‫אלקטרומגנטיות אנליטית‪:‬‬ ‫פתרון מבחן מועד א' תשס"ד )‪(26/2/2004‬‬ ‫גרסה ‪ ,1.0‬פברואר ‪2012‬‬ ‫ברק שושני‬ ‫‪baraksh@gmail.com | http://baraksh.co.il/‬‬ ‫חלק ‪I‬‬ ‫השאלות‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫נתונים הפוטנציאלים‪:‬‬ ‫!‬ ‫‪φ (r, t) = 0‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ˆ + x2 y‬‬ ‫ˆ‪ˆ + y 2‬‬ ‫‪z ,‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪A (r, t) = α −xy‬‬ ‫כאשר ‪ α, τ‬קבועים‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את השדות ‪.E, B‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו פונקציית כיול )‪ Λ (r, t‬שתעביר את הפוטנציאלים לכיול ‪ ,∇ · A = 0‬וחשבו את ‪ A‬ואת ‪ φ‬בכיול זה‪.‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫נתונה דיסקית דקה הנושאת מטען לפי ההתפלגות‪:‬‬ ‫‪ρ (r) = γδ (z) x2‬‬ ‫עבור ‪ r < a‬כאשר ‪ γ‬קבוע‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את הרכיבים הכדוריים של מומנט הדיפול ‪ M1m‬ואת אלה של מומנט הקוודרופול ‪.M2m‬‬ ‫ב‪ .‬מהו איבר הקוודרופול בפוטנציאל )‪?Φ (r‬‬ ‫ג‪ .‬תנו הערכה )ללא חישוב( של התיקון הבא לפיתוח המולטיפול עבור )‪ ,Φ (r‬כלומר את התלות ב־‪ ,γ ,a‬והמרחק ‪.r‬‬ ‫איזה ‪ Ylm‬יופיעו בו?‬ ‫‪1‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫טבעת דקה במישור ‪ xy‬בעלת רדיוס ‪ a‬נושאת זרם‪:‬‬ ‫‪I (θ, t) = Kt sin θ‬‬ ‫כאשר ‪ θ‬היא הזווית מציר ‪ x‬ו־‪ K‬קבוע‪.‬‬ ‫א‪ .‬מה תהיה התפלגות המטען )‪ λ (θ, t‬אם נתון ש־‪ λ = 0‬בזמן ‪ ?t = 0‬כתבו את )‪ ρ (r, t‬ואת )‪.J (r, t‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו במדויק את הפוטנציאלים )‪ A (z, t) , φ (z, t‬על ציר ‪) z‬שהוא הציר הניצב לטבעת(‪.‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫נתונה טבלה בעובי ‪ d‬העשויה מחומר בעל פולרזביליות כדלהלן‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 1 0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 3 0 ‬‬ ‫= ‪χij‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫גל אלקטרומגנטי נכנס לטבלה בזווית ישרה בכיוון ‪z‬‬ ‫‪ x‬והתדירות הזוויתית היא‬ ‫ˆ‪ .+‬וקטור קיטוב הגל הוא ˆ‬ ‫‪.ω‬‬ ‫א‪ .‬מה יהיה וקטור הקיטוב של הגל היוצא‪ ,‬ומה עוצמתו ביחס לגל הנכנס?‬ ‫ב‪ .‬מהו הערך של ‪ d‬שיביא לגל יוצא בעל קיטוב מעגלי?‬ ‫שאלת חובה‬ ‫כתבו את משוואות מקסוול במערכת יחידות ‪ .cgs‬רשמו את שם כל משוואה‪.‬‬ ‫חלק ‪II‬‬ ‫הפתרונות‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫נתונים הפוטנציאלים‪:‬‬ ‫!‬ ‫‪φ (r, t) = 0‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ˆ + x2 y‬‬ ‫ˆ‪ˆ + y 2‬‬ ‫‪z ,‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪A (r, t) = α −xy‬‬ ‫כאשר ‪ α, τ‬קבועים‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את השדות ‪.E, B‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו פונקציית כיול )‪ Λ (r, t‬שתעביר את הפוטנציאלים לכיול ‪ ,∇ · A = 0‬וחשבו את ‪ A‬ואת ‪ φ‬בכיול זה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫פתרון סעיף א'‬ ‫השדה החשמלי‪:‬‬ ‫‪2αxyt‬‬ ‫‪1 ∂A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪− ∇φ‬‬ ‫‪E=−‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫‪cτ 2‬‬ ‫השדה המגנטי‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪B=∇×A‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫ˆ‬ ‫‬ ‫∂‬ ‫ ‪= α‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪ −xy t 2‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫ ‪z‬‬ ‫∂‬ ‫ ∂‬ ‫‪∂y‬‬ ‫ ‪∂z‬‬ ‫ ‪x2 y 2‬‬ ‫! ! ‪ 2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫ˆ‪= α 2y‬‬ ‫‪x+x 2+‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪z‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‬ ‫פתרון סעיף ב'‬ ‫טרנספורמציית הכיול היא‪:‬‬ ‫‪1 ∂Λ‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫‪A0 = A + ∇Λ,‬‬ ‫‪φ0 = φ −‬‬ ‫נדרוש ‪) ∇ · A0 = 0‬כיול קולון(‪:‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪∇ · A = ∇ · A + ∇ Λ = −αy‬‬ ‫‪+ ∇2 Λ = 0‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫קיבלנו כי פונקציית הכיול צריכה לקיים את משוואת פואסון‪:‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪∇2 Λ = αy‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫כל פונקציה שתקיים את המשוואה תתאים לנו‪ .‬לשם הפשטות נבחר פונקציה שתלויה רק ב־‪ y‬וב־‪ ,t‬אז‪:‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪α 2 t‬‬ ‫‪∂2Λ‬‬ ‫‪∂Λ‬‬ ‫‪α 3 t‬‬ ‫‪= αy‬‬ ‫‪= y‬‬ ‫⇒=‬ ‫‪=⇒ Λ = y‬‬ ‫‪∂y 2‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫כאשר בחרנו את כל קבועי האינטגרציה להיות אפס‪ .‬בכיול זה‪ ,‬הפוטנציאלים החדשים יהיו‪:‬‬ ‫‪A0 = A + ∇Λ‬‬ ‫!‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= α −xy‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ˆ+x y‬‬ ‫ˆ ‪ˆ+y‬‬ ‫‪z + y2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫!‬ ‫‪ 2‬‬ ‫! ‪ 2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= α −xy‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ˆ + x2 + y 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ˆ‪ˆ + y 2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪α 3‬‬ ‫‪1 ∂Λ‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪y t‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫‪3cτ 2‬‬ ‫‪φ0 = φ −‬‬ ‫‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫נתונה דיסקית דקה הנושאת מטען לפי ההתפלגות‪:‬‬ ‫‪ρ (r) = γδ (z) x2‬‬ ‫עבור ‪ r < a‬כאשר ‪ γ‬קבוע‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את הרכיבים הכדוריים של מומנט הדיפול ‪ M1m‬ואת אלה של מומנט הקוודרופול ‪.M2m‬‬ ‫ב‪ .‬מהו איבר הקוודרופול בפוטנציאל )‪?Φ (r‬‬ ‫ג‪ .‬תנו הערכה )ללא חישוב( של התיקון הבא לפיתוח המולטיפול עבור )‪ ,Φ (r‬כלומר את התלות ב־‪ ,γ ,a‬והמרחק ‪.r‬‬ ‫איזה ‪ Ylm‬יופיעו בו?‬ ‫‪3‬‬ '‫פתרון סעיף א‬ :‫פתרון משוואת פואסון הוא מהצורה‬ Φ (r) = ∞ X ` X `=0 m=−` 1 4π M m Y m (θ, φ) 2` + 1 r`+1 ` ` :‫כאשר‬ ˚ ∗ M`m ≡ r` [Y`m (θ, φ)] ρ (r) d3 r :‫ נשים לב כי‬.‫הם המולטיפולים הכדוריים‬ −m ∗ m M` = (−1) M`m :‫ רכיבי מומנט הדיפול יהיו‬.m ≥ 0 ‫לפיכך תמיד מספיק למצוא את המולטיפולים עבור‬ ! r ˚ 3 0 M1 = r cos θ γδ (z) x2 d3 r 4π r ˚ 3 = γ (r cos θ) δ (z) x2 dx dy dz 4π r ˚ 3 γ zδ (z) x2 dx dy dz = 4π =0 ˚ M1−1 = r r r = r = r 3 γ 8π 3 γ 8π 3 sin θ e− i φ 8π !∗ γδ (z) x2 d3 r ˚ r sin θ (cos φ + i sin φ) δ (z) x2 dx dy dz ˆ a ˆ a (x + i y) x2 dx dy 0 ˆ 0 a 1 2 x xa + i a dx = 2 0 r 3 1 1 1 = γ a · a4 + i a2 · a3 8π 4 2 3 r 3 1 1 = γa5 + i 8π 4 6 3 γ 8π 2 :‫לכן‬ r M1+1 = − 3 γa5 8π 4 1 1 − i 4 6 :‫רכיבי מומנט הקוודרופול יהיו‬ ˚ r M20 = r2 r 5 γ 16π = 5 3 cos2 θ − 1 16π ˚ ! γδ (z) x2 d3 r 2 3 (r cos θ) − r2 δ (z) x2 dx dy dz ˚ 5 = γ 3z 2 − x2 − y 2 − z 2 δ (z) x2 dx dy dz 16π r ˆ aˆ a 5 x2 + y 2 x2 dx dy γ =− 16π 0 0 r ˆ a 5 1 =− x2 x2 a + a3 dx γ 16π 0 3 r 5 1 5 1 3 1 3 =− γ a· a + a · a 16π 5 3 3 r 6 5 14γa =− 16π 45 r ˚ M2−1 r = r r = r = r = 2 15 γ 8π 15 γ 8π 15 γ 8π 15 sin θ cos θ e− i φ 8π !∗ γδ (z) x2 d3 r ˚ r2 sin θ cos θ ei φ δ (z) x2 dx dy dz ˚ (r cos θ) r sin θ (cos φ + i sin φ) δ (z) x2 dx dy dz ˚ z (x + i y) δ (z) x2 dx dy dz =0 :‫ ולבסוף‬,M2+1 = 0 ‫לכן גם‬ ˚ M2−2 = r r r = r = r = r = r = r = 2 15 γ 32π 15 γ 32π 15 γ 32π 15 γ 32π 15 γ 32π 15 γ 32π 15 sin2 θ e−2 i φ 32π !∗ γδ (z) x2 d3 r ˚ r2 sin2 θ e2 i φ δ (z) x2 dx dy dz ˚ 2 r2 sin2 θ (cos φ + i sin φ) δ (z) x2 dx dy dz ˚ r2 sin2 θ cos2 φ − sin2 φ + 2 i sin φ cos φ δ (z) x2 dx dy dz ˚ x2 − y 2 + 2 i xy δ (z) x2 dx dy dz ˆ a ˆ a x2 − y 2 + 2 i xy x2 dx dy 0 ˆ 0 0 a 1 x2 a − a3 + i xa2 x2 dx 3 r 1 5 1 3 1 3 15 2 1 4 = γ a · a − a · a + ia · a 32π 5 3 3 4 r 15 94 1 γa6 −i =− 32π 5 4 5 ‫לכן‪:‬‬ ‫‬ ‫‪94‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+i‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‪15‬‬ ‫‪γa6‬‬ ‫‪32π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪M2+2 = −‬‬ ‫‬ ‫פתרון סעיף ב'‬ ‫כזכור‪ ,‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫)‪M`m Y`m (θ, φ‬‬ ‫‪`+1‬‬ ‫‪2` + 1 r‬‬ ‫‪∞ X‬‬ ‫`‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪Φ (r‬‬ ‫`‪`=0 m=−‬‬ ‫לכן איבר הקוודרופול הוא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4π X‬‬ ‫)‪M m Y m (θ, φ‬‬ ‫‪5r3 m=−2 2 2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪5 14γa6‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪1 −2 i φ‬‬ ‫‪1 +2 i φ‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪= 3 −‬‬ ‫‪3 cos θ − 1 −‬‬ ‫‪γa sin θ‬‬ ‫‪−i‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪+i‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫‪16π 45‬‬ ‫‪32π‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪1 −2 i φ‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪1 +2 i φ‬‬ ‫‪γa6 14‬‬ ‫‪3 cos2 θ − 1 + sin2 θ‬‬ ‫‪−i‬‬ ‫‪+i‬‬ ‫‪= 3‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪4r‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪188‬‬ ‫‪γa6 14‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪cos (2φ) − sin (2φ‬‬ ‫‪3 cos2 θ − 1 + sin2 θ‬‬ ‫‪= 3‬‬ ‫‪4r‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪Φ(2) (r‬‬ ‫‬ ‫פתרון סעיף ג'‬ ‫איבר הדיפול פרופורציונלי ל־ ‪ ,γa5 /r2‬איבר המולטיפול פרופורציונלי ל־ ‪ ,γa6 /r3‬לכן הגיוני להניח שהאיבר מהסדר הבא‬ ‫יהיה פרופורציונלי ל־ ‪ .γa7 /r4‬כמו כן‪ ,‬המולטיפולים שמתאפסים הם אלה בהם הסכום ‪ ` + m‬אי־זוגי‪ ,‬לכן כנראה‬ ‫‬ ‫שההרמוניות הכדוריות שיופיעו בו יהיו ‪ Y3±1‬ו־ ‪.Y3±3‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫טבעת דקה במישור ‪ xy‬בעלת רדיוס ‪ a‬נושאת זרם‪:‬‬ ‫‪I (θ, t) = Kt sin θ‬‬ ‫כאשר ‪ θ‬היא הזווית מציר ‪ x‬ו־‪ K‬קבוע‪.‬‬ ‫א‪ .‬מה תהיה התפלגות המטען )‪ λ (θ, t‬אם נתון ש־‪ λ = 0‬בזמן ‪ ?t = 0‬כתבו את )‪ ρ (r, t‬ואת )‪.J (r, t‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו במדויק את הפוטנציאלים )‪ A (z, t) , φ (z, t‬על ציר ‪) z‬שהוא הציר הניצב לטבעת(‪.‬‬ ‫פתרון סעיף א'‬ ‫משוואת הרציפות היא‪:‬‬ ‫‪∂ρ‬‬ ‫‪= −∇ · J‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫במקרה החד־ממדי נקבל‪:‬‬ ‫‪∂λ‬‬ ‫‪1 ∂I‬‬ ‫‪Kt‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪a ∂θ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪6‬‬ ‫נבצע אינטגרציה לפי ‪:t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Kt‬‬ ‫‪cos θ + C‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫כאשר ‪ C‬הוא קבוע אינטגרציה‪ .‬מתנאי ההתחלה ‪ λ = 0‬ב־‪ ,t = 0‬לכן ‪ C = 0‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪λ=−‬‬ ‫‪Kt2‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪λ=−‬‬ ‫צפיפות המטען ‪ ρ‬תהיה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Kt‬‬ ‫)‪cos θ δ (z) δ (r − a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪ρ=−‬‬ ‫וצפיפות הזרם ‪ J‬תהיה‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪J = Kt sin θ δ (z) δ (r − a) θ‬‬ ‫‬ ‫פתרון סעיף ב'‬ ‫כאשר למטענים ולזרמים יש תלות בזמן‪ ,‬מחשבים את הפוטנציאלים לפי הזמן המעוכב ‪ .t − |r − r0 | /c‬נחשב את‬ ‫ˆ ‪ z 0‬על ציר ‪:z‬‬ ‫הפוטנציאלים בנקודה ‪z‬‬ ‫‬ ‫˚‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ˆ ‪J r, t − c |z‬‬ ‫‪z − r| 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d r‬‬ ‫ˆ ‪A (z 0‬‬ ‫= )‪z, t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ˆ ‪|z‬‬ ‫|‪z − r‬‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫)‪z − r| sin θ δ (z) δ (r − a) (− sin θ, cos θ, 0‬‬ ‫ˆ ‪K +∞ 2π ∞ t − 1c |z 0‬‬ ‫=‬ ‫‪r dr dθ dz‬‬ ‫‪c −∞ 0‬‬ ‫ˆ ‪|z 0‬‬ ‫|‪z − r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫‬ ‫‪Ka 2π‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪− sin2 θ, sin θ cos θ, 0 dθ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪c 0‬‬ ‫‪|(0, 0, z ) − (a cos θ, a sin θ, 0)| c‬‬ ‫‬ ‫‪ ˆ 2π‬‬ ‫‬ ‫‪Ka‬‬ ‫‪ct‬‬ ‫√ ‪= 2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪− sin2 θ, sin θ cos θ, 0 dθ‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪z +a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ct‬‬ ‫‪πKa‬‬ ‫√‬ ‫‪−1 x‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪=− 2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪z 02 + a2‬‬ ‫˚‬ ‫‬ ‫ˆ ‪ρ r, t − 1c |z 0‬‬ ‫‪z − r| 3‬‬ ‫ˆ ‪φ (z‬‬ ‫= )‪z, t‬‬ ‫‪d r‬‬ ‫ˆ ‪|z 0‬‬ ‫|‪z − r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫)‪z − r| cos θ δ (z) δ (r − a‬‬ ‫ˆ ‪K +∞ 2π ∞ t − 1c |z 0‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪r dr dθ dz‬‬ ‫‪2a −∞ 0‬‬ ‫ˆ ‪|z 0‬‬ ‫|‪z − r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫√‬ ‫‪2 ˆ 2π‬‬ ‫‪K t − 1c z 02 + a2‬‬ ‫√‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪cos θdθ‬‬ ‫‪2 z 02 + a2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫נתונה טבלה בעובי ‪ d‬העשויה מחומר בעל פולרזביליות כדלהלן‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 1 0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 3 0 ‬‬ ‫= ‪χij‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫‪ x‬והתדירות הזוויתית היא‬ ‫ˆ‪ .+‬וקטור קיטוב הגל הוא ˆ‬ ‫גל אלקטרומגנטי נכנס לטבלה בזווית ישרה בכיוון ‪z‬‬ ‫‪.ω‬‬ ‫א‪ .‬מה יהיה וקטור הקיטוב של הגל היוצא‪ ,‬ומה עוצמתו ביחס לגל הנכנס?‬ ‫ב‪ .‬מהו הערך של ‪ d‬שיביא לגל יוצא בעל קיטוב מעגלי?‬ ‫‪7‬‬ ‫‬ ‫פתרון סעיף א'‬ ‫הטנזור הדיאלקטרי יהיה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ij = δij + 4πχij =  1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הגל הוא מהצורה‪:‬‬ ‫‪E (r, t) = E0 x‬‬ ‫)‪ˆ ei(kz−ωt‬‬ ‫קל לראות כי הערכים והווקטורים העצמיים של הטנזור הדיאלקטרי הם‪:‬‬ ‫ˆ( ‪ij‬‬ ‫‪x+y‬‬ ‫ˆ( ‪ˆ) = 5‬‬ ‫‪x+y‬‬ ‫)ˆ‬ ‫ˆ( ‪ij‬‬ ‫‪x−y‬‬ ‫ˆ( ‪ˆ) = 3‬‬ ‫‪x−y‬‬ ‫)ˆ‬ ‫ˆ ‪ij‬‬ ‫ˆ‪z = 2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫נעבור לבסיס של הווקטורים העצמיים‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ˆ−y‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪e2 ≡ √ ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ ≡ ‪e3‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪3 = 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ˆ+y‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪e1 ≡ √ ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 = 5,‬‬ ‫‪2 = 3,‬‬ ‫אז הגל יהיה‪ ,‬בבסיס החדש‪:‬‬ ‫‬ ‫ ‪E0‬‬ ‫ˆ √ = )‪E (r, t‬‬ ‫ˆ‪e1 ei(k1 z−ωt) +‬‬ ‫)‪e2 ei(k2 z−ωt‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪ω 2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫√‬ ‫‪ω 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪c‬‬ ‫= ‪k2‬‬ ‫= ‪k1‬‬ ‫כעבור מרחק ‪ d‬נקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫ ‪E0‬‬ ‫ˆ √ =‪E‬‬ ‫ˆ‪e1 ei(k1 d−ωt) +‬‬ ‫)‪e2 ei(k2 d−ωt‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫ ‪E0‬‬ ‫ˆ √=‬ ‫ˆ ‪e1 +‬‬ ‫)‪e2 ei(k2 −k1 )d ei(k1 d−ωt‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כלומר‪ ,‬וקטור הקיטוב החדש יהיה‪:‬‬ ‫‬ ‫√ √‬ ‫ ‪1‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ √ =‪e‬‬ ‫ˆ ‪e1 +‬‬ ‫‪e2 ei ω( 3− 5)d/c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫יחס העוצמות יהיה‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫√ √‬ ‫‪ √1‬‬ ‫‬ ‫ˆ ‪e1 +‬‬ ‫ ‪e2 ei ω( 3− 5)d/c‬‬ ‫ˆ ‪ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ|‬ ‫|‪x‬‬ ‫‬ ‫ ‪2‬‬ ‫√ √‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪1 + ei ω( 3− 5)d/c‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Iout‬‬ ‫=‬ ‫‪Iin‬‬ ‫=‬ ‫‪=1‬‬ ‫‬ ‫כלומר‪ ,‬העוצמה לא השתנתה‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫פתרון סעיף ב'‬ ‫וקטור קיטוב מעגלי הוא מהצורה‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ ‪e1 ± i‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪√ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‬ ‫=‪e‬‬ ‫לכן נדרוש‪:‬‬ ‫)‪= ± i = ei(2πn±π/2‬‬ ‫√‬ ‫‪3− 5)d/c‬‬ ‫√‬ ‫( ‪ei ω‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪πc‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪πc‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√‬ ‫‪√ 2n ±‬‬ ‫√‬ ‫‪√ n+‬‬ ‫=‪d‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ω 3− 5‬‬ ‫‪ω 3− 5‬‬ ‫כאשר ‪.n ∈ Z‬‬ ‫‬ ‫שאלת חובה‬ ‫כתבו את משוואות מקסוול במערכת יחידות ‪ .cgs‬רשמו את שם כל משוואה‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫חוק גאוס‪:‬‬ ‫‪∇ · E = 4πρ‬‬ ‫חוק גאוס המגנטי‪:‬‬ ‫‪∇·B=0‬‬ ‫חוק פרדיי‪:‬‬ ‫‪1 ∂B‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫‪∇×E=−‬‬ ‫חוק אמפר־מקסוול‪:‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪1 ∂E‬‬ ‫‪J+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‪∇×B‬‬ ‫‬