‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫‪. 21‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אטום המימן‬ ‫הקדמה‬ ‫אחד הכישלונות הבולטים של המכאניקה‬ ‫הקלאסית שניבאה שאטום המימן איננו יציב‪.‬‬ ‫כישלון נוסף‬ ‫הוא שהמכניקה הקלאסית‬ ‫מנבאת‪ ,‬עבור ספקטרום הפליטה של אטומי‬ ‫מימן (ספקטרום פליטה הינו שם קיצור למונח‬ ‫"עוצמת הפליטה כפונקציה של תדר הקרינה הנפלטת")‪ ,‬ספקטרום רציף בעוד שניסויים בגז אטומי חם הראו‬ ‫קווי פליטה בדידים (משמאל)‪ ,‬המקיימים חוק אמפירי שניסח יוהן באלמר (‪:)5881‬‬ ‫‪.‬‬ ‫באשר‬ ‫יש סדרות נוספות עם קשר דומה מהסוג‬ ‫נוספות‪ Lyman :‬עם‬ ‫)‬ ‫‪ .‬סידרת באלמר היא זו עם‬ ‫ו‪ Paschen -‬עם‬ ‫‪ .‬במונחי אנרגיה במקום אורך גל נוכל לרשום קשר זה כך‪:‬‬ ‫‪ .‬כאשר ‪13.6 eV‬‬ ‫(‬ ‫וזוהו גם סדרות‬ ‫‪ RH‬נקרא קבוע רידברג‪.‬‬ ‫בפרק זה נבחן כיצד מתארת מכניקת הקקונטים את המבנה האלקטרוני של אטום המימן‪ .‬אנו נוכל להסביר גם‬ ‫‪.‬‬ ‫את יציבות האטום וגם את הספקטרום הבדיד‪ .‬נוכל אפילו להסביר את ערכו של הקבוע‬ ‫תיאור קוונטי של אטום המימן‬ ‫האלקטרון באטום המימן נע סביב גרעין הכבד ממנו פי אלפיים בערך‪ .‬יחס המסות הוא‪:‬‬ ‫מסת הפרוטון ו‪-‬‬ ‫מסץ האלקטרון‪ .‬ניתן להניח בקרוב מצוין כי הגרעין בראשית הצירים וקבוע‪( .‬הערה‪:‬‬ ‫אפשר להפוך הנחה זו למדויקת אם נתקן את מסת האלקטרון למסה המצומצמת‬ ‫מכיוון שהאלקטרון נמשך לגרעין על‪-‬ידי כוח קולון‪ ,‬האנרגיה הפוטנציאלית היא‬ ‫האלקטרון ו‪-‬‬ ‫‪ ,‬האשר‬ ‫‪).‬‬ ‫) ( ‪ ,‬כאשר ‪ e‬מטען‬ ‫הינו קבוע במסדר את היחידות‪ .‬משוואת שרדינגר עבור האלקטרון בנוכחות גרעין עם‬ ‫פרוטונים‪ ,‬היא אם כך‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫כמו במקרה החד‪-‬ממדי‪ ,‬הריבוע המוחלט של פונקצית הגל‪)| ,‬‬ ‫החלקיק בנקודה)‬ ‫(‪ .‬הנרמול של הפונקציה הוא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫( | מתאר את צפיפות‪-‬הסיכויים למציאת‬ ‫‪2‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫( | ∫ ∫ ∫‬ ‫|)‬ ‫בקואורדינאטות קרטזיות תלת‪-‬ממדיות‪ ,‬אופרטור התנע בריבוע שווה ל‪-‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫משוואת שרדינגר היא אם כך‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫קואורדינאטות כדוריות‬ ‫נביט בהמילטוניאן ונשים לב כי הפוטנציאל אינו תלוי ב‪-‬‬ ‫אלא רק ב‪-‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪ .‬מכנים זאת‪,‬‬ ‫√‬ ‫"סימטריה כדורית"‪ :‬הפוטנציאל בנקודה כלשהי אינו תלוי בכיוון אלא רק במרחק מהראשית!‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪X‬‬ ‫לכן‪ ,‬נוח לבטא את ההמילטוניאן במונחי "תנע רדיאלי" ותנע זוויתי‪ .‬נוח לעבוד אם כן בקואורדינאטות כדוריות‬ ‫המוגדרות על‪-‬ידי הקשר שלהן לקואורדינאטות קרטזיות‪:‬‬ ‫מכאן‪ ,‬פונקציות הגל )‬ ‫|)‬ ‫(‬ ‫מתארות אמפליטודת סיכויים לקואורדינאטות כדוריות‬ ‫( | היא צפיפות‪-‬הסיכויים‪ ,‬כלומר‪,‬‬ ‫באלמנט נפח קטן סביב‬ ‫‪,‬‬ ‫|)‬ ‫ו‪ , -‬שנפחו‬ ‫‪,‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪ .‬לכן‬ ‫( | הוא הסיכוי שהחלקיק ייצא‬ ‫‪ .‬באיור לפנינו אנו מראים את צורתו של אלמנט‬ ‫נפח בקואורדינאטות כקרטזיות וכדוריות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫הנרמול ל‪ 5-‬נתון על‪-‬ידי‪:‬‬ ‫( | ∫ ∫‬ ‫|)‬ ‫∫‬ ‫ההמילטוניאן בקואורדינאטות כדוריות הוא‪:‬‬ ‫̂‬ ‫) (‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫)‬ ‫}‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫̂‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫̂‬ ‫{‬ ‫ניתן להראות כי ̂ הנו אופרטור "ריבוע התנע הזוויתי"‪.‬‬ ‫̂ הוא אופרטור ריבוע התנע הרדיאלי ‪ .‬אנו לא‬ ‫נתייחס כרגע לצורות הספציפיות של האופרטורים‪ ,‬נסתפק ב"טעימה" של שיטות הטיפול במשוואות שרדינגר‬ ‫מסובכות כאלה‪.‬‬ ‫הפרדת משתנים‬ ‫בשלב זה‪ ,‬נשתמש רק בשתי העובדות הבאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫̂ גוזר רק לפי‬ ‫‪ ,‬ואינו גוזר לפי הזוויות‪.‬‬ ‫̂ גוזר רק לפי הזוויות אך לא לפי ‪.‬‬ ‫ננסה לנצל עובדות אלה ולרשום את הפתרון למשוואת שרדינגר באופן הבא‪:‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫( ) (‬ ‫שיטה כזו מכונה "הפרדת משתנים" נציב במשוואה‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫‪4‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫̂‬ ‫)‬ ‫נחלק משמאל ב‪) -‬‬ ‫( ) (‬ ‫̂‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫̂‬ ‫) ( )) (‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫ונעביר אגפים‪:‬‬ ‫( ̂‬ ‫)‬ ‫צד ימין תלוי בזוויות‬ ‫ולא ב‪-‬‬ ‫( ) ( )) (‬ ‫( ) ( ‪:‬‬ ‫)‬ ‫נכפיל ב‪-‬‬ ‫)‬ ‫̂‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) ( (‬ ‫̂‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫וצד שמאל ב‪ . -‬דבר זה ייתכן רק אם שני הצדדים שווים לקבוע שאינו תלוי לא ב‪-‬‬ ‫‪ .‬קבוע זה הינו בעל יחידות של תנע זוויתי בריבוע‪ ,‬ומכיוון של‪-‬‬ ‫ואז החלק הלא‪-‬ידוע‪ ,‬כלומר‬ ‫לסמן קבוע בלתי ידוע זה כך‪-‬‬ ‫קיבל נו אם כך שתי משוואות‪ ,‬האחת ל )‬ ‫יש יחידות של תנע זוויתי‪ ,‬נוח‬ ‫הינו חסר מימדים‪.‬‬ ‫( המתארת את דרגות החופש הזוויתיות של פונקצית הגל‪,‬‬ ‫והשניה ל ) ( ‪ ,‬המתארת את דרגת החופש הרדיאלית של פונקצית הגל‪:‬‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫) ( (‬ ‫( ̂‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫̂‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫חלקיק על כדור‬ ‫רשאית‪ ,‬נטפל במשוואה השניה‪ ,‬זו של הזויות‪ .‬מקבלים משוואת ערכים עצמיים של ריבוע התנע הזוויתי‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( ̂‬ ‫)‬ ‫כדי להמשיך‪ ,‬נערוך שוב הפרדת משתנים‪ .‬אנו מקווים שזה אפשרי מכיוון שאיו ב‪ ̂ -‬נגזרות מעורבות (כפל של‬ ‫נגזרות לפי משתנים שונים)‪ .‬אנו נניח אם כך‪:‬‬ ‫) ( ) (‬ ‫ונציב נציב ) ( ) (‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫בתוך הביטוי לתנע הזויתי בריבוע‪:‬‬ ‫}‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫̂‬ ‫{‬ ‫ונקבל המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫) ( ) (‬ ‫) (‬ ‫}‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫‪4‬‬ ‫(‬ ‫) ( {‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫נכפיל ב‬ ‫‪5‬‬ ‫ונקבל‪:‬‬ ‫}‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫ומכאן‪ ,‬לאחר סידור‪ ,‬כך שכל מה שתלוי ב‬ ‫)‬ ‫צד ימין תלוי בזווית‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫בצד אחד וכל השאר בצד השני‪:‬‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫ואילו צד שמאל בזווית‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫{‬ ‫) (‬ ‫‪ .‬לכן‪ ,‬כל צד שווה לקבוע‬ ‫‪:‬‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫מקבלים שתי משוואות‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫בעצם‪ ,‬אנו מכירים את האופרטור בצד שמאל של המשוואה‪ ...‬זהו‬ ‫העצמיים הם‬ ‫ב‬ ‫‪ .‬לכל‬ ‫כאשר‬ ‫̂ ‪ .‬הערכים‬ ‫̂ ‪ ,‬כאשר‬ ‫יש פונקצית גל הפותרת את המשוואה‪ .‬לכן ניתן להשצמש‬ ‫כאינדקס‪:‬‬ ‫) (‬ ‫ברגע שקבעים את‬ ‫המשוואה עבור‬ ‫ולכן הפתרונות שלה יהיו תלויים ב‬ ‫תלויה ב‬ ‫היא סוג של משוואת ערכים עצמיים אבל הערך הלא ידוע הוא‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫‪ .‬תרשם אם כך‪:‬‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫המתמטיקאי ‪ Legendre‬חקר משוואה זו‪ .‬ראשית‪ ,‬התמקד במקרה‬ ‫) (‬ ‫אם נרשום‪:‬‬ ‫(ואז‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫קיים‪:‬‬ ‫מכאן לפי כלל השרשרת‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ .‬המשוואה אז תהיה‪:‬‬ ‫(‬ ‫) נוכל להגדיר‬ ‫(‬ ‫ונסמנם ) (‬ ‫) (‬ ‫‪ .‬גם‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫(‬ ‫) ( )‬ ‫‪6‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫וכן‪:‬‬ ‫)) ( )‬ ‫(‬ ‫(()‬ ‫( ()‬ ‫)) ( )‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫כך המשוואה הופכת ל‪:-‬‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫)) (‬ ‫((‬ ‫רודריגז הראה כי הפולנימים הבאים פותרים את המשוואה‪ ,‬בתנאי שהערכים העצמיים‬ ‫או באופן כללי‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫ואז הפתרונות ימוספרו על ידי וקיים‪:‬‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫פולינימים אלה מכונים פולינומי לז'נדר‪ .‬נוכל לחשב מעט מהפולינומים הללו‪:‬‬ ‫) (‬ ‫מראה שזה מקיים את המשוואה‪ .‬כמוכן‪:‬‬ ‫קבוע כלשהו‪ .‬ואמנם‪ ,‬הצבה של פתרון זה עבור‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫שוב‪ ,‬הצבה במשוואה תתן‪:‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫כלומר זה הפתרון עבור‬ ‫((‬ ‫(‬ ‫‪ .‬כמוכן‪:‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫ובהצבה‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫((‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) )‬ ‫)‬ ‫((‬ ‫(‬ ‫כלומר המשוואה של לז'נדר מתקיימת‪.‬‬ ‫כדי שהמקדם של‬ ‫בפולינומים לא יהיה גבוהה מאד מקובל לקבוע את מקדם הפרופורציה ‪ A‬כך‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫הם אחד מ‪-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫עם מקדם זה קיים‪:‬‬ ‫)‬ ‫ומקרה נוסף‪,‬‬ ‫))‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫((‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫יש גם יחס רקורסיה המקשר בין הפולינומים של לז'נדר‪:‬‬ ‫) (‬ ‫פולינום לז'נדר מסדר‬ ‫לגבי המשוואה ל‪-‬‬ ‫לכל‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫נבנה מזוג הפולינומים מהמעלות הקודמות העוקבות‪.‬‬ ‫‪ ,‬מתברר שקיימים פתרונות רק אם‬ ‫יש‬ ‫(‬ ‫| |‬ ‫פתרונות בהם‬ ‫| |‬ ‫) (‬ ‫| |‬ ‫| || |‬ ‫‪ .‬או‪ ,‬לשון אחרת‪,‬‬ ‫‪ .‬וקיים‪:‬‬ ‫| |‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫נחשב מעט פונקציות לז'נדר הללו‪:‬‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫√‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫√‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫המספר הקוונטי מכונה מספר תנע הזוויתי‪ .‬מקובל לתת שמות למצבי התנע הזוויתי‪ :‬מצב‬ ‫(‬ ‫) ומצב‬ ‫(‬ ‫)‪ .‬פונקציות הגל הזוויתיות מתקבלות מ‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪7‬‬ ‫(‬ ‫)‪ ,‬מצב‬ ‫‪8‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫מספר התנע הזוויתי מאפשר‬ ‫התנע‬ ‫‪ .‬המצב )‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫אפשרויות ל"היטל המנע הזוויתי"‪ .‬כל אפשרות כזו מצויינת במספר היטל‬ ‫הוא מצב בו האלקטרון הינו בעל ריבוע תנע זוויתי )‬ ‫‪.‬הפונקציות )‬ ‫תנע לאורך ציר ‪ z‬של‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫הן‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫ובעל היטל‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫לפונקציות הגל הזוויתיות יש צמתים זוויתיים (כלומר זוויות‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫בהן פונ' הגל מתאפסות)‪ .‬להלן סיווג צמתים‬ ‫אלה‪:‬‬ ‫‪No nodes‬‬ ‫‪x-y plane‬‬ ‫‪z-axis‬‬ ‫‪Cone‬‬ ‫‪x-y plane and z-axis‬‬ ‫‪z-axis‬‬ ‫המשוואה הרדיאלית‬ ‫נחזור לחלק הרדיאלי‪ .‬נסמן את הפתרונות המתאימים ל‪ l -‬מסויים ב ‪( ) -‬‬ ‫( ‪ n‬ממספר את הפתרונות‬ ‫השונים עבור כל ‪ , l‬ומכונה "המספר הקוונטי הראשי")‪:‬‬ ‫)‬ ‫כאשר‪ ,‬כזכור‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) ( (‬ ‫) ( ‪ .‬נשים לב כי גם הערכים העצמיים‬ ‫העצמית שמקיימת ) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫̂‬ ‫) (‬ ‫ממוספרים באותו האופן‪ .‬משוואת הערכים‬ ‫היא‪:‬‬ ‫) (‬ ‫)) (‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫יש לשים לב לעובדה החשובה‪ ,‬שבאמצעות הפרדת המשתנים‪ ,‬קיבלנו הרבה משוואות של אטום מימן‪ .‬לכל‬ ‫יש פונציאל אפקטיבי ) ( ‪ ,‬המורכב מהפוטנציאל הקולוני ועוד פוטנציאל צנטריפוגלי הנובע מריבוע התנע‬ ‫הזוויתי בשיעור )‬ ‫לאפשר לאינדקס ‪n‬‬ ‫(‬ ‫⟩ ̂ ⟨ ‪ .‬כל פוטנציאל הוא בעיה רדיאלית נפרדת אשר לה אינסוף פתרונות‪ .‬מקובל‬ ‫לקבל ערכים שלמים מ‪-‬‬ ‫ועד‬ ‫אלה מכונים גם מצבי ) יש פתרונות עם‬ ‫מכונים גם מצבי ) יש פתרונות עם‬ ‫‪ .‬כך‪ ,‬עבור הפוטנציאל הקולוני ) (‬ ‫‪ .‬למצבים העצמיים של ) (‬ ‫‪ .‬וכך הלאה‪ .‬ראה איור להלן‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪ ,‬מצבים‬ ‫‪ ,‬מצבים אלה‬ ‫‪9‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫משוואת שרדינגר הרדיאלית היא כעת‪:‬‬ ‫) (‬ ‫נכפיל ב‪-‬‬ ‫) (‬ ‫)) (‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫ונקבל‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫)) (‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫נגדיר‪:‬‬ ‫) (‬ ‫ל‪( ) -‬‬ ‫) (‬ ‫שני תנאי שפה‪:‬‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫הבה נבחן את המשוואה הדיפרנציאלית הרדיאלית בגבול‬ ‫) (‬ ‫כל עוד‬ ‫)) (‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫‪:‬‬ ‫איננו אפס בדיוק מתקיים הגבול הבא כאשר‬ ‫)‬ ‫ולכן ) (‬ ‫‪ .‬נרשום אותה כך‪:‬‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫מקיימת את המשוואה הרדיאלית האסימפטוטית הבאה‪:‬‬ ‫) (‬ ‫ומכאן‪ ,‬נובע כי‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪ .‬זהו פיתרון האסימפטוטי‪ .‬ובהצבה נקבל‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫נשים לב כי‬ ‫מסקנה חשובה‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫תדעך לאפס בגבול‬ ‫חייב להיות ממשי וחיובי כדי שהפונקציה‬ ‫‪ .‬מכאן‪ ,‬עולה‬ ‫‪ ,‬האנרגיה של המצבים הקשורים‪ ,‬היא בהכרח שלילית! הדבר מתאים לתמונה קלאסית‪ ,‬כי‬ ‫אם יש אנרגיה שלילית‪ ,‬פירושו שהחלקיק אינו יכול "לצאת מהבור הקולוני"‪.‬‬ ‫שימו לב כי משמעות הפתרון האסימפטוטי היא‪ ,‬שהפתרון המדוייק איננו בהכרח בדיוק‬ ‫אלא‪ ,‬שזהו החלק‬ ‫הדועך הכי מהר עם גדילת ‪ .‬כמו בפתרון של האוסצילאטור ההרמוני‪ ,‬אפשר להניח אקספוננט כפול פולינום‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫בחרנו צורה זו של הפונקציה כך שהתנאי השני‪:‬‬ ‫) (‬ ‫מתקיים אוטומטית‪ .‬הצבה במשוואת שרדינגר‬ ‫) (‬ ‫המלאה מאפשרת קביעת מקדמי החזקות‪.‬‬ ‫פתרונות עבור‬ ‫‪ :‬הבה נציב את הניחוש‬ ‫)‬ ‫‪ .‬קיים‪:‬‬ ‫) (‬ ‫()‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫ומכאן‪:‬‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫לבסוף‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫ברור שכדי שהמשוואה תחול על כל‬ ‫הגודל‬ ‫הגודל‬ ‫(‬ ‫שני הצדדים חייבים להתאפס‪::‬‬ ‫מכונה רדיוס בוהר ‪ .Bohr Radius‬מהפתרון האסימפטוטי קיים גם‪:‬‬ ‫מכונה אנרגיית הרטרי ‪ .Hartree Energy‬שני הגדלים‬ ‫במערכת יחידות המכונה יחידות אטומיות‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫הם היחידות לאורך ואנרגיה בהתאמה‬ ‫‪11‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫במערכת יחידות אטומיות‪ ,‬האנרגיה נמדדת ביחידות של‬ ‫ביחידות של מסת האלקטרון‬ ‫‪ ,‬האורך ביחידות של רדיוס בוהר‬ ‫‪ ,‬המטען ביחידות של מטען האלקטרון‬ ‫אטומיות‬ ‫והזמן ביחידות‬ ‫‪ ,‬המסה‬ ‫‪ .‬ביחידות‬ ‫‪ .‬אלה יחידות נוחות במיוחד לעבודה עם אלקטרונים באטומים‬ ‫ומולקולות‪ .‬לפרטים נוספים אודות יחידות אטומיות – ראו טבלה להלן‪.‬‬ ‫מצאנו פתרון המכונה מצב‬ ‫של אטום המימן‪ .‬פונקציית הגל הרדיאלית היא‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫המצב הבא הינו באופן כללי‪:‬‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫למעשה פונקציית גל מוגדרת תמיד עד כדי קבוע כיפלי‪ .‬כך‪ ,‬יש שתי אפשרויות האחת היא ש‪-‬‬ ‫אפשר להניח‬ ‫ואז יש רק הנעלם‬ ‫); השניה היא ש‪-‬‬ ‫ואז‬ ‫ממנו קובעים את האנרגיה (כי מהניתוח האסימפטוטי‪ ,‬תמיד קיים‪:‬‬ ‫ואז חייבים למצוא מהם‬ ‫כלומר‪ ,‬אפשר להניח ש‪-‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫(וממנו שוב‪ ,‬את האנרגיה)‪.‬‬ ‫נתחיל באפשרות הראשונה‪ ,‬כלומר נניח שפונקציית הגל היא‬ ‫) (‬ ‫קיים‪:‬‬ ‫) ( )‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫ומכאן‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) ( )‬ ‫הצבה במשוואת שרדינגר ושימוש בזהות‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫תתן‪:‬‬ ‫)‬ ‫כדי שיתקיים השוויון לכל‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫חייבים כל המקדמים של החזקות השונות של‬ ‫תנאים‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪11‬‬ ‫(‬ ‫להתאפס‪ .‬לכן‪ ,‬מתקיים שני‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫ראינו של‬ ‫‪12‬‬ ‫במקרה זה‪ ,‬כלומר זהו מצב ‪ p‬וקיים‪:‬‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫כעת לגבי האפשרות השניה בה‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫‪ .‬אז פונקציית הגל היא‪:‬‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫וקיים‪:‬‬ ‫) ( )‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫) ( ) )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) () ( )‬ ‫) ( ))‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫) ( )‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫הצבה במשוואת שרדינגר וצמצום ב ) ( ‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫נכפיל ב‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫ישנו רק אבר‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫שימוש בזהות‬ ‫(‬ ‫אחד המכפיל את‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫ולכן איבר זה חייב להתאפס‪ .‬זה יקרה רק אם‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫"הורג" את האיבר החופשי והלינארי ב ‪:‬‬ ‫) ( )‬ ‫‪12‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪ .‬ואז נוותר עם‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪13‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫ומכאן‪:‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫נציב אלה בפונקציות הגל ונקבל פונ' ‪ s‬עם צומת אחת‪ ,‬כלומר זהו מצב‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫המעורר הראשון‪:‬‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫במפתיע‪ ,‬לפונקציות ‪ 2s‬ו‪ 2p -‬יש אותה אנרגיה‪ ,‬למרות שהן פונ' גל של שני המילטוניאנים שונים‪.‬‬ ‫ניתן בשיקולים דומים למצוא את ) (‬ ‫והכרכים העצמיים‬ ‫) (‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪ .‬בסוף התהליך מקבלים שהפונקציות העצמיות הרדיאליות‬ ‫עבור‬ ‫מקיימים את התכונות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .‬האנרגיה תלויה רק ב‪-‬‬ ‫‪ ,‬המכונה מספר קוואנטי ראשי‪ ,‬הוא מספר טבעי‪.‬‬ ‫ולא ב‪: -‬‬ ‫‪ .‬רואים שהרמות הולכות ומצטופפות ככל שעולה המספר הקוונטי הראשי ‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫חייב להיות גדול או שווה ל‪ , -‬כלומר‪ ,‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ .3‬האנרגיה‬ ‫הראשי‬ ‫המתאימה למספר קוואנטי ראשי‬ ‫‪.‬‬ ‫מנוונת‬ ‫פעמים‪ .‬הסבר‪ :‬למספר הקוונטי‬ ‫יש המצבים העצמיים הבאים‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫רואים‪,‬שהמספר הקוונטי מקבל ערכים‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫‪ ,‬וכל ערך תורם‬ ‫שונים)‪ ,‬כלומר הניוון הכולל של רמה ‪ n‬הוא‪:‬‬ ‫)‬ ‫(∑‬ ‫‪13‬‬ ‫(‬ ‫מצבים עצמיים ( ‪-‬ם‬ ‫‪14‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫‪ .4‬הפונ' הרדיאליות הראשונות (עד כדי נרמול) מתוארות על ידי הטבלה‪ .‬רואים שלפונקציות הגל‬ ‫הרדיאליות יש גם כן צמתים‪ .‬אלה מכונים צמתים רדיאליים‪ .‬נסמן‬ ‫‪Description‬‬ ‫‪Radial node‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪Function‬‬ ‫‪Name‬‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫‪Spherical shell‬‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫‪2‬‬ ‫) (‬ ‫‪Point‬‬ ‫‪Two spherical shells‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) √‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪Spherical shell‬‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪Point‬‬ ‫טבלת יחידות אטומיות‬ ‫בטבלה להלן מוגדרות "יחידות אטומיות"‪ .‬שלושת הגדלים ‪ e, , m e‬מוגדרים כ‪-‬‬ ‫הפיזיקאלים נמדדים לעומתם‪:‬‬ ‫‪14‬‬ ‫"‪ ."5‬שאר הגדלים‬ ‫‪15‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫‪Table2 : Atonic units‬‬ ‫ביחידות‬ ‫גודל פיזיקאלי‬ ‫(סימון‬ ‫אטומיות‬ ‫ביחידות ‪SI‬‬ ‫סטנדרטי)‬ ‫יחידת מטען אלמנטרית‬ ‫‪e‬‬ ‫יחידת מסה אלמנטרית‬ ‫מסת אלקטרון ‪me‬‬ ‫‪kg‬‬ ‫יחידת פעולה אלמנטרית‬ ‫קבוע פלאנק‬ ‫‪Js‬‬ ‫יחידת מרחק‬ ‫רדיוס בוהר‪:‬‬ ‫יחידת אנרגיה‬ ‫אנרגיית הרטרי (פעמיים אנרגיית‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫רידברג)‪:‬‬ ‫יחידת זמן‬ ‫‪Eh‬‬ ‫מהירות האור‬ ‫‪a 0E h‬‬ ‫אלקטרון וולט‬ ‫מסת פרוטון‬ ‫‪1836 me‬‬ ‫‪Eh K‬‬ ‫‪me‬‬ ‫פרמיטטיויות של הריק‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪kB‬‬ ‫‪3.167‬‬ ‫‪eV‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E ha 0‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(קיים‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪)k‬‬ ‫מיני ‪ -‬מילון גרעינים וקליפות‬ ‫מצבים עם אותו מספר קוואנטי ראשי‬ ‫אטומית‪ .‬הקליפה עם‬ ‫‪ ,K‬זו עם‬ ‫מכונה קליפה‬ ‫(מצב אחד בלבד) מכונה קליפת‬ ‫(‪ 4‬מצבים) מכונה קליפת ‪: L‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪5.29177‬‬ ‫‪Eh‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2.419‬‬ ‫‪Eh‬‬ ‫‪10 8 m s‬‬ ‫‪2.998‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪kg‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1.054‬‬ ‫‪27.21 eV‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪mp‬‬ ‫‪1823‬‬ ‫‪0‬‬ ‫קבוצת‬ ‫‪19‬‬ ‫‪me‬‬ ‫‪4.360 10‬‬ ‫‪Eh‬‬ ‫(‪)AMU‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪137.036‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10 -9 m‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.03675 E h‬‬ ‫יחידת‬ ‫‪31‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9.109‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫קבוע בולצמן‬ ‫מסה‬ ‫‪2 RH‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אטומית‬ ‫‪me e 2‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1.602‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kg m 2 s‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪1.602‬‬ ‫‪1.672 10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1.381‬‬ ‫‪eV‬‬ ‫‪mp‬‬ ‫‪kB‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫בתוך קליפה נתונה‪ ,‬קבוצת‬ ‫‪16‬‬ ‫…‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫…‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪K‬‬ ‫=‪n‬‬ ‫המצבים העצמיים עם אותו מספר קוואנטי מכונה תת‪-‬קליפה סימוני התת‪-‬‬ ‫קליפה הם‪:‬‬ ‫מקובל לכנות את תת הקליפה עם‬ ‫ו‪-‬‬ ‫בקיצור‬ ‫…‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫…‬ ‫‪g‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ .‬בתת‪-‬קליפה זו יש שלושה מצבים עם‬ ‫‪.‬‬ ‫צורה ויזואלית לפונקציות הגל‬ ‫משמאל‪ 1s ,‬מימינו ‪2s -‬‬ ‫) ‪( x y  z‬‬ ‫)‪( x y  z‬‬ ‫למטה‪ ,‬משמאל ‪p z‬‬ ‫‪16‬‬ ‫=‪l‬‬ ‫‪17‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫) ‪( x y  z‬‬ ‫‪17‬‬ ‫) ‪( x y  z‬‬