מבוא לטופולוגיה 80516
מבוא לטופולוגיה 80516
אור דגמיor@digmi.org ,
13ביולי 2012
אתר אינטרנטhttp://digmi.org :
סיכום הרצאות של פרופ׳ רון ליבנה בשנת לימודים 2012
הספר שילווה את הקורס הוא הספר Munkres - Topology a First Course
התרגילים יהיו כ 10%מציון הקורס והבחינה כ .90%ציון תרגילים יהיה 70%אחוז מהתרגילים הטובים ביותר אבל
הגשת כל התרגילים היא חובה.
1
תוכן עניינים
1
2
3
4
מרחבים מטריים
1.1
1.2
מבוא למרחבים מטריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מטריקות שקולות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
1.3
מטריקות על מרחבי מכפלה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
מרחב טופולוגי
2.1
2.2
הגדרת המרחב הטופולוגי וטופולוגיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מרחבים טופולוגיים הנוצרים ממטריקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
2.4
טופולוגיה מצומצמת לתת מרחב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
בסיס של טופולוגיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
2.5
טופולוגיית הסדר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.6
קבוצות סגורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
העתקות בין מרחבים טופולוגים
7
15
3.1
רציפות ורציפות נקודתית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1רציפות ורציפות נקודתית במרחבים מטריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
3.2
הומיאומורפיזם . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
20
מכפלה של מרחב טופולוגי
מכפלה של יותר משני מרחבים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מכפלה אינסופית של מרחבים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
22
הפרדה
5.1ניסוחים שקולים לתכונת ההפרדה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
26
דוגמאות למרחבים נורמליים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.2
6
8
8
8
4.1
4.2
5
4
35
קשירות
6.1
תכונות בסיסיות של קשירות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
6.2
קומפקטיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
הכללה של מושגים מאינפי
7.1
7.2
44
רציפות במידה שווה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משפטי ויירשטראס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
44
7.3
7.2.1קומפקטיות מקומית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מרחבי מנה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
47
7.4
7.5
קבוצת קנטור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
העקום של פיאנו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
50
2
תוכן עניינים
8
תוכן עניינים
51
החבורה היסודית
8.1
מבוא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
8.2
הכנות לקראת בניית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π1
52
3
פרק 1
מרחבים מטריים
1.1
מבוא למרחבים מטריים
אוסף הדוגמאות החשוב ביותר בקורס זה הוא ״מרחבים מטריים״.
הגדרה 1.1.1מרחב מטרי :קבוצה ) (X, dכאשר Xקבוצה ו־ d : X × X → Rפונקציה ״מטריקה״ המקיימת את התכונות:
d (x, y) ≥ 0 .1ומתקיים x = y ⇐⇒ d (x, y) = 0
d (x, y) = d (y, x) .2
) d (x, y) + d (y, z) ≥ d (x, z) .3״אי שיוויון המשולש״(
הערה 1.1.2אינטואיציה לאי שיוויון המשולש .תארו לעצמכם משולש עם קודקודים x, y, zאזי המרחק בין xל zקטן או שווה למרחק
בין xל + yהמרחק בין yל .z
דוגמה X = Rn 1.1.3ו:
(
) ~x = (x1 , . . . , xn
) ~y = (y1 , . . . , yn
נגדיר על Xשלוש מטריקות.
| = |y1 − x1 | + |y2 − x2 | + . . . + |yn − xn
1/2
2
2
2
=
) (y1 − x1 ) + (y2 − x2 ) + . . . + (yn − xn
| max |yi − xi
1≤i≤n
✩
)dL1 (x, y
)dL2 (x, y
)dL∞ (x, y
=
מטריקת ,L1המטריקה האוקלידית ) ,L2מטריקת מכפלה פנימית( ומטריקת ∞.L
תרגיל :להראות כי אלה אכן מטריקות .החלק היחידי שאינו טריוויאלי הוא אי שיוויון המשולש ל .dL2
כלומר להראות כי אם גם ) ~z = (z1 , . . . , znאז:
sX
sX
sX
2
2
2
≤ ) (zi − xi
(zi − yi ) +
) (yi − xi
i
i
✬
i
ומוכיחים ע״י אי שיוויון קושי שוורץ.
✫
✪
n
המטריקות האלה כולן באות מנורמות על המרחב הויקטורי .Rאנו יודעים כי kxk ≥ 0 ,kx + yk ≤ kxk+kykושיוויון ⇒⇐ .x = 0
וגם .α ∈ R kαxk = |α| kxk :מטריקת L2באה ממכפלה פנימית.
4
.1.2מטריקות שקולות
פרק .1מרחבים מטריים
הערה 1.1.4הוכחה של מטריקת dL2בעזרת קושי שוורץ.
yi − xi = ai
נחזור להתבונן במקרה של Rnלנוחות נסמן
zi − yi
= bi
(
ואז zi − xi = ai + biועלינו להראות:
)) dL2 ((x1 , . . . , xn ) , (y1 , . . . , yn )) + d ((y1 , . . . , yn ) , (z1 , . . . , zn )) ≥ d ((x1 , . . . , xn ) , (z1 , . . . , zn
כלומר אנו רוצים להראות כי:
2
) (ai + bi
sX
i
≥ b2i
sX
a2i +
i
sX
i
יספיק לבדוק אחרי העלאה בריבוע:
ai b i
X
b2i + 2
i
X
a2i +
i
X
2
= ) (ai + bi
i
X
≥ b2i
sX
sX
a2i
i
b2i + 2
X
a2i +
i
i
X
i
כלומר נשאר להראות
2
ai b i
X
≥ b2i
X
i
a2i
X
i
⇒ ai b i
X
i
≥ b2i
sX
i
a2i
sX
i
אי שיוויון קושי שוורץ מאלגברה לינארית .ולכן סיימנו.
תזכורת 1.1.5תזכורת להוכחה:
a2i = λ2 A + λB + C
X
ai b i +
X
b2i − 2λ
X
(ai − λbi )2 = λ2
X
i
≤0
P
P
P
כאשר B = −2 ai bi ,A = b2iו .C = ai
ומכיוון ש .0 ≤ Aλ2 + Bλ + Cהדיסקרימיננטה שלו ≥ ) 0אחרת יש שני שורשים ולן תקום בו שלילי( .נקבל .B 2 − 4AC ≤ 0
B 2 ≤ 4AC
2
X
X X
4
ai b i ≤ 4
a2i
b2i
דוגמה 1.1.6תהי Xקבוצה כלשהי ,המטריקה הדיסקרטית על Xהיא:
(
1 x 6= y
= )ddis (x, y
0 x=y
הוכחה טריוויאלית.
1.2
מטריקות שקולות
הגדרה 1.2.1מטריקות שקולות :שתי מטריקות d, d′על אותה קבוצה ,Xנקראות שקולות אם קיימים קבועים A, B > 0כך שלכל
d (x, y) ≤ Ad′ (x, y) ,x, y ∈ Xוגם.d′ (x, y) ≤ Bd (x, y) :
הערה ) 1.2.2שלי(
זה כמובן שקול ל:
)˜ ′ (x, y) ≤ d (x, y) ≤ Ad′ (x, y
Bd
עבור
1
B
=˜
B
5
.1.3מטריקות על מרחבי מכפלה
פרק .1מרחבים מטריים
על Rnהמטריקות ∞dL1 , dL2 , dLשקולות.
)ndL∞ (x, y
≤
}|{z
≤
}|{z
)dL1 (x, y
הקבוע הוא n
✠
הקבוע הוא 1
הקבוע הוא 1
אבל אינן שקולות ל ddisעל ) Rnכאשר כמובן (n ≥ 1
✟
)dL2 (x, y
≤
}|{z
)dL∞ (x, y
הערה 1.2.3חסר כאן את dL2שוב ,אבל בתכלס שקילות מטריקות זה יחס שקילות אז זה לא באמת קריטי .כי זה כן מראה ששניהן
שקולות ל ∞.dL
תרגיל :לא מיידי אבל מומלץ:
כל המטריקה על Rnהמתקבלת מנורמות ,שקולות) .נניח ל
☛
✡
∞(dL
טענה 1.2.4
יהי ) (X, dמרחב מטרי Y ⊂ Xתת קבוצה אזי ניתן למצם את dלמטריקה dYעל dY (y1 , y2 ) = d (y1 , y2 ) .Yלכל .y1 , y2 ∈ Y
הוכחה :מיידי שזו מטריקה.
נאמר כי ) (Y, dYהוא תת מרחב מטרי של ).(X, d
1.3
מטריקות על מרחבי מכפלה
יהיו ) (X, dXו ) (Y, dYמרחבים מטריים .נגדיר על קבוצת המכפלה X × Y
= )) d1 ((x, y) , (x′ , y ′
) dX (x, x′ ) + dY (y, y ′
q
2
2
)) (dX (x, x′ )) + (dY (y, y ′
= )) d2 ((x, y) , (x′ , y ′
= )) d∞ ((x, y) , (x′ , y ′
)) max (dX (x, x′ ) , dY (y, y ′
אלה אכן מטריקות .אי־שוויון המשולש ל d2נובע מקושי שוורץ .מאוד דומה למקרה של מטריקה אוקלידית.
אפשר כמובן להכפיל כל מספר סופי של גרומים ואף ניתן להכפיל מספר בן מנייה של מרחבים מטריים
המכפלה:
∞}) {(Xi , di
i=1
∞
} Xi = {(xi )i=1 | x ∈ Xi
∞
Y
i=1
ניתן להגדיר מטריקה ע״י:
) di (xi , yi
) 1 + di (xi + yi
= ) ρi (xi , yi
ואז:
) 2−i ρi (xi , yi
∞
X
∞
∞
= ) d ((xi )i=1 , (yi )i=1
i=1
טור של מספרים ≤ ≤2−i ,0המחובר ה 0 ≤iולכן הטור מתכנס.
סימטריה מיידית ≥ 0 .מיידי = 0 ,אמ״מ xi = yiלכל iמיידי.
את אי שיוויון המשולש נוכיח בשני שלבים:
שלב א׳:
למה 1.3.1
יהי ) (X, dמרחב מטרי ונגדיר ρ : X × X → Rע״י
)d(x,y
)1+d(x,y
= ) ρ (x, yאזי ρמטריקה.
6
על קבוצת
פרק .1מרחבים מטריים
.1.3מטריקות על מרחבי מכפלה
הוכחה :רק אי שוויון המשולש אינו מיידי.
יהיו ,x, y, z ∈ Xנסמן:
)d (x, y
)d (y, z
= a
= b
)d (x, z
= c
צריך להוכיח כי:
b
c
a
+
≥
1+a 1+b
1+c
הפונקציה
t
1+t
→ t 7היא מונוטונית כי:
t
1
=1−
1+t
1+t
וברור כי זה מונוטוני עולה ,ומאי שיוויון המשולש עבור המטריקה dאנו יודעים כי a + b ≥ cולכן יספיק להראות:
b
a+b
a
+
≥
1+a 1+b
1+a+b
נכפיל במכנה המשותף ונקבל:
?
)a (1 + b) (1 + a + b) + b (1 + a) (1 + a + b) ≥ (a + b) (1 + a) (1 + b
נבחין כי האגף השמאלי הוא:
2
)(a + b) + (a + b) + 2ab (1 + a + b
ואילו הימני:
)(a + b) + (a + b)2 + ab (a + b
כלומר קיבלנו כי האי שיוויון נכון אם:
2 (1 + a + b) ≥ a + b
וזה בבירור נכון.
השלב השני :כעת מיידי ש ) 2−i ρ (xi , yi
∞
P
אכן מגדיר מטריקה על Xi
i=1
∞
Q
כנדרש.
i=1
הערה 1.3.2מכיוון שהמטריקה ρחסומה )ע״י (1היא לא שקולה למטריקה המקורית dלמשל עובר )(R, L
7
פרק 2
מרחב טופולוגי
2.1
הגדרת המרחב הטופולוגי וטופולוגיה
ההגדרות המרכזיות של הקורס:
הגדרה 2.1.1טופולוגיה Uעל קבוצה Xהיא אוסף U = {Uα }α∈Iשל תתי קבוצות Uαשל I) Xקבוצת אינקס( .הקבוצות Uα
נקראות הקבוצות הפתוחות של הטופולוגיה ) Uאו של המרחב הטופולוגי( והן נדרשות לקיים את התכונות הבאות:
X .1ו∅ שייכות ל) Uכלומר נחשבות לפתוחות(
S
S
.2איחוד Uβ
של פתוחות הוא פתוח )אם כל U ∋ Uβאזי גם ( Uβ ∈ U
β∈J
.3חיתוך של שתי פתוחות גם הוא פתוח )ולכן באינדוקציה חיתוך סופי של פתוחות של פתוח(.
הגדרה 2.1.2מרחב טופולוגי הוא זוג ) (X, Uכאשר Xקבוצה ו Uטופולוגי על X
דוגמה 2.1.3כל הקבוצות Xיש שתי טופולוגיות שבאות בחינם:
.1הטופולוגיה הטריוויאלית }Utriv = {∅, X
.2הטופולוגיה הדיסקרטית) Udis = P (X) :כל תתי הקבוצות של ,Xקבוצת החזקה של (X
כל טופולוגיה חייבת להיות בניהן.
הגדרה 2.1.4יהיו U1 , U2שתי טופווגיות על קבוצה Xאם U1 ⊂ U2נאמר ש U1חלשה יותר מ ) U2טריוויאלית הכי חלשה(
U2חזקה יותר מ ) U1דיסקרטית הכי חזקה(
2.2
מרחבים טופולוגיים הנוצרים ממטריקה
מקרה חשוב מאוד של מרחבים טופולוגיים :מרחב הנוצר ממטריקה
הגדרה 2.2.1כדור פתוח :הכדור הפתוח ברידוס ) rהגדול מאפס( סביב X) x ∈ Xמטרי d ,המטריקה( הוא:
}Br (x) = {y ∈ X | d (y, x) < r
הגדרה 2.2.2יהי ) (X, dמרחב מטרי ,תת קבוצה U ⊂ Xתקרא פתוחה אם היא איחוד כלשהו של כדורים פתוחים
דוגמה 2.2.3
∅ .1האיחוד על קבוצת האינקדסים ריקה של כדורים = פתוחה.
8
פרק .2מרחב טופולוגי
.2.2מרחבים טופולוגיים הנוצרים ממטריקה
: X .2
)Br (x
[
= )B1 (x
[
x∈X
0<r.x∈X
פתוח.
ברור כי איחוד של פתוחות הוא פתוח.
למה 2.2.4
קבוצה Uבמרחב מטרי Xהיא פתוחה ⇒⇐ לכל x ∈ Uקיים r > 0כך ש Br (x) ⊂ U
הוכחה ⇒ :מאוד פשוט .לכל x ∈ Uנבחר 0 < rכך ש ) U ⊃ Brx (xאזי:
[
[
=U
⊆ }{x
Brx (x) ⊆ U
x∈U
S
x∈U
ולכן Uהיא איחוד של כדוריםBrx (x) :
S
⇐ :תהי ) Brα (uα
= Uאיחוד של כדורים פתוחים .ותהי u ∈ Uאזי קיים αכך ש ) u ∈ Brα (uαאם״ם δ = d (u, uα ) < rα
=.U
x∈U
α∈I
אזי נסמן ε = rα − δחיובי ממש .ונטען:
) Bε (u) ⊂ Brα (uα
אם נוכיח זאת סיימנו כי אז בוודאי .Bε (u) ⊂ Uתהי ) y ∈ Bε (uאזי d (y, u) < ε :ולכן:
d (y, uα ) ≤ d (y, u) + d (u, uα ) < ε + δ = rα
ולכן ) y ∈ Brα (uαכנדרש.
מסקנה 2.2.5
חיתוך של סופי של פתוחות U1 ∩ . . . ∩ Unהוא פתוח.
הוכחה :אם y ∈ U1 ∩ . . . ∩ Unקיימים כדורים Bri (y) ⊂ Uiלכל iואז אם ) r = min (riבוודאי Ui
1≤i≤n
קיבלנו על כל מרחב מטרי טופולוגיה הנקראת הטופולוגיה המטרית.
n
T
i=1
⊂ ) Br (yכנדרש
הגדרה S2.2.6הטופולוגיה המטרית על המרחב :בהינתן מרחב מטרי ) ,(X, dהטופולוגיה המטרית על המרחב היא } {Uiכאשר = U0
) Brβ (xβ
כאשר .xβ ∈ X , rβ > 0
β∈J
זאת אומרת U0 ,הוא איחוד של כדורים פתוחים אם״ם לכל x ∈ U0קיים כדור פתוח ) Br (xכך ש Br (x) ⊂ U0
הערה 2.2.7כדור פתוח הוא תמיד קבוצה פתוחה
הגדרה 2.2.8מרחב טופולוגי :קבוצה Xעם טופולוגיה Uעליה ) (X, Uנקרת מרחב טופולוגי.
מוטיב מרכזי בקורס
נתבונן בתכונות של מרחבים מטריים מוכרים מהמקרה של Rnוננסה להעביר אותן למרחבים טופולוגיים.
למה 2.2.9
אם d1ו d2 :מטריקות שקולות על Xאזי הן מגדירות את אותה טופולוגיה
הוכחה :אם d2 ≤ Cd1אז לכל x, yמתקיים .d2 (x, y) ≤ Cd1 (x, y) :הכדור ) (U
) (d1
) (d
BCr2 (U ) ⊃ Brוכמו כן ,בכיוון השני.
בפרט הטופולוגיה ב Rnשבאה מנורמה כלשהיא )נורמה על מרחב וקטורי( אינה תלויה בנורמה )ז״א ,לכל נורמה יש את אותה
הטופולוגיה(.
☞
✎
d
ρ = 1+dגם מטריקה על Xלמרות שלא שקולה לה .אבל היא בכל זאת מגדירה את אותה טופולוגיה כי הפונקציה
תרגיל :ראינו כי
t
t 7→ 1+tרציפה עם הפוך רציף.
✍
✌
9
פרק .2מרחב טופולוגי
.2.3טופולוגיה מצומצמת לתת מרחב
הערה 2.2.10המטריקה הדיסקרטית על קבוצה Xמגדירה את הטופולוגיה הדיסקרטית :כל תת קבוצה היא פתוחה }.B 12 (x) = {x
בטופולוגיה הרגילה על Rnהקבוצה } {xאינה פתוחה.
אם ב Xיש לפחות שתי נקודות אזי הטופולוגיה הטריוויאלית } {∅, Xאינה באה משום מטריקה כי x 6= yנסמן ב ).r = d (x, y
אזי הכדור x ∈ Br/2 (x) 6∋ yאינו שייך לטופולוגיה.
דוגמה 2.2.11בטופולוגיה הרגילה על Rהקטע ] [0, 1אינו פתוח כי אין שום קטע פתוח ) (−ε, εסביב 0המוכל בו.
2.3טופולוגיה מצומצמת לתת מרחב
הגדרה 2.3.1יהי ) (X, Uמרחב טופולוגי ,תהי Y ⊂ Xתת קבוצה .נגדיר על Yאת הצמצום של . U |Y = {U ∩ Y }U∈U :U
טענה 2.3.2
זו טופולוגיה
הוכחה:
X ∩ Y = Y ,∅ ∩ Y = ∅ .1
!
S
S
Uβ ∩ Y .2
= ) (Uβ ∩ Y
β∈J
∩ Y .3
Ui
n
T
i=1
β∈J
= ) (U1 ∩ Y ) ∩ (U2 ∩ Y ) ∩ . . . ∩ (Un ∩ Y
מההגדרה ברור כי הטופולוגיה מ = d |Yצמצום הטופולוגיה על (X, d) Yמרחב מטרי .Y ⊂ X
)(X, d) −→ (X, U
↓
↓
צמצום ל־ Y
) (Y, d|Y ) ⇆ (x, U |U
צמצום ל־ Y
נקבל את אותה התוצאה אם הטופולוגיה מתקבלת ממטריקה ואז מצמצמים או אם מצמצמים את המטריקה ואז לוקחים את
הטופולוגיה.
אם Yקבוצה פתוחה ב ) (X, Uאזי הקבוצות הפתוחות ב Yבטופולוגיה המושרית ) U ∩ Yגאשר Yפתוחה ב (Xהן בדיוק הקבוצות
הפתוחות של Xשהן מוכלות ב .Y
הערה 2.3.3אם Yאינה פתוחה זה לא נכון.
דוגמה 2.3.4לטופולוגיה לא מטרית :מרחב ה־ X = {x, y} : 2שתי נקודות שונותU = {∅, X, {x}} .
2.4
בסיס של טופולוגיה
הגדרה 2.4.1בסיס של טופולוגיה :תהי Xקבוצה ,בסיס על Xהוא אוסף Bשל תתי קבוצות המקיים:
S
.1לכל x ∈ Xאז קיים B ∈ Bכך ש) .x ∈ B :שקול לBj :
= (X
j∈J
x ∈ A ∩ B A, B ∈ B .2אז קיים Cכך ש.x ∈ C ⊂ (A ∩ B) :
משפט 2.4.2
.1הכדורים הפתוחים במרחב המטרי מהווים בסיס.
S
.2תהי Xקבוצה עם בסיס BונגדירBα | Bα ∈ B :
∈U= U
α∈I
אזי Uטופולוגיה ו B ∈ Bפתוחה בה.
10
פרק .2מרחב טופולוגי
.2.5טופולוגיית הסדר
טענה 2.4.3
האוסף {Uα } = Uשל קבוצות של איחודים Bj
S
= Uαמקיים את הטופולוגיה.
j∈Jα
הוכחה) ∅ ∈ U :לוקחים את האיחוד הריק ∅ = (Jα
. Jα = J X ∈ U
איחודים של אברי Uהם ב ) Uברור(
חיתוך של שני איברים ב) Uולכן חיתוכים סופיים ,באינדוקציה( הם ב .U
S
S
מתכונת הבסיס 2נקבל Bj
= Bj ,U1
= U2אז:
j∈J1
j∈J2
(Bi ∩ Bj ) = U1 ∩ U2
[
= Bk
[
} {∃i∈J1 ∃j∈J2 | Bk ⊂Bi ∩Bj
i ∈ J1
j ∈ J2
כנדרש.
למרחבים מטריי הכדורים הפתוחים מקיימים את התחכונות של בסיס )הטופולוגיה שהם מגדירים )הפתוחות הן בדיוק האיחודים של
כדורים פתוחים( היא הטופולוגיה המטרית.
2.5טופולוגיית הסדר
הגדרה 2.5.1תהי Xקבוצה סדורה בסדר מלא )> (X,
.1לכל X ∋ x, yמתקיימת בדיוק אחת האפשרויות x < y :או y < xאו .x = y
.2אם x > yוגם y > zאז x > z
סימונים סטנדרטיים x = y ⇐⇒ x ≥ y , y < x ⇐⇒ x > y :או .x > y
דוגמה 2.5.2
R .1
.2קבוצה חלקית לקבוצה בסדר מלא כמו Z, N, Q
הגדרה 2.5.3אינטרבל :תהי Xסדורה בסדר מלא .אינטרבל ב Xהיא קבוצה מהצורה } (a, b) = {x | a < x < bאו:
} (a, ∞) {x | a < xאו (−∞, b) = {x | x < b} :או Xכולה.
טענה 2.5.4
תהי )> (X,קבוצה סדורה בסדר מלא אזי האינטרבלים מקיימים את תכונות הבסיס
הוכחה X :בעצמה אינטרבל ,לכן התכונה הראשונה היא טריוויאלית.
התכונה השניה :נבחין כי אם ) x ∈ (a, b) ∩ (c, dאזי.max (a, c) < x < min (b, d) :
באופן דומה לכל האפשרי האפשרויות האחרות.X = (−∞, ∞) ,min (a, ∞) = a ,max (a, −∞) = a :
הטופולוגיה המתקבלת נקראת ״טופולוגיית הסדר״.
על )> (R,היט הטופולוגיה המטרית כי זה אותו בסיס.
יש כאן הרבה למות טריוויאליות שלא נוכיח כגון:
למה 2.5.5
שתי טופולוגיות Uו Vעל אותו מרחב Xאזי Bבסיס ל Uאם כל B ∈ Bפתוחה ב Vאזי V ⊃ Uכלומר Uחלשה יותר.
11
.2.6קבוצות סגורות
2.6
פרק .2מרחב טופולוגי
קבוצות סגורות
הגדרה 2.6.1קבוצה סגורה :יהי ) (X, Uמרחב טופולוגי .תת קבוצה Aשל Xתקרא סגורה אם המשלים שלה X\Aפתוחה )כלומר
ב(U
נבחין כי כל הדברים שעבדו על קבוצות פתוחות ניתן כעת להפעיל על קבוצות סגורות בעזרת דה־מורגן.
כל תכונה טופולוגית אפשר לנסח בשימוש בקבוצות סגורות.
עקרון כללי
למשל:
X, ∅ .1פתוחות ⇒⇐ ∅ X,סגורות.
S
Uα .2
פתוח כאשר Uαפתוחות ⇒⇐
Aα
α∈I
הוכחה(X\Aα ) :
T
= Aα
α∈I
S
\X
T
של סגורות סגור.
α∈I
α∈I
U1 ∩ U2 .3חיתוך שתי קבוצות פתוחות פתוח ⇒⇐ איחוד A1 ∪ A2שתי סגורות סגור )מספר סופי באינדוקציה(
טענה 2.6.2
במרחב מטרי ) (X, dתת קבוצה X ⊃ Aסגורה ⇒⇐ לכל סדרה } A ⊃ {anכך ש (x ∈ X) an −→ xמתקיים בהכרח .x ∈ A
∞→n
)״קבוצה היא סגורה אם״ם היא מכילה את נקודות הגבול שלה״(
הוכחה :תהי Aסגורה an −→ x , an ∈ A ,צ״ל כי .x ∈ A
∞→n
∈ xאזי x ∈ A\Xשהיא פתוחה .ולכן יש r > 0כך ש ) .X\A ⊃ Br (xולכן אם a ∈ Aאזי d (a, x) ≥ r :כיוון
נניח בשלילה / A
שאם הוא קטן a ,יושב בכדור ברדיוס rואז הוא בהכרח במשלים! לכן סתירה כיוון שלא ייתכן ש an −→ xמכיוון שעבור ε = r
∞→n
לא קיים n0כך שלכל .d (an , x) < ε = r n > n0
כיוון שני:
נניח ש Aמכילה את כל נקודות הגבול שלה נרצה להראות כי היא סגורה.
על מנת לעשות זאת נוכיח שהמשלים שלה פתוחה .נניח בשלילה כי X\Aאינה פתוחה ,לכן קיימת X ∈ X\Aכך ששום כדור )Br (x
אינו מוכל ב X\Aאזי לכל n ∈ Nהכדור ∅ = .B1/n (x) ∩ A 6נבחר an ∈ B1/n (x) ∩ Aונקבל סדרה anכך ש d (an , x) < n1אז
∈ .A ∋ an −→ xוזו סתירה לנתון.
/A
∞→n
הערה 2.6.3יש ספרים שבהם זה מנוסח כך שבמרחב מטרי סגירות של תת קבוצה היא שקולה לסגירות סדרתית.
הגדרה 2.6.4כדור סגור (X, d) :מרחב מטרי ,כדור סגור יסומן } Br (x) = {y ∈ X | d (x, y) ≤ rכאשר x ∈ Xו .r > 0
טענה 2.6.5
כדור סוגר הוא קבוצה סגורה.
הוכחה :אפשר להוכיח את הטענה ב 2דרכים שונות
☎
✆
הוכחה א נראה כי המשלים פתוח.
תרגיל :השלמה כתרגיל .ניסיתי לגרום לרון לעשות את זה ,אך הוא סרב.
✞
✝
הוכחה ב׳ מראים סגירות סדרתית.
נניח כי ) an ∈ Br (xאז an −→ y ∈ Xאזי ) .d (y, x) ≤ d (y, an ) + d (an , xיהי ε > 0אם nמספיק גדול אז d (y, an ) < ε
∞→n
ואז:
d (y, x) ≤ d (y, an ) + d (an , x) ≤ ε + r
ולכן d (y, x) ≤ rכי זה נכון לכל 0 < εכלשהו.
12
פרק .2מרחב טופולוגי
.2.6קבוצות סגורות
הערה 2.6.6ב= (0, 1) R
1
n
−
∞
S
1
n, 1
n=2
∈0
אינה קבוצה סגורה .כיוון שהסדרה )/ (0, 1
1
→−
∞→n n
∋ ).(0, 1
באותו אופן חיתוך אינסופי של פתוחות לא חייב להיות פתוח )עוברים למשלימים(.
הערה A ⊂ X 2.6.7כאשר Xמרחב טופולוגי ,אז הטופולוגיה המושרית )מ Xעל (Aהסגורות הן חיותכים Y .A ∩ Yסגורה ב X
אם Aסגורה ב Xהן סגורום גם ב .Xאחרת Aסגורה ב Aאך לא ב.X
הגדרה 2.6.8סגור :יהי Xמרחב טופולוגי .A ⊂ X ,הסגור של Aב Xתהיה הקבוצה הסגורה המינימלית ב Xהמכילה את Aוהיא
תסומן ב .A
\
=A
C
Cסגורה ב X
Cמכילה את A
הגדרה 2.6.9פנים :הפנים של קבוצה A ⊂ Xהיא הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר המוכלת ב .A
[
= ◦int (A) = A
U
Uפתוחה ב X
Aמכילה את U
מיידי מההגדרה:
◦X − A
X −A
||
\
X− C
הגדרה 2.6.10קבוצה צפופה:
= X −A
=
=
◦
)(X − A
||
[
)(X − C
Xמרחב טופולוגי A ⊂ X ,תת קבוצה .נאמר כי Aצפופה ב Xאם .A = X
הגדרה 2.6.11סביבה :יהי Xמרחב טופולוגי U ,x ∈ Xתת קבוצה כלשהי ב Xהיא סביבה של xאם קיימת קבוצה פתוחה Vכך
ש ) x ∈ V ⊂ Uאם״ם ◦ .(x ∈ U
טענה 2.6.12
במרחב טופולוגי A ∪ B = A ∪ Bלכל A, Bתתי קבוצות של .X
הוכחה ⊆ :מיידי A ⊆ A ∪ B .וגם . B ⊆ A ∪ B
נראה ⊇ A ∪ B .היא סגורה כאיחוד 2סגורות המכילה את A ∪ Bולכן היא מכילה את הסגור .כלומר .A ∪ B ⊇ A ∪ B
הערה A ∩ B ⊃ A ∩ B 2.6.13אבל Q = Rאבל גם .R − Q = Rלכן ∅ = ) Q ∩ (R − QאבלR = Q ∩ R − Q ) :
∅ = )Q ∩ (R − Q
הגדרה 2.6.14שפה:
Xמרחב טופולוגי A ⊂ X ,תת קבוצה .השפה של Aהיא ◦ A − Aותסומן.∂A :
תכונות:
∂ (X − A) = ∂A .1
∂A = A ∩ (X − A) .2
נבחין כי 1 ⇐ 2משיקולי סימטריה.
נשאלת השאלה ,האם ) Br (x) = Br (xהאם ) Br (x) = Br (xלכל מרחב מטרי r > 0 .Xו .x ∈ X
התשובה היא לא .במטריקה הדיסקרטית ,אם ניקח את הכדור הסגור ברדיוס 1הוא כל המרחב ,ואילו הכדור הפתוח הוא רק נקודה.
◦
13
פרק .2מרחב טופולוגי
.2.6קבוצות סגורות
טענה 2.6.15
במרחב מטרי ) (X, dהסגור של A ⊂ Xהוא אוסף נקודות הגבול של סדרות מתכנסות an −→ xכאשר an ∈ Aו .x ∈ X
∞→n
הוכחה :נוכיח כי Aהוא אוסף נקודות הגבול הנ״ל ע״י הכלה בשני כיוונים.
נניח כי an ∈ Aוכי ,an −→ x ∈ Xצריך להראות כי .x ∈ Aתהי Vסגורה המכילה את .Aמסגירות סדרתית x ∈ Vולכן
∞→n
T
V
∈ .x
Vסגורה המכילה את x
n
o
אנו רוצים להראות כיוון שני ,נתבונן באוסף נקודות הגבול .Y = x ∈ X | ∃an −→ x ,נבחין כי A ⊂ Yכי עבור כל a ∈ A
∞→n
נקח את הסדרה הקבועה an = aוהיא כמובן מתכנסת ל.a
בנוסף ,אנו יכולים להגיד כי Yסגורה אם yn ∈ Yו yn → y ∈ Xאז קיימת an ∈ Aכך ש ) . n1 > d (an , yn
אזי:
d (y, an ) < d (y, yn ) + d (yn , an ) −→ 0 + 0 = 0
∞→n
ולכן y ∈ Yהראינו Yסגורה ו A ⊂ Yלכן A ⊆ Yמש״ל.
14
פרק 3
העתקות בין מרחבים טופולוגים
3.1
רציפות ורציפות נקודתית
הגדרה 3.1.1העתקה f : X → Yבין מרחבים טופולוגיים היא פונקציה מהקבוצה Xלקבוצה .Y
הגדרה 3.1.2העתקה פתוחה :נאמר שהעתקה fהיא פתוחה ,אם ) f (Uפתוחה ב Yלכל Uפתוחה בX
הגדרה 3.1.3העתקה סגורה :נאמר שהעתקה fהיא סגורה אם ) f (Vסגורה ב Yלכל Vסגורה ב.X
הגדרה 3.1.4העתקה רציפה :נאמר שהעתקה fהיא רציפה אם ) f −1 (Wפתוחה ב Xלכל Wפתוחה ב .Y
הערה f 3.1.5רציפה אם״ם ) f −1 (Zסגורה ב Xלכל Zסגורה ב Yכי:
)f −1 (Y − Z
|
{z
}
=
⇐⇒ f (x)∈Z
⇒⇐ /
x
)X = f −1 (Z
} | {z
x
לעומת זאת fסגורה לא גורר כי fפתוחה ולהפך.
זו אחת הסיבות לכך שמושג הפונקציות הרציפות שימושי יותר ממושג הפונקציה הפתוחה\סגורה.
דוגמה 3.1.6השיכון (0, 1) → Rכאשר העתקה מעבירה כל נקודה לעצמה.
הפונקציה היא רציפה מפני ש U ⊂ R :פתוחה אזי U ∩ (0, 1) :פתוחה ב).(0, 1
הפונקציה פתוחה מפני ש :אם ) U ⊂ (0, 1פתוחה ,אזי קיימת B ⊂ Rכך ש ) U = B ∩ (0, 1ואז ב Rנקבל כי Uגם פתוחה )כי
היא חיתוך סופי של פתוחות ו) (0, 1פתוח ב(R
דוגמה 3.1.7השיכון .[0, 1) → R
הפונקציה רציפה מפני ש U ⊆ Rפתוחה א ) U ∩ [0, 1פתוחה ב ] (0, 1מהגדרת טופולוגיה מושרית.
הפונקציה לא פוחה או סגורה מפני ש ) [0, 1פתוחה וסגורה ב ) [0, 1אבל לא ב .R
דוגמה [0, 1] → R 3.1.8
הפונקציה רציפה גם כן ,כמו בדוגמאות הקודמות.
הפונקציה סגורה ולא פתוחה
הטיעונים שהשתמשנו בהם נכונים לכל העתקת תת מרחב למרחב עצמו כאשר התת קבוצה סגורה/פתוחה/לא וזה ולא זה.
הערה 3.1.9על כל מרחב טופולוגיה העתקת הזהות ממנו לעצמו היא גם רציפה ,סגורה ,ופתוחה.
הגדרה 3.1.10רציפה בנקודה:
של x ∈ X
f : X → Yרציפה בנקודה x ∈ Xאם לכל סביבה Vשל ) f (xב Yמתקיים ש ) f −1 (Vסביבה
15
פרק .3העתקות בין מרחבים טופולוגים
.3.1רציפות ורציפות נקודתית
טענה 3.1.11
התנאים הבאים שקולים לרציפות f : X → Y
f −1 (B) .1פתוחה לכל B ,B ∈ Bבסיס ל .Y
f .2רציפה נקודתית בכל x ∈ X
הוכחה ⇐ 1 :רציפות :נניח Uפתוחה ב Yאזי Bα
S
α
= Uכאשר : Bα ∈ B
fרציפה → פתוחה כאיחוד פתוחות → ) f −1 (Bα
[
=
α
!
Bα
[
−1
(U ) = f
−1
f
α
רציפות⇐ :2תהי Vסביבה של ) f (xאזי f (x) ∈ U ⊂ V :כאשר Uפתוחה ב f −1 (U ) .x ∈ f −1 (U ) ⊂ f −1 (V ) .Yפתוחה ב
f −1 (V ) ⇐ Xסביבה של .X
⇐ 2רציפות :תהי Vפתוחה ב Yצריך להוכיח כי ) f −1 (Vפתוחה ב Xלכל ) x ∈ f −1 (Vמתקיים כי Vהיא סביבה של )f (x
)פתוחה המכילה את .f (x)Sלכל ) f −1 (Vהיא סביבה של Ux ⊂ f −1 (v)⇐Xפתוחה ב Xכאשר x ∈ Xו Uxתלויה ב .xאזי
) Ux = f −1 (V
ולכן פתוחה כאיחוד פתוחות.
) x∈f −1 (V
3.1.1
רציפות ורציפות נקודתית במרחבים מטריים
טענה 3.1.12
יהיו ) (X, dXו (Y, dY ) :מרחבים מטריים.f : X → Y .
f .1רציפה נקודתית ב x ∈ Xאם״ם לכל xn → xמתקיים f (xn ) → x
f .2רציפה נקודתית ב x ∈ Xאם״ם לכל ε > 0קיים δ > 0כך ש אם
לכל dX (x, x′ ) < δאז dY (f (x) , f (x′ )) < ε
הוכחה :נוכיח את 2
) (dX
(f (x)) ⊃ Bδ
רציפות נקודתית ⇒⇐ נקח כדור ברדיוס < εסביב ) f (xאזי קיים δ > 0כך ש )(x
) (d
Bε Y
✁ תרגיל :להשלים את הפרטים
✟
✠
הערה 3.1.13אם ) f −1 (Vפתוחה ב Xלכל Vבבסיס של הטופולוגיה של Yאזי fרציפה )וכמובן גם ההפך(
תרגיל :לנסח את הטענה המקבילה נקודתית.
לכל Vבבסיס ל Yהמכילה את ) f −1 (V ) ,f (xסביבה של xאו מכילה קבוצה Aש x ∈ Aבבסיס של .X
למה 3.1.14
הרכבת פונקציות רציפות היא רציפה.
g
f
הוכחה :די ברור כי X → Y → Z :ל Wפתוחה ב ,Z
}
) g −1 (W
} | {z
פתוחה ב Yמרציפות g
{z
W = f −1
פתוחה ב Xמרציפות f
|
ולכן הנדרש.
טענה 3.1.15
תהי f : X → Yהעתקה בין מרחבים טופולוגיים אזי התנאים הבאים שקולים:
16
−1
) (gf
−1
.f
✄
✂
☛
✡
.3.1רציפות ורציפות נקודתית
פרק .3העתקות בין מרחבים טופולוגים
f .1רציפה.
S
.2לכל כיסוי פתוח {Uα }αל) Xכלומר Uαפתוחה ( Uα = X ,כך ש
α
f |Uαרציפה.
.3לכל כיסוי סופי בסגורות V1 , . . . , Vnל ) Xכלומר Viפתוחה ו:
n
S
( Vi Xכך ש f |V1רציפה לכל .i
i=1
f A ⊂ f (A) .4לכל .A ⊂ X
ועוד הרבה תנאים שראינו.
הערה 3.1.16קיים ל Xכיסוי בפתוחות X = Xפתוחה וזה גם כיסוי סגור סופי.
f
X → Y
הוכחה :נראה :2 ⇐ 1
↑ ր
Uα
הרכבת fבשיכון רציפה .כלומר f |Uαרציפה כנדרש כי ראינו ששיכון היא תמיד רציפה.
:1 ⇐ 2נסמן fα = f |Uαותהי Vפתוחה ב .Yעלינו להראות כי ) f −1 (Vפתוחה ב.X
[
[ −1
= f −1 (V ) ∩ Uα
) fα (V
= ) f −1 (V
α
α
פתוחה כאיחוד פתוחות ב Uαולכן גם ב Xכי Uαפתוחה בו.
:3 ⇐ 1אותה הוכחה כמו .2 ⇐ 1
:1 ⇐ 3לכל Wסגורה ב Yנרצה להראות כי
סגור ב = Xסגורות ב X
n
[
i=1
−1
= ) (f |Vi ) (W
|
{z
}
סגורה ב Viמרציפות f |Viולכן סגורה ב Xכי Viסגורה בX
n
[
i=1
= f −1 (W ) ∩ Vi
n
[
= ) f −1 (W
i=1
:4 ⇐ 1תהי .A ⊂ Xמספיק להראות כי f A ⊂ Wלכל Wסגורה ב Yהמכילה את ) f (Aמתקיים f −1 (W ) ⊃ Aלכל W
סגורה ב Yהמכילה את ) .f (Aבודאי שעבור Wכזו ) .A ⊂ f −1 (Wאבל ) f −1 (Wגם סגורה ולכן מכילה את Aכנדרש.
:1 ⇐ 4אנו יודעים כי )f A ⊂ f (A
? :4 ⇐ 1רון לא הצליח להחליט אם היא הטענה נכונה או לא .היא כן .יש אותה בסיכומים אחרים .יושלם כאן .אולי.
טענה 3.1.17
יהי Xמרחב טופולוגי f, g : X → Rרציפות אזי g · g ,f + gרציפות .אם f (x) 6= 0אזי
רציפה בה(
1
f
רציפה ב) xוגם קיימת סביבה ב Xש f
הוכחה :יספיק להראות רציפות נקודתית בכל נקודה .יהי .a ∈ Xיהי .ε > 0ומרציפות fב f −1 Bε/2 (f (a)) aסביבה
} | {z
קטע פתוח ב Rבאורך ε
פתוחה של .aומסיבה דומה )) g −1 Bε/2 (g (aהיא סביבה פתוחה של .a
אם xבחיתוך של הסביבות הנ״ל .אזי |f (x) − f (a)| < 2εוגם |g (x) − g (a)| < 2εולכן:
ε ε
+ =ε
2 2
< |)|(f + g) (x) − (f + g) (a
לגבי כפל:
שוב נראה רציפות נקודתית ב .a ∈ Xיהי .ε > 0נסמן ) M = max (|f (a)| + 1, |g (a)| + 1יהי
))) f −1 (Bδ (f (a))) ∩ g −1 (Bδ (g (aהיא פתוחה ב xהמכילה את .aלכל :x ∈ U
|f (x) − f (a)| < δ
17
ε
2M
= δאזי = U
פרק .3העתקות בין מרחבים טופולוגים
.3.2הומיאומורפיזם
ולכן:
≤ |)|f (x) g (x) − f (a) g (a)| ≤ |f (x)| |g (x) − g (a)| + |g (a)| |f (x) − f (a
≤ |f (x)| δ + |g (a)| δ ≤ |f (a)| δ + |f (a) − f (x)| δ + |g (a)| δ
(M − 1) δ + δ 2 + (M − 1) δ = δ (2M − 2 + δ) < 2M δ < ε
אם אנו דורשים גם ) δ ≤ 1ולכן בהגדרה נדרוש גם זאת(.
הערה 3.1.18הוכחה נוספת לשני המקרים יחדיו:
למה 3.1.19
אם f : X → Rרציפה וגם g : X → Rרציפה אזי (f, g) (x) = (f (x) , g (x)) ,(f, g) : X → R :רציפה.
))(Bε (a) × Bε (a)) = f −1 (Bε (a)) ∩ g −1 (Bε (a
−1
)(f, g
פתוחה כחיתוך פתוחות ומכילה את ) aכאשר ) Bε (a) × Bε (aכדור פתוח בנורמת ∞ Lשהיא נותנת את אותה טופולוגיה(.
כעת נשתמש בהוכחה מאינפי כך ש R × R → Rעם פעולת החיבור והכפל הן רציפות .וע״י הרכבה:
)(f,g
חיבור
X → R×R → R
שההרכבה רציפה אבל ההרכבה היא .f + g
ההוכחה לכפל אנלוגית.
f
} = U → R − {0} → R − {0סביבה של aבXשבה f 6= 0
x→1/x
מרציפות
שפתוחה(
3.2
1
x
על } R − {0ההרכבה רציפה .לכן f |Uרציפה נקודתית ב aולכן fרציפה נקודתית ב U ) aסביבה של aניתן להניח
הומיאומורפיזם
הגדרה 3.2.1הומיאומורפיזם :הומיאומורפיזם בין מרחבים טופולוגיים היא העתקה f : X → Yכאשר X, Yהם מרחבים טופולוגיים
שהיא חח״ע ,על ורציפה עם הפוך רציף.
הערה f : X → Y 3.2.2חח״ע ,על ורציפה יכולה להיות עם הפוך שאינו רציף.
לדוגמה Xעם שתי נקודות לפחות וטופולוגיה דיסקרטית .ואילו Yאותה קבוצה עם הטופולוגיה הטריוויאלית .ואזId : X → Y :
היא רציפה אבל) Id : Y → X :ההפוך של העתקה הקודמת( אינה רציפה כי לכל נקודה Id−1 ({x}) = {x} ,x ∈ Xאינה פתוחה
בטופולוגיה הטריוויאלית .בעוד } {xפתוחה בטופולוגיה הדיסקרטית.
הגדרה 3.2.3מרחבים הומיאומורפים :מרחבים טופולוגיים Xו Yיקראו הומיאומורפיים אם קיים הומיאומורפיזם f : X → Y
הערה 3.2.4היה צריך לאמר Xהומיאומורפים ל Yולהוכיח סימטריה אבל....
למה 3.2.5
הומיאומורפיזם הוא יחס שקילות )בפרט סימטרי(
Id
הוכחה X → X :רפלקסיבי.
f −1
f
Y → X ,X → Y־ סימטריה.
g
f
g◦f
,X → Y → Zאז X → Zטרנזטיביות.
הערה 3.2.6מרחבים טופולוגיים הומיאומורפיים הם ״אותו דבר״ טופולוגית .פרט לשינוי שמות האיברים אין כלל הבדל(.
18
.3.2הומיאומורפיזם
✔
✕
פרק .3העתקות בין מרחבים טופולוגים
תרגיל :תהיינה A, Bפתוחות וקמורות ב (∅ 6=) Rn
)לכל y, x ∈ Aהקטע xyמוכל ב Aוכן ב = Bקימורות(
אזי B, Aהומאומורפיזם בטופולוגיה המושרית )בפרט קוביה פתוחה וכדור פתוח הם ״אותו הדבר״ טופולוגית )הומאומורפיים(.
מספיק להניח שדמויות ככב סביב ) b0 ∈ B ,a0 ∈ Aקטע a0 aמוכל ב Aלכל (a ∈ A
דוגמה 3.2.7הקטע ) R ,(a, ∞) ,(a, bכולם הומאומורפיזמים.
✗
✖
יש המון דוגמאות שראינו אלפי פעמים אז לא נחזרות עליהן .לעומת זאת [0, 1] ,אינה הומאומורפית ל )) (0, 1למרות שיש בניהן
העתקה חח״ע ועל כקבוצות( .לכל העתקה רציפה ב ] [0, 1ל Rהתמונה חסומה ממשפט ויירשטראס )אפשר להשתמש בו כי ראינו
שבמרחב מטרי ההגדרה שלנו לרציפות שקולה לרציפות רגילה( אבל ב) (0, 1התמונה לא בהכרח חסומה.
19
פרק 4
מכפלה של מרחב טופולוגי
יהיו Y, Xמרחבים טופולוגיים .נגדיר טופולוגיה על קבוצת המכפלה X × Yשתיקרא טופולוגיית המכפלה .היא תוגדר ע״י בסיס:
} Uפתוחה ב V ,Xפתוחה ב B = {U × V | Y
Bאיננו סגור תחת איחודים בד״כ אך מקיים את תכונות הבסיס.
B .1
S
B∈B
= X × Yכי היא נמצאת בבסיס.
.2לכל U ′ × V ′ ,U × Vבסיסיות ) .(x, y) ⊂ (U × V ) ∩ (U ′ × V ′נגדיר .V ′′ = V ∩ V ′ ,Ui′′ = U ∩ U ′אזי U ′ו V ′פתוחות
וגם:
)) (x, y) ∈ (U ′′ , V ′′ ) ⊂ ((U × V ) ∩ (U ′ × V ′
התכונה הכי חשובה של טופולוגיית המכפלה היא:
משפט 4.0.8
יהיו X1 , X2ו Yמרחבים טופולוגיים אזי f : Y → X1 × X2 :רציפה אם״ם שתי ה״קואורדינטות״ שלה רציפות .זאת אומרת:
f1 : Y
→ X1
f2 : Y
→ X2
רציפות.
הוכחה :נסמן ) .f (y) = (f1 (y) , f2 (y)) .f = (f1 , f2
נניח f1 , f2רציפות .תהי U1 × U2פתוחה בבסיסים ב .X1 , X2אזי:
פתוחה = ) f −1 (U1 × U2 ) = {y ∈ Y | (f1 (y) , f2 (y)) ∈ U1 × U2 } = f1−1 (U1 ) ∩ f2−1 (U2
על מנת להוכיח את הכיוון השני ,נוכיח תחילה את הלמה הבאה:
למה 4.0.9
ההטלות πi : X1 × X2 → Xiכאשר } i ∈ {1, 2רציפות.
הוכחה :בה״כ U ∈ Xמתקיים ) B ∋ U × X2 = π1−1 (Uובפרט פתוחה.
20
פרק .4מכפלה של מרחב טופולוגי
.4.1מכפלה של יותר משני מרחבים
הטלות פתוחות? סגורות?
הערה 4.0.10הם S
תהי ) α (U1α × U2αפתוחה כללית נבחין כי:
פתוחה = U1α
[
α
=
!
U1α × U2α
[
π1
α
ולכן היא אכן פתוחה .האם סגורה? כתרגיל.
כעת ,נניח כי fרציפה .מכאן , f1 = f ◦ π1ולכן g1רציפה כהרכבת רציפות וכן .f2
טענה 4.0.11
X, Yמרחבים טופולוגיים f : X → Y .רציפה אם״ם ) f A ⊂ f (Aלכל .A ⊂ X
הוכחה ⇐ :תהי A ⊂ Xכלשהי אזי ) f (Aסגורה ב .Yמרציפות f −1 f (A) :fסגורה ב .Xבוודאי מכילה את ,Aלכן מכילה
את ) Aקבוצה סגורה המכילה את Aבהכרח מכילה את .(Aוזה בדיוק אומר כי.f A ⊂ f (A) :
נראה את ⇒:
−1
נרצה להראות ש fהיא רציפה .תהי B ⊂ Yסגורה ,נרצה להראות כי ) A = f (Bסגורה ב .Xכלומר ,A = Aיספיק
להראות A ⊆ Aכיוון שהכלה בכיוון השני היא מהגדרת הסגור .מהנתון ) .f A ⊂ f (Aאבל f (A) ⊆ Bו Bסגורה ,אזי גם
A ⊆ f −1 (B) = A⇐ f A ⊂ f (A) ⊆ Bכנדרש.
נחזור לדון בהטלהת האם היא סגורה?
נכון השארנו זאת כתרגיל ,אבל בואו נפתור אותו.
נתבונן במרחבים X = Y = Rולכן .X × Y = R2הטופולוגיה המוכרת על R2מזדהה עם טופולוגיית המכפלה.
הבסיס לטופלוגיית ∞ Lעל R2היא המלבנים הפתוחים .הבסיס לטופולוגיית המכפלה מכיל אותם .מצד שני כל קבוצת בסיס
בטופולוגיית המכפלה היא U × Vכאשר U, Vבפתוחות ב ⇐⇒ Rאיחוד קטעים פתוחים לכן הטופולוגיות מתלכדות.
נתבונן בהיפרבולה:
H = (x, y) ∈ R2 | xy = 1
נחשוב על הקבוצה הזו ועל ההטלה שלה ל .Rהדוגמה הזו תראה כי הן אינן סגורות.
הערה 4.0.12בכל מקרה ,לפונקציה ) f : X → Yגם רציפה( לא בהכרח מתקיים:
)Y − f (A) 6= f (X − A
A⊂X
4.1מכפלה של יותר משני מרחבים
נתבונן בשלושה מרחבים X, Y, Zאנו יכולים לכפול באופן הבא (X × Y ) × Z :או.X × (Y × Z) :
הקבוצות הבסיסיות .U × V × Wהבסיסים על X × Y × Zשונים אבל מגדירים את אותה טופולוגיה .כלומר:
!
[
[
×U
(Vβ × Wβ ) ,
(Uα × Vα ) × W
α
β
הם לא אותם בסיסים .אבל כן מדובר באותה טופולוגיה.
באינדוקציה על X1 × . . . × Xnמרחבים טופולוגיים .טופולוגיית המכפלה מוגדרת דרך בסיס U1 × . . . × Unכאשר Uiפתוחה ב .Xi
X = X1 × . . . × Xnמרחב .אם U1 × . . . × Un :ו־ V1 × . . . × Vnבסיסיות ו ) (x1 , . . . , xnבחיתוך אזי:
) (x1 , . . . , xn ) ∈ (U1 ∩ V1 ) × . . . × (Un ∩ Vn
פתוחה בסיסית המוכלת בחיתוך.
21
פרק .4מכפלה של מרחב טופולוגי
.4.2מכפלה אינסופית של מרחבים
משפט 4.1.1
יהיו Y, X1 , . . . , Xnמרחבים מטריים אזי הפונקציה f : Y → X1 × . . . × Xn :רציפה אם״ם כל פונקציות הקואורדינטות שלה רציפות.
fi = πi ◦ f : Y → xi
הערה 4.1.2סימוןf = (f1 , . . . , fn ) :
Y
הוכחה πi :רציפה כי ) ) Xj × Ui = πi−1 (Uiכאשר Uiפתוחה( פתוחה בסיסית ולכן פתוחה.
j6=i
}
{z
עם הסדר הנכון
|
לכן אם fרציפה בוודאי fi = πi ◦ fרציפה כהרכבת רציפות.
כיוון שני :אם כל fiרציפה אזי לפתוחה בסיסית Ui ) U1 × . . . × Unפתוחה ב ( Xi
) fi−1 (Ui
n
\
i=1
✘
= } fi (y) ∈ Ui
| f (y) ∈ U1 × . . . × Un } = {y ∈ Y
| f −1 (U1 × . . . × Un ) = {y ∈ Y
פתוחה כאיחוד של פתוחות ⇐ fרציפה כנדרש.
תרגיל :יהיו X1 , . . . , Xnו Y1 , . . . , Yn :מרחבים טופולוגיים fi : Xi → Yi .פונקציות אזי:
f = fi × . . . × fn : X1 × . . . × Xn → Y1 × . . . × Yn
רציפה ⇒⇐ כל fiרציפה.
✙
נרצה להתשמש במשפט שהראינו f : X → Y1 × . . . × Yn :רציפה ⇒⇐ כל fiרציפה.
האם מותר לנו? האם מותר להפריד משתנים?
נקח X = X1 × . . . × Xn
✛
✚
X −→ Yi
πi ◦f
אם אלה רציפות גם fרציפה.
הוכחה אלטרנטיבית ,ישירות מהגדרת הטופולוגיה.
תהי V1 × . . . × Vnפתוחה בסיסית ב Vi .Y1 × . . . × Ynפתוחה ב Yiהמקור
) f −1 (V1 × . . . × Vn ) = f1−1 (V1 ) × . . . × fn−1 (Vn
פתוח אם כל ) fi−1 (Viפתוח .וגם ההפך ברור.
כתרגיל לסיים בתי הדרכים.
4.2מכפלה אינסופית של מרחבים
תהי Iקבוצה Xαמרחב טופולוגי לכל α ∈ Iנרצה להגדיר את המכפלה Xα
S
כקבוצה זה ידוע :פונקציות f (α) ∈ Xα ,f : I → Xβלכל . α ∈ I
Q
) Iתושמט מהסימון לעיתים קרובות(
α∈I
β
על מרחב המכפלה נגדיר טופולוגיה )ע״י בסיס(
Q
פתוחה בסיסיתUα :
.כאשר Uαפתוחה ב Xαלכל .α ∈ I
α∈I
הטופולוגיה המתקבלת היא טופולוגיית המכפלה במקרה ש Iסופית .אבל במקרה הכללי טופולוגיה זו נקראת :טופולוגיית התיבות
)כיוון שהבסיס הוא ״תיבות״(.
למה לא טופולוגיית המכפלה?
בגלל התופעה הבאה:
22
פרק .4מכפלה של מרחב טופולוגי
.4.2מכפלה אינסופית של מרחבים
דוגמה I = N 4.2.1ו Xi = R :לכל i ∈ Nאז המכפלה היאR :
∞
Q
i=1
∞
= Xסדרות כלשהן {xi }i=1של ממשיים .כלומר.X = RN :
באופן הבא .∆ (x) = (x, x, x, . . .) :כלומר כל קואורדינטה היא פונקציית הזהות
העתקת האלכסון ∆ : R → Rnאשר
מוגדרת ∞
Q
fi
1
−1
Ui = −1קטע פתוח.
R → R .fi (x) = xבוודאי רציפה אבלUi :
∆ כאשר i , i
i=1
נבחין כי:
\
∞
1 1
1 1
− ,
− ,
=
}= {0
i i
i i
i=1
∈x∈R| x
=
!
Ui
∞
Y
∆−1
i=1
אינה פתוחה! כלומר ,העתקה זו איננה רציפה על אף שכל קואורדינטה שלה רציפה! המקור של פתוחה אינו פתוח.
Q
→ f : Yרציפה ⇒⇐ כל קואורדינטה היא רציפה אינו נכון )על פי רוב(
כלומר המשפט מהמקרה הסופי האומר כיXα :
α
למכפלות אינסופיות עם טופולוגיית התיבות.
אבל אנו כן רוצים שהתכונה הזו תתקיים ,לכן אנחנו נשנה את הטופולוגיה כך שזה כן יתקיים .נבנה טופולוגיה אחרת על Xα
α∈I
Q
שעבורה יתקיים כי f : Y → Xαרציפה אם״ם כל קואורדינטה רציפה.
Q
α
לצורך כך נגדיר:
הגדרה 4.2.2תיבה פתוחה גדולה :תיבה Uα
Q
תקרא פתוחה ״גדולה״ אם כל Uα = Xαפרט למספר סופי של .α
α
טענה 4.2.3
לכל אוסף {Xα }αשל מרחבים טופולוגיים ,התיבות הפתוחות הגדולות מהוות בסיס.
Q
הוכחה Xα :תיבה פתוחה גדולה ולכן בבסיס.
α
Q
Q
Q
Q
Q
בנוסף לשתי תיבות פתוחות גדולות Uαו Vα :אזי .(Xα )α ∈ (Uα ∩ Vα ) ,{Xα }α ∈ Uα ∩ Vα
α
α
α
α
α
Q
והמכפלה (Uα ∩ Vα ) :הוא תיבה פתוחה גדולה )פתוחה בסיסית בטופולוגיית התיבות ,בנוסף גם גדולה(.
α
כעת האפיון לרציפות )עם ההוכחה( מתקיים כמו במקרה הסופי.
הגדרה 4.2.4טופולוגיית המכפלה על Xα
הפתוחות הגדולות.
Q
)מכפלת מרחבים טופולוגים( היא הטופולוגייה הנוצרת על ידי הבסיס של התיבות
α
משפט 4.2.5
יהיו Y ,(Xα )α∈Iמרחבים טופולוגיים אזי הפונצקיה Xα
קואורדינטה רציפה.
הוכחה :ראשית ההטלהXβ → Xα :
β
Q
Q
α
→ f : Yרציפה )עבור טופולוגיית המכפלה על Xα
Q
α
( ⇒⇐ כל
pα :הן רציפות כי ל Uαפתוחה ב :Xα
Y
p−1
Xβ × U α
= ) α (Uα
β6=α
וזו תיבה גדולה .לכן ,אם fרציפה ,אזי ההרכבה pα f = fαשהיא הקואורדינטה ה αהיא רציפה.
כיוון שני :אם כל פונקציית קואורדינטות fαרציפה ,אזי לפתוחה בסיסית בטופולוגיית המכפלהUα :
נקבל
) fα−1 (Uα
\
α
Q
= Uכאשר התיבה גדולה
α
= }f −1 (U ) = {y ∈ Y | f (y) ∈ U } = {y ∈ Y | fα (y) ∈ Uα ∀α
חיתוך סופי של פתוחות ,כי אם Xα = Uαאזי ) U = fα−1 (Uαאפשר להשמיט את האינדקס ה αבחיתוך.
לסיכום ,טופולוגיית המכפלה נקראת כך כי היא מקיימת את משפט הרציפות הנבחנת בקואורדינטות .זה אינו נכון לטופולוגיית
התיבות שהיא חזקה יותר )במקרה האינסופי ,על פי רוב( .למכפלות סופיות טופולוגיית התיבות מתלכדת עם טופולוגיית המכפלה.
23
פרק .4מכפלה של מרחב טופולוגי
.4.2מכפלה אינסופית של מרחבים
משפט 4.2.6
כמרחב טופולוגי ) Cקבוצת קנטור( הומאומורפית לקבוצה }{01
על Xα
Q
∞
Q
i=1
עם טופולוגיית המכפלה על } {0, 1היא הטופולוגיה הדיסקרטית.
הגדרנו 2טופולוגיות:
α∈I
.1טופולוגיית התיבות :בסיס של תיבות פתוחות Uα
Q
כאשר Uαהיא פתוחה ב .Xα
α∈I
.2טופולוגיית המכפלה :והבסיס הוא התיבות הפתוחות הגדולות.
במקרה השני מתקיים Xα :
Q
α
→ f : Yרציפה ⇒⇐ לכל פונקציות הקואורדינטות fα = π0 ◦ fרציפה לכל .α
הערה 4.2.7אם Iסופית שתי הטופולוגיות מתלכדות.
הערה 4.2.8הקבוצה Xα
Q
ריקה ⇒⇐ קיים αשעבורו Xαריקה ⇒) .טריוויאלי ⇐ .אקסיומת הבחירה(.
24
פרק 5
הפרדה
יהי ) (X, dמרחב מטרי אזי כל נקודה בה סגורה )קל להראות מהסדרות בקבוצה ,הסדרה היחידה היא הקבועה והיא מתכנסת
לנקודה שבקבוצה(.
⇐ המשלים לכל נקודה פתוח.
יהיו Q, Pנקודות שונות אז ) 0 6= d (Q, Pנבחר ) r = d (Q, Pאזי ) .∅ = Br (Q) ∩ Br (P
במרחב מטרי לכל Q, Pשונים קיימת סביבות פתוחות שאינם נחתכות.
הגדרה 5.0.9תהיינה B, Aקבוצה קבוצות במרחב טופולוגי Xשהן זרות .נאמר שניתן להפריד אותן זו מזו אם קיימות פתוחות זרות
A ⊆ U ,V, Uו .B ⊆ V
טענה 5.0.10
במרחב מטרי ניתן להפריד כל קבוצה סגורה.
ההוכחה תינתן בהמשך.
הגדרה 5.0.11יהי Xמרחב טופולוגי
.1נאמר ש Xמקיים את תכונת ההפרדה .T1אם לכל {x} ,x ∈ Xסגורה ב ) Xכל נקודה היא סגורה(
.2נאמר כי Xמקיים תכונת ההפרדה ) T2״ Xמרחב האוסדורף״( אם לכל x, y ∈ Xשונים קיימות פתוחות זרות V, Uכך ש:
x ∈ Uו .y ∈ V
∈ ) xשם
X .3מקיים תכונת הפרדה T3אם Xמקיים T1וגם כל נקודה xניתנת להפרדה מכל קבוצה סגורה Aשמקיימת / A
נוסף X :מרחב רגולרי(
X .4מקיימת תכונת הפרדה ) T4שם אחר ״ Xמרחב נורמלי (:אם Xמקיים T1וכל שתי סגורות זרות ניתנות להפרדה.
טענה 5.0.12
T4גורר T3גודד T2גורר .T1
∈ xאזי } {xו Aניתנות להפרדה.
הוכחה T4 :T3 ⇐ T4 :מקיים .T1כל נקודה } {xהיא סגורה ולכן מההגדרה אם / A
∈ xולכן הם ניתנון להפרדה.
:T2 ⇐ T3יהיו x, yשונים אזי מזה ש T3הוא גם {x} T1ו } {yסגורות וגם }/ {y
∈ Xואז:
:T1 ⇐ T2תהי x ∈ Xנראה ש } X\ {xפתוחה .לכל } y ∈ X\ {xקיימת פתוחה Vyכך ש / {x} ⊃ Vy ∋ y
[
[
[
[
⊂ Vu
= }X\ {x} = X\ {X
}Vy = X\ {x
⊂ }{y
= }X\ {x
y6=x
y
c
פתוחה .ולכן (X\ {x}) = {x} :סגורה.
25
}y∈X\{x
}y∈X\{x
.5.1ניסוחים שקולים לתכונת ההפרדה
5.1
פרק .5הפרדה
ניסוחים שקולים לתכונת ההפרדה
משפט 5.1.1
∈ .y
X .1הוא T1אם״ם לכל x 6= yקיימת פתוחה Uכך ש x ∈ Uו / U
X .2הוא T2אם״ם לכל x 6= yב Xקיימת Uפתוחה כך ש x ∈ Uו:
∈ .y
/U
X .3הוא T3אם״ם Xהוא T1וגם לכל A ⊆ Xסגורה x ∈ ACקיימת
∈ xו.A ⊂ U :
Uפתוחה כך ש / U
X .4הוא T4אם״ם Xהוא T1וגם לכל A, B ⊂ Xזרות קיימת פתוחה
Uכך ש A ⊂ Uו.U ∩ B = ∅ :
הוכחה:
c
:⇐ .1ל x 6= yנקיח } U U = {yפתוחה ו .x ∈ U
c
⇒ :לכל } x ∈ {yקיימת פתוחה x ∈ Ux ,כך ש } Ux ⊂ {yוכמו קודםUx :
c
S
x6=y
c
= } {yפתוחה.
:⇐ .2יהיו x 6= yב Xונפריד בפתוחות זרות Vו Uכך ש x ∈ Vו V c .y ∈ Uסגורה ומכילה את Uולכן את .U
∈ .y ∈ V ⇒ y
/ U .V ⊂ X\U ⇐V = X\V c
c
⇒ :ניקח Uכמו בתנאי V = Uפתוחה. ∅ = V ∩ U ,y ∈ V ,x ∈ U .
∈ xמכאן התכונה.
:⇐ .3תהי U ⊃ Aפתוחה V ∋ x ,פתוחה U, Vזרות אזי / X\V ⊃ U
⇒ :נגדיר V = X\Uואז V, Uפתוחות זרות המפרידות את Aמ }.{x
.4הוכחת השקילות כמו עבור T3ו .T2
הערה 5.1.2לקבוצה X ⊃ Cונקודה x ∈ Xנגדיר )d (x, C) = inf d (x, y
y∈C
אזי ∃yn ∈ C ⇐ d (x, C) ≥ 0
⇐.0 = inf (x, y) ,d (x, yn ) → 0
1
n
< ) d (x, ynואז yn → cולכן .x ∈ C :להפך x ∈ C ,אז ∃yn ∈ Cכך ש yn → x
y∈C
משפט 5.1.3
מרחב מטרי הוא .T4
הוכחה :יהי ) (X, dמרחב מטרי .לצורך שקיפות ההוכחה נראה תחילה )למרות שמיותר( ש Xהוא Y .T3סגורה ב x ∈ X ,Xו
∈ .xהמשלים ל Yפתוח ולכן יש כדור ) Br (xכך ש r > 0שאינו חותך את .Y
/Y
S
אזי )Br/2 (y
= Vפתוחה המכילה את U = Br/2 (x) .Yפתוחה המכילה את } {xומתקיים ∅ = U ∩ Vכי אם z ∈ U ∩ V
y∈Y
אזי ) z ∈ Br/2 (yלאיזשהו y ∈ Yאז:
d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) < r/2 + r/2 = r
וזו סתירה )כי ∅ = ).(y ∈ V ∩ Br (x
בקרה שלנו Z, Y ,סגורות זרות לכן 0 < d (y, Z) :לכל .y ∈ Y
)Bd(y,Z)/2 (y
[
=U
y∈Y
)Bd(z,Y )/2 (z
[
= V
z∈Z
ברור כי V, Uפתוחותץ Y ⊂ Uו .Z ⊂ Vנראה שהן זרות וסיימנו.
אם לא קיימת y ∈ Yו z ∈ Zכך ש ) .x ∈ Bd(y,Z)/z (y) ∩ Bd(z,Y )/z(zזה לא ייתכן .למשל בה״כ ) d (y, Z) ≥ d (z, Y
26
פרק .5הפרדה
.5.1ניסוחים שקולים לתכונת ההפרדה
ואז:
) d (y, z) d (z, Y
+
)> d (y, x) + d (z, x) ≥ d (y, z
2
2
≥ )d (y, z) ≥ d (y, Z
וזו סתירה.
טענה 5.1.4
הצכטנה הבאה שקולה ל T2עבור מרחב טופולוגי .Xהאלכסון } ∆ = {(x, x) ∈ X × X | x ∈ Xהיא סגורה ב X × Xץ
הוכחה :אם Xהאוסדורף נראה כי המשלים ∆\ X × Xפתוחה.
אם ) X × X\∆ ∋ (x, yאזי y 6= xולכן הם ניתנים להפרדה בפתוחות זרות y ∈ V ,x ∈ U ,V, U .ואז U × Vפתוחה ב X × X
אבל ∆ ∩ U × Vריקה .ולכן X × X\∆ :קבוצה פתוחה.
} | {z
)∋(x,y
∈ ) (x, yולכן המשלים ∆\ X × Xפתוחה ויש פתוחה בסיסית U ) U × V
להפך ,אם ∆ סגור ב X × Xיהיו y 6= xב Xאזי ∆ /
פתוחה ב Xו Vפתוחה ב (Xהמוכלת במשלים ומכילה את ) (x, yאז V, Uפתוחות המפרידות את xמ .y
משפט 5.1.5
T1
T1
.1יהי Xמרחב טופולוגי שהוא T2אזי כל תת מרחב שלו הוא T2
T3
T3
T1
T1
.2יהיו X, Yמרחב טופולוגיים שהם T2אזי X × Yהוא T2
T3
T3
הוכחה:
.1נראה :T1
יהי Y ⊂ Xאם Xהוא T1כל נקודה ב Yסגורה אפילו ב Xומהגדרת טופולוגיות תת מרחב סגורה גם ב .Y
נראה :T2
y1 , y2 ∈ Y ⊂ Xנתונות להפרדה בפתוחות זרות U, Vואז U ∩ Uו U ∩ Yפתוחות זרות ב Yומפרידות את y1מ .y2
נראה :T3
∈ yואז ניתן להפריד את yמB
אם A ,Y ⊂ Xסגורה ב Yו A 6∋ y ∈ Yאזי A = Y ∩ Bכש Bסגורה ב .בהכרח / B
מפתוחות זרות U, Vב Xואז V ∩ Y ,U ∩ Yפתוחות ב Yהמפרידות את yמ .
.2נראה :T1
בהינתן X, Yהם T1יהיו x ∈ Xו y ∈ Yצריך להוכיח }){(x, yסגורה.
למה 5.1.6
למה אם B ⊂ Y ,A ⊂ Xסגורות .אזי A × Bסגורה.
הוכחה:
)X × Y \A × B = (X\A) × Y ∪ X × (Y \B
פתוחות בסיסיות.
נראה :T2
X, Yהם ,T2נרצה להראות כי ) (x′ , y ′ ) 6= (x, yב X, Yניתנות להפרדה בפתוחות זרות.
לא קשה ,אבל צריך להפריד למקרים .במקום זה נשתמש בקריטריון האלכסון:
∼
∆X×Y
= ∆X × ∆Y ⊆ X × X × Y × Y
} | {z
∩
) (X × Y ) × (X × Y
27
.5.2דוגמאות למרחבים נורמליים
פרק .5הפרדה
לפי הלמה ,מכפלת סגורות סגורה .הומאומורפיזם פשוט:
) (x, y, x′ , y ′ ) ⇐⇒ (x, x′ , y, y ′
ומכיוון ש Y, Xהם T2אזי ∆Xו ∆Yסגורות .ולכן ∆X × ∆Yסגורה ואז מהלמה ∆X×Yסגורה ומקרטריון האלכסון
X × Yהאוסדורף.
נראה :T3
∈ ) X × Y ∋ (x, yנרצה להפריד .המשלים ל Aפתוחה(x, y) ∈ X × Y \A ,
אם X, Yהם ,T3תהי A ⊂ X × Yסגורה/ A ,
ולכן יש פתוחה בסיסית (x, y) ∈ U × Vכאשר Uפתוחה ב Xו Vפתוחה ב Yאבל .U × V ⊂ X × Y \A
מכיוון ש Xרגולרי ניתן להפריד את Xמ X\Uבפתוחות זרות או לפי הקריטריון השקול יש פתוחה U0ב Xכך ש ,x ∈ U0
.U ⊃ U0
אותו דבר ל .Yמרגולריות Yקיימת פתוחה V0ב Yכך ש y ∈ V0 ⊂ V0 ⊂ Vאזי U0 × V0סביבה פתוחה של ) (x, yב
X × Yאבל:
U0 × V0 = U0 × V0 ⊂ U × V ⊂ X × Y \A
ולכן מתקיים הקריטריון השקול ל .T3
הערה 5.1.7המעבר U0 × V0 = U0 × V0הוא מסקנה מהלמה .הוכחה כתרגיל.
5.2
דוגמאות למרחבים נורמליים
משפט 5.2.1
קבוצה סדורה היטב Xעם טופולוגיית הסדר היא מרחב טופולוגי נורמלי.
הערה 5.2.2בקבוצה סדורה היטה ,אינטרבל ] (a, bהוא קבוצה פתוחה .כי אם bאיבר אחרון ,זה מתלכס עם )∞ {a < x} (a,
אחרת יש ל bעוקב b′ואז זו ] (a, b′ ) = (a, b′
הוכחה :כל } {aכאשר a ∈ Xהיא סגורה בתור המשלים לפתוחה )∞ (−∞, a) ∪ (a,פתוחות בסיסיות .לכן Xהוא .T1
כעת תהיינה A, Bזרות וסגורות .אנו רוצים להפריד בפתוחות זרות.
לנוחות נניח קודם כל כי האיבר המינימלי x0של Xאינו ב Aואינו ב Bאזי לכל a ∈ Aקיים פתוחה בסיסית ] (xa , aזרה ל Bוכן
] (yb , bזרה ל Aלכל .b ∈ B
האיחודים:
[
= U
](xa , a
a∈A
](yb , b
[
=
V
b∈B
הן פתוחות זרות המפרידות את Aמ.B
נניח בשלילה כי הן אינן זרות ,כך ש־∅ = ,(xa , a] ∩ (yb , b] 6ונניח בה״כ .a < bבנוגע ל־ ,ybקיימות שתי אפשרויות:
,a ≤ yb .1ואז בהכרח האינטרוולים זרים.
∈ ,aבסתירה.
,a > yb .2ואז ) ,a ∈ (yb , bאבל )/ B ⊃ (yb , b
כעת ,נניח כי ,x0 ∈ Aונבחין כי } {x0גם סגורה וגם פתוחה :אם {x0 } = Xזה ברור ,ואחרת ,יהי x1העוקב שלו ,ואז
c
) {x0 } = (−∞, x1וכן )∞ .{x0 } = (x0 ,
אם כך A\ {x0 } , B ,סגורות וזרות וניתנות להפרדה בפתוחות זרות .A\ {x0 } ⊂ U, B ⊂ V ,אך אז } U ∪ {x0פתוחה שמכילה את
,Aו־} .B ⊂ V \ {x0
28
פרק .5הפרדה
.5.2דוגמאות למרחבים נורמליים
הגדרה 5.2.3קבוצה סדורה היטב )≥ (X,היא קבוצה כך שלכל X ⊃ Yשאינה ריקה קיים איבר מינמלי.
הערה 5.2.4סדר טוב הוא מלא ,לכל } X ⊃ {x, yגם קיים מינימלי ,נניח ,xאז .x ≤ y
דוגמה Z, R 5.2.5עם הסדר הרגיל אינן סדורות היטב .אבל Nסדורה היטב.
הקבוצה } N ∪ {ωכך ש n < ωלכל n ∈ Nהיא סדורה היטב .כך גם:
0, 1, . . . , ω, . . . , 2ω, ω + 1, . . . , ω 2 , ω 2 + 1, . . .
בניות
.1לכל סדורה היטב אפשר להוסיף איבר בסוף
.2לכל שרשרת עולה של סדורות היטב {Aα }α∈Iשבה אם α > βאזי Aβהיא רישא של Aαוגם Aα
למה 5.2.6
S
סדורה היטב.
α
לכל שתי קבוצות סדורות היטב יש דרך יחידה לתאר אחת כרישא של השניה .ז״א שאם A ≤ Bאו .B ≤ A
∼ ⇐⇒ Aל Aול Bיש את אותו טיפוס סדר.
הערה 5.2.7אם שתי האפשרויות מתקיימות ביחד ⇒⇐ = B
הערה 5.2.8על קבוצה סופית יש רק טיפוס סדר טוב יחיד ).(0 < 1 < . . . < n
על קבוצה בת מניה יש הרבה טיפוסי סדר טוב )אקסיומת הבחירה ⇒⇐ לכל קבוצה יש סדר טוב(.
נתבונן על כל טיפוסי הסדר על קבוצה בת מנייה )למשל .(N
נסדר אותם לפי סדר יחס הרישא0 < 1 < . . . < ω < ω + 1 < . . . < ω 2 < . . . :
ניקח את האיחוד העולה ונקבל קבוצה סדורה היטב .Ω
Ωאינה בת מניה כי אחרת הייתה מתקבלת כרישא ממש של עצמה אבל כל רישא ממש שלה היא בת מנייה.
הערה 5.2.9צריך להראות גם )∞ T1 = (−∞, x) ∪ (x,פתוחה ולכן המשלים שלו סגור .אבל המשלים הוא } {xמשל.
הערה {x} 5.2.10פתוחה ⇒⇐ xעוקב או איבר ראשון
דוגמה 5.2.11דוגמה למרחב T1שאינו :T2
c
תהי Xקבוצה אינסופית .נגדיר את טופולוגית המשלימים הסופיים ) u ⊂ X (COFהיא פתוחה אםם uסופית או ∅.
ברור כי כל } {xו } {yסגורים.
ברור גם שאין הפרדה בין הפתוחות ולכן Xאינה .T2
דוגמה 5.2.12דוגמה למרחב Yשהוא T2ואינו :T3
כקבוצה Y = R :אבל עם טופולוגיה שונה מהרגילה.
נסמן:
∞
1
⊂R
n n=1
Y −A
= A
=
X
עם הטופולוגיה המושרית מ.R
נגדיר טופולוגיה חדשה על Yבאופן הבא U ⊂ Y :תקרא פתוחה אם״ם U ∩ Xפתוחה ב Xוגם )} U ∩ (R − {0פתוחה ב }R − {0
)עם הטופולוגיה הרגילה(.
29
פרק .5הפרדה
.5.2דוגמאות למרחבים נורמליים
טענה 5.2.13
זו אכן טופולוגיה ,וגם ,היא חזקה יותר )מכילה את( מהטופולוגיה הרגילה על .R
הוכחה :החלק הראשון )שזו אכן טופולוגיה( היא מקרה פרטי של עובדה כללית יותר:
אם Xקבוצה ו {Yα } :מרחבים טופולוגים ,נתונות fα : Yα → Xומגדירים טופולוגיה על Xע״י U ⊂ Xנקראת פתוחה אם
) fα−1 (Uפתוחה ב Yαלכל .α
נבחין כי ∅⇐ ∅ = fα−1 (∅) :בטופולוגיה.
) X ⇐ Yα = fα−1 (Xבטופולוגיה.
S
S
T
T
Ui
fα−1 (Ui ) = fαוגםUi :
. fα−1 (Ui ) = fα−1וזה מסיים את ההוכחה.
i
i
i
i
הערה 5.2.14הפכנו כאן סימנים .צריך לשים לב לזה X = R .אצלנו ואילו Yαהוא:
1
α
R −כאשר .α ∈ N
גם החלק השני מיידי .כי fαאצלנו הן הכלות ולכן המקורות הם חיתוך עם } .R − {0וכם R − Aמכיוון שהטופולוגיה מעליהם היא
זו של תת־מרחב החיתוך של פתוחה מ Rפתןוחה בהם.
לכן אם Uפתוחה ב Rבטופולוגיה הרגילה ,היא פתוחה בטופולוגייה החדשה.
מסקנה 5.2.15
Yהוא .T2כל שתי נקודות שונות נתונות להפרדה בפתוחות רגילות זרות ובפרט בפתוחות זרות בטופולוגיה החדשה.
∈ .0
לעומת זאת Y ,איננו ,T3את הקבוצה Aלא ניתן להפריד מ } {0למרות שהן זרות וסגורות .ו / A
הנקודה } {0סגורה כי המרחב Yהוא ) T1כי הוא .(T2
הקבוצה Aסגורה כי המשלים R − A = Xפתוחה וזאת מהגדרת הטופולוגיה.
נבחין כי R − A = X ∩ (R − A) :פתוחה ב .R − A
1
וגם R − (A ∪ {0}) = X ∩ (R − {0}) :פתוחה כיו } A ∪ {0סגורה כי כוללת את הגבול } {0של . nפתוחה ב Rובפרט פתוחה
ב }.R − {0
כלומר ,הקבוצה Aכן סגורה בטופולוגיה החדשה )למרות שהיא לא בטופולוגיה הרגילה(.
הערה 5.2.16ברור שלא ניתן להפריד את Aמ} {0בטופולוגיה הרגילה .כי 0 ∈ Aבטופולוגיה הרגילה .ולכן ,כל סביבה של 0תחתוך
את .A
אנו נוכיח כי כל סביבה של 0ב Yחותכת כל סביבה של Aב Yובכך נסיים.
תהי Uסביבה פתוחה של 0ב Yאזי ) U ∩ (R − Aפתוחה ב R − Aפתוחה ב .R − Aולכן 0 ∈ U − A = (R − A) ∩ V :כש V
פתוחה ב Rולכן Vמכילה קטע ) (−ε, εפתוח סביב .0ולכן:
U − A ⊃ (−ε, ε) − A
אבל כל סביבה של Aתכיל סביבה של כל נקודה ב Aכלומר תכל קטע פתוח סביב כל נקודה ב − n1 − εn , n1 εn Aכאשר .εn > 0
זה כבר חותך את (−ε, ε) − Aוזה מראה את הנדרש .לכן Yאינו .T3
למה 5.2.17
ל 0 6= x ∈ Y = Rכל סביבה של xמכילה קטע פתוח ).(x − ε, x + ε
הוכחה :קבוצה Wהמכילה את xהיא פתוחה אם״ם W − Aפתוחה ב R − Aו W − 0 :פתוחה ב .R − 0ל x 6= 0התנאי השני
ריק .כלומר נחתוך את Wעם } R − {0זו פתוחה ב } R − {0ולכן ב Rולכן מכילה קטע סביב x
דוגמה 5.2.18למרחב T3שאינו :T4
דוגמה אחת ניתנה בתרגול 4־ Ωהקבוצה הסדורה היטב ״הקטנה ביותר״ שאינה בת מנייה.
מוסיפים לה עוד איבר שגדול מכל האחרים .בתורת הקבוצות מסורתי לקחת את האיבר הזה בתור הקבוצה Ωכאיבר .ונקבל:
}) Ω = Ω ∪ {Ωסימון פחות מבלבל :סמל ∞ שאינו ב Ωו.(Ω = Ω ∪ {∞} :
בתרגול הוכח כי הוא T3אבל לא .T4
30
פרק .5הפרדה
.5.2דוגמאות למרחבים נורמליים
הערה 5.2.19
Ω .1ו Ωסדורות היטב עם טופולוגיית הסדר ולכן נורמליות כמרחבים טופולוגים.
.2מכפלת T3 × T3היא T3ולכן המכפלה שלנו היא T3
ולכן קיבלנו מכפלה של T4שהיא אינה .T4
.3כנשלמד את מושג הקומפקטיות נראה כי מרחב T3קומפקטי הוא T4וכי Ωקומפקטי .לכן Ω×Ωקומפקטי)מכפלת קומפקטיים
היא קומפקטית( ו T3ולכן .T4ולכן Ω × Ωהוא תת מרחב של מרחב נורמלי אבל אינו נורמלי.
ניתן כעת דוגמה שונה למרחב T3שאינו .T4
תהי Nכרגיל הטבעיים עם הטופולוגיה הדיסקרטית.
תהי Jקבוצה )תשמש כאינדקסים( שאינה בת מנייה .יהי } X = N = {f : J → Nעם טופולוגיית המכפלה.
J
הקבוצות הבסיסיות בטופולוגיית המכפלה הן בעצמן איחודים של קבוצות מהצורה:
{f : J → N | f (j1 ) = n1 , f (j2 ) = n2 , . . . , f (jn ) = nn } = X
בהנתן f : J → Nוקבוצה סופית .B ⊂ Jנבנה ממנה את הקבוצה הבסיסית:
}X (f |B , B) X (f, B) = {g : J → N | f (j) = f (j) ∀j ∈ B
הערה 5.2.20משתמשים פה רק ב .f |B
והקבוצות האלה עדין מהוות בסיס לטופולוגיית הכפלה.
כי היחידונים בסיס לטופולוגיה הדיסקרטית על .N
נראה שהוא לא .T4נגדיר 2קבוצות סגורות P1 , P2ב .X
}כל ערך ב Nפרט ל 1מתקבל לכל היותר פעם אחת | {f : J → N
}כל ערך בNשאינו 2מתקבל לכל היותר פעם אחת | {f : J → N
=
P1
=
P2
מכיוון ש Jאיננה בת מנייה ,כל f ∈ P1לוקח ערכים שונים מ 1על קבוצה סופית או בת מנייה ובשאר אברי x ∈ Jמתקיים
.f (x) = 1
באותו אופן ל f (x) = 2 f ∈ P2פרט לקבוצה סופית או בת מנייה של אינדקסים .x
נראה כי P1ו P2סגורות זרות ואינן ניתנות להפרדה בפתוחות זרות.
מיידי כי P1 , P2הן זרות כי f ∈ P1מקיימת f (x) = 1פרט לקבוצה סופית\בת מנייה של x־ים )נסמנה (A1ו f ∈ P2 :מקיימת
f (x) = 2פרט לקבוצה דומה A2אבל ∅ 6= J − A1 − A2כי Jאינה בת מנייה ולאבר בה 1 = f (x) = 2סתירה.
נראה ש P1סגורה )ל P2הוכחה דומה(:
נראה כי המשלים X − P1פתוחה = איחוד של קבוצות בסיסיות.
f (j1 ) = n
} , B = {j1 , j2
f (j2 ) = n
X
= }קיימים j1 6= j2בJכך ש X − P1 = {f : J → N | f (j1 ) = f (j2 ) 6= 1
[
[
= }{f ∈ X | f (j1 ) = f (j2 ) = n
j1 ∈ J
j2 ∈ J
}n ∈ N − {1
j1 ∈ J
j2 ∈ J
}n ∈ N − {1
למה 5.2.21
מכפלה של מרחבים טופולוגיים ) T3גם (T1 ,T2היא .T3
31
.5.2דוגמאות למרחבים נורמליים
פרק .5הפרדה
הוכחה :לא הוכחה ,רק הסבר.
הוכחנו למכפלה , X × Yולכן זה נכון גם לכל סופית באינדוקציה.
Q
למכפלה Xα
כאשר Iכלשהי T1 ,ו T2קלים מאוד ) :T1מכפלת סגורות תמיד סגורה(.
α∈I
Q
Q
נרצה להפריד נקודה מסגורה .נוח להראות כי אם U
⊂ Uפתוחה x ∈ U ,אזי קיימת תיבה גדולה )פתוחה בסיסית ,V = Vα
α
α∈I
} (x ∈ V ⊂ |{zוזה מושאר כתרגיל קל.
V ⊂U
Vα
Q
=
נחזור לדוגמה:
דוגמה J .X = NJ 5.2.22איננה בת מנייה N .דיסקרטית .חושבים על אברי Xכפונקציות .f : J → Nהטופולוגיה :טופולוגיית
המכפלה.
בסיס לטופולוגיה ניתן לתאר כפונקציות שבמספר סופי של קואורדינטות קובעים את הערך שלהן.
בסיס זה חלקי לבסיס הרגיל של טופולוגיית המכפלה שבו במספר סופי של קואורדינטות αדורשים .f (jα ) ⊂ Aαמספיק להשתמש
בו כי הטופולוגיה על Nדיסקרטית.
סימון :אם B ⊂ J ,f ∈ Xסופית .נסמן } X (f, b) = {g : J → N | g (j) = f (j) ∀j ∈ Bאלה מהוות בסיס.
נגדיר:
}נגדיר לכל x 6= 1בNהמתקבל כ )f (jלכל היותר ל jיחיד | P1 = {f : J → N
הערה 5.2.23כל f ∈ Pמקבלת את הערך f (j) = 1פרט ל jבקבוצה סופית או בת מנייה.
באותו אופן:
}נגדיר לכל x 6= 2בNהמתקבל כ )f (jלכל היותר ל jיחיד | P1 = {f : J → N
ברור כי ∅ = P2 ∩ P1כי ב Piמתקבל הערך iפרט לכל היותר לקבוצה בת מנייה ,ו Jאינסופית לא בת מנייה.
הראינו שהן סגורות ,המשלימים הם:
[
= X − P1
}{f ∈ X | f (j1 ) = f (j2 ) = n
j1 ∈ J
j2 ∈ J
}n ∈ N − {1
נבחין ,כי זה איחוד של קבוצות בסיסיות פתוחות ,ולכן פתוח .ולכן P1סגורה .באופן דומה P2סגורה.
המטרה כעת :לא ניתן להפריד את P1מ P2בפתוחות זרות.
∞
∞
נניח בשלילה P2 ⊂ V ,P1 ⊂ Uפתוחות זרות .נבנה סדרה {jn }n=1של איברים שונים ב Jופתוחות {ui }i=1מוכלות כולן ב U
באופן הבא:
נבנה את :U1קיים n1ואינדקסים j1 , . . . , jn1שונים ב Jכך שכל פונקציה f : J → Nמקיימתf (j1 ) = f (j2 ) = . . . = :
f (jn1 ) = 1נמצאת ב .U1
סימון :תהי B ⊂ Jקבוצה סופית ,ויהיו {nb }b∈Bאוסף איברים ב Nכך שלכל b ∈ Bאזי נסמן:
}Y B, {nb }b∈B = {f : J → N | f (b) = nb ∀b ∈ B
זוהי פתוחה בסיסית.
כלומר:
1
U1 = Y ({jα }nα=1
), f (jα ) = 1
32
פרק .5הפרדה
.5.2דוגמאות למרחבים נורמליים
מדוע קיימת קבוצה Bכזו? )כלומר ,שעבורה .(U1 ⊂ U
נקח את הפונקציה הקבוע .∀j f (j) = 1 ,f : J → Nואז קיימת קבוצה סופית Bכך ש X (f, B) ⊂ Uכי U ⊃ P1 ∋ fו U
פתוחה לכן מכילה קבוצה בסיסית סביב .f
בניית U2′כעת נגדיר ) fחדשה( ע״י:
(
α 1≤α≤n
= ) f (jα
אחרת 1
כעת קיימת קבוצה בסיסית:
} B2 = {j1 , . . . , jn , jn+1 , . . . , jn2
) .(n1 < n2
f (j1 ) = 1
.
..אינדקסים קודמים
f (j ) = n
1
n1
U 2 = Y B2 ,
f (jn1 +1 ) = 1
.
..אינדקסים חדשים
f (j ) = 1
n2
המוכלת כולה ב .U
נניח כי בנינו (k ≥ 1) f = fkואינדקסים
ואינדקסים נוספים )כולם שונים זה מזה(
, n1 < n2 < . . . < nk−1ואינדסקים מתאימים j1 , . . . , jnk−1 :ב .Jבונים nk−1 < nk
j1 , . . . , jnk−1 , jnk−1 +1 , . . . , jnk
{z
| }
{z
}
|
הישנים
החדשים
α 1 ≤ α ≤ nk−1
1 nk−1 < α ≤ nk
(
= ) fk (jα
כך ש:
f (j1 ) = 1
..
.אינדקסים קודמים
f j
nk−1 = nk−1
Un = Y B2 ,
f jnk−1 +1 = 1
.
..אינדקסים חדשים
f (j ) = 1
nk
מוכלת ב .U
מדוע קיימת קבוצה כזאת? כדי להראות שיש סדרה כזו של אינדקסים חדשים ,נגדיר את fk : J → Nבאופן הבא:
(
α j = jα , 1 ≤ α ≤ nk−1
= )fk (j
אחרת 1
k
X (fk , {jα }nα=1מוכלת ב Uונותן לכן באינדוקציה עוד אינדקסים ואת
פונקציה כזו היא בוודאי ב .P1והקבוצה הבסיסית) ⊂ U :
.fk+1
33
פרק .5הפרדה
.5.2דוגמאות למרחבים נורמליים
בכל סדרת הבנויות האלה ,נבחרת קבוצה בת מנייה של אינדקסים .ובכל קבוצה Ukכזו האינדקסים האחרים יכולים להיות כל דבר,
בפרט .2נתבונן בפונקציה:
(
∞<α 1≤α
= ) f (jα
אחרת 2
כל ערך = 2 6מתקבל פעם אחת ולכן היא ב P2ולכן יש ל gסביבה פתוחה בסיסית Wהמוכלת בפתוחה ) Vאשר מכילה את .(P2
הסביבה הזו תחתוך את Uk־ים ממקום מסויים )כי רק מספר סופי נקבעים( נקבעים ב .Wאבל ∅ = V ∩ U ⊃ W ∩ Ukסתירה.
הערה 5.2.24הבנייה הזו עדינה מאוד .גם הבנייה בתרגול עם Ωהיא עדינה .ואלו הדוגמאות הפשוטות ביותר הידועים למרחבי T3
שאינם .T4אחת הסיבות מדוע הדוגמאות מסובכות היא כי המרחבים ״סבירים״ הם נורמליים )מטריים ,אורדינלים = קבוצות סדורות
היטב( הנה עוד משפט בכיוון הזה:
משפט 5.2.25
יהי Xרגולרי עם בסיס בן מנייה ,אז Xנורמלי.
הוכחה :יהיו A, Bסגורות זרות נרצה להפריד אותן בפתוחות זרות.
לכל x ∈ Bניתן להפריד את xמ Aבפתוחות זרות .סימטרית כל xב Aניתן להפריד מ Bבפתוחות זרות אבל צריך משהו עדין
יותר.
ל x ∈ Aנבחר סביבה פתוחה בסיסית Vכך ש Vאינה חותכת את .B
∞
מכיוון ש Vבבסיס יש רק מספר בן מנייה V־ים מופיעים ־ נסמן {Vi }i=1כל Viזרה ל Vi ,B
∞} {Wiשל פתוחות בסיסיות כך ש Wiזר ל Aו Wi
באופן סימטרי ,יש סדרה i=1
!
Wi
∞
[
i=1
∩
!
Vi
∞
[
∞
S
i=1
∞
S
מכסה את .A
i=1
⊂ ,Bאבל עדיין ייתכן:
i=1
אינו ריק.
נראה כי ניתן לתקן את Ui , Viכך שעדיין
נגדיר לכל Wi ,n ≥ 1
n
S
i=1
חדשVi
S
⊂ Aמכסה את Wi ,A
,Vn′ = Vn −ונגדירVi :
פתוחות זרות המפרידות את Aמ.B
Sn
i=1
S
i
⊂ Bפתוחות זרות.
.Wn′ = Wn −וכעת נגדירVn′ :
Wn′
S
n
= VוWn′ :
Vn′פתוחה מהגדרתה )הורדה של מספר סופי של סגורות מפתוחה( וכן גם
S
לאיזשהו Viאבל לא שייך לשום .Wjבאופן סמטרי Wn′מכיל את .B
n
m
S
S ′
S ′
′
Wmבה״כ = Wm − Vi ,m ≤ n
כי כל איבר חיתוך היא איזשהו ∩Vn′
∩ Wn
כמו כןVn = ∅ ,
n
.כמו כן:
n
Vn′
∞
S
i=1
′
x ∈ Wm
סתירה⊂ Wn ⊂ Wm .
′
דוגמה 5.2.26הבסיס ל , {B (x, r) , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Qn } ,Rnהוא בן מנייה.
34
n=1
S
= Wונראה כי הן
n
מכיל את Aכי a ∈ Aשייך
′
Wi ,Wm
n
S
i=1
Vn′ = Vn −
פרק 6
קשירות
הגדרה 6.0.27מרחב טופולוגי Xהוא קשיר אם לא ניתן לכתוב אותו כאיחוד זר X = A ∪ Bכאשר A, Bפתוחות לא ריקות )אפשר
גם A, Bסגורות(.
טענה 6.0.28
תנאים שקולים לקשירות:
.1לא קיים פירוק X = A ∪ Bכאשר A, Bסגורות ,זרות ולא ריקות.
.2לא קיימת העתקה רציפה ועל } f : X → {0, 1כש } {0, 1עם
הטופולוגיה הדיסקרטית.
הוכחה:
.1לוקחים V = X − B ,U = X − Aאו.B = X − V ,A = X − U :
.2אם קיים פירוק X = U ∪ Vנגדיר:
0 x∈U
1 x∈V
(
= )f (x
ואם קיימת } f : X → {0, 1כנ״ל נגדיר )} U = f −1 ({0ו.V = f −1 ({1}) :
דוגמה 6.0.29מרחב דיסקרטי עם שתי נקודות לפחות אינו קשיר.
דוגמה 6.0.30מרחב עם הטופולוגיה הטריוויאלית קשיר.
דוגמה 6.0.31קטע ב Rהוא תמיד קשיר .הוכחה :שכן את } {0, 1ב ) Rטופולוגיית תת־הרחב הזה היא דיסקרטית( .אם בשלילה
}) → {0, 1קטע( f :היא על ,נחשוב על fכפונקצייה ל Rונקבל סתירה ממשפט ערך הביניים.
35
.6.1תכונות בסיסיות של קשירות
פרק .6קשירות
6.1תכונות בסיסיות של קשירות
משפט 6.1.1
.1תמונה רציפה של מרחב טופולוגי קשיר היא קשירה.
.2הסגור Aשל קבוצה קשירה Aהוא קשיר.
תתי־מרחביםSשל מרחב טופולוגי .Xנניח כי כל
.3יהי } {Aαאוסף של T
Aαקשיר ו ∅ = Aα 6אזי Aαקשיר.
α
α
.4מכפלת מרחבים טופולוגיים קשירים היא קשירה ואם מכפלת מרחבים
טופולוגיים לא ריקים קשירה ,כל אחד מהם קשיר.
הוכחה:
.1בהינתן f : X → Yרציפה X ,קשיר נרצה להראות כי ) f (xקישרה .נחליף את Yב) f (xונניח ש fהיא על) .מותר ־ )f (x
עם טופולוגיית תת־המרחב( .אם בשלילה ) f (Xאינה קשירה ,נכתוב f (x) = U ∪ Vכש U, Vפתוחות זרות לא ריקות .אזי
) X = f −1 (U ) ∪ f −1 (Vואלה פתוחות זרות ולא ריקות )כי fעל(.
.2נניח כי A = B ∪ Cכש ∅ = B, C 6סגורות וזרות אזי A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) :וכאן A ∩ Bו A ∩ Cסגורות ב Aוזרות.
מלמה קודמת:
A∩B ∪ A∩C =A =A∪B
מכיוון ש B, Cזרות ו A ∩ B ⊆ B :ו A ∩ C ⊆ C :אז מתקיים שיוויון A ∩ B = Bו A ∩ C = C :בפרט אילו A ∩ B
הייתה ריקה גם Bהייתה ריקה.
.3תהי פונקציה:
}Aα → {0, 1
רציפה .נבחר Aα
T
α
[
f:
α
∈ x0הצמצום f |Aαרצפיה ומקשירות Aαהיא קבועה .לכן:
}f |Aα = f (x0 ) ∈ {0, 1
זה נכון לכל .αאם מכן א ) f ≡ f (x0כלומר קבועה .בפרט f ,לא על.
.4נתחיל ממקרה של שני מרחבים X, Yקשירים .תהי } f : X ×Y → {0, 1רציפה ,נוכיח שהיא קבועה .יהיו ∈ ) (x1 , y1 ) , (x2 , y2
X × Yנראה כי:
) f (x1 , y1 ) = f (x2 , y2
∼ Xלכן מקשירות Xגם הוא קשיר ומכן } f |X×{y1קבועה .באופו אותן f |{X1 }×Y
נתבונן ב } = X × {y1 } .f |X×{y1
קבועה .לכןf (x2 , y2 ) = f (x@ , y1 ) = f (x1 , y1 ) :
נוכיח את המקרה הכללי:
נוכיח את ⇐ :נניח בשלילה כי Xαאינו קשיר אזי ,Xα0 = U ∪ V :כאשר U, Vפתוחות זרות לא ריקאות ואז:
Y
) Xα = (U × Y ) ∪ (V × Y
α
Q
כאשר Xα
= .Yזהוא איחוד זר של פתוחות לא ריקות ,לכן המכפלה אינה קשירה.
α6=α0
Q
כעת α ,סופית ,נקבל קשירות Xαבאינדוקציה על גודל הקבוצה.
α
נניח כעת מכפלה אינסופית ,אם ∅ = Xαלאיזשהו αאין מה להוכיח )∅ קשירה( .אם כל ∅ = Xα 6נבחר .aα ∈ Xαתהי
{α} = Iקבוצת האינדקס לכל תת קבוצה סופית I ⊃ Sתת המרחב:
Y
Y
Y
⊂ } {aα
Xα
= YS
× Xα
α∈I
α∈I\S
36
α∈S
פרק .6קשירות
.6.1תכונות בסיסיות של קשירות
הוא קשיר כי הומאומורפי למכפלה סופית של ) .Xαהומאומורפיזם של הטלה ושיכון(.
כל ה YSהם קשירים וכולם נחתכים בנקודה:
Y
Xα ∋ (aα )α∈I
α
ממשפט שהראינו:
YS = Y
[
S⊂Iסופית
Yהוא מרחב קשיר של Xα
Q
ולכן Yקשיר אבל מהגדרת טופולוגיית המכפלה:
α
Xα = Y
Y
α
)כל פתוחה בסיסית ב Xα
Q
חותכת איזשהו .(YS
α
הערה R 6.1.2
∞
Q
אינה קשירה בטופולויית התיבות )יוכח בתרגיל(.
n=1
הגדרה 6.1.3רכיב קשירות :יהי Xמרחב טופולוגי .x ∈ X ,רכיח הקשירות של xהואA :
S
.
x∈A⊂X
Aקשירה
מהמשפט שצוטט זו קבוצה קשירה ולכן היא הקבוצה הקשירה המקסימלית )קיימת כזו( המכילה את .x
בפרט ,אם Xקשיר ,אז מרכיב הקשירות של כל נקודה הוא .Xמרכיב הקשירות של כל נקודה סגור כי הסגור שלו קשיר )ומכיל
אותו( לכן שווה לו.
נגדיר על Xיחס ל . y, x ∈ X :הקשירות שלהם נחתכים ) ⇒⇐ מתלכדים( ⇐ זהו יחס שקילות.
למה 6.1.4
מרכיבי קשירות של שתי נקודות זרים או מתלכדים.
הוכחה :אם נחתכים האיחוד שווה לכל אחד מהם .ולכן Cα
α
S
= Xכאשר Cαמרכיבי הקשירות של נקודות והאיחוד זר.
הגדרה 6.1.5קשיר מקומית :מרחב טופולוגי Xיקרא קשיר מקומית בנקודה x ∈ Xאם כל סביבה של xמכילה פתוחה קשירה
המכילה את .x
דוגמה 6.1.6כל מרחב דיסקרטי הוא קשיר מקומית .אבל אם יש בו לפחות 2נקודות אזי הוא לא קשיר.
דוגמה 6.1.7מרחב המסרק ]× [0, 1
טענה 6.1.8
∞
S
1
n
n=1
∪ ].R2 ⊃ X = [0, 1] × {0} ∪ {0} × [0, 1
Xהוא קשיר אבל אינו קשיר מקומית ב ).(0, 1
הוכחה :הוכח בתרגול.
טענה 6.1.9
במרחב קשיר מקומית ,מרכיבי הקשירות פתוחים.
הוכחה :מיידי מההגדרות.
הגדרה 6.1.10מרחב טופולוגי Xיקרא קשיר מסילתית .אם לכל x, y ∈ Xקיימת מסילה מ xל .yכלומר העתקה רציפה
α : [0, 1] → Xכך ש .α (1) = y ,α (0) = X
37
פרק .6קשירות
.6.1תכונות בסיסיות של קשירות
הערה 6.1.11כמובן שכל קטע טוב באותה מידה כמו ][0, 1
טענה 6.1.12
מרחב קשיר מסילתית הוא קשיר.
הוכחה :יהי Xקשיר מסילתית .נניח בשלילה כי אינו קשיר אז קיימת } f : X → {0, 1רציפה ועל .נבחר f −1 (0) ∋ xו:
.f −1 (1) ∋ yתהי αמסילה מ xל) yקיימת מההנחה(.
ולכן ההרכבה רציפה ועל מ ] [0, 1ל } {0, 1וזו סתירה.
הערה 6.1.13ההפך אינו נכון .נראה דוגמה בקרוב.
טענה 6.1.14
.1תהי f : X → Yרציפה .אם Xקשיר מסילתית גם התמונה )f (X
קשירה מסילתית.
Q
.2מכפלה Xαשל מרחבים ∅ = Xα 6קשירה מסילתית אם״ם כל Xα
α
קשיר מסילתית.
הוכחה:
.1יהיו ) y1 , y2 ∈ f (Xנבחר x1 , x2 ∈ Xכך ש .f (xi ) = yiתהי αמסילה ב Xמ x1ל x2אזי f ◦ αהיא מסילה ב Yמ y1
ל .y2
Q
.2נניח כי כל Xαקשיר מסילתית .תהיינה x = (xα )αו y = (yα )α :נקודות ב . Xαנבחר מסילה ) βα : [0, 1] → Xαלכל
α
(αהמחברת את xαל .yα
βα (1) = yα
אזיXα :
Q
α
βα (0) = xα
→ ]) β = ×α βα : [0, 1כלומר מכפלת הפונקציות( רציפה )כי רציפות לתוך מכפלה
⇒⇐
רציפות כל
הקואורדינטה( ומתקיים β (1) = y ,β (0) = xכנדרש.
כיוון שני :אם המכפלה היא קשירה מסילתית אזי נבחר Xα ∋ aαואז לכל α0 ∈ Iו xα0 , yα0 ∈ Xα0 :נגדיר:
Y
aα
× ) x = (xα0
α6=α0
aα
Y
α6=α0
× ) = (yα0
y
נחבר את xל yבמסילה βבמכפלה ונטיל אותה על קואורדינטה .α0
✟
Q
תרגיל :יהיו Xαמרחבים קשירים מקומית ,האם Xαקשירה מקומית?
α
✠
☛
דוגמה 6.1.15מרחב הסינוס :מרחב הסינוס )הגרסה הלא קשירה( הוא דוגמה למרחב שהוא קשיר אבל אינו קשיר מסילתית.
X ⊂ R2והוא האיחוד:
1
{0} × [−1, 1] ∪ t, sin
t
כאשר ].t ∈ [0, 1
1
=
A, sin
| 0<t≤1
t
]= {0} × [−1, 1
X1
X2
כאשר .X = X1 ∪ X2שניהם קשירים ,כיוון ש X1הוא תמונת מסילה ] .(0, 1ואלו ] [−1, 1עבור .X2
1
→t 7
t, sin
t
)t 7→ (0, t
38
✡
פרק .6קשירות
.6.1תכונות בסיסיות של קשירות
טענה 6.1.16
Xקשיר.
נוכיח זאת בעזרת הלמה הבאה:
למה 6.1.17
.X = X1
הוכחה :ההכלה X1 ⊂ Xאם → (a, b) ∈ R2
tn , sin t1n
אזי tn → aונפריד בין שני מקרים .אם a 6= 0אזי בהכרח
) sin t1n = sin a1מרציפות הסינוס( .ולכן הגבול ב .X1
אם a = 0אזי 1 ≥ sin t1n :ולכן הגבול .[−1, 1] ∋ lim sin t1n = b
∞→n
ולכן הגבול .X2 ∋ lim tn , sin t1nבכל מקרה הגבול ב .X
∞→n
נוכיח הכלה הפוכה .יספיק להראות אם −1 ≤ b ≤ 1אזי קיימים tn → 0כך ש .sin t1n → bנקח את .נגדיר:
1
)2πn + arcsin (b
= tn
נבחין כי tn → 0וכי:
1
= sin (2πn + arcsin (b)) = b
tn
sin
ולכן הגבול הוא .b
מסקנה 6.1.18
X = X 1הוא קשיר מכיוון שהוא סגור של קבוצה קשירה.
נראה כי Xאינו קשיר מסילתית .נתבונן במקרה של (1, sin 1) ∈ X1ו (0, 0) ∈ X2 :ונראה שלא ניתן לקשר אותן במסילה ב .X
נניח בשלילה כי α : [0, 1] → Xרציפה ) α (1) = (1, sin 1ו.α (0) = (0, 0) :
∞
נכתוב )) .α (t) = (α1 (t) , α2 (tממשפט ערך הביניים עבור α1קיימות ) t1 > t2 > t3 > . . .סדרה (tn )n=1יורדת מונוטונית( כך
ש .α1 (tn ) = π 11+n
) (2
n
1
1
כעת בהכרח .α2 (tn ) = sin α1 (tn ) = sin π 2 + n = (−1) :בפרט ,כאשר ) t → 0דרך הסדרה (tnאין ל α2גבול .זה
גורר כי αאינה רציפה ב t = 0וזו סתירה להנחה.
משפט 6.1.19
המרחבים הטופולוגים:
) (0, 1) .1קטע פתוח(
[0, 1] .2
.3מעגל היחידה S 1 = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1
[0, 1) .4
אינם הומאומורפים זה לזה.
הוכחה (1 :אינו הומאומורפי לאחרים כי כשנוציא מ ) (0, 1נקודה כלשהי המרחב } (0, 1) \ {xאינו קשיר .אבל מכל אחד מהאחרים
ניתן להוציא נקודה )}} ,[0, 1] − {0נקודה כלשהי{ ([0, 1) − {0} ,S 1 −ולשמור על קשירות.
(3 ,(2ו (4אינם הומאומורפים כי מ (2אפשר להוציא שתי נקודות בדיוק בלי לנתק את הקשירות ,וב (3כל נקודה שנוציא לא תנתק,
ואילו ב (4יש בדיוק נקודה אחת שאפשר להוציא בלי לנתק.
הגדרה 6.1.20קשירות מסילתית מקומית :מרחב Xיקרא קשיר מסילתית מקומית ב־ x ∈ Xאם כל סביבה של xמכילה סביבה של
xשהיא קשירה מסילתית.
39
פרק .6קשירות
.6.2קומפקטיות
הערה 6.1.21מרחב טופולוגי קשיר מסילתית מקומית הוא גם קשיר מקומית.
יהי Xמ״ט ,נגדיר עליו יחס ע״י כך שלכל x, y ∈ Xמתקיים x ∼ yאם קיימת מסילה המחברת את xל־.y
טענה 6.1.22
זהו יחס שקילות.
הוכחה :המסילה הקבועה נותנת רפלקסיביות.
ל־ ,yאז ) β (t) = α (1 − tמחברת את yל־.x
( α : [0, 1] → Xמקשרת את xל־ yו־ β : [0, 1] → Xמקשרת את yל־ ,zנגדיר
פורמלית .אם
)α (2t
= ).γ (t
)β (2t − 1
סימטריה ־ אם αמחברת את x
טרנזיטיביות ־ ברור ,אבל נראה
t ∈ 0, 21
γ : [0, 1] → Xע״י
t ∈ 12 , 1
0, 12 , 12 , 1סגורות ב־] [0, 1והצמצומים אליהם הן פונקציות רציפות המסכימות בחיתוך ,ולכן מטענה שראינו ,גם γרציפה ,ולכן
היא מסילה רציפה שמחברת את xל־.z
הגדרה 6.1.23מחלקת השקילות של יחס זה נקראת רכיב קשירות מסילתית.
מההגדרות ברורה הטענה הבאה:
טענה 6.1.24
.1אם Xמ״ט קשיר מסילתית מקומית ,אז כל רכיב קשירות מסילתית הוא קבוצה פתוחה.
.2יהי Xמ״ט קשיר מסילתית מקומית וקשיר ,אז Xקשיר מסילתית )בפירוק הזר לרכיבי קשירות מסילתית ,כולם פתוחים ולכן
מקשירות קיים רק רכיב אחד(.
6.2
קומפקטיות
תזכורת 6.2.1
n
∞) (anיש תת־סדרה מתכנסת.ank → a ∈ A ,
• תהי Aסגורה וחסומה ב־ ,Rאז לכל סדרה n=1 ⊂ A
• הלמה של היינה־בורל :מכל כיסוי פתוח של קבוצה סגורה וחסומה ניתן להוציא כיסוי סופי.
כל אחת משתי התכונות הנ״ל מאפיינת את הקבוצות הסגורות וחסומות ב־ .Rnמושג הקומפקטיות מכליל אותן.
הגדרה 6.2.2קומפקטיות ,קומפקטיות סדרתית ותכונת החיתוכים הסופיים:
∞
.1מרחב טופולוגי Xיקרא קומפקטי סדרתית אם לכל סדרה בו יש תת־סדרה מתכנסת ,כשנאמר ש־ (xn )n=1 ⊂ Xמתכנסת
ל־ x ∈ Xאם לכל סביבה Uשל xקיים n0כך ש־ xn ∈ Uלכל .n > n0
S
.2מרחב טופולוגי יקרא קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח של ) {Uα }α∈I ,Xכך ש־ Uαפתוחה ב־ Xלכל α ∈ Iוכן Uα = X
(,
קיים תת־כיסוי סופי Uα1 , . . . , Uαnכך ש־Uαk = X
n
S
α∈I
.
k=1
הערה 6.2.3ע״י מעבר למשלימים מקבלים מ־ 2הגדרה שקולה )בלמה בהמשך(.
.3אוסף {Vα }α∈Iשל תתי־קבוצות של קבוצה Xייקרא בעל תכונת החיתוכים הסופיים )(FIP - Finite Intersection Property
n
T
אם כל חיתוך סופי Vαi
אינו ריק.
i=1
דוגמה X 6.2.4קבוצה אינסופית {Vα }α∈I ,תת־הקבוצות עם משלים סופי ,אזי ל־} {Vαיש את תכונת החיתוכים הסופיים.
40
.6.2קומפקטיות
פרק .6קשירות
למה 6.2.5
.1מ״ט Xהוא קומפקטי אם״ם לכל אוסף {Vα }α∈Iכך ש־ Vαסגורה ב־ Xועם FIPמתקיים ∅ =Vα 6
T
.
α∈I
) .2וריאציה( מ״ט Xהוא קומפקטי אם״ם לכל אוסף } {Vαשל תתי־קבוצות כלשהן עם FIPמתקיים ∅ =Vα 6
T
.
α∈I
.3תת־מרחב סגור של מ״ט קומפקטי הוא קומפקטי.
.4אם Xמ״ט קומפקטי והאוסדורף ,אז כל תת־מרחב קומפקטי שלו סגור.
הוכחה:
לקומפקטיות ע״י מעבר למשלימים .נסמן .Uα =TX\Vαנניח שהמרחב לא קומפקטי .אז יש {Uα }α∈Iכך ש־
.1שקול
S
Uα = X
אבל לא קיים תת־כיסוי סופי=⇐∅ =Vα 6
,אבל לכל קבוצה סופית
α∈I
α∈I
אם נניח ש־ 1לא מתקיים ,אזי יש אוסף קבוצות סגורות } {Vαכך ש־∅ =Vαi 6
S
אזי Uα = Xהוא כיסוי פתוח של Xשאין לו תת־כיסוי סופי.
n
T
i=1
לכל } {α1 , . . . , αnסופית ,אך ∅ = Vα
T
.
α∈I
α
∞
הגדרה 6.2.6קומפקטיות סדרתית :מרחב טופולוגי Xיקרא קומפקטי סדרתית אם לכל סדרה (xn )n=1 ⊂ Xקיימת תת־סדרה
∞
מתכנסת.(xnk )k=0 :
הגדרה 6.2.7קומפקטיות של נקודות הצטברות :מרחב טופולוגי Xיקרא בעל תכונת קומפקטיות של נקודות הצטברות לכל קבוצה
אינסופית ב Xיש נקודת הצטברות.
נקודת הצטברות של תת קבוצה Aבמרחב טופולוגיה Xהיא נקודה y ∈ Xכך שכל סביבה שלה מכילה נקודה .y 6= a ∈ A
משפט 6.2.8
גם קומפקטיות וגם קומפקטיות סדרתית )כל אחת לחוד( גוררות קומפקטיות של נקודות הצטברות.
משפט 6.2.9
במרחב מטרי ,תכונות אלה שקולות.
טענה 6.2.10
.1תמונה רציפה של מרחב טופולוגי קומפקטי היא קומפקטית.
.2תת קבוצה סגורה במרחב טופולוגי קומפקטי היא קומפקטית.
.3תת מרחב קומפקטי של מרחב טופולוגי האוסדורף ,סגור בו.
הוכחה:
.1תהי f : X → Yרציפה X .קומפקטי .יהי {Uα }α∈Iכיסוי פתוח של ) .f (Xמההגדרה Wα ∩ f (X) = Uα :כש Wαפתוחה
ב Yואז:
) f −1 (Uα ) = f −1 (Wα
פתוחות ומכסות את Xולכן יש תת כיסוי סופי ) f −1 (Wαi
n
S
i=1
ל ) f (Xכנדרש.
= .XואזUαi :
n
S
i=1
=
Wαi
n
S
i=1
∩ ) f (Xתת כיסוי סופי
.2יהי Xמרחב טופולוגי קומפקטי Y ⊂ X .סגורה .יהי {Uα }α∈Iכיסוי פתוח ל .Yשוב נכתב Uα = Y ∩ Wαכש Wαפתוחות
ב Xאזי:
!
[
) Wa ∪ (X − Y
α
41
פרק .6קשירות
.6.2קומפקטיות
הוא כיסוי פתוח של .Xנוציא ממנו תת כיסוי סופי ) Wαi ∪ (X − Y
Uαi
n
[
i=1
n
S
i=1
אזיWαi :
n
S
i=1
⊂ Yולכן:
= ) Y = Y ∩ (Wαi
פתוחה .תהי x ∈ X − Yלכל y ∈ Yיש
.3יהי Xמרחב טופולוגי האוסדורף ותהי Y ⊂ Xקומפקטית .נוכיח S X − Y
פתוחות זרות Vx,y , Ux,yכך ש x ∈ Ux,yו) y ∈ Vx,y :בגלל האוסדורף(Vx,y .
מכסה את Yוהוא כיסוי פתוח שלו) .אנו
y∈Y
S
n
מתכוונים ל ) ( (Vx,y ∩ Yלכן ,מקומפקטיות Yקיים תת־כיסוי סופי {Vx,ui }i=1אשר מכסה את .YואזVx,yi :
Ux,yi
n
T
i=1
= Ux .Uxפתוחה וזרה ל Yבסביבה של xולכן X − Yפתוחה .כלומר Yסגורה כנדרש.
n
S
זר ל
i=1
כעת נוכיח את המשפט ממקודם:
משפט 6.2.11
גם קומפקטיות וגם קומפקטיות סדרתית )כל אחת לחוד( גוררות קומפקטיות של נקודות הצטברות.
הוכחה :נראה כי קומפקטיות סדרתית גוררת קומפקטיות של נקודות הצטברות.
יהי Xקומפקטי סדרתית ,ותהי A ⊂ Xתת־קבוצה אינסופית.
∞
נבחר סדרה {an }n=1שכל a ∈ Aוכולן שונות זו מזו .קיימת ל } {anתת סדרה מתכנסת .ank → x ∈ Xצריך להוכיח כי בכל
סביבה Uשל xיש נקודה של Aהשונה מ .xאבל מהנתון קיים k0כך שלכל .ank ∈ U ,k0 ≤ k
מכיוון ש ankשונות זו מזו מתקיים ank 6= xעבור kמספיק גדול .כנדרש.
נראה כי קומפקטיות גוררת קומפקטיות של נקודות הצטברות.
∞
יהי Xקומפקטי .נניח בשלילה כי יש בו קבוצה אינסופית Aללא נקודות הצטברות .נוציא סדרה .{an ∈ A}n=1של נקודות שונות.
בוודאי של } {anאין נקודות הצטברות.
∞
∈ bאזי מכיוון שאין ל A0נקודות הצטברות,
נטען כי הקבוצה A0 = {an }n=1היא סגורה מכיוון שהמשלים שלה פתוח .בהינתן / A0
אזי יש ל Bסביבה זרה ל A0אחרת היא נקודת הצטברות של ) A0בוודאי כל נקודה של A0שונה מ .(bמכיוון ש A0סגורה ב X
שהוא קומפקטי ,אז A0קומפקטית.
אותה הוכחה ש A0סגורה עובדת גם עבור } A0 − {aלכל .a ∈ A0ואז נקבל כיסוי פתוח:
[
[
= A0
= }{a
(X − (A0 − {a})) ∩ A0
a∈A0
a∈A0
כלומר ,אנו חותכים קבוצה פתוחה ב Xעם A0לכן החיתוך הוא פתוח בטופולוגיה המושרית על ) A0זה מוכיח כי A0דיסקרטית ,כל
נקודה פתוחה בה( .מקומפקטיות יש לכיסוי זה תת כיסוי סופי ⇒⇐ A0עצמה קבוצה סופית .סתירה להנחת השלילה כנדרש.
המטרה כעת להוכיח כי למרחב מטרי קומפקטיות שקולה לקומפקטיות סדרית ולקומפקטיות נקודות גבול.
הגדרה 6.2.12יהי ) (X, dמרחב מטרי.
יהי {Uα }α∈Iכיסוי ל Xנאמר כי ε > 0הוא מספר לבג ) (Lebesgueעבור הכיסוי אם לכל x ∈ Xהכדור ) Bε (xמוכל באיזשהי
.Uα
הערה 6.2.13אם 0 < δ < εו εמספר לבג לכיסוי ,אז גם δכזה.
טענה 6.2.14
יהי ) (X, dמרחב מטרי קומפקטי סדרתית אזי לכל כיסוי פתוח שלו קיים מספר לבג.
הוכחה :יהי Uαכיסוי פתוח של .Xנניח בשלילה שאין לו מספר לבג.
אזי לכל nטבעי )≤ (1קיימת נקודה xn ∈ Xכך ש B n1 (xn ) :אינו מוכל בשום .Uα
מההנחה יש ל } {xnתת סדרה מתכנסת xnk → xנבחר αכך ש .x ∈ Uαיש כדור (ε > 0) Bε (x) ⊂ Uαפתוח.
ל k0 < kמתאים ) xnk ∈ B ε2 (xוגם 2ε < nkאם״ם 2ε > n1kוזו סתירה כי:
B n1 (xnk ) ⊂ B ε2 (xnk ) ⊂ Bε (x) ⊂ Uα
k
וזו כמובן סתירה.
42
פרק .6קשירות
.6.2קומפקטיות
משפט 6.2.15
הטענות הבעות שקולות למרחב מטרי ):(X, d
X .1קומפקטי.
X .2קומפקטי של נקודות הצטברות.
X .3קומפקטי סדרתית.
הוכחה :2 ⇐ 1 :הוכח .זו עובדה כללית למרחבים טופולוגיים.
∞
נראה :3 ⇐ 2תהי (xn )n=1סדרה ב .X
∞
מקרה א :הקבוצה } {xnהיא סופית .אז יש תת סדרה (xnk )k=1כך ש ∞ → nkשל אינדקסים שונים . nkכך ש xnkסדרה
קבועה.
ובוודאי סדרה קבועה היא מתכנסת )לגבול שהיא עצמה(.
∞
מקרה ב :הקבוצה {xn }n=1אינסופית .מההנחה יש לה נקודת הצטברות ⇐aלכל שלם 1 ≤ kיש a 6= xnkכך ש .B k1 (a) ∋ xnk
בה״כ נוכל להניח כי nkמונוטונית עולה ממש ואז xnk −→ aוקבלנו תת סדרה מתכנסת כנדרש.
∞→k
לבסו ,נראה :1 ⇐ 3
יהי Xמרחב קומפקטי סדרתית .נניח בשלילה כי אינו קומפקטי .זה אומר כי קיים ל Xכיסוי פתוח
∞
יהי ε > 0מספר לבג עבור .{Uα }α∈Iנבנה באינדוקציה על nסדרה (xn )n=1ב Xכך ש:
{Uα }α∈Iללא תת כיסוי סופי.
d (xn , xm ) ≥ ε
לכל 1 ≤ m, nשונים .אם נצליח נסיים .כי אז ל ) (xnלא יכולה להיות תת סדרה מתכנסת בסתירה להנחה ש Xקומפקטית
סדרתית.
בניית ) x1 :(xn־ נקודה כלשהי ב .X
= ) Xאחרת קיים ל } {Uαתת כיסוי סופי מאוד( לכן נוכן לבחור
x2־ ) Bε (x1מוכל באיזשהי Yα1אבל 6 Uα1
.x2 ∈ X − Uαqנגיד
n
S
שבנינו את ,x1 , . . . , xnונבנה את .xn+1מכך ש εמספר לבג קיימות Uα1 , . . . , Uαn :כך ש .Bε (xi ) ⊂ Uαiאבל Uαi
=X 6
i=1
n
S
xn+1 ∈ X −וקבלנו סתירה כנדרש.
אחרת קיים ל } {Uαתת כיסוי סופי .נבחר Uαi
i=1
43
פרק 7
הכללה של מושגים מאינפי
נרצה להכליל מונחים מאינפי )של כמה משתנים(.
רציפות במידה שווה
7.1
הגדרה 7.1.1יהי ) (X, dמרחב מטרי .נאמר כי פונקציה f : X → Rהיא רצפה במידה שווה אם לכל ε > 0קיים 0 < δכך שלכל
x, y ∈ Xכך ש d (x, y) < δמתקיים . |f (x) − f (y)| < ε
להגדרה זו אין הכללה טובה למרחבים טופולוגיים )אבל יש הכללה למרחבים אינפורמיים״ של מרחבים מטריים שעבורם יש מושג כזה.
7.2משפטי ויירשטראס
משפט 7.2.1
יהי Xמרחב טופולוגי קומפקטי ותהי f : X → Rרציפה.
.1משפט ויירשטראס ראשון f :חסומה.
.2משפט ויירשטראס שני f :מקבלת את המקסימום והמינימום שלה.
.3תהי dמטריקה על ,Xאזי fרציפה במידה שווה ביחס אליה.
הוכחה:
.1ל n ∈ Nכך ש .n ≥ 1תהי ) .R ⊃ Wn = (−n, nולכן ) f −1 (Wnכיסוי פתוח ל .Xנוציא תת כיסוי סופי ב
r
f −1 (Wni ) i=1ואז n = max niוחוסם את | .|f
i≤r
הוכחה אלטרנטיבית f (X) :קומפקטית ב Rובפרט חסומה.
.2יהי )) M = sup f (xהוא קיים וסופי מהמשפט הראשון( ,נשתמש בתכונת החיתוכים הסופיים :נתבונן בקבוצה = Wε
x∈X
)] (ε > 0) f −1 ([M − ε, Mה (Wε )ε>0הוא אוסף של קבוצות סגורות ב Xויש לו את תכונת הכיסויים הסופיים ולכן )X
קומפקטי( יש לו חיתוך לא ריק לכל xבחיתוך הזה x ∈ Xומקיים f (x) = Mוסיימנו .הוכחה זהה למינימום.
הוכחה אלטרנטיבית f (X) :קומפקטים ב Rובפרט סגורה!!!
.3יהי ) (X, dמרחב מטרי קומפקטי ,יהי ε > 0ויהי δ > 0מספר לבג עבור הכיסוי הפתוח:
n
ε
ε o
f −1 t − , t +
2
2 t∈R
x,מקיימות d (x, y) < δאזי הן שייכות לאחת מקבוצות הכיסוי ואז |) |f (x) − f (y־ מרחב בין שתי נקודות
אם y ∈ X
באותו קטע t − 2ε , t + 2εולכן מרחקן קטן מ εוסיימנו.
44
פרק .7הכללה של מושגים מאינפי
.7.2משפטי ויירשטראס
משפט 7.2.2משפט טיכונוף
מכפלת מ״ט קומפקטיים היא קומפקטית.
הוכחה :יהיו {Xα }α∈Iמ״ט קומפקטיים ,ויהי {Fβ }βתת־קבוצות של Xα
ריק.
לצורך כך ,נחליף את האוסף } F = {Fβבאוסף גדול יותר עם אותה תכונה.
Q
בעלות .FIPנרצה להראות שחיתוך הסגורים אינו
α∈I
Qבכל האוספים המכילים את Fומקיימים FIP־ } .Coll = {F , G, H, . . .כל איבר ב־ Collהוא אוסף תתי־קבוצות של
נתבונן
, Xαמכיל את ,Fובעל .FIP
α
בתוך ,Collנאמר כי G ≤ Hאם Gהוא תת־אוסף של ,Hכלומר .G ⊂ Hברור כי זה מגדיר יחס סדר חלקי.
Q
S
תהי } {Gγשרשרת לא־ריקה ב־ .Collנתבונן ב־ .G ∗ = Gγזהו בבירור אוסף של תתי־קבוצות של . Xαיש לו את תכונת
α
γ
החיתוכים הסופיים ־ אם ∗ ,F1 , . . . , Fn ∈ Gאז ,Fi ∈ Gγiואז עבור γ = max γiיתקיים מתכונת השרשרת ש־ ,Gγi ⊂ Gγכלומר
1≤i≤n
כל Fiב־ ,Gγשיש לו את תכונת החיתוכים הסופיים .לכן .G ∗ ∈ Coll
לפיכך ,מהלמה של צורן ,קיים ב־ Collאיבר מקסימלי ,שנסמנו ב־ .Gהמקסימליות גוררת של־ Gהתכונות הבאות:
.1תהי Xα
Q
α
⊂ Uהמכילה איזשהו ,Gβ ∈ G = {Gβ }βאזי גם Uב־.G
.2חיתוך סופי Gβi
.3קבוצה Xα
Q
α
n
T
i=1
של Gβi ∈ Gהוא גם ב־G
⊂ Vהחותכת כל Gβהיא גם ב־ ,Gכי ∅ =6
כעת נסמן ב־ παאת ההטלה Xα′ → Xα
Q
.πα :תהי Xα
Q
α
α′
n
T
Gβi
i=1
∩ .V
⊂ ,Gנתבונן ב־)).πα−1 (πα (G
אם ,G ∈ Gאזי )) πα−1 (πα (Gמכילה את Gולכן ב־.G
Q
Xα′
× ) πα−1 (πα (G)) = πα (Gהיא תיבה גדולה .לכן ,ל־ αקבוע יש לאוסף πα−1 (πα (G)) G∈G
α′ 6=α
את תכונת החיתוכים
הסופיים )כי לתיבות הגדולות באופן כללי יש תכונה זו( .ולכן גם לאוסף ) {πα (G)}G∈Gכש־ αקבוע( יש את תכונת החיתוכים
T
הסופיים .זהו אוסף של תתי־קבוצות של ,Xαשהוא קומפקטי ,ולכן ∅ =πα (G) 6
.
G∈G
נשתמש באקסיומת הבחירה ־ לכל ,αנבחר )πα (G
T
G∈G
נסמן ,x = (xα )α∈Iכך ש־ Xα
כל סביבה של xב־ Xα
Q
α
Q
α
∈ .xנוכיח ש־G
T
G∈G
∈ .xαכל סביבה של xαב־ Xαתחתוך את ) πα (Gלכל .G ∈ G
∈ xונסיים.
מכילה תיבה פתוחה גדולה Xα
Q
× Uαi
α∈{α
} / 1 ,...,αn
n
Q
= Bש־ Xשייך אליה .מספיק להראות שכל B
i=1
חותכת כל ,G ∈ Gואז x ∈ Gלכל .G ∈ G
Y
n
T
× Uαi
Xα
= ,Bולכל iמתקיים ∅ = Bi ) Bi ∩ G 6היא סביבה של xלכל ,1 ≤ i ≤ n
i=1
α6=αi
{z
}
Uαiהיא סביבה של xαiלכל
|
Bi
,1 ≤ i ≤ nולכן ∅ = παi (G) ∩ Uαi 6לכל ,G ∈ Gולכן ∅ = G ∩ Bi 6לכל ,(Gומתנאי 3סיימנו.
טענה 7.2.3
∞
Q
][0, 1
= Xאינו קומפקטי בטופולוגית התיבות.
i=1
הוכחה :הקבוצות
מכיוון ש־
1
3, 1
1
3, 1
ו־ 0, 23פתוחות ב־] .[0, 1לכל תת־קבוצה A ⊂ Nנגדיר
0, 32 ,כיסוי פתוח של ] ,[0, 1אזי UA
S
A⊂N
1
3, 1
Q
Q 2
× 0, 3
i∈N\A
= .UA
i∈A
= Xו־ {UA }A⊂Nכיסוי פתוח בטופולוגית התיבות ,אך נראה שאין לו
כיסוי פתוח בטופולוגית התיבות .בהינתן A1 , . . . , Arאז UAk 6= X
45
r
S
.
k=1
פרק .7הכללה של מושגים מאינפי
.7.2משפטי ויירשטראס
n∈A
N
N
∞
אם ,Bi = Aciנתבונן בקבוצה .{0, 1} ⊂ Xאזי } ,{PAi } = UAi ∩{0, 1כאשר PAi = (XAi ,n )n=1עם
∈n
/A
r
S
ולכן UAk
∩ } {0, 1יכיל לכל היותר rנקודות.
0
1
(
= .XAi ,n
k=1
משפט 7.2.4
מרחב קומפקטי האוסדורף הוא נורמלי.
הוכחה :היתה הוכחה בתרגיל 9שאלה .1נתחיל בהוכחת רגולריות.
תהי A ⊂ Xקבוצה סגורה ו־ x ∈ X\Aנקודה ,נפרידן בפתוחות זרות .לכל ,a ∈ Aנבחר Vaפתוחה כך ש־ ,a ∈ Vaוכן Uaפתוחה
כך ש־ ,x ∈ Uaו־ Va , Uaזרות.
n
S
n
מההנחות נובע כי Aקומפקטית ,ולכן מספר סופי של Vaיכסו את ,({Vai }i=1 ) Aכאשר Vai
= Vפתוחה המכילה את ,Aוזרה
לפתוחה Uai
n
T
i=1
= Uהמכילה את .x
i=1
כעת נוכיח נורמליות ־ תהיינה A, Bסגורות זרות ב־ .Xלכל x ∈ Bנבחר פתוחות זרות Ux , Vxכך ש־ .A ⊂ Vx , x ∈ Uxמספר
n
n
T
S
n
סופי {Uxi }i=1מכסות את .Bתהיינה Vxi
= Uxi , V
= .Uאלו פתוחות זרות כך ש־ .A ⊂ V, B ⊂ U
i=1
i=1
משפט 7.2.5
יהי Xקומפקטי Y ,האוסדורף f : X → Y ,חח״ע ורציפה עם טווח צפוף ,אז fהומאומורפיזם.
הוכחה :היה בתרגיל .9
7.2.1
קומפקטיות מקומית
הגדרה 7.2.6מ״ט Xקומפקטי מקומית במובן החלש אם לכל נקודה בו קיימת סביבה קומפקטית.
מ״ט Xקומפקטי מקומית במובן החזק אם לכל x ∈ Xוסביבה Uשל ,xקיימת סביבה קומפקטית Vכך ש־ .x ∈ V ⊂ U
ברור כי מתקיים:
X .1קומפקטי =⇐ Xקומפקטי מקומית במובן החלש.
X .2קומפקטי מקומית במובן החזק =⇐ Xקומקפטי מקומית במובן החלש.
משפט 7.2.7
במ״ט האוסדורף ,קומפקטיות מקומית )שנראה שהסוגים שקולים( גוררת שהמרחב רגולרי.
הוכחה :תהי A ⊂ Xסגורה .x ∈ X\A ,תהי Cסביבה קומפקטית של .xאז Cמכילה פתוחה סביב .x
′
′
ממשפט שהוכחנו C ,היא מ״ט נורמלי .אז יש קבוצות פתוחות ב־ C־ U ′ , V ′־ המפרידות את xמ־ ,A∩Cכלומר .x ∈ U , A∩C ⊂ V
נכתוב V ′ = W ∩ Cכך ש־ Wפתוחה ב־ .Xנבחר פתוחה U ⊂ Xכך ש־ x ∈ Uו־ .x ∈ U ⊂ U ′
קיימת Uכזו כי Cמכילה פתוחה ב־ Xהמכילה את ) xמקומפקטיות מקומית במובן החזק( ,ולכן יכולנו לבחור את U ′להיות פתוחה
ב־ Xולא רק ב־.C
′
נתבונן ב־) .W ∪ (X\Cזו פתוחה ב־ ,Xמכילה את Aוחותכת את Cב־ ,W ∩ C = Vובפרט היא זרה ל־ .U
משפט 7.2.8
במ״ט האוסדורף ,קומפקטיות במובן החלש ⇔ קומפקטיות במובן החזק.
הוכחה :חזק =⇐ חלש מיידית .נוכיח שחלש =⇐חזק.
תהי ,x ∈ Xתהי Cסביבה קומפקטית של ,xותהי Uסביבה של .xמכיוון ש־ Cקומפקטית ו־ Xהאוסדורף C ,סגורה ב־ .Xבה״כ
Uפתוחה ב־ ,Xולכן C\Uסגורה ב־.X
הראינו בשבוע שעבר ש־ Xרגולרי ,ולכן קיימת סביבה פתוחה Vשל xכך ש־ .V ⊂ Uכעת C ∩ Vסגורה בקומפקטית ולכן
קומפקטית ,סביבה של xכחיתוך שתי סביבות ,וכמובן מוכלת ב־ .U
46
.7.3מרחבי מנה
7.3
פרק .7הכללה של מושגים מאינפי
מרחבי מנה
הערה מקדימה כללית:
הערה 7.3.1תהי f : X → Yהעתקה בין קבוצות .אזי אם Uטופולוגיה על ,Xיש טופולוגיה ״טבעית״ על Yהמוגדרת ע״י כך
ש־ V ⊂ Yתיקרא פתוחה ⇔ ) f −1 (Vפתוחה ב־.X
טופולוגיה זו ״טבעית״ במובן הבא:
f .1הופכת להיות רציפה
.2רק הקבוצות ההכרחיות לרציפות fשייכות לטופולוגיה זו .במילים אחרות ,מכל הטופולוגיות האפשריות על Yשעבורן f
רציפה ,זו החלשה ביותר.
הגדרה 7.3.2טופולוגיה מושרית :נאמר כי טופולוגיה זו על Yמושרית מהטופולוגיה Uדרך .f
הגדרה 7.3.3טופולוגית המנה :המקרה שיעניין אותנו הוא כאשר fהיא על ,Yואז נקרא לטופולוגיה המתקבלת על Yטופולוגיית
המנה.
אז ניתן לחשוב על Yקבוצתית כמנה של Xביחס שקילות ־ ) .x1 ∼ x2 ⇔ f (x1 ) = f (x2
הערה 7.3.4אם Rיחס שקילות על קבוצה ,Xקיימת קבוצת המנה ) X/Rאוסף מחלקות השקילות( ,ויש העתקה טבעית π : X → X/R
ששולחת נקודה למחלקת השקילות שלה.
דוגמה ,A ⊂ X 7.3.5ונגדיר x1 ∼ x2אם ).(x1 = x2 ) ∨ (x1 , x2 ∈ A
נאמר כי Yמתקבל מ־ Xע״י זיהוי Aלנקודה ונסמן .Y = X/A
}.X = [0, 1] , A = {0, 1
טענה 7.3.6
ניתן לזהות את
X/A
1
עם המעגל .S
הוכחה :תהי ) ϕ : [0, 1] → S 1כאשר S 1עם הטופולוגיה המושרית מ־ ,(R2כך ש־ .ϕ (t) = e2πit
נסמן ב־} π : [0, 1] → [0,1]/{0,1את העתקת המנה ששולחת כל איבר למחלקת השקילות שלו .היא רציפה ,על וכמעט חח״ע ־
) ,π (0) = π (1ובשאר התחום היא חח״ע.
1
][0,1
ψ :כך ש־.ϕ = ψ ◦ π
מכיוון ש־) ,ϕ (0) = ϕ (1ברור כי קיימת העתקה יחידה כקבוצות /{0,1} → S
הומאומורפיזם .היא בוודאי חח״ע ועל .תהי U ⊂ S 1פתוחה .יש להראות כי ) ψ −1 (Uפתוחה במרחב המנה .זה
אנו נראה כי ψ
שקול לכך ש־) π −1 ψ −1 (U ) = ϕ−1 (Uפתוחה ב־] .[0, 1זה נכון כי ϕרציפה.
מרחב המנה הוא גם קומפקטי:
למה 7.3.7
יהי Xקומפקטי R ,יחס שקילות עליו ,אזי X/Rקומפקטי.
הוכחה :העתקת המנה רציפה ,ותמונה רציפה של קומפקטי היא קומפקטית.
לכן ψחח״ע ועל ורציפה ממרחב קומפקטי למרחב האוסדורף ,ולכן היא הומאומורפיזם.
מסקנה 7.3.8
.1אם Xמ״ט ו־ Rיחס שקילות ,מתקבלת העתקת מנה π : X → X/Rשהיא רציפה )מהגדרת טופולוגית המנה( .אם Yמ״ט אזי
ψ : X/R → Yרציפה ⇔ ψ ◦ πרציפה.
.2העתקה רציפה ϕ : X → Yהיא מהצורה ϕ = ψ ◦ πעבור ψ : X/R → Yאם ורק אם קיימת ψכזו כהעתקה בין קבוצות ־
במילים אחרות ,רציפות ψאוטומאטית מהגדרת טופולוגית המנה.
47
פרק .7הכללה של מושגים מאינפי
.7.3מרחבי מנה
משפט 7.3.9
יהי Xמ״ט R ,יחס שקילות עליו ,אזי אם Xקומפקטי /קשיר /קשיר מסילתית גם X/Rכזה.
הוכחה :תמונה רציפה של כל אחת מתכונות אלו שומרת על התכונה.
הערה 7.3.10זה לא נכון לתכונות ההפרדה! למשל מ״ט דיסקרטי הוא האוסדורף ,אבל תחת הטופולוגיה הטריוויאלית איננו כזה.
משפט 7.3.11
יהיו X, Yמ״ט R ,יחס שקילות על π : X → X/R ,Xהעתקת המנה .תהי f : X → Yרציפה.
.1אם לכל x1 ∼ x2מתקיים ) f (x1 ) = f (x2אזי קיימת φ : X/R → Yיחידה כך ש־.f = φ ◦ π
.2אם באותם תנאים Xקומפקטי ו־ Yהאוסדורף ו־ fעל ,וכן ) ,x1 ∼ x2 ⇔ f (x1 ) = f (x2אזי φהומאומורפיזם.
הוכחה :ההוכחה זהה לדוגמה שראינו ומושארת כתרגיל.
דוגמה 7.3.12
}[0,1]/{0, 1 ,1
2
הומאומורפי לצורה של .8
דוגמה 7.3.13יהי } Bn = B = {x ∈ Rn | kxk ≤ 1כדור היחידה הסגור )בנורמה אוקלידית( ,ו־}.S = S n−1 = {x ∈ Rn | kxk = 1
∼ ) Bn/S n−1אינטואיטיבית ,כדאי לחשוב על .(n = 1, 2
אזי = S n
אפשר לעשות זאת באופן ישיר ,אך וריאציה נוחה יותר היא להשתמש בבניית עזר.
n−1
B
הומאומורפיזם
משרה
יהי ] ,I = [0, 1ונביט ב־ G : S n−1 × I → Bnכך ש־ .(~x, t) 7→ t~xהעתקה זו
∼ }G . S ×I/S n−1 ×{0
= n
שולחת את } S n−1 × {tהומאומורפית על הספירה ברדיוס tעבור ,t > 0וממוטטת את } S n−1 × {0לראשית .מהמשפט הכללי
n−1
∼ }.S ×I/S n−1 ×{0
הקודם ,נקבל הומאומורפיזם = Bn
כעת ,במקום 0 ∈ Iניתן לקחת כל קטע סגור Jונקודת קצה שלו a־ למשל ,ניקח ] [−1, 1ואת הנקודה .−1
n−1
∼ } .S ×[−1,1]/S n−1 ×{−1כעת ,אם נמוטט לא רק נקודה נוכל להגדיר הומאומורפיזם מפורש.
אזי = Bn
√
P 2
n−1
n
2
= )) F ((x1 , . . . , xn ) , tכאשר .( xi = 1אזי
F : Sע״י 1 − t (x1 , . . . , xn ) , t
באופן מפורש נגדיר × [−1, 1] → S
i
2
√ P
1 − t2 xi + t2 = 1
)ולכן ההעתקה מוגדרת היטב(.
i
∼
אזי Fמשרה הומאומורפיזם = S n
n
n
כלומר ,המנה של B nב־ (B /S n−1 ) S n−1מזדהה עם ,Sכנדרש.
n−1
.S ×[−1,1]/R
הגדרה 7.3.14יריעה :מ״ט Xנקרא יריעה ממימד nאם לכל x ∈ Xקיימת סביבה פתוחה הומאומורפית ל־ .Rn
מקובל להוסיף עוד שני תנאים טכניים:
X .1האוסדורף
.2יש לטופולוגיה בסיס עם מספר בן מנייה של פתוחות בסיסיות.
דוגמה Rn 7.3.15עם בסיס לטופולוגיה שהוא כדורים פתוחים עם רדיוס ומרכז רציונליים.
משפט 7.3.16
משפט קשה בטופולוגיה אלגברית ־ המימד nמוגדר באופן יחיד )ראינו עבור ,n = 1נראה בהמשך הקורס עבור .(n = 2
כמה עובדות מיידיות:
.1קבוצה פתוחה ביריעה ממימד nהיא יריעה ממימד n
.2מכפלת יריעה ממימד mביריעה ממימד nהיא יריעה ממימד n + m
∼ .(Rn
.3הספירה S nהיא יריעה ממימד ) nלמשל כי לכל x ∈ S nמתקיים }= S n \ {x
עוד כמה משפטים לא קלים:
משפט 7.3.17
48
.7.4קבוצת קנטור
פרק .7הכללה של מושגים מאינפי
.1יריעה ממימד 1הומאומורפית ל־ Rאו ל־ .S 1
.2יש מיון מלא )עד כדי הומאומורפיזם( ליריעות דו־מימדיות קומפקטיות
.3במובן מסוים )ומסובך יותר( ,גם ליריעות תלת־מימדיות קומפקטיות.
דוגמה 7.3.18
• כל קבוצה פתוחה ביריעה היא יריעה מאותו מימד.
• מכפלת יריעות היא יריעה שמימדה הוא סכום המימדים.
• נסמן ] ,I = [0, 1ונגדיר יחס שקילות ־ לכל ,(0, t) ∼ (1, t) ,tולכל .(δ, 0) ∼ (δ, 1) ,δנסמן יחס זה ב־) .(∼′
קל להשתכנע כי אם נגדיר על Iיחס שקילות ) 0 ∼ 1שנסמנו ב־)” ∼(( ,אז ”∼.δ ′ × δ ′ = I×I/∼′ = I/∼” × I/
• S nיריעה ממימד .nכל חצי ספירה פתוחה ניתן להטיל על הכדור הפתוח ,Bnשהוא הומאומורפי ל־ ) Rnכל נקודה בספירה
יושבת על חצי־ספירה פתוחה(.
)( x tan(kxk
x 6= 0
kxk
→.x 7
– כדור פתוח הומאומורפי ל־ Rnלפי כך שעבור ) x ∈ Bn (0מתקיים
0
x=0
הערה 7.3.19בכל הדוגמאות מתקיימים גם שני התנאי הטכניים שציינו ־ האוסדורף +בסיס בן מנייה.
הגדרה 7.3.20המרחב הפרוייקטיבי= RPn :
∼S n/
כאשר )) x ∼ (−xנקודות אנטיפודיות(.
המרחב הפרוייקטיבי הוא יריעה nמימדית )הוא האוסדורף כי אפשר לקחת סביבות מספיק קטנות על המעגל(.
7.4קבוצת קנטור
Cnהוא איחוד סופי של קטעים סגורים המוכלים ב ].[0, 1
]C0 = [0, 1
=Cn+1מכל קטע ] [a, bב Cnמויאים את השליל האמצבעי:
קבוצת קנטור היא:
i
Cn
)2(b−a
,b
3
∞
\
h
∪ a+
b−a
3
. a, a +
=C
n=0
הוכחנו כי:
x ∈ [0, 1] .1הוא ב Cאם״ם בפיתוח שלו לבסיס ) 3כלומר
an
3n
פרט ל (x = 0רק הספרות 0, 2משתתפות.
∞
P
n=1
= xכאשר } an ∈ {0, 1, 2ולא לוקחים פיתוחים סופיים
C .2קומפקטית מעוצמת הרצף .כל מרכיב קשירות של Cהוא נקודה אחת.
משפט 7.4.1
N
∼C
}= {0, 1
הוכחה :נבנה ϕ : {0, 1}N → Cע״י:
∞
X
an
en
כאשר
N
=2
n=1
∞
X
) (2an
3n
∞
= ) ϕ (a) = ϕ ((an )n=1
n=1
∞
} ,a = (an )n=1 ∈ {0, 1כלומר }.an ∈ {0, 1
49
פרק .7הכללה של מושגים מאינפי
.7.5העקום של פיאנו
ברור כי מתקבלים הפיתוחים של אברי Cבבסיס 3וכי העתקה חח״ע )שני פיתוחים עם ספרות 2, 0בלבד אינם יכולים לתת אותו
מספר ממשי(.
בנוסף ϕרציפה כי אם nהספרות הראשונות קבועות )כלומר אם
N
} a, b ∈ {0, 1ומתקיים ak = bkלכל (n ≥ kאזי:
∞
X
1
3k
k=n+1
} | {z
2
|)≥ |ϕ (a) − ϕ (b
1
2
· 3n+1
= 2/3
= 31n −→ 0
∞→n
1
1− 1
3
1
=2 3n+1
·
לכן ϕ ,פונקציה חח״ע ועל ורציפה ממרחב קומפקטי למרחב האוסדורף ולכן הומאומורפיזם.
הערה 7.4.2אפשר לבנות את .ψ = ϕ−1כך ש:
N
∞) (ψn
}n=1 = ψ : C → {0, 1
נבנה את הפונקציות:
}ψn : C → {0, 1
באופן של:
ψn = ψ˜n |C
נבנה את ψ˜nבאופן הבא:
}ψ˜n : Cn+1 → {0, 1
xבצד השמאלי של הקטע מ Cnשחלקנו
בצד הימני
0
1
(
= )ψ˜n (x
ברור כי ψ˜nקבועה מקומית על Cnולכן רציפה .לכן גם ψn = ψ˜n |Cרציפה מתכונת טופולוגיית המכפלה ψ = (ψn )nרציפה.
מהגדרת Cכחיתוך נובע כי ψחח״ע .הטווח שלה כחיתוך כל קבוצה בסיסית
N
}(a1 , . . . , an ) × {0, 1
ולכן צרוף.
כדי לסיים:
• או שבודקים ש ϕ, ψפונקציות הפוכות.
• או שמשתמשים במשפט שהוכחנו קודם.
7.5
העקום של פיאנו
העקה רציפה ועל f : [0, 1] → [0, 1]2מכוסה בתרגול.
50
פרק 8
החבורה היסודית
8.1
מבוא
תזכורת 8.1.1חבורה היא קבוצה עם פעולה:
G×G→G
יש לה יחידה:
g·e= e·g = g
יש לה הופכי:
g · g −1 = g −1 · g = e
והיא אסוציאטיבית:
)(xy) z = x (yz
אבל לא בהכרח קומוטטיבית .כלומר ייתכן.xy 6= yx :
למרחב טופולוגי Xולנקודה x0 ∈ Xנבנה את החבורה היסודית של Xב x0שתסומן:
) π1 (X, x0
)קבוצת מחלקות שקילות של איזשהו יחס על איזשהי קבוצה(.
תזכורת 8.1.2הומומורפיזם של חבורות:
H, Gחבורות .פונקציה f : G → Hתקרא הומומורפיזם אם:
)f (xy) = f (x) f (y
לכל x, y ∈ Gזה גורר כי:
eH
−1
))(f (x
= ) f (eG
=
f x−1
51
.8.2הכנות לקראת בניית π1
פרק .8החבורה היסודית
תכונה חשובה מאוד של החבורה היסודית :כל העתקה רציפה של מרחב טופולוגי f : X → Yתתן לנו הומומורפיזם של חבורות:
) f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0
כאשר ).y0 = f (x
8.2
הכנות לקראת בניית π1
יהיו X, Yמרחבים טופולוגיים ותהיינה f, g : X → Yרציפות.
הגדרה 8.2.1נאמר כי f, gהומוטופיות אם ״ניתן להזיז את fבאופן רציף ל g״ .כלומר :קיימת העתקה רציפה:
F : X × [0, 1] → Y
כך ש:
)g (x
= )F (x, 1
)f (x
= )F (x, 0
הסיה למינוח הלא פורמלי :נגדיר ] y ∈ [0, 1ונגדיר:
→ Y
)= F (x, t
ft : X
)ft (x
הצמצום Fלקו גובה מתאים ל {ft }0≤t≤1 ,tמשפחה רציפה של פונקציות המתחילה ב fומסתיימת ב .g
= f
= g
f0
f1
סיבוב טכני קטן אבל מועיל:
תהי Aתת קבוצה של .Xאם ) F (a, tאינה תלוייה ב tלכל a ∈ Aנאמר כי ההומוטופיה Fהיא ״יחסית לA״ כדי שזה יקרה חייב
בפרט להתקיים ) .f (a) = F (a, 0) = F (a, 1) = g (aכלומר:
f |A = g | A
הגדרה 8.2.2מסילה במרחב טופולוגי Xהיא העתקה רציפה:
f : [0, 1] → X
הערה 8.2.3נסמן ] I = [0, 1לנוחות .הומוטופיה של מסילות היא כמובן) F : I × I → X :רציפה(
הומוטופיה של מסילות ביחס לנקודות קצה היא הומוטופיה של מסילות ביחס לקבוצה }) {0, 1של שתי נקודות הקצה(.
מזיזים באופן רציף את המסליה fלמסילה gדרך המסילות .ftלהגיד שההומוטופיה היא ביחס לנקודות קצה משמעו כי נקודות
הקצה הולכות לנקודות ב Xשאינן תלויות ב .t
הגדרה 8.2.4מסילה במרחב טופולוגי Xהיא α : I → Xרציפה תקרא סגורה אם ).α (0) = α (1
52
.8.2הכנות לקראת בניית π1
הערה 8.2.5הראינו כי
[0,1]/0∼1
פרק .8החבורה היסודית
הומאומורפי למעגל S 1ולכן המסילה סגורה מכילה אותו מידע כמו העתקה רציפה:
α : S1 → X
הגדרה 8.2.6מרחב המסילות :יהי Xמרחב טופולוגי x0 ∈ X .מרחב המסילות )הסגורות ב (Xביחס ל x0הוא:
} P (X, x0 ) = {α : I → X | α (0) = α (1) = x0
הגדרה 8.2.7שרשור של מסילות :תהיינה α, β : I → Xונניח כי ) .α (1) = β (0השרשור של αו βשיסומן α × βהיא המסילה
״ αואח״כ β״ .כלומר:
(
)α (2t
0 ≤ t ≤ 2t
= )α ∗ β (t
β (2t − 1) 12 ≤ t ≤ 1
השרשור הוא מסילה )כלומר רציפה( מ ) α (0ל ).β (1
בפרט אם ) α, β ∈ P (X, x0אזי גם.α ∗ β ∈ P (X, x0 ) :
וקבלנו ״חוק כפל״ ) .P (X, x0 ) × P (X, x0 ) → P (X, x0
למה 8.2.8
הומוטופיה של מסילות ביחס לנקודות קצה הוא יחס שקילות.
הערה 8.2.9זה מקרה פרטי של הומוטופיה ביחס לתת קבוצה.
טענה 8.2.10
יהי X, Yמרחבים טופולוגגים אם A ⊂ Xאם f, g, h : X → Yרציפות אזי:
f .1הומוטופית לעצמה ביחס ל .A
f .2הומוטופית ל gביחס ל g ⇐Aהומוטופית ל fביחס ל .A
f .3הומוטופית ל gו gל hביחס ל Aאזי fהומוטופית ל hביחס ל .A
הערה 8.2.11סימון.f ∼A g :
הוכחה:
F (x, t) = f (x) .1נותן .f ∼A f
.2אם ) F (x, tנותנת f ∼A gאזי ) F (x, 1 − tנותנת .g ∼A f
f ∼F g ∼G g .3אזי .f ∼H h
1
2
1
2
הסכמה בחיתוך
1
2
≤t
≥t
)F (x, t
)G (x, t
(
= )H (x, t
= tנותנת רציפות .Hמרציפות .G, F
הערה 8.2.12אם ) F (a, tקבועה ב G (a, t) , tקבועה ב tאזי H (a, t) :קבועה ב tגם היא.
כמסקנה נקבל כי יחס ההומוטופיה ביחס לנקודת קצה על ) P (X, x0הוא יחס שקילות.
נסמן את קבוצת מחלקות השקילות:
∼π (X, x0 ) = P (X,x0 )/
53
.8.2הכנות לקראת בניית π1
פרק .8החבורה היסודית
למה 8.2.13
אם α1 ∼ α2מסילות β1 ∼ β2 ,ב .Xהומוטופיה ביחס לנקודות קצה .אז:
α1 ∗ β1 ∼ α2 ∗ β2
כל אלה ב ) P (X, x0אם כי היה מספיק להניח ).α1 (1) = β1 (0
בהוכחה נגדיר את:
H : [0, 1] × [0, 1] → X
1
2
1
2
)F (2s, t
≤s
≥ G (2s − 1, t) s
(
= )H (s, t
H .1רציפה כי נתון ש F, Gרציפות ובחיתוך:
1
1
F 2 · , t = F (1, t) = x0 = G (0, t) = G 2 · − 1, t
2
2
.2אם נסתכל ב t = 0נקבל כי:
)= (α1 ∗ β1 ) (s
1
2
1
2
)α (2s
≤s
≥ β (2s − 1) s
(
=
1
2
1
2
)F (2s, 0
≤s
≥ G (2s − 1, 0) s
(
= )H (s, 0
ובאותו אופן:
)H (s, 1) = (α2 ∗ β2 ) (s
.3כמו כן ,כמובן:
= )H (0, t
= )H (1, t
const
const
מסקנה 8.2.14
חוק השרשור על ) P (X, x0משרה חוק שרשור של מחלקות שקילות ) .π (X, x0 ) × π (X, x0 ) → π (X, x0
משפט 8.2.15
חוק השרשור על ) π (X, x0נותן לה מבנה של חבורה.
איבר היחיסה :המסילה הקבועה p (s) = x0לכל ].s ∈ [0, 1
ההפכי למסילה ) α (sהוא )) α (1 − s״אותה מסילה בכיוון הנגדי״(.
למסילה ) α ∈ P (X, x0נסמן ב ] [αאת מחלקת השילות של αב ) .π (X, x0
עלינו להראות:
.1היחידה:
][α ∗ e] = [α] = [e ∗ α
54
.8.2הכנות לקראת בניית π1
פרק .8החבורה היסודית
.2הופכי:
]α ∗ α−1 = α−1 ∗ α = [e
.3אסוציאטיביות:
])[(α ∗ β) ∗ γ] = [α ∗ (β ∗ γ
לכל ) .α, β, γ ∈ P (X, x0
הוכחה:
(
2s
α t+1
s ∈ 0, t+1
2
= ) .F (s, tמתקיים = α (1) = x0
,Fולכן זו פונקציה רציפה .בנוסף,
.1נגדיר
x0
s ∈ t+1
2 ,1
) ,F (s, 0) = (α ∗ e) (s) , F (s, 1) = α (sולכן Fנותנת את ההומוטופיה הדרושה בין αל־ ,α ∗ eכלומר ].[α] = [α ∗ e
t+1
2 ,t
.2מושאר כתרגיל להראות כי אם ) ,α (s) = α (1 − sאז .α = α−1רמז :״צריך לזרוק חבל ולמשוך אותו חזרה״.
.3נגדיר:
t+1
נותר לבדוק רציפות .עבור
t+1
4
s ∈ 0, 4
t+2
s ∈ t+1
4 , 4
s ∈ t+2
4 ,1
s
α
t+1
4
s− t+1
F (s, t) = β t+2 −4t+1
4
4 t+2
γ s− t+2
4
1−
4
= sנקבל ) ,α (1) = β (0ועבור
t+2
4
= sנקבל ).β (1) = γ (0
בפעם הבאה נוכיח שאם Xקבוצה קמורה ב־ Rnאזי ) Π1 (X, x0היא החבורה הטריוויאלית
הערה 8.2.16אם f : X → Yרציפה ,אז מסילה αב־ Xעוברת למסילה f ◦ αב־ .Yאם ) α ∈ P (X, x0אז )) ,f ◦ α ∈ P (Y, f (x0
ואם ) α, β ∈ P (X, x0הומוטופיות ,α ∼F βאז ).f (α) ∼f ◦F f (β
בנוסף.f ◦ (α ∗ β) = (f ◦ α) ∗ (f ◦ β) ,
מסקנה 8.2.17
ההרכבה עם fמוגדרת היטב מ־) Π1 (X, x0ל־)) Π1 (Y, f (x0ונותנת הומומורפיזם של חבורות.
טענה 8.2.18
∼ ) .P (Y, x0 ) = P (X, x0 ) =⇒ π1 (Y, x0
יהי Yמרכיב הקשירות המסילתית של x0ב־ .Xאז ) = π1 (X, x0
טענה 8.2.19
∼
אם β : I → Xמקיימת ,β (0) = x0 , β (1) = x1אז מתקבל איזומורפיזם של חבורות π1 (X, x0 ) = π1 (X, x1 ) :לפי →[α] 7
. β −1 ∗ α ∗ β
כמו כן f : X → Y ,רציפה משרה )) f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, f (x0לפי ].[α] 7→ [f ◦ α
שתי הטענות האחרונות מוכחות בתרגיל .13
הגדרה 8.2.20תחום דמוי כוכב :תחום C ⊂ Rnיקרא דמוי כוכב ביחס ל־ x0 ∈ Vאם לכל ,x ∈ Vכל קטע קשיר x0 xמוכל ב־ .V
דוגמה 8.2.21קבוצה קמורה היא דמוית כוכב ביחס לכל נקודה שלה.
טענה 8.2.22
תהי V ⊂ Rnדמויית כוכב ביחס ל־ ,x0 ∈ Vאז ) π1 (V, x0היא החבורה הטאיוויאלית )ונסמן .(π1 (V, x0 ) = 1
הערה 8.2.23קבוצה דמוית כוכב היא קשירה מסילתית ,ולכן ינבע מיידית ש־ π1 (V, x) = 1לכל .x ∈ V
55
.8.2הכנות לקראת בניית π1
פרק .8החבורה היסודית
הוכחה :תהי ) ,α ∈ P (V, x0מספיק להראות כי ) α ∼ eכלומר αהומוטופית למסילה הקבועה e (t) = x0בהומוטופיה השומרת
נקודות קצה(.
נגדיר את ההומוטופיה F : I × I → Vע״י .F (s, t) = (1 − t) α (s) + t x0ברור כי fרציפה עם התכונות הנדרשות.
}|{z
)e(s
משפט 8.2.24
∼
החבורה היסודית של המעגל מקיימת = Z
1
1
) π1 S , x0עבור x0 ∈ Sכלשהי(.
בהוכחה נבנה את האיזומורפיזם ,שנקרא ״הדרגה״ של המסילה .אינטואיטיבית ,דרגה של מסילה תהיה כמה פעמים המסילה מסתובבת
סביב המעגל.
הגדרה 8.2.25העתקת האקספוננט )ההעתקה המעריכית( exp : R → S 1 :מוגדרת כך ש־)).exp (t) = e2πit = (cos (2πt) , sin (2πt
הערה 8.2.26תכונות מרכזיות:
• ) exp (t1 + t2 ) = exp (t1 ) exp (t2
• expרציפה
1
exp : t − 21 , t +
• expפתוחה .יותר מזה ,היא הומאומורפיזם מקומי .ליתר דיוק ,לכל ,z ∈ S 1נניח כי ) ,z = exp (tאז →
הומאומורפיזם.
} S 1 \ {−zהיא
כמובן ש־ .z = exp t + 21 = exp t − 21ההעתקה ההפוכה תסומן ,log : S 1 \ {−z} → t − 12 , t + 12ונשים לב שהיא
תלויה ב־) tאפשר לסמן .(logt
כלומר ,אם זורקים נקודה אחת מהמעגל ,אז הוא שקול לקטע פתוח.
2
• עבור tנתון.exp (s) = exp (t) ⇔ s − t ∈ Z ,
הגדרה 8.2.27הרמה של פונקציה :יהי Xמ״ט f : X → S 1 ,רציפה .הרמה של fהיא פונקציה רציפה f˜ : X → Rכך
ש־˜..f = exp ◦f
למה 8.2.28למות ההרמה
) .α״למת הרמת
αהמקיימת ˜ (0) = 0
.1לכל מסילה α : I → S 1המקיימת α (0) = 1 ∈ Cקיימת הרמה יחידה ˜ : I → R
המסילה״(
.2יהיו α, β : I → S 1מסילות המקיימות ) ,1 = β (0) = α (0ותהי F : I × I → S 1הומוטופיה מ־ αל־) βאין הנחה של שמירת
αכמו בלמת
αכאשר ˜˜ , β
נקודות קצה( .אז קיימת ל־ Fהרמה יחידה F˜ : I × I → Rכך ש־)˜ (s) = F˜ (s, 0) , β˜ (s) = F˜ (s, 1
הרמת המסילה) .״למת הרמת ההומוטופיה״(
הוכחה :לשתי הלמות ביחד .נסמן ב־ Kאת ) Iעבור הלמה הראשונה( ואת I × Iעבור הלמה השניה ־ Kזה סימון למרחב מטרי
קומפקטי.
ראשית נוכיח יחידות .נניח שיש שתי הרמות f˜1 , f˜2 : K → R ,של ,f : K → S 1ונניח כי הן מסכימות ב־) k0 ∈ Kקיום k0כזה
מובטח בהנחות הלמות( .ההפרש f˜1 − f˜2 = ϕ : K → Rיקיים את התכונות הבאות:
ϕ (k0 ) = 0 .1
= 1 .2
)f (k
)f (k
=
)exp f˜1 (k
)exp f˜2 (k
= ) exp ϕ (kלכל k ∈ K
לפיכך ,ϕ (k) ∈ Z ,אבל ϕרציפה ומקיימת ϕ (k0 ) = 0ולכן ,ϕ ≡ 0ולכן ) f˜1 = f˜2נובע מכך ש־ Kמרחב קשיר(.
להוכחת קיום ההרמות ,נסמן log : S 1 \ {−1} → − 21 , 12ההפוכה המתאימה ל־ .expנבחר N ∈ Nגדול מספיק כך ש־
|f (k) − f (k ′ )| < 1לכל N .|k − k ′ | ≤ N1כזה קיים כי Kמטרי קומפקטי ולכן fרציפה במ״ש עליו.
j+1
j
′
′
מה שחשוב הוא ש־ k, kמספיק קרובים ,ו־) f (k) , f (kלא אנטיפודיות .לכל 0 ≤ j ≤ Nולכל x ∈ Kמתקיים = N x − N x
NQ
−1
x
)f ( j+1 x
< 2
, Nאזי gj (x) = f Nj x ∈ S 1תקיים gj (x) 6= −1ולכן נוכל להרים את )gj (k
= ) f (kע״י הפונקציה הרציפה:
N
(
)
N
j=0
NP
−1
)log gj (k
= ˜.f
j=0
56
.8.2הכנות לקראת בניית π1
פרק .8החבורה היסודית
למעשה ,חילקנו את fלהרבה פונקציות קטנות שלא יכולות לקבל נקודות אנטיפודיות .כעת ,ברור כי ) exp f˜ (x) = f (kלכל ,k ∈ K
ולכן זו אכן הרמה של .f
נראה את התנאים הנוספים:
NP
−1
f
)(0
בלמה log gj (0) = N · log f (0) = N log 1 = N · 0 = 0 ,1
= ) f˜ (0כנדרש.
j=0
,F˜ (0, 0) = αוכנ״ל ל־).β˜ (s) = F˜ (s, 1
בלמה F˜ (s, 0) ,2היא ההרמה של ) f (s, 0) = α (sשהתקבלה כמו בלמה ,1ולכן ˜ (s) = 0
נחשב את החבורה היסודית של המעגל .π1 S 1 , 1 ,ראשית נגדיר את הדרגה ־ ההעתקה .deg : π1 S 1 , 1 → Z
.deg α = α
˜ .נגדיר )˜ (1
αהמקיימת כמו בלמה α (0) = 0
αההרמה שלה ל־˜ : I → R
הגדרה 8.2.29למסילה ,α ∈ P S 1 , 1תהי ˜
.α 7→ α
˜ .זה נותן לנו העתקה P S 1 , 1 → Zלפי )˜ (1
,exp αולכן יודעים ש־α (1) ∈ exp−1 (1) = Z
יודעים ש־˜ (1) = α (1) = 1
טענה 8.2.30
F
אם ) α ∼ βהומוטופיה שומרת נקודות קצה( אזי .deg α = deg β
13־ רייצ׳ל
נעה(
אם נראה זאת ,נקבל העתקה מוגדרת היטב .deg : π1 S 1 , 1 → Zהוכחה :למת הרמת ההומוטופיה )שמרימה את ההומוטופיה F
) αלהפרש יש .((exp = 1
αשמסכימות על ,0ולכן )˜ (1) = β˜ (1
להומוטופיה בין ˜˜ , β
משפט 8.2.31
deg : π1 S 1 , 1 → Zאיזומורפיזם של חבורות.
.α (s) = exp αאז
ˆ .נגדיר α : I → S 1ע״י )ˆ (s
αע״י α (s) = n · s
הוכחה :ראשית ,נראה על .יהי n ∈ Zונגדיר מסילה ˆ : I → R
.deg α = α
˜ ,ולכן ˆ (1) = n
α=α
αהרמה של αהמתחילה ב־ .0מיחידותˆ ,
α ∈ P S 1 , 1ו־ ˆ
αההרמות של ,α, β
שנית ,נראה חח״ע .נניח ,deg (α) = deg (β) ∈ Zצ״ל α ∼ βבהומוטופיה ששומרת נקודות קצה .יהיו ˜˜ , β
˜.
˜ ,וכן α (0) = β˜ (0) = 0
˜ ,כך ש־)α (1) = deg α = deg β = β˜ (1
α, β˜ : I → R
מ־˜ α
ל־ βשומרת נקודות קצה ,כאשר )˜ (1, t
˜ .H
˜ (s, t) = (1 − t) α
נגדיר ˜ : I × I → R
Hקבועה
Hהומוטופיה ˜
Hע״י )˜ (s) + tβ˜ (s
1
˜
כי הדרגות שוות .אם נגדיר H : I × I → Sע״י ) ,H (s, t) = exp H (s, tאז Hהומוטופיה שומרת נקודות קצה מ־ αל־ ,βובפרט
.α ∼ β
שלישית ,נראה הומומורפיזם .תהיינה α, β ∈ P S 1 , 1מסילות .נרצה לחשב את .deg α ∗ βנסמן ˜
αאת ההרמות של α, β
ב־˜ , β
ל־ Rהמתחילות ב־ .0נבנה באמצעותן את ההרמה הרציפה של α ∗ βהמתחילה ב־ .0נגדיר מסילה γ : I → Rע״י:
(
α
)˜ (2t
t ∈ 0, 12
˜ = )γ (t
β (2t − 1) + deg α t ∈ 21 , 1
18
˜ ,ולכן γרציפה ,מתחילה ב־ 0ומרימה את ) α ∗ βכי = )exp γ (t
γמוגדרת היטב ב־ t = 12כי α (1) = β˜ (0) + deg α
(
1
)α (2t
t
∈
0,
1 2
( .מיחידות ההרמה γ = α ˜∗ β ,ולכן = )deg (α ∗ β
exp β˜ (2t − 1) + Integer = exp β˜ (2t − 1) = β (2t − 1) t ∈ 2 , 1
,deg α + deg βכלומר degהומומורפיזם.
∼ π1 S 1 , 1עם העתקת הדרגה . deg
תזכורת 8.2.32הוכחנו כי = Z
יש כמה שימושים לעניין זה:
∼ } ,C\ {0} = R2 \ {0, 0ע״י כך שעבור (z, t) ∈ S 1 × R>0שולחים ל־} ,tz ∈ C\ {0או בכיוון ההפוך
= S 1 × R>0
•
v
.v 7→ kvk , kvk
>0
1
1
>0
∼
∼
∼ .π1 (C\ {0} , 1) = π1 S × R , (1, 1) = π1 S , 1 × π1 R , 1
לפיכך= Z ,
{z
}
| } | {z
∼
}={1
∼
=Z
• בתרגיל נראה כי
∼ ) π1 (S n , p0ואז אותה שיטה מראה כי = · π1 Rn+1 \ {0} ,
לספירה S nעבור n ≥ 2מתקיים }= {1
}.π1 (S n , ·) × π1 R>0 , · = {1} × {1} = {1
57
.8.2הכנות לקראת בניית π1
פרק .8החבורה היסודית
מסקנה 8.2.33
}·{ \ ∼ R2
∼.(R 6
= R \ {·} 6עבור ,n ≥ 3ולכן גם = R
∼ R 6ל־) n ≥ 3וכמובן= R ,
∼ n
m
∼ n
2
∼ n
= ,nאבל זה דורש
בעבר ראינו כי R 6= Rל־ ,n 6= 1וכעת גם R 6= Rל־ .n 6= 2נכון גם באופן כללי ש־ R 6= Rעבור 6 m
טופולוגיה אלגברית.
2
n
2
n
1
למה 8.2.34
1
1
לא קיימת העתקה רציפה ) f : B2 → Sכאשר } B2 = {z ∈ C | |z| ≤ 1עיגול היחידה הסגור( המקיימת f (z) = zלכל .z ∈ S
f
i
הוכחה :נניח בשלילה כי קיימת העתקה כזו ,ונסמן ב־ iאת העתקת ההכלה )זהות( ,i : S 1 → B2כך שההרכבה S 1 → B2 → S 1
היא העתקת הזהות מ־ S 1לעצמו.
העתקות רציפות בין מרחבים משרות הומומורפיזמים של חבורות יסודיות ,ולכן נקבל:
∗ i
∗f
π1 (B2 , 1) → π1 S 1 , 1
→ π1 S 1 , 1
∗f
i
∗
{1} → Z
→Z
ההרכבה ∗ f∗ iחייבת לכן להיות ההעתקה הטריוויאלית )זהותית ,(0אך מצד שני היא ההעתקה המושרית על ידי הזהות כי IdS 1 = f ◦i
ולכן היא גם הזהות ,וזו סתירה כי העתקת האפס על Zוהזהות שונות.
ניתן להכליל את הלמה:
1
∼
אם α : S 1 → S 1העתקה רציפה ,היא משרה הומומורפיזם בין החבורות היסודיות π1 S , 1 → π1 S , α (1) = π1 S , 1
)כאשר ההומומורפיזם השני נובע מכך ש־ S 1קשיר מסילתית( ,ויש לה דרגה )אינטואיטיבית ,מספר הסיבובים שהנקודה בתמונה
מסתובבת כשהנקודה במקור מסתובבת פעם אחת( .הדרגה של αבמקרה זה היא nאם ההומומורפיזם המושרה הנ״ל Z → Zהוא
הכפלה ב־.n
למה 8.2.35
1
1
אם ל־ α : S 1 → S 1רציפה יש הרחבה רציפה ל־ ) f : B2 → S 1כלומר fרציפה ומקיימת ,( f |S 1 = αאז בהכרח .deg α = 0
deg
0
הוכחה :כמו בלמה ,נקבל α∗ : Z → Zאבל זה שווה ל־ ,f∗ i∗ : Z → Zולכן .deg α = 0
משפט 8.2.36משפט נקודת השבת של בראואר
יהי } Bn = {v ∈ Rn | kvk ≤ 1כדור היחידה ב־ .Rnאזי לכל העתקה רציפה f : B → Bיש נקודת שבת ) x ∈ Bכך ש־.(f (x) = x
הערה 8.2.37לכדור פתוח זה לא נכון ־ למשל ,כדור פתוח הומאומורפי ל־ ,Rnועל Rnיש העתקה שמזיזה ב־) 1בכיוון כלשהו(.
הוכחה :נוכיח רק עבור .n = 2
נניח בשלילה כי קיימת f : B2 → B2רציפה שאין לה נקודת שבת .נגדיר פונקציה g : B2 → S 1על ידי ״הציור״ הבא )סעמק...
אנסה לתאר במילים(:
1
עבור ,x ∈ B2מתקיים בהכרח ,f (x) 6= xולכן נחבר ישר שמתחיל ב־) ,f (xעובר דרך ,xומגיע לשפה .Sאת נקודת החיתוך עם
השפה נגדיר כ־).g (x
זה מוגדר היטב כי ,f (x) 6= xומאותה סיבה )ומרציפות (fהפונקציה ) x 7→ g (xרציפה )לא ,זה לא פורמלי אבל הוא גם לא הוכיח
פורמלית( .להוכחה פורמלית כותבים נוסחאות:
)g (x) = x + t · (f (x) − x
עבור t ≥ 0יחיד שניתן לחשב מתוך המשוואה 1 = kg (x)k2 = hx + t (f (x) − x) , x + t (f (x) − x)i = kxk2 +2t hx, f (x) − xi+
2
,t2 kf (x) − xkואז הפיתרון למשוואה הריבועית שקיבלנו )עבור (t ≥ 0יחיד ורציף ב־.t
קיום gסותר את הלמה ,כי gרציפה וברור כי עבור x ∈ S 1מתקיים ,g (x) = xולכן , g|S 1 = IdS 1בסתירה.
עבור המקרים ,n 6= 2אם נדע להוכיח את הגרסה המוכללת של הלמה עבור nכללי ,נוכל להשתמש באותה הוכחה בדיוק .הלמה
אכן נכונה עבור nכללי ,אבל דורשת טופולוגיה אלגברית.
למה 8.2.38הלמה של אוריסון
יהי Xמ״ט נורמלי ,ותהיינה A, Bסגורות וזרות ב־ .Xאזי קיימת פונקציה רציפה ] f : X → [0, 1כך ש־. f |B ≡ 1, f |A ≡ 0
58
.8.2הכנות לקראת בניית π1
הערה 8.2.39
2
3, 1
, f −1
פרק .8החבורה היסודית
0, 13
f −1הן פתוחות זרות המפרידות את Aמ־ .Bהלמה נותנת רצף של קבוצות כאלו.
הערה 8.2.40יכול להיות שזה משפט שסתם נקרא ״למה״ .הוא לא אמר.
∞
הוכחה :תהי Pקבוצת הרציונליים ב־] .[0, 1זו קבוצה בת מנייה .נסדר אותה בסדר כלשהו P = {pn }n=0כך ש־.p0 = 1, p1 = 0
לכל p ∈ Pנבחר קבוצה פתוחה Upבאופן הבא:
U0 .U1 = X\Bתיבחר כפתוחה כך ש־ ) A ⊂ U0 ⊂ U0 ⊂ X\B = U1שקיימת מנורמליות(.
הנחת האינדוקציה היא של־ n ≥ 2בנינו את Up0 , . . . , Upn−1כך ש־ Upi ⊂ Upjאם .pi < pj
שלב האינדוקציה :נתבונן ב־ .pnנבחר מתוך } {p0 , . . . , pn−1את שני אלה ש־ pnיושב ביניהם ־ pהוא הגדול ביותר מביניהם שקטן
ממנו ,ו־ qהוא הקטן ביותר מביניהם שגדול ממנו ,כלומר .p < pn < q
אנו יודעים כי ,Up ⊂ Uqונבחר את Upnכך ש־ ) Up ⊂ Upn ⊂ Upn ⊂ Uqאפשרי מנורמליות( ,וסיימנו את צעד האינדוקציה.
∅ t < 0
בנינו את Upלכל .p ∈ [0, 1] ∩ Qנגדיר את Utלכל t ∈ Qלפי.Ut = Ut t ∈ [0, 1] :
X t≥1
נגדיר את הפונקציה f : X → Rע״י } .f (x) = inf {p ∈ Q | x ∈ Up
מהגדרתה .0 ≤ f (x) ≤ 1 ,ברור כי , f |U0 ≡ 0, f |X\U1 ≡ 1ולכן בפרט . f |A ≡ 0, f |B ≡ 1נותר להוכיח כי fרציפה.
מספיק כי לכל קטע פתוח ) (a, bולכל )) x ∈ f −1 ((a, bיש סביבה Vשל xב־ Xשתמונתה ) f (Vמוכלת ב־)) (a, bמקור של פתוחה
בסיסית ב־ Rפתוח ב־.(X
נבחר רציונליים p, qכך ש־ .a < p < f (x) < q < bאזי Uq \Upהיא סביבה פתוחה של xכנדרש וקיומה מוכיח את רציפות .f
משפט 8.2.41משפט המטריזציה של אוריסון
יהי Xמ״ט נורמלי עם בסיס בן מניה .אזי Xמטריזבילי ,כלומר קיימת עליו מטריקה המשרה את הטופולוגיה הנתונה.
הערה 8.2.42כמו הלמה של אוריסון ,מקבלים פונקציה מעניינת ל־.d : X × X → R :R
הוכחה :לכל שתי קבוצות בסיסיות ) Un , Umכך ש־ (n, m ∈ Nכך ש־ Um ⊂ Unנבנה ] fm,n : X → [0, 1כמו בלמה של אוריסון
)כלומר ,( fm,n |Um ≡ 0, fm,n |X\Un ≡ 1ומוכיחים כי אוסף הפונקציות הזה P־ שהוא בן מנייה ־ משכן את Xהומאומורפית
ל״קוביה״
| |P
] ,[0, 1שהוא מרחב מטרי.
59
© Copyright 2024