
:xiyi aeyiga dyrp dfd sirqd z`
n−1
n−1
+
k−1
k
=
=
=
=
=
xtqn
dyrnl
mircei epgp`
3
`ed
l`ny
cva
dl`yn la` .
.dl`k
22n−1
2n
.4
(a)
(n − 1)!
(n − 1)!
+
(n − k)!(k − 1)! (n − k − 1)!k!
(n − 1)!
1
1
+
(n − k − 1)!(k − 1)! n − k) k
(n − 1)!
k+n−k
(n − k − 1)!(k − 1)! k(n − k)
(n − 1)!n
(n − k − 1)!(n − k)(k − 1)!k
n!
n
=
(n − k)!k!
k
miywany
dn
:xvw
xetiq
mr
mrtde
lceba dveaw ly ibef lcebn zeveaw-zzd
yi okle ibef lcebn od zeveaw-zzdn ivg weicay
2
(b)
‫תרגיל מס' ‪ 6‬במתמטיקה דיסקרטית )להגשה(‬
‫‪ .1‬בקורס יש ‪ 10‬קבוצות תירגול ו‪ 10-‬מתרגלים‪.‬‬
‫א‪ .‬בכמה דרכים ניתן לשבץ את המתרגלים לקבוצות התירגול?‬
‫ב‪ .‬אם ‪ 4‬קבוצות תירגול הן בשעות הערב וישנם שני מתרגלים שאינם יכולים לעבוד בערב‪ ,‬בכמה‬
‫דרכים ניתן לשבץ את המתרגלים?‬
‫‪ .2‬א‪ .‬יש ‪ 4‬קופסאות בצבעים שונים ו‪ 17-‬כדורים זהים‪ .‬כמה אפשרויות יש לשים את הכדורים‬
‫בקופסאות? כמה אפשרויות יש אם אסור שתישאר קופסא ריקה?‬
‫ב‪ .‬כמה פתרונות שלמים אי‪-‬שליליים יש למשוואה ‪ ?X1+X2+X3+X4 = 17‬כמה פתרונות שלמים‬
‫חיוביים ממש יש?‬
‫‪ .3‬א‪ .‬נתונים שני ישרים מקבילים‪ .‬על הראשון מסומנות ‪ n‬נקודות ועל השני מסומנות ‪ m‬נקודות‪ .‬כמה‬
‫משולשים שונים יש שקדקודיהם על הנקודות המסומנות?‬
‫ב‪ .‬נתונים ‪ 3‬ישרים מקבילים‪ .‬מסומנות עליהם ‪ n,m‬ו‪ r-‬נקודות בהתאמה‪ ,‬כך שכל ‪ 3‬נקודות שנלקחות‬
‫מ‪ 3-‬הישרים אינן על ישר אחד‪ .‬כמה משולשים שונים יש שקדקודיהם על הנקודות המסומנות?‬
‫ג‪ .‬נתון ריבוע במישור‪ .‬על כל צלע מסומנות ‪ 10‬נקודות שונות )שאינן קדקודי הריבוע(‪ .‬כמה משולשים‬
‫שונים יש שקדקודיהם על הנקודות המסומנות?‬
‫ד‪ .‬נתונים במישור ‪ n‬ישרים מקבילים ועוד ‪ m‬ישרים מקבילים בכיוון אחר‪ .‬כמה מקביליות שונות‬
‫מתקבלות באמצעות חיתוכי הישרים הללו?‬
‫‪ .4‬א‪ .‬בכמה דרכים ניתן להושיב ‪ 14‬אנשים סביב שולחן עגול?‬
‫ב‪ .‬בכמה דרכים ניתן להושיב סביב שולחן עגול ‪ 7‬נשים ו‪ 7-‬גברים‪ ,‬כך שכל אישה תשב בין שני גברים?‬
‫ג‪ .‬בכמה דרכים ניתן להושיב ‪ 7‬זוגות נשואים סביב שולחן עגול‪ ,‬כך שכל אישה תשב ליד בעלה?‬
‫ד‪ .‬בכמה דרכים ניתן להושיב ‪ 14‬אנשים‪ ,‬כך ש‪ 8-‬אנשים יושבים סביב שולחן עגול והשאר על הספסל?‬
‫ה‪ .‬בכמה דרכים ניתן להושיב ‪ 14‬אנשים‪ ,‬כך ש‪ 8-‬אנשים יושבים סביב שולחן עגול והשאר סביב שולחן‬
‫עגול שני?‬
‫)הערה‪ :‬שני סידורים סביב שולחן עגול הם זהים אם האחד מתקבל מהשני ע"י סיבוב(‪.‬‬
‫‪ .5‬הוכיחו את הזהויות הקומבינטוריות הבאות בשתי דרכים שונות )אלגברית וקומבינטורית(‪:‬‬
‫‪ 2n + 1‬‬
‫‪2n‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k =0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪∑‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ 2n ‬‬
‫ב‪  =   .‬‬
‫∑‬
‫‪k =0  k ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n  n −1  m ‬‬
‫ג‪ k  = ∑  k − 1 .‬‬
‫‪  m = k −1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .6‬יהי ‪ p‬מספר ראשוני ו‪ c,k -‬מספרים שלמים חיוביים‪.‬‬
‫‪ p‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו כי אם ‪ 0<k<p‬אז ‪ p‬מחלק את ‪.  ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ pc ‬‬
‫ב‪) .‬רשות( הוכיחו כי אם ‪ 0<k<pc‬אז ‪ p‬מחלק את ‪.  ‬‬
‫‪ k ‬‬
‫בהצלחה!‬
‫☺‬
‫פתרון תרגיל מס' ‪ 6‬במתמטיקה דיסקרטית‬
‫‪ .1‬א‪10! .‬‬
‫ב‪6⋅5⋅8! .‬‬
‫‪17 + 4 − 1  20 ‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬מספר האפשרויות לחלק ‪ 17‬כדורים ל‪ 4-‬קופסאות שונות‪ =   :‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ 17   17 ‬‬
‫‪13 + 4 − 1 16 ‬‬
‫אם אסור שתישאר קופסא ריקה‪ =   :‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ 13   13 ‬‬
‫ב‪ .‬שימו לב שמדובר בדיוק באותה הבעיה מסעיף א'‪ ,‬רק הניסוח שונה‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬יש שתי דרכים לפתור את הבעיה‪:‬‬
‫דרך ‪ :1‬נבחר נקודה אחת על ישר אחד ושתיים על הישר השני‪ .‬נקבל את הנוסחא‪:‬‬
‫‪ m  n   m  n ‬‬
‫‪   +   ‬‬
‫‪ 1  2   2  1 ‬‬
‫דרך ‪ :2‬נספור את כל שלשות הנקודות‪ ,‬ונחסר את אלו שנמצאות על אותו ישר‪ .‬נקבל את הנוסחא‪:‬‬
‫‪m + n m n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −   −  ‬‬
‫‪ 3   3   3‬‬
‫שימו‪-‬לב‪ ,‬שיש שוויון בין שתי הנוסחאות‪.‬‬
‫‪ m + n + r   m  n  r ‬‬
‫ב‪ −   −   −   .‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪  3   3   3‬‬
‫ג‪ .‬יש שתי דרכים לפתור את הבעיה‪.‬‬
‫‪10 ‬‬
‫דרך ‪ :1‬נבחר את הנקודות על שתיים או שלוש צלעות‪ ,‬ונקבל‪. 4 ⋅ 3 ⋅   ⋅ 10 + 4 ⋅ 10 3 = 9400 :‬‬
‫‪2‬‬
‫דרך ‪ :2‬נספור את כל שלשות הנקודות‪ ,‬ונחסר את אלו שנמצאות על אותה הצלע‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫‪ 40 ‬‬
‫‪10 ‬‬
‫‪.   − 4 ⋅   = 9400‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ m  n ‬‬
‫ד‪.    .‬‬
‫‪ 2  2 ‬‬
‫‪ .4‬א‪13! .‬‬
‫ב‪6!⋅7! .‬‬
‫ג‪6!⋅27 .‬‬
‫‪14 ‬‬
‫ד‪  ⋅ 7!⋅6! .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪14 ‬‬
‫ה‪  ⋅ 7!⋅5! .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .5‬זהויות קומבינטוריות‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 2n + 1 ‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪: ∑‬‬
‫א‪ = 2 .‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k =0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 n +1 2n + 1‬‬
‫‪ 2n + 1  2n + 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ = ‬‬
‫‪) ∑ ‬למה?( וגם ש‪ -‬‬
‫הוכחה אלגברית‪ :‬ידוע ש‪ = 2 2 n +1 -‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k =0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)למה?(‪ .‬מכאן ניתן להסיק ש‪-‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 2n + 1 n  2n + 1 2 n +1  2n + 1‬‬
‫‪ 2 n + 1‬‬
‫‪ =∑ ‬‬
‫‪ + ∑ ‬‬
‫‪ = 2∑ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪k  k =0  k  k = n +1  k ‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪k =0 ‬‬
‫‪k =0 ‬‬
‫‪2 n +1‬‬
‫‪∑ ‬‬
‫= ‪2 2 n +1‬‬
‫ולקבל את השוויון הדרוש‪.‬‬
‫הוכחה קומבינטורית‪ :‬נספור את מספר תת‪-‬הקבוצות של }‪ {1,2,…,2n+1‬שגודלן לכל היותר ‪n‬‬
‫בשתי דרכים שונות‪ .‬נשים לב‪ ,‬שלכל תת‪-‬קבוצה בגודל ‪ k≤n‬יש תת‪-‬קבוצה משלימה בגודל‬
‫‪ 2 n + 1‬‬
‫‪ .2n+1-k>n‬לכן‪ ,‬מצד אחד‪ ,‬מספרן הוא ‪ ,22n+1/2 = 22n‬ומצד שני‪ ,‬יש ‪‬‬
‫‪ ‬תת‪-‬קבוצות‬
‫‪ k ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 2n + 1‬‬
‫בגודל ‪ ,k‬ולכן מספרן הוא ‪‬‬
‫‪. ∑ ‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪k =0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ 2n ‬‬
‫ב‪: ∑   =   .‬‬
‫‪k =0  k ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ a + b  n  a  b ‬‬
‫‪ = ∑  ‬‬
‫זהו מקרה פרטי של השוויון שהוכחתם בכיתה‪ :‬‬
‫‪ , ‬עבור ‪.a=b=n‬‬
‫‪ n  k =0  k  n − k ‬‬
‫ההוכחות האלגברית והקומבינטורית מחקות את אלו שנלמדו בשיעור‪.‬‬
‫‪ n  n −1  m ‬‬
‫‪:  = ∑ ‬‬
‫ג‪ .‬‬
‫‪ k  m = k −1  k − 1‬‬
‫הוכחה אלגברית‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫‪1 0  m   0 ‬‬
‫עבור ‪ :n=1‬אפשרי רק ש‪ ,k=1-‬ואז ‪   = ∑   =   = 1‬כנדרש‪.‬‬
‫‪1 m=0  0   0 ‬‬
‫נניח שהטענה נכונה עבור ‪ n‬ונוכיח אותה עבור ‪:n+1‬‬
‫‪ n + 1  n   n   n  n−1  m  n  m ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ = ‬‬
‫‪ +   = ‬‬
‫‪ + ∑ ‬‬
‫‪ = ∑ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k   k − 1  k   k − 1 m= k −1  k − 1 m=k −1  k − 1‬‬
‫ע"י שימוש בזהות מתרגיל ‪ ,5‬שאלה ‪-4‬ב' ובהנחת האינדוקציה‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה קומבינטורית‪ :‬ידוע כי מספר תת‪-‬הקבוצות של }‪ {1,…,n‬בגודל ‪ k‬הוא ‪ .  ‬עתה‪ ,‬נספור‬
‫‪k ‬‬
‫אותן באופן הבא‪ .‬נתבונן באיבר הכי גדול בקבוצה )הוא חייב להיות לפחות ‪ (k‬ונסמנו ב‪.m+1 -‬‬
‫‪ m ‬‬
‫שאר ‪ k-1‬אברי הקבוצה נבחרו מבין הקודמים לו‪ ,‬ולכן יש עבורם ‪‬‬
‫‪ ‬אפשרויות‪.‬‬
‫‪ k − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ p‬‬
‫!‪p‬‬
‫= ‪ :  ‬משום ש‪ p -‬ראשוני‪ p ,‬לא מופיע בפירוק לראשוניים במכנה‪ ,‬אך מופיע במונה‪.‬‬
‫‪ .6‬א‪.‬‬
‫!) ‪ k  k!( p − k‬‬
‫‪ pc ‬‬
‫!‪pc‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪: ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫!) ‪ k  k!( p − k‬‬
‫הוכחה ‪ :1‬נספור כמה פעמים ‪ p‬מופיע במונה ובמכנה‪.‬‬
‫מספר הפעמים ש‪ p-‬מופיע במונה‪.pc-1+pc-2+…+p+1 :‬‬
‫מספר הפעמים ש‪ p-‬מופיע במכנה‪:‬‬
‫)‪( k/p+k/p +…+k/p ) + ((p -k)/p+(p -k)/p +…+(pc-k)/pc‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪2‬‬
‫נחבר את שני הסכומים איבר‪-‬איבר‪ ,‬ונקבל שהסכום הוא לכל היותר‪:‬‬
‫‪pc/p+pc/p2+…+pc/pc = pc-1+pc-2+…+p+1‬‬
‫וזהו בדיוק הסכום שהתקבל במונה‪ .‬אך כאשר חיברנו את הערכים השלמים‪ ,‬איבדנו לפחות ‪,1‬‬
‫משום ש‪.k/pc = (pc-k)/pc = 0 -‬‬
‫הוכחה ‪ :2‬באינדוקציה על ‪.c‬‬
‫עבור ‪ :c=1‬הטענה נכונה לפי סעיף א'‪.‬‬
‫‪ k pc −k‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪‬‬
‫נניח שהטענה נכונה ל‪ .c-‬נתבונן בביטוי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪p‬‬
‫‪pc‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , ( x + y ) = ∑  k‬ואז לכל ‪,0<k<pc‬‬
‫‪k =o ‬‬
‫‪pc‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ pc ‬‬
‫הגורם ‪  ‬מתחלק ב‪.p-‬‬
‫‪ k ‬‬
‫נוכיח את הטענה עבור ‪ .c+1‬נתבונן בביטוי‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ p  pc ‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪=  ∑   x k y p − k ‬‬
‫‪ k =o k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪p‬‬
‫)‬
‫‪ p c +1  l p c +1 −l‬‬
‫‪c +1‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= ( x + y ) p = ( x + y) p‬‬
‫∑‬
‫‪ l x y‬‬
‫‪l =o ‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫‪c +1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ pc ‬‬
‫‪ p c +1 ‬‬
‫אז כל גורם מהצורה ‪‬‬
‫‪ ‬הוא מכפלה של ‪ p‬גורמים מהצורה ‪ .  ‬אם לפחות עבור אחד‬
‫‪‬‬
‫‪ k ‬‬
‫‪ l ‬‬
‫‪ p c +1 ‬‬
‫‪ pc ‬‬
‫הגורמים הללו‪ ,0<k<pc ,‬אז ‪ p‬יחלק את ‪  ‬ולכן גם את ‪‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k ‬‬
‫‪ l ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אחרת‪ ,‬או שכל הגורמים הם עם ‪ ,k=0‬ואז נקבל ש‪ ,l=0 -‬או שכל הגורמים הם עם ‪ ,k=pc‬ואז נקבל‬
‫ש‪ .l=pc+1 -‬בכל אופן‪ ,‬הטענה נכונה לכל ‪.0<l<pc+1‬‬
‫‪3‬‬
dybdl `l - zihxwqic dwihnzna 7 libxz
e"qyz ,'` xhqnq
:ze`ad zekxrnl yi minlya zepexzt dnk .1
.6
≤ i ≤ 10
lkl
xear
0 ≤ xi
xear
1 ≤ xi ≤ 4
mbe , 0
xi ≥ 2
mbe , 1
≤i≤5
lkl
xi ≥ 0
,
≤ x3 ≤ 1 ,1 ≤ i ≤ 2 xear 0 ≤ xi ≤ 2
mbe , 1
≤ i ≤ 5
xear
0 ≤ xi ≤ 3
,
,
P10
i=1
P10
xi = 20
i=1 xi
.4 ≤ i
= 20
≤ 10
P10
i=1 xi =
.6 ≤ i ≤
20
10
(a)
(b)
(c)
.2
?∀i
: f (i) 6= iy
zeidl xen` oexztd) ? ∀i
jk opyi
f : [n] → [n]
zekitd zeivwpet dnk (a)
: f (i) 6= iy jk opyi f : [n] → [n] zeivwpet dnk
(b)
(.dxebq dgqep `l ,mekq
.weica zelew
na
xzei xeavi `l
B
micnrendn cg` lk dkf
B
cnrenl
A
cnren oia zexigaa .3
aly meyay jk zelewd z` xetql ozip mikxc dnka (a)
?An zelew
A ii − 1d
lewd zxitq cry jk zelewd z` xetql ozip mikxc dnka (b)
aly meya (d`lde
id
lewd zxitqn `"f) k"g`e , B n zelew xzei xeavi
?B n zelew xzei xeavi `l
A
A
eil` cry mieqn aly yiy jk zelewd z` xetql ozip mikxc dnka (c)
lr liaei `l
A
mlerl k"g`e ,(d`lde oey`xd lewdn)
B
lr ynn liaei
?B
.4
`ly jk ze`qk
n
ly dxey jezn ze`qk
m
xegal ozip mikxc dnka (a)
?mikenq ze`qk ipy xgap
ogley aiaq mi`vnpd ze`qk
n jezn ze`qk m xegal ozip mikxc dnka
?dfl df mikenq ze`qk ipy xgap `ly jk lebr
1
(b)
zihxwqic dwihnzna 7 libxz oexzt
e"qyz ,'` xhqnq
.1
minlya zepexzt oial dpezpd d`eeynl zepexzt oia lre r"gg dn`zd yi (a)
P10
:dn`zdd jxc
i=1 yi = 10 zkxrnd ly miililyi`
(
xi ,
1≤i≤5
yi =
xi − 2, 6 ≤ i ≤ 10
.
19
9
.x3
xnelk , 10 jezn
10
ly zexfg mr dxigak `ed zepexztd xtqn okl
≥ 2 ,x2 ≥ 3 ,x1 ≥ 3 mday zepexztd z` cixedl yi zepexztd llkn
(b)
20−8+9
yi f` miniiwzn mi`pzd zyely lk m`
9
20−6+9
oey`xd e` mipexg`d miipyd m` ,zepexzt
yi f` mipey`xd
9
20−5+9
yi f` ipyd wx e` oey`xd wx m` ,zepexzt
yi f` oexg`de
9
20−2+9
20−3+9
-rn zrk .zepexzt
yi f` oexg`d wx m`e ,zeiexyt`
9
9
miipyd m` ,zepexzt
:`ed iteqd zepexztd xtqn ,dgcdde dlkdd oexw
26
26
27
23
24
24
21
29
−
+
+
+
+
+
−
= 2217348
9
9
9
9
9
9
9
9
dpezpd zkxrnl zepexzt oia lre r"gg dn`zd yi ,oey`xd sirqa enk (c)
zkxrnl zepexztl
10
X
yi = 15, ∀i : 0 ≤ yi ≤ 3
i=1
xtqnn xqgp ,mcewd sirql dneca ,dgcdde dlkdd oexwr jnq lr
ueli` yi mday zepexztd xtqn z` miveli` ila zkxrna zepexztd
.d`ld jke ,miveli` ipy yi mday zepexztd xtqn z` siqep ,ccea
mday mixwn cgi mkql lkep ,dpzyn s`l zcgein zernyn oi`y xg`n
xqgl lkep f` ,miniiwzn miveli`
j
m` .miiwzn miveli` xtqn eze`
1
zkxrnl zepexztd xtqn zeidl
Tk
xicbp .mini`znd mipzyn
P10
zi xy`k i=1
:f` .miililyi` minly
X
(−1)|A| T15−4|A|
A⊆[10]
.k
<0
xear
10
X
j dn 4
zi = k
10
T15−4j
j
j=0
24
20
10 16
10 12
=
− 10
+
−
9
9
2
9
3
9
= 116304
=
Tk = 0y
(−1)j
xg`n mixai` drax` ixg` xvrp mekqd
.2
f : [n] → [n]
k(A)a onqp , A ⊆ [n] xear
= (n − |A|)! f` .∀i ∈ A : f (i) = iy jk
zekitdd zeivwpetd xtqn z`
,dgcdde dlkdd oexwr itl . k(A)
(a)
:`id daeyzd
n
X
n
n
X
X
X
n
n!
(−1)j
(−1)|A| k(A) =
(−1)j
(n−j)! =
(−1)j = n!
j
j!
j!
j=0
j=0
j=0
A⊆[n]
.∀i
∈ A : f (i) = iy
jk
f : [n] → [n]
:`id daeyzde
n
X
m(A)a onqp
m(A) = nn−|A| f`
zeivwpetd xtqn z`
(b)
n n−j
n
(−1)
j
j=0
mipey mikxr
n − 1l
j
xearl leki xtqn lky ze`xl mb xyt` xiyi ote`a
(n − 1)n yi okle (envrl hxt xtqn lk `"f)
iehiad zgizt .zeiexyt`
.xak epayigy daeyzd z` aey wtqz mepiad zxfra dfd
.3
xeyina idylk dcewpa dligzn xy` zecewp ly dxcq zeidl lelqn xicbp (a)
`l
B
oda zelewd zexitq .dlrnl e` dpini zg` dcigi aly lka drpe
A lr liaen
= x oeqkl`d z` zevgl ila (n, n)a miniizqne (0, 0)a
miligzn xy` milelqnl lre r"gg dn`zda od mrt s`
-gia dffd i"r ; y
-izqn , (1, 0)a miligzn xy` milelqnl dn`zd lawp ,dpini zg` dci
.oeqkl`a mirbep mpi`e , (n
+ 1, n)a mini
r"gg dn`zda md oeqkl`a mirbep ok xy` (n+1, n)l (1, 0)n milelqnd
(oekql`d z` miveg mlek xy`) (n + 1, n)l (0, 1)n milelqnd llkl lre
oeqkl`d mr oey`xd ybtnl cr z`vnp xy` dliqnd wlg sewiy i"r
(.(y, x)
(1, 0)n
dcewpa ztlgen dliqna (x, y) dcewpdy jkl dpeekd - sewiy)
2n
zeliqnd xtqn
n−1 `ed ,jk m` ,dl`d
2n
`ed miyweand milelqnd xtqn okle ;
n `ed (n + 1, n)l
milelqnd xtqn jq ;
2n
2n
2n
1
−
=
n+1 n
n
n−1
2
iy gipdl xyt`
i = 2j
letkle efd dcewpl cr oeqkl`a rbep `ly (j, j)l (0, 0)n lelqn
m` .oeqkl`l lrn mixaer `ly (n, n)l (j, j)n milelqnd xtqna
,( B l zeidl aiig xy`) ide (Al zeidl aiig xy`) oey`xd lewd z`
onqp .miiwzi yweandy jxc mey oi` zxg` ik ,ibef `ed
(b)
`evnl yi :zeira izyl mcewd sirqdn dirad z` epwxit zrk .
eze`
cixep
lawp
(0, 0)n zeliqnl dirad ly oey`xd wlgl zepexzt oia lre r"gg dn`zd
:`ed oexztd okl .oeqkl`d z` zeveg opi` xy` (j − 1, j − 1)l
1 2j − 2
1
2(n − j)
·
j j−1
n−j+1 n−j
dn`zd lawp ,oeieeyd zcewpl cr
B le Al
efl ddf daeyzd okle , A lr liaen cinz
mipzipy zelewd ztlgd i"r (c)
B
.
oday zexitql lre r"gg
2n
1
n+1 n ixw ,oey`xd sirqa
.4
`ly `qk yi xgapy `qk lkl oinin f` ,xgap `l xzeia ipnid `qkd m` (a)
ly zexiga oia lre r"gg dn`zd yi .dl`k micnv
m
xegal yie ,xgap
`qk lk ztlgd i"r ,l"pk zexigal ze`qk n − m mr dxeyn ze`qk m
n−m
.dl`k zeiexyt`
yi okl .epinin wix mewne `qk ly cnva xgapy
m
lk aey zrk .xgap `l el`nyny `qkd f` ,xgap xzeia ipnid `qkd m`
mewnd mdy ,zenewn ipy dyrnl `lnn mixg`d ze`qk m − 1dn cg`
n−1−(m−1)
:k"dqa .zeiexyt`
yi olke ,epinin mewnde ely
m−1
n−m
n−m
n−m+1
+
=
m−1
m
m
z` ravp .mipey okle mixtqenn lbrna ze`qikdy jkl dpeekd :dxdad (b)
wexid `qkdy jk dxeyl lbrnd z` gztpe ,wexia lbrna ze`qkd cg`
yi ,mcewd sirqa extqpy itk zeiexyt`d llk jezn .xzeia ipnid `ed
,exgap xzeia il`nyd mbe xzeia ipnid `qkd mb mda mixwnd z` xqgl
lre r"gg dn`zda md dl`d mixeciqd .lbrna miiweg `l mdy xg`n
ipni ikd `qkdy jk ze`qk
n−3
ly dxeyn ze`qk
m−2
zixga mr
miil`nyd ze`qkd ipy z` oke ,xzeia ipnid `qkd z` cixep) wix da
:`ed oexztd okl (.zixewnd dxeydn xzeia
n−m+1
n − 3 − (m − 2)
n−m+1
n−m−1
−
=
−
m
m−2
m
m−2
3
‫תרגיל מס' ‪ 8‬במתמטיקה דיסקרטית )להגשה(‬
‫‪ .1‬א‪ .‬נתונים ‪ 20‬כדורים ממוספרים‪ .‬בכמה דרכים ניתן לחלק אותם ל‪ 6-‬קופסאות בצבעים שונים‪ ,‬כך‬
‫שאף קופסא לא תישאר ריקה?‬
‫ב‪ .‬מצאו את מספר הפונקציות }‪) f:{1,2,..,m}{1,2,..,n‬כאשר ‪ (m≥n‬שהן על‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה התשובה לסעיף ב' כאשר ‪ ?m=20, n=6‬מה הקשר לסעיף א'?‬
‫‪ .2‬בכמה דרכים ניתן לסדר את המספרים ‪ 1,...,2n‬במטריצה ‪ 2×n‬כך שהמספרים עולים בכל שורה ובכל‬
‫עמודה? כלומר‪ ,‬לכל איבר במטריצה האיברים מימינו )אם יש( ומעליו )אם יש( גדולים ממנו‪.‬‬
‫)רמז‪ :‬השוו בעיה זו לבעיית הבחירות(‪.‬‬
‫‪ .3‬הוכחתם בשיעור את המשפט הבא‪:‬‬
‫משפט )‪ :(Erdös-Szekeres‬בכל סדרה של ‪ n2+1‬מספרים ממשיים שונים זה מזה‪ ,‬יש תת‪-‬סדרה של‬
‫לפחות ‪ n+1‬מספרים שהיא יורדת או עולה‪.‬‬
‫הוכיחו כי חסם זה הוא הדוק‪ ,‬כלומר‪ :‬תנו דוגמא לסדרה באורך ‪ n2‬שלא מכילה שום תת‪-‬סדרה עולה‬
‫או יורדת באורך ‪.n+1‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬הוכיחו שאם }‪ {a1,...,an‬מספרים שלמים שונים זה מזה‪ ,‬אזי יש תת‪-‬קבוצה לא ריקה שלהם‬
‫שסכומה מתחלק ב‪.n-‬‬
‫ב‪ .‬תהי }‪ A={a1,...,a10‬קבוצת מספרים שלמים שונים זה מזה‪ .‬האם בהכרח קיימת תת‪-‬קבוצה לא‬
‫ריקה של ‪ A‬שסכומה מתחלק ב‪?11-‬‬
‫‪ .5‬צלף יורה חצים על מטרה בצורת משולש שווה צלעות שאורך צלעו שווה ל‪.1-‬‬
‫א‪ .‬הראו שאם הצלף יורה ‪ 5‬חצים )שכולם פוגעים במטרה( אז יש ‪ 2‬מהם שיפגעו במטרה במרחק של‬
‫לכל היותר ½ זה מזה‪) .‬רמז‪ :‬חלקו את המשולש למשולשים שווי צלעות קטנים יותר(‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו שאם הצלף יורה ‪ n2+1‬חצים )שכולם פוגעים במטרה( אז יש ‪ 2‬מהם שיפגעו במטרה‬
‫במרחק של לכל היותר ‪ 1/n‬זה מזה‪) .‬רמז‪.(n2 = 1+3+...+(2n-1) :‬‬
‫‪ .6‬א‪ .‬יהיו ‪ m1,...,mn‬מספרים שלמים שממוצעם לפחות ‪ .k‬הוכיחו שקיים ‪ 1≤i≤n‬כך ש‪.mi≥k -‬‬
‫ב‪ .‬נסדר את המספרים ‪ 1,...,10‬סביב מעגל בסדר כלשהו‪ .‬הוכיחו שקיימים ‪ 3‬מספרים רצופים על‬
‫המעגל שסכומם לפחות ‪.17‬‬
‫בהצלחה!‬
‫☺‬
‫פתרון תרגיל מס' ‪ 8‬במתמטיקה דיסקרטית‬
‫‪ .1‬א‪ .‬נגדיר את הקבוצות הבאות‪:‬‬
‫‪ = S‬קבוצת כל הסידורים האפשריים של ‪ 20‬הכדורים הממוספרים ב‪ 6 -‬הקופסאות‪.‬‬
‫‪ = Ai‬קבוצת כל הסידורים האפשריים של ‪ 20‬הכדורים כך שהקופסא ה‪ i-‬נשארת ריקה )‪.(1≤i≤6‬‬
‫‪6‬‬
‫הפתרון המבוקש הוא‪:‬‬
‫‪UA‬‬
‫‪i‬‬
‫‪.S −‬‬
‫‪i =1‬‬
‫ברור כי ‪ .|S|=620‬על‪-‬מנת לחשב את גודל האיחוד‪ ,‬נשתמש בעקרון ההכלה וההדחה‪:‬‬
‫‪Ai ∩ Aj ∩ Ak ∩ Al‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪Ai ∩ Aj ∩ Ak −‬‬
‫‪1≤ i < j < k <l ≤ 6‬‬
‫‪Ai ∩ Aj +‬‬
‫‪1≤ i < j < k ≤ 6‬‬
‫∑‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1≤i < j ≤ 6‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪U Ai = ∑ Ai −‬‬
‫‪6‬‬
‫‪IA‬‬
‫‪i‬‬
‫∑‬
‫‪Ai ∩ Aj ∩ Ak ∩ Al ∩ Am −‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1≤i < j < k < l < m ≤ 6‬‬
‫‪i =1‬‬
‫נחשב כ"א מהגורמים בנפרד‪ .‬משיקולי סימטריה‪ ,‬די לחשב את אחד הגורמים בכל סכום‪.‬‬
‫‪Ai = 520 , Ai ∩ A j = 4 20 , Ai ∩ Aj ∩ Ak = 320 , Ai ∩ Aj ∩ Ak ∩ Al = 220‬‬
‫‪6‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪IA‬‬
‫‪i‬‬
‫‪Ai ∩ Aj ∩ Ak ∩ Al ∩ Am = 1 ,‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪6‬‬
‫התשובה הסופית היא לכן‪. 620 −  6 ⋅ 520 −   ⋅ 420 +   ⋅ 320 −   ⋅ 2 20 + 6 ⋅1  :‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬אפשר להתבונן בבעיה באופן הבא‪ :‬ישנם ‪ m‬כדורים ממוספרים מ‪ 1-‬עד ‪ m‬ו‪ n-‬קופסאות ממוספרות‬
‫מ‪ 1-‬עד ‪ .n‬כל פונקציה ‪ f‬משרה חלוקה של הכדורים לקופסאות באופן הבא‪ f(i)=j :‬אם"ם הכדור ה‪ i-‬נמצא‬
‫בקופסא ה‪ f .j-‬על אם"ם אף קופסא לא נשארת ריקה‪.‬‬
‫כמו בסעיף א'‪ ,‬נשתמש בעקרון ההכלה וההדחה‪ .‬נגדיר את הקבוצות הבאות‪:‬‬
‫‪ = S‬קבוצת כל הסידורים האפשריים של ‪ m‬הכדורים הממוספרים ב‪ n -‬הקופסאות‪.‬‬
‫‪ = Ai‬קבוצת כל הסידורים האפשריים של ‪ m‬הכדורים כך שהקופסא ה‪ i-‬נשארת ריקה )‪.(1≤i≤n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫הפתרון המבוקש הוא‪ , S − U Ai :‬והתשובה הסופית היא לכן‪. n m −  ∑ (−1)i +1   (n − i) m  :‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬אותה התשובה מסעיף א'‪.‬‬
‫‪ .2‬כזכור‪ ,‬בעיית הבחירות הרגילה היא פונקציה }‪ ,f:{1,..,2n}{1,-1‬כך שאם הפתק ה‪ i-‬היה עבור‬
‫המועמד הראשון‪ ,f(i)=1 ,‬ואם הוא היה עבור המועמד השני‪ .f(i)=-1 ,‬הפונקציה ‪ f‬מקיימת את‬
‫התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪∑ f (i) = 0 , ∀k < 2n : ∑ f (i) ≥ 0‬‬
‫נראה כי כל פונקציה ‪ f‬כזו שקולה לסידור מטריצה כמבוקש‪ ,‬ולכן מספר הדרכים לסידור המטריצה הוא‬
‫מספר קטלן ‪.Cn‬‬
‫‪1‬‬
‫בהינתן פונקציה ‪ f‬כנ"ל‪ ,‬נסדר את המספרים במטריצה באופן הבא‪ :‬בשורה הראשונה נסדר בסדר עולה‬
‫את הקבוצה בגודל ‪ n‬הבאה }‪ .{i: f(i)=-1‬בשורה השנייה נסדר בסדר עולה את הקבוצה בגודל ‪ n‬הבאה‬
‫}‪ .{i: f(i)=1‬בדקו שהסידור הנ"ל מכבד את התנאי המבוקש‪.‬‬
‫בהינתן סידור חוקי של המספרים במטריצה‪ ,‬נגדיר את הפונקציה ‪ f‬באופן הבא‪ :‬אם ‪ i‬נמצא בשורה‬
‫הראשונה אז ‪ ,f(i)=-1‬ואם ‪ i‬נמצא בשורה השנייה אז ‪ .f(i)=1‬בדקו ש‪ f-‬מקיימת את התנאים הנדרשים‪.‬‬
‫‪ .3‬דוגמא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫}‪{n -n+1,n -n+2,…,n -1,n , n -2n+1,n -2n+2,…,n -n-1,n -n, … , 1,2,…,n-1,n‬‬
‫כלומר‪ n :‬בלוקים של ‪ n‬מספרים כ"א‪ ,‬כך שבתוך כל בלוק המספרים עולים ממש‪ ,‬ובין בלוקים שונים‬
‫המספרים יורדים ממש‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ k ‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬נתבונן בקבוצת הסכומים החלקיים ‪ . ∑ ai ‬הקבוצה הזו היא בת ‪ n‬איברים‪ ,‬נסמן ב‪ rk-‬את‬
‫‪ i =1 k =1‬‬
‫‪k‬‬
‫השארית בחלוקה ב‪ n-‬של הסכום החלקי ‪ , ∑ ai‬ונשים לב ש‪ .0≤rk≤n-1 -‬נתבונן בקבוצת השאריות‬
‫‪i =1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ . {rk }k =1‬אם ‪ 0‬שייך לקבוצה הזו אז סיימנו )למה?(‪ .‬אחרת‪ ,‬לפי עקרון שובך היונים יש ‪ s<t‬כך ש‪-‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ ,rs=rt‬ואז‬
‫‪∑a‬‬
‫‪i‬‬
‫מתחלק ב‪ n-‬בלי שארית )למה?(‪.‬‬
‫‪i = s +1‬‬
‫ב‪ .‬הטענה לא נכונה‪ .‬דוגמא נגדית‪ :‬ניקח את הסדרה שבה ‪ .ai = 1+11⋅i‬נשים לב כי לכל ‪) B⊆A‬לא‬
‫ריקה( השארית של סכום כל אברי ‪ B‬בחלוקה ב‪ 11-‬תהיה ‪.1≤|B|≤10‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬נחלק את המשולש ל‪ 4-‬משולשים שווי‪-‬צלעות קטנים‪ ,‬שאורך צלעם ½ )כמו בציור(‪:‬‬
‫לפי עקרון שובך היונים‪ ,‬לפחות ‪ 2‬חצים יפגעו באותו משולש קטן‪,‬‬
‫לכן המרחק ביניהם יהיה לכל היותר ½ )למה?(‪.‬‬
‫ב‪ .‬באותה השיטה‪ ,‬נחלק את המשולש הגדול למשולשים שווי‪-‬צלעות קטנים שאורך צלעם ‪ .1/n‬נשים‬
‫לב לכך שקיבלנו ‪ n2‬משולשים קטנים )לפי הרמז‪ .(n2 = 1+3+...+2n-1 :‬לפי עקרון שובך היונים‪ ,‬לפחות ‪2‬‬
‫חצים יפגעו באותו משולש קטן‪ ,‬לכן המרחק ביניהם יהיה לכל היותר ‪) 1/n‬למה?(‪.‬‬
‫‪ .6‬א‪ .‬אחרת‪ ,‬אם כל ‪ ,mi<k‬אזי ‪ ,m1+...+mn<nk‬ולכן הממוצע שלהם יהיה קטן ממש מ‪ ,k-‬וסתירה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נסדר את המספרים ‪ 1,..,10‬במעגל‪ .‬נסמן את המספרים בסדר שקיבלנו ב‪ .a1,...,a10 -‬נתבונן‬
‫בסכומים הבאים‪:‬‬
‫‪m1=a1+a2+a3, m2=a2+a3+a4, … , m8=a8+a9+a10, m9=a9+a1+a2, m10=a10+a1+a2‬‬
‫נסכום את כל הסכומים הללו‪ ,‬ונקבל ש‪) m1+...+m10 = 3(a1+a2+...+a10) = 3⋅55 -‬למה?(‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬הממוצע של כל ה‪-mi-‬ים הוא ‪ .16.5‬לפי סעיף א'‪ ,‬קיים ‪ ,mi≥16.5‬ומשום שכל ה‪-mi-‬ים הם מספרים‬
‫שלמים‪ ,‬בעצם ‪.mi≥17‬‬
‫‪2‬‬
dybdl `l - zihxwqic dwihnzna 9 libxz
e"qyz ,'` xhqnq
:mepihlen zel`y .1
.(x1
n
+ · · · + xl )
ly miixbeqd z` migzetyk
Ql
xi
i=1
mi
ly mcwnd `ed
n
m1 , . . . , ml
y e`xd (a)
:y ewiqd (b)
X
(i1 ,...,il ),(j1 ,...jl )
(
n
i1 , . . . , il
k
j1 , . . . , jl
) X
l
l
X
:
it = n ∧
jt = k ∧ ∀t : it + jt = mt =
t=1
t=1
n+k
m1 , . . . , ml
:y ,mcew libxza ritedy itk ,ewiqd (c)
n+k
t
ew yi f` , 1 erlv jxe`y reaix jeza
2n
=
t X
n
k
i
t−i
i=0
lecbd xahvn jxe` mr mirhw ly sqe` mixiivn m`y egiked .2
.mirhwdn miipy zegtl jzeg xy` reaixd zerlvn zg`l liawnd
an
ribdl ozip xnelk , bl
a
oia dliqn yi m`
bl
xeyw
ay xn`p
∼ ba df
.a
(.oeekn `l) sxba micewcew
(.sxbd ly zexiywd iaikx ze`xwp zeliwyd zewlgn) zeliwy qgi `ed
(.xiyw `xwp dfk sxb) ccea zexiyw aikx mr sxbl dnbece zexiyw iaikx
.dG (a)a dpnqpe , a z` zelikn xy`
a, b
eidi :dxcbd .3
qgi onqp .sxbd zerlv jxe`l dkild i"r
3
∼y
bl
egiked (a)
mr sxbl dnbec epz (b)
Ga zerlvd xtqn `id Ga a ly dbxcd . G oeekn `l sxba cewcew a idi
.dbxc ieey micewcew ipy yi iteq sxb lkay e`xd (a)
;dnbec epz ,ok m` .eicewcew zebxc zxcq idefy jk sxb miiw m` eraw ,ze`ad zexcqdn zg` lk iabl (b)
.oi` recn egiked ,`l m`
(2, 2, 3, 3, 4, 4)
(4, 4, 4, 4, 4)
(3, 3, 3, 3, 3, 3, 3)
(.minrt 100) (1, 1, 1, . . . , 1)
(0, 1, 2, 3, . . . , 19, 20)
1
.i
.ii
.iii
.iv
.v
.4
zihxwqic dwihnzna 9 libxz oexzt
e"qyz ,'` xhqnq
.1
-eqd zgizta ,mixgea epgp` xy`k oezpd mcwnl dnexz milawn ep` (a)
m2 a x2
xai`d z` ;k"dqa
jk mipey mi`z
`za
ml
ll
nd
m1 a x1
jezn mixwn
midf mixeck
n
mr ,d`ld jke ,ipyd `za
xai`d z` ,miixb
wlgl jixv `"f .d`ld jke ;mixwn
m2
,oey`xd `za mixeck
m1
eidiy
.mepihlend weica df .oexg`d
:y al eniy (b)
n
k
n+k
(x1 + · · · + xl ) (x1 + · · · + xl ) = (x1 + · · · + xl )
Q mi
z` mkql jxhvp l`ny sb`a ,
xi ly mcwnd z` lawl
t
-kna oey`xd xai`a xi i dxevdn mixai` ly mincwnd ly
m −t
z` heyt lawp oini sb`ae ;dltkna ipyd xai`dn xi i i
n"r ,zrk
zeltknd
lye ,dlt
iehiad weica edfy ze`xl xyt` miqwcpi`a diida hrn mr .mepihlend
.dl`ya meyxy
i2 =
i1 lr
mkql witqn ,okl . j2
lawp
t
z` mircei epgp` ,mcewd sirqdn
meyxp
i1
= k − j1
i1 ozpida . l = 2 df dxwna
j1 = m1 − i1 z` oke , n − i1
(c)
z`e
mewna m` .minepiad zltkn z` l`ny sb`a meyxle
.dl`ya meyxy iehiad z`
milhidd ipy jxe` jq .reaixd ly zekenq zerlv izy lr mirhwd z` lihp .2
cgi yleyn mixvei milhiddy xg`n ,envr rhwd jxe`k zegtl `ed rhw ly
rlvd jxe`n lecb cinz yleyna zerlv izy jxe` mekqe ,ixewnd rhwd mr
jex` lhidd dilry rlv yi okle , 2n lecb milhidd jxe` jqy ,o`kn .ziyilyd
zrk .zegtl zepey zerlv
2
i"r dqekny zerlvd zg`d lr dcewp yi ,okl . 1n
xy` rhw lk jzeg (diipyd rlvl liawne) rlvl avip xy` ef dcewp jxc xyid
.zegtl mirhw
2
jzeg `ed okle ,ef dcewp dqkn
.3
.dnvrl dcewp lk zxywn dwixd dliqnd :zeiaiqwltx (a)
oeeika zezywd lr zkll xyt` f` , bl
.al
.cl
an
bn
an
dliqn yi m` :zeixhniq
xefgle (oeekn epi` sxbdy xg`n) jetdd
dliqn aipi mxeyxy f` , cl
bne bl an
1
zeliqn yi m` :zeiaifipxh
lkl zg` ,zexiyw zewlgn
3
likn zezyw `lle zecewp yely mr sxbd (b)
:zilnxet .dcewp
V (G) = {1, 2, 3}, E(G) = ∅
-nxet .zccea zexiyw zwlgn likn zezyw `lle zccea dcewp mr sxbd
:zil
V (G) = {1}, E(G) = ∅
.4
yi .dpey dbxc cewcew lkl eay micewcew
n mr sxb epl yiy dlilya gipp
n
(a)
jk ,zexfg oi`y xg`n f` ; {0, 1, . . . , n−1} ixw ,dbxcl zepey zeiexyt`
cvn .n−1 dbxc mr cewcewe
0 dbxc mr cewcew yi okl
.zlvepn zexyt`
cewcewd oia zyw yi ik) zyw zxaer dl`d micewcewd ipy oia ,cg`
s` oi` ik ,zyw mdipia oi` ,ipy cvn ;(xg` cewcew lkl
n−1
dbxcn
.dxizq . 0 dbxcn cewcewd z` dlikny zyw
(b)
;V
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
:yi .i
E = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)}
.zecewp 5 mr
K5
`lnd sxbd :yi . ii
· 3 = 21 `ed zebxcd mekq :oi` . iii
2 znxez zyw lky xg`n) zezywd xtqn miinrt `ed sxba
zebxcd mekq la` .ibefi` xtqn , 7
mekql
.ibef zeidl aiig `edy o`kne (zebxcd
.50 mdipia yxtdd mm` mixtqn ipy oia zyw yie , V
(?recn)
1
= [100]
:yi .iv
`id cewcew lk ly dbxcd f`
.dbxc ieey micewcew ipy zeidl miaiig ,mcewd sirqd t"r :oi` .
2
v
‫תרגיל מס' ‪ 10‬במתמטיקה דיסקרטית )להגשה(‬
‫הערה‪ :‬בתרגיל זה ) ‪ G = (V , E‬הוא גרף לא מכוון‪.‬‬
‫‪ .1‬הגדרה‪ :‬הגרף המשלים של ‪ G‬הוא הגרף ) ‪ G = (V , E‬כאשר קבוצת הקדקודים של ‪ G‬זהה לזו של‬
‫‪ , G‬ואילו שני קדקודים ‪ u,v‬הם שכנים ב‪ G -‬אם"ם הם אינם שכנים ב‪. G -‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו כי אם ‪ G‬לא קשיר‪ ,‬אז ‪ G‬קשיר והקוטר שלו הוא לכל היותר ‪.2‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו שאם ל‪ G -‬יש קוטר גדול או שווה ל‪ ,4-‬אזי הקוטר של ‪ G‬הוא לכל היותר ‪.2‬‬
‫ג‪ .‬תנו דוגמא לגרף ‪ G‬שקוטרו ‪ 3‬והקוטר של ‪ G‬הוא גם‪-‬כן ‪.3‬‬
‫‪ .2‬נניח של‪ G -‬יש ‪ n‬קדקודים ודרגת כל קודקוד היא לפחות ‪ .(n-1)/2‬הוכיחו כי ‪ G‬קשיר והקוטר שלו‬
‫הוא לכל היותר ‪.2‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬נסמן ב‪ n -‬את מספר הקדקודים של ‪ , G‬ב‪ e -‬את מספר הצלעות של ‪ G‬וב‪ c -‬את מספר רכיבי‬
‫הקשירות של ‪ . G‬הוכיחו באינדוקציה על ‪ e‬כי‪.c ≥ n-e :‬‬
‫ב‪ .‬הסיקו שבגרף קשיר בעל ‪ n‬קדקודים יש לפחות ‪ n-1‬צלעות‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬הוכיחו כי אם הדרגה של כל קדקוד של ‪ G‬היא לפחות ‪ ,2‬אז יש בו מעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו כי אם ב‪ G -‬יש ‪ n≥3‬קודקודים ולפחות ‪ n‬צלעות‪ ,‬אז יש בו מעגל‪.‬‬
‫)הדרכה‪ :‬באינדוקציה על ‪.(n‬‬
‫‪ .5‬יהי ‪ G‬גרף קשיר לא‪-‬מכוון שבו הדרגה של כל קדקוד היא זוגית‪ .‬הראו שניתן לכוון את צלעות ‪ G‬כך‬
‫שדרגת היציאה של כל קדקוד שווה לדרגת הכניסה שלו‪.‬‬
‫‪ .6‬בתירגול הוכחנו את הטענה הבאה‪:‬‬
‫טענה ‪ :1‬בגרף קשיר לא‪-‬מכוון יש מסלול אוילר אם"ם יש בו ‪ 0‬או ‪ 2‬קדקודים בעלי דרגה אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫הוכיחו את הכללת הטענה הזו‪:‬‬
‫טענה ‪ :2‬נניח שבגרף קשיר לא מכוון יש ‪ k‬קדקודים מדרגה אי‪-‬זוגית‪ .‬אזי ‪ k‬זוגי‪ ,‬וניתן לפרק את‬
‫קבוצת הצלעות של הגרף ל‪ k/2-‬מסלולים זרים בצלעות‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫☺‬
‫פתרון תרגיל מס' ‪ 10‬במתמטיקה דיסקרטית‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬נניח ש‪ G -‬אינו קשיר‪ ,‬אז יש ב‪ G -‬לפחות ‪ 2‬רכיבי קשירות‪ .‬יהיו ‪ u , v‬שני קדקודים‪ .‬אם הם‬
‫שייכים לרכיבי קשירות שונים של ‪ , G‬אז ודאי שיש ביניהם צלע ב‪ . G -‬אם הם שייכים לאותו‬
‫רכיב קשירות‪ ,‬ניקח קדקוד ‪ w‬ברכיב קשירות אחר‪ ,‬ואז ב‪ G -‬יש מסלול ‪ . u , w, v‬לכן‪G ,‬‬
‫קשיר וקוטרו לכל היותר ‪.2‬‬
‫ב‪ .‬יהיו ‪ u , v‬שני קדקודים‪ .‬אם ‪ , d G (u , v) > 1‬אזי ‪ {u , v} ∈ E‬ולכן ‪ . d G (u , v) = 1‬אחרת‪ ,‬אם‬
‫‪ , d G (u , v) = 1‬נוכיח כי קיים קדקוד ‪ w‬שאינו מחובר ב‪ G -‬לאף‪-‬אחד מהקדקודים ‪. u , v‬‬
‫)במקרה זה‪ ,‬יש מסלול ‪ u , w, v‬ב‪ G -‬ולכן ‪ .( d G (u , v) = 2‬אם אין קדקוד ‪ w‬כנ"ל‪ ,‬אזי בין כל‬
‫שני קדקודים ‪ x, y‬יש מסלול העובר דרך ‪ u‬או דרך ‪) v‬או דרך שניהם( שאורכו לכל היותר ‪3‬‬
‫)למה?(‪ ,‬וזאת בסתירה להנחה שהקוטר של ‪ G‬הוא לפחות ‪.4‬‬
‫ג‪ .‬דוגמא‪ :‬הגרפים ‪ G‬ו‪ G -‬הם הגרפים הבאים‪:‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪v4‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪v4‬‬
‫‪v1‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫נראה שבין כל ‪ 2‬קדקודים ‪ u , v‬קיים מסלול שאורכו לכל היותר ‪.2‬‬
‫אם ‪ u‬ו‪ v -‬שכנים‪ ,‬אז סיימנו‪ .‬אחרת‪ ,‬ל‪ u -‬יש לפחות ‪ (n-1)/2‬שכנים ול‪ v -‬יש לפחות ‪ (n-1)/2‬שכנים‪,‬‬
‫ולכן לפי עקרון שובך היונים יש להם שכן משותף )למה?(‪ ,‬נסמנו ב‪ . w -‬לכן‪ ,‬קיים מסלול ‪. u , w, v‬‬
‫שאלה ‪ :3‬ראו הוכחה בספר "מתמטיקה בדידה"‪ ,‬עמ' ‪ ,171‬טענה ‪.5.1.14‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫א‪ .‬יהי ‪ v‬קודקוד כלשהו בגרף‪ ,‬נצא מ‪ , v -‬ונטייל על צלעות הגרף באופן כלשהו‪ ,‬כאשר אנו מקפידים‬
‫שלא לחזור מייד לצלע שממנה הגענו‪ .‬מכיוון שהדרגה של כל קדקוד היא לפחות ‪ ,2‬אז לא ניתקע‬
‫באף קדקוד‪ .‬מכיוון שהגרף סופי‪ ,‬נגיע לבסוף לקדקוד שבו כבר ביקרנו‪ ,‬ואז קיבלנו מעגל כנדרש‪.‬‬
‫ב‪ .‬ראו הוכחה בספר "מתמטיקה בדידה"‪ ,‬עמ' ‪ ,171‬טענה ‪.5.1.15‬‬
‫שאלה ‪:5‬‬
‫לפי משפט )אוילר( בגרף ‪ G‬יש מעגל אוילר‪ .‬נעקוב אחרי המעגל ונכוון את הצלעות בהתאם לו‪ .‬מעגל‬
‫אוילר נכנס לכל קודקוד כמספר הפעמים שהוא יוצא ממנו )למה?(‪ ,‬ולכן מתקבל כיוון של הצלעות כנדרש‪.‬‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫לפי טענה שלמדתם בשיעור‪ ,‬בגרף לא‪-‬מכוון מספר הקדקודים מדרגה אי‪-‬זוגית הוא תמיד זוגי‪.‬‬
‫נוסיף לגרף קדקוד נוסף ‪ , v‬ונחבר את כל הקדקודים שדרגתם אי‪-‬זוגית בצלע ל‪ . v -‬בגרף החדש‪ ,‬לכל‬
‫הקדקודים דרגה זוגית )למה?(‪ ,‬ולכן קיים בו מעגל אוילר‪ .‬עתה נשמיט את הקדקוד ואת הצלעות החדשות‬
‫שהוספנו‪ ,‬ונקבל ‪ k/2‬מסלולים זרים בצלעות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגיל מס' ‪ 11‬במתמטיקה דיסקרטית )לא להגשה(‬
‫הגדרות‪ :‬יהי )‪ G=(V,E‬גרף לא מכוון‪.‬‬
‫מסלול שמבקר בכל צלע בגרף בדיוק פעם אחת נקרא מסלול אוילר‪ .‬מעגל שמבקר בכל צלע בגרף בדיוק‬
‫פעם אחת נקרא מעגל אוילר‪) .‬שימו לב שהגדרה זו טובה גם לגרף מכוון(‪.‬‬
‫מסלול שמבקר בכל קדקוד בגרף בדיוק פעם אחת נקרא מסלול המילטון‪ .‬מעגל שמבקר בכל קדקוד בגרף‬
‫בדיוק פעם אחת נקרא מעגל המילטון‪.‬‬
‫‪ .1‬מצאו דוגמאות לגרף לא מכוון‪:‬‬
‫א‪ .‬עם מעגל אוילר וללא מעגל המילטון‪.‬‬
‫ב‪ .‬עם מעגל המילטון וללא מעגל אוילר‪.‬‬
‫‪ .2‬סדרות ‪ .De Bruijn‬סדרו על מעגל סדרה באורך ‪ 2n‬של אפסים ואחדים‪ ,‬כך שכל סדרה באורך ‪ n‬של‬
‫אפסים ואחדים תופיע כקטע רצוף של הסדרה המעגלית‪ .‬הדרכה‪:‬‬
‫א‪ .‬הגדירו גרף מכוון עם ‪ 2n-1‬קדקודים‪ ,‬שקדקודיו הם כל הסדרות באורך ‪ n-1‬של אפסים ואחדים‪.‬‬
‫לכל קדקוד )‪ x=(x1,x2,...,xn-1‬נוסיף צלע מ‪ x-‬ל‪ (x2,x3,...,xn-1,0) -‬וצלע מ‪ x-‬ל‪.(x2,x3,...,xn-1,1) -‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו שבגרף המכוון הנ"ל יש מעגל אוילר‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את הסדרה המעגלית הדרושה‪.‬‬
‫‪ .3‬צופן ‪ .Gray‬גרף הקוביה ה‪-n -‬מימדית‪ ,‬שיסומן ב‪ ,Qn -‬הוא גרף לא מכוון‪ ,‬שאוסף הקדקודים שלו‬
‫הוא אוסף כל הסדרות )‪ (a1,a2,...,an‬עם }‪ ,ai∈{0,1‬ויש צלע בין כל שתי סדרות השונות זו מזו בדיוק‬
‫בקואורדינטה אחת‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו שאם ‪ ,n≥2‬אז יש מסלול המילטון על ‪) .Qn‬הדרכה‪ :‬באינדוקציה על ‪.(n‬‬
‫ב‪ .‬לפניכם ‪ n‬נורות כבויות‪ .‬ניתן להדליק או לכבות כל נורה ע"י לחיצה על מתג‪ .‬עליכם לעבור על כל‬
‫‪ 2n‬המצבים האפשריים של הנורות‪ .‬איך תעשו זאת ע"י מספר מינימלי של לחיצות? הוכיחו‬
‫טענתכם‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬אם כל ‪ k‬נשים מכירות ביחד לפחות ‪ 7k‬גברים‪ ,‬הוכיחו כי קיים "שידוך" שבו זוכה כל אישה ב‪7-‬‬
‫גברים‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם כל ‪ k‬גברים מכירים לפחות ‪ k-3‬נשים‪ ,‬הוכיחו שקיים שידוך הממצה את כל הגברים‪ ,‬למעט לכל‬
‫היותר ‪ 3‬מתוכם‪.‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬בכנסת יש ‪ k‬ועדות‪ .‬רוצים לבחור בכל אחת מהועדות יושב‪-‬ראש‪ ,‬כך שח"כ לא יכהן כיושב‪-‬ראש של‬
‫יותר מועדה אחת‪ .‬מצאו תנאי הכרחי ומספיק לכך שהבחירה אפשרית‪ .‬הוכיחו טענתכם‪.‬‬
‫ב‪ .‬מחלקים את כל חברי הכנסת לפי שתי חלוקות שונות ‪ .A1∪...∪Ak = B1∪...∪Bk‬מצאו תנאי‬
‫הכרחי ומספיק לכך שניתן לבחור ‪ k‬נציגים ‪ ,x1,...,xk‬שיהיו נציגים של כל החלקים הן לפי החלוקה‬
‫הראשונה והן לפי החלוקה השניה‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫☺‬
‫פתרון תרגיל מס' ‪ 11‬במתמטיקה דיסקרטית‬
‫‪ .1‬ראו תרשים ‪ 5.3.9‬בעמ' ‪ 197‬בספר "מתמטיקה בדידה"‪.‬‬
‫‪ .2‬ראו דוגמא ‪ 5.3.7‬בעמ' ‪ 194-196‬בספר "מתמטיקה בדידה"‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬ראו דוגמא ‪ 5.3.10‬בעמ' ‪ 198‬בספר "מתמטיקה בדידה"‪.‬‬
‫ב‪ .‬ניתן לראות את ‪ 2n‬המצבים האפשריים של הנורות כקדקודי הגרף ‪ .Qn‬מסלול המילטון שמצאתם‬
‫בסעיף א'‪ ,‬עובר בכל‪-‬אחד מהמצבים הללו פעם אחת בדיוק‪ .‬לכן‪ ,‬ע"י ‪ 2n-1‬לחיצות‪ ,‬ניתן לעבור על כל‬
‫‪ 2n‬המצבים האפשריים של הנורות‪ .‬ברור שזהו מספר הלחיצות המינימלי )למה?(‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬נניח שלכל אישה יש ‪ 7‬בנות‪ .‬נגדיר היכרות בין קבוצת הבנות לקבוצת הגברים באופן הבא‪ :‬כל בת‬
‫מכירה את הגברים שמכירה אימה‪ .‬נבדוק שמתקיימים תנאי משפט ‪ ,Hall‬כלומר שכל ‪ k‬בנות מכירות‬
‫לפחות ‪ k‬גברים‪ .‬תהי ‪ A‬קבוצה של ‪ k‬בנות‪ ,‬ותהי ‪ B‬קבוצת האמהות שלהן‪ .‬ברור ש‪ ,|B|≥k/7 -‬כי לכל‬
‫אמא יש בדיוק ‪ 7‬בנות‪ .‬לכן‪ ,‬לפי ההנחה‪ ,‬הנשים ב‪ B-‬מכירות לפחות ‪ k‬גברים‪ ,‬מכאן שהבנות ב‪A-‬‬
‫מכירות לפחות ‪ k‬גברים‪ .‬ממשפט ‪ ,Hall‬קיים שידוך בין קבוצת הבנות לקבוצת הגברים שממצה את‬
‫כל הבנות‪ .‬כעת‪ ,‬נשדך לכל אישה את ‪ 7‬הגברים ששידכנו לבנותיה‪ ,‬וסיימנו‪.‬‬
‫ב‪ .‬נוסיף לקבוצת הנשים עוד ‪ 3‬נשים זרות‪ .‬ונניח שכל‪-‬אחת מהנשים הזרות מכירה את כל הגברים‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬כל ‪ k‬גברים מכירים לפחות ‪ k‬נשים )לפחות ‪ k-3‬מהנשים המקוריות ואת ‪ 3‬הנשים הזרות(‪ .‬לכן‪,‬‬
‫לפי משפט ‪ ,Hall‬קיים שידוך הממצה את כל הגברים‪ .‬עתה‪ ,‬נגרש את ‪ 3‬הנשים הזרות‪ ,‬ואז מספר‬
‫הגברים שיאבדו את השידוך שלהם הוא לכל היותר ‪.3‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬נשים לב לכך שאנו מחפשים זיווג בין חברי‪-‬הכנסת לוועדות‪ ,‬כאשר הזיווג הוא בין ועדה ליושב‪-‬‬
‫הראש שלה‪ .‬לפי משפט ‪ ,Hall‬תנאי הכרחי ומספיק לכך הוא שבכל איחוד של ‪ k‬ועדות יש לפחות ‪k‬‬
‫חברי‪-‬כנסת שמשתתפים בהן‪.‬‬
‫ב‪ .‬התנאי‪ :‬כל איחוד של ‪ r≤k‬תת‪-‬קבוצות מה‪-Ai-‬ים חותכות לפחות ‪ r‬תת‪-‬קבוצות מה‪-Bi-‬ים‪.‬‬
‫הסבר‪ :‬נתבונן על ה‪-Ai-‬ים בתור ‪" k‬גברים" ועל ה‪-Bi-‬ים בתור ‪" k‬נשים"‪ .‬תנאי ההיכרות בין גבר ‪As‬‬
‫לאישה ‪ Bt‬הוא שהחיתוך ‪ As∩Bt‬אינו ריק‪ .‬התנאי שכתוב לעיל שקול לתנאי ‪ Hall‬במקרה זה‪ .‬לפי‬
‫משפט ‪ ,Hall‬קיים זיווג מלא‪ ,‬כך שכל ‪ Ai‬מזווג עם )‪ ,Bf(i‬ונבחר את הנציגים ‪ x1,...,xk‬כך ש‪-‬‬
‫)‪.xi∈Ai∩Bf(i‬‬
‫‪1‬‬
dybdl - zihxwqic dwihnzna
12
libxz
e"qyz ,'` xhqnq
.
1
dbxcn cewcew `ed ura dlr .milbrn xqge xiyw sxb `ed ur :dxcbd
:milewy mi`ad mi`pzdy egiked .1
.ur
`id dheyt dliqn) dcigi dheyt dliqn yi
Ga
micewcew
2
G
(a)
lk oia (b)
(.zg` mrt xzeid lkl riten cewcew lk day dliqn
xaegn ,oey`xl hxt ,cewcew lky jk dxcqa
G
icewcew z` xcql ozip (c)
.dxcqa eincewn cg` weical
Ga
(n > 1) micewcew n mr edylk ur ly P
zebxcd zxcq `id (d1 , . . . , dn ) y e`xd
n
.
i=1 di = 2n − 2 mbe ∀i : di > 0 mm`
.milr
2
zegtl yi micewcew
2
zegtl mr ur lkay e`xd .3
:y egiked .ur
G
jxe`a zeheytd zeliqnd lk ly jezigd f` ,ibef
jxe`a zeheytd zeliqnd lk ly jezigd f` ,ibefi`
G
mr micewcew
n+1
n
idi .4
diam(G)
ly xhewd m` (b)
.rlv likn
cewcew mr micewcew
G
ly xhewd m` (a)
.cewcew likn
.divwecpi`a ekiynd ?exhew dn .ur lawzny e`xd .
.2
diam(G)
Ga milrd lk z` enfb :fnx
lr zexrid xtqny e`xd .mivr ly xf cegi` `ed xri .5
lr mivrd xtqnl deey zexiyw aikxn lka cg` legk
.wexi cg` cewcew
1
zihxwqic dwihnzna 12 libxz oexzt
e"qyz ,'` xhqnq
.1
dliqn
mb
yi
okle
,dliqn
yi
2
micewcew
lk
↔
oia
G
xiyw
G
micewcew ipy lk oia zeheyt zeliqn izy yi f` ,lbrn
:a
↔
•
`
a yi m` .dheyt
-eyt zeliqn izy yi m` .lbrnd lr mipeeikd ipya zkll xyt` ik ,lbrna
i"r)
lbrn
odn
xevil
xyt`
ji`
ze`xl
lw
f`
,zecewp
izy
G
oia
a
zeh
(.mitzeynd miwlgd lehiae oxeyxy
v ∈ V (G)
cewcew
1
idi ;(3 dl`y e`x)
←
dbxcn cewcew yi ur lka :b
•
`
dxcq yi my .zegt cg` cewcew mr (?recn) ur lawpe eze` hinyp .dfk
lawpe
oexg`d
mewna
eply
cewcewd
z`
siqep
(v1 , . . . , vn−1 )
.
,yxcpk
.yweank dxcq
weical
dliqn
vi0
vi
xaegn
zniiwy
C
2
a oqnpe ,
micewcew
lky
dnly
zxg`
zebxcd
,yxcpk
a = (v1 , . . . , vn )
j <i
dxcq
divwecpi`a
raep
,hxta
.
yk
ik
mekq
vi0
a
,
f` .xzeia lecb
qwcpi` mr
,sqepa .
yi
2n
y
,zxg`
raep
zerlv
dpap
z`
n < 2n − 2
2
eplaiw
.
zexiywn
yi
uray
xagpe
ok
n=2
dprhd
2
enk
.eply
ezxbcy
xear
cewcewdn
mi`pzd
,ephnydy
z`
cewcewd
lr divwecpi`a gikep .dxexa dprhd
1
.
n
lr
G
a .milr
2
n
1
zniiwn
z`
siqep
2
n=2
•
b
cg`
lkn
ur
C
a
G
y
gipp
2(n − 1) = 2n − 2
1
xy`
,f`e
1
G
likn okle (?recn) ur oiicr `edy
lrtp
`ed
,jtdl
dbxc mr edylk
1
n−1
oke
,
;efd
dbxcn
cewcewd
jx`ea
zebxcd
,dycg
zxcqn
ur
epxqgd epnny cewcewd
a micewcewd xtqn
G0
n−1
yi
G
n
idi
ay xg`n .
n
sxb lawpe eze` hinyp
ly milrd ipyn cg`l xzeid lkl xaegn `ede ,dlr `ed ephnydy cewcewdy
.milr ipy zegtl yi
1
.2
micewcew
zegtl dbxc mr cewcew yi
xqgp
xear .
lr
divwecpi`a
dbxcn cewcew yi ,zncewd dl`ya enk ,f` ,zerlv
lawp
l
.miccean
zegtl od zebxcd lk m` ik ,
.ur eplaiw ok`y ze`xl lw .dbxcl
.
dn
a cewcewd z`
.micewcew
epi`x
zebxcd mekq zxg` ik ,
zegtl
,divwecpi`a
eil`
.dxexa
zegtl onekq f`
z` hinyp .
dxcq
C
←
:`
vj
v1 vi
dxcqa eincewn miipyl zegtl xaegn okle ,
∀i : di > 0
n−1
okle
i0
.
cewcew
idz
mi
lbrn sxba yiy dlilya gipp .xiyw sxbd okle ,
l xaegn
.dxizq .
yi
`"f
G
a mb okle ,
G0
.3
divwecpi`a
-niqkn
G0
a
jiynp
dliqn
zilniqkn
lky
.dxexa
xg`n
dliqn
lke
dprhd
.
G0
f`
sxb
(!gked)
diam(G) = 0
G
lawpe
dfd
ilr
mefibd
G
.divwecpi`a zraep dprhd ,mefib i"r
lk
e`
z`
jildz
diam(G) = 1
diam(G)
2
mefbp
i"r
a
.
zxvwzn
m`
zil
a zilniqkn dliqnn zlawzn
:zeveawd oia dn`zd zeiwvpet dpap
,cg` wexi cewcew siqep ep` ,zexiyw aikxn lka legk cewcew mr xri ozpda
.milegkd micewcewd rav z` gkype ,eil` milegkd micewcewd lk z` xagp
mipkyd
lk
z`
legka
rvap
,wexi
cewcew
mr
micewcew
n+1
lr
ur
ozpda
.eizerlv z`e wexid cewcewd z` wgnp f`e ,wexid cewcewd ly
zeni`zn
ody
zeveawd
okle
diipyl
zg`
zeketd
zeivwpetdy
wecal
lw
.dnver zeey odipia
2
.4
lr
.5
‫תרגיל מס' ‪ 13‬במתמטיקה דיסקרטית )לא להגשה(‬
‫‪ .1‬א‪ .‬הוכיחו את הטענה הבאה‪:‬‬
‫טענה‪ :‬יהי ‪ T‬עץ‪ .‬נבנה גרף חדש ע"י הוספת קדקוד נוסף ‪ x‬וחיבור ‪ x‬לקדקוד אחד בדיוק ב‪ .T-‬אז הגרף‬
‫החדש גם הוא עץ‪ .‬יתר על כן‪ ,‬כל עץ סופי מתקבל באופן זה‪ ,‬כלומר ע"י הוספת קדקוד אחרי קדקוד‪,‬‬
‫וחיבור הקדקוד החדש לקדקוד קיים ע"י צלע‪.‬‬
‫ב‪ .‬בעזרת הטענה לעיל‪ ,‬סיפרו וציירו את כל העצים הלא מתוייגים עם ‪ 5 ,4 ,3 ,2‬ו‪ 6-‬קדקודים‪.‬‬
‫‪ .2‬סיפרו וציירו את כל העצים המתוייגים שדרגות קדקודיהם נתונות להלן‪:‬‬
‫א‪.(3,2,1,1,1) .‬‬
‫ב‪.(3,3,1,1,1,1) .‬‬
‫ג‪.(3,2,2,1,1,1) .‬‬
‫‪ .3‬הוכיחו כי מספר העצים המתוייגים בעלי ‪ n‬קדקודים שבהם לקדקוד ה‪ n-‬יש דרגה ‪ k‬הוא‬
‫‪n − 2‬‬
‫‪n − k −1‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (n − 1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬נסמן ב‪ fn -‬את מספר הסדרות של ‪-0‬ים ו‪-1-‬ים באורך ‪ n‬שאינן מכילות שני ‪-1‬ים רצופים‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו במפורש את ‪ fn‬ל‪) 0≤n≤5 -‬רשמו את כל הסדרות האפשריות(‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו את נוסחת הנסיגה הבאה‪) fn=fn-1+fn-2 :‬לכל ‪.(n≥2‬‬
‫ג‪ .‬הוכיחו את הזהות‪) fn-1fn+1-fn2 = (-1)n :‬באינדוקציה על ‪ n‬ובעזרת סעיף ב'(‪.‬‬
‫הערה‪ :‬המספר ‪ fn‬נקרא מספר פיבונאצ'י ה‪.n-‬‬
‫הערה‪ :‬את השאלות הבאות תוכלו לפתור רק לאחר שתלמדו על מספרי רמזי‪.‬‬
‫‪ .5‬הוכיחו כי מספרי רמזי מקיימים את נוסחת הנסיגה הבאה‪) R(s,t) ≤ R(s-1,t)+R(s,t-1) :‬לכל ‪.(s,t≥3‬‬
‫‪ .6‬הוכיחו כי ‪.R(3,3)=6‬‬
‫‪ .7‬הוכיחו כי ‪.R(3,4)=9‬‬
‫הדרכה‪ :‬א‪ .‬הוכיחו כי ‪ R(3,4)≥9‬ע"י כך שתמצאו צביעה של צלעות ‪ ,K8‬שאין בה משולש כחול או ‪K4‬‬
‫אדום )רמז‪ :‬סדרו ‪ 8‬קדקודים על מעגל וצבעו בכחול את הצלעות המחברות ביו ‪ 2‬קדקודים מנוגדים או‬
‫סמוכים‪ ,‬ובאדום את שאר הצלעות(‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו כי ‪ R(3,4)≤9‬באופן הבא‪ .‬נניח שנתונה צביעה כלשהי של צלעות ‪ K9‬באדום וכחול‪.‬‬
‫• הראו שאם מאחד הקדקודים של ‪ K9‬יוצאות ‪ 4‬צלעות כחולות או יותר‪ ,‬אז יש בגרף משולש כחול‬
‫או ‪ K4‬אדום‪.‬‬
‫• הראו שאם מאחד הקדקודים של ‪ K9‬יוצאות ‪ 6‬צלעות אדומות או יותר‪ ,‬אז יש בגרף משולש כחול‬
‫או ‪ K4‬אדום‪.‬‬
‫• הסיקו כי במקרה הנותר יוצאות מכל קדקוד בדיוק ‪ 3‬צלעות כחולות ו‪ 5-‬אדומות‪ .‬האם מקרה זה‬
‫אפשרי?‬
‫‪ .8‬הוכיחו כי ‪.R(4,4)=18‬‬
‫הדרכה‪ :‬א‪ .‬הוכיחו כי ‪ R(4,4)≥18‬ע"י כך שתמצאו צביעה של צלעות ‪ K17‬שאין בה ‪ K4‬כחול או ‪ K4‬אדום‪.‬‬
‫)רמז‪ :‬סדרו ‪ 17‬קדקודים במעגל‪ ,‬וצבעו בכחול את הצלעות המחברות בין ‪ 2‬קדקודים שמרחקם על‪-‬גבי‬
‫המעגל הוא ‪ 1,2,4,8‬יחידות‪ ,‬ובאדום את כל השאר(‪.‬‬
‫ב‪ .‬הסיקו כי ‪ R(4,4)≤18‬משאלות ‪ 5‬ו‪.7-‬‬
‫בהצלחה!‬
‫☺‬
‫פתרון תרגיל מס' ‪ 13‬במתמטיקה דיסקרטית‬
‫‪ .1‬א‪ .‬נסמן את הגרף החדש המתקבל מהוספת הקדקוד ‪ x‬ל‪ T -‬ע"י ‪ .G‬נסמן ב‪ y-‬את הקדקוד היחיד של‬
‫‪ T‬שאליו מתחבר ‪ .x‬נוכיח כי ‪ G‬קשיר וחסר מעגלים‪.‬‬
‫‪ G‬קשיר‪ ,‬כי בהינתן ‪ 2‬קדקודים‪ ,‬אם שניהם שונים מ‪ ,x-‬אז יש ביניהם מסילה כבר ב‪ .T -‬ובין ‪ x‬לכל‬
‫קדקוד אחר‪ ,‬יש מסילה העוברת דרך ‪.y‬‬
‫‪ G‬חסר מעגלים‪ ,‬כי אם היה ב‪ G-‬מעגל‪ ,‬הוא היה צריך לעבור דרך הקדקוד החדש ‪ .x‬אך זה לא אפשרי‪,‬‬
‫כי ‪ x‬מדרגה ‪.1‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬בהינתן עץ כלשהו ‪ ,T‬אם נגזום ממנו עלה ‪ ,x‬אז }‪ T\{x‬יישאר עץ )למה?(‪ .‬לכן‪ ,‬אם נגזום‬
‫מ‪ T-‬עלה אחר עלה‪ ,‬נקבל לבסוף עץ עם קדקוד אחד‪ .‬עתה – נוסיף את העלים לפי הסדר ונקבל את‬
‫הבניה הנדרשת‪.‬‬
‫ב‪ .‬יש עץ יחיד עם ‪ 2‬קדקודים ועם ‪ 3‬קדקודים‪ .‬יש ‪ 2‬עצים עם ‪ 4‬קדקודים‪ .‬יש ‪ 3‬עצים עם ‪ 5‬קדקודים‪.‬‬
‫יש ‪ 7‬עצים עם ‪ 6‬קדקודים‪.‬‬
‫‪ .2‬על‪-‬מנת לספור את העצים עם הקדקודים המתויגים נשתמש בנוסחה שלמדתם בשיעור‪.‬‬
‫א‪.3!/(2!1!) = 3 :(3,2,1,1,1) .‬‬
‫ב‪.4!/(2!2!) = 6 :(3,3,1,1,1,1) .‬‬
‫ג‪.4!/(2!1!1!) = 12 :(3,2,2,1,1,1) .‬‬
‫‪ .3‬עלינו לספור את העצים המתויגים בעלי ‪ n‬קדקודים שבהם לקדקוד ה‪ n-‬יש דרגה ‪.k‬‬
‫ראשית‪ ,‬מספר העצים המתויגים בעלי ‪ n‬קדקודים שסדרת הדרגות שלהם ‪ d1,...,dn‬מקיימת‪,di≥1 :‬‬
‫‪ dn=k‬ו‪ Σdi=2n-2 -‬הוא‪:‬‬
‫‪n−2‬‬
‫‪n − k −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  n − 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ d − 1, d − 1,K , d − 1, k − 1 = ‬‬
‫‪  d − 1, d − 1,K , d − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n −1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪  k −1   1‬‬
‫‪‬‬
‫עתה‪ ,‬נסכם את כל הדרגות האפשריות‪ ,‬ונשתמש בנוסחת הבינום המוכללת של ניוטון‪:‬‬
‫‪n−2‬‬
‫‪n − k −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  n − 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫∑‬
‫‪‬‬
‫‪=‬‬
‫‪‬‬
‫=‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d1 +K+ d n−1 = 2 n − 2 − k  d1 − 1, d 2 − 1,K , d n −1 − 1, k − 1 ‬‬
‫‪ k − 1  d1 +K+ d n−1 = 2 n − 2− k  d1 − 1, d 2 − 1,K , d n −1 − 1‬‬
‫∑‬
‫‪di ≥1‬‬
‫‪di ≥1‬‬
‫‪ n − k −1   n − 2 ‬‬
‫‪ n − 2‬‬
‫‪n − k −1‬‬
‫‪=‬‬
‫∑‬
‫‪ e , e ,K , e  = ‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ ( n − 1‬‬
‫‪ k − 1  e1 +K+ en−1 = n − k −1  1 2‬‬
‫‪n −1 ‬‬
‫‪ k −1 ‬‬
‫‪ei ≥ 0‬‬
‫‪ .4‬א‪) f0=1 .‬הסדרה הריקה(‪.f5=13 ,f4=8 ,f3=5 ,f2=3 ,f1=2 ,‬‬
‫ב‪ .‬נוכיח את נוסחת הנסיגה הבאה‪) fn=fn-1+fn-2 :‬לכל ‪.(n≥2‬‬
‫תהי )‪ (x1,...,xn‬סדרה חוקית של ‪-0‬ים ו‪-1-‬ים‪ ,‬כלומר כזו שאין בה שני ‪-1‬ים רצופים‪ .‬נגדיר‪:‬‬
‫‪ = bn‬כל הסדרות החוקיות באורך ‪ n‬עם ‪.xn=0‬‬
‫‪ = cn‬כל הסדרות החוקיות באורך ‪ n‬עם ‪.xn=1‬‬
‫נשים לב ש‪.fn=bn+cn -‬‬
‫‪1‬‬
‫עתה‪ ,‬נתבונן בסדרה חוקית באורך ‪ .n-1‬אם ‪ ,xn-1=0‬אז ניתן להוסיף ‪ xn=0‬או ‪ .xn=1‬אם ‪ xn-1=1‬אז‬
‫ניתן להוסיף רק ‪ ,xn=0‬על‪-‬מנת שהסדרה המתקבלת תישאר חוקית‪.‬‬
‫לכן‪.fn = 2bn-1+cn-1 = bn-1+(bn-1+cn-1) = bn-1+fn-1 :‬‬
‫סדרה חוקית באורך ‪ n-1‬עם ‪ xn-1=0‬מתאימה בדיוק לסדרה חוקית אחת באורך ‪ .n-2‬לכן‪,bn-1=fn-2 :‬‬
‫ולכן‪ fn=fn-1+fn-2 :‬כנדרש‪.‬‬
‫ג‪ .‬נוכיח את הזהות‪ fn-1fn+1-fn2 = (-1)n :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫ראשית‪ ,‬נבדוק את נכונות הטענה ל‪ ,f0f2-f12 = 3-4 = -1 :n=1-‬ול‪.f1f3-f22 = 10-9 =1 :n=2 -‬‬
‫עתה‪ ,‬נניח שהטענה נכונה ל‪ n-‬ול‪ ,n+1 -‬ונוכיח כי היא נכונה ל‪) n+2 -‬לכל ‪.(n≥1‬‬
‫מההנחה שהטענה נכונה ל‪ n+1 -‬נקבל את הזהות הבאה )ע"י שימוש בסעיף ב'(‪:‬‬
‫)*( ‪(-1)n+1 = fnfn+2-fn+12 = fn(fn+fn+1)-fn+12 = fn2-fn+12+fnfn+1‬‬
‫עתה‪ ,‬נוכיח את הטענה ל‪) n+2 -‬ע"י שימוש בסעיף ב' וב‪:((*)-‬‬
‫= ‪= fn+12+fn+1fn+2-fn+22 = fn+12+fn+1(fn+fn+1)-(fn+fn+1)2‬‬
‫‪fn+1(fn+1+fn+2)-fn+22‬‬
‫=‬
‫‪fn+1fn+3-fn+22‬‬
‫‪fn+12+fnfn+1+fn+12-fn2-fn+12-2fnfn+1 = fn+12-fnfn+1-fn2 = -(-1)n+1 = (-1)n+2‬‬
‫‪ .5‬נוכיח כי מספרי רמזי מקיימים את נוסחת הנסיגה הבאה‪.R(s,t) ≤ R(s-1,t)+R(s,t-1) :‬‬
‫נסמן )‪ r1=R(s-1,t), r2=R(s,t-1‬ו‪ .n=r1+r2 -‬עלינו להראות שבכל צביעה של ‪ Kn‬בשני צבעים‪ ,‬קיים ‪Ks‬‬
‫כחול או ‪ Kt‬אדום‪.‬‬
‫יהי ‪ x‬קדקוד כלשהו ב‪ ,Kn -‬אז דרגתו היא ‪ .n-1‬לכן‪ ,‬מ‪ x-‬יוצאות לפחות ‪ r1‬צלעות כחולות או ‪ r2‬צלעות‬
‫אדומות )למה?(‪.‬‬
‫נניח בה"כ שמ‪ x-‬יוצאות ‪ r1‬צלעות כחולות‪ .‬נתבונן בתת‪-‬הגרף הנפרש ‪ r1‬הקדקודים השכנים הללו‪.‬‬
‫תת‪-‬הגרף הזה מכיל ‪ Ks-1‬כחול או ‪ Kt‬אדום‪ .‬אם הוא מכיל ‪ Kt‬אדום – אז סיימנו‪ .‬אחרת‪ ,‬תת‪-‬הגרף‬
‫הנפרש ע"י ‪ Ks-1‬ו‪ x-‬מהווה ‪ Ks‬כחול )למה?(‪.‬‬
‫‪ .6‬נוכיח כי ‪.R(3,3)=6‬‬
‫ראו משפט ‪ 5.7.3‬בעמ' ‪ 234‬בספר "מתמטיקה בדידה"‪.‬‬
‫‪ .7‬נוכיח כי ‪.R(3,4)=9‬‬
‫א‪ .‬נבנה את הגרף הבא‪ :‬נסדר ‪ 8‬קדקודים על מעגל ונצבע בכחול את הצלעות המחברות בין ‪2‬‬
‫קדקודים מנוגדים או סמוכים‪ ,‬ובאדום את שאר הצלעות‪ .‬שימו לב‪ ,‬שבגרף הזה אין ‪ K3‬כחול או‬
‫‪ K4‬אדום‪ .‬לכן‪.R(3,4)>8 :‬‬
‫ב‪ .‬נוכיח כי ‪ R(3,4)≤9‬באופן הבא‪ .‬נניח שנתונה צביעה כלשהי של צלעות ‪ K9‬באדום וכחול‪.‬‬
‫•‬
‫יהי ‪ x‬קדקוד ב‪ K9 -‬שיוצאות ממנו ‪ 4‬צלעות כחולות‪ ,‬המחברות את ‪ x‬לקדקודים ‪ .a,b,c,d‬נסתכל‬
‫בגרף הנפרש ע"י ‪ 4‬הקדקודים הללו‪ .‬אם כל צלעותיו אדומות‪ ,‬אז מצאנו ‪ K4‬אדום‪ .‬אחרת‪ ,‬קיימת‬
‫לפחות צלע כחולה אחת‪ ,‬נניח }‪ ,{a,b‬ואז }‪ {x,a,b‬פורשים ‪ K3‬כחול‪.‬‬
‫•‬
‫יהי ‪ x‬קדקוד ב‪ K9 -‬שיוצאות ממנו ‪ 6‬צלעות אדומות‪ ,‬ונסתכל על תת‪-‬הגרף הנפרש ע"י ‪6‬‬
‫הקדקודים השכנים הללו‪ .‬מכיוון ש‪ ,R(3,3)=6 -‬ניתן למצוא בגרף הזה ‪ K3‬כחול )ואז סיימנו( או‬
‫‪ K3‬אדום‪ ,‬שיחד עם ‪ x‬ייצור ‪ K4‬אדום‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫•‬
‫נסיק כי מכל קדקוד יוצאות בדיוק ‪ 3‬צלעות כחולות ו‪ 5-‬אדומות‪ .‬נחשוב על הצלעות האדומות‬
‫בתור הצלעות של גרף ‪ G‬ועל הצלעות הכחולות בתור הצלעות של הגרף המשלים של ‪ .G‬אזי‪ ,‬סכום‬
‫הדרגות של קדקודי ‪ G‬הוא ‪ ,9⋅3‬שאינו מספר זוגי‪ ,‬וסתירה!‬
‫‪ .8‬נוכיח כי ‪.R(4,4)=18‬‬
‫א‪ .‬נבנה את הגרף הבא‪ :‬נסדר ‪ 17‬קדקודים במעגל‪ ,‬ונצבע בכחול את הצלעות המחברות בין ‪ 2‬קדקודים‬
‫שמרחקם על‪-‬גבי המעגל הוא ‪ 1,2,4,8‬יחידות‪ ,‬ובאדום את כל השאר‪ .‬שימו לב שבגרף הזה לא קיים ‪K4‬‬
‫כחול‪ ,‬כי אם נקבע קדקוד ‪ x‬ונחבר אותו ל‪ 3-‬קדקודים אחרים ב‪ 3-‬צלעות כחולות‪ ,‬אז אחד ההפרשים‬
‫בין הקדקודים שנקבל יהיה שונה מ‪) 1,2,4,8-‬למה?(‪ ,‬ואז יש ביניהם צלע אדומה‪.‬‬
‫הצלעות האדומות מחברות בין קדקודים שמרחקם על‪-‬גבי המעגל הוא ‪ .3,5,6,7‬לכן‪ ,‬משיקולי‬
‫סימטריה‪ ,‬לא קיים ‪ K4‬אדום‪ .‬לכן‪.R(4,4)>17 :‬‬
‫ב‪ .‬נסיק משאלות ‪ 5‬ו‪ 7-‬ש‪) R(4,4)≤R(3,4)+R(4,3)=9+9=18 -‬שימו לב ש‪R(4,3)=R(3,4)=9 -‬‬
‫משיקולי סימטריה(‪.‬‬
‫‪3‬‬
dybdl `l - zihxwqic dwihnzna dxfg libxz
e"qyz ,'` xhqnq
.xcq qgi e`/e zeliwy qgi `ed m` eraw ,mi`ad miqgidn cg` lk xear .1
.v l
.v l
un
un
zpeekn dliqn yi m`
dliqn yi m`
uRv
:micewcewd lr qgi xicbp , G oeekn-`l sxba
uSv
:micewcewd lr qgi xicbp , G oeekn sxba
•
•
G oeekn ura •
uT v :micewcewd
lr qgi xicbp ,(oeekn-`l ur lawp zezywd ipeeik z` gkyp m`y jk oeekn sxb `"f)
.v l
un
zpeekn dliqn yi m`
?(x
?zay zecewp
?zay zecewp
yely e` zg` dbxcn e` miler crv lka m` zebxcn
n
k
k
+ y + z)100 a x30 y 50 z 20
weica mr
n
ly mcwnd dn .2
lceba yi zeivhenxt dnk .•3
weica mr yi
[n]l [n]n
zeivwpet dnk
•
liknd zebxcn mxba zelrl yi zepey mikxc dnk .4
.dxebq dgqepk ode diqxewx zgqepk od daeyzd z` eriad ?zebxcn
egiked . n zegtl mdizebxc mekq ,mipky mpi`y micewcew ipy lk xeary jk micewcew
n
mr
G
sxb oezp .5
.oehlind lelqn yi
zeveawa micewcew ipy lk oia . ne
m
lceba zeveaw izyl miwlegn ,micewcew
m+n
mr sxb `ed
Gly
Km,n
.6
.zyw zxaer `l dveaw dze`a micewcew ipy oiae ,zyw zxaer zepey
nd
z`e zepa
nn
.xlie` lbrn liki `edy jk
Km,n
lr witqne igxkd i`pz epz
.oehlind zliqn liki `edy jk
Km,n
lr witqne igxkd i`pz epz
mlrzdl xyt` m`d .zepa
mlrzdl xyt` ,xgapy zepa
n
2k
zegtl mixikn mipa
k
lky jk zepa
2ne
mipa
n
yiy gipp .7
ly sqe` lkl m`d ?ezbef-za z` xikn oa lky jk mipal mi`zdl exzepy
?mipal exzepy zepad z` mi`zdle odn
?m `id
2
cewcewd zbxce
k
`id
1
cewcewd zbxcy jk micewcew
n
lr yi mibiezn mivr dnk .8
:ze`ad zebxcd zeniyxl mini`znd (mibiezn `l) mivr epa .9
(1, 1, 1, 2, 3) •
(1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3) •
?dl mi`zny cg` ur wx yi m`d ,l"pd zeniyxdn zg` lkl
.n
1
≥2
lkl
R(n, 3) < n2
y egiked .10
zihxwqic dwihnzna dxfg libxz oexzt
e"qyz ,'` xhqnq
.cinz zeliwy qgi
R
(.zeixhniq oi`) zeliwy qgi epi` aexle ,mipeekn milbrn oi` m` xcq qgi
S
.milbrn oi` ura ik ,xcq qgi
T
.1 lceba zexiyw aikx lk m` wx xcq qgi
R
n
k
Pn−k
i=0
(−1)i
100
30, 50, 20
(n − k − i)!
n
n−k
(n − 1)
k
n−k
i
a0 = a1 = a2 = 1; an = an−1 + an−3
n
d`eeynd z` xeztl jxhvp f` , cx
.1
.2
.3
.4
dxevdn `id xcqdy ygpp m`
x3 = x2 + 1
1.46557 . . .y d`xn (ixnep) aeyig .
= 0.61149 . . . ozep oeaygna yeniye mipey`xd
mikxra davd zrk .yweand oexztd `ed
.c
.1952a
Dirac
i"r gkedy htyn ly lelky dyrnl edf :dxrd .5
,sxba zilniqkn dliqn gwp .xiyw sxbdy gipdl xyt`y ze`xl dyw `l
x0
. x0 x1
ly mipkyd lk ,zilniqkn `id dliqndy xg`n
Aa
· · · xk a
dpnqpe
xk e
B ae ,xi−1 ∈ A f` ,x0 ly oky xi m` ,`"f) x0 ly mipkydn
micewcew k < n wx yie , |A| + |B| ≥ ny mircei ep` . xk ly mipky mdy
yi okl (. B a `le Aa `l `vnp xk y okzi `ly xg`n) my `vndl milekiy
:jk d`xp xy` ,lbrnl eply dliqnd z` jetdp . B le Al szeyny xi cewcew
"dl`ny cg` crv" mdy micewcewd zveaw z`
onqnp ;da mi`vnp
micewcewd z`
x0 xi+1 xi+2 · · · xk xi xi−1 · · · x0
.dkeza dcewp lkn eply dliqnd z` ligzdl mileki ep` ,lbrn eplaiwy xg`n
oky `ede dliqna `vnp epi` xy`
jk ;y z` dil` sxvpe
xj a
y
cewcew yi ,xiyw sxbdy xg`n la`
dliqnd z` miiqp .dliqna `vnp oky
xj
cewcewl
.dxizqa ,dkex` xzei dliqn eplaiw
1
dveaway xg`n .zeibef zeidl zekixv zebxcd lk ,ipixlie` didi sxbdy n"r .6
ne my
`ed i`pzd , n md diipyd dveawae , m micewcewd zebxc dpey`xd
.miibef
.|m
− n| ≤ 2
lkl zbeefnd diipyd zadn mlrzp m` .oa lkl zepa
:zeipehlindl i`pzd
2 beefl xyt`y mircei ep`
nn mlrzp ,oa
.7
.mlyen beeif mr x`ype k"dqa zepa
,dnbecl .zepa
n
ly dveaw lkn mlrzdl lkep `l mixwnd aexa ,z`f znerl
.ely zexknd lkn mlrzdl lkep `l ,zepa
nn
zegt xikn cg` oa m`
n−2
k − 1, m − 1, n − k − m
.8
.miipy yi diipyl .mi`zn cg` ur wx yi diipyd dniyxl .9
:divwecpi`a .dxexa dprhd
n=2
xear .10
R(n, 3) ≤ R(n − 1, 3) + R(n, 2) < (n − 1)2 + n = n2 − 2n + 1 + n < n2
2