‫‪ - 240491‬מתמטיקה למדעי החיים ‪1‬‬ ‫תקצרי הרצאות של פרופ‪ .‬רועי משולם‬ ‫הרצאה ‪2‬‬ ‫מושגים בגיאומטרית המישור והמרחב‬ ‫)‬ ‫המישור האוקלידי‪ℝ} :‬‬ ‫נקודת המישור נקראת )‬ ‫({‬ ‫(‬ ‫אורך הוקטור‪) :‬‬ ‫(‬ ‫חיבור וקטור‪) :‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‪(5 4‬‬ ‫𝑢‬ ‫(‬ ‫כפל בסקלר‪) :‬‬ ‫‪ℝ‬‬ ‫) ‪(3‬‬ ‫נקראות וקטורים‪.‬‬ ‫נתון ע"י‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫)‪( 3‬‬ ‫𝑢‬ ‫‪1‬‬ ‫| |‬ ‫√‬ ‫𝑢‬ ‫) ‪(4‬‬ ‫| 𝑢|‬ ‫𝑢‬ ‫𝑢‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‪3(2,1)=(6,3‬‬ ‫)‬ ‫וקטור האפס‪) :‬‬ ‫(‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪) .2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪ .4‬לכל קיים המסומן – המקיים‬ ‫‪.5‬‬ ‫)‬ ‫‪( ) .6‬‬ ‫(;‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪.7‬‬ ‫הצגה קוטבית‪ :‬כל וקטור‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪ ℝ‬ניתן להצגה יחידה‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫𝑦‬ ‫| |‬ ‫‪r‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜃‬ ‫(‬ ‫ישרים במישור ‪:ℝ‬‬ ‫‪ .ℝ‬דרך‬ ‫יהיו‬ ‫עובר ישר יחיד ‪.‬‬ ‫הצגתו הפרמטרית‪ :‬הינה ‪ℝ+‬‬ ‫הקטע המחבר בין‬ ‫ל‪-‬‬ ‫(*‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫הנקודה‬ ‫ארכו של הקטע ‪-‬‬ ‫‪ℝ+‬‬ ‫(‬ ‫נתון ע"י‬ ‫‪+‬‬ ‫יהא‬ ‫)‬ ‫*‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( ‪ ,‬הוא |‬ ‫‪|,‬‬ ‫|‪-‬‬ ‫(*‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫|‬ ‫כלומר‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫‪.‬‬ ‫כפול האורך המקורי‬ ‫משפט‪ :‬שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה‪ .‬הנקודה מחלקת כל תיכון ביחס של ‪.2:1‬‬ ‫קודקודי המשולש‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהיו‬ ‫𝑣‬ ‫מרכז הצלע ‪-‬‬ ‫‪ ,‬הוא‬ ‫מרכז הצלע ‪-‬‬ ‫‪ ,‬הוא‬ ‫מרכז הצלע ‪-‬‬ ‫‪ ,‬הוא‬ ‫‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫𝑤‬ ‫𝑤‬ ‫𝑣‬ ‫𝑣‬ ‫𝑤 𝑣𝑣‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑣‬ ‫‪/‬‬ ‫‪.‬‬ ‫𝑢𝑢‬ ‫𝑢‬ ‫‪.‬‬ ‫𝑢‬ ‫המכפלה הפנימית (מכפלה סקלרית ב‪:)ℝ -‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( )‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫| |‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫⇔‬ ‫𝑢‬ ‫𝑢‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑢‬ ‫𝑤‬ ‫𝑢‬ ‫𝑣‬ ‫𝑣‬ ‫𝑢‬ ‫𝑣‬ ‫⇔‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫| |‬ ‫| |‬ ‫| |‬ ‫| |‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( )‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫⇔‬ ‫לכן‬ ‫באופן יותר כללי‪ ,‬ניתן לבטא את הזווית בין שני וקטורים בעזרת המכפלה הפנימית‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬תהא 𝛼 הזווית בין‬ ‫ל‪-‬‬ ‫‪ .‬אזי‬ ‫‪,‬‬ ‫𝛼‬ ‫| || |‬ ‫𝑣‬ ‫𝑢‬ ‫𝑢‬ ‫𝑣‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪α‬‬ ‫לפי משפט הקוסינוסים‬ ‫𝛼‬ ‫| || |‬ ‫| |‬ ‫| |‬ ‫| |‬ ‫|‬ ‫| |‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫לכן‬ ‫| || |‬ ‫𝛼‬ ‫א"ש המשולש‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן‬ ‫| |‬ ‫| || |‬ ‫| |‬ ‫| |‬ ‫| |‬ ‫|‬ ‫| |‬ ‫𝛼‬ ‫)| |‬ ‫| |‬ ‫לכן‬ ‫| |‬ ‫|‬ ‫| || |‬ ‫| |‬ ‫| |‬ ‫|‬ ‫| |(‬ ‫| |‬ ‫הצגה נורמלית של ישר‪:‬‬ ‫יהיו‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪𝛾+‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫( ויהא‬ ‫( ) 𝛽 𝛼( )‬ ‫(*‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝛾‬ ‫𝛽‬ ‫𝛼 )‬ ‫(*‬ ‫|‬ ‫הקשר בין ההצגה הנורמלית להצגה הפרמטרית‪:‬‬ ‫הנתון בהצגה פרמטרית‪:‬‬ ‫יהיה ישר‬ ‫‪)+‬‬ ‫)‬ ‫הוכחה‪ :‬אם‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫להיפך‪ :‬אם‬ ‫(‬ ‫‪ℝ+‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫( ‪)-‬‬ ‫( )‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫(‪,‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫אזי‬ ‫כלומר‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫כלומר‬ ‫(*‬ ‫אזי‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(*‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫)‪) ( 7 5‬‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪ℝ+‬‬ ‫)‪(5 7‬‬ ‫(‬ ‫)‪) ( 7 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫הטלה של וקטור על הישר‬ ‫יהא‬ ‫‪ℝ‬‬ ‫ההטלה של‬ ‫‪ .‬לכל ‪ℝ‬‬ ‫נסמן ב‪ 𝜑 ( ) -‬את‬ ‫על הישר הנפרש ע"י ‪.‬‬ ‫𝑣‬ ‫𝑢‬ ‫) 𝑣 ( 𝑢𝜑‬ ‫נחשב במפורש את ) ( 𝜑‪:‬‬ ‫קיים ‪ℝ‬‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫) ( 𝜑‬ ‫עתה‪:‬‬ ‫| |‬ ‫| || |‬ ‫| |‬ ‫𝛼‬ ‫‪4‬‬ ‫| |‬ ‫| |‬ ‫‪α‬‬ ‫(*‬ ‫( )‬ ‫(*‬ ‫)‬ ‫(*‬ ‫לכן‬ ‫לכן‬ ‫) ( 𝜑‬ ‫| || |‬ ‫חישוב שטח מקבילית ע"י דטרמיננטה‪.‬‬ ‫‪ .‬ונסמן ב‪)-‬‬ ‫יהיו ‪ℝ‬‬ ‫( את המקבילית הנקבעת על‪-‬ידי‬ ‫‪:‬‬ ‫𝑣‬ ‫) 𝑣 𝑢( 𝑃‬ ‫𝑢‬ ‫*‬ ‫‪+‬‬ ‫נסמן‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫|)‬ ‫(‬ ‫הוכחה‪ :‬אם‬ ‫)‬ ‫‪, | -‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫תהיינה‬ ‫(‬ ‫|‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫אזי מחד‬ ‫| || |‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫מאידק‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫| | | |‬ ‫)‬ ‫לכן‬ ‫)‬ ‫()‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪0 1, | -‬‬ ‫‪0‬‬ ‫|‬ ‫(‬ ‫|‬ ‫במקרה הכללי‪:‬‬ ‫𝑣‬ ‫𝑣 𝑢‬ ‫𝑢‬ ‫𝑢 𝑢‬ ‫𝑣‬ ‫𝑤‬ ‫‪𝑢u‬‬ ‫| ‪/‬‬ ‫|‬ ‫‪.‬‬ ‫|)‬ ‫(‬ ‫|‬ ‫|)‬ ‫(‬ ‫| ‪/‬‬ ‫|‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫| || |‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫|‬ ‫המרחב האוקלידי ‪ℝ‬‬ ‫הגדרות חיבור וקטורי‪ ,‬כפל בסקלר המכפלה פנימית עוברות ללא שינוי‪ .‬ומקיימות את התכונות‬ ‫שציינו ב‪.ℝ -‬‬ ‫הטלה של וקטור על ישר‪:‬‬ ‫יהא ‪ℝ+‬‬ ‫הטלה‬ ‫𝑢‬ ‫*‬ ‫‪ℝ‬‬ ‫𝑣‬ ‫‪α‬‬ ‫‪.‬‬ ‫𝜑 נתונה ע"י‬ ‫) ( 𝜑‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן‬ ‫מאידק‬ ‫) ( 𝜑 ‪ ,‬אזי ‪𝛼 | | :‬‬ ‫𝛼‬ ‫| |‬ ‫| || |‬ ‫| |‬ ‫𝛼‬ ‫|) ( 𝜑|‬ ‫| |‬ ‫|) ( 𝜑|‬ ‫לכן‬ ‫𝛼‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫) ‪(3‬‬ ‫) ‪(3‬‬ ‫)‬ ‫()‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫()‬ ‫(‬ ‫)‪( 4‬‬ ‫) ( 𝜑‬ ‫) ‪(3‬‬ ‫𝑣‬ ‫𝑢‬ ‫מרכז הכובד של טטראידר‬ ‫יהיו‬ ‫קודקודי טטראידר ב‪.ℝ -‬‬ ‫טענה‪ :‬הקטעים המחברים את הקודקודי למרכזי‬ ‫𝑑‬ ‫הכובד של הפיאות הנגדיות נחתכים‪.‬‬ ‫נק' החיתוך הנ"ל מחלקות כל קטע‬ ‫ביחס של ‪.3:1‬‬ ‫𝑏‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫𝑎‬ ‫‪6‬‬ ‫𝑐‬ ‫ראינו כי מרכז הכובד של הפיאה‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הוא‬ ‫‪4‬‬ ‫לכן‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫נמצאית על כל הקטעים הנ"ל‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪3‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪3‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪3‬‬ ‫]‬ ‫‪3‬‬ ‫[‬ ‫מחלקות כל אחד ביחס של ‪.3:1‬‬ ‫המכפלה הוקטורית ב‪:ℝ -‬‬ ‫יהיו )‬ ‫(‬ ‫לוקטורים‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫וקטורי היחידה הסטנדרטיים ב‪.ℝ -‬‬ ‫(‬ ‫‪) ,‬‬ ‫נגדיר‬ ‫]‬ ‫|‬ ‫[‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫למשל‬ ‫הוא הוקטור היחידה המקיים‪:‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫א)‬ ‫(‬ ‫ב) )‬ ‫ג) כוון‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫נקבע עפ"י כלל הבורג הימני‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬א)‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫ב)‬ ‫‪7‬‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫]‬ ‫|‬ ‫[‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫‪ +‬כי‬ ‫לכן |‬ ‫*‬ ‫)‬ ‫|‬ ‫)‬ ‫|‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫𝑎‬ ‫𝑏‬ ‫𝑏‬ ‫𝑎‬ ‫מישורים ב‪ :ℝ -‬הצגות פרמטריות ונורמליות‪:‬‬ ‫‪ .ℝ‬המישור עובר דרך‬ ‫יהיו‬ ‫)‬ ‫}‪ℝ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝛾‬ ‫𝛽‬ ‫(‬ ‫𝛼 ‪ℝ‬‬ ‫מצד שני‪ ,‬אם ‪ℝ‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫𝛾𝛽 𝛼‬ ‫𝛾‬ ‫אזי‬ ‫נתון בהצגה פרמטרית ע"י‬ ‫{‬ ‫𝑤‬ ‫𝛼*‬ ‫𝛽‬ ‫𝑣‬ ‫ניצב לנורמל בנקודה‬ ‫𝑢‬ ‫(‬ ‫‪ ,‬שכיוונו )‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪)+‬‬ ‫}‪7‬‬ ‫דוגמא‪ :‬יהיו )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫]‬ ‫)‪4‬‬ ‫[‬ ‫)‪3‬‬ ‫(‬ ‫‪+‬‬ ‫הנורמל למישור‬ ‫𝛾‬ ‫𝛼 )𝛾‬ ‫𝛽‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫{‬ ‫(‬ ‫המישור שעובר דרכן‪ .‬אזי ההצגה הפרמטרית של‬ ‫𝛽‪4‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫*‬ ‫𝛼‪𝛽 3‬‬ ‫היא‪:‬‬ ‫𝛼(*‬ ‫𝛼 𝛾‬ ‫הוא‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪(4‬‬ ‫(‬ ‫|‬ ‫‪8‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫|‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‪.‬‬ ‫וההצגה של‬ ‫בעזרת נורמל היא‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3) (4‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪) (4‬‬ ‫‪) 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫( )‬ ‫(*‬ ‫(*‬ ‫הרצאה ‪1‬‬ ‫עקומים ומשטחים‬ ‫עקומים במישור‪:‬‬ ‫תהיה )‬ ‫( פונקציה של שני משתנים‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ .‬קבוצת האפסים של )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪ℝ‬‬ ‫( מגדירה עקום‬ ‫(*‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם ) ( פו' של משתנה יחיד‪ .‬אזי הגרף של‬ ‫) (‬ ‫‪+‬‬ ‫למשל הפרבולה‬ ‫)‬ ‫או‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הוא העקום‬ ‫(*‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫עבור‬ ‫‪11‬‬ ‫גדול הגרף נראה כמו‬ ‫‪⁄‬‬ ‫ג‪ .‬מעגל ‪+ :‬‬ ‫(* כל נקודות שמרחקן מ‪ )0,0(-‬הוא‬ ‫)‬ ‫𝑅‬ ‫אליפסה‪ :‬כל הנקודות ב‪ ℝ -‬שסכום מרחקיהן משני מוקדים קבועים‬ ‫)‬ ‫שווה ל‪-‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪.‬‬ ‫נמצא את משוואת האליפסה‪:‬‬ ‫‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪⁄‬‬ ‫((‬ ‫‪/‬‬ ‫‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(( ‪4‬‬ ‫‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫((‬ ‫)‬ ‫((‬ ‫‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪4‬‬ ‫(( ‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪. /‬‬ ‫נסמן‬ ‫)‬ ‫אזי‬ ‫‪. /‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪. /‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)𝑦 𝑥(𝑃‬ ‫)𝑏 (‬ ‫) 𝑎 (‬ ‫) 𝑎(‬ ‫) 𝑐(‬ ‫) 𝑐 (‬ ‫𝐹‬ ‫)𝑏‬ ‫𝐹‬ ‫(‬ ‫ה‪ .‬היפרבולה‪ :‬כל הנקודות ב‪ ℝ -‬שהפרש מרחקיהן משני מוקדים קבועים‬ ‫)‬ ‫שווה ל‪-‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪.‬‬ ‫)𝑦 𝑥(𝑃‬ ‫) 𝑎( ) 𝑎 (‬ ‫) 𝑐( 𝐹‬ ‫) 𝑐 (𝐹‬ ‫נמצא את משוות ההיפרבולה‪:‬‬ ‫‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫((‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪⁄‬‬ ‫(‬ ‫‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪⁄‬‬ ‫((‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫((‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(( ‪4‬‬ ‫)‬ ‫‪12‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫(( ‪4‬‬ ‫)‬ ‫((‬ ‫‪4‬‬ ‫((‬ ‫‪4‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪. /‬‬ ‫אזי‬ ‫נסמן‬ ‫‪. /‬‬ ‫‪. /‬‬ ‫נשים לב שההיפרבולה אסימפטוטית לישרים‬ ‫𝑏‬ ‫𝑥‬ ‫𝑎‬ ‫𝑏‬ ‫𝑥‬ ‫𝑎‬ ‫𝑦‬ ‫𝑦‬ ‫הצגה פרמטרית של עקומים‪:‬‬ ‫עקום‬ ‫הוא אובייקט חד‪-‬מימדי ולפיכך ניתן להצגה (בד"כ) ע"י פרמטר יחיד ‪.‬‬ ‫כלומרקיימות פונקציות‬ ‫‪ℝ‬‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫}‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)) ( ) ( ({‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫א‪ .‬ראינו בשעור שישר במישור‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ℝ3‬‬ ‫כאן‬ ‫)‬ ‫(*‬ ‫)אם‬ ‫‪2.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪13‬‬ ‫(‬ ‫ב‪ .‬אם‬ ‫אזי‬ ‫הוא גרף ‪( )+‬‬ ‫ג‪+ .‬‬ ‫פרמטריזציה אפשרית‪:‬‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫הפרמטר הטבעי‪:‬‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫))‬ ‫(*‬ ‫) (‬ ‫(*‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)) ( ) ( (‬ ‫>𝑡‬ ‫<𝑡<‬ ‫𝑡‬ ‫𝑡‬ ‫<𝑡<‬ ‫<𝑡‬ ‫ד‪ .‬מעגל ברדיוס‬ ‫‪) :‬‬ ‫ה‪ .‬אליפסה‬ ‫‪. /‬‬ ‫ו‪ .‬היפרבולה‬ ‫(‬ ‫)) ( ) ( (‬ ‫(‬ ‫‪) :. /‬‬ ‫‪. /‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪. /‬‬ ‫)) ( ) ( (‬ ‫>𝑡‬ ‫) 𝑡( 𝛾‬ ‫)𝑡(𝛾‬ ‫𝑡‬ ‫<𝑡‬ ‫נגדיר‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫) (𝛾 )‬ ‫< <‬ ‫( מתאר את הענף הימני ההיפרבולה‬ ‫מתאר את הענף השמאלי‪.‬‬ ‫ז‪ .‬לעיתים נתון רק תיאור פיזיקלי שלהעקום ועלינו למצא לו הצגה פרמטרית‪.‬‬ ‫למשל ציקלואידה שהיא העקום המותווה נקודה הנמצאית על מעגל המתגלגל על ישר‪.‬‬ ‫‪α‬‬ ‫)‬ ‫‪/‬‬ ‫(‬ ‫‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪𝛾. /‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(𝛾‬ ‫‪15‬‬ ‫(‬ ‫) (𝛾‬ ‫) (𝛾‬ ‫(‬ ‫) (𝛾‬ ‫פונקציה וקטורית של משתנה יחיד‬ ‫עקומים ב‪ ℝ -‬וב‪ ℝ -‬מתוארים ע"י פונקציה וקטורית של משתנה אחד‪ .‬למשל ב‪ℝ -‬‬ ‫) (‬ ‫)) ( ) ( ) ( (‬ ‫רציפות‪( ) :‬‬ ‫רציפה אםם כל רכיביה רציפים‪.‬‬ ‫גזירות‪( ) :‬‬ ‫גזירה אםם כל רכיביה גזירים ואזי‬ ‫)) (́‬ ‫) (́‬ ‫) (́‬ ‫) (́ (‬ ‫חישוב הנגזרת של סכום‪ ,‬מכפלה בפןנקציה סקלרית‪ ,‬מכפלה פנימית ומכפלה פנימית‪.‬‬ ‫הנגזרת של פו' וקטורית ) ( ב‪-‬‬ ‫היא כוון המשיק לעקום הפרמטרי בנקודה‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (́‬ ‫𝑡(𝑟‬ ‫אזי הישר המשיק לעקום ) ( בנקודה ) ( הוא‬ ‫אם‬ ‫‪ℝ+‬‬ ‫) (́‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫)) ( ) ( ) ( (‬ ‫אורך מסילה‪:‬‬ ‫<‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫) ́(‬ ‫) (‬ ‫|) (́ |‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫∫‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫לפי משפט ערך הבינים‬ ‫) 𝛽(́‬ ‫עבור נקודות‬ ‫) 𝑡(𝑟‬ ‫) ( *‬ ‫)‬ ‫דוגמא‪ :‬ההליקס‬ ‫)) 𝛾(́‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫)‬ ‫) 𝛼(́ ()‬ ‫𝛾 𝛽 𝛼‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫𝑖𝑡(𝑟‬ ‫‪ .‬לכן‪:‬‬ ‫) 𝑖𝑡(𝑟‬ ‫‪16‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪⁄‬‬ ‫‪( ́(𝛾 )) /‬‬ ‫)) 𝛽(́ (‬ ‫|) (́ | ∫‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)) 𝛼(́ (‪∑ .‬‬ ‫(|) (́ |∑‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫∫‬ ‫‪17‬‬ ‫|) (‬ ‫)‬ ‫( |∑‬ ‫הרצאה ‪3‬‬ ‫תנועה ב‪ℝ -‬‬ ‫יהא )) ( ) ( ) ( (‬ ‫) (‬ ‫מקום גוף נקודתי בזמן ‪.‬‬ ‫מהירות הגוף בזמן‬ ‫‪:‬‬ ‫)) (́‬ ‫) (́‬ ‫תאוצת הגוף בזמן‬ ‫‪:‬‬ ‫)) (́ ́‬ ‫) ́( ́‬ ‫שדה כוח על‬ ‫החוק השני של ניוטון‪ :‬יהא‬ ‫) (́ (‬ ‫) ́( ́ (‬ ‫) ́( ́‬ ‫‪ ℝ‬הפועל על הגוף‪ .‬אזי לכל ‪:‬‬ ‫)) ( (‬ ‫) (́ ́‬ ‫משוואה זו מתארת תנועהת הגוף שמסתו‬ ‫) (́‬ ‫תחת השפעת השדה ‪.‬‬ ‫חוק הכבידה האוניברסלי של ניוטון‪ :‬גוף נקודתי שמסתו‬ ‫שדה הכובד שמפעיל זה על גוף נקודתי אחר שמסתו‬ ‫) (‬ ‫|) ( |‬ ‫נימצא בראשית הצירים (שמש)‪.‬‬ ‫ומקומו ) (‬ ‫נתון ע"י‬ ‫)) ( (‬ ‫𝑚‬ ‫)𝑡(𝑟‬ ‫קבוע הכבידה האוניברסלי‪.‬‬ ‫𝑀‬ ‫חוקי קפלר‪:‬‬ ‫נניח כי מסת השמש‬ ‫גדולה מאוד יחסית לכוכב‬ ‫‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫א‪ .‬הכוכב ינוע סביב השמש במסלול אליפטי כאשר השמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה‪.‬‬ ‫נסמן את מסלול הכוכב ב‪* ( )+ -‬‬ ‫ב‪ .‬הוקטור ) ( מכסה שטחים שווים בזמנים שווים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬זמן המחסור מקיים‬ ‫‪⁄‬‬ ‫כאשר‬ ‫הוא אורך הציר הארוך של האליפסה‪.‬‬ ‫הערה היסטורית‪ :‬קפלר ניסח את חוקיו ב‪ 1609-‬ע"פ תצפיות אסטרונומות של התוכן טיפו ברהה‬ ‫ושלו‪ .‬ניוטון הוכיח את חוקי קפלר ב‪ ,1687-‬בעזרת נוסחת הכבידה האוניברסלית והחוק השני‪.‬‬ ‫הוכחות ב‪ :‬עובדה זו תלויה רק בכך ששדה הכובד הוא מרכזי‪ ,‬כלומר קיימת פונקצייה ממשית‬ ‫> ) ( כך שלכל ‪:‬‬ ‫)) ( (‬ ‫) ( ) (‬ ‫‪18‬‬ ‫נסמן ב‪ ( )-‬את השטח שמכוסה ע"י וקטור המקום בין זמן ‪ 0‬לזמן ‪.‬‬ ‫)𝑡‬ ‫) 𝑡( 𝑟‬ ‫) (𝑟‬ ‫))‬ ‫|)) (‬ ‫( ) ( (‬ ‫)‬ ‫((‬ ‫|) (‬ ‫|) (́‬ ‫לכן‬ ‫) (́‬ ‫מאידך נסמן‬ ‫) (‬ ‫|)‬ ‫) ( |‬ ‫)𝑡‬ ‫𝑡( 𝐴‬ ‫) 𝑡( 𝐴‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) ( |‬ ‫(‬ ‫) ( |‬ ‫) ( |‬ ‫) (‬ ‫) ́( ‪.‬‬ ‫) (‬ ‫אזי‬ ‫) (́ ́‬ ‫) (́‬ ‫לכן‬ ‫| |‬ ‫) (‬ ‫) (́‬ ‫) (́‬ ‫) (́‬ ‫) (‬ ‫) ( ) (‬ ‫)) ( ) (‬ ‫ולכן‬ ‫) (‬ ‫קבוע לכל ‪ .‬ולכן | |‬ ‫(‬ ‫) ( ‪ .‬לכן השטח המכוסה ע"י וקטור המקום בין זמן‬ ‫ותלוי רק ב‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫) (‬ ‫) (́‬ ‫לזמן‬ ‫לכל ‪ ,‬ולכן לכל‬ ‫הוא )‬ ‫(| |‬ ‫𝑡( 𝑟‬ ‫פונקציה של מספר משתנים‬ ‫גרפים של פונקציה במספר משתנים‪:‬‬ ‫ו‪ℝ -‬‬ ‫בהנתן ‪ℝ‬‬ ‫נתון ע"י ‪)+‬‬ ‫הגרף של‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫(*‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫)‬ ‫א‪.‬‬ ‫( ‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫אזי‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫הוא המישור הנקבע ע"י הנקודות‬ ‫()‬ ‫בגובה‬ ‫)‬ ‫הוא המישור ב‪ ,ℝ -‬העובר דרך הנקודה‬ ‫( ‪ .‬כמו שראינו‬ ‫(‪ .‬למשל אם‬ ‫וניצב לוקטור )‬ ‫ב‪.‬‬ ‫)‬ ‫הוא המישור המקביל למישור‬ ‫‪.‬‬ ‫()‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‪.‬‬ ‫)‬ ‫ג‪ .‬פרבולואיר‪ :‬הגרף של‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪21‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫ד‪ .‬אוכף‪ :‬הגרף של‬ ‫√‬ ‫ה‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫הערה על ויזואילציה ע"י קווי גובה‪.‬‬ ‫גבולות על פונקציות במס' משתנים‪:‬‬ ‫תהא )‬ ‫( מוגדרת על הקבוצה‬ ‫נאמר ש ‪-‬‬ ‫קיים‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫> 𝛿 כך שאם 𝛿 <‬ ‫< |‬ ‫|‬ ‫>𝜀‬ ‫אם לכל‬ ‫(‬ ‫) |‬ ‫|‬ ‫|( >‬ ‫|‬ ‫( תבוא רציפה ב‪) -‬‬ ‫)‬ ‫אם‬ ‫טענה‪ :‬נניח כי‬ ‫‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫כנ"ל המוגדרת גם על‬ ‫‪+‬‬ ‫|‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫|<‬ ‫אזי 𝜀 < |‬ ‫(‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫כנ"ל ונניח שקיימים הגבולות‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪21‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(*‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( |‪.‬‬ ‫אזי‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫ואם‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫(‬ ‫רציפות בנקודה )‬ ‫( ‪.‬‬ ‫)‬ ‫בפרט‪ :‬אם‬ ‫אם‬ ‫))‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( (‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫( )‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫( אזי גם‬ ‫(‬ ‫רציפות ב‪)-‬‬ ‫(‪ ,‬וכנ"ל גם‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הגבול‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫הוא‬ ‫וכאשר‬ ‫הוא‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫{‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫| |‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫רציפה ב‪)-‬‬ ‫| |√‬ ‫)‬ ‫ד‪ .‬הגבול‬ ‫(‬ ‫לא קיים‪:‬‬ ‫כי הגבול כאשר‬ ‫ג‪.‬‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫אזי‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫))‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫( (‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( )‬ ‫) >‬ ‫(‬ ‫אזי‬ ‫לא קיים‪ :‬אם נקח‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪22‬‬ ‫| || |‬ ‫→‬ ‫(‬ ‫|)‬ ‫√‬ ‫(‬ ‫> (‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( |‬ ‫אזי‬ ‫מאידך אם נקח‬ ‫)‬ ‫ה‪.‬‬ ‫⏟‬ ‫⏟‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫חסומה‬ ‫נגזרות חלקיות‪:‬‬ ‫נתונה פונקציה בכמה משתנים ורוצים לחשב את קצב שינוי הפונקציה ביחס לכל אחד‬ ‫במעגל הוא פונקציה של ההתנגדות‬ ‫מהמשתנים‪ .‬למשל הזרם‬ ‫ורוצים להבין נוצר השינוי במתח בלבד משנה את )‬ ‫הגדרה‪ :‬תהא )‬ ‫מוגדרת בסביבה של )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫ושל המתח‬ ‫(‬ ‫( ‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫דיפרנציאביליות ומישור משיק לגרף‬ ‫תהא )‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫מוגדרת בסביבת )‬ ‫( ונניח ש‪) -‬‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫‪),‬‬ ‫(‬ ‫𝑧‬ ‫) 𝑦 𝑥(‬ ‫משוואת המשיק לעקום ))‬ ‫(‬ ‫( בנקודה )‬ ‫‪23‬‬ ‫( הינה‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫קיימות‪ .‬נסמן‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫משוואת המשיק לעקום ))‬ ‫)‬ ‫( בנקודה )‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫( הינה‬ ‫(‬ ‫בנקודה )‬ ‫אם קיים מישור משיק ל‪-‬‬ ‫ולכן משוואתו היא‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( אזי הוא בהכרח מכיל שני הישרים הנ"ל‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪)7‬‬ ‫תקרא דיפרנציאבילית ב‪) -‬‬ ‫( אם‪:‬‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫( )‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪24‬‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫(√‬ ‫)‬ ‫( ‪6‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫הרצאה ‪0‬‬ ‫)‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪5‬‬ ‫}))‬ ‫משוואת המישור המשיך לגוף‬ ‫בנקודה )‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫() (‬ ‫𝜕‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫(*‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫דוגמא‪ :‬הערכה של‬ ‫√‬ ‫‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫{‬ ‫) ‪3 99‬‬ ‫( ‪,‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫⇐‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪7‬‬ ‫‪34‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( ‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫(‬ ‫‪25‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪: (3‬‬ ‫)‪(3 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫ב‪) -‬‬ ‫)‬ ‫) ‪( 7‬‬ ‫‪34‬‬ ‫(‪4‬‬ ‫מישור משיק ל‪-‬‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫() (‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫קירוב ע"י הנגזרת‪:‬‬ ‫תהא‬ ‫({‬ ‫( הינה‬ ‫)‬ ‫‪5+‬‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫‪( 7‬‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫( ‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫( ‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4 998‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪3 99‬‬ ‫‪5‬‬ ‫הגרדיאנט ותכונותיו‬ ‫( ‪( )/ :‬‬ ‫פונקציה בשני משתנים )‬ ‫פונקציה בשלושה משתנים )‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫) ( 𝜕‪.‬‬ ‫( ‪( )/ :‬‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫) (‬ ‫𝜕‬ ‫המוגדרת ב‪)) -‬‬ ‫)‬ ‫|)‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫) ( 𝛻‬ ‫(‬ ‫(|‬ ‫𝜕‬ ‫) ( 𝜕‪.‬‬ ‫((‬ ‫)‬ ‫) ( 𝛻‬ ‫‪:ℝ‬‬ ‫( 𝛻‬ ‫( זו נקראת "פוטנציאל הכבידה"‪.‬‬ ‫תכונות הגרדיאנט‪:‬‬ ‫𝛻𝛽‬ ‫א‪ .‬לינאריות‬ ‫ב‪ .‬גרדיאנט של מכפלה‬ ‫) 𝛽‬ ‫𝛻𝛼‬ ‫𝛼( 𝛻‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫( ́(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫ג‪ .‬כלל השרשרת )‬ ‫ד‪ .‬כלל השרשרת למסילות‪( ) ( ( ) ( ) ( )) :‬‬ ‫תהא )) ( (‬ ‫) ( ‪ ,‬אזי‬ ‫) (́‬ ‫דוגמא‪ :‬החום בנק' )‬ ‫חרק נע במסילה‬ ‫)) ( (‬ ‫(( 𝛻‬ ‫) (́‬ ‫)) ( (‬ ‫( נתון ע"י‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) ( ‪.‬‬ ‫) ( ‪ ,‬קצב שינוי בחום בזמן ‪:‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫( )) (‬ ‫)‬ ‫‪. ( ( ))/‬‬ ‫) ( ) ( (‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫נגזרת כיוונית‪) :‬‬ ‫גזירה ב‪) -‬‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫)) ( (‬ ‫) (‬ ‫‪ℝ‬‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫טענה‪ :‬יהא‬ ‫()‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫) ( ‪.‬‬ ‫)) ( (‬ ‫) ́(‬ ‫) (‬ ‫) ́(‬ ‫‪.‬‬ ‫וקטור יחידה‪ ,‬אזי‬ ‫|) (‬ ‫) (‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫|) (‬ ‫שוויון מימין אםם‬ ‫) (‬ ‫|) (‬ ‫הוכחה‪( )| :‬‬ ‫|‬ ‫קווי גובה של )‬ ‫| | |) (‬ ‫(‬ ‫אזי ) (‬ ‫הוכחה‪ :‬אם )) ( ) ( (‬ ‫|‬ ‫) (‬ ‫הם העקומים ‪+‬‬ ‫) (‬ ‫טענה‪ :‬אם‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫|‬ ‫|) (‬ ‫|‪.‬‬ ‫(*‬ ‫‪.‬‬ ‫)‬ ‫ניצב למשיק לעקום‬ ‫) (𝛾 פרמ' של‬ ‫אזי )) ( ) ( (‬ ‫) (́ 𝛾 )) (𝛾(‬ ‫משטח גובה של )‬ ‫טענה‪ :‬אם‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫הוא המשטח ‪+‬‬ ‫אזי ) (‬ ‫הוכחה‪ :‬יהא )) ( ) ( ) ( (‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) (𝛾 עקום על‬ ‫לכן ) (‬ ‫)‬ ‫בנקודה‬ ‫‪27‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(*‬ ‫בנקודה‬ ‫‪ .‬אזי‬ ‫) (́ 𝛾 )) (𝛾(‬ ‫ולכן‬ ‫‪.‬‬ ‫הוא הנורמל למשטח‬ ‫ניצב לכל וקטור המשיק ל‪-‬‬ ‫בנקודה ‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)) (𝛾(‬ ‫ולכן‬ ‫דוגמא‪6 :‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫(‬ ‫‪( 6 8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫) (‬ ‫‪8‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪3) ( 6 8‬‬ ‫משוואת המישור המשיק ל‪ , -‬ב‪-‬‬ ‫(‬ ‫‪28‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪) ( 6 8‬‬ ‫(‬ ‫הינה‬ ‫הרצאה ‪5‬‬ ‫תהא )‬ ‫(‬ ‫פונקציה גזירה ויהא‬ ‫כדור קטן ממוקם על‬ ‫המשטח‬ ‫‪ℝ+‬‬ ‫))‬ ‫(‬ ‫(*‬ ‫בנקודה )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫בעייה‪ :‬נשחחרר את הכדור כך שינוע באופן חופשי על‬ ‫ינוע הכדור?‬ ‫‪) /‬‬ ‫פתרון‪ :‬יהא‬ ‫‪/‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫כפןף אם ורק לכוח הכובד‪ .‬לאיזה כוון‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫‪.‬‬ ‫𝜕‬ ‫‪ .‬הכדור ינוע בכוון ההטלה של וקטור הכוח )‬ ‫הנורמל למשטח בנקודה‬ ‫המשטח‪ ,‬כלומק בכוון‬ ‫‪.‬‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫‪5‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫על‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫‪4‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝑁‬ ‫כוון התנועה‬ ‫𝑃‬ ‫𝑣‬ ‫כלל השרשרת – הגרסא הכללית‪:‬‬ ‫תהא )‬ ‫נסמן‬ ‫(‬ ‫גזירה ונניח כי‬ ‫))‬ ‫הם פונקציות של‬ ‫( )‬ ‫( )‬ ‫( (‬ ‫‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫אזי‬ ‫וכול' ל‪-‬‬ ‫עם מספר כלשהוא‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫משתנים ו‪) -‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪29‬‬ ‫(‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫))‬ ‫)‬ ‫(( )‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫(‬ ‫( (‬ ‫(‬ ‫( )‬ ‫)‪3‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(=‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫)‪3 5‬‬ ‫אקסטרמום של פונקציות במספר משתנים‬ ‫נזכר תחילה במקרה החד‪-‬מימדי‪.‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫פונקציה גזירה בקטע ‪-‬‬ ‫תהא ) (‬ ‫יש ל‪( ) -‬‬ ‫‪ ,‬בנקודה‬ ‫<‬ ‫) (‬ ‫מקסימום או מינימום מקומי אזי‬ ‫בנקודה )) (‬ ‫הוכחה‪ :‬משוואת המשיק לגרף של ) (‬ ‫הינה‬ ‫)‬ ‫אם‬ ‫מקסימום או מינימום אזי המשיק ב‪)-‬‬ ‫<‬ ‫(‬ ‫( ) (‬ ‫( הינו מקביל לציר ה‪-‬‬ ‫ולכן ‪0‬‬ ‫) (‬ ‫𝑦‬ ‫𝑥‬ ‫הגרסא הרב מימדית של הטענה הינה‪:‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫אם )‬ ‫ב‪) -‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫פונקציה גזירה בקבוצה הפתוחה‬ ‫𝜕‬ ‫) (‬ ‫אזי‬ ‫𝜕‬ ‫הוכחה‪ :‬משוואת המשיק למשטח ‪+‬‬ ‫בנקודה )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫))‬ ‫כאשר )‬ ‫( ) (‬ ‫) (‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫ויש לה מקסימום או מינימום מקומי‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫(*‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫הינה‬ ‫)‬ ‫( ) (‬ ‫‪31‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫אם‬ ‫מקסימום או מינימום‪ ,‬אזי המישור המשיק למשטח ב‪-‬‬ ‫) (‬ ‫ולכן‬ ‫הגדרה‪) :‬‬ ‫𝜕‬ ‫הינו מקביל למישור ה‪-‬‬ ‫𝜕‬ ‫) ( 𝜕‪.‬‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫נרקאת קריטית אם )‬ ‫‪( )5‬‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫) (‬ ‫) ( 𝜕‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬הטענה נובעת גם ישירות מהמקר החד‪-‬מימדי‪:‬‬ ‫אם )‬ ‫לכן‬ ‫( מינימום מקומי של )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫( ‪ ,‬אזי‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫) ( ‪ .‬בדומה‬ ‫𝜕‬ ‫הוא מינימום מקומי של )‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫( 𝜕‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬מצא את נפח התיבה המקסימלית המוכלת בתחום‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪/‬‬ ‫עלינו למצא את‬ ‫‪.‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪/‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נשים לב כי אם‬ ‫(‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪/‬‬ ‫נסמן‬ ‫(‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‪(1,0‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫)‪(3,0‬‬ ‫𝜕‬ ‫או‬ ‫)‪(0,0‬‬ ‫או‬ ‫)‬ ‫אזי‬ ‫לכן המקסימום מתקבל בנקודה פנימית )‬ ‫( ‪.‬‬ ‫( ‪ .‬אזי‬ ‫‪⇐{ 3‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫בדוגמא זו יש נקודה קריטית יחידה ו‪-‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪31‬‬ ‫(‬ ‫על השפה 𝜕‪ ,‬נובע כי זו נקודת מקסימום‪.‬‬ ‫מיון נקודות קריטיות‪:‬‬ ‫‪ ,‬אם‬ ‫תזכורת‪ :‬לפונקציות של משתנה יחיד‬ ‫>) (‬ ‫⇐‬ ‫מינימום מקומי‪,‬‬ ‫<) (‬ ‫⇐‬ ‫מקסימום מקומי‪.‬‬ ‫) (‬ ‫אי אפשר להחליט‬ ‫כאשר‬ ‫) (‬ ‫היא נקודה קריטית‬ ‫אזי‬ ‫כדי להבין את המקרה הדו‪-‬מימדי נעיין בדוגמאות הבאות‪:‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫( ‪ ,‬נסמן‬ ‫)‪ (i‬אם‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫אזי‬ ‫>)‬ ‫( לכל‬ ‫)‪ (ii‬אם‬ ‫<‬ ‫>‬ ‫אזי‬ ‫<)‬ ‫( לכל‬ ‫)‪ (iii‬אם‬ ‫<‬ ‫אזי‬ ‫)‬ ‫טענה‪ :‬תהא‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫מקבלת ערכים חיוביים ושליליים‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪5‬‬ ‫אם‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫אזי‬ ‫שני המחוברים אי‪-‬שליליים‪.‬‬ ‫אם‬ ‫<‬ ‫>‬ ‫אזי‬ ‫שני המחוברים אי‪-‬חיוביים‪.‬‬ ‫<‬ ‫אם‬ ‫ושליליים‪.‬‬ ‫אזי‬ ‫‪4‬‬ ‫)‬ ‫אחד המחוברים שלילי והשני חיובי והתבנית מקבלת ערכים חיוביים‬ ‫‪32‬‬ ‫(‬ ‫מסקנה‪ :‬אם )‬ ‫(‬ ‫נקודה פנימית בתחום ‪ℝ‬‬ ‫) (‬ ‫ו‪-‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫) ( 𝜕‪.‬‬ ‫נסמן‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫) (‬ ‫אם‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕 𝜕‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫=<‬ ‫נקודת מקסימום‪.‬‬ ‫>‬ ‫<‬ ‫=<‬ ‫נקודת מינימום‪.‬‬ ‫>‬ ‫=<‬ ‫נקודת אוכף‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נכתוב‬ ‫𝜕‬ ‫() (‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪) 7‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫() (‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫מאחר ו‪-‬‬ ‫) (‬ ‫‪) -‬‬ ‫אם‬ ‫> ‪,‬‬ ‫>‬ ‫אם‬ ‫< ‪,‬‬ ‫>‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫() (‬ ‫𝜕 𝜕‬ ‫()‬ ‫→‬ ‫כאשר‬ ‫𝜕‬ ‫() (‬ ‫𝜕‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫() (‬ ‫‪6‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫נקבל‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫()‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫אזי הביטוי מימין תמיד אי שלילי ולכן‬ ‫אזי הבטוי מימין תמיד אי חיובי ולכן‬ ‫‪33‬‬ ‫( ‪,‬‬ ‫נק' מינימום‪.‬‬ ‫נק' מקסימום‪.‬‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫הרצאה ‪6‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫א‪ .‬מהו שטח הפנים המינימלי של תיבה בנפח קבוע‬ ‫יהיו‬ ‫?‬ ‫צלעות התיבה‪ ,‬אזי‬ ‫‪/‬‬ ‫ושטח הפנים הוא‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫( ‪.‬‬ ‫עלינו‪ ,‬אם כן‪ ,‬למצוא את המינימום של הפונקציה‬ ‫)‬ ‫‪> )+‬‬ ‫על התחום‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(*‬ ‫‪.‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫⇐‬ ‫‪⁄‬‬ ‫לכן‬ ‫‪,‬‬ ‫‪⁄‬‬ ‫‪6‬‬ ‫( ‪.‬‬ ‫)‬ ‫‪⁄‬‬ ‫‪) . ⁄‬‬ ‫( אפשר לבדוק ישירות שזו‬ ‫נקודה קריטית יחידה ‪/‬‬ ‫מאחר ויש ב‪-‬‬ ‫נקודת מינימום‪ .‬אנו נשתמש בקריטריון הנגזרת מסדר שני כדי לוודא זאת‪:‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕 𝜕‬ ‫בנקודה ‪/‬‬ ‫‪⁄‬‬ ‫ומאחר ו‪4 -‬‬ ‫ב‪ .‬נתונם‬ ‫רוצים למצא‬ ‫‪⁄‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫‪.‬‬ ‫)‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫נובע כי ‪/‬‬ ‫זוגות )‬ ‫‪4‬‬ ‫( נקבל‬ ‫(‬ ‫‪⁄‬‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕 𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫] 𝜕‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪⁄‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫‪ .‬נקודת מינימום‪.‬‬ ‫( ‪.‬‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕 𝜕[‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫לסדרה )‬ ‫)‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫∑‬ ‫נסמן‬ ‫‪-‬‬ ‫‪, -‬‬ ‫)‪, -‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫∑‬ ‫‪,‬‬ ‫ ‪,‬‬‫‪-‬‬ ‫{ ⇐‬ ‫נכפיל את המשוואה השניה ב‪, - -‬‬ ‫‪, - , -‬‬ ‫(‬ ‫מינימלי‪.‬‬ ‫ ‪,‬‬‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(∑‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫(∑‬ ‫ ‪,‬‬‫‪,‬‬ ‫‪, -‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫ ‪,‬‬‫‪, -‬‬ ‫{‬ ‫ונחסיר מהראשונה‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫) )‪( , -‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪( ,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫משוואת הקירוב הליניארי ל‪-‬‬ ‫‪, -‬‬ ‫ ‪, - ,‬‬‫) )‪( , -‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪, -‬‬ ‫‪, -‬‬ ‫ע"י‬ ‫)‪, -‬‬ ‫‬‫ ‪( ,‬‬‫{‬ ‫היא‪:‬‬ ‫ ‪, - ,‬‬‫(‬ ‫) )‪( , -‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‬‫‪( , -‬‬ ‫כופלי לגרנז'‪ :‬אופטימיזציה תחת אלוצים‬ ‫א) פונקציה בשני משתנים עם אלוץ יחיד‬ ‫מצא את מקסימום‪ /‬מינימום של )‬ ‫(‬ ‫טענה‪ :‬אם נקודת מקסימום‪ /‬מינימום‬ ‫תחת אלוץ‬ ‫)‬ ‫מקיימת‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫אזי‬ ‫הוכחה‪ :‬תהא )) ( ) ( (‬ ‫) (𝛾 פרמטריזציה של העקום‬ ‫)‬ ‫) (𝛾‬ ‫ותהא‬ ‫היא נקודה קריטית של‬ ‫)) (‬ ‫( ‪.‬‬ ‫)) ( ) ( (‬ ‫) ( ( ) (‬ ‫‪35‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫לכן‬ ‫(‬ ‫)) ( ) ( (‬ ‫מאידך‬ ‫ולכן‬ ‫) (‬ ‫‪( )/‬‬ ‫מאחר ו ‪( ) -‬‬ ‫ניצבים שניהם ל‪ 𝛾 ( ) -‬הרי ש ‪-‬‬ ‫ו‪( ) -‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫עבור ‪ℝ‬‬ ‫‪( ) .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫𝜆 כלשהוא‪.‬‬ ‫𝜆 זה נקרא "כופל לגרנזי"‬ ‫‪+‬‬ ‫דוגמא‪ :‬מצא את‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫עבור‬ ‫) ‪(6 8‬‬ ‫ולכן‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( *‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫כלומר‬ ‫‪3‬‬ ‫נציב באלוץ‪:‬‬ ‫⇐‬ ‫‪/‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⇐‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⇐ ) ‪3⁄‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ( ⁄‬נק' מקסימום ) ‪3⁄‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪⁄‬‬ ‫( נק' מינימום‪.‬‬ ‫ב) פונקציות בשלושה משתנים עם אלוץ יחיד‬ ‫נניח כי )‬ ‫)‬ ‫היא נקודת אקסטרמום של )‬ ‫(‬ ‫( וכי‬ ‫(‬ ‫תחת האלוץ‬ ‫) ( 𝛻‪.‬‬ ‫𝑔‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫הוכחה‪ :‬יהא ‪+‬‬ ‫)𝑃(𝑔‬ ‫)‬ ‫יהא )) ( ) ( ) ( (‬ ‫עבור ‪ℝ‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(*‬ ‫) (𝛾 עקום על‬ ‫𝑆‬ ‫𝜆 כלשהוא‬ ‫‪.‬‬ ‫המקיים‬ ‫‪36‬‬ ‫𝑃‬ ‫) (𝛾‪.‬‬ ‫נק' אקסטרום על )) ( ) ( ) ( (‬ ‫אזי‬ ‫) (́ 𝛾 ) (‬ ‫)) ( 𝛾(‬ ‫מאידך‬ ‫) (‬ ‫) (́‬ ‫(*)‬ ‫ולכן‬ ‫) ́( 𝛾 ) ( 𝛻‬ ‫) ́(‬ ‫(**)‬ ‫מ ‪ )*( -‬נובע כי ) ( 𝛻 ניצב לכל וקטור המשיק למשטח‬ ‫הוא ) ( ‪.‬‬ ‫למשטח בנקודה‬ ‫לכן ) ( 𝛻𝜆‬ ‫דוגמא‪ :‬יהיו‬ ‫ולכן‬ ‫) ( 𝛻 עבור ‪ℝ‬‬ ‫>‬ ‫בנקודה‬ ‫‪ .‬מ‪ )**( -‬נובע כי הנורמל‬ ‫𝜆 מסויים‪.‬‬ ‫קבועים‪ .‬מצא‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫𝜆‬ ‫(𝜆‬ ‫⇐‬ ‫⇐ ‪5‬‬ ‫‪⁄‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪⁄‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪⁄‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪4.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫ג‪ .‬פונקציה עם שלושה משתנים ושני אלוצים‪:‬‬ ‫(‬ ‫טענה‪ :‬נניח )‬ ‫‪+‬‬ ‫אם ) (‬ ‫נק' קיצון של )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫הוכחה‪ :‬תהא ) (𝛾 פרמטריזציה של‬ ‫)) ( (‬ ‫)) ( (‬ ‫לכל‬ ‫) (‬ ‫נק' קיצון של )) ( 𝛾(‬ ‫𝜆‬ ‫) (‬ ‫(*‬ ‫𝜆 כך ש‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) (𝛾‪.‬‬ ‫עם‬ ‫ולכן‬ ‫) (́ 𝛾 ) (‬ ‫מאחר ו‪-‬‬ ‫)‬ ‫) ( 𝛻 בלתי תלויים לינארית אזי קיימים‬ ‫) (‬ ‫אזי‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫על העקום‬ ‫) (́ 𝛾 ) ( 𝛻‪.‬‬ ‫) ( ‪ ,‬הרי ש‪:‬‬ ‫‪37‬‬ ‫( *‬ ‫) (́ 𝛾 ) (‬ ‫לכן ) (‬ ‫) (́‬ ‫) (‬ ‫נמצא במישור הנפרש ע"י ) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪ ,‬כלומר‬ ‫) (‬ ‫𝜆‬ ‫‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬חשב‬ ‫*‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫𝜆‪ .‬לכן‬ ‫ברור כי‬ ‫(‬ ‫(𝜆‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫{⇐‬ ‫ולכן‬ ‫לכן ‪5‬‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫‪⇐ 6‬‬ ‫‪.‬‬ ‫√‪ 4‬נק' מקסימום‪.‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪6‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫הרצאה ‪7‬‬ ‫האנטגרל הכפול‬ ‫תהא )‬ ‫פונקציה רציפה על המלבן ‪-‬‬ ‫(‬ ‫תהא‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫חלוקה של הקטע ‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫חלוקה של הקטע ‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫למלבנים מהצורה ]‬ ‫שתי חלוקות אלו משרות חלוקה של‬ ‫𝑗𝑡‬ ‫‪-‬‬ ‫[‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑗𝑡‬ ‫𝑖𝑠 𝑖𝑠‬ ‫}‬ ‫נסמןאת אוסף המלבנים הנ"ל‬ ‫{‬ ‫‪+‬‬ ‫ונגדיר‬ ‫האנטגרל של )‬ ‫)‬ ‫כאשר‬ ‫*‬ ‫(‬ ‫על‬ ‫מוגדר ע"י‬ ‫()‬ ‫()‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫∑‬ ‫)‬ ‫| |‬ ‫(‬ ‫(∫ מחשב את הנפח הכלוא בין המלבן‬ ‫‪+‬‬ ‫לבין הגרף‬ ‫| |‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫( ))‬ ‫‪39‬‬ ‫(*‬ ‫(‬ ‫(*‬ ‫)‬ ‫(∫‬ ‫)*(‬ ‫[‬ ‫אגף ימין של (*) הוא סכום נפחי התיבות שבסיסן ]‬ ‫[ וגובהן )‬ ‫]‬ ‫( ‪.‬‬ ‫| |‪.‬‬ ‫סכום זה שואף לנפח שמתחת לגרף כאשר‬ ‫חשוב האנטגרל הכפול ע"י אנטגרל נשנה‬ ‫)‬ ‫‪/‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫(‬ ‫∫‪.‬‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫(∫‬ ‫)‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫)‬ ‫()‬ ‫)‬ ‫( ])‬ ‫‪5‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫()‬ ‫()‬ ‫( ∑‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫∫‪4‬‬ ‫( ∑‬ ‫)‬ ‫| |‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫)‬ ‫[∑‬ ‫(‬ ‫|‬ ‫∫∑‬ ‫(‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫דוגמאות‪ :‬א)‬ ‫]‬ ‫)‬ ‫‪/1‬‬ ‫(‬ ‫∫[‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∫‬ ‫‪)-‬‬ ‫∫‬ ‫]‪/‬‬ ‫(‬ ‫‪.‬‬ ‫‪,‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫[‬ ‫ב)‬ ‫∫‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫‪3‬‬ ‫‪41‬‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫[‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫ג)‬ ‫‪)-‬‬ ‫(‬ ‫‪∫ ,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫∫‪4‬‬ ‫∫‬ ‫|)‬ ‫(‬ ‫‪+‬חלקים*‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫‪)-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫אינטגרציה על תחומים כליים‬ ‫תהא‬ ‫יהא‬ ‫קבוצה חסומה ב‪ ℝ -‬עם שפה חלקה למקוטעין ותהא ‪ℝ‬‬ ‫ונגדיר ‪ℝ‬‬ ‫מלבן המכיל את‬ ‫רציפה‪.‬‬ ‫ע"י‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫אחרת‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫{‬ ‫(‬ ‫נגדיר‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫אפשר להראות כי האינטגרל באגף ימין קיים ואינו תלוי ב‪. -‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫א‪ .‬יהא‬ ‫)‬ ‫‪√4‬‬ ‫√‬ ‫(‪8‬‬ ‫√‬ ‫|‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫∫‬ ‫∫[‬ ‫]‬ ‫|‪1‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪0‬‬ ‫∫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪41‬‬ ‫( )‬ ‫ב‪ .‬חשב את נפח הטטראדר שקודקדיו הם )‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪/‬‬ ‫]‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫∫[‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫( )‬ ‫(‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫( )‬ ‫(‬ ‫)‪(0,0,c‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‪(0,b,0‬‬ ‫∫‬ ‫)‪(a,0,0‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪.‬‬ ‫∫‬ ‫‪.‬‬ ‫)‬ ‫∫‪6‬‬ ‫∫‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫)‪(0,0,0‬‬ ‫|‪7‬‬ ‫‪/‬‬ ‫|] ‪/‬‬ ‫‪[ .‬‬ ‫(*‬ ‫‪6.‬‬ ‫∫‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(1,1‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪42‬‬ ‫)‪(1,0‬‬ ‫)‪(0,0‬‬ ‫הרצאה ‪8‬‬ ‫שינוי משתנים באינטגרל הכפול‬ ‫תזכורת‪ :‬תהא ‪-‬‬ ‫) 𝛽( 𝜑‬ ‫‪ 𝜑 ,𝛼 𝛽 -‬חח"ע על גזירה 𝜑‬ ‫‪,‬‬ ‫) 𝛼(𝜑 ותהא‬ ‫‪.,‬‬ ‫רציפה על ‪-‬‬ ‫אזי‬ ‫) ( 𝜑)) (𝜑(‬ ‫𝛽‬ ‫הוכחה‪ :‬תהא‬ ‫אזי‬ ‫)‬ ‫<‬ ‫(𝜑 <‬ ‫<‬ ‫𝛽‬ ‫𝛼‬ ‫∫‬ ‫𝛼 חלוקה של ‪,𝛼 𝛽-‬‬ ‫< ) (𝜑‬ ‫חלוקה של ‪-‬‬ ‫)) (𝜑‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫() ( 𝜑 )) (𝜑( ∑‬ ‫) ( 𝜑)) (𝜑(‬ ‫𝛽‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫𝛼‬ ‫)‬ ‫‪-+‬‬ ‫‪,‬‬ ‫( 𝜑 )) (𝜑( ∑‬ ‫()‬ ‫(‬ ‫‪.‬‬ ‫רציפה על‬ ‫∫ בעזרת אינטגרל של פונקציה אחרת על‬ ‫וגמא חשובה‪ :‬קואורדינטות קוטביות‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ℝ‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫חסומות ב‪.ℝ -‬‬ ‫𝜑 העתקה חח"ע על גזירה‪,‬‬ ‫ברצוננו לבטע את‬ ‫‪,‬‬ ‫(𝜑( )) (𝜑( ∑‬ ‫המקרה הדו‪-‬מימדי‪ :‬תהיינה‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫‪,‬‬ ‫))‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪43‬‬ ‫)‬ ‫‪𝜑 ,‬‬ ‫( (‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫*‬ ‫𝜃‬ ‫𝜑‬ ‫𝜃‬ ‫𝜃‬ ‫𝑟‬ ‫𝑟‬ ‫𝑟‬ ‫𝑟‬ ‫)‬ ‫)]‪-‬‬ ‫(‬ ‫) )‬ ‫תהא‬ ‫‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫המלבנים ]‬ ‫) (𝜑‬ ‫[(𝜑‬ ‫({‬ ‫‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫מהווה חלוקה ב‪ -‬ולכן‬ ‫}) (𝜑{ הוא חלוקה של‬ ‫‪.‬‬ ‫) (𝜑‬ ‫𝑟‬ ‫) (𝜑‬ ‫תהיינה‬ ‫[‬ ‫(‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑟‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫}‬ ‫‪-‬‬ ‫𝜃‬ ‫‪)/‬‬ ‫(𝜑(‪∑ .‬‬ ‫‪44‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫()‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫))‬ ‫‪-‬‬ ‫מסקנה‪ :‬לכל‬ ‫)‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫}‬ ‫‪,‬‬ ‫שטח‬ ‫עגול‬ ‫ברדיוס‬ ‫(‬ ‫‪,‬‬ ‫∫‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫‪-‬‬ ‫(𝜑‬ ‫(𝜑((‬ ‫∑‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(*‬ ‫) (‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫{‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫האנטגרל הגאוסי‪ :‬נסמן‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫‪) ℝ‬‬ ‫]‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫[‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫לכן‬ ‫) (‬ ‫פונקצית הצפיפות הנורמלית‪:‬‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪45‬‬ ‫) (‬ ‫∫‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪D‬‬ ‫(𝜑‪2‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫)‪(2,0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∫‬ ‫‪4‬‬ ‫∫‬ ‫]‬ ‫)‬ ‫[‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪(1,0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫∫‬ ‫]‬ ‫]‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫[‬ ‫∫‬ ‫[‬ ‫המקרה הכללי‪:‬‬ ‫תחומים חסומים ב‪ ℝ -‬ותהא‬ ‫יהיו‬ ‫))‬ ‫יהא ‪-‬‬ ‫)𝑣𝛥‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑣 𝑢𝛥‬ ‫‪-‬‬ ‫𝜑 חח"ע וגזירה‬ ‫(‬ ‫‪,‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫) (𝜑 תבומתו‪:‬‬ ‫ותהא‬ ‫𝑢(𝜑‬ ‫)𝑣𝛥‬ ‫)𝑣 𝑢𝛥‬ ‫( (‬ ‫(𝜑‬ ‫𝑣△ 𝑣‬ ‫𝑣 𝑢(𝜑‬ ‫𝑢(𝜑‬ ‫𝜑‬ ‫𝑣‬ ‫𝑢‬ ‫𝑢△ 𝑢‬ ‫)𝑣 𝑢(𝜑‬ ‫) (𝜑 הוא בקירוב מקבילית שצלעותיה הן‬ ‫))‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫))‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( (‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫( (‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫לכן‬ ‫‪46‬‬ ‫)‬ ‫(𝜑‬ ‫)‬ ‫(𝜑‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫)‬ ‫(𝜑‬ ‫)‬ ‫(𝜑‬ ‫|]‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕[‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫|]‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫|‬ ‫(‬ ‫𝜑‬ ‫|]‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕𝜕[‬ ‫𝜕‬ ‫]‬ ‫נסמן‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫[‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫|‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) (𝜑‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫[‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫𝜕‬ ‫𝜑‬ ‫נקרא היעקוביאן של 𝜑‪.‬‬ ‫נוסחת חלוץ המשתנים באנטגרל הכפול‪:‬‬ ‫|)‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח כי‬ ‫( 𝜑 | ))‬ ‫הוא מלבן ‪-‬‬ ‫(‬ ‫‪,‬‬ ‫)‬ ‫‪-‬‬ ‫( ( ∫‬ ‫‪,‬‬ ‫<‬ ‫תהיינה‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫חלוקות של ‪-‬‬ ‫‪ ,‬ושל ‪-‬‬ ‫}) (𝜑{ הוא חלוקה של‬ ‫)‬ ‫[‬ ‫‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫לחלוקות הדומות למקביליות‪.‬‬ ‫‪)/‬‬ ‫()‬ ‫<‬ ‫‪ . ,‬נסמן‬ ‫]‬ ‫) (𝜑‬ ‫)‬ ‫( ∫‬ ‫(𝜑(‪∑ .‬‬ ‫(|)‬ ‫|)‬ ‫( | ‪)/‬‬ ‫( 𝜑 | ))‬ ‫‪47‬‬ ‫))‬ ‫(𝜑‪∑ .‬‬ ‫(𝜑((‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫|‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ℝ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪𝜑 ,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫))‬ ‫)‬ ‫‪0‬‬ ‫( )‬ ‫(‬ ‫( (‬ ‫(𝜑‬ ‫)‬ ‫𝜑‬ ‫ומקבלים את הנוסחא שראינו קודם‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) ‪(4‬‬ ‫)‪(3 3‬‬ ‫ב‪ .‬יהא‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫חשב‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫∫‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪04‬‬ ‫‪5‬‬ ‫∫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‬ ‫()‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫𝐷‬ ‫∫‪.‬‬ ‫‪(4 5‬‬ ‫)‬ ‫‪3 3‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫( )‪3‬‬ ‫‪4(4‬‬ ‫𝜑‬ ‫)‪3‬‬ ‫∫‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∫‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫𝑥‪4‬‬ ‫ג‪ .‬חשב‬ ‫( ∫‬ ‫)‬ ‫𝑥‬ ‫𝑦‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑦𝑥‬ ‫𝑦𝑥‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫( מקיימות‬ ‫‪4‬‬ ‫{ כלומר ‪4‬‬ ‫‪ .‬לכן טבעי להגדיר‬ ‫‪, 4-‬‬ ‫כך ש‪)) -‬‬ ‫כלומר‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( (‬ ‫)‬ ‫‪, 4-‬‬ ‫(𝜑 מקיימת‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪. /‬‬ ‫‪48‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫𝑦‬ ‫𝐵‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫𝜑‬ ‫לכן‬ ‫‪4‬‬ ‫∫‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪∫4‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪.‬‬ ‫∫‬ ‫‪49‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∫∫‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫( ∫‬ ‫משוואות דפרנציאליות‬ ‫תופעות רבות בכל תחומי החיים‪ ,‬בפיזיקה כימיה ביולוגיה כלכלה‪ ,‬מתוארות ע"י מודלים‬ ‫מתמטיים המתארים קשרים בין משתנים שונים ונגזרותיהם‪ ,‬דהיינו ע"י משוואות דיפרנציאליות‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬נפילה חופשית באטמוספירה קרוב לפני הים‪:‬‬ ‫= משתנה הזמן; נמדד בשניות‬ ‫) ( = מהירות העצם בזמן ; נמדד ב‪-‬‬ ‫מטר‬ ‫‬‫שניה‬ ‫קבועים‪:‬‬ ‫= מסת הגוף בקג"מ‬ ‫‪98‬‬ ‫תאוצת הכובד ביחידות‬ ‫𝛾 = קבוע העילוי‬ ‫נסמן ב‪( ) -‬‬ ‫מטר‬ ‫שניה‬ ‫קג‬ ‫ב‪-‬‬ ‫שניה‬ ‫את הכוח הפועל על הגוף בזמן‬ ‫) ( את תאוצתו בזמן ‪.‬‬ ‫וה‬ ‫לפי חוק ניוטון‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫𝛾‬ ‫לכן‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫) (‬ ‫קג‬ ‫שניה‬ ‫𝛾‬ ‫קג‬ ‫)‬ ‫שדה כוונים של ) (‬ ‫הפונקציה ) ( מקיימת‬ ‫{‬ ‫(*)‬ ‫אזי‬ ‫(‬ ‫‪5‬‬ ‫‪98‬‬ ‫(**)‬ ‫מתקבל ע"י סימון חץ קטן ששיפועו )‬ ‫‪51‬‬ ‫(‬ ‫בנקודה )‬ ‫(‪ .‬אם‬ ‫)‬ ‫אזי הגוף של ) (‬ ‫)‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫(‬ ‫עובר בנקודה )‬ ‫( = כוון החץ המסומן ב ‪)-‬‬ ‫)‬ ‫נשים לב כי במקרה שלנו‬ ‫) (‬ ‫( ושיפועו שם הוא‬ ‫(‪.‬‬ ‫‪ 9 8‬אינו תלוי ב‪. -‬‬ ‫(‬ ‫נפתור את המשוואה (**)‪:‬‬ ‫‪|/‬‬ ‫‪|9 8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) (‬ ‫‪. 5‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪5‬‬ ‫לכן‬ ‫|‬ ‫‪5‬‬ ‫‪|9 8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫|‬ ‫‪5‬‬ ‫‪|9 8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫כלומר‬ ‫) (‬ ‫‪49‬‬ ‫במקרה הכללי (*) נקבל‬ ‫‪( )|/‬‬ ‫𝛾‬ ‫𝛾‬ ‫|‬ ‫) (‬ ‫𝛾‬ ‫‪.‬‬ ‫‪98‬‬ ‫לכן‬ ‫|‬ ‫𝛾‬ ‫𝛾‬ ‫|‬ ‫כלומר‬ ‫𝛾‬ ‫תהא‬ ‫) (‬ ‫אזי‬ ‫) (‬ ‫לכן‬ ‫𝛾‬ ‫𝛾‬ ‫𝛾‬ ‫‪51‬‬ ‫) (‬ ‫<‬ ‫כל עקום מתאר פתרון למשוואה‪ .‬אם‬ ‫אם‬ ‫>‬ ‫𝛾‬ ‫אזי ) (𝛾 עולה ל‪-‬‬ ‫𝛾‬ ‫אזי ) (𝛾 יורד ל‪-‬‬ ‫𝛾‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬באחו חיים בצוותא ינשופים ועכברים‪:‬‬ ‫יהא‬ ‫משתנה הזמןבחודשים‪.‬‬ ‫) ( = מס' העכברים בזמן ‪.‬‬ ‫כל הינשופים אוכלים ביחד‬ ‫‪45‬‬ ‫עכברים בחודש‪.‬‬ ‫עכבר‬ ‫קצב הגדול של אוכלוסיית העכברים הוא חודש ‪5‬‬ ‫המשוואה המתארת את האבולוציה של ) (‬ ‫‪45‬‬ ‫הינו‬ ‫‪5‬‬ ‫שדה כוונים של המשוואה‪:‬‬ ‫נפתור המקרה הכללי‪:‬‬ ‫|‬ ‫) (‬ ‫|‬ ‫לכן‬ ‫‪52‬‬ ‫𝛾‬ ‫) (‬ ‫) ( ‪ .‬אם‬ ‫כאשר‬ ‫אם‬ ‫<‬ ‫>‬ ‫אזי מס' העברים יורד מעריכית‪.‬‬ ‫אזי מס' העברים עולה מעריכית‪.‬‬ ‫המשווה הלוגיסטית‬ ‫המשוואת ההתרבות ) (‬ ‫כאשר גודל אוכלוסיה‬ ‫התחרות עלמזון‪.‬‬ ‫) (‬ ‫תקפה לגורל אוכלוסיה‬ ‫קטן‪.‬‬ ‫יקטן בגלל (למשל)‬ ‫גדול‪ ,‬יש להביא בחשבון שקצב ההתרבות‬ ‫מודל פשוט להביא בחשבון תופעה זו הוא שקצב ההתרבות תלוי גם ב‪-‬‬ ‫המשוואה האוטונומית המתקבלת היא‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫שדה כוונים של המשוואה‪:‬‬ ‫שים לב השפוע המירבי מתקבל ב‪-‬‬ ‫והינו‬ ‫נפתור המקרה הכללית המשוואה‪:‬‬ ‫) (‬ ‫‪/‬‬ ‫(‬ ‫))‬ ‫‪53‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫ונתון ע"י ‪/‬‬ ‫‪. .‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫לכן‬ ‫)‬ ‫כל הפתרונות שואפים ל‪-‬‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ .‬לפיכך‬ ‫כאשר‬ ‫‪.‬‬ ‫נקרא ה"קבול האקולוגי" של המערכת‪.‬‬ ‫משוואות לינאריות מסדר ראשון‬ ‫הצורה הכללית של משוואה לינארית מסדר ראשון הינה‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫́‬ ‫ראינו כיצד לפתור משוואה זו כאשר‬ ‫) (‬ ‫קבועים א"י אינטגרציה ישירה‪:‬‬ ‫́‬ ‫) (‬ ‫<‬ ‫גישה קצת אחרת שמאפשרת גם לפתור את המקרה הכללי היא בעזרת "גורן אנטגרציה"‪:‬‬ ‫מקיימת‬ ‫נניח ש‪( ) -‬‬ ‫(**)‬ ‫אזי נכפול את שני צידי המשוואה (*) ב‪: -‬‬ ‫‪54‬‬ ‫́‬ ‫אבל אגף שמאל הינו )‬ ‫( לכן‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫נקח‬ ‫אזי‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫מקיימת (**) ולכן‬ ‫∫‬ ‫) (‬ ‫שיטת גורם האינטגרציה מאפשרת לפתור את המשוואה הלינארית הכללית מסדר ראשון‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬לפתור את‬ ‫‪4‬‬ ‫) (‬ ‫‪4‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נמצא גורם אנטגרציה‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ :‬הוא צריך לקיים‬ ‫(‬ ‫́)‬ ‫נכפול את המשוואה ב‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫) (‬ ‫לכן‬ ‫‪55‬‬ ‫(‬ ‫הרצאה ‪9‬‬ ‫משוואה לינארית הכללית מסדר ראשון‬ ‫) (‬ ‫גורם אנטגרציה‬ ‫) (‬ ‫́‬ ‫צריך לקיים‬ ‫) ( ) (‬ ‫כלומר‬ ‫) (‬ ‫‪( ) /‬‬ ‫∫‪.‬‬ ‫) ( ) (‬ ‫)) ( ) ( (‬ ‫]‬ ‫) ( ) ( ∫ [‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫)(‬ ‫דוגמא נוספת‪ :‬לפתור את‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪8‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫́)‬ ‫(‬ ‫נכפול את המשוואה ב‪-‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫ומוצאים את‬ ‫לפי תנאי ההתחלה‪.‬‬ ‫משוואות פרידות‪:‬‬ ‫טענה‪ :‬נניח ) (‬ ‫פתרון למשוואה‬ ‫) (‬ ‫)) ( (‬ ‫) (‬ ‫‪56‬‬ ‫∫‬ ‫נניח ) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫אזי‬ ‫)) ( (‬ ‫) (‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫)) ( (‬ ‫)) ( (‬ ‫) ( )) ( (‬ ‫)) ( (‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫) (‬ ‫)) ( (‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫(∫‬ ‫∫‬ ‫‪3‬‬ ‫לכן‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫רדיס כדור הארץ‪.‬‬ ‫𝑣‬ ‫מרחק של העצם מפני כדור הארץ‪.‬‬ ‫)‬ ‫𝑤‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫𝑅‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫⇐‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪57‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪:‬‬ ‫כאשר‬ ‫)‬ ‫גובה מקסימלי‬ ‫(‬ ‫‪:‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫המהירות התחילית צריכה להיות‬ ‫כלומר כדי שהגוף יגיע לגובה‬ ‫√‪.‬‬ ‫מהירות ההמלטות ( ‪ ) escape velocity‬מכוח המשיכה של כדור הארץ היא לפיכך‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫תזכורת מאלגברה לינארית‬ ‫‪0‬‬ ‫תהא ‪1‬‬ ‫מטריצה ממשית‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ואזי הפיכי נתון ע"י‬ ‫כהעתקה ‪ℝ‬‬ ‫נראה את‬ ‫זו היא לינארית‬ ‫‪ℝ‬‬ ‫𝛽‬ ‫הוא וקטור עצמי של‬ ‫נסמן ב‪(𝜆) -‬‬ ‫הפיכה‬ ‫‪.‬‬ ‫⇔‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ℝ‬‬ ‫ע"י ‪1‬‬ ‫𝛼‬ ‫) 𝛽‬ ‫‪0‬‬ ‫𝛼( ‪.‬‬ ‫עם ע"ע 𝜆 ‪ ,‬אם‬ ‫את הפולינום האופייני של‬ ‫‪58‬‬ ‫𝜆‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. /‬‬ ‫) 𝜆‬ ‫אזי 𝜆 ע"ע של‬ ‫) 𝜆(‬ ‫(‬ ‫) 𝜆(‬ ‫⇔‬ ‫צורת ז'ורדן למטריצות‬ ‫‪0‬‬ ‫תהא ‪1‬‬ ‫מטריצה ממשית‪ .‬יהא הפולינום האופייני של‬ ‫) 𝜆‬ ‫(‬ ‫שני ע"ע שונים 𝜆 𝜆 אזי קיימת‬ ‫א‪ .‬אם ל‪-‬‬ ‫]‬ ‫הוכחה‪ :‬יהיו‬ ‫הפיכה ומתקיים‬ ‫]‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫[‪, | -‬‬ ‫ולכן‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫𝜆(‬ ‫‪3‬‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆 𝜆‪ ,‬ותהא ‪, | -‬‬ ‫𝜆|‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜆‬ ‫‪8‬‬ ‫| ‪4‬‬ ‫𝜆 ‪5‬‬ ‫𝜆 ‪3‬‬ ‫עם ו"ע‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ע"ע יחיד כלומר 𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫]‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜆‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜆‪.‬‬ ‫𝜆‬ ‫[‬ ‫‪59‬‬ ‫‪|7‬‬ ‫𝜆‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫𝜆‪,‬‬ ‫‪, | -‬‬ ‫[‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫𝜆‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.I‬‬ ‫‪-‬‬ ‫𝜆‬ ‫לכן הע"ע‬ ‫ב‪ .‬אם ל‪-‬‬ ‫[‬ ‫𝜆‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫𝜆()‪3‬‬ ‫הפיכה כך ש‪:‬‬ ‫הוקטורים העצמיים המתאימים לע"ע‬ ‫]‬ ‫)‬ ‫) 𝜆(‬ ‫) 𝜆‬ ‫(‬ ‫) 𝜆(‬ ‫‪ .‬אזי‬ ‫‪] .II‬‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫[‬ ‫ו"ע המתאים ל‪ .𝜆 -‬אפשר להראות כי קיים‬ ‫‪ .‬יהא‬ ‫)𝜆‬ ‫(‬ ‫𝜆‬ ‫כלומר‬ ‫נסמן ‪, | -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אזי‬ ‫𝜆‪0‬‬ ‫𝜆‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜆‪, | - 0‬‬ ‫𝜆‬ ‫ולכן‬ ‫‪1‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫𝜆(‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫𝜆‪4‬‬ ‫𝜆‬ ‫‪3‬‬ ‫|‬ ‫𝜆‬ ‫[‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜆‬ ‫‪0‬‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫𝛽 (‬ ‫) 𝛼‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‬ ‫𝛼(‬ ‫]‬ ‫𝛽‬ ‫𝛼‬ ‫𝛼‬ ‫𝛽‬ ‫[‪-‬‬ ‫𝛽‬ ‫𝛼‬ ‫() 𝛽‬ ‫𝜆 𝜆 ‪ .‬יהא‬ ‫𝛼(‬ ‫𝛼‪,‬‬ ‫‬‫]‬ ‫ולכן‬ ‫]‬ ‫𝛼‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫ו"ע‬ ‫(‬ ‫𝛽‬ ‫| 𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫‪0‬‬ ‫𝛼‬ ‫𝛼‬ ‫| ‪,‬‬ ‫𝜆‬ ‫‪1‬‬ ‫𝛽‬ ‫‪𝛼 -‬‬ ‫(‬ ‫‪0 1‬‬ ‫ג‪ .‬אם ל‪ -‬שני ע"ע מרוכבים שאינם ממשיים 𝛽‬ ‫𝛼(‬ ‫המתאים ל‪𝛽 ) -‬‬ ‫) 𝛽‬ ‫) 𝜆(‬ ‫𝜆‬ ‫ו"ע המתאים ל‪-‬‬ ‫( למשל‬ ‫‪10‬‬ ‫) 𝜆‬ ‫|‬ ‫𝜆‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪ .‬יהא‬ ‫𝜆‬ ‫‪3‬‬ ‫𝜆‬ ‫לכן הע"ע יחיד‬ ‫נפתור‬ ‫‪-‬‬ ‫𝜆‪,‬‬ ‫𝜆|‬ ‫‪, | -‬‬ ‫𝜆‬ ‫]‬ ‫‪1‬‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫𝛼‬ ‫𝛽‬ ‫‪61‬‬ ‫[‬ ‫| ‪,‬‬ ‫𝛽‬ ‫𝛼‬ ‫ | ‪,‬‬‫𝛼‬ ‫𝛽‬ ‫[‬ ‫‪1‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫𝜆‬ ‫‪5‬‬ ‫|‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜆‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫|‬ ‫) 𝜆‬ ‫) 𝜆(‬ ‫(‬ ‫𝜆‬ ‫לכן הע"ע‬ ‫𝜆‬ ‫‪1‬‬ ‫לכן‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝜆 )0‬‬ ‫(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪04‬‬ ‫𝜆‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הפונקציה המעריכית של מטריצות‬ ‫למשתנה יחיד‬ ‫∑‬ ‫‪:‬‬ ‫כלשהיא נגדיר‪:‬‬ ‫למטריצה‬ ‫∑‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫א‪] .‬‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫‪7‬‬ ‫[‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫‪6‬‬ ‫𝜆‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫𝜆‬ ‫]‬ ‫ב‪] .‬‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫[‬ ‫‪7‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫∑‬ ‫‪7‬‬ ‫∑‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫‪6‬‬ ‫𝜆‬ ‫∑‬ ‫[‬ ‫𝜆‬ ‫‪6‬‬ ‫]‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫‪61‬‬ ‫[]‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫[‬ ‫∑‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫]‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג‪ .‬אם‬ ‫ד‪1 .‬‬ ‫]‬ ‫𝜆[‬ ‫[‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫]‬ ‫אזי‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜆[‬ ‫]‬ ‫∑‬ ‫[‬ ‫‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝛽‬ ‫‪,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) 𝛽(‬ ‫𝛽‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫𝛽‬ ‫]‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝛽‬ ‫‪3‬‬ ‫) 𝛽(‬ ‫𝛽‬ ‫‪3‬‬ ‫𝛽‬ ‫∑‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫[‬ ‫‪0‬‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫[‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫‪1‬‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫‪4‬‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫]‬ ‫‪0‬‬ ‫𝛽‪4‬‬ ‫𝛽‬ ‫]‬ ‫𝛽‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪...‬‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫‪4‬‬ ‫𝛽‬ ‫[‬ ‫)‬ ‫∑‬ ‫(‬ ‫∑‬ ‫משוואות דפרנציאליות לינאריות במישור‬ ‫‪0‬‬ ‫תהא ‪1‬‬ ‫מטריצה קבועה ממשית‪.‬‬ ‫נדון במערכת המשוואות‬ ‫) ( ̇‬ ‫) ( ̇‬ ‫) (‬ ‫כלומר ]‬ ‫) (‬ ‫[‬ ‫) (‬ ‫מקיים‬ ‫) (̇‬ ‫) (‬ ‫) ( ‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬הפתרון הכללי של (*) הינו‬ ‫‪62‬‬ ‫(*)‬ ‫) (‬ ‫הוכחה‪ :‬יהא‬ ‫אזי‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪/‬‬ ‫]‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫‪.‬‬ ‫[‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫) ( ‪ .‬אזי‬ ‫להיפך‪ :‬נניח ) (‬ ‫) (‬ ‫) (̇‬ ‫) (‬ ‫) ( ‪ ,‬כלומר‬ ‫לכן‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) (̇‬ ‫) (̇‬ ‫) (‬ ‫) ( ‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ .‬ראינו כי‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) (‬ ‫אם תנאי ההתחלה הוא ‪0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪1 .‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ראינו כי ]‬ ‫[‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) (‬ ‫‪0 1‬‬ ‫) (‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 0‬לכן‬ ‫‪]0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫אזי‬ ‫‪03‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫[‬ ‫‪63‬‬ ‫∑‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪0‬‬ ‫) (‬ ‫]‬ ‫‪1‬‬ ‫למשל אם ‪0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∑‬ ‫[‬ ‫הוא‬ ‫‪/‬‬ ‫) (‬ ‫∑‬ ‫‪0‬‬ ‫) (̇‬ ‫לכן הפתרון הכללי של ) (‬ ‫) (‬ ‫∑‬ ‫) (‬ ‫‪.‬‬ ‫אזי‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/. /‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) (‬ ‫‪.‬‬ ‫ג‪ .‬ראינו כי‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‬ ‫‪]0‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪10‬‬ ‫לכן פתרון המשוואה ) (‬ ‫‪/‬‬ ‫) (̇‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫[‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫תהא ‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫עם תנאי התחלה ‪0 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מטריצה ממשית‬ ‫) (‬ ‫‪. /‬‬ ‫‪ .‬נעיים במשוואה‬ ‫) (‬ ‫נחפש פתרון בצורה ) (‬ ‫) (‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫משוואות לא הומוגניות‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫̇‬ ‫‪ .‬אזי‬ ‫‪64‬‬ ‫) (‬ ‫הוא‬ ‫‪0‬‬ ‫) (̇‬ ‫) (̇‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (̇ ‪.‬‬ ‫) (‬ ‫כלומר‬ ‫) (̇‬ ‫) (‬ ‫דוגמא עם ע"ע שונים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫̇ מתקבל באופן הבא‪:‬‬ ‫הפתרון של המערכת ההומוגנית‬ ‫ל‪-‬‬ ‫ע"ע‬ ‫עם ו"ע ‪0 1‬‬ ‫ל‪-‬‬ ‫ע"ע ‪3‬‬ ‫עם ו"ע ‪1‬‬ ‫̇‬ ‫לכן פתרון כללי ל‪-‬‬ ‫‪0‬‬ ‫̇‬ ‫(*)‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) (‬ ‫‪0 1‬‬ ‫הפתרון למערכת הלא הומוגנית (*) מתקבל ע"י‬ ‫‪1‬‬ ‫נמצא את )‬ ‫‪1‬‬ ‫) (‬ ‫(‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪)0‬‬ ‫‪( )( 3‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫) (‬ ‫‪)0 1‬‬ ‫() (‬ ‫‪1‬‬ ‫) (̇‬ ‫) (‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫) (‬ ‫מקבלים‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫̇‬ ‫̇‬ ‫{‬ ‫‪3‬‬ ‫̇‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫̇‬ ‫̇‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫̇‬ ‫‪3‬‬ ‫‪65‬‬ ‫{‬ ‫{‬ ‫‪0‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫הרצאה ‪24‬‬ ‫צורת ז'ורדן למטריצות‬ ‫‪1‬‬ ‫) 𝜆‬ ‫‪0‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫𝜆‬ ‫(‬ ‫) 𝜆( ‪,‬‬ ‫𝜆 ממשיים‪ .‬יהא‬ ‫אזי ‪, | -‬‬ ‫הוקטורים העצמי המתאים ל‪:𝜆 -‬‬ ‫𝜆‬ ‫]‬ ‫מקיימת‪:‬‬ ‫כלומר‬ ‫ב‪𝜆 .‬‬ ‫𝜆‬ ‫[‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‪.‬‬ ‫𝜆‬ ‫]‬ ‫ב‬ ‫ב ]‬ ‫𝜆‬ ‫[‬ ‫𝜆‬ ‫]‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆 𝜆 השורשים של )𝜆( ‪.‬‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫[‬ ‫𝜆‬ ‫[‬ ‫ו"ע המתאים ל‪ .𝜆 -‬יהא‬ ‫‪ .‬יהא‬ ‫)𝜆‬ ‫תהא ‪, | -‬‬ ‫המקיים‬ ‫(‬ ‫אזי‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫כלומר‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫]‬ ‫ולכן‬ ‫ג‪𝛽 .‬‬ ‫)‬ ‫𝛼‬ ‫𝜆 𝜆 )‬ ‫𝛼‬ ‫𝛽 (‬ ‫נסמן ‪, | -‬‬ ‫[‬ ‫𝜆‬ ‫𝛽( ‪ .‬יהא‬ ‫)‬ ‫ו"ע המתאים ל‪𝛽 ) -‬‬ ‫𝛼(‬ ‫𝛽‬ ‫() 𝛽‬ ‫)‬ ‫אזי‬ ‫]‬ ‫ולכן‬ ‫𝜆‪, | - 0‬‬ ‫‪, | -‬‬ ‫𝛽‬ ‫𝛼‬ ‫𝛼‬ ‫𝛽‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫𝛽‬ ‫𝛼‬ ‫𝛼‬ ‫𝛽‬ ‫]‬ ‫[‪, | -‬‬ ‫𝛽‬ ‫𝛼‬ ‫𝛼‬ ‫𝛽‬ ‫‪66‬‬ ‫[‬ ‫‪, | -‬‬ ‫𝛼(‬ ‫𝛼(‪ .‬אזי‬ ‫הפונקציה המעריכית של מטריצות‬ ‫∑‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם‬ ‫‪.‬‬ ‫אזי‬ ‫ג‪ .‬הפונקציה המעריכית של צורות ז'ורדן‪:‬‬ ‫]‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫]‬ ‫𝛽‬ ‫[‬ ‫𝜆‬ ‫]‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫‪1‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫𝜆 ‪0‬‬ ‫𝜆‬ ‫𝛼‬ ‫𝛽‬ ‫𝛼‬ ‫𝛽‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫‪1‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫𝜆‬ ‫𝛽‬ ‫𝛼‬ ‫[‬ ‫𝜆‪0‬‬ ‫𝛼‬ ‫𝛽‬ ‫[‬ ‫מערכת של משוואות דפרנציאליות לינאריות מסדר ראשון עם מקדמים קבועיים‬ ‫) (̇‬ ‫טענה‪ :‬הפתרון של המערכת המשוואות ) (‬ ‫הוא‬ ‫) (‬ ‫‪ ℝ‬שרירותי‪.‬‬ ‫עבור ) (‬ ‫פורטרט הפאזה של מערכת הומוגנית‬ ‫‪ . ℝ‬הוקטור‬ ‫יהא‬ ‫) (‬ ‫מתאר פתרון של המערכת ) (‬ ‫אוסף כל העקומות הנ"ל נקרא פורטרט הפאזה של מערכת ‪.‬‬ ‫נמיין את פורטרטי הפאזה האפשריים לפי צורת ז'ורדן‪:‬‬ ‫א‪1 .‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כל ) (‬ ‫הוא קבוע‪.‬‬ ‫‪67‬‬ ‫) (̇‬ ‫ב‪1 .‬‬ ‫𝜆‪0‬‬ ‫𝜆‬ ‫)‬ ‫𝜆(‬ ‫𝜆<‬ ‫ג‪.‬‬ ‫]‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆>‬ ‫[ שלושה מקרים‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫{‬ ‫‪.1‬‬ ‫> 𝜆 > 𝜆‪,‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫< 𝜆 < 𝜆 כנ"ל עםכווני חצים הפוכים‬ ‫) (‬ ‫]) (‬ ‫‪68‬‬ ‫[‬ ‫𝜆>‬ ‫‪.3‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‪0‬‬ ‫> 𝜆‬ ‫‪10 1‬‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‪0‬‬ ‫) ( ‪ .‬מקרה‬ ‫> 𝜆‪:‬‬ ‫< 𝜆 כנ"ל עם כווני חיצים הפוכים‪.‬‬ ‫𝛽‬ ‫𝛼‬ ‫𝛽‬ ‫‪]0 1‬‬ ‫[‬ ‫ה‪] .‬‬ ‫𝛼 𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫𝛼 אזי‬ ‫‪ .1‬אם‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫𝛽‬ ‫[‬ ‫) (‬ ‫) ( ‪ ,‬כלומר מעגל ברדיוס‬ ‫‪69‬‬ ‫<𝛼‬ ‫‪.2‬‬ ‫> 𝛼 כנ"ל עם כווני חיצים הפוכים‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫שימושים‪:‬‬ ‫משוואת הומוגנית אחת מסדר שני ניתנת לרדוקציה למערכת של שתי משוואות מסדר ראשון‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫תהא‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫נגדיר‬ ‫אזי‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) ( ‪1‬‬ ‫כלומר‬ ‫‪0‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪8‬‬ ‫) (̇‬ ‫) (̇‬ ‫‪8‬‬ ‫) (̇‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫מסה‬ ‫תלוייה על קפיץ שאורכו ‪ .‬נסמן ב‪-‬‬ ‫את קבוע הקפיץ‪ .‬בשווי משקל‬ ‫שווי משקל‬ ‫בתנועה‬ ‫‪71‬‬ ‫בכוח הפועל על המסה‪:‬‬ ‫)) (‬ ‫) (‬ ‫שוות לפי חוק ניוטון ל‪( ) -‬‬ ‫) (‬ ‫נכתוב ) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪ .‬כלומר‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫אזי‬ ‫) (̇‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (̇‬ ‫) ( ]‬ ‫‪7‬‬ ‫הוא‬ ‫‪6‬‬ ‫) 𝜆(‬ ‫𝜆‬ ‫{‬ ‫[‬ ‫) (̇‬ ‫√‬ ‫‪ ,‬הו"ע המתאים ל‪-‬‬ ‫עם ע"ע‬ ‫√‬ ‫המקיים‬ ‫√‬ ‫‪0 1‬‬ ‫√‬ ‫]‬ ‫נקח ‪0 1‬‬ ‫]‬ ‫√‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫√‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫‪ ,‬אזי‬ ‫√‬ ‫] √‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫לכן הפתרון הכללי ל‪( ) -‬‬ ‫]‬ ‫√‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫] √‬ ‫√‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫√‬ ‫) (‬ ‫√‬ ‫[‬ ‫הוא ‪4 √ 5‬‬ ‫‪71‬‬ ‫[‬ ‫√‬ ‫‪4 √ 5‬‬ ‫) (‬ ‫‪:‬‬ ‫משוואת‬ ‫ביער חיות שתי אוכלוסיות‪ ,‬הארנבים והשועלים‪ .‬הצמחיה ביער מספקת מזון לארנבים‪ ,‬ואילו‬ ‫השועלים מתקיימים מציד ארנבים‪ .‬נסמן ב‪ ( ) -‬את מס' הארנבים בזמן ‪ ,‬וב‪ ( ) -‬את מס'‬ ‫השועלים בזמן ‪.‬‬ ‫ברצוננו לתאר את הדינמיקה של ) ( ) (‬ ‫בהנחות הבאות‪:‬‬ ‫) (̇‬ ‫‪ ,‬אזי ) (‬ ‫א‪ .‬אם אין שועלים‪ ,‬כלומר‬ ‫אוכלוסיית הארנבים תגדל בקצב מתכונתי לגודלה‪.‬‬ ‫) ( ̇ עבור > ‪ ,‬כלומר אוכלוסיית‬ ‫‪,‬אזי ) (‬ ‫ב‪ .‬אם אין ארנבים‪ ,‬כלומר‬ ‫השועלים קטנה בקצב מתכונתי לגודלה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מס' ההתקלויות בין ארנבים לשועלים מתכונתי ל‪ . ( ) ( ) -‬כל התקלות כזו מפחיתה‬ ‫𝛼 מ‪ ̇ ( ) -‬ומוסיפה 𝛾 ל‪. ̇ ( )-‬‬ ‫עבור קבוע‬ ‫המערכת המתקבלת ממודל זה נקרת משוואת‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫) 𝛼‬ ‫) 𝛾‬ ‫‪:‬‬ ‫) ( ) ( 𝛼‬ ‫) ( ) ( 𝛾‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫דון במערכת זו עבור דוגמא ספיציפית של 𝛾 𝛼‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫נקודת שווי משקל המערכת‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) ‪(3‬‬ ‫{‬ ‫)‬ ‫) (̇‬ ‫) (̇‬ ‫{‬ ‫>𝛾 𝛼‬ ‫והמקרה הכללי ניתן לנתח באופן זהה‪.‬‬ ‫) (̇‬ ‫‪4‬‬ ‫> ‪ ,‬כלומר‬ ‫{‬ ‫) (‬ ‫) (̇‬ ‫(‬ ‫לינאריזציה סביב נקודת שווי משקל‪:‬‬ ‫בסביבת )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( המערכת ניתנת לקרוב ע"י המערכת הלנארית‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫) (̇‬ ‫) (̇‬ ‫{‬ ‫שהפתרונה הכללי הוא‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)) ( ) ( (‬ ‫‪72‬‬ ‫(**)‬ ‫הפורטרט הפאזה של (*) ניתן לקרוב בסביבת )‪ (0 0‬ע"י פורטרט הפאזה של (**)‪ ,‬כלומר‬ ‫בסביבת )‪(3 2‬נקרב את המערכת (*) באופן הבא‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫יהא‬ ‫‪3‬‬ ‫אזי‬ ‫‪3) .‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫(‬ ‫‪3)5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3) 4‬‬ ‫(‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫) (̇‬ ‫(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫̇‬ ‫) (̇‬ ‫̇‬ ‫{‬ ‫נקרב מערכת זו ע"י‬ ‫‪3‬‬ ‫̇‬ ‫)‬ ‫{‬ ‫̇‬ ‫̇‬ ‫‪0 1‬‬ ‫̇‬ ‫‪0 1‬‬ ‫כלומר‬ ‫) 𝜆(‬ ‫𝜆‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫𝜆 הו"ע המתאים ל‪-‬‬ ‫]‪3‬‬ ‫[‪7‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪3⁄‬‬ ‫‪3⁄‬‬ ‫‪3‬‬ ‫]‬ ‫‪⁄ 3‬‬ ‫[‪7‬‬ ‫הוא‬ ‫) ‪( 3⁄‬‬ ‫‪3] 6‬‬ ‫) ‪( 3⁄‬‬ ‫) ‪( 3⁄‬‬ ‫) ‪( 3⁄‬‬ ‫[‬ ‫‪3] 6‬‬ ‫[‬ ‫לכן הפתרון הכללי של (***) הוא‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) (‬ ‫‪4‬‬ ‫⇔‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) (‬ ‫‪73‬‬ ‫{‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫פורטרט הפאזה של )‬ ‫( הוא‬ ‫‪3‬‬ ‫̇‬ ‫דרך פשוטה יותר לקבל את פורטרט הפאזה של‬ ‫לכן‬ ‫‪/‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫̇‬ ‫{‬ ‫נכפול ונקבל‬ ‫̇‬ ‫̇‬ ‫‪3‬‬ ‫כלומר‬ ‫הקרובים הלינאריים הנ"ל נותנים קירוב לפורטרטי הפאזה של המשוואה המקורית בסביבת שתי‬ ‫נקודות שווי המשקל‪ .‬נתאר להלן את הפתרון המדוייק‪:‬‬ ‫) (̇‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫{‬ ‫) (̇‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‬ ‫כלומר‬ ‫אפשר להראות כי )‬ ‫(‬ ‫קמורה ולכן‬ ‫)‬ ‫‪74‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫הוא עקום סגור לכל‬