‫מדינת ישראל‬ ‫סוג הבחינה‪:‬‬ ‫משרד החינוך‬ ‫מועד הבחינה‪:‬‬ ‫מספר השאלון‪:‬‬ ‫א‪ .‬בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬ ‫ב‪ .‬בגרות לנבחנים אקסטרניים‬ ‫חורף תשע"ד‪2014 ,‬‬ ‫‪315 ,035805‬‬ ‫הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות‬ ‫מתמטיקה‬ ‫‪ 4‬יחידות לימוד – שאלון שני‬ ‫הוראות לנבחן‬ ‫א‪.‬‬ ‫משך הבחינה‪ :‬שעה ושלושה רבעים‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שני פרקים‪:‬‬ ‫פרק ראשון‬ ‫—‬ ‫סדרות‪ ,‬טריגונומטריה במרחב‬ ‫פרק שני‬ ‫—‬ ‫גדילה ודעיכה‪ ,‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫—‬ ‫‪1‬‬ ‫‪33 3 #1‬‬ ‫—‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 33 3‬נקודות‬ ‫של פונקציות טריגונומטריות‪,‬‬ ‫פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬ ‫ופונקציות חזקה‬ ‫ג‪.‬‬ ‫—‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪33 3 #2‬‬ ‫—‬ ‫‪ 66 3‬נקודות‬ ‫סה"כ‬ ‫—‬ ‫‪ 100‬נקודות‬ ‫חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬ ‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬ ‫הוראות מיוחדות‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬ ‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬ ‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬ ‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬ ‫פרק ראשון – סדרות‪ ,‬טריגונומטריה במרחב‬ ‫‪1‬‬ ‫( ‪ 33 3‬נקודות)‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬ ‫‪-2-‬‬ ‫ענה על אחת מהשאלות ‪. 2-1‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫סדרות‬ ‫‪.1‬‬ ‫נתונה סדרה חשבונית עולה‪:‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪a1 , a2 , a3 , ... , a n , ...‬‬ ‫‪. a1 $ a 4 = (a2) 2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הראה כי האיבר הראשון בסדרה החשבונית שווה להפרש הסדרה‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫(‪ )1‬שלושת האיברים ‪ a 4 , a6 , a9‬בסדרה החשבונית הנתונה מהווים סדרה הנדסית‪.‬‬ ‫( ‪ a 4‬הוא האיבר הראשון בסדרה ההנדסית‪).‬‬ ‫מצא את מנת הסדרה ההנדסית‪.‬‬ ‫(‪ )2‬סכום שלושת האיברים שבתת־סעיף ב(‪ )1‬הוא ‪. 133‬‬ ‫מצא את הפרש הסדרה החשבונית הנתונה‪.‬‬ ‫(‪ )3‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה הנתונה מקיים ‪. S n 211, 977‬‬ ‫מצא את ‪ n‬הקטן ביותר המקיים אי־שוויון זה‪.‬‬ ‫טריגונומטריה במרחב‬ ‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע‬ ‫תשובה לשאלה ‪1‬‬ ‫וגובהה ‪. SO‬‬ ‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪( BC‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪a 4 = a1 + 3d‬‬ ‫א‪ .‬האיבר הרביעי בסדרה החשבונית הוא‪:‬‬ ‫הזווית בין ‪ SE‬לבסיס הפירמידה היא ‪. 75o‬‬ ‫השניהוא ‪. a‬‬ ‫הבסיס‬ ‫אורך צלע‬ ‫‪a2 = a1 + d‬‬ ‫בסדרה החשבונית הוא‪:‬‬ ‫האיבר‬ ‫‪F‬‬ ‫א‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ a‬את האורך של ‪. SE‬‬ ‫‪2‬‬ ‫במשוואה‬ ‫)‪aA1 $ (a1 + 3d) = (a1B+ d‬‬ ‫ונקבל‪:‬שטח המעטפת‬ ‫הנתונה‪ a‬את‬ ‫באמצעות‬ ‫נציב הבע‬ ‫(‪)2‬‬ ‫של הפירמידה ‪. SABCD‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ב‪ .‬הנקודה ‪ F‬נמצאת על הגובה ‪ SO‬כך ש־ ‪. FO = SO‬‬ ‫‪a12 + 3a1 d = a12 + 2a1 d + d32‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫בפירמידה הישרה ‪ FABCD‬חשב את הזווית‬ ‫‪0‬‬ ‫בין מקצוע צדדי לבסיס‪.‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪d (a1 - d) = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הסדרה היא סדרה חשבונית עולה‪ ,‬לכן ‪: d ! 0‬‬ ‫‪a1 - d = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a1 = d‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫‪-3‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫מנת הסדרה ההנדסית היא‪:‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪q = a6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a + 5d‬‬ ‫‪q = a1 + 3d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪q = 1.5‬‬ ‫נציב ‪ d = a1‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪a 4 + a6 + a9 = 133‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4d + 6d + 9d = 133‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪d=7‬‬ ‫בסדרה חשבונית הוא‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪S n = 2 ^2a1 + d (n - 1)h‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נציב ‪ , a1 = d = 7‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪7n‬‬ ‫)‪S n = 2 (1 + n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪7n‬‬ ‫‪2 (1 + n) 211, 977‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n2 + n - 3422 2 0 , n 2 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מפתרון האי־שוויון נקבל‪:‬‬ ‫‪n 2 58‬‬ ‫מכאן ש־ ‪ n‬הקטן ביותר‬ ‫המקיים את האי־שוויון הוא‪:‬‬ ‫‪n = 59‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫מצא את הפרש הסדרה החשבונית הנתונה‪.‬‬ ‫(‪ )3‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה הנתונה מקיים ‪. S n 211, 977‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬ ‫מצא את ‪ n‬הקטן ביותר המקיים אי־שוויון זה‪- 4 - .‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫טריגונומטריה במרחב‬ ‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע‬ ‫וגובהה ‪. SO‬‬ ‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪( BC‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫הזווית בין ‪ SE‬לבסיס הפירמידה היא ‪. 75o‬‬ ‫אורך צלע הבסיס הוא ‪. a‬‬ ‫א‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ a‬את האורך של ‪. SE‬‬ ‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ a‬את שטח המעטפת‬ ‫‪B‬‬ ‫של הפירמידה ‪. SABCD‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪ .‬הנקודה ‪ F‬נמצאת על הגובה ‪ SO‬כך ש־ ‪. FO = 3 SO‬‬ ‫בפירמידה הישרה ‪ FABCD‬חשב את הזווית‬ ‫בין מקצוע צדדי לבסיס‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪B SEO = 75 o‬‬ ‫(‪ )1‬לפי ההגדרה של זווית בין ישר למישור נקבל‪:‬‬ ‫במשולש ישר־הזווית ‪ SOE‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪OE‬‬ ‫‪cos (B SEO) = SE‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪SE‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪cos 75 o‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪SE = 1.93a‬‬ ‫(‪ )2‬שטח המעטפת הוא‪:‬‬ ‫‪ = 4 $ S3SBC‬שטח מעטפת‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S3SBC = 2 $ SE $ BC = 2 $1.93a $ a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ = 4 $ 2 $1.93a $ a‬שטח מעטפת‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ = 3.86a2‬שטח מעטפת‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬ ‫‪-5‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫לפי ההגדרה של זווית בין ישר למישור‬ ‫נקבל כי הזווית המבוקשת היא למשל‪:‬‬ ‫‪B FBO‬‬ ‫במשולש ישר־הזווית ‪ FOB‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪FO‬‬ ‫‪tg BFBO = BO‬‬ ‫במשולש ‪ SOE‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪SO‬‬ ‫)‪EO = tg (BSEO‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪SO = 2 $ tg75 o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪FO = 3 SO‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪a tg75 o‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ BO‬הוא ‪ 2‬אלכסון הבסיס‪ ,‬לכן‪:‬‬ ‫מהצבת ‪ FO‬ו־ ‪ BO‬נקבל‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪FO‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪BO = 2‬‬ ‫‪a tg75 o‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= )‪tg (BFBO‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 tg75 o‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= )‪tg (BFBO‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪BFBO = 41.3 o‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬ ‫ופונקציות חזקה‬ ‫( ‪ 66 3‬נקודות)‬ ‫‪1‬‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 5-3‬לכל שאלה — ‪ 33 3‬נקודות)‪.‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬ ‫‪-6‬‬‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫יובל פתח חשבון חדש בבנק והפקיד בו ‪ 10,000‬שקל‪.‬‬ ‫גדל בכל חודש ב־ ‪. 2%‬‬ ‫הסכום שהפקיד ֵ‬ ‫כעבור שנה מרגע ההפקדה משך יובל מחשבונו ‪ 5000‬שקל‪.‬‬ ‫(הסכום שנשאר ממשיך לגדול בכל חודש ב־ ‪).2%‬‬ ‫כעבור כמה חודשים מרגע המשיכה‪ ,‬שוב יהיו בחשבונו של יובל ‪ 10,000‬שקל?‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪f (x) = 2x + 3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫בתחום ‪. x 2 0‬‬ ‫העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה‬ ‫בנקודת הקיצון שלה‪ ,‬והעבירו את‬ ‫‪1‬‬ ‫הישר ‪ y = 2 6‬החותך את גרף הפונקציה‬ ‫בין היתר בנקודה שבה ‪x = 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(הנקודה הקרובה לציר ה־ ‪.) y‬‬ ‫מצא את השטח המוגבל על ידי שני הישרים‪ ,‬על ידי גרף הפונקציה )‪ f(x‬ועל ידי ציר ה־ ‪, y‬‬ ‫השטח המקווקו בציור‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הסכום בבנק כעבור ‪ 12‬חודשים‪:‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫‪10, 000 #1.0212‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הסכום בבנק לאחר המשיכה‪:‬‬ ‫כעבור ‪ x‬חודשים כדי שיהיו בבנק‬ ‫שוב ‪ 10,000‬שקלים צריך להתקיים‪:‬‬ ‫‪10, 000 #1.0212 - 5000‬‬ ‫‪^10, 000 #1.0212 - 5000h 1.02 x = 10, 000‬‬ ‫‪0‬‬ ‫על ידי הפעלת ‪,n‬‬ ‫על שני אגפי המשוואה נקבל‪:‬‬ ‫‪10, 000‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪10, 000 $1.0212 - 5000‬‬ ‫‪,n1.02‬‬ ‫‪,n c‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 13.3‬חודשים = ‪x‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬ ‫‪-7‬‬‫המשך תשובה שאלה ‪.3‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x2 3‬‬ ‫הנגזרת של )‪: f(x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪ x = - 2‬לא בתחום ( ‪x = 2‬‬ ‫&‬ ‫‪f' (x) = -‬‬ ‫‪x 2 0 , f' (x) = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪fb 2 l = 2‬‬ ‫שיעור ה־ ‪ y‬של נקודת הקיצון‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y=2‬‬ ‫משוואת הישר המשיק בנקודת הקיצון‪:‬‬ ‫השטח המבוקש מורכב משני שטחים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שטח מלבן הנוצר ממשיק‪ ,‬מהישר ‪, y = 2 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S I = (2 6 - 2) $1 = 6‬‬ ‫מהאנך ‪ x = 1‬ומציר ה־ ‪: y‬‬ ‫שטח המוגבל על ידי הגרף של )‪, f(x‬‬ ‫‪6f (x) - 2@ dx‬‬ ‫על ידי המשיק ועל ידי האנך ‪: x = 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪S II‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪S II = ; 2 ,nx + 3 - 2xE = 2 ,n 2 - 12 = 0.02486‬‬ ‫‪1‬‬ ‫השטח המבוקש הוא‪:‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪S I + S II = 2 ,n 2 - 12 = 0.1915‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬ ‫‪-8-‬‬ ‫מס' ‪ + 315 ,035805‬נספח‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪,‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫‪-4‬‬‫‪.4‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪ f (x) = - 2 cos (2x) + a‬בתחום ‪. 0 # x # 6‬‬ ‫‪ a‬הוא פרמטר המקיים ‪. 0 1 a 1 2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את השיעורים של נקודות המקסימום המוחלט והמינימום המוחלט של הפונקציה )‪f(x‬‬ ‫(הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון כי הישר ‪ y = 3‬משיק לגרף הפונקציה )‪ f(x‬בתחום הנתון‪.‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. a‬‬ ‫הצב ‪ , a = 1‬וענה על הסעיפים ג ו־ ד‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫בתחום הנתון סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫בתחום הנתון מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f(x‬על ידי המשיק ‪y = 3‬‬ ‫ועל ידי ציר ה־ ‪. y‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪, f (x) = (a - 3x) e3x‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪ a‬הוא פרמטר‪.‬תשובה לשאלה ‪4‬‬ ‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬ ‫)‪f' (x) = 4 sin (2x‬‬ ‫הנגזרת של )‪: f(x‬‬ ‫ידוע כי שיעור ה־ ‪ x‬של נקודת הקיצון של הפונקציה )‪ f(x‬הוא ‪. 1‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. a‬‬ ‫‪sin (2x) = 0‬‬ ‫הצב ‪ , a = 4‬וענה על הסעיפים ג ו־ ד‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫&‬ ‫‪f' (x) = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫)‪. f(x‬‬ ‫מצא‪5‬את‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪#x#‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫הפונקציה ‪0 ,‬‬ ‫תחומי‪: 0‬העלייה והירידה של ‪x = 2‬‬ ‫בתחום ‪6‬‬ ‫(‪ )2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים‪.‬‬ ‫(‪ )3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫נתון הישר ‪. k # 0 , y = k‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪a -1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a+2‬‬ ‫‪a-2‬‬ ‫כמה נקודות חיתוך יש לישר זה עם גרף הפונקציה )‪ ? f(x‬נמק‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a - 2 1 a - 11 a + 2‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪0‬‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫‪r‬‬ ‫החינוך‪a 2 , a +‬‬ ‫ברשות משרד ‪2 k‬‬ ‫בנקודה‪:‬‬ ‫מוחלט‬ ‫מקסימום‬ ‫לפונקציה )‪ f(x‬יש‬ ‫לפרסם אלא‬ ‫להעתיק או‬ ‫אין‬ ‫לפונקציה )‪ f(x‬יש מינימום מוחלט בנקודה‪:‬‬ ‫‪^ 0 , a - 2h‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬ ‫‪-9-‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬ ‫המשך תשובה לשאלה ‪.4‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫שיפוע הישר ‪ y = 3‬הוא ‪, 0‬‬ ‫‪f' (x) = 0‬‬ ‫כלומר הוא משיק לפונקציה בנקודה שבה‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪x= 2‬‬ ‫‪ y = 3‬בנקודה שבה‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪fa 2 k = 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מצאנו כי ‪ , f a 2 k = a + 2‬לכן‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪a+2=3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a =1‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫השטח המבוקש הוא השטח המקווקו בציור‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪(2 + 2 cos (2x)) dx‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪(3 - f (x)) dx‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪S=r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫&‬ ‫‪S = 62x + sin (2x)@ 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/10‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫בתחום הנתון סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫בתחום הנתון מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f(x‬על ידי המשיק ‪y = 3‬‬ ‫‪- 10 -‬‬ ‫ועל ידי ציר ה־ ‪. y‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪ a , f (x) = (a - 3x) e3x‬הוא פרמטר‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ידוע כי שיעור ה־ ‪ x‬של נקודת הקיצון של הפונקציה )‪ f(x‬הוא ‪. 1‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. a‬‬ ‫הצב ‪ , a = 4‬וענה על הסעיפים ג ו־ ד‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫(‪ )2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים‪.‬‬ ‫(‪ )3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫נתון הישר ‪. k # 0 , y = k‬‬ ‫כמה נקודות חיתוך יש לישר זה עם גרף הפונקציה )‪ ? f(x‬נמק‪.‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪5‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הפונקציה מוגדרת לכל ‪x‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נגזרת הפונקציה )‪: f(x‬‬ ‫‪f' (x) = - 3e3x + (a - 3x) e3x $ 3‬‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪f' (x) = 3e3x (a - 3x - 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪f' (1) = 3e3 (a - 3 - 1‬‬ ‫יש קיצון ב־ ‪ , x = 1‬לכן‪:‬‬ ‫‪f' (1) = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a - 3 - 1 = 0 , 3e3 2 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a=4‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/11‬‬ ‫‪- 11 -‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬ ‫המשך תשובה לשאלה ‪.5‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫)‪f' (x) = 3e3x (3 - 3x‬‬ ‫קיבלנו‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x 21‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x 11‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪f'(x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫הפונקציה )‪ f(x‬עולה עבור‪:‬‬ ‫‪x 11‬‬ ‫הפונקציה )‪ f(x‬יורדת עבור‪:‬‬ ‫‪x 21‬‬ ‫‪f (x) = (4 - 3x) e3x‬‬ ‫קיבלנו‪:‬‬ ‫‪f (0) = 4‬‬ ‫&‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x= 3‬‬ ‫&‬ ‫‪f (x) = 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪b 3 , 0l‬‬ ‫חיתוך עם ציר ה־ ‪: x‬‬ ‫‪^ 0 , 4h‬‬ ‫חיתוך עם ציר ה־ ‪: y‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y=k‬‬ ‫לפי הסרטוט‪ :‬הישר חותך את הגרף של )‪ f(x‬בנקודה אחת עבור ‪k # 0‬‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬