‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות קנייה ומכירה‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות קנייה ומכירה‬ ‫‪ 1.01‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ - x :‬מספר החולצות שקנה הסוחר‪.‬‬ ‫‪1575‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ש”ח ‪ -‬המחיר ששילם הסוחר עבור כל חולצה‪.‬‬ ‫הסוחר מכר ‪ 5‬חולצות בהפסד של ‪ 5‬ש"ח על כל חולצה ולכן הוא הפסיד ‪ 25‬ש"ח‪ .‬את‬ ‫שאר )‪ ( x − 5‬החולצות הוא מכר ברווח של ‪ 15‬ש"ח על כל חולצה ולכן הוא הרוויח )‪15 ( x − 5‬‬ ‫ש"ח‪ .‬הרווח הסופי של הסוחר היה ‪ 425‬ש"ח ולכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫‪x − 5 = 30 ⇒ x = 35‬‬ ‫⇒ ‪−25 + 15 ( x − 5 ) = 425 ⇒ 15 ( x − 5 ) = 450 / :15‬‬ ‫‪1575‬‬ ‫⎞‬ ‫⎜⎛ ש"ח עבור כל חולצה‪.‬‬ ‫כלומר הסוחר קנה ‪ 35‬חולצות ושילם ⎟ ‪= 45‬‬ ‫⎠‬ ‫‪⎝ 35‬‬ ‫תשובה‪ 35 :‬חולצות‪.₪ 45 ,‬‬ ‫‪ 1.02‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ x :‬ק"ג – כמות העגבניות שקנה הסוחר‪.‬‬ ‫) ‪ ( x + 20‬ק"ג – כמות המלפפונים שקנה הסוחר‪.‬‬ ‫‪ y‬ש"ח ‪ -‬מחיר ק"ג אחד של עגבניות‪.‬‬ ‫) ‪ ( y − 2‬ש"ח ‪ -‬מחיר ק"ג אחד של מלפפונים‪.‬‬ ‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬ ‫מחיר ק"ג אחד‬ ‫)ש"ח(‬ ‫כמות‬ ‫)ק"ג(‬ ‫סה"כ המחיר‬ ‫)ש"ח(‬ ‫עגבניות‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫מלפפונים‬ ‫)‪( y − 2‬‬ ‫) ‪( x + 20‬‬ ‫) ‪( x + 20 )( y − 2‬‬ ‫הסוחר קנה ‪ x‬ק"ג עגבניות במחיר של ‪ y‬ש"ח לק"ג אחד ושילם עבורן ‪ 480‬ש"ח‪.‬‬ ‫לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫‪xy = 480‬‬ ‫בנוסף לכך‪ ,‬הסוחר קנה )‪ (x + 20‬ק"ג מלפפונים במחיר של ) ‪ ( y − 2‬ש"ח לק"ג אחד ושילם‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪22‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות קנייה ומכירה‬ ‫עבורם ‪ 400‬ש"ח‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫‪( x + 20 )( y − 2 ) = 400‬‬ ‫נפתור את מערכת המשוואות שקיבלנו‪:‬‬ ‫‪:2‬‬ ‫‪⎧ xy = 480‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩ −2x + 20y = −40‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪x 2 − 4800 = 20x‬‬ ‫‪⎧ xy = 480‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩ xy − 2x + 20y − 40 = 400‬‬ ‫‪480‬‬ ‫⎧‬ ‫‪⎪⎪ y = x‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪ x − 10 ⋅ ⎛⎜ 480 ⎞⎟ = 20‬‬ ‫⎠ ‪⎝ x‬‬ ‫⎪⎩‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅x‬‬ ‫‪x1 = 80 , x 2 = −60‬‬ ‫‪20 ± 140‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧⎪ xy = 480‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩⎪( x + 20 )( y − 2 ) = 400‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 480‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩ x + 10y = 20‬‬ ‫‪x 2 − 4800 − 20x = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −60‬מכוון שכמות היא ערך אי שלילי ולכן ‪ . x = 80‬כלומר הסוחר‬ ‫קנה ‪ 80‬ק"ג עגבניות ו‪ ( 80 + 20 = 100 ) -‬ק"ג מלפפונים‪.‬‬ ‫תשובה‪ 80 :‬ק"ג‪ 100 ,‬ק"ג‪.‬‬ ‫‪ 1.03‬פתרון‪:‬‬ ‫‪ - x‬מספר המוצרים שקנה הסוחר‪.‬‬ ‫‪ y‬ש"ח ‪ -‬המחיר ששילם הסוחר עבור כל מוצר‪.‬‬ ‫)‪ - ( x − 3‬מספר המוצרים שמכר הסוחר‪.‬‬ ‫) ‪ ( y + 50‬ש"ח ‪ -‬מחיר המוצר בעת המכירה‪.‬‬ ‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬ ‫מספר מוצרים‬ ‫המחיר של מוצר אחד‬ ‫)ש”ח(‬ ‫קנייה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫מכירה‬ ‫)‪( x − 3‬‬ ‫) ‪( y + 50‬‬ ‫סה"כ סכום הכסף‬ ‫)ש”ח(‬ ‫‪xy‬‬ ‫) ‪( x − 3)( y + 50‬‬ ‫הסוחר קנה ‪ x‬מוצרים במחיר של ‪ y‬ש"ח למוצר ושילם עבורם ‪ 5700‬ש"ח‪.‬‬ ‫לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫‪xy = 5700‬‬ ‫על‪-‬פי הנתונים‪ 3 ,‬מהמוצרים התקלקלו‪ ,‬לכן מכר הסוחר )‪ ( x − 3‬מוצרים במחיר של‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪23‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות קנייה ומכירה‬ ‫) ‪ ( y + 50‬ש"ח לכל מוצר‪ .‬הסוחר הרוויח ‪ 780‬ש"ח בסה"כ‪ ,‬כלומר הוא מכר את המוצרים‬ ‫ב‪ ( 5700 + 780 = 6480 ) -‬ש"ח‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫‪( x − 3)( y + 50 ) = 6480‬‬ ‫קיבלנו מערכת של שתי משוואות‪:‬‬ ‫‪⎧ xy = 5700‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩ xy + 50x − 3y − 150 = 6480‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 5700‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩50x − 3y = 930‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒ ‪⋅3‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 5700‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩5700 + 50x − 3y − 150 = 6480‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 5700‬‬ ‫⎪‬ ‫‪50x − 930‬‬ ‫⎨‬ ‫= ‪⎪⎩ y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⇒‬ ‫‪50x 2 − 930x = 17100‬‬ ‫⇒‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪50x − 930‬‬ ‫‪= 5700‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5x 2 − 93x − 1710 = 0‬‬ ‫‪⎧⎪ xy = 5700‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩⎪( x − 3)( y + 50 ) = 6480‬‬ ‫⇒‬ ‫⋅‪x‬‬ ‫⇒‬ ‫‪:10‬‬ ‫‪93 ± 207‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x1 = 30 , x 2 = −11.4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −11.4‬מכוון שמספר המוצרים הוא מספר טבעי ולכן ‪. x = 30‬‬ ‫כלומר הסוחר קנה ‪ 30‬מוצרים‪.‬‬ ‫תשובה‪ 30 :‬מוצרים‪.‬‬ ‫‪ 1.04‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ x :‬ק"ג – כמות האבוקדו שקנה הירקן‪.‬‬ ‫‪ y‬ש"ח ‪ -‬המחיר ששילם הירקן עבור ק"ג אחד של אבוקדו‪.‬‬ ‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬ ‫כמות‬ ‫)ק"ג(‬ ‫מחיר לק"ג‬ ‫)ש"ח(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫התקלקלו‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫בהפסד‬ ‫‪7‬‬ ‫‪y−2‬‬ ‫ברווח‬ ‫‪x −9‬‬ ‫‪y +1‬‬ ‫קניה‬ ‫מכירה‬ ‫סה"כ סכום‬ ‫הכסף )ש"ח(‬ ‫)‪7 ⋅ ( y − 2‬‬ ‫)‪( x − 9 )( y + 1‬‬ ‫הירקן קנה ‪ x‬ק"ג אבוקדו במחיר של ‪ y‬ש"ח לק"ג ושילם ‪ 180‬ש"ח סה"כ‪ .‬לכן המשוואה‬ ‫הראשונה היא‪:‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪24‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות קנייה ומכירה‬ ‫‪x ⋅ y = 180‬‬ ‫בשלב המכירה‪ 2 :‬ק"ג אבוקדו התקלקלו ו‪ 7 -‬ק"ג הוא מכר בהפסד של ‪ 2‬ש"ח לק"ג‪ ,‬ולכן‬ ‫הוא קיבל עבורם ) ‪ 7 ⋅ ( y − 2‬ש”ח ‪ .‬את שאר ) ‪ ( x − 2 − 7 = x − 9‬ק"ג האבוקדו הירקן מכר‬ ‫ברווח של שקל אחד לק"ג‪ ,‬כלומר במחיר של )‪ ( y + 1‬ש"ח לק"ג‪ ,‬ולכן קיבל עבורם‬ ‫)‪ ( x − 9 )( y + 1‬ש"ח‪ .‬הירקן הפסיד בעסקה ‪ 5‬ש”ח ‪,‬כלומר הוא מכר את האבוקדו תמורת‬ ‫)‪ (180 − 5 = 175‬ש"ח בסך הכול‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫‪7 ⋅ ( y − 2 ) + ( x − 9 )( y + 1) = 175‬‬ ‫נפתור מערכת של שתי משוואות‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 180‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩7y − 14 + xy + x − 9y − 9 = 175‬‬ ‫‪⎧ xy = 180‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩ x = 18 + 2y‬‬ ‫‪⎧ xy = 180‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩ x − 2y = 18‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪:2‬‬ ‫‪y1 = 6, y 2 = −15‬‬ ‫‪⎪⎧ xy = 180‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩⎪7 ⋅ ( y − 2 ) + ( x − 9 )( y + 1) = 175‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 180‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩ x − 2y + 180 − 14 − 9 = 175‬‬ ‫⇒‬ ‫‪(18 + 2y ) ⋅ y = 180‬‬ ‫⇒‬ ‫‪y 2 + 9y − 90 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪2y 2 + 18y − 180 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪−9 ± 21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫= ‪y1,2‬‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , y = −15‬מכוון שמחיר הוא ערך אי שלילי ולכן ‪. y = 6‬‬ ‫מכאן שהירקן קנה )‪ (18 + 2 ⋅ 6 = 30‬ק"ג אבוקדו‪.‬‬ ‫כלומר הירקן קנה ‪ 30‬ק"ג אבוקדו במחיר של ‪ 6‬ש"ח לק"ג‪.‬‬ ‫תשובה‪ 30 :‬ק"ג‪ 6 ,‬ש"ח‪.‬‬ ‫‪ 1.05‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ x :‬ש"ח ‪ -‬המחיר ששילם המסעדן עבור בקבוק יין אחד‪.‬‬ ‫‪ - y‬מספר הבקבוקים שקנה המסעדן‪.‬‬ ‫בשלב הקנייה‪ :‬המסעדן קנה ‪ y‬בקבוקים במחיר של ‪ x‬ש"ח לכל בקבוק ושילם עבורם‬ ‫‪ 1440‬ש"ח בסך הכול‪ .‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫‪x ⋅ y = 1440‬‬ ‫בשלב המכירה‪ 2 :‬בקבוקים נשברו‪ 5 .‬בקבוקים הוא מכר במחיר שקנה ולכן קיבל עבורם‬ ‫‪ 5x‬ש"ח‪ .‬את שאר ) ‪ ( y − 7‬הבקבוקים המסעדן מכר ברווח של ‪ 9‬ש"ח לכל בקבוק‪ ,‬כלומר‬ ‫במחיר של ) ‪ ( x + 9‬ש"ח ולכן הוא קיבל עבורם ) ‪ ( x + 9 )( y − 7‬ש"ח‪ .‬לפי הנתונים‪ ,‬המסעדן‬ ‫הרוויח בעסקה יותר מ‪ 278 -‬ש"ח‪ ,‬לכן נקבל את אי השוויון הבא‪:‬‬ ‫‪5x + ( x + 9 )( y − 7 ) > 278 + 1440‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪25‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות קנייה ומכירה‬ ‫נפתור את המערכת הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 1440‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩5x + xy − 7x + 9y − 63 >1718‬‬ ‫‪12960‬‬ ‫‪− 341 > 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 2x +‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎪⎧ xy = 1440‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩⎪5x + ( x + 9 )( y − 7 ) >1718‬‬ ‫‪1440‬‬ ‫⎧‬ ‫‪⎪⎪ y = x‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪−2x + 1440 + 9 ⋅ 1440 − 1781 > 0‬‬ ‫⎩⎪‬ ‫‪x‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫נכפול את שני אגפי אי השוויון ב‪ - x ) x -‬מחיר הבקבוק הוא גודל חיובי(‪.‬‬ ‫‪2x 2 + 341x − 12960 < 0‬‬ ‫⇒‬ ‫)‪⋅ ( −1‬‬ ‫‪− 2x 2 + 12960 − 341x > 0‬‬ ‫פתרונות המשואה‪ 2x 2 + 341x − 12960 = 0 :‬הם‪ x1 = 32 :‬ו‪ . x 2 = −202.5 -‬לכן הפתרון של‬ ‫האי שוויון הוא‪ . −202.5 < x < 32 :‬כאמור לעיל ‪ , x > 0‬לכן מחיר הקנייה של כל בקבוק יין‬ ‫נמצא בתחום‪ , 0 < x < 32 :‬כלומר מחיר הקנייה צריך להיות פחות מ‪ 32 -‬ש"ח‪.‬‬ ‫תשובה‪ :‬פחות מ‪ 32 -‬ש''ח‪.‬‬ ‫‪ 1.06‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – ₪ x :‬המחיר ששילם הסוחר עבור קילוגרם אחד דגים‪.‬‬ ‫‪ y‬ק"ג ‪ -‬כמות הדגים שקנה הסוחר‪.‬‬ ‫בשלב הקנייה הסוחר שילם ‪ 792‬ש''ח בסך הכול‪ ,‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫‪x ⋅ y = 792‬‬ ‫בשלב המכירה‪ 3 :‬ק"ג דגים התקלקלו‪ 4 .‬ק"ג דגים הסוחר מכר בהפסד של ‪ 3‬ש''ח לכל ק"ג‬ ‫ולכן קיבל עבורם )‪ 4 ( x − 3‬ש''ח‪ .‬את שאר ) ‪ ( y − 7‬ק"ג הדגים הסוחר מכר ברווח של ‪ 7‬ש''ח‬ ‫לכל ק"ג וקיבל עבורם ) ‪ ( y − 7 )( x + 7‬ש''ח‪ .‬בסה"כ הסוחר הרוויח לא פחות מ‪ 193 -‬ש''ח‪ ,‬לכן‬ ‫נקבל את אי השוויון הבא‪:‬‬ ‫‪4 ( x − 3) + ( y − 7 )( x − 7 ) ≥ 792 + 193‬‬ ‫נפתור את המערכת הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 792‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩4x − 12 + yx + 7y − 7x − 49 ≥ 985‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎪⎧ xy = 792‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪⎩4 ( x − 3) + ( y − 7 )( x + 7 ) ≥ 792 + 193‬‬ ‫‪− 3x +‬‬ ‫⇒‬ ‫‪792‬‬ ‫⎧‬ ‫‪⎪⎪ y = x‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪−3x + 792 + 7 ⋅ 792 − 1046 ≥ 0‬‬ ‫⎩⎪‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5544‬‬ ‫‪− 254 ≥ 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⇒‬ ‫נכפול את שני אגפי אי השוויון ב‪ - x ) x -‬מחיר קילוגרם דגים הוא גודל חיובי(‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪26‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות קנייה ומכירה‬ ‫⇒ ‪3x 2 + 254x − 5544 ≤ 0‬‬ ‫⇒‬ ‫)‪⋅ ( −1‬‬ ‫‪−3x 2 + 5544 − 254x ≥ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫פתרון אי השוויון הנ"ל הוא‪ , −102 ≤ x ≤ 18 :‬אך כזכור ‪ , x > 0‬לכן התחום המספרי של‬ ‫מכיר קילוגרם דגים הוא‪. 0 < x ≤ 18 :‬‬ ‫תשובה‪ :‬לא יותר מ‪ 18 -‬ש''ח‪.‬‬ ‫‪ 1.07‬פתרון‪:‬‬ ‫אם מספר הנוסעים היה ‪ 42‬ובהתאם לנתונים כל נוסע היה משלם ‪ 80‬ש''ח‪ ,‬אז החברה הייתה‬ ‫מקבלת סכום של ) ‪ ( 42 ⋅ 80 = 3360‬ש''ח‪ .‬אך לפי נתוני השאלה‪ ,‬החברה קיבלה עבור ההשכרה‬ ‫‪ 3577‬ש''ח‪ ,‬לכן ברור כי מספר הנוסעים היה גדול מ‪. 42 -‬‬ ‫נסמן‪ - x :‬מספר הנוסעים שנוספו ל‪. 42 -‬‬ ‫) ‪ - ( 42 + x‬סך הכול מספר הנוסעים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 80 − x‬ש''ח ‪ -‬המחיר ששילם כל נוסע‪.‬‬ ‫) ‪ ( 42 + x )( 80 − x‬ש''ח ‪ -‬סכום הכסף שקיבלה חברת השכרה‪.‬‬ ‫בהתאם‪ ,‬נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪3360 − 42x + 80x − x = 3577‬‬ ‫‪x1 = 7, x 2 = 31‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪37 ± 24‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪( 42 + x )(80 − x ) = 3577‬‬ ‫‪x 2 − 38x + 217 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫אם ‪ , x = 7‬אז מספר הנוסעים באוטובוס היה‪. 42 + 7 = 49 :‬‬ ‫אם ‪ , x = 31‬אז מספר הנוסעים באוטובוס היה‪ 42 + 31 = 73 :‬ועל‪-‬פי הנתונים‪ ,‬מספר זה עולה‬ ‫על מספר ) ‪ ( 54‬מקומות הישיבה שבאוטובוס‪ .‬לכן מספר הנוסעים באוטובוס היה ‪. 49‬‬ ‫תשובה‪. 49 :‬‬ ‫‪ 1.08‬פתרון‪:‬‬ ‫אם מספר התלמידים שיצאו לטיול היה ‪ 80‬ובהתאם לנתונים‪ ,‬כל תלמיד היה משלם ‪ 200‬ש''ח‪,‬‬ ‫אז בית‪-‬הספר היה משלם סכום של ‪ 16000‬ש''ח‪ .‬אך לפי הנתונים‪ ,‬בית הספר שילם‬ ‫‪ 16182‬ש''ח ולכן ניתן לראות שמספר התלמידים היה גדול מ‪. 80 -‬‬ ‫נסמן‪ - x :‬מספר התלמידים שנוספו ל‪. 80 -‬‬ ‫) ‪ - ( 80 + x‬סך הכול מספר התלמידים שהשתתפו בטיול‪.‬‬ ‫‪ 2x‬ש''ח – ההנחה שקיבל כל תלמיד‪.‬‬ ‫) ‪ ( 200 − 2x‬ש"ח – המחיר ששילם כל תלמיד‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪27‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות קנייה ומכירה‬ ‫) ‪ ( 80 + x )( 200 − 2x‬ש"ח – סכום הכסף ששולם על‪-‬ידי בית‪-‬הספר עבור הטיול‪.‬‬ ‫ידוע כי בית הספר שילם ‪ 16182‬ש"ח עבור הטיול‪ ,‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪16000 − 160x + 200x − 2x 2 = 16182‬‬ ‫⇒ ‪x 2 − 20x + 91 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪(80 + x )( 200 − 2x ) = 16182‬‬ ‫‪2x 2 − 40x + 182 = 0‬‬ ‫‪:2‬‬ ‫‪20 ± 6‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x1 = 7, x 2 = 13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎛ 16182‬‬ ‫⎞‬ ‫קיבלנו שבטיול השתתפו ) ‪ ( 80 + 7 = 87‬תלמידים וכל תלמיד שילם ⎟ ‪= 186‬‬ ‫⎜ ש"ח או‬ ‫‪⎝ 87‬‬ ‫⎠‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫⎞‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪⎛ 16182‬‬ ‫שהשתתפו בטיול )‪ ( 80 + 13 = 93‬תלמידים וכל תלמיד שילם ⎟ ‪= 174‬‬ ‫⎜ ש"ח‪.‬‬ ‫‪⎝ 93‬‬ ‫⎠‬ ‫תשובה‪ 87 :‬תלמידים‪ 186 ,‬ש''ח או ‪ 93‬תלמידים‪ 174 ,‬ש''ח‪.‬‬ ‫‪ 1.09‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ x :‬ש"ח – מחיר ספר מתמטיקה לפני ההנחה‪.‬‬ ‫‪ 0.9x‬ש"ח ‪ -‬מחיר ספר מתמטיקה אחרי ההנחה‪.‬‬ ‫‪ y‬ש"ח ‪ -‬מחיר ספר פיזיקה לפני ההנחה‪.‬‬ ‫‪ 0.94y‬ש"ח – מחיר ספר פיזיקה אחרי ההנחה‪.‬‬ ‫נרכז את הנתונים בטבלה הבאה‪:‬‬ ‫מחירו של כל‬ ‫מספר הספרים‬ ‫ספר )ש''ח(‬ ‫לפני ההנחה‬ ‫אחרי ההנחה‬ ‫סה"כ סכום‬ ‫הכסף )ש''ח(‬ ‫מתמטיקה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪120‬‬ ‫פיזיקה‬ ‫מתמטיקה‬ ‫פיזיקה‬ ‫‪y‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50y‬‬ ‫‪0.9x‬‬ ‫‪0.94y‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪120 ⋅ 0.9x‬‬ ‫‪50 ⋅ 0.94y‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪120x‬‬ ‫ידוע ש‪ 120 -‬ספרי מתמטיקה ו‪ 50 -‬ספרי פיזיקה עולים ביחד ‪ 10700‬ש''ח‪ .‬לכן המשוואה‬ ‫הראשונה היא‪:‬‬ ‫‪120x + 50y = 10700‬‬ ‫לאחר ההנחה‪ ,‬בית‪-‬הספר שילם ) ‪ (120 ⋅ 0.9x‬ש"ח עבור ‪ 120‬ספרי מתמטיקה‪,‬‬ ‫ו‪ ( 50 ⋅ 0.94y ) -‬ש''ח עבור ‪ 50‬ספרי פיזיקה‪ .‬בסך הכול בית הספר שילם ‪ 9770‬ש''ח‪ ,‬לכן‬ ‫המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫‪120 ⋅ 0.9x + 50 ⋅ 0.94y = 9770‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪28‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות קנייה ומכירה‬ ‫קיבלנו מערכת של שתי משוואות ‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪⋅ ( −9‬‬ ‫‪⎧⎪12x + 5y = 1070‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩⎪108x + 47y = 9770‬‬ ‫⇒‬ ‫‪:10‬‬ ‫‪⎧120x + 50y = 10700‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩120 ⋅ 0.9x + 50 ⋅ 0.94y = 9770‬‬ ‫‪⎧−108x − 45y = −9630‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩108x + 47y = 9770‬‬ ‫⇒‬ ‫נחבר את שתי המשוואות ונקבל‪:‬‬ ‫‪x = 60‬‬ ‫⇒‬ ‫‪12x = 720‬‬ ‫⇒‬ ‫‪12x + 5 ⋅ 70 = 1070‬‬ ‫⇒‬ ‫‪y = 70‬‬ ‫⇒‬ ‫‪2y = 140‬‬ ‫לפני ההנחה ספר מתמטיקה עלה ‪ 60‬ש''ח ולכן לאחר ההנחה מחירו היה ) ‪ ( 60 ⋅ 0.9 = 54‬ש''ח‪.‬‬ ‫ספר פיזיקה‪ ,‬לפני ההנחה‪ ,‬עלה ‪ 70‬ש''ח ולכן לאחר ההנחה מחירו היה ) ‪ ( 70 ⋅ 0.94 = 65.8‬ש''ח‪.‬‬ ‫תשובה‪ 54 :‬ש"ח‪ 65.8 ,‬ש"ח‪.‬‬ ‫‪ 1.10‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ - x :‬מספר הטלוויזיות שרכשה החברה‪.‬‬ ‫‪ y‬ש''ח ‪ -‬המחיר ששילמה החברה עבור כל טלוויזיה‪.‬‬ ‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬ ‫מחירה של כל‬ ‫טלוויזיה )ש''ח(‬ ‫תרומה‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪y‬‬ ‫הפסד‬ ‫‪0.96y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 ⋅ 0.96y‬‬ ‫רווח‬ ‫‪y + 130‬‬ ‫‪x−4‬‬ ‫רכישה‬ ‫מכירה‬ ‫מספר‬ ‫הטלוויזיות‬ ‫סך הכול סכום‬ ‫הכסף )ש''ח(‬ ‫) ‪( x − 4 )( y + 130‬‬ ‫החברה רכשה ‪ x‬טלוויזיות במחיר של ‪ y‬ש''ח עבור כל טלוויזיה ושילמה ‪ 15600‬ש''ח בסך‬ ‫הכול לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫‪xy = 15600‬‬ ‫החברה תרמה טלוויזיה אחת‪ 3 .‬טלוויזיות‪ ,‬החברה מכרה בהפסד של ‪ , 4%‬כלומר במחיר של‬ ‫) ‪ ( y − 0.04y = 0.96y‬ש"ח עבור כל טלוויזיה וקיבלה עבורן ) ‪ ( 3 ⋅ 0.96y‬ש''ח‪.‬‬ ‫את שאר ) ‪ ( x − 4‬הטלוויזיות‪ ,‬החברה מכרה ב‪ ( y + 130 ) -‬ש''ח עבור כל מכשיר‪ ,‬כלומר קיבלה‬ ‫עבורן ) ‪ ( x − 4 )( y + 130‬ש''ח‪ .‬ידוע כי החברה הרוויחה בעסקה ‪ 1872‬ש''ח‪ ,‬לכן המשוואה‬ ‫השנייה היא‪:‬‬ ‫‪3 ⋅ 0.96y + ( x − 4 )( y + 130 ) = 15600 + 1872‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪29‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות קנייה ומכירה‬ ‫נפתור מערכת של שתי משוואות‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪:2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧⎪ xy = 15600‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪⎩3 ⋅ 0.96y + ( x − 4 )( y + 130 ) = 15600 + 1872‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 15600‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩2.88y + xy + 130x − 4y − 520 = 17472‬‬ ‫‪⎧ xy = 15600‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩130x − 1.12y − 2392 = 0‬‬ ‫‪130x 2 − 2382x − 17472 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 15600‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩130x − 1.12y + 15600 − 520 = 17472‬‬ ‫⇒‬ ‫‪15600‬‬ ‫⎧‬ ‫‪⎪⎪ y = x‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪130x − 1.12 ⋅ 15600 − 2392 = 0‬‬ ‫⎩⎪‬ ‫‪x‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅x‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x1 = 24, x 2 = −5.6‬‬ ‫‪1196 ± 1924‬‬ ‫‪130‬‬ ‫⇒‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫‪65x 2 − 1196x − 8736 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −5.6‬מכוון שמספר הטלוויזיות הוא מספר טבעי ולכן ‪, x = 24‬‬ ‫כלומר החברה רכשה ‪ 24‬טלוויזיות‪.‬‬ ‫תשובה‪ 24 :‬טלוויזיות‪.‬‬ ‫‪ 1.11‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ - x% :‬שיעור הורדת מחיר הטלוויזיה‪.‬‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎠‬ ‫⎛‬ ‫⎝‬ ‫‪ 1200 ⎜1 −‬ש''ח ‪ -‬מחיר הטלוויזיה לאחר ההוזלה הראשונה‪.‬‬ ‫⎟‬ ‫‪100‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎠‬ ‫⎛‬ ‫⎝‬ ‫‪ 1200 ⎜1 −‬ש''ח ‪ -‬מחיר הטלוויזיה לאחר שתי ההוזלות‪.‬‬ ‫⎟‬ ‫‪100‬‬ ‫המחיר הסופי של הטלוויזיה הוא ‪ 1083‬ש''ח‪ ,‬לכן נקבל את המשוואה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫‪361‬‬ ‫⎛‬ ‫‪⎜1 −‬‬ ‫= ⎟‬ ‫⎠ ‪100‬‬ ‫‪400‬‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪:1200‬‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1200 ⎜1 −‬‬ ‫‪⎟ = 1083‬‬ ‫⎠ ‪100‬‬ ‫⎝‬ ‫‪x‬‬ ‫‪19‬‬ ‫⎡‬ ‫‪⋅100‬‬ ‫‪⎢1 − 100 = 20‬‬ ‫‪⎡100 − x = 95‬‬ ‫⎢ או ⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪ x = 195‬או ‪x = 5‬‬ ‫⎢ או ⇒‬ ‫‪100 − x = −95‬‬ ‫⎣‬ ‫‪⎢1 − x = − 19‬‬ ‫‪⋅100‬‬ ‫‪⎢⎣ 100‬‬ ‫‪20‬‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ x = 195‬כי מחיר המוצר אינו יכול לרדת ביותר מ‪ . 100% -‬לכן ‪. x = 5‬‬ ‫לפיכך מחיר הטלוויזיה ירד כל פעם ב‪. 5% -‬‬ ‫תשובה‪. 5% :‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪30‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות קנייה ומכירה‬ ‫‪ 1.12‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ a :‬ש''ח‪ -‬המחיר ההתחלתי של המוצר‪.‬‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎠‬ ‫⎛‬ ‫⎝‬ ‫‪ a ⎜1 +‬ש''ח ‪ -‬מחיר המוצר לאחר ההתייקרות הראשונה‪.‬‬ ‫⎟‬ ‫‪100‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎛‬ ‫‪ a ⎜1 +‬ש''ח ‪ -‬מחיר המוצר לאחר שתי ההתייקרויות‪.‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠ ‪⎝ 100‬‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬המוצר התייקר ב ‪ 21% -‬סך‪-‬הכול‪ ,‬כלומר מחירו הסופי הוא ‪.1.21a‬‬ ‫נפתור את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎛‬ ‫‪⎜1 +‬‬ ‫‪⎟ = 1.21‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 100‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎛‬ ‫‪a ⎜1 +‬‬ ‫‪⎟ = 1.21a‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 100‬‬ ‫‪:a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎡‬ ‫‪⋅100‬‬ ‫‪⎢1 + 100 = 1.1‬‬ ‫‪⎡100 + x = 110‬‬ ‫‪ x = −210‬או ‪⇒ x = 10‬‬ ‫⎢ או ⇒‬ ‫⎢ או‬ ‫‪100‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎣‬ ‫‪⎢1 +‬‬ ‫‪= −1.1‬‬ ‫‪⋅100‬‬ ‫‪⎢⎣ 100‬‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ x = −210‬כי לא תיתכן התייקרות באחוז שלילי‪ ,‬לכן ‪. x = 10‬‬ ‫תשובה‪. 10% :‬‬ ‫⇒‬ ‫‪ 1.13‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ - x% :‬שיעור הורדת מחיר המוצר‪.‬‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎠‬ ‫⎛‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎠‬ ‫⎛‬ ‫⎝‬ ‫‪3‬‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎠‬ ‫⎛‬ ‫⎝‬ ‫‪ 15625 ⎜1 −‬ש''ח‪ -‬מחיר הסלון לאחר ההוזלה הראשונה‪.‬‬ ‫⎟‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ 15625 ⎜1 −‬ש''ח ‪ -‬מחיר הסלון לאחר שתי ההוזלות‪.‬‬ ‫⎟‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ 15625 ⎜1 −‬ש''ח ‪ -‬מחיר הסלון לאחר שלוש ההוזלות‪.‬‬ ‫⎟‬ ‫‪100‬‬ ‫המחיר הסופי של הסלון הוא ‪ 13824‬ש''ח‪ ,‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x ⎞ 13824‬‬ ‫⎛‬ ‫‪⎜1 −‬‬ ‫= ⎟‬ ‫‪100 ⎠ 15625‬‬ ‫⎝‬ ‫‪3‬‬ ‫⇒‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎛‬ ‫‪15625 ⎜1 −‬‬ ‫‪⎟ = 13824‬‬ ‫⎠ ‪100‬‬ ‫⎝‬ ‫‪:15625‬‬ ‫נמצא שורש מסדר ‪ 3‬של כל אחד מאגפי המשוואה‪:‬‬ ‫‪x=4‬‬ ‫⇒‬ ‫‪100 − x = 96‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= 0.96‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫מחיר הסלון ירד כל פעם ב‪. 4% -‬‬ ‫תשובה‪4% :‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪31‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות קנייה ומכירה‬ ‫‪ 1.14‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ a :‬ש''ח‪ -‬המחיר ההתחלתי של הדלק‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎠‬ ‫⎛‬ ‫⎝‬ ‫‪ a ⎜1 +‬ש''ח ‪ -‬מחיר הדלק לאחר ההתייקרות הראשונה‬ ‫⎟‬ ‫‪100‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎠‬ ‫⎛‬ ‫⎝‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎠‬ ‫⎛‬ ‫⎝‬ ‫‪ a ⎜1 +‬ש''ח‪ -‬מחיר הדלק לאחר שתי ההתייקרויות‬ ‫⎟‬ ‫‪100‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ a ⎜1 +‬ש''ח ‪ -‬מחיר הדלק לאחר שלושת ההתייקרויות‬ ‫⎟‬ ‫‪100‬‬ ‫על‪-‬פי הנתונים‪ ,‬המחיר עלה בסך הכול ב‪ , 33.1% -‬כלומר מחירו הסופי הוא‬ ‫) ‪ ( a + 0.331a = 1.331a‬ש''ח‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎛‬ ‫‪⎜1 +‬‬ ‫‪⎟ = 1.331‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 100‬‬ ‫⇒‬ ‫‪:a‬‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎛‬ ‫‪a ⎜1 +‬‬ ‫‪⎟ =1.331a‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 100‬‬ ‫נמצא שורש מסדר ‪ 3‬של כל אחד מאגפי המשוואה‪:‬‬ ‫‪x = 10‬‬ ‫⇒‬ ‫‪100 + x = 110‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= 1.1‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪⇒ 1+‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪= 1.331‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫כלומר מחיר הדלק עלה כל פעם ב‪. 10% -‬‬ ‫* הערה‪ :‬במהלך פתרון הבעיה ניתן לראות כי התוצאה הסופית אינה תלויה במחיר ההתחלתי‪,‬‬ ‫לכן ניתן היה לסמן‪:‬‬ ‫‪ – 1‬המחיר ההתחלתי של הדלק‪.‬‬ ‫המשוואה המתקבלת היא‪:‬‬ ‫)‪ - (1 + 0.331 = 1.331‬המחיר הסופי של הדלק‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x = 10‬‬ ‫⇒‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎛‬ ‫‪⎜1 +‬‬ ‫‪⎟ = 1.331‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 100‬‬ ‫תשובה‪.10% :‬‬ ‫‪ 1.15‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ - x% :‬שיעור ההתייקרות בחודש יולי‪.‬‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎠‬ ‫⎛‬ ‫⎝‬ ‫‪ 800 ⎜1 +‬ש''ח‪ -‬מחיר הכרטיס לאחר ההתייקרות הראשונה‪.‬‬ ‫⎟‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ - ( x + 4 ) %‬שיעור ההתייקרות בחודש אוגוסט‪.‬‬ ‫⎞‪x+4‬‬ ‫⎛⎞ ‪x‬‬ ‫⎛‬ ‫‪ 800 ⎜1 +‬ש''ח ‪ -‬מחיר הכרטיס לאחר שתי ההתייקרויות‪.‬‬ ‫‪⎟⎜ 1 +‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠ ‪100‬‬ ‫⎝⎠ ‪⎝ 100‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪32‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות קנייה ומכירה‬ ‫על‪-‬פי הנתונים‪ ,‬המחיר הסופי של הכרטיס הוא ‪ 932.8‬ש''ח‪ ,‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪: 800‬‬ ‫‪⋅10000‬‬ ‫‪10400 + 100x + 104x + x 2 = 11660‬‬ ‫‪x1 = 6, x 2 = −210‬‬ ‫⇒‬ ‫⎞ ‪x ⎞⎛ x + 4‬‬ ‫⎛‬ ‫‪800 ⎜1 +‬‬ ‫‪⎟⎜ 1 +‬‬ ‫‪⎟ = 932.8‬‬ ‫⎠ ‪100‬‬ ‫⎝⎠ ‪⎝ 100‬‬ ‫‪−204 ± 216‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 100 + x ⎞ ⎛ 100 + x + 4‬‬ ‫⎜‬ ‫⎜⎟‬ ‫‪⎟ = 1.166‬‬ ‫‪100‬‬ ‫⎝ ⎠ ‪⎝ 100‬‬ ‫⎠‬ ‫⇒‬ ‫‪(100 + x )(104 + x ) = 11660‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫‪x 2 + 204x − 1260 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −210‬כי לא תיתכן התייקרות באחוז שלילי‪ ,‬לכן ‪ . x = 6‬בחודש יולי‬ ‫עלה מחירו של הכרטיס ב‪. 6% -‬‬ ‫תשובה‪. 6% :‬‬ ‫‪ 1.16‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ - x% :‬שיעור ההתייקרות בחודש הראשון‪.‬‬ ‫⎞ ‪x‬‬ ‫⎠‬ ‫⎛‬ ‫⎝‬ ‫‪ 2400 ⎜1 +‬ש''ח‪ -‬מחיר המדפסת לאחר ההתייקרות‪.‬‬ ‫⎟‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ - ( x + 15 ) %‬שיעור ההוזלה בחודש השני‪.‬‬ ‫⎞ ‪x + 15‬‬ ‫⎛⎞ ‪x‬‬ ‫⎛‬ ‫‪ 2400 ⎜1 +‬ש''ח – המחיר הסופי של המדפסת‪.‬‬ ‫‪⎟ ⎜1 −‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠ ‪100‬‬ ‫⎝ ⎠ ‪⎝ 100‬‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬המחיר הסופי של המדפסת הוא ‪ 1980‬ש''ח‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪: 2400‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 100 + x ⎞⎛ 100 − x − 15‬‬ ‫⎜‬ ‫⎜⎟‬ ‫‪⎟ = 0.825‬‬ ‫‪100‬‬ ‫⎝⎠ ‪⎝ 100‬‬ ‫⎠‬ ‫⇒‬ ‫‪8500 − 100x + 85x − x 2 = 8250‬‬ ‫⇒‬ ‫‪(100 + x )(85 − x ) = 8250‬‬ ‫⇒‬ ‫‪−15 ± 35‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫‪x 2 + 15x − 250 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫⎛⎞ ‪x‬‬ ‫⎞ ‪x + 15‬‬ ‫⎛‬ ‫‪2400 ⎜1 +‬‬ ‫‪⎟ ⎜1 −‬‬ ‫‪⎟ = 1980‬‬ ‫⎠ ‪100‬‬ ‫⎝ ⎠ ‪⎝ 100‬‬ ‫‪x1 = 10, x 2 = −25‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅10000‬‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −25‬כי לא תיתכן התייקרות באחוז שלילי‪ ,‬לכן ‪. x = 10‬‬ ‫כלומר בחודש הראשון התייקרה המדפסת ב‪ 10% -‬ובחודש שני ירד מחירה ב‪. 25% -‬‬ ‫תשובה‪. 25% :‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪33‬‬