‫מציאת משיק ונורמל‬ ‫הסבר והקדמה‬ ‫אם לפונקציה )‪ f (x‬יש נגזרת בנקודה ) ‪ P( x0 ; y 0‬אזי לעקום יש משיק בנקודה‬ ‫זו ‪.‬המשיק הוא קו ישר אשר ניתן לתיאור באמצעות‬ ‫או‬ ‫) ‪y  y 0  m( x  x0‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪y  mx  k‬‬ ‫‪ m‬זו הנגזרת בנקודה ההשקה‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫המשיק בנקודה הוא הקו המרוסק‪.‬‬ ‫ויוצר זוית ‪ ‬עם ציר ה ‪x‬‬ ‫)‪P(x0;y0‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫אם נגזור את‬ ‫‪ f ( x)  y‬נקבל את '‪ f ' ( x)  y‬ובנקודת ההשקה שיפוע‬ ‫‪ f ' ( x0 )  m‬אם נציב זאת‬ ‫המשיק זהה בדיוק לשיפוע הפונקציה ולכן‬ ‫) ‪. y  y0  f ' ( x0 )( x  x0‬‬ ‫בישר המשיק נקבל את משוואת הישר‬ ‫את ערכי הנקודה יש לנו וכן את הנגזרת בנקודה ומהן נקבל את הישר‪.‬‬ ‫) ‪y  y 0  m( x  x0‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪y  x 2  3x  4‬‬ ‫מצא את המשיק בנקודות‬ ‫)‪P1 (0;4‬‬ ‫ו‬ ‫)‪. P2 (3;4‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪y  x 2  3x  4‬‬ ‫‪y'  2 x  3‬‬ ‫נחשב את הנגזרת‬ ‫נציב את הנקודות בנקודה )‪ P1 (0;4‬נקבל‬ ‫‪m1  2 * 0  3  3‬‬ ‫ובנקודה )‪ P2 (3;4‬נקבל‬ ‫‪m2  2 * 3  3  3‬‬ ‫נצייר את הגרף‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y=x2-3x+4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫הקוים המרוסקים הם המשיקים בנקודות‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫נכתוב את משוואת המשיק ל‬ ‫)‪P1 (0;4‬‬ ‫) ‪y  y 0  m( x  x 0‬‬ ‫)‪y  4  3( x  0‬‬ ‫‪y  3x  4‬‬ ‫והמשיק לנקודה‬ ‫)‪P2 (3;4‬‬ ‫)‪y  4  3( x  3‬‬ ‫‪y  3x  5‬‬ ‫הנורמל הוא הישר המאונך למשיק בנקודת ההשקה‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫המשיק בנקודה הוא הקו המרוסק‪.‬‬ ‫ויוצר זוית ‪ ‬עם ציר ה ‪x‬‬ ‫‪N‬‬ ‫)‪P(x0;y0‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫הנורמל מסומן ב ‪ . N‬אנו יודעים את שיפוע המשיק ‪ m‬ומכאן שיפוע‬ ‫‪1‬‬ ‫הנורמל יהיה‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ ‬ומשוואת הנורמל העובר בנקודת ההשקה תהיה‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪( x  x0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪y  y0  ‬‬ ‫אם נציב בדוגמא שלנו נקבל את משוואת הנורמל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( x  0) ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫בנקודה )‪p1(0;4‬‬ ‫‪y4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y x4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫או‬ ‫‪x  3 y  12  0‬‬ ‫ובנקודה )‪P2(3;4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( x  3) ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y  4   x 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x  3 y  15  0‬‬ ‫‪y4‬‬ ‫תרגיל‬ ‫‪ .1‬נתונה הפונקציה‬ ‫בנקודה )‪P(2;4‬‬ ‫מצא את המשיק ואת הנורמל‬ ‫‪y  x 3  2x 2  4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נגזור את הפונקציה‬ ‫‪ y'  3x 2  4 x‬נציב את ערכי הנקודה ונקבל‬ ‫‪y'  3 * 2 2  4 * 2  4‬‬ ‫נמצא את משוואת המשיק בנקודה‬ ‫) ‪y  y 0  m( x  x 0‬‬ ‫)‪y  4  4( x  2‬‬ ‫‪4x  y  4  0‬‬ ‫ועכשיו משוואת הנורמל בנקודה‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪( x  x0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪y  y0  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪y  4   ( x  2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 y  x  18  0‬‬ ‫‪ .2‬באיזו נקודה של הפונקציה‬ ‫א‪ .‬מקביל לישר‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪12 x  y  17‬‬ ‫מאונך לישר‬ ‫‪x  3y  2‬‬ ‫א‪ .‬נגזור את הישר‬ ‫נגזור את הפונקציה‬ ‫‪ y  x 2  5‬המשיק‬ ‫‪ 12  y'  0‬ומכאן‬ ‫‪y'  12‬‬ ‫‪ y'  2 x‬השיפוע של הישר המקביל ושל הפונקציה‬ ‫בנקודת ההשקה זהים ולכן‬ ‫נציב את ה ‪ x‬שקבלנו במשוואת הפונקציה‬ ‫נקודת ההשקה היא‬ ‫ומשוואת המשיק בנקודת ההשקה‬ ‫‪2 x  12‬‬ ‫‪x6‬‬ ‫‪y  6 2  5  41‬‬ ‫)‪P(6;41‬‬ ‫)‪y  41  12( x  6‬‬ ‫‪y  12 x  31  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪( x  6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12 y  492   x  6‬‬ ‫‪12 y  x  498  0‬‬ ‫‪y  41  ‬‬ ‫ומשוואת הנורמל תהיה‬ ‫ב‪ .‬בכדי למצוא ישר מאונך לישר הנתון‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נמצא את השיפוע ('‪ )y‬של הישר ‪x  3 y  2‬‬ ‫ושיפוע המאונך לו יהיה‬ ‫‪y'  ‬‬ ‫‪y'  3‬‬ ‫השיפוע של הישר המשיק ושל הפונקציה בנקודת ההשקה זהים ולכן‬ ‫‪y'  2 x  3‬‬ ‫נגזרת הפונקציה ‪ y'  2 x‬שווה לשיפוע הישר‬ ‫נציב את ה ‪ x‬שקבלנו במשוואת הפונקציה‬ ‫נקודת ההשקה היא‬ ‫ומשוואת המשיק בנקודת ההשקה‬ ‫‪x  1.5‬‬ ‫‪y  x 2  5  1.5 2  5‬‬ ‫)‪P(1.5;7.25‬‬ ‫)‪y  7.25  3( x  1.5‬‬ ‫‪3x  y  2.75  0‬‬