‫פונקציות מרוכבות‪:‬‬ ‫פתרון מבחן מועד ב' סמסטר ב' תשס"ח‬ ‫גרסה ‪ ,1.0‬אוגוסט ‪2011‬‬ ‫ברק שושני‬ ‫‪baraksh@gmail.com | http://baraksh.co.il/‬‬ ‫שאלות‬ ‫‪ .1‬נתונה המסילה‪:‬‬ ‫‪Γ (ϕ) = 4 ei ϕ + e− i ϕ −4,‬‬ ‫]‪ϕ ∈ [0, 2π‬‬ ‫מצאו את ‪.ind0 Γ‬‬ ‫‪ .2‬מצאו את כל הפונקציות השלמות ‪ f‬כך שלכל ‪ z ∈ C‬מתקיים האי־שוויון‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪|f 0 (z)| < e−(Re z‬‬ ‫‪ .3‬חשבו את האינטגרל הבא ופשטו את התוצאה‪:‬‬ ‫‪a>0‬‬ ‫)‪cos (ax‬‬ ‫‪dx,‬‬ ‫‪x4 + 1‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪ .4‬הוכיחו שקיים ‪ n > 100‬כך שלמשוואה‪:‬‬ ‫‪2n+1‬‬ ‫‪z3‬‬ ‫‪z5‬‬ ‫‪n z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪− · · · + (−1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫!)‪(2n + 1‬‬ ‫‪z−‬‬ ‫קיים פתרון ‪ z‬כך ש־‪.|z − π| < 1‬‬ ‫‪ .5‬לכל שני פולינומים ‪ p, q‬שונים מ־‪ ,0‬נגדיר פונקציה ‪ f : C → C‬באופן הבא‪ .‬יהי ‪ R0 > 0‬מספר כך שכל‬ ‫השורשים של הפולינום ‪ q‬נמצאים ב־) ‪ .D (0, R0‬לכל ‪ z ∈ C‬נגדיר‪:‬‬ ‫˛‬ ‫)‪p (ζ‬‬ ‫= )‪f (z‬‬ ‫‪dζ‬‬ ‫‪q‬‬ ‫)‪(ζ‬‬ ‫)‪(ζ − z‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫כאשר ‪ γ‬הוא מעגל ברדיוס ‪ R‬סביב הראשית‪ ,‬ו־‪ R‬הוא מספר מספיק גדול כך ש־‪.max (R0 , |z|) < R‬‬ ‫הוכיחו ש־ ‪ f‬פולינום‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פתרונות‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫נתונה המסילה‪:‬‬ ‫]‪ϕ ∈ [0, 2π‬‬ ‫‪Γ (ϕ) = 4 ei ϕ + e− i ϕ −4,‬‬ ‫מצאו את ‪.ind0 Γ‬‬ ‫פתרון‬ ‫כידוע‪ ,‬אינדקס הליפוף של מסילה סגורה ‪ γ‬ביחס לנקודה ‪ z0‬מוגדר כך‪:‬‬ ‫˛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫= ‪indz0 γ‬‬ ‫‪2π i γ z − z0‬‬ ‫והוא נותן את מספר הפעמים שהמסילה עוברת נגד כיוון השעון סביב הנקודה‪ .‬במקרה שלנו‪ ,‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪dz = Γ0 (ϕ) dϕ = i 4 ei ϕ − e− i ϕ dϕ‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫˛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫‪2π i Γ z‬‬ ‫‪ˆ 2π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4 ei ϕ − e− i ϕ‬‬ ‫=‬ ‫‪dϕ‬‬ ‫‪2π 0 4 ei ϕ + e− i ϕ −4‬‬ ‫‪ˆ 2π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4 e2 i ϕ −1‬‬ ‫=‬ ‫‪dϕ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2π 0 4 e i ϕ −4 ei ϕ +1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ˆ 2π‬‬ ‫‪2 ei ϕ −1 2 ei ϕ +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪dϕ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2π 0‬‬ ‫)‪(2 ei ϕ −1‬‬ ‫‪ˆ 2π i ϕ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 e +1‬‬ ‫=‬ ‫‪dϕ‬‬ ‫‪2π 0 2 ei ϕ −1‬‬ ‫‬ ‫ ‪ˆ 2π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1 + i ϕ 1 dϕ‬‬ ‫‪2π 0‬‬ ‫‪e −2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫)‪(2π + 0‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫= ‪ind0 Γ‬‬ ‫אפשרות נוספת ‪ -‬נרשום את המסילה כך‪:‬‬ ‫‪Γ (ϕ) = 4 ei ϕ + e− i ϕ −4‬‬ ‫‪= 4 (cos ϕ + i sin ϕ) + (cos ϕ − i sin ϕ) − 4‬‬ ‫‪= 5 cos ϕ + 3 i sin ϕ − 4‬‬ ‫רואים מיד כי זוהי אליפסה בעלת רדיוס ‪ 5‬בציר הממשי ורדיוס ‪ 3‬בציר המדומה‪ ,‬אשר מרכזה ב־‪ .z = −4‬הנקודה‬ ‫‬ ‫‪ z = 0‬נמצאת בתוך האליפסה‪ ,‬ולכן אינדקס הליפוף שלה הוא ‪.1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫מצאו את כל הפונקציות השלמות ‪ f‬כך שלכל ‪ z ∈ C‬מתקיים האי־שוויון‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪|f 0 (z)| < e−(Re z‬‬ ‫פתרון‬ ‫נשתמש במשפט ליוביל‪ :‬כל פונקציה שלמה וחסומה היא קבועה‪ .‬מכך ש‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪max e−(Re z) = 1‬‬ ‫‪z∈C‬‬ ‫נסיק כי ‪ f 0‬חסומה‪ ,‬ולכן קבועה‪ .‬מכך ש‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e−(Re z) = 0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪Re z‬‬ ‫נסיק כי בהכרח ‪ .f 0 = 0‬לפיכך כל הפונקציות המקיימות את האי־שוויון הן מהצורה ‪ f (z) = A‬כאשר ‪A ∈ C‬‬ ‫‬ ‫קבוע כלשהו‪.‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫חשבו את האינטגרל הבא ופשטו את התוצאה‪:‬‬ ‫)‪cos (ax‬‬ ‫‪dx,‬‬ ‫‪x4 + 1‬‬ ‫‪a>0‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫∞‪−‬‬ ‫פתרון‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪ei az‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫‪z4 + 1‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫∞‪−‬‬ ‫)‪cos (ax‬‬ ‫‪dx = Re‬‬ ‫‪x4 + 1‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫∞‪−‬‬ ‫לפיכך נגדיר פונקציה‪:‬‬ ‫‪ei az‬‬ ‫‪z4 + 1‬‬ ‫≡ )‪f (z‬‬ ‫ונבצע אינטגרציה על הציר הממשי ‪ +‬חצי המעגל העליון‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫]‪C ≡ R ei θ θ ∈ [0, π‬‬ ‫‪γ = [−R, R] + C,‬‬ ‫נמצא את הקטבים של הפונקציה‪:‬‬ ‫‪r4 e4 i θ = ei π+2πn‬‬ ‫⇒=‬ ‫‪z 4 = −1‬‬ ‫⇒=‬ ‫‪z4 + 1 = 0‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‪π 3π 5π 7π‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4 4 4 4‬‬ ‫=‪θ‬‬ ‫‪r = 1,‬‬ ‫כלומר‪ ,‬הקטבים נמצאים בנקודות‪:‬‬ ‫‪ei 7π/4‬‬ ‫‪ei 3π/4 ,‬‬ ‫‪ei 5π/4 ,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ei π/4 ,‬‬ ‫וברור כי כל קוטב הוא פשוט‪ .‬רק שני הקטבים‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪1+i‬‬ ‫√ = ‪+ i sin‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪−1 + i‬‬ ‫‪= cos‬‬ ‫‪+ i sin‬‬ ‫√ =‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ei π/4 = cos‬‬ ‫‪ei 3π/4‬‬ ‫נמצאים בתוך המסילה‪ .‬נמצא את השארית בכל אחד מהם‪:‬‬ ‫√‬ ‫‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪ei a(1+i)/ 2‬‬ ‫ ‪ei az‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫= ‪Res‬‬ ‫‪= e−a/ 2 ei(2 2a−3π)/4‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪3π/4‬‬ ‫‪4z z=ei π/4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4e‬‬ ‫‪z=ei π/4‬‬ ‫√‬ ‫‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪ei a(−1+i)/ 2‬‬ ‫ ‪ei az‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= e−a/ 2 ei(−2 2a−π)/4‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪9π/4‬‬ ‫‪4z z=ei 3π/4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4e‬‬ ‫‪Res‬‬ ‫‪z=ei 3π/4‬‬ ‫כעת‪ ,‬מכיוון שהפונקציה היא מהצורה )‪ ,f (z) ≡ ei az g (z‬ומתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫ = ‪g R e i θ‬‬ ‫‪−−−→ 0‬‬ ‫‪ R4 e4 i θ +1 ≤ R4 − 1 −‬‬ ‫∞→‪R‬‬ ‫אז לפי הלמה של ז'ורדן‪ ,‬האינטגרל על חצי המעגל מתאפס‪ .‬לפיכך‪:‬‬ ‫‪ei az‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫‪z4 + 1‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫)‪cos (ax‬‬ ‫‪dx = Re‬‬ ‫‪x4 + 1‬‬ ‫∞‪˛−‬‬ ‫‪= Re f (z) dz‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‪= Re 2π i‬‬ ‫)‪Res f (z‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1 −a/√2 i(2√2a−3π)/4 1 −a/√2 i(−2√2a−π)/4‬‬ ‫‪= Re 2π i‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪+ e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= Re‬‬ ‫‪π i e−a/ 2 e− i π ei(2 2a+π)/4 + e− i(2 2a+π)/4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫!!‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪ei(2 2a+π)/4 − e− i(2 2a+π)/4‬‬ ‫‪−a/ 2‬‬ ‫‪= Re π e‬‬ ‫‪2i‬‬ ‫!!‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪2 2a + π‬‬ ‫‪= Re π e−a/ 2 sin‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫√‬ ‫‪a‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪= π e−a/ 2 sin √ +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫הוכיחו שקיים ‪ n > 100‬כך שלמשוואה‪:‬‬ ‫‪2n+1‬‬ ‫‪z3‬‬ ‫‪z5‬‬ ‫‪n z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪− · · · + (−1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫!)‪(2n + 1‬‬ ‫‪z−‬‬ ‫קיים פתרון ‪ z‬כך ש־‪.|z − π| < 1‬‬ ‫פתרון‬ ‫נשתמש במשפט רושה‪ :‬אם ‪ f‬ו־‪ g‬הולומורפיות בתוך ועל מסילה פשוטה וסגורה ‪ ,γ‬ומתקיים |)‪ |g (z)| < |f (z‬על‬ ‫‪ ,γ‬אז ל־ ‪ f‬ול־‪ f + g‬אותו מספר אפסים )כולל ריבויים( בתוך ‪.γ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫הפונקציה ‪ sin z‬שלמה‪ ,‬וקיים לה פיתוח טיילור‪:‬‬ ‫‪z 2k+1‬‬ ‫!)‪(2k + 1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪sin z‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫נשים לב כי על המעגל }‪ {|z − π| = 1‬מתקיים מאי־שוויון המשולש ההפוך‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪|sin z| = sin π + ei θ‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪= − sin ei θ‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫ ‪i θ 2k+1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪k e‬‬ ‫=‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ !)‪(2k + 1‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫!)‪(2k + 1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪≥1−‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫)‪= 1 − (sinh 1 − 1‬‬ ‫‪= 2 − sinh 1‬‬ ‫)‪(≈ 0.8‬‬ ‫‪≡A‬‬ ‫הטור מתכנס במידה שווה בתוך העיגול }‪ ,D ≡ {|z − π| < 2‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ ε > 0‬קיים ‪ Nε ∈ N‬כך שלכל ‪n > Nε‬‬ ‫ולכל ‪ z ∈ D‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫ ‪z 2k+1‬‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫‪sin z −‬‬ ‫‪<ε‬‬ ‫‬ ‫ !)‪(2k + 1‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫נבחר ‪ ,ε = A/2‬ונבחר }‪ .n > max {Nε , 100‬נגדיר פונקציות‪:‬‬ ‫‪z 2k+1‬‬ ‫)‪= sin z − f (z‬‬ ‫!)‪(2k + 1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫≡ )‪g (z‬‬ ‫‪k=n+1‬‬ ‫‪z 2k+1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫!)‪(2k + 1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≡ )‪f (z‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫אז מתקיים על המעגל }‪:{|z − π| = 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫> |)‪|f (z‬‬ ‫⇒=‬ ‫‪A‬‬ ‫|)‪= ε > |sin z − f (z)| ≥ |sin z| − |f (z)| ≥ A − |f (z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫|)‪< |f (z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫< |)‪|g (z)| = |sin z − f (z‬‬ ‫מכאן‪ ,‬לפי משפט רושה‪ ,‬מספר האפסים של )‪) f (z‬שהיא‪ ,‬כמובן‪ ,‬אגף שמאל של המשוואה הנתונה בשאלה( בעיגול‬ ‫}‪ {|z − π| < 1‬שווה למספר האפסים של ‪ f (z) + g (z) = sin z‬בעיגול‪ .‬ל־‪ sin z‬יש בדיוק אפס אחד בעיגול‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ .z = π‬לפיכך גם למשוואה הנתונה יש פתרון אחד‪ ,‬כפי שרצינו להוכיח‪.‬‬ ‫‪5‬‬