‫ננס לבן‬ ‫לאחר שענק אדום מתנפח הוא משיל את המעטפת שלו )זה מה שיקרה לשמש בעוד מיליארדי‬ ‫שנים‪ ,‬והמעטפת שלה תשמיד את כדור הארץ(‪ .‬הליבה הופכת מהר יחסית לאפר גרעיני –‬ ‫חומר שאי אפשר להפיק ממנו יותר אנרגיה גרעינית‪ ,‬וזהו ננס לבן‪.‬‬ ‫ננס לבן מורכב בעיקר מיסודות כבדים ואינו מכיל מימן‪ ,‬הצפיפות הממוצעת בו היא‬ ‫‪ , 10 6 gr / cm 3‬מסתו של ננס לבן היא כמסת השמש ורדיוסו הוא מסדר גודל של רדיוס כדה"א‪.‬‬ ‫טמפרטורת השפה של ננס לבן היא מסדר גודל של ‪ 3 ×104 − 2 ×104‬מעלות‪.‬‬ ‫מה מונע קריסה גרביטציונית בננס לבן?‬ ‫עיקרון האיסור של פאולי‪ ,‬התקף לגבי חלקיקים בעלי ספין חצי שלם‪ ,‬קובע ששני חלקיקים או‬ ‫יותר אינם יכולים להימצא באותו מצב קוונטי‪.‬‬ ‫לכלל זה חשיבות בתיאור התנהגות של חומר בעל צפיפות גבוהה‪.‬‬ ‫צפיפות חומר גבוהה מקטינה את נפח המצב של חלקיק במרחב הפאזות‪ ,‬כלומר מגדילה את התנע‬ ‫שלו )עיקרון אי הודאות(‪ .‬הדבר מביא לכך שבצפיפויות גבוהות חלקיקים מאכלסים מצבי תנע‬ ‫גבוהים מאלו שהיו מאכלסים אם האנרגיה התרמית בלבד הייתה קובעת את התנע שלהם‪.‬‬ ‫מצב שבו חלקיקים מאכלסים רמות תנע גבוהות מאלו הדרושות בשל התנועה התרמית נקרא‬ ‫"מצב מנוון"‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫לפיכך‪ ,‬גז המכיל אלקטרונים חופשיים יפעיל לחץ אפילו בטמפרטורה של ‪. 0 K‬‬ ‫זה מה שקורה בננס לבן – הגרביטציה מאוזנת ע"י הלחץ של האלקטרונים המנוונים‪.‬‬ ‫עבור גז אלקטרונים קוונטי בטמפרטורה של ‪: 0D K‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪E = EF‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫⎞ ‪π = ⎛ 3ne‬‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫⎠ ‪2me ⎝ π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪; max( Ee ) = EF‬‬ ‫‪ - E F‬אנרגית פרמי‬ ‫בהנחה שצפיפות הכוכב קבועה‪:‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 3M‬‬ ‫‪Ne‬‬ ‫‪3N e‬‬ ‫‪3ZM‬‬ ‫=‬ ‫≅‬ ‫=‬ ‫‪X‬‬ ‫⎜⎜‬ ‫⎟ ‪3‬‬ ‫⎟‬ ‫‪4π R 3 4π Am p R 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪p‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫‪ – A‬מס' אטומי‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ – Z‬מס' הפרוטונים בגרעין‬ ‫= ‪ne‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫ואז האנרגיה הכוללת היא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎞ M 1‬‬ ‫⎟⎟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎠ mp R‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 GM 2 3 X π 2 = 2 ⎛ 32 M‬‬ ‫‪E=−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎜‬ ‫‪5 R‬‬ ‫‪5 ⋅ 2me ⎜⎝ 4π 2 m p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אנרגיה מינימאלית מתקבלת כאשר‪:‬‬ ‫⎞‬ ‫⎟⎟‬ ‫⎠‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎛ 9M‬‬ ‫‪h X‬‬ ‫⎜‬ ‫‪4GMm p me ⎜⎝ 4π 2 m p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪R‬‬ ‫לאחר הצבת הערכים מתקבל הביטוי עבור‬ ‫הרדיוס של ננס לבן‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎛ M ⎞⎟− 3‬‬ ‫⎜⎜‬ ‫‪⎜⎝ M : ⎠⎟⎟ km‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪( 0.5‬‬ ‫)‬ ‫‪RWD ≈ 7.15 * 103‬‬ ‫האנרגיה הנפלטת מננסים לבנים היא האנרגיה הגרביטציונית המשתחררת בקריסה‪.‬‬ ‫אנרגיה זו משתחררת לאט ויכולה להספיק לכוכב על מנת שיפלוט אנרגיה במשך כ – ‪100‬‬ ‫מיליארד שנים‪.‬‬ ‫נשתמש בחישוב הנ"ל כדי להעריך את רדיוס כדור הארץ‪:‬‬ ‫‪M ⊕ ≅ 6 × 1027 gr‬‬ ‫כדור הארץ מכיל בעיקר ברזל‪ ,‬מנגן‪ ,‬סיליקון‪ ,‬אשלגן‪.… ,‬‬ ‫עבור ברזל )מתכתי( הקונפיגורציה האלקטרונית היא‪:‬‬ ‫‪(1s ) 2 ( 2s ) 2 ( 2p ) 6 ( 3s ) 2 ( 3p ) 6 (N‬‬ ‫‪4s ) 2‬‬ ‫‪conduc tan ce‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪A ≅ 56; Z = 2; ⇒ X ≅ 2‬‬ ‫‪R⊕ ≅ 6.1× 103 km‬‬ ‫‪3‬‬ ‫בהשוואה לתוצאה המדודה‪ , R⊕ ≅ 6.37 × 10 km ,‬זהו דיוק טוב יחסית‪.‬‬ ‫האם ההנחה שהאלקטרונים בננס לבן אינם יחסותיים נכונה ?‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎞ ‪(hc) ⎛ 3ne‬‬ ‫‪2‬‬ ‫? ‪⎟ << me c‬‬ ‫⎜ ‪2‬‬ ‫⎠ ‪8me c ⎝ π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫= ‪EF‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎞ ‪⎛ X ⎞ 3⎛ M‬‬ ‫⎜ ‪EF ≅ 0.195‬‬ ‫‪⎟ MeV‬‬ ‫⎜ ⎟‬ ‫‪M‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‪⎠ ⎝ :‬‬ ‫⇐ עבור ‪M ≥ M‬‬ ‫ההנחה אינה מוצדקת !‬ ‫טיפול בננס לבן תחת ההנחות של‪:‬‬ ‫‪ .1‬גז אלקטרונים )מנוון( יחסותי‪.‬‬ ‫‪ .2‬צפיפות אחידה‪.‬‬ ‫בתוך תיבת פוטנציאל‪:‬‬ ‫‪nmaxπ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪kF‬‬ ‫;‬ ‫‪E F = =k F c‬‬ ‫‪⎛ 3n ⎞ 3‬‬ ‫⎟ ‪=⎜ e‬‬ ‫⎠ ‪⎝ π‬‬ ‫;‬ ‫‪nmax‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎛ 3n ⎞ hc‬‬ ‫⎟ ‪EF = ⎜ e‬‬ ‫‪⎝ π ⎠ 2‬‬ ‫בכוכב כדורי ‪:‬‬ ‫‪3M‬‬ ‫‪4π R 3 m p‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎞ hc‬‬ ‫⎟⎟‬ ‫‪⎠ 2R‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ne = X‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫‪3 GM‬‬ ‫‪3 M ⎛ 9 XM‬‬ ‫‪+ X‬‬ ‫⎜‬ ‫‪5 R‬‬ ‫‪4 m p ⎜⎝ 4π 2 m p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Etotal = −‬‬ ‫אם ‪ E → −∞ ⇐ E < 0‬כאשר ‪R → 0‬‬ ‫אם ‪ E → 0 ⇐ E > 0‬כאשר ∞ → ‪R‬‬ ‫‪ ⇐ E = 0‬המסה הקריטית )בקירוב( של צ'נדראסקאר‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎞2‬‬ ‫⎞ ‪⎛ X‬‬ ‫⎜ = ‪⎟⎟ m p‬‬ ‫‪⎟ 1.47 M :‬‬ ‫‪0.46‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎠‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎛ hc‬‬ ‫⎞ ‪⎛5⎞ ⎛ 9‬‬ ‫⎜ ‪Mc ≡ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ X 2‬‬ ‫‪⎜ Gm 2‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 8 ⎠ ⎝ 4π‬‬ ‫‪p‬‬ ‫⎝‬ ‫מסת צ'נדראסקאר נותנת את הגבול העליון עבור כוכב ללא מקורות ליצירת אנרגיה תרמית‪,‬‬ ‫ושהלחץ בו מאוזן ע"י גז האלקטרונים המנוון‪.‬‬ ‫כוכב בעל מסה גבוהה ממסת צ'נדראסקאר יקרוס לכוכב נויטרונים או חור שחור‪.‬‬